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ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY

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ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é a parte da matemática que estuda as técnicas gerais de contagem de certos tipos de subconjuntos de um conjunto finito, sem que seja necessário enumerar seus elementos (contagem indireta). Vale salientar que a análise combinatória trata de vários outros tipos de problemas e dispõe, além das combinações, arranjos e permutações, de diversas técnicas para enfrentá-los. Entretanto essas técnicas estão fora do nosso objetivo de estudo. A solução de um problema combinatório exige quase sempre engenhosidade e compreensão plena da situação descrita pelo problema. Portanto, antes de tudo, é necessário formular exemplos sobre a situação exigida e, a partir daí, usar as técnicas de contagem para encontrar a solução. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Considere uma ação composta em duas etapas. Se a primeira etapa pode ser feita de m modos e, se para cada um desses modos, a segunda etapa pode ser feita de n modos, então o total de modos a se realizar a ação é m.n. obs.: Essa ação pode ser composta de mais etapas. Vamos resolver! 01. Numa sala há 2 homens e 3 mulheres. De quantos modos e possível selecionar um casal homem-mulher? 02. Para fazer uma viagem Petrolina – Fortaleza – Petrolina, posso usar como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? 03. Quantos números naturais de três algarismos existem no sistema de numeração decimal? E com os algarismos necessariamente distintos, qual será a resposta do problema?

04. (UFPE) Um fazendeiro dispõe de um terreno dividido em regiões, como na figura abaixo, e pretende cultivá-las de forma que as regiões com uma fronteira comum tenham plantios diferentes. De quantas formas ele pode fazer o plantio se pode optar entre milho, feijão, soja, arroz e trigo para cultivar? A) 120 B) 24 C) 48 D) 64 E) 60 05. (UFAL/07) Considere o conjunto A, formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise as afirmações que seguem. 0 0 - Com os elementos de A é possível escrever 32 542 números de 5 algarismos distintos entre si. 1 1 - De todos os números de 4 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 3 120 são pares. 2 2 - De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 176 são menores do que 350. 3 3 - Com os elementos ímpares de A é possível escrever exatamente 60 números de 3 algarismos distintos entre si. 4 4 - De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 150 são divisíveis por 5.


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FATORIAL Dado um número natural n (n ≥ 2), define-se fatorial de n o produto dos fatores naturais, sucessivos e decrescentes de n até 1. Representamo-lo por n!.

Para os casos n = 0 e n = 1, temos:

Exemplos 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

8! = 8.7! = 8.5040 = 40320 Cuidado! 2! + 3! ≠ 5! 5!.2! ≠ 10! 8! ÷ 2! ≠ 4! (3²)! ≠ (3!)²

Podemos representar um produto em forma de fatorial, veja!

06. Simplifique:

a) 10!

12!

b) 4!.10!

14!

c) ( )( )! 1n

! n ! 2n

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ARRANJO SIMPLES

Dado um conjunto E com n elementos, chama-se arranjo simples dos n elementos de E tomados p a p, a todo subconjunto ordenado de E com p elementos distintos (0 < p ≤ n; n, p ∈ Ν).

Dados n elementos distintos , o número de modos de ordena-los p a p é:

07. (IME) Sendo e n ≥ 7, determinar y em função de n. (n é inteiro positivo) 08. (UEFS/04) Uma senha deve ser formada, escolhendo-se 4 algarismos de 0 a 9, sem que haja algarismos repetidos. Portanto, o número máximo de senhas que satisfazem a essa condição é: A) 840 B) 1210 C) 3420 D) 5040 E) 6100 PERMUTAÇÃO SIMPLES

Permutação simples de n elementos (n ≥ 2 e n ∈ N) é qualquer arranjo simples de n elementos tomados n a n. Dados n elementos distintos , o número de modos de ordená-los é:


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09. Quantos são os anagramas da palavra: a) BRASIL? b) Quantos desses anagramas começam por vogal e terminam por consoante? 10. (UECE/06) Seja P o conjunto cujos elementos são números inteiros positivos com cinco dígitos obtidos com as permutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Se dispomos os elementos de P em ordem crescente, o número de ordem de 43928 é: A) 58 B) 57 C) 59 D) 60 11. (EN) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se todos os números de 5 algarismos distintos. Determine a soma de todos eles.

