aplicação da geometria analítica na localização de barcos, uma bordagem didática

DILOGOS SOARES, W.A & SILVA, G.V & SOBRAL, P.M. Aplicao da Geometria Analtica na Localizao de Barcos, Uma Abordagem Didtica.

Aplicao da geometria analtica na localizao de barcos, uma bordagem didticaProf. Dr. Willames de Albuquerque Soares 1 Gabryella Vasconcelos da Silva 2 Pmela Maciel Sobral2 UPE\Faceteg

RESUMO Uma forma de contextualizao, aplicabilidade e multidisciplinaridade da geometria analtica est apresentada. Para a matemtica, o sistema LORAN (Long-Ranger Navigation), possvel contextualizar as cnicas, com suas hiprboles e elipses. O uso das e estudo das ondas e velocidades mdias para a fsica. Alm de destacar fatos histricos e posicionamentos geogrficos. Palavras-chave: Ensino da Matemtica, Geometria Analtica, LORAN.

INTRODUO Os alunos sempre questionam a aplicabilidade dos contedos aprendidos em sala de aula. Isto no diferente na disciplina de matemtica. Partindo desta prerrogativa, ser apresentada aqui uma forma diferenciada de aplicabilidade da Geometria Analtica, por meio do sistema LORAN (Long-Ranger Navigation). Alm de contextualizar as aulas com a realidade, mostrando a utilidade do aprendizado das cnicas estar praticando a multidisciplinaridade com professores de disciplinas como histria e geografia. O sistema LORAN foi originalmente desenvolvido pelos Estados Unidos em 1940, tendo constitudo uma das primeiras tentativas de implementao de um sistema hiperblico de navegao de longo alcance, capaz de proporcionar, continuamente e em qualquer condio de tempo, informao de posicionamento1 2

Professor Doutor da Universidade de Pernambuco Alunas de Iniciao cientfica da Universidade de Pernambuco em 2010.DILOGOS N. 4 maro \ junho, 2011 UPE \ Faceteg Garanhuns, PE separata, p. 115-126


para navios ou aeronaves. A Segunda Guerra Mundial e a Guerra da Coria aceleraram o estabelecimento do sistema, inicialmente denominado de LORAN-A que posteriormente evoluiu o atual LORAN-C, tornando-se operacional em 1957 (PORTAL MARTIMO, 2009). Este sistema utiliza as cnicas como base de seu funcionamento, as quais desempenham um papel importante em vrios domnios da Fsica, Economia e Engenharia, entre outros (SANTOS, et al, 2005). Mesmo aplicada implicitamente, exige um domnio de seu contedo, como observado na construo de telescpios, antenas, radares, faris, lanternas e outros. As cnicas se dividem em trs sees: elipse, parbola e hiprbole. As elipses so o conjunto de todos os pontos P no plano tal que a soma das distncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) constante, tendo uma aplicao na Astronomia, na qual Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem rbitas elpticas. As parbolas so o conjunto de todos os pontos P no plano, tais que a distncia de P um ponto fixo F, chamado foco, igual distncia de P a uma distncia fixa D, chamada diretriz, sendo observada na trajetria de projteis e na construo de parablicas. As hiprboles so o conjunto de todos os pontos P no plano tal que o valor absoluto da diferena das distncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 um nmero positivo constante K, alm de outras aplicaes, so de grande importncia para o desenvolvimento dos sistemas de localizao de barcos (MUNEM, et al, 1982). O sistema LORAN um sistema hiperblico de rdio navegao, de longo alcance, o qual utiliza pulsos de radiofreqncia (PORTAL MARTIMO, 2009). Sendo possvel manter a comunicao com vrias embarcaes ou com uma central, possibilitando ento a agilidade da comunicao e a sua preciso. Este sistema utiliza a propagao do som no vcuo por meio de ondas tridimensionais (HALLIDAY, et al, 2006), alm das hiprboles confocais, onde os radares esto nos focos. Baseado na diferena de tempo de recepo dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comuns entre si, construindo um mapa que apresenta curvas hiperblicas. Esta foi a

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tcnica utilizada pelos Estados Unidos para detectar os barcos japoneses podendo ento desviar-se dos seus ataques, na II Guerra Mundial. UM POUCO DE HISTRIA A primeira transmisso de rdio foi feita pelo italiano Marconi em 1901, salientando que as vlvulas eletrnicas dos rdios antigos tambm foram inventadas nessa mesma dcada. Entretanto, a primeira transmisso comercial de rdio aconteceu nos EUA em 1921, desde ento o aparelho de rdio se espalhou por todo o planeta (SCHMIDT, 2005). J na Segunda Guerra Mundial os japoneses tiveram uma das operaes mais bem planejadas e ousadas com o ataque de Pearl Harbor, como ficou conhecido. Um ataque que em apenas duas horas os avies japoneses, sem aviso prvio, liquidaram a maior parte da tropa norte-americana que estavam no Hava no dia 07 de dezembro de 1941 (Figura 1), marcando ento a entrada dos Estados Unidos na Segunda Guerra Mundial e se tornando inimigo dos japoneses.

