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Antenas

ÄÄ Antenas lineares - 1

Ø Funções potenciais auxiliares

• Na análise dos problemas de radiação o procedimento normal é o de se especificar as fontes de radiação sendo depois necessário obter o campo radiado perlas fontes.

• É prática comum a introdução de funções auxiliares, chamadas de potenciais, que irão dar uma ajuda na resolução dos problemas.

• A função potencial mais utilizada é a A (potencial magnético) e V (potencial eléctrico).

• É possível calcular os campos E e H a partir das densidades de corrente, no entanto normalmente é muito mais fácil calcular primeiro as funções potenciais auxiliares e depois determinar E e H.

• A é igual a:

∫−

=V

rj

dVr

eJA

β

πξ4

• Para a determinação dos campos electromagnéticos a partir da distribuição de densidade de corrente (J) efectuam-se três passos:

o determina-se A a partir de J;

o determina-se H a partir de A ( AH ×∇=µ1 );

o e finalmente E a partir de H ( Hj

E ×∇=ωξ1 ).

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Ø Dipolo infinitesimal

• Consideremos o dipolo eléctrico infinitesimal no espaço livre que consiste num pequeno condutor (l<<λλ) que se encontra colocado na origem do sistema de coordenadas e orientado segundo o eixo z. A corrente no condutor tem um valor constante.

• Para a determinação do campo electromagnético gerado por um dipolo infinitesimal vamos seguir os três passos já referidos.

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• A função potencial auxiliar A será:

( ) rjz

l

l

rjz

V

rj

er

lIadze

r

IadV

r

JezyxA ββ

β

πµ

πµ

πµ −+

−

−−

=== ∫∫ 4ˆ

4ˆ

4,, 0

2

2

0

• Vamos passar o resultado para coordenadas esféricas:

−−=

z

y

xr

A

A

A

sen

sensen

sensensen

A

A

A

0cos

coscoscos

coscos

θφθφθφθ

θφθφθ

φθ

como Ax=Ay=0 obtemos:

=

−=−=

==−

−

04

cos4

cos

0

0

φ

β

θ

β

θπ

µθ

θπ

µθ

A

senr

leIsenAA

rleI

AArj

z

rj

zr

• Podemos obter H a partir de A:

( )

∂∂

−∂∂

=×∇=θµµ φφ

rArA

rraAH

1ˆ

1⇔⇔

+=

==

− rj

r

erjr

lsenIjH

HH

βφ

θ

βπθβ 1

14

0

0

• O campo eléctrico é agora calculado a partir de H

jE ×∇=

ωξ1 :

( )0

111

4

11

2

cos

20

20

=

−+=

+=

−

−

φ

βθ

β

ββπθβ

η

βπθ

η

E

errjr

lsenIjE

erjr

lIE

rj

rjr

onde ξµη = é a impedância do meio.

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v Densidade de potência e resistência de radiação

• Para um dipolo infinitesimal o vector de Poynting complexo será:

( ) ( ) ( ) ( )**** ˆˆ2

1ˆˆˆ

2

1

2

1φθφθφφθθ HEaHEaEaEaEaHEW rrrr −=×+=×=

• A componente radial Wr e a componente transversal Wθθ do vector de Poynting são dadas por:

( )

( )

+=

−=

232

2

0

32

22

0

11

16

cos

11

8

rr

senlIjW

rj

r

senlIWr

βπθθβ

η

βθ

λη

θ

• A potência complexa que se move na direcção radial é obtida integrando Wr sobre uma esfera de raio r:

( )

−== ∫∫ 3

2

0 11

3.

rj

lIdsWP

S βλπ

µ

• A componente transversal Wθθ da densidade de potência não contribui para este resultado, ou seja, o valor obtido não representa a potência complexa total radiada pela antena.

• Como Wθθ é puramente imaginária (reactiva), não irá contribuir para qualquer potência realmente radiada. No entanto, contribui para a potência reactiva total juntamente com a parte imaginária de P.

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v Densidade de potência e resistência de radiação

• A densidade de potência reactiva, dominante para pequenos valores de ββr, tem componentes radiais e transversais. Esta energia move-se para trás e para a frente formando uma onda estacionária com o dobro da frequência da excitação da antena.

• A potência radiada será então:

2

0

3 λπ

ηlI

Prad =

• Como a antena radia a sua potência através da resistência de radiação:

rrad RIlI

P2

0

2

0

2

1

3==

λπ

η

onde Rr é a resistência de radiação. Considerando que para o espaço livre ηη=ηη0≈≈120ππ obtemos:

22

2

0 803

2

=

=

λπ

λπ

ηll

Rr

• Para uma antena ser classificada como dipolo infinitesimal, o seu comprimento tem de ser muito pequeno (normalmente l≤≤λλ/50).

