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Analogias e Metáforas em livros didáticos de Matemática para alunos de 11 a 14 anos de idade: aplicações no Ensino de Geometria

RESUMO

Este artigo tem por objetivo registrar resultados de uma pesquisa sobre o uso de Analogias e Metáforas (A&M), como recurso didático para o ensino de Geometria nosanos finais do Ensino Fundamental. Até a década de 40 eram poucos os artigos científicos, em especial no Brasil, que abordavam o uso de A&M como ferramentas didáticas. Eram consideradas apenas figuras de linguagem e não constituíam preocupações mais profundas nas pesquisas em educação em ciências ou matemática. O problema gerador da pesquisa teve inicio quando um dos pesquisadores que livros didáticos da década de 50 e 60, período caracterizado por um ensino de matemática que se convencionou chamar de “tradicional” e que quase sempre associamos à memorização de regras e ao treino de algoritmos não apresentavam analogias e metáforas como os livros mais recentes, inclusive de mesmos autores. A partir de estudos mais recentes o uso de A&M, por parte de professores e de autores de livros didáticos, tem se mostrado menos espontâneo e mais sistematizado. Um dos procedimentos metodológicos na identificação das A&M terá como fundamento a relação de proporcionalidade de Aristóteles onde A está para B assim como C está para D. Serão identificadas, também, as expressões: é como se fosse; semelhante a; parecido com na identificação delas. São apresentados e discutidos resultados da análise de três livros de matemática, publicados entre 2000 e 2010, no que se refere ao uso de A&M.no ensino de geometria. Os resultados preliminares permitem inferir que os conteúdosde geometria analisados fazem de alguma forma, o uso de A&M como recurso didático. Tais resultados aparecem no texto introdutório; na descrição do conteúdo ou na apresentação dos exercícios de fixação.

Palavras- chave: Analogias, Metáforas, Geometria, Livros didáticos.

INTRODUÇÃO –

Até a década de 40 eram poucos os artigos científicos, em especial no Brasil, que

abordavam o uso de A&M como ferramentas didáticas. Eram consideradas apenas

figuras de linguagem e não constituíam preocupações mais profundas nas pesquisas em

educação em ciências ou matemática.

O contato com artigos relacionados ao uso de A&M, no ensino de ciências e matemática

de autores nacionais e a observação da prática educativa promoveu uma necessidade de

desenvolver um trabalho mais focado na temática dentro do conteúdo da Geometria.

A partir de estudos mais recentes o uso de A&M, por parte de professores e de autores

de livros didáticos, tem se mostrado menos espontâneo e mais sistematizado.

XVI ENDIPE - Encontro Nacional de Didática e Práticas de Ensino - UNICAMP - Campinas - 2012

Junqueira&Marin Editores Livro 3 - p.003798

Érika Schmidt Naves

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Uma característica marcante da Metáfora é o intuito de dizer alguma coisa, para

entender ou significar outra.

Embora as pesquisas sobre A&M no ensino de matemática sejam escassas, é importante

considerar que há uma forte relação histórica entre estas duas áreas de conhecimento.

Para Aristóteles (Estagira 384 a.C.- Atenas, 322 a.C.) (apud MACHADO, 1995, p. 10),

“a metáfora consiste em dar a uma coisa o nome de outra coisa, produzindo-se como

que uma transferência de significados, com base na analogia ou na semelhança”.

Para Duit (1991) as Analogias constituem valiosas ferramentas para mudanças

conceituais e facilitadoras do entendimento do abstrato. Isto é, um domínio menos

familiar, assunto científico a ser esclarecido, denominado de “alvo”. É tornado

compreensível por semelhança com um domínio mais familiar, denominado de

“análogo” (GLYNN et al., 1998). Analogias e Metáforas fazem parte do cotidiano das

pessoas. São utilizadas, muitas vezes na educação como forma de facilitar a

aprendizagem do educando, aproximando os conceitos com o que lhe é familiar.

Contribuem dessa maneira, para um processo de ensino e de aprendizagem

significativos que levem em consideração os conhecimentos prévios dos alunos.

Os conceitos científicos considerados pelos alunos um tanto “indigestos” são mais facilmente compreendidos com o uso deste recurso que torna os conceitos mais “palatáveis” (FERRAZ & TERRAZAN, 2003).

