aplicaÇÕes do princÍpio de inclusÃo e exclusÃo de inclusao e exclusao... · os jogos de azar,...

IRENE MAGALHÃES CRAVEIROMYRIAN PASTORE DA SILVA

APLICAÇÕES DOPRINCÍPIO DE INCLUSÃO

E EXCLUSÃO


E EXCLUSÃO

1a edição2016

Rio de Janeiro

IRENE MAGALHÃES CRAVEIROMYRIAN PASTORE DA SILVA


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Sumário

1 Introdução 3

2 O princípio da Inclusão e Exclusão 52.1 O princípio da inclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Aplicações do princípio da inclusão e exclusão 113.1 Permutações caóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Contando funções sobrejetivas de domínio finito . . . . . . . . . . 143.3 Divisibilidade e Números Primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 A Função ϕ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Soluções de Equações lineares em N com coeficientes unitários . . 22

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Prefácio

Neste minicurso apresentaremos e demonstraremos uma fórmula para a car-dinalidade da união de um número finito de conjuntos finitos, conhecida comoo Princípio de Inclusão e Exclusão. Esse resultado é uma ferramenta útil pararesolver diversos problemas de contagem. Várias aplicações desse resultado se-rão abordadas durante a execução desse trabalho, sendo alguns problemas práticosde contagem, e aplicações desse princípio em permutações caóticas e no cálculodo número de funções sobrejetivas cujo domínio e o contradomínio sejam finitos.Também exploraremos o conceito de divisibilidade, números primos e a função ϕde Euler interligando com o princípio da inclusão e exclusão. Finalmente, iremosabordar as equações lineares com coeficientes unitários, cujas soluções estão res-tritas ao subconjunto dos números naturais e veremos diversos problemas dessanatureza onde o princípio de inclusão e exclusão é de grande utilidade.

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2 SUMÁRIO

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Capítulo 1

Introdução

Os jogos de azar, tais como lançamentos de dados, jogos de cartas, loterias,entre outros contribuíram para o desenvolvimento da Análise Combinatória. A ne-cessidade de calcular o número de possibilidades nos jogos gerou o estudo dosmétodos de contagem. Essa tendência levou Euler e d’Alembert a escreverem pro-blemas referentes a loterias, sendo que um deles Euler publicou no ano de 1765.

[...] Suponha que n bilhetes são numerados consecutivamente de 1 an e que três bilhetes são tirados ao acaso. Então a probabilidade de

que três números consecutivos sejam tirados é2.3

n(n − 1)([3], p.314).

Questões de contagem aparecem com frequência em Estatística, Física, Quí-mica, Biologia, Informática e em várias outras áreas do conhecimento. Já os Pa-râmetros Curriculares Nacionais [8], trazem a necessidade do estudo da AnáliseCombinatória desde as séries iniciais do ensino fundamental. Segundo este do-cumento, no Ensino Médio, deve-se ter em mente que as técnicas de contagemestudadas em Matemática devem estar relacionadas entre as várias ciências.

[...] aplicar as ideias de probabilidade e combinatória a fenômenosnaturais e do cotidiano são aplicações da Matemática em questões domundo real que tiveram um crescimento muito grande e se tornarambastante complexas. Técnicas e raciocínios estatísticos e probabilís-ticos são, sem dúvida, instrumentos tanto das ciências da Naturezaquanto das Ciências Humanas. Isto mostra como será importante umacuidadosa abordagem dos conteúdos de contagem, estatística e proba-bilidades no Ensino Médio, ampliando a interface entre o aprendizadoda Matemática e das demais ciências e áreas ([8], p.44).

A ideia básica da combinatória enumerativa é desenvolver técnicas para quan-tificar objetos de um dado conjunto finito sem a necessidade de listar todos os seuselementos. Algumas dessas técnicas consistem em dividir um problema maior em

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4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

pequenos problemas similares. O princípio da inclusão e exclusão é uma ferra-menta de grande utilidade na resolução de problemas de contagem.

Nos problemas de combinatória trabalhados no Ensino Médio os métodos maisutilizados são o Princípio Multiplicativo, o Princípio Aditivo, os Arranjos e asCombinações. No entanto, quanto mais se impõe restrições ao problema maisdifícil será chegar a sua solução. Diferentes técnicas podem ser aplicadas a ummesmo problema. Dessa forma o princípio da inclusão e exclusão pode ser umaferramenta facilitadora na resolução de diversos problemas combinatórios.

Este minicurso é composto, essencialmente, de assuntos retirados de diversosmateriais bibliográficas que citamos durante o desenvolvimento deste trabalho; In-troduzimos inicialmente o princípio da inclusão e exclusão para o caso particularde dois conjuntos finitos e, em seguida apresentamos uma aplicação direta desteresuldado e analisamos o caso do princípio de inclusão e exclusão para o caso maisgeral, ou seja, validamos a fórmula para o cálculo de uma união de número finitode conjuntos finitos.

Os outros tópicos abordam importante aplicações, como por exemplo, umafórmula para determinar a quantidade de permutações caóticas.

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Capítulo 2

O princípio da Inclusão eExclusão

O Princípio de Inclusão e Exclusão é uma generalização do princípio aditivo.Um dos tópicos desse minicurso é a obtenção de uma fórmula para contar o númerode elementos de uma união finita de vários conjuntos finitos, não necessariamentedisjuntos, tal fórmula é denominada princípio de inclusão e exclusão. Iremos va-lidar essa fórmula e em seguida abordaremos diversas aplicações desse resultado.Dado um conjunto finito A, iremos denotar por n(A) o número de elementos deA. Nesse capítulo nosso principal objetivo é validar a fórmula dada no teorema 1e aplicar alguns exemplos imediatos.

Proposição 1. Considere A e B conjuntos finitos. Então:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Demonstração: A demonstração da proposição 1 que faremos consiste de ve-rificar que n(A)+n(B)−n(A∩B) conta o número de elementos na união A∪B.Ou seja, vamos mostrar n(A) + n(B) − n(A ∩ B) conta cada elemento x ∈ A ∪ Bexatamente uma vez. Um elemento x ∈ A ∪ B pode pertencer somente a um dosdois conjuntos, ou exatamente dois deles.

1 caso) x pode pertencer somente a um dos dois conjuntos: Se x estiver em A ex ∈ B, n(A) conta x uma vez, n(B) conta x zero e n(A ∩ B) conta x zerovez. Logo x é contado por n(A)+n(B)−n(A∩B) uma vez. Analogamenteanalisamos os casos em x estiver somente em B.

2 caso) x está em exatamente dois dos conjuntos: se x ∈ A ∩ B temos:n(A) conta x uma vez;n(B) conta x uma vez;n(A∩B) conta x uma vez. Logo x é contado por n(A)+n(B)−n(A∩B) =1 + 1 − 1 = 1 vez. Segue dos casos: 1 e 2 que:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

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6 CAPÍTULO 2. O PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO

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Exemplo 2.1. Numa classe de 30 alunos, 14 falam inglês, 5 falam alemão e 3falam inglês e alemão. Quantos alunos falam pelo menos uma língua dentre inglêse alemão.

