anÁlise numÉrica da distribuiÇÃo de temperatura...

ANÁLISE NUMÉRICA DA DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NO CÉREBRO

HUMANO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Silva

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos necessários

à obtenção do título de Mestre em Engenharia

Civil.

Orientadores: Fernando Luiz Bastos Ribeiro

Luiz Carlos Wrobel

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2012




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Examinada por:

__________________________________________________

Prof. Fernando Luiz Bastos Ribeiro, D.Sc.

__________________________________________________ Prof. Luiz Carlos Wrobel, Ph.D.

__________________________________________________ Prof. José Claudio de Faria Telles, Ph.D.

__________________________________________________ Prof. Antonio Mauricio Ferreira Leite Miranda de Sá, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2012

iii

Silva, Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e

Análise Numérica da Distribuição de Temperatura no

Cérebro Humano Utilizando o Método dos Elementos

Finitos/ Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Silva. – Rio

de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2012.

X, 52 p.: il.; 29,7 cm.


Luiz Carlos Wrobel

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Civil, 2012.

Referências Bibliográficas: p. 50-52.

1. Método dos Elementos Finitos. 2. Equação de

Pennes. 3. Biocalor. I. Ribeiro, Fernando Luiz Bastos et

al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Civil. III. Título.

iv

Aos meus pais, pela confiança, carinho e

dedicação que sempre demonstraram.

v

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, por todo apoio e por terem me proporcionado todas as condições para

estudar e crescer pessoal e profissionalmente. À minha mãe, por todo carinho, paciência

e por sempre me acolher com um sorriso no rosto, mesmo nos momentos mais

estressantes. Ao meu pai, por me mostrar que eu podia fazer mais e me impulsionar a

descobrir meu melhor.

Ao meu orientador Fernando, por sempre acreditar no meu potencial e me mostrar que

tudo era possível. Ao meu orientador Luiz, pela paciência nas explicações, por todas as

sugestões conduzidas e por me mostrar novas áreas de conhecimento.

Aos meus amigos de faculdade, que fizeram da UFRJ um lugar especial e inesquecível.

Por terem me ensinado a ser uma pessoa melhor, e proporcionado momentos de

diversão e aprendizado.

Aos meus amigos de mestrado, por tornarem agradável estudar até tarde às sextas e

vésperas de feriado no Laboratório de Computação.

Aos meus amigos de Laboratório, Henrique e Júlio, pelos almoços, cafés, águas,

biscoitos, lanches e risadas que melhoram o meu astral a qualquer momento do dia.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Fevereiro/2012


Luiz Carlos Wrobel

Programa: Engenharia Civil

Esta dissertação tem como objetivo desenvolver e implementar um modelo de

difusão de biocalor no cérebro humano utilizando a equação de Pennes através do

método dos elementos finitos e realizar análises numéricas de métodos de resfriamento

no cérebro de recém-nascidos para tratamento de asfixia perinatal usando hipotermia. É

feita uma análise comparativa do efeito do resfriamento no cérebro de recém-nascidos e

adultos e um estudo da variação da taxa de perfusão e de outros parâmetros que podem

influenciar esse resfriamento.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

NUMERICAL ANALYSES OF THE TEMPERATURE DISTRIBUTION IN THE

HUMAN BRAIN USING THE FINITE ELEMENT METHOD


February/2012

Advisors: Fernando Luiz Bastos Ribeiro

Luiz Carlos Wrobel

Department: Civil Engineering

This works aims at implementing a model of bioheat conduction in the human

brain using the bioheat equation of Pennes and the finite element method to perform

numerical analysis of selective brain cooling methods in newborns as a treatment of

perinatal asphyxia using hypothermia. A comparative analysis of the cooling effects on

newborns and adults is performed as a study of the variation of the blood perfusion rate

and other physiological parameters that can influence the cooling process.

viii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1

1.1 Relevância e Objetivos ........................................................................................... 1

1.2 Revisão Bibliográfica.............................................................................................. 2

2. METODOLOGIA ......................................................................................................... 8

2.1 Modelo Matemático ................................................................................................ 8

2.2 Modelo Numérico ................................................................................................. 18

3. RESULTADOS .......................................................................................................... 23

