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APLICAÇÃO DE UM MÉTODO DE PENALIZAÇÃO ADAPTATIVA EM
SISTEMAS IMUNOLÓGICOS ARTIFICIAIS PARA A OTIMIZAÇÃO DE
PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES
Rodrigo Ribeiro de Lucena
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos necessários
a obtenção do título de Mestre em Engenharia
Civil.
Orientadora: Beatriz de Souza Leite Pires de
Lima
Rio de Janeiro
Junho de 2011
APLICAÇÃO DE UM MÉTODO DE PENALIZAÇÃO ADAPTATIVA EM
SISTEMAS IMUNOLÓGICOS ARTIFICIAIS PARA A OTIMIZAÇÃO DE
PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES
Rodrigo Ribeiro de Lucena
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Examinada por:
________________________________________________
Profª. Beatriz de Souza Leite Pires de Lima, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Carl Horst Albrecht, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Afonso Celso de Castro Lemonge, D.Sc
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JUNHO DE 2011
iii
Lucena, Rodrigo Ribeiro de
Aplicação de um Método de Penalização Adaptativa
em Sistemas Imunológicos Artificiais para a Otimização
de Problemas com Restrições / Rodrigo Ribeiro de Lucena
– Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
X, 63 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadora: Beatriz de Souza Leite Pires de Lima.
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Civil, 2011.
Referencias Bibliográficas: p. 55-59.
1. Otimização. 2. Algoritmos Evolutivos Bio-
Inspirados. 3. Sistemas Imunológicos Artificias. 4.
Tratamento de Restrições. 5. Rota de Dutos Submarinos. I
Lima, Beatriz de Souza Leite Pires. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de
Engenharia Civil. III. Título.
iv
Agradecimentos
À Deus pela sua grandeza e bondade imensuráveis.
Dedico este trabalho à minha família: meus pais Pedro e Thereza, que sempre
incentivaram e investiram na minha educação, tanto moral quanto intelectual. Aos meus
irmãos Alexandre e Fernanda e o meu sobrinho Andrey.
À professora Beatriz S. L. P. de Lima, pela paciência, orientação, amizade e
motivação, fundamentais na realização desta dissertação.
Aos professores Breno Jacob e Carl Horst Albrecht, pelas instruções e ajuda no
desenvolvimento do trabalho.
Aos meus verdadeiros amigos e aos colegas de trabalho do LAMCSO
(Laboratório de Métodos Computacionais em Sistemas Offshore) que foram essenciais
para a realização deste trabalho.
Ao CNPQ pelo fundo de amparo concedido durante todo o desenvolvimento
deste trabalho.
Enfim, agradeço a todos que contribuíram direta ou indiretamente na realização
deste trabalho.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
APLICAÇÃO DE UM MÉTODO DE PENALIZAÇÃO ADAPTATIVA EM
SISTEMAS IMUNOLÓGICOS ARTIFICIAIS PARA A OTIMIZAÇÃO DE
PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES
Rodrigo Ribeiro de Lucena
Junho/2011
Orientadora: Beatriz de Souza Leite Pires de Lima
Programa: Engenharia Civil
A descoberta de novas reservas de petróleo em águas cada vez mais profundas
vem ampliando o desafio dos projetistas e engenheiros devido à necessidade de
estruturas cada vez mais complexas e sujeitas às condições extremamente severas
impostas por este ambiente.
Desta forma, as restrições provenientes do ambiente real precisarão ser
simuladas e tratadas nas ferramentas computacionais responsáveis em otimizar
problemas reais de Engenharia offshore.
Neste trabalho, será verificada a eficácia de um método de penalização
adaptativa, aplicado à meta-heurística Sistemas Imunológicos Artificiais, para otimizar
uma rota de dutos submarinos, sujeita às restrições de um ambiente real.
Esta metodologia foi implementada em uma ferramenta computacional de
síntese e otimização de rota de dutos, desenvolvida por pesquisadores do Laboratório de
Métodos Computacionais e Sistemas Offshore (LAMCSO/COPPE/UFRJ), e se mostrou
bastante eficiente, quando comparada a uma técnica de penalização estática utilizada no
tratamento de restrições.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
APPLICATION OF A METHOD OF ADAPTIVE PENALTY IN ARTIFICIAL
IMMUNOLOGICAL SYSTEMS FOR OPTIMIZATION PROBLEMS WITH
RESTRICTIONS
Rodrigo Ribeiro de Lucena
June/2011
Advisor: Beatriz de Souza Leite Pires de Lima
Department: Civil Engineering
The discovery of new oil reserves in ever deeper waters has increased the
challenge for designers and engineers due to the need for increasingly complex
structures and subjected to extremely harsh conditions imposed by this environment.
In this way, the constraints from the real environment need to be simulated and treated
in computational tools that are responsible to optimize real problems for offshore
engineering.
In this work, will be checked the efficiency of an adaptive penalty method
applied to the meta-heuristic artificial immune systems, to optimize a submarine
pipelines route, subject to restrictions of a real environment.
This methodology was implemented in a computational tool for synthesis and
optimization of pipeline route, developed by researchers at the Laboratory of
Computational Methods and Offshore Systems (LAMCSO / COPPE / UFRJ), and was
very efficient when compared to a static penalty technique used in the treatment of
constraints.
vii
SUMÁRIO
ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................. IX
ÍNDICE DE TABELAS .................................................................................................. X
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ..............................................................................................1
1.1 Objetivo ...................................................................................................................... 2
1.2 Contribuições .............................................................................................................. 2
1.3 Escopo do Trabalho .................................................................................................... 2
CAPÍTULO 2 - MÉTODOS DE BUSCA E OTIMIZAÇÃO ........................................................4
2.1 Introdução ................................................................................................................... 4
2.2 Métodos de Otimização .............................................................................................. 7
2.2.1 Métodos Exatos ou de Enumeração ................................................................. 7
2.2.2 Métodos de Busca Local .................................................................................. 8
2.2.3 Meta-Heurísticas e Algoritmos Bio-Inspirados ............................................... 8
CAPÍTULO 3 - MÉTODOS DE PENALIZAÇÃO ...................................................................15
3.1 Introdução ................................................................................................................. 15
3.2 Penalização Adaptativa ............................................................................................. 17
3.2.1 APM - Adaptative Penalty Method ................................................................ 17
CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA ........................................................................................20
4.1 Introdução ................................................................................................................. 20
4.2 Algoritmo Clonalg .................................................................................................... 20
4.2.1 Hipermutação Somática ................................................................................ 21
CAPÍTULO 5 - DESCRIÇÃO DO PROBLEMA .....................................................................24
5.1 Rota de Dutos Submarinos ....................................................................................... 24
5.2 Ferramenta Computacional ....................................................................................... 26
5.3 Representação Matemática do Problema .................................................................. 28
5.3.1 Função Objetivo ............................................................................................ 32
5.4 Restrições do Problema ............................................................................................ 33
5.4.1 Cruzamento do duto sobre si mesmo ............................................................. 33
5.4.2 Cruzamento de obstáculo ............................................................................... 34
5.4.3 Comprimento mínimo entre curvas ................................................................ 35
5.4.4 Comprimento mínimo de trecho reto no início e fim da trajetória ................ 36
viii
5.4.5 Declividade .................................................................................................... 36
5.4.6 Critério de raio mínimo de curvatura ............................................................ 37
5.4.7 Critério de estabilidade ................................................................................. 37
CAPÍTULO 6 - ESTUDOS DE CASO ...................................................................................39
6.1 Funções Matemáticas ................................................................................................ 39
6.1.1 Funções sem Restrição .................................................................................. 39
6.1.2 Funções com Restrições – Grupo G .............................................................. 41
6.2 Otimização Rota de Dutos Submarinos .................................................................... 44
6.2.1 Configuração dos Algoritmos e Modelagem do Problema ............................ 44
6.2.2 Resultados Obtidos ........................................................................................ 46
CAPÍTULO 7 - CONCLUSÃO .............................................................................................53
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................55
ANEXO A .......................................................................................................................60
Funções sem Restrições ..................................................................................................... 60
Funções com Restrições .................................................................................................... 60
ix
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1. Representação do espaço de busca viável em uma função com e sem
restrições. .......................................................................................................................... 6
Figura 2.2. Representação de alguns princípios do Sistema Imunológico. Fonte [10]. . 13
Figura 3.1. Aplicação do APM. Fonte: [31]. .................................................................. 19
Figura 4.1. Esquema de Fluxo do Clonalg com o APM. ................................................ 20
Figura 4.2. Relação entre a afinidade normalizada do anticorpo e sua taxa de mutação
para diferentes valores de ρ. Fonte: [10] Modificada. .................................................... 22
Figura 5.1: Arranjo típico de um duto submarino. Fonte [34] ....................................... 24
Figura 5.2: Uma rota de dutos representada na ferramenta computacional OtimRota. .. 26
Figura 5.3: Configuração das penalidades do projeto. ................................................... 28
Figura 5.4: Representação de curvas na parametrização do duto. Fonte: [24].
Modificada. ..................................................................................................................... 30
Figura 5.5: Exemplos de representação dos pontos base. Fonte: [24]. ........................... 30
Figura 5.6: Coordenadas polares do PI em relação ao seu ponto base. Fonte: [24]. ...... 31
Figura 5.7: Representação dos níveis de obstáculo. ....................................................... 34
Figura 6.1: Representação do problema. ........................................................................ 46
Figura 6.2: Representação das soluções obtidas pelos algoritmos. ................................ 49
Figura 6.3: Representação das melhores soluções obtidas pelos algoritmos. ................ 51
x
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 6.1. Limites das variáveis e ótimo global conhecido das funções sem restrição 40
Tabela 6.2. Parâmetros de configuração do Clonalg. ..................................................... 40
Tabela 6.3. Resultados das execuções do Clonalg em funções sem restrição ................ 40
Tabela 6.4. Limites das variáveis e ótimo global conhecido das funções G. ................. 41
Tabela 6.5. Resultados das execuções do Clonalg+APM em funções com restrições ... 42
Tabela 6.6. Comparativo dos resultados obtidos com o Clonalg+APM ........................ 43
Tabela 6.7. Parâmetros do Clonalg e do AG usados na otimização de uma rota de Dutos
........................................................................................................................................ 44
Tabela 6.8. Coeficientes de penalidade estática ............................................................. 45
Tabela 6.9. Limite das variáveis representativas de uma rota de dutos.......................... 45
Tabela 6.10. Resultados do Clonalg + APM na Rota de Dutos. .................................... 47
Tabela 6.11. Resultados do Clonalg + Penalização Estática na Rota de Dutos. ............ 47
Tabela 6.12. Resultados do AG + APM na Rota de Dutos. ........................................... 47
Tabela 6.13. Resultados do AG + Penalização Estática na Rota de Dutos. ................... 48
Tabela 6.14. Comparativo dos resultados obtidos na otimização de uma rota de dutos 50
Tabela 6.15. Melhores resultados de cada algoritmo na otimização de uma rota de dutos.
........................................................................................................................................ 50
1
CCaappííttuulloo 11 -- IInnttrroodduuççããoo
A exploração de petróleo em ambientes offshore tem fomentado uma crescente
demanda pela utilização de dutos submarinos com o objetivo de escoar a matéria-prima
entre poços produtores ou pela interligação destes com o continente.
Este cenário tem mantido a pesquisa offshore nacional bastante aquecida devido
à necessidade de desenvolver tecnologias mais eficientes para tornar a exploração,
nestas regiões de difícil acesso, viável tanto técnica quanto economicamente.
Uma das etapas de um projeto de dutos submarinos é a definição da melhor rota
responsável em interligar dois pontos pré-definidos. O desafio dos engenheiros e
projetistas é encontrar uma rota que seja viável, com o menor comprimento possível,
representando um menor custo com materiais e futuras intervenções.
Pesquisadores do LAMCSO/COPPE/UFRJ estão desenvolvendo uma ferramenta
computacional, baseada em algoritmos evolutivos bio-inspirados, para a síntese e
otimização de rota de dutos. Um dos principais desafios desta ferramenta é conseguir
simular todas as dificuldades impostas pelas restrições físicas e ambientais de um
problema real.
Neste trabalho, serão apresentadas as etapas necessárias para a modelagem
matemática de um determinado problema, um resumo dos principais métodos de
otimização e algumas técnicas disponíveis na literatura para o tratamento de restrições,
com destaque à meta-heurística bio-inspirada Sistemas Imunológicos Artificiais (SIA),
baseada no sistema imunológico humano, e ao método de penalização adaptativa,
conhecido como Adaptative Penalty Method (APM) proposto em LEMONGE et al.
[31].
