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ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DE DIFERENTES RAZÕES DE SOBREPOSIÇÃO NO
DESEMPENHO DE TURBINAS EÓLICAS SAVONIUS EMPREGANDO DINÂMICA DOS
FLUIDOS COMPUTACIONAL
Orientadora: Prof. Dra. Adriane Prisco Petry
Porto Alegre
2010
GILMAR ALVES DA SILVA JÚNIOR
Monografia apresentada ao Departamento de
Engenharia Mecânica da Escola de Engenharia da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
como parte dos requisitos para obtenção do
diploma de Engenheiro Mecânico.
ii
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Mecânica
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DE DIFERENTES RAZÕES DE SOBREPOSIÇÃO NO
DESEMPENHO DE TURBINAS EÓLICAS SAVONIUS EMPREGANDO DINÂMICA DOS
FLUIDOS COMPUTACIONAL
GILMAR ALVES DA SILVA JÚNIOR
BANCA EXAMINADORA:
Prof. Dr. Horácio A. Vielmo
UFRGS / DEMEC
Prof. Dr. Paulo Otto Beyer
UFRGS / DEMEC
Prof. Dr. Sérgio Luiz Frey
UFRGS / DEMEC
Porto Alegre
2010
ESTA MONOGRAFIA FOI JULGADA ADEQUADA COMO PARTE DOS REQUISITOS
PARA A OBTENÇÃO DO DIPLOMA DE
ENGENHEIRO MECÂNICO
APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELA BANCA EXAMINADORA DO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Prof. Walter Jesus Paucar Casas
Coordenador do Curso de Engenharia Mecânica
iii
de modo especial a minha família
pelo apoio e incentivo.
iv
AGRADECIMENTOS
Em especial agradeço aos meus pais, Gilmar e Roselene, e meu irmão Jhonatan, que apesar
da distância me deram apoio incondicional durante todo o curso de graduação e tornaram este
sonho possível.
a minha orientadora, Profa Dra. Adriane Prisco Petry pelos conhecimentos transmitidos,
confiança, tempo dedicado e acima de tudo, pela amizade desenvolvida ao longo do curso.
ao amigo Msc. Eng. João Vicente Akwa pelos conselhos e auxílio na utilização das
ferramentas computacionais.
aos meus colegas pelo companheirismo, apoio e amizade.
v
Aprender é a única coisa que
a mente não se cansa,
nunca tem medo e
nunca se arrepende.
Leonardo da Vinci
vi
RESUMO
SILVA JÚNIOR, G.A. Análise da Influência de Diferentes Razões de Sobreposição no
Desempenho de Turbinas Eólicas Savonius Empregando Dinâmica dos Fluidos
Computacional. 2010. 31p. Monografia (Trabalho de Conclusão do Curso de Engenharia
Mecânica) – Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do
Sul, Porto Alegre, 2010.
Este trabalho consiste na análise da influência de diferentes razões de sobreposição
das pás no desempenho de turbinas eólicas Savonius. A análise é feita utilizando a dinâmica
dos fluidos computacional. Utiliza-se o software comercial Star-CCM+ para a solução das
equações da continuidade e de Navier-Stokes com médias de Reynolds. Essas equações são
resolvidas em conjunto com as equações do modelo de turbulência SST. Comparam-se
alternativas de discretização espacial e temporal com a finalidade de avaliar a influência
desses sobre os valores obtidos. Emprega-se um domínio contendo uma região com malha
deslizante, na qual o rotor é inserido. Para cada razão de sobreposição, a velocidade angular
da região de malha deslizante é especificada de maneira a variar a razão de velocidade de ponta do rotor. Obtêm-se os campos de pressão e velocidade sobre o escoamento. Integrando-
se as forças originadas pelo atrito viscoso e pelos gradientes de pressão nas pás obtém-se o
coeficiente de torque e de potência em cada uma das simulações. Analisam-se os coeficientes
de potência médios encontrados para avaliar a configuração que apresenta maior eficiência.
Os resultados encontrados são bastante representativos para o fenômeno estudado. Mostra-se
que o rotor apresenta melhor desempenho operando com razão de sobreposição igual a 0,15 a
uma razão de velocidade de ponta de 1,25.
PALAVRAS-CHAVE: Turbina Eólica Savonius, Dinâmica dos Fluidos Computacional,
Razão de Sobreposição, Desempenho
vii
ABSTRACT
SILVA JÚNIOR, G.A. Analysis of the Influence of Different Overlap Ratios on Savonius
Wind Turbines Performance Using Computational Fluid Dynamics. 2010. 31p.
Monografia (Trabalho de Conclusão do Curso de Engenharia Mecânica) – Departamento de
Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2010.
This work consists on the analysis of the influence of different buckets overlap ratios
on the Savonius wind turbines performance. The analyses are performed using Computational
Fluid Dynamics. The commercial software Star-CCM+ is used to solve the continuity and
Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations. These equations are solved together with the
SST turbulence model equations. Different spatial and temporal discretization
alternatives are compared in order to evaluate their influence on the results. The model used
contains a sliding mesh where the rotor is placed. For each overlap ratio, the angular velocity
of the sliding mesh region is specified so as to vary the tip speed ratio of the rotor. The flow
pressure and velocity fields are obtained. Integrating the forces originated by the viscous
friction and the pressure gradients in the rotor buckets, the moment and power coefficients are obtained in each simulation. The averaged power coefficients obtained are compared in order
to find the best performance. The results are very representative according to the studied
phenomenon. It is shown that the rotor which presents the best performance is the one which
operates with overlap ratio of 0,15 and tip speed rate equals to 1,25.
