antologia comentada matemáticas iv 2016

8/18/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV 2016

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ANTOLOGIA COMENTADMATEMÁTICAS

(INTRODUCCIÓN CÁLCULO

CURSO AL UE PERTENECE MATEMATI

...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Recopilado y Presentado por:

MM Carlos Hernández García

[email protected]

Ing. Kenninseb Lucía Ruiz Gamboa.

[email protected]

LCC Azucena América Álvarez Montejo

[email protected]

Cd. del Carmen, Campeche, 11 de Febrero de

Ciclo Escolar:

Febrero – Julio 2016

Secuencia didáctica 1: Operaciones con los números reale

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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1 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2016

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 3

OBJETIVO ................................................................................................................................................. 4 SECUENCIA DIDACTICA 1: OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALES ............................... 6

LECTURA 1: “ORIGEN DE LOS NÚMEROS” ...................................................................................... 6

1.1 CONJUNTOS............................................................................................................................................... 6

COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE .............................................................................................. 10 VALORACIÓN CRÍTICA...................................................................................................................... 12

ACTIVIDAD1 .................................................................................................................................................. 13

LECTURA 2: “ESCRIBIE NDO, RESOLVIENDO Y GRAFICANDO DESIGUALDADES DE UNA VARIABLE” ............................................................................................................................................. 14

1.2 DESIGUALDADES...................................................................................................................................... 14

COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE .......................................................................................... 19 VALORACION CRÍTICA...................................................................................................................... 19

ACTIVIDAD2 .................................................................................................................................................. 20

SECUENCIA DIDÁCTICA 2: FUNCIONES ........................................................................................ 22

LECTURA 1: “FUNCIONE S MATEMÁTICAS CONCEPTOS BÁSICOS” ........................................ 22

2.1 ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN................................................................................................................... 22

Comentario para el estudiante ............................................................................................................ 25 Valoración critica ................................................................................................................................... 26

ACTIVIDAD1 .................................................................................................................................................. 27

LECTURA 2: OPERACIONES CON FUNCIONES MEDIANTE FÓRMULAS, TABLAS YGRÁFICAS ............................................................................................................................................... 28

Comentario para el estudiante ............................................................................................................ 32 Valoración crítica ................................................................................................................................... 33

ACTIVIDAD2 .................................................................................................................................................. 34

LECTURA: “APLICACION ES DE LAS FUNCIONES LINEALES Y POTENCIALES” .................... 35

Comentario para el estudiante ............................................................................................................ 36 valoracion CRÍTICA............................................................................................................................... 36

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ACTIVIDAD3 .................................................................................................................................................. 38

SECUENCIA DIDÁCTICA III: GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES................ 40

LECTURA: “LAS FUNCIONES CIRCULARES” .................................................................................. 40

LA FUNCION SENO..................................................................................................................................... 40 LA FUNCION COSENO ............................................................................................................................... 42 LA FUNCIÓN TANGENTE........................................................................................................................... 44

Comentario para el estudiante ............................................................................................................ 46 Valoración CRÍTICA............................................................................................................................... 46

ACTIVIDAD1 .................................................................................................................................................. 47

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INTRODUCCIÓN

Las materias de las ciencias experimentales y exactas como las Matemáticas siempre se han

visualizado como asignaturas de mayor fracaso escolar, las matemáticas es una de las materias en

donde los jóvenes presentan desinterés, miedo o tabús como por ejemplo: solo a los nerd les gusta

las matemáticas. Sin embargo es una asignatura fundamental en todo plan de enseñanza, pues

brinda a la persona habilidades como agilidad en el razonamiento, lógica, coherencia,

argumentación fundamentada, abstracción matemáticas por citar algunas las cuales ayudan a la

hora de resolver un problema del mundo real.

Se ha observado que muchos jóvenes fallan en la materia debido a que no leen las instrucciones,

presentan problemas de comprensión lectora, no les gusta leer la teoría de cada tema o

simplemente no tienen interés en la materia. Por ello los docentes de Matemáticas IV (Introducción

al Cálculo) nos hemos detenido a buscar estrategias que ayuden a los estudiantes, creando esta

antología comentada con el objetivo que sea un instrumento que favorezca el interés y gusto de los

estudiantes por la lectura y la materia.

En esta antología se ha recabado lecturas relacionados con todos los temas del contenido de cuarto

semestre “Secuencia didáctica 1 Operaciones con los números reales” que permiten al estudiante

contextualizar los contenidos matemáticos, profundizar y ampliar la información de conceptos u

ofrecer resúmenes o síntesis de utilidad didáctica.

En esta primera secuencia didáctica se aborda el tema de conjuntos y desigualdades. En la segunda

secuencia didáctica el tema de Funciones sus elementos, clasificación y operaciones con las mismas

y finalmente en la tercera secuencia didáctica se estudian las funciones trascendentes.


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OBJETIVO

Brindar a los estudiantes diversos elementos para conocer textos de carácter informativo y

científico, reflexionar sobre los temas de curso con el fin de aumentar su acervo cultural en el área

de Matemáticas IV (Introducción al Cálculo). Fundamentándonos en el Modelo Académico basado

en Competencias, que parte de los principios del Marco Curricular Común (MCC) establecidos en la

Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) .

Esperando que esta Antología comentada sea de gran utilidad los docentes de Matemáticas IV

hemos realizado este producto con la finalidad de promover el gusto de la lectura esperando que el

estudiante adquiera un conocimiento básico que le permita comprender y despertar el interés sobre

los temas del área de matemáticas de este curso.


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Propósito de la secuencia didáctica:

Utiliza los números reales para resolver problemas de conteo, mediante operaciones con conjuntos;además representa la solución de las desigualdades de diferentes tipos y representa su solución de maneragráfica y por medio de intervalos. También analiza los elementos de una ecuación, con el fin de trazar sugráfica.

Competencias genéricas y atributos que se promueven:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización demedios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de suspasos contribuye al alcance de un objetivo.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntosde vista de manera crítica y reflexiva.

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entreellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad.

6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nueva evidencias, e integranuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta

dentro de distintos equipos de trabajo.