São grandes as dificuldades que um professor de Matemática encontra ao ensinar o

conteúdo de sua disciplina. Como diz CACHAPUZ (1989, p. 118): “As Analogias e Metáforas podem ser uma necessidade epistemológica já que, em conjunto com a imagética que lhes está associada, podem constituir poderosos instrumentos de ajuda cognitiva e nesse sentido importantes mediadores de aprendizagem dos alunos”.

Depreende-se daí a capacidade das A&M no processo de ensino e de aprendizagem para

ciência e matemática, e para nós no ensino da Geometria.

Aliado a tal interesse, este artigo mostra-se relevante na medida em que pretende

contribuir com o meio científico, uma vez que são escassos, na literatura acadêmica,

pesquisas que relacionam Geometria e o uso das A&M, tanto nos livros didáticos como

no discurso do professor.

Os livros didáticos apresentam em comum uma tendência a produzir significados para

os conceitos geométricos utilizando-se de: atividades de investigação; tema gerador;

ensino contextualizado; brincadeiras infantis; relação entre o conhecimento informal e o



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sistematizado da Geometria; observação de formas geométricas presentes na natureza e

objetos criados pelo homem (principalmente construção civil).

Em NASSER & TINOCO (2001), fica claro que na ultima década, a mudança do ensino

já está acontecendo, sendo confirmada na avaliação nacional do livro didático – na qual,

atividades envolvendo processos de inferência, análise, argumentação, tomada de

decisões, críticas e validação de resultados vem sendo valorizadas –, assim como por

meio das produções da comunidade nacional de educadores matemáticos.

O ano de 1996 marca uma grande mudança na educação brasileira com a promulgação

da Lei das Diretrizes e Bases para a educação. Pela primeira vez na história da educação

brasileira, uma lei da atenção às diferenças que se manifestam em sala de aula e indica a

necessidade de um ensino diferenciado, sem apelo à excessiva memorização. O livro

didático é um importante instrumento de apoio ao processo de ensino e aprendizagem,

atuando como um dos principais mediadores na construção do conhecimento,

possuindo uma função muito relevante na sociedade, principalmente nos aspectos

pedagógicos, econômicos e político-culturais (OLIVEIRA; GUIMARÃES; BOMÉNY,

1984).

A Matemática é vista por muitos alunos, como uma disciplina que gera muitas

dificuldades, conflitos pessoais e até certo grau de ansiedade emocional. Pensando nessa

situação é possível perguntar por novas alternativas educacionais que sejam mais

atraentes e envolventes e que possam transformar o professor e o aluno em sujeitos da

educação.

Com esse olhar, próximo da realidade cotidiana, foi desenvolvido uma pesquisa com o

objetivo de observar novas alternativas possíveis para favoreces a construção do

conhecimento em Matemática mais especificamente em Geometria para alunos de 11 a

14 anos de idade

Segundo Piaget a passagem do pensamento concreto para o pensamento formal ocorre

após os 11 ou 12 anos, as operações lógicas começam a ser transportadas do plano da

manipulação para as idéias. (PIAGET, 1995, p. 59).

O pensamento formal e, portanto, “hipotético-dedutivo”, isto é, capaz de deduzir as

conclusões de puras hipóteses e não somente através de uma observação real.



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Suas conclusões são válidas, mesmo independente da realidade de fato, sendo por isto

que esta forma de pensamento envolve uma dificuldade e um trabalho mental muito

maior que o pensamento concreto (PIAGET, 1995, p. 59)

Seguindo essa linha de raciocínio, o desenvolvimento é então um processo contínuo,

gradual e possível graças à equilibração cognitiva. O desenvolvimento cognitivo não é

imposto pela maturação ou pela perspectiva do meio, logo, ele é o resultado da interação

do sujeito e objeto.

Desta forma o sujeito procura adaptar-se à realidade em que vive, provendo sue

desenvolvimento mental e intelectual por meio de seus estágios evolutivos. Assim o

sujeito organiza e transforma a realidade sem jamais copiá-la, atua sobre a realidade e

sobre o objeto, desenvolvendo o processo de construção mental do conhecimento.