KEYWORDS: Savonius Wind Turbine, Computational Fluid Dynamics, Overlap Ratio,
Performance
viii
LISTA DE SÍMBOLOS
Afastamento entre as pás, m
Área da face, m2
Área de captação eólica do rotor, m²
arg1 Função presente nas equações do modelo de turbulência k-ω
arg2 Função presente nas equações do modelo de turbulência k-ω
Corda da pá, m
Termo relacionado ao termo de difusão cruzada do modelo de turbulência k-ω
Coeficiente de potência
Coeficiente de torque
Eixo no qual o torque é aplicado, m
Vetor da área da face de um volume finito
Diâmetro da placa de extremidade, m
Diâmetro do rotor, m
Termo da difusão cruzada do modelo de turbulência
Espessura da pá, m
Função mista do modelo de turbulência
Função mista do modelo de turbulência
Face de um volume finito
Força de pressão na face de um volume finito, N
Força de origem viscosa na face de um volume finito, N
Constante utilizada no modelo de turbulência
Função híbrida utilizada no cálculo de
Termo referente à produção de turbulência k
termo referente à produção de turbulência ω
Altura do rotor, m
Intensidade de turbulência
Posição da face de um volume finito
Valor de turbulência ambiente dos termos fontes
Energia cinética turbulenta, J/kg
Escala de comprimento característico da turbulência, m
Fluxo convectivo de uma variável genérica
Potência, W
Pressão, Pa
Pressão na face de um volume finito, Pa
Pressão de referência, Pa
Pressão média no escoamento, Pa
Melhor estimativa da pressão disponível, usada no Método SIMPLE, Pa
Correção da pressão, usada no Método SIMPLE, Pa
Raio do rotor, m
Raio da interface, m
Número de Reynolds
Razão de sobreposição das pás
Taxa de deformação principal do tensor
Sobreposição entre as pás, m
Termo fonte
ix
Torque, Nm
Escala de tempo do modelo de turbulência
Passo de tempo, s
Média temporal da velocidade do ar, m/s
Flutuação no valor da velocidade média do ar, m/s
Velocidade de referência, m/s
Velocidade não perturbada do vento, m/s
Volume, m³
Velocidade utilizada na equação do modelo de turbulência
Velocidade utilizada na equação do modelo de turbulência
Direção, m
Posição no centróide de uma célula
Dimensão dos menores volumes, m
Ponto no qual o torque é aplicado
Distância nas proximidades da parede, m
Distância adimensional da parede
Ângulo de ataque, rad
Fator de efeito de bloqueio no canal aerodinâmico
Coeficiente de mistura
Efetividade intermitente
Intermitência efetiva
Diferença finita entre variáveis
Operador delta de Kronecker
Dissipação da energia cinética turbulenta, m²/s³
Razão de velocidade de ponta do rotor
Viscosidade dinâmica do ar, Ns/m²
Viscosidade turbulenta, Ns/m²
Posição angular da pá de avanço, rad
Passo angular, rad
Massa específica do ar, kg/m³
Máxima tensão mecânica sobre as pás, N/m²
Tensor de tensões (viscosas) na face de um volume finito
Variável genérica
Velocidade angular, rad/s
Taxa de dissipação específica, s-1
Valor de turbulência ambiente nos termos fonte
Gradientes de reconstrução da variável genérica
Gradientes de reconstrução ilimitados da variável genérica
x
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 1
3 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA ...................................................................................... 2
4 METODOLOGIA ............................................................................................................. 3
4.1 MÉTODO DE VOLUMES FINITOS .................................................................................... 3
4.2 MODELAGEM MATEMÁTICA ......................................................................................... 4
4.3 METODOLOGIA NUMÉRICA .......................................................................................... 6
4.3.1 Funções de Interpolação ........................................................................................... 6
4.3.2 Acoplamento da pressão-velocidade ........................................................................ 6
4.3.3 Método Iterativo e Critérios de Parada Adotados .................................................... 6
4.3.4 Modelagem da turbulência ....................................................................................... 6
4.3.5 Tratamento de parede ............................................................................................... 7
4.4 QUALIDADE DA DISCRETIZAÇÃO .................................................................................. 7
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES .................................................................................. 10
6 CONCLUSÕES ............................................................................................................... 15
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 16
APÊNDICE A ......................................................................................................................... 18
APÊNDICE B .......................................................................................................................... 19
APÊNDICE C ......................................................................................................................... 21
1
1 INTRODUÇÃO
A produção de energia eólica tem se tornado cada vez mais importante pelo seu
conhecido potencial de limitar as alterações climáticas. Ela é considerada uma das mais
promissoras fontes de energia, principalmente por ser renovável e seu espectro de aplicação
ser geograficamente amplo. É uma energia limpa, já que sua produção não rejeita dióxido de
carbono; além disso, pode ser utilizada para substituir combustíveis fósseis, auxiliando na
redução do efeito estufa [Burton et al., 2001].
A primeira turbina eólica utilizada para geração de eletricidade foi construída por
Charles Brush, em 1888, nos Estados Unidos. No entanto, até meados do século XX, sua
utilização ainda permanecera bastante limitada, se restringindo a áreas remotas.
Recentemente, com o aumento do preço do petróleo, houve mais incentivos para o uso dessa
tecnologia.
O presente trabalho trata do estudo de um dispositivo eólico pouco convencional: a
turbina Savonius. Ela constitui uma solução de baixo custo e reduzido impacto ambiental para
a geração descentralizada de energia. As turbinas do tipo Savonius podem gerar energia
distribuída tanto em regiões rurais como em urbanas.
Com este trabalho, deseja-se estudar a influência de fatores geométricos no
desempenho da turbina. Mais especificamente, volta-se a atenção ao efeito da razão
de sobreposição das pás da turbina na sua eficiência. Para tanto, recorre-se à dinâmica de
fluidos computacional: simulações utilizando o método dos volumes finitos são
implementadas.
Apesar da geometria da turbina ser relativamente simples, o escoamento em estudo é
complexo, o que inviabiliza a busca por soluções analíticas para os campos de velocidades e
pressão. A dinâmica dos fluidos computacionais tem se tornado uma ótima ferramenta para o
estudo de rotores eólicos. Atualmente, há inúmeros artigos em revistas conceituadas que
abordam esta solução para o tema.
A formulação do método dos volumes finitos utilizada já foi aplicada com êxito à
modelagem dos fenômenos em questão por vários autores como Cochran et al., 2004,
D’Alessandro et al., 2010, e Akwa, 2010.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O rotor Savonius construído e patenteado por Sigurd J. Savonius, 1930 é de fácil
construção, apresenta um alto torque na partida e em operação, baixo ruído e moderada
velocidade angular. Além disso, seu funcionamento é pouco sensível à direção do vento
incidente. Com alto torque a baixas rotações, funciona devido ao arrasto em suas pás, o que o
torna propício à utilização como força motriz ou em bombeamento. Forças de sustentação
também colaboram na sua operação, o que o enquadra como um dispositivo de funcionamento
misto. Sua razão de aspecto pode ser alterada, o que possibilita rotações mais elevadas,
favorecendo a geração de energia elétrica [Akwa, 2010].
