UM PROGRAMA PARA O CÃLCULO AUTOMÃTICO

ESTÃTICO E DINÃMICO DE SISTEMAS DE TUBULAÇÕES

tzio da Rocha Araújo

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS

DE POS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A

OBTENÇAO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.).

Aprovada por:

Paulo Alcântara Gomes Presidente

Edison Castro Prates de Lima

Lima Sariano

RIO DE JANEIRO,RJ - BRASIL

NOVEMBRO DE 1978

i

Aos meus pais

f i

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Paulo Alcântara Gomes pela sugestão

e orientação deste trabalho.

Aos Professores da COPPE por todos os ensinamen-

tos recebidos.

Aos meus amigos, que tanto contribuiram de inúme-

ras formas.

Ao CNPq e a CNEN pelo apoio financeiro prestado.

iii

SINOPSE

f apresentado um programa para a análise estática

e dinâmica linear de redes de tubulações.

Alguns elementos especiais para tubulações sao de

senvolvidos para simular trechos retos, curvos e rigidos,tais co

mo válvulas e flanges. Outros componentes como curvas em gomos,

juntas de expansão e apoios elásticos são também incluídos na a­

nálise.

A análise estática é permitida para cargas de gr~

vidade, variações de temperatura, pressão interna, deslocamentos

de suportes e outros carregamentos mecânicos.

A análise dinâmica é determinística e ênfase é da

da à análise de tubulações de usinas nucleares, principalmente a

análise sísmica. A resposta pode ser transiente ou espectral, e

nos dois casos as equações são integradas em coordenadas modais

por métodos do tipo passo a passo. Formulação discreta ou con­

sistente para as matrizes de massa dos elementos retos e curvos

circulares são utilizadas.

A completa listagem do programa em linguagem FOR­

TRAN para o computador Burroughs B/6700 é fornecida no Apêndice.

iv

SUMMARY

It is presented a computer program for static and

dynamic analysis of linear piping systems.

Some special elements are developed to represent

straight and curved pipe, and rigid components as well.

possible to include in the analysis: mitre bends,

It is

valves,

flanges, expansion joints and elastic restraints, among others

components.

Severa! types of loading may be considered

simultaneously in the static analysis: gravity loads, thermal

expansion and anchor movements, interna! pressure, and others

sustained mechanical loads.

The dynamic analysis is deterministic, with

particular emphasis on nuclear power piping, principally

seismic response-spectra and time history. The governing

movement equations are transformed on normal coordinates and ·

the solution is performed by step-by-step integration

techniques. Discret or consistent mass matrices for straight

and circularly curved pipe are utilized in the analysis.

A complete listing in FORTRAN language for a

Burroughs B/6700 computer is included in the Appendix.

V

TNDICE

INTRODUÇÃO

I - FUNDAMENTOS TEÓRICOS ............................. .

1.1 - Principias energéticos e equações de equili-

br io ....................................... .

II - ANÁLISE ESTÁTICA ....................•............

2.1 - Montagem do sistema de equações ........... .

2.2 - Aspectos computacionais ................... .

2.2.1 - Montagem da matriz de rigidez ..... .

2.2.2 - Resolução do sistema de equaçoes

III - ANÁLISE S!SMICA . . . . . . .•. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

3.1 - Vibrações livres não amortecidas ......... .

3.1.1 - Solução do problema de autovalores

e autovetores .................... .

3. 2 - Resposta transiente ...................... .

3.3 - Resposta espectral ....................... .

3.4 - Integração das equações diferenciais desac~

Pãginas

1

4

4

9

10

16

16

20

27

27

31

39

42

pladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

IV - COMPONENTES LOCAIS .............................. .

4.1 - Sistemas de referência e transformações de

coordenadas

4.2 - Matrizes de rigidez dos elementos ......... .

4.2.1 - Matriz de rigidez do elemento de ei-

xo reto ........................... .

4.2.2 - Matriz de rigidez do elemento reto

com trecho rigido ................ .

52

52

54

54

57

vi

Pãginas

4.2.3 - Matriz de rigidez do elemento curvo 61

4.2.4 - Matriz de rigidez do elemento curvo

circular

4.2.5 - Elemento curvo com gomos .......... .

4.3 - Matrizes de massa dos elementos ........... .

4.3.1 - Matriz de massa para o elemento reto

4.3.2 - Matriz de massa para o elemento cur-

vo circular ....................... .

4.4 - Esforços de engastamento perfeito ......... .

4.4.1 - Cargas tipo gravidade. Cálculo auto­

mático do peso próprio

64

67

68

68

73

84

84

4.4.2 - Variações de temperatura........... 98

4.4.3 - Pressio interna.................... 101

4.5 - Tensões .................................... 105

4.6 - Fatores de flexibilidade e de tensões...... 110

4.7 - Apoios inclinados.......................... 115

4.8 - Apoios elásticos........................... 119

4.9 - Deslocamentos prescritos................... 120

4.10- Juntas de expansio ..............•.......... 120

V - PROGRAMA COMPUTACIONAL............................ 121

5.1 - Descriçio do programa....................... 121

5.2 - Manual de entrada de dados .................. 129

VI - APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.1 - Exemplo 1

6.2 - Exemplo 2

6.3 - Exemplo 3

141

143

148

6.4 - Exemplo 4

6.5 - Exemplo 5

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

vii

Pãginas

151

155

160

APENDICE - LISTAGEM DO PROGRAMA....................... 164

NOMENCLATURA

BIBLIOGRAFIA

224

228

. ,1

INTRODUÇAO

t fato conhecido a grande importância de tubos na

indústria, o seu uso generalizado, e que o custo do material em­

pregado em uma rede de tubulações pode exceder, em muitos casos,

50% do valor dos equipamentos empregados, e em mais de 15%docus

to total da instalação industrial.

Envidar esforços no sentido de se conseguir mini­

mizar o custo total de uma rede de tubulações parece-nos, porta~

to, necessário.

No que compete ao engenheiro estrutural esses es­

forços refletem-se na concepção estrutural e na adequação do seu

modelo matemático à realidade física que representa a estrutura.

Concepção e modelos estes limitados por um lado pelas garantias

de funcionamento e segurança, e por outro pelo grau de sofistica

ção, já que, sendo excessiva, compromete o próprio custo de pro­

jeto. Precisa portanto o engenheiro estrutural de meios rápidos

e suficientemente precisos para por termo a análise de sua estr~

tura. E isto será conseguido tão eficientemente quanto for o

grau de automatização dos processos de análise.

Dentro daquelas idéias procuramos desenvolver um

programa computacional que permita uma análise estrutural linear,

estática e dinâmica,rápida e eficiente de sistemas de tubulações,

com a utilização de conceitos e métodos modernos.

A análise matricial de estruturas é empregada com

base no modelo dos deslocamentos. Para isso desenvolvemos alguns

elementos especiais para tubulações que simulam satisfatoriamen­

te os trechos retos e curvos, e os componentes rígidos, tais co­

mo flanges e válvulas. Outros acessórios como curvas em gomos,

2

juntas de expansao e suportes elásticos podem ser levados em con

sideração. Alguns efeitos secundários como ovalização de tubos

curvos e deslocamentos axiais devidos à pressão estão incluídos.

A análise estática é permitida para cargas de gr~

vidade, mudanças de temperatura, pressão e deslocamentos de su­

portes, além de outras cargas mecânicas pontualmente aplicadas.

Quaisquer outros carregamentos podem entretanto ser simulados des

de que se disponha dos esforços de engastamento perfeito.

A análise dinâmica é determinística, e especial

ênfase foi dada à análise sísmica tendo em vista as recomenda­

çoes de normas e códigos internacionais para o projeto de tubul~

çoes de centrais nucleares que exigem este tipo de análise em tu

bulações classes I e II. Ela pode ser efetuada mediante os con­

ceitos de resposta transiente ou espectral, e em ambos os casos

trabalhamos em coordenadas modais. Outros tipos de carregamen­

tos dinâmicos podem no entanto ser analisados, tais como aqueles

causados por acidentes por perda de refrigeração, desde que a e~

trutura permaneça em regime elástico~linear. O uso de massa dis

ereta ou consistente pode ser utilizado. Para isto é apresenta­

da uma matriz de massa também para elementos curvos circulares b~

seada no campo de deslocamentos estáticos "exato".

Durante o desenvolvimento do nosso trabalho proc~

ramos utilizar algoritmos que nos pareceram os mais eficientes

para os tipos de análise que o programa propõe fazer.

Na resolução dos sistemas de equações as matrizes

de coeficientes são mantidas em memória central, e, para que is­

to não resultasse em perda da capacidade do programa para a aná­

lise de tubulações correntes, utilizamos os conceitos de "skyline"

para armazenar as matrizes de rigidez e massa consistente.

3

A resolução do problema de autovalores na análise

de vibrações livres é feita pelo método de iteração de sub-esp~

ços conjugado com o de Jacobi generalizado, que dentre outras vaE_

tagens nos permite uma redução do grau de liberdade dinâmico do

problema.

Na obtenção da resposta dinâmica utilizamos méto­

dos tipo integração passo a passo, já que em geral não se conhe­

ce a função que define o carregamento transiente.

Os resultados fornecidos pelo programa sao deslo­

camentos, esforços a nivel de elemento, reações, e tensões equi­

valentes. No caso da análise espectral, adicionalmente, o pro­

grama tem como saída o valor médio quadrático da máxima resposta

modal.

O programa foi organizado de maneira a poderem ser

feitas alterações e acréscimos com relativa facilidade, sem que

com isto tenhamos uma perda substancial da eficiência computaci~

nal.

São por fim apresentados alguns exemplos de apli­

caçao das possibilidades do programa e da eficiência dos concei­

tos, métodos e modelos utilizados.

4

I - FUNDAMENTOS TEÕRICOS

Neste capítulo pretendemos dar uma apresentação

geral das equaçoes de equilíbrio que regem o comportamento dos

sistemas mecânicos estruturais. Essas equações particulares co·

mo aqui utilizadas serão consideradas provenientes de um princí­

pio mais geral, o Princípio de Hamilton. O Princípio da Energia

Potencial Mlnima, de onde provêem·asequações de equilíbrio está­

tico, será assllillido decorrente daquele outro.

Detalhes sobre a composição dos termos energéti­

cos integrantes da Função de Lagrange serão descritos rto decor­

rer do texto de capítulos posteriores, à medida que se fizerem

necessârios, e, ewbora não se constitua restrição ao Princípiode

Hamilton, suporemos tratarem-se os materiais de isótropos e li­

nea.rmente elásticos, vez que apenas esses foram considerados nes

te trabalho.

l. l - PRINCTPIOS ENERGtTICOS E EQUAÇÕES DE EQUIL!BRIO

A fórmula mais geral da Lei do Movimento dos sis-2

temas mecânicos é dada pelo Princípio de Hamilton . De acordo

com esse princípio, todo sistema mecânico é perfeitamente carac­

terizado por uma função:

de tal forma que o funcional

t2

s. t L {q.,q.;t)dt ]. ].

(1.1.1)

(1.1.2)

5

assuma um valor estacionário, providenciando que

oqi <t,l = o.

A condição de estacionariedade de S nos fornece

,s. ( (clL ª aq. qi 1

(1.1.3)

e, integrando por partes o segundo termo, sabendo que oqi= d~ºqi,

obtemos

t,

r 6S 3L e ~~i - d 3L ) oq. dt o. = a'" oq. + dt 3qi =

qi 1 1

t1

(1.1.4)

Lembrando que 6q. (ti) = 6q. (t 2 ) = O, e 6q1. (t)é arbitrário para

1 1

t 1 < t < t2, a condição de nulidade de 6S implica em

3L 3qi

3L ãqi

= O, (1.1.5)

que sao as equaçoes de Lagrange do movimento, expressas em ter­

mos de n independentes coordenadas qi' suas primeiras derivadas

qi e a função de Lagrange L, definida por

L = T - rrp (1.1.6)

onde T é a energia cinética do sistema e rr sua energia poten­p

cial total.

Particularmente, no que se refere aos sistemas me

cânicos submetidos a um conjunto de esforços,e com n graus de li

6

1 , 2

berdade, a energia cinética pode ser escrita como

1 T =

2

n l:

i=l

n l:

j=l

enquanto que a energia potencial total

onde

1 n n u = 2 l: l: K .. : qiqj

i=l j=l lJ

n VE = - l: Qi qi.

i=l

1 , 2

(1.1.7)

(1.1.8)

(1.1.9)

(1.1.10)

Adicionalmente, consideramos que o amortecimento

estrutural provocado por forças externas seja proporcional à ve-1- 3

locidade qi, e que pode ser representado pela forma quadrática

1 R = 2

n l:

i=l

n l:

j=l (1.1.11)

As forças dissipativas devem ser acrescentadas no

segundo membro das equações de Lagrange:

d dt

3L aqi = 3R

3q .. l

(1.1.12)

Substituindo (1.1.9) e (1.1.10) em (1.1.8), ele­

vando em conta (1.1. 7), (1.1.11) e (1.1.6), as equaçoes (1.1.12)

7

podem ser colocadas sob a forma seguinte, apos efetuadas as deri

vaçoes:

n j~l (Mijqj + Cijqj + Kijqj) = Qi ( l. l.13a)

que sob forma matricial tornam-se

(1.1.13b)

No caso das variáveis do sistema estrutural inde­

penderem do tempo, o Princípio de Hamilton reduzir-se-á ao Prin­

• cípio da Energia Potencial Mínima , e a equação (1.1.3) assumi-

rá a forma

o 'lT = o. p

(1.1.14)

O que nos levará as equaçoes de equilíbrio está-

tico:

n l:

j=l

ou, sob forma matricial,

!S S! = Q.

(1.l.15a)

(1.l.15b)

A composição e a solução das equaçoes (1.1.lS)se­

rao efetuadas mediante os conceitos da Análise Matricial de Es-

truturas. Isso será possível assimilando o comportamento me-

cânico da tubulação â Teoria Técnica das Vigas. Em vários casos,

8

porem, essa aproximação resulta insuficiente quando da previsão

de efeitos locais, fazendo-se necessárias algumas correções in­

troduzidas com o auxílio da Teoria da Elasticidade, ou, algumas

vezes de resultados experimentais, quando essa Última torna-se

de difícil aplicação.

Quanto ao problema dinárnico, que, corno se sabe,

urna tentativa de solução exata resultaria em matrizes nao linea-5

res , optamos pela aproximação fornecida pelo método dos Ele­s11293031

mentas Finitos; utilizando as matrizes de rigidez e

massa decorrentes do campo de deslocamentos estáticos "exato".

9

II - ANÃLISE ESTÃTICA

A análise estrutural de tubulações tem-se desen

volvido paralelamente à análise estrutural civil, mecânica e ae

ronáutica no decorrer dos tempos. Os métodos utilizados pelo en

genheiro de tubulações para a determinação de deslocamentos, es­

forços e tensões no seu sistema têm-se tornado cada vez mais se­

melhantes aos utilizados pelos demais ramos da engenharia estru-10 11 12

tural . Este paralelismo e esta semelhança são justific~

veis uma vez que os princípios que regem o comportamento mecâni­

co das estruturas são bastante gerais, e a semelhança topológica

entre os sistemas de tubulações e as estruturas reticuladas do e~

genheiro civil, por exemplo, são evidentes. Aquela semelhança

torna-se cada vez maior à medida que os métodos de análise sao

orientados para o uso dos modernos computadores digitais de alta

velocidade e relativamente crescente capacidade de memória. Po-

rém, provavelmente devido à grande preocupação dos engenheiros

de tubulações com o problema do incremento da flexibilidade de

seu sistema afim de absorver as reações nos terminais, devido as

grandes mudanças de temperatura, costumam referir-se aos progra­

mas de análise como programas para análise de flexibilidade de

tubulações.

Desta forma os métodos aqui desenvolvidos para a

análise estrutural de tubulações pouco diferem daqueles emprega­, 7 8

dos pelos engenheiros civis Particularmente o modelo dos

deslocamentos dadas as suas conhecidas vantagens sobre o das for

ças é essencialmente o empregado, aonde, a partir da discretiza­

çao da tubulação em elementos sujeitos a esforços em equilíbrio,

aplica-se o princípio da superposição e a condição da compatibi­

lidade de deslocamentos aos elementos incidentes em um nó, che-

10

gando a equaçao matricial de equilibrio da estrutura.

2.1 - MONTAGEM DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

A montagem das equações de equilibrio estático é

efetuada discretizando a estrutura em elementos e, de maneira

sistemática, levando a contribuição de cada elemento à estru-

tura. Isso é feito quer para o vetor de cargas g, quer para a m~

triz de rigidez~- O sistema de equações é então resolvido, ob-

tendo o vetor de deslocamentos g.

Os conceitos básicos relativos a elaboração da e­

quaçao matricial de equilibrio no que concerne ao problema está­

tico, a partir da discretização da estrutura, como aqui conside­s 7

rados ' são a seguir descritos.

O sistema de tubulações e discretizado em elemen~

tos, distinguindo-os em retos e curvos. As equações de equili-

brio serão formuladas em função dos graus de liberdade de cada

ponto de interseção dos elementos (nós ou juntas). Não se fará

di.stinção entre os pontos de interseção de ramais ( 'branch points')

e os pontos de interseção dos elementos; todos terão o mesmo tr~

tamento como e comum na análise estrutural civil.Aqueles "branch

points" definidos pelo engenheiro de tubulações, serão apróveit~

dos apenas por ocasião da numeração dos nós da estrutura visando

atingir uma matriz de rigidez mais rarefeita, ou ainda, para fa­

cilidade de entrada de dados, como será visto posteriormente.

Uma formulação das equações (1.1.lSa}, não em fun

çao das coordenadas de todos os nós inicialmente escolhidos, po­

rém, de somente alguns poucos posteriormente selecionados, seria

possivel com a utilização do conceito de matrizes de transferên-e

eia Este outro procedimento evidentemente reduziria, à vonta

11

de do usuário, o número de equaçoes do sistema (1.1.lSa), impli­

cando em um menor gasto de memória no armazenamento da matriz de

rigidez e menor tempo de processamento da. solução do sistema de

equaçoes. Entretanto, seria despendido um adicional tempo,tanto

no número de operações requeridas para transferências de quanti­

dades relevantes, como na execução da mais intrincada lógica que

aquela formulação exigiria; acrescentando, ainda, que o numero

de operaçoes necessárias por um e por outro métodos dará pelo m~ 8

nos uma leve vantagem ao primeiro De forma que, no cômputo

total, provavelmente, o método de equilíbrio direto dos nos ori-

ginariamente escolhidos sera mais eficiente quando utilizado nos

computadores de médio ou grande porte, possuindo, inclusive, a

seu favor maior flexibilidade e maior simplicidade. Apesar das

evidências,acreditamos que uma resposta objetiva sobre a eficiên

eia computacional global de ambos os esquemas so seria possível

mediante uma comparação direta entre os métodos programados.

Seja o elemento i, de nós j e k, com a origem do

sistema de eixos local em j. Sejam ui os deslocamentos general!

i zados das extremidades desse elemento, e k sua matriz de rigi-

dez·, ambos no sistema local do elemento. i e Sendo p' os esforços

de engastamento perfeito quando sujeito a cargas externas, os e~

forços atuantes nas extremidades desse elemento podem ser escri­

tos como:

p i,a = kiu i + pi,e (2.1.la)

ou

i,a i i i i,e p. k .. k.k u. p. -J -JJ -J -J -J

' = - - - --f - + ( 2. l. lb) i,a i i i i,e t'k kk. - J ~kk '::k Pk

12

Esses mesmos esforços quando referidos a um sistema global Único

serao escritos

(2.l.2a)

ou

Q~'ª i i i Q~,e K .. K.k q. -J -JJ 1 -J -J -J

= - - - - + ( 2 .1. 2b)

Qi,a i 1 i Qi,e Kk. 1 ~kk gk -k - J 1 -k

A relação entre esforços nos sistemas local e global será da for

ma:

(2.1.3)

e, para os deslocamentos

ui Ri i (2.1.4) = g

onde Ri é a matriz de rotação de esforços e deslocamentos do sis

tema global para o local do elemento i, tal que

' --- ..... __ ' (2.1.5)

o ' i ;~

. i t . 1 Tendo em vista a ortogonalidade de R1 temos que~' = R1

'-

Ainda mais, o sistema de eixos local será escolhido tal que

13

~~ = ~t- Haja vista as equaçoes acima podemos escrever

(2.l.6a)

ou

(2.l.6b)

O princípio da superposição nos diz que os esfor-

ços em uma junta j, aonde incidem os elementos i, 1, .•• m sera

Q~ = Q~'ª + Q~'ª + .•. + Q~'ª -J -J -J -J

(2.1. 7)

enquanto que a condição de compatibilidade de deslocamentos pode

ser traduzida como

ta ( 2 .1 . 2b) :

i q. = -J

1 q. = -J

m = q .. -J

(2.1.8)

A equaçao (2.1.7) pode ser escrita, tendo em vis-

Qª. = ( i i i i) ( _ _rn m .JTI. q· m) + Qi. , e + m, e K .. q . + K . kqk + . . . + K . . q . + K . • •• + Q . • -J -JJ-J -J _ -JJ-J -Jn-n -J -J

(2.l.9a)

Ordenando, e levando em conta (2.1.8) obtemos, respectivamente,

e,

onde

14

Q~ i i K1:1. m i i = (K .. q. + . . . + q.) + .· .. + (K.k S!k + .•• + -J -JJ -J -JJ -J -J

K1:1 m Q~,e orr:,e S!n) + + ... + (2.l.9b) -Jn -=J -J ,

Q~ = K .. q. + .•• + K.k gk + ••• + K. q + Q~,e -J -JJ -J -J ·- -Jn -n -J +

K.k -J

•.. + orr:,e, J

i 1 _ _m = K.k + K.k + ... + K.k

-J -J -J

(2.l.9c)

p/ j, k = 1, . . . nj

(2.3.10)

onde nj é o número de juntas da estrutura.

As equações representadas pela equaçao (2.l.9c)pQ

dem ser colocadas sob forma matricial:

(2.l.9d)

ou

Q = ~ S! (2.l.9d)

onde

(2.1.11)

15

nesta última equaçao Qª sao as cargas diretamente aplicadas so­

bre as juntas, e -Qe sao as cargas equivalentes aplicadas nas ju.!:!

tas.

A equaçao matricial (2.l.9d) corresponde à equa­

çao (1.1.lSb). No desenvolvimento efetuado está implícito pela

equação (2.1.8) que as condições de contorno do problema estão

satisfeitas. A rigor, porém, essas condições serao impostas a­

pós montado o sistema de equações por uma das duas técnicas que 9

serao descritas posteriormente

Antes que como uma matriz quadrada de ordem n =

6 x nj, a matriz de rigidez é montada sob forma unidimensional,

armazenando apenas os elementos compreendidos entre o Último

nao nulo de cada coluna e o da diagonal principal, ambos inclusi

ve. Isto é feito dado o alto grau de esparsidade que pode atin­

gir uma matriz de rigidez de um sistema de tubulações, particu­

larmente em problemas dinámicos aonde a aproximação fornecida p~

lo método dos Elementos Finitos requer na maioria das vezes uma

grande discretização de cada ramal.

Após resolvido o sistema de equaçoes para os des­

locamentos incógnitos a completa resolução do problema requerpo~

teriores etapas. Assim e que os esforços atuantes nas extremida

des dos elementos serao determinados pela equação (2.1.la), sob

a forma

(2.1.12)

enquanto que as reaçoes nos terminais e apoios intermediários por

16

Q . -r,J

(2.1.13)

Como complemento da análise é extremamente conve­

niente ao engenheiro de tubulações saber das tensões equivalen­

tes atuantes em cada nó da estrutura. O procedimento para tal

será descrito em capltul~ posterior.

2.2 - ASPECTOS COMPUTACIONAIS

são a seguir descritas as duas etapas computacio­

nalmente decisivas, sob o ponto de vista de eficiéncia computa­

cional, quais sejam as de armazenamento em memória da matriz de

rigidez da estrutura e a solução do sistema de equações algébri­

cas lineares simultâneas, juntamente com alguma orientação sobre

o melhor uso por parte do eventual usuário do programa.

2.2.l - MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA

Como é sabido, a matriz de rigidez da estrutura a

presenta caracteristicas de simetria (o que é indicado, por exe~

plo, pela forma quadrática positiva definida da energia de defor

mação dada pela expressão (1.1.9), onde o elemento K .. encontra-1J

se sempre multiplicado pelo termo q.q., cuja permissividade de 1 J

permutação de indices implica na igualdade K .. 1]

K .. ) e esparsi ]1 -

dade. Dependendo da numeração adequada dos nos a esparsidade p~

de atingir um grau elevado que não deve ser desprezado para efel

tos computacionais, haja vista as limitações de memória do comp~

17

tador, bem como as operaçoes com elementos nulos desnecessárias.

No caso de tubulações, particularmente na análise

dinâmica, quando um grande número de elementos estão conectados

em série, e, ao mesmo tempo, vários elementos podem interconec­

tar-se em um Único ponto, uma numeração mais adequada que aquela

de largura de banda mínima geralmente traz grande economia comp~

tacional.

Assim sendo optamos por uma variante do método a­

presentado na referência (14), muito útil para o nosso caso, e

que encontra-se esquematizado na Figura (2.2.1). Este procedi-

mento é também utilizado para a matriz de massa da

quando do uso da formulação consistente.

estrutura

As condições de contorno sao introduzidas após a

montagem, quer utilizando a "técnica dos zeros e um" ou a "técni

ca do número grande" como são conhecidas. Nos exemplos efetua­

dos as duas técnicas produziram idênticos resultados numéricos,

sendo que, na forma como foram programadas aquela Última requer

um menor tempo de processamento.

Para melhor utilização do esquema de montagem co~

vem salientar que nem sempre a melhor numeração dos nós é aquela

que implica em menor largura de banda, devendo dar-se preferên­

cia às numerações consecutivas por ramal que produzirão maior e~

parsidade e conseqüentemente menor memória requerida para armaze

nar K e M, e menor tempo de processamento na solução do sistema

de equações. Além do que, como geralmente cada ramal possui el~

mentos com características elásticas e seção transversal idênti­

cas, uma numeração contínua por ramal torna-se bem mais conveni­

ente para facilidade e controle de entrada e saída de dados pelo

18

K õU M: Vetor A

K li K,2 o o o o o o o o IA 1 A3

K22 K" K24 o o o o o o A2 As Ao

K33 K34 o K36 K37 o o o A• A7 A,3 A,e

K44 o o K47 o o o A• A,2 A,1

Kss o Ks7 Kse o o A9 A li A.16 A22

K•• Ks7 Kse o o A ,o A,s A2,

K77 o K1, o A,14 A20 A25 l

s. Kee o Ke,o A,s A24 A2e

K,s o A23 A27

KIOIO A26 .

X y

K - Matriz de rigidez o

M Matriz de massa ,. 2

A - Vetor que armazena K e M 4

X Vetor de alturas das colunas (_temporário) 2 6

X (I) guarda a altura da coluna I o 9

y Vetor de endereços de A 3 'º y {I) guarda a posição-em A da diagonal I.

• ,,. 3 19

2 23

2 26

29

Figura (2.2.1}

19

12

10

2 11 9

8 7 5 3

4 6

4

10

5 6 7

11'---~'-"12,------.......,,~~2·

6

12

7 3

2 10 11

4 5

6 12

4

7 8

5 9 10 11

2 3

· LB = Largura de banda ND N9 de graus de liberdade

NTP = N9 total de posições ocupadas

Figura ( 2.2.2)

LB = 18 llD = 72 LB.ND 1296 NTP = 900

LB = 60 ND = 72 LB.ND = 4320 NTP = 828

LB = 48 ND = 72 LB.ND = 3456 NTP = 792

LB = 42 ND = 72 LB.ND = 3024 NTP = 756

20

usuário. Para esclarecimentos, as seqüências da Figura (2.2.2)

parece-nos bastante oportuna, conquanto simples.

Naquela Figura o esquema apresentado primeiro e

um dos possíveis de largura de banda (LB) mínima. Os seguintes,

embora possuam largura de banda superior ao primeiro, surgem co­

mo mais convenientes para o esquema utilizado, sendo que o Últi­

mo produz menor quantidade de posições de memória efetivas para

a matriz de rigidez (ou massa consistente), dentre os possíveis.

2.2.2 - RESOLUÇAO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Sistemas de equaçoes algébricas lineares simultâ­

neas surgem no presente trabalho por ocasião da determinação dos

deslocamentos estáticos, e, no problema dinâmico em cada itera­

ção de subespaços na solução do problema de autovalores e autove

tores. Em ambos os casos a eficiência do método utilizado para

a solução do sistema de equações é essencial. A escolha do méto

do deve ser baseada na exatidão desejada dos resultados e no tem

po e memória computacionais necessários a sua execuçao. Sobes­

ses aspectos são os métodos de Cholesky e Gauss bastante compet!

tivos, tornando a escolha entre ambos, muitas vezes, uma questão

de preferência pessoal. Implementamos , portanto, rotinas para

execução dos dois métodos, que a seguir são sumarizados dadas às

características especiais que os algoritmos assumem emvirtudedo

critério adotado para armazenamento da matriz de rigidez da es­

trutura.

O problema básico consiste em encontrar um vetor

x tal que

21

K X = ':f_ (2.2.1)

onde y e um vetor de coeficientes conhecidos.

2.2.2.1 - O METODO DE CHOLESKY

l 3

A matriz K pode univocamente ser decomposta em

(2.2.2)

onde T é uma matriz triangular superior, cujos elementos sao da­s

dos por

1 i-1 T. = (Kii- l: Tki Tkj), i = 1, .... , n ]. j T. ii k=l

j = i+l, ... ,n.

(2.2.3)

Substituindo (2.2.2) em (2.2.1) obtemos

(2.2.4)

onde

* ':f. = T x. (2.2.5)

* Os elementos de y_ podem ser obtidos de (2.2.4):

* 1 yi = T ..

l. l.

(y. -l.

22

i-1 i;

k=l 1, ... ,n. (2.2.6)

e os elementos finais de x obtidos de (2.2.5) por retrosubstitui

ção mediante

X. = l.

1 T ..

l. l.

i = n, ... ,1.(2.2.7)

Considerando que a matriz de rigidez da estrutu

ra é montada por colunas, e nao sendo armazenados os coeficien

tes que estejam além do Último não nulo de cada coluna, o algori

timo acima requer modificações para que se não trabalhe com os

K .. não armazenados. Isso é feito efetivamente calculando os l. J

valores de cada uma das equações do algoritimo por colunas,de a-

cordo com o esquema que se segue, para o qual se define mk como

o numero da linha do primeiro nao nulo da coluna k, de cima para

baixo, em = mãx. {m., m.}. m l. J

Decomposição de K:

1. Para i

2. T .. JJ

=

Para cada j = 1, ... , n, calcular:·

mj, ... , j - 1:

1 i-1 la. T. = (Kij - i;

l. j T. l. j k=m m

lb. acumular: b 2 = b + T .. l.J

Tki Tkj)

(K. , - b) l/2 , armazenando T .. sob a forma 1/T ... JJ JJ JJ

23

Redução do Vetor r:

Para cada i = 1, ... , n, calcular:

* 1 i-1 * 1. yi = (y; - l: Tki yk) T .. l k=m. ll

l

Retrosubstituição:

Para cada i = 1, ... , n, calcular:.

* 1. y i , observando· que, ao fim desta etapa temos

xn = Yn·

1.

Para cada i = n, .•. , 2, calcular:

1 T .. ll

com k = m. , .•. , l

i-1. Observando

que parai= n, xn ocupa a posição yn' ou seja, ao iniciar-

se a etapa i, o valor de xi já tem sido calculado na etapa

anterior.

2.2.2.2 - O METODO DE GAUSS

A partir das expressoes (2.2.3) 6

uma matriz S, de coeficientes Sij' tais que

T.. S .. 1/2 ll ll

podemos definir

24

T .. = s .. s .. 112 i = 1, ... , n; J. = 1, ... , n; lJ lJ 11

(2.2.8)

levando em (2.2.3) obteremos

i-1 2 s .. = K. l: 8ki 8kk 11 li k=l

1 i-1 s. = (Kij - l: 8 ki skj 8 kk)' i = 1, ... , n; 1j s. li k=l

j = i+l, ... ,n;

(2.2.9)

semelhantemente, operando com (2.2.6) e (2.2.8), podemos definir

um vetor c

expressao

com coeficientes

i-1 c. = y. - l:

l l k=l

* - -c. = T .. y. que nos levara a l 11 l

i=l, ... ,n; (2.2.10)

e, operando com (2.2.7), os elementos finais do vetor x serao da

dos por

c. l

X. = i sii

n l: sik xk, i = n, ... , 1

k=i+l (2.2.11)

Sob o aspecto das equaçoes (2.2.9), (2.2.10) e

(2.2.11) o algoritmo é chamado de Gauss.

l 4

formulado

Pelos mesmos motivos anteriores o algoritimo é re

para sua eficiente implementação em computador, de

acordo com o esquema seguinte:

25

Decomposição de K:

1.

2.

= K .. ]_ J

g .. emK .. l_J 1-J

s. = gij ]_ j

s .. = K. JJ Jj

/

Para cada j = 1, ... , n, calcular:

i-1 ,: i=m., ... ,

J j-1, armazenando·

k=m m

8ii'

j-1 ,:

k=m. J

i = m . , ••• , j-1 J

skj gkj

Onde g .. é uma variável ]_ J

auxiliar, criada para evi

tara repetição do produto ski Skk nas duas expressões (2.2.9).

Redução do Vetor t:

l. e. = ]_

Para cada i = 1, ... , n, calcular:.

Retrosubstituição:

••• ' 2 :

Para cada i = 1, ... , n, calcular:

* Observando que ao fim desta etapa xn = cn.

Uma vez que x tem sido calculado, para cada i=n , n

2 •

iniciar-se a etapa

anterior.

26

m. ' ••• , ].

i-1; e, observando que ao

i, o valor x. tem sido calculado na etapa ].

27

III - ANALISE STSMICA

Para obtenção da resposta de tubulações submeti­

das a sismos utilizamos as equações do movimento em coordenadas

normais. Os métodos utilizados para desacoplamento das equaçoes

dinâmicas, redução dos graus de liberdade, e integração das equ~

ções desacopladas sao a seguir descritos. Limitamo-nos ao caso

particular em que todos os suportes da tubulação encontram-se sub

metidos à mesma excitação.

3.1 - VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS

A consideração da equação (1.l.13a) sem os esfor­

ços generalizados g atuantes, e com o amortecimento desprezível,

nos leva à equação matricial

~ 1 + K q = O, (3.1.la)

que governa o movimento de sistemas ditos em vibrações livres não

amortecidas. Um sistema nessas condições possui energia total

constante (não há forças dissipativas) idêntica àquela ao inici­

ar-se o movimento. O problema gerado consiste em determinar

sob quais condições a equação (3.1.la) permite ocorrer movimen­

to, ou seja, quais as condições para que (3.1.la) admita solu-

- -çoes nao triviais.

A equação (3.1.la) representa n equaçoes diferen­

ciais lineares homogêneas a coeficientes constantes:

n ,:

j=l i = 1, .•. , n . ( 3 • 1 . lb)

28

Segundo a regra geral de soluções desse genero de

equaçoes, serão procuradas n funções incógnitas da forma

g = ~ cos (wt + a) (3.1.2)

onde~ é um vetor de constantes~- invariáveis com o tempo. Le-- J

vando (3.1.2) à equação (3.1.la) obteremos n equaçoes algébri-

cas lineares e homogéneas que deverão satisfazer~:

2

(-w M + K) ~ = O ( 3 .1. 3a)

ou

( 3 .1. 3b)

Para que esse sistema possua soluções nao triviais devemos ter:

2

11 -w M + K 11 = O. (3.1.4)

A equaçao (3.1.4), chamada característica, é uma 2

equaçao algébrica de grau n, em w, e possui n raízes reais e PQ 2

sitivas, w., j = 1, ..• , n, nao necessariamente todas distintas. J

As grandezas w. sao chamadas freqüências próprias ou freqüências J

circulares do sistema.

Uma vez encontradas as w., cada uma delas quando J

levadas à equaçao (3.l.3b) proporciona um vetor associado~-, de -J

terminado a menos de um múltiplo de si mesmo. Cada freqüência w. J

juntamente com um correspondente vetor~- proporcionam uma solu­-J

ção particular para (3.l.3a). A solução geral de (3.1.la)poderá

29

ser escrita como:

n q = l: c.

j=l J $. cos (w.t + a.) -J J J

(3.1.Sa)

onde as c. sao constantes arbitrárias. J

Essa equação sugere que podemos expressar o movi­

mento do sistema em termos de novas coordenadas generalizadas de

forma que cada uma delas realize apenas uma oscilação

sob forma matricial podemos escrever 9 como

onde~ e uma matriz quadrada cujas colunas sao os n $.: -J

~ = Í$ , $. , •••• , $ . , ••• , $ J L-1 -, -J -n

simples;

( 3 .1. Sb)

(3.1.6)

e~ sao as novas coordenadas generalizadas cujas componentes, de

acordo com (3.1.Sa,b) e (3.1.6),são da forma

= e. cos (w.t + a.), J J J

(3.1. 7)

chamadas de coordenadas normais ou modais. De acordo com sua de

finição elas obedecem à equaçao

2

n. + w. n. = o, J J J

(3.1.8)

isso significando que em coordenadas normais as equaçoes do movi

menta são n equações independentes.

30

As n equaçoes da forma (3.l.3b) podem ser repre-

sentadas por

K <I> = M <I> A (3.1.9)

onde A é uma matriz diagonal cujos elementos nao nulos sao os 2

w .. Pré-multiplicando essa equação por ~t teremos ] -

(3.1.lOa)

e como K e M sao matrizes simétricas segue que e

<l>t M <I> também o são. Tendo em vista que~ e uma matriz diago­

nal, a equaçao (3.1.lOa) nos diz que <l>t M <I> é também diagonal.

Logo (3.1.lOa) pode ser escrita como:

A

K = M A (3.1.lOb)

A

onde K e M são matrizes diagonais de coeficientes nao nulos K. e J

M., respectivamente. Desta forma ternos mostrado que os~. sao J . -J

ortogonais com respeito aos operadores K e M.

f conveniente, em lugar dos nj' definirmos novas

coordenadas normais n., j = i, ... ,n, tais que J

n­J

Al/2 = M. n. J J

(3 .1.11)

e, de acordo com as equaçoes ( 3 .1. Sa) , ( 3 .1. 6) e ( 3 .1. 7) , os no­

vos modos serão

A-1/2 ~-=~.M .• -J -J J

(3.1.12)

31

Como conseqüência disso teremos

(3.1.13)

e

(3.1.14)

Assim definidos, os n vetores de~ formarão uma

base M-ortonormal para o espaço n-dimensional de soluções de

(3.1.la). Eles darão forma mais conveniente no tratamento das

equações do movimento via computador. Por simplicidade de nota-

çao os modos normais de vibração, considerados daqui em diante

sempre M-ortonormalizados, prescindirão do sinal

as coordenadas normais n ..

li li

A' ' assim como

J

Até o presente temos conjeturado sobre a forma da

solução de (3.1.la) sem uma efetiva indicação de como

Isso será descrito no parágrafo seguinte.

3. l. l - SOLUÇIIO DO PROBLEMA DE AUTOVALORES E AUTOVETORES

obtê-la.

Muitos são os métodos disponíveis para a solução 4131415

do problema de autovalores e autovetores. Poucos sao

aqueles, entretanto, que permitem tirar partido das característi

cas de simetria e esparsidade das matrizes de massa e rigidez,

com o intuito de obter· economia de memória e tempo computaci~

nais. Fatores esses de suma importância na Análise Dinâmica de

Estruturas, inclusive nesta fase de obtenção das características

vibratórias, uma vez que na maioria das vezes é a responsável p~

la maior parte do tempo e memória computacionais consumidos dura_!l

te toda a análise.

Sob aqueles aspectos torna-se o método de Itera 1 4 l 5

çao de Sub-Espaços um dos mais eficientes até o presente d~

senvolvidos. Particularmente útil na Análise de Tubulações sub-

metidas a sismos, onde pode atingir várias centenas,· ou mesmo

milhares, de graus de liberdade, em contrapartida necessitando

para uma boa análise pouco mais de uma dezena de autovalores

e correspondentes autovetores, e, na maioria dos casos podendo a

análise ser convenientemente efetuada com o conceito demassadis

ereta (~ diagonal), quando exatamente aí o método atinge conver­

gência em pouquíssimas iterações.

Os procedimentos que levam o nome de iteração de

sub-espaços foram inicialmente advinculados pelos autores refe­

renciados em(l4)eQ5)e encontram-se atualmente bastante difundi-4 1 4 1 5 1 6 1 8

dos. No procedimento da iteração inversa assume-se

que apenas um vetor de cada vez é considerado. No método de I.te

ração de Sub-espaços considera-se uma generalização desse proce­

dimento fazendo-se iteragir simultaneamente um desejado número de

vetores. Visto dessa forma ele pode ser considerado um processo 4 1 4 1 5 1 6 l 7

melhorado do método de Raylegh-Ritz onde podemos 4

obter os resultados com um desejado grau de precisão. Entretan

to, características do método o fazem equivalente a iterações en

tre sub-espaços antes que à interação simultânea com vetores. Is

to se torna importante porque se faz necessária apenas a conver­

gência do sub-espaço e não dos vetores individualmente.

O objetivo do método é encontrar os menores pau­

tovalores e correspondentes autovetores que satisfazem a equação

(3.1.9), onde~ é agora de ordem n x p, contendo os menores pau

33

tovetores, e A de ordem p x p, contendo os correspondentes auto-2

valores (w.). Desta forma os autovalores formarão uma base M-or ]_

tonormal para um espaço p-dimensional, E00

• A idéia básica é fa-

zer iteragir sub-espaços Ek, k = 1,2, ... ' a partir de um sub-es

paço inicial E0

gerado por p linearmente independentes vetores,

mediante a equação (3.l.3b). Consideremos para isso X armaze­-o

nando esses p vetores iniciais. Na etapa de iteração k, k=l,2 ,

... , procedemos à iteração inversa do sub-espaço Ek-l com Ek:

~ ~k = M ~k-1 . (3.1.15)

A resolução desse sistema de equaçoes por qual-

quer dos métodos descritos no capítulo anterior (aproveita-sede~

sa forma as características de !5 e~) permite encontrar os veto­

res aproximados Xk que geram o sub-espaço p-dimensional Ek. A

utilização imediata de Xk na próxima iteração não é conveniente

antes de realizar duas modificações. Para manter valores

absolutos razoáveis convém normalizá-los, e ortogonalizá-los para

evitar que a convergência de cada vetor seja em direção ao pri­

meiro autovetor unicamente. Isto pode ser efetuado de diferen­

tes formas, entretanto o método de Raylegh-Ritz permite fazê-los

simultaneamente, de forma bastante estável, com uma grande taxa

de convergência. Desta forma projeta-se os operadores K e M so-

!Sk = -t '.5k K .!{k (3.1.16)

e

~k -t M ~k' = X (3.1.17)

34

e resolvemos o problema de autovalor generalizado para

operadores projetados:

aqueles

(3.1.18)

Resolvido o problema de autovalores acima (obser­

vamos que tem-se reduzido o problema ao de ordem p << n) os auto

valores e autovetores devem ser ordenados, em ordem crescente.

Uma melhor aproximação para os vetores da próxima etapa são fi­

nalmente obtidos por:

(3.1.19)

No limite teremos:

X + ~ e A + A, quando k + 00 ,

-k -k

desde que E0

nao seja ortogonal a um dos p autovetores que geram

Assumindo que Ek está próximo de E00

, a razao de 2 2

convergência dai-ésima coluna de ~k para~- é w./w . A conver - _i. l P+l -

géncia é portanto linear, e a razão assintótica nos permite co~

cluir que os primeiros convergirão mais rapidamente. Uma melhor

convergência pode desta forma ser obtida usando q vetores deite

ração, q > p.t aconselhável que q seja escolhido entre o menor

dos valores 2p e p+B. Essa limitação visa não tornar dispendio­

so o tempo de computação (e memória) necessários a cada ciclo de

iteração.

Tendo em vista que o número de iterações de sub-

35

espaços necessários para atingir convergência depende de quao

próximo E está de E, quanto mais próximos dos autovalores re-o 00

queridos estiverem os vetores de partida, em menos iterações ela

será atingida. Contudo não é de necessidade premente o uso des­

ses vetores, e aí reside basicamente a efetividade do método pois

basta que os vetores X gerem um sub-espaço próximo a E00

• Um es -o

quema geralmente utilizado e que tem resultado eficiente é colo-

car na primeira coluna de M X a diagonal de~ objetivando exci-- -O ..

tar todos os modos e não omitir qualquer deles; as outras co-

lunas de M X são vetores unitários com valor +l nas coordenadas - -O

com maior razão M .. /K ... No caso particular de~ e M serem dia-J. ]. ]. ]. .

ganais aqueles vetores geram E00

, razão porque sao usados.

A convergência pode ser medida por lwf (k) _wf (k-l)I

/'wf (k)= 1õ 2s, para cada autovalor i, na etapa k, para cada um

dos p primeiros autovalores apenas. Os autovalores serão obti-

dos com 2s dígitos significativos e os autovetores com s dígi-1 4 1 6

tos. ~ aconselhado o uso de s=3, no mínimo.