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v Distância de radiação

• Campo próximo (near-field - ββr<<1)

o Nesta região (ββr<<1 ou r<<λλ/2ππ) podemos simplificar as expressões para a intensidade de campo eléctrico e magnético:

1

2

02

cos2

20

30

30

<<

≈

===

−≈

−≈

−

−

−

r

senr

leIH

HHE

senr

leIjE

r

leIjE

rjr

rj

rj

r

β

θπβ

θπβ

η

θπβ

η

β

φ

θφ

β

θ

β

o As componentes do campo eléctrico Er e Eθθ estão em fase e em quadratura com a componente Hφφ do campo magnético. A potência média será então nula.

• Campo intermédio (intermediate-field - ββr>1)

o À medida que o valor de ββr se torna significativo, os termos que eram dominantes para ββr<<1 tornam-se desprezíveis e as expressões para os campos podem ser aproximadas como:

1

2

02

cos2

0

0

20

>

≈

===

≈

≈

−

−

−

r

senr

leIjH

HHE

senr

leIjE

rleI

E

rjr

rj

rj

r

β

θπβ

θπβ

η

θπβ

η

β

φ

θφ

β

θ

β

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v Distância de radiação

• Campo distante (far-field - ββr>>1)

o Para distâncias onde ββr>>1 os campos podem ser aproximadas por:

1

2

02

0

0

>>

≈

====

≈

−

−

r

senr

leIjH

HHEE

senr

leIjE

rjrr

rj

β

θπβ

θπβ

η

β

φ

θφ

β

θ

o A relação entre Eθθ e Hφφ é dada por:

ηφ

θ ==E

EZw

Zw impedância da onda

ηη impedância característica (≈≈120ππ para o espaço livre)

o O campo E e H são perpendiculares entre si e transversais em relação è direcção de propagação.

o A forma do diagrama de radiação não depende da distância r.

o Os campos radiados formam uma onda electromagnética transversal (TEM) cuja impedância é igual à impedância característica do meio de propagação.

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v Directividade

• A densidade de potência média radiada numa dada direcção é dada por:

( )2

22

02*

42ˆ

2

1ˆRe

2

1

r

senlIaEaHEW rrav

θπ

βηη θ ==×=

• A intensidade de radiação é dada por:

( ) 22

22

02 ,,242

φθη

θπ

βηθ rE

rsen

lIWrU av =

==

• O valor máximo ocorre em θθ=ππ/2 e é igual a: 2

0

42

=

πβη lI

Umáx

• A directividade será então:

2

340 ==

rad

máx

P

UD π

e a máxima área efectiva será:

πλ

πλ

8

3

4

2

0

2

=

= DAem

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Ø Dipolo finito

• A distribuição de corrente num dipolo pode ser descrita com uma boa aproximação por:

( )

<

+

>

−

=0

2

0 2

0

0

zzl

senI

zzl

senIzI

β

β

• Esta distribuição assume que a antena é alimentada no centro e que a corrente é nula nos extremos.

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Ø Dipolo finito

• Neste caso estamos só interessados no far-field. Nesta zona a contribuição de cada elemento de corrente Idz é dado por:

( )dzsen

R

ezIjdE

Rj

θπ

βη

β

θ 4

−

≈

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Ø Dipolo finito

• R é ligeiramente diferente de r que é medido a partir da origem. No far-field quando R>>r:

( ) θθ coscos2 21

22 zrrzzrR −≈−+=

• Somando todas as contribuições infinitesimais obtemos Eθθ:

( )∫∫−+

−== dzezIsen

r

ejdEE zj

rjl

l

θββ

θ θπ

βηθ cos2

2 4

• Obtemos assim o valor de Eθθ:

−

=−

θ

βθ

β

πη

β

θ sen

ll

r

eIjE

rj 2coscos

2cos

20

e a partir de Eθθ podemos obter Hφφ:

−

≈≈−

θ

βθ

β

πη

βθ

φ sen

ll

r

eIj

EH

rj 2coscos

2cos

20

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Ø Dipolo finito

v Densidade de potência, intensidade de radiação e resistência de radiação

• Para um dipolo o vector de Poynting médio pode descrito por:

[ ] [ ]

×=×=×=

ηθ

φθθφφθθ

*** ˆˆRe

2

1ˆˆRe

2

1Re

2

1 EaEaHaEaHEWav

2

22

2

02 2coscos

2cos

82

1ˆˆ

−

===θ

βθ

β

πη

η θ sen

ll

r

IEaWaW ravrav

• E a intensidade de radiação será:

2

2

2

02 2coscos

2cos

8

−

==θ

βθ

β

πη

sen

llI

WrU av

• À medida que o comprimento da antena aumenta o lóbulo principal torna-se mais estreito e como tal a sua directividade também aumenta.