Solução 2.1. Vamos definir:A= conjunto formado pelos alunos que falam inglês;B= conjunto formado pelos alunos que falam alemão;A ∩ B= conjunto formado pelos alunos que falam inglês e alemão.Temos que n(A) = 14, n(B) = 5 e n(A ∩ B) = 3. Observe que:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 14 + 5 − 3 = 16.

Quando somamos 14 com 5, teremos contado duas vezes aqueles alunos que seencontram em A ∩ B, ou seja, os que falam inglês e alemão.

Proposição 2. Considere três conjuntos A, B e C, tais que A, B e C são finitos.Então:

n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C).

Demonstração: A demonstração da proposição 2 que faremos consiste de ve-rificar que n(A) + n(B) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)conta o número de elementos na união A ∪ B ∪ C. Ou seja, vamos mostrarn(A) + n(B) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) contacada elemento x ∈ A ∪ B ∪ C exatamente uma vez. Um elemento x ∈ A ∪ B ∪ Cpode pertencer somente a um dos três conjuntos, ou exatamente dois deles ou aostrês conjuntos.

1 caso) x pode pertencer somente a um dos três conjuntos: Se x estiver em A então:n(A) conta x uma vez;n(B) conta x zero vez;n(C) conta x zero vez;n(A ∩ B) conta x zero vez;n(A ∩ C) conta x zero vez;n(B ∩ C) conta x zero vez en(A ∩ B ∩ C) conta x zero vez.Logo x é contado por n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) −n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) uma vez. Analogamente analisamos os casos emx estiver somente em B ou x estiver somente C.

2 caso) x está em exatamente dois dos conjuntos: x ∈ A∩B e x ∈ C, ou x ∈ A∩Ce x ∈ B, ou x ∈ B ∩ C e x ∈ A.Se x ∈ A ∩ B e x ∈ C, temos:n(A) conta x uma vez;n(B) conta x uma vez;

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2.1. O PRINCÍPIO DA INCLUSÃO 7

n(C) conta x zero vez;n(A ∩ B) conta x uma vez;n(A ∩ C) conta x zero vez;n(B ∩ C) conta x zero vez;n(A ∩ B ∩ C) conta x zero vez.Logo x é contado por n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B ∩C) + n(A ∩ B ∩ C) = 1 + 1 + 0 − 1 − 0 − 0 + 0 = 1 vez. Analogamenteanalisamos os casos ou x ∈ A ∩ C e x ∈ B, ou x ∈ B ∩ C e x ∈ A.

3 caso) x está em exatamente três dos conjuntos: x ∈ A ∩ B ∩ C. Então:n(A) conta x uma vez;n(B) conta x uma vez;n(C) conta x uma vez;n(A ∩ B) conta x uma vez;n(A ∩ C) conta x uma vez;n(B ∩ C) conta x uma vez;n(A ∩ B ∩ C) conta x uma vez.Logo x é contado por n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) −n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 + 1 = 1 vez.

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2.1 O princípio da inclusão

Agora faremos a generalização das proposições 1 e 2, nesses casos fizemosdemonstrações para o Princípio da Inclusão e Exclusão no caso particular em quen = 2, 3 onde n denota a quantidade de conjuntos.

Teorema 1. Considere um coleção de conjuntos finitos A1, A2, A3, ..., An. Então:

n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) =n∑

i=1n(Ai) −

∑1≤i1≤i2≤n

n(Ai1 ∩ Ai2)+

+∑

1≤i1≤i2≤i3≤n

n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3) + . . .

. . . + (−1)p−1 ∑1≤i1≤i2≤i3≤...≤ip≤n

n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ ... ∩ Aip)+

+... + (−1)n−1n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ ... ∩ Ain). (2.1)

Demonstração: Para provarmos o teorema 1, basta mostrar que dado p =1, 2, 3, ..., n temos que cada elemento que pertence a p dos conjuntos A′

is é contadoexatamente uma vez em 2.1. De fato, se x pertence a p dos conjuntos A′

is ele serácontado:(

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1

)vezes em

∑ni=1 n(Ai);

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(p

2

)vezes em

∑1≤i1≤i2≤i3≤n n(Ai1 ∩ Ai2);(

p

3

)vezes em

∑1≤i1≤i2≤i3≤n n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3);

...(p

p

)vezes em

∑1≤i1≤i2≤i3≤...≤ip≤n n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ ... ∩ Aip);

E claro que a interseção de mais que p conjuntos dentre os A′is não fornecerá ne-

nhuma contribuição, uma vez que o elemento em questão x pertence a exatamentep dos conjuntos dentre A1, A2, A3, ..., An. Somando todas as contribuições comseus respectivos sinais temos:(

p

1

)−(

p

2

)+(

p

3

)−(

p

4

)+ . . . + (−1)p−1

(p

p

)(2.2)

Queremos provar que a expressão dada em 2.2 é igual a 1.Segue do Teorema binomial que para todo x ∈ R e p ∈ N que:

(x + 1)p =(

p

0

)+(

p

1

)x +

(p

2

)x2 +

(p

3

)x3 + . . . +

(p

p

)xp, e fazendo x = −1

temos: 0 =(

p

0

)−(

p

1

)+(

p

2

)−(

p

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)+ . . . + (−1)p−1

(p

p

), ou seja

(p

0

)=(

p

1

)−(

p

2

)+(

p

3

)+. . .+(−1)p−1

(p

p

). Como

(p

0

)= 1 , então segue o resultado.

�

Exemplo 2.2. Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que P ocupa oprimeiro lugar ou R ocupa o segundo lugar ou D ocupa o sexto lugar?

Solução 2.2. Vamos usar o princípio da inclusão e exclusão, pois se trata de umproblema de contagem da cardinalidade da união de um número finito de conjuntosfinitos. Para isso, definimos: A1, A2, A3A1= conjunto de todos os anagramas da palavra PERDÃO que começa com aletra P;A2= conjunto de todos os anagramas da palavra PERDÃO tendo a letra R nasegunda posição;A3 = conjunto de todos os anagramas da palavra PERDÃO tendo a letra D nasexta posição;A1 ∩ A2= conjunto de todos os anagramas da palavra PERDÃO tendo as letras Pna primeira posição e R na segunda posição;A1 ∩ A3= conjunto de todos os anagramas da palavra PERDÃO tendo as letras Pna primeira posição e D na sexta posição;A2 ∩ A3= conjunto de todos os anagramas da palavra PERDÃO tendo as letras Rna segunda posição e D na sexta posição;

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2.1. O PRINCÍPIO DA INCLUSÃO 9

A1 ∩ A2 ∩ A3= conjunto de todos os anagramas da palavra PERDÃO tendo asletras P na primeira posição, R na segunda posição e D na sexta posição.Note que, para i = 1, 2, 3 cada elemento de Ai é uma permutação de 6 letras comuma delas fixas. Portanto n(Ai) = 120. Temos que o número de anagramas dapalavra PERDÃO com duas letras fixas é igual a 24. Logo,

n(A1 ∩ A2) = n(A1 ∩ A3) = n(A2 ∩ A3) = 24.

Por último vamos contar a cardinalidade de, A1 ∩ A2 ∩ A3, n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 6que é o total de anagramas da palavra PERDÃO com 3 letras fixas.

n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = n(A1) + n(A2) + n(A3) − n(A1 ∩ A2) − n(A1 ∩ A3) −−n(A2 ∩ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3)

= 3 · 120 − 3 · 24 + 6 = 294.