D’Alessandro et al., 2010, fez experimentos em túnel de vento e simulações
numéricas, obtendo acordo satisfatório entre ambos os resultados. Cochran et al., 2004
levaram a termo estudo similar, também realizando medições em campo. A concordância
entre os resultados obtidos também foi satisfatória, corroborando a hipótese de que métodos
computacionais são aplicáveis ao problema.
Akwa, 2010, também simulou numericamente o escoamento sobre diferentes
configurações de turbinas Savonius; seus resultados ratificam aqueles encontrados pelos
autores supracitados.
2
Dessa forma, infere-se ser possível simular com bons resultados o escoamento sobre a
turbina Savonius.
3 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
A turbina estudada encontra-se esquematizada na Figura 3.1(a). Suas principais
características são:
Diâmetro de rotor
Diâmetro da placa de extremidade:
Espessura da pá:
Altura:
Afastamento entre as pás nulo:
Área para captação de energia eólica:
Essas dimensões são tomadas de maneira a possibilitar uma comparação direta com os
resultados disponíveis na literatura [Cochran et al., 2004; Akwa, 2010].
Essa configuração resulta em uma razão de aspecto (que é definida como ) igual a 4, que é relativamente alta. Nesse caso, de acordo com Alexander e Holownia, 1978, podem-
se desprezar os efeitos de borda. Uma vez que a turbina estudada possui uma alta razão de
aspecto e utiliza placas de extremidade, ela pode ser adequadamente simulada com um
modelo bidimensional [Menet e Cottier, 2003; Cochran et al., 2004; D’Alessandro et al.,
2010; Akwa, 2010]. Ainda não foram encontrados relatos de simulações numéricas 3D do
escoamento sobre rotores Savonius, cujos procedimentos são bem descritos, na literatura.
A razão de sobreposição é definida como a razão entre a sobreposição das pás e o
tamanho da corda da pá , conforme pode ser visto na Figura 3.1 (b).
(a) (b)
Figura 3.1 – Rotor Savonius: (a) único estágio; (b) vista superior do rotor
Baseado nas recomendações de Akwa, 2010, o domínio em estudo é retangular, com
comprimento e largura iguais a 26 e 6 vezes o diâmetro do rotor, respectivamente. Como se
pode ver na Figura 3.2, a entrada de ar no domínio se dá a uma distância de 6 diâmetros do
centro do rotor, ao passo que a saída ocorre a 20 diâmetros. A fim de minimizar os efeitos de
bloqueio, o rotor se encontra centralizado verticalmente. Nessas condições, postula-se que a
velocidade de entrada é igual à velocidade do ar não perturbado ( ), além da pressão na
seção de saída ser igual à pressão atmosférica ( ), devido ao seu afastamento em relação ao rotor.
3
As paredes estão longe o suficiente para que a condição de simetria de escoamento
possa ser aplicada. Nas pás do rotor aplica-se a condição de não deslizamento. Para que os
resultados sejam comparáveis aos de Blackwell et al., 1977, não são reproduzidas paredes de
canal; essa mesma consideração foi adotada por outros autores como Akwa, 2010. Além
disso, a turbina em questão possui o mesmo diâmetro daquela analisada por Blackwell et al.,
1977. Esse diâmetro é pequeno em relação às dimensões do canal aerodinâmico, o que
permite desconsiderar a interferência das paredes.
Figura 3.2 – Domínio e condições de contorno
Para fins de discretização do domínio, gera-se uma malha de volumes quadriláteros
constituída de duas regiões: uma fixa e uma deslizante (Figura 3.3(a)). O domínio deslizante
está localizado na região circunscrita pela interface (Figura 3.3(b)). O domínio deslizante é
construído com uma malha não estruturada, o que assegura uma melhor adaptação à
geometria curva do rotor; por sua vez, o domínio fixo é constituído de uma malha mapeada,
garantindo uma melhor organização e reduzindo os efeitos de difusão numérica [Maliska,
2004; Akwa, 2010]. Próximo às pás são utilizados volumes mais refinados de modo a
melhorar a avaliação da camada limite.
4 METODOLOGIA
4.1 Método de Volumes Finitos
O presente trabalho utiliza simulações numéricas baseadas no método de volumes
finitos implementado no software comercial Star-CCM+. Dessa forma resolvem-se as
equações de conservação de massa e de Navier-Stokes com médias de Reynolds (Reynolds-
Averaged Navier-Stokes – RANS) escritas na forma conservativa para cada um dos volumes
elementares. Com isso, obtém-se os campos de velocidade e de pressão para o escoamento
sobre o rotor estudado e, consequentemente, outras grandezas como torque e forças atuantes.
Aplicando-se este método, o domínio em estudo é dividido em um número finito de
volumes de controle elementares. A discretização por volumes finitos transforma as equações
diferenciais que regem o escoamento em um sistema linear de equações algébricas, que é
resolvido iterativamente. Isso ocorre devido à substituição de diferenças infinitesimais por
diferenças finitas entre as variáveis (pressão e velocidade). Os valores das variáveis
calculados são atribuídos aos centróides de cada dos volumes. Desta forma a solução será
12
4
discreta, em função do número de volumes elementares presentes no domínio de cálculo
[Maliska, 2004].
(a)
(b)
(c)
Figura 3.3 – Malha utilizada: (a) visão geral do domínio; (b) região
próxima à interface; (c) camada prismática utilizada
4.2 Modelagem Matemática
Empregam-se as equações RANS para a modelagem matemática do problema. A
Equação (4.1) representa o balanço de massa onde é a velocidade média do ar no
escoamento e é a flutuação devido aos efeitos da turbulência e representa a direção do
escoamento. As equações a seguir fazem uso da convenção do somatório de Einstein; portanto
índices repetidos são índices mudos.
(4.1)
A Equação (4.2) representa o balanço da quantidade de movimento onde, seguindo a
mesma notação anterior, representa a média temporal da pressão. [Star-CCM+, 2008].
Para resolver essas equações utilizam-se como condições iniciais os campos de
velocidade e pressão homogêneos em todo o domínio e as condições de contorno descritas no
Capítulo 3.
