anicio bechara arero · - razão; - proporção; ... a razão entre dois números a e b 0, nessa...

“Educação para o desenvolvimento da Amazônia”

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

Anicio Bechara Arero

[email protected]

FAX:(91) 4009-3023


Oferecer ao educando conhecimentos

básicos sobre as mais variadas

operações comerciais e financeiras,

proporcionando a compreensão da lógica

do sistema econômico conhecido por

economia de mercado.

OBJETIVO DA DISCIPLINA


UNIDADES DA DISCIPLINA

Unidade I – Aritimética Racional;

Unidade II – Juro Simples;

Unidade II – Desconto Simples;

* CONTEÚDO DA 1a NI

Unidade IV – Juro Composto;

Unidade V – Desconto Composto;

Undade VI – Capitalização e Amortização Composta;

Undade VII – Empréstimo;

Unidade VIII– Depreciação.

* CONTEÚDO DA 2a NI


UNIDADE I – ARITIMÉTICA RACIONAL

Conteúdos:

- Razão;

- Proporção;

- Grandezas Proporcionais;

- Regra de Sociedade;

- Regra de Três;

- Porcentagem; e,

- Operações Sobre Mercadorias.

Objetivo da Unidade: Desenvolver habilidades para resolver problemas que envolvam os conteúdos acima citados.


1- Razões

1.1- Razão de dois número.

1.2- Razão de duas grandezas.

1.1- Razão de dois números: a razão entre dois números a e b 0,

nessa ordem, é o quociente de a por b.

a/b ou a : b (lê-se “a está para b”)

a e b: elementos da razão

a → antecedente

b → conseqüente


Exemplo:

1- Calcule a razão entre o primeiro e o segundo número:

a) 6 e 15 b) 2I3 e 4I5

Solução:

(representações de uma razão) 4,05:25

2)3(:

15

6) ououa

6

52:

12

10

4

5.

3

2

5

4

3

2

) b


1.2- Razão entre duas grandezas: é a razão entre a medida da primeiragrandeza e a medida da segunda.

Exemplos:

a- Calcule a razão entre 600 metros e 3 quilômetros. (grandezas de mesmaespécie)

B- Determinado município tem uma área de 543 km2 e uma população em torno de 65.160 habitantes. Encontre a razão entre o número de habitantes e a área desse município (densidade demográfica) e interprete o resultado. (grandezas de espécies diferentes)

Para cada km2, temos 120 habiantes.

2

2/120

543

65160kmhab

km

hab

5

1)6(:

30

6

000.3

600

3

600

m

m

km

m


Proporção: é uma igualdade entre duas razões.

Lê-se: a está para b, assim como c está para d.

Termos da proporção: a, b, c, d

Antecedentes: a e c

Conseqüentes: b e d

Extremos da proporção: a (1o termo), d (4o termo)

Meios da proporção: b (2o termo), c (3o termo)

Propriedade Fundamental das Proporções : em toda proporção o

produto dos meios é igual ao produto dos extremos (vice-

versa)

dcbaoud

c

b

a::::

axdbxcd

c

b

a


Exemplos:

a) Encontre o valor de x na proporção 2 : 5 :: (3x-2) : 10.

b) A maquete de um prédio foi feita na escala de 1 : 150.Encontre a altura do prédio, sabendo que a maqueta tem60 cm de altura.

2301520101510.2)23.(510

23

5

2

xxxx

x

mcmxxx

90100:000.960.150.160

150

1


Proporção Múltipla ou Série de Razões Iguais.

Propriedade Fundamental: em uma série de razões iguais, a soma dosantecedentes está para a soma dos conseqüentes assim comoqualquer antecedente está para seu respectivo conseqüente.

n

m

f

e

d

c

b

a ...

n

m

f

e

d

c

b

a ...

n

m

f

e

d

c

b

a

nfdb

meca

...

...

...


Exemplo:

1) Calcule x, y e z na série de razões iguais x / 4 = y / 6 = z / 8, de modo

que x + y + z = 459.

8645,25

86418

459

864864

zyxzyxzyxzyx

459864

zyxezyx

2045,25.85,258

1535,25.65,256

1025,25.45,254

zx

yy

xx


Grandezas proporcionais

Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são

diretamente proporcionais quando variam sempre na mesma

proporção.

Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são

inversamente proporcionais quando variam sempre na razão

inversa da outra.

Considere uma distância de 1200 km.

