análise de estruturas i carlos tiago - ulisboa
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Solução de lajes finas
Análise de Estruturas I
Carlos Tiago
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Como obter soluções em lajes?
Métodos experimentais (extensometria, fotoelasticidade, …)
Soluções analíticas (lajes triangulares, circulares, …)
Soluções numéricasSé iSéries (Navier e Lévy);Método das Diferenças Finitas;Método dos Elementos Finitos;Método dos Elementos Finitos;Método das Faixas Finitas;Método dos Elementos de Fronteira;….
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Soluções analíticasSoluções analíticas
Laje circular encastrada sujeita a uma carga uniforme
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Solução analítica:
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Laje triangular simplesmente apoiadaj i ifsujeita a uma carga uniforme
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Solução analítica
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Forças (reacções) de canto
[ ]t t tR m m m+ −⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
( ) ( )2 2t yy xx x y xy x ym m m n n m n n= − + −( ) ( )t yy xx x y xy x y
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Soluções baseadas em séries de NavierSoluções baseadas em séries de Navier
j l i l i d j i é iLaje rectangular simplesmente apoiada sujeita a uma carga genérica
a
b
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Solução compatível:Solução compatível:
( , ) mn
x yw x y k sen m sen na b
π π∞ ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑∑
A carga pode ser expressa na forma, x y∞ ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∑∑
1 1m n a b= = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
onde:4 b a x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞∫ ∫
1 1
( , ) mnm n
x yq x y a sen m sen na b
π π= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑∑
A solução exacta é dada por:
0 0
4 ( , )mnx ya q x y sen m sen n dx dy
ab a bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ 22 2
44 2 2( , ) ( , ) / mn
mna m nw x y q x y D k
D a bπ
−⎛ ⎞
∇ = ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Para um número finito de termos, a solução satisfaz todas as condições excepto o equilíbrio no domínio (a carga para a qual a solução é exacta não é a carga realmente aplicada na laje)realmente aplicada na laje).
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No caso da carga uniformemente distribuída num rectângulo tem-se:
a
b
16 q u vξ η⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞2
162 2mn
q u va sen m sen n sen m sen nmn a b a b
ξ ηπ π π ππ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Para uma carga uniforme em toda a laje (m e n ímpares):
16qa 2mnamnπ
=
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Exemplo: Laje rectangular simplesmente apoiada sujeita a carga uniforme, com:
Seja nt o valor máximo dos índices m e n utilizados nas séries.
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Representação da carga em série de Fourier (nt = 1 3 17)Representação da carga em série de Fourier (nt = 1, 3,…, 17)
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Para :
nt = {1, 5, …, 17} nt = {21, 51, 499}
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Campo de deslocamentos
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Deslocamento (adimensional) Erro relativo (%) emnt Deslocamento (adimensional) no centro da laje
Erro relativo (%) em relação a nt=1001
1 0,0106512534865495 5,163 0,0100758185494733 -0,5215 0,0101387809097701 0,09987 0 01012590729242197 0,0101259072924219 -0,02729 0,0101296368557168 0,00961
15 0,0101285629631140 -0 000988, -0,00098825 0,0101286722140834 0,0000904
1001 0,0101286630552059
Convergência rápida (não monotónica)em deslocamentos.Piora quando a geometria não é rectangular.‘I í l’ t i i lImpossível para geometrias irregulares.
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O campo de rotações
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Diagrama de momentos
(Não é parabólico no maior vão)
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Momento m (adimensional) Erro relativo (%) emnt Momento mxx (adimensional) no centro da laje
Erro relativo (%) em relação a nt=1001
1 0,0473056462295854 28,83 0,0338780102567317 -7,705 0,0377694558983312 2,907 0 03622413950761267 0,0362241395076126 -1,319 0,0369612730107951 0,699
15 0,0366398797061355 -0 17515 -0,17525 0,0367196678973173 0,0417
1001 0,0367043631299983
Convergência mais lenta para momentos.Pode subestimar ou sobrestimar os momentos.
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Diagrama de momentos
(Quase-parabólico no menor vão)
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Diagramas de momentos flectores (a = 2b = 4m)
2
( 2; 1) :0.1yy
No centro x ym qb
= =
≈20.04 2( )
( 0.2; 2 )xx yym qb m
a b a b
ν
ν
≈ ≈
= = ∴
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Diagrama de momentos
(Forças de canto)
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Diagrama de esforço transverso vxz
(Não é linear no maior vão)
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Erro relativo (%)nt Esforço transverso vxz
(adimensional) no ponto (0, b/2)
Erro relativo (%) em relação a nt=1001
1 0 2064098203724771 0,206409820372477 -44,19 0,329892640563438 -10,6
17 0,347404905025740 5 93, -5,9325 0,354223589855889 -4,0833 0,357850800570527 -3,10,41 0,360101993609245 -2,49
101 0,365748496351449 -0,9641001 0 36931 15866237481001 0,36931 1586623748
Convergência ainda mais lenta para esforço transverso.