3.1 Geometria e Condições de Contorno .................................................................... 23

3.2 Taxa de Perfusão Constante .................................................................................. 24

3.3 Taxa de perfusão reduzida .................................................................................... 26

3.4 Taxa Mebólica de geração de calor e Taxa de Perfusão Variáveis ....................... 27

3.5 Variação nos parâmetros fisiológicos (PaO2,PaCO2,CMRO2 e MABP) .............. 34

i. Variação da MABP .............................................................................................. 35

ii. Variação da PaO2 e PaCO2 ................................................................................. 36

3.6 Mudança na Temperatura Arterial (Ta) ................................................................ 40

3.7 Simulação utilizando-se modelo do crânio ........................................................... 42

4. CONCLUSÕES .......................................................................................................... 48

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 50

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Representação da cabeça como um quarto de esfera de três camadas: cinza

claro- Massa branca, cinza escuro – massa cinzenta, azul claro - crânio e verde -

escalpo. ........................................................................................................................... 11

Figura 2.2 %CBF vs PaO2 .............................................................................................. 13

Figura 2.3 %CBF vs PaCO2 ........................................................................................... 14

Figura 2.4 %CBF vs CMRO2 ......................................................................................... 15

Figura 2.5 %CBF vs MABP ........................................................................................... 16

Figura 2.6 CMRO2: vs Temperatura. ............................................................................. 17

Figura 2.7 Elemento Tetraédrico Linear......................................................................... 18

Figura 2.8 Método do Trapézio ...................................................................................... 19

Figura 3.1 Malha de 2.979.344 elementos tetraédricos lineares – cérebro de um recém-

nascidos. ......................................................................................................................... 23

Figura 3.2 Malha de 3.979.344 elementos tetraédricos lineares – cérebro de um adulto.

........................................................................................................................................ 24

Figura 3.3 Distribuição radial da temperature – Perfusão Constante (recém-nascidos). 25

Figura 3.4 Distribuição radial da temperature – Perfusão Constante (adultos). ............. 25

Figura 3.5 Redução na perfusão – Recém-nascidos. ...................................................... 26

Figura 3.6 Redução na Perfusão – Adultos. ................................................................... 27

Figura 3.7 Distribuição radial da temperatura (recém-nascidos) - Perfusão Variável. .. 28

Figura 3.8 Distribuição radial da temperatura (adultos) – Perfusão variável ................. 29

Figura 3.9 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura-

Temperatura externa 0oC - recém-nascidos .................................................................... 30


Temperatura externa 10oC - recém-nascidos .................................................................. 31



Figura 3.12 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura -



Temperatura externa 0oC - adultos ................................................................................. 32

x


Temperatura externa 10oC - adultos ............................................................................... 33





Figura 3.17 Distribuição radial da temperatura – variação na MABP – Recém nascidos

........................................................................................................................................ 35

Figura 3.18 Distribuição radial da temperatura – variação na MABP – Adultos. .......... 36

Figura 3.19 Distribuição radial da temperatura – variação na PaO2 – Recém-nascidos. 37

Figura 3.20 Distribuição radial da temperatura – variação na PaO2 – Adultos. ............. 38

Figura 3.21 Distribuição radial da temperatura – variação na PaCO2 – Recém-nascidos.

........................................................................................................................................ 39

Figura 3.22 Distribuição radial da temperatura – variação na PaCO2 – Adultos. .......... 39

Figura 3.23 Distribuição radial da temperatura – Temperatura arterial de 34oC – Recém-

Nascidos. ........................................................................................................................ 40

Figura 3.24 Distribuição radial da temperatura – Temperatura arterial de 34oC –

Adultos. .......................................................................................................................... 41

Figura 3.25 Geometria obtida através de imagens computadorizadas. .......................... 42

Figura 3.26 Malha de 1.276.821 elementos tetraédricos lineares. ................................. 43

Figura 3.27 Definição das camadas de materiais: Azul – massa cerebral branca, verde-

massa cerebral cinzenta e vermelho – crânio. ................................................................ 44

Figura 3.28 Definição da condição de temperatura prescrita (em azul). ........................ 45

Figura 3.29 Linha AB ao longo da qual são plotados os resultados de temperatura. ..... 46

Figura 3.30 Perfusão Constante x Perfusão Variável – modelo do crânio. .................... 47

1

1. INTRODUÇÃO

1.1 Relevância e Objetivos

Nas últimas décadas, a modelagem computacional vem se consolidando como uma área

multidisciplinar e adquirindo espaço nos mais diversos campos de aplicação, como na

indústria do petróleo, aeronáutica, naval, hidráulica e construção civil, entre outras. Na

área de bioengenharia por exemplo, os recursos computacionais e sua capacidade para

resolver problemas complexos auxiliam o estudo de sistemas biológicos em diferentes

escalas, análises odontológicas e de comportamento biomecânico de estruturas.