Bloque 1Operaciones con los números reales


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SECUENCIA DIDACTICA 1: OPERACIONES CON L OS NUMEROS REALES

LECTURA 1: “ORIGEN D E LOS NÚMEROS ”

1.1 CONJUNTOS

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones

comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del

500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por

Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números

irracionales. Los números negativos fueron ideados

por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente

reinventados en China poco después, pero no se

utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las

soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo

se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió

con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los númerosreales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica

matemática . Fue lograda la construcción y sistematización de los números

reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías

distintas: la teoría de conjuntos de George Cantor (encajamientos

sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis

matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de

Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números

reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la

materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz,

Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchyy Weierstrass.

George Cantor

http://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrangehttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Weierstrasshttp://es.wikipedia.org/wiki/Weierstrasshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrangehttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto


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Se sabe que los egipciosy babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución

de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se

consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones

armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que lesinspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima

«todo es número ».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables

si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos

sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una

unidad común para la que las dos magnitudes tengan una

medida entera. El principio pitagórico de que todo número es

un cociente de enteros, expresaba en esta forma que

cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante

el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues

no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos

catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si √ 2 = es un número racional donde está reducido a sus términos mínimos (sin factorcomún) entonces 2 = .

La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m.

Sustituyendo obtenemos 2q²= (2m)²= 4m² , y por tanto q²=2m².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un

número par, esto es, q=2n. Más esto es imposible, puesto que p y q no

tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de

ambos).

Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe

ser falsa.

Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico:

todo número era racional, más la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era

Eudoxo

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_babil%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_babil%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto


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conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las

cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el

desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes. Los griegos desarrollaron una

geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valoresnuméricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmensurables, como la

teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces

excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas

aproximaciones.

Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación

moderna) que si es una aproximación a

entonces p=a+2b y q=a+b son tales que es una

aproximación más precisa. Repitiendo el proceso

nuevamente se obtienen mayores números que dan una

mejor aproximación. Dado que las longitudes que

expresan los números irracionales podían ser obtenidas

mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de

infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fueseesencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos de una línea recta.

Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el

desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin

hacer referencia a segmentos y longitudes. Por

ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver

ecuaciones de segundo y tercer grado de forma

mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían

raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales»

(lo que ahora conocemos como números

complejos). Sin embargo, no existía aún un

concepto formal de número y se seguía dando

Los pitagóricos

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_proporciones_de_Eudoxo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_proporciones_de_Eudoxo&action=edit&redlink=1


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primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la

geometría analítica este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que

la geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente

una herramienta para resolver problemas geométricos. Posteriormente, la invención del cálculoabrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que

permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto

de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de

números racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede

estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:

Entre muchas otras expresiones similares.

Para entonces, el conceptointuitivo de número real era ya

el moderno, identificando sin

problema un segmento con la

medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático , que estudia

conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones

rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a

una serie de paradojas e imprecisiones.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto

que en el momento no se consideraba

necesario el formalismo de la actualidad, y se

usaban expresiones como «pequeño»,

«límite», «se acerca» sin una definición

precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y

problemas lógicos que hicieron evidente la

necesidad de crear una base rigurosa para lamatemática, la cual consistió de definiciones

formales y rigurosas (aunque ciertamente

técnicas) del concepto de número real.

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa


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COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE

De la lectura anterior existen muchos aspectos a reflexionar los cuales se mencionaran a

continuación:

La primera pregunta que uno se puede realizar al iniciar la lectura es ¿Por qué surgieron los

números? Los números han surgido a lo largo de la historia como una herramienta para resolver

problemas de conteo, medición, ordenación, etcétera satisfacen una necesidad, por ejemplo, el

hombre primitivo al volverse sedentario tuvo la necesidad de contar su ganado, la cantidad de frutos

o granos que tenía y a lo largo de los años sus necesidades sociales y de supervivencia se volvieron

más complejas, es decir, la necesidad de contar y administrar sus bienes se volvió sustancial.

Actualmente a los números los vemos como algo que ha existido siempre; sin embargo a través de

la lectura se ve que en cada época, cuando se introdujo algún número nuevo o grupo de númerosnuevos, a menudo se suscitaban polémicas muy fuertes y estos números tardaban muchos años en

ser aceptados por la comunidad en general. Tales son los casos del cero, de los números negativos,

los números irracionales, etcétera.

Aunque no se menciona los primeros números que surgieron históricamente fueron los números

naturales , , , , ... que nos sirven para contar. Aunque el cero apareció después, es más

práctico considerarlo dentro de los números reales. Denotamos por N

al conjunto de los números

naturales, es decir, 1,2, 3, 4, 5, etc.

En la lectura se habla de que a finales del XVIIILeonhard Euler descartó las soluciones negativas de

las ecuaciones y la pregunta es ¿Por qué no aceptaban la existencia de otros números? Una razón

es que aún no conocían los números negativos; lo mismo sucede en nuestros días en el proceso de

aprendizaje en un niño, por ejemplo, cuando un niño está aprendiendo a restar se le dice que 2 – 3

es una operación que no se puede realizar, o sin sentido. Lo que sucede es que la respuesta no es

un número natural por lo tanto se le tiene que enseñar la existencia de otro conjunto de números.Para poder restar cualquier par de números naturales es necesario introducir los números enteros

negativos que junto con los números naturales constituyen los números enteros, recuerda que los

números enteros se representan a través de la letra .

http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIII


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Debes saber que los números negativos son útiles en la vida cotidiana para representar cantidades

como temperaturas por debajo del punto de congelación del agua ( C), deudas monetarias y

profundidades con relación al nivel del mar de zonas que están por debajo de éste, situaciones

contables o administrativas entre otras cosas.

En la antigüedad se enfrentaron al problema de no poder restar si se tiene sólo números naturales,

también enfrentaron al problema de no poder dividir si se tiene sólo números enteros, esta traba

es del que habla la lectura como “Proyecto pitagórico” . Por ejemplo, al dividir 7 entre 2 no se obtiene

un número entero, por lo que es necesario ampliar el conjunto de números. Por ello surgió un nuevo

conjunto de números llamados números racionales, que son aquellos que pueden escribirse como

cociente de dos números enteros, donde el denominador no es el cero.