Grandeza-I 100 200 300 500

Grandeza-II 270 540 810 1350

Grandeza-I‏ 100 200 300 400

Grandeza-II‏ 12 6 4 3


Exemplos:

1) Divida o número 6.500 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e

8 .

500.6875

zyxezyx

875325

87520

500.6

875875

zyxzyxzyxzyx

2600325.83258

2275325.73257

1625325.53255

zz

yy

xx


2) Três rapazes cobraram $ 600,00 para limpar um terreno. Como

devem repartir essa quantia, se o primeiro trabalhou 6 horas, o

segundo 8 horas e o terceiro 10 horas, sendo a divisão

diretamente proporcional ao tempo de serviço?

108625

108624

600

10861086

zyxzyxzyxzyx

6001086

zyxezyx

00,25025.102510

00,20025.8258

00,15025.6256

zz

yy

xx


3) Divida o número 1.400 em partes inversamente proporcionais aos

números 2, 3/2 e 6.

a) Invertemos a seqüência 2, 3/2 e 6: 1/2, 2/3 e 1/6.

b) Reduzimos ao mesmo denominador: 3/6, 4/6 e 1/6.

c) Eliminamos o denominador: 3, 4 e 1

143200

1437

1400

143143

zyxzyxzyxzyx

400.1143

zyxezyx

200200.12001

800200.42004

600200.32003

zz

yy

xx


REGRA DE SOCIEDADE

I) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.

C (iguais) e T (iguais)

II) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.

C (desiguais) e T (iguais)

III) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais.

C (iguais) e T (desiguais)

IV) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos

também desiguais.

C (desiguais) e T (desiguais)


Exemplo:

- Após 1 ano de sociedade, três sócios obtiveram um lucro $60.000,00.

Sabendo que o 1o entrou para a sociedade com o capital de $8.000,00,

o 2o, com $10.000,00 e o 3o, com $ 7.000,00. Qual o lucro de cada

sócio?

71084,2

710825

60

71087108

zyxzyxzyxzyx

607108

zyxezyx

00,800.161000.8,167.4,24,27

00,000.241000.2410.4,24,210

00,200.191000.2,198.4,24,28

zz

yy

xx


REGRA DE TRÊS

- Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma

grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais

grandezas.

TIPOS DE REGRA DE TRÊS

1) Regra de três simples: apresenta apenas duas grandezas, onde uma é

direta ou inversamente proporcional a outra.

2) Regra de três composta: apresenta três ou mais grandezas entre si.


Exemplos:1) Um profissional, trabalhando 30 dias, recebe $1.800,00. Quanto

receberá se trabalhar 38 dias?

xd

d

38

00,180030

00,280.230

400.681800.38.30

1800

38

30 xx

x


completam

2) Se 9 voluntários completam um trabalho em 10 dias, em quantos dias18 voluntários completariam o mesmo trabalho?

xvol

dvol

.18

10.9

diasxxxx

518

9010.9.18

10

9

18

xvol

dvol

.9

10.18


3) Para pavimentar uma estrada de 5.200 metros de comprimento, 30

trabalhadores gastam 15 dias de 8 horas. Quantos dias de 9 horas

gastarão 25 trabalhadores para pavimentar 3.900 metros da mesma

estrada?

xm

dm

.3900

15.5200

hxtrabm

hdtrabm

9.25.3900

815.305200

xtrab

dtrab

.25

15.30

xh

dh

9

158


hxtrabm

hdtrabm

8.30.3900

915.255200

dx 121170000

14040000

9.25.5200

8.15.30.3900


PERCENTAGEM

Razão centesimal: toda razão que apresenta conseqüente 100.

Taxa percentual: quando o conseqüente 100 é substituído pelo

símbolo % (por cento).

,...100

38,

100

55

%,...38%,55


• Elementos do cálculo percentual:

• a) Taxa centesimal (i) :é o valor que representa a quantidade de

unidades tomadas em cada 100.

• b) Percentagem (pe): é o valor que representa a quantidade tomada

de outra, proporcionalmente a uma taxa.

• c) Principal (Pr) : é o valor do qual se determina a percentagem.

• Exemplo: 20% de 500,00 é igual a 100,00.

• 20% é a taxa, 500,00 é o principal e 100,00 a percentagem

• Fórmula:

• Podemos resolver por regra de três simples direta:

100P r

ip e

%100Pr

ipe


• EXEMPLO:

1) Um revendedor de automóvel recebe $ 2.800,00 pela venda de um

carro tipo A, tendo sido de 3,5% a taxa de comissão. Encontre o

valor de venda do produto.

