anÁlise comparativa de modelos nÃo-lineares nas

Congreso de Métodos Numéricos en Ingeniería 2009 Barcelona, 29 junio al 2 de julio 2009

© SEMNI, España 2009

ANÁLISE COMPARATIVA DE MODELOS NÃO-LINEARES NAS PROXIMIDADES DE QUEBRA-MARES SUBMERSOS

Paulo R.F. Teixeira1, Luis Gil2,4, Eric Didier 3,4, Conceição J.E.M. Fortes3

1: Escola de Engenharia Universidade Federal do Rio Grande – FURG

Av. Itália, km 8, Campus Carreiros, 96201-900, Rio Grande, RS, Brasil e-mail: [email protected]

2: Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade Nova de Lisboa – UNL

2829-516, Monte de Caparica, Portugal [email protected]

3: Departamento de Hidráulica e Ambiente

Laboratório Nacional de Engenharia Civil – LNEC Av. do Brasil, 101, 1700-066, Lisboa, Portugal

e-mail: edidier, [email protected]

4: Marine and Environmental Tecnology Center (MARETEC) Departamento de Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico

Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa, Portugal

Palavras-chave: Modelação numérica, propagação não-linear de ondas, quebra-mar submerso, Equações de Boussinesq, Equações de Euler, Equações de Navier-Stokes

Resumo. Neste trabalho é avaliado o desempenho de três modelos numéricos na simulação da propagação de ondas sobre quebra-mares submersos com diferentes inclinações na rampa a jusante. Os modelos utilizados, diferem tanto no nível de não-linearidade como nos métodos numéricos usados e são: (a) COULWAVE (Lynnet e Liu [1]), que é um modelo não-linear 3D integrado na vertical o qual resolve as equações não-lineares de Boussinesq apresentadas por Wei et al. [2], considerando uma aproximação multi-camadas. (b) CANAL (Clément [3]), que é um modelo de elementos de contorno 2D não-linear completo o qual resolve as equações de Euler. (c) FLUINCO (Teixeira [4]), que é baseado nas equações de Navier-Stokes, dicretizadas no tempo e no espaço através do esquema de Taylor-Galerkin semi-implícito de dois passos usando um elemento tetraédrico linear. Num primeiro caso, o quebra-mar com rampa a jusante de inclinação 1:10 foi estudado experimentalmente por Dingemans [5] e seus resultados são comparados com os obtidos pelos modelos numéricos. Nos restantes casos, as rampas a jusante dos quebra-mares tem inclinações 45º e 90º, onde os efeitos não-lineares são mais intensos. Nesses casos, os resultados dos modelos são comparados entre si. Deste modo, são avaliadas as potencialidades e limitações dos modelos numéricos.

Paulo R.F. Teixeira, Luis Gil, Eric Didier, Conceição J.E.M. Fortes

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1. INTRODUÇÃO

À medida que as ondas se propagam para zonas de águas pouco profundas, sofrem transformações significativas na sua altura, direção e velocidade, assim como da sua própria forma. Os fenómenos de refração, difração, reflexão, rebentação e os fenómenos não-lineares associados a interações onda-onda e onda-corrente são algumas das causas dessas alterações.

No âmbito da modelação numérica, os modelos numéricos desenvolvidos a partir da equação de Boussinesq foram nas últimas décadas os instrumentos numéricos adoptados na simulação dos problemas não-lineares típicos da engenharia costeira. Um dos modelos normalmente utilizado é o COULWAVE, desenvolvido por Lynett e Liu [1], que resolve as equações não-lineares de Boussinesq deduzidas por Wei et al. [2]. Este modelo utiliza o conceito de “multi–layer” (multi-camada) em que a coluna de água é dividida em várias camadas. A precisão depende do número de camadas que se considera permitindo a sua utilização em águas muito profundas. Deste modo, o modelo é melhor do ponto de vista das características lineares de dispersão. Além disso, foram incluídos termos adicionais associados à variação no tempo da profundidade, para ter em conta o deslizamento de camadas de terreno emerso ou a ocorrência de sismos que são a causa de tsunamis. O tratamento numérico dessas equações é semelhante ao de Wei et al. [2] com excepção de alguns termos não lineares dispersivos e existência de termos adicionais, devidos à dependência temporal da profundidade. O modelo é assim aplicável desde águas muito profundas até à rebentação e apresenta características lineares até kh~8 e um comportamento não-linear de 2ª ordem até kh~6. Contudo, como admite aproximações para a distribuição vertical em cada uma das camadas em que é dividida a coluna de água, variações significativas do fundo podem não ser correctamente simuladas.

Em contrapartida, os modelos de simulação totalmente não-lineares, inicialmente desenvolvidos no âmbito da hidrodinâmica, permitem actualmente, graças à evolução dos meios de cálculo, simular com precisão a transformação das ondas em domínios compatíveis com as dimensões de pequenas regiões costeiras. O modelo CANAL, Clément [3] e Gil [6], é um exemplo destes tipos de modelos, pois é totalmente não-linear que resolve a equação de Euler pelo método dos elementos de fronteira, não apresentando limitações quanto à topografia do fundo.

Por outro lado, o código desenvolvido por Teixeira [4], denominado de FLUINCO, integra as equações de Navier-Stokes de forma completa. O modelo utiliza um método fracionado para simular problemas de escoamentos 3D de fluidos incompressíveis com superfície livre. Emprega o método semi-implícito de Taylor-Galerkin de dois passos para discretizar no tempo e no espaço as equações de Navier-Stokes. Adopta um elemento tetraédrico linear, o qual tem a vantagem de se adaptar aos domínios de geometrias complexas e de ser um elemento de boa eficiência computacional. Uma formulação lagrangeana-euleriana arbitrária (do inglês ALE, Arbitrary Lagrangian-Eulerian) é utilizada para permitir a solução de problemas que envolvem grandes movimentos relativos entre corpos e superfícies e movimentos da superfície livre. A distribuição espacial da velocidade da malha é tal que a


3

distorção dos elementos é minimizada pela sua suavização através do uso de funções que ponderam a influência da velocidade de cada nó pertencente às superfícies de contorno.