Observemos que como todo número entero se puede escribir como el cociente de él mismo entre

uno, = 1, entonces todo número entero es un número racional.

También se menciona a los números irracionales donde los pitagóricos, se dieron cuenta de que

con una regla y un compás se podía construir segmentos cuya longitud no se podía expresar como

cociente de dos enteros. Se hace mención que en el triángulo rectángulo cuyos catetos miden , la

hipotenusa mide y este número no se puede escribir en la forma con p y

q enteros; es decir, no es un número racional gráficamente se puede

plasmar como en la imagen derecha.

Todos los números racionales pueden identificarse con puntos en una recta. El hecho de que, por

ejemplo no sea un número racional, significa que hay un punto en la recta al que no se le ha

asociado ningún número racional; de hecho, hay una infinidad de dichos puntos, por lo que es

necesario inventar otros números, llamados números irracionales, para los puntos de la recta a losque no se les ha asociado ningún número racional. Los números irracionales algunos autores lo

representan con la letra I o Q ́Es así como surgen los números reales, que son la unión de los

números racionales e irracionales.


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Podemos observar que en la lectura se comenta la existencia de “Números no reales” estos se

originan al tratar de obtener raíz cuadrada de los números negativos; por ejemplo, no existe

ya que no hay ningún número real “X” tal que x2 = -4. Por esto, es necesario introducir más números;

y surge el conjunto de los números complejos representado por la letra C , para poder, ahora sí,

obtener la raíz cuadrada, o cualquier otra raíz, de todo número real, o más en general, de todo

número complejo.

Sin embargo el estudio de los números complejos e

imaginarios que son un subconjunto de los complejos no se

contempla en el plan curricular del nivel medio superior.

Pero en la facultad quizás los estudies ya que los números

complejos son la herramienta de trabajo del álgebra,

análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y

aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales,

aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran

importancia.

VALORACIÓN CRÍTICA

Los números surgen dada la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un

conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño, la cantidad de maíz, dividir un pan entre los

integrantes de una familia, etc) y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos. Y

han sido la base para el desarrollo de las ciencias exactas y la tecnología.

En la vida diaria tenemos que enfrentarnos a situaciones que nos exigen habilidad en el manejo de

los números a la hora de tomar decisiones en el hogar, el estudio, el trabajo, etc.

Donde la matemática “con el número ” como elemento fundamental, es la base para buscar y

encontrar soluciones a muchos de los casos a los que se debe como ser racional y social.

Deberíamos hacer uso de nuestro conocimiento numérico matemático en la toma de decisiones de

nuestra vida para evitar problemas, por ejemplo: en el uso de tarjetas de crédito, manejo de

ingresos y egresos en el hogar, comprar la cantidad de tela suficiente para realizar una cortina.


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Instrucciones: Contesta lo que se te pide en base a la lectura “Origen de los números”.

1.- ¿En qué siglo se utilizó al conjunto de los números reales sin una definición concisa?

2.- ¿Quiénes hacían uso de las fracciones en la resolución de problemas prácticos?

3.- ¿Quiénes descubrieron que las que las relaciones armónicas entre las notas musicales

correspondían a cocientes de números enteros?

4.- ¿Qué desarrollaron los griegos sin hacer referencia a valores numéricos?

5.- ¿Cuál es el ejemplo que marca la lectura de un número irracional?

6.- ¿De cuántos tipos de números reales habla la lectura?

7.- Elabora una línea del tiempo apoyándose de las TICS, en el que presentes los acontecimientos

más importantes de toda la lectura.

PEGA EN ESTA SECCION LA LINEA DEL TIEMPO

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ACTIVIDAD 1


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LECTURA 2: “ ESCRIBIENDO, RESOLVIENDO Y GRAFICANDO

DESIGUALDADES DE UNA VARIABLE ”

1.2 DESIGUALDADES

Introducción

Algunas veces encontrar un rango de valores

posibles para una situación es más apropiado que

encontrar un valor individual. Cuando vas

conduciendo por la autopista y ves la señal

"Límite de Velocidad 65", sabes que no significaque debes conducir a 65 mph. Podrías ir a 64 o

incluso a 59.5. A una velocidad de 55 tal vez te

toquen algunos bocinazos y gestos enojados, pero nadie te multa. Hay todo un rango de velocidades

a las que tienes permitido conducir, no sólo una. En casos como este donde hay más de una

respuesta correcta, usamos desigualdades , no ecuaciones, para representar la situación.

Las desigualdades son declaraciones matemáticas que definen un rango de valores. Son fácilmente

reconocibles porque contienen los símbolos , o ≥.

Desigualdades y Ecuaciones

Las desigualdades sin distintas a las ecuaciones, aunque puedes aplicar lo que sabes de ecuaciones

para ayudarte a entender desigualdades. Las desigualdades y las ecuaciones son ambas

declaraciones matemáticas que comparan dos valores.

Una ecuación contiene el símbolo =, que liga dos expresiones que tienen el mismo valor. Ya este

familiarizado con ecuaciones como estas: 26 = 21 + 5 y = 3 x + b, 5t = 2(t + 3). Incluso sin resolverlas,

sabes que la cantidad de lado izquierdo del signo igual tiene el mismo valor que la cantidad del lado

derecho.


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Las desigualdades son distintas. En una desigualdad, un lado de la desigualdad puede ser mayor o

menor que la cantidad del otro lado . Los símbolos matemáticos , y ≥ proveen información

sobre los tamaños relativos de las dos expresiones.

Notación Cómo Leerla Desigualdad Ejemplo

x < y “ x es menor que y ” 3 < 15

x ≤ y “ x es menor o igual que y ” número de personas presentes en la clase ≤ número depersonas inscritas en la clase

x > y “ x es mayor que y ” número de países en el mundo > número de continentesen el mundo

x ≥ y “ x es mayor o igual que y ” 50 ≥ número de estrellas en la bandera de EstadosUnidos

Lo importante sobre las desigualdades es que tienen muchas posibles soluciones. Por ejemplo, la

desigualdad “50 ≥ número de estrellas en la bandera de Estados Unidos” es una declaración válida

para cada bandera Americana que ha ondeado — ninguna bandera ha tenido más de 50 estrellas.