00,000.80P100

5,3

P

2800

100Pr

rr

ip e

?P

%5,3

00,800.2

r

i

p e

%100Pr

5,32800

%100Pr

ipe

00,000.80Pr10.2800Pr5,3


2) A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Então,

quantas pessoas serão reprovadas em um concurso público que

registra a inscrição de 6. 500 candidatos?

Taxa Unitária (i): utilza-se como valor referencial a unidade.

Exemplo:

1) encontre a taxa unitária correspondente a 35%.

candidatosppip

e

ee

330.5100

82

6500100P r

35,0100

35i

500.6P

%82

?

r

i

p e


Vendas com lucro: 1- Lucro sobre o Preço de Custo:

Exemplo:

- Um empresário comprou um produto por $25.800,00. Desejandoganhar 15% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço devenda?

-

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS: São problemas de percentagens

relacionados às operações de compra e venda de mercadorias.

)1(.

.

iPcPvPciPcPv

PciL

LPcPv

lucroL

lucrodounitáriataxai

custodepreçoPc

vendadepreçoPv

00,670.29

)15,01(25800

)1(

Pv

Pv

iPcPv

15,010015%15

00,800.25$

?

i

Pc

Pv


2-Lucro sobre o Preço de Venda:

Exemplo:

1) Um comerciante comprou um produto por $1.250,00. Desejando

ganhar 16,5% sobre o preço de venda. Qual deve ser este

preço?

i

PcPviPvPcPviPvPc

PiL

LPvPcLPcPv

v

1)1(.

.

165,0100:5,16%5,16

00,250.1$

?

i

Pc

Pv

00.497.1

835,0

1250

165,01

1250

1

Pv

Pv

i

PcPv


VENDAS COM PREJUÍZO

1- prejuízo sobre o preço de custo:

Exemplo:

1) Ao adquirir um produto por $12.600,00, um empresário só conseguiunegociá-lo com um prejuízo de 5% sobre o preço de custo. Por quantovendeu o produto?

)1.(.

)(.

iPcPvPciPcPv

prejuízoPciP

PPcPv

?

05,0)100%(:5

00,600.12

Pv

i

Pc

00,970.1195,0.12600

)05,01.(12600

)1.(

PvPv

Pv

iPcPv


2- prejuízo sobre o preço de venda:

Exemplo:

1- Um produto que custou $8.400,00 foi vendido com um prejuízo de9% sobre o preço de venda. Qual o valor conseguido na venda?

i

PcPvPciPv

PcPviPv

PcPPv

1)1(

.

?

09,0)100%(:9

00,400.8

Pv

i

Pc

42,706.709,1

8400

09,01

8400

1

PvPv

i

PcPv


ABATIMENTOS SUCESSIVOS- Valor líquido( VL):

Exemplo:- Sabe-se que uma fatura de $14.500,00 sofre abatimentos sucessivos

de 8%, 6% e 4%, então, qual o valor líquido?

faturadavalorVf

iiiVfVnL

)1)...(1).(1(21

?

04,006,0,08,0

00,500.14

321

LV

ieii

Vf

02,038.12

)96,0)(94,0)(92,0(14500

)04,01)(06,01)(08,01(14500

)1)...(1).(1(21

L

L

L

nL

V

V

V

iiiVfV


i

AUMENTOS SUCESSIVOS(M)

Exemplo:

Sobre um produto de $25.800,00 incide os seguintes impostos: 10% federal,

6% estadual e 5% municipal. Qual o preço final desse produto?

)1)...(1).(1(21 n

iiiVfM

94,586.31

)05,01)(06,01)(1,01(25800

)1)...(1).(1(21

M

M

iiiVfMn

05,006,01,0

?

00,800.25

mefiii

M

Vf


UNIDADE II – JURO SIMPLES

OBJETIVO: Conhecer e distinguir o regime de capitalização a juro

simples, bem como, aplicar corretamente as suas

fórmulas.

CONTEÚDO:

- Juro, capital, taxa de juro, período de capitalização e montante.

- Regimes de capitalização

- Taxas proporcionais e equivalentes

- Juro comercial e juro exato


Juros Simples: é aquele calculado unicamente sobre o capital

inicial.

- Evolução de R$ 100,00 à taxa de 10%ao mês.