~ possível efetuar uma verificação de se realmen­

te foram calculados os p primeiros autovalores e autovetores do

problema mediante a aplicação da propriedade da seqüência de 1 4 1 3

Sturm do polinômio característico do problema~ p = w2 M p. 13 14 15

Isto é feito efetivamente contando o número de elemen-

tos negativos da diagonal da matriz~, (S .. ), resultante da de­i].

composição de Gauss (vide parágrafo 2.2.2.2) da matriz K - µM.

Para obter um valor adequado paraµ é necessário encontrar limi­

tes para os valores exatos de w~ a partir dos valores calculados ].

2 (k) w. . Um valor conservativo para esses limites, quando

].

no mínimos= 3 para medir a convergência, é tomar

2 (k) w. + 0.01.

].

1 4 1 5

usado

=

36

A solução do problema de autovalor indicado pela

equaçao (3.1.18), que deve ser resolvido a cada iteração de sub-, 4

espaços é encontrada através do método de Jacobi generalizado

O método de Jacobi torna-se adequado já que as matrizes ~k e ~

tendem a se tornar mais e mais diagonais a cada iteração de sub­

espaços.

O esquema básico de Jacobi generalizado consiste

em reduzir K e Ma forma diagonal mediante sucessivas pré e pós~

multiplicações por matrizes Pt e P, respectivamente, escolhidas -r -r

de forma que levem ~k e ~k cada vez mais à forma diagonal. Cha-

mando ~l = ~k e ~l =~·podemos escrever essas

seqüenciais corno:

transformações

seguinte forma:

K . = Pt K p -r+l -r -r -r

M = Pt M P -r+l -r -r -r

No limite, teremos:

e

r=l,2, ... (3.1.20)

M . 1

+ (M . . ) , quando r + oo -r+ l.l.

Chamando ia Última iteração efetuada obteremos

A= diag e <I> =

(3.1.21)

A matriz P em cada iteração de Jacobi é feita da -r

37

i j

1

1 .. a ... •i p = y 1 j (3.1.22) -r

1 (qxq)

tal que os valores a e y sao determinados afim de que reduzam a

zero os elementos (i,j) de K e M. Fazendo as -r -r

indicadas em (3.1.20), e usando a condição que

devam ser zeros, obtemos o sistema:

r (1 ay) r r o a K .. + + K .. + y K .. = 11 lJ JJ

multiplicações

M ! ~+ 1) e K ! r+ 1) lJ lJ

r (1 ay) r r o, (3.1.23) a M .. + + M .. + y M .. = 11 lJ JJ

cujas soluções sao

a =

onde

-r K .. 11

-r K .. JJ

e

-r K .. _ll

X

r K .. 11

r = K .. JJ

+

e y = X

M:. M:. r K .. 1) 11 lJ

r r r M .. M .. K .. 1) JJ lJ

-r -r _K_{ (.!5_) 2

IKr I 2 + K:. K~ : } 1/2

11 JJ

(3.1.24)

(3.1.25)

(3.1.26)

com

-r r r K = K .. M ..

11 JJ

38

(3.1.27)

No caso particular de as equaçoes (3.1.23) serem

r r proporcionais, usam-se os valores a= O e y =-K .. / K ... lJ JJ

A condição necessária• para utilização do algo-

rítimo é que 11 Pkll t O. Observando ainda que o método como

aqui implementado não está adaptado ao caso em que os operadores

~k e ~k das equações (3.1.16) e (3.1.17) possuem elementos nulos

r r na diagonal, ou seja, Kii e Mii das equações (3.1.23) devem ser

não nulos.

t importante notar que embora as transformações

sucessivas reduzam os elementos de M e K a zero, estes elemen--r -r

tos tornam-se outra vez não nulos durante as transformações se-

guintes. Desta forma alguns esquemas têem sido utilizados para

decidir qual elemento deve ser reduzido a zero em cada etapa r. l 3 l 4

O esquema aqui utilizado e o de percorrer toda a matriz

K, e M, por linhas e aplicar a transformação dada em (3.1.20), -r -r

apenas se um dos seus elementos for maior em módulo que um valor

limite; valor este decrescente cada vez que se percorre as ma-

trizes K e M (um ciclo). Um apropriado valor para esse limite -r -r

e dado por uma medida de acoplamento entre os graus de liberdade

i e j tomado como

onde c e o número do ciclo que está sendo executado.

39

A convergência é medida comparando as aproxima-

çoes sucessivas, a cada ciclo, dos autovalores e testando se to­

dos os elementos extra-diagonais são suficientementes pequenos.

Sendo,\', a última iteração a convergência é considerada atingida

se

e

,\', K ..

]. ]. -,1',-M ..

]. ].

/ 10-s , 1· = 1 q ~ ' ... '

[

l+l 2 ·1 1/2 (M. . ) l.J ,;; 10-s,

M~:l Mi'.l ].]. JJ

para todo

i,j,i<j. -s Onde 10 é a tolerância para a convergência.

3.2 - RESPOSTA TRANSIENTE

A equação (1.l.13b) quando tomada para descrever

um sistema estrutural submetido exclusivamente a movimentos d.e

translação idênticos para todos os suportes pode ser escrita co-

mo:

=-m -s

a s

onde os símbolos ainda nao definidos representam:

a = aceleração aplicada aos suportes s

r a s

r = vetor de coeficientes de influência

(3.2.1)

40

m = vetor com a soma dos termos da matriz de mas -s

saque traduzem o acoplamento entre os graus

de liberdade e os suportes igualmente excita

dos.

Como, geralmente, sao poucos os graus de liberda­

de que possuem acoplamento com os suportes, assumimos aqui que

os esforços de inércia,

sejam despreziveis.

-m a , decorrentes destes s s acoplamentos

O vetor ré tal que possui elementos com entrada

+l na posição do grau de liberdade cuja direção está sendo exci­

tada (direção de aplicação de a), e nulo nas demais. s

Com as considerações acima a equaçao (3.2.1) pode

ser escrita como

-M r a s

(3.2.2)

Efetuando a mudança de coordenadas indicada pela

equaçao (3.1.Sb), e pré-multiplicando pela matriz modal transpo~

ta, ~t, a equaçao (3.2.2) fica:

<!> t M <!> 11 + ~ t~ ~ ri + <!> t ~ ~ 1J = a . (3.2.3) s

Consideraremos que a matriz~ seja tal que ames­

ma transformação que desacopla K e M também a desacopla,ou seja:

(3.2.4)

41

onde C é urna matriz diagonal com elementos

nesta equaçao ç. é a percentagem de amortecimento crítico l

(3.2.5)

2 3 4

e w. a freqfiéncia de vibrações livres não amortecidas, ambas do l

modo i.

Com essas considerações, e tendo em vista as equ~

çoes (3.1.13) e (3.1.14), a equação (3.2.3) representa p equa-

çoes independentes, significando que, de acordo com (19), um sis

tema governado pela equação homogênea associada possuirá modos

normais idênticos aos de vibrações livres não amortecidas. As p

equações independentes terão a forma

-r. l

a s

onde ri e o fator de participação modal dado por

f. = ~~ M l -l

r

(3:2.6)

(3.2.7)

A solução dessa equaçao será encontrada mediante

um dos dois métodos numéricos a serem descritos no parágrafo 3.4.

Obtidos os valores das coordenadas modais n,, i = l

1, ... , p, a cada tempo t, os deslocamentos generalizados g (t)

podem ser obtidos através da equação (3.l.5b). Daí. em diante

segue-se um procedimento idêntico ao do problema estático na ob­

tenção dos esforços, reações e tensões requisitados.

42

3.3 - RESPOSTA ESPECTRAL

A análise de tubulações submetidas a sismos pode

ser convenientemente efetuada mediante o conceito de espectro de 2 o- 2 4

resposta, que além da inerente vantagem sobre a análise atra

ves da resposta transiente, quais sejam a de economia computaci~

nal e na análise dos resultados, é cercada de grande confiabili-2 2

dade

A idéia inicial consiste em efetuar uma transfor­

maçao de coordenadas na equação (3.2.6) de forma que ela possa

representar o movimento de um oscilador simples, viscosamente a­

mortecido, sujeito a uma aceleração de base a. Desta forma, fa s

zendo n. = r. y., e levando na equação (3.2.6) obtemos: ]_ ]_ ]_

-a s

(3.3.1)

Denominando no número total de intervalos de in­

tegração e t., j = 1, ... , n, o final de cada intervalo, define­]

se os valores dos espectros de deslocamentos, velocidades e ace-

lerações como:

(3.3.2a)

(3.3.2b)

1 y. (w. ,C ,t.) + a (t.)J

]_ ]_ ]_ J s J

(3.3.2c)

43

De posse de qualquer dos valores Sd' S ou S, a . V a

máxima resposta modal pode ser calculada. No caso de a entrada

for o sismo digitado o programa tomará por base para a resposta o

valor de Sd dado pela equação (3.3.2a) obtendo os deslocamentos

modais máximos por

(3.3.3)

Os valores dos espectros podem ser lidos direta­

mente e, nesse caso, assumimos que os valores espectrais guardem

" entre si a relação

S (w.,i;.) V l. l.

= w~ l.

(3.3.4)

e os gi(máx) serao calculados de acordo com a equaçao (3.3.3).

Obtidos os deslocamentos modais máximos, os esfor

ços e as tensões modais máximos são a seguir determinados por pr~

cedimento idêntico ao estático.

A combinação modal para estimativa da máxima res­

posta da estrutura pode ser convenientemente efetuada mediante a

raiz quadrada da soma dos quadrados (RQSQ,"SRSS") das respostas

modais, e isto ê efetivamente obtido pelo programa tanto para de~

locamentos como para esforços e tensões equivalentes.

3.4 - INTEGRAÇAO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DESACOPLADAS

Qualquer das equaçoes (3.2.6) ou (3.3.l)podem ser

representadas genericamente por:

l 8 2 O

poremos

-44

x + 2çwx + w2 x = -a(t) (3.4.1)

Para atingirmos uma solução da equaçao (3.4.1) su

a(t) variando linearmente entre duas etapas de tem

po i e i+l, ou seja,

onde

nai =

nt. = . ]_

na. = + ]_ a. ' 1- ut.

]_

ªi+l - a. ]_

ti+l - t. ]_

(t - t.) , t. ( t ( t. l ]_ ]_ i+ (3.4.2)

(3.4.3)

Assim a equaçao (3.4.1) pode ser escrita, para o

intervalo entre ti e ti+l 1 como

x + 2çwx + w2 x = -a. ]_

nai - nt.

]_

(t - t.) ]_

(3.4.4)

Com a condição de sub-amortecimento (ç < 1) esta

equaçao terá como solução

( t-t 1) ]_

(3.4.5)

onde wa = w(l-ç 2)

1/ 2 é a freqfiência da vibração amortecida,e c

1

e c 2 sao constantes de integração.

nos dá

45

As constantes c1

e c2

podem ser determinadas fa-

1 cl =

wa

c2 = X. l

em t = t., na equaçao (3.4.5), o l

/',a. 2ç 2 -l ~ (çwx. + x.

,l. + ai) -

l l t,t. (lJ (lJ 2 .l

.?.s. /',a. a,

l + .l -(lJ 3 llt.

(lJ 2 l

que

Substituindo esses valores na equaçao (3.4.5), os

valores para x = xi+l ex= *i+l' em t = ti+l' podem ser escri­

tos como

~i+l

onde

X. = -l.

A =

= A ((,w,ât.) X. + B (~,w,ât.) . l -1 l

X. a. ]. ].

ª· = -1

x. ªi+l ].

ª11 ª12 bll

' B =

ª21 ª22 b21

a. -l.

(3.4.6a)

(3.4.6b)

bl2

b22

com os elementos de A e B dados por

t,t. + cos (lJ /',t.) l a i

ª21

ª22

bll

bl2

=

=

=

=

-W

11-i; 2

-i;wllt. e i

46

sen w a

-i;wllt. e ,l

(cos

sen wallt i

- E; sen w llt . ) wallt i /1-1;2 a i

-i;wllt. 2i; 2-l ..5....) wa llt. { + sen .l + e i <w 2 llt. w w

.l a

( 2 E; 1 llt. }

2i; w'llt. + w,) cos w

wsllt. a l l l

-i;wllt. { (2i;2-l)

w llt. 2i; sen a .l + -e .i w 3 llt. w2llt. wa .l l

cos w li t. } - _l_ + 2 E; a .l w2 w'llt .

(3.4.6c) . l

-i;wllt. = e .1 + ..5....) (cos w llt. w a i

E; sen w a

llt.) - ( 2 i; + _l_) i wsllt. w2

l

\w sen w llt. + i;w cos w llt.)} a a _1 a t.1

1 + -w~2-,-L1.,..t-.

.l

b -i;wllt. 2i; 2-l (cos llt. 22=-e i { w2llt. w -a •.l l

E; sen w llt. ) - 2i; (wa sen w llt. + w3 llt . ll-i;2

i;w cos w a

a . l .l

a l

.-- 4 7

No caso de a equaçao (3.4.1) corresponder à equa­

çao (3.3.1) os valores das acelerações absolutas modais são da­

das por:

z. J.

x. + a. = - (2~wx. + w2 x.) J. J. J. J.

(3.4.7)

Conhecidos portanto x ex no tempo inicial t o o o

(para cada modo), o estado do sistema em todos os tempos subse-

qüentes pode ser obtido por aplicação passo a passo das equações

(3.4.6) e (3.4.7).

Este método foi implementado supondo

tante, de modo que as matrizes~ e~ precisam ser

lit. cons­:i

determinadas

apenas uma para cada modo de vibração. Observando as equaçoes

(3.4.6) e (3.4.7) podemos notar que os valores de x, x e z, uma

vez determinadas A e B, podem ser obtidos efetuando apenas

dez multiplicações para cada etapa de integração ÍITi ( titi. ~ in

teressante observar também que a única aproximação do método é a

de supor que a aceleração do sismo varia linearmente dentro

de cada intervalo ti ( t ( ti+l·

Na obtenção da resposta espectral este método en­

contra-se implementado com o intervalo de integração do modo i,

ÍIT., igual ao menor dos valores entre T./10 e lit, onde T. é o p_e J. J. . . J.

riodo de vibração do modo i e lit o intervalo de discretização do

sismo. Isto devido ao fato de a máxima resposta modal ocasional

mente ocorrer dentro do intervalo compreendido entre os instan-

Com liT. assim tomado,observa-se J.

2 O

que o erro no

cômputo do espectro provavelmente será inferior ao que se obtém

geralmente ao se digitar um sismo. Para a resposta transiente,

48

óT e feito igual ao intervalo de discretização do sismo.

Foi implementado também o método de Newmark na

sua forma aplicável à equação desacoplada (3.4.1). Para desen­

volvimento do método· expandimos xi+l e xi+l em série de Taylor:

xi+l = X, + x. bt. + x. bt: /2 + x. ót: /6 + ... 1 1 .. 1 1 1 1 1

(3.4.9)

*i+l = x. + x. bt. + x btf/2 + ... 1 1 . 1

que, para variações suficientementes suaves dessas funções,podem

ser escritas como:

xi+l = X. + x. bt. + x bt~/2 1 1 1 1

(3.4.10) A

}ti+l = x. + x. ót. 1 1 1

A

onde xi e xi representam algum valor intermediário entre xi e

xi+l· Desta forma podemos escrever

xi+l = X. + 1c. bt. + (1-2a) X . bt: /2 + 1 1 . 1 1 1

2a xi+l bt ~ /2, . 1

o ,; 2a ~ 1

(3.4.11)

*i+l= x. + (1-6) x.bt. + 0~i+l ót. 1 1 1 .1

49

Escrevendo a equaçao (3.4.1) para a etapa i+l:

(3.4.12)

e, conhecidos xi, xi e xi na etapa i, xi+l' *i+l e xi+l podem

ser determinados na etapa i+l, por aplicação das equações(3.4.ll)

e (3.4.12). Convém, no entando, dar forma mais conveniente àqu~

les valores. Para isto explicita-se xi+l na primeira das equa­

ções (3.4.11) obtendo:

1 al\t'? (xi+l -

].

X. ].

- x. ].

L\t. - (1-2a)x.L\t:/2) , 1 1 .1

(3.4.13)

Levando em seguida a segunda das equações(3.4.ll)

em (3.4.12), explicitando xi+l e tendo em conta (3.4.13)obtemos:

(3.4.14)

onde

(3.4.14a)

e

(3.4.14b)

onde

50

c3

= l/(2a)-1; c4

= 1/ ( atlt. ) ].

= o/a-1; c 5=tit./2 ].

(3.4.14b)

(o/a-2).

Com essas constantes, a equaçao (3.4.13) pode ser escrita

(3.4.15)

e a segunda das equaçoes (3.4.11) como

onde

(3.4.16a)

= tit. (1-ol ].

(3.4.16b)

Assim, calculadas as constantes c., j = O, ... , 7, J

por aplicação passo a passo das equações (3.4.14) a (3.4.16)

xi+l' ~i+l e xi+l podem ser determinados com o conhecimento de

x. e x .. ]. ].

Newmark originariamente propos como um esquema de

integração incondicionalmente estável o uso de o=l/2 e a=l/4, os

quais correspondem a considerar x constante a cada intervalo e

igual ao valor médio de xi e xi+lº Estes valores têem sido os

realmente aqui utilizados na execuçao de exemplos.

Para a obtenção da resposta modal máxima usamos

também ll,i igual ao menor dos valores Ti/10 e tit. Enquanto que

para a resposta transiente o método encontra-se implementado de

51

tal forma que é escolhido um único intervalo de integração, ~T,

para todos os modos, e tomado dentre o menor dos valores T /10 e p

~t.

52

IV - COMPONENTES LOCAIS

4. l - SISTEMAS DE REFERÊNCIA E TRANSFORMAÇOES DE COORDENADAS

Além do sistema de referência cartesiano ortogo­

nal e direto XYZ, utilizado para descrição da estrutura, devemos

também eleger sistemas locais para a descrição dos elementos com

ponentes da tubulação.

Em primeiro lugar, cumpre-nos esclarecer que na

análise automática do peso próprio assumiremos que o eixo Yesta

rã orientado em direção e sentido contrário à força peso.

Para cada elemento, de eixo reto ou curvo, defini

remos um sistema cartesiano ortogonal e direto xyz, com origem

na extremidade j, j < k, e com o eixo x dirigidoàextremidade k.

No caso de elementos de eixo reto, o eixo z será

tomado perpendicular aos eixos x e Y, de tal forma que o sistema

xYz seja direto. Para os casos que o elemento reto seja parale­

lo ao eixo Y, o eixo z será então tomado paralelo e de mesmo sen

tido que o z.

No caso de elementos de eixo curvo, o sistema lo­

cal xyz será definido de tal forma que contenhaoelemento em seu

primeiro quadrante. Para isso deve-se fornecer as coordenadas

no sistema XYZ de um ponto P contido no primeiro ou no segundo

quadrantes (y positivo) do plano xy. Esse ponto P somente nao

será necessário nos casos particulares que,além de satisfazerem a

condição imposta ao elemento curvo, resultarem também preenchi­

das as condições impostas ao sistema local correspondente ao el~

mento reto. De uma maneira geral, sempre pode ser fornecido o

ponto P.

53

Na eventualidade de o usuário desejar para sua cog

veniência uma inclinação diferente para o plano xy do elemento

reto daquela já estabelecida, poderá fornecer o ponto P para o

elemento em questão.

Portanto, para fixar idéias, o ponto P sempre de­

finirá o plano xy da seguinte forma: sendo P' o pé da perpendic~

lar baixada do ponto P ao eixo x, o eixo y terá a mesma direção

e o mesmo sentido que o vetor P'P, conforme a Figura (4.1.1).

z

z

F I GU R A(4.l .1)

Definidos os sistemas XYZ e xyz, e chamando y 11 ,

Yi2 e Y1s os co-senos diretores do eixo x em relação aos eixos

X, Y e Z, respectivamente, e, identicamente, y 21 , y 2 2 e y 23 para

o eixo y e y 31 , y 32 ey 33 para o eixo z, qualquer vetor V defini­

do pelas suas coordenadas em XYZ pode também ser definido pelas

suas coordenadas em xyz mediante a transformação

V= R V (4.1.la)

onde R e a matriz de rotação do sistema global para o local, cu-

54

jas linhas sao os co-senos diretores dos eixos x, y e z, respecti­

vamente, ou seja:

À 1 1

R =

À 3 1 À 3 3

Desta forma Ri (equação (2.1.5)) sera:

R

o R Ri =

R o

R

onde temos, como já informado, R~ -J

=

i = ~k"

4.2 - MATRIZES DE RIGIDEZ DOS ELEMENTOS

Ri o -J

o Ri -k

4.2. 1 - MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE EIXO RETO

( 4 .1. lb)

(4.1.2)

Na Figura (4.2.1) encontra-se representado o e­

lemento de tubo reto com seis graus de liberdade por nó, aos

quais estão associados seus correspondentes deslocamentos ui,

i = 1, ... , 12, (translações e rotações) e esforços pi,i=l, ... ,

12, (forças e momentos), generalizados, orientados de conformi­

dade com o seu sistema de eixos cartesianos ortogonais como in­

dicado. Assumimos que o elemento possua seção transversal cir­

cular e propriedades do material que o compõe constantes.

55

·---· X

y

", L

/ z FIGURA (4.2.1)

Seja a equaçao (2.1.la) aplicada ao elemento re­

to sem cargas externas atuantes que não sejam as de suas extre­

midades:

(4.2.1)

Por desenvolvimento dessa equaçao podemos verif!

car que cada coeficiente k .. que associa cada esforço nodal no lJ

elemento, p., ao deslocamento u. pode ser obtido l J

u. = 1, com todos os demais nulos, e computando J

aplicando·

o esforço de

corrente p. = k .. x 1. A matriz de rigidez k assim obtida é re-i lJ

produzida na Tabela (4.2.1) onde se inclui as deformações prod~

zidas por esforços normais, de torsão, de flexão e cortantes.

EA o o o o o EA o o o o o X X L L

EI 12 o EI 6 o EI 12 o o o EI 6 1+2g L3 o o 1+2g L2 -1+2g L3 1+2g L3

EI 12 EI 6 EI 12 EI 6 1+2g L3 o - 1+2g L2 o o o -1+2g L3 o - 1+2g L2 o

GI o o o o o GI o o _e _ _e L L

_E_ ±(1+ .'I) EI 6

EI 2 o o o 1+2g L2 o 1+2g r;(l-g) o 1+2g L 2

EI 4 ~ EI 6 EI 2 1+2g r;(l 2) o

-1+2g L2 o o o 1+2g r;(l-g) k = - EA

X o o o o o <.n

T "' EI 12 EI 6

1+2g L3 o o o - 1+2g L2 Simétrica

EI 12 o EI 6 o 1+2g L3 1+2g 2 GI _e o o L

6f EI (g e )

GA L2

EI 4 ~ 1+2g r;(l 2) o

X

EI 4 4 1+2g r;(l 2)

Tabela (4.2.l)

57

4.2.2 - MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO RETO COM TRECHO RlGIDO

Uma variante para o elemento reto e permitida,

para o qual se considera existir um trecho L2-L1 de rigidez su­

ficientemente alta para que possamos considerá~là infinita em -r~

lação ao resto do elemento. Um esquema desse elemento encontra­

se na Figura (4.2.2).

Para determinar a matriz de rigidez~ desse ele­

mento parece-nos mais conveniente encontrar primeiro a matriz de

flexibilidade da extremidade k, que chamaremos de !kk' e obter

k a partir dessa matriz.

li

8 y y

1

FIGURA(4.2.2) FIGURA(4.2.3)

Seja portanto o elemento da Figura (4.2.3) onde

u. = O. Aplicando a equação (2.1.lb) podemos escrever -J ~

!2k = ~kk ~k (4.2.2)

que pode também ser escrita como

(4.2.3)

onde

-1 = ~kk

58

Da equaçao (4.1.3) segue que

f .. = lJ

i, j = 7, ... , 12

(4. 2.4)

(4.2.5)

Por outro lado, o segundo teorema· de Castigliano

declara que para materiais elástico-lineares:

escrita como:

(4.2.6)

Tendo em vista a equaçao (4.2.5) podemos escrever

f .. = lJ

a 2 u 3p. 3p.

1 J

(4.2.7)

A energia de deformação para o elemento pode ser

1 r N2 N2+N2 M2 M2+M2 u X y z X y z) dx + = 2 (EA + + +

GA GI EI X r p

(4.2.8)

1 r N2 N2+N2 M2 M2+M2 X y z X y z) dx 2 (EA + GA + GI + E I

X r p

L2

onde, por condições de equilíbrio podemos escrever

N = P7 M = P10; X X

N = Ps M = P11- Pg (L-x) ; (4.2.9) y y

N = P9 M = (L-x) p8

+ z z P12·

59

Levando (4.2.9) em (4.2.8) e aplicando a equaçao

(4.2.7) obtemos

f7 7 a

f9,9 c + a = = , EAX EI GAr

f8 8 ..E... + a f9, 11

= _ __e_ = EI GA E I ,

r (4.2.lOa)

f8,12 b

fl0,10 a = = ;

E I GI p

f12,12= a

fll,11 a =

EI EI

com f .. = f .. e demais nao apresentados nulos; nessas expressoes l.J Jl.

temos:

(4.2.lOb)

Montando a matriz !kk e tendo em vista a equaçao

(4.2.4) a matriz ~kk pode ser encontrada por inversão de !kk' A

submatriz k.k se obtém por equilíbrio. -J

t Enquanto kk. = k.k, ten-- J -J

do em vista a simetria de k. Por fim k .. é obtida por -JJ

equili-

brio a partir de kk .. - J

Isso feito temos encontrado k completame~

te, que encontra-se na Tabela (4.2.2), onde:

g = f E I

c GA

X

d = c -E I

e = d (4.2.11)

EA EA o o o o o X o o o o o X --- a a

o o o b o o o o b e (L - -)e -e -e a a

o b o o o o b e - (L - -)e -e --e o a a

GI o o o o _E o GI _ _E o o

a a

(L 2 + c-;"L +g) e o o o b o bI.r-c o (L - -)e (-- -g)e a a

(L 2 + c-2bL +g) e o b o o o bI.r-c - (Ir- -) e (-- - g)e a a a

k = EA X "' - o o o o o o·

a

e o o o b --e a

e o b -e o Simétrica a

GI o o _E a

e (- + g)e o a

cE + g)e a

Tabela (4.2.2)

61

4.2.3 - MATRIZ DE RIGIDEZ PARA O ELEMENTO CURVO

Para obtenção da matriz de rigidez de um elemento

arbitrariamente curvo em um plano é mais conveniente, como na se

ção anterior, obtermos primeiro !kk"

Seja para isso o elemento curvo contido no seu

plano xy conforme Figura (4.2.4). Nesse elemento, x, y e z sao

eixos cartesianos respectivamente tangente e normais à curva de-

finidà pelo eixo do elemento.

y~

~y //'

\:. j 0 ,.,,

/ ,~ ~:.....~/.:::':.._-\-----------~~---__....-x

t, i.1.: •, •,o

41_; _____ ._·_"\" ' ____ '_2-+ z

F IGU RA(4.24)

Os esforços em uma seçao qualquer G de ângulo

entre x ex podem ser escritos:

N = P7 cos <P + Ps sen <P X

N = -p7 sen <P + Ps cos <P y

N (4.2.12)

= P9 z

M = -p9 {y cos <P + (L-x)sen q,}+ P10 cos <P + X

62

My = p9

{y sen ~ - (L-x) cos ~} - p 10 sen ~ +

A energia de deformação do elemento será

N2 N2+N2 M2 f M2+f M2 1 t X y z X g Y P z)ds u = 2 {EA + + -- +

GAr GI E I X p

1112262728

onde fg e fp sao fatores de flexibilidade 2 7

jetivam levar em conta a redução fictícia de rigidez

(4.2.13)

que ob­

que so-

fre a seção de um tubo quando submetido a momentos em suas ex­

tremidades, sobre os quais comentaremos em seção posterior. Sk e

o comprimento total do elemento medido ao longo do seu eixo.

Substituindo as expressoes de (4.2.12) em (4.2.13),

tendo em conta que ds = dx/cos ~, e aplicando novamente (4.2.7)

obtemos a matriz de flexibilidade !kk' de coeficientes abaixo,

onde temos f. . = f .. , e demais não apresentados nulos: l] Jl

L

=J o

L

=l f7,8

o

L

f7,12 =f o

{cos <j, + EA

X

(sen <j, EA ·

X

f y

(EI cos

f 2 + py

EI cos ~)dx

sen <j, f {L-x)y

+ )dx GAr EI cos ~

~)dx

63

L (L-x) 2

=I 2 cos p f sen cp

f8,8 (EAXCOS cj) + GAr + EI cos cj))

o

L

=f f8 12 '

o

L

fl2,12 = J o

L

f9,9 = f o

f (L-x) (Eicos cp)dx

f

(Eicos cpldx

({(L-x)sen cp+y cos p} 2

GI cos cj) p

f {(L-x)cos cp - y sen a

L

f9,10 = l o

EI cos cj)

(-{(L-x)sen cj) + y cos p} · GI

p

+

f {(L-x)cos cp-y sen cp}sen <P

EI cos <P

L

+

)dx

dx

f9,ll =l (- {(L-x)sen cj) + y cos cj)}sen cj)

fl0,10

fl0,11

GI cos cj) p

o

f {(L-x)cos cj) - y sen cj)}

EI

L sen2 cp

=l (cos p +

f

cos cj))dx GI EI p

o L

-j (sen p _ f sen <P )dx

GI EI p

o

)dx

(4.2.14)

'u,u • [ o

64

( sen2

cp GI cos q, +

p

q, -~---)dx EI

f cos

Ao nao se conhecerem as funções q,(x), f (x) e p

f (x) para uma curva qualquer, o valor dos coeficientes f .. aci-g iJ

ma são obtidos mediante integração numérica via computador, e k

de maneira semelhante à seção anterior, mediante ·rotinas apro­

priadas.

4.2.4 - MATRIZ DE RIGIDEZ PARA ELEMENTOS DE EIXO CURVO CIRCULAR

A grande maioria das curvas em tubulações sao cir

culares, e mesmo quando nao são podem ser convenientemente re-

presentadas por segmentos circulares constituindo elementos iso­

lados. Convém portanto explicitar as integrais dadas por ( 4. 2 .14)

para esse caso.

z

FIG U R A (4.2.5)

65

Seja o elemento curvo circular da Figura (4.2.5)

onde se tem fixado a extremidade j e liberado a extremidade k

Seja@ ângulo interno que subtende o arco de comprimento Sk, e

raio R. Temos as seguintes relações:

X = @ R(sen 2 - sen cj,)

y = R(cos cj, - cos !i 2

@ L = 2R sen 2

dx = -R cos cj, d cj,.

(4. 2 .15)

Levando estas expressoes as expressões de ( 4. 2 .14)

e integrando, agora com os limites - ~/ 2 e cj,/2, obtemos:

f7 7 ,

f7 8 ,

f7,12

= R(~+sen @)

+ R(@-sen ~) + 2EA 2GAr X

f 3 R (@+2 @ cos

2 @/2-3 sen@)

2EI

f R3 (4 2 ~/2-@ sen @) sen =

2EI

f R2 (4 2 ~ sen@ ) sen @/2 -

= 2EI

= R {@- sen @ ) + R ( 2EAX

@ + sen@ ) 2GA +

r

f R3 ( @ + 2 @ sen2 @/2 - sen@ )

2EI

66

f R2

<I> sen <l>/2

f8,12 = EI

f R<I>

fl2,12 = _E_ EI

= R3

( 3 <!> + sen <I> cos <I> 2GI

- 4 sen <I> ) +

f9,ll =

flü,10

flü, 11

fll,11

p

f R3

( <!> - sen <I> cos <I> ) + R<I>

=

=

=

2EI GAr

cos <l>/2 ( <I> + sen <!> ) ) + 2GI

p

(4.2.16)

f R2

cos <!> /2 ( <I> - sen <I> )

2EI

-R2 sen <l>/2 ( <I> - sen <I>) 2GI

p

f 2

R sen <l>/2 ( <I> + sen <I> )

2EI

R(<I>+ sen<I>) f R(<I> - sen <!> )

+ 2GI 2EI p

o •

R(<I> sen <!> ) f R( <I> + sen <!>) -

+ 2GI 2EI p

67

4.2.5 - ELEMENTOS CURVOS EM GOMOS

Para algumas tubulações de pressoes e temperatu­

ras moderadas nao raro utilizam-se curvas em gomos para mudanças

de direção. Desde que nao se exija uma análise mais rigorosa elas

podem ser analisadas como elementos curvos circulares definindo­

se um raio equivalente, e procedendo-se a uma conseq~ente altera

ção no coeficiente de flexibilidade-

-t . ,(m

-+

1 1 f'<I---+-- R,,----=::sr

FIGURA (4:2.6)

Na Figura (4.2.6) temos uma possível curva em go­

mos. Nesse caso o raio equivalente será definido como

1 = 2 e cotg ljJ e parar - tg ljJ < 1 (4.2.17a) m

onde e é o espaçamento dos gomos e ljJ o ângulo dos gomos definido

conforme a Figura. Quando existe um único gomo ou quando o esp~

çamento torna-se grande., a definição dada em (4.2.17a) torna-se

68

1 2

inadequada, sugerindo-se então um valor empírico dado por

1 e = 2 rm (1 + cotg ~); para - tg~ > 1 rm

(4.2.17b)

onde rm é o raio médio do tubo.

Na Figura (4.2.6) indicamos ainda as posições das

juntas j e k por onde deve passar o eixo x do sistema local xyz.

Definido o raio R, o elemento é então analisado e

como curvo circular com os fatores de flexibilidade modificados

convenientemente conforme veremos em seção posterior. No progr~

ma devem ser fornecidos apenas e e~, com os quais Re será auto­

maticamente calculado.

4.3 - MATRIZ DE MASSA DOS ELEMENTOS

No desenvolvimento que se segue para obtenção da

matriz de massa dos elementos reto e curvo circular desprezamos

a deformação por cortante.

4.3. l - MATRIZ DE MASSA PARA O ELEMENTO RETO

O procedimento de obtenção da matriz de massa do

elemento reto será aqui revisto com o objetivo de procedermos de

maneira um tanto quanto semelhante na obtenção da matriz de mas­

sa a ser utilizada para o elemento curvo circular na seçao se­

guinte.

69

( f "s f ~, f "11

f", f", l"• j,-------------~__...,__.X ", % / '

/ J,

u ' ,, /.,

/u. 9

12

FIG U R A ( 4. 3. 1)

IJ7 UIO

A partir das equações diferenciais de um elemen­

to infinitesimal em equilíbrio estático pode-se mostrar que os

deslocamentos em qualquer ponto no interior do elemento (vide Fi

gura 4.3.1) podem ser escritos como

d = B a (4.3.1)

t onde d = {u ,u ,u ,Y ,y ,Y} e a sao constantes de - X y Z X y Z

integração

ªi' i=l, ... , 12. Enquanto que a matriz~, como se sabe, possui

coeficientes monomiais que interpolam, respectivamente, ux e yx'

y e y, eu e uz, linear, quadrático e cubicamente em x, a PªE y z y

tir dos a .. ].

Se especificarmos (4.3.1) para os pontos nodais

teremos

u = X a =

B. -J

onde B. = B e B - B -J - (x=O) -k - - (x=L) ·

a (4.3.2)

A partir de (4.3.2) os a podem

70

ser determinados:

a = (4.3.3)

Levando (4.3.3) em (4.3.1) teremos

d= B X-l u =Nu (4.3.4)

onde~ é uma matriz composta por polinômios de Hermite. Chamemos

N., i=l, ... , 6, as linhas dessa matriz. -l

Se supormos agora que 9 possa representar os des­

locamentos dinâmicos com uma boa aproximação, a velocidade des­

ses deslocamentos pode ser escrita

d= N ü,

e a energia cinética do elemento infinitesimal de

dx será

(4.3.5)

comprimento

I •2+I·2)d y-Ay x. AX y X Z

(4.3.6)

Tendo em conta (4.3.5) e integrando para todo o elemento:

+

(4.3.7)

71

que pode ser escrita:

onde

T e

m =

= 1 ütm ü 2 - - -

L

1 (~i~1+ p A' V X

o

e a matriz de massa do elemento.

t ~2~2

t t + ~3~3 + ...E

A X

Tendo em vista a equaçao (2.1.4),

(4.3.8a)

t ~4~4 +

(4.3.8b)

a equaçao

(4.3.8a) pode ser escrita em termos das velocidades gi do elemen

to i como:

(4.3.9a)

onde

(4.3.9b)

i é a matriz de massa do elemento para os deslocamentos g. Soman

do a energia cinética de todos os elementos por expressoes do ti

po (4.3.9a) obteremos a energia cinética de toda a estrutura. A

matriz total M obt~m-se portanto de modo idêntico a K.

A matriz m do elemento reto típico pode ser encon

trada em vários trabalhos na Bibliografia apresentada e encontra­

se reproduzida da referência (29) na Tabela (4.3.1).

1 o o o o o 1 o o o o o 3 6 13+ 6I 9 6I 13L I

llL I 70 5A L

2 o o o - 420 +lOA L 35 5A L2 o o o "2Tõ +lOA L o X

X X X

13 + 6I llL I 9 6I 13L I --- o o 70 -5AxI,

2 o 420 -35 5A L2 o 210 lOA L o 10A L o X X X

~ I o o o o o _E_ o o 3A 6J\c X

L2 2I o o o 13L I o L2 . I o Tõ!, +15A - 420 + lOA L - 140 - 30Ax X X

L2 2I 13L I L2 I 105 +15Ax o 420 - lOAxL o o o -140 - 30Ax m=pA L - X

1 o o o o o ._, 3 "'

13 + 6I o o o llL I 35 5A L2

Simétrica 210 lOAxL X

13 + 6I o llL I o 35 5AxI,2 210 +lOAxI,

I _:.E_ o o 3A

X

L2

2I 105 +15Ax o

L2 2I 105

115A

X

Tabela (4.3.l)

73

4.3.2 - MATRIZ DE MASSA PARA O ELEMENTO CURVO CIRCULAR

Seja um elemento infinitesimal de um tubo circu­

lar em equilíbrio submetido a um sistema de esforços conforme a

Figura (4.3.2)

indicados.

Os deslocamentos também possuem orientação como

-· -·

R

o

FIGU RA(4.3.2)

As equaçoes de equilíbrio podem ser separadas em

dois grupos referentes a movimentos fora do plano e no plano,re~

pectivamente:

dM M X

= d</> y

dM M = - c...J_ + RN (4.3.10)

X d</> z

dN z = o d<j>

e

dN N = ~.-J..

X d<jl

N y

dM z d<P

=

=

dN X

d<P

RN • y

74

(4.3.11)

As relações constitutivas podem ser escritas

e

M R X

GIP

f M R2

g y EI

f M R2 p z

EI

N R X

EAX =

du X

- d<P - u y

du X

d</l

(4.3.12)

(4.3.13)

onde y · é o ângulo de torção a deformação circunferencial E e X X

as rotações yy e y2

da seção transversal foram tomadas como

E X

Yy

Yz

du u = - ~ - _y

ds R

du = z (4.3.14)

ds

du u = _J__ X -ds R

As equaçoes de (4.3.10) a (4.3.13) podem ser solu

75

cionadas para os esforços e deslocamentos. Em particular nos i~

teressa a solução para os deslocamentos

cada sob a forma

d = B a

3 O 3 1

que pode ser colo-

(4.3.15)

e a., i=l, ... , 12, sao constan l.

tes de integração. A matriz B encontra-se na Tabela (4.3.2)'.

u ---~/ \~'. "• u u \ / 3. :i iy '" -~ s: z

ri z

o

FIG U R A ( 4.3. 3)

Especificando a equaçao (4.3.15) para os pontos

nodais, e observando que as orientações dos deslocamentos nodais

u não coincidem com as de d nas extremidades (vide Figura ( 4. 3. 3 )),

precisando portanto rotacioná-los, temos:

u = X a = R

B. -J

i::ik

Cl (4.3.16)

R ( <j,cos<j,-C0

sen<P) -R ( <Psen<j,-t<: 0cos<P) Rros<P -Rsen<j, -R<j, R o o o o o o

R<j,sen<j, R<j,ros<j, Rsen<j, Rros<j, R o o o o o o o

o o o o o o R Rros<j, Rsencj, Rcj,ros<j, Rcj, Rcj,sencj, B=

o o o o o o o -ros<j, -sencj, -cj,roscp-c5

sen<j, o c5roscj,-cj,sencj,

o o o o o o o -sencj, roscj, =<P-<P sencj, 1 sencj,+cj,roscj,

c1sen<j, c1coscj, o o <P -1 o o o o o o

Tabela (4.3.2)

77

onde Ré a matriz de rotação necessária, e, B. = B -J -(cj,= -8)

e

B = B A matriz Ré fornecida na Tabela (4.3.3), e X na -k - ( cj,=8) •

Tabela (4.3.4). A partir de (4.3.16) podemos escrever:

-1 a = X u (4.3.17)

Levando essa equaçao em (4.3.15) obtemos

d= B X-l u =Nu (4.3.18)

Para o presente elemento é mais conveniente nao

efetuar o produto B x- 1 indicado acima. Assim, com as

hipóteses da seção precedente obtemos as velocidades:

mesmas

e a energia cinética do elemento infinitesimal

R ôcj,:

LiT e

I + ___E

A X

(4.3.19)

de comprimento

(4.3.20)

Integrando para todo o elemento de -8 a +e obte-

mos

8

1. A Jcu2 + ü2 + u; I I T = + ___E • 2 + • 2 + e 2PV X X y Ax Yx Ax Yy

-8

(4.3.21)

-cose sene o o o o

-sene -cose o o o o

o o 1 o o o o -

o o o -cose sene o

o o o -sene -cose o

R. o o o o -J - o o -1

R=. ' -------- = 1

- - - - - - - -.J 1 o:,

o 1 ~k 1

1 -cose -sene o o o o L

sene -cose o o o o

o o 1 o o o o

o o o -cose -sene o

o o o sene -cose o

o o o o o -1

Tabela (4.3.3)

-R(C0senecose-e) RCocos 2 e o o o -R o -R(ecose-sene) o o o -Rcose

-RC 0sen2 e R(C 0cosesene+e) o o o o -R -R(8sen8+cose) o o o -Rsene

o o R Rcose -Rsene o o o -Recose -Re Resene o

o o o 1 o o o o -e+c6senecose sene -l+c6cose o .

o o o o -1 o o o -l+c6sen9 -cose e+c6senecose o

C1sene -C1cose o o o o o e o o o 1

-R(e-C0senecos8) RC 0cos 2 8 o o o -R o R ( ecose-sene) o o o -Rcose

.X= -OC 0sen2 e -R(C0senecose+e) o o o o -R -R(esene+cose) o o o Rsene

o o R Rcose Rsene o o o ·Recose Re Resene o

o o o 1 o o o o 8-Cssenecose -sene -l+c 6 cose o

o o o o -1 o o o -l+c6 sen2 8 -cose -e-cs senecose o

-C1sene -C1cose o o o o o -e o o o 1

Tabela (4.3.4)

80

I.ntroduzindo a equaçao ( 4. 3 .19) e chamando B. cada linha i de B: -1

ou

onde

T e

=lút AR~-t18 2 - pv x ··

-e

T = _l út m Ü e 2 -

m =

(4.3.22a)

(4. 3. 22b)

(4.3.22c)

e a matriz de massa do elemento; a matriz H dada por

e

=l t t t I t

H <~1!?1 + ~2!:!2 + ~3~3 + ___E

~4~4 + A X

-e (4.3.22d)

é uma matriz simétrica. Os coeficientes nao nulos de~' corres­

pondentes aos termos de (4.3.22d) em !:! 3 , ~ 4 e ~ 5 encontram-se na

referência (30) e são reproduzidos na Tabela (4.3.Sa). Enquanto

que os correspondentes a !:!i• ~2 e ~6 apresentamo-los na Tabela

( 4 • 3 • 5b) •

A matriz m é obtida com as matrizes fornecidas me

diante aplicação via computador de (4.3.22c). As constantes C., 1

= 2R28

2 = 2R sen8

= (c 9e+c 11sen8cos8)

1 = 4 (c10sen28+2c11ecos28+4c12 e+4c13

sen8cos8)

= 1~{4C 9 8 3 +6c10 e 2 sen28+12c14 e+12c15sen8cos8+6(C10

+2c13

)ecos28+3(C11

-2c13

)sen28}

2 = 2{R (sen8-8cos8)+c7

sen8}

2 H10 , 9 = 2{R (8 2 sen8+28cos8-2sen8)+c

7ecos8}

Hl0,10= 2{8'(R;)+C7 8}

H11 , 3 = 2R2 (sen8-8cos8)

1 1 H11 , 4 = 4c 10sen28+ 2c 11ecos2e-c12 (e)+c13 (sen8cos8)

H11 , 11= 1~{4c9 e'-6c10 e 2 sen28+12c14 e-12c15sen8cos8-6(C10 +2c13

)ecos28-3(C11

-2c13

)sen28}

Tabela (4.3.5a)

Hl 8 ,

H2 2 ,

H2 6 ,

H2 12 ,

H6,6

2 2 , 1 2 1 1 = R {(38 )-C0

(2sen28-8cos28)+C0

(8- 2sen28)}+c16

(e- 2sen28)

2 1 = R {C0

(8- 2sen28)}

= 2 2R {(2sen8-8 2 sen8-28cos8)+C1 (sen8-8cos8)}+2c17

(sen8-8cos8)

= 2 2 1 2 1 1 R {(38 3 )+C0

(2sen28-8cos28)+C0

(8+ 2sen28)}+c16 (e+ 2sen28)

= 2 1 -R {C0

(8+ 2sen28)}

= 2 2R {8cose-c1sen8}-2c17sen8

= 2R28

2 = 2R sene

= 2R2{2sen8-8cos8}

= R2{l3e'+2e}+ lc e' 3 7

Tabela (4.3.5b)

83

ainda nao definidas, sao:

EI EAX I C = f Rª/~ = ~A~f~R-2

p X p

cl = co + 1 c2 = GI /R2 p

1-C l+C

c3 EI

c4 2RC2

c3/(C

2+c

3) = f R2 ; =

g

cs = 2c3/(C

2+c

3); c6 = <c2-c3) / <c2+c3)

e = I/A ; e = I /A 7 X 8 p X

c11 = -c10 c12 = C7 + csca

c13 = c7 - csca ; cl4 = C7 + c2 ca 5

els = c7 - c2 ca cl6 = c2

c7 5 1

Para desprezar a inércia a rotação por

(4.3.23)

flexão

84

4.4 - ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO

4.4.l - CARGAS TIPO GRAVIDADE. CALCULO AUTOMATICO DO PESO PRÕPRIO

As cargas por unidade de comprimento do elemento

devem ser dadas no sistema local de cada elemento. Fornecido w, o peso por unidade de comprimento do elemento, o programa permi­

te o cálculo automático do peso próprio de toda a estrutura con­

siderando que o eixo Y do sistema global tenha a direção da for­

ça peso, e sentido a ela oposto.