HISTORIA DA MATEMÁTICA

A origem Matemática do termo Analogia é citada por HAARAPANTA (1992) extraído

do uso matemático (equivalente à proporção) de igualdade de relações, porém o autor

afirma que a analogia não pressupõe a existência de uma igualdade simétrica, mas antes

uma relação que é assimilada a outra relação, com a finalidade de esclarecer, estruturar

e avaliar o desconhecido a partir do que se conhece.

A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de

contabilizar diversos tipos de objetos. De forma semelhante, a origem da geometria (do

grego geo = terra + metria = medida, ou seja, “medir terra”) está intimamente ligada à

necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais. Foram

os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da

disciplina.

As primeiras considerações humanas a respeito da Geometria originaram-se da

necessidade de “medir a terra”. Em todas as atividades incluíam-se observações,

comparações e relações entre formas e tamanhos. Desde a mais remota civilização, o

homem já pintava em cavernas, animais e objetos, demonstrando simetria e

congruência.



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Alguns autores acreditam que a observação das simetrias existentes na natureza e a

consequente percepção de seu valor artístico e estético, teriam levado o homem a

utilizar tais representações e a perceber suas regularidades.

Durante séculos o Ensino de Geometria se manteve numa abordagem estática (por

influência da obra de Euclides); nos anos de 1960, todavia, começou a sofrer mudanças

significativas a partir do Movimento da Matemática Moderna. Segundo NASSER &

TINOCO (2001), esse movimento impôs à Matemática um caráter puramente

estruturalista não condizente com a realidade do saber escolar. Nesse contexto, houve

um abandono do Ensino de Geometria ou uma tendência de retorno às suas bases

tradicionais. Quando ocorreram os movimentos de questionamento da Matemática

Moderna e com as tentativas de retorno do ensino da Geometria, a ênfase recaiu nos

aspectos empíricos da Geometria.

Nesse movimento, marcado muito mais pela tentativa de buscar motivações para esse

ensino, pode-se propor uma possível explicação para o total abandono do raciocínio

dedutivo. O que constatamos em nosso estudo foi o fato de uma abordagem mais

experimental estar substituindo a ênfase dada a uma concepção axiomática do ensino de

geometria.

Em DEMO (2002, p. 77), essa idéia fica clara na proposta do aprender a aprender:

Sendo assim, a Matemática apenas copiada além de revelar um professor-cópia, nega

sua função propedêutica de saber pensar.

Nesse sentido, inserem-se algumas idéias de Bachelard, quando se incentiva um ensino

participativo e ativo valorizando mais a pergunta do que a resposta. Segundo ele, “para

ensinar o aluno a inventar, é bom mostrar-lhe que ele pode descobrir” (BACHELARD,

1996, p. 303)

PROBLEMA/QUESTÕES

A “práxis” do professor de matemática, ao trabalhar o conteúdo da geometria, faz de

modo espontâneo, uso de modelos análogos da natureza ou da construção humana.

A questão da pesquisa começou com a observação de livros didáticos da década de 50 e

60, período caracterizado por um ensino de matemática que se convencionou chamar de

“tradicional” e que quase sempre era associado à memorização de regras e ao treino de

algoritmos. Comparados com livros didáticos atuais observa-se uma mudança nos



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textos, inclusive de mesmos autores, nos quais é possível identificar analogias e

metáforas que não constavam dos livros da década anterior.

É importante destacar a concepção de tendência apontada por FIORENTINI (1995, p.3),

que a considera como: um saber funcional, isto é, uma modalidade de conhecimento,

socialmente elaborada e partilhada, criada na prática pedagógica cotidiana e que se

alimenta não só das teorias científicas (Psicologia, Antropologia, Sociologia, Filosofia,

Matemática,...), mas também de grandes eixos culturais, de ideologias formalizadas, de

pesquisas, de experiências de sala de aula e das comunicações cotidianas. Segundo

NAGEM (1997, p.7), “quando o objetivo é compreender, fazer-se compreender e

comunicar algo, pode-se constatar um sucesso na utilização de imagens, analogias ou

metáforas.”

Segundo ENGLISH, (1997, p. 3) a matemática... “é o estudo das estruturas que nós

usamos para compreender e raciocinar sobre nossa experiência corporal e que nós

abstraímos por meio da metáfora”.