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

O número de permutações de n elementos

(n∈Ν e n ≥ 2 ) dos quais α são iguais x1, β iguais a x2, ..., λ iguais xn, onde α + β +…λ = n, é:

12. Quantos são os anagramas da palavra: a) CAMA b) BATATA 13. (UNEB) Um anagrama de uma palavra é qualquer ordenação de suas letras. O número de anagramas da palavra BAHIA é: 01) 150 02) 60 03) 80 04) 120 05) 30 14. Um homem encontra-se no ponto A como mostra a figura. Ela só pode dar um passo de cada vez (da esquerda para a direita ou de baixo para cima). Por quatro caminhos ele pode optar para chegar ao ponto B, saindo de A?

B

A A) 24 B) 120 C) 126 D) 9! E) 13!


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PERMUTAÇÃO CIRCULAR Cada uma das maneiras distinta de dispor n (n ≥ 2) elementos em torno de um círculo é denominada permutação circular dos n elementos, e o total desses agrupamentos é indicado por:

15. (OSEC) O número de maneiras de 4 pessoas se sentarem ao redor de uma mesa circular é: A) 16 B) 24 C) 8 D) 6 E) n.d.a. 16. (UFC) De quantas maneiras diferentes pode-se colocar seis pessoas sentadas ao redor de uma mesa de forma circular se duas delas devem ficar sempre juntas? COMBINAÇÃO SIMPLES

Dado um conjunto E com n elementos, chama-se combinação simples dos n elementos de E tomados p a p, a todo subconjunto de E com p elementos distintos (0 ≤ p ≤ n ; n,p ∈ Ν). Dados n elementos distintos , o número de combinações simples desses n elementos tomados p a p é:

17. (UNEB/09) Sobre uma circunferência, foram marcados 5 pontos distintos. Com base na informação, pode-se concluir que o número de triângulos que podem ser formados, tendo esses pontos como vértice, é igual a 01) 8 02) 9 03) 10 04) 11 05) 12

18 Uma mini-loto consiste num jogo em que o cartão de aposta possui dez números (00-01-02-...-09) e o apostador deve marcar nesse cartão quatro número distintos. Quantos cartões distintos podem ser jogados na mini-loto? 19. (UFBA) Sobre duas retas paralelas e distintas, r e s, são marcados cinco e três pontos distintos. Determine quantos triângulos poderão ser formados tendo como vértices três dos pontos considerados. 20. (UPE) Uma empresa tem doze diretores, entre os quais Júnior, Daniela e Maria Eduarda. Quantas comissões de seis diretores podem ser formadas, sempre contendo Júnior, Daniela e Maria Eduarda como membros? A) 48 B) 84 C) 112 D) 108 E) 104 21. (UNIVASF/05) O gerente de uma empresa dispõe de 10 funcionários, dentre eles Carlos e Paulo. O número de comissões de 6 funcionários que poderão ser formados a partir desses 10 funcionários e que não terão Carlos e Paulo juntos na mesma comissão será A) 28 B) 84 C) 112 D) 140 E) 210


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22. (ITA/06) Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é: A) 44.30 B) 43.60 C) 53.60

COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO A combinação com repetição de n elementos tomados p a p é dada pela expressão:

onde Cn + p -1, p é a combinação simples de n + p – 1 elementos tomados p a p. 23. Mostre, através da fórmula de combinação com repetição, que o número de peças do jogo de dominó é 28. 24. (UFPE) Semelhante ao dominó, mas feito de pedras triangulares eqüiláteras, o jogo de trominó apresenta na face triangular superior um certo número de pontos com repetições, escolhidos de 1 a n, dispostos ao longo de cada aresta (ver figura). Quantas peças há no trominó, supondo n = 6?

25. (ITA) Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z + w = 5 ? A) 36 B) 48 C) 52 D) 54 E) 56 26. (UFBA/06) Durante uma reunião, ocorreu uma divergência quanto à formação de uma comissão gestora, a ser escolhida entre os presentes. Um grupo defendia uma comissão com três membros, sendo um presidente, um vice-presidente e um secretário. Outro grupo queria uma comissão com três membros sem cargos definidos. A primeira alternativa oferece 280 possibilidades de escolha mais que a segunda. Determine o número de pessoas presentes à reunião, sabendo-se que esse número é maior que 5.


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RESOLVA EM CASA!