Antes de verificar a eficácia da metodologia (APM+SIA) na síntese e otimização
de uma rota de dutos, o desempenho do SIA será comparado, utilizando funções de
benchmark, com outros algoritmos de otimização bio-inspirados que já se mostraram
eficazes ao utilizar o APM como técnica de penalização.
Para completar o estudo, o APM será implementado na ferramenta
computacional de síntese e otimização de rota de dutos. O desempenho deste método de
penalização será comparado com os resultados obtidos pelo método de penalização
estática utilizado nesta ferramenta.
Com o uso desta metodologia (SIA+APM), espera-se conseguir melhores
resultados para a determinação da configuração ótima de uma rota de dutos.
2
1.1 OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é implementar, analisar e validar a técnica de
penalização adaptativa, conhecida como APM, aplicada ao algoritmo Clonalg
(CASTRO et al. [9]), que pertence a classe de algoritmos Sistema Imunológico
Artificial, na otimização de uma rota de dutos submarinos sujeita às restrições.
1.2 CONTRIBUIÇÕES
Será verificada a eficácia da metodologia de otimização (Clonalg + APM),
proposta neste trabalho, em funções matemáticas amplamente conhecidas na literatura.
O desempenho do Clonalg (SIA) será confrontado com os resultados obtidos por outros
algoritmos de otimização Bio-Inspirados, como Algoritmos Genéticos (AG) e Enxame
de Partículas (PSO), que já se mostraram eficazes ao utilizar o APM no tratamento de
problemas com restrições.
Na segunda parte do estudo de caso, será abordada a otimização de um problema
real de Engenharia, que consiste na otimização de uma rota submarina de dutos para
transportar hidrocarbonetos entre dois pontos definidos. Além de comparar o
desempenho do Clonalg com o algoritmo bio-inspirado AG, a técnica de penalização
adaptativa (APM) será confrontada com o método de penalidade estática utilizado na
ferramenta atual para o tratamento de restrições.
1.3 ESCOPO DO TRABALHO
O texto desta dissertação está organizado da seguinte forma: no Capítulo 2, será
apresentada uma visão geral dos requisitos necessários para a modelagem de um
problema real e um resumo dos principais métodos de busca e otimização disponíveis
na literatura. O Capítulo 3 apresenta as principais técnicas de penalização a serem
aplicadas aos algoritmos de otimização para a resolução de problemas com restrições.
Será dada uma atenção especial para o método de penalização adaptativa, conhecido
como APM. O Capítulo 4 descreve a metodologia utilizada neste trabalho, que utiliza o
método de penalização APM para auxiliar o algoritmo de otimização Clonalg, baseado
nos Sistemas Imunológico Artificiais, no tratamento de problemas com restrições. O
Capítulo 5 traz um resumo das etapas necessárias em um projeto de dutos submarinos
por meio de uma revisão bibliográfica abordando o desenvolvimento de uma ferramenta
de otimização aplicada à rota de dutos. Em seguida, é exposta em detalhes a modelagem
3
matemática que esta ferramenta utiliza para representar uma rota de dutos. O Capítulo 6
é dedicado aos estudos de caso realizados para avaliar o desempenho da metodologia
abordada no Capítulo 4. A primeira parte destes estudos visa avaliar o comportamento
do Clonalg em funções matemáticas de benchmark, dando indícios de sua eficiência
para a posterior aplicação na otimização de uma rota de dutos. No Capítulo 7, são
trazidas as conclusões da dissertação, assim como as sugestões para trabalhos futuros.
4
CCaappííttuulloo 22 -- MMééttooddooss ddee BBuussccaa ee OOttiimmiizzaaççããoo
2.1 INTRODUÇÃO
O conceito de otimização refere-se à tomada de decisões que melhorem certo
processo partindo de uma formulação matemática do problema (BAZARAA et al. [5];
CHURCHMAN et al. [11]).
O primeiro desafio no processo de otimização é a definição de uma modelagem
matemática que possa representar o problema real, ou seja, uma formulação matemática
precisa ser definida, de tal forma, que possa refletir todas as premissas e dificuldades
inerentes ao problema real que se deseja otimizar. A função objetivo, que precisa estar
coerentemente relacionada às variáveis significativas do problema, é responsável por
representar uma medida de qualidade para cada uma das soluções geradas pelo
algoritmo de otimização, de tal forma que a melhor solução para o problema seja
representada por um vetor composto pelos valores das variáveis de projeto que
otimizam esta função objetivo. A busca dos valores ideais para este vetor de variáveis é
tarefa do algoritmo de otimização. A modelagem matemática também precisa refletir
todas as restrições presentes no problema real. As restrições, que precisam estar
relacionadas às variáveis do problema, tem objetivo de evitar que o algoritmo de
otimização considere como melhor resultado soluções que, na prática, são consideradas
inviáveis.
Uma maneira usual para representar matematicamente um determinado
problema é escrevê-lo da seguinte forma:
Otimizar: )(xFobj
Tal que: maxmin axa i para i = 1,...,n
0)( xG j para j = 1,...,p
0)( xH k para k = 1,...,m
(2.1)
onde otimizar refere-se a maximizar ou minimizar, ],...,,[ 21 nxxxx é um vetor
de n dimensões que representa as variáveis do projeto. Cada variável ix possui um
limite inferior mina e superior maxa definido. )(xFobj é chamada de função objetivo, que
5
relaciona o desempenho do sistema às variáveis do vetor x, )(xG j é a j-ésima restrição
de desigualdade e )(xH k é a k-ésima restrição de igualdade aplicada sobre x.
O conjunto de todas as soluções possíveis para um determinado problema é
chamado de espaço de busca e a região deste espaço delimitada pelas restrições
impostas ao problema é chamado de domínio viável.
Para exemplificar as considerações realizadas sobre a representação do espaço
de busca em um problema de otimização, foi considerada a função descrita abaixo,
presente no artigo de DEB [18].
084,4)5,2(:
0)5,2()05,0(84,4:
)7()11()(min
2
2
2
12
2
2
2
11
2
21
2
2
2
1
xxr
xxr
asujeito
xxxxxf
(2.2)
Trata-se de um problema de minimização de duas dimensões, em que a função
objetivo, que representa a qualidade das soluções, está relacionada a duas variáveis de
valores reais (x1 e x2) com limites entre [0,6]. Todas as combinações de valores para este
par de variáveis representam o espaço de busca do problema. Pode-se verificar que estas
variáveis estão sujeitas a duas inequações não lineares utilizadas para representar as
restrições do problema. O desafio do algoritmo de otimização é encontrar a combinação
de valores ideais para estas duas variáveis, no espaço de busca viável, que minimizem o
valor da função objetivo.
Na figura 2.2 (a), é apresentado o gráfico da função f(x) sem as suas restrições,
em que as tonalidades em azul representam os menores valores para a função. Neste
exemplo, o limite das duas variáveis foi alterado para [-2,4] com o objetivo de facilitar a
visualização da figura. Como não há restrições, neste primeiro caso, todo o espaço de
busca delimitado pelo limite de cada variável é considerado como região viável. O
algoritmo de otimização localizou um ponto no espaço de busca, definido pelas
variáveis x1 e x2, que representa o menor valor possível para a função objetivo f(x). Este
ponto possui os valores (x1, x2; f(x)) = (3, 2; 0) e está representado na figura 2.2 (a) por
um ponto branco.
Ao considerarmos as restrições do problema, a região viável do espaço de busca
passa a ser representada apenas por uma linha clara, conforme demonstrado na figura
6
2.2 (b). A região escura, que representa o espaço delimitado pelas duas restrições do
problema, é a parte inviável do espaço de busca. Verifica-se que a melhor solução,
encontrada na figura 2.2 (a), está agora localizada em uma região inviável do espaço de
busca e não poderá representar a melhor solução para o problema. O algoritmo de
busca, que agora tem um espaço de busca viável limitado, precisa considerar a presença
destas restrições na busca pela melhor solução. A melhor solução viável encontrada,
neste caso, foi (x1, x2; f(x)) = (2,2468, 2,3795; 13,5908), ou seja, estes são os valores de
x1, x2, presentes na região viável, que produzem o menor valor para f(x). Esta melhor
solução está representada por um ponto branco na figura 2.2 (b).
a) Função sem as suas restrições.
b) Função com as suas restrições.
Figura 2.1. Representação do espaço de busca viável em uma função com e sem restrições.
Portanto, uma seleção equivocada das variáveis de projeto e/ou de suas
restrições, na etapa de modelagem matemática do problema, poderá prejudicar a
resposta obtida. Não se pode deixar de considerar variáveis e restrições que sejam
significativas em um problema real, pois a falta destas restringirá o espaço de busca,
possivelmente excluindo soluções viáveis que, eventualmente, possam ser as ótimas.
Um exemplo de modelagem matemática para representar um projeto real de
Risers Rígidos em Catenária em sistemas offshore, considerando suas variáveis de
projeto e restrições, pode ser verificado no trabalho de VIEIRA [40]. Esta representação
matemática foi aplicada em algoritmos de otimização bio-inspirados que se mostraram
eficientes em encontrar uma configuração de riser que proporcionasse um menor custo
em termos de material e intervenções.
7
Após a definição do modelo matemático responsável em representar o problema
real, torna-se necessária a escolha de um método de otimização que será o responsável
em localizar, por meio das variáveis de projeto e suas restrições, o melhor valor para a
função objetivo.
2.2 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
Nesta seção, serão apresentadas algumas técnicas disponíveis na literatura para
tratar problemas de otimização.
2.2.1 Métodos Exatos ou de Enumeração
Quando um problema de otimização com variáveis discretas é de baixa
complexidade, uma busca exaustiva em todas as soluções possíveis para o problema
pode ser viável, garantindo a localização do valor ótimo global.
Uma alternativa para trabalhar com problemas contínuos utilizando este mesmo
conceito seria discretizar o domínio da função, subdividindo-o em intervalos menores
até que se atinja uma determinada precisão. Embora não seja possível considerar esta
enumeração como sendo um método exato, se os intervalos forem subdivididos em
espaços muito pequenos, no limite, é possível se atingir o ótimo global.
Porém, surgem duas questões fundamentais que precisam ser analisadas: i) se o
tamanho da divisão for muito pequeno, estaremos aumentando excessivamente o espaço
de busca e o custo computacional, levando a uma convergência bem mais lenta, que
pode inviabilizar a solução de um problema complexo com muitas variáveis; ii) se o
tamanho da divisão for muito grande, dependendo da complexidade do problema, as
chances de atingir um ótimo global se tornam muito pequenas.
Nos casos em que a complexidade do problema aumenta este tipo de abordagem
pode se tornar inviável. A complexidade de um problema pode estar relacionada ao
aumento no número de variáveis a serem consideradas na otimização (NP-difícil), a não
linearidade de algumas funções/restrições ou em problemas com mais de um objetivo.
Neste casos, pode-se tornar impossível computacionalmente a obtenção de uma solução
satisfatória utilizando os métodos clássicos de otimização.
Problemas dessa natureza ainda são considerados intratáveis pela literatura, ou
seja, não há uma metodologia comprovadamente eficaz para resolvê-los até a solução
ótima global. Nesse sentido, os ramos da pesquisa operacional e da inteligência artificial
8
possuem metodologias que procuram tratar esses problemas complexos a partir da
exploração “inteligente” do espaço de busca, procurando soluções, que, quando não
ótimas, ao menos, possuam boa qualidade.
2.2.2 Métodos de Busca Local
Os métodos de busca local são métodos que partem de uma solução inicial,
percorrendo sua vizinhança à procura de melhores soluções. Caso uma solução melhor
seja encontrada, o melhor resultado é atualizado. O mesmo procedimento é repetido
iterativamente na nova solução até que um ótimo local seja identificado. O que difere
uma busca local de outras e determina a sua eficácia é a escolha da vizinhança.
Dentre os algoritmos desta categoria, destaco o método de subida de encostas,
conhecido como Hill Climbing. Neste método o processo de busca é aplicado em um
único ponto, chamado de ponto atual, que representa uma solução candidata do
problema. A cada nova iteração é selecionado um novo ponto na vizinhança do ponto
atual. Se este novo ponto apresentar um valor melhor de função objetivo, este novo
ponto torna-se o ponto atual. O método termina quando nenhuma melhora é alcançada
ou quando um número fixo de iterações é alcançado.
O Método do Recozimento Simulado, conhecido como Simulated Annealing,
que foi descrito por KIRKPATRICK et al. [28], se inspirou no processo de recozimento
de sistemas físicos, que procura imitar a minimização da energia potencial da estrutura
cristalina de um metal, para encontrar uma boa solução para um determinado problema.
Outro exemplo é a busca tabu (GLOVER et al. [21]), na qual, simplesmente, é
feita a busca local no problema, guardando os passos desta busca em uma memória,
denominada de lista tabu. Em determinado ponto, quando não há melhorias, o algoritmo
parte para uma solução diferente das que já constam na memória, possivelmente
direcionando a busca para outros ótimos locais.