O desenvolvimento de modelos matemáticos que simulam a reação dos tecidos a corpos

estranhos, o uso de elementos finitos na predição da mudança do formato da córnea em

cirurgias de correção de miopia e astigmatismo são alguns dos estudos que auxiliam

cirurgias e outros procedimentos médicos de tratamento de patologias(DE e JOHNSON,

2009). Nesse contexto, a formulação de modelos que descrevem o comportamento

biológico do corpo humano possibilita o estudo fisiológico de diversos cenários de

intervenção, o que pode ajudar no entendimento de processos biológicos e no

tratamento de determinadas doenças.

Avanços na modelagem computacional permitem uma análise detalhada de toda

informação coletada no paciente e facilitam a interpretação do diagnóstico, além de

serem formas de estudar a influência de vários parâmetros e possibilitar a construção de

modelos de uma condição patológica específica. Esses modelos podem ser usados como

ferramenta na pesquisa de prognósticos em diversos campos da medicina.

A modelagem de doenças e condições biológicas dos serem humanos se baseia no

conceito de que tudo pode ser medido e descrito através das equações matemáticas que

governam os processos físicos e biológicos do sistema (GIANNAKOULAS,

DIMOPOULOS e XU, 2009). Sua principal limitação é a complexidade desses sistemas

e suas interações com o meio que os cerca. Dessa forma, a definição de hipóteses e

simplificações do modelo torna-se etapa de grande importância para a viabilidade do

uso de métodos computacionais.

2

O objetivo dessa dissertação é a implementação e calibração de um modelo de

distribuição de calor no cérebro humano utilizando a equação de Pennes de biocalor e o

método dos elementos finitos para estudo de técnicas de resfriamento como tratamento

terapêutico em traumatismos em adultos e asfixia perinatal em recém-nascidos. A falta

de oxigenação no cérebro de recém-nascidos pode levar a diversas sequelas (ARAUJO,

PACHECO, et al., 2008) e o resfriamento moderado da temperatura no cérebro do bebê

é um dos tratamentos utilizados pelos médicos para tentar reduzir os danos(DIAO, ZHU

e WANG, 2003). Este tratamento é o mesmo aplicado a adultos com alguma lesão

cerebral, pois a diminuição da temperatura cerebral reduz a atividade cerebral, a

demanda por oxigênio e os possíveis danos aos tecidos, reduzindo a velocidade de

processos iônicos e bioquímicos de morte celular.

Existem diversos métodos de resfriamento do cérebro como o uso de pacotes de gelo ou

capacetes térmicos, ou ainda métodos de infusão salina (NEIMARK, KONSTAS, et al.,

2008), porém a medição e constatação de sua eficiência por experimentos práticos é

complicada, não só pela dificuldade em se medir diretamente as temperaturas atingidas

no interior do cérebro como, no caso de recém-nascidos, pela fragilidade do indivíduo e

do seu sistema imulológico, sendo ainda mais sensível à mudanças de temperatura que

um indivíduo adulto.

Assim, a modelagem computacional permite a realização em tempo reduzido de testes

utilizando diferentes cenários de resfriamento e a influência de diversos parâmetros

como a pressão parcial de oxigênio, pressão parcial de dióxido de carbono e taxa

metabólica de consumo de oxigênio na alteração da taxa de perfusão do sangue. Além

disso, possibilita a redução no número de testes clínicos, selecionando aqueles com

melhor resultado nas simulações e evita questões éticas necessárias nos testes reais,

visto que é uma situação delicada selecionar grupos para receber ou não um tratamento

que pode reduzir significativamente a extensão de danos neurológicos em um paciente.

Além disso, os resultados encontrados podem ser usados na criação de simuladores para

ajudar estudantes de medicina a entender o efeito dos parâmetros fisiológicos na

distribuição da temperatura do cérebro.