Nesta comunicação, compararam-se simulações da propagação de ondas em fundos inclinados obtidas pelo modelo de Boussinesq, COULWAVE, e pelos modelos não-lineares CANAL e FLUINCO. Mais concretamente, avalia-se a capacidade de cada modelo, em reproduzir os principais fenómenos intervenientes na propagação das ondas, nomeadamente no que concerne a efeitos não-lineares.

Os três modelos são aplicados na simulação da propagação de ondas sobre quebra-mares submersos com rampa a montante de inclinação 1:20 e com diferentes inclinações da rampa a jusante. O quebra-mar com rampa a jusante de inclinação 1:10 foi estudado experimentalmente por Dingemans [5] estes resultados são comparados com obtidos pelos modelos numéricos. Nos quebra-mares de inclinações 45º e 90º os fenómenos não-lineares são mais significativos, o que constitui um teste de maior interesse e complexidade para os modelos numéricos em estudo. São comparados os resultados de elevação da superfície em vários pontos do domínio e apresentados os resultados das componentes de velocidade obtidos pelo CANAL e FLUINCO e dos campos de pressão calculados pelo FLUINCO. Deste modo, são avaliadas as potencialidades e limitações dos modelos numéricos.

Este trabalho constituiu uma extensão de três trabalhos já efectuados: 1) Em Gil et al. [7] compararam-se os resultados em termos de elevação da superfície livre e espectros de outro modelo de Boussinesq, FUNWAVE (Kirby et al. [8]), que apresenta piores características não lineares relativamente ao modelo COULWAVE, com o modelo CANAL para os mesmos casos de estudo com três diferentes inclinações da rampa de jusante. 2) Em Carvalho et al. [9] efectuou-se também a comparação desses modelos com um modelo do tipo VOF, apenas no caso do quebra-mar com inclinação da rampa de jusante de 1:10. 3) Finalmente em Teixeira e Fortes [10] compararam-se os resultados de COULWAVE e FLUINCO no caso do quebra-mar com inclinação da rampa a jusante de 1:10. Em quaisquer dos casos não foram apresentados os campos de pressão e de velocidade como neste trabalho.

2. MODELOS NUMÉRICOS

2.1. Modelo COULWAVE

O modelo COULWAVE, Lynett e Liu [1], é um modelo de diferenças finitas para a propagação de ondas fortemente não-lineares (a razão entre a amplitude da onda e a profundidade pode ser até à ordem 1) e dispersivas, em zonas de profundidade variável. As equações do modelo, do tipo de Boussinesq, são deduzidas a partir da integração em profundidade das equações de continuidade e movimento, utilizando o conceito de camadas múltiplas (multi-layer). Em cada camada admite-se um dado perfil de velocidades, através de funções quadráticas com valores iguais na interface que divide a coluna de água. Esta aproximação conduz a um sistema de equações sem as derivadas espaciais de ordem elevada resultantes do uso de funções polinomiais de ordem superior, que é normalmente utilizado na dedução das equações de Boussinesq. Com estes perfis de velocidade que coincidem na


4

fronteira entre camadas, é deduzido um conjunto de equações que permite estender a aplicabilidade do modelo a águas muito profundas e apresentar características lineares até kh~8 e um comportamento não linear de 2ª ordem até kh~6. Para uma camada, as equações de conservação de massa (1) e quantidade de movimento (2) vem:

( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )411

222

1

21

3332

1

1

226

1

o

o

o

ooo

o

o

o

O t

hhu.k h

hu.

k hh.

u h.tt

h

µ=

∂∂

ε+∇∇

+ζε−

+ζε+∇∇

+ζε−

+ζε∇µ−

+ςε∇+∂ς∂+

∂∂

ε (1)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )o

oo

o

oo

o

o

l

h

h

ahk

t

hhuT

com

OuuuTut

uTS

t

TTT

uuk

ukukTukTku

Tkuk

tuu

t

u

oooo

oo

==+=∂∂+∇=

=

∇∇−∇∇+

∇−

∂∇∂−∇+

∂∂∇−∇+

∇∇∇+

∇∇∇+∇∇+∇∇+

∇+∇∇∂∂+∇+∇+

∂∂

µεςβαε

µςµεςςςµεςεµ

εµµςε

;;;1

.

...2

..

2

..2

.....

2.

11111

411

21

222

111

2

11221

112

11

21

11111111112

111

212

111

(2)

onde ζ é a elevação da superfície livre, h é a profundidade, u1 é o vector de velocidade horizontal à profundidade definida em cada camada, g é a aceleração gravítica. Os coeficientes 1α e 1β são definidos pelo utilizador, ao é a amplitude da onda, ho a profundidade e lo comprimento de onda. O perfil vertical da velocidade horizontal é dado por:

( ) ( ) ( ) hzcomOTkzukz

uU oo 531.0.2 1

4111

21

212

11 −=+

∇−+∇∇−−= µµ 1 (3)

onde z1 é escolhido de modo a que as características resultantes do modelo de Boussinesq concordem bem com a teoria linear.

Lynett e Liu [1] introduziram termos adicionais nas equações de modo a ter em conta o atrito de fundo, a rebentação de ondas, a geração de ondas no interior do domínio. Além disso, incluiram termos de profundidade dependentes do tempo para ter em conta a variações do perfil de fundo no tempo devido à ocorrência de um deslizamento ou de um sismo.

A resolução das equações referidas é semelhante à formulação apresentada por Wei et al. [2] utilizando um esquema previsor-corrector de Adams-Bashforth. O esquema de diferenças finitas consiste num esquema explícito de Adams-Bashforth de 3ª ordem no tempo para o passo previsor e implícito de 4ª ordem no tempo para o passo corrector. Para as derivadas espaciais são utilizadas diferenças finitas centrais com uma precisão de 4ª ordem. As derivadas espaciais e temporais de ordem superior são efectuadas com uma precisão de 2ª ordem. O modelo é formalmente preciso até ∆t4 em tempo e ∆x4 em espaço. A diferença relativamente a Wei et al. [2], refere-se a alguns termos não-lineares dispersivos e à existência de termos adicionais, devidos à dependência temporal da profundidade.