Período(mês)‏ Juro Montante

0 ---- R$ 1 000,00

1 R$ 100,00 R$ 1 100,00

2 R$ 100,00 R$ 1 200,00

3 R$ 100,00 R$ 1 300,00


- Fórmula para o cálculo do juro simples:

- Fórmula para o cálculo do montante (m):

Nota: a fórmula j = C.i.n, bem como nas que virão, taxa e o prazo de aplicação devem estar expressos na mesma unidade de tempo.

juroj

períodon

unitáriataxai

capitalC

).1(

..

niCM

niCCM

niCj ..

jCM ou


Exemplos:1) Um capital de $ 1600,00 foi aplicado, em regime de juros simples, a

uma taxa de 12% ao ano, durante 7 meses. Determine:a) o juro simples b) o montante

Solução:

a) j = C.i.n =1600x0,01x7=114,00

b) M = C + j = 1600 + 114 = 1714,00

.7

..1,0)100.(:.%1)12%(:12..%12

600.1

mn

mamaaai

C


02- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu em 1 ano, 2 meses e

15 dias, o juro simples de R$ 7 830,00. Calcule o valor do capital que

foi inicialmente emprestado.

?

00,7830

4255603601521

..0007,0.%07,036024..%24

C

j

dddddman

dadaaai

33,319.262975,0

7830

2975,0.7830

425.0007,0.7830

..

CC

C

C

niCj


3) Em quanto tempo um capital triplica de valor, em regime de juro

simples, à taxa de 20% ao ano?

4) Aplicou-se, durante dois anos, um capital de $ 12.000,00, a uma

determinada taxa. Encontre essa taxa, sabendo que no final da

aplicação obteve-se $ 20.400,00 de juro mais capital.

..2,0..%20

2

?

aaaai

qj

qC

n

.102,0

2.2,02.2,0.2

..

annnnqq

niCj

?

00,400.20

2

00,000.12

i

M

an

C

..%35..35,02

7,0217,1

217,1

2112000

20400

)2.1(1200020400

).1.(

aaouaaii

i

i

i

niCM


UNIDADE III – DESCONTO SIMPLES

OBJETIVO: Saber realizar as operações de desconto, saber fazera equivalência de capitais diferidos e calcular o valor atualde um título de crédito.

CONTEÚDO:

- Títulos de Crédito;

- Desconto Comercial;

- Desconto Racional;

- Taxa de Juro Efetiva; e,

- Equivalência de Capitais Diferidos.


Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora:

d = N.i.n

. D → o valor do desconto comercial;

. N → o valor nominal do título;

. i → a taxa unitária de desconto;

. n → o tempo.

Cálculo do Valor Atual comercial ou valor descontado (A):

A = N – d ou A = N(1- i.t)


Exemplos:1) Um título de $ 10.000,00 vai ser descontado à taxa de 3,6% ao mês.

Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor dodesconto comercial e o valor atual comercial.

?

?

45

..0012,0.12,0)30.(:.%6,3

00,000.10

A

d

dn

dadamai

N

00,540

45.0012,0.10000

..)

d

d

niNda

00,460.9

00,460.954010000946,0.10000

)45.0012,01.(10000

).1.()

A

AA

dNAouA

niNAb


2- Uma letra de câmbio de valor nominal igual a $ 8.400,00 foiresgatada antes de seu vencimento por $ 7.200,00. Calcule o tempode antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de2% ao mês.

00,140.7

?

..02,0..%2

00,400.8

A

n

mamai

N

dmoumnn

n

n

n

n

niNA

1575,702,0

15,0

85,01.02,0

.02,0185,0

.02,018400

7140

).02,01.(84007140

).1.(


Equivalência de Capitais Diferidos - Denominamos capitais diferidos quando são exigíveis em datas

diferentes.Para que dois ou mais capitais diferidos sejam equivalentes, em certa

época, é preciso que seus valores atuais (presentes), nessa época,sejam iguais.

Exemplo:1) Um título de valor nominal equivalente a $ 2.500,00, vencível em 3

meses, vai ser substituído por outro, com vencimento para 5meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados àtaxa de 2,5% ao mês, qual o valor nominal do novo título?

..025,0..%5,2

5

?

3

00,500.2

2

2

1

1

mamai

mn

N

mn

N

86,642.2875,0

5,2312875,0.5,2312

)5.025,01()3.025,01(2500

).1().1(

22

2

2211

21

NN

N

niNniN

AA


Desconto racional ou “por dentro”: Equivale ao juro simples calculado

sobre o valor atual do título.

Valor Atual Racional (Ar):

ni

niNdr

.1

..

ni

niNdr

.1

..

ni

niNdr

.1

..

ni

niNdrouniAdr

.1

....

ni

N

ni

niN

ni

niNNAroudrNAr

.1.1

.1

.1

..