Figura 1- Ataque a Pearl Harbor na Segunda Guerra Mundial.

Durante a Segunda Guerra Mundial, a Coria foi ocupada por tropas soviticas e norte-americanas (os americanos entraram para combater os japoneses). As tropas soviticas ocupavam a Coria do Norte e os norteamericanos ocupavam a Coria do Sul. O bloco sovitico formado pelo Rssia, Japo e China, enquanto o bloco americano apoiado por quinze pases representantes da ONU, logo tinham o papel de sustentar e apoiar este povo. 117


Como a Coria do sul est territorialmente ladeada pelos soviticos (Figura 2) impossibilitava de seus navios que continham os mantimentos para seus aliados conseguirem chegar at a costa martima, pois eram naufragados antes por navios japoneses. Ento houve a necessidade de aplicar o seu sistema de localizao de barcos, desenvolvido em 1940, para poder localizar e desviar dos navios japoneses.

Figura 2 - Mapa de localizao da Coria do Sul.

3 CONTRUO DA HIPERBLICA ATRAVS DE RADARES CONFOCAIS Por meio dos estudos da propagao de ondas sonoras possibilitou-se a construo de um mapa cujo contedo mostra as curvas hiperblicas. Na localizao das mesmas o lugar para receptar sinais sonoros, pois esto em locais denominados de linhas de interferncia construtiva, como pode ser observado na figura 3.

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A

B

Cristas da fonte A. Cristas da fonte B. Vales da fonte A. Vales da fonte B. Interferncia Construtiva. Interferncia Destrutiva.

Figura 3- Propagao de Ondas Sonoras.

Na Figura 3, mostrada a propagao de ondas sonoras originadas a partir de duas fontes A e B. Ao emitir um sinal sonoro surgem ondas compostas de cristas e vales, e quando duas ou mais fontes sonoras enviam sinais simultneos existem pontos que ocorrem interferncia, a qual pode ser construtiva ou destrutiva. A interferncia construtiva formada pela superposio de duas cristas ou de dois vales, nessas localidades o receptor ter uma melhor qualidade de som, pois esse encontro provoca a amplitude da onda. J a destrutiva causada pela superposio de uma crista e um vale, nesses pontos o receptor no obter nenhuma informao sendo assim conhecidos como pontos surdos (BONJORNO, et al, 2005). So por meio destas propriedades fsicas que so traadas as curvas hiperblicas, ou seja, as duas fontes emissoras so os focos e a partir dos mesmos traam-se circunferncias, cujos raios aumentam gradualmente e na mesma proporo. A curva hiperblica determinada nas linhas formadas pelos pontos de Interferncia construtiva, como mostrado na Figura 4.

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a b c d 7 6 5 4 3 2 1 F f g h i j e F1

Figura 4- Mapa das Curvas Hiperblicas

Atribuiu-se um valor unitrio ao raio e uma distncia entre os dois focos de quatro unidades. Dado um ponto, a diferena entre suas distncias a cada foco resulta na distncia das curvas hiperblicas, sendo de duas unidades para este exemplo, calculadas por meio de pontos localizados no mapa. Logo, no ponto a, a distncia at o foco F de cinco unidades e de sete do foco F1, como pode ser visto na Figura 4. A Tabela 1 mostra que a diferena entre as distncias de qualquer ponto para cada foco, resulta na distncia das duas curvas hiperblicas, entre si.

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Tabela 1- Distncia entre as hiprboles.

Valores dos raios

Ponto A B C D E F G h I J

Circunferncia com centro em F 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

Circunferncia com centro em F1

Diferena 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

7 6 5 4 3 3 4 5 6 7

Vale ressaltar, que quando a diferena constante das distncias pequena, a hiprbole se localiza prximo mediatriz (que a perpendicular ao meio da distncia focal) e bastante aberta; ao contrrio, quando a diferena constante das distncias cresce, os ramos da hiprbole se aproximam dos focos e a curvatura aumenta (PORTAL MARTIMO, 2009), como pode ser visualizado nas Figuras 5 e 6.

