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Análise de Algoritmos Parte 2 Prof. Túlio Toffolo http://www.toffolo.com.br
BCC202 – Aula 05
Algoritmos e Estruturas de Dados I
Como escolher o algoritmo mais adequado para uma situação?
(continuação)
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void exercicio1 (int n){ int i, a; a = 0; i = 0; while (i < n) { i += 2; a += i; }}
void exercicio2 (int n){ int i, j, a; a = 0; for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < i; j++) a += i + j;}
Exercício da última aula
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n2!
""#
$$i
i=0
n−1
∑ = 0+1+...+ n−1= n(n−1)2
Perguntas?
Comportamento Assintótico de Funções
• Na aula passada aprendemos como calcular a função de complexidade f(n).
• Algumas observações:
Ø Para valores pequenos de n, praticamente qualquer algoritmo custa pouco para ser executado.
Ø Logo: a escolha do algoritmo tem pouquíssima influência em problemas de tamanho pequeno.
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Comportamento Assintótico de Funções
• A análise de algoritmos deve ser realizada para valores grandes de n.
• Para isso, estuda-se o comportamento assintótico das funções de custo.
Ø Comportamento de suas funções para valores grandes de n
• O comportamento assintótico de f(n) representa o limite do comportamento do custo quando n cresce.
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Comportamento Assintótico de Funções
• A análise de um algoritmo geralmente conta com apenas algumas operações elementares.
• A medida de custo ou medida de complexidade relata o crescimento assintótico da operação considerada.
• Definição: Uma função f(n) domina assintoticamente outra função g(n) se:
Ø Existem duas constantes positivas c e m tais que, para n ≥ m, temos |g(n)| ≤ c|f(n)|.
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Dominação Assintótica
• f(n) domina assintoticamente g(n) se:
Ø Existem duas constantes positivas c e m tais que, para n ≥ m, temos |g(n)| ≤ c|f(n)|.
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Exemplo: n Sejam g(n) = (n + 1)² e f(n) = n². Exemplo: n As funções g(n) e f(n) dominam assintoticamente uma
n Sejam g(n) = (n + 1)² e f(n) = n².
n As funções g(n) e f(n) dominam assintoticamente uma
a outra, desde que
|g(n)| ≤ c |f(n)|
|g(n)| ≤ c |f(n)| para n ≥ m; c = 1 e m =0 para n ≥ m; c = 1 e m =0
Dominação assintótica
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Notação O
• Exemplo: Ø Quando dizemos que o tempo de execução T(n) de
um programa é O(n²), significa que existem • Exemplo:
constantes c e m tais que, para valores de n ≥ m,
T(n) ≤ cn². um programa é O(n²), significa que existem constantes c e m tais que, para valores de n ≥ m, T(n) ≤ cn².
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Notação O
• Exemplo gráfico de dominação assintótica que ilustra a notação O.
Ø Abaixo, a função f(n) domina assintoticamente a função g(n).
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Notação O
• O valor da constante m mostrado é o menor valor possível, mas qualquer valor maior também é válido.
• Definição: uma função g(n) é O(f(n)) se existem duas constantes positivas c e m tais que g(n) ≤ c f(n), para todo n ≥ m.
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Operações com a Notação O
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Exemplo de Notação O
Exemplo: g(n) = (n+1)2.
• Logo g(n) é O(n2), quando m = 1 e c = 4.
• Isto porque (n+1)2 ≤ 4n2 para n ≥ 1.
existe c tal que g(n) ≤ c f(n) para n ≥m
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Exemplo de Notação O
Exemplo: g(n) = n e f(n) = n2.
• Sabemos que g(n) é O(n2), pois para n ≥ 1, n ≤ n2.
• Entretanto f(n) não é O(n).
• Suponha que existam constantes c e m tais que para todo n ≥ m, n2 ≤ cn.
• Se c ≥ n para qualquer n ≥ m, então deveria existir um valor para c que possa ser maior ou igual a n para todo n.
não existe c tal que g(n) ≤ c f(n) para n ≥m
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Exemplo de Notação O
Exemplo: g(n) = 3n3 + 2n2 + n é O(n3).
• Basta mostrar que 3n3 + 2n2 + n ≤ 6n3, para n ≥ 0
• A função g(n) = 3n3 + 2n2 + n é também O(n4)entretanto esta afirmação é mais fraca do que dizer que g(n) é O(n3).
• Pergunta: g(n) é O(n40)?
existe c tal que g(n) ≤ c f(n) para n ≥m
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Exemplo de Notação O
Exemplo: g(n) = log5n é O(log n).
• O logbn difere do logcn por uma constante que no caso é logbc.