5

Na simulação da hidrodinâmica da zona de rebentação, a dissipação de energia devido à rebentação é tratada através da inclusão de termos de viscosidade turbulenta nas equações de conservação da quantidade de movimento, Kennedy et al. [11] e Chen et al. [12]. O início e fim da rebentação da onda são determinados utilizando o parâmetro *tη função dos parâmetros

)( Itη e )(F

tη e do tempo de transição T*. Os valores de )( Itη e )(F

tη são dados por gH65.0 e

gH08.0 , sendo H a profundidade da água mais a elevação da superfície livre. O valor de T*

é dado por gH8 . Os dados de entrada do modelo COULWAVE encontram-se explicados em

Lynett e Liu [1] e alguns dos resultados fornecidos pelo modelo constam das séries temporais e espaciais da elevação da superfície livre e velocidades horizontais nos pontos do domínio definidos pelo utilizador.

2.2 Modelo CANAL

Este código numérico foi inicialmente desenvolvido por Clément [3]. Na sua versão original o domínio de cálculo corresponde a um canal bidimensional de fundo horizontal, equipado com um batedor plano vertical do tipo pistão em cada extremidade, Figura 1. Estes batedores podem funcionar como geradores ou absorvedores dinâmicos de onda. Na zona próxima das extremidades do canal existe uma praia de absorção numérica que, em conjunto com a absorção dinâmica, permite evitar as reflexões e assim simular uma zona finita de um canal infinito, Clément [3]. A versão base deste programa foi alterada, Didier et al. [13], por forma a simular escoamentos sobre fundos inclinados. A geração de ondas pode também ser efectuada utilizando singularidades do tipo dipolo rotativo colocados no interior do domínio de cálculo, Didier et al.[13].

x

L

z

B (fundo de forma arbitrária)

hD (domínio interior)

η(t) superfície livre

B1 - Batedor B2 - Batedor

Figura 1 – Domínio de cálculo para o modelo CANAL

Na concepção do modelo numérico, o fluido supõe-se incompreensível e invíscido. Ignoram-se os efeitos da tensão superficial, admite-se o escoamento como irrotacional e plano. O problema é assim tratado no quadro da teoria dos escoamentos potenciais bidimensionais. A pressão sobre a superfície livre é suposta constante e nula, estando o fluido em repouso no instante inicial.

As variáveis espaciais, (x,z), e temporal, (t), são adimensionalizadas utilizando respectivamente a profundidade, h, e o tempo característico (h/g)1/2. As equações que descrevem este problema inicial de valores fronteira escrevem-se, utilizando notação complexa para as variáveis adimensionais:


6

∇ =2 0Φ( ,Z T) , para Z ∈ D (4)

∂Φ∂

∂∂r

r

nZ T)

X

Tnb( , .= , para Z ∈ B1∪B2 (5)

∂Φ∂rn

Z T)( , = 0 , para Z ∈ B (6)

0=T

-Z+ZX2

122

∂Φ∂

∂Φ∂+

∂Φ∂

, para Z ∈ η (7)

ZDT

DZXDT

DX

∂Φ∂=

∂Φ∂=

, para Z ∈ η ∪D (8)

O símbolo Φ representa a função potencial, e Xb denota a lei do movimento dos batedores. O anterior sistema de equações é resolvido por um método misto de Euler-Lagrange. Em cada passo de tempo, a actualização da geometria do domínio fluido é assegurada pela integração das condições de superfície livre (Equações (7) e (8)), utilizando-se um método de Runge-Kutta de quarta ordem. A velocidade tangencial, necessária à resolução das condições de superfície livre, é calculada por um método de interpolação ponderado em arctang.

Desta forma, em cada passo de tempo resolve-se no “novo” domínio fluido um problema de valores fronteira misto, com uma condição de Dirichelet na superfície livre e uma condição de Neumann sobre os batedores. O problema atrás descrito é resolvido por um método do tipo B.E.M., (boundary element method), empregando fontes e dipolos normais linearmente distribuídos sobre a fronteira, previamente discretizada em segmentos.

O código CANAL resolve assim numericamente o sistema de equações adimensionais acima apresentado sem efectuar outras aproximações para além das que decorrem da necessária discretização do domínio de cálculo.

As simulações são obrigatoriamente iniciadas a partir do estado de repouso. No final de uma simulação ficam assim acessíveis, em cada passo de tempo, as variáveis adimensionais: (a) posição (X,Y) dos nós de toda a fronteira; (b) densidade de singularidades (σi e µi) em todos os segmentos da fronteira. A deformada de superfície livre num dado ponto do canal é directamente obtida a partir das posições da superfície livre calculadas em cada passo de tempo. As densidades de singularidades permitem calcular as componentes da velocidade e a pressão em qualquer ponto do domínio fluido.

2.3 Modelo FLUINCO

2.3.1 Equações fundamentais do modelo e discretizações no tempo e no espaço

O algoritmo baseia-se na equação da continuidade, escrita na forma:


7

∂ρ∂

∂∂

∂∂t c

pt

Ux

i

i= = −1

2 (i =1,2,3) , (9)

e nas equações da quantidade de movimento, expressas na descrição arbitrária lagrangeana-euleriana (ALE):

x

Uw

x

p

xx

f

tU

j

ij

ij

ij

j

iji

∂∂+−+−=

∂∂

∂∂τ

∂∂

∂∂ (i,j =1,2,3) , (10)

sendo ρ a massa específica, p a pressão, viiU ρ= , ( ) Uf ijijij vvv == ρ , vi as componentes

de velocidade, wi a velocidade do sistema de referência e τij o tensor de tensões viscosas (i,j .=1,2,3). Nessas equações é aplicado o método de Taylor-Galerkin de dois passos para a discretização no tempo e no espaço. No primeiro passo, calculam-se as variáveis de campo no instante de tempo t+∆t/2 através da seguinte equação (Teixeira e Awruch [14]):

tUt

UUnin

ini ∂

∂∆+=+

22/1

∂∂−

∂∆∂+

∂∂+

∂∂−

∂

∂∆−=x

Uw

x

p

x

p

xx

ftU

i

nin

jii

n

j

nij

j

nijn

i2

1

2τ

(i,j=1,2,3) , (11)

onde ∆p p pn n= −+1 . Introduzindo a variável Uni

~ 2/1+ que é dada pela Eq. (11) sem o termo de

variação de pressão, tem-se:

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂

∂∆−=+

x

Uw

x

p

xx

ftUU

i

nin

ji

n

j

nij

j

nijn

ini

τ2

~ 2/1 (i,j=1,2,3) , (12)

então

x

ptUU

i

ni

ni

∂∆∂∆−= ++

4~ 2/12/1 (i=1,2,3) . (13)

A discretização no tempo da Eq. (9) resulta na expressão (Zienkiewicz e Codina [15]):

x

Utpc i

ni

∂∂ρ

2/1

2

1 +

∆−=∆=∆

∂∆∂

∂∂∆−

∂∂∆−=

+

x

p

x

t

x

Utiii

ni

4

~ 2/1

(i = 1,2,3) . (14)

No segundo passo, calculam-se as variáveis de campo no instante de tempo t+∆t utilizando as variáveis em t+∆t/2, resultando:

tUtUU

nin

ini ∂

∂∆+=+

+2/1

1

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂

∂∆−=

++

+++

x

Uw

x

p

xx

ftU

i

nin

ji

n

j

nij

j

nijn

i

2/12/1

2/12/12/1τ

(i,j=1,2,3). (15)

Assim, após uma discretização espacial, o escoamento pode ser analizado pelo seguinte

algoritmo: (a) da Eq. (12) calcula-se Uni

~ 2/1+ ; (b) da Eq. (14) determina-se ∆p e pn+1; (c) da

Eq. (13) obtém-se U ni

2/1+; (d) da Eq. (15) determina-se U n

i1+

.


8

Para a discretização no espaço é aplicado o método clássico dos resíduos ponderados de Galerkin nas Eq. (12) a (15). Utiliza-se uma função de interpolação constante para as variáveis no instante t+∆t/2, enquanto que em t e t+∆t é empregada uma função de interpolação linear.

2.3.2 Condições de contorno

O modelo FLUINCO considera a superfície livre sujeita a uma pressão atmosférica constante (geralmente o valor de referência é nulo) e impõe a condição de contorno cinemática da superfície livre (CCCSL), usando a formulação ALE que é expressa da forma (Ramaswamy e Kawahara [16]):

( ) 0wv )()( =∂∂−+

∂∂

xt i

si

si

ηη (i=1,2,3) , (16)

onde η é a elevação de superfície,v)(si e w)(s

i são as componentes de velocidade do fluido e

da malha na superfície livre, respectivamente. O sistema de coordenadas adota as direções x e y no plano horizontal, onde se utiliza uma formulação euleriana, e z na direção vertical, onde a formulação usada é a ALE.

A discretização temporal da CCCSL é realizada de forma análoga à apresentada para as equações de quantidade de movimento. Depois de aplicar a expansão em series de Taylor, as expressões de η em n+1/2 (primeiro passo) e n+1 (segundo passo) ficam:

n

sssnn

xx

t

∂∂−

∂∂−

∆+=+

22

)(

11

)(3

)(2/1 vvv2

ηηηη (17)

2/1

22

)(

11

)(3

)(1 vvv+

+

∂∂−

∂∂−

∆+=

n

sssnn

xxt

ηηηη (18)

A discretização espacial é desenvolvida adoptando elementos triangulares coincidentes com as faces dos tetraedros da superfície livre e aplicando o método de Galerkin nas Eq. (17) e (18). As equações resultantes são resolvidas de forma iterativa tal como ocorre para as equações da quantidade de movimento.

No FLUINCO, a superfície de contorno de entrada de uma onda monocromática é reproduzida pelo uso de um gerador de onda do tipo pistão (Galvin [17]). Assim, conhecendo-se as características da onda a ser gerada dadas pela altura da onda H, número de onda k, freqüência da onda ω e a profundidade local h, é imposta a componente de velocidade normal às paredes do gerador de ondas u, de acordo com a equação:

t uu o ωcos= , (19)

sendo 0u a amplitude da componente velocidade horizontal expressa na forma:

20

ωSu = . (20)


9

onde S é o deslocamento máximo do pistão obtido por:

khkh

kh-

S

H

22senh

)12(cosh 2

+= . (21)

Em contornos abertos o FLUINCO adota a condição de radiação de Flather [18] combinada com a versão unidimensional da equação da continuidade, resultando na seguinte expressão para a velocidade normal ao contorno Γ:

h

gu η= . (22)

2.3.3 A lei de movimento da malha

As componentes de velocidade da malha w3 (vertical) no interior do domínio são suavizadas através de funções que ponderam a influência da velocidade da malha de cada nó pertencente às superfícies de contorno, que são a superfície livre, a superfície do fundo e a superfície de corpos imersos, caso existam. A actualização da velocidade da malha, nos pontos i do interior do domínio, está baseada na velocidade da malha nos pontos j, pertencentes às superfícies de contorno da seguinte forma (Teixeira [4]):

1

1

13

13

∑

∑

=

=

+

+ =s

s

n

jij

n

i

njij

ni

a

w a

w , (23)

onde wni1

3+ e wn

j1

3+ são as componentes verticais das velocidades da malha no interior do

domínio e nas superfícies de contorno (superfície livre, do fundo e dos corpos submersos), respectivamente., ns é o número total de pontos pertencentes às superfícies e aij são os coeficientes de influência entre os pontos no interior do domínio e os de superfície, dados pela seguinte expressão:

d

aij

ij 4

1= , (24)

sendo dij a distância entre os pontos i e j.

3. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Nas secções seguintes, descrevem-se as simulações numéricas da propagação de ondas sobre quebra-mares submersos, efectuadas com os códigos COULWAVE, CANAL e FLUINCO. Testaram-se três diferentes perfis do quebra-mar:

• Quebra-mar com declives de 1:20 e de 1:10 a montante e a jusante, respectivamente; • Quebra-mar com declives 1:20 a montante e 45º a jusante; • Quebra-mar com declives 1:20 a montante e vertical a jusante.