1.2 Revisão Bibliográfica

A asfixia perinatal é uma das principais causas de Encefalopatia Hipóxico Isquêmica

(EHI) neonatal, que é uma doença perigosa para o cérebro de recém-nascidos (WALSH,

3

MURRAY e BOYLAN, 2011). Trata-se de uma lesão causada pela falta de oxigênio ou

de perfusão (isquemia) de vários órgãos, produzindo alterações bioquímicas e/ou

funcionais (CRUZ e CECCON, 2010). A diminuição na oferta de oxigênio muda o

metabolismo celular de aeróbico para anaeróbico, levando a uma disfunção múltipla de

órgãos e a graves lesões cerebrais manifestadas por convulsões e outros sinais

neurológicos (ARAUJO, PACHECO, et al., 2008). A EHI é um problema de saúde

pública mais freqüente em países em desenvolvimento que contribui significativamente

para a mortalidade neonatal e que causa seqüelas no desenvolvimento neurológico de

25% a 60% dos sobreviventes (ARAUJO, PACHECO, et al., 2008).

Apesar das pesquisas nessa área, não existem no momento muitas técnicas de

tratamento da extensão de danos neurológicos causados por lesões cerebrais. Métodos

invasivos como “engolir” fluidos frios e técnicas de resfriar diretamente o sangue

arterial são menos desejadas devido ao alto grau de conhecimento e treinamento

requerido e ao perigo da embolização da carótida (DENNIS, EBERHART, et al., 2003).

Estudos realizados com animais adultos e recém-nascidos demonstraram que uma

redução moderada da temperatura corporal após lesão cerebral está associada à melhora

histológica e resultados obtidos (DIAO, ZHU e WANG, 2003). Assim, a hipotermia

vem sendo estudada como tratamento terapêutico de neuroproteção em casos de lesões

cerebrais, sendo aplicável ao tratamento da encefalopatia hipóxico-isquêmica (ENNEN,

HUISMAN, et al., 2011).

No caso do tratamento terapêutico em recém-nascidos, a hipotermia é o único

tratamento amplamente aceitado para atenuar danos em recém nascidos com EHI

(WALSH, MURRAY e BOYLAN, 2011). De acordo com (CHIP, ZELMER, et al.,

2011), resfriar o cérebro do recém-nascido de 37oC para 33-34oC de 48-72h é uma

forma eficiente de reduzir a necessidade de oxigenação e diminuir o risco de dano

cerebral. Os seus objetivos são a mitigação da morte celular precoce e a prevenção dos

efeitos secundários. GLUCKMAN, WYATT, et al. (2005) afirmam que o resfriamento

moderado do cérebro em até 6 horas do início dos danos está associado a uma

neuroproteção e pode melhorar os efeitos neuropatológicos, eletrofisiológicos e

funcionais da doença.

Estudos clínicos mostram que ainda não foi comprovado se o resfriamento apenas da

cabeça é uma solução eficaz na redução da temperatura no cérebro. Alguns autores

4

(VAN LEEUWEN, HAND, et al., 2000) e (DENNIS, EBERHART, et al., 2003)

afirmam que resfriar a cabeça mantendo a temperatura corpórea normal não é suficiente

para se atingir a temperatura necessária para o tratamento de lesões. Somente com uma

redução na temperatura interna conseguir-se-ia alcançar uma hipotermia significativa.

Segundo (ZHU, ACKERMAN, et al., 2006), a temperatura do sangue arterial é o maior

determinante da temperatura do cérebro, responsável por um efeito de proteção contra

resfriamentos externos. Assim, o efeito de um resfriamento externo dependeria da

relação entre o tamanho do cérebro e o comprimento da área de influência da

temperatura do sangue arterial. Estudos mostram um resfriamento bem sucedido em

experimentos em animais de pequeno porte como ratos, visto que o efeito de proteção

tem uma extensão da mesma ordem de grandeza do seu cérebro. No caso dos seres

humanos, esta proteção tem uma extensão muito menor, limitando a área de

resfriamento apenas à superficie do cérebro.

Em recém-nascidos, simulações computacionais (VAN LEEUWEN, HAND, et al.,

2000) mostram que a hipótese de que o resfriamento da superfície da cabeça utilizando

capacetes térmicos reduz significativamente a temperatura no interior do cérebro é falsa

e que não há como resfriar a cabeça manterndo a termperatura interna do corpo normal.

