apêndice - complementos de matemática · unidades de medida ... derivadas de ordem superior ......

Curso de Física Básica I – Complementos de Matemática.

Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa

Departamento de Física - UFMS

Curso de Física Básica Complementos de Matemática

Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática II



Curso de Física Básica

COMPL EME NT O S DE M AT E MÁT I CA


Departamento de Física

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

Campo Grande – 2009

Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática III



O material aqui apresentado pode ser livremente distribuído e utilizado, desde que citada a fonte.

Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática IV



Conteúdo

Grandezas escalares e vetoriais ........................................................................................................ 1

Representação de grandezas vetoriais ......................................................................................... 1

Decomposição de vetores ............................................................................................................. 3

Álgebra vetorial ............................................................................................................................. 4

Cálculos de porcentagens ............................................................................................................... 16

Potências de 10 ............................................................................................................................... 17

Definição de potência de um número a ...................................................................................... 17

Propriedades operatórias das potências..................................................................................... 18

Notação científica ........................................................................................................................... 22

Unidades de medida ....................................................................................................................... 23

Cálculo de áreas e volumes ............................................................................................................ 23

Derivada de uma função ................................................................................................................. 27

Noção de derivada....................................................................................................................... 27

Regras de derivação .................................................................................................................... 33

Derivadas de ordem superior ...................................................................................................... 35

Exercícios ..................................................................................................................................... 36

Operação de diferenciação ......................................................................................................... 37

Primitivas e Integrais ...................................................................................................................... 38

Primitivas ou Antiderivadas ........................................................................................................ 38

Regras de antidiferenciação ........................................................................................................ 40

Integral Definida .......................................................................................................................... 42

Exercícios ..................................................................................................................................... 45

Sistemas de equações lineares ....................................................................................................... 46

Sistemas de equações lineares homogêneas .............................................................................. 47

Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática V



Sistema de equações lineares não homogêneas ........................................................................ 49

Trigonometria ................................................................................................................................. 52

Círculo trigonométrico ................................................................................................................ 52

Funções trigonométricas ............................................................................................................. 55

Funções trigonométricas inversas ............................................................................................... 61

Gráficos das funções trigonométricas ......................................................................................... 62

Algumas relações importantes entre as funções trigonométricas ............................................. 65

Lei dos co-senos para um triângulo qualquer ............................................................................. 68

Matrizes e Determinantes .............................................................................................................. 68

Adição de matrizes ...................................................................................................................... 69

Multiplicação de Matrizes ........................................................................................................... 69

Tipos de matrizes e algumas definições ...................................................................................... 70

Determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 ......................................................................................... 71

A matriz inversa ........................................................................................................................... 72

Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 1



Grandezas escalares e vetoriais

Ao observarmos a Natureza, nos deparamos com dois tipos de grandezas físicas, as grandezas

escalares e as grandezas vetoriais.

Consideremos 1 kg de açúcar. Esta quantidade não necessita, para que tenhamos a compreensão

do seu significado, nada além de um valor numérico e de uma unidade de medida. Quando isso

acontece dizemos que temos uma grandeza de tipo escalar (ou, simplesmente, grandeza escalar):

são grandezas que ficam completamente definidas pelo seu valor e unidade. Como exemplos

desse tipo de grandeza, podemos citar: massa, tempo, distância, etc. Quando dizemos que a

distância entre dois lugares é 20 km, fica claro o que isto significa, desde que tenhamos

familiaridade com a unidade de medida km.

Consideremos agora a seguinte situação: alguém nos diz que a velocidade de um carro é de 50

km/h. Nesse caso, quando dizemos que a velocidade do carro é de 50 km/h temos noção da

rapidez do movimento do corpo, mas logo surge a questão sobre qual direção e em qual sentido

sobre essa direção o corpo está se movendo. Grandezas que necessitam para serem

compreendidas além de um número e da unidade, indicando a quantidade da grandeza, mas para

as quais precisamos definir uma direção e um sentido sobre essa direção são ditas grandezas de

tipo vetorial (ou simplesmente grandezas vetoriais)1.

Representação de grandezas vetoriais

Uma forma de representarmos as grandezas vetoriais é usando o conceito de vetor, representado

geometricamente por um segmento de reta orientado, cujo comprimento é proporcional ao valor

da grandeza representada (chamado de módulo). A direção e o sentido desse segmento de reta

orientado representam a direção e o sentido da grandeza vetorial que queremos representar.

Graficamente, a grandeza vetorial (ou, simplesmente, vetor) é simbolizada por uma letra (que

representa a grandeza vetorial) em negrito ou com uma seta sobre a letra, em tipo normal.

1 De fato, a definição é um pouco mais complexa que esta. Uma definição matematicamente mais rigorosa, em termos das

propriedades dos objetos frente a rotações do sistema de referências, será assunto do curso de Mecânica Clássica ou Física

Matemática, no terceiro ano do curso de Física.




Por exemplo, a força sobre um objeto pode ser representada pelo símbolo F (notação em negrito)

ou pelo símbolo F�

(notação com a seta). Graficamente (em desenhos ou esquemas):

Quando nos referimos aos módulos dos vetores (por exemplo, de um vetor v) usamos uma das

duas notações a seguir: |v| ou v.

Por vezes, em desenhos, temos necessidade de representar vetores entrando ou saindo do plano

da página. Nesse caso utilizaremos a seguinte convenção: se o vetor estiver saindo do plano da

folha, ele é representado geometricamente por um ponto circundado (Á), como se fosse a ponta

de uma flecha saindo da página. Se o vetor estiver entrando no plano da folha, ele é representado

geometricamente por um x circundado (⊗), como se estivéssemos olhando uma flecha

penetrando na página.

A seguir daremos algumas definições sobre tipos de vetores:

Vetores paralelos: Dois vetores são ditos paralelos se as retas que os suportam o forem. Veja a

Figura 1. Observe que os sentidos dos vetores não interferem nessa definição (observe que os

vetores F1 e F2 têm sentidos opostos). Alguns autores, quando os sentidos dos vetores são

opostos, dizem que os vetores são antiparalelos.

Figura 1- Vetores paralelos.

Vetores iguais: dois vetores são ditos iguais se possuírem o mesmo módulo, a mesma direção e o

mesmo sentido. Nesse caso podemos escrever: F1 = F2. Se os módulos e direção forem iguais, mas

os sentidos forem opostos então escrevemos: F1 = - F2.

Vetor unitário: são aqueles vetores cujo módulo é a unidade: |v| = 1. Esses vetores também são

denominados versores.

F1

F2 F3

F F ou




Vetor nulo: é o vetor cujo módulo é nulo, indicado por 0 ou 0��: v = 0 ou . � � 0��. Para o vetor nulo

não podemos indicar direção ou sentido.

Decomposição de vetores

Todo vetor no plano pode ser escrito como a soma de dois vetores perpendiculares entre si,

chamadas de componentes do vetor.

Considere o vetor mostrado abaixo:

Vamos construir um sistema de eixos cartesianos que tem por origem (designada por O) a

extremidade do vetor v (veja a Figura 2).

Figura 2 - Decomposição de um vetor.

Os vetores vx e vy são, respectivamente, as componentes do vetor na direção de x e na direção y.

Como podemos ver diretamente da Figura 2, usando as definições de seno e co-seno, os módulos

de cada uma destas componentes é dado por:

vx = v cos (θ) e vy = v sen (θ).

v

y

x

v

θθθθ

vx

vy

O




Figura 3

Assim, podemos escrever o vetor v como a soma das suas componentes (veja a Figura 3):

v=vx + vy

Usando o teorema de Pitágoras, o módulo do vetor v pode ser escrito em função dos módulos de

suas componentes:

2 2

x yv v v= + .

O ângulo entre o vetor e o eixo x pode ser expresso em termos das componentes do vetor v como:

y y

x x

v vtag (θ) ou seja, θ = arctg

v v

= .

Podemos escrever cada componente do vetor v em termos de dois vetores unitários, um na

direção x, chamado ex, e outro na direção y, chamado ey:

cos(θ) sin(θ)

x x x y

x y

v v

v v

= +

= +

v e e

v e e

Álgebra vetorial

Podemos multiplicar um vetor por um escalar, somar, subtrair ou multiplicar dois ou mais vetores

usando a decomposição em componentes vista na seção anterior.

Multiplicação de um vetor por um escalar

Supondo o vetor F e um número k (k um número real), o vetor R, resultante da multiplicação do

vetor F por k (R = kF ), terá o módulo (valor) igual ao módulo de F multiplicado pelo módulo de k

e a mesma direção do vetor F.

O sentido do vetor resultante R será:

1o) mesmo sentido de F se k > 0

v = vx + vy

vx

vy

θθθθ




2o) sentido oposto de F se k < 0.

A situação é mostrada na Figura 4.

Figura 4 – (a) Vetor resultante da multiplicação do vetor F por um escalar positivo; (b) Vetor

resultante da multiplicação do vetor F por um escalar negativo.

Exemplo 1

Seja o vetor F, mostrado Figura 5, cujo módulo é 5 m. Qual será o vetor resultado da multiplicação

de F por k = 2 e por k = –2?

Solução

1) Multiplicação por k = 2.

O módulo do vetor resultante será R = 2 F = 2 x 5 m = 10 m e a direção e o sentido são mostrados

na Figura 5 (essa figura está em escala com a figura do vetor F):

Figura 5

2) Multiplicação por k = -2.

O módulo do vetor resultante será R = |-2| F = 2 x 5 m = 10 m. Agora, no entanto, o sentido será

oposto ao sentido do vetor F (Figura 6).

R = 2 F

F

F R = kF

F R = kF

(a)

(b)




Figura 6

Esse é um caso simples em que o vetor a ser multiplicado estava na direção horizontal. Se

tivermos um vetor que é dado pelas suas componentes a multiplicação por um escalar também é

bastante simples: basta multiplicarmos cada componente do vetor pelo escalar. Por exemplo, seja

o vetor F dado através de suas componentes:

x x y y x x y yF F k kF kF= + ⇒ = +F e e F e e

O módulo do vetor resultante será dado por:

2 2 2 2 2 2| | | |x x x xk k F k F k F F k= + = + =F F

Como antes, o módulo do vetor fica multiplicado pelo módulo do escalar.

Adição de vetores

O vetor soma de dois ou mais vetores é também chamado de vetor resultante. A adição de vetores

é um pouco mais complicada que a adição de escalares. Isto porque temos que somar tanto os

módulos dos vetores envolvidos, assim como as direções e os sentidos. Existem vários métodos

para fazer isso. Analisaremos aqui os três mais usados: o método algébrico, o método geométrico

e o método do paralelogramo.

Método algébrico

No método algébrico somamos os vetores envolvidos componente a componente. A componente x

do vetor resultante será a soma das componentes x de cada um dos vetores sendo somados e a

componente y do vetor resultante será a soma das componentes y de cada um dos vetores sendo

somados. Assim, se temos n vetores F1, F2, ..., Fn o vetor resultante será dado por:

1 2

1 2

1 2

...

...

...

n

x x x nx

y y y ny

F F F F

F F F F

= + + +

= + + +

= + + +

F F F F

R = - 2 F

F




Figura 7 - Soma de vetores pelo método algébrico.

Por exemplo, considere os vetores mostrados na Figura 7. O vetor F1 é dado por: F1 = 3 ex + 4 ey

enquanto o vetor F2 é dado por: F2 = 5 ex + 1 ey. Portanto, o vetor resultante que indicaremos por F,

será dado por:

1 2

(3 5) (4 1)

8 5

x y

x y

= +

= + + +

= +

F F F

F e e

F e e

.

O vetor resultante, F, também é mostrado na Figura 7.

O método algébrico é muito útil quando temos que somar três ou mais vetores ou quando os

vetores existem em um espaço de ordem maior que 2 (vetores no espaço tridimensional, por

exemplo).

Método geométrico

O método geométrico atualmente é pouco usado. Em problemas práticos o método algébrico se

mostra mais adequado. Somar geometricamente dois vetores é bastante tedioso e difícil para

quem não tenha boa habilidade manual.

F1

F2

3 5

1

4

y

x

5

8

F




A seguir daremos um método (algoritmo)

para efetuarmos esse tipo de soma.