2.2.3 Meta-Heurísticas e Algoritmos Bio-Inspirados
O prefixo meta vem do grego e significa mudança, além, após. No presente
contexto, é possível denominar meta-heurística como além da heurística, ou seja, uma
heurística que define heurísticas. A ideia principal deste conceito é a criação de
9
heurísticas generalizadas que possam resolver diversos tipos de problemas sem a
necessidade de grandes alterações na estrutura básica do algoritmo.
Uma classe da meta-heurística que tem recebido bastante atenção nos últimos
anos é constituída por ferramentas de computação bio-inspiradas ou computação
inspirada na biologia (PANTON [36]). Esta linha de pesquisa emprega metáforas e
modelos de sistemas biológicos no projeto de ferramentas computacionais e tem se
mostrado bastante eficiente na solução de problemas complexos.
2.2.3.1 Algoritmos Genéticos
Desenvolvido por HOLLAND [22], o algoritmo genético (AG) é uma técnica de
busca inspirada na teoria da evolução natural proposta por Charles Darwin, que utiliza
técnicas de mutação, hereditariedade, seleção natural e recombinação (GOLDBERG
[20]).
No princípio da seleção natural, os indivíduos mais aptos ao ambiente em que
vivem possuem uma maior probabilidade de sobreviver e de se reproduzir, fazendo com
que o seu material genético seja repassado para os seus descendentes.
Este algoritmo utiliza uma quantidade pré-estabelecida de indivíduos para
representar uma população. Cada indivíduo desta população possui um material
genético próprio, chamado de cromossomo, que representa as variáveis do problema
que se deseja otimizar, ou seja, cada indivíduo representa uma solução candidata única e
sua aptidão é avaliada utilizando o seu cromossomo (variáveis) para calcular o valor da
função aptidão.
Os indivíduos da população que obtiverem os melhores valores para a função
aptidão possuem uma maior probabilidade de serem selecionados para se submeter a um
processo de reprodução. A reprodução pode ser entendida como uma forma de misturar
o material genético de dois indivíduos, conhecidos como pais, para gerar novos
indivíduos filhos. Estes descendentes, que carregam características de ambos os pais,
são submetidos, em seguida, ao processo de mutação, que confere características
verdadeiramente novas aos filhos. Ao final de cada geração, somente os indivíduos mais
aptos (entre os pais e filhos) serão selecionados para continuar na população da próxima
geração e os demais indivíduos serão descartados.
No processo de evolução deste algoritmo, o melhor indivíduo presente na última
geração representará, por meio de seu cromossomo (variáveis), a melhor solução
encontrada para o problema.
10
Existem diversos métodos de seleção, formas de codificação para o cromossomo,
tipos de recombinação e mutação disponíveis na literatura. Alguns destes métodos
podem ser encontrados em MICHALEWICZ [35].
Dentre as referências que utilizaram algoritmos genéticos como médodo de
otimização, vale ressaltar o trabalho de LEMONGE [30] que utilizou este método para
otimizar estruturas reticuladas planas e espaciais.
SANTOS [38] propôs um modelo numérico utilizando Algoritmos Genéticos e o
Método dos Elementos de Contorno (MEC) a fim de determinar o dimensionamento
ótimo de um sistema de proteção catódica em estruturas metálicas com diferentes
geometrias, como, por exemplo, uma rota de dutos enterrados em ambientes
submarinos. O modelo obteve uma boa resposta ao determinar o dimensionamento dos
anodos de proteção e a mínima intensidade de corrente a fim de proteger catodicamente
a estrutura metálica na presença de um eletrólito.
2.2.3.2 Enxame de Partículas
Proposta por KENNEDY et al. [27], a otimização por meio de enxame de
partículas (PSO) pertence à categoria de métodos de inteligência de enxames e foi
baseada no comportamento social de grupos de animais, como, por exemplo, um
conjunto de pássaros.
No PSO, cada indivíduo do enxame é chamado de partícula. Cada partícula, que
representa uma solução candidata para o problema, é representada pela sua posição no
espaço de busca (vetor de posição X) e sua velocidade (vetor de velocidade V).
A ideia é que cada partícula “sobrevoe” o espaço de busca (n-dimensional),
atualizando sua velocidade de “voo” e a sua posição a cada geração. O objetivo é
encontrar a melhor posição, ou seja, aquela que represente o melhor valor para a função
objetivo. Após a avaliação de sua aptidão por meio da função objetivo, cada partícula
compara o seu resultado atual com o seu passado, armazenando sua melhor posição já
visitada. A melhor posição global encontrada por qualquer outra partícula do enxame
também é repassada para todas as outras partículas, fazendo com que exista uma
cooperação entre todas as partículas do enxame na busca pela melhor solução.
PINA [37], em sua tese de doutorado, realiza um estudo para determinar a
melhor forma de configuração dos parâmetros de inércia do algoritmo PSO na
otimização de risers rígidos em catenária lazy-wave. Foram realizados experimentos
com o objetivo de comparar o desempenho e a estabilidade do algoritmo utilizando
11
diferentes tipos de coeficientes de inércia (fixo, linear e não-linear). Os resultados
indicaram que a melhor customização foi obtida adotando uma variação não-linear no
coeficiente da inércia das partículas.
ALBRECHT [1] utilizou o método de enxame de partículas para encontrar a
melhor configuração de um sistema de ancoragem em plataformas de petróleo offshore,
com a qual foi obtida uma melhora no nível de tração do sistema.
2.2.3.3 Sistema Imunológico Artificial
O sistema imunológico natural é um mecanismo complexo responsável pela
defesa do organismo, em especial dos animais vertebrados. Este sistema apresenta uma
arquitetura de múltiplas camadas, com mecanismos de regulação e defesa espalhados
em vários níveis. Suas células e moléculas mantêm a sobrevivência dos organismos
infectados, reconhecendo uma variedade de células e substâncias infecciosas exteriores
(antígenos), chamadas de moléculas não próprias, distinguindo-as das células nativas
não infecciosas, conhecidas com moléculas próprias (CASTRO [10]).
O sistema imunológico pode produzir uma resposta imediata (característica do
sistema imune inato) à invasão dos antígenos, assim como uma resposta mais lenta e
duradoura (função do sistema imune adaptativo).
Os macrófagos e granulócitos, responsáveis pela resposta imunológica inata,
estão disponíveis no organismo de forma constante, não exigindo uma pré-infecção para
o combate a um determinado invasor. Já o sistema imune adaptativo, representado pelos
linfócitos B e T, tem a capacidade de produzir uma resposta específica para um dado
antígeno. Os linfócitos que atuam na resposta adaptativa são capazes de desenvolver
uma memória imunológica, reconhecendo um mesmo antígeno caso ele seja reincidente.
Deste modo, caso haja o restabelecimento de uma doença, haverá uma resposta mais
rápida do sistema adaptativo.
Os Sistemas Imunológicos Artificiais (SIA) são compostos por metodologias
inteligentes inspiradas no sistema imunológico natural para a solução de problemas do
mundo real (DASGUPTA [17]). Os principais mecanismos herdados dos sistemas
imunológicos reais são:
Memória Imunológica e Maturação de Afinidade: quando o sistema imunológico
adaptativo reconhece um antígeno externo, ele faz uma clonagem das células B que
possuem maior afinidade com este invasor. Algumas células clonadas passam a
12
fazer parte da memória do sistema de forma a facilitar combates futuros contra esse
mesmo antígeno ou semelhantes. Outra parte das células clonadas sofrerá um
processo de mutação clonal, conhecido como hipermutação somática, com o
objetivo de melhorar sua afinidade contra o antígeno invasor. Desta forma, caso haja
um segundo ataque, o sistema imunológico já é capaz de produzir uma resposta
mais rápida e precisa, pois ele guarda no organismo células de memória capazes de
gerar anticorpos com alta afinidade àquele antígeno, o que demonstra a capacidade
de aprendizagem dos sistemas imunológicos.
Reconhecimento de Padrões: cada anticorpo é capaz de reconhecer uma
determinada quantidade de antígenos com os quais se associa;
Diversidade Imunológica: por meio da hipermutação somática e da recombinação
genética é garantida a diversidade imunológica;
Princípio da Seleção Clonal: estabelece que apenas uma célula (anticorpo), capaz
de reconhecer um determinado estímulo antigênico, irá se proliferar, sendo
selecionada em detrimento das outras;
Distinção Próprio / Não Próprio: o sistema imunológico é capaz de distinguir
entre células invasoras, chamadas de não próprias, e células do próprio organismo,
conhecidas como próprias, sendo que apenas as primeiras devem ser combatidas. As
células reconhecedoras de antígenos próprios são eliminadas do repertório de
anticorpos antes que sejam capazes de exercer uma resposta. Este processo é
conhecido como seleção negativa;
Teoria da Rede Imunológica: sugere que o sistema imunológico seja composto por
uma rede regulada de células e moléculas que se reconhecem mesmo na ausência de
antígenos.
13
Figura 2.2. Representação de alguns princípios do Sistema Imunológico. Fonte [10].
Os algoritmos baseados em sistemas imunológicos artificiais têm atraído a
atenção de diferentes comunidades com os interesses mais distintos, tais como:
reconhecimento de padrões, análise de dados, aprendizado de máquinas, detecção de
anomalias e otimização.
A seguir, é apresentada uma revisão bibliográfica demonstrando a aplicação de
alguns algoritmos de otimização baseados nos mecanismos herdados do sistema
imunológico humano.
Em CASTRO [9] et al., o algoritmo Clonalg, que simula o princípio da seleção
clonal, foi utilizado para otimizar três problemas com vários ótimos locais e um ótimo
global. O algoritmo se mostrou eficiente ao localizar todos os ótimos locais e o ótimo
global de todos os problemas.
WU[44] combinou duas técnicas em seu trabalho: a seleção clonal e a teoria da
rede imunológica, sendo a última utilizada para controlar o número de boas soluções. A
seleção clonal é responsável por explorar o espaço de busca à procura de soluções
satisfatórias e tem o objetivo de manter a diversidade na população de anticorpos. Este
algoritmo apresentou um bom desempenho ao otimizar problemas com variáveis
contínuas sujeitos às restrições.
CUTELLO [16] et al. propuseram um novo algoritmo evolutivo, baseado em
sistemas imunológicos artificiais, com dois operadores de mutação: um para busca local
e outro para busca global. Chamado de EALS (the evolutionary algorithm with local
search), este algoritmo se mostrou mais eficiente que o algoritmo de otimização e
14
reconhecimento de padrões conhecido como opt-IA, que também se baseia em teorias
do sistema imunológico.
No capítulo 4, serão descritas as particularidades do algoritmo de otimização
Clonalg, que será utilizado na otimização de problemas com restrições.
15
CCaappííttuulloo 33 -- MMééttooddooss ddee PPeennaalliizzaaççããoo
3.1 INTRODUÇÃO
A maioria dos métodos de busca foram desenvolvidos para otimizar problemas
sem restrições, desta forma, torna-se necessário utilizar, junto ao algoritmo escolhido,
algum método de penalização que trate as restrições inerentes ao problema que se deseja
estudar, de tal forma que o melhor resultado obtido pelo algoritmo de otimização
represente a melhor solução viável.
De acordo com LIMA [33], as técnicas para manipulação de restrições podem
ser classificadas como direta (viável ou interior), quando apenas os indivíduos viáveis
pertencentes ao espaço de busca são considerados, ou indireta (exterior), quando
indivíduos viáveis e inviáveis são utilizados durante o processo de localização da
melhor solução. Dentre as técnicas de manipulação de restrições, pode-se citar:
Eliminação de Soluções (Rejeição): soluções que violem alguma restrição do
problema serão simplesmente eliminadas do processo de busca;
Reparo de Soluções: soluções que violem alguma restrição do problema serão
corrigidas por um algoritmo específico, ou seja, um indivíduo viável é gerado a
partir de pequenas modificações em um indivíduo inviável.
Decodificadores: um algoritmo específico fornece instruções para que sejam
construídos apenas indivíduos viáveis.
Técnicas de Penalização: problemas de otimização com restrições podem ser
transformados em problemas sem restrições por meio do uso de funções
penalidades, formando uma única função a ser otimizada, em que são penalizadas as
soluções (indivíduos) que violem alguma restrição.