Aumentando-se os valores da conditividade térmica das camadas superficiais da cabeça,

conclui-se que não é a resistência térmica do crânio que impede que o calor penetre no

cérebro e sim a perfusão do sangue que evita o resfriamento interno. O resfriamento do

pescoço também não se mostrou eficiente no processo de hipotermia moderada, não

sendo suficiente para se atingir os objetivos desejados.

Assim, o único método de resfriar o cérebro seria o resfriamento de todo o corpo ou o

resfriamento direto do sangue arterial que chega ao cérebro, levando a uma redução da

temperatura arterial que alteraria a temperatura do cérebro como um todo. Vale

ressaltar que a mudança da temperatura do cérebro altera o funcionamento das

atividades cerebrais, afetando a afinidade de hemoglobina por oxigênio, a taxa de

reações químicas, a geometria das proteínas e que um fluxo adequado de sangue no

cérebro é essencial para manter o funcionamento dos órgãos.

Métodos diretos de resfriamento introduzindo um cateter na veia femural e na veia cava

foram propostos recentemente (WANG e ZHHU, 2007). Um fluido refrigerante é

bombeado no cateter para aumentar a velocidade do resfriamento. Assim, evitar-se-iam

5

os efeitos adversos do resfriamento do corpo todo, como complicações imunológicas,

metabólicas, cardiovasculares, pulmonares e de coagulação.

Um problema encontrado em utilizar tratamentos por hipotermia é que a medição direta

da temperatura no cérebro em pacientes com isquemias é complicada, visto que a

introdução de sondas pode causar danos adicionais aos tecidos (ZHU e DIAO, 2001).

Assim, muitas vezes considera-se a temperatura no cérebro como sendo igual à

temperatura interna do corpo. Entretanto, o desenvolvimento de técnicas não destrutivas

de determinar a temperatura no interior do cérebro é indispensável para melhorar o

tratamento clinico de traumas após qualquer tipo de isquemia.

A difusão de calor no cérebro depende de uma série de mecanismos como fluxo

sanguíneo, temperatura arterial, metabolismo das células e trocas com o meio externo

(SUKSTANSKII e YABLONSKIY, 2004). Sendo assim, o estudo da distribuição de

biocalor através de uma discretização microscópica é complicado devido à

complexidade da anatomia dos órgãos, distribuição dos vasos sanguíneos e outros

fatores. Dessa forma, o transporte de biocalor é geralmente analisado em uma macro-

escala, seja considerando o sangue e os tecidos como uma mistura em um meio

contínuo, como é o caso do modelo de Pennes, ou através de teorias de meio poroso,

considerando os tecidos como matrizes porosas saturadas de sangue (FAN e WANG,

2011).

Por serem simplificados, os modelos que consideram o sangue e os tecidos uma mistura

homogênea não permitem a obtenção de relações entre as propriedades macroscópicas e

miscroscópicas e tampouco são capazes de descrever a interação entre o sangue e os

tecidos (FAN e WANG, 2011). Apesar disso, conseguem descrever de maneira simples

o transporte de biocalor, se mostrando bastante eficiente nos estudos realizados até o

momento mesmo sem considerar os efeitos direcionais do fluxo de sangue, como no

caso de aplicação em hipertermia terapêutica para tratamento de câncer (AMRI,

SAIDANE e PULKO, 2011), detecção de tumores na pele (PARTRIDGE e WROBEL,

2007), tratamento de queda capilar durante quimioterapia (FRIJNS, VAN LEEUWEN e

VAN STEENHOVEN, 2006) e predição de taxas de perfusão de sangue a partir de

medidas experimentais dos gradientes de temperatura e fluxo de biocalor (ZHU e

DIAO, 2001). A grande concentração de capilares nos tecidos cerebrais torna a

consideração de distribuição isotrópica de calor condizente com o problema real.

6

Um estudo comparativo (VAN LEEUWEN, HAND, et al., 2000) entre um modelo que

representa o fluxo de sangue como uma fonte de calor e um modelo que discretiza os

vasos sanguíneos mostrou que o uso de um modelo mais complexo e realista tem pouco

efeito na qualidade dos resultados, tendo como única diferença principal a presença de

uma concentração de calor devido à presença dos vasos sanguíneos, enquanto o modelo

com fonte de calor obteve contornos mais suaves e distribuídos de temperatura. Dessa

forma, o modelo de Pennes é aplicado com frequência a análises que envolvem

transferência de calor nos tecidos, prevendo a distribuição de temperatura em próstatas

caninas (DIAO, ZHU e WANG, 2003).