Elemento Reto

Seja o elemento reto da figura (4.4.1) com carga

por unidade de comprimento p, formando um ângulo y com sua pro­

jeção sobre XZ como indicado. Os esforços de engastamento per­

feito serao:

e e W L/2 P1 = P7 = X

e e W L/2 P2 = Pa = y

e e -W L/2 P3 = Pg = z

(4.4.la)

e e o P4 = P10=

e e W L2/12 P5 = -pll = z

e e 2 p6 = -pl2 = W L /12.

y

z

85

'

r-~-x

4· /· .

Qx : W,: L

Qy ~ Wy L

Qz = Wz L

FIGURA(4.4.I)

Sendo p = W o peso por unidade de comprimento

do elemento usamos:

w X = + W Rl,2

W = + W R2 2 y '

w z = + W R3,2

(4.4.lb)

onde R1 2 , R2 2 e R3 2 sao elementos da matriz de rotação R. E,

' ' ' sendo puma carga externa por unidade de comprimento do elemen­

to, outra que o peso próprio, o usuário deve fornecer as suas

projeções px, Py e Pz sobre as direções dos eixos x, y e z. do e­

lemento. Neste caso, as equações (4.4.la) serão usadas com

w = - p y y

(4. 4. lc)

86

Elemento Reto com Trecho Rigido

Os esforços de engastamento perfeito do elemento

reto com trecho rígido são obtidos a partir de urna estrutura

constituída de um elemento isolado com a extremidade j engasta­

da (u. = O) e a extremidade direita livre, submetida ao carrega­-]

menta em questão. A equação (2.1.lb) aplicada ao elemento, vide

a Figura 4.4.2, lembrando que agora Pk = 0,reduz-se a:

(4.4.2)

Uma vez que ~kk é conhecida o problema reduz-se a encontrar ~k·

y

z

+--- '2·------+ +---,,--...

FIGURA(4.4.2)

---<>X K

Os ~k devidos ao carregamento podem ser convenien

temente obtidos por aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais

(vide referência 32). Os deslocamentos ~k serão então dados por

1 X U. l

87

N .N N .N +N .N x,.1. x,c +

EA X

y,1 y,c z,.1. z,c + GAr

M .M M .M +M .M

L

{

x,1. x,c + GIP

N .N

y,1 y,c z,1 z,c)dx + EI

N .N +N . N

(4.4.3)

( x,1 x,c + EA

y,.1. y,c z,1. z,c + GAr X

2

M .M M .M +M .M x,1 x,c +

GIP y,1 y,c z,1 z,c)dx

EI

onde 1 x u. é o trabalho virtual do esforço p. = 1, aplicado is_o l l

ladamente, sobre o deslocamento ui produzido pela carga aplic~

da ao elemento; e o segundo membro da equação corresponde ao tra

balho virtual dos esforços internos N ., ... , etc., X,l

produzidos

por pi= 1 , sobre os deslocamentos internos produzidos pelos es-

forços numa seçao genérica, N , ••• , x,c etc., devidos à carga.

A Tabela (4.4.1) fornece os esforços na seçao ge­

nérica de ordenada x devidos às aplicações de p. unitários isola l

dos.

N x,i N y,i N z,i M x,i M y,i

M z,i

P7=l 1 o o o o o

p =l 8

o 1 o o o (L-x)

p =l 9

o o 1 o (x-L) o

P1o=l o o o 1 o o

P11=l o o o o 1 o

P12=l o o o o o 1

Tabela (4.4.1)

O elemento é suposto possuir o trecho rígido com

carga pr maior que o resto do tubo. Seja p a carga no tubo tal

que pr = p + p0

. As componentes de p e p0

sao respectivamente

w,w,w ew ,w ew X y Z OX oy OZ

Os esforços devidos a p serao, numa seçao de orde

nada x:

M = o x,c

w (L-x) 2

M = z - 2 y,c

w (L-x) 2

M = - ...:::l.. z,c 2

(4.4.4)

N = - w (L-x) x,c X

N = - w (L-x) y,c y

N = w (L-x) z,c z

que, levados à equaçao (4.4.3) juntamente com os fornecidos pela

Tabela (4.4.1), fornecem

b EA

X

b d u8 = -w EA - wy 2EI y r

(4.4.5)

89

= o

onde

a = {L - (L-Ll) + (L-L2

)} /1.

b {L2 - (L-Ll)2 + 2 = (L-L 2 ) } /2.

(4.4.6)

{L3 - (L-Ll)3 + 3 c = (L-L 2 ) }/3.

d {L4 - (L-Ll) 4 + 4 = (L-L 2 ) }/4.

e -Os esforços de engastarnento perfeito ek sao obtidos pela equaçao

(4.4.2) e os pe por equilíbrio entre a carga p e os esforços ee, -J -

via computador. Sendo as cargas devidas ao peso próprio utiliza

mos (4.4.lb), se não, (4.4.lc).

Para a carga parcialmente distribuída sobre o tre

cho rígido, p, os esforços em uma seçao genérica devidos à car­o

ga serao:

N x,c

N y,c

90

(4.4.7) M = O x,c

M = z,c

que levados à equaçao (4.4.3) juntamente com os da Tabela(4.4.1)

fornecem (observe-se que somente a primeira integral de (4.4.3)

existe):

w X

- - w oz

(4.4.8)

91

Os fe também agora obtidos através de (4.4.2) e por equilíbrio

com p0

• As considerações sobre a utilização de (4.4.lb) ou

(4.4.lc) são também válidas.

Elemento Curvo Circular

Para o elemento curvo utilizaremos também o prin­

cipio dos Trabalhos Virtuais, de maneira idêntica ao caso ante­

rior. Convém, por simplicidade, apresentar os casos devidos a

W, W e Wz separadamente. X y

Carga W2

:

Seja a Figura (4.4.3) onde se tem o elemento cur­

vo submetido à carga por unidade de comprimento do arco,W ,na di z -

reção local z. Seja Qz= WzS a carga total equivalente à compre-

endida entre a seçao genérica de coordenadas x e y e a extremida

de k; Sé o comprimento do arco entre a seção genérica e a extre

midade k. C.G. representa o centro de gravidade dessa carga, e

possui coordenadas X e y . Podemos escrever g g

J5xds R{ ( q, <P ) . <P cosq, !} + 2 sen 2 + - cos 2 X =-- = g s q, + !

2

_fsyds <P <P !}

= R{senq,+sen 2 -(q,+ 2 )cos 2

Yg ---s q, + ! 2

s = L ds = R(q,+ ;) (4.4.9)

92

wz

z X

/ ' 0 {

z

FIGU R A(4.4.3)

Os esforços genéricos devidos ao carregamento:

ou

M x,c

M = -Q {(x -x)cos~ - (y-y )sen~} y,c z, g g

N z,c

M =-W x,c z

2 ~ ~ R {(~ + 2)- sen(~ + 2 )}

M = -w R2 {1 - cos(~ + !)} y,c z 2

(4.4.lOa)

(4.4.lOb)

Os deslocamentos u. da extremidade livre serao ].

ou, ainda

u. = -R l

93

f M .M N .N gy,iy,c+

EI z,i z,c)d

GA 5

r

(4.4.lla)

-<l>/2

( x,1. x,c. + I M .M

+<l>/2 GIP

f M .M g y,i y,c +

EI

(4.4.llb)

Levando as expressoes (4.4.lOb)e as da Tabela

(4.4.3) em (4.4.llb); e integrando obtemos os seguintes desloca­

mentos não nulos:

P7 = 1

Ps = 1

P12= 1

f W R4

(<!> 2 + sen 2 <1> - 2<1>sen <!>) + g z (2-2cos<l>-2EI

sen 2 <1>) +

f W R3

g z <j)

2EI ) (sen<I> - <I> ) sen 2

(4.4.12)

{2<1> cos; + (<!> -sen<l>)cos ~ - 4 sen !}+

<P - 4 sen !} 2 2

N x,i N y,i M z,i

oosq, -senq, <j)

R ( cosq,-cos 2)

senq, cosq, <j)

R (senq,+sen 2)

o o 1

Tabela (4.4,2)

94

Os esforços de engastarnento perfeito sao obtidos

também mediante a equação (4.4.2) e os restantes p~ por equilI­-J

brio entre a carga atuante e p

Carga W : y

e

Na Figura(4.4.4) ternos o elemento curvo submetido

à carga W. Ternos que Q = W. S, com as mesmas convençoes antes y y y

utilizadas. Os esforços genéricos devidos ao carregamento sao a-

gora:

N = - Q sen ~ x,c y

N = ~ Q cos ~ y,c y

ou

N = x,c

N = y,c

M z,c

e os deslocamentos u. serao agora l

u. = ].

-J1>/2 N . N R (x,1x,c+

EA 1>/2 X

N .N y,1 y,c + GA r

(4.4.13a)

(4.4.13b)

f M .M p z,1 z,c)d~

EI

(4.4.14)

95

y

1 1 Qy

Wy

/ ----

z

F I G U R A ( 4.4.4)

Levando (4.4.13b) e os valores da Tabela (4.4.2)

em (4.4.14) e integrando obtemos os seguintes deslocamentos não

nulos

f W R4 p y 4EI (9 sen ~ - 3~cos~ - 6~) +

- sen~)

R2W (~

2 - ~sen~) - ~(~ 2 + ~sen~)

r

f W R3 p y

EI (2~ cos ! - 4 sen !)

(4.4.15)

M x,i M y,i N z,i

<P <P 1 p = 1 R{cos(cj,+ 2)-1} -Rsen(cj,+ 2) 9

P10= 1 coscj, -sencj, o

P11=l sencp cosct, o

Tabela (4.4.3)

Que nos servirão para obter pe através da matriz

de rigidez e equilíbrio.

Carga Wx:

Seguindo os procedimentos anteriores temos a Fig~

ra (4.4.5) para W, e com Q = W S. Os esforços numa seção gen~ X X X

ricos devidos ao carregamento:

ou

N = - Q coscp X 1 C X

M = - Q (y-y) z,c X g

N = x,c

N y,c

<P = Wx (cp + 2 ) R sencp

M = z,c

(4.4.16a)

(4.4.16b)

/ z

97

'

K

FIGURA(4.4.5)

Os deslocamentos u. de acordo ainda com a equaçao ].

(4.4.14). A Tabela (4.4.2) também deve ser utilizada. Obtemos,

portanto, apos integração:

f W R4

p X

4EI 2 <I> 2 (8 sen - - <I> - <l>sen<I>) -

2

(<1> 2 + <l>sen<I>)- (<1> 2 - <l>sen<I>)

f W R4

P4ExI (2<1> + <l>cos<I> - 3sen<I>) +

· (<l>cos<I> - sen<I>)

= o

(4.4.17)

Para cargas externas fornecidas pelo usuário, usa

mos as equações (4.4.lc), ou seja, p, p e p têm a direção po-x y z

98

sitiva coincidentes com os eixos locais x, y e z respectivamen­

te. Para cálculo automático do peso próprio usamos as relações

( 4 . 4 . lb) .

4.4.2 - VARIAÇÕES DE TEMPERATURA

Consideraremos que o elemento esteja submetido a

urna variação de temperatura do tipo

(4.4.18)

onde sé a ordenada medida ao longo do eixo do elemento e y e z

sao os eixos da seção genérica. Para elementos retos ternos s=x.

Podemos aplicar ainda o Principio dos

Virtuais, o que nos dá

. t t t (N .E + M .e + M .e )ds x,1 s y,1 y z,1 z

Trabalhos

(4,4.19)

onde, sendo a o coeficiente de dilatação térmica médio, ternos:

t -E = a t s g

et (t-t.)(z)

s l (4.4.20) = a d y e

et (t. -t ) (y)

= l s a z de

Nas expressoes acima d é o diárnetro externo do tubo, t e a tem e g

peratura no centro da seção, (t -t.) (z) é a diferença de ternper_a s l

tura ao longo dez e (t.-t) (y) ao longo de y. As expressoes l s

99

(4.4.20) podem ser escritas:

t a{T(s,o,o)} = a(T0

+T1

s) E = s

et d d 1 - e T(s,y, ~} aT 3 (4.4.21) = c,.{T(s,y, 2 ) d = y 2 e

et de d e - l = a{T(s,- 2' z) - T(s, + 2' 2 )}d = -e,. T2 z e

Para N ., M . e M podem ser utilizados os va x,1 y,1 z,i

lares das Tabelas(4.4.l), (4.4.2) e (4.4.3). Para o elemento re

to com trecho rígido assumimos que e,. seja também o

de dilatação térmica do trecho rígido.

coeficiente

Assim, teremos para os elementos retos:

L

U7 =L a(T0

+T1x)dx = a(T

0+T

1 !:) L 2

L L2

=J T2 (L-x)dx c,.T2 (4.4.22) u8 -e,. = - 2 o

L L2

=l T3

(L-x)dx -aT u9 -e,. = 2 3 o

L

ull =fa T3 dx =aT L 3

o

L

ul2 =J - e,. T2 dx = e,. T2

L

o

100

Os p: sao obtidos por intermédio de (4.4.2) e os Pj por equilí­

brio com p: Para os elementos curvos circulares procedemos de

maneira idêntica.

obtemos:

w Tendo em vista agora que ds =-Rd~ e s=R(2 -~),

sk

u 7 = l {a(T0

+T1s) cos~ -

o

sk

u 8 = J {a(T0

+T1 s)sen~ - a T2R(sen~ + sen !) }ds =

o

(4.4.23)

T3

cos~ ds = a

T2 ds = a T S - 2 k

e Os pk sao obtidos por intermédio de (4.4.2) e os

e e Pj por equilíbrio com pk

Convêm alertar que embora T possua dimensão de o

101

temperatura, T1

, T2

e T3

nao as têm.

4.4.3 - PRESSAO INTERNA

Seja o tubo reto, de paredes finas com espessura

t, de raio médio rm, submetido a uma pressao interna efetiva pe

atuante nas paredes do tubo bem como em suas extremidades. As

tensões circunferenciais e longitudinais, vide Figura ( 4. 4 .6 ) , P.2. 3 3

dem ser escritas como

= p r /t e m

/ <1---Cf-' <í \ '

' Já, :-:::.'"'--\·-·-·-.... ,

t-+

•·-· ' 1

,+-----------'--'

FIG U R A(4.4.6)

(4.4.24)

102

considerando desprezíveis as tensões radiais. Se urna das extre­

midades é considerada fixa e a outra livre para deslocar-se pod~

mos escrever a deformação longitudinal como

(4.4.25)

Considerando o elemento de comprimento L, o deslocamento da ex­

tremidade livre k pode ser dado por

(4.4.26)

A partir da equaçao (4.4.7) e da simetria do pro­

blema os esforços de engastamento perfeito serao

EA X = - ~ u7 =

A p r x e m 2t ( 1 - 2v) (4.4.27)

Se agora considerarmos o elemento reto com um tre

cho rígido que não se deforma quando submetido a urna pressao in­

terna Pe' os mesmos resultados da equação (4.4.27) serão encon­

trados.

e longitudinais

Se o tubo é circular as tensões circunferenciais 3 3

serao:

perm 2R+r sen a = ( m

a) (4.4.28) (J c 2t R+r sen m

ºx = perm -2-

Seguindo procedimento similar ao anterior, a deformação longitu­

dinal será

103

2R+r sena m

R + r sena) m

(4.4.29)

que assume valores máximo, médio e mínimo para a= rr/2, a= O e

a= -rr/2, respectivamente. Chamemos esses valores respectivos de

s o e Exi Ex' Ex

'(m

-·-. --

R

e

FIGURA(4.4.7)

Podemos estimar valores para os esforços de enga~

tamento perfeito supondo que os deslocamentos infinitesimais de

uma seção genérica de um elemento engastado na extremidade j e

livre em k, devidos à pressão, possam ser dados por (vide Figura

4.4.7):

dn = o ds E X

(4.4.30a)

de 1 ( ES ds s i dsi) = - 2r - E X X m

onde tomamos: ds

nos dará

mos:

ou, integrando:

104

dn = - a (1-2v)R d~ o

de= a0

(1-v)d~

(4.4.30b)

Aplicando o Princípio dos Trabalhos Virtuais tere

= J-1>/2 (-N . ui x,1 a (1-2v)R+M . a (1-v))d~ o z,1 o

1>/2

Utilizando a Tabela (4.4.2) teremos:

-1>/2

u 7 = f {-Ra0

(1-2v)cos~+

1>/2

Ra (1-v) (cos~­o

(4.4.31)

(4.4.32a)

-1>/2

u 8 = J {-Ra (l-2v)sen~ + Ra (1-v) (sen~ + o . o 1>/2

-1>/2

u 12 = J {a0

(1-v) }d~

1>/2

onde fizemos:

() o

105

<P Ro

0(1-v)<P sen 2

= - o <P (1-v) o

(4.4.32b)

(4.4.32c)

e os esforços de engastamento perfeito sao obtidos mediante pe=­-k

kkk uk e os p~ por simetria do problema. - - -J

4.5 - TENSÕES

Geralmente no projeto de tubulações utiliza-se o

conceito de tensões admissiveis cujos valores são fixados por noE

mas a partir das tensões de escoamento e de rutura dos diversos

aços empregados, introduzindo-se coeficientes dependentes de fa­

tores tais como fadiga em serviços ciclicos, fluência, temperat~

ra de operaçao, características do serviço (centrais nucleares,

de vapor, refinarias, etc.), critêrios adotados de cálculo, etc.

Como a tubulação encontra-se submetida a um estado múltiplo de

tensões os valores de comparação são baseados em critérios de es

coamento para materiais dúcteis tais como o de Tresca,geralmente

utilizado, ou o de Mi ses, definindo· o que se convencionou cha 1 2 3 5

mar de tensões equivalentes ou tensões combinadas.

Critério de Tresca:

De acordo com o critério de Tresca o escoamento

·106

ocorre quando a tensão cisalhante atinge o valor da máxima ten-3 4

são cisalhante que ocorre em tração simples Como sabemos a

máxima tensão cisalhante para o estado triaxial é dado por um dos

valores

± i (<J2-<J3) '[ 1 = 2

± l (0 1-0 3 ) (4.5.la) '[ 2 = 2

± l (0 1-0 2 ) '[ 3 = 2

onde cr 1 , cr 2 e cr 3 sao as tensões principais.

Consideraremos apenas o estado biaxial, para o

qual teremos

'[ l = ± l 2 . (J 2

'[ 2 = ± l 2. (J l

± l {01-02) '[ 3 = 2

Para o caso de tração simples teremos

'[ -max l = 2 (J

onde a é a tensão de escoamento do aço. A partir de

(4.5.lb) podemos escrever

a=±a2

(4. 5. lb)

(4.5.2)

(4.5.2) e

(4.5.3)

107

como as condições de escoamento de Tresca. A representação geo-

métrica de (4.5.3) no plano o 1 o 2 nos dá o polígono da Figura

(4.5.1). (2

(í

t-----c~- MISIS

H-----z-• T RESC A

FIGURA(4.5.I)

Chamando o as tensões longitudinais na parede do X

tubo, ºc a circunferencial e Ta cisalhante {vide Figura{4.5.2)),

podemos escrever o 1 e o 2 como

= 1 {o + o +(4, 2 + (o _ 0 )2)1/2} 01 2 X c X C

(4.5.4)

1 {ox

2 1/2 02 = 2 + O - { 4T 2 + (O -o ) ) } c x c

a partir das quais as condições dadas por (4.5.3) podem ser veri

ficadas.

FIGURA(4.5.2)

108

Critério de Mises:

0·0cri tério de v. Mi ses pode ser enunciado como: o

escoamento começa quando a energia de distorção é igual a ener-3 4

gia de distorção no escoamento à tração simples

A energia de distorção para o estado triaxial po­, 4

de ser escrita como

1 1 2 2 2 = 2

G {6 (0,-02) + (0,-0 3 ) +(o 2 -o 3 ) } (4.5.5)

e para tração simples

1 = 6G o (4.5.6)

igualando as expressoes acima obtemos, após simplificar

1 2 2 2 0 2 = 2 {(0,-02) +(o 1-o 3 ) +(o 2-o 3 ) } (4.5.7à)

que traduz o critério de Mises para o estado triaxial de tensões.

Para o biaxial, o 3 = O:

2 2 2

O = 0,-0,02 + 02 ( 4 • 5 • 7b)

que representa a equaçao de uma elipse no plano o 1 o 2 , (vide Fi­

gura ( 4. 5. 1)) .

Levando em (4.5.7b) as equaçoes (4.5.4) obtemos

(4.5.7c)

que pode então ser aplicada.

109

Tensões Equivalentes:

Definindo a tensão básica admissível como a,a ten

sao equivalente deve ser tal que

-a ~ a eq (4.5.8)

onde ªeq pelo critério de Tresca é dada por

a = máx {a 1 ,a -a} eq 1 2

(4.5.9a)

onde

(4.5.9b)

a 1 -a 2

e pelo critério de v. Mises:

(4.5.10)

As tensões ªx' ªc e T sao dadas por

a = {(B M /W) 2 + (B M /W)2}1/2 X p z g y

a = c

perm -t- (4.5.11)

M X = T w p

110

Como se pode observar das equaçoes acima, despre­

zamos as tensões devidas a N, N e N. X y Z

Os valores de SP e Sg sao os fatores de intensifi

caçao de tensões que objetivam levar em conta a concentração de

tensões em interseções, em elementos curvos devidos a ovalização,

etc.

Opcionalmente o programa permite a inclusão das

tensões devidas a N, N e N, porém com seus valores absolutos. X y Z

4.6 - FATORES DE FLEXIBILIDADE E .DE TENSÕES

A teoria e a experiência têm demonstrado que a

análise dos tubos retos pela teoria das vigas conduz a bons re-

sultados. Como se sabe, entretanto, a análise de tubos curvos

pela teoria das vigas conduz geralmente a deformações e tensões

bem menores do que as realmente observadas. Isto devido a ova­

lização da seção transversal do tubo quando submetido a momentos

em suas extremidades, incapaz de ser prevista pela teoria das vi

gas. A observação e o estudo do fenômeno de ovalização,a qual.

fornece maior flexibilidade ao tubo, não é recente e remonta ao

início do século. Desde então um grande número de trabalhos tem

surgido sobre o assunto (um excelente histórico pode ser encon­

trado, até o ano de 1955, na referência (12)) baseados na teoria

das cascas, experimentos ou, recentemente, utilizando a técnica

dos elementos finitos.

O principal resultado fornecido pelos pesquisado­

res ê que os efeitos da ovalizaç:ão das curvas pode ser levado em

consideração na análise de sistemas de tubulações mediante a in-

111

tradução de um fator de flexibilidade definido como a razao en­

tre a flexibilidade real que possui a curva e aquela prevista p~

la teoria das vigas. Observa-se também que a ovalização atinge a

distribuição de tensões na seção do tubo de forma que a ma-

xima tensão longitudinal ocorre mais perto do eixo neutro da se­

ção transversal. A razão entre a máxima tensão longitudinal que

ocorre na curva e aquela prevista pela teoria convencional das

vigas é denominado fator intensificador de tensões.

O estudo dos fatores de flexibilidade e de ten-1 1

soes tem ocupado um vasto espaço na literatura especializada 12 26 28 35-43

e constitui-se por si um amplo campo de pesqui-

sas ainda em aberto. O objetivo desta seção é unicamente escla­

recer quais os fatores assumidos pelo programa e de como o usua­

rio pode dispor deles, ou de outros que julgar mais adequados ao

seu problema particular.

A solução básica aqui utilizada é a devida a 2 7

Kafka, que leva em conta a redução do fator de flexibilidade

pela existência da pressao interna. Kafka em seu trabalho parte

das equações constitutivas das cascas de revolução em flexão,

considerando que na direção meridional a superfície média da cas

cas é inextensível e que na direção dos paralelos somente as

forças normais causam deformações; aplicando o princípio de ener

gia potencial mínima e propondo uma solução em série de senos p~

ra os deslocamentos circunferenciais, chega aos seguintes fato­

res para momentos idênticos aplicados às extremidades do tubo,

considerando dois termos da série citada:

2 2

f = l/{l+D5 (a11 P1 + a 2 2P2

(4.6.1)

112

4p2-2pl 60p2+ B = 1 + se r > 6pl r m m

rz { 1-2zp

1 P2 ( 20z 2

B = - 24z ) } , r r m m

(4. 6. 2)

se 60p 2 + rm < 6p1

, onde as constantes nao definidas sao

z = 3p

1 + 30p 2 - {(3p

1 + 30p 2 ) 2- 120 rmp

2}

112

120p2

5 96 = 4 Dl + 7

b2 = 8 D4

D Et 3 = 12(1-v2)

Etr TI Dl

m = R2 (1-v 2 )

D2 TID = ~ m

D3 = vD -2 Rr m

113

D4 vD = Rr

m

ºs = R

2(1-v 2

)

rrEt 2

r m

Os resultados da aplicação destas fórmulas foram 2 7 2 8

comparados pelo próprio Kafka e por Rodabaugh com. resulta-

dos experimentais demonstrando serem valores seguros para tubos

usuais com .B_ > 2. 2. r

m

Os valores de f e S fornecidos referem-se a defor

maçao no plano da curva e tensões tangenciais correspondentes.e~

mo orientação geralmente seguida consideramos adicionalmente que

f = f = f e S = S = S • Quando a pressão interna é nula a p g g p

fórmula de f fornecida por Kafka devido a um termo da série ape-1 2 4 2

nas (vide ref. 27) , reduz-se ao fornecido por von Karman

Posteriormente Rodabaugh sugeriu simplificações

na teoria desenvolvida por Kafka obtendo resultados mais simples. 1 1

Os resultados comumente empregados aproximados por Rodabaugh

sao

(4.6. 3)

S = (0.90/À2/3)/{l+J. 25 Pe(rm/t)5/2(R/r )2/3} E m

onde À é o valor caracteristico do tubo dado por

tR À= 2

r m

(4.6.4)

114

Fazendo Pe = O na fórmula acima para f teremos a 4 3

solução assintótica encontrada por Clark , que, para À~l forne

ce valores muito próximos da solução de von Karman para a n-ési

ma aproximação. Enquanto quepe= O na fórmula de S fornece va-4 3

lor aproximadamente igual ao encontrado por Clark

para flexão no plano. O valor de 0.90 em lugar de 0.84 é sugeri 1 1 3 5 1 2

do pela norma ANSI.B.31 quando se usa condizen-

tes com observações experimentais sobre fadiga do aço nos ciclos 11 12 35

de operações

Os pesquisadores observaram também que flanges

colocadas nas extremidades dos tubos reduzem o .fator de flexibi­

lidade. A norma ANSI.B.31 recomenda o uso de um fator multipli­

cativo sobre f e S

cl = Àl/6

(4 .6 .5)

c2 = Àl/3

respectivamente para uma e duas flanges nas extremidades.

Se a curva é constituída por gomos a característi

ca À do tubo deve ser usada de acordo com os raios equivalentes 1 2

das equações (4.2.17a,b), ou seja

À g

À g

cotg\j, 2

te 2 -,para r

m

- tg \jJ < 1,

= l+cotg\/J 2

t e ,, para - tg \jJ > 1 . , rm rm

(4.6.6)

115

com a nomenclatura utilizada na seção(4.2). Observa-se ainda nes 1 1 1 2 3 5 3 6

ses elementos uma redução adicional no fator de fle-

xibilidade dado pela primeira equaçao (4.6.3). A referência(l2)

aconselha o uso de 1.52 em lugar de 1.65 e À= Àg 5 / 6 . Este pro­

cedimento e também recomendado pelo ANSI.B.31. Desta forma tere

mos, para curvas com gomos

5/6)/{1+6 À

g

(4.6.7)

As fórmulas de (4.6.1) a (4.6.7) sao as efetiva­

mente utilizadas pelo programa. Quaisquer outros fatores de fl~

xibilidade ou de tensões entretanto podem ser fornecidos como da

dos de entrada que terão prioridade sobre os calculados automati

mente.

4.7 - APOIOS INCLINADOS

Nas tubulações de configuração espacial às vezes

sao projetados suportes localizados que impedem o deslocamento

da tubulação naqueles pontos em direções diferentes daquelas de­

terminadas pelo sistema global XYZ. Nestes casos as equações de

equilíbrio correspondentes ao nó com direção inclinada qualquer

serão montadas não mais no sistema XYZ, porém em um sistema xyz

convenientemente escolhido pelo usuário.

116

, /

FIGURA(4.7.I)

Seja para isso a matriz R. de rotação do sistema -J

XYZ para p sistema xyz (vide a Figura (4.7.1) que define a in-

clinação do suporte, tal que os deslocamentos e esforços genera­

lizados descritos nesses dois. sistemas se relacionem por

_i,a Q. -J

_i,e - Q.

-J = R. (Qi,a

-J -J

(4.7.1)

onde o índice i refere-se a um elemento genérico conectado à ju~

ta j que possui um suporte inclinado.

escrita

A equaçao de equilíbrio (2.l.2b) pode então ser

t i,e i,e R. (Q. - Õ. > -J -J -J

Qk - Q. - -J

=

i K .. -JJ

1

i K.k -J

---------

i Kk. - J

i ~kk

t R. -J

(4.7.2a)

ou sob a forma expandida

t R. -J

i,a (Q. -J

117

i,e Q. ) = -J

i (K .. -JJ

i (Kk. - J

t R. l -J

t R. l -J

( 4 . 7. 2b)

Pré-multiplicando a primeira dessas equaçoes por

-t R., e tendo em vista que R. R.= !, obtemos -J -J -J

i,a i,e (Q. -J

-Q. -J

(Qi,a_ -k 0

i,e) -k

i notando-se que temos R K.k

-J

i t i i i = (R. K .. R. lq. + (R. K.k) gk -J -JJ -J -J -J -J

(4.7.2c)

i t i i i = (KR. R. l q. + (~kk) 9:k - J -J -J

i = (Kk. - J

_t t R.) , -J

ou seja, podemos colocar

as equações acima sob a forma matricial com uma nova matriz

ainda simétrica

-i K

-i onde K será

i K =

_i,a Q. --J

- - - -

0i,a_

-k

i R. K .. -J -JJ

i,e Q. -J

- - -

0i,e

-k

t R. -J

=

--------1

i Kk. - J

t R. -J

R. i

K .. -J -JJ

- - - - -

i -t Kk. R. - J -J

i R. K.k -J -J

i ~kk

t 1 i 1 i R. 1 R. K.k q.

-J 1 -J -J -J

- - - - - (4.7.2d)

i i ~kk gk

(4.7.3a)

118

se a junta j e inclinada; e se em vez de j, k é a junta inclina­

da:

i K .. -JJ

i K

i ~k Kk. - J

e, se ambas o sao:

i R. K .. -J -JJ

-i K = - -

-i ~k Kk. - J

i t K.k -: J ~k

- - - - - - - - -

t R. -J

- -

t R

1

~ t i

~kk ~

i R. K.k -J -J

i ~k ~kk

t

~k

onde ~é a matriz de rotação para a junta inclinada k.

O procedimento de montagem segue então

(4.7.3b)

(4.7.3c)

idêntico

ao descrito no Capítulo II, agora com ~i, e com os esforços Q~,e -J

por

_i,e Q. -J

= R. Q~,e -J -J

As cargas aplicadas ao nó inclinado, a

Q., -J

(4.7.4)

devem ser

fornecidas no próprio sistema xyz pelo usuário ao programa.

Os esforços nas extremidades dos elementos serao

dados por

R. -J

119

i + (4.7.5)

de acordo com (2.1.12) e (4.7.1) se j e k forem juntas inclina­

das.

As reaçõ.es serão fornecidas no sistema xyz median­

te a equaçao (2.1.13) devidamente modificada.

O usuário deve fornecer os três ângulos S, y e a

necessários para a formação da matriz de rotação R .• Onde Sé a -J ..

rotação a ser dada ao eixo Y, y ao eixo Z e a ao eixo X,para que

os sistemas coincidam. As rotações a serem dadas devem obedecer

esta ordem: S, y e a.

No caso de excitação sísmica, a equaçao do movi­

mento deve ser modificada semelhantemente. Para isso modifica­

mos a matriz de massa de forma idêntica à matriz de rigidez (o

que também é feito para vibrações livres). O segundo termo da

equaçao (3.2.2) deve também ser modificado. Isto é feito traba-

lhando· sobre o vetor r. Sendo r. a partição do vetor r cor­-J

respondente a junta inclinada j, teremos

r. =R. r., -J -J -J

(4.7.6)

e a análise prossegue como descrita, considerando que a acelera­

çao do sismo seja fornecida no sistema XYZ.

4.8 - APOIOS EL~STICOS

Os coeficientes de mola (rigidez) característicos

120

dos apoios elásticos sao adicionados diretamente ·na diagonal

principal da matriz de rigidez da estrutura, na direção corres­

pondente à restrição elástica. Sendo a restrição elástica apli­

cada em urna direção inclinada em relação aos eixos XYZ o usuário

pode dispor do procedimento do parágrafo anterior.

4.9 -DESLOCAMENTOS PRESCRITOS

Os deslocamentos prescritos sao introduzidos medi

ante a técnica dos "zeros e um", ou a técnica do "número grande".

A opção fica por conta do usuário. Em ambos os casos é permiti­

da a prescrição de deslocamentos não nulos. Para o caso deres­

trições a direções incrinadas deve-se observar o exposto no pa­

rágrafo 4.7.

4.10 - JUNTAS DE EXPANSAO

As juntas de expansao podem ser introduzidas na

tubulação a ser analizada. Para isto procedemos a urna condensa-3 2

çao estática a nível do elemento da direção, ou direções, li-

vre de deslocar-se. Desta forma a junta (nó) estrutural deve es

tar posicionada imediatamente ao lado da junta de expansão. O e­

lemento terá então sua direção correspondente (1 a 12) livre de

deslocar-se. Serão efetuados testes para verificação da estabi­

lidade do elemento na introdução das liberações (não devem ser li

beradas as direções 1 e 7, ou 2 e 8, ... , simultaneamente).

121

V - PROGRAMA COMPUTACIONAL

5.1 - DESCRIÇAO DO PROGRAMA

O programa foi desenvolvido em linguagem Fortran

para o Sistema B/6700 da Burroughs, existente no NCE/UFRJ. Com o

objetivo de facilitar o seu uso, bem como possíveis modificações,,

segue-se uma descrição de suas etapas básicas.

Programa Principal:

Trabalha em forma univetorial. Todas as variá-

veis indexadas encontram-se armazenadas dentro de um Único arran

jo unidimensional (vetor A). Tendo em vista o fato de não traba r

lharmos com partição por blocos , toda a matriz de rigidezacha-

se armazenada a um só tempo no vetor A, juntamente com a matriz

de massa (discreta ou consistente), autovetores, vetores e matri

zes auxiliares, etc. Embora tenha sido dado um caráter dinâmico

à armazenagem de cada vetor, ou matriz, dentro do vetor A (vide

explicações concernentes à sub-rotina RESER), a área resultante

disponível para a matriz de rigidez torna-se limitada, evidente­

mente, a um número de posições (de memória) inferior à possível

para o vetor A (65.535 posições para o B/6700), dependente das

características da tubulação a ser analisada. Com o intuito de

sanar esse problema uma opção e fornecida na qual se pode dispor

de um vetor C unicamente para a matriz de rigidez e/ou um vetor

D para a matriz de massa. Desta forma, no B/6700 o programa li­

mita-se a analisar tubulações cujas matrizes de rigidez não ul­

trapassem 65.535 posições. Tendo em vista o esquema descrito p~

ra armazenagem dos coeficientes das matrizes~ e~ isto equivale

a uma estrutura com número de nós em torno de 1100, número esse

122

dificilmente encontrável na prática.

Na Figura (5.1.1) pode ser visto um diagrama de

blocos do programa principal.

Sub-Rotinas:

RESER - Para efeito de utilização de memória o pr.2_

grama foi dividido em 5 etapas. A função de Reser é determinar

as posições que cada arranjo ocupará dentro do arranjo global A

ao início de cada etapa; verificar se há área disponível (não hi

vendo o programa para, com mensagem de erro, indicando qual deve

ser o dimensionamento do arranjo A); imprimir o número total de

posições ocupadas a cada etapa pelo arranjo A; ocupar com arran­

jos úteis as sub-áreas de A antes ocupadas por arranjos já desne

cessários.

GERAC - Gera as coordenadas dos nós a partir das

coordenadas de um nó inicialmente fornecido. A leitura é median

te o formato

JI, JF, DX, DY, DZ: Formato 2I5, 3El0.0

O primeiro cartão deve conter em JI (ou JF) o nú­

mero da junta inicial (qualquer) que se tomará como de partida.

DX, DY e DZ para o primeiro cartão serão assim as coordenadas do

nó inicial JI (ou JF). A partir do segundo cartão deve-se forne

cer JI (cujas coordenadas já devem ter sido previamente calcula­

das internamente) que será a junta sobre cujas coordenadas se in

crementará DX, DY e DZ para se obter as coordenadas de JF, Se JI

não for fornecida, o programa assume que JI será a junta JF do

Ler/Escrever Dados Gerais

CALL RESER ( 1)

CALL INFDR

CALL RESER (5)

CALL MATL

CALL EDES

CALL RESER (2)

CALL RIGID

CALL DECOC

CALL CARRE

CALL ESFOR

~o

123

(3)

CALL VIBRA

CALL MXIO

CALL INI'EG CALL FAPAM

CALL AMJRI' 1

CALL SRSS

=2

CALL NMARSD

CALL SRSS

CALL INTESD

CALL SRSS

Figura (5.1. l)

124

cartão imediatamente anterior. Teremos, portanto, a partir dos~

gundo cartão:

X (JF) = X (JJ) + DX

y (JF) = y (JJ) + DY

z (JF) = z (JJ) + DZ

INFOR - Lê e escreve dados topológicos da tubula

çao. Utiliza as sub-rotinas ROTEL e ROTJI para formação das ma­

trizes de rotação do elemento e da junta inclinada respectivame~

te.

ROTEL - Forma a matriz de rotação do elemento.

ROTJI - Forma a matriz de rotação da junta incli-

nada.

MATL - Lê, escreve e manipula os dados concernen-

tesas propriedades intrínsecas aos elementos ou ramais. Forma

os fatores de tensões e flexibilidade mediante as sub-rotinas

FLEXl, FLEX2, FTENl, FTEN2. Foi introduzido um pequeno número

de declarações visando efetuar um controle de consistência de da

dos detectando alguns erros mais comuns ao seu fornecimento.

FLEXl - Calcula o fator de flexibilidade segundo

as expressoes (4.6.3) a (4.6.7).

FTENl - Calcula o fator de tensões segundo as ex­

pressoes (4.6.3) a (4.6.7).

FLEX2 - Calcula o fator de flexibilidade segundo

a expressao (4.6.1).

125

FTEN2 - Calcula o fator de tensões pela expressao

(4.6.2).

EDES - Calcula o endereço dos elementos da diago­

nal principal das matrizes de rigidez e massa consistente a par­

tir conetividade dos elementos.

RIGID - Monta as matrizes de rigidez e massa con­

sistente e introduz as condições de contorno nessas matrizes me

diante a técnica do número grande ou a técnica dos zeros e um a­

través da sub-rotina Teczu. Se o problema for estático modifica

o vetor de cargas também. Introduz apoios elásticos, liberações

e juntas inclinadas, se houverem.

RIRET - Forma as matrizes dos elementos, de rigi­

dez e massa, de eixo reto e seção constante.

RIRER - Forma a matriz de rigidez de cada elemen­

to reto com trecho rígido.

RICUC - Forma as matrizes de rigidez e massa dos

elementos de eixo curvo circular e seção constante.

RICUQ - Forma a matriz de rigidez de cada elemen­

to curvo de eixo não circular e seção constante.

QSF - (IBM) - Utilizada para integração numérica

das expressoes decorrentes de RICUQ.

INVER - Inverte pelo método da partição as matri­

zes !kk decorrentes de RICUC, RICUQ e as matrizes X decorrentes

de RICUC.

126

TECZU - Introduz as condições de contorno nos sis

temas de equações (em~,~ e g mediante a técnica dos zeros e um,

onde K e M são matrizes armazenadas segundo o esquema de espars!

dade utilizado pelo programa).

DECOC - Decompõe a matriz K segundo o esquema da

seçao ( 2. 2. 2, 1) .

DECOMP - Idem, segundo o esquema da seçao (2.2.2.2)

CARRE - Forma o vetor de cargas combinadas nos nós

proveniente dos diversos carregamentos estáticos atuantes da es

trutura.

TEMPE - Calcula os esforços de engastamento per­

feito devidos a variações de temperatura.

ESFPR - Idem, devidos a pressao interna.

PPMR - Idem, relativos a cargas de gravidade, pa­

ra o elemento reto.

PPMC - Idem, idem, para os elementos curvos circu

lares.

PPMRTR - Idem, idem, relativos aos elementos re­

tos com trechos rígidos.

LIBER - Modifica os esforços de engastamento per­

feito para os elementos com liberações.

DESLO - Calcula, através de RESOC ou REDBAK, os

deslocamentos dos nós da estrutura. Imprime os deslocamentos.

127

RESOC - Resolve o sistema de equaçoes lineares

segundo o esquema da seção (2.2.2.1).

RE OBA K - Idem, segundo o esquema da seção ( 2. 2. 2. 2).

ESFOR - Calcula os esforços nas extremidades dos

elementos, e as reações de apoio.

SIGMA - Calcula as tensões equivalentes baseadas

nos critérios de Tresca e/ou Mises, segundo o esquema da seçao

(4.5).

VIBRA - Sub-programa para determinação das carac­

terísticas vibratórias. Mediante VEMAD monta a matriz de massas

discretas, e mediante SSPACE e auxiliares determina os autovalo­

res e autovetores.

VEMAD - Monta a matriz de massa discreta quando

for o caso.

SSPACE - Resolve o problema de autovalores e auto

vetores pelo método de iteração de sub-espaços.

JACOBI - Resolve o problema de autovalores e auto

vetores dos operadores projetados mediante o método de Jacobi g~

neralizado.

S CH E C K - Aplica a propriedade da seqüência de Sturm

para verificação de se todos os autovalores requeridos foram re­

almente encontrados.

128

MULT - Multiplica uma matriz de coeficientes arm~

zenados segundo o esquema utilizado para ~(e~) por um vetor.ut~

lizada por SSPACE para efetuar o produto ~~k-l (equação(3.l.15))

e pela sub-rotina MXIO para o produto Mr (equação (3.2.7)).

MXIO - Forma o vetor remediante MULT encontra

Mr.

FAPAM - Forma o fator de participação sísmica pa-

ra cada modo.

AMORTl - Encarregada de ler o coeficiente de amor

tecimento crítico.

SISMO - Lê o sismo digitado em iguais intervalos

de tempo 6t. Ou o determina mediante a função

K = (FAC/3.28)te-ü. 333 t E

j=l cos (W. t+iµ.)

J J

onde FAC, wj e iµj sao valores fornecidos como dados.

ESPEC - Lê os valores dos espectros dados por uma

das equaçoes (3.3.2) e calcula Sd, se for dado S. ou S , pela e-a V

quação ( 3 . 3. 4) .

NMARSD - Calcula Sd a partir do sismo digitado me

diante o método de Newrnark.

INTESD - Idem, de acordo com o primeirométodode~

crito na seçao (3.4).

129

INTEG - Calcula as coordenadas normais~. da equa l -

çao (3.2.6) de acordo com o primeiro método da seção (3.4).

NMARK - Idem, de acordo com o método de Newmark.

MABS - Auxiliar de INTEG e INTESD. Calcula A e B

da equaçao (3.4.6b).

SRSS - Calcula os deslocamentos modais máximos e

mediante ESFOR e SIGMA os esforços e tensões equivalentes corre~

pendentes. Acha o valor médio quadrático destes deslocamentos,

esforços e tensões.

Das sub-rotinas descritas é importante salientar

que: as sub-rotinas SSPACE, JACOBI, SCHECK, MULT,REDBAK e DECOMP

são adaptações das correspondentes encontradasnareferência(14);

as sub-rotinas QSF, LIBER e INVER podem ser encontradas na refe­

rência (32); e a sub-rotina SISMO é uma versão da sub-rotina DI­

SIS da referência (16) .-

5.2 - MANUAL DE ENTRADA DE DADOS

A seguir apresentamos um manual de entrada de da­

dos onde as variáveis possuem o seguinte significado:

NE - Número da estrutura (arbitrário) a ser analisado.