1) Suponha que queiramos somar dois

vetores F1 e F2 mostrados na parte (a) da

Figura 8. Translada-se uns dos vetores,

unindo a origem de um ao extremo do

outro, como mostrado na Figura 8, parte

(b).

Mede-se o comprimento do vetor Fr e o ângulo que ele faz com um dos vetores da soma.

Figura 9 – Soma de vetores pelo método algébrico quando temos mais que dois vetores.

2) Para adicionar vetorialmente mais que dois vetores, translade cada vetor unindo a origem de

um ao extremo do próximo, o vetor resultante é o vetor, cuja origem coincide com a origem do

primeiro vetor e o extremo com o extremo do último vetor. Veja a Figura 9.

Método do paralelogramo

Translade um dos vetores unindo as origens dos dois. A seguir, construa o paralelogramo como

mostrado na Figura 10. Nessa figura, θ é o ângulo formado entre os dois vetores F1 e F2.

O módulo do vetor resultante será dado por:

2 2

r 1 2 1 2F F F 2F F cos= + + θ

.

Figura 8 - Soma de vetores pelo método geométrico.

F1

F2

Fr

F1

F2

(a) (b)

(a)

F4

F3

F2

F1

Fr

F1

F2

F3

F4

(b)




Figura 10 - Soma de vetores pelo método do paralelogramo.

Subtração de Vetores

Para subtrairmos dois vetores, de fato, usamos a operação de multiplicação por um escalar

seguida de uma operação de soma. Subtrair dois números é somar o primeiro com o negativo do

segundo número. Assim, por exemplo: 5 – 2 = 5 + (-2)

Da mesma forma, subtrair dois vetores é somar um deles com o negativo do outro:

F = F1 – F2

Ou seja, realizando a seguinte operação:

F = F1 + (-F2)

A soma pode ser feita por qualquer um dos métodos discutidos acima. Graficamente, por

exemplo, procedemos como mostrado na Figura 11.

Figura 11 – Subtração de dois vetores.

Multiplicação de um vetor por outro

Diferentemente da multiplicação de números reais, para os quais temos apenas um tipo de

operação definida, a multiplicação vetorial pode ser definida de várias maneiras. Para a Física, dois

tipos de multiplicação vetorial são importantes: o produto escalar e produto vetorial.

F1

F2

F1

- F2

(a) (b)

- F2

F1

F1 – F2

(c)

F1

F2

Fr

θθθθ




Produto escalar

Por definição, o resultado do produto escalar é um escalar. Sejam dois vetores F1 e F2, dados por

suas componentes ao longo do eixo x e eixo y:

1 1 1

2 2 2

x x y y

x x y y

F F

F F

= +

= +

F e e

F e e

Definimos o produto escalar entre os dois vetores F1 e F2 por:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2x x y y x x y y x x y yF F F F F F F F⋅ = ⋅ = + ⋅ + = +F F F F e e e e

Essa forma de escrever o produto escalar pode ser ainda mais simplificada se escrevermos cada

componente de um vetor em um sistema de coordenadas onde um dos vetores está sobre um dos

eixos, por exemplo, o vetor F2 (Figura 12).

Nesse caso, as componentes dos vetores se escrevem:

F1x = F1 cos (θ);

F1y = F1 sen (θ);

F2x = F2; F2y = 0.

Portanto, o produto escalar também pode ser escrito como:

( ) ( )[ ]

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1

1 2 1 2

cos( ) sin( ).0

cos( )

x x y yF F F F

F F F

F F

⋅ = +

⋅ = θ + θ

⋅ = θ

F F

F F

F F

Obtivemos o resultado acima supondo que um dos eixos

coordenados fosse coincidente com um dos vetores. No entanto,

como você verá mais tarde em outras disciplinas, um escalar é um

invariante frente a rotações nos sistemas de eixos coordenados e,

portanto, o resultado acima é geral e válido mesmo se os eixos

coordenados não forem coincidentes com um dos vetores.

Podemos demonstrar esse resultado usando a lei dos co-senos

para um triângulo qualquer. Observe o triângulo mostrado na

Figura 12

F1

F2 x

y

θ




Figura 13.

Pela lei dos co-senos, podemos relacionar os lados do triângulo (indicados por a, b e c) e o co-seno

do ângulo α pela expressão:

2 2 2 2 cos( )a b c ab= + + α

Consideremos agora dois vetores a e b, como mostrados na Erro! Fonte de referência não

encontrada. Figura 13 - Lei dos co-senos.

Observe que os dois vetores formam um triângulo com lados |a|, |b| e |c| = |a – b|.

Vamos aplicar a regra dos co-senos a esse triângulo:

2 2 2| | | | | | 2| || |cos= + − αc a b a b eq. 1

Figura 14 - Triângulo formado por dois vetores.

O módulo do vetor c pode ser escrito como:

2 2

2

2 2 2

| | . ( ).( )

. .

2

c

c

c a b

≡ = = − −

= − −

= + −

c c c a b a b

a a a b b.a + b.b

a.b

α

a

b c = a - b

α b

c

a




Portanto, a lei dos co-senos (eq. 1) pode ser reescrita como:

2 2 2

2 2 2 2

| | | | | | 2| || |cos( )

2 2 cos( )a b a b ab

= + − α

+ − = + − α

c a b a b

a.b

cos( )ab= αa.b eq. 2

Portanto, o produto escalar de dois vetores pode ser escrito como o produto entre os módulos

dos vetores pelo co-seno do ângulo entre eles.

Um resultado extremamente importante, e que deve ser lembrado sempre, é que o produto de

dois vetores unitários é 1 se multiplicarmos um vetor por ele mesmo e zero se multiplicarmos dois

vetores diferentes:

= = 0

= 1

x y x z z y

x x y y z z

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ =

e e e e e e

e e e e e e

Produto vetorial

O produto vetorial é outra forma de definir a multiplicação entre dois vetores. Ao contrário do

produto escalar, o produto vetorial tem por resultado um vetor.

Esse vetor é sempre perpendicular ao plano que contém os dois vetores sendo multiplicados (veja

a Figura 15). O símbolo do produto vetorial é o sinal de multiplicação (×). Dados dois vetores F1 e

F2, o produto vetorial é indicada por:

1= × 2F F F

.

Figura 15 - Produto vetorial de dois vetores.

F1

F2

θθθθ

F = F1 ×××× F2




Podemos obter o vetor resultado do produto vetorial a partir do cálculo do determinante formado

pelos vetores unitários e as componentes de cada um dos vetores:

( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2

x y z

x y x yz z zy z z y x x z x y y x

x y z

F F F FF F F F F F F F F F F

F F F

= = − + − + −

e e e

e e eF

eq. 3

Observe que o cálculo do produto vetorial, definido pelo determinante mostrado acima (eq. 3),

fornece, automaticamente, a direção e o sentido do vetor produto. Uma forma prática de obter-se

a direção e o sentido do vetor obtido a partir do produto vetorial é dada pela regra da mão

direita:

Alinhe o dedo indicador da mão direita com o vetor F1 e o dedo anular com o

vetor F2, de modo que o dedão forme um ângulo reto com o dedo indicador. O

dedão indicará o sentido do vetor resultante.

Observe a ordem em que escrevemos as linhas no determinante: a primeira linha é a dos vetores

unitários, a segunda é formada pelas componentes do primeiro vetor e a terceira linha é composta

pelas componentes do segundo vetor. Diferentemente do produto escalar, o qual pode ser

definido para vetores com qualquer dimensionalidade, o produto vetorial apenas pode ser

definido em três ou mais dimensões.

Outro ponto importante e que diferencia os dois tipos de multiplicação vetorial diz respeito à

ordem de multiplicação. No produto escalar a ordem não importa (F1.F2 = F2.F1), ou seja, o

produto escalar é comutativo. Já no produto vetorial, definido através de um determinante, a

ordem importa. Trocar a ordem do produto vetorial significa trocar a ordem de duas linhas no

determinante e, quando fazemos isso, o determinante muda de sinal. Portanto:

1 2 1× = − ×

2F F F F

.

Como qualquer outro vetor, o módulo do produto vetorial é dado pela raiz quadrada da soma dos

quadrados das suas componentes:

( ) ( ) ( )2 22 2

11 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2.zy z z y x x z x y y x

FF F F F F F F F F F F× = − + − + −2F F eq. 4




Vamos mostrar agora que o módulo do vetor produto vetorial é dado por:

1 2F = F F sen(θ)

Figura 16 – Paralelogramo formado por dois vetores no produto vetorial.

Considere a Figura 15. Podemos formar um paralelogramo com os dois vetores F1 e F2, como

mostrado na Figura 16. Observe que a área desse paralelogramo é dada pelo produto da base,

formada pelo vetor que chamamos F1 pela altura h:

1| |

pA h= F

A altura h por sua vez pode ser escrita em função do vetor F2:

2 1 2| | sin( ) | || | sin( )= α ⇒ = αph AF F F eq. 5

Vamos agora tomar o quadrado da expressão acima:

( )

22 2 2

1 2

22 2 2

1 2

22 2 2 2 2

1 2 1 2

| | | | sin ( )

| | | | 1 cos

| | | | | | | | cos

p

p

p

A

A

A

= α

= − α

= − α

F F

F F

F F F F

( )2 22 2

1 2 1 2| | | | .

pA = − F F F F

eq. 6

Na última igualdade fizemos uso da eq. 2. Temos agora que escrever explicitamente quem são os

módulos ao quadrado e o produto escalar que estão indicados na eq. 6:

( )

1 1 1 2 2 2

2 22 2

1 2 1 2

22 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

| | | | .

x y z x y z

p

p x x y y z z

A

A F F F F F F F F F F F F

= −

= + + + + − + +

F F F F

F1

F2

θθθθ h




Vamos agora abrir os colchetes e escrever explicitamente os produtos entre as componentes dos

vetores:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 22 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2 1 2

22 2

1 2 1 2 1 2

22 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2

x y z x y zp x x y y z z

p x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

x x y y z z x x y y y y z


A F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F F F F F F F F F

= + + + + − + +

= + + +

+ + +

+ + −

+ + + +1 2 1 2

2z x x z z

F F F F +

Observe que há termos que se cancelam devido ao sinal de menos na frente do colchete (são os

termos ressaltados pelo sinal de na expressão). Eliminando esses termos temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2

p x y x z y x y z z x z y

x x y y y y z z x x z z


F F F F F F F F F F F F

= + + + + + −

− −

Vamos agrupar agora de forma conveniente os termos que aparecem nessa expressão,

procurando formar produtos notáveis do tipo ( )2 2 2– 2a b a b ab= + − :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2

2

2

p x y y x x x y y

x z z x x x z z

y z z y y y z z

A F F F F F F F F

F F F F F F F F

F F F F F F F F

= + − +

+ − +

+ −

[ ]2 2 22

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2p x y y x x z z x y z z yA F F F F F F F F F F F F = − + − + − eq. 7

Essa é a expressão que procurávamos. Vamos agora comparar a eq. 7 com a eq. 4. Vemos que a

eq. 7 é a eq. 4. Portanto, podemos identificar o lado direito da eq. 7 com o quadrado do módulo

do produto vetorial dos vetores F1 e F2:

1 2| |

pA = ×F F

Por outro lado, vimos pela eq. 5 que essa área também pode ser expressa por F1F2 sen(α).

Portanto, podemos igualar o módulo do produto vetorial a essa expressão:




1 2 1 2| | senF F× = αF F

Cálculo de porcentagens

A porcentagem representa o quanto uma parte representa em relação ao todo. O nome

porcentagem vem de por cento, indicando a resposta à seguinte pergunta: de 100 partes, quantas

correspondem à quantidade que eu quero?

Por exemplo, considere o número de carros vendidos em um fim de semana por uma revenda

autorizada. Digamos que 30 % dos carros vendidos tinham a cor azul. Então podemos interpretar

esse valor da seguinte forma: de cada 100 carros vendidos 30 carros tinham a cor azul. Observe

que não precisamos ter vendido exatamente 100 carros, apenas a interpretação é essa.

Mas como saber quanto, percentualmente, uma parte representa do Todo? É simples: dado o

valor de uma parte e do Todo, para obtermos o quanto percentualmente essa parte representa,

basta que dividamos o valor da parte pelo valor do Todo e multipliquemos por 100 (cem).

