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Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

Centro de Ciências Físicas e Matemáticas - CFM

Departamento de Matemática – UFSC

Curso de Especialização em Matemática – Formação de Professores – Modalidade à Distância

Guia de Estudos

Disciplina: Álgebra

Oscar Ricardo JaneschDezembro de 2009

Universidade Federal de Santa Catarina Campus Universitário – Trindade – Caixa Postal 476 CEP 88040-900 – Florianópolis - SC

Reitor: Álvaro Toubes Prata

Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva

Pró-Reitoria de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Muller

Pró-Reitoria de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes

Pró-Reitoria de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo

Pró-Reitoria de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz H. Vieira Silva

Pró-Reitoria de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso

Pró-Reitoria de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante

Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Tarciso Antônio Grandi

Departamento de Matemática: Ruy Coimbra Charão

Coordenação Acadêmica: Neri Terezinha Both Carvalho

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Disciplinas e Professores do Curso de Especialização:

Álgebra: Oscar Ricardo Janesch

Álgebra Linear: Roberto Corrêa da Silva

Análise: Eliezer Batista

Tópicos de Cálculo: Silvia Martini de Holanda Janesch

Coordenadora do Curso de Especialização em Matemática:

Neri Terezinha Both Carvalho

Endereço Eletrônico: www.ead.ufsc.br

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http://www.ead.ufsc.br/

Apresentação

O conceito da estrutura algébrica chamada anel, fundamental para a axiomatização da álgebra, surgiu como consequência da sistematização dos conjuntos numéricos. A primeira tentativa foi feita por Benjamin Peacok(1791-1858) em 1830, mas não se mostrou consistente. Porém, em 1914, o alemão A. Franenkel(1891-1965) apresentou a definição formal de anel que usamos hoje.

Grosseiramente falando, um anel é um conjunto não vazio no qual estão definidas duas operações que satisfazem axiomas pré-estabelecidos. As escolha destes axiomas é feita de forma que seja possível efetuar as operações em com relativa facilidade. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros

, com as operações usuais de adição e multiplicação, é um anel.

A definição de anel surge da necessidade de saber em quais conjuntos temos boas propriedades aritméticas que permitem fazer contas. Tomando o conjunto como “modelo” para chegarmos ao conceito de anel, nos deparamos com as seguintes perguntas:

Qual o conjunto mínimo de propriedades da adição e da multiplicação em , a partir das quais é possível demonstrar as demais propriedades aritméticas de ?

Que propriedades as operações de um conjunto devem satisfazer para que possamos fazer contas em de forma semelhante a que fazemos em ?

As respostas para as perguntas acima levaram aos seis axiomas de anel. Isto é, um conjunto mínimo de propriedades que as operações de adição e de multiplicação em (e de qualquer outro conjunto com duas operações) devem satisfazer para que possamos deduzir outras propriedades.

Seja um conjunto onde estão definidas duas operações que satisfazem os seis axiomas de anel. Chamaremos de anel. Suponha que a partir dos seis axiomas de anel consigamos provar outras quinze propriedades operacionais em . Como usamos apenas os seis axiomas de anel para deduzir estas quinze novas propriedades, elas valem não apenas para , mas para todo conjunto com duas operações que satisfaçam os seis axiomas de anel.

Note que isso leva a uma mudança de enfoque. Deixamos de estudar um conjunto baseados na natureza de seus elementos, e passamos a estudá-lo com base nas propriedades de suas operações. Veremos que este procedimento é útil para obter informações sobre vários conjuntos.

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Conjuntos com operações que satisfazem axiomas determinados previamente são chamados de estruturas algébricas. Anel é uma estrutura algébrica. As estruturas algébricas chamadas anel comutativo, anel com unidade, domínio de integridade e corpo, são anéis que satisfazem outros axiomas específicos além dos seis axiomas de anel.

Neste curso apresentaremos também a estrutura algébrica chamada grupo. Um grupo é uma estrutura algébrica com uma operação, que satisfaz três axiomas. Os grupos foram introduzidos por Evarist Galois (1811-1832) e, historicamente, estão associados aos anéis de polinômios e resolução de equações polinomiais por meio de radicais.