NGM - Número de grupo de elementos com propriedades (lidas pela

sub-rotina MATL) idênticas. Pode ser, por exemplo, um ra­

mal.

130

ITICC - índice indicador da técnica de introdução das condições

de contorno.

IVL - Indicador de que a análise é de vibrações livres,

ou não de análise sísmica.

seguida

IRSE - Indicador do método a ser utilizado para resolução do sis

tema de equações estático ou apenas a triangularização de

K se a análise for dinâmica.

IMCD - Indicador de análise com massa consistente ou discreta.

M - Número de elementos.

NJ - Número de juntas (nós).

NJR - Número de juntas com pelo menos uma direção fixa.

NAE - Número de apoios elásticos.

MR - Número de elementos retos.

MCC - Número de elementos com eixo curvo circular.

MCQ - Número de elementos com eixo curvo nao circular.

MLB - Número de elementos com liberações.

NJRI - Número de juntas inclinadas.

MRTR - Número de elementos retos com trecho rígido.

IB - Vetor auxiliar indicador de direções restringidas.

131

J - Número de urna junta genérica.

JJ(I) - Número da junta j, < k, do elemento I.

JK(I) - Número da junta k,> j, do elemento I.

ITM

!FOR - Indicadores de tipo do elemento.

NP - Número de pontos que se dividiu o elemento curvo nao circu­

lar (~ 13).

NRAD - Indicador de se os ângulos~ de cada ponto da divisão do

elemento curvo nao circular serão dados óu nao em radia­

nos (não= O).

AA - Indicador de fornecimento do ponto P que define o plano xy

do elemento.

XP, YP, ZP - Coordenadas globais do ponto P.

RAIO - Raio da curva.

W - Peso por unidade de comprimento ou massa por unidade de com­

primento, do elemento, se a análise for estática ou dinâmica,

respectivamente.

NFL - Número de flanges nas extremidades do elemento curvo(= 0,1

ou 2).

IIPR - Se> O, considera-se a tensão circunferencial devida à

pressao no cálculo de cr eq

132

IINX - Se> O, considera-se a tensio longitudinal devida a N no X

cálculo de creq

IINC - Se> O, considera-se a tensio cisalhante devido a Ny e Nz

no cálculo de creq

NROOT - Número de autovalores requeridos na análise.

NC - Mínimo {2NROOT, NROOT+8}

-6 RTOL - Tolerância de convergência em SSPACE(geralmente 10 ) .

NITEM - Número máximo tomado de iterações em SSPACE

~ 16) •

(geralmente

IFSS - Se> O, sera efetuada a verificaçio pela propriedade da

seqüência de Sturm.

IFPR - Se> O, serao impressos resultados parciais a cada itera

çio de sub-espaços.

IMJ - Número de juntas com massas concentradas adicionais.

ICPP - índice de cálculo automático do peso próprio.

ICTEN - Calcula tensões (creq) se maior que zero.

ICPR - Consideraçio dos esforços de engastamento devidos à pres­

sio conforme seçio (4.4.3).

NCA - Número do carregamento (identificador sem funçio interna).

NJC - Número de juntas com.cargas diretamente aplicadas.

133

MRC - Número de elementos retos carregados.

MCCC - Número de elementos curvos circulares carregados.

MRTRC - Número de elementos retos com trecho rígido carregados.

LDE - Número de elementos com esforços de engastamento a

fornecidos.

serem

NJRNN - Número de deslocamentos estáticos prescritos (ITICC=O).

MTEMP - Número de elementos com variação de temperatura.

ISIS - Indice de análise sísmica; se igual a 1 será empregado o

método de Newmark, se igual a 2 será empregado o outro mé

todo (integração explicita).

IESP - Indice do tipo de análise sísmica; se igual a zero: tran

siente; se igual a 1: espectral com sismo fornecido; se

igual a 2: espectral com espectro fornecido.

ITESP - Indicador do tipo de espectro fornecido.

KFRES - Número de freqüências e ângulos de fase do sismo simula­

do.

NINSI - Número de intervalo em que foi digitado o sismo.

DELSI - Intervalo de tempo constante utilizado para digitar o si~

mo.

o,a - Constantes do método de Newmark.

134

ICITE - = O ou 1: imprime resultados a cada 1 6t

= n: imprime resultados a cada n 6t (n inteiro).

ILC - ~ O: coordenadas das juntas fornecidas diretamente.

> O: fornecidos os incrementos de coordenadas. Vide expli­

cações sobre a sub-rotina GERAC.

N9 de Cartões Variáveis Formatos P. Comentários

1 NE, NGM, ITICC, IVL, 6I5 NE > o + Continue IRSE, IMCD NE ~ o + Pare

= o Téc. No. Grande ITICC - 1 Téc. Zeros e Um

...:i -

si: = 2 Téc. Zeros e Um* p., H * com deslocamentos estáticos prescritos e u z nao nulos, válidos apenas para o primei-H' o:: ro carregamento. p.,

IVL " o + Análise Estática ~ IVL > o + Análise Dinâmica ~ IRSE = o + Resoluçªo por GAUSS C.9 o IRSE > o + Resoluçao por Cholesky o:: p., IMCD = o + Massa Discreta

IMDC > o + Massa Consistente

2 Comentários - 55 Colunas por cartão

1 M, NJ, NJR, NAE, MR, 11I5 MCC, MCQ, MLB, NJRI, MRTR, ILC

NJ J, X, Y, z I5, 3Fl0.0 Se ILC" o Vide comentários NJ JI, JF, DX, DY, DZ 2I5, 3El0.0 Se ILC > o sobre GERAC

NJR J, IB(I) 7I5 IB(I) = 1 + direçao restringida IB(I) = o + direção livre

NJRI J,BETA,GAMA,ALFA I5, 3Fl0.2 N9 da junta inclinada e os seus 3~s de ro-tação (em radianos) .

NAE J, KX, KY, KZ, RKX, RKY, RKZ

M I, JJ(I), JK ( I) , ITM (I) IFOR(I),NP(I),NRAD(I), AA (I) ,XP (I), YP (I), ZP (I) RAIO (I) .

MCQ I , ( YM ( K) , K= 1, NP ( I) ) , (FI(K) ,K=l,NP(I)).

MRTR I ,Ll, L2, WP

IS, 6Fl0.0

BIS, 4Fl0.2

Il0,7Fl0.0,/, 8Fl0.0,/,3Fl0. o.

IS, 3Fl0.4

~ o li, z H

~ o li, z H

N9 da junta com apoio elástico, e os coefici-entes de mola nas seis direções da junta.

I = número do elemento JJ (I) < JK ( I) .

= -1 Reto com trecho rigido

ITM(I) = o Reto simples = 1 Curvo = 2 Com gomos

IFOR(I) = o Curvo circular IFOR(I) = 1 Curvo qualquer NP(I) ,;; 13 AA (I) = o : o pt9 p que define o plano xy do

elemento nao será fornecido. AA (I) = 1 : será fornecido RAIO(I) + raio da curva para elementos cur -

vos circulares.

YM é a ordenada no sistema xyz local de cada um dos NP pontos em que se dividiu o elemen-to. FI é o correspondente ângulo <j,,<± 1T /2.

FI deve ser dao em radianos se NRAD (I) ,. 0,e em graus se NRAD(I) = o.

I = n9 do elemento reto com trecho rigido. Ll e L2 (vide figura 4.2.2) WP = peso por unidade de comprimento do tre-cho rigido menos o peso por unidade de com-

primento do tubo.

MLB I, (LB(I,k}f=l,12) 13!5 I = n9 do elemento com liberações K = 1 ' ... , 12 + direções das liberações

1 NEG I5 Se NGM=l + fornecer NEG=O, dispensando assim de fornecer os elementos em seguida, que no caso seriam todos.

NEG (ELG(I),I=l,NEG) 16I5 ELG(I) sao os elementos do grupo.Se NGM=l e 16 NEG=O nao se necessita desses dados.

- 1 E,v·,D ,t,A , I p'Pe, w 8El0.0 · (nomenclatura do texto) .se qualquer destas ri e X variáveis, for a mesma para o ( s) grupo(s) ;,,.\ - seguintes(s) nao há necessidade de repeti-la :s ( s) . Havendo modificação em qualquer delas 0 z para o grupo seguinte, é suficiente, porém

e:i nao necessário, fornecê-la(s) isoladamente. E-<

~ .Ou se fornece D e t, ou A e I p' opcional-e X mente .

1 f f sP, f e, \jJ , 8El0.0 . (Válido somente para os membros curvos do p' g' c'

grupo; com exceção de f ) . · nf9. <O+ despreza def.cp/cortante

f = o + calcula internamente c > o + assume valor fornecido

= .Q: FLEXl,FTENl f p'fg,Sp sg > 1: Assume vals. fornecidos

> 100: FLEX2, FTEN2.

1 NFTE I5 Número de fatores de tensões especiais NFTE J, Sp,Sg I5, 2El0.0 (para intersecções)

ANÃLISE ESTÃTICA (IVL=O) N 1 NJRNl IS 'Deslocamentos estáticos prescritos válidos a-li NJRNl J, DX, DY,DZ,RX,RY,RZ IS, 6Fl0.0 Q primeiro carregamento. u H penas para o u i:., Fornecidos apenas se ITICC=2. H H E-4 ~ H

(os dados que se seguem podem ser repeitidos quantas vezes forem os casos de carregamento)

1 NCA,NJC,MRC,MCCC,MRTRC, 12I5 + MCQC = o MCQC,LDE,NJRNN,MTEMP, + ICPP = 1: só dos retos ICPP,ICTEN,ICPR + ICPP -- 10: retos e curvos

b NJRNN J, DX,DY,DZ,RX,RY,RZ Deslocamentos estáticos prescritos válidos p~ li u ra o carregamento em questão(Se ITICC=O) u H E-4 H

(l) C/l

NJC J, (Qct{I) ,I=l,6) I5,6Fl0.l Esforços aplicados diretamente aos nós - - - .

LDE e J=l,12) I5,6Fl0.0,/, Esforços de engastamento perfeito lidos I,(p {J), como

6Fl0.0 dados

MRC I, wx, WY, wz I5,3El0.0 Cargas por unidade de comprimento no sistema [!;] local do elemento. D-< -,:

MCCC I, wx, WY, wz IS, 3El0.0 u Idem

MRTRC I, wx, WY, WZ,WPX,WPY, IS, 6El0.0 Cargas por unidade de comprimento sobre todo WPZ o elemento, e apenas sobre o trecho rígido,

respectivamente.

MTEMP I, a,T0

,T1 ,T2 ,T3 I5,El0.3,4F.10. o

1 1 ICR,IIPR,IINX,IINC 4IS ~ < 1 critério de Tresca o . A z (é) ICR = 2 critério de Mises

H r,:i Ul = 3 ambos E,

u H

Q) i Ul

ANÂLISE DINÂMICA (IVL > O)

1 NROOT,RTOL,NC,NITEM, IS, ElO.O, SIS .

11,

IFSS, IFPR, IMJ .

11,

IMJ J,MX,MY,MZ,MRX,MRY,MRZ IS, 6El0.0 ~ Massas concentradas nas juntas. P'.l H >-,

1 ISIS,IESP,ITESP,KFRES SIS,2Fl0.0,IS . 11,

NINSI,DELSI,FAC,ICITE .

11,

1 K IS Direção do sismo

o = 1 direção X H K = 2 direção y ~ :;: = 3 direção z

..... 1 i; FS.0 E, Coeficiente de amortecimento critico p:;

o ~

NINSI+l a ( t) 8Fl0.4 Sismo digitado se KFRES=O 8 s

o Fornecido se: IESP=O ou 1. :;: Ul

2xKFRES W • I l/Jj 8Fl0.4 H Freqüências e ângulos de fase do sismo simula-8 J Ul

do, se KFRES -/- o Fornecido se: IESP=O ou 1.

NROOT Sd(ou s ou s ) BElO.O. Fornecido se IESP=2 8 V a u Se ITESP=l: Fornecer sd li'!

to.. (/) Se ITESP=2: Fornecer s li'I V

Se ITESP=3: Fornecer s a

1 cS , Cl , FE 3Fl0.0 (/) FE=Fator de escala do sismo (/)

cS e Cl devem ser fornecidos ~ (/) Se ISIS=l (Newmark) "--e,

1 INCD,INCE,INCT 3I5 (/) INCD > o: cálculo de deslocamentos -~ INCE > o: cálculo de esforços ~

~ INCT > O: cálculo de tensões z "-

1 ICR,IIPR,IINX,IINC 4I5 - Fornecido se INCT > o e, (/) IIPR=O -e., li'! E-< z H

141

VI - APLICAÇllES

6. 1 - EXEMPLO 1

Na Figura (6.1.1) temos o esquema de uma tubula­

çao tridimensional em perspectiva isométrica, sem escalas. As di

mensões indicadas são as nominais. Os trechos de e hj possuem

flanges, e as extremidades~ e i estão rigidamente ancoradas. E~

ta configuração foi analisada experimentalmente (escala 1:1) pe-

los autores da referência ( 38) , submetendo~a a deslocamentos u, X

uy e u2

na extremidade i, com o objetivo de simular uma variação

de temperatura de 60°F a 600°F.

Na Tabela (6.1.1) encontram-se os valores das rea

çoes medidas e das calculadas, na extremidade i pela ref. (38)

bem como as fornecidas pelo programa considerando a rigidez das

flanges infinita (TR), e sem consideração das flanges.

Todos os resultados da Tabela (6.1.1) são basea­

dos nas dimensões nominais em virtude de os autores citados nao

fornecerem as dimensões reais. Indicam, entretanto, que o pro­

vável erro inerente ao experimento situa-se em torno de ±3%. Os

resultados fornecidos pelo programa quando se considera as flan­

ges são tais que o maior desvio não excede 6%.

b

a

Experirrental (Ref.: 38)

u=+ u=-- -N +1186 -1132

X

N y +375 -375

N +793 -833 z

M +48590 ~49390 X

M -27590 f+-27080 y

Mz -62790 f+-64220

142

19"R

• h'2.l

' ~' '' ,'~ l "'-Jly,Ny

'' >1y , , ', , Âz,N, , '

, 1 6

X

E:30/x/Opsi

,z

,

, ' J,.,

FIGURA (6.1.1)

,

1

)

5 " de=Ge

t : 1 /4.,

v=0.30

JJ..x: ! 0.4BO''

Jty: !0,336"

JJ.,z = ! 0.528"

Reações calculadas (dim2nsões nominais) a partir de

Referência 38 Programa (TR) Programa

ValorAbs. % E=o ValorAbs %E= Valor Abs. % E=o

1229 +3.63 1190 + 0.34 1155 ,-2.61 -8.57 + 5.12 !t-2.03

U.uu - 2.93 -3.20 375 0.00 364 - 2.93 363

-3.20

821 +3.53 -0.25 -3. 4U 791 766 -1.44 -5.04 -8.04

51590 +6.17 49650 +2.18 47818 -1.59 +4.45 +0.53 -3.18

28342 +2.76 27798 +0.79 26845 -2.66 +4.59 + 2.65 -0.87

68565 +9.20 66550 +5.99 63748 ".l. :,.>

+6.77 + 3.63 +0.73

Tabela (6.1.1)

143

6.2 - EXEMPLO 2

Com o objetivo de verificar a diferença de resul­

tados quando se utiliza os conceitos de massa discreta e consis­

tente foi analisada a tubulação da Figura (6.2.1), composta es­

sencialmente de elementos curvos.

As 5 primeiras freqüências (em rad/S) de vibrações

no plano e as 5 primeiras fora do plano obtidas com os dois mode

los e em duas diferentes discretizações (Figura (6.2.2a e b)) en

contram-se na Tabela (6.2.1).

As respostas ao sismo simulado da Figura (6.2.3),

normalizado para 0.15 g, aplicado na direção Z, encontra-se na

Figura (6.2.4) (momento M no nó B), onde se pode observar X

que

uma diferença perceptível entre as respostas utilizandomassadis

ereta e consistente somente acontece após 2.4 segundos. Para a

obtenção dessas respostas utilizou-se a discretização da Figura

(6.2.2a), com os 5 primeiros modos de vibração fora do plano, e

com ~=O para todos os modos. As respostas para a mesma excita­

çao nas direções X e Y ocasionaram diferenças ainda menos perceE

tíveis.

A discrepância entre as respostas fornecidas pe­

los dois conceitos de massa torna-se maior à medida em que a i­

nércia à rotação assume papel mais relevante.Na Tabela (6.2.2)t~

mos as 5 primeiras freqüências planas para uma tubulação de mes­

ma configuração porém com razão r /R maior. As respostas para o m

mesmo sismo aplicado agora na direção X encontram-se na Figura

(6.2.5), onde podemos observar uma diferença já a partir de 0.5

segundos.

Também foi analisada a resposta da presente confi

144

guraçao com características dadas pela Tabela (6.2.1), ainda com

a mesma excitação, agora aplicada na direção X, utilizando os 5

primeiros modos com 10 e 33 nós, com massa consistente. O ganho

de precisão ao se utilizar 33 nós não excedeu 1% nos picos.

B

10 NÓS 33 NÔS

y

J--. L A A

z FIGURA (6.2.1) FIGURA(6.2.2a) FIGU RA(6.2.2b)

-- - -

~- l o Nos 33 Nôs DADOS: Discreta Consist. Discreta Consist. E=29.10 6 psi

o 1 33.7951 33.8185 33.8275 33.8141 v=0.30 e 2 86.3643 86.9484 87.0742 86.8753 t=0.75" l1l ri 3 113.2973 112.3103 112.2886 112.0812 d =31.0" o. e o 4 200.9988 209.0073 208.7859 207.5359 d /R=0.1396 z 5 298.9571 332.9148 330.5971 326.8472 e 2 p 9- =8 . 71 9-b f. s

1 1 7. 189 3 17.0909 - - f=2.267 ft.ft o e 2 47.1153 47.3437 - - f =O

l1l l1l c H ri 3 97.3442 97.3042 - -o o.

157.2398 153.1094 r /Roc0.07 r,.; 4 - -o m 'O 5 227 . .5566 242.0995 - -

Tabela (6.2.l)

~- lo Nôs DADOS: Discreta Consist. E=29 X 10 4 psi

o 1 3. 69 31 3.6215 v=O. 30 e 2 10.2461 9.7464 t=2.40" f =O l1l c ri 3 15.4971 14.7923 d =166.50" f=20.849 o. e o 4 20.5112 18.8383 d /R=0.75 z 5 29.6818 27.0691 p:=500 9-bf/ft/ft/s 2 r_/Roc0.37

-Tabela (6.2.2)

• 1.

-1.

FIGURA ( 6.2.3)

M11 ( lbf.pol), no nô B

100.11 103

• 100. 11103

CONSISTENTE

DISCRETA

FIGURA(6.2.4)

\, ' ... \

. .1 \ ;

!

f !

; \ •

!

.... ... "'

Mz ( lbf.poll,no nd B

CONSISTENTE

......... o,scRETA

100.1.103

o

-100.1.103

l

2

' ' '

Fi G U R A (6.2.5)

1(11)

• 1-'

"' -.J

148

6.3 - EXEMPLO 3

Na Figura ( 6. 3 .1) temos uma tubulação espacial com

alguns carregamentos típicos. Todos os dados encontram-se naqu~

la Figura.

Na Tabela (6.3.1) temos os esforços máximos, a ní

vel de elemento, devidos a cada carregamento aplicado isoladame~

te, os quais acham-se identificados na Tabela (6.3.2). Nesta úl

tima são indicados também os tempos de processamento, para cada

carregamento analisado isoladamente, utilizando o método de Gauss

e o de Cholesky. Na última coluna encontra-se os tempo de pro­

cessamento para o caso de múltiplos carregamentos. Nestes exem­

plos as sub-rotinas encontravam-se gravadas, já compiladas, e o

programa principal lido com a massa de dados.

Podemos observar na Tabela (6.3.2) que o

de Cholesky resultou mais eficiente que o de Gauss. Isto

método

pode

ser justificado pela observação dos dois esquemas apresentados na

seção (2.2.2). A etapa Decomposição requer menor tempo de pro­

cessamento em Cholesky do que em Gauss, (apesar de para o prime~

ro serem necessárias extrações de n raízes quadradas) devido aos

triplos produtos (em Cholesky, duplos) das equações (2.2.9). O

que sugere que essa etapa será tão mais eficiente para Cholesky

quanto maior for a "largura de banda média" da matriz de coefici

entes. Em contrapartida as etapas de Redução e Retrosubstitui­

ção requerem um número menor de operações para Gauss do que para

Cholesky (compare-se as equações (2.2.6) e (2.2.7) com (2.2.10)

e (2.2.11)). Isto sugere que a medida que aumenta o número de ca

sos de carregamento a eficiência de Gauss relativa a Cholesky au

menta. Tendo em vista estas observações, o método de Cholesky

y

z ~'

2 3

~9 9' ' '-" ººº1:- 10 ~r,.\1 9"R

~ oºt ~º oi

1º 6

0.17" 13

~o.os" (;14 o.r.f rs ... ; ...

TEMPERATURA AMBIENTE:70ºF

Fy= 5001b

Mz = 116.67 lb.ft

W das vdlvulos: 250 lb/ft

-"' .... "'

149

E

•V

,, t

" w 1',

. ENTRE 1 E 19 6

29. X I Q pg i

0.30

6.6 25"

0.280"

7.831 -· , 10 .,.-1

31.50 lb/ft

. 50 ·PSI

30

FIGURA (6.3.1)

ENTRE 19 E 31 5

32.7x!Opsi

O. 31

8.62 5"

o 322"

7.174 • 1Õ6

ºF-I

50.301b/ft

50 psi

24 -.>,51

~,~

'>· 25

! o.os':), 0.12"' o .07-;, 'j

0.12"

150

torna-se recomendável para problemas estáticos (temos processado

até 8 casos de carregamento com superioridade ainda de Cholesky).

Enquanto que em problemas dinâmicos (equação(3.l.15)) o de Gauss

torna-se recomendável, e tanto mais quanto maior for o numero

de autovalores requeridos na análise e o número de iterações de

sub-espaços necessirias;

e. EL/NÕ N N N M M M 0 eq (Tresca) X y z X y z

1. 1/1 203.8 2475.8 -122.3 -549.4 -67.8 15218.8· 3097529.

2. 23/27 o.o 500.0 o.o o.o o.o -6399.0 657832.

3. 10/19 -333.2 956.0 970.6 -4036.2 8357.0 -10388.7 2833426.

4. 28/27 1.0 -0.4 -0.4 -3.7 7.3 -3.8 92380.

5. 31/31 -5.9 -181. 4 -177.9 -1.2 -1896.4 1044.5 222566.

Tabela (6.3.l)

Tempo

Carregamentos: Gauss Cholesky

l=Peso próprio 35 31

2=F e M 35 32 y z

3=Temperatura 34 30

4=Pressão Interna 33 30

5=Deslocamentos de Suportes 32 31

Simultaneamente 51 seg 47 seg

Tabela (6.3.2)

151

6.4 - EXEMPLO 4

Com o objetivo de comparar o ganho de eficiência

ao incluir-se mais modos de vibração em uma análise sismica,a t~

bulação da Figura (6.4.1) foi analisada com 8 e 15 modos, e com

massas discretas. Foram utilizados 88 elementos e a excitação

da Figura (6.2.3), normalizada para 0.15g, foi aplicada na dire­

ção X. Tomamos ~=0,02 para todos os modos.

As freqüências estão na Tabela (6.4.1). Na Fig~

ra (6.4.2) temos os deslocamentos dinâmicos do nó 51. Nas Figu­

ras (6.4.3), (6.4.4) e (6.4.5) temos os máximos momentos, ocor­

ridos no nó 89. Na Figura (6.4.6) as correspondentes tensões e­

quivalentes naquele nó.

Nas análises com 8 e 15 modos nao foram observa­

das mudanças significativas que pudessem ser perceptíveis nos gri

ficas traçados. Os tempos de execução foram de 11.06 e 19.67 mi

nutos, respectivamente. Sendo que deste último cerca de 18 minu

tos foram consumidos com a análise de vibrações livres.

n w n w n w n n n

1 2.6189 6 16.1971 11 33.8615

2 5.1954 7 20.2464 12 45.6393

3 6.6279 8 24.4314 13 48.4704

4 9.4847 9 28.122Ó 14 51.1389

5 12.5577 10 31. 8719 15 71.8972 ~

Tabela (6.4.l)

o

RESTRIÇÕES:

1,23,BS-TOTAIS

12-U-z=o

33-Jl,=o

y

J--. z

14'

Uic(ftl no no' 51

-2 l.x.10

-2 -1. a!O

33. 75'

152

{

'

n.Y e/ Z./i ... ~.R--

••• L

~ N

N

"'

15° g' ; 7

4-; '•' I

21'

l.5'R~· .

89

<i = 7. 800 psi

E =22.70 JC 106

psi

1o23.....,.de = 10.50"

f = 1.432u

R = 4. 321b/1t. s2; tt

12a 89-de = 13.625"

t = t.6875"

P,: = 6.68 lb""/f'f.s7tt

~ 'O .02

F I G U R A ( 6. 4.1)

F I G U R A ( 6.4. 2)

t (sl

3

My(lbf.ft),no nó 89 (REAÇÃO)

• 3 -10.110

M1(lbf.ft),no nó 89 (REAÇÃO)

153

FIGURA (6.4.3)

FIGURA ( 6;4.4)

Mt { lllf.ft),no nó 89

10 ... 103

-IO.xlc3

Úeq{lbf/ft 2 ),no nó 89

{TR E SCA)

IÔO.r.103

154

FIG U R A ( 6. 4. 5)

1 --=:::::==:::::::::::::::=:::::~-+-------------+---------------+~t~(~,J o~ 3

FIGURA(6.4.6)

155

6.5 - EXEMPLO 5

Este exemplo ilustra a aplicação do conceito de es­

pectro de resposta. Na Figura (6.5.1) temos o modelo matemático

de um circuito primário de um reator nuclear tipo PWR. Nas Tabe

las (6.5.1), (6.5.2) e (6.5.3) temos os demais dados do modelo.

As freqüências circulares encontram-se na Tabela

(6.5.4). Foi postulada uma excitação na direção X tal que prod~

za, para aquelas freqüências, valores do espectro de velocidade

dados também por aquela Tabela.

Nas Tabelas (6.5.5) e (6.5.6) ternos as respostas de

alguns pontos nodais. As unidades utilizadas foram tonelada-for

ça, metro e segundo.

COORDENADAS (metros)

NÓ X y z NÓ X y z

1 -2.1637 0.0000 1. 2492 19 -9.5930 1.1529 -1. 5395

2 -3.9275 º·ºººº 2.2675 20 -9.9997 2.3876 -1. 5395

3 -5.6104 º·ºººº 3.2390 21 -9.9997 4.2418 -1.5395

4 -6.8876 º·ºººº 3.9764 22 -9.9997 6.0960 -1. 5395

5 -9.1554 5.1816 4.4427 23 -9.9997 7.4676 -1. 5395

6 -9.1554 3.9116 4.4427 24 -9.9997 12.5476 -1. 5395

7 -9.1554 1. 5240 4.4427 25 -9.9997 14.8227 -1. 5395

8 -9.1554 º·ºººº 4.4427 26 -11.0157 15.8387 -1. 5395

9 -9.1554 -2.4130 4.4427 27 -12.5839 15.8387 -1. 5395

10 -9.5044 -2.4130 3. 195 3 28 -13.5999 14.8227 -1. 5395

11 -8.0515 -2.4130 1.1240 29 -13.5999 11. 2358 -1. 5395

12 -10.4325 -0.3421 -0.1234 30 -13.5999 7.6490 -1.5395

13 -10.1809 1. 2450 -0.9467 31 -13.5999 6.6330 -2.5555

14 -2.1637 0.0000 -1. 2491 32 -13.5999 6.6330 -4.4891

15 -2.3833 º·ºººº -1. 3759 33 -13.5999 6.6330 -6.5242

16 -4.9207 º·ºººº -1. 5395 34 -14.9993 6.6330 -7. 7879

17 -7. 0670 º·ºººº -1. 5395 35 -16.9749 6.6330 -7.7879

18 -9.2133 º·ºººº -1. 5395 - - - -

Tabela (6.5.l)

'

1

i 1

•21

12

g_§

27

V

28

~

29

GERADOR

DE VAPOR

156

26

2 '-·r;;:, 1 'PII 22 '22 =-:::

21

21

20

._.::RIGIDO

18

F I GUR A(6.5.I)

16

,10

C::: ~ REATOR :t:

'BOMBA

•:-'-y~ ,4 1

,• +o.36BJ+

1 1

157

PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS (TONELADA-FORÇA, METRO)

E \! d. e t PQ, ( t/m)

1 a 4 23.10 6 0.31 0.818 0.061 0.80 elemento 9: R=2m

5 23. 10b 0.31 1 . DOO 0.060 0.80

6 23.lOb O. 31 0.700 0.060 O. 80 elem.25,27 e 30:R=lm

7 e 8 23.lOb 0.31 0.900 0.060 O. 80

9 a 1 2 23.lOb 0.31 0.862 0.0635 O. 80 restrições:

1 3 23.lOb 0.31 0.972 O. 11 0.80 no 1 : total

l 4 a 1 8 23. 10b O. 31 0.852 0.061 0.80 no 1 4: to ta 1

1 9 23. 1 oº 0.31 0.962 O. 11 O. 80 no 3 5: to ta 1

20 e 21 23. lOb O. 31 2.000 O . 11 O. 80 no 23: Direção X

22 e 23 23. 10b O. 31 3.000 O. 11 O. 80

24 a 31 23. 10 6 0.31 0.60 0.025 0.80

Tabela (6.5.2)

158

APOIOS EL~STICOS (ton.força/m)

NÕ TRANSL.X TRANSL.Y TRANSL.Z ROTAÇ.X ROTAÇ.Y ROTAÇ.Z -

. 3 o. 20.10 3 o . o. o. o.

8 10.10 5 10.10 5 10.10 5 10.10 4 10.104 10.10 4

l 5 o. 20. 10 3 o. o. o. o .

20 10.106 10.10 6 10.106 10.10 5 l O. 1 o5 10.10 5

29 20. 10 3 o . o. o. o. o.

Tabela (6.5.3)

n wn (rad/s) s ( wn , i; n ) V

l 10.3072 1 . 1 O m/s

2 12.6679 1. 50 m/s

3 18.1230 1. 50 m/s

4 30.0595 1. 40 m/s

5 38.5160 0.90 m/s

6 41.4914 0.80 m/s

7 44.6247 0.60 m/s

8 51.9886 0.40 m/s

Tabela (6.5.4)

159

MAXIMOS PROVAVEIS DESLOCAMENTOS (RQSQ) DE ALGUNS PONTOS NODAIS

NÕ l 2 3 4 5 6

31 . 664. l O -1 .886.10 -2 .280.10 -1 .281.10 -2 .122.10 -1 .116.10 -1

24 .117.10 -2 . 235. 1 O -4 .957.10 -2 . 103. l O -2 .121.10 -3 .291.10 -3

18 .757.10 -4 . 345. l O -4 .139.10 -2 . 560. l O -3 .165.10 -3 . l 76. l O -4

10 .731.10 -3 . 724. l O -4 . 785.10 -3 .113.10 -3 . 728.10 -4 . 299. 1 O -3

5 .362.10 -2 .156.10 -4 .271.10 -2 .620.10 -2 .199.10 -4 . 886. l O -3

Tabela (6.5.5)

MAXIMOS PROVAVEIS ESFORÇOS(RQSQ)EM ALGUNS ELEMENTOS

EL/NO N N Nz M M M ªeq{Tresca) X y X y z

25/26 118.05_ 44. 83 l 4. O l 16.53 29.97 71 . 5 2 24989.42

23/24 38.02 148.20 58.99 44.43 32.58 327.59 477.21

19/19 10.09 29.50 l. 72 10.06 23.00 34.41 754.35

9/10 23.00 2.44 14.48 l. 99 26.46 6.54 965.06

5/5 0.01 4.67 2.35 O. O l 0.46 O. 91 26. 01

Tabela (6.5.6)

160

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Além dos comentários inseridos no texto dos capi­

tulas precedentes, julgamos conveniente acrescentar algumas ob­

servaçoes, e várias sugestões para passiveis melhoramentos e ex­

tensão deste trabalho.

O programa desenvolvido permite a análise de sis­

temas de tubulações encontráveis na prática, de uma maneira efi­

ciente. A maioria dos tipos de solicitações exigidas por normas

podem ser convenientemente simuladas. Conforme dito anteriormen

te, outros carregamentos podem ser incluidos na análise desde que

se disponha dos esforços de engastamento perfeito, ou mesmo sub­

rotinas apropriadas podem ser facilmente inseridas no programa,

dada a sua flexibilidade.

Os elementos desenvolvidos e implementados pare­

cem-nos suficientes para se proceder a uma análise do tipo li­

near, conforme ficou demonstrado nos exemplos de aplicação. No

desenvolvimento das matrizes de massa dos elementos seria inte­

ressante incluir os efeitos da deformação por cortante; e desen­

volver uma também para o elemento reto com trecho rigido.

Uma formulação diferente da utilizada para a ma­

triz de rigidez do elemento curvo circular para a análise dinâ­

mica poderia ter sido empregada, com ganho de eficiência compu­

tacional. Reportando-nos à seção (4.3.2), essa formulação con­

siste em, inicialmente, levar (4.3.15) às (4.3.10) a (4.3.13) e

escrever os esforços no interior do elemento como:

f = J CI.

161

e os esforços nodais serao dados por:

a= Ya

que, com o auxilio de (4.3.17), pode ser escrita como:

A vantagem de montar a matriz de rigidez como acima e que,na anã

lise dinâmica, não_precisariamos inverter 5kk também. Lembrando

que 5kk é de ordem 6 e X de ordem 12, na análise estática isto

nao seria vantajoso. Deve ser observado que k certamente sera a

mesma em uma e outra formulações.

Na integração das equações do movimento pelas ex­

pressoes (3.4.6) na obtenção da resposta transiente, ao fazermos

o intervalo de integração constante, as matrizes~ e B daquelas

expressões precisam ser calculadas apenas uma vez, o que leva o

tempo de processamento muito próximo ao do método de Newmark, ou

menor quando T /10 é inferior ao intervalo de digitação do sis-p

mo. Entretanto, seria útil generalizar-se o procedimento para

aceitação de transientes digitados em intervalos desiguais,o que

pode ser feito com relativa facilidade. O problema de tempo mais

grave, porém, continua sendo o tempo necessário à resolução do

problema de autovalores, apesar da eficiência do método de itera

çao de sub-espaços relativa a outros métodos; essa é, entretanto

uma circunstância atual da análise dinâmica de sistemas com gra~

de número·. de equações.

162

pla de suportes. Isto nao é grave, porém, já que os vasos aos

quais estão ancoradas as tubulações podem ser idealizados como vi

gas e considerados na análise, como no exemplo 5, com efeitos lo

cais - nos vasos - desprezados.

Criticas, embora poucas, têm sido proferidas na

literatura, sobre o desprezo das tensões produzidas pelos esfor­

ços normais e cortantes. Seria interessante que fosse incluida

ao programa uma rotina para o cálculo das tensões equivalentes

levando em conta as tensões causadas por aqueles esforços.

Pudemos notar, em recentes trabalhos, o interesse

na obtenção de fatores de flexibilidade e de tensões mais efici-3 6 4 1

entes , sobretudo para aplicação em projetos de tubulações

de usinas nucleares, do que aqueles atualmente utilizados pelos

projetistas. Isto devido ao fato de que um pequeno erro na esti

mativa desses fatores leva a erros grosseiros no cômputo das ten

sões; e tanto maior esse erro quanto mais responsável.. forem as

curvas pela flexibilidade do sistema. Seria portanto útil serem

realizados estudos .teóricos e experimentais mais profundos so­

bre aqueles fatores; a técnica dos elementos finitos parece ser 3 6

um bom caminho

Finalmente, na análise de tubulações, sobretudo

nas de usinas nucleares, outros problemas surgem além dos aqui

tratados, os quais merecem atenção, e pesquisas posteriores pelo

menos em termos de assimilação e divulgação. São eles:o estudo

dos transientes termo-hidráulicos e de pressão; estabilidade;co~

siderações de não-linearidades geométrica e fisica, incluindo

plasticidade; o estudo do chicoteamento ("Pipe Whip"); a influ-'­

ência da velocidade do fluxo (de grande importância em linhas de

163

tubulações marítimas); entre outros. Os eiementos aqui desenvol

vidas podem ser utilizados no desenvolvimento de trabalhos naqu~

las áreas.

164

APtNDICE - LISTAGEM DO PROGRAMA

FILE FILE FILE FILE FILE FILE FILE FILE FILE e e

165

,•IMPR~SS,UNIT=PRINTãR 3•LEIJORA,UNIT=READER 11=ARQ/YM/FI,U~IT=DISK•,cK,AREA=1000,RECORD=2& 12•ARQ/SMR,UNIT=DISKPA:~,AREA=lOOO,RECORD=l44 13=ARQ/SM,UNIT=DISKPAC~,AREA=lJOO,RECDRD=l44 14=ARQ/PMRTR,UNITa0ISK•A:K,AREA•lOOO,RECORDF3 1S•ARQ/S,UNIT=DISKPACK,,REA=l,~ECORD=65535 l&=ARQ/RJI,UNIT=DISKPA:~,AREA=lOOO,RECOR0=9 17=ARQ/FTESP,UMIT=DISK>,:K,AREl=lOOO,RECDRD=2 "ROGRAMA PRINCIPAL

INTEGER BC 1} REAL CC15000) REAL D(lSOOOl :oMMON ,e 15000 l : O MM O N /! N F l/ NE , N G M , IT I: : , IV L, N J R, NA E , M R, MC C, M C Q, M L 9, N J RI , M R T R, /\J P M,

*'TP,LF,1/0 :oMMON/tNF2/M :oMMON/!~F3/NJ : O MM O N / IN F 4 / I L C :DMMDN/VL/NROOT,RTOL,NifEM,IFss,IFPR,IMJ :oMMON/SIS/N'O,NINSI,O~LSI,FAC,CSI•ISIS,IESP,KF~ES :OMMON/SIG/ICR, I IPR, I I,x. IINC, IF !T :oMMON/CAR/NCA,ICTEN :OMMON/q[S/Nl,~2,N3,N4,~5,N&,Nf,N8,N9,NlO•Nll•Nl2•N13,Nl4,NlS,Nl&,

*117,N18,Nl9,N20,N21,N2l,,23,N24,N25,N26,N27•N28•N29,N30•N3l•N32• •,33,N34,N3S,N3~•N37,N33,,39,N40,N4l•N42•N43•N44,N45,N4&,N47,N48,

_________ ~'~ /i_9-, NS_O_,_ N .. 5.1dl5 2.,. '15. 3_,_N_5 !o_, Jl-55_, ,~ ~ ;_, .N S_I tJ'l 5_8.,_N5 9_, .N6_0 ,_t,1_6 t_,_ NJ,2_,_ N_ó 3_._ Nf>_ ~-•- ____ . *~ó5•N66•N67,N&8,N69,N70 ·

e e c e e e

:OMMON/REA/NA,NPMR,NPA,,'AMR,N,C,NC :OMMON/fQU/IRSE :OMMON/MASS/IMCO,NPMM,~?AMM :oMMON/!TEPE/ICITE EQU!VALENCE (AC 1), B(l )J A JECLAqACAO QUE SE SE,Jc DEVS SER RETIRADA PELO USUARIO SE O VET JR •A• l'"QR HISUFUCIENE ~ARA CJNTER iíAMBEM A MATRIZ DE RIGIDEZ DA '.STRUiURA (816700: NPM=;5.535l. NESiE CASO, A MATRIZ OE RIGIDEZ DA cSTRUTURA PASSARA AUTOiATICAME~JE A OCUPAR O VEJOR •C•,A PARTIR DA i'OSICAO •CC11•.IDEM co~ RELACAJ A MATRIZ DE MASSA E'º'·

e QUI VALC:NCE (AC ll, C C 1 Jl EQUIVALENCE (AC l),DCt ll

E . C*****INFDRMACDES GE~AIS e C cSTIPUL~ o NUMERO DE P)S!COES MAXIMAS PARA o VETOR •A•.

1PM= 15000 c C•••••JETERHINACAO DA ALOCACAJ DAS M'JRIZES DE RIGIDEZ E HASSA

c e

l : O NT I N UE ACll•0,0 :c1>=0.o ~<1l=o.o ACll•lOOO.