También es cierto para la bandera diseñada en 1777 (13 estrellas, 50 ≥ 13), y como se veía en 1850

(30 estrellas, 50 ≥ 30), y como se ve ahora (50 estrellas, 50 ≥ 50).

Nota que la desigualdad x > y también puede escribirse como y < x . Los lados de cualquier

desigualdad pueden cambiar de lugar siempre y cuando el símbolo de desigualdad también sea

volteado.

Desigualdades en la Recta Numérica

Una forma de representar desigualdades es usando la recta numérica. En los ejemplos de abajo, los

rangos de valores válidos para la desigualdad se muestran en rojo. Un punto abierto se usa para

representar relaciones < y >; este símbolo indica que el punto sobre la recta numérica NO está

incluido dentro del rango de valores posibles de la desigualdad. Un punto cerrado se usa para

representar ≤ y ≥, cuando los dos lados de la desigualdad PODRÍAN ser iguales.Ejemplos:


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Stan tiene más de $3.50 en su bolsillo.

La temperatura es mayor que -4º y menor que 12º.

t ≤ 19

Sumando y Restando Desigualdades

Al igual que con las ecuaciones, existen

las Propiedades de la Desigualdad que

nos permiten trabajar con éste tipo de

relaciones.

Empecemos con la suma y la resta de la desigualdad simple a > b. Si queremos sumar una cantidad

C al lado izquierdo, también tenemos que sumarla del lado derecho para mantener válida la

desigualdad. Podemos escribir ésta propiedad como: Si a > b, entonces a + c > b + c.

La edad de las personas es un buen ejemplo para describir ésta propiedad. Por ejemplo, imagina

que conoces a dos personas: Edward y Bella. Sabes que Edward es mayor que Bella (pero no sabes

por cuántos años). Dentro de cierto número de años a partir de hoy, ¿Edward seguirá siendo mayor

que Bella? ¡Por supuesto! Edward es mayor y ambos envejecen al mismo tiempo. De formaalgebraica, podrías representar ésta desigualdad como:

Si la edad de Edward > la edad de Bella ,

entonces la edad de Edward + algunos años > la edad de Bella + el mismo número de años

Propiedades de Suma y Resta de la Desigualdad

Sia > b, entonces a + c > b + c

Sia > b, entonces a − c > b – c

http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/


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La Propiedad de la Resta es similar. Si tenemos de

nuevo la desigualdad a > b y restamos c de a ,

entonces también debemos restar c de b para

mantener la relación. Podemos escribir éstapropiedad como:

Sia > b, entonces a − c > b − c.

El ejemplo de las edades también te puede

ayudar a entender ésta relación: Si Edward es

mayor que Bella ahora, entonces hace 5 años Edward era también mayor que Bella (porque Bella

era también 5 años más joven). Podrías representar éste desigualdad como:

Sila edad de Edward > la edad de Bella ,

entonces la edad de Edward − 5 años > la edad de Bella − 5 años

Multiplicando y Dividiendo Desigualdades

No es de extrañar que haya también Propiedades de la Desigualdad para la Multiplicación y la

División. Volvamos a nuestra relación estándar a > b para ver cómo funcionan éstas.

Propiedades de Multiplicación y División de la Desigualdad

Sia > b, entonces ac > bc, si c > 0Sia > b, entonces ac < bc, si c < 0

Sia > b, entonces , si c > 0

Sia > b, entonces , si c < 0

Una recta numérica puede ayudarnos a modelar lo que pasa cuando c > 0, así como por qué el signo

de la desigualdad se "voltea" cuando c < 0.

Grafiquemos en la recta numérica los enteros 5 y 2. Sabemos que 5 > 2. ¿Qué pasa si multiplicamos

ambos números por el mismo valor c=0.5? donde A=2 y B=5

Multiplicamos por .5A > B

A=2 B=5A*0.5 > B*0.5

2 *0.5 5*0.5


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Nos dará el siguiente resultado:

Si tenemos que c = 0.5, podemos ver que 2.5 > 1, y AC >BC . La desigualdad se ha mantenido. A pesar

de que éste es un simple ejemplo, es válido para todos los valores donde c > 0. Esto normalmente

se escribe como: Si a > b, entonces ac > bc, si c > 0.

Si tomamos los mismos dos números y los multiplicamos por -0.5, sucede algo distinto. El valor

resultante de AC =-2.5, queda más hacia la izquierda que el valor de BC =-1. La desigualdad se ha

invertido, y AC < BC . Ese patrón es válido para todas las desigualdades — si son multiplicadas por un

número negativo, la desigualdad se voltea. Esto se escribe formalmente como:

Sia > b, entonces ac < bc, si c < 0.

LaPropiedad de División de la Desigualdad funciona de la misma manera. Si dividimos ambos lados

entre un número positivo, la desigualdad de conserva. Matemáticamente:

Sia > b, entonces, si c > 0.

Si dividimos ambos lados de la desigualdad entre un número negativo, la desigualdad se invierte. Sia > b, entonces, si c < 0.

Ejemplo. Una mujer de negocios está comparando el valor de dos acciones, Goodman Rent-a-Car

(GRC) y Harris Home Construction (HHC). El lunes, GRC es más cara que HCC, pero el martes, ambas

acciones caen a la mitad de su valor. ¿Cuál es la relación que ella podría esperar entre las dos

acciones al final del martes?

A) El valor de GRC > el valor de HHCB) El valor de HHC > el valor de GRCC) El valor de HHC = el valor de GRCD) El valor deGRC − el valor de HHC = 0

(Respuesta: Inciso A)

AC > BC

B*C = 1 A*C = 2.5


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En resumen una desigualdad expresa que dos valores no son iguales. Los símbolos >, ” indica mayor que, por ejemplo: x > 5 se lee “x

mayor que 5”,

Se anexa una imagen para clarificar mejor este punto que al estudiante le causa dudas a la hora de

resolver sus ejercicios.

VALORACION CRÍTICA

Las desigualdades son de gran importancia para solucionar problemas del mundo real y se usan todo

el tiempo. Encontrar la manera de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un proceso un

poco tedioso al principio, porque en el nivel medio superior es la primera vez que como estudiante

abordas el tema, sin embargo, es un paso importante para aprender a resolverlas en contextos

cotidianos.