Matematicamente, se chamamos de T% a taxa percentual, de Vp o valor da parte e VT o valor do

Todo, a taxa percentual será obtida a partir de:

%100

p

T

VT

V= ×

Exemplo 2

Em um armazém são vendidos 8,4 kg de manteiga com sal para uma venda total de manteiga (com

e sem sal) de 91,5 kg. Quanto a quantidade de manteiga com sal vendida (8,4 kg) representa

percentualmente sobre a quantidade total de manteiga vendida (91,5kg)?

Solução

Nesse caso, o valor da parte (Vp) vale 8,4 kg, o valor total (VT) vale 91,5 kg e a taxa percentual (T%)

será dada por:




%

%

%

100

8,4100

91,5

9,18 %

p

T

VT

V

T x

T

= ×

=

=

Portanto, 8,4 kg representam 9,18 % (nove vírgula dezoito por cento) de 91,5 kg. Podemos

interpretar esse resultado da seguinte maneira: de cada 100 kg de manteiga vendidas, 9,18 kg

serão do tipo com sal.

Potências de 10

Uma das operações matemáticas mais importantes para o estudo da Física é a operação de

potenciação. Essa é a operação que nos permite obter um número b por sucessivas multiplicações

de um número a.

Definição de potência de um número a

Definimos a potência n de um número a, chamada de b, ao número obtido por n-1 multiplicações

do número a por ele mesmo:

. . ...nb a a a a a= ≡ eq. 8

O número a é chamado de base da potência e o número n é chamado de expoente da potência.

Por exemplo:

22

5 5 5 255

nb b

a

== → → = × =

= .

Podemos ter um número multiplicando a potência. Esse número é o coeficiente da potência.

Quando esse número não está escrito explicitamente seu valor é 1. Por exemplo:

23 5 3 (5 5) 3 25 75b = × = × × = × =

a multiplicado n-1

vezes por ele mesmo.




O coeficiente nesse caso é o número 3. Em geral, portanto, podemos escrever uma potência na

forma:

eq. 9

Geralmente, nos problemas relevantes em Física, precisamos trabalhar com literais ao invés de

números. Nesse caso, a definição de um literal b como sendo o literal a multiplicado certo número

de vezes por ele mesmo é a mesma dada pela eq. 9.

Propriedades operatórias das potências

Vamos agora analisar as propriedades operatórias das potências de números reais.

Adição de potências

Somente podemos somar potências de mesma base e mesmo expoente. Se essa condição for

satisfeita, a soma é dada pela soma dos coeficientes das potências:

α β (α+β)n n nb a a a= + =

Veja os exemplos a seguir.

Tabela 1 – Exemplos de operações permitidas e operações não permitidas ao somarmos

potências.

Operação permitida Operação não permitida Observação

b = 3×52 + 2×52=(3+2) ×52=5×25=125 b = 3×52 + 2×53 Expoentes diferentes

b = 3×55 + 4×55=(3+4) ×55

b =7×3125=21875

b = 3×55 + 4×35 Bases diferentes

b = 3x2 + 2x2 = 5x2 b = 3x2 + 2x3 Expoentes diferentes

b = 4x3 - 2x3 = 2x3 b = 3y2 - 2x2 Bases diferentes

β β( . . ... )nb a a a a a= =

Coeficiente a multiplicado n-1 vezes por ele

mesmo.




Multiplicação de potências

Podemos multiplicar duas ou mais potências desde que estas tenham a mesma base. Nesse caso

multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes, mantendo a base:

( )( ) ( )α β α.βn m n mb x x x += =

Veja os exemplos:

1. b = (2.32) . (5.33) = (2.5)32+3 = 10.35= 10.243 = 2430;

2. b = (5x2)(6x3) = (5.6)x2+3 = 30 x5

Divisão de potências

De fato, a divisão de potências se reduz à multiplicação. Para dividirmos potências de mesma base

devemos dividir os coeficientes, mantendo a base. O expoente da divisão é o expoente do

numerador menos o expoente do denominador:

α α

β β

nn m

m

xb x

x

−= =

Veja os exemplos:

1. 2

2 1 18.3 83 4.3 12

2.3 2b −= = = =

2. 5

5 3 2

3

6 62

3 3

xb x x

x

−= = =

3. 5

5 6 1

6

9 93

3 3

yb y y

y

− −= = =

Afirmamos acima que a divisão de potência é, de fato, uma operação de multiplicação. Vamos

definir o inverso de uma potência pela operação:

11n n n

nb b b

b

− −= ⇒ = eq. 10




Então, a divisão de duas potências de mesma base pode ser escrita como:

( )n

n m n m

m

bb b b

b

− −= = .

Da eq. 10, segue a seguinte propriedade das potências: qualquer potência elevada ao expoente 0

(zero) vale 1:

0 0 0 0 0 1b b b b− −= = =

Naturalmente que o inverso também é verdade: o número 1 pode ser escrito como uma potência

de qualquer base elevada ao expoente zero2. Usando esse resultado, podemos escrever a

operação de divisão como uma operação de multiplicação pelo inverso do divisor:

α α 1 α α. .

β β β β

nn n m n m

m m

xb x x x x

x x

− − = = = =

Potência de uma potência e radiciação de uma potência

Para tomarmos a potência (m) de uma potência (cujo expoente é n) devemos tomar o coeficiente

da potência e elevá-lo no expoente m no qual a potência está sendo elevada e multiplicar os

expoentes, mantendo a mesma base:

.(α ) αn m m m nb x x= =

A operação de tomar a raiz de uma potência, radiciação, pode ser reduzida à operação de tomar a

potência de uma potência:

1/ 1/ /( )n n m m n mmb ax ax a x= = =

Vejas os exemplos:

1. 2 3 3 2.3 6(5 2 ) 5 2 125 2 125 64 8000b = × = × = × = × = ;

2. 6 6 1/2 1/2 6/2 34 3 (4 3 ) 4 3 2 3 2 27 54b = × = × = × = × = × = ;

3. ( )2

3 2 3.2 2 6.b ax a x a x= = = ;

2 Uma exceção a essa regra é a potência cuja base é zero.




4. ( )1/3

3 5 5 1/3 5/3b ax ax a x= = =

O quadro mostrado na Tabela 2 resume as operações com potências.

Tabela 2 – Quadro resumos das operações com potências.

Operação Regra Comentário

Soma α β (α+β)n n nb a a a= + = Podemos apenas somar potências de

mesmo expoente e mesma base.

Subtração α β (α-β)n n nb a a a= − = Podemos apenas subtrair potências de

mesmo expoente e mesma base.

Multiplicação ( )( ) ( )α β α.βn m n mb x x x += = Podemos apenas multiplicar potências de

mesma base.

Divisão α α

β β

nn m

m

xb x

x

−= = Podemos apenas dividir potências de

mesma base.

Potenciação .(α ) αn m m m nb x x= =

Radiciação 1/ 1/ /( )n n m m n mmb ax ax a x= = =




Notação científica

Ao estudarmos a Natureza por vezes nos deparamos com números que são ou muito grandes ou

muito pequenos. A distância Terra – Sol é de 150.000.000 km (cento e cinqüenta milhões de

quilômetros) ou o valor de um ano-luz, 9.500.000.000.000 (nove trilhões e meio de quilômetros)

pertencem ao primeiro grupo. Já o raio atômico, da ordem de 0,000.000.000.1 pertencem ao

segundo grupo, o dos números muito pequenos. Escritos nessa forma, operar com esses números

é difícil e, facilmente, são produzidos erros. Daí a necessidade de termos uma notação mais

conveniente, a notação científica.

Para entendermos a notação científica devemos nos lembrar que nosso sistema de escrever

números é posicional. Nesse tipo de sistema, o valor de um algarismo não é absoluto (como no

sistema de números romanos), mas é determinado por sua posição. Por exemplo, no número 52 o

algarismo 2 vale duas unidades enquanto o algarismo 5 vale 50 unidades (cinco dezenas). Já no

número 25, os papéis se invertem: o algarismo 2 vale 20 unidades (2 dezenas) e o algarismo 5 vale

5 unidades.

Além de ser um sistema posicional, o nosso sistema numérico é de base 10. Todo número é escrito

na forma de uma soma de potências de 10. Por exemplo, o número 634 pode ser escrito como3:

634 = 6x100 + 3x10 +4x1

634 = 6x102 + 3x101 + 4x100

A notação científica explora justamente essas duas características de nosso sistema numérico. A

idéia é escrever todos os números na forma de um coeficiente e de uma potência apropriada do

número 10, a base do sistema. Para escrever um número em notação científica basta seguir os

passos abaixo:

1. Desloque a vírgula para a esquerda se o número for maior que 10 ou para a direita se o

número for menor que 1 até obter um número entre 1,0 e 9,9. Considere os números 1456 e

0,0034. Então:

1456,0 → 1,456

3 Lembre que qualquer potência cujo expoente é zero vale 1.




0,0034 → 0003,4

2. Multiplique o número obtido por uma potência de 10 cujo expoente será o número de casas

que a vírgula foi deslocada e o sinal será positivo se a vírgula foi deslocada para a esquerda e,

negativo, se a vírgula foi deslocada para a direita:

1456,0 → 1,456x103

0,0034 → 3,4x10-3

Todo número pode ser escrito dessa forma. A distância Terra – Sol se escreve nessa notação como:

150.000.000 km = 1,5 x108 km

E a distância em km de um ano luz, aproximadamente:

9.500.000.000.000 km = 9,5 x 1012 km

Já o raio de um átomo:

0,000.000.000.1 m = 1x10-10 m

Unidades de medida

Ver Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Capítulo I.

Cálculo de áreas e volumes

Na Tabela 3 mostramos as equações para o cálculo da área das principais figuras planas e na

Tabela 4 as equações para o cálculo do volume dos principais sólidos.




Tabela 3 – Fórmulas para as áreas das principais figuras planas

Nome da figura Desenho Fórmula da área (A) e do

comprimento do perímetro (C)

Círculo de raio R

2

2

A R

C R

π

π

=

=

Quadrado de lado a

2

4

A a

C a

=

=

Retângulo de lados a e

b

.

2 2

A a b

C a b

=

= +

Elipse de semi-eixos a

e b

2 2

.

2 (aproximado)2

A a b

a bC

π

π

=

+≅

Não existe fórmula exata para o

comprimento da elipse usando-se

funções elementares.

R

a

a

b

a

a

b




Triângulo de base b e

altura h.

2

bhA

C a b c

=

= + +

Paralelogramo de

altura h e de lados a e

b.

2 2

A bh

C a b

=

= +

Trapézio de altura h,

base menor a e base

maior b.

( )

2

a bA h

C a b c d

+=

= + + +

b

h c a

h

b

a

a

b

d c h




Tabela 4 – Fórmula para o cálculo dos principais sólidos

Nome da figura Desenho Fórmula do volume (V) e da

área da superfície (S)

Esfera de raio r.

3

2

4

3

4

V r

S r

π

π

=

=

Paralelepípedo de arestas a,

b e h.

. .

2( . . . )

V a b h

S a h a b b h

=

= + +

Cone de base circular de

altura h e raio da base r.

( )

2

2 2

3V r h

S r r r h

π

π

=

= + +

Cilindro de altura h e raio da

base r.

2

2 ( )

V r h

S r r h

π

π

=

= +

r

a

h

b

r

h

r

h




Derivada de uma função

Noção de derivada

Um problema comum ao tratarmos com sistemas físicos é colocado pela seguinte questão: qual é

a taxa de variação no tempo do estado dinâmico de um sistema físico? Colocando em outros

termos, poderíamos perguntar: qual a taxa de variação no tempo das propriedades do sistema,

descritas por suas variáveis de estado? Devemos lembrar que entendemos por estado dinâmico de

um sistema físico o conjunto de variáveis de estado que descrevem o sistema em certo instante de

tempo4.

Considere o seguinte exemplo. Uma partícula se desloca no espaço seguindo a trajetória mostrada

na Figura 17. Em um instante de tempo inicial a partícula está na posição 1 e após certo intervalo

de tempo ∆t está na posição 2. Nesse caso, o sistema físico de interesse é a própria partícula e as

variáveis que descrevem o estado dinâmico são as componentes dos vetores posição, que localiza

a posição da partícula, e o vetor velocidade. Por simplicidade esses vetores não são mostrados na

figura, pois estamos analisando um caso de movimento em uma única dimensão.

Figura 17 - Movimento de uma partícula (caso unidimensional).