1000 100

1.3 O

IF(CC l ),EQ,O,O)NPMR=t IFC:Cl J.~Q-1000,)NPM'l=J I F CD C 1 l. E Q. O. O J N P MM= 1 I F <O< l l. E Q, l 00 O. l N P MM=)

LER/ESCqEVER DADOS GERAIS RE A) C 8 , 1 O O l ) NE , N G M • IT I C C • IV L ,1 ~ SE , IM CD IFCN~)l000,1000,100 5 TOP REAlJC 8'1002) READC 8'1003) RE A) ( S, l O O 4 ) M, N J • N JR, NA E, M R • '1 c: • M C Q • ML B, N J R I, M R T R , I L C ND•6*NJ IFCIVL)130,130•135 : O NT I N UE ~RITé<s,1oon ;o TJ 140 ~RIE CS,-1300) :;o TO 140

t 135

e

e

e

166

140 :ONT NU~ WRII C5,1008l~E,NGM,ITI:C,IVL,IRSE,IHCD •RIT <5•10021 • RIT < 5ol 003) WRif C5,l009lM,NJ,NJR•~AE,MR•M:C,MCQ,MLB,NJRI•MRTR,ND

: ALL RESER< ll : A L L I NF O R C A ( N l l, A C N2 ) , H N3 l •AC N 4 ) , A C N 5 l, AC N 6 l, A C N 7l , AC N 8) , A ( N 9 ) , A

1C N l O l • A CN 11 ) , A < N l 2), AC ~ 13 l , A ( N ló l, AC N 17) , AC N 18 ) , AC N l 29),ACN20l,A<NZll,ACNZZl,ACNZ3l,A(NZ4l,M,NA)

:ALL RESERC5) :ALL MATL(ACNi2l,ACN5l,ACNZZl,ICN23l,A(N24l,ACNZ5l,ACN2Sl,A(N27l,A

* ( N 28 ) , A OI 29) , A C N 3 D ) , AC ~ 4 2 J , AC N, 3 J , AC M 4 4 J , AC N 3 ll , M, N G M, A ( N 4 5 J, AC N 4 ó •l,ACNll'l

C•••••MONfAGEM DAS MATRIZES J~ RIGID~Z E MASSA e

:ALL ~0:'.S(A<N31),ACN32),~0,M,A(N3),A(N4hNJ•LF,N32•NPAl : ALL RESERC 2l :ALL RIGID(CCNPMRl,A(N5l,A<N,l,ACN5l,A(Nlll, A(N!9l,A

lC N 12 l, A ( N 2 2 l, A< N 1 ó l, A C ~ 1' ) , AC i'l :i ) , A ( N 1 S J , AC N 31 ) , AC N 2 1 l , AC N 3 ó), A C N 3 5 ------ --2-1-.-A (;,J rJ, ·11: rN 33,,-11:rN34T, H ~ 13r;:1n }f23r,-ATN2-4T, X( ffzs,,ACN 21,i-. ATr;J2-ar, Ar--

3~29), A (~30 l, M, ~ J, NA, 0 C ~'MM),A(~47 l, A ( N4 B), A ( N49}, A (~27)) e

IFCIVLl20•20•30 e C••u•ANALISE ESTATI:A e

e

20 : O NT I NUº IFCIRSE.LE.O)CALL DEC04 3 (CCNPM~l,A(NJ1l,N0,0,5l I fC IR SE. G T. O) C .~ L L O[ C O: (: C N P M R) , AC N 31 l , N D )

2 : O NTI NU': CALL CARRECACN37l,ACN4Dl,ACN36l,A(N3l,ACN4l,ACN5l,ACN11l,ACN27l,

* ACN10J,ACN13),ACN6),ACN22l,ACN12l,ACN33l,ACN34l,A< *~l6l,ACN17l,ACN38l,A(N3~J,A(Nll,ACN35l,ACN18l,ACN23),ACN24l,AC~25) •,ACNZól,ACNZ~l,ACN29l,H~30l,M,NJ,ACN44)) !fCNCAl70,70,40 _

40 ,ONT INIJE :ALL )ESLOCC(NPMRl,ACN3Ll,ACN3; ),ND,NJ,IRSE) IED=O :ALL ESFOR(ACN34l,ACN3l,A(N4l,ACN35l,ACN40l,ACNZ2l,ACN19),ACN39J,A

* C N 1) , AC N l 3) , AC.~ 18 J , AC N 3 7l , AC N B l , AC N 5) , AC N 2 ) , AC ~ 6 l , I E O, M ) IFCICTEN)G0,50•50

50 :ONTINUº READC8,lóOOlIC~,IIPR,II~X,IINC : A LL S IG MA C N J • M • AC N5 l • H ~ 4 O l •AC N 3 ) , AC N 4 ) , AC N 1 2), AC N 7l , I:: D , AC N 2 5 ) , A

•{N2ól,ACN28l,ACN42J,A<~43l,ACN~4)l 60 :oNTINUE

:;o TJ 2 10 :;o ro 1

C•****ANALISE OINAMICA e

30 :oNT INUt RE A) C S , 14 O O ) NR O O T, RT O L , ~ C • N I TEM, IF S S , IF PR, IM J NDl=ND+l ~ T M= NO IF<IMCO.,T.O)NfM=NTP NNC=NC*(~C+\ll/2 :ALL RESERC3J :ALL VI8RACCCNPMRJ,D(N~~M),ACN3ll,AC~5ll,A(N50l,ACN53),ACN54l,A(N5

1 5) •AC N 5 6 l • AC NS 7 ) • A C N5 8 ) , A C N 5 9 l , AC Nó O J , AC N 61 l , A U ó 2 J , ,,, • NO , N T P, AC N 2 7 2),ACN5l,A(Nbl,ACN1ll,AC~12l,AC~22J,A(N3l,A(N4l,ACN1l,NJR,ND1,N~,NN 3:,NT~l

R E"ADCB, 15 (J"O)T~ I S, I ESP, ITE SP, RF ~rs-, NI N"S f, DE L ST, FAC,TCtTE" -~ R IT E C 5 • 1 5 O 1) I S IS• I E S P, If E S P, K O R E S, N I N SI, DE L SI, F AC IFCISIS)B0,90,80

90 GO TO 1 80 :ONTINU:

:ALL RESERC4) : ALL M XIOCD< NPMM), ACNS~ l, A( N5, J ,NJ,ND,A(N31),NfM, IMCO,NJRI ,ACNlBl l :ALL e APAM(A(N53),A(N5ZJ,ACN51) ,NO,NROOTJ :ALL AMORTl

167

IFC!ES?•1)82,83,84 82 :oNTINUE

:ALL SISMOCACN5S),ACNS;),ACN57l ,ACN58l) IFCISIS.EQ.zJGO TO 8& : ALL NMARK( ACNóOl, A<N&l J, ACN&2J, AC N50J ,ACN51 J,AC N&3) ,ACN34J

l , AC N 3 > , AC N 4 J , AC Nó 5 ) , A(,~~~ J , AC N l 9 ) , AC Nó 4 l , AC N l J, AC N 1 3) , AC N l 8 l , A ( N & 6 Zl,ACN&7J,ACN5l,ACN2J,AC~&J,ACN121,ACN55J,ACN531,NROOT,ND,M,NJ,ACN2 35),A(N26l,ACN28l,ACN42l,ACN43l,ACN441)

:; O TO 1 86 :oNT! NUF

: ALL I NT E G C AC N; O)• AC Nó l l , AC Nó 2 l • AC NS O l , AC N5 1 l , AC N 6 3 l , AC N 3 4 l • AC N 3) , •ACN4l,A(N6Sl,ACN22l,AC~19l,ACNi41,ACNll,ACN13J,ACNl3l,ACN6&1,ACN&7 •l,AC~5>,ACNZl,ACN6),ACH~l,ACNi5l,ACN531,NROOT,~D.,M,NJ,ACN2S>,ACN2 •ól,ACN281,ACN421,ACN431,~CN681,AC N&9},ACN44})

:;o TO 1 - - - - -8 3 - : O NT I NU:. - ··- - - - - - - - ... ··- - - - - - - --- - - - . - - . - - - - - - -.- - - -- - -- -- - - -- -- ----- --- . --- - - - -- -- - - - - - - - - - - - - - - - - -:ALL SI~MO(ACN551,ACN5&l,ACN571,ACN5811 !FCISIS.EQ.z}GO ro 81

e

: ALL NMARS0C A(N60} ,A(NSOI ,AC N55 ), NROOT) 85 :ALL SRSSCACN&ll,ACN64l,ACN6&1,ACN&7l,ACN6Zl,AC~68l,ACN53>,ACN53>,

1ACN6Q),ACN511,ACN&5),AC~34l,AC~3},ACN4l,ACN22l,ACN19),ACN11,ACN131 2,ACN18},ACN69),ACNSl,AC~2>,ACN5),ACN12>•ND,M,NJR•NJ,NROOT,A(N25l,A * C N 26), A ( N 2 8} • A ( N4 2) •AC~ 4 3 ) , AC N 4 4) >

:; o ro 1 84 :oNTINUE

: ALL ::s 0 ECC A(N:, Ol, ACNSQ }, NROOT, ITESP} :;o TO 85

81 : O NT I N UE . :ALL INT::SDCACN&O),ACN'iOl,ACN5> ),NROOT) :;o ro 85

1001 FORMATC6I5I l002FORMATC' 1) 1003 ~ORMATC 1 1)

1004 FORMAfCllI5) 1007 ~ORMATClfil,/////,llX,'A~ALISE· ,STAT!CA OE TUBULACOES',/) 1300 ~oRMAT(lHl,////,lX,•ANALISE DI~AMICA OE TUBULACOES 1 ,/) 1008 FORMATC///,llX, •ESTRUT J~A NUM::10 1 ,I5,///,3X,'CARACT::iUSTICAS DA AN

•ALIS:',//,3X,!~GM ITIC: IVL IR,E IMCD•,/,I5,I6,l4,2I5,///) 1009 FORMATC///,3X, 1 INFORMA:~ES GER\IS SOBRE A ESTRUTURA',//,3X•' M N

•J NJR NA! MR M:C MCQ HLB NJR! MRTR N0 1 ,//,3X,I2, *3X•I2•3X,!3•3X,I3,3X,I2,3X,I3,3X,!3,JX,I3,3X,l4•3X,I4,3X,I3)

1400 ~oRMATCI5,E1n.n,srsJ 1500 FORMA TC5I s,2E10.o. IS) 1501 FORMATC//3X,'DAD0S PARA A RESPJSTA OINAMICA',/31,'ISIS IESP !TtS?

•~FRES NINSI DELSI FA:•,/3X,I4,I5,3I&,2f10.3J 1600 FORMATC4I5l

, NO SUBROUT!~E RESERCNEP) COMMON AC 1) : O MM O N / ! N F 1 / NE , NG M, IT I C C, IV L, NJ R , N AE, M R, MC C, M C Q, ML 8, N J RI , M R T R, N P M,

*NfP,LF,NO :OMM(JN/!NF2/M :oMMON/INF3/NJ : o MM o N / s IS/ N? o. N I N s I. D:: L s I. F A e. e s I • I s Is. I E s p' K F q E s :oMMON/RES/Nl,N2,N3,N4,~5,N&,Nr,NB,N9,N10,Nll,N12,Nl3,Nl4,Nl5,N16,

*~17,N18•N19,N20•N21•N22•~23•N24•N2S•N2&•N27•N28,NZ9,N30•N3l•N32• *'l33,N34,N35,N35•N37,N33,W39,N4J,N41,N42,N43,N44,N45,N4&,N47,N48, •'l 49, NS O, N 5 l•N52 • N5.3,N54 • W 55 ,NSó, N57,N58, N 59 • Nó O• Nó 1,N&Z• N63,N64,~ *'l65,Nó6,N67,Nó8,N&9,N7D . . - ~

:oMMON/REA/NA,NPMR,NPA,W 3 AMR,N~C,NC :OMMON/VL/NROOT,RTOL•N!TEM,IfSS,IFPR,IMJ :OMMON/MASS/IMCD,NPMH,~ 3 AMM !FCNEP,'::Qol>GO lQ 10 IFCN,P.~Q.2}GO TO 20 IfCN~P.(Q.3)GO TO 30 IFCNEP.EQ.4)GO TO 40 !FCNõP.~Q.S}GO TO 50

to :oNT INUE ~1=1 N2=Nl +7*N JR ~3=Nz+N.J ,~4=N3+M .~5=N4+M 'l6=N5+M

'l7=Nf,+M ,'l8=N7 +M 'l9=N8+M 'llO=N9H1 'lll•NlO+M 'l 12= N 1 1 + M 'll3=Nl2+M

168

'-~±t~~~1-i~-~~-IL ___ ------------ --- - ---- ------------{= o I FC M L B • G T. O >K= l 'll7=Nl6+M•K ~ 18=Nl 7+12*M*K {=O IFCNJRI,$T .OlK• 1 'll9=N18+NJ*K ~20=N19+M N2 l=N20+M 'l22=Ni::1+7*NA~ ~A=NAc I F (NA. E Q. O) NA= 1 'l23=N22+NJ ,'l24=N23+'l J '125= N24+N J NMOM•NZ5·1 ~RITEC5•1100)NEP,NMOM If(NMOM,ôl.N'M>GO TO 5000 RETURN

50 :oNTINUF 'l23=N7 'l24=N8 'lZ5=N9 '126= N22H1 ,'l27=N26+M 'l 2 8= N 2 7 + M '129= N~ 8+M N 3 O• N 2 9+M 'l 4 2= N 3 O+M '14 3= N4Z+M N44='l4 3+M 'l3l=N44+M 'l45='l3l+M N46=N45+M 'l32=\J31+ND+l 'l33=N32+ND IFCN46.GE.N33lNMOM=N46·1 I FC N 3 3 • G T • N4 ó l ,'l MO M = N 3 3 • 1 rlRIE(5, llOOlNEP,NMOM IF<NMOM.GT.NPM>GO TO 5000 RE TURN

20 :oNTINUE 'lTP=NPA·'l3Z

--{~O - -

{K=O ~KK=D IFCNPMM,EQ.O)K= 1 IFC IVL,EQ.OlK= O. IFCI~CD.õT.OlK~=l IF(NPMR,EQ.OJKKK=l IFCNPMM,EQ,OlNPMM=N32 'lPAM~=N32+K*(ND+KK•(NT>•'l0)) I FC N P M R. E Q. O l N P MR = N P A M "i 'l P AM ~ = N P A MM+ KK { * l'IT P 'l33=NPAMR •RIT: (5,lZDO>NTP ·'l34=N33+144 'l .4 7 = N 3 4 + K K * l 4 4 .~48=N47+KK•l44 ~49=N48+KK*l44 'l35=N34+!44 N36=N35+ND 'l 3 7= )l 36+N J*6 -'lMO,~=Nf? IFCNMDM,GT.N~M>GO TO 5000 I FC IVL 121 •21"2 ~

169

------_ u _ -} ~,~~t-~~t, r! j,.f3 n fl MCJM =it~ 4·9 ~-f- ---------------------------------..... WRITEC5•1100)NEP,NMOM IFfNMOM.GT.N'M)GO TO 5000 RE URN

21 :oNT!NU: ~38=N37+~D ~39=N38+NO ~40=~39+ND 1>.14 l=N4 O+ 12*M ~MOM=N41-1 •RIT'.C5,1100lN~P,NMOM IFCNMOM.GT.N~M)GO TO 5000 RETURN

.30 :ONfINU~ N50•N33 ~5l=N50+NC N52= NS l+NC•ND ~ 5 3= N 5 2 ~54=N53+NO -~55= N54+ND N 56= N 5 5 HlN C ~57=N56+NNC ~58= N5 7+NC•NC N59=~58+~C ~60=N59+NC ~61=NõO+NC ~62=N61+NC ~63=N62+NC ~MOM=Nó3•1 11RIEC5, 1100lNEP,NMOM IF(NMOM,5T.NPMJGO TO 50DD RE TUR N

40 :oNT INUE J I=NPAM"l JF=JI+NP.OOT·l (=O )O 100 !-=JI,JF (=K+l

100 H I) =AOJ50+11·1) ~5o=JI JI=JI+N'lOOT JF=JI+CND•NROOT)•l (=O DO 110 I=JI,JF 111.füf (=K+l

110 AC rt=AOl51+11-l} ~51•JI ~34=N51+~D*NROOl ~ 5 3= N 3 4 + 14 4 N54=N5 3+N ROOT ~ 52=N5 4+NO IFCI,SP,EQ,OJGO TO 41 IFCiêSP.EQ.l)GO TO 43 IFCIESP,EQ,2lGO TO 44

41 :oNTINUE ~ 5 5= N 5 4 ~ 5 ó= N 5 5 + N I N S 1 + 1 ~57•N5ó+NIN5I+1 ,~58=N57+KFRES N59=N58+KFRES NMOM=N5<1•1 ~RITc<S• llOOJN~P•NMOM IFCNMOM,5T,NPM)GO TO 5000 ~óO=N55+NINSI+l ~ól=N60+NROOT Nó2=Nól+NROOT ~ó3=N62+NROOT ~64= Nó3+ND ~ ó 5= Nó 4 +~O ~óó=Nó5+l2*M .~ó7=Nóó+l ~68•N67+1 ~MOM=NGB·l IF<ISIS,EQ.1) :iO TO 46

"169=N68+8*NROOT ~70=N69+NROOT NMOM=N70-l

46 :oNTINUE wRITEC5,JlOOlNEP,NMOM IFCNMOM.,T.N'MlGO TO 5000 R[ fUR N

43 :oNT!NUE '155= N54 ,\j 5 6= N 5 5 +"II N SI+ 1 '157=N55+NIN;il+l N58=N57+KfR~S 1>15 9= N 5 8 + K F RE S 'IMOM=NS9-1 WRIE (5, l lOO)N:'.P,NMOM IFCNMOM,GT,N°MlGO TO 5000 '160= N55+N INSI+l

45 !'lól="lóO+NROOT ~62='1ól+NO '163= Nó2+NO 'ló4=Nó3+NRDOT '165=Nó4+12"M 'lóó=Nó5+12*M .'ló7=Nó6+6,.NJR 'I 6 8= .\j ó 7 + 4 * M '169= N68+4*M 'I 7 o= N 6 9 + 'I D 'I MOM=NT0-1 ~RIT~{S,llOOlN:'.P,NMOM If(NMOM.5T.N~M)GO TO 5000 RETURN

44 :ONTINU~ 'I 6 o= N 5 4 ,O TO 4'i

5000 àR!T~CSolOOO>NPM,NEP,N~)M

170 ----- ---

STOP 1000 FORMATC///3X,•'lO. POSI:DES RE~:.1vgpAs INSUFICIENTE< ',Ió, •),NEP='j

.,. *3•'-~MOM=•,Ió, 1 , 1 ) a1,oo- ,o-RM'líT('/tJ"x,•Er-APA-•,n·,, :pos·1°:or~s ·oc-u·p·AoAs = •, 15·,1r1> - --1200 ~oRMATc//,3X,'POSICOES JCUPAOll,--Pf.LA MATRIZ OE RIG[OEz=•,Iól

:. ND SUBROUTINE G~RACCNJ,X,f•Zl )IM::NSION X(l),.YC1l,Z{ll )O 10 I=l,NJ R E AD C 8, 1 O O) J I, J F, D X, D Y, E IFCl· l )20,20,30

20 IFCCJf.LE.Q}.A/'40.CJI.L:,OllGO TO 5000 I F < J I • G T. O l J= J I IFCF .GT. OlJ=Jê ( C J} = ) X YCJl=~Y Z C J} = D Z

f~NtOJlO 30 If{JI.GT,O)JANT=JI

IFCJ,,Lc.O)GD TO 5001 J= JF XC Jl = X C JANT l+DX YC Jl=Y(JANT)+DY lC Jl=ZCJA'ITl+DZ J A NT = J

10 :oNTINUE RETURN

5000 WRIT'-<5, lOllJF 101·FORMATC///,3X, 1 ERRO.PA,E.JUNTA INICIAL FORNECIDA=',I5l

S TO~ 5001 WRilõC5,l02lJF

102 FORMATC//,3X, 1 ERRO,PAR:,JUNTA ºORNECIDA=•,15) S T Of'

100 FORMAIC2I5,3F10.0l : N D SUBROUTINE ROTSLCX,Y,Z,JJ,JK,L,AA,XP,YP,ZP•R•Ml REAL L<tl . INiEGER AAC ll )IM,~srnN X{ll,YCll,Z(l),JJ(ll,JK(ll,XPCll,YPCll,ZP{ll

) I ME N S Iíl N R< M, 9 l JO 211 !=l•M )O 100 J=l,9

100 RC I,J >=o. J=JK(I) <=JJ(I) SINA= o.o : O SA= 1. O V A=X( J)•X(Kl VB=YC J)•Y(K) VC=Z(Jl•ZCKl L( r>=SQRTCVA .. ~+VB**2+1C••2l : X=VA/LC I) : Y=V8/l( I) :z=VC/LCil Q=SQRl(CX**2+CZ**2 l IFCAA(I1l205,2J5,204

204 XPS=XP(I)•XCKl Y PS= Y P ( Il • YC K l z P s= z P e n - z < ~ >

205 IFCQ·o.001>2oe,20G,206 20& RCI,t)=CX

RCI,2>=CY RC I'3l=CZ RC I, 4 )=•C X•CY/) RCI,Sl=Q RC I,ól=•CY•CZ/J RCI,7>=-CZ/Q R< r,n=CX/Q I F(AA C l)) 210,21 O, 207

171

207 YPG=R( I•4l•X 3 S+RC I ,5 l•f~, r,; l•ZPS ZPG=R( I,7 )•X"S+R( 1·,a )•f ·s':Rfl, 9 )•ZPS SQ=SQRT(YP5••2+ZPG<>•2) :osA=YPG/SQ S I NA= Z PG / S Q RC I,4 )=f ·CX*CY*COSA·CZ•SINA)/Q RC I, 5 )=Q•COSA RCI,6)=(-CY•CZ*COSA+CX•SINA)/Q RCI,7)=(CX•CY•5INA·CZ•CJSAl/Q RC I,8 l=•Q•SINA RC I,9)= (C Y•CZ•S INA+CX•CJSA)/Q :;o ,a 210

208 R( r,2)=CY RCI,4>=-cv RCI,9l=1.o IFCAACf1>210•210,209

209 sa=SQR (XPS••z+ZPS••2) :oSIP -x<>s•CY/S) 5 INA= ZPS/SQ fH I, 4 l=·C Y•COS~ RC I,ól=SINA RC I,7 l=CY•SINA RC I,9)=C0SA

210 XPCI>=CX YPCI l=CY ZPCil=CZ

211 :oNTINU~ RETURN , ND SUBROU,INE ROTJI<J,BETA,GAMA,A~FA> J IME,~S ION R< 9) ) O 1 O I= 1 , 9

10 R< r>=o.o :X=COS(GAMA)•COSCBEfA) :Y=SIN(GAMA) :z=COSCGAMA>•SINCBETA) Q= SQR T C C X .. *2+C Z•• 2) IF(Q·0.00llll4• ll2'112

112 R(l)=CX RC z>=CY RC3l=CZ R( 4) =•CX•CY/~ R.C 5> = Q RC 6) = ·CY•CZ/~

________ RC_n =·CZ_• Q

e E

e e e

e e

RC 9l=-CX•Q IFCAL~AJ113•lli,113.

172

113 SINA=SINCALFAJ :osA= cose ALFA> RC4J =C-CX•:Y•COSA-:Z•SINAJ/Q RC 51 = Q•COSA RCól =C-CY•CZ*COS~+:x•SINAJ/Q RC7l =CCX•CY•SINA-CZ•COSAJ/} RC8l =-Q•SINA RC9l =CCY•CZ•SINA+C(•COSA>n :;o TO lló

l14 RC 21 =CY RC4J =-CY RC9l =1.0 IFCALFAJ115,lló,115

115 5 INA=S PJ( ALFAl :osA= CDS{ ALFA) RC4l =-CY•C~SA RCól =SINA RC 7l =CY•SI NA RC 91 =COSA

lló :ONTINUc

10

105

20 40

WRITEC15'JlCRCil•I=l•9l .. RETURN ~

~ffiR~ur-iNE -r~ro-;c ~B--~B4-~,-JJ,~K• ~r~~r~oR~ xP, vP,ZP, A~:~;RA r~-.~. r:ui~ * L B • J I N, N P, N R AD, AML , X., Y, Z, M, N .O

INTE~ER AA(ll,3B REAL LCll•LLl•LL2 ) IM~ N S In N I BC l l • !B AU ( 1 ) , J j( l l , J K C 1 l • If M C 1 l , I F O RC l l , XP C 1 l , Y P Cl l, Z PC

• l l • R A I O f 1 l • I C L 3 C l l • J I N C l l • N P C l l , NR A D C l l • X C l l , Y C 1 l • Z C ll • R C M • 9 l, L B ( M *, 12), AML< NA, 7l

)IM~NS!O~ YMC13l,FIC13l : o MM o N / IN F 1/ NE ' N G M , IT I : : ' I V L • N J R ' NA E ' ~ R' Me e • Me Q' M L B ' N j R I ' M R T R ' N p M •

•~TP,~ 0 ,ND :oMMON/I~f3/NJ :oMMON/!NF4/ILC

LEITURA DAS COORDENADAS JOS ~Oi

!FCILClt0,10,20 : o NT I N ur DO 105 t=t,NJ RE A) e s • t o os ) J. X e j ) ' y ( J ) , z e J ) : ONTI N UF ;o TO 40 :ALL GERACCNJ•••Y•Z> : O NT I N UE

RE STRICOES NODAIS

~JR7=7•NJ JO 103 !=1,NJR7

103 IB<I ): o DO 104 != 1 •NJ

104 !BAUC I )"0 )O 106 I= l•NJR REAlC8,l006lJ,IBC7•I-5J,IBC7•I·4J,IBC7•I-3J,IBC7•I-2J,IBC7•!-1l,I8

tC7•Il ~1=1•,r-5 IBCLll=J

lOó IBAUCJl=Ll

~D=ó•NJ

C IMPRãSS~O ,~RAL wRIT~CS, 10101

---------:l-~-d il u/S-1-S-~àr; 1 o t ~ f o e· -- · -- · -----------· -· · --- -· · -· · · · · · · · · · -- ---- ---- -------------- --·

e

107 L 1=7•NJ'l+NJ iO TO 109

108 L l=I3AU( J l 109 ~RITE<S•lOlllJ,XCJ),YCJl,ZC Jl,IBCL1+1l, IB(L1+2J, I8CL1+3l,IBCL1+4l,

lIBCL1+5J,I8CLl+ól

173

C DADOS SOBRE AS JUNTAS I~CLINA)~S e

e e lc

e e e

e

IFCNJRI1.l20•l2D•ll0 110 ·~RIE (5, 1015)

)O 101 I=i,NJ 101 JINC n=o

116 120

121

125

200

)O 11& I=l,NJR[ READC8,1016)J,9ETA,GAMA,ALFA WRIEC8,1017>J,BETA,GA~A,ALFA JINCJ)=l :ALL ROT JI(J,BETA, GAMA, ALFA) :oNTINUE : ONT I NUE

~ADOS SOBRE OS APOIOS :LASTICO,

IF(NA~ )200,200• 121 WRIE (5, 1018) )O 125 IC=t,NAE RE A) C 8, l O l 9) AML C I C , 7 ) , C A M LC I C, ~ J , K = 1 , 6 ) .iRITEC5, 1012lAMLCIC,7 ), CAMLC !C, Kl ,K=l,6)

)ADOS SOBRE OS ELEMENTJS

:ONTINU:'. liRIE C5, 1022) iJO 211 II=l,M RE A) C 6, l 02 O l I, J J C I ) , J K C I) , I T '1 C I ) , I F DR C I ) , NP < I ) , N R A D( I) , AAC I ) , XP C I )

l • YPC I >, 7p C I J, RAIO C I l IFCJKC I>•JJCI) >202,202, ~11

202 WRIT:<5, 102lll STOP

211 :ONTINU~

C FORMACAO DA MAfRIZ DE ~JTACAO )O ELEMENTO· e

:ALL ROTELCX,Y,Z,JJ,JK,L,AA,XP,YP,ZP,R,Ml e C IMPR~SSAO DAS CARACTE'.RISTICAS )OS ELEM~NTOS e

e

)O 201 !=l,M i4 R IT ~ C 5 >l O 2 3 JI , J J C Il, J ~ C I ) , IT M C IJ , IF O R < I ) , N PC I >, N R A D < I ) , AAC I ) , XP C I

") • YP e I ) , z p e I ) • L e I ) • R A I ) ( I ) 201 :or-HINU[

C )ADOS AOCIONAIS SOBRE )S ELEME~JOS DE EIXO CURVO NAO CIRCULAR e

IF(MCQl218•218,212 2I2 WRIEC5, 1024l

::JO 217 II=t,MC~ REA)C8,1013ll,( YM(Kl,K•1,NPC !)) ,CFI<Kl,K=l,NPC!ll NPI=NPC!l IFCNRADC I l )215, 213 •215

213 )O 214 K=l,N?I 214 FI(K)=F!CK)/180•*3•1415~ 215 ARIEC5, 1025)1

!i=LC I) /(NPI-1> ) O 21 & K = 1 , N~ I ~H=H•(K•ll

21& wRITEC5,1026)K,HH,K,YMC<l,K,•ICK) 217 •RIECll'!lCYMCKl,K=l,~?Il,CFICIO,K=l,NPil ····· ··2ra·-:m11rnror --· ----- -- -- ------ ---- ···- · ···· - -- -- · --- ----- ------------- ·-- -- -· -----

e C )ADOS AílCIONAIS SOBRE ELEMENTO; RETOS COM TRECHO RIGIOO e

IFCMRTR>300,300,219 2I9 •RIEC5, l027l

)O 220 II=l,MRíR REA0(6,1028)I,LL1,LL2,•P ~RITE< 14' I)LL1•LL2•WP

220 MRIIEC5,1028)I,LL1,LL2,~~ e C cI8~RACOES • DADOS E TESTES o~ INSTABILIDADE e

300 :oNí INUE

IFCMLBl400,4G0,301 301 WRITC: C 5, 1030)

i)O, 308 !=l•M ICLBC I )=O )0 308 J=l,12

308 ,:.BCI,J)=O .. )Q 302 TC=l,ML9 REAi)( 8, 1031 )I, C LBC I,K>, ~= 1, 12) ICLB<I>=I

174

302 WRIIC:C5,1032>1,ILBCl,K>,K=l•l21 ;··- - .. 3g-:3·· - ........ --- ........ ·- .... --··· ·•· )O 307 !=l,M IFC ICLB( I )>303• 307,303

303 )O 306 IC=l,4 IfCLBC I,ICll304,306,304

304 IFCLBC I,IC+6»305,306dJ5 305 •RIEC5,10331I,IC

38=10 306 :ONTINU• 307 :oNT!NUE

IFCBB)l000,400,1000 1000 STOP

400 :oNT!NUE RE TUR N

1005 F8RMAT<!s,3F10.01 1 O O 6 r· RM A T C 7 I 5 J 1010 •oRMATC//44X,'NATURi:'.ZA )AS JUNfAS DE APOI0'/3X,'C O ORDENA O

lA S ilAS JUNlAS',9X,lf~ANSLAC\0 1 •6X•'ROTACA0'/4X•'J',8X,'X(J}l,6X 2•Y<J>•,E>x,•zCJ> 1 ,9x,•x Y ~·,&x,•x Y z•>

1011 FORMA T(2X,I3,F 12.2.r10. 2,F10.2, IlO,I4, I5,I7, I3, I3) 1015 FORMATC///3X,'ANGULO DE INCL!NACAO DAS JUNTAS'/3X•' J BETA G AM

lA ALFA•> 1016 FORMAT([5,3Fl0,2) 1017 ºDRMAT(I2,3F7,5) 1013 FORMAT(//3X,•COEfICIENJ::s D~ RIGIDEZ

1srrcos•,1,4X, 1 J DIR~C X DIR~S Y DIR::c Z DOS APOIOS ELA

ROTAC X ROTAC Y R l) TA: Z ', / >

1019 FORMAT<tS,6FlO,Ol 1012 ºORMAT(3X,I2,3•9.1,3x,3•9,t,/J 1022 FORMAH///,3X, 1 DAD0S SJ3RE JS õ:LEMENTOS',//,3X, 1 I JJ JK IíM

1IFOR NP NRAD AA•,8x,•cx•,3(,'CY•,ax,•cz•,9x, 'L',lOX, 'RAIO',//) 1020 r0RMAT('II5,4F10,21 1021 FORMATC//,3X,•O MEMBRO '• I2•' POSSUE JK NAO MAIOR QUE JJ'l 1023 FORMAT(8I5,2X,3f10,4,2º11,3) 1024 FORMATCl//,3X•' MEMBRO :JRVO QU\LQUER - PROPRIEDADES ADICIONAIS',/) 1013 ;ORMAT(!l0,7Fl0,0,/,8Fl0,0,/,8º 10.o,/,3F10-o> 1025 FORMAT<///,3X,• MEMBRO i:JRVO NO. '13,' COORDENADAS E ANGULOSS DE INC

lL INACAO' l 102& •ORMATC• XMC',l2,')=•,•7,3,10x,•yM(',I2,')=•,F7.3,lOX,•FIC•,I2,•>=

t•,F7,3l 1027 ºORMAT(///,3X,' MEMBROS ~::ros CJM TRE'Ci-10 RIGIDO • ?ROPRI~DAOES A0IC

1IONAIS 1 ,/,3X,• I 1 ,8X,'Ll',8X,'L2',8X, 1 WP 1 ,/)

1028 FORMATC!5,3fl0,4)

_ l_Q JQ rí~-~~~-l ~?~~~i o\ ol ... , N1 e{ 1,t ·, ~sr.~ ê~Tfff MI ~iBrf; ~-1 ~ t~l-r-}~-~ ~-; ~~ t M ~f; ~~lªr-}-2 FZ MX MY MZ' ,8X,•Fx ·~ FZ MX MY MZ')

1031 FORMAf<13I5) 1 O 32 : O RM A T (3 X, 2 I 4, ~ I 3, I 5, 2 13, I 1 O , 2 I 3 , I 5, 2 I 3 ) 1033 FOR~A((/3X,•o MEMBRO ~JMERO',I5,5X,•EsTA INSTAVEL NA DIRECA0 1 ,I5>

END S U BR OU T ! N E F LE X 1 C X F I, X: il, I C , E l • P, R ,C, R M, T H, N F L l 1B=CTH•RC)/(RM••2l IFCIC,EQ,2lHB=HB*•<S,/,.) IFCIC,E0.1>XFI= 1,65/HB If<IC,EQ,2lXFI=l,52/HB AUX=C RC/RMl••Cl ,/3. > AUX=AUX*<RM/Ht)**(7,/3,) (PR= l • + ( 6, • P / ~ L ) • A U X XFI=XF I/XPR (FL=l,0 IFCN· L,•Q,OIXFL=l,O IFCNFL,EQ,l)XFL=HB••Cl,/ó,l IFCNºL•ºQ,2)XFL=HB••Cl,/5,l XFI=XF I•XFL IFCXFI,LT.t,JIXFI=l,0

175

(FO=Xº I RETUR N

~~iROUTINE FTE~HXTI,XTJ, rcfà'~,RC,RM,TH,NFL) ~B=CIH•RC)/(RM••2> .. (TI=0.90/CHB••<2.13.Jl A U X= < R C / R M J • *·< 2 • / 3 • J .~UX=AUX•CRM/TH>••C5./2. l XPR=l• H3.25•P/EL)•AUX XfI=XII/XPR (FL=t.Q I FC N F L .1: Q • O) XF L = l. O IFCNFL.EQ.t)XFL=HB•*Cl.15.J I F ( N e L • : Q. 2) XF L = H B * • C 1. / 3 • > XlI=XTI•XFL IFCXTI-LT.1.o>XTI=1.o XTO=X rr SETURN ~ Ni) SUBROUTINE FLEX2CXFI,XºJ,IC,E,~,A,B,H,NFL,POIS,R01,R02> "I=4, •ATANC 1,0l AUIC=~ •H/( 1,->or 5•POI5 J O=AUX*H*H/12• li=AUX•B•PIICA•Al >z=PI•D/8*•3 J4=P0IS*D/(A*Bl )3=D4/B A11=cs.12.>•D1+36,•D2+(144,/15, )•03+12-*PI•P A12=(5./4,)*Dl+C96,/7.>•l3· A22=C17,/2.>•D1•3600,*~Z+(l600,/7,J•D3+240,•PI•P 3 1 = e 3. 12. > • 01 • a • 4. *º 4 32=B.•D4 )N=All*A22·Al2•A12 ROl=C Al2*B2+A2~*B1 l/DN R02=<Al2•B1+All•B2)/0N ll=Dt *B*B )1=1.101 X F r= 1 • / f l. • D l • C A 11 • R O 1 • R J t + A 22 • R O 2 * R O 2 -2, * A 21 *R u 1 * R O Z - 2. • 8 l * R O 1 - 2,

*•B2•R02D IFCX,I,Ll.1,)XFI=t. (FO=(FI RE TU R N ~ NO SUBROUTINE FTEN2CXTI,XTJ,XFI,XºO,ROl•R02•B> (=60, •R02+B Y=60, *RCTl

--~ ~g-i: ~-h1 !}~nl~-2 ~-.. 1rnr, ,-3 XTO=XTI RE TUR N

1 W=3.•R01+30,•RJ2 T= 120. *R02 Z=(W•SQ'lT(W*2•3*T) )/T :=saRT(l)*(l.-2.•Z*ROl/3·R02•C~O.*Z-24.•Z**2)/B) XTI=C•XFI x r9= e. XF o ~~)URN ~UBRJUT!NE MATL(RAio,rr~.FIJ,E,G,AX,IP,W,FC,FFI,FFQ,BETA,GAMA,PR,A

•E,M,NGM,DIEX,ESPE,LJ · REAL L C1 >, IP C1 > · ) I ME N S Hrn RAIO C 1 ) , If M < l > , F I J C l> , E C 1 l , G C l l , A XC l), WC ll , FC C 1 ) , F F I C 1 J , * F FO C 1 ) , BETA C l l , G A M A (1 >, , R C 1 J , A, C 1 ) , O I E: X C 1 J , E S PE C 1 l ) I ME N S IfJ N P G Cl ~ ) , B C 16 ) :oMMON/S!G/ICR, IIPR,tI~K, IINC,IFIT

e . C*****INICIALIZACAO e C )EFINICAO DE FUNCOES e

FAREA(X,Y,PI)=PI/4,*CX••z-Y*•Z) e I Nã: P ( X, Y, PI )= P I I 3 2. * ( X • • 4 • Y ** • ) r O I E X ( X• Y •PI )= S Q R T C 4. *XI Y • 2. * YI PI l •coRT(X,Y)=(4.13.)•(X••3-Y**3)/((X**2•Y••2>•Cx-r>> > !=4. • ATAN( l. O)

e

e

)O 10 I=l,M ro AECI >= I

WR!TE<5• 1000) IFCN,M.LT.l)NGM=l

176 -~ ~~

C•••••INICIO ~A L~ITURA E INT~RPRtTACAD OE DADOS e

e E

êlO 500 II I=t,NG M RE A) C 8 • 1 O O l N ~ G I.FCCNEG.EQ.0).4ND.(NGM,,T.llJGJ ro 5000 IFCN:G.fQ.Q}GO TO 200 R E A!l C 8, l O 4 )( AE < I l, I = 1 , ~ : ,:; l

200 READC8,103l<B<I l,r=1,1;l IF<N!G.~Q.OlNE,•M !F<III,Gf,llGO lO 300

?R!M!IRDCOU ~NICO> GRUPJ DE PRJP~IEDADES

JO 201 I= 1' 1& 201 'GCil=B<Il

C TESTES flE CDNSISTENCIA, E PROP~IEOADES DERIVADAS IF(PG(l),LE,O,Q)GO ro 5001 >GC17l•PG{l)/{2,•CPGC2l+l,)) IFCCPGC3),LE,O,O),OR.Cª,C4).LE,O,OllGO Ta 205 (•PGC3) Y = PG C 3 >-2, "P G C 4 l > G C 5 l = F AR E AC X, Y, PI l PGC&l=FINEPCX,Y,Pil ,O TO 20&

205 IFC<PG(5J.U:.o.ol,OR,(>,Cf,l,LE,O.O))GO TO 5002 X=PGC&) Y•PGC 5 l ?G(J)=FDIEX<X,Y,Pll AUX=PG(3l••2"4,*PG(5lf?I IF<AUXl5004,207,207

207 Z=SQRTC AUXl , G C 4 l = < ":; C 3 l • Z l / 2.

206 :oNTINUE -------- ----{i-1-~ ~-! t~1í1 ~-r t ~t ~-~ ~-H2 ·- -- -- - - - - - - - - -- -- - - -- -- - - -- ----- ---- ---- - -- - - -- - - - - - - - - - - - - - -

e

210 ?G<13l=o.o ,O TO 212 211 X=PG<3l/2.

Y=X•PG(4l >G( 13l•FCORTCX, Yl

212 ?GC13l•PG(13) IFCCPG(l4l,L!,O,Ol,AND,C 0 GC15l,LE,O.OllGO TO 325 IfCPG(l4),LE.O.OlGO TO 5010 IFCP:iC15l,LE,O,OlGO TO 5006 :;o TO 220

C )EMAIS GRUPOS (OU SIMPL:S ALT:~ACOES SOBRE O PRIMEIRO GRUPO) e

e

e

300 :oNTINUE

.305

IF<BC1 ),'.iT,O,O)PG(ll=B(l) !F<BC2l Gf O.O)PGC2l=BC>l I FC ( B ( l 1. G f. O, O l, O R. C BC ~ l , G T. O, O) ) P G C 17 ) = P G C 1 l / C 2 , * C ? G C 2 l + 1 , ))

IfCBC3l,GT,O,O)PGC3l=B(3l I FC BC 4 ) • :; T , O, O l PG C 4 l =BC 4 l !fC<B(3),LE .• O,Ol,OR,(BC4l,LE,O,OllGO TO 305 X=PGC3l Y = PG C 3 >- 2, * P G C 4 l 0 GC5>=FAREACX,Y,Pil ºGC6l•F!~EPCX,Y,Pll :;o TO 310

IFCBC 5 l,GT .O.OlPGC 5l=BC 5) IFCBC&).GT,O,O)PGC&l=BC,l IFCCBCSJ,LE,O.O).OR.CBCól,LE,O,O»GO TO 310 X=PGC 6 > Y•PGC 5) ~G(3l=F~IEXCX,Y,PI) AUX=~GC3l••2•4,•PG(5)f~I

e

e

e e e

e

e e e e

IFCAUXJ5004,307,307 307 Z=SQRTC~UXJ

?G(4J:(p;(3J•Zl/2•

310 :oNT!NUE •G(l3 J=(PG( 3J•PGC4 ))/2,

X=PGC3l/2.

177

Y=X•PGC4J IFCBC13).[Q.O.OlPGC13l= 0 :oRT{X,Y) !FCBC131.Gf.Q.QJPGC13l=3CBJ IF(BC13l.LT.O.OJPGC13l=O.O

320 :ONT!NU:

IF(8(8).GT.o.o)PG(8}=8(~)

!F(B(9l.GT.O.JPGC9l•BC1l I FC B ( 1 O l. G T • O. J PG C 1 O l = 3 r l O)

I FC BC l 1). G f. o. l PG C 11) = 3( 11 J I FC BC 12 l • G T. O. l PG C 12 J = 3( l 2 l

!FCBC7l.GT.O.OJPGC7l•B(7J

I F (BC H,) • G T. o. O ) PG C 16 l = 3C 16 )

IFCBC14l.GT.Q.Q)PGC14l=3(14l !FCBC 15 l.Gr .o. O JpG <15l= 3C 15> IF((PGC14l.LE.Q.Q).ANO.(f'G(15l.U:.o.ollGD iD 3~5 !F(p;c 14).LE.o. O)GO ro 5010 !F(PG( 15l.LE.o. Q)GD ro 5006 --· -e- --------------. ----· --., -- ---- -----· ---------------- -,. --·- ------ ------- -----------------. --------------·- --· ----

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2 2 O S G G= f> G C 14 l

325

F G G= P G C 1 5 l RMG•?,C18l TANG=S!NCFGG)/CQS(FGGJ AUX= SGG/RM·'.i·TANG !F(AUX.LE.o.o>~AioG=sG;1c2.•TA~Gl I FC A U X • G T • O. O l ~ AI O G= O • 5 • R MG • < l • • 1 • /TA N G J .>G(19l=RAI0G

•Ro~~IEílADES DOS ELEME~TJS lo iRUPO

: O NT I N UE ) O 4 5 O II= 1 , N~ :; I=AECII) ECI)=PGCll iCil•PGC17J A X C I J = PG C 5 l IPC I l = PG C 6 l WCIJ•pG(Bl FCCI)=PGC13l • R C I) • PG C 7 l

!FCITMCIJ.EQ.2JRAI0C!l=P;C19J IF<ITMC!l.LE.OJFFIC!l•l.O IFCIIMCIJ.LE.O)FFO<Il=l.O IFCITMCil.Lt.olBtTACil=l•O IF(ITMCIJ.LE.OJGAMA(Il=l.O !FCITM(Il-LE.Q)F!J<I>=o,o IF<ITM(Il.LE.OlGO TO 410

: = SQ R T C R A 10 C I ) * *2 • C L C I l t ! • l • • 2) !Fc:.Lr.o.0001>FIJ(Il=>I !FCC.GE.o.OODllFIJ<Il=AfANCLCI)/(2,•CJl FFI(!)=PG(9) FFOC Il=PGC 10) 3ETAC I J=PGC lll '.iAMAC I l=PGC 12)

IFCP, C 16).~T .o. OJWRIT~C 5, 1030>I, PGC lól

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178

I f e e F F I( I). u • l.). DR. (:: H I). Lf. l. ) ) K= l I F < C F F H I ) • G E. l 00. ) • DR. C, F D C I>. G E • 1 O O. ) ) K = 2 IFCK.EQ.OlGD Tu 405 ~L=::cr> 0 =PRCil RC=RAIDfI) RM=P:i(l~l TH=PG(4) IC=ITMCI) ~fL=PGCló) i'D IS= PGC 2 l If(K.::Q.l)CALL FLExicx:r,xFJ,r:,EL,P,RC,RM,Tfl,NFL) IF(K.EQ.Z)CALL FLEX2( x:r, XFo,r: ,EL,f',RC,RM,TH,NfL,f'OIS,ROl•RDZl I FC C : : 1( I l • L T • l • l • OR. C : : 1( I> • G:: • 1 O O. ) l F F IC I) = X F I l F (( F F O (I l. L T. 1 • l. O R. C : : )( I) • G C: • l O O. ) l FF O C I l = XF [)

405 :oNTINU'.' (=O I F ( C BE TA ( I) • L T • 1. ) • DR. C ; AMA C !) • L T • 1. )) K = 1 I F CC B:: T.~ C I l • GE • l O O. l • O~. C GAMA C I l • G E. 1 O o. > l K = 2 IFC~.EQ.O)GO ro 410 ::L=::cn f'=PR<Il RC=RAIOCI) RM=?:i(l~) Trl=PGC4l ·-----------·Tc=·tTilrrr···· ·····································-····--···-----

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~ FL= PG < ló l If(K.EQ.l)CALL FTEN1<xrr,xro,1:,EL,P,RC,RM,TH,NFL) IFCK.!Q.Z)CALL FTEN2(XTI,XTo,x:r,xro,RDl,R02,RM) I f C C 3 E TA C I l • L T. 1. l • O R. C 3 ETA ( r> • G E -1 O O. l l BETA C Il = X T I IFC< :;AMA< I) .LT .1. l .QR. C •AMA( I). GE.100. l JGAMAC Il=XTO

410 :DNí INUE )EX<Il=PGC3l C:SPEC I l=PG(4)

450 :oNT INUE

?GC9>=o.o ?G(lOl=O.o >G(lll=O.O 0 G<12>=0.o 3GC13l=o.o 'G<14>=o.o 'GC15l=o.o .•G<1&>=0.o

500 :oNTINUE C*****FIM DE LEITURA E INfER•~ETACAO OE DADOS e C*****:ATORES OE TENSOES ESP!CIA!S PARA INT~RSECCOES.