Na equação (4.2), temos o termo
que é o tensor de tensões de Reynolds que
introduz seis incógnitas adicionais. Para contornar o problema de fechamento originado com o
aparecimento de novas incógnitas, utiliza-se o modelo de turbulência , que é descrito na Seção 4.3.4.
5
(4.2)
De posse da solução das Equações (4.1) e (4.2), pode-se obter o torque do rotor, , pela integração das forças resultantes das tensões que atuam nas pás:
(4.3)
onde [Star-CCM+, 2008]:
e são os vetores das forças de pressão e viscosas, respectivamente;
d é um vetor definindo o eixo através do ponto no qual o torque é tomado
é a posição da face f de um volume finito em relação a
é a pressão na face
é o vetor da área da face
é a pressão de referência
é o tensor de tensões (viscosas) na face f.
Conhecendo-se o torque e a velocidade angular (prescrita e constante), pode-se
calcular a potência do rotor, P, ( TP ). O coeficiente de torque, CT, representa a
capacidade que um rotor eólico possui para transformar a quantidade de movimento da
energia eólica em torque. O coeficiente de potência, CP, relaciona a potência transmitida ao
eixo da turbina com a potência disponível na corrente de ar. Este coeficiente não é constante
para um dado rotor, pois depende das condições operacionais da turbina.
Outro coeficiente adimensional relevante é a razão de velocidade da ponta do rotor
(Tip Speed Ratio – TSR), λ:
(4.4)
λ relaciona a velocidade periférica da ponta do rotor com a velocidade do ar ainda não
perturbado pelo rotor, , prescrita na entrada do domínio de cálculo. Oriundo da teórica
clássica do disco atuador de Betz, pode ser definido por [Hansen, 2008]:
(4.5)
onde é o raio do rotor e é a massa específica do ar. De posse dos coeficientes de potência e de torque, juntamente com os valores de razão de velocidade de ponta, pode-se construir as
curvas características de um determinado rotor eólico.
O número de Reynolds utilizado é definido por:
(4.6)
6
onde é a viscosidade dinâmica do ar.
4.3 Metodologia Numérica
4.3.1 Funções de Interpolação
Os termos temporais das equações acima são discretizados utilizando o esquema
temporal totalmente implícito de 2ª ordem. A discretização dos termos advectivos das
equações de conservação, responsáveis pelo transporte das variáveis escalares por meio do
movimento das partículas fluidas no escoamento, é realizada através da função de
interpolação Upwind de Segunda Ordem. Este esquema é mais preciso que o sistema Upwind
de primeira ordem [Star-CCM+]. As equações são descritas no Apêndice A deste trabalho.
4.3.2 Acoplamento da pressão-velocidade
Como pressão e velocidade estão diretamente relacionadas, as equações
correspondentes encontram-se acopladas. É utilizado o método SIMPLE (Semi Implicit Linked Equations) para fazer esse acoplamento garantindo boa estabilidade para a solução.
Neste método tem-se que a pressão (Equação 4.7) é a soma da melhor estimativa da pressão
disponível, , mais uma correção, , que é calculada de maneira a satisfazer a equação da
continuidade.
(4.7)
No algoritmo SIMPLE primeiro corrige-se as velocidades para satisfazer a equação da
conservação de massa e depois se avança o cálculo de pressões para fechar o ciclo iterativo
[Maliska, 2004].
4.3.3 Método Iterativo e Critérios de Parada Adotados
O sistema de equações algébricas lineares gerado com a discretização das equações da
conservação é solucionado utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel. Esse método utiliza
valores iniciais e calcula iterativamente a solução até que os critérios de convergência sejam
atendidos. Adota-se o resíduo mínimo de para o desenvolvimento de cálculos dos campos para um dado passo de tempo. Como critério de temporal, adota-se o tempo físico
máximo simulado equivalente ao tempo de uma partícula fluida percorrer a totalidade do
domínio de cálculo somado ao tempo necessário para o rotor completar dez rotações.
4.3.4 Modelagem da turbulência
Não há modelo que reproduza fielmente todas as características do fenômeno da
turbulência. Utiliza-se o modelo k-ω SST (Shear-Stress Transport) já que, de acordo com a
maioria dos trabalhos realizados na área de eólica, é o que melhor se adéqua ao fenômeno
estudado [Wilcox, 1998; Menter e Kuntz, 2002; Akwa, 2010]. O modelo resolve as equações
da energia cinética turbulenta calculada pela Equação (4.8) e a taxa de dissipação específica
calculada pela Equação (4.9). A taxa de dissipação específica representa a razão entre a dissipação e a energia cinética turbulenta uniforme. O modelo k-ω SST é um modelo k-ω
modificado que se comporta como o k-ε longe das paredes e como k-ω na camada limite.
[Star CCM+, 2008].
7
(4.8)
(4.9)
Os termos presentes nestas equações estão descritos no Apêndice B deste trabalho.
Através da solução das Equações (4.8) e (4.9) obtém-se as relações para encontrar a
viscosidade turbulenta, :
(4.10)
onde Tkω é uma função de ou . A viscosidade turbulenta é relacionada pela aproximação de Boussinesq com o tensor
de Reynolds
por:
(4.11)
Assim o objetivo do modelo de turbulência k- SST é obter o campo de viscosidade
turbulenta para contornar o problema do fechamento que surge com as tensões de Reynolds.
4.3.5 Tratamento de parede
O escoamento do fluido junto à região de parede é analisado através do parâmetro
adimensional O tratamento de parede utilizado para efetuar as simulações foi o híbrido.
Com o uso desse tratamento, a subcamada laminar na região de malha fina (para menor que três) é calculada e nas demais regiões utiliza-se um perfil logarítmico para a camada
limite. A Equação (4.12) é utilizada para o cálculo deste parâmetro, onde é a velocidade de referência ou de fricção [Star-CCM
+, 2008].
(4.12)
4.4 Qualidade da Discretização
A qualidade da malha é analisada segundo a proposta de Cochran et al., 2004, de
forma transiente. Numa simulação transiente obtém-se um valor médio oriundo de uma
seqüência de valores instantâneos. São construídas seis malhas com números de células
8
diferentes e calculados os coeficientes de torque médios para cada uma delas. Os resultados
estão expressos na Tabela 4.1 e na Figura 4.1.