Las desigualdades pueden ser usadas para modelar situaciones cotidianas. Cuando interpretes ese

tipo de problemas, empieza por identificar cómo las cantidades se relacionan una con la otra, y

luego elige el símbolo de desigualdad que sea apropiado a la situación. Cuando resuelvas estos

problemas, recuerda que la solución será un rango de posibilidades ya que las desigualdades no nos

dan sólo una respuesta, como lo hacen las ecuaciones.


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Instrucciones: Expresa con desigualdades los siguientes enunciados

1. El interés I no es mayor a $120: __________________________________________________

2. La distancia d es mayor que 12km, pero menor que 18km: _____________________________

3. Las edades x de los niños están desde 3 años y hasta 8 años: ___________________________

4. El área de un terreno es mayor que 2 ha, pero menor que 3 ha: __________________________

5. El voltaje V es mayor o igual a 110 voltios: ________________________________________

6. El intervalo de temperatura, en grados Celsius, en el que se encuentra el agua en

estado líquido, a una atmósfera de presión: _________________________________________

7. Para ángulos agudos muy cercanos a cero, los valores de su tangente son cercanos a

cero y cuando el ángulo es próximo a 90 grados, los valores de la tangente tienden a

infinito que se representa con el símbolo "∞". Por tal motivo, los valores posibles

para la tangente de un ángulo agudo son: __________________________________________

Contesta lo que se te pide.

8. En notación de intervalo > 7 se representa como ___________________________________

su representación gráfica es:

9. Representa en forma descriptiva el siguiente intervalo [-4,2): ___________________________

10. Representa en forma descriptiva el siguiente intervalo [0,∞): ____________________________

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ACTIVIDAD 2


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Propósito de la secuencia didáctica:

Analiza los elementos de las funciones algebraicas y las clasifica de acuerdo a su forma y presentaciónanalítica, su gráfica y variación; posteriormente efectúa operaciones con funciones.

Competencias genéricas y atributos que se promueven:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización demedios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de suspasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntosde vista de manera crítica y reflexiva.

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellasde acuerdo a su relevancia y confiablidad.


6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta

dentro de distintos equipos de trabajo.10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideasy prácticas sociales.

10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante laubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.

Bloque 2Funciones

Gráfico de x2 – y2 en tercera dimensión


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SECUENCIA DIDÁCTICA 2: FUNCIONES

LECTURA 1: “ FUNCIONES MATEMÁTICAS CONCEPTOS

BÁSICOS ”

2.1 ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN

Las funciones matemáticas, en términos simples,

corresponden al proceso lógico común que se

expresa como “depende de”. Este proceso lógico

se aplica a todo lo que tiene relación a un

resultado o efecto sea este medible o no en forma

cuantitativa.

Las funciones matemáticas pueden referirse a

situaciones cotidianas, tales como: el valor del

consumo mensual de agua potable que depende

del número de metros cúbicos consumidos en el

mes; el valor de un departamento que depende

del número de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende

de la hora del día; el costo de una llamada telefónica que depende de su duración; el costo de enviaruna encomienda que depende de su peso; la estatura de un niño que depende de su edad.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la

izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado": x -------> x2.


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Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de

función). f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notacionesx --------> x2 ó f(x) = x2

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.

Consideremos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

A) Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X) constituye lo que se llama la

entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto

Y) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos

que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos

también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo

peso.

B) Correspondencia entre el conjunto de los numero reales (variable independiente) y el mismo

conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

X Y-1 ------------> 10 -------------> 3

1 -------------> 52 - ------------> 7

Estos ejemplos van introduciendo la noción de función: se pretende que todos y cada uno de los

elementos del primer conjunto están asociados a un y sólo a un elemento del segundo conjunto.

Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento

X YPablo 88Jorge 88Marcela 55Sergio 62René 90


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en Y. Un y sólo a un significa que a un mismo elemento en X no le puede corresponder dos

elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar la siguiente definición formal:

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X exactamente un

elemento, llamado f(x) de un conjunto Y.

Otra definición equivalente es: Sean X e Y dos conjuntos.

Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo un) elemento en Y a cada

elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Podemos comparar una función con una máquina a la cual

se le introduce el elemento x y cuya salida correspondiente

es f(x).

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B (ó, usando X por A e Y por B f : X -----> Y)

El primer conjunto A se conoce como DOMINIO (Dom) de la función y B

es el CODOMINIO o CONJUNTO DE LLEGADA.

f(x) denota la IMAGEN dex bajo f , mientras que x se llama la

PREIMAGEN de f(x).

En elejemplo B) anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f;

1 es la preimagen del número 5.


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ElRANGO o RECORRIDO (Rec) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen

cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo 1. Suponga que el conjunto A es A = {1,2,3} y que el conjunto B (de llegada) es B =

{0,4,6,8,10,12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada

elemento su cuádruplo". Examine y decida si esta relación es una función de A en B y determine su

dominio y recorrido.

Solución. A los elementos 1,2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos

4,8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la

relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1,2,3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Ejemplo 2. Sea X = {-4, -1, 0, 4, 9}, Y = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia

es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada". Determine si esta regla

constituye función de X en Y.

Solución. Se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y, pero a los números -4 y -1 no les

corresponde elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos

de Y, esta relación no es función de X en Y.


Una función del conjunto A en el conjunto Y , es una relación que asocia a cada elemento x del

conjunto A un único elemento del conjunto Y . Sif es una función de A en Y, definimos f : A→ Y .

Si al elemento x εA la función f le asocia el elemento y ε Y , entonces definimos f(x) = y.

Sif : A→ Y es una función entonces llamamos a A dominio de la función f , y al conjunto

Im(f) ={ y ε Y / f(x) = y para algunax εA }

rango o imagen de f. En este semestre estudiaremos solamente funciones cuyo dominio e imagen

son subconjuntos de R.


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Por ejemplo el dominio e imagen de la función f(x) = x2 son los conjuntos R y [0,∞ ) respectivamente.

VALORACIÓN CRITICA

Es importante recordar que para hallar el dominio no está permitido,

A. Dividir por cero.

B. Extraer raíces de orden par de número negativos.

Ejemplo del caso 1: Dividir por cero

Dado que x=1 anula al denominador, lo hace cero, por ello x=1 no se contempla en el dominio.