A taxa de variação da posição da partícula, a qual chamaremos por Tr, é dada simplesmente pela

razão entre a variação da posição e o tempo que foi gasto para que esta variação ocorresse.

Supondo que no instante de tempo t1 a partícula ocupasse a posição x1 e que no instante de

tempo t2 a partícula ocupasse a posição x2, podemos escrever5:

4 Ver o Capítulo II do Volume I.

5 A letra grega ∆ (lê-se delta maiúscula) indica uma variação da grandeza que está a sua direita.

x

z

y

x2

x1

Posição 1

Posição 2




2 1

2 1

r

x x xT

t t t

− ∆= =

− ∆

Essa expressão nos informa o quanto que varia a posição da partícula para cada unidade de

variação do tempo.

De uma forma geral, se temos uma função f que depende de uma variável x podemos definir a

taxa média de variação da função, a qual chamaremos por Tf, quando a variável x muda de um

valor x1 para x2 como sendo6:

2 1

2 1

( ) ( )f

f x f xT

x x

−=

−

eq. 11

Nessa expressão, f(x2) e f(x1) denotam, respectivamente, os valores assumidos pela função

quando os valores da variável x são x1 e x2. A interpretação dessa expressão é a mesma da anterior

para a posição: ela nos indica quantas unidades a função varia quando variamos a variável x de

certo número de unidades.

Podemos escrever que a variação no valor da variável x ocorra por um acréscimo de certa

quantidade. Chamaremos esse acréscimo por ∆x. Desse modo, podemos escrever que

2 1x x x= + ∆ e que o valor da função para o valor x2 pode ser expresso como: 2 1( ) ( )f x f x x= + ∆ .

Usando essa notação, a expressão eq. 11 para a taxa média de variação da função f pode ser

escrita como:

1 1( ) ( )f

f x x f xT

x

+ ∆ −=

∆

eq. 12

Observe que agora o denominador foi escrito somente em termos da variação da variação da

variável x uma vez que 2 1 1 1x x x x x x− = + ∆ − = ∆ . Outro ponto que deve ser observado é que a

expressão eq. 12 para a taxa de variação da função é escrita em termos do valor x1 da variável.

Generalizando, podemos escrever que, quando a variável x varia de certa quantidade ∆x a taxa

média de variação da função f pode ser escrita como:

6 Para um matemático, essa frase deveria ser escrita como: uma função f que descreve como uma variável, digamos y, depende da

variável independente x (y=f (x)). Os físicos, contudo, usam esse atalho lingüístico, falando em função f(x).




( ) ( )f

f x x f xT

x

+ ∆ −=

∆

eq. 13

Essa expressão para a taxa de variação da função f tem um problema no que diz respeito à

informação que está contida em Tf. Considere a função mostrada na

Figura 18. Nessa figura, temos representada a função sen(x).

Consideremos a taxa de variação dessa função no intervalo [0;3,14]. A taxa média de variação da

função sen(x),a qual denotaremos por Tsen é dada por:

seno

sen(3,14) sen(0) 0 0 00

3,14 0 3,14 3,14T

− −= ≅ = ≅

−

Ou seja, a informação que temos a partir da taxa média de variação da função f nos diz que a

função variou de 0 (aproximadamente) quando a variável x variou de 3,14. Olhando o gráfico, no

entanto, vemos que a função variou bastante no intervalo indo de 0 a 1 e depois voltando a zero,

o que não está expresso na taxa de variação calculada. O que aconteceria se tomássemos um

intervalo menor agora? Por exemplo, calculemos a taxa de variação da função entre o ponto x = 0

e x = 1,6. Usando a eq. 11, temos que:

sen(1,5) sen(0) 0,997 0 0,9970,665

1,5 0 1,5 1,5seno

T− −

= ≅ = ≅−

Esse resultado nos diz que para cada valor de x no intervalo 0 e 1,5 a função cresce 0,665. Se

tomarmos uma variação na variável x de 0,5 unidades, então a função deveria crescer 0,665*0,5 =

0,333 unidades, aproximadamente. Portanto, o valor da função deveria ser esse: f(0,5) = 0,333.

Comparando com o gráfico mostrado, embora tenhamos melhorado a informação que temos

sobre a variação da função ainda não temos um valor acurado, já que pelo gráfico vemos que a

função vale aproximadamente7 0,479 para x = 0,5.

7 Esses valores podem ser confirmados se você tiver uma calculadora científica.




Figura 18 - Função f(x) = seno(x).

O que aconteceria se tomássemos um intervalo menor ainda, digamos [0;0,1]? Calculemos a taxa

média de variação da função para esse intervalo:

seno

sen(0,1) sen(0) 0,099 0 0,0990,999

0,1 0 0,1 0,1T

− −= ≅ = ≅

−

Portanto, para esse valor da taxa média de variação da função implica em que o valor da função

em x = 0,2 deveria ser 8: f (0,2) = 0,999*0,2 = 0,1998. Esse valor está muito próximo do valor

verdadeiro do sen(0,2) que é 0,1986.

Qual a conclusão que podemos tirar desse exercício? À medida que diminuímos o tamanho do

intervalo, mais acurada fica a descrição do comportamento da função.

O que aconteceria se tomássemos intervalos cada vez menores para a variável x? Esse intervalo

tenderia para zero e nossa descrição do comportamento da função ficaria cada vez melhor9.

8 Lembre-se que estamos tomando o limite inferior do intervalo como x = 0. A esse limite corresponde f(0) = 0.

9 Essa afirmação é estritamente verdadeira para funções bem comportadas, como as que você verá no curso de Cálculo I.

0 1 2 3 4 5 6 7

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0f(

x)=

sen

o(x

)

x




Essa idéia, de que vamos tomar intervalos para a variação em x cada vez menores, pode ser

expressa simbolicamente pelo símbolo de limite. Vamos escrever esse processo da seguinte

maneira:

0

( ) ( )limf

x

f x x f xT

x∆ →

+ ∆ −=

∆

O valor da taxa de variação da função com a variável x é o que chamamos de Derivada da função

f(x). A derivada da função f(x) é simbolizada por ( )d

f xdx

. Usando essa simbologia podemos

escrever que a taxa de variação da função quando o intervalo que tomamos na variável x vai a

zero é dada pela sua derivada:

0

( ) ( )( ) lim

x

d f x x f xf x

dx x∆ →

+ ∆ −=

∆

O algoritmo para o cálculo da derivada de uma função qualquer é bastante simples10:

1. Escrevemos quem é a função quando substituímos x por x + ∆x;

2. Fazemos todas as operações algébricas, eliminando onde possível ∆x;

3. Fazemos no final ∆x = 0.

O que sobra é a derivada da função. Vamos calcular alguns exemplos de derivada.

1. Seja f(x) = . Então:( )

( )

f x x

f x x x x

=

+ ∆ = + ∆.

Logo:

0

0 0 0

0

( ) ( )( ) lim

( )( ) lim lim lim

( ) lim 1

x

x x x

x

d f x x f xf x

dx x

d x x x x x x xx

dx x x x

dx

dx

∆ →

∆ → ∆ → ∆ →

∆ →

+ ∆ −=

∆

+ ∆ − + ∆ − ∆= = =

∆ ∆ ∆

=

10 Simples, porém nem sempre fácil de aplicar. Para funções mais complicadas o cálculo de derivadas é realizado usando

ferramentas mais sofisticadas que você aprenderá no curso de Cálculo.




Como não aparece ∆x na expressão que sobrou, se fazemos ∆x = 0 o número 1 permanece o

mesmo. Portanto:

0lim 1 1 ( ) 1

x

dx

dx∆ →= ⇒ =

Seja f(x) = x2. Então:

( )

2

2

( )

( )

f x x

f x x x x

=

+ ∆ = + ∆.

Nesse caso, temos que:

0

2 22

( ) ( )( ) lim

( )

x

d f x x f xf x

dx x

d x x xx

dx x

∆ →

+ ∆ −=

∆

+ ∆ −=

∆

( ) ( )

( )

22 2 22 2

2

2

2

2 2

22

x x x x x x x x x xdx

dx x x

x x xdx x x

dx x

+ ∆ + ∆ − + ∆ + ∆ − = =∆ ∆

∆ + ∆= = + ∆

∆

Vamos agora fazer ∆x = 0. Obtemos então:

( )2 2d

x xdx

=

Os resultados dos exemplos 1 e 2 podem ser generalizados para qualquer potência da variável

x (n≠0):

1( )n ndax anx

dx

−=

Se o expoente for 0 temos uma constante. Nesse caso:

0 0 0

( ) ( )( ) lim lim lim 0 0

x x x

d f x x f x a aa

dx x x∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ − −= = = =

∆ ∆

Ou seja, a derivada de uma constante é zero.

Usando o algoritmo que apresentamos, pelo menos formalmente, podemos calcular a

derivada de outras funções. Contudo, para as funções que nos interessam esse cálculo exige




conhecimentos que você ainda não tem sobre essas funções. Por essa razão, enunciaremos

aqui apenas as regras de derivação. No curso de Cálculo elas serão demonstradas.

Regras de derivação

1. A derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas de cada função

individualmente. Seja a função 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf x f x f x f x= + + + . Então a sua derivada será

dada por:

1 2

1

1 2

1

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ...

( )( )

n

n i

i

n

ni

i

f x f x f x f x f x

df x df x df xdf x

dx dx dx dx

df xdf x

dx dx

=

=

= + + + =

= + + +

=

∑

∑

2. A derivada de uma função multiplicada por um número real a é o produto do número real

pela derivada da função:

( )1

1

1

( ) ( )

( )( )

( )( )

f x af x

d af xdf x

dx dx

df xdf x a

dx dx

=

=

=

3. A derivada de uma função ( )f x escrita como o produto de duas funções 1( )f x e 2( )f x é

dada pela seguinte regra:

[ ]

[ ] [ ]

1 2

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x f x

d df x f x f x

dx dx

d d df x f x f x f x f x

dx dx dx

=

=

= +

4. A derivada de uma função ( )f x escrita como a razão de duas funções 1( )f x e 2( )f x é

dada pela seguinte regra:




[ ] [ ]

[ ]

1

2

1

2

2 1 1 2

2

2

( )( )

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f xf x

f x

f xd df x

dx dx f x

d df x f x f x f x

d dx dxf xdx f x

=

=

−=

Observe nessa expressão que a ordem das funções é importante.

5. Considere uma função g(u) e u = u(x). Ou seja, a função g é uma função de x através da

função u(x). Um exemplo é a função g(x)=sen(2x). Nesse caso, a função u(x) é a função

u(x) = 2x. A derivada da função g em relação a x é dada pela regra da cadeia:

[ ] [ ]d d d

g g udx du dx

=

Observe que tratamos a função u(x) como se fosse a variável da função g e a seguir

derivamos a função u(x) em relação a x. A derivada da função g(x)=sen(2x) seria então

dada por [chamando u(x)=2x]:

[ ] [ ]

( )

sen( ) ( )

cos( ) 2

2cos(2 )

d d dg u u x

dx du dx

d dg u x

dx dx

dg x

dx

=

=

=

Muitas das regras listadas abaixo fazem uso da regra da cadeia.

6. Listaremos a seguir uma lista de derivadas básica, a partir da qual você poderá calcular,

usando as regras que foram expostas acima, derivadas de funções mais complexas:

� Derivadas das funções trigonométricas (a é uma constante):

sen( ) cos( )

cos( ) sen( )

dax a ax

dx

dax a ax

dx

=

= −




2

2

tang( ) sec ( )

cotg( ) cosec ( )

sec( ) sec( )tang( )

cosec( ) cosec( )cotang( )

dax a ax

dx

dax a ax

dx

dax a ax ax

dx

dax a ax ax

dx

=

= −

=

= −

� Derivadas das funções exponencial e logarítmica (a é uma constante):

( )

1(ln )

ax axde ae

dx

dax

dx x

=

=

Outra forma de indicar uma derivada de uma função em relação à variável x é indicar a derivada

por uma apóstrofe ao lado da letra que representa a função:

( ) '( )d

f x f xdx

≡

(lê-se f linha de x). O símbolo ( ≡ ) indica que apenas estamos associando um outro símbolo para a

derivada de uma função. No caso de a função f depender do tempo [f = f(t)], usa-se colocar um

ponto para indicar a derivação em relação ao tempo (lê-se: f ponto):

( ) ( )d

f t f tdt

≡ ɺ

O uso de uma simbologia ou outra é uma questão de conveniência e gosto.