27. Atualmente as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informações, calcule o numero de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUW, nesta ordem, e cujo último algarismo seja impar. A) 3600 D) 10001 B) 5000 E) n.r.a C) 10000 28. (UFC) Quantos são os anagramas da palavra AMOR em que a primeira letra não é A, a segunda não é M a terceira não é O e a quarta não é R? 29. (UNIFOR) Com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, podemos construir: I. x números de 3 algarismos distintos; II. y números de 4 algarismos; III. z números pares de 4 algarismos distintos; O valor de x + y + z é igual a:

A) 913 D) 2971 B) 1890 E) 3401 C) 1997 30. Com os dígitos 3, 4, 5, e 6 quantos números de 3 algarismos, divisíveis por 5, podemos formar?

A) 6 D) 24 B) 9 E) n.r.a C) 16 31. Um botão de um cofre tem os números 00, 01, 02, ..., 97, 98, 99. O segredo dele é uma seqüência de 4 números do botão. O número total dos possíveis é igual a: A) 104 D) 107

B) 105 E) 108 C) 106

32. Seja n o total de números naturais divisíveis por 4 e de cinco dígitos, que se pode formar com os algarismos 1, 2, 3, ,4 ,5 e 6. O valor de n/36 é igual a: A) 54 D) 90 B) 64 E) n.r.a C) 84 33. Dez diretores de uma empresa são candidatos aos cargos de presidente e vice-presidente da mesma. Quantos são os possíveis resultados da eleição? A) 100 D) 70 B) 90 E) 60 C) 80 34. (UFPI) Todos os números de telefone de certa cidade têm sete algarismos e os dois algarismos iniciais são ou dois-zero ou três-zero. Quantos números de telefone tem essa cidade, no máximo?

A) 100 000 D) 729 000 B) 200 000 E) 2 000 000 C) 590 490

35. Se , então A n,2 é igual a:

A) 30 D) 72 B) 42 E) 90 C) 56 36. (UFPB) Observe o código abaixo + * * + + + * * + * .Trata-se de uma seqüência de 10 sinais que podem ser + ou *. O número de códigos distintos que podem ser formados com 10 sinais usando os tipos acima (+ ou *) é: A) 1010 D) 1024 B) 10! E) 100 C) 4096 37. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Quantos números naturais com algarismos distintos existem entre 500 e 1000?

A) 504 D) 120 B) 729 E) 60 C) 280 38. Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,3,4,5,6,7,8} e f: A → B tais que f é uma função injetiva. O número de funções injetivas f de A em B é igual a: A) 2520 D) 120 B) 16807 E) 5040 C) 14287


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39. (UCSal) Sejam dados A, B, C, D ,E e F vértices de um hexágono regular, e o ponto x, centro da circunferência circunscrita a esse hexágono. O número de triângulos que podem ser formados, com vértices nos sete pontos dados, é: A) 210 D) 32 B) 207 E) 20 C) 35 40. (ITA) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: A) 12! D) 12! – 8! B) (8!)(5!) E) 12! – (7!)(5!) C) 12! – (8!)(5!) 41. Quantos números impares podemos formar permutando os algarismos 2, 3, 4, 6, 7 e 9? A) 120 D) 1440 B) 360 E) 2880 C) 720 42. Quantos são os anagramas da palavra RAPADURA? A) 3360 D) 6720 B) 40320 E) 336 C) 12 43. (UNICAMP) O mapa de uma parte de uma cidade é mostrado logo abaixo, com os quadrados representando os quarteirões e seus lados as ruas, que são todas de mão dupla. A área vazia no mapa representa uma praça que os carros não podem atravessar. Quantas são as maneiras de um motorista ir do cruzamento A para o cruzamento B se ele deseja percorrer a menor distância possível?

44. (UCSal) O Clube Náutico do Preguiçosos tem 895 sócios e suas carteirinhas são numeradas assim: 000, 001, 002, ..., 894, 895. Quantas são as carteirinhas em cujo número não há algarismo repetido? A) 710 D) 646 B) 694 E) 612 C) 648