O tema tem sido objeto de interesse e preocupação de pesquisadores em diversas áreas.

A legitimação sobre a utilização de analogias na produção do conhecimento tem

suscitado importantes debates epistemológicos e filosóficos. RODRIGUES (2005)

destaca que no desenvolvimento da ciência moderna, as analogias passaram a ser

utilizadas de forma abundante em diferentes disciplinas do conhecimento científico.

"Nosso objetivo é trazer uma contribuição para essa área tão fundamental".

Para D’AMBROSIO (1993), uma das grandes dificuldades em ensinar a Matemática

nas escolas é o fato desta área do conhecimento usualmente ser apresentada aos

estudantes como um conhecimento pronto e acabado, que pouco está relacionado com

as situações vivenciadas cotidianamente pelas pessoas e a universalidade com que ela

está presente nos currículos escolares. Deste modo, diz o autor:

“Embora, a nosso ver, a descontextualização da Matemática seja um dos maiores equívocos da Educação Moderna, o que efetivamente se constata é que a mesma Matemática é ensinada em todo o mundo, com algumas variantes que são bem mais estratégias para atingir o conteúdo universalmente acordado como devendo ser a bagagem de toda a criança que passa por um sistema Nova Escola (D’AMBROSIO, 1993, p.7)”.

OBJETIVO



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Este artigo tem por objetivo registrar resultados de uma pesquisa sobre o uso de

Analogias e Metáforas (A&M), em livros didáticos (PNLD) para o ensino de Geometria

para alunos de 11 a 14 anos de idade.

A proposta desenvolvida busca identificar de forma sistemática as Analogias e

Metáforas presentes no conteúdo da Geometria do ensino fundamental.

METODOLOGIA

Um dos procedimentos metodológicos na identificação das A&M terá como

fundamento a relação de proporcionalidade de Aristóteles onde A está para B assim

como C está para D. Serão identificadas, também, as expressões: é como se fosse;

semelhante a; parecido com na identificação delas.

Não existe uma única metodologia de pesquisa correta ou aplicável para todo e qualquer

tipo de análise. O que delibera qual metodologia de pesquisa será utilizado é tipo de

estudo e o objetivo da investigação, segundo ALVES-MAZZOTTI (1998)

A primeira fase deste projeto está inserida no âmbito da pesquisa documental. De

acordo com ANDRÉ (1995), os documentos são utilizados para contextualizar o

fenômeno, explicitar as suas vinculações e completar as informações coletadas por meio

de outras fontes.

Os livros didáticos cadastrados no Plano Nacional do livro Didático (PNLD) serão as

fontes de informações na coleta de dados e na identificação das A&M.

O marco temporal escolhido é o período compreendido entre 2002 até 2010. A escolha

desse período é justificada, segundo FERREIRA (2011) por ser um período que

representou aumento significativo na produção do conhecimento científico nacional,

com uma participação de 2,12% na produção mundial, ocupando a 13ª colocação no

ranking mundial de artigos publicados em revistas especializadas.

A segunda fase está inserida no âmbito da pesquisa qualitativa. De acordo com ANDRÉ

(1995), a pesquisa qualitativa busca formulação de hipóteses, conceitos, abstrações e

teorias. Não busca a sua testagem. Ela utiliza em plano de trabalho aberto e flexível, em

que os focos da investigação são constantemente revistos, as técnicas de coleta são

reavaliadas, os instrumentos são reformulados e os fundamentos teóricos são

repensados. Procura-se com isso a descoberta de novos conceitos, relações e formas

inovadoras de entendimento da realidade.



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O desenvolvimento da pesquisa será feito em três etapas. A primeira será uma pesquisa

no site do PNLD e consistirá na identificação dos livros didáticos de Matemática

autorizados pelo MEC nos anos de 2002, 2005, 2007 e 2010.

Após a coleta dos exemplares inicia-se a segunda etapa com a identificação das

Analogias e Metáforas no conteúdo de Geometria em cada obra do 6º ano/9º em todos

os anos citados acima.

A terceira etapa, por sua vez, configura a classificação e sistematização da segunda

etapa.