Derivadas de ordem superior

É importante observar que a derivada de uma função f(x) também é uma função11, a qual

chamaremos de g(x):

( ) ( )d

g x f xdx

= .

11 Não analisaremos aqui a existência ou não da derivada. As condições nas quais a derivada de uma função existe serão exploradas

no curso de Cálculo.




Portanto, como qualquer função, a função g(x) pode, em princípio, ser também derivada em

relação à variável x gerando uma nova função, a qual chamaremos de h(x):

( ) ( )d

h x g xdx

=

Portanto, a função h(x) é obtida pela aplicação da operação de derivação sobre a função f(x) duas

vezes:

[ ]2

2( ) ( ) ( ) ( ) ''( )

d d d dh x g x f x f x f x

dx dx dx dx= = = ≡

A essa operação chamamos de segunda derivada da função f(x) e a indicamos pelo expoente 2 na

operação de derivação. Em geral, podemos definir a derivada de ordem n da função f(x),

subentendendo n derivações da função f(x):

( ) ... ( )n

n

d d d df x f x

dx dx dx dx

=

Exercícios

1. Calcule a derivada das funções abaixo

a. ( ) 3f x x=

b. 2( ) 5 3f x x= +

c. 3 2( ) 5 4 4f x x x= + −

d. ( ) ln(3 )f x x=

e. 2( ) xf x e=

2. Considere as funções abaixo, escritas como o produto de duas funções. Calcule a derivada:

a. ( ) 2 sin(3 )f x x x=

b. 2( ) 5 xf x xe=

c. ( ) sin(2 )cos(4 )f x x x=

Função derivada n vezes.




d. 5( ) ln(2 )cos(6 )xf x e x x=

3. Calcule o valor das derivadas das funções do item 2 nos valores de x dados por: 3, 6 e 10.

Nas funções que envolvem seno e co-seno, considere que os valores de x são dados em

radianos.

4. Calcule a segunda derivada das funções dadas no item 1.

Operação de diferenciação

A derivada, como já dissemos, deve ser entendida como um operador. O símbolo d

dx sendo

entendido como uma unidade indicando um operador que associa uma função f(x) a outra função

g(x), chamada de derivada de f(x). Esquematicamente, a Figura 19 mostra esta associação.

Figura 19 – Representação esquemática da ação do operador derivada.

Por essa razão, nas expressões envolvendo derivadas escritas acima sempre escrevemos a

derivada de uma função na forma:

'( ) ( )d

f x f xdx

≡

Para funções que dependem de uma única variável, além do operador derivada, podemos definir

outro operador, a diferencial, que associa a cada variação da variável x uma variação na função

f(x). Esse operador é definido por:

( ) ( )df x g x dx= eq. 14

f3(x)

f1(x)

fn(x)

f2(x)

.

.

.

g3(x

g1(x

gn(x

g2(x

.

.

.

( )idf x

dx




A eq. 14 nos informa qual a variação que podemos esperar na função f(x) quando a variável x varia

de uma quantidade dx. A variação na função f(x) depende linearmente da variação da variável x

(dx na eq. 14) e de outra função, a ser determinada, g(x). As quantidades df e dx são chamadas de

diferenciais.

Em termos dessas diferenciais, se tomarmos a razão entre as duas diferenciais teremos uma

expressão que, formalmente, é idêntica à derivada da função f(x):

( )( )

df xg x

dx=

Nesse caso, para funções de uma única variável a derivada e a diferencial de uma função são

idênticas, dando a mesma função g(x). Entretanto, quando a função depende de mais de uma

variável, essa duas operações levam a resultados completamente diferentes.

Primitivas e Integrais

Primitivas ou Antiderivadas

Consideremos o seguinte problema: sabemos que a derivada de uma função f(x) é outra função

g(x). Ou seja,

( ) ( )d

f x g xdx

=

A derivada, como vimos anteriormente para o caso de funções de uma única variável, pode ser

vista como a razão entre duas diferenciais, de modo que podemos escrever:

( ) ( )df x g x dx=

Será que podemos saber qual a função que diferenciada nos dá a função g(x)?

A função f(x) é chamada de primitiva da função g(x) e a operação que nos permite calcular a

função que diferenciada nos dá a função conhecida é chamada de antidiferenciação. A operação

de antidiferenciação é indicada pelo símbolo ∫ (lê-se a antiderivada de ou a integral de ).

Assim, quando escrevemos:

( ) ( )g x dx f x=∫




estamos afirmando que se diferenciarmos a função f(x) obteremos a função g(x). A função g(x) é

chamada de integrando.

A antidiferenciação, no entanto, tem uma diferença fundamental em relação à diferenciação. Para

entender essa diferença, vamos construir um conjunto de funções H(x)={hi(x)}, obtidas somando à

função f(x) uma constante C, qualquer: hi(x) = f(x) + Ci.

Vamos agora tomar a derivada da função hi(x):

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0 ( )i ii

dh x dCd df x df x df xf x C g x

dx dx dx dx dx dx= + = + = + = =

Ou seja, quando derivamos a função hi(x) obtemos novamente a função g(x). Então qual será

então a primitiva da função g(x): a função f(x) ou as funções que pertencem ao conjunto H(x)? A

resposta é: tanto a função f(x) como as funções de tipo hi(x) são primitivas da função g(x). Desse

modo, tanto a função h1(x) = f(x) + 5 (C1 igual a 5) como a função h2(x) = f(x) – 2 (C2 igual a -2)

são primitivas da função g(x).

Portanto, ao contrário da operação de derivação que nos fornece um único resultado, a operação

de antidiferenciação não nos dá uma resposta única: uma vez que saibamos uma primitiva de uma

função, se somarmos a essa primitiva qualquer constante Ci, a função assim obtida também será

uma primitiva da função que estamos analisando12. Dizemos que a operação de antidiferenciação

nos dá uma família de soluções e não uma solução única.

Outro ponto que deve ser enfatizado é que a operação de antidiferenciação, a exemplo da

operação de derivação, nos dá como resultado uma função. Ou seja, são funções de funções. A

esse tipo de entidade matemática chamamos de operadores. Então, um operador é uma entidade

matemática que leva uma função em outra função seguindo uma certa regra. Em certo sentido,

um operador é a generalização da idéia de função, a qual é uma entidade matemática que associa

um número a outro número segundo certa regra. No caso da derivada, o símbolo do operador é o

símbolo de derivação (d

dx) e para a antiderivada (ou integração) o símbolo do operador é o

símbolo de integral ( ∫ ).

12 De fato, podemos somar qualquer função que não dependa de x.




No curso de Cálculo esses conceitos serão sistematizados. O que nos importa aqui é que você

saiba como obter as antiderivadas (ou primitivas) de funções elementares e de funções obtidas

por combinações dessas funções elementares (adições, multiplicações, divisões, etc.). Para isso

vamos apresentar as regras de antidiferenciação.

Regras de antidiferenciação

1. Seja f(x) = 1. Então:

( ) ( )g x f x dx dx x C= = = +∫ ∫

C é uma constante arbitrária a ser determinada conforme o problema. Cabe aqui um

comentário: a constante C depende da Física do problema. São as condições de contorno,

temporais ou espaciais, que definirão o seu valor. Condições de contorno são valores da

função g(x) conhecidos no tempo ou no espaço.

2. Seja h(x) = af(x), a uma constante. Então:

( ) ( ) ( ) ( )g x h x dx af x dx a f x dx= = =∫ ∫ ∫

Ou seja, a antiderivada de uma função multiplicada por uma constante é essa constante

multiplicada pela antiderivada da função.

3. Seja h(x) = f1(x) + f2(x). Então:

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x h x dx f x f x dx f x dx f x dx= = + = +∫ ∫ ∫ ∫

A antiderivada de uma função que é a soma de outras funções é a soma das antiderivadas de

cada uma das funções parcela.

Em geral temos que se h(x) é escrita como a soma de n outras funções:

1

( ) ( )n

i

i

h x f x=

=∑

Então:

1 1

( ) ( ) ( ) ( )n n

i i

i i

g x h x dx f x f x dx= =

= = =∑ ∑∫ ∫ ∫ .




Se para um dado operador essa propriedade é válida então chamamos a esse operador de

linear. Observe que os operadores derivada e integral são lineares. No curso de Álgebra Linear

esse conceito será sistematizado.

Seja f(x) = xn (n ∈ Z e n ≠ -1). Então:

1

( )1

nn x

f x dx x dx Cn

+

= = ++∫ ∫

Observe que a Regra 1 é um caso particular dessa regra, com n=0.

Essas são as regras elementares, as quais envolvem regras gerais e regras para funções de tipo

polinômio da variável x. Na Tabela 5, listamos as antiderivadas de algumas funções mais

complicadas. Não as demonstraremos aqui. No curso de Cálculo essas regras serão obtidas de

forma sistemática.

As regras mostradas na Tabela 5 são as principais antiderivadas que utilizaremos em nosso curso.

Para outras funções, fontes de referência são os manuais de tabelas e fórmulas matemáticas. Um

desses manuais, de custo acessível e bastante completo, é o manual de SPIEGEL. Outro manual,

esse mais completo e de referência em trabalhos profissionais, porém de custo mais elevado, é o

manual de GRADSHTEYN e RYZHIK. As referências completas desses manuais se encontram no

final desse texto, na seção bibliografia.

Tabela 5 – Tabela de antiderivadas

Função Antiderivada

Seno: sen(ax) 1sen( ) cos( )ax dx ax C

a= − +∫

Co-seno: cos(ax) 1cos( ) sen( )ax dx ax C

a= +∫

Exponencial: eax 1ax axe dx e C

a= +∫

Logaritmo natural: ln(ax) [ ]

1ln( ) ln( )ax dx ax ax ax C

a= − +∫

Inverso: 1/x 1ln( )dx x C

x= +∫

Um último comentário a respeito das antiderivadas. Por tradição, o processo de antiderivação é

chamado de Integração. É usual nos referirmos ao processo de antiderivação usando o termo




Integração e ao resultado o termo Integral Indefinida ou simplesmente Integral. Esses mesmos

termos (Integração e Integral, inclusive usando o mesmo símbolo) são usados para outros tipos de

operações, como a que veremos na próxima seção. Contudo, o estudante deve ter clareza de que,

embora os termos sejam os mesmos, de fato estamos realizando operações completamente

diferentes. Para fixar esse conceito, deve-se ter clareza de que a antidiferenciação nos dá como

resultado uma família de funções as quais, se diferenciadas, nos dão certa função.

Integral Definida

Vamos considerar a curva de uma função f(x) em função de x em certo intervalo [a,b] mostrada na

Figura 20.

Figura 20

Suponhamos que queiramos saber a área entre o gráfico da função f(x) e o eixo x. Como

poderíamos fazer isso? Uma estratégia poderia ser a mostrada na Figura 21.

A estratégia para calcular a área entre o eixo x e o gráfico da função é clara: construímos uma

série de retângulo de base ∆xi e altura f(xi) e calculamos a área de cada um deles e somamos. A

área sob a curva, A, será dada, então, pela soma das áreas de todos os retângulos que

construímos:

1

( )n

i i

i

A f x x=

= ∆∑

a

f(x)

x b

Gráfico de f(x)




A soma é feita sobre os n retângulos que usamos para “cobrir” a área desejada. Observe que a

largura dos retângulos pode ser diferente. O valor da função usado nesse cálculo é o valor para

certo valor xi dentro do intervalo considerado.

Figura 21

O problema dessa estratégia é óbvio. Olhando a figura, vemos que temos partes da área desejada

que não estão cobertas pelos retângulos, enquanto outras partes que não pertencem à região de

interesse estão cobertas pelos retângulos que construímos.

