5/10/2018 Anel Classes Resto Modulo m - slidepdf.com

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O anel das classes de resto módulo m 

Para todo inteiro , definamos em

 

as seguintes operações:

 

 

para quaisquer .

Observemos que se, e somente se, o resto da divisão de por  

é o mesmo resto da divisão de

por

.

Proposição:  é um anel comutativo com unidade.

Prova: De fato, sejam elementos quaisquer.

I. A adição é uma operação associativa, uma vez que o resto da

divisão de

por

é o mesmo resto da divisão de

por . Em símbolos, temos que:

 

 

II. Observamos que é o elemento neutro aditivo pois

 

III. Observamos que é o elemento inverso aditivo de

uma vez que

 

IV. A adição é uma operação comutativa, pois o resto da divisão de

por é o mesmo resto da divisão de por . Em

símbolos, temos que:

 

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V. A multiplicação é uma operação associativa uma vez que o resto

da divisão de por é o mesmo resto da divisão de

por . Em símbolos, temos que:

 

VI. Como o resto da divisão de por é o mesmo resto da

divisão de por , então

 

 

E, analogamente, Logo, valem as leis

distributivas.

VII. A multiplicação é uma operação comutativa, uma vez que o resto

da divisão de por é o mesmo resto da divisão de por

. Em símbolos, temos que:

 

VIII. O elemento é o elemento neutro multiplicativo, uma vez

que

 

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