Ejemplo del caso 2: Extraer raíces de orden par de número negativos.

Para determinar el dominio, en problemas aplicados, es necesario considerar las

restricciones físicas propias del problema.

Llamaremos dominio físico al conjunto de argumentos permisibles del problema.

Por ejemplo, si A(r) = ¼r2 es el área de un círculo, el dominio es R, pero el dominio físico es

el conjunto (0,∞ ), ya que no consideramos radios negativos.


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Instrucciones: Subraya las ideas principales de la Lectura 1: Funciones matemáticas conceptosbásicos, y en base a lo subrayado realiza un mapa conceptual. Guíate de la rúbrica de mapaconceptual para realizar tu tarea y anexa la rúbrica al entregar esta actividad para que se te califique.

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ACTIVIDAD 1


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LECTURA 2: OPERACIONES CON FUNCIONES MEDIANTE

FÓRMULAS, TABLAS Y GRÁFICAS

Introducción

La oficina de personal de una compañía cuenta con estas dos funciones:

Así, para realizar el pago a los empleados necesitamos una nueva función: h(x)=f(x) × g(x)

Como sabemos, la tasa de impuestos en artículos diferentes cambia. Por ejemplo, la leche no tieneimpuestos. La caja de una tienda se conecta a una computadora que tiene dos funciones:

Para indicar al cliente cuánto tiene que pagar por un artículo, creamos una nueva función : h(x)=f(x)+ g(x)

Dadas dos funciones f y g, en ocasiones necesitamos nuevas funciones que consisten de

f + g, f - g, f×g ó f/g

Operaciones de Funciones mediante Fórmulas

Sean dos funciones f y g, la suma, la diferencia, el producto y el cociente para todos los valores de xcomunes a ambos dominios, se definen de la siguiente manera:


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Suma (f+g)(x)=f(x)+g(x)Diferencia (f-g)(x)=f(x) - g(x)Producto (f×g)(x)=f(x)×g(x)Cociente F/g = f(x)/g(x ) , g(x)≠0

Ejemplo: Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones

f(x)= x + 2 y g(x)= x - 2.

1. f+g

(f+g) (x) = fx + gx = (x+2) + (x-2) = x+2 + x-2 = 2x

2. f-g

( f - g ) ( x ) = f x - g x = ( x + 2 ) - ( x - 2 ) = x + 2 - x + 2 = 4

3. f×g

( f × g ) ( x ) = f x × g x = ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x2 - 4

4. f/g

f/g = (x+2) /(x-2) = (x+2) /( x-2)

Operaciones de Funciones representadas como Tablas

Considere la siguiente tabla de valores que corresponde a las funciones f y g.

x -2 -1 0 1 2f(x) -2 0 -1 -1 1g(x) 1 1 0 2 2

Ejemplo: Usar los valores de f y g en la tabla anterior para obtener : f + g, f - g, f×g y f/g .

La siguiente tabla muestra los resultados de efectuar las operaciones requeridas. Para obtener los

valores para un valor de x, simplemente aplicamos la operación a los valores dados en la tabla de

f(x) y g(x).


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f(x) g(x) (f+g)(x) (f-g)(x) (f×g)(x) (f/g)(x)

-2 -2 1 -1 -3 -2 -2

-1 0 1 1 -1 0 0

0 -1 0 -1 -1 0 No definido

1 -1 2 1 -3 -2 -1

2 1 2 3 -1 2 1

Operaciones de Funciones mediante Gráficas

Es posible realizar operaciones con funciones utilizando susgráficas. Lo que hacemos es evaluar ambas funciones en lospuntos correspondientes y aplicar la operacióncorrespondiente.

Ejemplo: Usar las gráficas de f y g en la siguiente figura paraobtener f + g, f - g y f×g.

En la sección anterior encontramos la tabla de valores de estas funciones. Podemos utilizar estosvalores para graficar las funciones.

x f(x) g(x) (f+g)(x)-2 -2 1 -1-1 0 1 10 -1 0 -11 -1 2 12 1 2 3

x f(x) g(x) (f-g)(x)-2 -2 1 -3-1 0 1 -10 -1 0 -11 -1 2 -32 1 2 -1


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x f(x) g(x) (f×g)(x)-2 -2 1 -2

-1 0 1 00 -1 0 01 -1 2 -22 1 2 2

Dominio y Campo de Valores

Cuando estudiamos funciones aprendimos a obtener el dominio y campo de valores de funciones.

Como al combinar funciones obtenemos nuevas funciones, estas también tendrán su dominio y

campo de valores. Recordemos que para combinar aritméticamente las funciones, estas deben

tener un dominio común.

El dominio de la función que resulta de combinar aritméticamente dos funciones f y g, depende del

dominio de f y g, como se muestra en la siguiente tabla:

dominio de f+g dominio común a f y g.

dominio de f-g dominio común a f y g.dominio def×g dominio común a f y g.

dominio de f/g dominio común a f y g, excluyendo los valores donde g(x)=0.

Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, f(x)= 2x, g(x)= x - 4, h=√ . Hallar:

1. f+g

(f+g) (x) = f(x) + g(x) = 2 x + ( x - 4 ) = 2 x + x - 4 = 3 x - 4

dominio de f Todos los número reales

dominio de g Todos los número reales

dominio de f+g Todos los número reales

campo de valores de f Todos los número reales

campo de valores de g Todos los número reales


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campo de valores de f+g Todos los número reales

2. f+h

(f+ h ) (x) = f(x) + h(x) = 2 x +√ = 2 x +√


dominio de h Los número reales positivos y el cero

dominio de f+h Los número reales positivos y el cero

campo de valores de f Todos los número reales

campo de valores de h Los número reales positivos y el cero

campo de valores de f+h Los número reales positivos y el cero

3. f /g

f/ g = (2x)/ ( x - 4 )


dominio de g Todos los número reales

dominio de f g Todos los número reales excepto x=4

En el tutorial de funciones racionales se cubre con detalle la forma de obtener el campo de valores

de este tipo de funciones.


En la lectura vimos operaciones de funciones con fórmulas, tablas y gráficas. A veces nos conviene

poner una relación en forma de una máquina con entrada y salida.