O objetivo deste guia é orientar os estudos dos alunos do Curso de Especialização na disciplina de Álgebra. O guia de estudos está dividido da forma seguinte:

Plano de Ensino:EmentaObjetivos GeraisObjetivos EspecíficosConteúdo ProgramáticoMetodologiaAvaliaçãoReferências Bibliográficas

Cronograma de Atividades:Identificação da semanaConteúdo para o períodoData da videoconferênciaPrincipais temas da videoconferênciaAtividades de estudos para o períodoExercícios recomendados;Observações e sugestões.

Para desenvolver o programa da disciplina de Álgebra, usaremos os livros abaixo:

Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição reformulada, Atual Editora, São Paulo, 2003.

Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2008.

Janesch, O. R. e Taneja, I. – Álgebra I, UFSC-EAD – Florianópolis, 2008.

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O livro Álgebra Moderna traz todo o conteúdo da disciplina de Álgebra. A linguagem é simples e de fácil compreensão. Este livro foi escrito para ser usado como texto de um primeiro curso de álgebra, para alunos dos cursos de licenciatura em matemática. Tem notas históricas, vários exemplos, exercícios resolvidos e repostas para muitos exercícios propostos.

O livro Introdução à Álgebra desenvolve o conteúdo referente à Teoria de Anéis de forma muito cuidadosa. Não se dispersa em exemplos e resultados menos relevantes, mantendo o foco nos teoremas fundamentais. Os enunciados das proposições são bem claros e objetivos.

O livro Álgebra I foi escrito para o primeiro curso de álgebra da licenciatura em matemática à distância. Usaremos este livro como referência para o estudo de números complexo.

No cronograma de atividades, as orientações são apresentadas por semana. São especificadas quais atividades serão desenvolvidas junto com o professor e quais tarefas o aluno terá que executar naquela semana.

Os encontros com o professor serão realizados semanalmente, através de videoconferências. Na primeira videoconferência será apresentado o plano de ensino e, em seguida, iniciará o curso com aula sobre o anel de inteiros.

Caberá ao aluno acompanhar o cronograma de atividades, estudar o conteúdo programado para aquela semana, e resolver os exercícios sugeridos.

Lembramos que os exercícios têm a finalidade de fixar os conceitos e principais resultados. São indispensáveis para o aprendizado. Se surgir dúvida, discuta com os colegas de classe, pergunte aos tutores-UFSC e ao professor.

O sucesso do curso depende da disciplina de estudos. Para isso é preciso ter sempre a mão o cronograma de atividades, e certificar-se de que está cumprido o planejado semanalmente. Não desanime caso não consiga entender uma definição, um teorema, ou resolver um exercício. Quando tiver dificuldades, leia novamente a teoria e reveja os exemplos. Se ainda assim não conseguir entender, procure ajuda. Os tutores-UFSC estão à disposição.

Bons estudos.

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Plano de EnsinoDisciplina: ÁlgebraCarga Horária: 90 horasCurso: Especialização em Matemática na Modalidade à Distância – Formação de ProfessorSemestre 2010.1

Ementa: Anel. Domínio. Corpo. Noções de Grupos.

Objetivos Gerais: Proporcionar ao aluno condições de:1) Desenvolver sua capacidade de dedução;2) Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;3) Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de questões matemáticas;4) Desenvolver seu espírito crítico e criativo;5) Perceber e compreender a relação entre diversas áreas da matemática apresentadas ao longo do curso;6) Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

Objetivos Específicos:Depois de cursar a disciplina, espera-se que o aluno seja capaz de:1) Entender o conceito de estruturas algébricas;2) Reconhecer anéis, domínios, corpos e grupos;3) Identificar a estrutura algébrica de vários conjuntos usuais em matemática. Entre eles , conjuntos de matrizes, conjunto de polinômios e produto cartesiano;4) Utilizar propriedades de estruturas algébricas para resolver problemas;5) Diferenciar elementos primos e irredutíveis em anéis;6) Calcular potências e raízes de números complexos;7) Entender os conceitos de subestruturas, ideais, homomorfismos e isomorfismos;8) Descrever anéis quocientes.