De acordo com ALVES-MAZZOTTI (1998) as pesquisas qualitativas são

caracteristicamente multimetodológicas por sua diversidade e flexibilidade, não

admitem regras precisas. Até o grau de estruturação prévia pode ser definido no

decorrer do processo de investigação, sendo assim, fica evidente que no decorrer da

pesquisa novos processos metodológicos podem ser utilizados.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

São apresentados e discutidos resultados da análise de três livros de matemática,

publicados entre 2000 e 2010, no que se refere ao uso de A&M. no ensino de geometria.

Os resultados preliminares permitem inferir que os conteúdos de geometria analisados

fazem de alguma forma, o uso de A&M como recurso didático. Tais resultados

aparecem no texto introdutório; na descrição do conteúdo ou na apresentação dos

exercícios de fixação.

É intenção de essa pesquisa diagnosticar, classificar e comparar analogias e metáforas

identificadas em exemplares de livros didáticos de matemática das décadas de 50 e 60

com os mesmos livros atuais.

As ilustrações abaixo indicam a presença de algumas analogias e metáforas presentes

nos livros didáticos pesquisados.

Livro: Praticando Matemática- Álvaro Andrini 2005



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Livro: Matemática Idéias e Desafios

Autores: Iracema e Dulce – 2009

Assunto: Ângulos

Nos quartéis os soldados costumam praticar exercícios de “ordem unida”. “Eles recebem ordens, como: “meia volta, volver”; “à direita, volver” e” à esquerda, marchem”. Ao cumpri-las, os soldados executam movimentos que envolvem giros, mudança de direção e ângulos. Nas situações a seguir os movimentos de Marcos são parecidos com esses.

MARCOS ESTÁ DE FRENTE PARA A PORTA, OLHANDO EM DIREÇÃO A ELA.

ELE DÁ UM GIRO DE MEIA VOLTA.

AO TÉRMINO DESSE GIRO PARA ONDE ELE ESTÁ OLHANDO?

Marcos começa mais uma vez de frente para a porta, olhando em direção a ela. Faz um giro da direita para a esquerda e fica de frente para a lousa. Marcos está olhando em direção à lousa.



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Ele realizou um giro de um quarto de volta

Os giros estão associados a mudança de direção e, muitos deles podem ser representados por meio de ângulos

Remetendo a Aristóteles temos:

A = C

B D

Pelo autor temos:

MOVIMENTOS = MUDANÇA DE DIREÇÃO

GIROS ÂNGULOS

CONTINUANDO A INTRODUÇÃO DO CAPÍTULO TEMOS:

VEJA O PERCURSO QUE O CARRINHO DE CÉLIA FEZ.

Quando ela acionou o controle remoto, o caminhão foi do ponto A ao ponto B.

Em matemática, consideramos ângulos a figura geométrica formada por duas semi retas de mesma origem.



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LIVRO: Tudo é Matemática 6º ano

Autor: Luiz Roberto Dante 2010

Capítulo 8 circunferências

As Analogias e Metáforas fazem parte do cotidiano das pessoas e são utilizadas, muitas

vezes, na educação como forma de facilitar a aprendizagem do educando, aproximando

os conceitos do que lhe é familiar. Dessa forma, pode contribuir para o processo de

ensino e de aprendizagem de modo que sejam mais significativos e que levem em

consideração os conhecimentos prévios do educando.

A Analogia é um processo dinâmico. O análogo é o objeto utilizado para desenvolver o

processo do raciocínio analógico na construção ou reconstrução do conhecimento. Os

exemplos apresentados são produtos do raciocínio analógico.

Os dados permitem inferir que os livros didáticos analisados fazem de alguma forma, o

uso de Analogias como recurso didático na exposição do conteúdo ou na apresentação

dos exercícios de fixação.



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Como proposta de continuidade da pesquisa e dos estudos sobre Analogias e Metáforas,

é possível iniciar um processo de categorização de cada Analogia representada nos

livros Didáticos no conteúdo de Geometria. Os dados comparativos encontram-se em

análise.

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PIAGET, Jean. Seis estudos de psicologia. Trad. Maria Alice Magalhães D’Amorim e

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RODRIGUES, Léo Peixoto. Introdução à sociologia do conhecimento da

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