A solução seria então colocar retângulos mais estreitos em maior número, como mostrado na

Figura 22. Embora tenhamos uma melhor descrição da área a ser calculada, ainda assim temos

claros que deveriam estar cobertos e partes cobertas que deveriam estar descobertas. Podemos

prosseguir esse processo e melhorando o cálculo da área embaixo da curva. Veja que aumentar

ainda mais o número de retângulos implica tomar valores da variável ∆xi cada vez menores:

quanto mais retângulos, melhor a nossa descrição, porém o valor de ∆xi será cada vez mais

próximo do zero.

a

f(x)

x b

Gráfico de f(x)

a

f(x)

x b

Gráfico de f(x)




Figura 22

Podemos exprimir essa idéia usando a noção de limite, que já usamos para introduzir o conceito

de derivada. Vamos tomar o número de retângulos indo para o infinito enquanto a largura de cada

um deles (∆xi) se aproxima de zero. Usando a notação matemática, podemos escrever:

01

lim ( )i

n

i ix

i

A f x x∆ →

=

= ∆∑ eq. 15

Quando calculamos a área dessa maneira dizemos que estamos calculando a integral definida no

intervalo [a,b] da função f(x):

01

( ) lim ( )i

b n

i ix

ia

A f x dx f x x∆ →

=

= ≡ ∆∑∫ eq. 16

O símbolo | | que aparece no limite indica que estamos tomando o módulo do intervalo ∆xi. A

integral calculada dessa maneira é chamada de Integral de Riemann.

Naturalmente, que devemos colocar a seguinte questão: sob quais condições o limite introduzido

na eq. 15 existe? Essa resposta será trabalhada no curso de Cálculo. Aqui apresentaremos apenas

um teorema que nos permite calcular a integral definida sem ter que calcular o limite indicado na

eq. 16.

Suponha que g(x) seja uma primitiva de f(x). Ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )d

f x g x f x dx g x Cdx

= ⇔ = +∫

Então o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que:

A integral definida de uma função f(x) em um intervalo [a,b] é dada pela

primitiva do integrando calculada no limite superior da integral [g(b)] menos a

primitiva do integrando calculada no limite inferior da integral [g(a)]:

( ) ( ) ( ) ( )b

b

a

a

f x dx g b g a g x= − ≡∫.




O que essa expressão nos diz é que a Integral Definida da função g(x) no intervalo [a,b] é obtida

simplesmente tomando-se o valor da primitiva da função f(x) para x = b e subtraindo-se desse

valor o valor da primitiva para x = a. A função f(x) recebe o nome de integrando e os valores a e b

recebem os nomes limite inferior e limite superior da integral, respectivamente.

Desse modo, o problema de encontrar a Integral Definida da função f(x) no intervalo [a,b] se reduz

a achar a primitiva dessa função e então calcular o valor dessa primitiva nos limites de integração

e subtrair do valor de g(b) o valor de g(a).

Como reduzimos o problema da integração ao problema da antidiferenciação, as regras para a

integração se reduzem a aquelas da antidiferenciação já discutidas.

Exercícios

1) Calcule as antiderivadas das funções abaixo:

1. f(x) = 2

2. f(x) = 2x2;

3. f(x) = x3;

4. f(x) = x-1;

5. f(x) = 2x+5

6. f(x) = 2 ln(x)

7. f(x) = ex;

8. f(x) = 4 sen(x);

9. f(x) =5 cos(x)+2 cos(x);

10. f(x) = ln(x) +3ex.

2) Calcule as integrais definidas para as funções listadas abaixo, nos intervalos indicados:

1. f(x) = 2x2+ x3; [3,5];

2. f(x) = x-1+3 x3; [8,20];

3. f(x) = 2x2+5x; [0,100];

4. f(x) = 2x+5; [100,0]

5. f(x) = x3+x; [-10,10]

6. f(x) = 10 ln(x); [1,50]

7. f(x) = ex; [0,100]




8. f(x) = 4 sen(x); [0,π/2]

9. f(x) = 4 sen(x); [-π/2,π/2]

10. f(x) =5 cos(x)+2 sin(x); [-π,π];

11. f(x) = ln(x) +3ex; [100,1]

Sistemas de equações lineares

Problemas bastante comuns em Física são aqueles que envolvem a solução de sistemas de

equações. Normalmente um problema em Física consiste em certo número de informações que

temos sobre o sistema (variáveis conhecidas) e certo conjunto de informações que queremos

descobrir sobre o sistema (variáveis desconhecidas).

Um problema somente é solúvel, potencialmente, se o número de incógnitas for o mesmo que o

número de equações as relacionando. Por exemplo, se temos 2 incógnitas necessitamos de duas

equações que relacionem essas incógnitas.

A origem das equações relacionando as incógnitas depende do problema. Normalmente as

equações provêm da aplicação de princípios gerais, como os princípios de conservação, ou da

aplicação de equações que são válidas em um contexto específico.

Aqui, vamos supor que temos já um conjunto de n equações relacionando n incógnitas.

Simbolicamente, se chamarmos de xi as incógnitas, podemos escrever o sistema de equações da

seguinte forma:

31 2

1 2

31 2

1 2

31 2

1 2

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

.

.

.

...

n

n

n

mm m

n

mm m

n

mm m

n n nn n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + =

+ + + =

eq. 17

Os números aij são chamados de coeficientes do sistema de equações enquanto os bn são

constantes ou funções que não dependem das variáveis xi. Em princípio, os coeficientes aij podem

ser funções das variáveis xi. Os expoentes que aparecem nas eq. 17 (mi) em princípio podem ser

quaisquer.




Sistemas de equações lineares homogêneas

Vamos agora fazer três hipóteses sobre o sistema mostrado nas eq. 17:

� Hipótese 1: todos os bi são nulos;

� Hipótese 2: todos os expoentes mi são iguais a 1;

� Hipótese 3: todos os coeficientes aij não dependem das variáveis xi.

Quando essas três hipóteses são satisfeitas, o sistema é dito um sistema de equações lineares

homogêneas. O nome linear vem do fato de que as variáveis aparecem apenas no expoente 1

(todos os mi = 1), não aparecem termos onde as variáveis estejam multiplicando umas as outras e

por fim os coeficientes são independentes das variáveis e, portanto, a multiplicação dos

coeficientes pelas variáveis não gera termos onde as variáveis apareçam umas multiplicando as

outras. O nome homogêneo vem da condição imposta de que todos os bi são nulos.

Sob essas hipóteses a eq. 17 pode ser reescrita como:

1 2

1 2

1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

... 0

... 0

.

.

.

... 0

n

n

n

n

n

n n nn

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

+ + + =

+ + + =

+ + + =

eq. 18

A solução de um sistema de equações lineares homogêneas implica em descobrir quais os valores

das variáveis xi satisfazem ao mesmo tempo o conjunto de equações.

Observe que o sistema de equações eq. 18 pode ser escrito em uma forma matricial da seguinte

maneira:

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

0

0

0

0

n

n

n n n nn

x a a a

x a a a

x a a a

=

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

eq. 19

Naturalmente, há um conjunto de valores das variáveis xi que satisfaz trivialmente ao sistema:




xi = 0

Por essa razão, essa solução é chamada de solução trivial do sistema. Essa é uma solução que não

interessa na maior parte dos casos.

Portanto, sob quais condições existe uma solução que não seja a solução trivial? A condição para

que tenhamos uma solução não trivial para o problema é dada pelo determinante da matriz dos

coeficientes. Uma condição necessária para que o sistema de equações lineares homogêneas

tenha solução não trivial é que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo:

11 12 1

21 22 2

1 2

0

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

=

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

eq. 20

A condição imposta pela eq. 20 pode ser facilmente entendida se analisarmos o caso simples: uma

única equação e uma única variável:

ax = 0

Nesse caso, somente poderemos ter um valor de x ≠ 0 se o coeficiente a for nulo. Se a for nulo

então o valor de x poderá ser qualquer e a equação terá outras soluções além da solução trivial.

Por outro lado, para a ≠ 0 a única possibilidade de solução do problema é a solução trivial.

Do mesmo modo, para um sistema homogêneo, se a matriz dos coeficientes for nula teremos uma

solução não trivial do problema, e então o sistema é dito indeterminado. Porém se o

determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, apenas a solução trivial é possível

(xi = 0) e então o sistema é dito determinado.

Por exemplo, considere o sistema de equações abaixo:

2 4 0

5 10 0

x y

x y

+ =

+ =

Esse sistema é indeterminado, pois o determinante da matriz dos coeficientes é nulo:

2 420 20 0

5 10= − =




Conseqüentemente o sistema admite infinitas soluções. Por exemplo, x=2 e y=-1 é um conjunto

de soluções. Por outro lado, qualquer conjunto de pares ordenados: x= 2n e y = - n (n um inteiro)

também é solução:

2(2 ) 4( ) 0 4 4 0

5(2 ) 10( ) 0 10 10 0

n n n n

n n n n

+ − = − = →

+ − = − =

Já o conjunto de equações:

2 3 0

5 2 0

x y

x y

+ =

+ =

é determinado, pois:

2 34 15 0

5 2= − ≠

Portanto, a única solução possível é x = y = 0.

Sistema de equações lineares não homogêneas

Se levantarmos a exigência de que o sistema de equações lineares seja homogêneo, então todos

os bi podem ser diferentes de zero. O sistema de equações descrito na equação eq. 17 será dado

por:

1 2

1 2

1 2

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

.

.

.

...

n

n

n

n

n

n n nn n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + =

+ + + =

eq. 21

Existem vários métodos para a solução desse tipo de sistema de equações. Quando o número de

equações é maior do que duas a obtenção da solução fica bastante trabalhosa e métodos

numéricos são necessários. Você os estudará na disciplina Física Computacional e também no

curso de Álgebra Linear. Vamos aqui nos deter em dois métodos de obtenção da solução os quais

são bastante úteis se temos duas equações para resolver.




Para simplificar a notação, como temos apenas duas incógnitas, vamos chamá-las de x e y. Assim,

nosso sistema de equações se escreve:

11 12 1a x a y b+ = eq. 22

21 22 2a x a y b+ =

eq. 23

Lembre que os números aij são conhecidos.

Método da substituição

No método da substituição, isolamos uma das variáveis usando uma das equações e substituímos

na outra. Assim, se isolarmos a variável x na eq. 22 e substituirmos essa mesma variável na eq. 23,

teremos uma expressão que envolve apenas a variável y:

2 11 1 21

11 22 21 12

b a b ay

a a a a

−=

−

eq. 24

Podemos agora usar o valor de y para obter o valor de x:

1 12

11

1 12 2 11 1 21

11 11 11 22 21 12

b a yx

a

b a b a b ax

a a a a a a

−=

−= −

−

1 22 2 12

11 22 21 12

b a b ax

a a a a

−=

−

eq. 25

Por exemplo, considere o sistema de equações abaixo:

21 22 2

1 1221 22 2

11

11 12 1 1 12

1 21 21 1222 221 22 2 11

11 11

21 12 1 2122 2

11 11

11 22 21 12 2 11 1 21

11 11

a x a y b

b a ya a y b

aa x a y b b a y

x b a a a ya y ba x a y b a

a a

a a b ay a b

a a

a a a a b a b ay

a a

+ =

− + = + = − → = ⇒

− + =+ =

− = −

− −=




2 3 8

5 3 1

x y

x y

+ =

− = −

Nesse sistema, a11=2, a12=3, a21=5, a22 = -3, b1=8 e b2=-1. Usando esses valores nas expressões

para x e y:

1 22 2 12

11 22 21 12

8.( 3) ( 1)3

2.( 3) 5.3

24 3 211

6 15 21

b a b ax

a a a a

x x

− − − −= =

− − −

− + −= = ⇒ =

− − −

Agora vamos obter o valor de y:

2 11 1 21

11 22 21 12

( 1).2 8.5 2 40

2.( 3) 5.3 6 15

422

21

b a b ay

a a a a

y y

− − − − −= = =

− − − − −

−= ⇒ =

−

Podemos verificar se nosso resultado é adequado substituindo os valores de x e y no sistema de

equações original:

2 3 8 2.1 3.2 8 8 8

5 3 1 5.1 3.2 1 1 1

x y

x y

+ = + = = ⇒ ⇒

− = − − = − − = −

Portanto, nossa solução é a correta.