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Conteúdo Programático

Unidade 1: Anel dos Inteiros

1.1 Propriedades Básicas da Adição e da Multiplicação1.2 O anel 1.3 Boa Ordenação, Algoritmo da Divisão e Princípios de Indução1.4 Ideais e Máximo Divisor Comum1.5 Números Primos e Ideais Maximais1.6 Fatoração em 1.7 Os anéis .

Unidade 2: Anel, Domínio e Corpo

2.1 Definição das Estruturas Algébricas de Anel, Domínio e Corpo2.2 Propriedades dos Anéis2.3 Anel de Funções, Anel de Matrizes e Anel Produto Cartesiano2.4 Subanéis.

Unidade 3: Ideais e Anel Quociente

3.1 Definição e Exemplos de Ideais3.2 Propriedades dos Ideais3.3 Ideais Primos e Ideais Maximais3.4 Definição de Anel Quociente3.5 Propriedades dos Anéis Quociente3.6 Exemplos de Construção de Alguns Anéis Quociente.

Unidade 4: Homomorfismos e Isomorfismos de Anéis

4.1 Definição de Homomorfismos e Isomorfismos4.2 Núcleo e Imagem 4.3 Propriedades dos Homomorfismos4.4 Teorema do Isomorfismo4.5 Aplicações do Teorema do Isomorfismo.

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Unidade 5: O Corpo dos Números Complexos

5.1 O Corpo 5.2 Conjugado e Norma5.3 Forma Trigonométrica 5.4 Potências5.5 Raízes n-ésimas Complexas.

Unidade 6: Anel de Polinômios

6.1 Definição Formal de Polinômios sobre um Anel6.2 Estrutura Algébrica de Anéis de Polinômios6.3 Algoritmo da Divisão6.4 Ideais Principais e Máximo Divisor Comum6.5 Polinômios Irredutíveis e Fatoração.

Unidade 7: Grupos

7.1 Grupos e Subgrupos7.2 Grupos Cíclicos.

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Metodologia

O conteúdo que será trabalhado neste curso está nos livros [1], [3] e [5] das referências bibliográficas. Os demais livros da referência bibliográfica são úteis para consultas e estudos complementares.

Serão feitas videoconferências semanais sobre tópicos do programa. Estas videoconferências serão gravadas como vídeo-aula e ficarão a disposição do aluno para consulta posterior, com o objetivo de facilitar a compreensão do assunto.

Exercícios resolvidos, tratando sobre os principais temas de estudo, serão colocados no ambiente virtual.

Durante o desenvolvimento da disciplina, conforme cronograma apresentado a seguir, serão propostas atividades semanais.

Os alunos contarão com Tutores-UFSC, em horários estabelecidos.

As tarefas, que farão parte da avaliação, serão colocadas no ambiente virtual de aprendizado.

O aluno, durante o estudo dos conteúdos, desenvolverá tarefas que têm a finalidade de orientar a construção do conhecimento dentro do espaço de tempo determinado para a disciplina.

O desenvolvimento da disciplina, em função da modalidade do curso, prioriza o estudo individual e em grupo com acompanhamento de tutor à distância.

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Avaliação

Avaliação continuada ao longo do processo.

O aluno será avaliado através de duas tarefas, e , e duas provas escritas e . As tarefas serão individuais e corrigidas pelos Tutores-UFSC. As provas serão individuais e corrigidas pelo professor. A cada prova e a cada tarefa será atribuída uma nota entre zero e dez.

A média das avaliações será calculada pela fórmula

O conceito final é determinado da forma seguinte:

Se então o conceito é C;Se então o conceito é B;Se então o conceito é A;

Serão aprovados os alunos com conceito final A ou B.

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Referências Bibliográficas

[1] Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição reformulada, Atual Editora, São Paulo, 2003.