Em BARBOSA et al. [3], a técnica de penalização foi definida como
multiplicativa ou aditiva. No caso da penalidade multiplicativa, em um problema de
minimização, um fator positivo de penalidade é introduzido com o objetivo de
amplificar o valor de )(xf dos indivíduos inviáveis. Para o caso da penalidade aditiva,
uma função de penalidade )(xb é somada a )(xf nos indivíduos inviáveis. Assim, a
função objetivo pode ser escrita de acordo com a equação (3.1):
16
)()()( xbxfxFobj (3.1)
Onde )(xf é obtido por meio da avaliação de cada um dos indivíduos de uma
população, )(xb é a função penalidade e )(xFobj é o valor da função objetivo que, neste
exemplo, deseja-se minimizar. Assim, quanto maior for o valor da função penalidade,
)(xb , maior será o valor da função objetivo e o indivíduo poderá ter maior
probabilidade de ser descartado para a próxima geração.
Segundo COELLO [12], estas técnicas de penalização ainda podem ser
classificadas como:
Penalidades Estáticas;
Penalidades Dinâmicas;
Penalidades Adaptativas.
Nos métodos de penalidades estáticas, os parâmetros de penalidade são pré-
fixados e não sofrem qualquer tipo de mudança durante a evolução do algoritmo. Em
seu trabalho, LE RICHE et al. [29] fixaram dois parâmetros de penalidade, conhecidos
como 1K e 2K , que são utilizados independentemente em duas populações distintas do
AG para otimizar problemas estruturais com restrições. Já HOMAIFAR et al. [23],
utilizaram diferentes coeficientes de penalidade para os diferentes níveis de violação de
cada restrição. Este trabalho também utilizou algoritmos genéticos na otimização de
problemas com restrições.
Nos métodos de penalidades dinâmicas, os valores das penalidades variam de
acordo com o número da geração em que se encontra o processo evolutivo do algoritmo.
JOINES et al. [26] propuseram que os valores dos parâmetros de penalidade deveriam
variar dinamicamente durante o processo de busca do AG para resolver problemas de
otimização com restrições não lineares.
DEB [18] propôs um método de penalização que não necessita de qualquer tipo
de parâmetro de penalidade, pois as soluções nunca serão comparadas utilizando os
valores de sua função objetivo e de suas violações. Neste método, o processo de seleção
dos indivíduos é feito da seguinte forma: entre dois indivíduos viáveis, será escolhido o
que obtiver o melhor valor para a função objetivo; entre um indivíduo viável e outro
inviável, o indivíduo viável será selecionado; entre dois indivíduos inviáveis, será
17
selecionado o indivíduo que tiver menos violado as restrições do problema. Os
resultados mostraram que o método foi eficiente, utilizando algoritmos genéticos na
otimização de funções com restrições.
Proposto por BEAN et al. [6], o método de penalidades adaptativas vem se
mostrando imbatível no tratamento de restrições em problemas de otimização. Neste
tipo de estratégia, o fator de penalidade é alterado ao longo do processo de evolução do
algoritmo, de acordo com as gerações ou com o grau de violação das restrições obtidos
na população corrente.
3.2 PENALIZAÇÃO ADAPTATIVA
Por fazer parte da metodologia utilizada neste trabalho, será detalhada, no
próximo item, a técnica de penalização adaptativa, conhecida como APM.
3.2.1 APM - Adaptative Penalty Method
Proposta por BARBOSA et al. [3], esta técnica utiliza as informações da própria
população durante a evolução do algoritmo, tal como a média da função objetivo e o
nível de violação de cada restrição, com o objetivo de definir diferentes valores de
penalidades para cada restrição em cada iteração. A ideia principal é fazer com que os
valores dos coeficientes de penalidades estejam distribuídos, de tal forma, que as
restrições mais difíceis de serem atendidas sejam penalizadas mais fortemente.
Este método de penalização trata as restrições de igualdade e desigualdades, não
demanda o conhecimento explícito das restrições, é livre de parâmetros a serem
definidos pelo usuário e é de fácil implementação computacional.
Apesar de ter sido proposta inicialmente para trabalhar com algoritmos
genéticos, tal estratégia tem demonstrado ser bastante eficiente e robusta utilizando
diferentes algoritmos de otimização.
BARBOSA et al. [4] obtiveram bons resultados ao utilizar o APM com
Algoritmos Genéticos na otimização de problemas com restrições.
SILVA et al. [39] utilizaram este mesmo método de penalização aplicado ao
algoritmo de otimização PSO. Os resultados deste trabalho foram comparados com os
resultados obtidos por BARBOSA et al. [4]. O PSO se mostrou mais eficiente na
otimização de funções de benchmark com restrições ao encontrar melhores resultados
em sete das onze funções estudadas.
18
Neste método, o valor da função objetivo )(xFobj de cada solução candidata é
obtido por meio da equação (3.2):
m
j
jj
obj contráriocasoxvkxf
factívelforxsexf
xF
1
)()(
)(
)(
(3.2)
2
1
)(
)()(
m
l
l
j
j
xv
xvxfk
(3.3)
Onde )(xf é a média da função objetivo para a população na iteração atual,
jv é a violação da restrição j sobre a população atual e jk o fator de penalização
calculado de forma adaptativa conforme a equação (3.3).
A Figura 3.1 facilita a visualização de como é obtido o valor da função )(xf ,
utilizado na equação (3.2), para cada uma das soluções infactíveis. Pode se verificar que
os pontos (x = 1, 2, 3, 4, 5 ou 6) destacados no gráfico representam soluções infactíveis,
pois estão em uma região inviável do espaço de busca, assim, torna-se necessário
calcular o valor de )(xf para cada um destes pontos de acordo com a equação (3.4).
contráriocasoxf
xfxfsexfxf
)(
)()()()(
(3.4)
Considerando que o exemplo é de minimização, as soluções infactíveis (1 e 2)
possuem sua função original )(xf com valor maior que a média da função objetivo
)(xf de toda a população na iteração considerada, portanto, de acordo com a equação
3.4, o novo valor )(xf para cada uma destas soluções permanecerá inalterado, ou seja,
igual a )(xf . As outras soluções infactíveis (3, 4, 5 e 6) possuem uma função objetivo
original )(xf com valor menor que o valor médio )(xf da população na iteração
considerada, logo, será atribuído o valor )(xf = )(xf para cada uma destas soluções.
19
Figura 3.1. Aplicação do APM. Fonte: [31].
A utilização da técnica de penalização adaptativa se baseia no seguinte processo:
computar o valor das violações das restrições jv para a população atual e atualizar o
coeficiente de violação jk a cada geração.
É importante ressaltar que existem outras quatro variantes do APM, cuja
explicação pode ser obtida em BARBOSA et al. [4]. Será utilizado, nos experimentos
realizados neste trabalho, o APM original, que foi explicado acima.
20
CCaappííttuulloo 44 -- MMeettooddoollooggiiaa
4.1 INTRODUÇÃO
A metodologia proposta, nesta dissertação, utiliza a técnica de penalização
adaptativa APM aplicada ao algoritmo de otimização Clonalg, que pertence à classe de
algoritmos denominada Sistemas Imunológicos Artificiais, para tratar problemas de
otimização com restrições.
4.2 ALGORITMO CLONALG
Inicialmente proposto para resolver problemas de aprendizado de máquina e de
reconhecimento de padrões, este algoritmo foi adaptado em CASTRO et al. [9] para
resolver problemas de otimização. Dentre as alterações, pode-se citar a retirada das
células de memória, utilizada no algoritmo de reconhecimento de padrões, e a geração
da mesma quantidade de clones por anticorpo, não sendo mais considerada a clonagem
proporcional à afinidade. Segue, abaixo, uma representação do algoritmo Clonalg, na
versão de otimização, utilizando o APM para auxiliá-lo no tratamento de restrições:
Figura 4.1. Esquema de Fluxo do Clonalg com o APM.
Sim
Inicialização (1,2)
Avaliação (3)
Clonagem (4)
Mutação (5)
Avaliação (6)
Seleção (8)
Próxima
Geração? (9)
Parar
Não
APM (7)
21
A seguir descrevem-se as etapas do esquema mostrado na figura 4.1:
1. Parâmetros de entrada: são definidos como parâmetros de entrada o tamanho da
população de anticorpos, os parâmetros de mutação, o número de clones que serão
gerados a partir de cada anticorpo e a definição do critério de parada.
2. Inicialização: a população de anticorpos inicial é gerada aleatoriamente, em que
cada parâmetro deve respeitar o limite inferior e superior do espaço de busca de
cada variável.
3. Avaliação: a população de anticorpos é avaliada.
4. Clonagem: é realizada a clonagem de toda a população, gerando a mesma
quantidade de clones por anticorpo. Uma nova população de clones passa a fazer
parte do processo evolutivo do algoritmo.
5. Mutação: é realizada a mutação na nova população de clones com o objetivo de
melhorar a afinidade destas células.
6. Avaliação: a nova população de clones é avaliada por meio da função objetivo.
7. APM: Reavaliação da população de clones e de anticorpos utilizando o método de
penalização adaptativa APM, detalhado no capítulo anterior.
8. Seleção: nesta etapa, serão selecionadas, para compor a população de anticorpos na
próxima geração, as células com os melhores valores de função objetivo. É
importante ressaltar que, neste processo, a seleção é realizada entre o anticorpo
original e o seu grupo de clones.
9. Critério de Parada: repetir os passos 4-8 até que o critério de parada, definido
inicialmente, seja atendido.
4.2.1 Hipermutação Somática
A mutação é a grande responsável por permitir o processo de busca (exploração)
deste algoritmo. Pode-se determinar a quantidade de atributos ou variáveis que deverão
ser modificadas em cada clone.
Na hipermutação somática, a quantidade de mutação que uma célula clone
recebe é regulada pela afinidade desta célula, que no algoritmo representa a qualidade
da solução candidata. As células que possuem os melhores valores de função objetivo
devem ser pouco mutadas (explotação) enquanto aquelas que possuem baixa aptidão
22
devem continuar sofrendo mutações a altas taxas (exploração). A hipermutação
somática é realizada de acordo com a equação abaixo:
*).exp(.´ Fmm (4.1)
Onde ρ é o parâmetro que controla a suavidade da exponencial inversa; F * é a
afinidade normalizada entre 0 e 1, que pode ser determinada por MAXFFF * ; β é um
parâmetro que controla a ordem de grandeza da mutação utilizado em cada variável do
problema.
Figura 4.2. Relação entre a afinidade normalizada do anticorpo e sua taxa de mutação
para diferentes valores de ρ. Fonte: [10] Modificada.
Nota-se, pela análise da figura 4.2, que, quanto menor o valor de ρ, menos
sensível a variações será a curva da taxa de mutação e maior será o valor da mutação
nas células com alta afinidade.
Com o objetivo de comprovar a eficácia do método de otimização utilizado nesta
dissertação, destaca-se, a seguir, alguns trabalhos que utilizaram o Clonalg como
ferramenta de otimização.
Em VIEIRA [42], foi realizada uma comparação no desempenho entre os
métodos de otimização bio-inspirados Clonalg (SIA), AG e PSO, aplicados na
otimização de risers rígidos em catenária. Este trabalho utilizou o médoto de
penalização estática para tratar as restrições do problema. O Clonalg apresentou o
melhor resultado para a configuração do riser com um número menor de avaliações da
23
função objetivo. Neste mesmo trabalho, VIEIRA [42] propôs uma hipermutação
somática adaptativa, onde o termo ρ varia linearmente de acordo com a afinidade da
célula, desta forma, o anticorpo com a menor afinidade receberá o menor valor de ρ,
melhorando a exploração, e aquele com maior afinidade receberá o maior de valor de ρ,
melhorando a explotação. Foram obtidos bons resultados utilizando o valor de ρ
adaptativo na otimização dos risers.
BERNARDINO [8] et al. propuseram um método de otimização por meio da
hibridização de duas técnicas (Clonalg e AG) com o objetivo de otimizar problemas de
Engenharia Mecânica que possuem restrições. Neste método, a população é dividida em
dois grupos. O AG é utilizado para otimizar a população viável e o Clonalg trabalha
para minimizar as restrições dos indivíduos inviáveis. O algoritmo apresentou ótimos
resultados, tanto em problemas com variáveis contínuas como discretas, produzindo
soluções viáveis em todas as rodadas de todos os problemas estudados.
CORTÉZ et al. [14] propuseram um novo operador de mutação para o Clonalg,
visto que o algoritmo padrão não obteve bons resultados na otimização de funções com
restrições. O operador de mutação passa a depender não só da afinidade dos anticorpos,
mas também do range de cada variável no espaço de busca e do tamanho da população
de clones geradas por cada anticorpo, em que os anticorpos com maior afinidade geram
um maior número de clones. Este algoritmo utiliza o método proposto por DEB [18]
para tratar suas restrições. A utilização deste operador de mutação em conjunto com o
método de penalização proporcionou uma melhoria significativa no desempenho do
Clonalg em problemas com restrições.