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MEDIATRIZ

M

E

Figura 5 Ramos e curvatura da hiprbole

MEDIATRIZ

M

E

.Figura 6 Aproximao dos ramos da hiprbole e curvatura aumentada causada pela pequena distncia entre os focos

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4 AMBIGUIDADE Como pode ser visto em uma hiprbole h dois ramos simtricos (Figura 7), onde a ambos corresponder a mesma diferena de distncias, ou mesmo intervalo de tempo. Como o receptor capaz apenas de medir o intervalo de tempo entre a recepo dos dois sinais (emitido por dois barcos, por exemplo), haver uma ambigidade, pois, o receptor no conseguir distinguir em qual dos dois ramos hiperblicos se encontra o barco. ' '

M

E

Figura 7 - Ramos Hiperblicos Simtricos.

A velocidade de propagao das ondas eletromagnticas na atmosfera de, aproximadamente, 3.108 m/s, ou cerca de 162.000 milhas nuticas por segundo. Assim, a onda hertziana percorre 0,162 milha nutica por microssegundo, ou 16,2 milhas em 100 s. Isto significa que, na Figura 6, o intervalo de 100 s entre as circunferncias traadas corresponde a 16,2 milhas nuticas (PORTAL MARTIMO). Na Figura 8, mostra a hiprbole , considerando-se o ponto P, um sinal de rdio demora de M a P, 400 s, e de E a P, 600 s. Se os sinais fossem emitidos simultaneamente um receptor no ponto P receberia o sinal de M 200 s antes de receber o sinal de E. O mesmo procedimento pode ser feito para os pontos Q, R e

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S. Esta figura mostra tambm um intervalo de 400 s entre os dois focos da hiprbole, valor que dever ser acrescentado a diferena das distancias de um ponto a cada um dos focos. Por exemplo, a diferena das distncias do foco M ao receptor P e do foco E ao receptor P, resultar em 200 s.Este valor dever ser acrescentado ao intervalo entre os dois focos, ou seja, 600 s.

P Q R 700 600 500 400 200 300 100 S

'

M

E

Figura 8 - Ambigidade das Hiprboles

Desta forma ser eliminada a ambigidade, pois, com essa diferena de tempo, os ramos simtricos tero valores diferentes. Contudo, ao receber um sinal de M, E levar algum tempo para respond-lo, denominado atraso de cdigo. 5 ESQUEMA DE FUNCIONAMENTO DO LORAN A preciso do sistema depende da exatido da sincronizao dos sinais transmitidos, da capacidade do receptor de medir a diferena de tempo entre a recepo dos sinais e do conhecimento da velocidade de propagao dos pulsos transmitidos, de modo que as diferenas de tempo possam ser convertidas em diferenas de distncias (PORTAL MARTIMO, 2009).

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Para que o observador possa determinar a sua posio, preciso que ele disponha de uma estao mestra e duas ou mais escravas. Nas cadeias do LORAN-C, as estaes podem estar dispostas em tringulo (trade), ou se existirem mais de duas escravas, em Y ou estrela. Ressaltando que nestes casos a estao mestra ocupa uma posio central (PORTAL MARTIMO, 2009). Para se determinar a localizao de um barco necessrio de no mnimo uma mestra e duas escravas. A Figura 9 mostra P, Q e R, onde corresponde respectivamente, a mestra e as duas escravas. Traam-se as hiprboles PQ e PR e me seguida obtm-se o ponto de interseco entre as mesmas, nesta localizao encontra-se o objeto desejado, representado pelo ponto amarelo.

P

R

Q

Figura 9 - Esquema de funcionamento do LORAN.

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6 - CONCLUSO O sistema LORAN um timo auxiliar para a aprendizagem das hiperblicas e a prtica dos conhecimentos adquiridos tanto na geometria analtica como em disciplinas como fsica, histria e geografia. O LORAN-C continua sendo utilizado, tanto na navegao como na navegao area e de acordo com tudo que foi visto estima-se que o LORAN-C seja utilizado por muito tempo. Dessa forma, os professores podem dinamizam suas aulas utilizando-o como exemplo de aplicabilidade e contextualizao.

7 REFERNCIAS BONJORNO, J. R., BONJORNO, R. A., BONJORNO, V., RAMOS, C. M., 2005. Fsica: Histria & Cotidiano, 2ed., So Paulo, FTD. HALLIDAY, D., RENISCK, R., WALKER, J., 2006. Fundamentos de Fsica: Gravitao e termodinmica. 7 ed., Rio de Janeiro: LTC. MUNEM, M. A., FOULIS, D. J., 1982. Clculo, Vol.1, Rio de Janeiro, editora Guanabara. PORTAL MARTIMO: Fonte de Informao para a Comunidade Martima, 2009. Navegao: A cincias e a arte, vol.3. SANTOS, P. B., BONFIM, L. R. P., 2005. Estudo sobre as Propriedades Geomtricas das Cnicas e suas aplicaes, Ed. 4, Uberlndia. SCHMIDT, MARIO. Nova Histria Crtica - Volume nico, Ed. Nova Gerao. 840 p . 2005.

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