Na Figura 2 define-se a geometria dos três quebra-mares submersos utilizadas neste estudo, as suas localizações no canal e a posição das sondas colocadas ao longo do canal. O


10

comprimento útil do canal é de 23 m e as profundidades máxima e mínima são 0.4 m e 0.1 m, respectivamente. Na entrada do canal é gerada uma onda monocromática com período de 2.02 s, que corresponde a um comprimento de onda de 3.73 m na zona de maior profundidade, e uma amplitude de 0.01 m. Para o primeiro perfil, avalia-se a precisão dos modelos numéricos comparando os respectivos resultados (séries da elevação da superfície livre e espectros de energia) com os experimentais de Beji e Battjes [19] e Dingemans [5]. Nas duas outras situações, em que os efeitos não lineares se tornam mais significativos, avalia-se o comportamento dos modelos quando a propagação se efectua sobre superfícies mais inclinadas. Os resultados analisados são as séries de elevação da superfície livre, de campos de velocidades e de pressão. Na Tabela 1 apresentam-se os períodos, as frequências e os comprimentos de onda referentes às componentes fundamental e às componentes harmónicas, indicando as escalas do tempo e do espaço envolvidos.

Figura 2 – Configuração geométrica do canal.

Fundamental 2ª harmónica 3ª harmónica 4ª harmónica Período (s) 2.02 1.01 0.67 0.50

Frequência (Hz) 0.50 1.00 1.50 2.00 Comprimento (m) 3.73 1.46 0.70 0.39

Tabela 1 - Período, frequência e comprimento de onda correspondentes às frequências fundamental, 2ª, 3ª e 4ª harmónicas.

O tempo de cálculo necessário aos códigos não-lineares depende essencialmente da complexidade dos modelos numéricos sobre os quais foram construídos. O modelo COULWAVE tem um tempo de cálculo francamente inferior ao do modelo FLUINCO e CANAL. Nos casos apresentados, o COULWAVE foi aproximadamente 80 e 160 vezes mais rápido que o CANAL e o FLUINCO, respectivamente. Salienta-se que os modelos são de diferente concepção, tendo particularidades diferentes. Por exemplo, os modelos CANAL e FLUINCO permitem a análise segundo a vertical dos valores da velocidades e pressões o que não acontece no caso do modelo COULWAVE.

3.1. Quebra-mar com rampa a jusante de inclinação 1:10

Para este caso, o domínio computacional usado pelo modelo COULWAVE é bidimensional de comprimento 23.m e de largura 1.m. A discretização da batimetria foi fornecida com um espaçamento de dx=0.05.m. O próprio modelo gera uma malha de


11

diferenças finitas com base num número mínimo de pontos dado pelo utilizador, que neste caso, foi de 100. Foram adoptadas duas camadas verticais para a modelização. Note-se que experiências preliminares mostraram que a utilização de duas camadas verticais face a uma camada apenas conduzia a resultados melhores. O número de Courant admitido foi igual a 0.5. A função fonte (geração de ondas) foi colocada na posição x=0.0 m. Foram colocadas duas fronteiras de absorção nos extremos do domínio, com um comprimento de onda. Considerou-se a ausência de atrito com o fundo e para os restantes parâmetros do modelo COULWAVE, os valores sugeridos pelo manual, Lynett e Liu [1].

A simulação numérica com o código CANAL obrigou também a pequenas alterações relativamente ao canal experimental. As ondas foram geradas através do movimento de um batedor do tipo pistão, processo idêntico ao experimental. No entanto, na parte final do canal foi acrescentada uma zona de absorção com a finalidade de evitar a reflexão das ondas para o interior do domínio, ou seja, de simular uma condição de radiação. Nesta zona utilizou-se uma praia de absorção numérica e um dispositivo de absorção dinâmica, Clément [3], posicionado na secção final do canal. Nas simulações efectuadas com o código CANAL a superfície livre e o fundo foram discretizadas de formas diferentes em função do comprimento de onda dominante. Implementou-se uma discretização mais fina nas zonas onde são mais intensos os efeitos não lineares. O passo de tempo foi da ordem de 2% do período da onda gerada (0.04 s).

A simulação numérica do modelo FLUINCO foi realizada sobre um domínio de 35 m de comprimento, estendido em relação ao mostrado na Figura 2 na parte final do canal. As malhas de elementos tetraédricos foram geradas com apenas uma camada de elementos na direção transversal ao canal, já que o comportamento dos escoamentos, nesse caso, é bidimensional. O número de elementos e nós foram de 88700 e 37296, respectivamente. Na direção vertical, foram usadas 20 camadas de elementos, distribuídas de forma que os menores elementos estejam localizados junto à superfície livre e ao fundo. Ao longo do canal, os elementos variam de dx=0.08 m nas extremidades do canal, até dx=0.025.m, na região menos profunda. É imposta a condição de contorno de geração de ondas na entrada do domínio, com u0=0.04636 m/s e ω=3.1105 rad/s. Da posição x=29.0 m à 35.0 m é imposto um aumento linear da viscosidade do fluido para contribuir no efeito de absorção da onda. Na saída é imposta a condição de radiação usada pelo modelo. No fundo as componentes de velocidade são nulas e na superfície livre é imposta a condição de contorno de superfície livre descrita na seção 2.3.2. Como condição inicial, o campo de velocidades é considerado nulo e o campo de pressões é o hidrostático. Nas paredes laterais é adoptada a condição de simetria, onde a componente de velocidade perpendicular à superfície é nula. O passo de tempo adoptado foi de 0.003.s, o qual satisfaz a condição de estabilidade de Courant, para um tempo de simulação de 40s.

A Figura 3 apresenta as elevações de superfície para as sondas 3, 6, 8 e 11 (posições das sondas indicadas na Figura 2). Os resultados obtidos pelos modelos numéricos são comparados com os experimentais apresentados por Dingemans [5]. Na Figura 4 representam-se os periodogramas obtidos nos mesmos locais, para uma melhor caracterização das diferenças entre as componentes harmónicas.


12

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03 FLUINCOCOULWAVECANALEXPERIMENTAL

η(m

)

sonda 3

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 6

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 8

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 11

Figura 3 – Deformadas da superfície livre para o quebra-mar 1:10, nas sondas 3, 6, 8 e 11.

De uma forma geral, constata-se uma boa concordância entre os resultados numéricos e experimentais nas zonas de profundidade constante, decrescente e de menor profundidade (sondas 3 e 6), Figura 3. Com efeito, o andamento das deformadas de superfície livre numérico é bastante semelhante ao experimental nestas sondas, para quaisquer dos modelos utilizados.

