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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASINSTITUTO DE MATEMATICA, ESTATISTICA E COMPUTACAO

CIENTIFICA

Nome

Gustavo Chiquetto

Thaıs Marson

Rafaela Jessica Calefe

Lucas Angelo Hernandes

Bianca Carlstron Franco de Oliveira

RA

117135

142007

158365

172558

181975

ANALISE VERTICAL

Campinas

Setembro de 2017

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASINSTITUTO DE MATEMATICA, ESTATISTICA E COMPUTACAO

CIENTIFICA

Nome

Gustavo Chiquetto

Thaıs Marson

Rafaela Jessica Calefe

Lucas Angelo Hernandes

Bianca Carlstron Franco de Oliveira

RA

117135

142007

158365

172558

181975

ANALISE VERTICAL

Trabalho apresentado a disciplina de

Analise de Livros Didaticos do curso de

Licenciatura em Matematica da Universi-

dade Estadual de Campinas.

Campinas

Setembro de 2017

Sumario

1 Introducao 2

2 Metodologia 3

2.1 Conceituacao (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Manipulacao (M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Edicao (ED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Deficiencia Didatica (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5 Exercıcios (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Organizacao 5

4 Analise Vertical 6

4.1 Capıtulo 09 - Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Capıtulo 10 - Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Conclusao 26

1 Introducao

O livro didatico possui grande relevancia no ensinar/aprender. Hoje, o livro nao e somente um

apoio para o aluno mas tambem para professores que podem necessitar devido as incompletudes da

formacao em licenciatura ou nos casos de professores polivalentes ministrando aulas para materias que

nao foram graduados. Ao lado deste fato, o livro e uma importante ferramenta para disseminacao do

conhecimento, ampliacao e complexificacao atraves da construcao de estruturas do saber que organizam

e servem de alicerce para que os alunos possam alcancar novos horizontes.

Assim, o livro precisa ser o mais coerente possıvel procurando se adequar ao maximo a todos os

sujeitos que se relacionam com ele: professores e alunos. A adaptacao entao pode ser pensada a partir

de chaves que tornem o livro mais acessıvel mesmo ao aluno que se queira autodidata; um enunciado

contextualizado e claro seria um exemplo de adequacao.

Por isso, o processo de elaboracao de um livro didatico e extremamente complexo. Passa pelo desen-

volvimento de um projeto pedagogico-editorial, elaboracao dos textos originais, avaliacao, preparacao,

revisao e edicao do texto original, projeto grafico, pesquisa iconografica e de referencias para ilustracoes,

producao editorial e producao grafica. Sendo conduzidas por especialistas que trabalham para transpor

conteudos e atividades que levem a apropriacao e construcao do conhecimento e ao desenvolvimento de

estruturas que propriciem habilidades e competencias dentro do saber.

Dito isto, iremos problematizar os capıtulos 9 e 10 intitulados, respectivamente, ”Funcao Exponen-

cial”e ”Funcao Logarıtmica”, do 1º volume da colecao Matematica Paiva de Manoel Paiva. A analise

que faremos sera do tipo Vertical, ou seja, nos deteremos ao conteudo e uma possıvel busca de solucoes

dos problemas encontrados. Para tanto, definiremos uma metodologia a partir da obra Exame de Tex-

tos: ”Analise de livros de Matematica para o Ensino Medio”, do autor Elon Lages Lima. Nao foram

utilizados todos os criterios abordados por Elon; alem de termos acrescido alguns itens. Alem de ana-

lisar o texto teorico, investigamos os exercıcios e as secoes especiais dos capıtulos; a fim de oferecer um

panorama integral acerca dos capıtulos.

2 Metodologia

A metodologia desenvolvida para analise do livro didatico sera baseada em quatro topicos principais:

conceituacao, manipulacao, aplicacao, edicao e exercıcios. Dentro desses quatro fundamentos analisamos

os seguintes topicos:

2.1 Conceituacao (C)

O topico da conceituacao se divide em diferentes topicos que demarcam esses erros que atravessam

os conceitos matematicos. Sao eles:

C1) Erro de aproximacao: uso do sinal de igualdade no lugar do sinal de aproximadamente igual,

tomando uma aproximacao como uma igualdade;

C2) Erro resultante de conceitos mal formulados e vagos: da lugar a ambiguidades ou

conclusoes absurdas.