Operações básicas:

1,038 1,03⋀8 ou 1,03yx8 1,267

1,025 – 5 1,025⋀ 5(-) ou 1,025yx 5(+/-) 0,884

1,462 inv ou shift ou 2end ⋀5 ou yx5 1,079

1,035 Log = 0,015 ou Log 1,035 = 0,015

5 462,1


UNIDADE IV – JURO COMPOSTO

OBJETIVO: Conhecer e distinguir o regime de capitalizaçãoa juros compostos, bem como, aplicar corretamente a fórmulafundamental do juro composto no cálculo do montante, docapital inicial, do período financeiro e da taxa de juro.

CONTEÚDOS:

- Montante

- Fator de Capitalização

- Taxas Equivalentes

- Taxas Nominal, Efetiva, Real e Aparente


PERÍODO JURO MONTANTE

0 ---- R$ 500,00

1 R$ 50,00 R$ 550,00

2 R$ 55,00 R$ 605,00

3 R$ 60,50 R$ 665,50

4 R$ 66,55 R$ 732,05

Juro Composto: é aquele que em cada período financeiro, a partir do

Segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

Evolução de R$ 500,00 a juro composto de 10% ao mês:

Cálculo do Montante: M = C.(1 + i)n

C capital

i taxa unitária

n período

(1 + i)n fator de capitalização ou fator de acumulação de capital


Exemplos:1) Um comerciante fez uma aplicação de $ 20.400, à taxa de 2,25%

ao mês, pelo prazo de 8 meses, em regime de juro composto. Determine:

a) o fator de capitalização;b) o montante.

mn

mamai

C

M

8

..0225,0)100.(:.%25,2

20400

?

00,378.24

195,1400.20

0225,1.20400

)02250,01.(20400

)1.(

8

8

M

xM

M

M

iCMn

195,1

0225,1

)02250,01(

1)

8

8

c

c

c

n

c

F

F

F

iFa


2) Calcule o capital que gerou um montante de R$ 28.640,00, à taxa

composta de 1,5% ao mês, pelo prazo de 1 ano e 3 meses, com

capitalização trimestral.

tman

tatamxai

C

M

531

..045,0)100.(:.%5,43.%5,1

?

28640

55,985.22246,1

28640

246,128640

045,1.28640

)045,01.(28640

)1.(

.

8

5

CC

Cx

C

C

iCM

FcCM

n


3) Um empresário resolveu aplicar, em regime de juro composto,

30.000,00 numa instituição financeira. Após o décimo mês, verificou

que o seu saldo era de $ 36.400,00. Qual a taxa que a instituição

aplicou?

?

00,37500

10

00,000.30

i

M

mn

C

..%3,2100023,0.023,01023,1

25,11

25,11

125,1

130000

37500

)1.(3000037500

)1.(

10

10

10

10

10

maxoumaii

i

i

i

i

i

iCMn


4) Um investidor aplicou $ 240.000,00 em uma instituição financeira que

paga 24% ao ano em regime de juro composto. Ao final de determinado

período, recebe o montante de $ 320.000,00. Durante quantos meses

esse capital foi aplicado?

..02,0)100.(:.%2)12.(:.%24

00,000.320

?

00,000.240

mamaaai

M

n

C

mn

Log

Logn

LogLogn

LogiLog

aritmo

iCM

n

n

n

n

n

190086,0

1614,0

02,1

45,1

45,1)02,1(.

45,11

log45,102,1

02,1240000

348000

)02,01.(240000348000

)1.(


Taxas Equivalentes: São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo

diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante

num mesmo tempo. Elas não proporcionais.

1) Encontre as taxas trimestral, mensal e diária equivalentes à taxa de

30%a.a.

41

1)1(ta

ii

..%210002,0102,13,1113,011)1( 1212121

maxiiiiiimmmmma

..%073,010000073,0

100073,13,1113,011)1( 3603603601

daxi

iiiii

d

dddda

???

.3,0)100.(:.%30

dmt

a

iii

aaaai

36012421

1111)1(dmtsa

iiiii

taxiiiitttt

.%710007,0107,13,1113,01 44


Taxa Nominal: é aquela cujo período de capitalização, não coincide

com o período a que ela se refere.

Exemplos de taxas nominais:

1- 48% ao ano capitalizados semestralmente.

2- 36% ao ano capitalizados mensalmente.

Taxa de Juro Efetiva: é a taxa anual equivalente a taxa semestral, trimestral, mensal etc.