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Capítulo 3

Aplicações do princípio dainclusão e exclusão

Neste capítulo apresentaremos diversas aplicações do princípio da inclusão eexclusão exploradas em algumas bibliografias de matemática discreta. Estas apli-cações podem ser encontradas em [5] e [7].

3.1 Permutações caóticas

Uma das aplicações do princípio de inclusão e exclusão [5], consiste em deter-minar o número de permutações caóticas de um conjunto com n elementos. Apre-sentaremos a demonstração de tal resultado, e em seguida faremos alguns exem-plos práticos. O teorema 2 é tópico principal dessa seção e é uma das interessantesaplicações do princípio de inclusão e exclusão que exibiremos.

Definição 3.1. Uma permutação de n objetos, a1, a2, a3, ...an, é chamada caóticaquando nenhum dos a′

is se encontra na posição original, isto é na i- ésima posição.

Por exemplo, a2a1a5a3a4 e a5a4a1a2a3 são permutações caóticas. Temos quea3a4a1a2a5 não é permutação caótica, pois existe i = 5 e a5 está na posição 5.

Exemplo 3.1. Determine o número de permutações simples dos elementos a1, a2, a3,..., an, nas quais a1 está em primeiro lugar ou a2 está em segundo lugar.

Solução 3.1. Vamos definir: A1, A2.A1= conjunto das permutações a1, a2, a3, ..., an, tal que a1 está em primeiro lu-gar;A2= conjunto das permutações a1, a2, a3, ..., an, tal que a2 está em segundo lu-gar;A1 ∩ A2= conjunto das permutações a1, a2, a3, ..., an, tal que a1 está em primeirolugar e a2 está em segundo lugar.

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12CAPÍTULO 3. APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO

Temos que n(A1) = n(A2) = (n − 1)! e n(A1 ∩ A2) = (n − 2)!. Logo,

n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) − n(A1 ∩ A2) = 2(n − 1)! − (n − 2)!= 2(n − 1)(n − 2)! − (n − 2)! = (n − 2)!(2(n − 1) − 1)= (n − 2)!(2n − 3).

Nesse exemplo as permutações contadas aqui não são caóticas.

Exemplo 3.2. Dentre as permutações simples dos elementos a1, a2, a3, ..., an, de-termine o número daquelas em que a1 não está em primeiro lugar, a2 não está emsegundo lugar e nem a3 não está em terceiro lugar.

Solução 3.2. Vamos definir para i = 1, 2, 3Ai= conjunto das permutações de a1, a2, a3, ..., an em que ai está no i-ésimo lu-gar;Note que, para i = 1, 2, 3, cada elemento de Ai é uma permutação de n letras comuma delas fixas. Portanto n(Ai) = (n − 1)!.Temos que o número de permutações n letras com duas letras fixas é igual a(n − 2)!. Logo,

n(A1 ∩ A2) = n(A1 ∩ A3) = n(A2 ∩ A3) = (n − 2)!.

Por último vamos contar a cardinalidade de A1 ∩ A2 ∩ A3,

n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = (n − 3)!,

que é total de permutações de a1, a2, a3, ..., an com 3 letras fixas. O total de per-mutações de a1, a2, a3, ..., an é n!. Dessa forma a solução do exemplo é:

n! − n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = n! − n(A1) − n(A2) − n(A3) + n(A1 ∩ A2) + n(A1 ∩ A3) ++n(A2 ∩ A3) − n(A1 ∩ A2 ∩ A3)

= n! − 3 · (n − 1)! + 3 · (n − 2)! − (n − 3)!.

Teorema 2. Se Dn é total de permutações caóticas de a1, a2, a3, ..., an, então

Dn = n!(

1 − 11!

+ 12!

− 13!

+ ... + (−1)n 1n!

).

Demonstração: Vamos definir para i = 1, 2, 3, ..., n:Ai= conjunto das permutações de a1, a2, a3, ..., an em que ai está na i-ésima posi-ção. Para calcularmos Dn devemos calcular o total de permutações de a1, a2, a3, ..., an

que não pertence a nenhum dos Ai’s, ou seja, o número de elementos no comple-mentar da união dos Ai’s. Portanto,

Dn = n! −n∑

i=1n(Ai) +

∑1≤i1≤i2≤n

n(Ai1 ∩ Ai2) −∑

1≤i1≤i2≤i3≤n

n(Ai1 ∩ Ai2∩

∩Ai3) + ∩ . . . ∩ +(−1)nn(A1 ∩ A2 ∩ A3 + . . . + An).

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3.1. PERMUTAÇÕES CAÓTICAS 13

Note que, para i = 1, 2, ..., n cada elemento de Ai é uma permutação de n letrascom uma delas fixas. Portanto n(Ai) = (n − 1)!. Temos que:

n(Ai ∩ Aj) = (n − 2)!, ∀1 ≤ i ≤ j ≤ n;n(Ai ∩ Aj ∩ Ak) = (n − 3)!, ∀1 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ n

...

n(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = 1.

Temos

(n

1

)parcelas na soma:

∑ni=1 n(Ai) e n(Ai) = n(A1) = (n − 1)!

Temos

(n

2

)parcelas na soma:

∑1≤i1≤i2≤n n(Ai1 ∩Ai2) e n(Ai1 ∩Ai2) = n(A1 ∩

A2) = (n − 2)!

Temos

(n

3

)parcelas na soma:

∑1≤i1≤i2≤i3≤n n(Ai1 ∩Ai2 ∩Ai3) e n(Ai1 ∩Ai2 ∩

Ai3) = n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = (n − 3)!...

n(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = 1 =(

n

n

)Então:

Dn = n! −(

n

1

)n(Ai) +

(n

2

)n(Ai1 ∩ Ai2) −

(n

3

)n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3) + . . . +

+(−1)nn(A1 ∩ A2 ∩ A3 + . . . + An)

= n! −(

n

1

)(n − 1)! +

(n

2

)(n − 2)!

(n

3

)(n − 3)! + . . . + (−1)n1

= n! − n!1!(n − 1)!

(n − 1)! + n!2!(n − 2)!

(n − 2)! − n!3!(n − 3)!

(n − 3)! + . . . +

+(−1)n n!n!(n − n)!

= n! − n!1!

+ n!2!

− n!3!

+ . . . + (−1)n n!n!

= n!(

1 − 11!

+ 12!

− 13!

+ . . . + (−1)n 1n!

).

�Utilizando a fórmula do teorema 2, podemos ver que o número de permutações

caóticas de 3 objetos abc é:

D3 = 3!( 1

1!+ 1

2!− 1

3!

)= 6

(3 − 16

)= 2.

As seis permutações abc, acb, bac, bca, cba e cab. Sendo as permutações caóticasde abc: bca e cab.

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Exemplo 3.3. Quantas permutações dos inteiros 1, 2, 3, 4, ..., 9, 10 tem exatamente4 dos números em suas posições originais.