• A largura do feixe a meia potência é igual a:

l<<λλ 90o l=λλ/4 87o l=λλ/2 78o l=3λλ/2 64o l=λλ 47,8o

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Ø Dipolo finito


Diagrama de radiação de potência normalizado (a 0 dB)

• Quando o comprimento aumenta acima de um comprimento de onda, o número de lóbulos do diagrama de radiação também aumenta.

Antenas


Ø Dipolo finito


Diagrama de radiação para um dipolo de l=1,25λλ

Antenas


Ø Dipolo finito


• A potência radiada total é obtida integrando o vector de Poynting médio.

∫∫= dsWP avrad .

• A resistência de radiação pode ser calculada a partir de:

2

0

2

0

2

2

1

I

PRRIP rad

rrrad =⇔=

Resistência de radiação e directividade de um dipolo a radiar no espaço livre

(ηη≈≈120ππ) em função do seu comprimento

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Ø Dipolo finito

v Resistência de entrada

• Vamos assumir que a antena não tem perdas (RL=0). A potência aos seus terminais é igual à potência no máximo de corrente.

rin

inrinin R

I

IRR

IR

I2

0

2

0

2

22

=⇔=

Rin resistência de radiação à entrada da antena Rr resistência de radiação no máximo de corrente I0 máximo de corrente Iin corrente de entrada aos terminais

• Para um dipolo de comprimento l:

20

lsenIIin

β= obtemos então

=

22 l

sen

RR r

in β

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Ø Dipolo finito

v Resistência de entrada

• Quando o comprimento é um múltiplo de λλ obtemos Iin=0, a resistência de radiação terá que ser infinita.

• Na prática isto não acontece porque a distribuição de corrente não é perfeitamente sinusoidal (especialmente no ponto de alimentação) tem no entanto valores altos.

• As fórmulas para a resistência de radiação e resistência de entrada são baseadas numa distribuição ideal de corrente e não tomam em atenção a espessura do condutor e o espaçamento no ponto de alimentação.

• A espessura do condutor não influencia significativamente o valor das resistências.

• O espaçamento no ponto de alimentação tem um papel significativo especialmente quando a corrente no ponto de alimentação é pequena.

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Ø Dipolo finito

v Dipolo de meio comprimento de onda

• Uma das antenas mais utilizadas é o dipolo de meio comprimento de onda. Os campos gerados por esta antena são:

≈−

θ

θπ

πη

β

θ senr

eIjE

rj cos2

cos

20

≈−

θ

θπ

π

β

φ senr

eIjH

rj cos2

cos

20

• A densidade de potência é dada por:

2

22

2

0

cos2

cos

8

=θ

θπ

πη

senr

IWav

e a intensidade de radiação por:

2

2

2

02

cos2

cos

8

==θ

θπ

πη

sen

IWrU av

Antenas


Ø Dipolo finito


• A potência radiada total é obtida integrando o vector de Poynting médio.

∫ ∫∫ ∫∫∫

===π ππ π

φθθ

θπ

πηφθθ

2

0 0

2

2

2

02

0 0

2

cos2

cos

8. dd

sen

IddsenrWdsWP av

S

avrad

• Esta integração é feita por métodos numéricos:

2

0

2

0 54,36435,28

II

Prad ≈≈π

η

• A directividade de um dipolo de λλ/2 será então:

643,144 20 ≈== =

radrad

máx

P

U

P

UD πθππ

• A correspondente máxima área efectiva é:

22

0

2

13,0643,144

λπ

λπ

λ≈≈= DAem

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Ø Dipolo finito


• A resistência de radiação no espaço livre (ηη=120ππ) será:

( )Ω≈≈= 73

54,36222

0

2

02

0 I

I

I

PR r

r

• A resistência de entrada é igual à resistência de radiação porque o máximo de corrente para um dipolo de λλ/2 ocorre aos terminais da antena

• A reactância associada à impedância de entrada de um dipolo é também função do seu comprimento (para l=λλ/2 é igual a j42,5).

• A impedância de entrada de um dipolo de meio comprimento de onda é de Zin=73+j42,5 ΩΩ. De modo a conseguir-se anular a parte imaginária da impedância, a antena é encurtada até que a reactância desapareça.

• Dependendo da espessura do fio, o comprimento do dipolo onde ocorre a primeira ressonância (Zin real) é cerca de l=0,47λλ a l=0,48λλ.

• Quanto mais fino for o fio mais próximo o comprimento será de 0,48λλ. Ou seja, quanto mais grosso for o dipolo menor terá este de ser de modo a atingir-se a ressonância de λλ/2.

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