[2] Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2003.

[3] Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2008.

[4] Hefez, A. – Curso de Álgebra, Volume 1, Coleção Matemática Universitária - IMPA, Rio de Janeiro, 1993.

[5] Janesch, O. R. e Taneja, I. – Álgebra I, UFSC-EAD – Florianópolis, 2008.

[6] Monteiro, J. – Elementos de Álgebra, 2º edição, LTC editora, Rio de Janeiro, 1978.

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Cronograma de Atividades

Disciplina: ÁlgebraSemestre 2010.1Início: 01/03/10Fim: 26/06/10.Videoconferências: Quintas-feiras (20:20h – 22:00h).

Apresentamos a seguir o cronograma das atividades do curso de Álgebra. O cronograma é dividido em semanas.

Em cada página você encontrará as atividades de uma semana, com as seguintes informações:

Identificação da semana; Conteúdo para o período; Data da videoconferência; Principais temas da videoconferência; Atividades de estudos para o período; Exercícios recomendados; Observações e sugestões.

Conforme informamos na metodologia, os livros usados como textos para este curso são:

[1] Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição reformulada, Atual Editora, São Paulo, 2003.

[3] Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2008.

[5] Janesch, O. R. e Taneja, I. – Álgebra I, UFSC-EAD – Florianópolis, 2008.

Faremos referência a estes livros usando o número, entre colchetes, que o precede. Por exemplo: ([3], pg 36) indica a página 36 do livro Introdução à Álgebra.

Sugerimos àqueles que não estão familiarizados com a linguagem da álgebra, que leiam atentamente as seguintes partes dos livros:

Introdução e Capítulo I – Noções Preliminares ([3], pg1-14) Capítulo 1 – Noções sobre conjuntos e Demonstrações ([1], pg7-28).

1ª Semana – 01/03/10 a 06/03/10

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Conteúdo:

1.1 - Propriedades Básicas da Adição e da Multiplicação; 1.2 - O anel ; 1.3 - Boa Ordenação, Algoritmo da Divisão e Princípios de Indução.

Videoconferência: 04/03Primeira Parte: Apresentação do Plano de Ensino.Segunda Parte: Aula sobre Anel de Inteiros.

Atividades de Estudos para a Semana:Pg 15-19 do livro [3].Pg 29-39 do livro [1].

Exercícios Recomendados:Exercícios 1c, 3 e 8, pg 18-19 do livro [3].Exercícios 3, 5, 9 e 11, pg 38-39 do livro [1].

Observações e Sugestões:

O Curso de Álgebra inicia estudando o conjunto , que é um modelo para o conceito de anéis abstratos, que estudaremos na próxima unidade.

Nesta aula veremos que 6 propriedades básicas da adição e da multiplicação de são chamados de axiomas de anel. A partir delas pode-se provar várias outras propriedades.

Usando a Boa Ordenação de , veremos que é possível provas os princípios de indução e também o algoritmo da divisão.

Acompanhe em ([1], pg 29-30) alguns fatos sobre o surgimento de números inteiros. Em ([1], pg 35-38) há uma exposição sobre sistemas de numeração que ajuda a entender os números inteiros como um mecanismo para registrar quantidades.

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2ª Semana – 08/03/10 a 13/03/10

Conteúdo: 1.4 - Ideais e Máximo Divisor Comum; 1.5 - Números Primos e Ideais Maximais; 1.6 - Fatoração em .

Videoconferência: 11/03

Aula sobre Ideais, MDC e Fatoração em .


Exercícios Recomendados:Exercícios 2, 3, 4b, 9a, 9b, 9e, 9f, 10 e 12, pg 22-23 do livro [3].Exercício 1, pg 28 do livro [3].Exercícios 19, 20 e 23, pg 44-45 do livro [1]Exercícios 26 e 31, pg 48-49 do livro [1].


Atenção ao Teorema 3 ([3], pg 21). Este é o teorema que prova a existência de mdc em , além de provar a identidade de Bezout;

O exercício 2 ([3], pg 22) fornece um método alternativo para calcular mdc em . Este método é conhecido como método das divisões sucessivas.