45. Considere o conjunto A = {1,2,3,4,5,6}. Quantos são os subconjuntos de A que possuem 4 elementos distintos? A) 30 D) 45 B) 15 E) 64 C) 60 46. (ENEM/05) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é A) 12 D) 63 B) 31 E) 720 C) 36 47. (UFC) Sobre uma reta r, marcam-se 6 pontos distintos e sobre outra reta, paralela a primeira, marcam-se 5 pontos distintos. Desse modo usando esses pontos como vértices podem ser construídos n triângulos e m quadriláteros. O valor de m – n é igual a: A) 15 D) 60 B) 30 E) 75 C) 45 48. (UNEB/09) A quantidade de maneiras distintas que 4 moças e 4 rapazes podem se sentar em uma fila de 8 assentos, de modo que nunca haja nem dois rapazes vizinhos e nem duas moças sentadas uma ao lado da outra, é igual a 01) 2304 04) 380 02) 1152 05) 256 03) 576 49. Em um grupo de 15 pessoas existem 5 médicos, 7 engenheiros e 3 advogados. Quantas comissões podemos formar, cada qual constituída de 2 médicos, 2 engenheiros e 1 advogado? A) 240 D) 630 B) 420 E) 890 C) 540 50. Com os dígitos 1,2,3,4,5,6 e 7 de quantas formas podemos permutá-los de modo que os números ímpares fiquem sempre em ordem crescente? A) 840 D) 420 B) 720 E) 210 C) 600


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51. (UNICAP) Qual o número de soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 8 ? 52. (UNEB) A quantidade de número múltiplos de 4, com 4 algarismos distintos, que se pode formar com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3 4, 6} é igual 01) 12 04) 26 02) 18 05) 36 03) 24 53. (UFPE) Seja A um conjunto com 3 elementos e B um conjunto com 5 elementos. Quantas funções injetoras de A em B existem? 54. (UNEB/06) Com 8 flores distintas sendo 3 alvas e 5 rubras, um artesão vai arrumar um ramalhete contendo 6 dessas flores, em que, pelo menos, uma seja alva. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número máximo se ramalhetes distintos que ele pode confeccionar é igual a 01) 3 04) 18 02) 10 05) 28 03)15 55. (UPE/03) Uma loja de departamentos utiliza para identificar os cartões de seus clientes especiais um código formado por duas vogais distintas e quatro dígitos diferentes, sendo que o dígito das unidades é sempre zero. Nestas condições, podemos afirmar que o número de clientes especiais que a loja pode cadastrar é: A) 10800 D) 80010 B) 10080 E) 81000 C) 80100 56. (UNICAP) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, Pascal formou n números pares e positivos com quatro dígitos distintos. Determine n. 57. (UFBA) Determine quantos número pares formados por três algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 se podem formar, de modo que a soma dos algarismos seja par. 58. (UNICAP) Em uma reunião, todos os presentes se cumprimentaram, perfazendo um total de 91 cumprimentos. Quantas pessoas estavam na reunião? 59. (UFPE) Com vértices em 10 pontos escolhidos numa circunferência constroem-se todos os polígonos convexos possíveis. Indique a soma dos dígitos do número de tais polígonos.

60. (UNICAP) Quantos números inteiros, maiores que 2400 podemos escrever com os dígitos 1, 2, 3 e 4, sem repetição? 61. (UPE) Um grupo de pessoas é composto de 7 rapazes e 5 moças. Desejando-se formar equipes de 6 pessoas, de modo que cada equipe não tenha mais rapazes do que moças, obtém-se: I II 0 0 462 equipes. 1 1 350 equipes como o número de rapazes igual ao número de moças. 2 2 262 equipes. 3 3 162 equipes. 4 4 112 equipes com mais moça do que rapazes. 62. (UnB) Seja u o último algarismo da soma 1! + 2! + 3! + ... + 99!. Se P(x) = x5 – 3x3 – 6x2 – 12x+ 1, então P(u) é igual a: A) 70 D) 73 B) 71 E) 74 C) 72 63. (UEFS) A quantidade de números inteiros x, formados pelos algarismos 0,1,3,4,5, sem repeti-los, tais que 100 < x < 1000 e, x é múltiplo de 5, é igual a: A) 21 D) 120 B) 24 E) 125 C) 40 64. (UEFS) Para elaborar uma prova, pretende-se criar uma comissão entre os 7 professores de matemática de uma escola. O número de possibilidades para formar essa comissão, de modo que ela contenha, pelo menos, dois professores, é igual a: A) 42 D) 150 B) 120 E) 210 C) 128 65. (UNEB) A Seleção Brasileira de Basquetebol feminino deve ser escalada a partir de um conjunto de 8 jogadoras, entre elas Marta e Paula. O número de maneiras que a escala pode ser feita, sabendo-se que a seleção atua com 5 atletas e que Marta e Paula devem sempre ser escaladas, é:


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66. (UNEB) Um empresário, visando proteger o sistema de segurança de sua firma, deseja criar senhas constituídas de seqüências de quatro dígitos distintos, sendo os dois primeiros vogais e os dois últimos algarismos. O número de senhas distintas, do tipo descrito, que podem ser formadas é igual a: 01) 180 04) 1600 02) 200 05) 1800 03) 800 67. (UNEB) Oito pontos são marcados sobre um círculo. O número de triângulos inscritos nesse círculo,com vértices nesses pontos, é: 01) 24 04) 65 02) 48 05) 336 03) 56 68. (UEFS) Duas irmãs possuem 4 saias e 3 blusas. O número de maneiras distintas que elas podem vestir é: 01) 12 04) 144 02) 24 05) 14472 03) 72 69. (PUC-SP) O novo sistema de placas de veículos utiliza um grupo de 3 letras (dentre as 26) e um grupo de 4 algarismos (por exemplo: ABC - 1023). Uma placa dessas será “palíndroma” se os dois grupos que a constitui forem “palíndromos”. O grupo ABA é palíndromo, pois as leituras da esquerda para a direita e da direita para a esquerda são iguais; da mesma forma, o grupo 1331 é “palíndromo”. Quantas placas “palíndromas”, distintas, poderão ser constituídas? 70. (UNEB/05) Colocando-se em ordem crescente todos os números inteiros de cinco algarismos distintos formados com os elementos do conjunto {2, 4, 5, 6, 7}, a posição do número 62754 é a 01) 56ª 04) 87ª 02) 64ª 05) 91ª 03) 78ª 71. (UEFS) O número de anagramas da palavra FEIRA, em que nem duas vogais podem estar juntas nem duas consoantes, é igual a A) 10 D) 24 B) 12 E) 25 C) 18

72. (UEFS/06)

A figura ilustra um bloco de um código de barras utilizado por uma empresa para cadastrar os preços dos produtos que comercializa. Cada bloco é formado por 12 barras verticais separadas por 11 espaços podendo ser usadas barras de três larguras distintas e espaços de duas larguras distintas. Nessas condições, o número máximo de preços que podem ser cadastrados através desse sistema é: A) 312.211 D) 3 + 611

B) 123.112 E) 312 + 611

C) 123 + 112 73. (UFC/05) Considere o octaedro ABCDEF, representado ao lado. Nele, um besouro se desloca ao longo de suas arestas, do ponto A ao ponto F, de modo que não passa por qualquer dos vértices mais de uma vez. De quantos modos diferentes ele pode fazer isso?

74. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre análise combinatória, é verdade: (01) Podem-se escrever 24 números pares, compreendidos entre 99 e 1000, com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los. (02) Um grupo de turistas tem 30 maneiras diferentes de escolher 3 roteiros de passeios distintos, dentre os 10 oferecidos por uma agência. (04) Uma pessoa tem 24 opções para ir da cidade A para a cidade B, passando pelas cidades C, D, E e F. (08) Se Cm, 3 – Cm, 2 = 0, então m ∈ [5, 7].

(16) Se 20x!

2)!(x=

+, então x é um número par.


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75. (IME) Quantos retângulos há na figura?

76. (UFPE) De quantas formas podemos escolher, sem considerar a ordem, dois naturais distintos no conjunto (1, 2, 3, 4, ....., 20) de forma que sua soma seja múltiplo de 3? 77. (UFBA) No conjunto N* existem x números menores que 1000, com todos os algarismos distintos. Calcule x/18. 78. (PUC RS/07) Com 8 frutas diferentes, o número de saladas que podem ser feitas contendo exatamente 3 dessas frutas é A) 24 D) 112 B) 54 E) 336 C) 56 79. (EXPCEX/06) Um tabuleiro possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. De quantas maneiras diferentes é possível colocar 4 peças iguais nesse tabuleiro de modo que, em cada linha e em cada coluna, seja colocada apenas uma peça? A) 4096 D) 64 B) 576 E) 16 C) 256 80. (EXPCEX/07) A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas? A) 80 D) 640 B) 96 E) 1280 C) 240 81. (EXPCEX/08) Num determinado setor de um hospital, trabalham 4 médicos e 8 enfermeiras. O número de equipes distintas, constituídas cada uma de 1 médico e 3 enfermeiras, que podem ser formadas nesse setor é de A) 60 D) 1344 B) 224 E) 11880 C) 495