A solução analítica da equação de Pennes (DIAO, ZHU e WANG, 2003),(ZHU e

DIAO, 2001) considerando uma redução da perfusão do sangue a 20% do normal

durante a isquemia mostra resultados que permitem uma compreensão maior sobre a

penetração do resfriamento no interior do cérebro e características do tempo de

resfriamento utilizando diferentes métodos. DIAO, ZHU e WANG. (2003) analisaram o

processo de resfriamento e reaquecimento do cérebro através de um programa de

elementos finitos em um modelo simples definindo a cabeça como uma esfera de quatro

camadas e utilizando taxas de perfusão diferentes em duas regiões consideradas normal

e isquemica. Com isso constatou-se que a taxa de perfusão influencia significativamente

na capacidade de resfriamento do cérebro e o estudo do seu comportamento durante a

isquemia é bastante importante para o entendimento do processo.

Alguns autores (THOMAN, LAMPOTANG, et al., 1998) consideram que existem

alguns parâmetros sistêmicos que agem como mecanismos reguladores do fluxo de

sangue no cérebro. O principais parâmetros considerados são a pressão arterial do

sangue, a pressão parcial de oxigênio, a pressão parcial de dióxido de carbno e a taxa

metabólica de consumo de oxigênio. Esse parâmetros são monitorados por médicos

durante cirurgias e tratamento de pacientes com danos cerebrais, além de se alterarem

em casos de sangramentos, envenenamento do sangue, formação de edemas, aneurismas

e derrames causados por pressão alta no cérebro. Sua influência na dinâmica do cérebro

foi estudada por THOMAN, LAMPOTANG, et al. (1998) e seus efeitos na temperatura

cerebral foram analisados em alguns estudos com modelos simples (LEY e

BAYAZITOGLU, 2003), nos quais considerou-se a cabeça como uma esfera de três

camadas e resfriamento externo por convecção de Newton.

7

Com relação à taxa metabólica de geração de calor, muitos modelos não a consideram

ou consideram-na constante. Alguns autores (LEY e BAYAZITOGLU, 2003)

consideram que no caso de doenças, traumas ou sob o efeito de drogas essa taxa varia

consideravelmente, influenciando a distribuição da temperatura no cérebro. Outros

autores (ZHU, ACKERMAN, et al., 2006) afirmam que a taxa metabólica não afeta

significativamente a temperatura, sendo responsável por uma redução máxima de 0.9oC

na temperatura do cérebro.

(KONSTAS, NEIMARK, et al., 2006) e (NEIMARK, KONSTAS, et al., 2008)

discutem a necessidade de um resfriamento rápido do cérebro, o que não pode ser feito

com técnicas de resfriamento do corpo todo. A proposta de um resfriamento seletivo do

cérebro usando infusão salina (NEIMARK, KONSTAS, et al., 2007) na carótida por

cateterização transfemoral se mostra um método de resfriamento muito mais rápido do

que o resfriamento do corpo todo e mais eficiente que o resfriamento da superfície da

cabeça.

NELSON e NUNNELEY. (1998) analisaram um modelo simplificado da cabeça

utilizando três camadas, sendo elas um fluido cerebro-espinhal, crânio e escalpo.

Utilizando mecanismos de difusão de calor por resfriamento do sangue arterial,

convecção do retorno venoso da superfície da face e escalpo para o crânio e evaporação

das mucosas, foi constatado que, mesmo em condições adversas de temperatura arterial

elevada, superfície externa quente e sem evaporação, a temperatura interna permaneceu

apenas 0.2-0.3oC acima da temperature arterial, mostrando que a baixa relação

superfície/volume e alta perfusão do sangue minimizam qualquer efeito da temperatura

externa na elevação ou diminuição da temperatura do cérebro, reduzindo a

vulnerabilidade do cérebro à temperaturas externas extremas (NELSON e NUNNELEY,

1998).