Exemplo:

Uma instituição financeira cobra a taxa 36%a.a. com capitalzaçao trimestral. Encontre a taxa efetiva.

çõescapitalizadenk

alnotaxaieefetivataxai

k

ii

o

f

k

f

min11

ta

aai

41

36,0)100%(:36..%36..%16,411

4

36,0111

4

aaik

ii

f

k

f


Taxa Real, Taxa de Inflação e Taxa Aparente:

Taxa aparente: é aquela que vigora nas operações correntes.

Quando não há inflação,a taxa aparente é igual à taxa real.

Quando há inflação, a taxa aparente é formada por 2 componentes: um correspondente a inflação e outro correspondente ao juro real.

Exemplo:

Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgatana época B. O juro aparente recebido foi de 25%a.a. Calcule a taxa dejuro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de15%a.a..

laçãodetaxaI

realtaxar

aparentetaxai

Iri

inf

1.11

?

15,0)100%(:15

25,0)100%(:25

r

I

i

..%7,8087,01087.115,1

25,11

15,1.125,1

15,01.125,01

1.11

aaourrr

r

r

Iri


UNIDADE V – DESCONTO COMPOSTO

Objetivo: Saber realizar as operações de desconto, resolverproblemas que envolvam equivalência de capitais diferidos ecalcular o valor atual de um título de crédito em regime decapitalização composta.

Conteúdos:

- Desconto composto racional

- Valor atual de um título

- Equivalência de capitais diferidos.


Desconto Composto Racional: é o abatimento que obtemos ao

saldar um compromisso antes da data de seu vencimento, isto é, a

diferença entre o valor nominal (valor do compromisso) e o valor atual

(valor descontado) de um título. d = N - A

Cálculo do valor atual:

izaçãodescapitaldefatori

i

períodon

unitáriataxai

alnovalorN

atualvalorA

i

NAouiNA

n

n

n

n

1

11

min

11.


Exemplos::

1) Um título de $ 5.600,00, foi resgatado 3 meses antes de seu

vencimento, à taxa de desconto composto de 1,5% ao mês

Determine:

a) o valor atual b) o desconto racional

?

?

..015,0..%5,1

3

00,600.5

d

A

mamai

mn

N

73,353.5

046,1

5600

015,01

5600

1

)3

A

i

NAa

n

27,24673,53535600) ANdb


2) Um título de $ 4.800,00 foi resgatado por $ 4.240,00 com uma taxa composta de 2,5% ao mês. Qual o tempo de antecipação?

?

..025,0)100(:.%5,2

00,080.4

00,800.4

n

mamai

A

N

mesesn

n

n

LognLog

aritmoaplicando

iNA

n

n

n

n

701,0

07,0

01,0.07,0

)1.(01,0.07,0

025,1.85,0

log025,185,0

025,14800

4080

025,0148004080

1


Equivalência de Capitais DiferidosExemplo:- Dois títulos, um de $ 6.000,00 vencível em 3 meses, e outro de

$ 8.200,00, vencível em 5 meses, deverão ser resgatados por umsó pagamento, dentre de 4 meses. Qual o valor desse resgate, noregime de juros composto, à taxa de 3% ao mês?

..03,0..%3

4

?

5

00,200.8

3

00,000.6

321

3

3

2

1

1

2

mamaiiii

mn

N

mn

N

mn

N

11,135.14125,154,12564

125,106,707548,5489

125,1159,1

8200

093,1

6000

03,0103,01

8200

03,01

6000

111

33

3

3

4

3

53

3

3

2

2

1

1

321

311211

NNx

N

N

N

i

N

i

N

i

N

AAA

nnn


CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA

Objetivo: Conceituar e classificar Rendas. Calcular os juros, asparcelas, os montantes e os valores atuais envolvidos nasoperações de capitalização e amortização composta.

Conteúdo:

- Rendas

- Capitalização Composta

- Amortização Composta


RENDAS: é uma sucessão de depósitos ou de prestações

realizadas, em épocas diferentes, objetivando formar um capital ou

resgatar uma dívida.

TIPOS DE RENDAS:

I. Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de

termos, seus vencimentos e seus respectivo valores podem ser

prefixados.(compra de bens a prazo)

II. Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos

elementos não pode ser previamente determinado.(pagamento de um

seguro de vida)


Em relação ao vencimento do 1o termo, uma Renda Certa pode ser

Imediata (Postecipada), Antecipada ou Diferida.

