ÂNGULOS

Ângulos no círculo

.

Semicircunferência

Diâmetro

A circunferência:Diâmetro - é o segmento de recta

que une 2 pontos da circunferência passando pelo centro.

Raio - é o segmento de recta que une o centro a qualquer ponto da circunferência.

Corda - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência sem intersectar o centro.

Arco de circunferência - é uma qualquer porção da circunferência.

Semicircunferência - é a porção da circunferência limitada pelo centro.

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Circunferência

C

O ponto C é o centro da

circunferência r

A

O segmento de reta [CA] é um raio da

circunferência r

B

D

O segmento de reta [BD] é um

diâmetro da circunferência r

E

F

O segmento de reta [EF] é uma

corda da circunferência r

Raio da circunferência – segmento de reta

cujos pontos extremos são o centro da

circunferência e um ponto qualquer da

circunferência

Diâmetro da circunferência - segmento de

reta cujos pontos extremos são dois pontos da

circunferência e contém o seu centro.Corda da circunferência - segmento de

reta cujos pontos extremos são dois

pontos da circunferência.

r

Segmento circular

Sector circular

a

b

As circunferências a e b são

concêntricas, isto é, têm o mesmo

centro.

Coroa

circular

CONCEITOS BÁSICOS:(1) CIRCUNFERÊNCIA: conjunto de pontos do plano que distam

igualmente de um ponto fixo desse plano.

(2) CÍRCULO: é a reunião da circunferência com sua região

interior.

(3) RAIO: segmento que vai do centro a qualquer ponto da

circunferência.

(4) CORDA: segmento que une dois pontos distintos da

circunferência.

(5) DIÂMETRO: corda que passa pelo centro da circunferência.

(6) ARCO: qualquer uma das partes da circunferência que fica

dividida por dois de seus pontos distintos.

EXEMPLO:

A

EO

F

D

B

AB : diâmetro

OF : raio

ED : corda (segmento)

ED : arco (linha curva).

A circunferência é toda a

linha curva.

O círculo é a circunferência

e a região branca.

ARCO

OBSERVAÇÕES:

(1) O diâmetro é maior do que qualquer corda que não

contenha o centro.

(2) A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio.

(3) Dois pontos distintos de uma circunferência determinam

dois arcos. Ao nos referirmos, por exemplo, ao arco AB,

estamos considerando o maior deles. Para nos referirmos

ao outro podemos utilizar um ponto auxiliar ( ex.: arco

AMB).

(4) Todo raio perpendicular a uma corda passa pelo seu ponto

médio.

(5) Todo triângulo com um vértice no centro e os outros dois

na circunferência é isósceles.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃOObserve a figura e responda quais das sentenças seguintes

são verdadeiras:

a) D circunferência

b) E circunferência

c) A círculo

d) O círculo

e) AO é raio

f) OB é diâmetro

g) EF é raio

h) CD é corda

__

__

__

__

C

F

BAOE

D

ÂNGULO CENTRAL

A

O

B

Ângulo central de uma circunferência é aquele cujo vértice

é o centro dessa circunferência.

AXIOMA:

A medida de um ângulo

central é igual à medida do

arco de circunferência

compreendido entre seus

lados.

AÔB é um ângulo central.

Pesquise: o que é um AXIOMA?

ÂNGULO INSCRITO NUMA

CIRCUNFERÊNCIA

O

B

A

Ângulo inscrito é aquele que tem o

vértice na circunferência e os lados

são secantes a essa circunferência.

AÔB é um ângulo inscrito.

TEOREMA:

A medida de um

ângulo inscrito é

igual à metade da

medida do ângulo

central associado.

C

O ângulo central associado a AÔB é ACB.^

EXEMPLO 1:

88ºx

A

O

B

AÔB mede 44º.

EXEMPLO 2:

A

O

B

90º

45º

O arco AB mede 90º (seu comprimento corresponde a ¼ do

comprimento da circunferência), logo, o ângulo inscrito AÔB

mede 45º ( a metade de 90º).

EXEMPLO 3:

O

C

B

A

120º

O arco OB mede 120º.

Assim, o arco AB mede

180º - 120º = 60º.

Então, o ângulo inscrito

AÔB tem por medida

30º, pois mede a metade

da medida do arco.

(

(

ÂNGULO INSCRITO NUMA

SEMICIRCUNFERÊNCIA

B

CAO

Como o arco AC mede

180º, temos que o ângulo

inscrito ABC mede a

metade, ou seja, 90º.

TEOREMA: Todo ângulo

inscrito numa

semicircunferência é reto.

E todo triângulo, em que

um lado coincide com o

diâmetro, inscrito em uma

semicircunferência, é

retângulo.

^

ÂNGULO DE SEGMENTO

É um ângulo com vértice na circunferência; um lado é

tangente a essa circunferência e o outro é secante.

TEOREMA:

A medida do ângulo

de segmento é igual

à metade da medida

do ângulo central

associado.

O

A

B

C

med(ABC) = ½ med(AB)^

(

EXEMPLO 1:

160º

x

A

B

BÂC é um ângulo de segmento.

Então BÂC mede ½(360º - 160º)

=100º.

C

EXEMPLO 2:

115º

O

A

Qual a medida de um ângulo inscrito no arco OA?(

x = 65º

O arco

correspondente ao

ângulo considerado

mede 230º.

Então, o arco OA

mede 130º e todos os

ângulos inscritos

nesse arco têm por

medida 65º.

(

ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR

A

OD

C

B

x

É um ângulo cujo vértice é interno ao círculo.

TEOREMA:

A medida de um ângulo cujo

vértice é interno ao círculo é

igual à semi-soma dos arcos

compreendidos entre os

lados do ângulo sobre a

circunferência.

X = ½{med(AC) + med(BD)}

((

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA

EXEMPLO 1:

70º

90º

x

x = ½ (90º + 70º)

x = ½ (160º)

x = 80º

EXEMPLO 2:

A

140º

D

B

C40º

x

Vamos tomar o ângulo

adjacente suplementar

de 140º, ou seja, 40º.

Então :

º40

º80º40

2

º40º40

x

x

x

ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR

O

D

C

B

A

É um ângulo cujo vértice é externo ao círculo.

TEOREMA:

Sua medida é igual à

semi-diferença das

medidas dos arcos

compreendidos pelos

lados do ângulo sobre

a circunferência.

med(CÔD) = ½{med(CD) - med(AB)}

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA

EXEMPLO 1:

20º70º

x

º25

2

º50

2

º20º70

x

x

x

EXEMPLO 2:

20º

25º

x

º90

º25º180

180º25º x y

: xde Cálculo

º65º40º25

º202

25º-y Assim,

y. de lados os entre

arcomaior o Chamemos

x

yx

yy

EXERCICIO