Por ejemplo, cuando realizamos compras en una tienda, sabemos que hay una relación entre elproducto y su precio. El cajero necesita esa relación en forma de una máquina donde él escanea el

código del producto y la máquina devuelve el precio de este producto.


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Observa que el dominio en las operaciones suma, resta y multiplicación es la intersección del

dominio de las dos funciones; pero en la división el dominio resultante será todos los reales excepto

aquel número que haga cero al denominador, D(f + g) =(D f D g) − {x / g(x) = 0}.


A lo largo de tu vida has aprendido a sumar, restar, multiplicar y dividir números reales, haces estas

operaciones todos los días en una variedad de situaciones. En secundaria aprendiste a realizar estas

cuatro operaciones básicas en expresiones algebraicas. Entonces, aunque no necesitas calcular 3x 2

/10x muy a menudo, sabes cómo hacerlo.

Si sabes cómo realizar las cuatro operaciones básicas en polinomios, entonces a través de esta

lectura te darás cuenta que puedes sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. La notación se verádiferente al principio, pero luego te darás cuenta que es simplemente algebra.


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Instrucciones: Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones

f(x)= x + 3 y g(x)= x +7 mediante fórmulas. Anexa la gráfica de cada operación utilizando un softwaregraficador.

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. # 2

ACTIVIDAD 2


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LECTURA: “APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES Y

POTENCIALES ”

Función lineal

En la vida real existe un buen número de ocasiones en

que se pueden aplicar las funciones lineales. Las

aplicaciones más comunes de las funciones lineales se

dan en el campo de la economía y especialmente en el

cálculo de intereses y el cálculo de descuentos.

En el primer caso, si un banco una cantidad determinada

a un 7% de interés, para calcular el monto total de los intereses se habrá de multiplicar el capital

prestado por 7/100 = 0.07; por lo tanto la función será I(x) = 0.07x pues por un capital de 1000 euros

deberán pagarse I(1000) = 0.077 * 1000 = 70 euros.

De la misma manera, el cálculo de descuento en unas rebajas se puede llevar a cabo mediante una

función lineal. Por ejemplo, si a un determinado artículo se le aplica un descuento del 25%, ello

significa que, para calcular el descuento, habrá que multiplicar el precio del articulo por 25/100 =

0.25; es decir, si denominamos d(x) a la función de descuento, entonces d(x) = 0.25x . Por lo tanto,

si el precio del articulo fuera 160 euros, su descuento seria d(160) = 0.25 * 160 = 40 euros.

Función potencial

Las funciones potenciales tienen una gran importancia matemática, puesto que pueden ser

aplicadas en muchos campos para describir una gran variedad de fenómenos o procesos de

crecimiento, razón por la cual dichas funciones también

se denominan, a menudo, funciones de crecimiento. Por

ejemplo, aplicando funciones potenciales se pueden

determinar el crecimiento de una población de bacterias

en el laboratorio, el crecimiento vegetativo de una

determinada especie animal, el modo en que decrece la

materia radiactiva o el proceso temporal de la difusión de

las enfermedades contagiosas. Las funciones potenciales

Función exponencial


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también desempeñan una importante función en el cálculo de los intereses producidos por las

cuentas bancarias, pues mediante ellas se puede determinar, por ejemplo, el aumento monetario

que experimenta una determinada cuenta sujeta a intereses compuestos.

Una de las funciones potenciales principales es la que tiene como base el numero e, que es, como

sabemos, un numero irracional cuyos primeros decimales son: 2,71828182845904523... La función

e x se denomina función exponencial, y su aplicación tiene especial importancia sobre todo, en la

determinación de los procesos de descomposición radiactiva.


Unos de los conceptos más importantes en la matemática es el de las funciones , ya que sepuede aplicar a numerosas situaciones de la vida cotidiana , y determinar las relaciones que

existen entre magnitudes tanto en matemática, física, economía, y así poder calcular el valor

de una de ellas en función de otra de las que depende.

La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el

aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al

comienzo del mismo.

A continuación se ven tres aplicaciones:• Crecimiento de poblaciones.

• Interés del dinero acumulado

• Desintegración radioactiva.

VALORACION CRÍTICA

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes decrecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés

continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias

radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de

átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.


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Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número

positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de

definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se

cumple que:

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = e x. El número e, de valor

2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: (1 + 1/n) n

cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los

logaritmos naturales o neperianos.

La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las

descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada


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Instrucciones: Contesta lo que se te pide.

1.- Aplicaciones más comunes de la función lineal:

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ .

2.- Una de las funciones potenciales principales es: _____________________________________

3.- El valor de e es: _________________________________

4.- La funciónex se llama: _____________________________________________________

5.- La función exponencial puede considerarse como la inversa de: __________________________

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. # 2

ACTIVIDAD 3


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Propósito de la secuencia didáctica:Analiza las gráficas de las funciones trascendentes para argumentar las soluciones a problemas devariación, tales como oscilación, crecimiento y decrecimiento de los cuerpos; en los diferentes camposdisciplinares. Competencias genéricas y atributos que se promueven: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización demedios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de suspasos contribuye al alcance de un objetivo.5.2 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntosde vista de manera crítica y reflexiva.

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellasde acuerdo a su relevancia y confiablidad.


6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta

dentro de distintos equipos de trabajo.10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideasy prácticas sociales.

10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante laubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.

Bloque3

Gráficas de las funciones trascendentes


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SECUENCIA DIDÁCTICA III: GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES

TRASCENDENTES

LECTURA: “LAS FUNCIONES CIRCULARES”

Las funciones circulares son las funciones asociadas con las razones trigonométricas; las más

importantes son la función seno, la función coseno y la función tangente. La variable de las funciones

circulares siempre se expresa en radianes y no en grados sexagesimales.

LA FUNCION SENO

La función Seno relaciona un ángulo expresado en radianes con su Seno; cuando el ángulo se hallaentre 0 y 2π, la gráfica de esta función se construye como se muestra en la figura que aparece al pie

de esta página.

Cada valor del seno en la circunferencia unidad de la izquierda se traslada a su posición

correspondiente en el valor del ángulo en el eje de abscisas. Así por ejemplo,

sen π/2 = 1, o sen π = -1; si α es del primer cuadrante, sen (π – α) = sen α.