Solução 3.3. Como são fixados os 4 números dentre 1, 2, 3, 4, ..., 9, 10, que perma-necem nas posições originais, então devemos escolher estes 4 números, o que pode

ser feito de

(104

)maneiras distintas, em seguida permutar os 6 números restantes

caoticamente. Logo a resposta do problema é:

(104

)· D6.

(104

)· D6 =

(104

)· 6! ·

(1 − 1

1!+ 1

2!− 1

3!+ 1

4!− 1

5!+ 1

6!

)

=(

104

)·(

6! − 6!1!

+ 6!2!

− 6!3!

+ 6!4!

− 6!5!

+ 6!6!

)

=(

104

)· (6 · 5 · 4 · 3 − 6 · 5 · 4 + 6 · 5 − 6 + 1) = 55.650.

Exemplo 3.4. Uma professora distribui nove livros diferentes para nove crianças.Um mês depois recolhe os livros e, novamente, distribui um livro para cada cri-ança. De quantas maneiras os livros podem ser distribuídos de modo que somentetrês crianças receba o mesmo livro desta vez?

Solução 3.4. Vamos escolher 3 crianças dentre as 9 para receber o mesmo livro,

que podemos fazer de

(93

)maneiras distintas. Daí restam 6 crianças que não

poderão receber o mesmo livro que podem ser distribuídos de D6 maneiras dife-rentes. Portanto a solução para o problema é:(

93

)· D6 =

(93

)· 6! ·

(1 − 1

1!+ 1

2!− 1

3!+ 1

4!− 1

5!+ 1

6!

)

=(

93

)· 265 = 22.260.

3.2 Contando funções sobrejetivas de domínio finito

Segue direto do princípio multiplicativo que o número de funções f de A emB, onde n(A) = t e n(B) = k é kt.

Consideremos o caso k = t, ou seja, A = {a1, a2, a3, ..., ak} eB = {b1, b2, b3, ..., bk} queremos determinar o número de funções f : A −→ Bbijetoras. De fato, temos k possíveis imagens para a1. Depois de escolhido aimagem para a1, temos k − 1 imagens para a2, pois f é bijetora. Fazendo isso su-cessivamente temos uma imagem para ak. Então segue do princípio multiplicativo

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3.2. CONTANDO FUNÇÕES SOBREJETIVAS DE DOMÍNIO FINITO 15

que o número de funções bijetoras de A em B é k!.No caso t ≤ k, então o número de funções injetoras de A em B é:

k(k − 1)...(k − t + 1).

De fato, se A = {a1, a2, a3, ..., at} e B = {b1, b2, b3, ..., bt, bt+1, ..., bk}. Te-mos k possíveis imagens para a1. Como f : A −→ B é injetora então temosk − 1 imagens para a2 depois de já ter escolhido imagens para a1. Fazendo issosucessivamente até o objeto at, vemos que há k − (t − 1) imagens possíveis paraat. Dessa forma, segue do princípio multiplicativo o resultado.

Considere A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {a, b, c, d}.Vamos definir as funções f : A −→ B e g : A −→ B, tais que:f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = a; f(5) = f(6) = b; f(7) = f(8) = c ef(9) = d;g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = a; g(5) = g(6) = b; g(7) = g(8) = g(9) = c;Im(f) = B e f é sobrejetora.Im(g) = {a, b, c} = B e g não é sobrejetora.Observe que g não é sobrejetora, pois dado d ∈ B não existe x ∈ A, tal qued = g(x), ou seja, a equação d = g(x) não tem solução em B.Dados A = {a1, a2, a3, ..., at}, B = {b1, b2, b3, ..., bk} e f : A −→ B, definimos:

f−1({bi}) = {x ∈ A; f(x) = bi}

Do exemplo anterior temos: f−1({a}) = {1, 2, 3, 4}; f−1({b}) = {5, 6};f−1({c}) = {7, 8}; f−1({d}) = {9};g−1({a}) = {1, 2, 3, 4}; g−1({b}) = {5, 6}; g−1({c}) = {7, 8, 9};f−1({d}) = ∅.Agora iremos contar as aplicações sobrejetoras f : A −→ B, onde n(A) = t en(B) = k, com t ≥ k.

Teorema 3. Para t ≤ k, o número de funções sobrejetoras f : A −→ B, onden(A) = t e n(B) = k, é dado por:

S(t, k) =k∑

i=0(−1)i

(k

j

)(k − i)t

Demonstração: Temos que existe kt funções f : A −→ B, então vamossubtrair deste total o número de funções f : A −→ B que não são sobrejetoras.Para isso, sejam A = {a1, a2, a3, ..., ak, a(k+1), ..., at}, B = {b1, b2, b3, ..., bk}.Sabemos que uma função f : A −→ B é sobrejetora se, e somente se, para todob ∈ B, existe a ∈ A, tal que b = f(a), ou seja, a equação b = f(a) tem soluçãoem B. Dessa forma, vamos definir para todo 1 ≤ i ≤ k:Ci= conjuntos de todas as funções f : A −→ B, tais que, f−1({bi}) = ∅, ou seja,f(a) = bi, ∀ a ∈ A.

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Como uma função f : A −→ B que não é sobrejetora pertence a pelo menosum dos C ′

is, então o conjunto formado pelas funções f : A −→ B que não sãosobrejetoras é:

C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ ... ∪ Ck.

Segue do princípio da inclusão e exclusão que

n(C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ ... ∪ Ck) =k∑

i=1n(Ci) −

∑1≤i1≤i2≤n

n(Ci1 ∩ Ci2)+

+∑

1≤i1≤i2≤i3≤n

n(Ci1 ∩ Ci2 ∩ Ci3) + ... + (−1)n−1n(C1 ∩ C2 ∩ C3 ∩ ... ∩ Ck)

Queremos saber o total de funções f : A −→ B, tal que, o elemento bi não secorresponde com elementos A. Nesse caso, esse número é n(Ci) = (k − 1)t,para i = 1, 2, ..., k. Agora queremos calcular n(Ci ∩ Cj), que é o total de fun-ções f : A −→ B, tal que, o elemento bi e bj não se corresponde com elementosde A. Logo n(Ci ∩ Cj) = (k − 2)t para todo 1 ≤ i < j ≤ n. De maneiraanáloga, temos n(Ci ∩ Cj ∩ Cl) = (k − 3)t para todo 1 ≤ i < j < l ≤ n. En(C1 ∩ C2 ∩ C3 ∩ ... ∩ Ck) = 0 = (k − k)t.Além disso, temos:(

n

1

)termos na soma

∑ni=1 n(Ci) e n(Ci) = n(C1) = (k − 1)t(

n

2

)termos na

∑1≤i1≤i2≤n n(Ci1 ∩Ci2) e n(Ci1 ∩Ci2) = n(C1 ∩C2) = (k−2)t(

n

3

)termos em

∑1≤i1≤i2≤i3≤n n(Ci1 ∩ Ci2 ∩ Ci3) e n(C1 ∩ C2 ∩ C3) = (k − 3)t

...(n

n

)= 1 termo em (−1)n−1n(C1 ∩ C2 ∩ C3 ∩ ... ∩ Ck) = (k − k)t.