1a) Renda Imediata: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá no

fim do 1o período a contar da data zero.

2a) Renda Antecipada: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá

na data zero.

3a) Renda Diferida: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá no

fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero.


Capitalização Composta: ocorre quando realizamos Investimentos

com o objetivo de constituir um capital.

1) Montante de uma Renda imediata (SI):

.:

11

cos

tan

11.

icantoneiranSselêS

çãocapitalizadefatori

i

jurodetaxai

períodosdenúmeron

periódidepósitosdosvalorT

imediatarendaumadetemonSS

i

iTSousTS

in

n

inS

Iin

n

Iinin


Exemplo:

- Um trabalhador deposita $ 220,00 no final de cada mês,

objetivando a compra de um bem. Sabendo que seu ganho é de

1,5% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?

?

242

..015,0..%5,1

00,220

Iin

SS

man

mamai

T

37,299.6

015,0

1429,1.220

015,0

1015,01.220

11.

.

24

I

I

n

I

inin

S

S

i

iTS

sTS


Montante de uma Renda Antecipada (Sa):.

Exemplo:- Um trabalhador deposita $ 220,00 no início de cada mês,

objetivando a compra de um bem. sabendo que seu ganho éde 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?

i

i

iTSsTS

n

ain

a

1

11..

1

?

242

..015,0..%5,1

00,220

aS

man

mamai

T

38,386.6

015,1.015,0

1429,1.220015,01

015,0

1015,01.220

111

.

.

24

1

a

a

n

a

inin

S

S

ii

iTS

sTS


Amortização Composta: ocorre quando resgatamos uma dívida,

pagando certa quantia, em épocas distintas.

1) Valor Atual de uma Renda Imediata (AI):

icantoneiranAselêA

oamortizaçãdefatorii

i

unitáriataxai

períodosdenúmeron

periódipagamentosdosvalorT

imediatarendaumadeatualvalorAA

ii

iTAaTA

in

n

n

Iin

n

n

IinI

:

1

11

cos

1

11..


Exemplo:

- Uma loja vende um produto em 6 prestações mensais de $

480,00 cada, sendo a primeira um mês após a compra. Sabendo

que a loja usa a taxa de 48% ao ano, capitalizada mensalmente,

encontre o valor à vista do produto.

?

..04,0..%4)12.(:.%48

00,480

6

IA

mamaaai

T

mn

37,061.3265,1.04,0

1265,1480

04,0104,0

104,01480

1

116

II

n

I

AA

ii

iTA


2) Valor Atual de uma Renda Antecipada (Aa):

Exemplo:- Uma loja vende um produto em 6 prestações mensais de$ 480,00

cada, pagas mensalmente, sendo a primeira dada comoentrada. Sabendo que a loja usa a taxa de 48% ao ano,capitalizada mensalmente, encontre o valor à vista do produto.

i

ii

iTAiaTA

n

Iina

1

1

11.1..

1

?

..04,0..%4)12.(:.%48

00,480

6

aA

mamaaai

T

mn

39.614.204,1.265,1.04,0

1265,1480

04,01

04,0104,0

104,014801

1

11

6

6

aa

n

n

a

AA

i

ii

iTA


Valor Atual de uma Renda Diferida(Ad):

Exemplo:- Um cliente comprou um aparelho de som em uma loja, em 6

prestações mensais de $840,00 cada uma, a primeira 4 mesesapós a compra. Para vendas a prazo, a loja usa taxa de 36% ao anocapitalizada mensalmente. Qual o valor à vista do aparelho?

?

..03,0..%3%36

)(314

00,840

6

dA

mamai

odiferimentmm

T

mn

32,162.4093,1

1.

194,1.03,0

194,0840

03,01

1

03,0103,0

103,01840

1

1

1

11

36

6

dd

mn

n

d

AA

iii

iTA

odiferimentm

iii

iTA

mn

n

d

1

1

1

11


Exercício de fixação:- Uma loja tem os seguintes planos de venda a prazo: a) pagamento

em 5 prestações mensais iguais, a primeira 1 mês após acompra; b) pagamento em 5 prestações mensais iguais, aprimeira paga no ato da assinatura do contrato, e c) pagamentoem 5 prestações mensais iguais, a primeira 3 meses após acompra. Calcular o valor da prestação de cada plano de umobjeto que custa à vista $ 2.000,00, se a loja usa a taxa de 36% aoano capitalizada mensalmente.

59,436$581,4

2000

581,4.200003,0103,0

103,01.2000

1

11.)