Como condição inicial adota-se campos de pressão e de velocidade homogêneos em
todo o domínio. Para o domínio deslizante utiliza-se uma rotação constante de 14 rad/s para
reproduzir a operação da turbina acoplada a uma máquina elétrica de indução (gerador
assíncrono). Contudo, essa máquina é imaginária: faz-se isso somente para a obtenção dos
valores médios. Pode-se também simular com torque médio constante, pois , mas o
resultado final médio seria aproximado, conforme D’Alessandro et al., 2010.
O intervalo de tempo adotado para as simulações atenta para não ser superior ao tempo
necessário para o transporte das informações, ou seja, através do escoamento principal ou
através do giro da malha deslizante. Para tal, escolhe-se o mínimo dentre os valores
fornecidos pela Equação (4.13). O primeiro termo indica que o passo de tempo, , é o intervalo correspondente a um avanço da malha deslizante cobrindo um arco equivalente a
menor dimensão da menor célula do domínio de cálculo, . No segundo termo, temos o
número de Courant unitário, que relaciona a velocidade com [Star-CCM+, 2008].
(4.13)
onde: é o raio da interface.
Tabela 4.1 – Valores de em função do número de células para Rs igual a zero
Malha Número de
volumes médio
1 4722 0,212545
2 15375 0,239916
3 39889 0,238446
4 95588 0,232628
5 219473 0,237587
6 329869 0,237908
0 100000 200000 300000 4000000,210
0,215
0,220
0,225
0,230
0,235
0,240
0,245
Valores Simulados
Curva de Tendência
Equação: CT médio = A
1 exp(-no de células/t
1) + y
0
R2 = 0.94343
y0
0.2373 ±0.0016
A1
-0.47033 ±23.08465
t1
1603.46989 ±26740.31293
CT m
éd
io
no de células
Figura 4.1 – Influência da discretização espacial nos cálculos do médio do rotor
Analisando-se a Tabela 4.1 em conjunto com a Figura 4.1 pode-se notar que a malha 3
apresenta pouca diferença de valores de dentre valores encontrados para malhas mais
9
refinadas. Comparando-se a malha 3 com a malha 6, por exemplo, tem-se uma diferença de
2,26% no resultado final. A malha mais refinada possui cerca de 10 vezes mais células que a
malha 3, o que acarreta em um tempo computacional muito elevado e considerando-se essa
pequena variação no valor final e o recurso computacional disponível optou-se pela malha de
número 3. Nota-se também que a partir de 200 mil elementos os valores de médios
começam a ficar muito próximo da linha de tendência.
Além disso, quando comparados com os estudos experimentais de Blackwell et al.,
1997, que encontraram valores de iguais a 0,2150 ± 0,0245 pode-se ver que os valores encontrados na simulação estão coerentes e dentro do esperado.
Após a escolha da malha, faz-se a verificação da influência da discretização temporal
nos valores. Para tal, reduz-se o intervalo de tempo à sua metade e faz-se nova simulação.
Após a simulação ser efetuada, conforme Tabela 4.2, verifica-se que a melhora na
discretização temporal influenciou pouco no resultado (0,0271%), possibilitando assim, a
utilização de ∆t calculado com base na Equação (4.13) nas demais simulações. Pela
observação da representação gráfica do ciclo médio de coeficiente de torque na Figura 4.1,
também se pode verificar que a redução no valor de ∆t influiu pouco nos valores de CT.
Tabela 4.2 – Valores de em função do passo de tempo para Rs igual a zero
∆t CT médio Erro Relativo entre as Soluções
0,000103896 s 0,2384459803 0,0271%
0,000051948 s 0,2383814516
-0,3
0,0
0,3
0,6
0,9
0
33
66
99
132
165198
231
264
297
330
-0,3
0,0
0,3
0,6
0,9
CT
(graus)
t = 0,000103896 s
t = 0,000051948 s
Figura 4.1 – Influência da discretização temporal no ciclo médio
de coeficiente de torque para Rs igual a zero
O estudo da influência da discretização é feito apenas para o caso de razão de
sobreposição igual a zero, nos demais casos, utiliza-se os mesmos parâmetros de construção
desta malha inicial. A densidade de células sobre as superfícies de pá foi mantida constante.
As demais malhas não possuem muita variação no número final de volumes, que é sempre um
pouco superior ao caso estudado, tendo em vista que a superfície de pá aumenta, com o
crescimento da razão de sobreposição Rs, mantendo-se o número de Reynolds, baseado no
diâmetro do rotor, constante. Tal critério é utilizado devido ao curto espaço de tempo para
realizarem-se os testes de verificação da influência de discretização nos resultados para todas
as malhas neste trabalho.
10
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Estuda-se o escoamento utilizando a dinâmica dos fluidos computacional para turbinas
Savonius descrita no Capítulo 3, variando-se a razão de sobreposição das pás. O número de
Reynolds avaliado é de , calculado segundo Equação (4.6).
As turbinas Savonius funcionam devido às forças de arrasto de pressão e de
sustentação que atuam sobre as suas pás. Essas forças variam de acordo com o ângulo de
ataque das pás do rotor. Dependendo desse ângulo, na medida em que às pás se deslocam em
suas trajetórias, elas expõem diferentes contornos seus ao vento. Cada contorno tem seu
próprio coeficiente de arrasto. Com isso, o torque resultante de um rotor Savonius varia de
acordo com tal ângulo, devido à variação do coeficiente de arrasto das pás durante a rotação
do dispositivo. Esse valor varia também com a velocidade angular do rotor, pois isto altera a
velocidade relativa do vento sobre a pá, alterando por sua vez o ângulo de ataque efetivo das
pás e os coeficientes de força sobre as mesmas.
Na Figura 5.1, pode-se avaliar a variação do coeficiente de torque, , ao longo do
tempo para o caso de a . Nota-se que, no início, tem-se um pico nos
valores de e uma variação mais instável entre os primeiros picos. Esta instabilidade ocorre
devido ao fato da condição inicial ser pouco realística, já que foi considerada como um
escoamento uniforme com velocidade de 7 m/s em todo o domínio. Contudo, após o segundo
ciclo de operação do rotor, percebe-se que os valores tornam-se praticamente cíclicos, e a
solução estabiliza. Isso ocorre porque o escoamento sai de uma condição inicial pré-definida e
avança para uma configuração mais realística, com o desenvolvimento de uma esteira. Para o
cálculo do médio, em cada uma das simulações, descartam-se os três primeiros ciclos de operação do rotor, objetivando obter-se um valor mais próximo da realidade.