82. (FUVEST/07) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? A) 71 D) 83 B) 75 E) 87 C) 80 83. (ENEM/08) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome “velha” surgiu do fato de esse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro 3×3, devem conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro, e passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças. No tabuleiro representado ao lado, estão registradas as jogadas de dois adversários em um dado momento. Observe que uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a forma de um xis. Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada, esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro de A) uma só maneira. B) duas maneiras distintas. C) três maneiras distintas. D) quatro maneiras distintas. E) cinco maneiras distintas. 84. (CEFET SP/07) Em uma classe com 20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres, um professor propôs as seguintes regras para divisão dos alunos em duplas: – as mulheres não podem fazer duplas entre si; – Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos; – Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos. O número de maneiras diferentes de formar as duplas na sala, atendendo todas as regras do professor, é igual a A) 142. D) 284. B) 168. E) 312. C) 226.


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85. (UECE/08.1- 2ª fase) Assinale a alternativa na qual se encontra a quantidade de modos distintos em que podemos dividir 15 jogadores em 3 times de basquetebol, denominados Vencedor, Vitória e Confiança, com 5 jogadores cada. A) 3003 D) 756756 B) 9009 C) 252252 86. (UESB/06) O número máximo de anagramas da palavra UESB que não apresentam as duas vogais juntas é 01) 6 04) 18 02) 8 05) 24 03) 12 87. (MACK/08)

Ao utilizar o caixa eletrônico de um banco, o usuário digita sua senha numérica em uma tela como mostra a figura. Os dez algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) são associados aleatoriamente a cinco botões, de modo que a cada botão correspondam dois algarismos, indicados em ordem crescente. O número de maneiras diferentes de apresentar os dez algarismos na tela é

A) 5/210! D) .5!25

B) 5

10! E)

2

10!

C) !5.25 88. (UNIVASF/09 – 2ª fase) Em uma festa, cada um dos participantes cumprimenta cada um dos demais, uma vez. Se o número de cumprimentos entre dois homens foi 21, e entre duas mulheres foi 45; quantos foram os cumprimentos entre um homem e uma mulher? 89. (UFC/08 – 2ª fase) Considere o conjunto de dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. a) Dentre todos os números naturais com quatro dígitos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4. b) Dentre todos os números naturais com três dígitos distintos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 3.

90. (UFC/09 – 2ª fase) Uma comissão de 5 membros será formada escolhendo-se parlamentares de um conjunto com 5 senadores e 3 deputados. Determine o número de comissões distintas que podem ser formadas obedecendo à regra: a presidência da comissão deve ser ocupada por um senador, e a vice-presidência, por um deputado (duas comissões com as mesmas pessoas, mas que a presidência ou a vice-presidência sejam ocupadas por pessoas diferentes, são consideradas distintas). 91. (UESB/07) A Câmara Municipal de um pequeno município tem exatamente 13 vereadores, sendo que 8 apóiam o prefeito e os demais são da oposição. Uma comissão constituída de 3 vereadores da situação e 4 da oposição será escolhida. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de comissões distintas do tipo descrito é igual a 01) 280 05) 5 02) 140 04) 56 03) 120 92. (IME/08) De quantas maneiras n bolas idênticas podem ser distribuidas em três cestos de cores verde, amarelo e azul?

A)

+

2

2n D) ( )! 3n −

B)

3

n E) n3

C) n!/3! 93. (UFRN/08) Arranjam-se os dígitos 1, 2, 3 e 4 de todos os modos possíveis, formando-se 24 números de 4 dígitos distintos. Listam-se, em ordem crescente, os 24 números formados. Nessa lista, o número 3.241 ocupa a A) 14ª posição. D) 15ª posição. B) 13ª posição. C) 16ª posição. GABARITO – RESOLVA EM CASA

27 B 41 B 55 B 69 ** 83 B 28 09 42 A 56 12 70 03 84 A 29 D 43 262 57 42 71 B 85 D 30 C 44 D 58 14 72 A 86 02 31 E 45 B 59 05 73 28 87 A 32 A 46 D 60 14 74 13 88 70 33 B 47 A 61 * 75 210 89 *** 34 D 48 02 62 73 76 64 90 300 35 C 49 D 63 21 77 41 91 01 36 D 50 E 64 B 78 C 92 A 37 C 51 21 65 05 79 B 93 C 38 A 52 05 66 05 80 C 39 D 53 60 67 03 81 B 40 C 54 05 68 03 82 A

*35 – V,V,F,F,V **43 – 676 000 ***89 – a) 324 b) 48

analise_combinatoria

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