5

5

TT

TTii

iTAa

n

n

I

..03,0..%3..%36

00,000.2

?

mamaaai

A

T

..03,0..%3..%36

00,000.2

?

mamaaai

A

T

..03,0..%3..%36

00,000.2

?

mamaaai

A

T

91,423

718,4

2000718,4.200003,01

03,0103,0

103,01.20001

1

11.)

5

TTTi

ii

iTAb

nn

n

I

64,491

068,4

2000068,4.2000

03,01

1

03,0103,0

103,01.2000

1

1

1

11)

45

5

TTT

iii

iTAc

mn

n

d


UNIDADE VII – EMPRÉSTIMO

OBJETIVO: Conceituar e diferenciar os tipos de empréstimos, e estudar

de forma detalhada os mais usuais sistemas de amortização.

CONTEÚDO:

- Sistema Francês de Amortização (SFA);

- Sistema de Amortização Constante (SAC);

- Sistema de Amortização Misto (SAM);


Sistema Francês de Amortização(SFA) : o mutuário se compromete aamortizar o empréstimo com prestações constantes, periódicas eimediatas.

Valor do empréstimo (D): corresponde ao valor de uma rendaimediata.

n

n

n

n

in

ii

i

DT

ii

iTDaTdívidadavalorD

1

11

1

11..)(


Exemplo:- Um empresário assume uma dívida de $ 200.000,00 para ser paga

pelo Sistema Francês de Amortização (SFA) em 4 prestaçõesanuais, à taxa de 24% ao ano.

- a) Encontre o valor da prestação.- b) Monte a planilha de amortização.

?

..24,0..%24

4

200000

T

aaaai

an

D

68,194.83404,2

200000

24,0124,0

124,01

200000

1

11

4

4

TT

ii

i

DT

n

n


*Feito acerto para zerar o saldo devedor (T=J + A).

Jn = ixDn-1 An = Tn – Jn Dn = Dn-1 - An

Período(n) Prestação(Tn) Juro(Jn) Amortizaça(An) Saldo Devedr(Dn)

0 - - - 200.000

183.195

48.000 35.195 164.805

283.195

39.793 43.402 121.403

383.195

29.137 54.058 67.345

4 83.508* 16.163 67.345 0

Total 333.093 133.093 200.000 -


UNIDADE VIII – DEPRECIAÇÃO

OBJETIVO: Conceituar e estudar os diferentes métodos de depreciação.

CONTEÚDO: Depreciação Teórica

TIPOS DE DEPRECIAÇÃO:

1- Depreciação Física: ocorre pela ação do tempo ou pelo uso.

2- Depreciação Tecnológica: ocorre em função do avanço tecnológico.

MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO:

1- Método Linear.

2- Método da percentagem constante.

3- Método de Cole.

3- Método da unidade de Trabalho.

4- Método da unidade de Produção.


Método Linear: dividi-se em cotas iguais, durante a vida útil do

bem, o Valor a ser depreciado.

.,:

)(

cot

)(

estimadoútilvidasuadefinalaobemdorevendadevalorresidualvalorR

anosembemdoútilvidan

nanodoodepreciaçãdeaD

depreciadovalorbemnoinvestidovalorI

n

0 Rn

ID 0

R

n

RID


Exemplos:

1) Determinado empresário investiu, em sua empresa, $ 10.000,00 na

compra de um bem, cuja vida útil é de 5 anos e valor residual nulo.

Calcular a cota anual de depreciação, pelo método linear.

0

5

00,000.10

R

an

D

I

nanoD

n

ID /00,000.2

5

10000


2) Depreciar em 4 anos, um bem que foi adquirido por $ 2.600,00, nos seguintes casos:

a) Pelo método linear, sem valor residual.b) Pelo método linear, com $ 200,00 de valor residual.

anoDn

IDa /00,650$

4

2600)

anoDn

RIDb /00,600$

4

2400

4

2002600)

.0,200$)0)

4

?

00,000.24$

RbeRa

an

D

I

n


• A Matemática Comercial e Financeira, desenvolveu-se

simultaneamente com o sistema econômico conhecido

por “Economia de Mercado”. Dominá-la, por conseguinte,

tornou-se como que impositivo, quer pelas implicações do

trabalho assalariado, quer pelas operações de compra e

venda, quer pelos investimentos de capital, daí a sua

importância. Sucesso a todos e um feliz aprendizado.

Anicio Bechara Aero.

anicio bechara arero · - razão; - proporção; ... a razão entre dois números a e b 0, nessa...

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