anel classes resto modulo m

2
 O anel das classes de resto módulo m Para todo inteiro , definamos em  as seguintes operações:    para quaisquer . Observemos que  se, e somente se, o resto da divisão de  por  é o mesmo resto da divisão de  por . Proposição:   é um anel comutativo com unidade. Prova: De fato, sejam  elementos quaisquer. I. A adição é uma operação associativa, uma vez que o resto da divisão de  por  é o mesmo resto da divisão de  por . Em símbolos, temos que:    II. Observamos que  é o elemento neutro aditivo pois  III. Observamos que  é o elemento inverso aditivo de  uma vez que  IV. A adição é uma operação comutativa, pois o resto da divisão de  por  é o mesmo resto da divisão de  por . Em símbolos, temos que:  

Upload: laercio-rodrigues

Post on 08-Jul-2015

72 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

5/10/2018 Anel Classes Resto Modulo m - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/anel-classes-resto-modulo-m 1/3

 

O anel das classes de resto módulo m 

Para todo inteiro , definamos em

 

as seguintes operações:

 

 

para quaisquer .

Observemos que se, e somente se, o resto da divisão de por  

é o mesmo resto da divisão de

por

.

Proposição:  é um anel comutativo com unidade.

Prova: De fato, sejam elementos quaisquer.

I. A adição é uma operação associativa, uma vez que o resto da

divisão de

por

é o mesmo resto da divisão de

por . Em símbolos, temos que:

 

 

II. Observamos que é o elemento neutro aditivo pois

 

III. Observamos que é o elemento inverso aditivo de

uma vez que

 

IV. A adição é uma operação comutativa, pois o resto da divisão de

por é o mesmo resto da divisão de por . Em

símbolos, temos que:

 

5/10/2018 Anel Classes Resto Modulo m - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/anel-classes-resto-modulo-m 2/3

 

 

V. A multiplicação é uma operação associativa uma vez que o resto

da divisão de por é o mesmo resto da divisão de

por . Em símbolos, temos que:

 

VI. Como o resto da divisão de por é o mesmo resto da

divisão de por , então

 

 

E, analogamente, Logo, valem as leis

distributivas.

VII. A multiplicação é uma operação comutativa, uma vez que o resto

da divisão de por é o mesmo resto da divisão de por

. Em símbolos, temos que:

 

VIII. O elemento é o elemento neutro multiplicativo, uma vez

que

 

5/10/2018 Anel Classes Resto Modulo m - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/anel-classes-resto-modulo-m 3/3