Método da adição

Nesse método, multiplicamos cada uma das equações do par pelo coeficiente de uma das

variáveis da outra. Em uma das equações multiplicamos pelo coeficiente da outra com o sinal

invertido e na outra pelo coeficiente sem inverter o sinal. Então somamos as duas equações. É

importante observar que multiplicamos as duas equações do par pelos coeficientes da mesma

variável. Assim, para o nosso caso padrão, se escolhemos eliminar a variável x, teremos que:

11 12 1 21 11 21 12 21 1

21 22 2 11 21 11 22 11 2

11 21 21 11 11 22 21 12 2 11 1 21

11 22 21 12 2 11 1 21

2 11 1 21

11 22 21 12

( ) ( )

( ) ( )

( )

a x a y b a a x a a y a b


x a a a a y a a a a b a b a

y a a a a b a b a

b a b ay

a a a a

+ = − + − = − ⇒

+ = + =

− + − = −

− = −

−=

−




Essa expressão é a mesma que obtivemos anteriormente pelo método da substituição (eq. 24).

Multiplicando agora pelos coeficientes de y:

11 12 1 22 11 22 12 22 1

21 22 2 12 21 12 22 12 2

12 21 22 11 12 22 22 12 2 12 1 22

12 21 22 11 2 12 1 22

2 12 1 22

11 21 22 11

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )



x a a a a y a a a a b a b a

x a a a a b a b a

b a b ax

a a a a

+ = − + − = − ⇒

+ = + =

− + − = −

− = −

−=

−

Essa expressão é equivalente àquela obtida anteriormente pelo método da substituição (eq. 25).

Trigonometria

Círculo trigonométrico

Vamos considerar o círculo de raio unitário mostrado na Figura 23. Vamos definir os eixos x e y de

modo que a origem do sistema de coordenadas esteja no centro do círculo. Definidos dessa

maneira, os eixos definem quatro setores sobre o círculo, denominados quadrantes. Esses

quadrantes são denominados pelos números de I a IV, em algarismos romanos, seguindo-se o

sentido anti-horário. Os pontos nos quais os eixos interceptam a circunferência que delimita o

círculo trigonométrico têm coordenadas: (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1).

Figura 23 – O círculo trigonométrico

x

y

I II

III IV

1 -1

-1

1 Quadrantes




Cada ponto sobre a circunferência que delimita o círculo trigonométrico é identificado por um

ângulo. Esse ângulo, que chamaremos de θ13 é o ângulo entre o eixo x e o segmento de reta que

vai do centro do círculo trigonométrico até o ponto considerado sobre a circunferência que

delimita o círculo trigonométrico.

Os ângulos podem ser medidos em várias unidades. As mais usadas são o grau e o radiano

(símbolo rad). O radiano é definido como o ângulo compreendido entre dois raios (r) de um

círculo, os quais definem um arco sobre a circunferência que limita o círculo, cujo comprimento é

igual ao raio da circunferência.

Figura 24 – Definição de radiano.

Vamos chamar o comprimento do arco mostrado na Figura 24 de S. Lembrando que a definição de

ângulo plano é dada por:

1 radS r

r rθ = = =

Portanto, a partir dessa definição, podemos ver que uma volta completa na circunferência define

um ângulo cuja medida em radianos é dada por:

22 radc

c

S r

r r

πθ = = = π

A unidade grau é o ângulo compreendido entre dois raios de um círculo os quais definem um arco

sobre a circunferência que delimita o círculo, cujo comprimento é igual a 1/360 do perímetro da

circunferência (veja a Figura 25).

13 Lê-se theta.

Comprimento

do arco: S=r. r

r

θ

Ângulo de 1 rad.




21

360 360

cS r

S °π= = ⇒ α =

.

Figura 25 – Definição de grau.

Para mudarmos de unidade de medida de ângulo, basta uma simples regra de três. Veja que o

ângulo que define uma volta completa em uma circunferência é, se medido em graus, igual a 360

e, se medido em radianos, igual a 2π. Portanto, um ângulo cujo valor em radianos é αrad terá sua

medida em graus, αgrau, dada pela regra de três:

2π ↔ 360º

αrad ↔ αgrau

Assim, por exemplo, considere um ângulo de 30º. Qual o valor desse mesmo ângulo em radianos?

Aplicando a regra: αgrau = 30º e αrad é o que queremos saber:

2π ↔ 360º

αrad ↔ 30º

Logo:

2 30 360

2 30rad

360 6

rad

rad

π× = ×α

π× πα = =

Usando as definições acima, podemos escrever os ângulos que localizam os pontos sobre o círculo

trigonométrico. Assim, o ângulo 0 rad (ou 0º) é o ângulo entre o segmento de reta que vai da

origem até o ponto (1,0) na circunferência e o eixo x. O ângulo de π/2 radianos é o ângulo entre o

Comprimento do

arco S = Sc /360 r

r α =1°




segmento de reta que vai da origem até o ponto (0,1) da circunferência (veja a Figura 26). Já o

ângulo π/4 é o ângulo que divide o primeiro quadrante em duas partes iguais.

Figura 26 – Ângulos no círculo trigonométrico.

Portanto, podemos descrever os quadrantes do círculo trigonométrico em termos dos ângulos

medidos a partir do eixo x, cada quadrante sendo delimitado como mostra a Tabela 6.

Tabela 6 – Limites dos quadrantes do círculo trigonométrico

Quadrante Nome θ (graus) θ (radianos)

I 1o quadrante 0o ≤ θ < 90o 0 ≤ θ < π/2

II 2o quadrante 90o ≤ θ < 180o π/2 ≤ θ < π

III 3o quadrante 180o ≤ θ < 270o π ≤ θ < 3π/2

IV 4o quadrante 270o ≤ θ < 360o 3π/2 ≤ θ < 2π

Funções trigonométricas

Podemos definir várias funções a partir do círculo trigonométrico, considerando as projeções

perpendiculares de um ponto sobre o círculo trigonométrico nos eixos x e y e também as

intersecções do prolongamento do segmento de reta que vai do centro do círculo trigonométrico

θ = π/2

θ = 0

θ = π/4

x

y

1 -1

-1

1




até o ponto sobre a circunferência que o limita e retas tangentes ao círculo trigonométrico.

Considere a Figura 27.

Figura 27 - O círculo trigonométrico e as funções seno, co-seno e tangente.

Vamos começar definindo o que entendemos por co-seno do ângulo θ (símbolo cos(θ)). Considere

a projeção perpendicular do ponto B na figura sobre o eixo x (segmento de reta AB). Essa projeção

determina sobre o eixo x um segmento de reta AO. Ao tamanho desse segmento de reta

chamamos de co-seno do ângulo θ. Por essa razão, o eixo x é chamado de eixo do co-seno.

1

1

-1

-1

A O

θ

C

D

B

Reta da co tangente

Eixo dos senos (y)

E

Eixo dos co-senos (x)

Reta da tangente

F G




Lembrando que o círculo trigonométrico possui raio unitário, podemos ver que a função co-seno

varia de 1, quando o ponto B está sobre o eixo dos co-senos (θ = 0), até 0, quando o ponto B está

sobre o eixo y (chamado de eixo dos senos, θ = π/2). Quando o ponto B está sobre o eixo x, mas

do lado negativo (θ = π) o co-seno vale –1 e, por fim, quando o ponto B está sobre o eixo dos

senos (θ = 3π/2), mas do lado negativo, o co-seno vale 0 novamente. Completando a volta no

círculo trigonométrico, chegamos ao eixo dos co-senos novamente (θ = 2π) e o co-seno volta a

valer 1.

A seguir vamos definir o que entendemos por seno do ângulo θ (símbolo sen(θ)). Vamos

considerar a projeção do ponto B agora sobre o eixo y (eixo do seno). Esta projeção determina o

segmento de reta OC. O tamanho dessa projeção é o que chamamos do seno de θ.

Vamos analisar o que acontece com o valor do seno, à medida que nos movimentamos sobre o

círculo trigonométrico, começando por θ = 0. Para esse ângulo, a projeção sobre o eixo dos senos

tem comprimento nulo e, portanto, o seno desse ângulo vale zero. Quando θ vale π/2, a projeção

sobre o eixo dos senos é o próprio ponto F na Figura 27, definindo assim o segmento de reta OF,

valendo 1, portanto. Quando θ vale π, a projeção sobre o eixo do seno é nula e assim o seno de π

vale zero. Prosseguindo até θ = 3π/2, vemos que agora a projeção sobre o eixo do seno vale –1.

Fechando a volta sobre o círculo trigonométrico, com θ = 2π, teremos novamente projeção nula

sobre o eixo dos senos.

Podemos resumir nossos resultados como na Tabela 7.

Tabela 7- Valores do seno e do co-seno.

Função/Ângulo 0 π/2 π 3π/2 2π

Seno 0 1 0 -1 0

Co-seno 1 0 -1 0 1

Podemos ainda escrever que:

1 sen( ) 1

1 cos( ) 1

− ≤ θ ≤

− ≤ θ ≤




Observe, ainda que (veja a Tabela 7) as funções seno e co-seno estão defasadas por π/2. O valor

da função seno para um certo ângulo é o mesmo valor da função co-seno para esse ângulo menos

π/2. Por exemplo, o valor do seno para θ = π (zero) é igual ao valor do co-seno do ângulo α = θ -

π/2 = π - π/2 = π/2: sen (π) = cos (π/2) = 0

Há uma estreita relação entre as funções seno e co-seno definidas no círculo trigonométrico e as

funções seno e co-seno definidas a partir do triângulo retângulo. Observe que os pontos O, A e B

são os vértices de um triângulo retângulo.

Podemos definir as funções seno e co-seno no triângulo retângulo a partir das relações entre os

lados (catetos a e b) e a hipotenusa (h). Veja a Figura 28. Nessa figura, apenas reproduzimos

aquele triângulo inscrito no círculo trigonométrico.

Figura 28 - O triângulo retângulo.

Observe que o cateto a corresponde ao segmento de reta AO enquanto o cateto b corresponde ao

segmento de reta OB. A hipotenusa h correspondendo ao raio do círculo trigonométrico.

Definimos o co-seno do ângulo θ como a razão entre o cateto adjacente14 ao ângulo (cateto a) e a

hipotenusa, h:

cos( )=a

hθ

Do mesmo modo, definimos o seno do ângulo θ como a razão entre o cateto oposto ao ângulo

(cateto b) e a hipotenusa, h:

sen( )=b

hθ

14 Recebe o nome de cateto adjacente ao ângulo o cateto que forma o ângulo juntamente com a hipotenusa. Por cateto oposto

entendemos o cateto que está na “frente” do ângulo.

θ

a

b h




Dessas relações podemos derivar uma relação muito importante entre o seno e co-seno de um

mesmo ângulo. Para obter essa relação vamos escrever o teorema de Pitágoras para o triângulo

retângulo mostrado na Figura 28:

2 2 2h a b= + .

Isolando nas definições de seno e de co-seno os valores de a e de b, podemos reescrever a

equação acima como

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

sen( )=b= sen( ) b = sen ( )

cos ( ) sen ( )cos( ) cos ( )

cos( )

b

h hha b h h h

a a h a h

h

θ θ θ

⇒ ⇒ ⇒ + = θ + θ = = θ = θ θ =

Dividindo agora toda expressão por h2 obtemos:

2 2cos ( ) sen ( ) 1θ + θ =

Essa é uma das principais relações envolvendo as funções seno e co-seno de um mesmo ângulo.

A partir do círculo trigonométrico podemos definir ainda várias outras funções. Comecemos

observando que o prolongamento do segmento OB até o ponto E define um segmento de reta DE

sobre a reta que é tangente ao círculo trigonométrico no ponto D. Ao comprimento desse

segmento de reta chamamos de tangente do ângulo θ (símbolo tan(θ)). Os valores da tangente de

um ângulo podem ir de - ∞ para o ângulo se aproximando de 3π/2, passando pelo zero (θ = 0) e

indo a + ∞, quando o ângulo θ se aproxima de π/2.

Podemos, também, definir a função tangente usando o triângulo retângulo. Observando que a

tangente DE forma um triângulo retângulo com os segmentos de reta OD e OE, e usando que:

sen(θ) = DE / OE

e que:

cos(θ) = OD / OE.

Logo:

sen( )DE OE= θ




Por outro lado:

1

cos( ) cos( )

ODOE = =

θ θ

A última igualdade segue de que o segmento de reta OD é o próprio raio do círculo

trigonométrico, o qual vale 1.

Portanto, podemos escrever que:

1 sen( )tan( ) sen( ) sen( ) tan

cos( ) cos( )DE OE

θθ ≡ = θ = θ ⇒ θ =

θ θ

Em um triângulo retângulo qualquer a tangente do ângulo é definida como a razão entre o cateto

oposto ao ângulo e o cateto adjacente ao ângulo. Em termos das variáveis definidas na Figura 28:

tan( )b

aθ =

O estudante deve se convencer de que essas duas expressões para a tangente do ângulo são

absolutamente equivalentes.