Portanto

n(C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ ... ∪ Ck) =(

n

1

)n(C1) −

(n

2

)n(C1 ∩ C2)+

+(

n

3

)n(C1 ∩ C2 ∩ C3) + ... + (−1)k−1n(C1 ∩ C2 ∩ ... ∩ Ck)

=(

n

1

)(k − 1)t −

(n

2

)(k − 2)t +

(n

3

)(k − 3)t + ...+

+(−1)k−1(k − k)t =k∑

i=1(−1)i−1

(n

i

)(k − i)t.

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3.3. DIVISIBILIDADE E NÚMEROS PRIMOS. 17

Subtraindo n(C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ ... ∪ Ck) do total kt obtemos o resultado:

S(t, k) = kt −k∑

i=1(−1)i−1

(n

i

)(k − i)t

= kt +k∑

i=1(−1)i

(n

i

)(k − i)t =

k∑i=0

(−1)i

(n

i

)(k − i)t.

�

3.3 Divisibilidade e Números Primos.

Iremos explorar, nesta seção seguindo as ideias dadas em [5] e [7] os conceitosde divisibilidade, números primos e o máximo divisor comum e as suas respectivasrelações com o princípio de inclusão e exclusão. Para isso, usaremos a notação [x]para indicar o maior inteiro menor do que ou igual ao número real x. Para qualquerinteiro positivo a e b > 0, temos que existem inteiros q, r, tais que a = bq + r,onde r = 0 ou r < b. Quando r = 0, dizemos que a é divisível por b, ou a émúltiplo de b ou ainda, b é um divisor de a.

Observe que:a

b= q+ r

be

r

b< 1. Logo,

[a

b

]=[q + r

b

]= q, onde é chamado

de quociente da divisão de a por b.

Exemplo 3.5. Quantos são os inteiros entre 1 e 3.600, inclusive, que são divisíveispor 3, 5 ou 7?

Solução 3.5. Para isso vamos definir:A= conjunto dos números entre 1 e 3.600, inclusive, que são divisíveis por 3;B= conjunto dos números entre 1 e 3.600, inclusive, que são divisíveis por 5;C=conjunto dos números entre 1 e 3.600, inclusive, que são divisíveis por 7;A ∩ B= conjunto dos números entre 1 e 3.600, inclusive, que são divisíveis por 3e 5;A ∩ C= conjunto dos números entre 1 e 3.600, inclusive, que são divisíveis por 3e 7;B ∩ C= conjunto dos números entre 1 e 3.600, inclusive, que são divisíveis por 5e 7;A∩B ∩C=conjunto dos números entre 1 e 3.600, inclusive, que são divisíveis por3, 5 e 7.Temos que:

n(A) =[3600

3

]= 1200; n(B) =

[36005

]= 720; n(C) =

[36007

]= 514;

n(A ∩ B) =[3600

3 · 5

]=[3600

15

]= 240;

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n(A ∩ B) =[3600

3 · 7

]=[3600

21

]= 171;

n(B ∩ C) =[3600

5 · 7

]=[3600

35

]= 102;

n(A ∩ B ∩ C) =[ 3600

3 · 5 · 7

]=[3600

105

]= 34.

Portanto a resposta para o nosso exemplo é:

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) ++n(A ∩ B ∩ C)

= 1200 + 720 + 514 − 240 − 171 − 102 + 34 = 1955.

Usaremos o princípio de inclusão e exclusão para validar o caso geral do exem-plo 3.5, que enunciamos no teorema 4:

Teorema 4. Dado um número inteiro m > 0 e sendo p1, p2, p3, ..., pr números me-nores ou iguais m e primos entre si. Então a quantidade de inteiros positivos meno-res ou iguais a m que não são divisíveis por nenhum dos números p1, p2, p3, ..., pr

é dada pela fórmula:

m −r∑

i=1

[m

pi

]+

∑1≤i≤j≤r

[m

pipj

]+ ... + (−1)r ·

[m

p1, p2, ..., pr

]

Demonstração: A demonstração consiste em: dos números de 1 até m vamosretirar todos aqueles que são divisíveis por p1 ou p2 ou p3 ou ... ou pr e assimteremos todos aqueles que não são divisíveis por nenhum desses números. Paraisso vamos definir:

A = {1, 2, 3, ..., m};A1 = {x ∈ A; x = p1k1, k1 ∈ N};A2 = {x ∈ A; x = p2k2, k2 ∈ N};A3 = {x ∈ A; x = p3k3, k3 ∈ N};

...

Ar = {x ∈ A; x = prkr, kr ∈ N};

De fato,

n(A) − n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ Ar) = m −r∑

i=1

[m

pi

]+

∑1≤i≤j≤r

[m

pipj

]+

+... + (−1)r ·[

m

p1, p2, ..., pr

],

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3.3. DIVISIBILIDADE E NÚMEROS PRIMOS. 19

Pois,

n(A1) =[

m

p1

]; n(A2) =

[m

p2

]; n(A3) =

[m

p3

], ..., n(Ar) =

[m

pr

]n(Ai ∩ Aj) =

[m

pipj

], ∀1 ≤ i < j ≤ r;

n(Ai ∩ Aj ∩ Al) =[

m

pipjpl

], ∀1 ≤ i < j < l ≤ r;

...n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ Ar) =

[m

p1p2p3...pr

]. �

Exemplo 3.6. Quantos são os inteiros entre 1 e 42.000, inclusive, que não sãodivisíveis por 2, por 3 e nem por 7?

Solução 3.6. Para isso vamos definir:

A = {1, 2, 3, ..., 42000};A1 = {x ∈ A; x = 2k, k ∈ N};A2 = {x ∈ A; x = 3k, k ∈ N};A3 = {x ∈ A; x = 7k, k ∈ N}.

A resposta do exemplo é: n(A) − n(A1 ∪ A2 ∪ A3). Temos que:

n(A1) =[42000

2

]= 21000; n(A2) =

[420003

]= 14000; n(A3) =

[420007

]=

6000.

n(A1 ∩ A2) =[42000

2 · 3

]=[42000

6

]= 7000;

n(A1 ∩ A3) =[42000

2 · 7

]=[42000

14

]= 3000;

n(A2 ∩ A3) =[42000

3 · 7

]=[42000

21

]= 2000;

n(A1 ∩ A2 ∩ A3) =[ 42000

2 · 3 · 7

]=[42000

42

]= 1000;

Portanto a resposta para o nosso exemplo é:

n(A) − n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = n(A) − n(A1) − n(A2) − n(A3) + n(A1 ∩ A2)++n(A1 ∩ A3) + n(A2 ∩ A3) − n(A1 ∩ A2 ∩ A3)

= 42000 − 21000 − 14000 − 6000 + 7000 + 3000 + 2000 − 1000 = 12000

Usando o fato que um número inteiro composto é divisível por um númeroprimo não excedente a sua raiz quadrada podemos encontrar a quantidade de nú-meros primos não excedentes a 100, por meio do princípio de inclusão e exclusão,de acordo com exemplo dado em [7], essa ideia será explorada nesse trabalho.

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Exemplo 3.7. Encontrar a quantidade de números primos não excedentes a 100.