CUTELLO et al. [15] investigaram a capacidade de exploração do espaço de
busca de quatro operadores de hipermutação diferentes: a estática, a proporcional, a
proporcional inversa e a hipermacromutação. O desempenho destes operadores foi
testado em um problema de predição de estruturas protéicas. A melhor solução, nos
testes executados, foi obtida utilizando o operador hipermacromutação.
24
CCaappííttuulloo 55 -- DDeessccrriiççããoo ddoo PPrroobblleemmaa
5.1 ROTA DE DUTOS SUBMARINOS
Dutos submarinos são componentes do sistema de exploração de petróleo
responsáveis por transportar hidrocarbonetos entre regiões produtoras ou pela
interligação destas regiões com o continente.
O seu alto custo de instalação, recuperação e reparo, associado ao alto risco de
danos ambientais, exigem que o dimensionamento destas estruturas seja realizado de
forma segura e coerente com as normas vigentes, visando a um custo reduzido para o
projeto e minimizando possíveis acidentes ambientais.
Figura 5.1: Arranjo típico de um duto submarino. Fonte [34]
Em sua dissertação de mestrado, LIMA [34] apresentou as principais etapas
necessárias para o projeto e análise de dutos submarinos. Estas fases foram detalhadas,
desde a etapa de coleta de informações da região e dos reservatórios, onde os dutos
serão instalados, até a etapa de instalação do duto. Estes tópicos serão comentados, na
mesma ordem, de forma bastante sucinta com o objetivo de contextualizar e dar
embasamento para as próximas seções:
Levantamento dos Parâmetros de Projeto: ao se projetar um duto submarino, é
preciso conhecer as condições sob as quais este será instalado e operado. Fatores
25
ambientais da região (lâmina d’água de instalação, perfil de correnteza, perfil de
onda, dados geotécnicos e batimétricos), as características do fluido (fase,
abrasividade, concentração de sólidos, pressão e temperatura) e do reservatório
(capacidade do reservatório e sua formação). Antes de iniciar o projeto da tubulação,
é necessário que estes parâmetros sejam coletados e compreendidos.
Definição das Características do Duto: com base nas informações obtidas na fase
de parâmetros de projeto, são definidos, nesta etapa, o material que será utilizado e
as características geométricas (diâmetro da tubulação e a espessura da parede) a
serem consideradas na fabricação do duto;
Proteção Anticorrosiva: devido às características do meio no qual será instalado, é
necessário que o duto seja protegido contra corrosão de tal forma que possa ser
utilizado durante toda a vida útil do projeto;
Definição da Melhor Rota: a seleção da rota é um processo bastante complexo
governado por diversas variáveis que precisam ser consideradas. Intuitivamente,
quanto menor o comprimento do duto entre os pontos a serem conectados, menor
será o custo do projeto, no entanto, outros fatores devem ser considerados na
determinação da melhor rota, dentre as quais: a profundidade da lamina d´água; a
presença de irregularidades muito acentuadas no solo marinho; a presença de
condições ambientais adversas (alta velocidade de corrente marítima); a presença de
outros campos na mesma região, dentre outras;
Intervenções no Solo: esta etapa é utilizada para proteger o duto e diminuir a
quantidade de vãos livres em uma rota de dutos. Dentre as técnicas de intervenção
de fundo, mais utilizadas, pode-se citar: Escavação mecânica, Jetting e Rock
Dumping;
Análise de Tensões no Duto: consiste em verificar os níveis de tensões aplicados
ao duto frente aos limites admissíveis. Esta análise deve ser considerada nas etapas
de instalação, no teste hidrostático e na operação.
Etapa de Instalação do Duto: uma das etapas mais desafiadoras em um projeto de
dutos é a sua instalação em ambientes offshore. Dentre os métodos de instalação,
pode-se citar: S-Lay, J-Lay e o Reel Lay.
A etapa de definição da melhor rota para um projeto de dutos submarinos é o
objetivo deste trabalho e será tratada nas próximas seções. Tradicionalmente, este
26
processo é realizado de forma manual por especialistas experientes neste tipo de projeto,
porém, já existem algumas ferramentas de otimização que simulam as restrições
presentes em um ambiente real, com o objetivo de encontrar rotas viáveis que
minimizem os custos de material e instalação.
5.2 FERRAMENTA COMPUTACIONAL
Serão destacados, nesta seção, três artigos correlacionados, desenvolvidos por
pesquisadores do LAMCSO/COPPE/UFRJ, que retratam a evolução de um modelo
matemático responsável por representar a qualidade de uma rota em um processo de
otimização, considerando os principais parâmetros de projeto resumidos anteriormente.
Este modelo está sendo implementado em uma ferramenta computacional,
chamada de OtimRota, baseada em algoritmos bio-inspirados, aplicada na síntese e
otimização de rota dutos submarinos. O objetivo desta ferramenta é encontrar, entre dois
pontos definidos, uma rota de dutos viável com o menor comprimento possível,
proporcionando um menor custo de construção, instalação e manutenção. A figura 5.2
monstra um exemplo de uma rota de dutos submarinos gerada pelo OtimRota. Pode-se
verificar que o modelo reflete as dificuldades impostas pelo ambiente real através da
batimetria e dos obstáculos presentes no fundo do mar, representados, em três diferentes
níveis, pelas linhas verde, vermelho ou amarelo.
Figura 5.2: Uma rota de dutos representada na ferramenta computacional OtimRota.
FERNANDES et al.[19] propuseram o início da modelagem matemática do
problema e sugeriram a aplicação de um método de otimização, baseado em algoritmos
27
genéticos (AG), para localizar uma rota ótima, sujeita às características do solo, às
propriedades do duto, à batimetria da região e ao efeito devido sua instalação.
Outro trabalho correlacionado foi apresentado por VIEIRA et al. [43], que
mostrou a parametrização da rota, que será otimizada, considerando novas restrições
referentes à sua geometria, aos obstáculos presentes no fundo do mar e à topografia da
região.
Em sua dissertação de mestrado, BAIOCO [2] adicionou, aos trabalhos
anteriores, aspectos relacionados ao comportamento estrutural do duto, com o objetivo
de verificar rotas que atendam aos critérios de estabilidade devido a cargas hidrostáticas
e ambientais (hidrodinâmicas), com especial atenção à execução do On-Bottom Stability
(OBS). Além dos critérios de estabilidade, foram sugeridas, neste trabalho,
modificações na forma de tratar algumas restrições que precisavam ser mais
penalizadas.
Elaborada na plataforma Visual Basic .NET, o OtimRota utiliza o método de
penalização estática. Neste método de penalização os valores dos coeficientes ki, que
serão utilizados na função objetivo, para cada umas das restrições do problema
permanecem inalterados. Desta forma, torna-se necessário atribuir, em uma janela de
modelagem (figura 5.3 (a)), um peso ki para cada penalidade, que será constante durante
toda a evolução do algoritmo. O valor deste peso é definido com o objetivo de
amplificar algumas funções restrições (penali) em detrimento de outras. A escolha do
valor “ideal” para cada peso foi definido após diversos testes e análises de resultados
com o apoio de especialistas experientes neste tipo de projeto. A forma de representar as
funções penalidades (penal) de cada restrição e a função objetivo do problema serão
apresentadas a seguir.
28
a) Utilizando o método estático
b) Utilizando o APM
Figura 5.3: Configuração das penalidades do projeto.
É importante ressaltar que, caso haja a inclusão de uma nova restrição no projeto
ou uma alteração na forma de representar alguma função penalidade ou a alteração no
valor do peso de alguma restrição já existente, provavelmente, estes pesos “ideais” terão
que ser redefinidos.
Nos estudos de caso, será verificada a eficácia do método de penalização
adaptativa (APM) na otimização destas rotas, por meio da implementação deste método
no OtimRota, em que o principal objetivo é fazer com que os valores dos coeficientes de
penalidade ki, de cada restrição, sejam adaptados dinamicamente ao longo da evolução
do algoritmo, sem que seja necessário um especialista para atribuir os pesos “ideais”
para cada tipo de restrição (figura 5.3 (b)).
Na aplicação deste método, foi necessária uma alteração na forma de representar
a função objetivo do problema. Esta mudança será apresentada na próxima seção.
5.3 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA
Conforme mencionado no capítulo dedicado aos métodos de busca e otimização,
a primeira etapa em um processo de otimização é a representação matemática do
problema. Com o objetivo de contribuir com a evolução da ferramenta OtimRota, será
29
utilizada, neste trabalho, a mesma modelagem matemática apresentada em VIEIRA et
al. [43] para representar geometricamente uma rota de dutos.
Cada rota é definida por suas extremidades A e B, e por um conjunto de seções
retas e curvas. As curvas são necessárias para que uma rota possa desviar de algumas
restrições inerentes ao problema.
Na figura 5.4, pode-se verificar um exemplo de representação de uma rota com
duas curvas. Cada curva é representada por um arco circular de raio R e é definida por
um ponto inicial, chamado de PC, e um ponto final, conhecido como PT. Linhas retas
são utilizadas para conectar os pontos PT1 e PC2 das duas curvas consecutivas e os
pontos PC1 e PT2 com as extremidades da rota. Os prolongamentos de tais linhas se
cruzam em um ponto de inflexão, que foi chamado de PI. É importante observar que
cada curva, em uma rota de dutos, é representada por um PI.
Na representação matemática do problema, a posição de cada PI (ou curva) está
associada a um ponto base (p), que pode ser observado na figura 5.5. Estes pontos base
são distribuídos uniformemente em uma linha reta imaginária que interliga as
extremidades A e B. Esta linha imaginária pode ser visualizada na figura 5.4 por meio
de uma reta tracejada de cor roxa.
Restrição
30
Figura 5.4: Representação de curvas na parametrização do duto. Fonte: [24]. Modificada.
Durante a modelagem do problema, o usuário precisa definir a quantidade de
pontos base que serão utilizados para traçar a rota, assim será definido a quantidade
máxima de curvas que a rota poderá fazer entre os pontos A e B. Portanto, quanto maior
for o número de curvas necessárias para uma determinada configuração de rota, maior
deverá ser a quantidade de pontos base considerados no problema. Intuitivamente, uma
rota com apenas um ponto base só poderá ter uma curva, outra rota configurada com
três pontos base poderá apresentar, no máximo, três curvas. A figura 5.5 mostra um
exemplo de distribuição dos pontos base, na linha imaginária que conecta os pontos A e
B, para uma rota com 1, 2, 3 ou 4 NPI´s.
Figura 5.5: Exemplos de representação dos pontos base. Fonte: [24].
31
A posição relativa de cada PI a seu respectivo ponto base é definida em termos
de coordenadas polares, de acordo com a figura 5.6. Cada curva (com suas retas),
presente no percurso entre os pontos A e B, será resumida por meio do seu raio de
curvatura R e das coordenadas polares (δ e α) do ponto de inflexão PI ao seu respectivo
ponto base.
A Bp1
δα
PI1
Figura 5.6: Coordenadas polares do PI em relação ao seu ponto base. Fonte: [24].
Desta forma, cada indivíduo ou solução do algoritmo de otimização será
representado por uma quantidade de pontos base definidos pelo usuário e cada PI será
representado pelos seguintes parâmetros:
Chave de Ativação (A);
Afastamento – coordenada radial (δ);
Ângulo – coordenada angular (α);
Raio de Curvatura (R).
Apesar de o usuário definir um número fixo de pontos base para representar uma
rota, os números de PI’s ativos entre os pontos A e B podem variar, ao longo do
processo de otimização, por meio de um artifício de ativação e desativação de PI’s (ou
curvas).
A Chave de Ativação assume essa função a partir de uma representação binária,
na qual o valor 0 indica que o PI está inativo, fazendo com que as informações da curva
sejam ignoradas e o valor 1 indica que a curva está sendo considerada na representação
da rota. Desta forma, uma rota com 4 (quatro) pontos bases poderá ter apenas um PI
ativo para representar a melhor rota.
A codificação de cada indivíduo é representada da seguinte forma:
1 1 1 1 2 2 2 2 n n n nA R A R A R
32
Onde 11 1 1A R são os dados do primeiro PI e n é o número de pontos base (NPI)
definido pelo usuário.
É importante ressaltar que cada ponto base adicionado irá acrescentar 4 (quatro)
novas variáveis na representação de uma rota ou solução, aumentando a complexidade
do problema e dificultando o processo de busca realizado pelo algoritmo de otimização.
Por outro lado, uma quantidade pequena de pontos base poderá não ser suficiente para
que uma rota desvie de todos os obstáculos presentes em uma determinada região.
Por este motivo, é de extrema importância um correto dimensionamento da
quantidade de pontos base que irão representar uma determinada rota em um
determinado projeto.
5.3.1 Função Objetivo
Responsável por medir a eficiência de um determinado indivíduo/solução no
processo de busca, a função objetivo deve refletir a qualidade da rota analisada, levando
em consideração aspectos relevantes que dizem respeito às restrições do problema,
como dados geográficos e topográficos relacionados à batimetria de fundo e aos
obstáculos e interferências.