Nas sondas 8 e 11, a que correspondem ao aumento da profundidade, a concordância geral é cada vez menor, mas as deformadas de superfície livre numéricas e experimentais têm um comportamento geral semelhante. Nota-se que nestas sondas, a deformada da superfície livre apresenta características cada vez mais não-lineares. Por esta razão, verifica-se também um melhor ajustamento da deformada da componente principal entre resultados numéricos e experimentais que a respeitante a componentes de ordem superior. O FLUINCO é, em geral, o modelo que mais se aproxima dos resultados experimentais, mas não consegue simular as componentes de ordem superior verificadas na deformada. É possível que isto seja devido à discretização adoptada nessa região, a qual não é suficiente para captar adequadamente as harmônicas mais altas.

Os periodogramas apresentados na Figura 4 confirmam que as divergências entre os resultados se devem a pequenas diferenças na intensidade das componentes harmónicas, mais visíveis nas sondas da zona final do canal. Com efeito, verifica-se que os modelos numéricos simulam convenientemente a posição dos picos da frequência fundamental e das componentes harmónicas geradas ao longo do domínio de cálculo, verificando-se, no entanto, algumas diferenças na amplitude máxima desses picos, principalmente nas sondas 8 e 11. Nestas sondas, os modelos CANAL e COULWAVE tem tendência a sobrestimar as amplitudes dos picos dos espectros enquanto que o modelo FLUINCO apresenta valores mais próximos aos


13

experimentais mas subestima esses valores. Em geral, os modelos FLUINCO e CANAL apresentam uma melhor concordância aos resultados experimentais do que o COULWAVE, como seria de esperar.

f (Hz)

a(m

)

0 2 4 60

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01experimentalFLUINCOCOULWAVEFUNWAVE

f (Hz)

a(m

)

0 2 4 60

0.002

0.004

0.006

0.008


f (Hz)

a(m

)

0 2 4 60

0.002

0.004

0.006

0.008


f (Hz)

a(m

)

0 2 4 60

0.002

0.004

0.006

0.008


Figura 4 – Periodogramas relativos aos sinais das sondas para o quebra-mar 1:10.

3.2. Quebra-mar com rampa a jusante de inclinação 45º

As condições de simulação usadas pelos modelos numéricos CANAL e COULWAVE no caso anterior foram adoptadas também neste problema. Para o FLUINCO foram considerados os mesmos critérios de discretização espacial do domínio, construindo-se uma malha de 95400 elementos e 40110 nós. O passo de tempo adoptado foi de 0.002 s.

A Figura 5 apresenta as elevações de superfície para as sondas 3, 6, 8 e 11 (posições das sondas indicadas na Figura 2). Em relação à deformada da superfície livre, os três códigos apresentam comportamentos bastante semelhantes nas sondas 3 e 6, embora na sonda 3 o modelo FLUINCO apresente valores máximos e mínimos de elevação de superfície maiores que os obtidos pelos outros códigos. Nas sondas 8 e 11, o comportamento continua a ser semelhante mas as diferenças entre modelos acentuam-se, o que seria de esperar pois nessa zona os fenómenos não-lineares têm uma importância significativa. Nessas sondas, o CANAL obteve amplitudes mais elevadas tanto na frequência fundamental como nas harmónicas.

Em relação ao verificado no caso do quebra-mar a 1:10, constata-se que as diferenças entre os modelos são mais acentuadas agora, mesmo entre os códigos CANAL e FLUINCO.

Sonda 3 Sonda 6

Sonda 8 Sonda 11


14

Na propagação da onda sobre um quebra-mar com declives moderadamente inclinados, a existência de efeitos não-lineares traduz-se na geração de harmónicas (Gil et al. [7]). Eventualmente alguma dessas componentes harmónicas pode dar lugar à emissão de uma onda livre que se propaga com celeridade própria no mesmo sentido da onda inicial. Neste caso do quebra-mar com inclinação de 45º, ocorrem também transformações não-lineares mas mais intensas, com geração de ondas livres inclusive no sentido contrário ao da onda original. As diferenças identificadas na sonda 3, relativamente às duas formas de quebra-mar simuladas, devem-se assim à sobreposição das ondas incidentes com as ondas livres que se propagam em sentido contrário.

A menor concordância entre os resultados numéricos com o aumento da inclinação da rampa a jusante, pode ser atribuída à ocorrência de diferentes amplitudes das componentes harmónicas geradas, bem como uma ligeirissima diferença de fase entre elas.

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03 FLUINCOCOULWAVECANAL

η(m

)

sonda 3

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 6

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 8

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 11

Figura 5 – Deformadas da superfície livre para o quebra-mar 45º nas sondas 3, 6, 8 e 11.

As componentes de velocidade ao longo do tempo na profundidade local média para as sondas 3, 6 e 8 obtidos pelo CANAL e FLUINCO, bem como o campo de pressão obtido pelo FLUINCO, estão representados na Figura 6. De maneira geral, os gráficos das componentes de velocidade apresentados pelo CANAL e FLUINCO são semelhantes entre si, principalmente os da componente vertical. Na sonda 3 observa-se, tanto no campo de velocidades como no de pressão, uma fraca não-linearidade. Os máximos e mínimos de uma das componentes de velocidade praticamente coincidem com o valor nulo da outra componente, e a pressão encontra-se aproximadamente em fase com a componente de velocidade horizontal, como era de se esperar. O CANAL apresenta uma subestimação dos picos da componente de velocidade horizontal em relação ao FLUINCO, como acontece no gráfico da elevação de superfície. Já na sonda 6, ocorre uma não-linearidade maior, sendo os picos das componentes de velocidade na direção de propagação da onda muito maiores que os valores mínimos, devido a região


15

encontrar-se no patamar do quebra-mar com menor profundidade. O comportamento dos campos de velocidade e de pressão mostram a presença de altas frequências de onda. Os gráficos da componente de velocidade horizontal obtidos pelo CANAL e FLUINCO mostraram diferenças significativas, onde o CANAL apresenta valores máximos menores e mínimos maiores em relação ao FLUINCO. Na sonda 8 nota-se a existência significativa dos efeitos não-lineares. Nessa sonda, o CANAL subestima os picos máximos e sobrestima os picos mínimos da componente de velocidade horizontal em relação ao FLUINCO, tal como acontece na sonda 6.

t (s)

v1,v

3(m

/s)