• Como n = clogc n, tomando o logaritmo base b em ambos os lados da igualdade, temos que
logbn = logb clogc n logbclogc n= logcn x logbc.
existe c tal que g(n) ≤ c f(n) para n ≥m
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Qual a complexidade assintótica de MaxMin1
• Seja f(n) o número de comparações entre os elementos de A, se A contiver n elementos.
• Logo f(n) = 2(n-1) para n > 0, para o melhor caso, pior caso e caso médio.
void MaxMin1(int* A, int n, int* pMax, int* pMin){ int i; *pMax = A[0]; *pMin = A[0]; for (i = 1; i < n; i++) { if (A[i] > *pMax) *pMax = A[i]; if (A[i] < *pMin) *pMin = A[i]; } }
O(n)
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void exercicio1 (int n){ int i, a; a = 0; i = 0; while (i < n) { a += i; i += 2; }}
void exercicio2 (int n){ int i, j, a; a = 0; for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < i; j++) a += i + j;}
Exercício da última aula
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⎥⎥
⎤⎢⎢
⎡2
2 n
O(n2) O(n)
ii=0
n−1
∑ = 0+1+...+ n−1= n(n−1)2
Operações com a notação O
• Exemplo: regra da soma O(f(n)) + O(g(n)).
• Suponha três trechos cujos tempos de execução são O(n), O(n2) e O(n log n).
• O tempo de execução dos dois primeiros trechos é O(max(n, n2)), que é O(n2).
• O tempo de execução de todos os três trechos é então O(max(n2, n log n)), que é O(n2).
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Notação Ω
• Especifica um limite inferior para g(n).
• Definição: Uma função g(n) é Ω(f(n)) se:
Ø Existem duas constantes positivas c e m tais que, para n ≥ m, temos |g(n)| ≥ c|f(n)|.
• Exemplo:
Ø Quando dizemos que o tempo de execução T(n) de um programa é Ω(n²), significa que existem constantes c e m tais que, para valores de n ≥ m, T(n) ≥ cn².
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Notação Ω
• Exemplo gráfico de dominação assintótica que ilustra a notação Ω.
Ø Abaixo, a função f(n) é dominada assintoticamente pela função g(n).
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Notação Ω
• Exemplos:
Ø Para mostrar que g(n) = 3n3 + 2n2 é Ω(n3) basta fazer c = 1, e então 3n3 + 2n2 ≥ n3 para n ≥ 0.
Ø Seja g(n) = n para n ímpar (n ≥ 1) e g(n) = n2 para n par (n ≥ 0). Neste caso g(n) é Ω(n2), bastando considerar c = 1 e n = 0, 2, 4, 6, …
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Notação Ө
• Especifica um limite assintótico firme para g(n).
• Definição: Uma função g(n) é Ө(f(n)) se:
Ø Existem três constantes positivas c1, c2 e m tais que, para n ≥ m, temos: 0 ≤ c1f(n) ≤ g(n) ≤ c2f(n).
• Isto é, para todo n ≥ m, a função g(n) é igual a f(n) a menos de uma constante.
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Notação Ө
• Exemplo gráfico de dominação assintótica que ilustra a notação Ө.
Ø Dizemos que g(n) = Ө(f(n)) se existirem constantes c1, c2 e m tais que, para todo n ≥ m, o valor de g(n) está sobre ou acima de c1f(n) e sobre ou abaixo de c2f(n).
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Notação Ө
• Para ser Ө(f(n)), uma função deve ser ao mesmo tempo O(f(n)) e Ω(f(n)).
• Exemplos:
Ø Para mostrar que g(n) = 3n3 + 2n2 é Ω(n3) basta fazer: c = 1, e então 3n3 + 2n2 ≥ n3 para n ≥ 0.
Ø Seja g(n) = n para n ímpar (n ≥ 1) e g(n) = n2 para n par (n ≥ 0). Neste caso g(n) é Ω(n2), bastando considerar c = 1 e n = 0, 2, 4, 6, …
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Exemplo: Algoritmos MinMax
• Todos os algoritmos tem a mesma complexidade assintótica, ou seja:
• Todos são O(n), Ω(n) e, portanto, Ө(n)
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Perguntas?
Exercício
• Obtenha a função de complexidade f(n) dos algoritmos abaixo. Considere apenas as operações envolvendo as variáveis x e y. Para cada algoritmo, responda:
• O algoritmo é O(n2)? É Ω(n3)?
• O algoritmo é Ө(n3)?
void exercicio1(int n) { int i, j, x, y; x = y = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = i; j <= n; j++) x = x + 1; for (j = 1; j < i; j++) y = y + 1; }}
void exercicio2(int n) { int i, j, k, x; x = 0; for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= n; j++) for (k = 1; k <= j; k++) x = x + j + k; x = i;}