Iflí=o RE AD ( 8 '11 O J NFT E IF<N:TE.EQ.O)GO TO 550 WRITC:<5•550Dl )O lZO I=t,NFTS READC8,550llJ,FTEI,FíEJ ~RifEC5•5502lJ,FTEI,FTC:J WRIE C F•J)FTE! ,FTEO

1 2 O : O NT I N UE IFIT=NFT~

550 :DNT!NUE C* **** e C•••*•:ONT~OLE FINAL OE CONS!SfENCIA e

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)O 700 != i,M IFCECIJ,LE.OlGO TO 5100

700 :oNTINUE

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)O 605 I=l,M A.;;e:;i; I f (I T M C Il • E Q. 2) W RI TE (5, ro-z.o ):I d A I O< I} : D NT I Nu• .O -,.,,,.

il RITE < 5• 1 OlOl )O 600 !=1,M

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179

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•,FCCI},T[T/\,W(l} RE TU R N

5000 WRilõ(5,6000>Ill STOf'

5001 ARIT~(5,600ll STOP

5002 •RITE(5•ó002l STOP

5004 iRI1õ(5,6004}AUX,III STOP

5 006 'à RIT~ C 5, &006) III STOP

5010 4RITEC5,6010}III STOP

5100 WRITõ(5,6100)I . STOP .. e---------------------------------------------·-------------------·-------------------

c

100 FORMA TCI5} 104 FORMAT(lhI5) 103 ºORMATCl3r10.o>

1000 FORMAT(///3X•'PROPRIEDADES nos ELEMENfOS') 1010 ºORMAT<l,7X,'MD0ULO DE ~LASTICIDADE CARACT!RISTICAS DA SEC/\0 TRA

l~SVERSAL FAIJRES DE ºLEXIBILIDADE FATOR DE ANGUkO PESOCMAS 2SAl',/,3X, 1 El LONGITUDI~ TRANSVERS DIAM!XT Esp~ss AR~A 3 IN POLAR FATFLEXl FAffLEXZ CORTANTE INiERN ESPECI 4FICQ.•,n

1020 ºOR~AT(I5,El2•5•El2-4•ºl0·3•FJ.3,F9.2,F11.2,F12.3,2x,2r12.3,F9.4,f 114.3)

1030 FORMATC/3X,'ll ELEMENTO• d4•' PJSSUI •,f3. o,' FLANGES') 1040 "ORMATC/3X,'0 ELEMENT0 1 ,I4, 1 E GOMADO,E POSSUI RAIO EQUIVALENTE=•,

*FlZ-5) 110 ºORMA TCI5) 5500 r0RMAT<///3X, 1 i'ATORES D~ TENSDcS ESPECIAIS 1 ,/,JX, 1 JT',6X,•FíEI',6X

•·,•FTE0•,1> 5501 c0RMATCI5,2E10, O) 5502 FORMATCI5rf10.3l 6000 'ORMATC///3X, 1 ERRO.PARt.'ALTAM 05 ELCMENTOS DO iRUPQ 1 ,I5J 6001 FORMAl(///3X,•ERRO•PARE,MODULO OE ELASTICIDADE ~ULO NO PRIMEIRG GR

•UPO ):. PROf'RIEJADADEs.•) 6002 r0RMAl(///3X, 1 ERRO.PARE,AREA E INERCIA, OU, DIAMETRO EXTERNO E E

*5PESSURA, DEVEM SER DADJS. PELJ MENOS NO PRIMEIRO GRUPO.•> 6004 'ORMATC///3X,•ERRO.PARt.AREA E INERCIA POLAR INCONSISTENTES PARAS

•õCAO TRA,~SVERSAL TUBULA~. AUX=• • E1z.5,•GRUPO= • ,r 3 l 600ó 'ORMATCl//3X•' ERRO.PAR:.,~Atl FOI DADO O ANGULO FI DO ELEMENTO GOMAO

*],GRUPO =•.I3) 6010 FORlrnT<///3X•' ::RRO.PARE.~AO FOI DADO O ESPACAMé:NTO DO ELEMENTO GOM

•AOO.~RUDQ =•,I3} 6100 FORMATC//3X,•E~RO.PARE.*****OMISSAO DAS PROPRIEDADES DO ELEMENTO

·•-14,_, ....... )

END 5 U BR OU TINE E. DE S C MA X A, A L fU, N ~ , M, J J, J1\, N J, L F , N P M, N. T P > I NTE;ER ALTU(l > J I ME N S I íl N MA XA C 1) , J J (1 ) • J K C 1 )

C*****: RIA O Võ:TDR OE ALTURAS JAS COLUNAS ClO 1 I=l•ND

1 ALTLJCI)=O C****•:ALCULO DAS ALfURAS PARA AS JU~TAS TIPO JK

)O 10 I=l•M ~AC•ó•CJKCI)•JJ<I)+l) ~--------~!~!~~}iir---- - -~-IF<AL TU<K )•NAC 1 )4, 10, 10

4 J O ó J= 1 • 6 L=K•J+l

6 ALTU(Ll=NAC·J 10 :ONTINU'

C•••••:ALCULO DAS ALTURAS PARA AS JU~rAs EXCLUSIVAMENTE TIPO JJ )O 20 JJI=1,NJ ~ = 6• J J I IFCALTU(K)ll2•12•20

12 ) O 1 4 J= l , G

L=K•J+l 14 ~LTU(L)=&·J 20 :ONTI NU'

180

C***•*:ALCULO DE MAXA<I> E Lê L f=O ~01=~)+1 )O 30 I=l,ND1

30 ~AXAC I )=O MAXA(ll=1 -~AXAC Z >=z IFCN~·1>40,40,3z

-------32 --l~-dt-rú-<'r1~Er)36,-36,-34 ---------------- --- ---------

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34 Lf=AL TUfI) 36 ~AXAC I+l >=MAXAC I )+ALTUC I>+l 40 Lf=Lº +1

~TP•MAXACNDl)•MAXACll+~'M RETURN :: N) SUBROUT!NE LIBERCLB,I,~~L,SM,SMR,M) )IMENS!ON LE!CM,12),AMLCM•12l,SMC12•12>•SMRC1Z•l~l )O 431 IC=l,12 I f C L BC I • I C ) ) 22 O, 2 2 O• 2 21

221 (P•AMLC!, IC) )O 222 K= 1,12 AML( I. ,o= AMLCI. tO·SrHK, IC >•XP/S MC rc, ICl

2 22 : O NT [ N UE )O 223 l<=t,12 )O 223 J= l,l~ ~MRCK,Jl•SMCK,Jl•SMCK,I:>*SMCI:,JJ/SMC!C,ICJ

223 .QNTINllE )O 430 K•l,12 )O 430 J=l,12

430 5MCK,Jl=SMRO.,J) 431 :orHINUE 220 :orHINUE

RE TUR N :: N iJ SUBRGUTINE INVERCS,N) }IM::NS!flN SCNdl),GClz>,HClZ)

-~N=N·l se 1,1>=1.1sc1o1 J IFCNN>S0,120,50

50 :ONT INU". )O 110 M•'l,NN ~ = M+ 1 )O 60 I=i,M ;co=o. :) O 6 O J= 1, M

60 :;e Il•GC I>+S<I,J )•S CJ,KJ U=o. }O 70 I=l,M

70 l•D+SCK,Il*5C[J õ:=S(K,K)•D SCK,Kl=l./~ • )O -ao- r=-1,M '

80 SCI,KJ=•:;(IJ•SCK,K) '" -) O 9 O J= 1, M tHJl=o. )O 90 I=l,M

9 O tH J) = H C J l + S C K ,I > * S (l, J l }O lJO J• 1,M

100 S(K,Jl=·H(J) 2 S(K,K) }O 110 !=l,M )O 110 J=l,M

110 se r,Jl=S( I•J)•G( I>*S{K, J) 12 O : O N TI N IJ;'.

RE TU R N :: ND 5U8ROIJT!NE QSfCH•Y,Z,N)IM) )'IMENSlfJN YC21l,Z<21' ciT=.3333333*1 IFCN} IM•SJ7,8, l

C '10IM IS GREATE~ THAN 5. f'RE?AR\ TIONS OF INTEGRAfION LOOP

1 SUM1=YC2)+YCZ) SUMl=SU•q+SUMl 5 UM 1 = HT * ( V< 1) + S UM l + Y ( 3) ) A U Xl = Y ( 4 )+ Y ( I+) AUXl=AUXl+AUXl

181

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-. ----------~ u~ l"="SlJMT +HT •T y OT•"A(f)(l .• n s·rr · - ---- --- . --. -----. --- -------- . -A U X2 = H T" C Y C l) + 3 • 8 7 S•d Y C ? l + Y C 5 J l + 2 • 6 2 5 * C Y < 3 l + Y C 4 l l + YC 6 J l 5UM2=YC5l+YC5)

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e e

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SUM2=SUM2+SUM2 SUM2=AUX2-HJ•CYC4l+SUM?+YC6ll ZC1>=0. A U X• Y C 3) + Y C 3) AUX=AUX+AUX ZC2l =SUM2-HT•C YC2 J+AUX+YC 4) l ZC 3l.=SWH l ( I+ J = S UM 2 IFCN)IM-ól5,5,2 INTEGRATION LOOP

2 )O I+ !=7,NOIM,? SUMl=AUXl SUMZ=A LJl(Z A U Xi = Y (! - 1 J + YC I - 1 l AUXl=AUXl+AUXl AUX1=SUMl+HT•CY<I-2)+AJXt+YCill ZCI-2J=SUMl I FC I-ND!M )3,6, 5

3 AUXZ=YCIJ+YCIJ AUX2=AUX2+AUX2 AUX2= SUM2+Hf•( Y< I-1 l+AJX~ +YC I+l l)

4 ZC I-l)=SUM2 5 ZC NDIM-t>=AUXl

ZCN)IM)=AUX2 RE TUR N

6 ZCNDIM-tl=SUM2 ZC N) IM )=AUXl RE TUR N :NO OF INTEGRATION LOO?

7 !FCNJ IM-3 ll2'1t ,8 ~DIM IS EQUAL TO 4 OR 5

8 SUM2=1•125•HT•CYC1J+YC?l+YC2>+YC2l+YC3l+YC3)+YC3l+YC4ll SUMl• YC2J+YC 2) SUMl=SUMl+SUMl SUMl=HT•CYCll+5UMl+YC3l) ZCll=O. AUXl=YC3)+YC3J AUXl•AUXl+AUXl zc2>=SUM2-HT•CYC2)+AUXl+Y(4}} IFCN) IM-S)lQ,9,9

9 AUXi=YC4l+VC4l ~ - -- - iY~\!~~1~~V;~Y<3;•A~l~f~s>-~

1 O Z ( 3 l = S UM 1 Z C 4 l = S U'l 2 RE fUR N ~DIM IS EQUAL TO 3

11 5 UM l = H T * C 1•25 • Y C 1 > + Y C 2 l + Y C 2·> - • ~ 5 • Y C 3} ) SUM2=YC2l+YC2l 5UM2= SUM2+SUM2 Z C 3 l = H T * ( YC 1 l + S UM 2 + YC 3 l l ZCll=o. Z C 2 l = S U'l 1

12 RE TURN :'. N) SUBROLlf!NE RIREHI,L,S~,E,G,AX, IP,f"C,FFI,FFO,BM, IMCD,Wl REAL LCl ), IP(l) ) IM:'. N S Iíl N S 11 C 1? , 1 2 l, E C 1 ) , G C 1 ) , A X C 1), FC C 1 l , F F I ( l) , F F O C l l )lMENS!ílN BM(l2•12l,WCll )O 1 K=l,12 l O 1 J= 1, 12

1 5MCK,Jl=o.o e I = C e C C I l l,. C 5. • t C I ) * I PC I> l / C G C [ J • A X C I l * LC I l • * 2) FI1=cr•1. é' I 2=?. -~ I FI4="I+4. 5A=E< I l*AXC I}/L( I)

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182

SB=GC I >•IPC Ili L C I) 51=C<IJ•IPCI>/2.)/CLCllrFI1> 56=6.*Sl/LC Il S 12=2.•Só/LC I> 5M(ld l=SA 5M(2,Zl=S12 SMC3,3l=Sl2 5MC4,4l=S8 5MC5, 5 l=S l•FI4 SMC6, 6 >=S l•FI4 5MC7,7l=SA SMC8,8l=S12 SM(9, 9 >= S12 SMC 10, lOJ=SB 5M(ll• l1>=S1*Fl 4 5 M C l 2 , 12 J = S 1 • F l-4 SM<l•7>=-SA SMCZ,ól=Só SM<2,a>=-s12 5MC2, 12'= S6 SMC3,5J=-S6 SM0,9 J=-512 SMC3, 11 >=-S6 5MC4, lOl=-SB 5MC5,9l=S6 SMC5,ll)=Sl•FI2 5MC6,8)=-S5 5MC6,l21=S1•qz SMC8, 12>=-S6 5MC9,ll)=S6 SMC7,ll=SMC1,7) SM(6,2l=SM(2,6l 5MC5,Zl=SMC2,8l SMC 12, Zl=SMC 2, 12) SM(5,3l=SM(3,5l SMC9,3)=SMC3,9l SM(l1•3>=SMC3,lll SM(l0,4l=SMC4,10l 5MC9,5l=SMC5,9l SMC11•51=SMC5,lll SMC8,6l=SMC6,8) SM(l2•61=SMC6,12l 5MC12, 8J=SM( 5, 12) SM(ll,9l=SMC9,lll

IF<I~CD.EQ.OlREIURN

àM=WCil•L<Il XL=L<Il (L2=XL•XL X I 2= I P ct J / A X C I l x1=xr212. )O 2 K=t,12 }O 2 J=l,12

z JM<J,KJ=o.o lMCl, l l=C 1,/3. J•WM 3MC7, 7l=BMC 1,1) 3M(l,7l=C 1,/5,J•WM 3M(4,4 J=XI2*BMC l• l J 3MCt0,10l=BMC4,4l 3MC4,10l=XI2•BM<1,7l 3 M C 2, 2 l = C C 13, / 3 5, J + C 5 • I 5. ) * X II X L 2 J * W M 3 M C 2, 6 l= C C 11, / 2 l O. l • X L + ( l , / l O, ) * X I / X Ll • W M 3 M C 2, 8 J = C ( 9. / 7 O. J - ( & • / 5 , l * X l / X L 2 J * W M 3MC2,121=cc-13-/420-l•XL+(l./1J-J•XI/XL)•WM 3MC6, 6 >=< C 1./105, l•XL2+(2 ./15, l *XI >•WM 3 M C ó, 8 l= - BMC 2, l 2) 3M(6,12l=CC-1,/140,J•XL2·(1./3D.l*XIJ•WM 3MCB,8l=BMCZ,2l . 3M(S,1Z)=-BMC2,&) 3MC12,12>=BM(6,ól 3MC7,1 )=BM(l,71 3MC10, 4)= BMC 4, 10) 3MC6,2)=8MCZ,6) 3MCB,Zl=BMC2,8J

3MC12,?'j)=8MCZ,12l 3MC8,ó =BMCó,8) 3MC12,ól=BMCó, 12> 3 M C 12, 8 '= B MC 8, 1 2) 3MCJ,3l=BMC2,2) 3MC3,5)=-BMC2,ó l 3 M C 3 , 9 >= B M C 2 • 8 l 3 M.C3, 11' = - BtH 2, 12 > 3MC5, 5 >= BMCó,ó)

. 3M{5,9l=-BMCó,8l 3MC5,lt)=BMC6,12) 3M(9,9l=BMC8,8) 3MC9, tl)=-BMC8, 12> 3MCil•lt)=BM(1~•12) 3M(5,3l=BMC3,5) 3MC9,3)=8MC3,9) 3MC11, 3l=BMC3,lll 3MC9,5l=BMC5,9) 3MC1t,5l=BMC5,11) 3M(lt,9)=BMC9,lll RETURN

183

ã N) SUBROUTI~E RICUCCI,L,RAIJ,FIJ,5M,E,G,AX,IP,FC,FFI,FFO,BM,H,X,A,IMC

*),W) RE AL L C 1 > , IPC 1 l ) I Me )JS I rJ N RAIO C 1 l, F I J C l l, S M C 12, 1 2 l , E C U , G C l ) , A X C 1 ) •FC C 1) , F F IC l ) , F F

.. )( l> )IMENSiílN FMC6,6l )IMENSION BMC12,12>,x<12, 12>,H( 12,12),A( 12,12>,~c l> )O 1 K=l,12 )O l J=l,12

1 SM(J,K)=o.o )O 2 K=1.,ó )0 2 J=l,6

2 ºMCJ,K>=o.o , r=z-;; • F·r;:i n ,-5 F= SI N (F I) SFZ•SINCº IJC I> l :F=CDSCFI) :Fz= COSfº IJC !) l Sl=FI+SF 52=F1-sF R= RAIO C I) FP=FºIC!l FO=FFOC !l e M C 1, 1 >= C R • S 1) / < 2. •E ( I ) • A X< I J l H R • S 2 .. FC< Il ) / < 2. • G ( Il * A X C I ) ) + ( F P • R•

1 • 3 1'( F I - 3. • S F • 2. •F I * C F 2 • •z > ) / C EC I l *IP C I ) ) ºMC1,2 l= CFP•R••3•C4,•S 0 ~••z-FI•SF> )/CEC !)•IPC!)) FMCt ,6 l=CFP•R••2•C 4.•Sº2-2.•fI•Cf2l )/CE( I >•IPCI > > F.M C 2, 2 ): ( R • S 2 l / ( E C I ) * 2. ! A X C I }} + C FC C I ) *R * S 1 l / < 2. * G ( I) * A X C I) ) + C F P * R *

1 • 3 • C 2 ... ,,. I * S F 2 * • 2 + S 2 > l / C t.C I> • I ~ C I > > FMC2•6 l=C FP•R•~2•F I•SF~ )/CEC Il• IPC Il/2,) 0 M C 6, 6 >= CF P • R•: I l/ <E C I) •IPC I) n . ) : M (3 , ·3 > = C R * * 3* C 3. * f I + S: * C f - 4. * 5 f > l / ( 2. • G C I > *IPC I l l + C R * • 3 * F O* C F I - S F

l•CFl l/(~C I)•IPC Ill+{FC( Il*R•Fil/CGC I>•AXC 1)) . F M C 3 , 4 > = C - R • • 2 • < 4. • SF 2 • C i" 2 • S l J > / C 2. • G C I ) • IP ( I l > H F O• R **2 • C f 2 • S 2 > / C

lEC I>*If'(I)l : M C 3 , 5 l = - R • • 2 • S F 2 • S 2 / C 2 • • G C I l • I PC I l l - C F O• R• * 2 * S F 2 * S 1 l/ CE C I > * I P C I l l F M ( 4, 4 ) = ( R * S l) / C 2. • G C I ) *IPC l ) > + C F O* R * S 2 l /<E ( I ) • I PC I l ) : M C 5, 5 )= ( R * S 2 l / < 2. * G C I l •IPC I I l + C F O* R• S 1 l/ < E C I ) • IP ( I I l F M < 2, 1 >= F M C 1, 2 l FM(ó,l ):: M(l,f,) FMC&,2)=FM(2,ól FMC4, 3)=F MC3,4l ºMC5, 3 l=: MC3,5 l :ALL INVERCFM,,> ) O 3 J= 7, 12 Jf=J·6 DO 3 K=7,J <T=~·ó

3 SMCJ,Kl=FMCJT.<Tl SMCld l=SM(7'7l SM(2, l l=SMC8,7l SMCZ,2 l=SMC 8,8 l 5M(3, 3 >=SMC9,9)

e e

SM(4, 3l=SM( 10,9) SM(4,4l=SMC10•10)

184

S IH 5, 3 )" S M ( 11, 9 >-S M C 9, , ) • LC I l S M ( 5 • 4 l = S M ( 11 • 1 O l - S M C 1 J , 9 l * L C l ) S M C 5, 5 l= S M< 11 • 11 J- 2. • S '1 C 11 • 9 l • - C I l +S :-1 C 9, 9 l • LC !) • • 2 5MC&, 1 l=SM(8,7 l•LC I)+S'1( 12, 7 l S M C & , 2 l = S MC 1 ~, 8 J+ S M C 8, B )> L( I ) S M C & , ó l= S MC 12, 1 2 l • S M C 8, B l "L C I l • • 2 + 2. • S M C 1 2, 8 ) * L( I l SMC7,l )=-SMC7,7l SM<7, 2 >=-SMC 3, 7) S M C 7, ó l= - ( S M {8 , 7 l * L ( I l t S M ( 1 2, 7> l SMC3,1l=•SM<3,7) SMC8,2l=·SMC8,Bl SMC8,&)=-CSM(8,8l•LCI)+S~C12•8)) SMC9, 3l=-SMC9,9 l SMC9,4 J=-SM(lQ,9) 5 M C 9 , 5 l= - S M C 11 , 9 l + S M C 9, 9J • L C I l SMC10,3l=-SMC10,9) SMCl0,4)=-SMClJ,10) SMCl0,5)=-SMCll,lOl+SM( 10,9l•LC Il SMC11•31=·SM(ll•9) SM(ll,4)=-SM(ll,10) SMC11,5)=-SMCll•lll+SMCil,9l*U !l SMC12,11=-SM(l!,7l SMC12,2l=-SMC12,8l S M C 12 • ó l: -e S M C l 2 • 8 ) "L C I l + S M C 12, 1 2 l ) )O 4 J=l,12 )O 4 K=l•J

4 SM(K,J)=SM<J,Kl WRIEC13•IlSM

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) O 1 O J= 1 • 12 . ) O 1 O K= 1 • 12 KCJ,K)=o.o H ( .!I, K l =O. O 3 MCJ,K >=o.o

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XC 4, 4 >= 1. . CC4,9l=-FI+C&•SF•CF

185

186

H(8,1 )=H< 1,8) ~(2,2>=R2•<c2.,3.•FI**3)+C•CO-i•52F•FI•C2FJ.+C•C•CFI+o.s•S2Fl)+Cl6*

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2 O A ( J, K J = AC J, K l + H C J, JK l •q C J K, K l )O 25 J=l,12 DO 2:i K=l,12 )O 25 JK=l,12

25 3M(J,Kl=BMCJ,K)+XCJK,Jl•ACJK,Kl XM=WC I l•RAIOCI l )O 30 J=t,12 )O 30 K=l,12

30 3MCJ,Kl=XM•BMCJ,Kl RETURN : N) iUBROUT!NE RIRERCI,L,Lll,LLZ,SM,E,G,AX,IP,FC,FFI,FFO) REAL L(ll,IPCll,LLl•Ll! ) I M~ N S l'"l N S M C1 2 , 1 2 ) , S C 1 J , G C l l , ~ X C 1 l , FC C 1 l , F F I C 1l , F F O C 1 l )IMENSION FMC6,6l )O 1 K=1'12 )O 1 J=l,12

1 SMCK, J)=o.o C:fc C I >•<EC I )•IPC I )/2. l ,e G( I >•A XC I l l AL=LCIJ Al=AL·Lll AZ=AL•LL2 A=AL·AUA2 3= CA~ ••2· Al**2 +A2**2 )/ ! • :=(Ac••3·A1••3+A2••3l/3, D=C·B••2./A+A•'" cE=Cc(I)•IPCI)/2,)/0 SMC1,1J=ECil•AXCI)/A 5MC2• Zl=EE SMC3• 3 l=EE S MC 4, 4 l=:; C !l •IPC I l / A SMC5,5l=CAL••2+<C·z.•B•ALl/A+Fl•EE 5MC6,ól=SMC5,5 l S M C 7, 7 )= S M C 1, l ) 5MC8,8J=EE SMC9,9J=EE SM(l0,10l=SMC4,4l 5MCll•lll=(C/A+F>•Et SMC12, 12l=SMC11'11 l 5MC1•7>=·SMC7,7l

-------5/H;(, 6-J=TÃl·B-/A J•"E~-------. SMCZ,BJ=•EE 5MC2, 12>= 8/A•Eã: SMC3,5l=·SMCZ,ó l 5MC3,9>=·EE SMC3,il>=•SMC2, 12) SM(4,tO)=-sM<to,10J SMC5,9l=SM(Z,ól SMCS,lll=C<B•AL·Cl/A•Fl•EE SMC6,8)=SMC3,5l SMC6, 12)=SM( 5, 1 ll SM<B,t2l=SMC3,11l SMC9,lll=SM<2•12l SMC7, 1 l=SMC 1,7 J SMC&,z>=SM<z,&> SMC8,2l=SMC2,Bl 5MCtz,z>=SMC2,12l

5MC5,3l=Sl1C3,S) 5MC9,.3l=SMC3,9l SM<11,31=SM<3,lll SMC10,4l=SMC4,10) SM{9,5)=SMC5,9l SM(ll,S>=SMC5,ll) SMCS, 6 l=SMC6,8) -- s,rc 1 2, 6-, =~<õ, t<i--­S M < 12, 8l=SMC8, 12) SMC11,9)=SMC9,lll aRIT'C13'IlSM

4 'RETURN ~ND

187

SUBRGUTINE RICUQCI,SM,L•~P,FI,CM,YM,E,G,AX,IP,FC,FFI,FFOl REAL L<ll,LI,If>Cl),IPI,I~I ) I ME N S IO N S M C 1 ~ , 12 l, N PC 1 l, E C 1) , G C 1 l, A XC 1 l •FC C l ) • F F I C ll • F F O C 1 l

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l s·M(J,K)=Q.Q } O 2 J= 1. 6 )O 2 K=l,6

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3 XMC~ ):J+H EI=ECI) :iI=G<Il AI=AXCil ~ I=L< p IP I=IPC !) I NI=I PC Il /2. ºCI=ºCCI} êP=FF'ICil FO=FFO( I) }O 4 K=l,NPI :=cos<FHK» S=SINCFICK)} X=XMC K l Y=YM(Kl Zl(Kl=C/CEI•All+FP•CY*•~/CEI•I~I•Cl)+FCI•<S••Z/(GI•AI•Cll Z2CK_)=5/(EI*Ail+FP•CCLI"Xl*Y/CêI•INI~C))-FCI*S/(GI*AI) Z3CKl•F 0 •CYtCEI•INI•Cll 14(()=5**2/CEI•AI•Cl•F~•C<LI-~l••z/CEI•INI*C))+FC!•C/CGI•AI)

---· -{i-H 1-~ ~-t-tí f-~ I-:l11v-~E-f t ! JH-Ei l-u, r * cT+Fo * e cc r'" x-5 ,.-cc.-r-.. s)· .. -. 27 n: r.: ni t•tT -l+FCI/(G!*AI*Cl

Z7CK)=(CX-LI)•S-Y•Cl/(;I•IPI)+ 0 0•CCLI·XJ•C·Y•SJ•S/CEI•INI•C) Z8(K)=((X-Lil•s-Y•C)*S/(;I*IPI•C)+FO•CCX-LI)*C+r•sl/{EI•INI) Z9(K l=C/CGI•IPI l+FO•C S .. ~ /C EI•I NI•C)) ZlO(Kl=S/CGI•IPI>·Fü•CSICEI•INI >> Zll(Kl=S••2/CGI•IP!•C)+FQ+C/C!I•INI) Zl2CKJ=FP/CEI•INI•Cl

4 :oNTINUE : ALL QSc-c H, Zl• Z Al• NPI l :ALL QSFCH,Z2,ZA2,NPI> :ALL QSFCH,Z3,ZA3,NPil :ALL QSc-CH,Z4,ZA4•NPI) :ALL QSFCH,Z5,ZA5,NPI> :ALL QSFCH,Z&,ZA6,NPI> :ALL QS'CH,Z7,ZA7,NPil :ALL QS'(H,Z8,ZA8,NPil :ALL QSFCH,Z9,ZA9,NPI) : ALL QSFC H, Zl O, ZAlO,NPil :ALL QS'(rl,Zll,ZAll•NPI) :ALL QS'CH,212• ZA12•NPil FMCl, l >=ZAlCNPl > FMCV2l=ZAZ(NPI) ºMC1,&)=ZA3CNP! l

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F M (3 , 4 ) = Z A 7 C NP I ) ºMC3,S)=ZA8CNP!) FM(4, 4 >=ZA9CNP! l FM(4, 5 )= ZAlOCNP!) FMCS,Sl=ZAll(NPl) FM(6,ól=ZA12(NPIJ cM(Z, 1 ):< MC 1,2) FM(6,1 l=FM( 1,r,J CM(6,2)= 0 MCZ,6) rM(4,.:l>=,M(3,4) FM(S,3>=FM(3,5) FM(S,4l=F"M(4,5) :ALL INVER(FM,,) )O 5 J=7,12 J T =J • 6 ) O 5 K= 7, J (T=(·6

5 SM< J, Kl=F M< JT, ~Tl 5M(l,ll=SM(7,7) SM<Z, 1 >=SM(B,7) SMC2,2>=SM<8,8) SM(3, 3 l=SM< 9,9) S M C 4, 3) = S M( 1D, g ) SMC4, 4 l=SM( 10, 10)

188

SM(S,3)=SM( 11'1 >-SMC9'9)•L( I) S M ( 5, 4 ) = S M C 11, l O) - S rH 1 O • 1 ) * l ( I ) SM(5,5>=SMCll,11)-2.•S~Cll,9l•LCI)+SMC9,9l*LCI>••z 5M{ó,t )=SMC8,7l•L( IJ+S~C12,7) SMCó, Zl=SMC 12,8 )+-SMC8, B>•LC I l 5 M C 6, ó > = S M C 12 ,1 2 ) + S M C 8, B) •L C Il • "2 + 2. * S M C 12, 8 ) "L( I l 5MC7, l >=-SMC 7, 7 > SMC7•2 )=-SMC3, 7) SM<7,ól=-(SMC8,7)•LCil+SMC12•7l l S M C 8 , 1 l= - S M C 8, 7 l SM(B,z)=-SMC8,B) SMC8,ól=-CSMCB, Sl•LCI l+SMC12,8l l SMC9,3l=-sM<9,g) ' SMC9,r.J=-SMC10•9> SMC9,5l=-SMCll,9)+SMC9,Jl•LCil SMC10,3>=-SM(lQ,9) SMCl0,4>=-SMCl0,10) --------sMn-ô,-S)=·SfHTlirOY•S~ Cf ,r, 9T»[.T Tr - --- ·--- ----- -------- --- - -- -- ----S M ( l l, 3) = -S M ( 11, 9) SMC11•4>=-SM(ll•l0l SMCll ,5'=-SM(ll • 11 l+SMC l l ,9)•U I l SM(l2,t>=-SM(l2,7l SMC12•2'=-SMC1~•8> SMC12,6l=-CSMC 12,8>•LC !)+SMC12, 12ll )O 6 J=1,12 ) O ó K= l, J

6 SMC<,Jl=SMCJ,Kl ,rnrru n• r>sM RE TU R N ê NO SUBRJUT!NE TECZU(S,MAXA,AC,REC,NJR,IB,ND,LF,NJiB,IMCO) ) IM~ ~ S Iíl N S C 1 l , MA X AC 1 l, Ia C 1 l , AC C 1 l , RE C C N J, 6 J )lM~NSION seu )O 100 != t,NJR L1=7•!-6 LZ=Ll+l L7=Ll +6 <=O DO 100 J=L2,L7 <= K + l IFCIBCJl)l00,100,10

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40 <"SS=~AXACKVl+L <D=MAXACKV1-l} IF(KSS·KD>so,&O,&O

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189

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407 408

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190

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4 41 S M RC J, I3 > = S H CJ, I l l * R C I , 3 l + S M C J, I Z >-· R C I , ó ) + S H C J, I 3 ) • R C I, 9 l IFCNJRil44Z,451,44Z

442 >o 45& rc=1,2 IFCIC•ll445,445,443

443 IFCJINCJKJJ)444,45&,44, 444 , 1=3

i:z=4 JI=JKI :;o ra 447

445 IFCJIN<JJill445,456,44; 446 Ll=l

L z=z JI=JJI .

447 REA)Cló' J!)(RICI4l,I4=L o9l )O 448 K=Ll,L2 I l=3•K·2 IZ=3rK•l I 3 =3 • K )O 448 .l=l,t2 5MCJ,Ill=SMRCJ,Ill•RI(ll+SNR<J,I2>•Rl(Zl+SNRCJ,I3l•RI(3) 5M(J,I2)=SMRCJ,I1l•RI(4)+SMR(J, r2>•RI<Sl+SMR(J,I3l•RI(ó)

448 SMCJ,I3l=SMRCJ,lll•RIC7J+SMRCJ,IZl•RIC8l+SMRCJ,I3l•RIC9) IFCIC·tl449,441,450

449 :..1=1 _2=& GO TO 451 ··----i;50-T r= ,- --- ··-- --- ·-----··-. -... -- -- --- .. ---· -··---·---- -- --- -- ----- ----- -------- ···------ -. ----· ~2=12

451 JO 452 J=l,12 ) O 4 5 2 K = L 1' L2

452 SMRCJ,Kl=SMCJ,(l 456 :oNTINUE 459 ,rnn: C 12' IlSMR 460 )O 4&1 J=t,4

I1=3•J·z I2=3•J·l I 3=3 • J )O 451 K=l,12 SMCI1,Kl=RCI,ll•SMR<Il,~l+R(I,4l•SMRCI2,Kl+RCI,7l•SMRCI3,K) 5 M C I 2 , K l = R C I, 2 l • S M R C I 1 , O + R C I, ; ) • S M R C I 2, K h R C I, 8 > • S M R C I3, K J

4ól SMCI3,Kl•RCI,3l•SHRCI1,(l+RCI,;J•SMRCIZ,Kl+RCI,9)•SMRCI3,K)

fFCNJRil463•477,463 463 O 475 IC=l•2

IFCIC·ll4ó6,46&,464 464 If(JINCJK!))475,475,4&5 4 f,5 L 1=3

L2=4 JI=JKI :;o TO 458

466 IFCJIN(JJI)J475,475,4&7 467 _ 1=1

L 2=2 J I=JJI

4 6 8 RE A) C 1 6' J I >< RI CI 4 l ,I 4 = 1 , 9 l )O 4&9 J=L1'L2 I1=3•J·2 IZ=3•J·l I 3=3 • J )O tdi9 !<'=1,12 SMRCI1,Kl•RI(ll•SMCJ1,Kl+RI<2l•SHCI2,Kl+RIC3)*SMCI3,Kl SMRC I2,t0=R!C4)•SM<ll,~)+RI(5l•SMC !2,Kl+RICóhSM( I3,K>

469 5MRCI3,Kl=RIC7l•SMCI1,{l+Rl<8l•SMC IZ,KJ+RIC9l•SM( 13,Kl IFCIC-1>470,470•471

470 L l=l L2=& ;o ra 4r2

471 c.1=7 LZ=l2

472 )O 473 K=l,lZ )O 473 J=Ll,LZ

473 SMCJ:,Kl-=-SMRCJ,·(-J

475 :oNTINUE 477 :ONTINU'.'

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191

JO 2000 J= 1'12 5 M RC J • Il l = B M C J • I l > * R ( I • 1) + B M C J, I 2 > • R C I • 4 ) + 8 M C J • I 3 l"' R ( I • 7) SMRCJ, I2l=BM(J, Ill•RC I, 2l+BM(J, I2l•RCI,5J+BM(J,I3l•RCI,8l

2000 SMRCJ,I3l=BMCJ, Ill•RCI,3l+BMCJ, I2l•RCI,6l+BM(Jd3l•RCI,9J ) O 2 O 1 O J= 1 •'4 I 1=3•J·2 I2=3•J·1 I3=3•J )O 2010 K=l,12 3MCI1,K1=RCI,ll*SMRCI1•~>+RCI,4l•SMR{I2•Kl+RCI,rl•SMRCI3,K> 3 M CI 2, K J = R ( I, 2 l • S M R C I 1, ,q + R C I, :i ) • S M R C I 2, K) + R C I, 8 ) • S ,rn C I 3, K)

2oro 3M(I3•K>=R<I•3>•SMR(Il,~)+R(I,,J•SMRCI2•K)+R(I,9)•SMR(I3,K) IFCNJRil2442,2015•2442

2442 )O 2456 !C=l,2 IFCIC·l12445,2445,2443

____ 2_41t_3 _ _I f_(_J_I_~ _(,!i'CI )) 2-4~_4, _2',5_(,_._ 2_, ~-"-- ___________ _ 2444 Ll=3

L2=4 JI=JKI ;oro 2447

2445 IFCJINCJJill2446,2456,2446 2446 ~ 1=1

L2=2 JI=JJI

2447 REA~Cl6 1 JI>CRICI4l,I4=l•9l )O 2448 K=Ll,L2 I1=3•K·2 I2=3•K·l I3=3•K )O 2448 J=l,12 5 M RC J • II l = B M C J, I 1) •RI C l l + B M C J, I 2} *RI ( 2) + B M C J • I3} • R I( 3) S M RC J, I 2 l = B M C J, I 1 ) •RI C 4 H B IH J, I 2 J * RI C 5 J + B M C J, I 3 l * RI( 6 l

2448 SMRCJ,I3l=BM(J,Jll•RI<rl+BMCJ,I2l*RIC8J+BMCJ,I3l•RIC9} 1rcrc-112449,2449,24so

2449 L l=l L2=6 :;o TCJ 2451

2450 L 1=7 L.2=12

2451 )O 2452 J=1'12 )O 2452 K=Ll,L2

2452 3M(J,K)=SMRCJ,K) 245& :ONTINUº

)O 24 75 IC=l,2 rrcrc-112466,24&&,24&4

2464 IFCJINCJKill2475,2475,2465 2465 ~1=3

L2=• J I=JK I GOTO 2458

2466 IFCJINCJJI)l2475,2475,24ó7 2467 _ 1=1

L2=2 JI=JJI

2468 READC16'JI)<RI<I4l,I4=1,9) )O 2459 J=Ll,L2 I 1=3•J·Z I2=3•J·1 I3=3•J JO 2•69 K=l,12 S M R( l l , K1 = R IC l} *ª WC rr, < }+ 1l IC2 l •S-M{ l 2 • K >+RI ( 3} *Bi'I< 13, K) SMRCI2,K)=RIC4)*BM<I1,:(l+RIC5)•BM< I2,K)+RI(&)*BMC 13,K}

2469 5HR<I3,K>=RIC7)•BM(Ildl+RICBJ•BMC I2,K)+RI(9)*BMC 13,K) IF<IC·t12470,2470•2471

2470 L l"'l L2=6 :iO TO 2472

2471 L1=7

24 72

2 473 2475 2 015

e. e e

L2=12 )O 2ft 73 K=l,12 )O 24 7 3 J=Ll,L2 3H(J,K> SHRCJ,K) : O NT I NU :oNTINU

192

>IONTAôEM OE S ~M FORMA J~IDIM~NSIONAl, POR COLUNAS DE TAM.VAR.

)O 480 K= 1'12 ROW= !L(K) :oL=MAXA<ROW) <S=COL )O 480 J=l,K (V=K-J+l <s=:aL+( IU!l)-I l(KV)) - -- --4 iro- -s n< s-r=-sn,s J~S1'lTK v-,-rn- ---- ----- - ------- -· · --- -----------------· · -- --- -- ----· -· ------ -If(IMCD.LE-o)GO To 499 )O 2050 K=l,12 ROW=IL(t<) :OL=MAXA< ROW) <s=:oL J O 2 O 5 O J= 1 , K <V=<-J+l (S=CCJL+<ILCKl-IL<KVJ)

2050 3(KSJ=BCKSl+8M(KV,K) e e e e

e e e

e

e e

499 :oNTINUE

500

502

INTRODUCAO Dos APOIOS :LASTICQ; EM s If(NA~ )600,600• 500 )O 502 IC=l,NAE J=AM~< rc,n )O 502 !=1,6 J l=6•J-C&-I l <S=MAXA<Jl) SCKSl=S{KSJ+AML(IC,I>

INTRQ)UCAO DAS CONDICO~S DE CO~lORNO EM s.ce: EM AC SE ITICC=l,2}

600 JO 550 I=l,NJ JO 550 J=l,6

550 AMSC!,Jl=O.O LEiíURA DOS MOVIMENTOS DE APOIJS SE ITICC=2 IfC ITICC-1>700, 650,601

601 •Rifê<5•1200l REA)C8>1202lNJ~Nl )O 604 I= 1,NJRN 1 READCB,1106)J,CAMS(J,K),~=t,6>

604 WRIE(5,llíl7>J,<AMS(J,O,K=t,ó) 650 : O NT HJ UI'"

JO 640 I=1,ND 640 ACCI>=o.o

;_,:

JTILIZACAO DA TECNICA 0)5 ZERO; E UM SE ITICC FOR MAIOR QU2 Z~RO : A L L TE C Z U C S, M A X A, AC , A ,t S , N J R ,I 3 , N D , L F , N J , B , I M CD> UlILIZACAO DA TECNICA DJ NUMERJ GRAN~E SE ITICC=O.{MODIFICA SJ IfCITICC)700,700,720

700 JO 710 I=l,NJR Li=l'•I-6

·- L2=L T+ 1-· L7=Ll .. 6 <=o

,~ - a_: .. ~

JO 710 J=L2,L7 .(=K+l IfCIBCJ)J7l0,710,705

705 ROW=ó•I8CL1)•(5-K) (S=MAXAfROW} S{KS>= 10. OE+13

710 :oNTINUE 720 :ONTINU:'.

RE TUR N 1200 FORMAT(///,3X,•RECALQU:S DE AmJIJ PARA O PRIMEIRO CARREGAMENTO',/,

•3X,' J TRANSX TRA~SY fRANSZ ROTACX ROTACY ROTACz *' ., /)

1202 FORMA TC IS l 110& FORMA T( IS, óFlO. Ol 1107 FORMATCI5,&Fl0.6)

:'. N) SUBROUTI~E DECOC(A,HAXA,1Nl '>IHENSION ACil,MAXACll )O 140 N=l,NN <N=MAXACN l

19 3

( L = K 1t + l_ _ _ _______________ . _________________________________________________________ _ -----------(U-=MA ~ Afl.f+Yl ;-e .. ---

< H=KU-KL IfCKHlllO,ó0,50

60 (=N-1 <I=MAXACK) A(KLl=ACKLl•AC<Il ;o TO 110

50 (=N-KH-1 IC=O <LT= KLJ <I=MAXA(Kl ACKLf)= qKLTl•ACKI l 3=AC KL Tl•ACKLT l <=K+l )O 50 J=t,KH !C=!C+l (LT=KLT-1 <I=MAXACKl ~D=MAK ACK+l l-KI-1 l f(ND) 75, 75,ól

ól (K=M!NOCIC,ND) : =o. )O 70 L=l,KK

70 :=C•ACKI+Ll•A((LT+Ll A( KL T>= AC KLT>-C

75 ACKLT)=A<KLTl•ACKil 3=B+ACKLll•ACKLJl

80 <=K+l AC KN) = AC KN J-B

110 !FCACKN)l120•1~0•125 120 AR!T:'.(S,2000)N,A(KN)

STOP 125 IF(ACKN>-0.111~6•130•133 12& ,IR!T:'.(5,200l)ACKN) 130 ACKNl=l./SQRTCA<KNll 140 :ONTINU:

RETURN 2000 FORMAT(//,SX,•SUBROUTI~A NAO AJEQUADA PARA A RESOLUCAO DO SISTEMA.

•'AR:'.. N= 1 ,IS, 1 .A(KN)= •, 0 10.4) 2001 FORMAf(//,SX,• A(KN)= •,Fa.s, 1 •*• O PEQUENO VALOR DESTA VARIAVEL P

•JDE T:'.R INTRODJZIDO ERRJ NA R:'.,OLUCAO 00 SISTEMA••••) ~ ND SUBROUTINE ESF?RCE,G,A(,I?,L,P~,RAIO•FIJ,SM,AML•ITM,Ml ,,..., RE AL L C l l • l ? ( l ) 1 ; . J I ME N S ION E( 1 l, G C r·i, A X cn, P R(l l , RAIO( 1 ), FI J <l J. S11 C 12• -12 l , A MLC M • 1 2)'·:

• • fTM C 1 l .-C* ***•INI:IALIZACAO

~ !=4.*ATANC 1.ol e C•••••:ALCLJLO DOS AML DEVIDOS A PRES,AO INTERNA e

e

)O 100 II=l,M I = II ~OIS=CE(Il/C2.•GC!lll-1. )(=SQRH4 .•I>CI l/AXCI l+Z-*AH!l /PI> A U X=) E * .. 2 -4. * A K < I l /PI )I=SQRHAUO TH=( JE-DI l/2. RM=C) :'.-TH)/2• SlG•CPRfIJ•RMl/(2.•fHl IF(ITMC!l.Gf.olGO TO lJ

C MEMBROS RETOS e

AU(=AXCIJ•SIG•<t•-2•*PJISl AHL(I,7)=AML<I,7l-AUX

194

~MLC I, 1 l=AMLCI, ll+AUX . e······ :;o .ro_ 100 ................. . ---- ----- ·-------------------------------- ---------------- --------

C ~EMBROS CURVOS e

10 :otHINU':: R=RAIO(Il er=z.•FIJ(Il S IG=SIG/E(I J 5f2=SIN(FIJCI)l : F 2= C OS ( F I J C I J J i)P7=R•SIG•CFI•CF2-<FJ•:F2+2.•S 0 2l*PDIS1 )P8=•R•SIG•c1.•P0ISJ•Fl•5F2 ~Pi2=·SI5•FI•<1.-PO!Sl RE A) C l 3' I > S M AUXt••(SMC7,7l•DP7+SMC7,Bl•DP8•SMC7,12l•DP12l AUX2•-CSMC8,7l*DP7+SM<3,8l•DP8+SMC8,12l•DP12l AUX3=·CSMC 12,7J•i)P7+SMC 12,8)•0• B+SMC 12,12J•DP12l AML< I , 7) =AML C l, 7 J + AU X l A MLC I, 8 l =AML(!, 8 J+ AU X2 AML< I, 12l=AMLC I, 12 J+AUX3 AML< I, 1 l= AMLCI, 1 )•AUXl AMLCI,2l=AMLCI,2l+AUX2 AML<! ,61= AML<!, E,)-AUX3

1 00 : O NT I NU! RE lURN END 5 U BR OU TINE T;: MP E C M Ti: MP, IT 1-1, L, F I J ., AML, S M, RAIO, M,;: , G, A X, IP •FC • F F I, F F

*) , SM R J REAL LCl),IPCl) )IM::NS!ON ITMCll,FIJCl),SMC12,12l,AMLCM,12),RAiiJ(l) J I ME N S I0 N E C l) , G C l ) , A X C 1) , FC C l ) , F F I( 1 l , F F O C 1 ) )IM::~S!ON TC4J,DLC6l,AJ((6l )IMENSION SMR(12,12l ~RITE<5•100} )O 2D I!=t,MTEMP ) O l O J= 1, 6

10 AUX( J)=o.o il E AJ C 8 , l O 1) I, CD T, C H K l, ~ = 1, 4 l ~RITEC5•102>I,CTCKJ,K=t,4l,COT IFCITM(!))l,1,2

l S=L<IJ SO TO 3

2 S=RAIOC I l<·FIJC! l•2, 3 JLCil=CDT•CTC1l+TC2J•Sl!.l•LCil

)LC2>=-CDT•TC3 l*S*L<I li!• · -·') C-<3 -r=-...-r-c OT•-r< 4· l*CC 1-r* .-z ,12.