Solução 3.7. Os números compostos não excedentes a 100 deve ter um fator primonão excedente a 10. Desta forma precisamos encontrar a quantidade de inteirospositivos menores ou iguais a 100 que não são divisíveis por nenhum dos primos2, 3, 5 e 7 e depois somar esses 4 primos que não entraram nessa contagem.A quantidade de inteiros positivos menores ou iguais a 100 que não são divisíveispor nenhum dos primos 2, 3, 5 e 7 é:

100 −[100

2

]−[100

3

]−[100

5

]−[100

7

]+[ 100

2 · 3

]+[ 100

2 · 5

]+[ 100

2 · 7

]+

+[ 100

3 · 5

]+[ 100

3 · 7

]+[ 100

5 · 7

]−[ 100

2 · 3 · 7

]−[ 100

2 · 5 · 7

]−[ 100

3 · 5 · 7

]−

−[ 100

2 · 3 · 5

]+[ 100

2 · 3 · 5 · 7

]= 100 − 50 − 33 − 20 − 14 + 16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2 − 2 − 1 − 0 − 3 + 0 = 22.

Temos que 22 é o total de números não divisíveis por 2, 3, 5 e 7.Como 1 não é primo e um entra nesse total 22, então temos 21 números primosmaiores do que 7 e menores do que 100.Somando 21 com 4 que são os primos 2, 3, 5 e 7 que não entraram na contagemacima temos no total 21 + 4 = 25 números primos que não excedem 100. A tabelaabaixo ilustra esses 25 primos que é o total que acabamos de encontrar.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

3.4 A Função ϕ de Euler

Definição 3.2. Chamamos de função ϕ de Euler a função que atribui a cada inteiropositivo o número de inteiros menores ou iguais a m relativamente primos com m.Ou seja, ϕ : N − {0} → N; ϕ(s) = n({x ∈ N; 1 ≤ x ≤ s e mdc(x, s) = 1})

Por meio do princípio de inclusão e exclusão iremos validar a fórmula para ocálculo de ϕ(m), onde m é um natural maior do que 1 dado no Teorema 5.

Segue da definição que ϕ(1) = 1.

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3.4. A FUNÇÃO ϕ DE EULER 21

Teorema 5. Seja m > 1 e m = pα11 pα2

2 . . . pαrr a decomposição de m em fatores

primos. O valor de ϕ(m) é dado por:

ϕ(m) = m

(1 − 1

p1

)(1 − 1

p2

)...

(1 − 1

pr

).

Demonstração: A estratégia da demonstração consiste: dos números de 1 atém, vamos retirar todos aqueles que são divisíveis por p1 ou p2 ou p3 ou ... ou pr eassim teremos todos aqueles que não são divisíveis por nenhum desses números.Para isso vamos definir:

A = {1, 2, 3, ..., m};A1 = {x ∈ A; x = p1k1, k1 ∈ N};A2 = {x ∈ A; x = p2k2, k2 ∈ N};A3 = {x ∈ A; x = p3k3, k3 ∈ N};

...

Ar = {x ∈ A; x = prkr, kr ∈ N};

Como ϕ(m) é o número de elementos no complementar da união dos A′is em A,

temos:

ϕ(m) = m − n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ Ar) =

= m −r∑

i=1n(Ai) +

∑1≤i<j≤r

n(Ai ∩ Aj) + ... + (−1)r · n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ Ar).

Temos que:n(A1) = m

p1; n(A2) = m

p2; n(A3) = m

p3, ..., n(Ar) = m

pr

n(Ai ∩ Aj) = m

pi · pj, ∀1 ≤ i < j ≤ r;

n(Ai ∩ Aj ∩ Al) = m

pi · pj · pl, ∀1 ≤ i < j < l ≤ r;

...n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ Ar) = m

p1 · p2 · p3...pr.

Portanto

ϕ(m) = m −r∑

i=1

m

p1+

∑1≤i<j≤r

m

pi · pj+ ... + (−1)r · m

p1 · p2 · p3...pr

= m

1 −r∑

i=1

1p1

+∑

1≤i<j≤r

1pi · pj

+ ... + (−1)r · 1p1 · p2 · p3...pr

= m

(1 − 1

p1

)(1 − 1

p2

)...

(1 − 1

pr

)�

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3.5 Soluções de Equações lineares em N com coeficientesunitários

Para finalizar o trabalho, iremos abordar as equações lineares com coeficientesunitários, cujas soluções estão restritas a subconjunto dos números naturais e ve-remos diversos problemas dessa natureza enfatizando a utilidade do princípio dainclusão nesse contexto.

A ideia dessa seção é baseada em [5], inclusive alguns exemplos e a demons-trações de certos resultados foram retirados dessa bibliografia.

Para isso vamos descrever primeiramente, o número de solução inteiras de umaequação da forma x1 + x2 + ... + xr = m, onde xi, para i = 1, 2, ..., r e m sãointeiros. Por exemplo,

x1 + x2 = 5.

Se exigirmos que x1, x2 sejam inteiros, não vamos ter um número finito desoluções. Pois x1 = 5 − x2, fazendo x2 variar no conjunto dos inteiros temos umainfinidade de valores para x1.

Se restringirmos as soluções ao conjunto dos inteiros positivos obtemos umnúmero finito de soluções, e as soluções inteiras positivas de x1 + x2 = 5:

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).

Nesse caso são quatro soluções.Nosso próximo passo é determinar uma fórmula que faça essa contagem, para

isso vamos considerar em particular a equação:

x1 + x2 + x3 + x4 = 11, x1, x2, x3, x4 ≥ 1 (3.1)

Soluções inteiras para 3.1 são quádruplas ordenadas (x1, x2, x3, x4) de inteirospositivos cuja soma é 11, por exemplo (2, 2, 4, 3), (1, 8, 1, 1), (3, 4, 2, 2).

Com objetivo de contar todas as soluções positivas de 3.1, vamos escrever 11como soma de onze 1′s, ou seja,

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 11 (3.2)

Iremos separar 11 em parcelas de 1′s em quatro parcelas, sendo cada elas uminteiro positivo. Para isso vamos colocar três barras (|) entre os 1′s em 3.2. Porexemplo,

1 + 1︸︷︷︸2

| +1 + 1︸︷︷︸2

| +1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸4

| +1 + 1 + 1︸︷︷︸3

= 11,

e temos a solução (2, 2, 4, 3).Observe que temos 10 sinais de + entre os onze 1′s e queremos colocar as 3

barras dentre os 10 sinais de + que separam os 1′s.

(1, 8, 1, 1) → 1| + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1| + 1| + 1 = 11

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3.5. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES LINEARES EM N COM COEFICIENTES UNITÁRIOS23

(3, 4, 2, 2) → 1 + 1 + 1| + 1 + 1 + 1 + 1| + 1 + 1| + 1 + 1 = 11.

Portanto o nosso problema resume-se em escolhermos três dentro os 10 sinais ”+”para colocarmos as 3 barras separadoras.

+ + + + + + + + +

Portanto a solução do problema é

(103

)Proposição 3. O número de soluções inteiras positivas da equação

x1 + x2 + ... + xr = m, (3.3)

onde xi, para i = 1, 2, ..., r e m são inteiros é igual a

(m − 1r − 1

).