As simulações são realizadas em regime transiente para mesmo valor de velocidade
não perturbada do ar, variando-se a disposição das pás do rotor. Analisam-se cinco razões de
sobreposição diferentes. É considerado que o valor de permanece constante durante toda a operação da turbina, reproduzindo a operação de uma turbina conectada a uma máquina de
indução. Para cada uma das estudadas, mantém-se constante o número de Reynolds (Vo = 7
m/s e dr = 1,0 m), variando-se apenas , de 0,25 até o valor de 2,00. Cada uma das simulações
dá origem a um gráfico como o da Figura 5.1 para e . Desprezam-se as primeiras voltas da turbina devido à instabilidade da solução e calcula-se um valor médio para os coeficientes
de torque e de potência. Cada um desses valores médios podem ser encontrados na Figura 5.2
e 5.3, para e médios, respectivamente. Maiores detalhes dos valores encontrados podem
ser verificados no Apêndice C deste trabalho.
Na Figura 5.2 pode-se verificar a variação do médio com a variação da razão de
sobreposição para razões de velocidade de ponta do rotor, , variando de 0,25 até 2,0. Para
baixos valores de , ou seja, quando a velocidade tangencial da ponta da pá é inferior à
velocidade do ar, tem-se baixo rendimento. Esse rendimento aumenta à medida que se
aumenta o valor de λ até certo ponto, quando começa a baixar novamente. A redução do se justifica, pois em altas velocidades angulares, há redução da transferência de quantidade de
movimento média da corrente de ar para o rotor. Para valores de λ muito altos, o rotor é que
acaba transferindo quantidade de movimento para a corrente fluida, proporcionando valores
negativos para CP e CT médios.
11
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
CT
t (s)
= 1,25
Figura 5.1 – Variação temporal do coeficiente de
torque para Rs = 0,30 e λ = 1,25
Assim, as pás do rotor, em certas posições angulares, promovem transferência de
quantidade de movimento do rotor para a corrente fluida. A transferência de quantidade de
movimento invertida acontece porque a velocidade do rotor foi imposta. Com isso, para certas
condições de razão de velocidade de ponta e de posição angular, o rotor comporta-se como se
estivesse sendo motorizado. Numa operação real, isso acontece caso o rotor estivesse
operando acoplado a uma máquina de indução [Akwa, 2010].
Com isso, tem-se uma faixa ótima de operação para as turbinas Savonius que é
encontrada para condições de operação com valores de próximos a 1,25. Em quase todas as
configurações de turbinas cujas operações são simuladas isso se comprova. Nota-se por sua
vez, que o valor de máxima eficiência varia para diferentes razões de sobreposição. A que
apresenta maior coeficiente de potência foi a de com Dessa forma, uma turbina Savonius com o mesmo diâmetro de rotor e área de captação terá um melhor
desempenho quando ajustada para esta configuração. A descrição melhor dos resultados
obtidos com esta simulação pode ser encontrado no Apêndice C.
Na Figura 5.3, encontram-se os valores médios de obtidos durante as simulações. Pode-se notar que a variação na geometria do rotor produz alterações. Como esperado, os
valores maiores de médios encontram-se próximos de zero para os valores de razão de
velocidade de ponta. A turbina Savonius possui um alto coeficiente de torque para próximos de zero (alto torque de partida). Na Figura 5.4, pode-se verificar, ainda, que há concordância
dos valores obtidos para os coeficientes de potência médios do rotor com Rs igual a zero com
os valores obtidos por Blackwell et al., 1977, para um rotor de mesma configuração,
mostrando que o método é capaz de fornecer resultados coerentes para o fenômeno estudado.
Os valores obtidos no presente trabalho se encontram muito próximos aos valores obtidos
experimentalmente por Blackwell et al., 1977, ou, então, se encontram dentro da margem de
erros de tal estudo. A tendência dos valores de coeficientes de torque e de potência médios em
relação aos valores de razão de velocidade de ponta do rotor obtida no presente trabalho
também está de acordo com a tendência verificada pelas simulações numéricas realizadas por
Akwa, 2010.
12
-0,250,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
Rs = 0,00
Rs = 0,15
Rs = 0,30
Rs = 0,45
Rs = 0,60
CP m
éd
io
Figura 5.2 - Coeficientes de potência médios ao longo de uma rotação
versus a razão de velocidade de ponta do rotor
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Rs = 0,00
Rs = 0,15
Rs = 0,30
Rs = 0,45
Rs = 0,60
CT
mé
dio
Figura 5.3 - Coeficientes de torque médios ao longo de uma rotação
versus a razão de velocidade de ponta do rotor
13
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
CP
mé
dio
Experimental de Blackwell et al., 1977
Numérico obtido neste trabalho
Figura 5.4 - Coeficientes de potência médios ao longo de uma rotação
versus a razão de velocidade de ponta do rotor para Rs igual a zero
Na Figura 5.5, pode-se ter uma idéia da complexidade do escoamento sobre o rotor.
Na Figura 5.5, verifica-se em (a), claramente vários vórtices e pontos de recirculação do ar
após a passagem pelo rotor. Vê-se, também, uma região de recirculação entre as pás devido à
elevada razão de sobreposição para este caso. O padrão dos vórtices remete a um
comportamento cíclico. O campo de pressões (Figura 5.5 (b)) tem o mesmo comportamento
do campo de velocidades. Pode-se ver que na região da esteira, tem-se sub-regiões de baixa
pressão. Pode-se visualizar as diferenças de pressão nas superfícies das pás, que geram arrasto
de pressão, principal força relacionada ao funcionamento desse tipo de turbina.
(a) (b)
Figura 5.5 – Campos do escoamento para Rs = 0,30 e
: (a) velocidades; (b) pressões
Nas Figuras 5.6 e 5.7, tem-se uma comparação dos vetores de velocidade para o
escoamento sobre os rotores com e , para operação a λ = 1,25 e em
baixos valores de posição angular (θ 0). No rotor com maior razão de sobreposição, tem-se
uma área maior de recirculação entre as pás se comparado com o de menor. A magnitude das
velocidades máximas e mínimas são muito similares nos dois casos, no entanto, a
caracterização do escoamento varia devido à maior formação de recirculação com o aumento
da razão de sobreposição.