Uma leitura complementar sobre números inteiros é ([1], pg 49-62). Neste texto são mostrados os principais resultados sobre equações diofantinas, congruências e critérios de divisibilidade.

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3ª Semana – 15/03/10 a 20/03/10

Conteúdo:

1.7 - Os anéis ;2.1 - Definição das Estruturas Algébricas de Anel, Domínio e Corpo.


Aula sobre os Anéis e sobre as estruturas de Anel, Domínio e Corpo.


Exercícios Recomendados:Exercícios 1, 2, 4, 6d pg 32-33 do livro [3].Exercícios 2,3 e 4, pg 39-42 do livro [3].Exercícios 43 e 44, pg 61-62 do livro [1].


Os anéis também são chamados anéis de classes de restos.Estes anéis são um modelo para a construção de anéis quociente que serão vistos adiante.

O aluno que não está familiarizado com congruências pode fazer um estudo em ([1], pg 53-56).

A notação deve ser lida como “ adjunção raiz de p”, ou simplesmente “ raiz de p”.

Analogamente, pode ser lido simplesmente como “ raiz de p”.Notas históricas sobre a definição axiomática, que levaram a definição

de anel, podem ser vistas em ([1], pg 210-211).

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4ª Semana – 22/03/10 a 26/03/10

Conteúdo: 2.2 - Propriedades dos Anéis;2.3 - Anéis de Funções, Anéis de Matrizes e Anéis Produto Cartesiano; 2.4 – Subanéis.


Aula sobre Anéis e Subanéis.


Exercícios Recomendados:Exercícios 7, 9, 10, 11, 14, 15, 18 e 20, pg 39-42 do livro [3].Exercícios 2, 3, 5, 9 e 10, pg 45-46 do livro [3].Exercícios 3, 8, 17, 20, 21, 25, 38, 53, 56 e 57, pg 226-232 do livro [1].


Atenção ao exercício 7 ([3], pg 40), que traz várias propriedades dos anéis.

O anel é chamado anel de inteiros de Gauss.O conceito de subanel deve ser entendido como um conjunto dentro de

um anel, que também é anel com as operações do anel inicial. Estudar subanéis é uma forma de produzir novos anéis sem fazer

muitas contas.Lembre que para verificar se um conjunto é anel com as operações

dadas, precisamos verificar que as operações são fechadas e satisfazem 6 axiomas. Veja agora a Proposição 1 em ([3], pg 43), ela assegura que subconjunto dentro de um anel é subanel, quando contém o zero e é fechado pela subtração e pelo produto. Note que isso reduz o trabalho.

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5ª Semana – 29/03/10 a 03/04/10

Conteúdo:

3.1- Definição e Exemplo de Ideais;3.2 - Propriedade dos Ideais;3.3 - Ideais Primos e Ideais Maximais.


Aula sobre Ideais.


Exercícios Recomendados:Exercícios 1, 2 e 5, pg 53-54 do livro [3].Exercícios 99a, 99c, 99e, 99h, 102, 104, 107, 110, 121 e 125, pg 261-264 do livro [1].


Os ideais formam uma classe especial de subanéis. Usaremos os ideais na próxima semana para construir anéis quociente.

Notas históricas sobre ideais estão em ([1], pg 255).Acompanhe o exercício resolvido 114 em ([1], pg 263).Atenção ao Teorema 1 em ([3], pg 49). Este teorema diz que em corpos

só temos ideais triviais.Veja o Exemplo 45 em ([1], pg 258). Neste exemplo fica provado que

os ideais de são da forma . Por outro lado, sabemos que os subanéis de também são da forma . Portanto, os conceitos de ideal e subanel são os

mesmos em . Note que isso não vale em um anel qualquer.

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6ª Semana – 05/04/10 a /10/04/10

Conteúdo:

3.4 – Definição de Anel Quociente;3.5 - Propriedades dos Anéis Quociente;3.6 - Exemplos da Construção de Alguns Anéis Quociente.