C3) Erro de conexao: acontecem quando a conexao entre conceitos matematicos e ignorada ou

mal feita, perdendo a oportunidade de explorar e entrelacar os conteudos.

C4) Erro de objetividade: excesso de informacoes para abordar um topico mais pontual e ob-

jetivo, dificultando o entendimento. Pode tambem ser o contrario: excesso de objetividade em temas

mais complexos.

2.2 Manipulacao (M)

Os erros de manipulacao sao aqueles que aparecem no desenvolvimento dos calculos, durante a

resolucao de um exercıcio ou demonstracao de algum resultado.

2.3 Edicao (ED)

Os erros de edicao contemplam a questao da organizacao do texto do livro, isto e, a diagramacao e

seus elementos.

2.4 Deficiencia Didatica (D)

As deficiencias didaticas de um livro sao as caracterısticas nele contidas que dificultam o leitor a

entender as nocoes ali apresentadas, nao aprendendo como utiliza-las.

2.5 Exercıcios (E)

O topico dos Exercıcios se divide em diferentes topicos. Sao eles:

E1) Contextualizacao: Observamos se o exercıcio proposto possui falsa contextualizacao, isto e,

se o exercıcio poderia ser resolvido sem o texto apresentado;

E2) Adequacao: Observamos se o exercıcio e adequado ao ano escolar e ao conteudo apresentado,

isto e, se possui exemplos que se assemelham a conteudos ja vistos;

E3) Distribuicao de exercıcios: Observamos a quantidade de exercıcios, ou seja, se a unidade

possui um balanco entre exercıcios nao contextualizados e contextualizados, e tambem a ordem de

distribuicao dos mesmos.

3 Organizacao

O livro se divide em cinco partes. Sao elas:

a) Pagina de Abertura: essa parte se propoe a apresentar o objeto de estudo do capıtulo atraves

de um problema contextualizado.

b) Exercıcios Resolvidos: buscando auxiliar a compreensao dos conteudos, essa secao acompanha

a teoria e expoe exercıcios resolvidos. A grande maioria e composta por exercıcios de manipulacao.

c) Exercıcios Propostos: essa parte se alterna com o conteudo e os exercıcios resolvidos, propondo

exercıcios que desejam verificar o aprendizado da teoria e que se conectem com o cotidiano.

d) Roteiro de Trabalho e Exercıcios Complementares: apos a teoria e os exercıcios propos-

tos, os capıtulos contam com um roteiro de trabalho a fim de reunir o aprendizado em questoes que

demandam maior articulacao dos conteudos. Em seguida, uma lista de exercıcios complementares com

questoes de diversos vestibulares e dada, na intencao de aprofundar os assuntos do capıtulo.

e) Matematica Sem Fronteiras: encerrando os capıtulos, essa parte apresenta aplicacoes inte-

ressantes dos conteudos, trabalhando com a interdisciplinaridade.

A organizacao deste trabalho foi guiada pelas partes do livro. Dois integrantes ficaram responsaveis

pela analise das partes a) e b), cada um de um capıtulo. Outros dois ficaram com a parte c), tambem

de capıtulos diferentes. As partes d) e e) dos dois capıtulos foram analisadas pelo quinto integrante do

grupo.

4 Analise Vertical

4.1 Capıtulo 09 - Funcao Exponencial

Introducao, pag. 169

Dada uma situacao problema, ao longo dos paragrafos o autor vai desenvolvendo o raciocınio para a

solucao do mesmo (C3). E necessaria a conexao de PG com a funcao exponencial, porem deve-se tomar

um certo cuidado ao retomar conceitos estudados usando nomes especıficos e ate mesmo formulas, pois

nem sempre todos se recordam e a ligacao pode ser falha e prejudicar no aprendizado do assunto em

questao.

Entramos tambem num erro resultante de conceitos mal formulados e vagos (C2), quando o autor se

refere ao decrescimento de ”g(x)”, uma vez que a situacao problema trata de reproducao considerando

que todas as bacterias sobrevivam a cada geracao.