GL<4>=o.o lLC5l=COT•T<4l•LCll GLC6J=•CDT•TC3J•S

í . ,

IFCITMC!))E,,4,5 4 : ALL RIRE H I,l, 5M,E,G,.~X, IP ,FC, FF I,FFO,SMR•O•E>

:;o TO 7 5 sc=s•COS(FIJCIJJ-L(I)

)L C 1 J = ou 1) + CD T *T< 3 J • R A IJ C l l *S: lLC2l=DLC2l•CDT•TC2l•SC

ó READC13' IlSM 7 JO 9 J=!,12

~03K=7,l-2 8 AUX(J•6l=AUX(J•6)-SM(J,t)•0L(K•ól 9 A.M L( I , J l = A Ml< I , J )+ AU X C J • 5 }

AML< I ,t l=AMLCI, l)•AUXCl J AML<I,2l=AMLCI,2>-AUXC!l A M LC I , 3 l = AML CI , 3 l • AU X C l l AML<I,4l=AMLCI,4l•AUXC4l ~ M L( I • 5 l = AML( 1 , 5 J - C A U X C 5) -A U XC l l * L ( I} J A M LC I , ó} =AML CI , 6 l - ( A U X ( 5 J t A U t ( ! l • LC I ) l

20 :oNT I NUE 100 eoRMATC///,3X,•TEMPi:RATJRA NOS M~M8ROS 1 ,//,H, 1 CAMP0 ASSUMIDO LINE

1AR:J(S,Y,ZJ=To•Il•S•T2•Y+J3•z 1 ,//,31,•CAMPO AO LONGOºº ELEMENJQ:• 2,11,3x,•ELEM~Nro•,sx,•ro•,1ox,•r1•,10.x,•T2•,1ox,•T3 1 ,12x,•cor•,11>

101 FORMAl(I5,El0.3,4FlO.Ol 102 FORMAHI6•3X,4i'10,3,E10.3l

RE TUR N :: ND

. ·--------------------·-19.5---------------------------------------------------

100

SUBROUTI~E P,º1'H<M,ITM•l•.AML,W,~, ITIPO,MRC> REAL Ul>. )IME~S!ON ITM(ll,AMLCM,12),WCll ) IMENS ION RC M, 9 l IFCITIPO.EQ.O)SO TO 103 WRITEC 6, lOOOl )O 200 !II=1'M~C ~EA~CS,lOOllI,WX,WY,WZ •RIT:(8,lOOZ>I,WX,WY,HZ W X=• W X ~ Y= • W Y '4 z=w z

~8Nt~N0pl )O 2 !=1,M IFCITMC I» 1'1•2

l IIX=RCI,Z)•WCI)

201

W Y=RC I ,5 )*WC I) áZ=RCI,8l•W(I) : O NT I N UE AUXl=WX"l< I)tz. AUXZ=WY*L( I )/2. A U X3 = W Y •L CI l "* 2 / 12. AUX4= WZ•LC I)tz. AUXS•WZ•LC!l••2/12. AMLCI,1)=AML(I,1l+AUXl AMLCI,z>=AMLCI,2l+AUX2 AHLCI,3l=AMLCI,3l·AUX4 AMLCI,Sl=AMLCI,Sl+AUX5 AMLC!,6)=AMLCI,6l+AUX3 A M lC I , 71 = AML C I , 7 l + AU X 1 AMLCI,8l=AMLCI,8l+AUX2 A MLC I , 9) = A M LC I , 9 l - A U X 4 A MLC I , 11 l" A M LC I , 11 l-A U X 5 AHL(I,12l=AHLCI,12l·AU(3 IFCITIPO.GT •. Q)iO TO 199

2 :oNTINUE RETURN

199 200

1000 1001 l 002

: O NT I N LI: :oNTI NUE RETURN • O RM A T( / / 3 X, ' E L FORMATCI5,3E1Q.O) FORMATCI5,3Fi2•S) : ND

DIRECAJ lC ) IRE CAD Y DIRECAO z•,/J

!;UBROUTINE P'MCC M, ITM,AA, R, IFO{, F I J,RA IO• SM,AHL• L,E,G, AX, IP,FC,FFI •,FFO,W,ITIPO,MCCC) .

100

REAL IP! 1 l, LC 1 l INTEGER AAC 1l ) I 11:: N S IO N IT M <l l, R 01, 9 l ,I FOR C 1 l , 'é' I J( ll , S M C 12, 12 l , A '1 l C M ,1 2 ) , RA I O C 1 l

* , E Ci l , G 'f 1 l, A X< 1 l ·• FC< l > , e F I C 1 ) , ° F O C 1) , W < 1 l )IM::NSIOM 0L(6)rAUXC12l IFCITIPO.EQ.O}GQ TO 100 ARITECB,1000} )O 200 III=l,MCCC READ<s,1001>1,wx,w,,wz •RIE(B,1002>I,WX,WY,WZ wX=•WX ~ Y= • W Y ,z=,iz ;o ,o 201 :oNTINUº )O 20 I=l,M IFCIT~Cl)lZ0,20•1

l IFCFOR<I))Z,2,20 2 ~X=RCI,Zl•W<Il

201

~ Y=R( I ,5 )"'WC I> WZ=RC I .~l•WC I) :oNTINUE l O 9 K= l • 6

8)LC<l=O.O FI=2• •F!JC I) ºI2= 0 IJ<Il C=COSCF!l :2=:osc,12>

S=SIN(FI> 52=S!NU'I2) T=RA!OC!J •P=FFI(!l FO=FFOC !) ;: r=:: C I >•IPC I )/2. EA=E< I l*AX< I) ; A= e C C !) / C; C !) * A XC I l) :;r=GC I >*IPC!) READC 13' I )SM

196

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lLC2l=FP•WX•T••4/t4.•Ell•CZ.•FI+FI•C-J.•SJ+CCWX•T••2/CEA•4.Jl-CWX• • T • •2 • G A/< 4.))) * C F I-•C-S l

10 IFCWY)ll,12,11 tl lLCiJ=DLCl)+WY•T••4•FPIC4.•EI>•C9.•S-J.•FI•C-&.•FI)+CT••2•WY/C4.•E

lA)•T••2•WY•âA/C4.))*(FI•C-Sl )L(2l=DLC2)+WY•I••4•FP/C4.•Eil•C5.•FI•s-1&.•s2••2-FI••2>•T••2•WY/(

2+••::Al•<' I•S•F! **2 )•T••~•WY•GAI (4.J•CFI••2+FI•Sl lLC&l=FP•f••3•YY/C4.•Eil•C8.•FI•C2·16.•S2)

12 !FCWZ)13•14,l3 13 lLC3l=WZ•T••4/C2.•GIJ•Cºl••2•S••2·2.•FI•SJ+FO•WZ•T••4/C2.•Ell•C2.-

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,uxcBJ=-<SMC8,r)*DL(l)tSMC8,8)•DL<2>+SM(B,12>•JL(6))V 11 u x e 1 2 J= • e s Me 1 2 .r >•o L e 1 > • s Me 12, a 1 •ou 2 > + s Me 12, 12 > • D L e & > > A U X ( ~ > = • C S M C 9, 1 l * D L C 3 l + S :H 9 , 1 O l • D LC 4) +S M C 9, 11 >-D L C 5 l l A U X C 1 O )= • C S M C 1 O • 9 l •O L C 3 ) + S M C l O, 1 O l • O l (.4 l + S M C 1 o, 11 ) <, !) L C 5 l )

-· 11 uxc 11 >= - c-s Mt 1 e; 9 .r·•orc 1-1 • s M n 1, 1 o P•DLT4"1 • sM e 11 .-i 1 n,occ sT> -(G=LC Il/2• YG=f/F!•C2.•S2·FI•C2l JX=WX•f•FI QY=iH•T• 0 I QZ=WZ*T*F I AUXC l l=-C AUXC7 )•QX J AUXC2l=•CAUX(8)-QY) AUXC3)=•CAUXC9l+QZ) AUX( 4 l=-c IIUX(lO )+QZ•YG) ,uxc 5)=-( AUX(l 1 )-QZ•XG•,uxc 9l•L C I )) AUXC5J••CAUXC8)•L<IJ+Q(•YG•QY•XG+AUX(12ll )O 15 J=l,12

15 AML C I , J l = AML <I , J l + AU X C J J IF(ITIPO.GT.o>;o TO 191

2 o : D rH I N UE RE TUR N

199 :oNTINUE 200 :oNT!NllE

RE TUR N 1000 FORMA H //3X,•E. 1001 FORMATCI5•3El0•0> 1002 ºORMATCI5,3F12.5l

:'. N D

l!RECAO Y ll!RECAO z•,/J

SUBROUT!NE P.'MRTRC M,IT~ ,L, AML,~ ,,'l, IT IPO, MC, IP,E, AX,FC,SMJ REAL LC1>,IP(l) )IME~SION AMLCM,12>,IT~C1J,WC1l,EC1J,AXC1l,FCC1>,SMCl2,12l JIM::t-JSION RCM.J) l!MENSiílN DLC&l,AUXC12> IFCITIPO.[Q.olãO TO 100 w RIE C 8, 1 OOOl )O 200 III=t,MC RE A) C 5, 1 O O 1 )l, ,I l X, WT Y, 1H Z, W P X, A P Y, WP Z ,1 R If ê C 8, 1 00 2 lI , "T X , ri T Y, H Z, w P X, W P Y, W P Z W T X= • W T l( 'aTY=•IHY ,IJZ=WTZ ,IPX=• WPX W P Y= • WPY •PZ= WPZ ,O TO 201

100 :oNTINUE )O 2 I=l,M

'

IF<ITMCI l ll,2,2 1 :oNTINUE

RE A) C 14' I) Xll, XLZ, WP ·,1rx=R( I,2 )*W{I l •TY=RC I,S>*W(I) ~ TZ=R C I, 8 >*WCI) •PX=R( I•2)•dP dPY•fH I• 5 l*Wº WPZ=RC I,Bl•W?

201 :ONTINU~ ) O 8 K= 1, 6

a ó)LCK>=o.o XL=LCI) C:I=ECI> AI=AXCI' ( I N= I P ( I ) / 2. F=FCCI>

197

RE A) C l 3' I > S M A=CX~·<XL·XLl)+CXL·XLZl)/1. 3=CXL**2•(XL·XL1>**2+CXL·XL2l*•2l/2. :=cx_ .... 3-(XL·XL 1>**3•<<L·XL2}U3)/3. O=CKL*•4-CXL-XL1>••4+(1L-XL2>*•4)/4. IfCWTXlll,12'11

11 )L(l}=-(WTX•B)/CEI•AIJ 12 IFCWTYJ13,14,13 13 ) L C 2 > = -WT Y• C CB .,y J / { E I• A IJ +O/ C 2. * E I* ;(I N))

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)LC5>=·WTZ•CC/C2.*EI•XI•>> 16 AUXC7 >=-CSMC7,7 l*DL<l))

AUXC8l=•CSMC8,Sl•DLC2l+SMC8il2l*DLC61> AUX(9>=·CSMC9,J l•DLC3}t5MC9,ll> *DLCS)J AUXC lOl=O.Q A U X< 11 >= • C S M C 11, 11 J * O LC 5 J + S M C ll , 9 J •D l C 3 l l AUXC12J=·(SMC12•12l*DLC5l+SM(l~,8J•DLC2>l XG=XL/2• QX=WfX*XL QY=WTY*XL QZ=WTZ•XL AUXC1)=-CAUX(7)•QX) AUX(!l=•(AUX(Bl·QY) A U X( 3 l = • ( A U X C 9 l + Q Z ) ,uxc !,l-= o. o AUX(5)•-cAUX{ll)•QZ•XG•,uxc9l•Xll AUXC6J=-CAUXC1Zl-QY•XGtAUX(8)•XLl ) O 2 O J= 1, 12

20 AML<I,JJ=AMLCI,Jl+AUXCJ) )O 21 K=l,6

21 lLC< )=o.O A=XLZ-Xll 3•A•XL1 C=B"XL2 )= A•<XL•XLi•XL~ ·XLZ*Xll •XLl•O. > +C 1./6. l•Xll** 3) IF!WPX )30,31,30

30 DLCl}=•WPX•A/(~I•AIJ 31 IF(WPYl32,33,32 32 )L(Z)=-WPY•CB•~1cEI•AI)+D/(2.•::r•XIN})

)LC6l••WPY*CC/(2.•EI•XI~JJ 33 IF(~PZ)34,35,34 34 )LCJ)=WPZ•CB•ft<EI*AI>+)/(2.•~!•XINll

lLCSl•-WPZ•CC/CZ.•EI•XI~ll 35 AUXC 7)=-C SMC7,7 l•DL(l})

AUXC8l•-CSHC8,S)•DL(2>•SMC8,!2l•DLC6ll A U X< 9 l = -e S M C 9, ~ J * D L C 3 > t 5 M C 9, 11 J * D LC 5} l AUX<10>=0.o A U XC 11 l = • C S M C 11 • 11 > *º LC 5 > + S M C 11 , 9 ) * DL C 3 l ) AUXCtz>=·CSMC1!•1Z>•OLCjl+SMCl!,8>•DLCZl) XG=o.s•< Xll+XL?) --------QX-=ill'X-.,A·----------------·-- ----- -- ------------····----- ------------

QY=wPY*A QZ=Hf'Z*A AUXCl l=·C AUX(7l•QX) AUXC2>=-CAUXC8l•QY) AUXC3)=·CAUXC9l+QZ)

19 8

AUX<4l=0.0 A U X( 5 l =-<A U X <11 l- Q Z* X G • A U X C 9 h ( L) AU)(C 5l=-< AUXCl ~ )-QY*XG+AUXC 8l•(L) J O 4 O K= 1, 12

40 AMLCI,Kl=AML(I,Kl+AUX(() IFCITIPO.GT.O)õO TO 191

2 : ONT I N UE RETURN

199 :oNTINUE 200 :oNT I NUE

RE TUR N 1000 FORMAfC//3X,•E~ DIRE:AJ X

•IRYCTR> DIRZCTRl•,/) 1001 FORMATCI5,6E10.0) 1002 FORMATCI5,6Fl2•5l

~N) S UBRCJ UTI~ E RESDCC A ,MA XA ,,:-.

·e• ,ufl• ~~ ~D~ l Jº ~ u/\_~f f Ó ~A~_c_bl ~"~1i1 ·.

)O 180 N=l,NN <N=MAX AC"l) < L =< N + 1 .CU=MAXA<N+1>•1 IF<~U·KL)l75,t,0,160

160 <=N := o. JO 170 KK=KL,KU .(=K-1

170 :=C+ACKK)•V(Kl HNl=VOll-C

175 VCNJ=ACKNl•VCNl 1 8 O : O IIJT I N UE

C*****RETROSU9STITUICAO )'O 200 N=t,NN (=MAXAC"ll

200 VCN)=ACKJ•VCN) If(NN~EQ.l)RETURN ~=NN )O 230 l=Z,NN <L=MAXA(~)+l <U=MAXA(N+1>-1 IFCKU-Kll230,210,210

210 (=N )O 220 KK=KL,K!J <=K·t (N=MAXA<K)

220 VCK>=V(K)-ACKNl•ACKKl•VC~) 230 N=N·l

RETURN :'. ND

)IRECAO Y

SUBROUT!NE DESLOCS,MAXA,D,ND,NJ,IRSE) ) IM~NSION SCl>, MAXA<l >, )C 1) IF(IRSE.LE.O>CALL REDBAKCS,D,MAXA,NO) I FC I R SE: • 5 T. O) CAL L RE S (J: C S , MA X A, O, NO> IIRIE(5, 1170) )O 980 J= l•NJ

O!RECAO Z DIRXCIR> o

980 WRIT!C5,117l)J,OC6*J·S>,DC6•J·•>,OC6•J-3),DC6•J•Z),DC6•J·l>,DC&•J) RETURN

1170 ºORMATC///3X•' )ESLOCAMâ:HO DA, JUNTAS'/3X,•JUr-JT•,zx,'TRANSL. x•, 1f1x,•_TRANSL. Y1 ,2X,'TRA~SL- Z•dX,'ROTACAO X 1 ,2X•'ROTACAQ Y 1 ,2X,'R0 2 ACAO z•)

.. LI 7..1. f 2-~~AI .C.3X., 1.4 ,.3 E.11. •. 3.,. ó.X, _3Lll, .3J. _ ... ______________ .. _ .. ______________________ . __________ _

SUBROUT!NE VIB~A(S,B,MAXA,AUTVf,AUTVL,VT1,vr2,VT3,VT4,VT5,VT6,VT7, •iT8,VT9,VTtO,M,ND,NTP,~,ITM,IFJR,L,RAIO,FIJ,JJ,JK,I8,NJR•ND1,~C,NN •:,NT~>

REAL LC 1l J I ME N S !O Ili S C NT P ) , MA X AC ~ D 1 l, BC Ili r M) ,

• AUTVT(NO,NC),~UTVLCN:l, * VTt<•D>,VT2C~D>,VT3C~NC>,VT4CNNCl,VT5CNC,NC>, • VT5(NCl,VJ7C~:),Vf8C~C),VT9CNCJ,VTlO(~C), * WC l > , I T M Cl ) , F J R C l >, ~ A I O< l > , F I J C l ) , Jj C l l , J K Cl > , I B C 1 l, • AUXC2l

:OMMON/VL/NROOI ,RTOL,NITEM,IFS5,!FPR,IMJ :OMMON/~ASS/IM:D,NPMM,~?AMM

e

199

• R IE C 5 • l 00 2} N R 00 T • RT O L, ~ C • N I E M • I FS S • IF PR• IM J

IF(I~CO.GT.OlGD TO 2000 : ALL VEMADCB,W, M• ITM, Iº )R,L,RAI O,F J.J, JJ,JK, NO., IB., NJR}

2000 :oNTI NUE IfCI~Jl30•30PlO

10 WRIT:(5,1003) ~020I•l•IMJ REA)C8,1004lJ,CAUX(K),~=t,6l wRIT;<S•l.º. 9slJ,(AUX. (K),(•1·-· ~- r: •. )O 1, K•l•o ..->·' t·; <K=6•J-{&-Kl . . .. · .. · Ç IFCI~CO.GT.OlKK=MAXACK() 3(KKl=B<KKl+AUX(Kl

15 :oNTI NUE 20 :ONT INU' ,30• :oNTINUI:

~STIF= 15 I0UT•5 .

C :ALCULO DE W••2 E AUlO~ETORES JRTONQqMALIZADOS :ALL SSPACECS,3,MAXA,AJTVT,AUTVL,VT1,vr2,VT3,VT4,VT5,VTó,VT7,VT8,V

•T9,VTlO,NO,ND1,NTP,NTM,~ROOT,RTOL•NC,NNC,NITEM,lFSS,!FPR,NSTIF, IOU "r >

C :ALCULO )E W•SâRTCW••2l )O 110 I=l,NRDOT i T &C l l = S Q R TC A U T V L C I l l

11 O : O NT I N U.: e lMPR:SSAO DAS FREQUENcr,s CIRCJLARES E MODOS ORTONORMAIS )O 130 !=l•NROOT •RIT, (5, t lOOlI HRií:C5,1101lVf6(ll •RITECS,1102} .~J=Nl/ó ·JO 120 J= 1,NJ <K=&•J-5 (KK=KK+5 •RITEC5•1103)J,(AUTVTC<,Il,K=K<,KKKl

120 :ONTINU' 130 :oNTINUc

1002 FORMATC///3X, 1 INFORMACJ:S PARA ANALISE DO AUTOPR08LEMA 1 ,/,3X• * • AUTO VALO~ e 5 E V: f O~ E S REQUERI D OS: ' • I 7 , / , 3 X, " •TOL. P/ :JHERGE~CIA AIJTOVALOREs••,Er.1,/,JX, * • NO.DE VETJRES D: ITERA'CAO USADOS:•, l7d,31.• • • NO. MA X, IT: R, Sua: S ~AC O PERMITI D O: • • I 7, / • 3 X • " •JSO OE S:QUENC!A O~ STURMCCHECKl",I7,/,3X, * '[MPRESSAJ ?ARCIAL DOS RESULTADos:•,I7,/,3X, " 'JUNTAS ,J,~ MASSAS ADCIONAIS"•I7•//l

1003 ~ORMAT(///3X•'MASSAS A)CIONAIS NAS JUNTAS 1 ,//,3X, * 1 JT JRA~SX fRANSY fRANSZ ROTACX ROTACY * ROTACZ',fl

1004 êORMAT<I5,óE10. Ol 1005 fORMATCIS•óflO.Sl 1101 FORMATC///3X,'FREQUENCIA CIRCULAR:W=•,Ft0.4,' RAD/S,'l 1100 FORMAT(/////3X•'M000 D: iIBRAC\O No.•,r3,1,3x,•-------------------

1·---,) 1-nr2--~ffRWAT(7/ 3l( .~11!rDff-0Rro f)ffWAT' .-, 3x-;..-Jr•·,',~,-· TRA)lSL·-x' ,s-x, ·•Tt{AN-Slº.cy-,-·

1 , 5 X, • T R .A N S L • Z' , 5 X, ' RD T A : • - X ' , 5 X ,, ' ROTA C. - Y ' , 5 X• 'ROTA C. - Z ' • , l 1103 FORHAT(I5,óF13.5l

RETURN :: N) SUBROUTINE VEMADCVM,W,~,ITH,IFJR,L,RA!O,FIJ,JJ,JK,NO,IB,NJRl ) I ME N S IO N V M C 1 l •WC 1l • I f ~ C 1l • I F J R C 1 l • R A IO C l l • F I J C 1 l , J J C ll • J K C 1) • I 8 C

* 1 ) REAL L(ll )O 10 I•l•N')

10 VMCil=o.o 00 100 I=l•M IFCITMCill30,30,20

20 IF(IFORfill25,25•100 25 ~ I=Z•º IJC Il

S=FI•RAIO< ll .L=S ,O TO 40

30 :L=LCil 40 :VM•O.S*CL•W<Il

e

JJ I=b•JJC I > J K I= & • JK C I l

200

N=JJ{--(6-J> · : ) O 9 O J= 1 , 3 p ij

·· ~~-~~1:r~~1~ftVM . - . - ·· -- -- . -- - .. ,

90 VMCNJ=VMCNl•CVM 1 00 : O NT I NU'

>O 95 I=t,NJR Ll=7•I-6 L2=Ll+l L7=L 1 +& <=O ) O 9 5 J= l 2, L 7 <=K+l IF{I3CJ1l9S,95,9b

96 ROW=ó•[B(Lll-C,-Kl ·tM(R[JW )=o.o

95 :oNT!NU! RE TUR N END SUBROUTINE SSf'ACE CA,B, ~AXA,R,: IGV,TT ,H, AR, BR,VEC,0 ,RTOLV ,BUP, BLO,

* 3 Up: , N N, N N M, NW ~ , N W M, N R J J T, R TO L• NC , NNC • N ITEM• I f SS, 1 F f' R, N S TI F, I OU T l )IM::NSION A<NWKl,BCNWM),~CNN,NCl,TT<NNl,WCNNl,~IGV(NC),

1 DCNCl,VECCNC,~~l,ARC~NC),BRCNNC>,RTOLV(NCl,BUf'CNC>, 2 BLOC NC),BUPCC ~Cl,MAX~ C NNMl

:OMMON/ÕQU/IRSã

C ESTIPULE A TOLERANC!A ?ARA !TE~ACAO DE JACOBI TOLJ=Q.000000000001

e C INICIALIZACAO e

e

I C ON V= O ~SCH=O ~SMA"(= 12 ,~l=NC+l ~Cl=NC-1 REWI~DCNSTIFl ~RITE CNSTIFl A )O 60 !=t,NC

&OHil=Q.

e l-iONTAGEM DOS VETO~Es o:: IfERAC~O INICIAIS e

~O=NN/NC !FCNWM.GT.NNl Gü lO 4 ·---------foQz __ fi:,-f~-IHf ___ -- -------- -- ----------------------------------------- - -------------------

e

I I=MAX H I > RCI,t)='l(!l IF CBCI).GT.Ol J=J+l

2 Hil=BC!>/ACII) IF CNC.LE.J) GOTO 16 .~R!TE C IOUT,1007) 5 TOP

4 )O 10 I=l,NN II=MA(MJ) R< I, t)=BC Ill

iO •< Il =BC II l/ACI I l ló )O 20 J=2,NC

}O 20 I=l,NN 20 RC I,J>=o.

L=NN-ND DO 30 J=z,NC RT=o. }O 40 I=t,L IF CWC I).Lf.RTl GO TO ,O RT=WC!l IJ=I

4 O : O NT I NU: )O 50 !=L, NN !F (WC Il-LE.RT) GO ro 50 RT=WC I l

e

I J= I 50 CONTINIJE

TH J)=FLOATCI J) li <I J >= o. L=L • NO

30 R(IJ,J'=l•

IHIFPR.EQ.o>GO TO 71 .WRITE fIOUT,1008)

201

' ..

WRITE 'IOUT,1002> <TT(Jl,J=2,~C> 71 CONTINUE

c C DECOMPílS!CAO DA MAfRIZ (Al c

e

I SH= O IFC IRSf.LE.olCALL If( IRSI" .GT. O) C A.LL

OECOMPCA,MAXA,NN,ISH,IOUT> o E Coe e A, MAX., , N N)

e * ** * * I N [ e I o D O CICLO OE ITERACAO e

e

NITE"O 100 N!TE=NTTE+l

IF C lf PR.EQ.O l GO TO 90 WRITE IIQUT,1010) NITE

e CALCUL'J DAS PRUJECGES DE A E a e

e

90 I J=O D O 11 O J= 1, NC DO 120 K=l,NN

120 TTC K> ='l( K,Jl IFCIRS::-.LE.O)CALL REDBAKCA,TT, MAXA,NNl IFCIRSF.GT.OICALL RESOCCA,MAX,,TT,NN) D O 1 3 O I = J, NC ART=O. 00 14 O K= 1 • NN

14 O A RT =AR T + R C K, I ) * T T C K ) I J= I J+ 1

130 ARCIJl=ART DO 150 K=t,NN

150 RCK, Jl=TH Kl .. lTO C-ON'TTNUE .............. -- . -- . I J=O D O l 6 O J= 1 , NC CALL MIJLT CH,B,R(l,Jl,MAXA,N~,NWM) 00 180 I=J,NC B RT =O. DO 190 K=l,NN

190 BRT=BRT+RCK,Il•TTCKl I J= I J + 1

180 BRC I Jl= BRT If CICílNV.GT.O> GOTO 160 DO 200 K= 1• NN

200 R(K,Jl=TT(K) 160 CONTINUE

C R~SOLU':AO DO AUTUPAOBLEMA PARA OS OPERADORES D!J S•J8ESPACO e

e

!F CJFPR.EQ.Q) GG TO 320 I N) = 1

210 WRITE rrour,1020> II= l 00 300 I= 1, NC ITEM P= II+ NC-I W RI T~ C !O UT '10 O 5 > C AR C J l, J= II ,I TE MP>

300 II=II+Nl-I HRITE (IOUT,1030> II= t DO 310 I=l,NC ITEMP=II+NC•I WRITã (JQUT,t0051 CBR(JJ,J=II, ITEMP>

310 II=II+'ll-I !F C IND. EQ. 2) GO íO 350

120 CALL JACOBI C AR,BR,VEC,EIGV,W, NC, NNC, TOLJ, NSMAX, IFPR, IOUT l

e

e e e

e

350

370 360

IF C IFPP..EQ.Q) GO TO 35J ·•RIE crour,1040> I NO= 2 ifl TO 210

202

;)ISPOSICAO DOS AUTOVALJ.~ES EM JROEM ASCENDENTE

r s=o I I = l )O 3&0 !=I,NCl· I TEMP= II•Nl•I !f CEIGVCI+l).;E.E!GVCIJJ GO TJ 360 IS=IS+l : I GVf=E IG V( I+l > , IGVC I tl)=E !GVC I J C: I GVC I >=E IGVT 3f=BRC I:EMP) 3R<IEMP>=BR<II > 3RCII>=Bl DO 370 K= t, NC RT=V::CCK, I+l> VECCK, I+l)=VEC<K,I) VECC K, I)=RT II=ITC:MP IF C rs.GT .o) GO To 350 IF CIFPR.EQ.Ol GOTO 375 oRITE C!üUT,t03Sl '•RIT, (!JUT,1006) <EIGICI>.I=l•NC)

C :ALCULO )E B VEZES APR)X!MADOS AUTOVETORES CICO~V.[Q.O) e )U AOTOVETORES FINAIS APROXIMA)OSCICONV.GT.ol e

-- --3 7-:i_i-0--z}g--J~t-~~ - .. ---- -- - ----------- ------- ---- --------422 r9cJJ=Rcr,J>

E e

e

e

e

)O 424 K=l,NC R r=o. JO 430 L=.l>NC

430 RT=RT+TT(Ll*VECCL,Kl 424 RC I,K>=RT 420 :ONTINU'

380

IF (ICONV.Gl.Ol GO ro 500

VERIFICACAO DA CONVERG:~CIA DOS AUTOVALORES

) O 3 B O I = 1 , NC ) If=ABSfEIGV(I J•DC I>) RTOLVC P=DIFtEIGVC Il !F crrPR.EQ.Ol GOTO 385 WRITE C!uUi,1050) ·oR!E CIOUT,1005) (RTOLHI>d•l,NC)

385 )O 390 !=t,NROOT IF CRTOLV(I).GT.RTOLl ,) TO 40J

390 :otHINUE If(IºPR.EQ.o)GO ro 401 WRIJ: CIOUT,lOóO) RfOL

40!. :oNT INUF. ICONV= 1 ,o ro 100

400 !f CNITf.LT.NITEM) GO TO 410 aRIE CIOUT,1070) l C ON V= 2 I F SS, o ,o lO 100

410 lO ~~O !=l,NC 440 H!l•:IGVCI)

'.iO TO 100

C* **** f I M D o e I e L o tl E l .r E R A e A o e

5 O O : O tJT I NU:'. IFCIFPR.EQ.OlGO TO 402

c

203

WRITECIOUT,1100) WR!TE f!OUT,t006l CEIGVCI),I=t,NROOTl WRIT:: nouT,1110) DO 530 J=l,NROOT

530 WRI T:: 'IOUT ,1005) CRO., Jl ,K=1, NNl 402 CONTINUE

C CALCULO E IMPRE..SSAO DAS NORMAS DOS ERROS c

e

c

REWINDfNSTIF> REA) Cr.tSTIFl A

DO 5BO L=l,NROOT RT=ã:IG'!<Ll CALL M!JLT CTT,A,RCl,Ll,MAXA,NN,NWKl VNORM= (). DO 590 l=l,NN

590 VNORM=VNORM+TT<Il*TT!ll CALL M1JL T C 1,,S,RC 1,L >,MAXA•NN, NWM) liNORM='l, D O 6 O O 1 = 1' NN TH I l=TfCI J-RT•IH I J

600 WNORM= WNORM+f T < I l *ÍT < I J VNORM=,QRT<VNORMl WNORM=SART<WNOffHl D<U= W"lORM/ VNORM

580 CONTINUE . WRITE (IOUT,1115) WRIT:: 'IOUT,1006) CDCIJ,l=t,N~OOTl

C APLICACAO DA SEQUENCIA DE STU~MCVERIFICACAOJ c

e e E

e

IF <IF~S.EQ.OJ GOTO 700 CALL SCHECK CEIGV,RTOLV,BUP,BLO,BUPC,0,NC,NEI,RTOL,SHIFTJ

WRITE 'IOUT,1120) SHIFT

SHIFT "A MATR[X CAJ

REWINDfNSTIF> RE A) PJ S TI F) A

-TF-TNW•i-.-G-L-NN> G1J TO -&-45·--D O ó 4 O I = 1, NN II=~AXACI)

6 4 O AC I 1l = \ C I I ) -BC 1l * S H I F T GOTO f:>60

6 4 5 D O 6 5 O I = 1 dJW K 650 A(I>= A([)-BC[)•SHifT

C DECDMPnsrcAo DA MATRIZ (A) SF!FETAOA. e

66 O I SH= 1 CALL O~COMP CA,MAXA,NN,ISH,IQUTJ

e C CONTAG~M DC NUMERO DE ELEMENT)S NEGATIVOS DA DIAGONAL DE (AJ e

c

N se H= o 00 6 6 4 I= t, NN rr~MAXA(!l IF CACII),LT,Q.J NSCH=NSCH+l

664 CONTINIJE IF CNSCH.EQ,NEil GO TO 670 NM!S=N,CH-NEI WRIT:: rrouT,1130) NM!S GOTO 700

670 WRIT• (!OUT,1140) NSCH 700 RETURN

1002 FORMATf3X,10FlO,Ol 1005 FORMAT'3X,12El0,4l 1006 FORMATf1H,6E22,14l 1007 FORMATl///65rl PARE,NC E MA!JR DO QUE O NUMERO OE GRAUS DE LIBERO

lADE DA MASSA> 1008 FORMAT(///,74H GRAUS DE L!B~RDADE EXCITADOS POR VETORES DE ITERA

lCAO INICIAIS UNITARIOSl

204

1 O 1 O FORMA T ( 3 X, ' I T E R A C A O N U M E R O 1 • I 4 l 1020 '0RMAT(3)(, 1 PROJECAO OE A (MATRIZ ARJ'l 1030 FORMAT(3X,•PROJECAO OE 3 (MATRIZ BR)•l 1035 '0RMATC3X,'AllTJVALORES E AR•U MBDA•BR• l 1040 '0RMAf(3X, 1 AR E BR APOS u!AGON~LIZACAO OE JACOBI•> 1050 FORMAT(3Xo'TOL::RANCIA ~SLATIVA ATINGIDA NOS AUTOVALOR[S') 1060 FORMATC///,3X,•CONVERGC:~êIA ATINGIDA PARA RTOL •,El0.4l 1070 FORMAT<3X,•NAO HOUVE CJNVERGENCIA NO NUMERO MAXIMO OE ITERACOES PE

1RMITil0 1 ,/,3X,'AC[ITOS JS VALO~Es DE ITERACAO CORRENTES 1 ,/,3X,'0 C 2~ECK MEO!ANlE A SEQUEN:IA DE SíURM NAO SERA EFETUADO•)

1100 '0RMAT(///3X, 1 QS AUTOVAL)RÕS CALCULADOS SA0 1 l 1115 éORMAJ(//3)(,•E~ROS NOR~ALIZADo; NOS AUTOVALORES') 1110 FORMAT(///3X, 1 0S AUTOVSTJRES CALCULADOS SAO',/l 1120 FORMAT(///,3)(,•CHECK A>LICADO ~O SHIFT •,E22.14l 1130 FORMAT<//3X,•EXISTEM '•I4•' AUíOVALORES OMITIDOS') 1140 ~oRMAT(//3X,'N0S ACHAM)S os M::~o~ES •.r4,, AUTOVALORES•)

e ;: N) SUBRJUlINE DECOMP CA,MAKA,NN,I; H, roun . ---------- tr-t,\f ~-~-!F ~; t-\ 1~+~ô* ~-(_ L! -- - - - - - - - - - --- - - - - -- --- --- - ---- ---- ---- - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -

e

e

210

270

280

260 240

290 300

304 310

320

200

D O 2 O O N = 1 • NN ( N= MA X Af N) <L=(N+l (U=MAXAfN+1l•1 (H=~U-KL IF CKHl 304•240•210 ( = N· K H IC =O <LT=KU )O 260 J= l,K~ IC=IC+l (LT=KLT•l <I=MAXA(Kl ~D=MAXA<K+1)·KI·1 IF CN)l 260,260,270 (K=MINO< IC,NDl • - o JÕ 280 L=l,KK :=C+ACKI+Ll•ACKLT+L) ACKL TJ=A(K'Lll·C (=K+l (= N 3 = o. )O 300 t<K=KL,KJ (=K·l <I=MAXA(Kl :=AC KKl/A(Kil IF <ABSCCl.LT.l.E07l GJ TO 290 WRITE <rour,2010> N,C STOP 3=B+C•AfKKl A(KKl=C ACKNl=AfKNl·B IF CA(KNl) 310,310,200 !F crsH.EQ.O) iiO TO 32J IF CACKNl.EQ.O. l A(KNl=·1.E·l6 ;oro zno ~RIT~ CIOUT,20001 N,A(<~l STOP : O NT I NU~

RETURN ,s:;".' 2000 ºORMATcr173x,•?ARE- Mi\fRIZ n: l!GIDEZ NAO POSITIVA ,)EFINI!JA 1 ,//,3~I

l•'NAO POSITIVO PIVOf PARA A EQJACAO '•I4,//,3X•'PIVOT = 1 ,E20.12>--2010 ºORMATC//3X,•PARE. CHEC~ OA SElUENCIA DE STURM FALHA DEVIDO AO GRA

l~DE ~ULT[PLICAOOR PARA A COLUNI NUMERO'•I4•//3X•'MULTIPLICADOR=•,E Z~Q.B)

:: NO SUBROUT!NE R~D3AK (A,V,MAXA,NNl )IMSNSiílN A<ll,V(lJ,HAXACl) )O 400 N=l,NN (L=MAX A(N )+1 (U=MAXA(~ +1)•1

e

e

e

e

e

e e

e

IF CKU·KLl 400•410,410 410 (=N

: = o. )O 420 KK=KL,KJ <= K·t

420 :=C+ACKKl*V(Kl H Nl = V e N) -e

4 O O : O IIIT l N U'

)O 4go N=l,NN (=MAX A ( "l >

480 HNl=VCN)/A{Kl

205

-------~tN~J!N_._'Q,JLJl.~JJJJUL __ __ __ ____ _ _ _____ . )O 500 L=2,NN (L=MAXA(N)+l (U=MAXA(N+l)·l !F C KU•KL) 500,510,510

510 (=N )O 520 KK=KL,KJ <=K· l

520 HKl=VCKl·ACKK)•VCN} 500 ,~=N·l

RETURN à N) SUBROUí!NE MULf CTf,B,~~,MAXA,~N,NWMl )!MENS!CTN TT<1l,BCl},RH1l,MAnC1J

IF CNWM.GT.NNJ GO TO 20 ilOlOI=t,NN

10 TTC! J=B( l )*RR(l J RETURN

20 )O 40 I=loNN 40 TT< r>=o.

100

210

220

200

)O 100 l=l,NN (L=MAXA(I l <U=MAXMI+1>·1 II=I+l :c=RRC I) }O 100 KK=KL,KU II=II-1 TTC II J=TT( II>+3 CKK >•CC IF CMN.EQ.ll RETURN )O 200 !=2,NN ( L=MAX A(I l+l (U=MAXA< I+l >·1 IF CKU·KL) 200,210,210 r r=r A A= O• )O 220 KK=KL,KU II=II·l AA=AA+8CKKJ•RRC IIl ff<Il=TTC Il+AA :oNTI Nu•

··· -·R[·TURN-' à NO SUBROUT!~E REAL NE IV ) I MC: N S Iíl N

F T OL =O. O l

SCttECK

~ I G V C N C > , R TO L V C N'C > • B J PC N C l , 8 LO C N C l , B UP C C N C > , N:'. I V C N e>

) O lo O I = l, NC 3UPC !l=EIGV<r>•<1.+FTOc}

100 3LOC I )=". IGV<l) • ( 1. -FTOL> ~ROOT=O JO 120 !=1,NC

120 !F CRTOLVCIJ.LI.RlOL> ~~)OT•NRJOT+l If CNROOT.GE.1) GOTO !00 ilRIE (6,1010) STOP

e c

c c e

e e

e

200 240

260

270

280

290

295

206

ACH,R ns LIMITES SUPERIORES DJS GRUPOS OE AUTOVALORES

O O 2 4 O I = 1, NR O OT NEIV(D"l IF ( NRnoT. NE.t > G O To 260 BUPC( l'"BUPCl> LM= 1 L= l !=2 GOTO ?95 L=l I=2 !FC BUPC[-1) .• LE.BLO<I)) GO TJ 2BO NEIVCL )=NEIVCL )+l I=I+l IF cr.LE.t-/ROOf) GO ro 270 BUPCCL)=BUPCI• !l I F C I • r, T • N R 00 T > G O TO 2 90 L=L+l I=I+ l IF < I.L~. NROOT) GO TO 270 s up e e L 1 = B u P CI - 1 > LM= L IF CNRílOT.EQ.NCl GO TO 300 !F CBUDC[-1).LE.BLG([)l GOTO 300 !F CRTOLVC!).~T.RTGLl GOTO 3:JO BUPCC U=BUP(I l NEIVCL '=NEIVCL )+1 NROO T=NROO f+l IF C NROOT .EQ. NC) G( To 300 I=l + 1 GO TO :>95

ACHAR rJ SHIFT

300 WRI E (6'1020 l W RI TE ró ,1 O 05 l ( 8 U PC C [) ,I = i, L ~ l W RI E r 6, 1 O 30 > WRITE {6'1006) <NEIVCI),I=l,L,~l LL=LM·l IF <LM.EQ.ll GOTO 3lú

.. -JTO - O o· ·32·0 · T=-1 ,1-c. - -- .. 320 NEIV( L l=NE IVCL )+NE!VC Il

L=L -1 LL=LL-1 IF CL.NE. ll GO TO ~30

310 NRITE '6,1040) WRITE !6,lOOó) CNEIVCI>,I=l,LM) L=O O O 3 4 O I = 1, LH L=L+l IF <NE!VCil.GE.NROOTl GOTO 350

340 CONTINUE 350 SHIF T:8UPI:( Ll

NEI=NEIV<Ll

RETURN

1005 FORMATC!X,6E22•14l lOOó FORMAH!<,óI22> 1010 FORMAH3,<,•o•ERRO SOLUCAO PARA EM *SCHECK•' ,/, 1 NAO FOR'AM ACHAD

lOS AUT'1VAL0RES 1 ,/1X> 1020 FORMAH///,3X, 'LIMITES SUPERlJRES NOS GRUPOS DE AUTOVALORES') 1030 FORMAT(/,3~,'NO. DE AUTOVALOR~S EM CADA GRUPO') 1040 FORMAH/3X•'N0• DE AUTOVALOR::; MENORES QUE OS LI~ITES SUPERIORES•)

E ND SUBROUTINE JACOBI CA,B,X,EIGV,O,N,NWA,RTOL,NSMAX,IFPR,IOIJJ)

D!MENST0N A(r.WAl, BCNWA l,XCN,Nl ,E IGVCNl,DCNl c C INICIALIZE AS MATRIZES DE AOTJ VALORES E DE AUTOVETORES

N!=N+l II= 1

207

)O 10 I=l,N IF CUIT).Gf.o •• AND. 3(II).GT.o.) GOTO 4 ~RITC: CIOUT,2020) II,A(II),BCill I=l ~RIE C IOUT,2040 lI STOP

4 )(I>=ACII)/B(IIl ~IGVCil=OCil

10 II=II+r,a-r )O 30 1=1,N )O 20 J=l,N

20 (C I•J>=o. 30 (CI.r>=l.

IF CN.EQ.ll RETURN

E INICIO DO SWEEP E COMECJ DA ITC:RACAO e

e E

~sw~~P=o ~ R=N • 1

40 ~SWEEP=NSWEEP+l IF CIFPR.EQ.l) WRITE CIJUT,2000) NSWEEP

:HE:K S~ O PRESENTE EL~~~NTJ FJRA DA DIAGONAL E ;RANlE O SUFICIENTE PARA NECES5ITAR ZERA·LO EPS=C. 01 **NSWEEP)**2 )O 210 J=l,NR JP!=J+l JMl=J•l ~JK=JMl*~·JMl*J/2 JJ=LJK+J )O 210 K=JPl,N (Pl=K+l (Ml=K·l JK=LJK+II' (K=K~l•N·KMl•K/2+K ~ P TO L A= f AC J ti)* A C J K l > / O C J J > •AC ( K) > E P TO L B = f BC J K l • 3 < J·K > > I C 3 ( J J l •BC ( K ) l rr ((EPTOLA.LT-EPS).AN).(EPTOL3•LT-EPS)l GO TO ZlO

e C SE E NECESSARIO ZERA·LJ, CALCULE OS ELEMENTOS DA MATRIZ C lE ROTACAD, CA E CG

AKK=ACKKl•BCJK)•BCKKl*ACJKl A J J= A C J J ) *BC J K ) - !3 C J J ) * A C J K )

e

' Aff"A r JS) *tl'( KlO --A ( KK J..-B CJ J r -­: H EC K = C A B • AB+4. • AK K • A J J) / 4. IF CCHECKl 5),õ0,60

50 ~RITE CIOUT,2020) r= z ~RITC:CI0UT,2040)I STO?

60 SQCH=SQRTCCHcC(J J l=A3/z. •SQC~ )Z=AB/2.-SQCn ) EN=) 1 !FCABSC02).Gí.ABSCDl>>DEi=D2 IFCl:NJ 80,7D,80

70 :A=o. :G=•AC Jt0/A( KKl ,D TO 90

80 : A=AKK/OEN :G=·AJJ/DEN

e EFETUAR A ROTA:Ao GENE~ALIZADA PARA ZERO DO PRESENTE ELEMENTO e :xTRA·DIAGONAl

90 !F CN•2) 100,1~0,100 100 !F°CJ~l·ll 130d 10• 110 110 10 120 !=1,J~l

!Ml=I·l IJ=I~l*N•IMl•I/2+J !K=IMl•N·IMl•l/2+K AJ=A( l Jl 3J=B<IJ) J\K=AC 110 3K=B(IK) AC IJJ=AJ+CG•AK

e

B( IJ>= 9J+CG*B.K A(IK)=AK+CA•AJ

120 B{IK)=RK+CA*BJ 13 O IF C K P 1 • N) 14 O, 14 O, 1 & O 140 LJI=JMl*N·JMl*J/2

LKI•KMl•N•KMl*K/2 DO 150 I=KPl,N JI=LJI+I K I=LK I+I A J= AC J t l B J• BC J I) AK=AC K!> BK=BCK!l AC JI l= ,AJ+CG*AK B ( JI l=RJ+CG•BK · A(KI)=AK+CA*AJ

150 BCKI)='1K+CA*BJ l&O IF ·< JPl·KMl) 170,170,190 170 LJI•JMl•N•JMl*J/2

DO 180 I=JPl, ~ Ml JI=LJI+I IHl=I•l IK= IM 1 .. N..;IM1•1 /2+K A J= A e J r > BJ=BC JT) A-K= A ( IIO BK=B( IK> A<Jil=AJ+CG*AK 8CJI >='lJ+CG*B,~ A< IK}= AK+CA•AJ

180 BCIK)=RK+CA•BJ 190 AK•A(KK)

BK=BC KK) ·-

208

A ( K K ) = A K + a. *C A * A ( JK )+ e A *C A* A ( J J) BC KK}= RK +2. *CA •B( JK l +CA•CA* BC J J) A(JJ>=A(JJ)+2.*CG,.A(JK)+CG•CG•AK B(JJ)=RCJJJ+z.•CG*B(JK)+CG•CG•BK ACJK)=~. BCJK)=/l.