0 1 2 3 4 5 6-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

v1 - FLUINCOv3 - FLUINCOv1 - CANALv3 - CANAL

sonda 3

t (s)

v1,v

3(m

/s)

0 1 2 3 4 5 6-0.24

-0.2

-0.16

-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24


sonda 6

t (s)

v1,v

3(m

/s)

0 1 2 3 4 5 6-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06


sonda 8

t (s)

p(k

Pa)

0 1 2 3 4 5 61.86

1.88

1.9

1.92

1.94

1.96

1.98

2

2.02

2.04

2.06 sonda 3

t (s)

p(k

Pa)

0 1 2 3 4 5 60.36

0.4

0.44

0.48

0.52

0.56

0.6

0.64

0.68

0.72

0.76 sonda 6

t (s)

p(k

Pa)

0 1 2 3 4 5 61.92

1.94

1.96

1.98

2

2.02 sonda 8

Figura 6 - Componentes de velocidade horizontal e vertical (a), (b), (c) e pressão (d), (e), (f) ao longo do

tempo para a profundidade local média nas sondas 3, 6 e 8 para quebra-mar 45º.

Na Figura 7 apresentam-se os perfis das componentes de velocidades horizontal e vertical ao longo da profundidade local do canal na sonda 8 obtidos pelo FLUINCO. Foram escolhidos alguns pontos de zeros ascentente e descendente e cristas e cavas para representar esse perfis. Os gráficos mostram que tanto a componente horizontal como a vertical respeitam a condição cinemática do fundo de não-deslizamento. Em função disso, as componentes de velocidade horizontal apresentam uma grande variação próximo ao fundo. Devido à presença significativa dos efeitos não-lineares, os gráficos mostram comportamentos das componentes horizontal e vertical de velocidade diferentes dos previstos pela análise teórica. Nos pontos 3 4 e 5, por exemplo, observa-se uma reversão do sentido da componente de velocidade horizontal, próximo a profundidades de z=-0.05.m e -0.1.m, o que indica a presença de vórtices periódicos na região, tal como verificados em quebra-mares rectangulares submersos. Estes vórtices com certeza contribuem para o aparecimento de efeitos não-lineares na deformada da superfície livre. De notar, que este aspecto não pode ser capturado, quer pelo modelo COULWAVE pela hipótese base das equações de Boussinesq, quer pelo modelo CANAL por estar baseado na equação potencial.

(f)

(a) (b) (c)

(d) (e)


16

0 0.5 1 1.5 2-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

η (m)

t (s)

1

2

3

45

-0.04 0 0.04 0.08 0.12 0.16

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

z (m)

v1 (m/s)

1 23 45

-0.04 0 0.04 0.08 0.12

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

z (m)

v3 (m/s)

123 45

Figura 7 - Perfis das componentes de velocidade horizontal (b) e vertical (c) para alguns instantes na sonda 8

para quebra-mar 45º obtidos pelo FLUINCO.

3.3 Quebra-mar com rampa a jusante de inclinação 90º

Neste caso, existe uma parede vertical a jusante, provocando efeitos não-lineares mais acentuados sobre a onda. A malha de elementos finitos usada para o modelo FLUINCO tem 166840 elementos e 69174 nós. O passo de tempo adoptado foi de 0.0025 s.

Na Figura 8 estão apresentadas as deformadas de superfície obtidas pelos três modelos nos locais das sondas 3, 6, 8 e 11. De um modo geral, para todas as sondas, o andamento da deformada é semelhante mas as diferenças entre resultados de modelos acentuam-se à medida que os efeitos não lineares são mais importantes, i.e., da sonda 3 para a 6. Estas diferenças reflectem-se especialmente no que diz respeito à estimação dos picos máximos da deformada da superfície livre e à defasagem das componentes fundamenal e harmônicas livres.

Na sonda 3, observam-se resultados semelhantes àqueles do quebra-mar 45º, onde o FLUINCO sobrestima os valores máximos e mínimos em relação aos outros. Nas sondas (3 e 6) a deformada da superfície livre calculada com o modelo COULWAVE apresenta diferenças relativamente à dos outros modelos. Com efeito, na sonda 6 verifica-se a ocorrência de instabilidades numéricas devido possivelmente à sua proximidade com a descontinuidade do fundo. Note-se que este é o caso em que o modelo COULWAVE está a ser aplicado em condições mais adversas e claramente já fora do seu domínio de aplicabilidade. Efectivamente, os testes efectuados são violentos face às hipóteses simplificativas assumidas na dedução das equações que servem de suporte do modelo COULWAVE, nomeadamente à hipótese de integração vertical do perfil de velocidade.

Tal como do caso de 1:10 para 45º e agora de 45º para 90º, nas sondas 8 e 11 verifica-se uma menor concordância entre os resultados numéricos obtidos entre os modelos. Tal pode ser atríbuido à ocorrência de diferentes amplitudes das componentes harmónicas geradas, bem como uma diferença de fase entre elas. É de notar que os modelos CANAL e COULWAVE apresenta uma sobreestimação dos picos da deformada da superfície livre e uma ligeira desfazagem face aos reusltados do FLUINCO.

Os campos de velocidades e de pressão ao longo do tempo à profundidade local média para as sondas 3, 6 e 8 obtido pelo FLUINCO são apresentados na Figura 9. Os gráficos da Figura

(a) (b) (c)


17

9 mostram comportamentos dos campos de velocidade e de pressão muito semelhantes daqueles apresentados no quebra-mar de 45º. Os intensos efeitos não-lineares observados são resultados da variação brusca de inclinação do fundo na união do patamar com a rampa a jusante.