Propriedades das potencias de expoente inteiro, pag. 170

Neste trecho deparamos com erro resultante de conceitos mal formulados e vagos (C2), uma vez que

o autor usa Dados os numeros reais a e b e os numeros inteiros m e n e obedecidas as condicoes para que

exsitam as potencias.... Anteriormente quando o autor comecou a tratar de potenciacao e radiciacao

foram apresentadas condicoes para cada caso, no entanto em nenhum momento foi colocado que estas

seriam as codicoes necessarias e suficientes para a existencia das potencias.

Exercıcios Propostos, pag. 170 e 171

Figura 1: Unidade pagina 170 e 171

Essa unidade possui um erro do tipo (E3), uma vez que so apresenta exercıcios que nao estao con-

textualizados.

Solucao: Poderia apresentar problemas contextualizados.

Notas (1), pag. 173

Encontramos novamente um erro resultande de conceitos mal formulados e vagos (C2):

Figura 2: Notas pagina 173

O autor ao colocar que por convencao adotamos apenas o numero positivo como o valor de n√a, exclui

o fato de que depende em que ambiente e contexto estamos trabalhando, por exemplo em Bhaskara

precisamos usar o resultado negativo.

Exercıcios Propostos, pag. 175

Figura 3: Unidade pagina 175

Essa unidade tambem possui um erro do tipo (E3), posto que so apresenta exercıcios sem contextu-

alizacao.

Solucao: Poderia trazer problemas com diferentes contextualizacoes.

Potencia de expoente racional, pag. 176

Figura 4: Unidade pagina 170 e 171

Vemos neste trecho a deficiencia didatica (D), levando em conta de que o autor coloca enfase na

igualdaden√ak = a

kn , levando o aluno a sempre usar essa definicao, mais por ter decorado do que por

ter entendido.


Figura 5: Unidade pagina 177

Essa unidade possui um erro do tipo (E3), pois, mais uma vez so apresenta exercıcios sem contex-

tualizacao.

Solucao: Poderia apresentar exercıcios contextualizados, ou diferenciados, ensinando a usar a calcula-

dora, por exemplo.


Exercıcio 18

Figura 6: Exercıcio 18

O exercıcio apresentado possui um erro do tipo (E1) e (E2), uma vez que o aluno consegue resolver

o exercıcio apenas com a formula dada e, alem disso, a realidade do texto nao se aplica ao cotidiano

dos alunos de 1º ano.

Solucao: Poderia induzir o aluno a montar a formula e tambem, poderia substituir o investidor da bolsa

de valores por uma aplicacao na poupanca.


Exercıcio 24


O exercıcio apresentado possui um erro do tipo (E1), ja que o exercıcio pode ser resolvido sem o

contexto, apenas com as informacoes da funcao dada.

Solucao: Poderia induzir o aluno a montar a funcao.

Exercıcio 28


O exercıcio apresentado possui um erro do tipo (E1), devido a independencia das funcoes ao con-

texto.

Solucao: Poderia induzir o aluno a montar as funcoes ou ao inves de dar as funcoes f e g, fazer com que

o aluno estude o grafico dado.


Exercıcio 30


O exercıcio apresentado possui um erro do tipo (E1), visto que a solucao nao necessita do contexto.

Solucao: Poderia induzir o aluno a montar as funcoes.

Roteiro de trabalho, pag. 184:

Exercıcio 1e

Figura 10: Exercıcio 1e

O exercıcio faz mencao a pagina errada, o que configura um erro de edicao (ED). Nao existem pro-

priedades na pagina 172, provavelmente estava se referindo a pagina 170. Este exercıcio apresenta erro

de conexao dentro do proprio capıtulo e os exercıcios que demandam conteudo referenciado.

Exercıcio 2


O exercıcio apresenta um erro do tipificado com deficiencia didatica (D). Alem de apresentar no corpo

do enunciado um excesso de formalizacao e obscuridade que dificultam sua compreensao e execucao.

Solucao: Acreditamos que a solucao a ser seguida seria trocar a incognita k por um numero a fim de

possibilitar a abstracao matematica a nıveis progressivos para evitar uma descontinuidade ou perda de

interesse. Ao lado disso, seria bastante oportuno o uso de um exemplo logo no enunciado para que

houvesse este mesmo espaco para progressao e, entao, colocar a incognita.