Demonstração: Como estamos interessados em expressar o inteiro positivo mcomo soma de r inteiros positivos basta colocarmos r − 1 barras divisoras entre osm1′s. Como cada possível distribuição das barras corresponde uma única soluçãopara a equação 3.3, basta contarmos de quantas formas isto pode ser feito. Deve-mos selecionar r − 1 dos m − 1 possíveis locais (os sinais ” + ” que separam os1′s) para a colocação das barras divisoras, o que pode ser feito de

(m−1r−1

)maneiras

diferentes.�

O número de soluções positivas inteiras de x1 + x2 = 5 é

(5 − 12 − 1

)=(

41

)=

4, como tínhamos visto anteriormente.Nossa próxima questão é determinar o número de soluções da equação 3.3

não negativas, ou seja, xi ≥ 0, para i = 1, 2, ..., r. Por exemplo, (5, 0) e (0, 5) são

soluções de x1 +x2 = 5. Nesse caso é 4+2 = 6 =(

5 + 2 − 12 − 1

)=(

5 + 2 − 15

).

Proposição 4. Sejam xi e m inteiros. O número de soluçes inteiras não negativasda equação

x1 + x2 + ... + xr = m, xi ≥ 0 (3.4)

é igual a

(m + r − 1

r − 1

)=(

m + r − 1r

).

Demostração:Some 1 em cada variável x1, x2, ..., xr e dai obtemos 3.4 é equi-valente a

(x1 + 1) + (x2 + 1) + ... + (xr + 1) = m + r, xi + 1 ≥ 1.

Faça yi = xi + 1 e observe que yi ≥ 1.Então 3.4 é equivalente a

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y1 + y2 + ... + yr = m + r, yi ≥ 1 (3.5)

As soluções de 3.5 são soluçes de 3.4 e vice-versa. Portanto segue da proposi-

ção 4 que o número de soluçes de 3.4 é igual a

(m + r − 1

r

). �

Exemplo 3.8. Encontrar o número de soluções em inteiros não negativos da equa-ção

x1 + x2 + x3 = 16 onde xi ≤ 7. (3.6)

Solução 3.8. O número de soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + x3 = 16

é

(16 + 3 − 1

3 − 1

)=(

182

)= 18!

16!2!= 18 · 17

2= 9 · 17 = 153. Queremos as

soluções (x1, x2, x3) tal que 0 ≤ xi ≤ 7.Vamos calcular todas as soluções em que x1 > 7 ou x2 > 7 ou x3 > 7 e sub-

trair do total 153 e esse valor é total de soluções de 3.6. Para isso vamos definir:A1= conjunto das soluçes (x1, x2, x3) de x1 + x2 + x3 = 16, com x1 > 7;A2= conjunto das soluções (x1, x2, x3) de x1 + x2 + x3 = 16, com x2 > 7;A3= conjunto das soluções (x1, x2, x3) de x1 + x2 + x3 = 16, com x3 > 7;A1 ∩ A2= conjunto das soluções (x1, x2, x3) de x1 + x2 + x3 = 16, com x1 > 7e x2 > 7;A1 ∩ A3= conjunto das soluções (x1, x2, x3) de x1 + x2 + x3 = 16, com x1 > 7e x3 > 7;A2 ∩ A3=conjunto das soluções (x1, x2, x3) de x1 + x2 + x3 = 16, com x2 > 7 ex3 > 7;A1 ∩ A2 ∩ A3= conjunto das soluções (x1, x2, x3) de x1 + x2 + x3 = 16, comx1 > 7, x2 > 7 e x3 > 7.Vamos calcular n(A1)x1 + x2 + x3 = 16, com x1 > 7 e x2, x3 ≥ 0. Os outros casos são análogos:n(A2) e n(A3).Faça y1 = x1 − 7 e y2 = x2; y3 = x3, então temos que nossa equação é equi-valente a y1 + y2 + y3 = 9 com y1 > 0 e y2, y3 ≥ 0. Agora faça z1 = y1 − 1 ez2 = z2; z3 = x3, então temos que nossa equação é equivalente a z1 +z2 +z3 = 8com z1, z2, z3 ≥ 0.

O número de soluções inteiras não negativas de z1 +z2 +z3 = 8 é

(8 + 3 − 1

3 − 1

)=(

102

)= 5 · 9 = 45. Logo n(A1) = 45.

Analogamente temos n(A2) = n(A3) = 45.Vamos calcular n(A1 ∩ A2), os casos n(A1 ∩ A3) e n(A2 ∩ A3) são análogos.n(A1 ∩ A2) é total de soluções de x1 + x2 + x3 = 16, com x1 > 7 e x2 > 7 ex3 ≥ 0.Faça y1 = x1 − 7 e y2 = x2 − 7; y3 = x3, então temos que nossa equação é

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3.5. SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES LINEARES EM N COM COEFICIENTES UNITÁRIOS25

equivalente a y1 + y2 + y3 = 2 com y1 > 0 e y2 > 0, y3 ≥ 0. Agora façaz1 = y1 − 1, z2 = z2 − 1 e z3 = x3, então temos que nossa equação é equivalentea z1 + z2 + z3 = 0 com z1, z2, z3 ≥ 0.

O número de soluções inteiras não negativas de z1+z2+z3 = 0 ’e

(0 + 3 − 1

3 − 1

)=(

22

)= 1. Logo n(A1∩A2) = 1. Analogamente, n(A1∩A3) = n(A2∩A3) = 1. A

equação x1+x2+x3 = 16, onde xi > 7 não tem solução por 7+7+7 = 21 > 16,logo n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0.A resposta do problema é 153 − 3 · 45 + 3 · 1 = 21.

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Referências Bibliográficas

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[2] LITTLE, R. W. Elasticity. New Jersey: Prentice-Hall, 1973.

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[5] SANTOS, J.P. O. E MURARI , I. T. C. Introdução à Análise Combinatória.3 Ed. Editora da Unicamp. 2002.

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[7] SANTOS, L. G.M. O Problema de Lucas, Monografia apresentada ao pro-grama de Pós-graduação em Matemática do Departamento de Matemática daUFMG, Belo Horizonte, 2011.

[8] MEC. PCN - PARAMETROS NACIONAISDO ENSINO MÉDIO.portal.mec.gov.br. 2000.www.portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf(acesso em 05 de agos. de 2015).

[9] MORGADO, AUGUSTO CEZAR DE O, et al. Análise Combinatória e Pro-babilidade. Rio de Janeiro: SBM, 1991.

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COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA

• Logaritmos- E. L. Lima• AnáliseCombinatóriaeProbabilidadecomassoluçõesdosexercícios- A. C. Morgado, J. B.

Pitombeira, P. C. P. Carvalho e P. Fernandez• MedidaeFormaemGeometria(Comprimento,Área,VolumeeSemelhança)- E. L. Lima• MeuProfessordeMatemáticaeoutrasHistórias- E. L. Lima• CoordenadasnoPlanoassoluçõesdosexercícios-E. L. Lima com a colaboração de P. C. P.