Em BAIOCO [2], a função objetivo foi representada da seguinte forma:
Np
i
iiABRota
ABobj
penalkdistL
distxF
1
. )(.
.100)( (5.1)
Onde Np representa o número de penalidades; ABdist o comprimento da linha
reta imaginária entre os pontos A e B; RotaL o comprimento total da rota que está sendo
analisada; penali representa o valor de cada penalidade i [1;Np]; ki representa uma
constante atribuída, pelo usuário, a cada restrição; e a constante 100 representa um fator
de escala para porcentagem.
Se desconsiderarmos todas as restrições do problema, a função objetivo ficará
resumida pela equação 5.2, que, devido à normalização, poderá assumir valores entre 0
e 100:
33
Rota
ABobj
L
distxF .100)( (5.2)
Assim, o valor de )(xFobj que representa a melhor rota possível será igual a 100 e
qualquer outra rota possuirá valor de )(xFobj entre (0 e 100]. Intuitivamente, pode-se
afirmar que o problema é de MAXIMIZAÇÃO e a rota ideal, que não possui restrições,
será uma reta ligando o ponto inicial A ao ponto final B com todos os PI´s desativados.
Para aplicar o método de penalização adaptativa, torna-se necessário desvincular
da função objetivo a função penalidade relativa a cada restrição. A função objetivo
proposta neste trabalho passa a ser representada unicamente pelo comprimento total da
rota que está sendo analisada.
Rotaobj LxfxF )()( (5.3)
Como a melhor rota é a que possui o menor comprimento, este problema passará
a ser de MINIMIZAÇÃO, com um intervalo entre [ ABdist ,∞) definido para o valor da
função objetivo e as funções penalidade, relativas a cada restrição, serão tratadas
dinamicamente pelo APM, de acordo com a equação 3.2.
5.4 RESTRIÇÕES DO PROBLEMA
Além de possuir o menor comprimento possível, a melhor rota deve respeitar
uma série de limitações inerentes à complexidade do problema. Estas limitações, que
procuram simular as dificuldades de um projeto real, são expressas por meio de funções
penalidades definidas para cada uma das restrições presentes na modelagem do
problema.
5.4.1 Cruzamento do duto sobre si mesmo
Esta restrição é responsável em penalizar as soluções/rotas que possuam
autocruzamento. Um algoritmo, que verifica o cruzamento de segmentos de retas,
analisa cada segmento do duto contra todos os demais para verificar se existe algum
cruzamento ao longo da rota.
34
O valor desta penalidade é diretamente proporcional ao número de interseções,
ou seja, um duto com menos cruzamentos será menos penalizado do que um com mais
cruzamentos.
A função penalidade para representar o cruzamento sobre si mesmo é
representada pela seguinte expressão:
1)( nInterExppenalCruzamento (5.3)
Onde nInter representa o número de interseções sobre si mesmo.
5.4.2 Cruzamento de obstáculo
Com o objetivo de evitar a passagem de rotas em áreas críticas (equipamentos de
fundo, flowlines, corais, entre outros), surge a necessidade de penalizar a solução/rota
que sobrepõe essas demarcações.
Para diferenciar as áreas em que a passagem do duto é tolerável de outras em
que a superposição precisa ser evitada, atribuem-se graus de importância, com pesos
diferentes, para cada tipo de obstáculo:
Nível 0 (cor verde): admite, com certa tolerância, haver sobreposição entre duto e
obstáculo.
Nível 1 (cor amarela): a superposição entre duto e obstáculo é condicionada;
Nível 2 (cor vermelha): não é admitida superposição;
Figura 5.7: Representação dos níveis de obstáculo.
35
Desta maneira, na geração da rota, a superposição do duto com obstáculos é
identificada realizando verificações de cruzamento entre os segmentos do duto contra
todos os segmentos que definem os obstáculos, sendo contabilizada a quantidade de
cruzamentos para cada nível de obstáculo.
A função penalidade para representar o cruzamento de obstáculos é representada
abaixo:
1)(1
nInter
i
Cruzamento impExppenal
(5.4)
Onde nInter representa o número de interseções com obstáculos; imp é o valor da
importância do obstáculo ( 0 1 20.2; 0.5; 1.0nivel nivel nivelimp imp imp ).
5.4.3 Comprimento mínimo entre curvas
Para atender os requerimentos necessários na operação de lançamento de dutos,
foi definida uma restrição que penaliza uma solução/rota quando a distância mínima
entre duas curvas é desrespeitada, ou seja, quanto menor for a distância entre duas
curvas, mais penalizada será a solução, em contrapartida, quando este valor superar o
comprimento mínimo estabelecido, a solução analisada não sofrerá penalizações.
minmin
minCompMinEntreCurvas
min0
medidomedido
medido
L Lse L L
Lpenal
se L L
(5.5)
Onde minL é o comprimento mínimo estabelecido; medidoL é o comprimento medido
de uma determinada solução.
No experimento numérico será utilizado o valor de 500 metros para o
comprimento mínimo entre duas curvas ( minL ).
36
5.4.4 Comprimento mínimo de trecho reto no início e fim da trajetória
Assim como o requerimento do comprimento mínimo entre curvas, há uma
exigência de lançamento que solicita que, tanto o trecho inicial quanto o trecho final de
uma rota, seja linear.
Desta forma, se o comprimento do trecho reto for inferior ao valor mínimo
estabelecido, a solução será penalizada de acordo com a função abaixo:
minmin
minCompInicFinal
min0
medidomedido
medido
L Lse L L
Lpenal
se L L
(5.6)
Onde minL é o comprimento mínimo estabelecido; medidoL é o comprimento medido
de uma determinada solução.
No experimento numérico será utilizado o valor de 500 metros para o
comprimento mínimo do trecho reto no início e no fim da rota ( minL ).
5.4.5 Declividade
Esta penalidade leva em consideração a topografia do terreno sobre o qual a rota
está sendo definida, ou seja, caso a declividade do duto ultrapasse o limite estabelecido,
a solução será penalizada.
Assim, para a penalidade em termos da declividade longitudinal do terreno, foi
estipulada a expressão a seguir, na qual, caso a declividade do duto ultrapasse o limite
estabelecido, a solução é penalizada segundo a média das violações.
1
exp( )nNosPenal
i
iDeclivLong i
Decliv LimDecliv
penal se Decliv LimDeclivnNosTotal
(5.7)
Onde nNosPenal é o número de nós que sofreram penalizações; nNosTotal é o
número total de nós da malha que define a rota analisada; Declivi é a declividade
calculada para o nó i; e LimDecliv é a declividade máxima estipulada.
No experimento numérico será utilizado o valor de 3o para o limite de declividade
máxima (LimDecliv).
37
5.4.6 Critério de raio mínimo de curvatura
Para evitar que o duto saia da rota planejada no momento de sua instalação,
deve-se evitar o posicionamento do duto com uma curva excessivamente fechada para
que ele não escorregue lateralmente. Desta forma, limita-se este raio de curvatura de tal
forma que o seu valor seja muito superior ao limite estrutural do duto.
Esse critério é dependente de propriedades do solo, como o coeficiente de atrito,
e de propriedades do duto, como o peso submerso, e se relaciona com estas variáveis
utilizando a expressão abaixo.
minresidual
s
TR
w
(5.8)
min
min
1 min
min0
nNosPenali
i
iRaioMin
i
R Rse R R
penal R
se R R
(5.9)
Onde minR é o raio mínimo de curvatura requerido; iR é o raio calculado do nó i;
residualT é a tração residual devido à operação de lançamento; é o coeficiente de atrito
do solo; sw é o peso submerso do duto.
No experimento numérico será utilizado o valor de 500 KN para a tração residual
( residualT ) e 0,4 para o coeficiente de atrito ( ), relativo ao solo de argila.
5.4.7 Critério de estabilidade
A estabilidade lateral do duto pode ser analisada por meio do critério de
estabilidade absoluta, que não permite deslocamentos, ou pelo critério generalizado, que
permite deslocamentos predefinidos. O critério de estabilidade absoluta fornece como
resultado um fator de segurança associado à estabilidade, enquanto o critério
generalizado estabelece o peso requerido para o deslocamento máximo permitido. Além
disso, há a consideração da declividade transversal na formulação de estabilidade que
permite que rotas próximas de taludes sejam mais penalizadas.
38
Desta forma, a formulação da penalidade é descrita em termos de sua
estabilidade vertical e lateral. Vale destacar que uma determinada solução/rota só viola
a restrição quando o fator de segurança for menor que um limite pré-estabelecido.
nNosTotal
ySF
penal
nNospenal
i
i
ZSC
EstabVert
1
_
Se i
ZSCy _ < SF (5.10)
nNosTotal
ySF
penal
nNospenal
i
i
YSC
alEstabLater
1
_
Se i
ySCy _ < SF (5.11)
Onde SF é o fator de segurança limite; i
ZSCy _ é o fator de segurança vertical
associado ao nó i; i
ySCy _ é o fator de segurança lateral associado ao nó i.
No experimento numérico será utilizado o critério de estabilidade absoluto com o
valor do fator de segurança limite (SF) igual a 1,1.
39
CCaappííttuulloo 66 -- EEssttuuddooss ddee CCaassoo
Para atingir os objetivos estipulados no Capítulo 1, os estudos de caso serão
divididos em duas partes. A primeira parte contém testes que tratam da otimização de
funções matemáticas, com e sem restrições, bastante conhecidas na literatura. O
objetivo deste primeiro experimento é avaliar o comportamento da metodologia adotada
neste trabalho, dando uma indicativa de sua eficiência para a posterior aplicação em um
caso real de Engenharia. Desta forma, o desempenho do Clonalg junto ao APM será
comparado com os resultados obtidos por outros algoritmos de otimização Bio-
Inspirados (AG e PSO) que utilizaram esta mesma técnica de penalização nestas
mesmas funções estudadas.
Na segunda parte deste estudo, será abordada a otimização de um problema real
de Engenharia, detalhado no Capítulo 5, que consiste na otimização de uma rota de
dutos submarinos para transportar hidrocarbonetos entre dois pontos pré-definidos.
Além de comparar o desempenho do Clonalg com outro algoritmo de otimização (AG),
a técnica de penalização adaptativa (APM) será confrontada com o método de
penalidade estática utilizado atualmente no OtimRota.
Em todos os experimentos realizados neste capítulo, as soluções iniciais,
utilizadas pelos algoritmos de otimização, foram geradas aleatoriamente respeitando os
limites de cada variável. Foi utilizada a codificação real para representar as variáveis do
problema.
6.1 FUNÇÕES MATEMÁTICAS
6.1.1 Funções sem Restrição
Os testes em funções matemáticas sem restrições foram empregados com o
objetivo de avaliar o comportamento do algoritmo de otimização Clonalg, descrito no
Capítulo 4. Como estas funções não possuem restrições em seu espaço de busca, não
será necessária a utilização do APM nestes testes.
Neste experimento, foram escolhidas as funções de minimização disponíveis em
MICHALEWICZ [35]. Estas funções estão descritas no Anexo A. Os valores ótimos
conhecidos e os limites de suas variáveis estão disponíveis na Tabela 6.1.
40
Tabela 6.1. Limites das variáveis e ótimo global conhecido das funções sem restrição
Função Valor Ótimo Limites Variáveis
F1 38,8275 8,51,41,120,3 21 Xx
F2 0000,0 51 1 x
F3 0000,961 310 1 x
F4 0.8794- 22 1 x
F5 8500,2 - 21 1 x
Os valores dos parâmetros utilizados na configuração do Clonalg estão descritos
na tabela abaixo.
Tabela 6.2. Parâmetros de configuração do Clonalg.
Parâmetros Valor
Número de Anticorpos 15
Número de Clones por Anticorpo 8
Hipermutação Somática 2 parâmetros
Rho (ρ) 14
Quantidade de Gerações 5000
Foram realizadas 30 execuções independentes para cada uma das funções com o
objetivo de avaliar o desempenho do algoritmo. A Tabela 6.3 expõe o melhor valor
encontrado, a média e o desvio padrão obtido nestas execuções. Destacam-se, em
negrito, os valores obtidos pelo algortimo de otimização, que convergiram para o ótimo
conhecido.
Tabela 6.3. Resultados das execuções do Clonalg em funções sem restrição
Função
Valor
Ótimo
Conhecido
Melhor
Valor Média
Desvio
Padrão
F1 38,8275 38,8275 38,9121 0,0499
F2 0000,0 0,0000 0,0001 0,0008
F3 0000,961 -961,0000 -961,0000 0,0000
F4 0.8794- -0,8794 -0,8800 0,0010
F5 8500,2 2,8500 2,8572 0,0229
O algoritmo se mostrou bastante eficiente na localização do valor ótimo em
todas as funções avaliadas, com um pequeno número de avaliações da função objetivo.