Exercıcios complementares, pags. 184 e 185

Execıcios 3, 4 e 5

Figura 12: Exercıcios 3,4 e 5

Os tres exercıcios a seguir - 3, 4 e 5 dos exercıcios complementares - apresentam erro do tipo (E1)

fomentam o uso excessivo e a dependencia da calculadora por parte dos alunos gerando obstaculos para

o desenvolvimento da abstracao requerida no campo da matematica. A crıtica nao se restringe a estes

pontos, pois, num sentido mais amplo, os tres exercıcios poderiam ser selecionados para que nao fossem

tao repetitivos e houvesse um aproveitamente melhor deste espaco de complementacao.

Solucao: Nos parece que seria bastante proveitoso que os exercıcios tivessem uma maior selecao para

que nao acontecesse tanta sobreposicao e o espaco pudesse ser trabalhado com mais diversidade. Para

alem disso, usar esses exercıcios como exemplos ao longo do capıtulo e aproveitar para aprofundar os

exercıcios do box ”Exercıcios complementares”.

Exercıcio 14


O exercıcio 14 nos apresenta um compilado de erros que nos pareceram graves: falta de conceituacao

(C), falta de objetividade por ter um enunciado extenso e muita informacao descontextualizada.

Solucao: O tema e interessante, entao a ideia seria manter a ideia que atravessa o exercıcio e montar

um enunciado com as informacoes que fossem pertinentes aos alunos para que nao os deixassem deses-

timulados logo na fase da leitura e compreensao do exercıcio.

Matematica sem fronteiras, pag. 186 e 187

Figura 14: Atividade 1

Uma tatica interessante utilizada nesta secao foi o uso repetido do conceito de meia-vida. Em um

dos exercıcios este conceito e trabalhado de forma bastante objetiva e contextualizada no enunciado e,

em seguida, no encontra-se no ”Matematica sem fronteiras”o mesmo conceito tendo sua nocao e formas

de aplicacao ampliadas. Entretanto, nos exercıcios proprios deste box, a proposta fica restrita ao largo

uso da calculadora e de substituicoes em formulas previamente dadas. Resultando em um uso limitado

da aplicacao e do desenvolvimento do pensar matematico e, dentro da analise que estamos fazendo,

evidencia uma problematica de deficiencia didatica (D) na elaboracao da secao.

4.2 Capıtulo 10 - Funcao Logarıtmica

Funcao Logarıtmica, pag. 188

Essa pagina apresenta um erro de edicao. Apos o texto das perguntas que motivam o contato inicial

com o assunto-chave do capıtulo, a edicao possui a resposta delas. Julgamos que isso e um erro de

edicao (ED) por ser um caso isolado dentre todos os capıtulos, alem do texto escrito ser, claramente,

dirigido ao professor, como por exemplo: espera-se que os alunos resolvam pelo metodo de tentativa e

erro. Se julgar necessario, orientar os alunos para que eles encontrem a equacao (1, 024)x = 2.

Ja nessa primeira pagina um erro muito recorrente nas demais paginas do capıtulo aparece: o erro

de aproximacao (C1). Encontra-se aproximacoes dadas como igualdades, como vemos em: Considere:

1, 0244 = 1, 1.

Os fundamentos da teoria dos logaritmos, pag. 189

Temos novamente erros de aproximacao (C1), em todas as correspondencias da seguinte tabela:

Figura 15: Tabela 1

Notas, pag. 190

Na secao Notas temos um erro de conexao (C3). A nota 2 chama a atencao para a profunda

ligacao entre logaritmo e funcao exponencial. Essa relacao deve ser bastante destacada, uma vez que

no capıtulo anterior a funcao exponencial foi estudada. No entanto o autor opta por fazer uma simples

nota, deixando para aprofundar explicitamente a ligacao 10 paginas depois. Ate la, usa diversas vezes

das propriedades estudadas no assunto das funcoes exponenciais.