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 3

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 6

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 8

t (s)0 1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


η(m

)

sonda 11

Figura 8 - Deformadas da superfície livre para quebra-mar 90º.

t (s)

v1,v

3(m

/s)

0 1 2 3 4 5 6-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06


sonda 3

t (s)

v1,v

3(m

/s)

0 1 2 3 4 5 6-0.2

-0.16

-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

v1 - FLUINCOv3 - FLUINCOv1- CANALv3 - CANAL

sonda 6

t (s)

v1,v

3(m

/s)

0 1 2 3 4 5 6-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06


sonda 8

t (s)

p(k

Pa)

0 1 2 3 4 5 61.9

1.92

1.94

1.96

1.98

2

2.02 sonda 3

t (s)

p(k

Pa)

0 1 2 3 4 5 60.36

0.4

0.44

0.48

0.52

0.56

0.6

0.64

0.68

0.72

0.76 sonda 6

t (s)

p(k

Pa)

0 1 2 3 4 5 61.86

1.88

1.9

1.92

1.94

1.96

1.98 sonda 8

Figura 9 - Componentes de velocidade horizontal e vertical (a), (b), (c) e pressão (d), (e), (f) ao longo do

tempo para a profundidade local média nas sondas 3, 6 e 8 para quebra-mar 90º.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)


18

4. CONCLUSÕES

Nesta comunicação, estudou-se numericamente a propagação de ondas sobre quebra-mares submarinos em que se variou a inclinação do talude a jusante, utilizando os modelos numéricos COULWAVE, CANAL e FLUINCO. Os resultados numéricos foram comparados com resultados experimentais obtidos em ensaio em modelo físico, Beji e Battjes [19] e Dingemans [5], para a inclinação de talude de 1:10. Testaram-se também diferentes inclinações do perfil de jusante desse quebra-mar submerso, além da de 1:10, i.e., 45º e 90º. Tal permitiu avaliar o comportamento dos modelos numéricos nessas novas situações onde os efeitos não-lineares são mais intensos.

Para o quebra-mar de 1:10, os modelos COULWAVE, CANAL e FLUINCO simulam com precisão a propagação de ondas nas zonas de profundidade constante a montante e de menor profundidade (sondas 3 e 6), e, em geral, os resultados numéricos são semelhantes entre si e com os experimentais. Na zona a jusante do patamar (sondas 8 e 11) acentuam-se as diferenças entre resultados numéricos e experimentais e, mesmo entre resultados numéricos. Nestas últimas sondas, essas diferenças ocorrem, quer na forma da deformada da superfície livre quer nos valores máximos e mínimos dessas curvas. Em geral, o modelo COULWAVE tem tendência a sobrestimar os valores mais elevados e mais baixos da deformada da superfície livre e subestimar os valores mais baixos. Este comportamento é também verificado no caso dos modelos CANAL e FLUINCO mas com menor intensidade. A análise espectral mostrou que os modelos numéricos simulam convenientemente a posição dos picos da frequência fundamental e das componentes harmónicas geradas ao longo do domínio de cálculo, verificando-se, no entanto, algumas diferenças na amplitude máxima desses picos, principalmente nas sondas 8 e 11.

O aumento no declive do fundo teve como consequência a introdução de efeitos não lineares mais intensos, localizados na zona de profundidade crescente que tem dimensões tanto mais reduzidas quanto maior for a inclinação do fundo. A existência de efeitos não- lineares traduz-se na geração de harmônicas e ondas livres, verificando-se para cada modelo diferentes respostas quer ao nível da amplitude da componente harmónica quer quanto à fase das ondas livres. Tal conduz a que as diferenças entre os resultados do modelos numéricos se tenham acentuado. Note-se que a aplicação do modelo COULWAVE nestas condições em que o perfil de velocidade horizontal apresenta uma importante variação na direcção vertical, é violenta relativamente às hipóteses simplificativas assumidas na dedução das equações que servem de suporte ao código. Nomeadamente à hipótese de integração vertical do perfil de velocidade.

O código CANAL, de maneira geral, apresentou resultados próximos aos obtidos pelo FLUINCO. No entanto, nos quebra-mares de 45º e 90º e nas sondas à jusante do patamar, apresentou oscilações mais intensas daquelas encontradas pelo FLUINCO. É de salientar que este modelo está baseado na equação do potencial pelo que não consegue simular a formação de vórtices originados pelos efeitos de viscosidade do fluido.

O código FLUINCO apresentou resultados mais estáveis na simulação da propagação de ondas a qualquer profundidade e sobre qualquer tipo de fundo, necessitando no entanto de um


19

considerável tempo de cálculo. Em termos dos campos de velocidade e pressão, verifica-se o aumento da não-linearidade à medida que a onda se propaga da sonda 3 para a 11. Estas não-linearidades presentes no campo de velocidade e pressão confirmam as exibidas na deformada de superfície livre. Todo este comportamento é ainda mais acentuado, à medida que a inclinação do talude a jusante aumenta.

O comportamento do campo de velocidades ao longo da profundidade na região próxima ao talude de jusante do quebra-mar indica a existência de vórtices, fenómeno simulado pelo FLUINCO e que não podem ser capturados pelo CANAL e COULWAVE.

O tempo de cálculo necessário aos códigos não-lineares depende essencialmente da complexidade dos modelos matemáticos sobre os quais foram construídos. A duração das simulações efectuadas por cada um dos códigos diferem em várias ordens de grandeza. Salienta-se que os modelos são de diferente concepção, tendo particularidades diferentes.

Como conclusão, em situações de fundos com declive suave, o modelo COULWAVE é o modelo mais adequado a ser utilizado uma vez que apresenta uma boa precisão de resultados e um baixo custo computacional. No entanto, quando esta condição não é satisfeita, os modelos que contemplam a circulação vertical são os mais adequados, mesmo que estejam associados a um tempo computacional maior. Com efeito, os modelos FLUINCO e CANAL permitem a análise segundo a vertical dos valores da velocidades e pressões, possibilitando assim a análise de quebra-mares de qualquer geometria, e de qualquer inclinação.

Como trabalho futuro, será investigado a estrutura vertical do escoamento próximo ao talude jusante do quebra-mar submerso, principalmente no que se refere à formação de vórtices.

AGRADECIMENTOS

O primeiro autor agradece o financiamento do projecto CAPES: EPDE/CAPES/0857/08-4. Este trabalho insere-se no âmbito do convénio entre o LNEC e a FURG e o financiamento

da FCT através dos projectos PTDC/ECM/67411/2006, PTDC/ECM/73145/2006, PTDC/AMB/67450/2006.

REFERÊNCIAS

[1] P. Lynett e PL-F Liu, Modelling wave generation, evolution and interaction with Depth-Integrated, Dispersive Wave equations. COULWAVE Code Manual. Cornell Univ. Long Inter. Wave Modelling Package, (2004).

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