Outra função que pode ser definida em termos do círculo trigonométrico é a função co-tangente

de θ (símbolo cot(θ)). Observe no círculo trigonométrico que a extensão do segmento OB até a

reta que é tangente ao círculo trigonométrico no ponto F determina um ponto de intersecção

(ponto G), o qual por sua vez, limita o segmento de reta FG. O tamanho desse segmento de reta é

o que chamamos de co-tangente do ângulo θ.

Da mesma forma que a tangente a cotangente pode valer - ∞, para θ = π, passando pelo zero (θ =

π/2 ou 3π/2) e indo a + ∞ para θ = 0.

Em termos do seno e do co-seno, também podemos escrever a cotangente como:

cos( ) 1cot( )

sen( ) tan( )

θθ = =

θ θ

Deixamos ao estudante a demonstração dessa relação. Em termos das quantidades do triângulo

retângulo a co-tangente será dada por (veja a Figura 28):

cot( )a

bθ =




Outras funções podem ser definidas em termos do seno e do co-seno, além da tangente e da co-

tangente. São elas:

Nome da função Símbolo Definição

Secante sec (θ) 1sec ( )

cos( )θ =

θ

Co-secante cosec (θ) 1cosec( )

sen( )θ =

θ

Funções trigonométricas inversas

Dado um ângulo, podemos saber o valor das várias funções trigonométricas a partir da definição

dessas funções. Porém, muitas vezes, o problema inverso aparece: sabendo o valor de uma das

funções trigonométricas, como saber o ângulo que nos dá aquele valor específico daquela função?

Esse é o que chamamos de problema inverso e as funções que nos dão o ângulo para o qual

sabemos o valor de uma dada função trigonométrica são chamadas de funções inversas. Essas

funções recebem o nome geral de arco. Assim temos:

Nome Símbolo Ação

Arco seno Arc sen (x) ou sen-1 (x) Ângulo cujo seno vale x.

Arco co-seno Arc cos (x)ou cos-1 (x) Ângulo cujo co-seno vale x.

Arco tangente Arc tan(x) ou tan-1 (x) Ângulo cuja tangente vale x

Arco co-tangente Arc cot (x) ou cot-1,(x) Ângulo cuja co-tangente vale x

Arco secante Arc sec (x) ou sec-1 (x) Ângulo cuja secante vale x.

Arco co-secante Arc cosec (x) ou cosec-1 (x) Ângulo cuja co-secante vale x.




Gráficos das funções trigonométricas

A seguir mostramos os gráficos das funções trigonométricas.

Figura 29 - Gráfico da função seno.

Figura 30 - Gráfico da função co-seno.

-1

1

0 θ

cos (θ)

π 2π 3π 4π

-1

1

0 θ

sen(θ)

π 2π 3π 4π




Figura 31 - Gráfico da função tangente.

Figura 32 - Gráfico da função co-tangente.

-1

1

0 θ

cot (θ)

π 2π 3π 4π

-1

1

0 θ

tan (θ)

π 2π 3π 4π




Figura 33 - Gráfico da função secante.

Figura 34 - Gráfico da função co-secante.

-1

1

0 θ

cosecθ

π 2π 3π 4π

-1

1

0 θ

sec (θ)

π 2π 3π 4π




Algumas relações importantes entre as funções trigonométricas

Para um ângulo θ qualquer, as seguintes relações são válidas:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

cos ( ) sen ( ) 1

1 tan ( ) sec ( )

sec ( ) - tan ( ) 1

1 + cot ( ) cosec ( )

cosec ( ) - cot ( ) = 1

sec( )tan =

cosec( )

θ + θ =

+ θ = θ

θ θ =

θ = θ

θ θ

θθ

θ

Outras relações das funções trigonométricas envolvendo múltiplos de um ângulo:

2 2

2

sen (2 ) = 2 sen( ) cos( )

cos (2 ) = cos ( ) - sen ( )

2 tg( )tg (2 ) =

1- tg ( )

θ θ θ

θ θ θ

θθ

θ

Sejam α e θ dois ângulos quaisquer:

sen( ) sen( )cos( ) sen( )cos( )

cos( ) cos( )cos( ) sen( )sen( )

α ± θ = α θ ± α θ

α ± θ = α θ ± α θ

Na Tabela 8 fornecemos os valores das funções trigonométricas para alguns ângulos.




Tabela 8 – Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos

Ângulo (o)-(rad) sen cos tan cot sec cosec

0 - 0 0 1 0 ±∞ 1 ±∞

30 - π/6 1

2 3

2

3

3 3 2

3

2

45 - π/4 2

2

2

2

1 1

2

2

2

2

60 - π/3 3

2

1

2 3 3

3

2 2

3

90 - π/2 1 0 ± ∞ 0 ± ∞ 1

120 - 2π/3 3

2 -

1

2 - 3 -

3

3

-2 2

3

135 - 3π/4 2

2 -

2

2

-1 -1 -

2

2

2

2

150 - 5π/6 1

2 -

3

2 -

3

3 - 3 -

2

3

2




180 - π 0 -1 0 ± ∞ -1 ± ∞

210 - 7π/6 -1

2 -

3

2 -

3

3 - 3 -

2

3

-2

225 - 5π/4 -

2

2 -

2

2

1 1 -

2

2 -

2

2

240 - 4π/3 -

3

2 -

1

2 3 3

3

-2 -

2

3

270 - 3π/2 -1 0 ± ∞ 0 ± ∞ -1

300 - 5π/3 -

3

2

2

1 - 3 -

3

3

2 -

2

3

315 - 7π/4 -

2

2

2

2

-1 -1 2 -

2

2

330 - 11π/6 -1/2 3

2 -

3

3 - 3 2

3

-2

360 - 2π 0 1 0 ± ∞ 1 ± ∞




Lei dos co-senos para um triângulo qualquer

Considere o triângulo mostrado na

Figura 35 – Um triângulo qualquer.

Para um triângulo qualquer são válidas as seguintes relações:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos(α)

b2 = c2 + a2 - 2ac cos (β)

c2 = a2 + b2 - 2ab cos(γ)

Matrizes e Determinantes

Definimos uma matriz como um quadro de números distribuídos em linhas e colunas. Por

exemplo:

1 0

0 1

=

A

é uma matriz com duas linhas e duas colunas. A posição de cada elemento em uma matriz é

indicada pelo nome da matriz e por um par de índices, no qual o primeiro índice indica a linha da

matriz e o segundo indica a coluna. Assim, o elemento A12 indica o elemento na matriz A

localizado na primeira linha e na segunda coluna (o número zero) enquanto o elemento A22 indica

o elemento na segunda linha e segunda coluna da matriz A (o número 1 no nosso exemplo). Em

geral, um elemento qualquer da matriz A será indicado por Aij.

a

b

c

γ

β α




A ordem de uma matriz é indicada pelo seu número de linhas e de colunas. No nosso exemplo, a

matriz A é de ordem 2x2 (lê-se dois por dois).

Da mesma forma que podemos operar com números reais, podemos realizar operações entre

matrizes.

Adição de matrizes

Somente podemos adicionar (somar ou subtrair) matrizes que possuam o mesmo número de

linhas e de colunas. A soma é definida da seguinte maneira: se A e B são matrizes de mesma

ordem, então a matriz C, definida como a soma de A e B, de mesma ordem que A e B, terá seus

elementos dados por:

ij ij ijC A B= ± .

Ou seja, o elemento soma, é a soma dos elementos das duas matrizes de mesma posição. Por

exemplo, sejam as matrizes A e B dadas por:

3 3 5 4;

2 8 0 3

− = = −

A B

Então a matriz C soma de A e B será dada por:

3 3 5 4 5 3 4 3

2 8 0 3 0 2 3 8

8 1

2 5

− + − = + = − + − +

C = A + B

C =

Observe que a adição de matrizes é comutativa:

A + B = B+ A

Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de duas matrizes A e B, denotada por A . B, é definida apenas se a matriz que

aparece à esquerda (A) tiver o mesmo número de colunas que o de linhas da matriz que aparece à

direita (B). A matriz C produto de A por B terá seus elementos dados por:

1

n

ij im jm

m

C A B=

=∑




Esta expressão nos indica que devemos multiplicar os elementos de cada coluna da matriz B pelos

elementos de cada linha da matriz A e somar.

Por exemplo, sejam as matrizes:

2 3 9 3 3

5 5 3 ; 4 6

1 0 8 3 7

− = − = − − −

A B

Então os elementos da matriz C = A . B serão dados por:

2 3 9 3 3

. 5 5 3 . 4 6

1 0 8 3 7

( 3).2 (3.4) 9.( 3) 2.3 3.( 6) 9.( 7)

( 3).5 3.4 9.( 3) 3.5 ( 5).( 6) 3.( 7)

( 3).1 0.4 8.( 3) 3.1 0.( 6) 8.( 7)

− = = − − ⇒ − −

− + + − + − + − = − + + − + − − + − − + + − + − + −

C A B

C

21 75

30 24

27 53

− −

= − − −

C

Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa: A××××B≠≠≠≠B××××A.

Tipos de matrizes e algumas definições

1. Uma matriz é dita matriz quadrada quando o número de linhas é igual ao número de

colunas da matriz. A matriz A mostrada abaixo é uma matriz deste tipo:

8 1

2 5

A =A =A =A = ;

Para matrizes quadradas, podemos definir a diagonal da matriz como sendo os elementos

da matriz que possuem dois índices iguais: i = j. Assim, na matriz A mostrada

anteriormente, os elementos A11 = 8 e A22 = 5 formam a diagonal da matriz A;

2. O traço da matriz A, denotado por Tr A, é definido como sendo a soma dos elementos da

diagonal da matriz A. No nosso exemplo, o traço da matriz A é dado por:

Tr A = 8 + 5 = 13




3. A matriz identidade I é definida como a matriz que tem o número 1 em todas as posições

da sua diagonal e o número zero nas demais posições. Para matrizes 3 x 3 a matriz

identidade é dada por:

3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x

=

I

Determinantes de matrizes 2x2 e 3x3

A cada matriz quadrada podemos associar um número chamado de determinante desta matriz,

denotado por |A| (lê-se: o determinante de A).

Não vamos aqui dar a regra geral do cálculo do determinante de uma matriz qualquer, mas as

regras práticas do cálculo do determinante de matrizes 2x2 e 3x3, que são as que mais aparecem

nos problemas com os quais lidaremos.

1) Determinante de uma matriz 2x2

Seja uma matriz A de ordem 2x2. O seu determinante é dado por:

11 22 12 21| | A A A A= −A

2) Determinante de uma matriz 3x3

Seja A de ordem 3x3. O seu determinante é dado por:

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33| | A A A A A A A A A A A A A A A A A A= + + − − −A

Uma regra prática para o cálculo do determinante de matrizes 3x3 é a seguinte: repita as duas

primeiras colunas da matriz após a última coluna e multiplique ao longo das linhas diagonais como

mostrado no esquema abaixo:




A matriz inversa

A matriz inversa de uma matriz A, denotada por A-1 , é matriz que multiplicada por A nos dá a

matriz identidade:

A . A-1 = I

Assim, a matriz inversa da matriz 2x2 dada abaixo:

1 1

1 2

− =

A

Possui inversa dada por:

12/3 1 /3

1 /3 1 /3

− = −

A

Isto pode ser facilmente verificado se multiplicarmos uma matriz pela outra:

11 1 2/3 1 /3 2/3 1 /3 1 /3 1 /3 1 0

. .1 2 1 /3 1 /3 2/3 2/3 1 /3 2/3 0 1

− − + − = = = = − − +

A A I .

Como resultado, obtivemos a matriz identidade.

Nem toda matriz possui matriz inversa. Uma condição necessária para que a matriz A possua

inversa é que seu determinante seja diferente de zero.

A multiplicação de uma matriz pela sua inversa é comutativa, ou seja:

A . A-1 = A-1 . A=I

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

A A A A A

A A A A A

A A A A A

Termos com sinal

positivo.

Termos com sinal

negativo.

apêndice - complementos de matemática · unidades de medida ... derivadas de ordem superior ......

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