anel classes resto modulo m
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5/10/2018 Anel Classes Resto Modulo m - slidepdf.com
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O anel das classes de resto módulo m
Para todo inteiro , definamos em
as seguintes operações:
para quaisquer .
Observemos que se, e somente se, o resto da divisão de por
é o mesmo resto da divisão de
por
.
Proposição: é um anel comutativo com unidade.
Prova: De fato, sejam elementos quaisquer.
I. A adição é uma operação associativa, uma vez que o resto da
divisão de
por
é o mesmo resto da divisão de
por . Em símbolos, temos que:
II. Observamos que é o elemento neutro aditivo pois
III. Observamos que é o elemento inverso aditivo de
uma vez que
IV. A adição é uma operação comutativa, pois o resto da divisão de
por é o mesmo resto da divisão de por . Em
símbolos, temos que:
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V. A multiplicação é uma operação associativa uma vez que o resto
da divisão de por é o mesmo resto da divisão de
por . Em símbolos, temos que:
VI. Como o resto da divisão de por é o mesmo resto da
divisão de por , então
E, analogamente, Logo, valem as leis
distributivas.
VII. A multiplicação é uma operação comutativa, uma vez que o resto
da divisão de por é o mesmo resto da divisão de por
. Em símbolos, temos que:
VIII. O elemento é o elemento neutro multiplicativo, uma vez
que