Aplicações de integração

Cálculo 2– Prof. Aline Paliga

Áreas entre curvas

Nós já definimos e calculamos áreas de regiões que estão sob os gráficos de funções. Aqui nós estamos usando integrais para encontrar áreas de regiões entre os gráficos de duas funções. Considere a região S que está entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) e entre as retas verticais x=a e x=b, onde f e g são funções contínuas e f(x)≥g(x) para todo x em [a,b].

( , ) / , ( ) ( )S x y a x b g x y f x

Assim como fizemos em aula passada, dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base Δx e . A soma de Riemann é portanto uma aproximação que nós intuitivamente pensamos da área de S. Esta aproximação parece melhorar quando . Portanto nós definimos a área A de S como o valor do limite da soma das áreas destes retângulos aproximadores:

* *

1

n

i i

i

f x g x x

* *

i if x g x

* *

1

limn

i in

i

A f x g x x

n

A área A da região limitada pelas curvas é então: Notamos que se g(x)=0, S é a região sob o gráfico de f, e nossa definição acima é reduzida à definição anteriormente estudada. Se f e g forem positivas:

b

aA f x g x dx

[ ( )] [ ( )]

=

b b

a a

b

a

A área sob y f x área sob y g x

f x dx g x dx

f x g x dx

EXEMPLO 1: Encontre a área da região limitada por cima Por y=ex e por baixo por y=x, e limitada pelos lados por x=0 e x=1. RESOLUÇÃO:

1 1 1

0 0 0

12 2 2

11 0

00

( )

1 0

2 2 2

1 31 . .

2 2

x x

x

A e x dx e dx xdx

xe e e

e e u a

EXEMPLO 2: Encontre a área da região entre as parábolas y=x2 e y=2x-x2 . RESOLUÇÃO: Nós primeiro encontramos os pontos de intersecção das parábolas resolvendo suas equações simultaneamente.

2 2

2

2

1

2

2

2 2

0

( 1) 0 0 1

0 0 I (0,0)

1 1 I (1,1)

x x x

x x

x x

x x x e x

x y

x y

1 12 2 2

0 0

1 1 12 2

0 0 0

1 12 3 2 2 3 3

0 0

(2 ) 2 2

2 2 2

1 0 1 02 2 2

2 3 2 2 3 3

2 11 . .

3 3

A x x x dx x x dx

x x dx xdx x dx

x x

u a

Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função de y. Se uma região é limitada por curvas com equações x=f(y), x=g(y), y=c e y=d, onde f e g são contínuas e f(y)≥g(y) para c≤y≤d, então sua área é:

d

cA f y g y dy

EXEMPLO 3: Encontre a área limitada pela reta y=x-1 e pela parábola y2=2x+6. RESOLUÇÃO: Colocando x como função de y nas duas equações:

2 2

2

2

1 1

2 6 6 2

6

2

32

y x x y

y x y x

yx

yx

Depois encontramos os pontos de intersecção da parábola e da reta resolvendo suas equações simultaneamente.

2

2

2

2

2

2

1

2

1 32

61

2

2( 1) 6

2 2 6

2 8 0

( 2) ( 2) 4.1.( 8)

2.1

2 64 y 2

2

2 1 2 1 1 I (-1,-2)

4 1 4 1 5 I (5,4)

yy

yy

y y

y y

y y

y

y y e

y x y

y x y

24 4

2

2 2

4 4 42

2 2 2

4 43 2

4

2

2 2

3 23 2

1( 1) 3 4

2 2

14

2

14

2 3 2

2 21 4 44 4 ( 2)

2 3 3 2 2

81 64 16 44 6

2 3 3 2 2

yA y dy y y dy

y dy ydy dy

y yy

1 72 1224 12 6 24 18 . .