Carvalho• Trigonometria,NúmerosComplexos-M. P. do Carmo, A. C. Morgado e E. Wagner, Notas

Históricas de J. B. Pitombeira• CoordenadasnoEspaço-E. L. Lima• ProgressõeseMatemáticaFinanceira- A. C. Morgado, E. Wagner e S. C. Zani• ConstruçõesGeométricas- E. Wagner com a colaboração de J. P. Q. Carneiro• IntroduçãoàGeometriaEspacial- P. C. P. Carvalho• GeometriaEuclidianaPlana-J. L. M. Barbosa• Isometrias- E. L. Lima• AMatemáticadoEnsinoMédioVol.1- E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado• AMatemáticadoEnsinoMédioVol.2- E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado• AMatemáticadoEnsinoMédioVol.3- E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado• MatemáticaeEnsino- E. L. Lima• TemaseProblemas-E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado• EpisódiosdaHistóriaAntigadaMatemática- A. Aaboe• ExamedeTextos:AnálisedelivrosdeMatemática-E. L. Lima• AMatemáticadoEnsinoMedioVol.4-ExercicioseSoluções- E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E.

Wagner e A. C. Morgado• ConstruçõesGeométricas:ExercícioseSoluções- S. Lima Netto• UmConviteàMatemática-D.C de Morais Filho• TópicosdeMatemáticaElementar- Volume 1 - Números Reais - A. Caminha• TópicosdeMatemáticaElementar-Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - A. Caminha• TópicosdeMatemáticaElementar- Volume 3 - Introdução à Análise - A. Caminha• TópicosdeMatemáticaElementar- Volume 4 - Combinatória - A. Caminha• TópicosdeMatemáticaElementar- Volume 5 - Teoria dos Números - A. Caminha• TópicosdeMatemáticaElementar- Volume 6 - Polinômios - A. Caminha• TrezeViagenspeloMundodaMatemática- C. Correia de Sa e J. Rocha (editores)• ComoResolverProblemasMatemáticos-T. Tao• GeometriaemSaladeAula- A. C. P. Hellmeister (Comitê Editorial da RPM)• NúmerosPrimos,amigosquecausamproblemas-P. Ribenboim• ManualdeRedaçãoMatemática - D.C de Morais Filho

COLEÇÃO PROFMAT

• IntroduçãoàÁlgebraLinear-A. Hefez e C.S. Fernandez• TópicosdeTeoriadosNúmeros-C. G. Moreira , F. E Brochero e N. C. Saldanha• PolinômioseEquaçõesAlgébricas-A. Hefez e M.L. Villela• TópicosdeHistoriadeMatemática- T. Roque e J. Bosco Pitombeira• RecursosComputacionaisnoEnsinodeMatemática- V. Giraldo, P. Caetano e F. Mattos• TemaseProblemasElementares- E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado• NúmeroseFunçõesReais-E. L. Lima• Aritmética-A. Hefez• Geometria-A. Caminha• AvaliaçãoEducacional- M. Rabelo• GeometriaAnalítica - J. Delgado, K. Frensel e L. Crissaff• MatemáticaDiscreta-A. Morgado e P. C. P. Carvalho• MatemáticaeAtualidade-Volume1- C. Rousseau e Y. Saint-Aubin• FundamentosdeCálculo- A. C. Muniz Neto• MatemáticaeAtualidade-Volume2- C. Rousseau e Y. Saint-Aubin• ExercíciosResolvidosdeÁlgebraLinear-A. Hefez e C. de Souza Fernandez• ExercíciosResolvidosdeAritmética- A. Hefez

COLEÇÃO INICIAÇÃO CIENTÍFICA

• NúmerosIrracionaiseTranscendentes- D. G. de Figueiredo• NúmerosRacionaiseIrracionais- I. Niven• TópicosEspeciaisemÁlgebra- J. F. S. Andrade

COLEÇÃO TEXTOS UNIVERSITÁRIOS

• IntroduçãoàComputaçãoAlgébricacomoMaple- L. N. de Andrade• ElementosdeAritmética-A. Hefez• MétodosMatemáticosparaaEngenharia-E. C. de Oliveira e M. Tygel• GeometriaDiferencialdeCurvaseSuperfícies- M. P. do Carmo• MatemáticaDiscreta- L. Lovász, J. Pelikán e K. Vesztergombi• ÁlgebraLinear:UmsegundoCurso- H. P. Bueno• IntroduçãoàsFunçõesdeumaVariávelComplexa-C. S. Fernandez e N. C. Bernardes Jr.• ElementosdeTopologiaGeral- E. L. Lima• AConstruçãodosNúmeros- J. Ferreira• IntroduçãoàGeometriaProjetiva- A. Barros e P. Andrade• AnáliseVetorialClássica- F. Acker• Funções,LimiteseContinuidade - P. Ribenboim• FundamentosdeAnáliseFuncional - G. Botelho, D. Pellegrino e E. Teixeira• TeoriadosNúmerosTranscendentes- D. Marques• IntroduçãoàGeometriaHiperbólica-OmodelodePoincaré- P. Andrade• ÁlgebraLinear:TeoriaeAplicações - T. P. de Araújo• IntroduçãoàAnáliseMatemáticanaReta - C. I. Doering

• TopologiaeAnálisenoEspaçoRn - R. Freire de Lima• EquaçõesOrdináriaseAplicações - B. Scárdua

COLEÇÃO MATEMÁTICA APLICADA

• IntroduçãoàInferênciaEstatística-H. Bolfarine e M. Sandoval• DiscretizaçãodeEquaçõesDiferenciaisParciais- J. Cuminato e M. Meneguette• FenômenosdeTransferência–comAplicaçõesàsCiênciasFísicaseàEngenhariavolume1:

Fundamentos - J. Pontes e N. Mangiavacchi

COLEÇÃO OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA

• OlimpíadasBrasileirasdeMatemática,1ªa8ª- E. Mega e R. Watanabe• OlimpíadasBrasileirasdeMatemática,9ªa16ª- C. Moreira e E. Motta, E. Tengan, L. Amâncio,

N. C. Saldanha e P. Rodrigues• 21AulasdeMatemáticaOlímpica- C. Y. Sh• IniciaçãoàMatemática:UmCursocomProblemaseSoluções- K. I. M. Oliveira e A. J. C.

Fernández• OlimpíadasCearensesdeMatemática1981-2005NívelFundamental-E. Carneiro, O. Campos e

M.Paiva• OlimpíadasCearensesdeMatemática1981-2005NívelMédio- E. Carneiro, O. Campos e M.Paiva• OlimpíadasBrasileirasdeMatemática-17ªa24ª- C. G. T. de A. Moreira, C. Y. Shine, E. L. R.

Motta, E. Tengan e N. C. Saldanha

COLEÇÃO FRONTEIRAS DA MATEMÁTICA

• FundamentosdaTeoriaErgódica-M.Viana e K. Oliveira• TópicosdeGeometriaDiferencial - A. C. Muniz Neto• FormasDiferenciaiseAplicações- M. Perdigão do Carmo

COLEÇÃO MATEMÁTICA PARA O ENSINO

• LivrodoProfessordeMatemáticanaEducaçãoBásicaVolumeINúmerosNaturais- C. Ripoll, L. Rangel e V. Giraldo

• LivrodoProfessordeMatemáticanaEducaçãoBásicaVolumeIINúmerosInteiros-C. Ripoll, L. Rangel e V. Giraldo

aplicaÇÕes do princÍpio de inclusÃo e exclusÃo de inclusao e exclusao... · os jogos de azar,...

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