C ATUALI?E A MATRIZ DE AUTOVETO~ES APOS CAOA ROTACAO -e -· . -~ ----··

e

DO. 200 I=l,N XJ=XCI•J> XK=XCI,Kl X ( 1 , .J ) = X J + C G• X K

200 X(I,K)=XK+CA•XJ 210 CONTINUE

C ATUALI?E OS AUTOVALORES APOS :ADA SWEEP e

e e

e

II= 1 Otl 220 I=t,N • IF (A{IIJ.Gr.o •• AND.i B(II).GT·.o·'.'J GO ro 215 WRIH rrour,2020> II,·A<II>,9CII> I=3 WRITE<IOUT,2040lI STOP

215 EIGV(I)=A<II)/B<IIl 220 Ir= I r+•H ·I ·

230

240

IF <IFPR.EQ.Ol GOTO 230 WRIJE rrour,2030> WHIT~ nouT,2010> <EIGV(I>,I.=1,N>

CHECK ºARA CONVERGENCIA DO 240 I=l,N TOL=RTIJl,*D( Il O IF = A BS CEI G V (I J ·D C I J l IF <D I"" .GT. TOL > GO TO 280 CONTINUE

C CHECK TODOS EXTRA-DIAGONAIS ELEMENTOS PARA VER SE OUTRO'SWEEP C E N~CESSARIO e

EPS=RTOL**2

e e e e

e e e

e

~O 250 J=l•NR JMl•J·l JPl=J+l LJK=JMl*N"JMl*J/2 JJ=LJK+J )O 250 K=JP1'N CMl=K·l JK=LJK+K (K=K~l•N·KMl*K/2+K

209

~PSA= C AC JK)•ACJK))/CACJJ>•ACKK)) õPSB=CBCJK>•BCJ~))/CBCJJl*BCKK>> IF CC~PSA.Lf.~PSl.ANO.C~PSB.LT.EPS)) GOTO 250 ,o f() 280

250 :oiHINUE

255

270 275

~REENCHA O TRIANGULO I,"ERIOR JAS MATRIZES RESULTANTES E AVALIE JS AUTOVETORES

II=l DO 275 I=l•N 38=SQRHB<Illl )O 270 K= !.N (C K• !l=XC Kdl/38 I I=II +Nl·I RETURN

A MATtIZ o E INICIE NOVO SWEEP, SE NECESSARIO

280 )O 290 !=1,N ~ '290-J-cr> = E rG VCTJ'- -- - - --- ~ ---

I F { NSMEEP.Lf.NSMAXl GJ fOO:t;-01'1 , O TO 25 5

2000 FORMATC3X•'§WEEP EM •JA:JBI* NUMERO = 1 I4l 2010 ºORMATC3X•ó~20•12l 2020 FORMATC3X,••••ERRO NA SJLUCAQ.~ARE.•,/,3X,•MATRIZES NAO POSITIVA O

1EFINIDAS•,/.3X,'II='•I+•lX•'A(II>= 1 ,E20.12,1x, 1 HBCII)=•,E20.12> 2030 FüRMATC3X,'CORtENTES AJTJVALORES EM *JACOBI* SAO•,/) 2040 FORMATC/,3X,•EM'•I3l

~ N) SUBROUT[NE MXIOCB,TT,VJ,1J,ND,MAXA,NTM,IMCD,NJRI,JINl )IMENSION B<1>,TTC1J.VJC1l,MAX\C1l,JINCll }!M~NSION RIC9l

~~t~f ~s;?8I~~ IFC~.GE.4JGO ro 500

e·

e

e

JO 5 I=l,ND s 1/UCr>=o.o

) O 1 O J= 1, NJ I=ó•J•CG•K)

10 VUC!l= 1.0

IFCNJRI'150•150•200 200 )O 210 ·J=l,NJ

I FC J I N < J) l 21 o, Z lo• 215 215 REAH16'JHRI<l4>,I4=1,9l

CX=G•J•S <Y=ó•J-4 (Z=ó•J•3 X=RIC 1 l<>VUC KX) +RI( 2l•VJC( Yl+RIC 3) •VUCKZ) Y = RI < 4 ) * V U C K X l + R IC 5 J • V J C ~ Yl +RI C 6 l * V U C K Z l Z =RI C 7 ) * V U C K X l t RI< 8 J • V J C ( Yl +RI C 9 l * V U ( K Z l i/UCKX>=X IIUC(Yl=Y IIUC<Zl=Z

21 O : O N í I N UE 15 O : O NT I N UE

soo :ALL MULTCTT,B,VU,MA.XA,~),NTM> RElllRN :oNTINlJE

--- 501. +9áli-õ:õ1 ~_ND_ ---- ------ ----- ---f TC K 1 = 1.0

210'.

RE TUR N 100 FORMATC!SJ 101 FORM.ATC///3X, 1 SISMO AP~Ii:AOO N~ OIRECAO', I3)

'N) SUBRílUT!~E FAPAMCFP,RMI,AUIVT,~0,NROOTl DIHENSION FPC!l,RM!Cll ) I M, N S I!) N A U TV T C N~ , N R O) T > uO 10 I=l•NROOT

10 ºPCIJ=o. JO 20 I=t,NROOT )O 20 J=l,N) FP(IJ=FPCI)+AUTVí(J,Il•RMICJ)

20 :oNTINUE RE TUR N é ND SUBROUTINE AMORTl :OMMGN/SIS/N~O,NINSI,D::LSI,FAC, CSI,ISIS, IESP,KF~f.S REA)C8dOOJC : sr= e WRU::cs, 101)CS! RETURN •..

100 ºORMAT('S•Ol .. <,'· 101 FORMAT(///3X,•:oEFICIE~rE-of A.1'1..--0RTECIMENTO CRITrco•,/,31(,

• 'IDENTICO PARA""r-tnos os MODOS =•,FS-3) :: ND SUBROUT!NE SISMOCACELG,T,WJ,FJl )IM,NSION ACaLGCll,T(ll,ilJ(l),ºJC 1) : o MM o N /S l s / NP o. N l N s I 'D:: L s I • F A e •. e s I. I s l s. I E s p. K ~PO= NINSI +1 IFU>l,2,1

2 REAOC8r10!HACELGC I),I:t,NPOl )O 5 I=l,NPO

5 TCil=CI-1J•DELSI :iO TO 15

1 WRITC:C5,102l RE A D C 8 , 1 O 3 l C W J C J l, J= 1 , ~ l, C F J C J l , J = l, 10 ~ RI E C 5, 1 O 4 l OU C J > , J= 1 , O l'IRITC:<5-'105l • RI T, C 5, 1 O 4 l C F J < J l , J= 1 , ~ l )O 3 I=l,NPO TC I>=C r-1>•DELSI ACELGC I)=O. :oE=FAC•TCIJ•EXP(-0.333•TCill ) O 3 J= 1 • K

3 ACELGC IJ=ACELGC I l+COE•:JS(IJJCJl *T( I)+F JCJJJ/3.28 15 IIRIEC5,tOf,)

W RI E C 5, 1 O 7 J CT C I l, AC E L:; C I), I = 1, N P O l RETURN

101 ºORMATC8º 10-4) 102 ºORH•TC//]X,'S!SHO REPR~SENIADJ POR MEIO DE UMA FUNCA0 1 ,/3X,

* •rREQUENCI• DO 5I5MO'l 103 FORMA T(8F 10.4) 104 FORMATC/12fl0•4l 105 °0RMATC3X,'ANGUL0S DE º•SE DO i ISMO') 10& FORMA fC/4XC5X•' TEMPO ACELE~ACAO•JJ 1 O 7 e O RH A T C/ 4 X C F 1 O • 2, F 13. 2, ~ X J J

é ND SUBRJUT!NE ESPEC(SD,AUTVL,NROor,ITESP) lIM~~S!ON SD(1J,AUTVL(ll RE AD C 8 ., 1 O O )( S D C I l, I = 1 • ~ R J O T l !fCIT,SP-2)1,2,3

1 RETURN 2 DO 5 I=l,NROOT 5 SDCil=S"C Il/SQ~TCAUTVU Ill

REfURN 3 )O ó I=l,NROOT ·5·-so·cr1•-sorr11111Jrvccrr · -· - - ------------------- --- ------- -- ---------- ---- -·--

RETURN 100 °0RMATC8El0•)•/)

é ND SUBROUT!NE SRSSCVTOT,FTJT,RTOT,STOT,VR,SEQ,YR,fP,SO,AUTVT,AML,SMR,

•JJ,JK,FIJ,NP,IB,R, JIN,A~, !TM,I3AU,!FOR,RAIO,ND,M,NJR,NJ,NROOT,•x,I *~,FC,BETA,GAMA•PRl

RE Al IP ( l l ) I ME N S IO N VT O T< 1 l, V R C 1 J , Y R < 1 l, 0 P ( 1) , SD ( l l , R TO fC l ) • S TO T C l J , SE Q C 1 l , J

211

• JC l) , J K < l ) , F I J C l), N PC l ) , I D C 1), J I N C 1) , AR C l ) , !T M C 1 ) , I B A U C 1 l , I FOR C 1) , *RAIO C 1 } , A X ( ll, ' C C l } , A U T H C 10 , N ~ O O T } , F TO T( M , 12 } , AML( M .• 12 l , R C M, 9 ) , S M •RC 12• 12l

lIM~~SION BtTACll,GAMACll )IMENSION PR<l) :oMMON/SIG/ICR, IIPR,rr~x. IINC,rFIT RE Al C 8, 3 O O) I NC) , I N Ci: , I ~ C T IFCINC05,6•5

5 RE:A)C8,200)ICR, IIPR,II~X, IINC 6 : O NT l N UE

II PR= O lO 7 I=l,ND

7 VfOTCI)=O • . ~4=4•11 lO 8 I=l,M4

õ STOllI l=o.;- -lO 9 I=l,M ) O 9 J= 1, 12

9 FTOTC I,J>=o. ~JRó=ó•'JJR )O ll I=l,NJRó

ll '!TOT<I>=o. )O 10 I= 1, NROOT

10 YRCil=FPCI)•SOCI) lD 100 I= l,NROOT ilRiíC: (5, 1200lI >O 20 J= 1,N)

20 VRCJl=O • .) O 2 5 J= 1, N D

25 VR(Jl=AUTVTCJ,I l•YRCI) If(INC0l27•27•28

28 ~RIT(CS•!OOO) )O 26 J=l,NJ

.. ~.-·. ~

26 ~RITE{5,100llJ,VRC6•J·5l,VRCó•J·4J,VRC6•J•3J,VRCó•J·2>,VRCó•J•1>, •VRCó•J>

27 :ONTINUE I I=I)IC::+INCT IF(II J50, 50,30

3 O : O Ni I N Ué ) O 31 J= l, M ) O 3 1 K= l .• 12

31 AML( J, K1=Q. IE0=-1 :ALL ESFDRCSMR,JJ,JK,V~,AML,FIJ•NP,AR,IB,R,JIN,VTOT,RTOT,ITM,I8AU,

•!FOR, ED,M> !FCINCT)50,50,40

40 :oNrINUE l O lo 1 J= 1 , Mio

41 SEQ(Jl=O. IE)=-1 :ALL SIGMACNJ,M,ITM,AML,JJ,JK,~AIO,SEQ,IED,AX,IP,FC,BETA,GAMA,?Rl

50 : O NT I N UE IFCI.~CO)Sl,51, 52

52 JO 53 J=l,ND 53 VTOfCJ}=VTOTCJl+VRCJl•I/RC Jl 51 : O NT I N UE

!FC!NCEJ54,54,55 55 }O 56 J=1,M

- 55-4~nif-J~-;H~ftoTTJ,-KT+1111n:r,10.:AT-r[r:r,10 ----- ------------ -------- -- ------­) O 9 5 4 ! I = 1 , NJ ~ L1=7•II·, LZ=ll +1 L7=Ll+6 <=O )O 951o J=LZ•L7 (=K+l IFCI8CJlJ954,954,953

953 ROW•ó•IB<Lll•(;·K> (K=ó•II-<6·K> RTOTCKKl=RTOTC~Kl+ARCRJWl•ARCRJWl

954 :oNTINUE 5 4 : O tff I N UE

IFCINCTl57,57, 5 8 58 )O 59 J=l,M4

59 STOTC J)=STOTCJ> +SEQCJ>•SEQC Jl 5 7 : O N TI NU:

1 O O : O rn I N UE IFCINCD1120•120•110

110 )O 111 !=l,ND

212

ltl VTOHil=SQRTCVTOTClll ~R!EC5,iOOO>

~ ~ rt ~ ~ 5; ~ àó ~J I, VT O T C 6 * l • 5), vf&r4'J} r- 4), VTOT C 5 * I~- 3), VlDiC 6 * I-21 , VT r.· •TCó•I·l),VlOTCó•I> L-,

900 : ONTI N UE 120 IFCINCE1130•130,121 121 )O 122 I=l,M

)O 122 J= 1'12 122 'TOTCI,Jl=SQRTCFTOT(I,Jl)

)O 150 l=I,NJR, 150 RTOTCI>=SQRTCRTOTCJ))

WRIE (5, 1002) üO 958 !=t,M

9 5 8 il RI E C 5, 1151 ) I , J J C I) ,e e TJ T C I, J J , J= 1, 6 >, I , J K C I ) , C F TO T C I , J J , J= 7, 12) WR!IC: C5, 1160) )O 971 l=l,NJR Ll=7•CI-1)+l J=IB<L1' W RI E C 5, 11 ó l) J, RI D T C 6 * I • 5 ) , R TOT C 6 • I - 4) , R TO T C ó* I • 3 > , R TO T( 6 * I - 2 l , R TO

•TC6•I·1l,RTOTC6•Il 971 :ONT!NU' 130 !FCINCT)l40,140,131 131 )O 132 !=l,M4 112 STOTCIJ=SQRICSTOTCI»

WRIT::(5,1010>1:R,IFIT,II~X,II~:,rrPR IFCICR-21170,151•170

170 •RITC:C5, 1011) 00 980 I=l•M

980 ·~RIEC5, 1012H,JJCI),STJTC4•I·3 J,I,JK(!l,STOTC4•!-l) !FC!CR-Zll40•151•151

151 A RIE (5, 1013) )O 981 !=l,M

981 ~RITEC5,t012lI,JJCil,STHC4•I·~l,I,JKC!l,STOT<4•I> 1 4 o : O íH I N UE

~ETURN 300 'ORMA TC3I5l 200 FORMATC4I5l

1000 FORMAT<lll3X,•DESLOCAM::~i0S D\S JUNTAS'/3X,'JUNT',2X,'TRANSL• X' •,2x,•TRANSL. y, ,zx,•TR4~SL. z•,BX,'ROTACAO X',2X,'RüfACAO y•,2x, 'R • J T AC 4 O z, l

l O O l .• O RM A Te 3 X, I 4 '3 ~ 11. 3, ó X, 3 ~ 11 • 3 l 1002 FORMAT(l/l3X,•ESFORCOS 'INAIS NAS EXTREMIDADES aos MEMBROS'/3

•X,'MB JUNTA FORCA X FJRCA Y FORCA Z MOMEN X. M *)MEN Y MOMEN Z'l

1151 FORMATC3X,r2,r,,F13.4•5º12.4,1,3x,r2,r&,F13.4,5F12.4)

- 1-19-º r~ e ~11-~ r; f~ ( f !ire ~e;}~ ~~x-, •B~E'N tr f!~~-:-~6~É'~ J ~ 1} J 3~;-~ ~-ô~~ ~J:.~-. F-' .3.x, _,_f j)_ - -1161 êORMA TC3X, H'3' 13.4,7x, 3° 13.4) 1010 êORMATC3X,/l/,•TENS0ES éQU!VALC:NTES NAS EXTREMIDADES DOS MEMBROS',

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213

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214

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215

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*~RIO )E TR~SCA' ,&X,'CRIERIO E MISES',/3X,'MB JT T~NSAO • HB JI fENSAO•>

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217

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--- 9 y9 · i~lc t; f9 gÀ Úf f1 ~E ~lr·J +·Ã H 2 F• srN'"_J_ --- ---------------------------------- -----------------AML C I , 2 l = - A M (1 ) * S I NF J +A~ C 2 ) • CO; F J AML( I, 3)= AM< 3) AMLC I, 4}= AMC 4) •COSF J+A4 C5 l>SHF J AMLCI,5J•-AMC4l•SINFJ+A~C5J•COSFJ AMLCI,6l=AMCól AMLCI,7J=AMC7l•COSFK+A4C3l•SINºK AMLCI,8J=-AM(7l•SINFK+A~C8J•CO;FK AML< I,9l=AMC9) A M LC I , 1 O l = A IH 1 O ) • C OS F K + A M C 11 l • 5 I NF K A M LC I , 11 l = -A 11 C l O J •SI tff ~ +A MC 1 ll • C Q S FK AMLC I, 12 l"'AMC12 l

920 IFCIBAUCJJlll933,9JJ,9~1 921 ~1=IBAUíJJil

IFCIB(Ll+lll923,923,92~ 922 ARCJ1).:AR(Jl)+~cr,1>•A4DC1)+R(I,4l•AMDC2l+R<I,1l•AMJ(3) 923 IFCI8CL1+2lJ925,925,924 924 ARCJ2J=ARCJ2l+R<I,2l•A~DC ll+RC! ,5l•AMDC2l+RCI,8}*AMDC3l 925 IFCIBCL1+3ll927,927,92; 92& ARCJ3l=AR(J3l+RCI,3l•A~DC1l+RC!,6l•AMD(2l+RCI,9l•AMDC3l 927 IFCIBCL1+4)l9Z1,9Z9,929 928 ARCJ4l•ARCJ4l+R<I,1l•A4D14l+RC!,4l•AMDC5l+RCI,r>•AMDC6l 929 IFC!3CL1+5ll931,931•93J 9]0 ARCJ5l•ARCJ5l+R<I,2l•A4D(4l+RCI ,5l•AMDC5J+RCI,8l•AMDC6l 931 IF(I3(Ll+&ll933,933,93Z 932 ARCJ&l=ARCJ6l+~CI,3l•A~)C4l+R(I,;J•AMDC5J+RCI,9l•AM)(6) 933 IFCIBAU<JKI1l946,946,934 934 Ll=IBAU(JKil

IFCIBCL1+1ll935,936,935 . 935 AR(Kll=AR(Kl)+~<r,1>•A~DC7)+R([,4l•AMD(8)+RCI,rl•AM0(9) 93& IFCIBCL1+2))938,938,93r 937 AR(C2l=ARCK2l+~<I,2l•A~DC7l+RC[,5l•AMDC8l+RCI,8)*AMDC9l 938 IFCIBCL1+3)l94D,940,93, 939 ARCC3l•AR(K3l+R<I, 3l•A~DCrl+RCI,6l•AMDC8J+RCI,9l•AMDC9l 940 IF(I3(L1+4))94z,942,94l 9 41 A R C ~ 4 ) = AR C K 4 J • ~ ( ! , 1 l • A~ ~ C 1 O l +R C l , 4 ) •AMO C 11 l + R C l, 7 l • A ,rn C 1 2 l 942 IFCIBCL1+5lJ944,944,943 9 4 3 A R C C 5 l = .AR C K 5 l + ~ C I, 2 l • A 4 ) C 1 O l +R C I , 5 l *AMO C 11 l + R C I, 8 l • A M D C 1 2 l 944 IFCI8CL1+6ll14&,94&,945. 9 4 5 A R C K & ) = AR C K ó l + ~ C I, 3 l •A~ )C 1 O l +R C I , & l • A M D C 11 J + R C I, 9 l * A M D< 1 2 l 94& :oNTINUE

IFCNJRI'952,95Z,950 950 )O 951 J= 1,NJ

IFCJINCJll951,151,9ól 961 REAlCl&' J)CRICKl,K=l,9)

Jl=&•J-5 J2=6•J-4 J3=&•J-3 J 4=6• J-2 J5=&•J-1 J6=&•J A M C 1 l =RI< 1 l •AR< J 1 l +RI C Z l • AR C JZ l + R I< 3 l •AR C J 3 l AMC2>= RI< 4l•ARC Jll+R!C5 l•ARC J2l +RI< 6) •AR( J3 J AM(3l=RIC7l•ARCJll+RlCBl•AR(J2l+RI(9l•ARCJ3) AMC4 l=R!C ll•ARC J4l+RICZ l•ARC JS) +R IC 3) •ARC J6 l AMC5l=RIC4l•ARCJ4l+R!C5l•ARCJ5l+RIC&l•ARCJ&l AMC&l=RIC7l•ARCJ4l+RIC8l•ARCJ5l+RIC9l•ARCJ&l )O 951 K=l,&

r;;:: ~

~K=6•J•(ó•K) AR(KK)=AM(Kl

951 :ONTINU': 952 IFCiõ))Q81,9õ0,981 980 :oNTINUE

)O 954 Y=1,NJR L1=7•1·6 L2=Ll+l L7=Ll+ó ~=o ---, ff- r,~--J=cz ,L7 _____ -~= K+ l IFCI8CJ)l954,954,953

953 ROW=ó*I8Clll·C&·K) ~ R CR O 10= AR C ROW l •A< ROW l • 4 E ( R J W)

954 :oNTINUE 981 IFCI~J.•o.2>RETURN

'wRIEC5, 1150l

218

DO 958 I=l,M . l'I R IT õ C 5, 1151) I , J J < I l , C A ~ LC I , J l , J" 1 , ó l , I, JK C I l , C AML< I., J l, J= 7, 12 l

958 :oNTINUE 1iRIT~ (5, ll&Ol )O 971 I= l,NJR Ll=7•C I·l)+l J=IB<Ll) ~RifõC5,llóllJ,ARC6•J•5),ARCó*J·4l,AR(ó•J·3l,ARCó•J·2l,ARCó•J·1>,

lARCó•Jl 9 7 1 : O N TI N UE

RETURN 1150 ~ORMAT(///3X,' ESFORCOS 'INAIS NAS EXTREMIDADES Dos MEMBROS'/3

1X,•M3 JUNTA FORCA X F)RCA Y FORCA Z MOMEN X M ZJM~N Y MOMEN z•>

1151 FORMATC3X,I2,Ió,F13.4,5Fl2.4,/,3X,I2,Ió,Fl3.4,5F1Z,4l 1160 FORMAí<///3X,•~EACAO ~JS A~oros•13x,•JUNT•,2x, 1 FORCA x•,3x,•Fo

lRCA Y',3X,'FORCA Z',8X,'MOMEN (',3X, 1 MOMEN Y'o3X,'MOMEN Z'l llól FORMATC3X,I4•3F13.4,7X,3Fl3.4l ,N~ .

SUBROUf!~E INTEGCXl,X2,X3,AUlVc,AUTVT,D,SMR,JJ,JK,AML,FIJ,NP,A~,IB •,R,JIN,Z,AE,ITM,IBAU,!cOR,RA!O,ACELG,FP,NROOT,N),M,NJ,AX,IP,FC,BET * A , GA ~A, A B, O W, P ~ l

REAL IP{l) ) IM~ ~ S IO N X 1 C 1 l , X 2 < l l, ( 3C 1) , AU f V LC 1) , O C 1 l , J J C ll, J K ( 1 l , F I J C 1) , N PC 1)

•,AR( 1 l ,JINC 1), Z Cll ,AEC 1 ), !TMCll, IBAU( l>, IFORC il, RAIO( ll, AUTVH ~D,N •ROOTl,AMLCM,12l,RCM,9l,SMRC12•12l,IB{ll,ACELG(ll,FPCll,AXC1),FCCll •,ABC6,~ROOTl,DW(ll

)IMENSION BErAC 1>,GAMA(ll )IM~NSION PRCl) ) I ME N S IO N AC 2, 2 l, B C z, 2) , í YC 3 l, ; C 2 l : o MM o N / s I s' N~ o, N I N s l , D~ L s I • F A e. e s I. Is Is. I E s p, KF ~ E s : O MM O N /SI G II CR, I IP R, II~ X, II NC, I F I T :OMMDN/ITEPEIICITE REAJC8,100)SVL1,SVL2,S 7

IFCSFl1•2•1 2 S F= 1. r :1TNTT N W' -

~RITEC5,200lSF REA)C8,300)INC),INCE,I~CT IFCINCT)5,ó,5

5 REAOC8,20l}ICR, IIPR,II~X, IINC & :ONTINU'

I IPR=O )T=)cLSI )ELT=~ T ~RHE<5, 1200)DT )O 10 I=l,NROOT x1<r1=0.o (2<I.l=o.o

l'O X3CI>=O,O CJO 20 I=1,NROOT ~= SQR Te AUTVLCI J l HICI >=2. *CSI•W :ALL MAflS(CSI,w,DELT,A,Jl ABC 1, I l= AC 1, 1 l ABC2, [)= AC1,z> AB C3, l >=AC 2, 1)

219

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. 45 :oNTI NUE óRIT~ C5, l 170l )O 980 J=l,NJ ~ =6* J •RIE C5, 1171lJ, DCK-5 l,)(K•4 l ,JC K·3l,DCK·2J,D( K·l J ,OC KJ

980 :oNTINUE 46 :ONT INU:

I= INCE +!NCí !FC I) 61•52•61

ól :ONTINU' >O 60 I=l,M ) O ó O J= 1 • 12

60 AML<I,J)=O.O I EO=l IFCINCE,EQ,Ol!ãD=2 :ALL ESFORCSMR,JJ,JK,D,AML,FIJ, NP,AR,IB,R,JIN,A,AE,ITM,IBAU,IFOR•I-

*~D,Ml t:i 62 :oNTINUE .

IF(INCTJ71•72•71 71 :ONT!NU'

:ALL SIGMACNJ,M,lTM,AML,JJ,JK,lAID,D,IED,AX,IP,FC,BETA,GAMA,PRl 7 2 : O i-H I N UE JO : O NTI N UE

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1170 ~oRMATC///3X,tJESLOCAMã:HD DAS JUNTAS'/3X,•JU!IIT',2X,'TRANSL. x•, l~X,•TRANSL• Y•,2X,1fRA~SL. Z•.3X,'R01íACAO x 1 ,2X,'ROTACAO Y'•2X•'R0 2TACAOZ'l

1171 FORMA fC 3X, I4,3E 11. 3,6X, 3Ell ,3l 1200 FORM,TC//3X, 1 INTERVALO DE INTE]RACAO CONSTANTE= •,F10.5J

'N) SUBROUTTNE NMARKCX,Xl,X2,AUTVL,AUTVT,D,SMR,JJ,J~,AML,FIJ,NP,AR,JB,

* R, J I N , ., , A E, I T M, I B A U, I F J ~, RA IO, AC E L G, F f', N ROO T, ND, 11, N J, A X, IP , FC, B ! T A *,GAMA, P~ J

REAL IP(ll ) I Mã: N S IO N X C 1l , X l C 1 l, X~ C l J, A U TI LC 1}, D C 1l, J J C 1 ) , J K C 1l , F I J C 1 J , NP C 1),

* A R C l l , J I N C 1 l, A C l J, AE C 1) , I f M C l ) • I 3 A U ( iJ , ff O R C 1 >, R A IO C l) , A U TV T CN fJ, NR * J O Tl , A Ml C M ,t 2} , R C M , 9 ) , S ~ R C 12 '1 ~ J , I 8( l J , AC E L G C l J, F f> C l l , A X< 1 J , FC C 1 J

JIMENSIO~ BE.AC 1>, GAMA( ll ) IMENS ION PR(l l : O MM O N /SI S / Nf' O, N I N S I, D ã: LS I, FAC, C S I , IS IS, I E S P, K'" R E S

220

: O MM O N /SI G / l CR, I IP R, I I ~ X, II NC, I F I T :oMMON/ITEPE/ICiiE RE A) C 8, 1 o O J O~ L TA, ALFA., Se. li RI E C 5, l O l J DELTA, AL f A, S F IF<Sº ll,2,1

2 Sf=t. l : O NT I N UE

REA~C8,300JINCD,INCE,Ii~T If< I1-JCTl5,6•5

5 RE A) C 8 • 2 O O JI CR, I IP R, II ~ ( ,! I N C 6 :oNTINUE

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· • 2·= ATrT vtc n ·· · :=•FPC Il*VGT ,iA=2.•CSI•W : E=: H AO• X C I l + A 2 • X 1 ( I l+ A 3 * 1( 2 C I l J +ETA * ( A 1 • X C I J + A4 • q C I> + A 5 • X 2 C I l J 5 E= íl 2 •AO+ A 1 * E T A. (L=C,IS' X2L=AO*{XL·XCI l )·A2*XlC IJ·A3*(~( Il XlL=XlCIJ+A6•X~Cil+A7•X~L XCI>=XL X1CI}=X1L (2(I >= X2L

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45 :oNTINUE • RITE C 5, 1170.l

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980 46

JO 930 J=l.,NJ WRITêC5,1171}J,D(6*J·5l,0(6*J-~},0(6*J·3),DC6*J·z>,DC6*J·ll,DC6*Jl : O NT Ili uc != INCE +INCl IFC Il 61•62,61

61 :oNTI Nu~ )O 60 I=l,M ) O 6 O J= 1 • 12

60 AMLCI,JJ=o.o !EO=l IFCINCE.[Q.Q}!ED=2 :ALL ESFORCSMR,JJ,JK,0,AML,F!J,NP,AR,IB,R,JIN,A,AE,ITM,IBAU,IFOR,I

e

e

221

*ÕD,Ml 6 2 : O N í I Nu~

IFCINCT)7 l,72,71 71 :oNT INUE

: A LL s I G MA e N J, M, IT M, AML. J J' J K, ~ A I o. D, I E o, A X. I p.: e. BETA. G AMA. p R ) 7 2 : O NT I N UE 3 O : O N TI N Ué

RE TUR N 100 FORMAT(3FlO,O) 101 ºDRMATC///3X,•?ARAMETRJS DE INT:'.GRACA0',/3X,•DELTA=•,FS.2, • ALFA

*=•,F5.2,//3X,•FATOR DE ESCALA ~o SISMO =•,Fs.21 103 ºORMATC///3X,• ••*•••••••TEMPO'• I!o,'**********',ll 200 FORMA l(4I Sl 3 O O FORMA T ( 3 I 5}

1170 ºORMAT(///3)(,•)ESLOCAM~HO DAS JUNTAS'/3X,•JUNT',2X,'TRANSL, X', PX, 1 TRANSL• y,,2x,•TRA~SL• Z•.3X,'ROJACAO x•,2X,'ROTACAO y•,2x,•Ro 2T ACAD z•)

1171 :ORMATC3X,I4'3E11. 3,6X,3E11,3l 1200 FORMAT(//3X•'I~TERVALO DE INTE;RACAO CONSTANTE= •,Fl0,5)

ê N) SUBROUTINE CARRECA,AML,AMS,JJ,JK,ITM,L,W, AA,R,IFOR,FIJ,RA

*IO,S~,SMR, ICLB, LB, AE, A~ ,I8, AC,J IN,E,G, AX, IP,FC,ºF I,FFO,M,NJ,PRJ INTEGER AAC 1) REAL LCll,IPCl) ) IM~ ~ S IO N AC ll , J J C 1 J, J K C 1 } , I T M C 1 l • WC 1} • I FOR C 1 l , F

• ! J (1 l , R .AI O C 1 l, 1 CL B < l l, A ~ C ll , AR C 1 l , I BC 1 l • AC C 1 l , J I N C 1) , E C 1 l , G C ll , A X C * l J , : C C l J , F F I C l l , FF O C1 ) , A M S C N J, ; l , A MLC M, 12 l , R C M, 9) , L 3 C M, 1 2} , S M C 12 • 1 *2 l ,S~RC12, 12l

) IMENS ION PR(l l }IM~NSION AMCól,RIC9l : OMMON /INF 1/NE, NGM, IT I :e, I VL, NJ R, NAE, MR.• MCC, MCQ, MLB, NJRI, MRTR, NPM,

•~TP,a:,ND ' :oMMDN/CAR/NCA,ICTEN ~-

RE A) C -8 • 1100 lNCA, NJ~:MRC ~ M~~~, M~ T RC ,MCQC, LDE, N JR;N,-ME-MP: IC~P, I CTE •.'· *dC?R

IFCNCA)ROO,B00,801 800 RETURN 801 WRif:CS,llOllN:A,NJC,Mi:,MCCC,MRTRC,MCQC,LDE,NJRNN,MTEMP,ICPP,ICTE

802

803

806

805

804

807 810 8 r1

8i3 8t5 81ó

6 19 820 821

830 8 31

*~•IC'R

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*• ITIPO,MCCC> 840 IF<MRTRCJ880,880,881 881 ~RifEC5,1150l

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222

:ALL PPMRTR<M,ITM,L,AM_,~,R,ITIPO,MRTRC,IP,E,AX,FC,SM} 880 IFCMCQCJ850,850,841 841 WRIT:C5,1140}

:oNTINUE 850 IFC!CPP)860,960,851 8 51 : O N T l NU•

!T I?O=O :ALL PPMR(M,ITM,L,AML,~,R,ITIPJ,MRC} :ALL PPMRíR(M,ITM,L,AML,il,R,lftPO,MRTRC,IP,E,AX,FC,SMJ !FC!CPP-10)850• 852,852

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*• lfIPO,MCCCJ IFCICPP-11)860•853,853

8 5 3 : O N TI Nu: 860 !FCMTEM 0 J870,870,861 861 : ALL Tf.:MPEC MTEMP, ITM,L, :r J, AML• SM,RAIO, M,E,G, AX, IP,FC,F, I ,FFO, SMR) 870 :oNTINUE

!FCICPR1869,g&J,868 868 : ALL ~SFPRCE,G, AX, IP•L• 'R,RAIO, F IJ,SM,AML.ITM,Ml 869 :oNTI NUE

I f"{ M l"B Pro (J, 9 O O, ·a 7 1 871 )O 875 I=l,M

!FC !CLBC I ))875, 875,872 872 lfC!TMCTlJ874,873,874 873 :ALL R!RETC!,L•-SM,E,G,AX, IP,FC,FF!,FFO,SMR•O•W> 874 :ALL LIAERCLB,!,AML,SM,SMR,M} 875 :oNTINUE 900 !CM=ICPP+MRC•MCCC+MRTR:•MCQC+LlE+MTEHP+ICPR

)O 901 I=l,ND AECIJ=O.O

901 AR<Il=o.o IFCITICCl906,906,914

906 )O 960 I=l,NO 960 ACCI)=O,O 914 :oNTINUF

If<ICM)910,910•902 902 )O 903 I=l,M

Jl=&•JJ{!)-5 J2=6•JJ(I )-4 J 3=ó•JJ(I )-3 J4=6•JJ( r>-2 J5=&•JJ(IJ-1 Jó=ó•JJ<Il < 1=6• JKC I )-5 <2=ó•JK<IJ-4 <3=ó*'JK<IJ-3 <4=ó•JKCil-z <5=6•JK( I l-1 <&=ó•JKCIJ A E C J 1 l = A E C J l) - ~ < I , l ) * A '1 LC I • 1 l -1 C I , 4 >*AML C I, 2 ) -RC I, 7l •AML C I , 3 J AECJ2l=.AECJ2)-l (!, 2)*A'1LC I,1)-l ( I,5J*AMLC 1,21-RC I,8l*AMLC I,3) AE(J3)=AECJ3)-~ <r, 3)*A"ILC I• l )-~ ( I,6) •AML( r,zJ-R( I,9) •AML( I ,3) A E C J 4 ) = A E C J 4 J - l C I, l >•A '1 LC I, 4 ) • l ( I • 4} *AML C I , 5) -R C I, 7) *AML C I, ó)

. AE<J5J=AECJ5)-l<I,2l•A'1L(I,4>-l<I,5l•AMLCI,Sl-R(I,8l•AMLC!,6} A E C J 5 } = H C J 6) - l < I, 3 l • A "I L( I , 4 > • l < I, ó l *AML C l, 5 ) • R < I, 9} *AML C I , ó) A E < < 1 J = A E ( K l J - ~ < I, l l * A "I LC I , 7 l - ~ C I , 4 l *AML C I , 8 l -R C I , 7 J *AML ( I, 9 l AECK2l=AE(KZ)-~<I,2l*A"ILCI,7>-l<I,5l•AML<I,8)-RCI,8l•AMLC!,9) AE C < 3 } = A E C K 3 )- ~ C I, 3 l * A "I LC I , 7l - ~ C I , 6 l *AML C I , 8 J -R C I , 9 J *AML C I , 9 J AEC~4l=AECK4)-R<I,ll*A"ILCI,10)-RCI,4)*AML<I•lll-RCI,7l•AMLCI,12} AE C < 5 l = A:: C K 5 l - ~ C I, 2 >*A "I LC I , 1 O} • R C I , 5 l * A MLC I , 11 J • R C I , 8 J • A M L ( I, 12 l

9 O 3 A E C< 6 > = AE C K 6 l - .l C I, 3 J • A '1 LC I, 1 O l • R C I, 6 l * A M LC I , 11 l - R C I , 9 l *AML <I, l 2 > !FCNJR!)910,910,904

904 )O 905 J=l,NJ ---, oo--kE-~Jf~ tl ~-~ f-2 ?f k-~~"KI-?~"9 r · -· -- --· · ---· --· -· -- -------- --------------------- ----------- -- --

J 1=&•J-5 J2=& .. J•4 J3=6•J-3 J4=&•J-z

223

J5=ó•J·1 J6=6•J . A M C l l = R T( l l * AE C J l l +RI C 2 ) • A E C J2 l + R I( 3 l * A E C J 3 ) A M < 2 l = R IC 4 > • AE C J l > +RI < 5 ) • AE C J2 l + R I < 6 > * AE C J 3 > AM(3l=R!C7>•AECJll+RI(3l•AE(J2)+RI(9l•AECJ3> A M C r. l = R I< t) "A!: C J 4 l +RI < 0 • AE C J5 l + R I < 3 > * AE C J Ei l AMC5l=R!C4l•AECJ4l+RI<5l•AECJS)+~ICEil•AECJEil A M C 5 l = R I ( 7 ) * AE C J 4 ) +RI < 3 ) • AE C J5 l + R I( 9 l * AE ( J Ei l )O 920 t<= l,Ei <K=Ei•J·CEi·Kl

920 AE<KK)=AM(K) 905 :oNTINUE 910 )O 911 !=1,ND 911 ACCI >= ACC I l+AEC I l+ACI l

e C ~O)I'ICACAO DO VETOR O:: CARGAS NA EOUACAO RESTRINGIDA c

)O 913 I=t,NJR ~ 1 = 7 • I • Ei 1J!!!:::::. L2=L l + 1 · &':.,'_;:_ L7=Lt+Ei <= o )O 913 J=L2,L7 <=K+l IFCIBCJ))913,9l3,912

912 ROW=Ei• IB<Ltl•CEi·Kl LJ= I3< Ll l IFCITICC•ll907,908,909

907 AC(ROHl=ClO.OE+18l•AMSILJ,K) iO TO 913

908 AC (ROW >=o.o :;o -TO 913

909 ACCROW)=AMSCLJ,Kl 913 :oNTINUE

RE TUR N 1100 FORMAf(12I5l 1101 FORNAT(///,3X,•CARREGAiE~TO NU~ERO '•I2,//,3X, 1 DAOOS SOBRE O CARRE

•iAM::NT0',/,3X,'NJC MRC iCCC MRTRC MCQC LDE NJRNN MTE~P ICPP ICTEN * I C PR• , /, 3 X, I 3, I 4, I 5, I ó• I 5, j 4, 2 l Ei • l 5, l Ei • I 5, / l

1105 ~oRMATC///,3X, 1 RECALQUã:S o~ A')l0',/,3X•' J TRANSX TRANSY * TRANSZ ROTACX R)fACY ROTACZ 1 ,/l

llOó FORMATII5,óFlO•O) 1107 FORMATCI5,EiFlO.ó) 11ro FORMAT(//]X,•ESFORCOS A~LICAD05 SOBRE AS JUNTAS SEGUNDO os EIXOS O

IA E:STRUTURA'/3X,'JUNTA• dX, •FO~CAS SEGUNDO OS 3 EIXOS MOMENTOS 2SEGUNDO os 3 EIXOS'/7X, 1 J•,sx,•Fx•,7x,•FY•,7X,•Fz•,1ox, 1 MX 1 ,7X,'MY 3' ,TX, 'MZ' l

1 lrt "O RM A TC I 5, Ei F l O. 1 l 1112 FORMATC6X,I2,3X,Fó-l,3X,ºEi•l•3(,FEi.1,6X,FEi.1,3x,F6-1,3X,Fó-1l 1115 FORMAT(//3X, 1 LEITURA DIRETA DOi ESFQRCOS DE ENGASTAHENTO PERFEITO

l'/3X,•MR JUNTA FOR:A X FORCA Y FORCA Z MOMEN X 2 MOM, N Y MOMEN z•)

1 lH, FORMA H IS, óFlQ. Ol 1118 'ORMAT(6'10•ü> 1117 FORMAfC3X,I2,l4,F14.2,5º12.2/3X,I2,I4,Fl4.2•5Fl2.2l 1120 FORMATC///,3X, 1 ESFORCOS APLICAJOS AOS MEMBROS RETOS',//) 1130 'ORMATC///,3X,'ESFORC0S APLICA)OS AOS MEMBROS CIRCULARES•,//) 1140 FORMATC///,JX,•ESFORCOS APLICAJOS AOS MEMBROS D~ FORMA QUALQUER•,/

*' ) 1150 FORMAJ(//3X,•EsFORC0S A~LlCADOi AOS MEMBROS RETOS COH TRECHO RIG!D *)',li)

". NO

224

NOMENCLATURA

L Função de Lagrange (Cap. I)

Comprimento do elemento ao longo do eixo x

T Energia cinética (Cap. I)

Campo de variação de temperatura

T Energia cinética de um elemento e

rr Energia potencial total p

U Energia de deformação

Ud Energia de distorção

VE Potencial das forças externas

R Função de dissipação (Cap. I)

Raio de curvatura dos elementos curvos

R Matriz de rotação

K Matriz de rigidez da estrutura

M Matriz de massa da estrutura

C Matriz de amortecimento da estrutura

Q Vetor de esforços generalizados

Qª Vetor de esforços generalizados aplicados

diretamente aos nós

-Qe Vetor de esforços equivalentes aplicados aos nós

E Módulo de elasticidade longitudinal

225

v Coeficiente de Poisson

G Módulo de elasticidade transversal

I Momento de inércia da seçao do tubo

I Momento de inércia polar da seçao do tubo= 2I p

XYZ Sistema de eixos global

xyz Sistema de eixos local para o elemento

~ Vetor de deslocamentos generalizados

p Vetor de esforços generalizados do elemento

u Vetor de deslocamentos generalizados do elemento

t Variável tempo

Espessura da parede do tubo

o ( ) Primeira variação de ( ) . (Cap. I)

(i) Quando colocado sobre um vetor (ou matriz) indica

que este vetor (ou matriz) refere-se ao elemento genérico

(i)

(.) Quando colocado sobre uma variável indica a

primeira derivada em relação ao tempo

( .. ) Idem, indicando a segunda derivada em relação

ao tempo

6t Intervalo de discretização do sismo

6T Intervalo de integração

n Vetor de coordenadas generalizadas normais

226

t Matriz modal

A Matriz espectral

r Vetor de coeficientes da influência do sismo

a Aceleração do sismo s

sd,S ,s Valores do espectro de deslocamentos, velocidades V a

e acelerações, respectivamente

A Área da seçao transversal do tubo= rr (r 2 - r7)

X e l

f c

r. l

A r

R ,e, 1/J e

f, f , f g p

Fator de cortante= (4/3) (r 3- r:) / e i

Raio externo da seçao do tubo

Raio interno da seçao do tubo

Área reduzida= A /f X C

{(r 2 +r~) (r-r.)} e i e i

Raio equivalente, espaçamento e ângulo de

espaçamento do elemento curvo com gomos

Fatores de flexibilidade

Fatores de tensões

Ângulo entre o eixo da seçao (x) e o eixo local (x)

do elemento curvo em uma seção genérica

Ângulo interno da curva (elementos curvos)

e ± t/2

de Diâmetro externo do tubo

227

a f Esforços aplicados as extremidades do elemento

e f Esforços de engastamento perfeito

k Matriz de rigidez do elemento no sistema local

m Matriz de massa do elemento no sistema local

pv Massa específica {massa por unidade de volume·

do elemento)

wi Freqüência circular do modo i {radianos/segundo)

~- i-êsimo modo normal de vibração -l.

~i Coeficiente de amortecimento crítico do modo i

ri -Fator de participação sísmica do modo i

N ,N ,N x Y z Esforços em uma seçao genérica do elemento

Mx,My,Mz

Pressão interna efetiva

Comprimento do arco do elemento curvo

a Coeficiente de dilatação térmica linear médio

cr 1 ;a 2 ,cr 3 Tensões principais

cr Tensão longitudinal X

a Tensão circunferencial c

T Tensão cisalhante

cr Tensão equivalente eq

228

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