Figura 16: Notas

Logaritmo decimal, pag. 191

O autor apresenta o logaritmo decimal atraves de uma aplicacao na estimativa da intensidade de

terremotos da escala Richter. Ele comete o erro da objetividade (C4). A utlizacao do contexto da

escala Richter torna complexo entender algo que deve ser naturalizado o quanto antes, que e a base

10 dos logaritmos. Os dois paragrafos dessa secao estao repletos de termos da Fısica como energia e

intensidade, dificultando a compreensao desse topico simples do assunto dos logaritmos.

Figura 17: Logaritmo decimal

Exercıcios resolvidos, pag. 192

Figura 18: Exercıcios resolvidos

Na figura, podemos ver um exercıcio resolvido que possui o seguinte erro de manipulacao (M): ao

desenvolver as igualdades dos itens, o autor usa o sinal de implicacao. O correto seria usar o sinal de

equivalencia. Esse erro se repete abundantemente em todas as secoes de exercıcios resolvidos.


No R.2 o autor comete mais um erro de aproximacao (C1) e faz uma pequena nota sobre essa

aproximacao tida como igualdade. Questionamos: por que o autor optou por adotar aproximacoes

como igualdades e ainda se justificar pelo erro, ao inves de trabalhar com o sinal de aproximadamente

igual?

Figura 19: Tabela 1

Exercıcios propostos, pag. 193

Exercıcios 2, 3 e 4

Figura 20: Exercıcios 2,3 e 4

Essa sequencia de exercıcios contem erro do tipo (C1) relacionado ao fato de considerar as igualdades

como exatas, sendo que deveriam ser aproximacoes. Se o aluno usar uma calculadora notara o erro.

Solucao: Poderia colocar o sinal de aproximado, ou avisar que os valores sao aproximados anteriormente.

Exercıcio 6


Esse exercıcio e de aplicacao mas acaba sendo uma falsa aplicacao, pois o aluno somente precisa substi-

tuir valores. Se enquadra assim no erro (E1). Execıcios assim, acabam mascarando as aplicacoes e nao

trazendo todo o potencial de desenvolvimento que poderia trazer.

Solucao: O exercıcio poderia induzir o aluno a montar a formula, talvez ate simplicando um pouco a

formula se necessario para melhorar a compreensao.


No R.5 temos mais erros de aproximacao (C1), cometidos da mesma forma que nas paginas anteri-

ores.


Nos exercıcios resolvidos R.8 e R.9 temos erros de aproximacao (C1) e erros de manipulacao (M),

ambos em ocorrencias analogas as anteriores.


Exercıcios 9, 10 e 11

Figura 22: Exercıcios 9, 10 e 11


como exatas, sendo que deveriam ser aproximacoes. Se o aluno usar uma calculadora notara o erro.


Exercıcio 14


Esse exercıcio e mais um exercıcio de vestibular, e novamente um exercıcio de apenas substitua os

valores. Assim se enquadra no erro (E1). Ainda tem um erro de aproximacao (C1), pois log2 nao e

exatamente igual a 0, 3

Solucao: O exercıcio poderia induzir o aluno a montar a formula, talvez ate simplificando um pouco a


Exercıcios resolvidos, pags. 203 e 204

Novamente erros de manipulacao (M) no uso equivocado do sinal de implicacao.


Exercıcio 28


Esse exercıcio e mais um exercıcio de vestibular, e novamente um exercıcio de apenas substitua os va-

lores. Assim se enquadra no erro (E1). Esses exercıcios podem trazer ao aluno uma impressada errada

sobre os exercıcios que estao nos vetibulares, uma vez que esse exercicio e uma excecao dos vestibulares,

onde costumamos ter exercicios que nos fazem pensar muito mais e desenvlver uma linha de raciocıneo.

Solucao: O exercıcio poderia induzir o aluno a montar a formula, talvez ate simplicando um pouco a


Exercıcio 29



como exatas, sendo que deveriam ser aproximacoes. Se o aluno usar uma calculadora notara o equıvoco.


Exercıcios resolvidos, pags. 206 e 207

Nessa ultima secao de Exercıcios resolvidos, os mesmos erros de manipulacao (M) se repetem diversas

vezes.