Aula sobre Anéis Quociente.


Exercícios Recomendados:Exercício 8, pg 53-54 do livro [3].Exercícios 127, 128, 129 e 130, pg 269-270 do livro [1].


Os anéis quociente são uma generalização dos anéis . De fato, o anel

é exatamente o quociente do anel pelo ideal , isto é .

Na unidade 4 usaremos os anéis quociente, junto com isomorfismos, para estudar a melhor estrutura algébrica de determinados anéis.

Observe que no livro [1] o assunto de Anéis Quociente vem depois de Homomorfismos. Por isso, existem alguns exercícios neste livro que ainda não podem ser resolvidos.

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7ª Semana – 12/04/10 a 17/04/10

Conteúdo:

4.1 - Definição de Homomorfismo e Isomorfismo;4.2 - Núcleo e Imagem;4.3 - Propriedades dos Homomorfismos.


Aula sobre Homomorfismos e Isomorfismos.


Exercícios Recomendados:Exercícios 6 e 7, pg 58-60 do livro [3].Exercícios 59a, 59b, 59c, 59d, 59e, 59f, 61a, 61d, 61e, 65, 67, 71, 76 e 77, pg 240-243 do livro [1].


Homomorfismos são funções que relacionam elementos de dois anéis. Quando estes homomorfismos são bijetores, chamados isomorfismos, os anéis envolvidos são semelhantes. Portanto, para conhecer propriedade de um anéis, basta conhecer propriedades de um anel isomorfo a ele.

Veja os exercícios resolvidos 6 em ([1], pg 241), 75 em ([1], pg 242) e C4 em ([1], pg 243).

Atenção ao fato de um homomorfismo ter seu núcleo como ideal de , e sua imagem como subanel de .

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8ª Semana – 19/04/10 a 24/04/10

Conteúdo:

4.4 - Teorema do Isomorfismo;4.5 - Aplicações do Teorema do Isomorfismo.


Aula sobre Isomorfismos.


Exercícios Recomendados:Exercício 8, pg 58-60 do livro [3].Exercícios 133 e 138, pg 269-270 do livro [1].


O Teorema do Isomorfismo é usado para produzir anéis isomorfos via construção de anéis quociente, e conhecer a melhor estrutura algébrica de um anel quociente através de isomorfismo.

Suponha que desejemos conhecer propriedades de um anel desconhecido . Se for possível obter um homomorfismo que é

sobrejetor, o Teorema do Isomorfismo garante que é isomorfo a .

Portanto, para conhecer propriedades do anel , basta conhecer propriedades

de , e vice-versa.

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9ª Semana – 26/04/10 a 01/05/10

Nesta semana será realizada a Prova 1, no dia 29/04 (20:20h – 22:00h).

A Tarefa 1 deve ser entregue ao tutor do pólo as 20:00h.

Conteúdo: Unidades 1, 2, 3 e 4.


Acompanhamento da prova.

Atividades de Estudos para a Semana:Rever as Unidades 1, 2, 3 e 4.Rever os exercícios recomendados nas semanas anteriores.Rever a Tarefa 1.

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10ª Semana – 03/05/10 a 08/05/10

Conteúdo:

5.1 - O Corpo ;5.2 - Conjugado e Norma;5.3 - Forma Trigonométrica.


Aula sobre Números Complexos

Atividades de Estudos para a Semana:Pg 171-188 do livro [5].

Exercícios Recomendados:Exercícios 1, 2, 3, 6, 7, 9 e 11, pg 179-180 do livro [5].Exercícios 2, 6, 7 e 8, pg 187-188 do livro [5].


O corpo é o conjunto com a operação de adição usual e com uma “nova” operação de multiplicação. Ver ([5], pg 172, Proposição 6.1.1). Identificando, via isomorfismo, com , temos que é subcorpo de .

Nesta aula apresentaremos os conceitos básicos sobre o corpo , com as propriedades da norma e do conjugado. Além disso, veremos a representação trigonométrica de um número complexo.