De este modo se obtiene la gráfica siguiente:

Las propiedades de la función seno en el intervalo [0,2π ] son las siguientes

La imagen de la función es el intervalo [-1,1].

Los puntos de corte son (0,0) y (π, 0 ).


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Es creciente en (0, π /2) y ( π, 3π /2), y por el contrario, es decreciente en (π/2, π) y

(3 π/2, 2π)

Tiene un máximo en el punto (π/2, 1 ) y un mínimo en el punto (3 π/2 , - 1).


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Por otra parte, sabemos que hallar el seno de ángulos mayores que 2 π , basta con aplicar la

formula siguiente: sen (x + 2π) ,o también, sen x.

Y que, además, para hallar el seno de ángulos negativo, la fórmula que hay que aplicar es la

siguiente: sen(-a) ,o también, -sen a .

De esta manera, se puede extender la función seno a todos los números reales; la gráfica en un

intervalo mayor se acostumbra a denominar sinusoidal y tendría la forma siguiente:

Como se puede observar, esta grafica repite los valores de la función cada 2π ; es decir, es suficiente

saber cuáles son los valores de la función en el intervalos [0, 2π) para conocer los valores de la

función en cualquier otro valor, porque se trata de repetir la gráfica en ese intervalo. Por este motivo

la función seno es una función periódica, cuyo periodo es 2π.

LA FUNCION COSENO

La función coseno para el intervalo [0, 2π) se puede construir de manera análoga a la función seno.

Por lo tanto, la gráfica de la función coseno en el intervalo [0,2 π) será la siguiente:


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Las propiedades fundamentales de la función coseno en el intervalo [0, 2π ] son las siguientes:

La imagen de la función es el intervalo [-1,1]

Los puntos de intersección son (0,1), (π/2,0) y (3 π/2, 0)

Es creciente en (π, 2 π) y decreciente en (0, π)

Tiene un máximo en el punto (0,1) y un mínimo en el punto (π, -1)

Al igual que la función seno, la función coseno es una función periódica, que repite la misma forma

cada 2 π ; en consecuencia, la gráfica de la función coseno en un intervalo mayor será la siguiente:


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Si representando la función seno y la función coseno en un mismo gráfico, obtendremos la siguiente

forma:

Como se puede advertir, la forma de ambas funciones es exactamente la misma, pero la función

seno está ligeramente “adelantada” (en π/2).

Esto es así, porque: Cos x = Sen (x+ π/2).

LA FUNCIÓN TANGENTE

La función tangente es el cociente entre la función seno y

la función coseno:

Tg x =

Para obtener la gráfica de la función tangente, basta con

representarla entre – π/2 y π/2 , puesto que su periodo es

π .

Por lo tanto, si representamos la gráfica de la función tangente en un intervalo mayor, obtendremos

la siguiente forma (ver figura inferior):

Función senoFunción coseno


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Las principales propiedades de

la función tangente son:

A diferencia de todas las

funciones estudiadas hasta el

momento, el dominio de esta

función no incluye todos los

números; para los valores en los

que el coseno es 0, la función

no existe (porque deberíamos

dividir por 0, cosa imposible); esto sucede cuando x es igual a “ π/2 + k π” (siendo k un

numero entero cualquiera), es decir para:

-7 π/2, -5 π/2, -3 π/2, - π/2, π/2, 3 π/2, 5 π/2, 7,/2…

la imagen de es la función puede ser cualquier número real, sea positivo negativo.

Como se puede comprobar en se gráfica, la tangente es siempre una función creciente.

Los puntos de intersección con los ejes se corresponden con todos aquellos puntos que tengan como

coordenada de x un múltiplo de π , es decir, los puntos de corte con los ejes son (kπ, 0), siendo k un

numero entero.


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Hay dos clases de funciones reales las algebraicas y las que no lo son, a estas le llamaremos funciones

trascendentales. Su nombre se deriva a que no pueden ser expresadas en forma de operaciones

algebraicas, de ahí el nombre de la misma. Es decir, para un valor de x la salida de una función

trascendental no puede ser calculada algebraicamente.

Estas funciones son muy importantes en la solución de problemas de física e ingeniería. Son

especialmente utilizados para detectar errores en el análisis dimensional. Esto se debe a que la

función trascendental sólo tiene sentido después que sus argumentos se hacen sin dimensiones,

esto también puede hacerse utilizando reducciones algebraicas.

Para definir una función trascendental elemental, principalmente se emplean tres estrategias. Una

de ellas es hacer uso de las series de potencias. Sin embargo, rara vez se utiliza, ya que no forma

parte del cálculo elemental. El otro, que se utiliza en gran manera, es el método de la integral

definida. Dos de las funciones trascendentales más importantes son las funciones trigonométricas

y las funciones exponenciales. Las funciones de los ángulos se conocen como funciones

trigonométricas. También se les conoce por el nombre de funciones circulares.


Las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante son muy

importantes para relacionar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos del

triángulo. Entre muchas de las aplicaciones, estas funciones son importantemente utilizadas para

modelar o describir los fenómenos físicos: movimientos periódicos, movimiento ondulatorio y

físicos.

En términos más precisos, una función trigonométrica se puede definir como una función que es

razón de cualquiera de los dos lados del triángulo con un ángulo específico entre ellos. Algunos de

los matemáticos modernos incluso definen tales funciones como una serie de longitud infinita o la

solución de ecuaciones diferenciales, extendiendo estas un gran número de negativos así como

positivos, incluso números complejos en algunos momentos.


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Instrucciones apartado 1: Contesta correctamente lo que se te pide.

1. Los puntos de corte de la función seno son: ____________ .

2. Menciona dos puntos máximos de la función Seno: _____________ y ______________.

3. La función Coseno es creciente en ______________ y decreciente en _______________.

4. La función coseno tiene un máximo en el punto _____________ y un mínimo en el punto

______________.

5. El dominio de la función Seno y Coseno es el intervalo: ______________________.

6. La imagen o rango de la función Seno y Coseno es el intervalo: _____________.

7. ¿Por qué a las funciones Seno y Coseno se les llama funciones periódicas?

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

8. Gráficamente cual es la diferencia entre la función seno y cos