Roteiro de trabalho, pag. 206

Figura 26: Exercıcios

Crıtica ao roteiro de trabalho: o box referente ao ”Roteiro de trabalho”no capıtulo 10 possui uma

proposta claramente distinta do que e trabalhado no capıtulo 9. Pode-se observar uma demanda ex-

cessiva que propoe aos alunos a elaboracao de textos-respostas para definicoes que estao na parte

explicativa e nao exigem mais dos alunos; apesar de estarem trabalhando em grupos se restringem a

copia de conteudo apresentado na instroducao. No mais, temos que a maneira como e construıda a

questao faz delas desestimulantes e cansativas para quem le. Estes elementos somados fez o uso do box

parecer fragil e sem proposito que integrasse o conteudo a exercıcios fortes para fixacao e pratica ao lado

d trabalho coletivo que aparentemente e o intuito da secao. Portanto, fica evidente uma dificuldade em

estabelecer um conteudo progressivo, ou seja, erro tipificado pela sigla (E3), dificuldade de progressao

quanto ao nıvel dos exercıcios.

Exercıcios complementares, pag 208 e 209

Execıcio 4a

Figura 27: Exercıcio 4a

O exercıcio possui falsa de contextualizacao (E1). O comeco do enunciado neste exercıcio enunciado

nao e utilizado para a execucao do exercıcio, servindo apenas para dificultar a compreensao do aluno

pensando no que se situa tudo o que antecede o ”suponhamos que (...)”, pois a partir deste ponto o

que e necessario e apenas a aplicacao na formula - exercıcio b - e conhecimento basico de logaritmo, ou

seja, nao faz uso do enunciado para alem da substituicao em formula.

Solucao: Entendemos que a solucao para este exercıcio seria utilizar um texto que indicasse relacoes

para a montagem de uma funcao e, somente entao, derivacao para questoes que buscassem fazer uso

desta construcao a partir de um enunciado que fosse util ao pensamento matematico.

Exercıcio 8


Este exercıcio apresenta falsa contextualizacao (E1), pois apesar do enunciado extenso percebe-se

que nao se faz necessaria nenhuma informacao alem da formula dada para resolucao de ”a”e ”b”.

Solucao: Para este exercıcio, pensamos que uma ideia para torna-lo mais interessante seria similar a

solucao proposta ao exercıcio 4 da pagina 208.

Matematica sem fronteiras, pag. 210 e 211

Figura 29: Exercıcios

A proposta do texto trazido nesta secao ficou bastante vaga, uma vez que nao faz uso nem do tema

e nem faz uso do conteudo do capıtulo de forma contextualizada nos exercıcios que tambem possuem

enunciados vagos e tratam apenas taxas percentuais em um capıtulo dedicado ao ensino de logaritmo.

Logo, o erro destas questoes esta correlato a ma adequacao ao conceito (E2) e a proposta do capıtulo.

5 Conclusao

A analise realizada pelo nosso grupo - associada aos dados e exercıcios supracitados - indica que o

livro considerado para a realizacao deste trabalho,o 1º volume da colecao Matematica Paiva, nao possui

qualidades suficientes para ser tomado como um bom material didatico. Pois possui, alem de uma

mirıade de erros que sao possıveis de serem relavados nas primeiras tiragens e, posteriormente, corrigidos

nas proximas edicoes uma proposta intangıvel ao longo do livro; nao se sabe se o livro foi pensado para

desempenhar um desenvolvimento progressivo atrelado a box e secoes (”Roteiro de trabalho”, ”exercıcios

complementares”e ”Matematica sem fronteiras”) que serviriam para ampliar as perspectivas dentro da

Matematica que estariam ancorados em conteudos explicados de forma didatica fazendo uso de pouco

formalismo e pouco uso de hiperbole linguıstica, de modo que o enunciado fosse menos impreciso.

Contudo, o que encontra-se apos o trabalho minucioso que fizemos e a exata antıpoda desta proposta.

As partes introdutorias sao bem trabalhadas, as explicacoes e propriedades sao interessantes porem se

perder quando vistas a profunda falha na contextualizacao dos enunciados e, principalmente, nas secoes

especiais. Segue abaixo, um grafico eleborado a partir da tipologia dos erros e da recorrencia deles nos

capıtulos que foram nosso objeto de estudo:

Figura 30: Erros

analise vertical - unicampma225/2017tarefa1-grupoe.pdf · e) matem atica sem fronteiras: encerrando...

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