Uma exposição sobre a construção do corpo complexo pode ser vista na referência bibliográfica [6], pg 269.

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11ª Semana – 10/05/10 a 15/05/10

Conteúdo:

5.4 – Potências;5.5 - Raízes n-ésimas Complexas.


Aula sobre Potências e Raízes de Números Complexos.

Atividades de Estudos para a Semana:Pg 188-208 do livro [5].

Exercícios Recomendados:Exercícios 1, 2a, 2b, 3b, 3c, 6 e 8, pg 194-195 do livro [5].Exercícios 1, 4, 6, 6, 9 e 10, pg 207-208 do livro [5].


Note que o cálculo de potências de é uma conta simples, quando conseguimos escrever na forma trigonométrica. Teoricamente isso sempre é possível. Contudo, dado um número complexo na forma algébrica, o trabalho de obter o argumento de pode ser não trivial. Algo semelhante ocorre com a raiz -ésima complexa de , pois a Segunda Fórmula de Moivre se aplica para números complexos escritos na forma algébrica.

É interessante consultar o assunto de números complexos em algumas coleções de matemática para o ensino médio. Você poderá constatar que tais coleções trazem o assunto de potências e raízes complexas e, algumas destas coleções fazem também as demonstrações.

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12ª Semana – 17/05/10 a 22/05/10

Conteúdo:

6.1 - Definição Formal de Polinômios sobre um Anel;6.2 - Estrutura Algébrica de Anéis de Polinômios.


Aula sobre Anéis de Polinômios.


Exercícios Recomendados:Exercícios 4, 5, 6 e 7, pg 284-285 do livro [1].Exercícios 9, 12, 15, 16, 17 e 21, pg 289-291 do livro [1].


Leia as “Notas Históricas” sobre polinômios em ([1], pg 281-282).Acompanhe os exercícios resolvidos 18 e 24 em ([1], pg 290 e 291).Temos dois objetivos principais nesta aula. O primeiro é definir

formalmente polinômio e o segundo é mostrar que o conjunto dos polinômios com coeficientes em um anel é novamente um anel que herda várias propriedades de .

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13ª Semana – 24/05/10 a 29/05/10

Conteúdo:

6.3 - Algoritmo da Divisão;6.4 - Ideais Principais e Máximo Divisor Comum.


Aula sobre Algoritmo da Divisão, MDC e Ideais em Anéis de Polinômios.


Exercícios Recomendados:Exercícios 1a, 1c, 1e, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13 e 15, pg 69-71 do livro [3].Exercícios 1, 2, 3 e 10, pg 74-75 do livro [3].Exercícios 27, 28, 31 e 36, pg 295-297 do livro [1].


Acompanhe os exercícios resolvidos 26, 30 e 38 em ([1], pg 295, 296 e 297).

Em ([1], pg 297-311) tem um estudo complementar sobre polinômios, que faz uma revisão (contendo demonstrações) dos resultados vistos no ensino médio. Inclui o Teorema do Resto, Algoritmo de Briot-Ruffini, Multiplicidade de Raízes, e Estudo de Raízes Racionais e Complexas.

Nesta aula estudaremos o algoritmo da divisão em , quando é corpo. Veja o Teorema 1 em ([3], pg 66) e a Proposição 5 em ([1], pg 293). Veremos também que se é corpo então só tem ideais triviais, e como consequência, temos que a existência de mdc em , com identidade de Bezout. Veja o Teorema 2 e o Teorema 3 em ([3], pg 72-73).

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14ª Semana – 31/05/10 a 05/06/10

No dia da videoconferência (03/06) é o feriado de Corpus Christi. Portanto a aula será gravada previamente.

Conteúdo:

6.5 - Polinômios Irredutíveis e Fatoração.


Aula sobre Irredutibilidade de Polinômios.


Exercícios Recomendados:Exercícios 1, 2, 6, 7 e 12, pg 78-79 do livro [3].Exercícios 4 e 6, pg 81-82 do livro [3].Exercícios 1, 2 e 3, pg 86-87 do livro [3].Exercícios 113, 119 e 120, pg 319-320 do livro [1].