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Carga aplicada numa região rectangular.
x
34
b 110
a
1 b
10
110
b
4
3 1
y
4a
4a
y
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Para ent = {1, 11, 21, 31, 41}
No limite ….(nt =1000)
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Representação da carga usando 9 termos
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Representação da carga usando 20 termos
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Representação da carga usando 60 termos
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Para os casos mais comuns (em termos de materiais, geometria, condições de apoio e solicitação), os resultados obtidos através de séries foram determinados e
Awadim xx Amadim yy Amadimba
agrupados em tabelas. Por exemplo:
x
1.0 0.004062 0.047886 0.047886
1.1 0.004869 0.055484 0.049317
1.2 0.005651 0.062682 0.050081b 0,3ν =+A
1.3 0.006392 0.069385 0.050337
1.4 0.007085 0.075549 0.050222
1.5 0.007724 0.081160 0.049843
1.6 0.008308 0.086229 0.049285a1.7 0.008838 0.090780 0.048615
1.8 0.009316 0.094847 0.047880
1.9 0.009745 0.098468 0.047116
2.0 0.010129 0.101680 0.046350
y
2.1 0.010471 0.104530 0.045600
2.2 0.010775 0.107040 0.044879
2.3 0.011045 0.109260 0.044194
2.4 0.011284 0.111220 0.0435522.4 0.011284 0.111220 0.043552
2.5 0.011496 0.112940 0.042954
2.6 0.011683 0.114450 0.042401
2.7 0.011847 0.115780 0.041894
2 8 0 011993 0 116940 0 041430
Tablas para el calculo de placasy vigas pared, Richard Bareš, 1981.
2.8 0.011993 0.116940 0.041430
2.9 0.012120 0.117970 0.041008
3.0 0.012233 0.118860 0.040626
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Tablas para el calculo de placas yvigas pared, Richard Bareš, 1981.
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Tablas para el calculo de placas yvigas pared, Richard Bareš, 1981.
![Page 36: Análise de Estruturas I Carlos Tiago - ULisboa](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022063014/62bb9b4437a15b0f4d2e3b79/html5/thumbnails/36.jpg)
Tablas para el calculo de placas yvigas pared, Richard Bareš, 1981.
![Page 37: Análise de Estruturas I Carlos Tiago - ULisboa](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022063014/62bb9b4437a15b0f4d2e3b79/html5/thumbnails/37.jpg)
Método dos Elementos Finitosj i l i d j i if
Método dos Elementos FinitosLaje rectangular simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniforme
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Exemplo de uma malha grosseira de elementos finitos com 2x4 elementos (de 4 nós) e 15 nós no total. A obtenção da solução envolve a resolução de um sistema dea resolução de um sistema de equações com 17 incógnitas.
Solução para a deformada (compatível?)
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Uma malha grosseira conduz a uma fraca aproximação da solução exacta.
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Exemplo de malha de elementos finitoscom 10x20 elementos (de 16 nós) e 1891 nósno total. A obtenção da solução envolve a resolução de um sistema de equações comresolução de um sistema de equações com5309 incógnitas.
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Solução para a deformada
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![Page 43: Análise de Estruturas I Carlos Tiago - ULisboa](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022063014/62bb9b4437a15b0f4d2e3b79/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: Análise de Estruturas I Carlos Tiago - ULisboa](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022063014/62bb9b4437a15b0f4d2e3b79/html5/thumbnails/44.jpg)
Comparação entre os resultados das duas malhas de elementos finitosComparação entre os resultados das duas malhas de elementos finitos
l E (%) l E (%) l E (%)
Awadimxx Amadim x Bvadim
valor Erro (%) valor Erro (%) valor Erro (%)
F
8 elementos (4 nós) 0,007506 -25,9 0,02720 -25,9 0,1876 -49,2
MEF (4 nós)
200 elementos (16 nós) 0,01026 1,32 0,03681 0,30 0,4650 25,92
S l ã ‘ t ’Solução ‘exacta’(Série de Navier) 0,01012 --- 0,03670 --- 0,3693 ---
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Solução pelo Método dos Elementos FinitosSolução pelo Método dos Elementos Finitos
Laje circular encastrada sujeita a uma carga uniforme
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Malha com 300 elementos finitos e 2781 nós (7923 incógnitas).
Solução para a deformadaSolução para a deformada
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![Page 48: Análise de Estruturas I Carlos Tiago - ULisboa](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022063014/62bb9b4437a15b0f4d2e3b79/html5/thumbnails/48.jpg)
Laje de betão sujeita à acção do peso próprio
[ ]m 10 2 3
2
2
4
4
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Solução para a deformadaSolução para a deformada
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Vantagens do Método dos Elementos Finitos:• Qualquer geometria e quaisquer condições de fronteira;• Controlo do erro da solução e execução muito rápida;• Análises lineares ou não-lineares, estáticas ou dinâmicas.