2 3 2u a

Volumes

Na tentativa de encontrar o volume de um sólido nós nos deparamos com o mesmo tipo de problema para calcular áreas. Começando com um sólido simples chamado cilindro, que é limitado por uma região plana B1, chamada base, e a região B2 congruente em um plano paralelo. O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de retas perpendiculares à base que unem B1 e B2. Se á área da base é A e a altura (distância entre B1 e B2) é h, então o volume é:

V Ah

Para um sólido S que não é um cilindro, nós primeiro “cortamos” S em pedaços e aproximamos cada pedaço por um cilindro. Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite quando o número de partes se torna grande. Pense em fatiar S com uma faca através de x e calcular a área dessa fatia. A área A(x) varia quando x aumenta de a a b. seção transversal

Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais Δx usando os planos Px1, Px2,...Se escolhermos pontos de amostragem x*

i em [xi-1, xi], podemos aproximar a i-ésima fatia Si por um cilindro com área de base A(x*

i ) com “altura” Δx . Adicionando os volumes destas fatias, nós obtemos uma aproximação para o volume total:

*( )i iV S A x x

*

1

( )n

i

i

V A x x

Esta aproximação parece melhorar quando . Pense em tornar as fatias cada vez mais finas. Portanto, definimos o volume como o limite destas somas quando . Mas reconhecemos o limite da soma de Riemann como a integral definida, e assim temos o seguinte definição.

n

*

1

lim ( ) ( )n b

ian

i

V A x x A x dx

n

DEFINIÇÃO DE VOLUME Seja S um sólido que está entre x=a e x=b. Se a área da seção transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contínua, então o volume de S é:

EXEMPLO 1: Mostre que o volume de uma esfera de raio r é: RESOLUÇÃO: Se colocarmos a esfera de tal maneira que o seu centro esteja na origem, então o plano Px intercepta a esfera em um círculo cujo raio (pelo teorema de Pitágoras) é . Então a área da seção transversal é: Usando a definição de volume com a=-r e b=r, nós temos:

2 2y r x

34

3V r

2

2 2 2 2 2( )A x y r x r x

2 2( )r r

r rV A x dx r x dx

2 2 2 2r r r

r r rV r x dx r dx x dx

33 32 2

32 3 3 3

( )3 3 3

2 42 2 2 . .

3 3 3

r

r

r

r

rx rr x r r r

rr r r r r u v

Pela soma de Riemann: com 5 discos com 10 discos com 20 discos

EXEMPLO 2: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a curva de 0 a 1. RESOLUÇÃO: Se fizermos a rotação ao redor do eixo x, obteremos o sólido mostrado acima e se fatiarmos através do ponto x, obtemos um disco com raio . A área desta seção transversal é:

y x

2

( )A x x x

x

O sólido está entre x=0 e x=1; assim, o seu volume é:

12 2

1 1

0 00

1( )

2 2 2

xV A x dx xdx

EXEMPLO 3: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por ao redor de y.

3, y=8 e x=0y x

RESOLUÇÃO: Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e portanto Integrar em relação a y. Se nós fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio x onde : Então a área da seção transversal é: Como o sólido está entre y=0 e y=8, seu volume é:

3x y

2 2

2 33( )A y x y y

85

38 8 23

0 0

0

3.585 5

53 3 3

0

( )5

3

3 3 3 3 3 96 = 8 2 2 32 . .

5 5 5 5 5 5

yV A y dy y dy

y u v

13 5 3 5

1 12 4

0 00

1 1 2( ) ( ) . .

3 5 3 5 15

x xV A x dx x x dx u v

EXEMPLO 4: A região ℜ limitada pelas curvas y=x e y=x2 é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante: arruela (anel) Portanto temos:

22 2 2 4( ) ( )A x x x x x

Os sólidos dos exemplos 1-4 são chamados de sólidos de revolução, porque são obtidos pela rotação de uma região ao redor de um eixo. Então em geral, calculamos o volume de um sólido de revolução usando a fórmula básica da definição: ou e encontramos a A(x) ou A(y) por uma das seguintes maneiras: Se a seção transversal for um disco (exemplo 1 a 3), nós encontramos o raio do disco (em termos de x ou y) e usamos: Se a seção for uma arruela (exemplo 4), encontramos o raio interno rint e o raio externo rext e calculamos a área da arruela subtraindo a área do disco interno da área do disco externo:

( )b

aV A x dx ( )

d

cV A y dy

2( )A raio

2 2( externo) ( interno)A raio raio