41
6.1.2 Funções com Restrições – Grupo G
Esta seção do trabalho tem o objetivo de validar e comparar o desempenho do
algoritmo Clonalg junto ao método de penalização adaptativa, APM, na otimização de
funções com restrições.
Foram escolhidas as 10 primeiras funções do grupo G, do inglês G-Suite,
disponível no Anexo A. Adotou-se este grupo de funções para possibilitar a comparação
com outros métodos de otimização que já apresentaram resultados eficientes utilizando
o APM no tratamento das restrições destas mesmas funções. Os limites de cada variável
e o valor ótimo conhecido de cada uma destas funções estão descritos na Tabela 6.4.
Todas estas funções são de minimização.
Tabela 6.4. Limites das variáveis e ótimo global conhecido das funções G.
Valor Ótimo Limites Variáveis
G1 -15,0000 )12,11,10(1000)13,9,...,1(10 ixix ii G2 -0,8036 )20,...,1(100 ixi
G3 -1,0005 )10,...,1(10 ixi
G4 -30665,5386 )5,4,3(4527453310278 21 ixxx i
G5 5126,4967 )4,3(55,055,0)2,1(12000 ixix ii
G6 -6961,8138 100010013 21 xx
G7 24,3062 )10,...,1(1010 ixi
G8 -0,0958 )2,1(100 ixi
G9 680,6300 )7,...,1(1010 ixi
G10 7049,2480 )8,...,4(100010
)3,2(10000100010000100 21
ix
ixx
i
Após diversas tentativas na busca da melhor configuração para a metodologia
(Clonalg+APM) na otimização de funções com restrições, optou-se em utilizar os
mesmos parâmetros de configuração do algoritmo Clonalg definidos na otimização das
funções sem restrições. Estas configurações já foram apresentadas anteriormente e estão
disponíveis na Tabela 6.2.
Nestes testes, foram realizadas 20 execuções independentes, para cada uma das
funções, com o objetivo de avaliar o desempenho do algoritmo Clonalg utilizando o
APM. Os resultados do melhor e do pior valor, da média, do desvio padrão e do número
de indivíduos viáveis obtidos nestas execuções estão expostos na Tabela 6.5. O melhor
valor e a quandidade de indivíduos viáveis apresentados na tabela foram obtidos na
42
melhor execução de cada uma das funções analisadas. Destacam-se, em negrito, os
valores que convergiram para o valor ótimo conhecido.
Tabela 6.5. Resultados das execuções do Clonalg+APM em funções com restrições
Valor
Ótimo
Conhecido
Melhor Pior Média Desvio
Padrão
Indivíduos
Viáveis
G1 -15,0000 -15,0000 -12,8915 -14,8876 0,4353 15
G2 -0,8036 -0,8036 -0,7574 -0,7838 0,0119 15
G3 -1,0005 -0,9994 -0,9984 -0,9991 0,0002 15
G4 -30665,5386 -30665,5195 -30664,5957 -30665,1928 0,2631 15
G5 * 5126,4967 5127,3460 5228,3830 5160,3768 31,7304 1
G6 -6961,8138 -6961,5762 -6954,8096 -6958,9779 1,9067 12
G7 24,3062 24,3502 24,5620 24,4482 0,0522 12
G8 -0,0958 -0,0958 1,1977 -0,0386 0,2356 15
G9 680,6300 680,6685 680,9141 680,7566 0,0573 15
G10 7049,2480 - - - - 0
Pode-se verificar, na Tabela 6.5, que o algoritmo apresentou resultados
competitivos para a maioria das funções estudadas, apesar de ter sido verificada a
convergência para o valor ótimo somente em 3 (três) funções (G1, G2 e G8).
O asterisco (*) presente na função G5 indica que o algoritmo conseguiu
convergir para uma região viável do espaço de busca em apenas 67% das execuções,
desta forma, só foram consideradas estas execuções para calcular as informações
estatísticas desta função. Na função G10, não houve convergência para uma região
viável em nenhuma das execuções realizadas.
Com o objetivo de validar o desempenho da metodologia adotada
(Clonalg+APM) em funções com restrições, apresenta-se, na Tabela 6.6, um
comparativo dos resultados obtidos neste trabalho com outros métodos de otimização
bio-inpirados que utilizaram esta mesma técnica de penalização no tratamento das
mesmas funções, são eles:
. AG+APM em BARBOSA et al. [4] , cujos resultados foram obtidos com uma
população de 70 indivíduos através de 20 execuções independentes com 5000 gerações
cada uma.
. PSO +APM em SILVA et al. [39], cujos resultados foram obtidos com uma
população de 70 partículas através de 20 execuções independentes com 5000 gerações
cada uma.
43
Destacam-se, em negrito, os valores que convergem para o mínimo conhecido.
Tabela 6.6. Comparativo dos resultados obtidos com o Clonalg+APM
Função (Valor Ótimo) Clonalg+APM
PSO+APM
SILVA et al.
[39]
AG+APM
BARBOSA et al.
[4]
G1 -15,0000 -15,0000 -15,0000 −15,0000
G2 -0,8036 -0,8036 -0,8036 -0,7780
G3 -1,0005 -0,9994 -1,0005 0,9997
G4 -30665,5386 -30665,5195 -30665,5386 −30665,5100
G5 5126,4967 5127,3640 5140,7590 5126,5710
G6 -6961,8138 -6961,5762 -6961,8138 −6961,7960
G7 24,3062 24,3502 24,3315 24,8613
G8 -0,0958 -0,0958 -0,0958 -0,0958
G9 680,6300 680,6685 680,6317 680,7222
G10 7049,2480 - - 7080,3280
Verifica-se, na Tabela 6.6, que o Clonalg+APM conseguiu melhores resultados
que o AG+APM em 4 (quatro) das funções estudadas (G2, G4, G7 e G9). Nas funções
G1 e G8, todos os algoritmos conseguiram convergir para o ótimo conhecido e, na
função G10, assim com o PSO+APM, o Clonalg+APM também não foi capaz de
encontrar soluções viáveis. Pode-se verificar que o PSO apresentou melhores resultados
ao utilizar o APM para tratar as restrições das funções estudadas.
Estes resultados demonstram que o APM, que foi inicialmente desenvolvido
para auxiliar o AG no tratamento de restrições, pode ser aplicado com eficácia em
outros métodos de otimização bio-inspirados.
Os resultados obtidos nesta seção foram considerados satisfatórios para que a
metodologia proposta neste trabalho (Clonalg+APM) possa ser aplicada na otimização
de uma rota de duto; experimento que será tratado na próximo seção.
44
6.2 OTIMIZAÇÃO ROTA DE DUTOS SUBMARINOS
Esta seção será dedicada ao estudo da otimização de uma rota de dutos
submarinos.
Após validar o desempenho do Clonalg utilizando o método de penalização
adaptativa APM no tratamento das restrições presentes nas funções de benchmark, sua
eficiência será verificada na ferramenta de síntese e otimização de dutos submarinos,
conhecida como OtimRota. Esta ferramenta foi descrita no Capítulo 5.
Além de comparar a eficácia do APM aplicado em dois algoritmos diferentes de
otimização (Clonalg e AG), o desempenho desta técnica de penalização será comparado
com o método de penalização estática utilizado atualmente nesta ferramenta
computacional..
6.2.1 Configuração dos Algoritmos e Modelagem do Problema
A Tabela 6.7 apresenta os valores dos principais parâmetros definidos na
configuração dos algoritmos de otimização utilizados nesta seção.
Tabela 6.7. Parâmetros do Clonalg e do AG usados na otimização de uma rota de Dutos
Clonalg (SIA)
Parâmetro Valor
Número de Anticorpos 5
Número de Clones por Anticorpo 5
Hipermutação Somática 2 parâmetros
Rho (ρ) 14
Quantidade Gerações 500
Algoritmo Genético
Parâmetro Valor
Tamanho da População 50
Taxa de Crossover 0,6
Mutação não uniforme (b) 5
Elitismo 1
Quan dade Geraç es 500
A tabela abaixo apresenta os valores dos coeficientes de penalização que serão
utilizados para multiplicar cada uma das funções penalidades nos testes em que será
utilizado o método de penalização estática. É ainda oportuno lembrar que os pesos
destes coeficientes foram definidos como “ideais” utilizando algoritmos genéticos, após
diversos testes e análises com o apoio de especialistas experientes neste tipo de projeto.
45
Tabela 6.8. Coeficientes de penalidade estática
Penalidades
Peso (ki)
Penalização
Estática
Cruzamento do duto sobre si mesmo 10
Restrição de obstáculo 5
Comprimento mínimo entre curvas 1
Declividade longitudinal máxima 2
Comprimento reto mínimo de saída 1
Comprimento reto mínimo de chegada 1
Raio mínimo 1
Estabilidade 1
Neste experimento, foi definido um número máximo de 4 (quatro) PI´s para
traçar a rota, desta forma, a codificação de cada indivíduo/solução será representada da
seguinte maneira:
4444333322221111 ||| RARARARA
Os limites de cada uma destas variáveis estão descritos na tabela abaixo. Todas
as combinações possíveis destas variáveis definem o espaço de busca do problema que
está sujeito às restrições apresentadas no Capítulo 5.
Tabela 6.9. Limite das variáveis representativas de uma rota de dutos
Variáveis Limites
Ativação [0 , 1]
Ângulo
[0 , 360]
Afastamento [0, 6237]
Raio [500 , 5000]
O valor do fator de ativação, que define a probabilidade de ativação de cada PI
(ou curva), foi definido como 0,75 (75%) para os dois algoritmos. Desta forma, o PI
será considerado no traçado da rota quando o valor da variável A (ativação) for maior
ou igual a 0,25.
A figura 6.1 representa o problema que será otimizado. A distância mínima entre
os dois pontos (A e B), que se deseja interligar, é de 12.473,99 metros e é representada
pela linha reta, de cor roxa, pontilhada, que contem os 4 (quatro) pontos base.
46
Figura 6.1: Representação do problema.
6.2.2 Resultados Obtidos
Neste experimento, foram avaliados, por meio de 30 (trinta) execuções
independentes, os desempenhos de dois algoritmos de otimização (Clonalg e AG)
utilizando duas formas diferentes (APM e Método Estático) para tratar as restrições
inerentes ao problema. Assim, para facilitar a comparação de desempenho, os
algoritmos serão identificados, neste trabalho, da seguinte forma:
Clonalg (SIA) + APM;
Clonalg (SIA) + Penalização Estática;
AG + APM;
AG + Penalização Estática.
Os testes foram executados em um computador com as seguintes configurações:
Intel Core 2 Duo P8600 @ 2.40Ghz com 3 GB de memória RAM. O tempo de
processamento das 30 (trinta) execuções para cada um dos algoritmos analisados foi:
Clonalg (SIA) + APM: 29 minutos; Clonalg (SIA) + Penalização Estática: 20 minutos;
AG + APM: 41 minutos; AG + Penalização Estática: 41 minutos.
As tabelas (6.10 - 6.13) a seguir apresentam o desempenho de cada um dos
algoritmos analisados na otimização da rota de dutos. Os resultados do melhor e do pior
valor, da média e do desvio padrão obtidos nestas execuções estão expostos nestas
tabelas. Além do comprimento da rota, são apresentadas as informações estatísticas das
47
duas únicas penalidades (obstáculo e declividade) que ficaram ativas no final de cada
execução. Os melhores valores obtidos, para estas três variáveis, em todas as execuções,
estão destacados em negrito nas tabelas a seguir.
Os valores de saída referentes às penalidades, obtidos no OtimRota, nas rodadas
que utilizaram o método de penalização estática, estavam multiplicados pelos valores de
seus respectivos coeficientes de penalidade (ki), descritos na Tabela 6.8. Esses valores
de saída foram divididos por estes mesmos coeficientes para que seus resultados
pudessem ser comparados com os resultados obtidos utilizando o APM. É importante
ressaltar que as Tabelas 6.11 e 6.13 já apresentam os valores das penalidades com estas
alterações.
Tabela 6.10. Resultados do Clonalg + APM na Rota de Dutos.
Clonalg + APM
Dados de Saída Melhor Pior Média Desvio
Padrão
Comprimento (m) 12953,2890 13417,3280 13169,9520 98,2682
Penalidade Obstáculo 0,8220 8,0250 1,3425 1,5019
Penalidade Declividade 0,2750 0,6880 0,4627 0,1051
Outras Penalidades 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Tabela 6.11. Resultados do Clonalg + Penalização Estática na Rota de Dutos.