8

2. METODOLOGIA

2.1 Modelo Matemático

O transporte de sangue nos tecidos é um processo difícil de ser modelado em nível

microscópico devido à grande quantidade de vasos presentes no tecido cerebral. O

modelo de Pennes é um modelo que considera o sangue e os tecidos como um meio

contínuo homogêneo, sendo utilizado em abordagens macroscópicas da distribuição de

biocalor nos tecidos. É uma modificação da equação do calor que considera o fluxo de

sangue e a geração metabólica de calor como fontes de calor. Nessa equação, o sangue é

considerado como uma fonte de calor isotrópica. Sua fórmula é dada pela equação

𝑐𝑡𝜌𝑡𝜕𝜙𝜕𝑡

= ∇ ∙ (𝑘∇𝜙) + 𝜌𝑎𝑐𝑎w𝑎(𝜙𝑎 − 𝜙) + 𝑞𝑚 em um domínio Ω ( 2.1 )

onde 𝜙(𝑥, 𝑡) é a temperatura do tecido, k é o coeficiente de difusão térmica do tecido, 𝑐𝑡

é o calor específico do tecido, 𝜌𝑡 é a massa específica do tecido, 𝑐𝑎 é o calor específico

do sangue, 𝜌𝑎 é a massa específica do sangue, 𝜙𝑎 é a temperatura do sangue e 𝑞𝑚 é a

taxa metabólica de geração de calor. O termo representativo da fonte de calor isotrópica

é considerado proporcional à taxa de perfusão local do sangue (w𝑎) e à diferença entre a

temperatura do sangue arterial e do tecido em questão.

As condições de contorno são

naturais) contorno de (condições em

)essenciais contorno de (condições em

qΓ=⋅

Γ=

qnqφφφ

( 2.2 )

sendo 𝑞𝛤𝑞, 𝑡 o fluxo de calor prescrito no contorno 𝛤𝑞, 𝜙𝛤𝜙, 𝑡 as temperaturas

prescritas no contorno 𝛤𝜙 e n a normal externa ao contorno 𝛤 = 𝛤𝜙 ∪ 𝛤𝑞.

As condições iniciais são dadas por

𝜙(𝑥, 𝑡0) = 𝜙0 ( 2.3 )

sendo 𝜙0 a temperatura inicial.

9

Nessa análise, o cérebro é modelado como um quarto de esfera de quatro camadas

(Figura 2.1), representando parte do tecido cerebral com camadas de espessura uniforme

do crânio e do escalpo, de modo a reproduzir de forma realística a cabeça de um bebê

recém-nascido. O tecido cerebral é representado por duas camadas internas diferentes

correspondentes à massa branca e a massa cinzenta do cérebro. As propriedades de cada

camada são apresentadas na Tabela 2.1 (DIAO, ZHU e WANG, 2003).

Como condição inicial considera-se a temperatura normal do corpo humano. A condição

de contorno aplicada na parte inferior e na lateral interna do quarto de esfera é uma

condição adiabática, visto que a maior parte da transferência de calor ocorre do meio

externo na direção radial. O resfriamento da cabeça é em geral realizado com um

capacete de resfriamento ou com pacotes de gelo sobre o escalpo. Assim, na superfície

externa da esfera, pode-se prescrever tanto uma temperatura fixa (pacotes de gelo) como

um fluxo convectivo externo (capacete) utilizando a condição de resfriamento de

Newton de acordo com a fórmula

𝑞 = ℎ𝑐(𝜙𝑒𝑥𝑡 − 𝜙𝑠) ( 2.4 )

onde 𝜙𝑒𝑥𝑡 é a temperatura ambiente externa, 𝜙𝑠 é a temperatura na superfície do tecido

e ch é o coeficiente de transferência de calor. Segundo (DIAO, ZHU e WANG, 2003),

pode-se considerar ℎ𝑐 = 30 W. m-2 .K -1 e 𝜙𝑒𝑥𝑡 = 0 oC.

Nas interfaces entre as camadas são necessárias condições de continuidade de

temperatura e fluxo de calor. Nas simulações realizadas, a temperatura do sangue

arterial e a temperatura inicial da cabeça foram consideradas de 37oC.

Tabela 2.1Parâmetros utilizados na análise numérica.