14
Figura 5.6 – Vetores da velocidade para escoamento em rotor com Rs = 0,15
operando a e próximos de 0o
O aumento da recirculação é um dos motivos para a piora no desempenho do rotor
com o crescimento de Rs, juntamente com o fato de que, com o aumento de Rs, o lado côncavo
da pá de avanço fica encoberto, em grau mais acentuado, pela pá de retorno, diminuindo o
torque do rotor. Para baixos valores de Rs, o espaçamento entre as pás permite a passagem de
ar da pá de avanço para a pá de retorno, melhorando a performance do rotor, por recuperar a
pressão no lado côncavo da pá de retorno, diminuindo o arrasto de pressão negativo sobre
essa pá. Conforme a sobreposição entre as pás aumenta, esse efeito melhora a performance do
rotor até certo ponto, depois do qual o desempenho do rotor volta a cair. Com o aumento da
sobreposição das pás, surgem essas zonas de recirculação, que promovem perda de
quantidade de movimento, diminuindo o desempenho do rotor.
Figura 5.7 – Vetores da velocidade para escoamento em rotor com Rs = 0,30
operando a e próximos de 0o
15
Conforme o que se pode observar nas Figuras 5.2, 5.6 e 5.7, o rotor apresenta melhor
desempenho para razões de sobreposição com valores próximos a 0,15. Esse resultado está de
acordo com os resultados de Blackwell et al., 1977, e com o que foi comentado por Akwa,
2010.
Na Figura 5.8, tem-se a representação gráfica de vetores de velocidade para o
escoamento sobre a pá de avanço do rotor com Rs = 0,15 operando a λ = 1,25 para valores
moderados de θ. Através dessa figura, pode-se observar que é possível verificar os fenômenos
ocorrentes na camada limite do escoamento, como a separação da mesma, com bom nível de
precisão.
Figura 5.8 – Detalhe da camada limite no escoamento sobre a pá de avanço
do rotor com Rs = 0,15, operando a λ = 1,25 e próximos de 0o
6 CONCLUSÕES
Este estudo é desenvolvido com objetivo de verificar, de forma numérica, a influência
diferentes razões de sobreposição no desempenho de turbinas do tipo Savonius, com a
finalidade de encontrar uma configuração ótima. Realizam-se simulações numéricas do
escoamento de ar sobre o rotor em 40 diferentes situações. As equações de conservação de
massa e de quantidade de movimento são resolvidas utilizando o método dos volumes finitos.
Para o tratamento da turbulência utiliza-se o modelo . É obtida uma boa independência de discretização para a precisão requerida na obtenção dos resultados.
O presente trabalho obtém resultados coerentes e com boa concordância com outros
trabalhos experimentais e numéricos realizados por outros autores. Com isso, pode-se concluir
que os parâmetros utilizados estão adequados para a análise proposta.
Os campos de pressão e de velocidades obtidos encontram-se dentro do esperado. São
testadas cinco diferentes razões de sobreposição. Para cada um dos casos, variou-se o valor de
na região onde a turbina Savonius apresenta melhor performance. A configuração que
apresenta melhor desempenho é a de para , apresentando um médio de
0,3160. Pode-se visualizar a variação do valor de médio na Figura 5.2 e também no Apêndice C.
A utilização de criam um espaçamento entre as pás, permitindo a passagem de
ar da pá de avanço para a pá de retorno. Este fato leva a um aumento de torque nesse tipo de
rotor até certo ponto. Esse aumento se dá pois o ar que passa da pá de avanço para a pá de
16
retorno aumenta a pressão no lado côncavo da pá de retorno, diminuindo a força de arrasto
sobre esta pá. Dependendo da utilizada, começam a surgir recirculações que promovem a
perda de quantidade de movimento acarretando diminuição da potência útil da máquina,
principalmente para baixos valores de posição angular da pá de avanço (θ). Se o valor de Rs
for alto, a potência do rotor também é diminuída devido ao fato da pá de retorno encobrir em
grau muito acentuado o lado côncavo da pá de avanço, o que prejudica o funcionamento
adequado da máquina. Por isso, existe uma configuração mais adequada na qual o rotor opera
com melhor desempenho. Essa configuração, de acordo com os resultados obtidos no presente
trabalho, é um rotor geometricamente ajustado para Rs = 0,15, operando a λ = 1,25.
Em trabalhos futuros pode-se analisar novas configurações para rotores para que seja
possível obter um modelo otimizado. É interessante também, realizar simulações em 3D desse
rotor para que os parâmetros que afetam a performance como a altura e a razão de
sobreposição possam ser avaliados. Além disso, pode-se incluir eixos passantes e a estrutura
do rotor, assim como simular os efeitos do solo e intensidade de turbulência para que se possa
obter uma solução mais realística e próxima das condições encontradas em campo.
Este trabalho confirma que o método dos volumes finitos pode ser aplicado com
sucesso ao estudo de turbinas Savonius. A metodologia aqui delineada é uma ferramenta promissora, uma vez que permite orientar futuros aprimoramentos deste tipo de rotor,
otimizando seu desempenho.
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Akwa, J.V. Análise Aerodinâmica de Turbinas Eólicas Savonius Empregando
Dinâmica dos Fluidos Computacional. Dissertação de mestrado. (Engenharia Mecânica) -
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Orientadora: PETRY, A.P., 2010.
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Industrial Aerodynamics, v. 3, n. 4, p. 343-351, 1978.
Blackwell, B. F.; Sheldahl, R. E.; Feltz, L. V. Wind Tunnel Performance Data
forTwo- and Three-Bucket Savonius Rotors, Final Report SAND76-0131, Sandia
Laboratories, Albuquerque, USA, 1977.
Burton, T.; Sharpe, D.; Jenkins, N.; Bossanyi, E. Wind Energy handbook. John
Willey & Sons, LTD, Chichester, England, 2001.
Cochran, B. C.; Banks, D.; Taylor, S. J. A Three-tiered Approach for Designing
and Evaluating Performance Characteristics of Novel Wecs, American Institute of
Aeronautics and Astronautics, Inc. and the American Society of Mechanical Engineers, 2004.