Clonalg + Penalização Estática
Dados de Saída Melhor Pior Média Desvio
Padrão
Comprimento (m) 13150,9800 16837,4530 13747,5223 759,2545
Penalidade Obstáculo 0,8222 8,0978 1,9281 2,0860
Penalidade Declividade 0,2340 1,1680 0,6021 0,2143
Outras Penalidades 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Tabela 6.12. Resultados do AG + APM na Rota de Dutos.
AG + APM
Dados de Saída Melhor Pior Média Desvio
Padrão
Comprimento (m) 12965,1760 13912,7080 13277,5516 204,5328
Penalidade Obstáculo 0,8220 1,7180 0,9017 0,2228
Penalidade Declividade 0,2440 0,6770 0,4626 0,1062
Outras Penalidades 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
48
Tabela 6.13. Resultados do AG + Penalização Estática na Rota de Dutos.
AG + Penalização Estátiva
Dados de Saída Melhor Pior Média Desvio
Padrão
Comprimento (m) 13224,1700 13984,3420 13434,1060 229,1197
Penalidade Obstáculo 0,8222 1,7182 0,9424 0,3095
Penalidade Declividade 0,2950 0,7500 0,4790 0,0722
Outras Penalidades 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Uma análise nos dados estatísticos, apresentados nas tabelas acima, demonstra
que, além de apresentar rotas mais curtas, o APM conseguiu obter resultados mais
robustos, que o método de penalização estática, ao apresentar valores menores de média
e desvio padrão para o comprimento da rota e para as violações de declividade e de
obstáculo. O destaque, neste experimento, ficou por conta do menor valor médio, obtido
pelo Clonalg+APM, para o comprimento das rotas e os menores valores médios, obtidos
pelo AG+APM, para os valores das duas violações.
A figura 6.2 representa um comparativo das trinta rotas/soluções obtidas por cada
um dos algoritmos analisados. Vale lembrar que as informações expostas nas tabelas
6.10 - 6.13 foram obtidas destas soluções.
a) AG + APM b) Clonalg + APM
49
c) AG + Penalização Estática d) Clonalg + Penalização Estática
Figura 6.2: Representação das soluções obtidas pelos algoritmos.
Apesar do menor comprimento de uma rota representar um menor custo de
projeto, os valores das penalidades obtidas nestas execuções devem ser considerados na
determinação da melhor solução. Com o intuito de comparar o desempenho entre os
dois métodos de penalização (APM e Estático), que possuem funções objetivos
distintas, discutidas no item 5.3.1, foi sugerida uma função, chamada de função objetivo
de comparação, que utiliza as informações das tabelas 6.10 – 6.13 para comparar o
desempenho dos resultados obtidos pelos quatro algoritmos analisados. Esta função, que
é de minimização, foi descrita conforme a equação abaixo:
spenalidadeoCompriment
xF1000
)( (6.1)
O fator 1000 foi colocado com o intuito de aproximar a ordem de grandeza entre
os valores relativos ao comprimento da rota e os valores das violações. Intuitivamente,
quanto menor for o valor deste fator, maior será o peso do valor do comprimento na
determinação da melhor solução/rota.
Os resultados do melhor e do pior valor, da média e do desvio padrão
encontradas nas 30 execuções realizadas em cada algoritmo, utilizando a função
comparação acima, estão expostos na Tabela 6.14.
50
Tabela 6.14. Comparativo dos resultados obtidos na otimização de uma rota de dutos
Algoritmo Método de
Penalização Melhor Pior Média
Desvio
Padrão
Clonalg APM 14,2829 21,3203 14,9752 1,4532
Estática 14,6252 23,9605 16,2777 2,4576
AG APM 14,3212 15,9827 14,6418 0,3561
Estática 14,5224 16,1825 14,8556 0,5276
O destaque neste comparativo ficou com o Clonalg+APM ao apresentar a
melhor solução/rota. O AG+APM obteve, nas 30 (trinta) execuções, um resultado mais
robusto ao apresentar os melhores valores de média e desvio padrão.
Os valores apresentados na Tabela 6.15 expõem as informações da melhor rota,
gerada por cada um dos algoritmos, utilizando a função objetivo de comparação descrita
na equação 6.1.
Tabela 6.15. Melhores resultados de cada algoritmo na otimização de uma rota de dutos.
Algoritmo Método de
Penalização Aptidão Comprimento
Penalidade
Obstáculo
Penalidade
Declividade
Clonalg APM 14,2829 13101,9110 0,8220 0,3590
Estática 14,6252 13430,4490 0,8928 0,3020
AG APM 14,3212 12965,1760 0,8850 0,4710
Estática 14,5224 13224,1700 0,8222 0,4760
Vale ressaltar que, se tivéssemos utilizado o fator 100 na função 6.1 para a
comparação dos algoritmos, haveria uma inversão de resultados, onde a melhor solução
passaria a ser representada pelo AG+APM, pois seria dada maior ênfase ao valor do
comprimento da rota em detrimento aos valores das penalizações e o Clonalg+APM,
que possui a menor média para o comprimento das rotas, passaria a ser o algoritmo mais
robusto ao apresentar os melhores valores de média e desvio padrão.
A figura 6.3 apresenta as melhores rotas obtidas pelos quatro algoritmos
analisados. Estas rotas representam as soluções presentes na Tabela 6.15.
Verifica-se, na figura 6.3(a), que a rota mais curta, obtida pelo AG+APM, possui
os quatro (todos) PI´s ativos.
51
a) AG + APM b) Clonalg + APM
c) AG + Penalização Estática d) Clonalg + Penalização Estática
Figura 6.3: Representação das melhores soluções obtidas pelos algoritmos.
Durante os testes, ficou evidente que o APM demorou mais para convergir para
uma região satisfatória do problema (linha cinza nas figuras acima), visto que, no
método de penalização estática, os pesos “ideais’ para esta configuração já estão
ajustados, facilitando a convergência do algoritmo. Porém, apesar de encontrar rotas
satisfatórias mais rápidas, o método de penalização estática não conseguiu gerar rotas
tão curtas quanto às obtidas utilizando o APM, lembrando que uma pequena redução no
comprimento de uma rota de dutos pode representar uma economia de custo
significativa em um projeto de Engenharia offshore.
52
Cabe destacar que todas as soluções geradas pelo algoritmo de otimização, neste
problema, são representadas por indivíduos inviáveis, pelo fato destes indivíduos
violarem, ao menos, uma restrição durante toda a evolução do algoritmo. Desta forma, a
média da função objetivo da população, que o APM utiliza para recalcular o valor da
função objetivo de todas as soluções inviáveis, deverá convergir junto com a melhor
solução. Caso alguns indivíduos fiquem “presos” em rotas consideradas ruins, a
convergência na média da função objetivo de toda a população não acontecerá e os
melhores indivíduos terão o valor de sua função objetivo reajustado para o valor de uma
média que não converge, prejudicando o desempenho do algoritmo.
53
CCaappííttuulloo 77 -- CCoonncclluussããoo
Essa dissertação inicia contextualizando a exploração do petróleo em águas cada
vez mais profundas, evidenciando a importância do desenvolvimento de novas
ferramentas computacionais de otimização que precisam simular e ser capazes de tratar
as restrições de um problema real de Engenharia offshore.
Em seguida foram descritos alguns métodos de busca e otimização, com
destaque para as meta-heurísticas bio-inspiradas, que se mostraram bem fundamentadas
por meio de citações de alguns trabalhos que utilizaram estas técnicas na otimização de
problemas em diversas áreas do conhecimento.
No capítulo seguinte, foram apresentados alguns métodos de penalização,
disponíveis na literatura, que são utilizados para auxiliar os algoritmos de otimização no
tratamento de problemas que possuem restrições. Com destaque as técnicas adaptativas
que se baseiam na alteração dos valores dos fatores de ponderação das penalidades ao
longo do processo de otimização.
A metodologia proposta nesta dissertação utiliza o método de penalização
adaptativa, conhecido como APM, para auxiliar o algoritmo de otimização Clonalg, que
se baseia na meta-heurística Sistemas Imunológicos Artificiais, na busca de soluções
otimizadas em uma rota de dutos submarinos.
Com o objetivo de contextualizar e dar embasamento a este trabalho, foi
apresentado um resumo com as principais etapas de um projeto de rota de dutos e sua
aplicação em uma ferramenta computacional, conhecida como OtimRota. Uma
mudança proposta, por este trabalho, foi a simplificação da função objetivo que passou
a ser de minimização, sendo dependente apenas do comprimento da rota. Esta
formulação se mostra mais coerente com o resultado que se deseja obter na otimização
deste problema.
O estudo de caso é realizado, inicialmente, em funções matemáticas e, por fim,
com uma aplicação prática na otimização de rotas de dutos submarinos. Para as funções
matemáticas sem restrições, o Clonalg conseguiu convergir para o ótimo conhecido em
todas as funções, com um pequeno número de avaliações da função objetivo. Em
seguida, foram estudadas as funções matemáticas com restrições. Neste experimento,
foram comparadas três metodologias diferentes de otimização bio-inspiradas (Clonalg,
AG, e PSO) utilizando o APM para tratar as restrições. Os resultados mostram que a
metodologia proposta neste trabalho se mostrou mais eficiente que o AG em quatro
54
funções e conseguiu convergir para o ótimo local em três das dez funções analisadas. O
destaque, neste experimento, ficou por conta do PSO, que apresentou os melhores
resultados.
Por fim, foram realizados os testes na otimização de uma rota de dutos. Além de
comparar o desempenho do Clonalg com o AG, a eficácia da técnica de penalização
adaptativa APM foi confrontada com um método de penalização estática, onde os
coeficientes de penalizações se mantem constantes durante a evolução do algoritmo.
Esse método estático é utilizado atualmente no OtimRota para o tratamento de
restrições.
Apesar do Clonalg+APM encontrar a melhor rota, o AG+APM se mostrou mais
eficiente e robusto ao proporcionar as melhores soluções nos testes executados, com a
melhor média e pouca variabilidade de boas rotas. Assim, além de mostrar a capacidade
de se adaptar a diferentes metodologias de otimização, observa-se que os resultados
utilizando o APM se mostraram mais eficientes que os obtidos utilizando a penalização
estática.
Com base nestes resultados, pode-se afirmar que o APM é capaz de auxiliar os
métodos de otimização em problemas reais de projetos de dutos, refinando a análise no
que tange a evitar obstáculos, procurando menores declives e encontrando rotas com
menor comprimento. Desta forma, a metodologia empregada neste trabalho apresentou
resultados coerentes, satisfatórios e com um reduzido tempo computacional.
Como sugestões para trabalhos futuros, além de estudar e desenvolver novas
técnicas para o tratamento de restrições, será verificada a possibilidade de combinação
de diferentes métodos de otimização, utilizando o que há de melhor em cada um deles,
com destaque ao trabalho de BERNARDINO [8], que utiliza o Clonalg para guiar o AG
no tratamento de restrições em problemas de otimização. Estudo de métodos de
otimização em análises dinâmicas e alterações na forma de mutação do SIA, para
melhorar sua competitividade em problemas de otimização com restrições, também
serão considerados em trabalhos posteriores.
55
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60
AANNEEXXOO AA
FUNÇÕES SEM RESTRIÇÕES
)20()4(5,21)(min1 2211 xsenxxsenxxfF
44)(min2 1
2
1 xxxfF
2
1)(min3 xxfF
44)(min4 1
2
1
3
1 xxxxfF
1)10()(min5 11 xsenxxfF
FUNÇÕES COM RESTRIÇÕES
A descrição destas funções estão disponíveis em LIANG et al[32].
02:
02:
02:
08:
08:
08:
01022:
01022:
01022:
55)(min1
12989
11768
10547
1236
1125
1014
1211323
1210312
1110211
13
5
4
1
24
1
xxxr
xxxr
xxxr
xxr
xxr
xxr
xxxxr
xxxxr
xxxxr
asujeito
xxxxfGi
i
ii
i i
61
020*5.7:
075.0:
)(cos2)(cos
)(min2
20
1
2
20
1
1
20
1
2
20
1
220
1
4
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
xr
xr
asujeito
ix
xx
xfG
01:
)10()(min3
10
1
2
1
10
1
10
i
i
i
i
xr
asujeito
xxfG
0200019085,0
0012547,00047026,0300961,9:
0250019085,0
0012547,00047026,0300961,9:
0900,0021813x
0,00299550,007131780,51249:
01100,0021813x
0,00299550,007131780,51249:
00,0022053
0,00062620,0056858 85,334407:
092 0,0022053
0,00062620,005685885,334407:
141,40792293239,378356891,03578547,5)(min4
43
31536
43
31535
3
2
21524
3
2
21523
53
41522
53
41521
151
2
3
xx
xxxxr
xx
xxxxr
xxxxr
xxxxr
xx
xxxxr
xx
xxxxr
asujeito
xxxxxfG
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