Estudaremos irredutibilidade de polinômios e decomposição em produto de polinômios irredutíveis. Note que se trata de um procedimento análogo ao que se faz no anel , quando decompomos um número em produto de números primos (irredutíveis).

Dê atenção especial ao Critério de Irredutibilidade de Eisentein ([3], pg 83, Teorema 6) e ([1], pg 343, Proposição 11).

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15ª Semana – 07/06/10 a 12/06/10

Conteúdo:

7.1 - Grupos e Subgrupos;7.2 - Grupos Cíclicos.


Aula sobre Grupos.

Atividades de Estudos para a Semana:Pg 137-161do livro [1].Pg 119-132 do livro [3].

Exercícios Recomendados:Exercícios 1, 2, 3, 12, 13, 19, 30, 31, 34, 37, 40, 41 e 42, pg 155-161 do livro [1].Exercícios 2, 3, 4 e 14, pg 124-126 do livro [3].


Para a Unidade 7, a principal referência será o livro [1].Começamos o estudo de uma nova estrutura algébrica, chamada grupo.

Esta estrutura tem apenas uma operação. Notar que se é um anel então é um grupo abeliano. Portanto, grupos estão relacionados com os anéis

estudados anteriormente.Destacamos os seguintes grupos:

, grupos de permutações, grupos de rotações e grupos diedrais.

Acompanhe as notas históricas sobre grupos em ([1], pg 137-138).Dê uma atenção especial ao parágrafo 2.4 em ([1], pg 140-153), que

constrói alguns grupos importantes.

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16ª Semana – 14/06/10 a 19/06/10

Nesta semana será realizada a Prova 2, no dia 17/06 (20:20h – 22:00h).

A Tarefa 2 deve ser entregue ao tutor do pólo as 20:00h.

Conteúdo: Unidades 5, 6 e 7.


Acompanhamento da prova.

Atividades de Estudos para a Semana:Rever as Unidades 5, 6 e 7.Rever os exercícios recomendados nas semanas anteriores.Rever a Tarefa 2.

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17ª Semana – 21/06/10 a 26/06/10

Nesta semana será realizada a Prova Substitutiva, no dia 24/06 (20:20h – 22:00h).

A prova substitutiva é sobre todo o conteúdo do semestre.

Possivelmente até esta data não estarão divulgadas as notas da Tarefa 2 e da

Prova 2. Portanto, todos os estudantes podem fazer esta prova.

Para cálculo da média, serão consideradas as duas maiores notas escolhidas

entre a Prova 1, a Prova 2 e a Prova Substitutiva.

30

18ª Semana – 28/06/10 a 03/07/10

31

Março - 2010

01020304050607 Domingo

080910 Tarefa 1 disponível no ambiente

11121314 Domingo

15161718192021 Domingo

22232425262728 Domingo

293031

32

Abril – 2010

0102 Sexta-feira da Paixão

0304 Domingo

05060708091011 Domingo

12131415161718 Domingo

192021 Tiradentes

22232425 Domingo

26272829 Entrega da Tarefa 1 (20:00h) e Prova 1 (20:20h-22:00h)

30

33

Maio - 2010

01 Dia do Trabalho

02 Domingo

030405 Tarefa 2 disponível no ambiente

06070809 Domingo

10111213141516 Domingo

17181920212223 Domingo

24252627282930 Domingo

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34

Junho - 2010

010203 Corpus Christi. A aula desta quinta-feira será gravada previamente.

040506 Domingo

07080910111213 Domingo

14151617 Entrega da Tarefa 2 (20:00h) e Prova 2 (20:20h-22:00h)

181920 Domingo

21222324 Prova Substitutiva (20:20h-22:00h)

252627 Domingo

282930

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Julho - 201001020304 Domingo

05060708091011 Domingo

12131415161718 Domingo

19202122232425 Domingo

262728293031

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ead.ufsc.br · web view2.1 definição das estruturas algébricas de anel, domínio e corpo 2.2...

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