Hansen, M. O. L. Aerodynamics of Wind Turbines. Ed. Earthscan, London, United
Kingdom, 2008.
Maliska, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional.
LTC, Rio de Janeiro, Brasil, 2004.
Menet, J. L. ; Cottier, F. Etude Paramétrique du Comportement Aérodynamique
d’une Éolienne Lente à Axe Vertical de Type Savonius, 16eme Congrès Français de
Mécanique, Nice, 2003.
17
Menter, F. R.; Kuntz, M.; Langtry, R. Ten Years of Industrial Experience with the
SST Turbulence Model, Turbulence, Heat and Mass Transfer 4, p. 1-8, 2003.
Savonius, S. J. Wind Rotor – Patent 1,766,765, United States Patent Office, 1930.
Star-CCM+. Metodologia. CD-adapco, 2008.
Wilcox, D.C. Turbulence Modeling for CFD. DCW Industries, Inc., 1998.
18
APÊNDICE A
Função de Interpolação Adotada
Tendo como variável genérica na face de um volume finito , calcula-se o fluxo
convectivo , pela equação abaixo:
(A.1)
(A.2)
(A.3)
Na Equação (A.1) e são interpolados pela Equação (A.2) e (A.3); e
são os gradientes de reconstituição limitados nas células 0 e 1. Esses gradientes são
calculados por dois algoritmos. A pressão é calculada pelo algoritmo dos Mínimos Quadrados
Ponderados e o Método de Gauss é utilizado para a velocidade e também demais variáveis.
Para pressão, os gradientes de reconstrução iniciais (ilimitados), , da célula 0
são calculados utilizando a fórmula dos quadrados mínimos ponderados, Equação (A.4), na
qual x0 e xn representam os centróides das células 0 e sua vizinha, endereçada através da face
f, e e representam os valores na célula 0 e na sua vizinha.
(A.4)
Para as demais variáveis, o teorema da divergência de Gauss, escrito na forma
discretizada, permite a obtenção da Equação (A.5), na qual o volume é Vol e a área da face é
Af, que pode ser usada para calcular os gradientes de reconstrução iniciais.
(A.5)
O valor de face reconstruído a partir do valor da célula 0, , em qualquer outro
centróide de face, xf, é dado pela Equação (A.6) [Star-CCM+, 2008].
(A.6)
19
APÊNDICE B
Partindo-se das equações do modelo de turbulência SST, Equações (4.8) e (4.9),
tem-se que:
(B.1)
Na Equação (B.1) é a efetividade intermitente dada pelo modelo de transição gamma
Re-theta e é igual a 1 se este modelo não estiver ativado. Nesta mesma equação é o
coeficiente de mistura e é a taxa de deformação principal do tensor [StarCCM+,2008].
O termo referente à produção de turbulência k e , é dado pela Equação (B.2) e (B.3), respectivamente:
(B.2)
(B.3)
O termo da difusão cruzada do modelo, , é dado pela Equação (B.4). Os
coeficientes de modelagem são calculados pela função mista através da Equação (B.5) e o
coeficiente pela Equação (B.8).
(B.4)
(B.5)
(B.6)
(B.7)
(B.8)
O conjunto dos coeficientes para é dado por:
O conjunto dos coeficientes para é dado por:
Adota-se em ambos os casos e
O termo , presente na Equação (4.10) é uma escala de tempo e é dada por:
20
(B.9)
(B.10)
(B.11)
O termo é dado pela Equação (A.12):
(B.12)
(B.13)
Para o tratamento de parede híbrido, utiliza-se nesse trabalho, uma função híbrida g é
definida em termos de número de Reynolds baseado na distância da parede, Rey:
(B.14)
A velocidade de referência , a produção na parede da célula e a dissipação
específica na parede da célula , são dadas pelas Equações (A.15), (A.16) e (A.17),
repectivamente.
(B.15)
(B.16)
(B.17)
A condição de contorno para k na parede é
e, para ω, depende das equações
do tratamento de parede utilizado. Como condição inicial para k e ω utiliza-se a equação
(B.18) e (B.19), respectivamente. A intensidade de turbulência utilizada é e o
comprimento característico utilizado é na entrada do domínio. Esses valores são utilizados no restante do domínio como condição inicial.
(B.18)
(B.19)
21
APÊNDICE C
Tabela C.1 – Valores de e médios encontrados nas simulações
λ Rs = 0,00 Rs = 0,15
CT médio CP médio CT médio CP médio
0,00 não avaliado 0 não avaliado 0
0,25 0,3340798426 0,0835199607 0,5172002897 0,1293000724
0,50 0,3983592993 0,1991796497 0,4235221467 0,2117610734
0,75 0,3317027609 0,2487770707 0,3530110872 0,2647583154
1,00 0,2384459803 0,2384459803 0,2929945900 0,2929945900
1,25 0,1611476727 0,2014345909 0,2528459953 0,3160574941
1,50 0,1048371705 0,1572557558 0,1687256849 0,2530885273
1,75 -0,0124850720 -0,0218488760 0,0970011668 0,1697520418
2,00 -0,1336048126 -0,2672096252 -0,0123190056 -0,0246380112
λ Rs = 0,30 Rs = 0,45
CT médio CP médio CT médio CP médio
0,00 não avaliado 0 não avaliado 0
0,25 0,519512598 0,12987815 0,5077516296 0,1269379074
0,50 0,420916649 0,210458325 0,4010774282 0,2005387141
0,75 0,348057111 0,261042833 0,3240308287 0,2430231215
1,00 0,293923909 0,293923909 0,2783607774 0,2783607774
1,25 0,247869071 0,309836339 0,2312908997 0,2891136246
1,50 0,173145297 0,259717946 0,1498943205 0,2248414807
1,75 0,106943062 0,187150358 0,0810205152 0,1417859015
2,00 -0,003312796 -0,006625591 0,0544821494 0,1089642989
Rs = 0,60
CT médio CP médio
0,00 não avaliado 0
0,25 0,3803034723 0,0950758681
0,50 0,3182003294 0,1591001647
0,75 0,2672855699 0,2004641774
1,00 0,2364947206 0,2364947206
1,25 0,2040803757 0,2551004696
1,50 0,1619405006 0,2429107509
1,75 0,1287519750 0,2253159563
2,00 0,0446638178 0,0893276356