Parâmetro Material Valor

Calor específico (J kg-1 K -1) Sangue 3800.0

Escalpo 4000.0

Crânio 2300.0

10

Massa Cinzenta 3700.0

Massa Branca 3700.0

Massa Específica (kg m-3) Sangue 1050.0

Escalpo 1000.0

Crânio 1500.0


Massa Branca 1050.0

Condutividade Térmica (W m K-1) Escalpo 0.34

Crânio 1.16

Massa Cinzenta 0.50

Massa Branca 0.50

Taxa de perfusão (ml 100g-1 min -1) Escalpo 2.0

Crânio 1.8

Massa Cinzenta 80.0

Massa Branca 20.0

Taxa metabólica de geração de calor

(Wm-3)

Escalpo 363.4

Crânio 368.3


Massa Branca 4175.0

Espessura da camada em recém-

nascidos(mm)

Escalpo 2.0

Crânio 2.0

Massa Cinzenta 11.0

Massa Branca 42.0

11

Espessura da camada em adultos

(mm)

Escalpo 4.0

Crânio 4.0

Massa Cinzenta 18.0

Massa Branca 67.0

Figura 2.1 Representação da cabeça como um quarto de esfera de três camadas: cinza

claro- Massa branca, cinza escuro – massa cinzenta, azul claro - crânio e verde -

escalpo.

12

Em uma primeira análise, considerou-se a taxa de perfusão do sangue e a geração

metabólica de calor como constantes, variando-se apenas a temperatura externa imposta.

Uma segunda análise realizada considerou a taxa de perfusão e a geração metabólica de

calor do tecido cerebral dependentes da temperatura, de acordo com ( 2.5) e ( 2.6)

(NEIMARK, KONSTAS, et al., 2008). Estas relações foram obtidas através da

interpolação de dados clínicos.

𝑞 = 𝑞0 ∙ 30.084(∅ −∅𝑎) ( 2.5 )

w𝑎 = 𝑤0 ∙ 30.084(∅ −∅𝑎) ( 2.6 )

Uma terceira simulação foi realizada para analisar mudanças no fluxo de sangue no

cérebro (CBF) de acordo com mudanças nos parâmetros fisiológicos, sendo eles

pressão parcial de oxigênio (PaO2), pressão parcial de gás carbônico (PaCO2), taxa

metabólica de consumo de oxigênio (CMRO2) e pressão arterial média do sangue

(MABP). Neste caso, define-se a relação entre a taxa de perfusão de sangue e esses

parâmetros como (LEY e BAYAZITOGLU, 2003):

w𝑎 = 𝑤0(1 + Δ𝐶𝐵𝐹) ( 2.7 )

sendo 𝑤0 a taxa de perfusão de sangue no cérebro sob uma temperatura interna normal e

Δ𝐶𝐵𝐹 o percentual de alteração no fluxo de sangue no cérebro devido a mudanças nos

parametros fisiológicos, definida como:

Δ𝐶𝐹𝐵 = (%𝐶𝐵𝐹𝑖 − 100

100)

𝑖

( 2.8 )

sendo i os parâmetros fisiológicos PaO2, PaCO2, CMRO2 e MABP. As expressões para

as funções de %𝐶𝐵𝐹𝑖 foram obtidas de um modelo de dinâmica cerebral (THOMAN,

LAMPOTANG, et al., 1998) e podem ser descritas como:

13

Para PaO2:

0 ≤ 𝑃𝑎𝑂2 < 40 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝑂2 = 241.20908 − (2.90778 ∙ 𝑃𝑎𝑂2) ( 2.9 )

40 ≤ 𝑃𝑎𝑂2 < 61 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝑂2 = 1174.3974 − (70.115107 ∙ 𝑃𝑎𝑂2)

+1.7436586 ∙ (𝑃𝑎𝑂2)2 − 0.01948396 ∙ (𝑃𝑎𝑂2)3 + 8.232781 ∙ 10−5

∙ (𝑃𝑎𝑂2)4

( 2.10 )

61 ≤ 𝑃𝑎𝑂2 < 750 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝑂2 = 104.47978 + (0.02543 ∙ 𝑃𝑎𝑂2) ( 2.11 )

Figura 2.2 %CBF vs PaO2

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250

%CB

F

PaO2 (mmHg)

%CBF vsPaO2

%CBF

14

Para PaCO2:

0 ≤ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 < 20 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝐶𝑂2 = 2.6 ∙ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 ( 2.12 )

20 ≤ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 < 80 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝐶𝑂2 = 1.76562 + 2.50347 ∙ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 ( 2.13 )

80 ≤ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 < 100 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝐶𝑂2 = 158.0634 + 0.55461 ∙ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 ( 2.14 )

Figura 2.3 %CBF vs PaCO2

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100

%CB

F

PaCO2 (mmHg)

%CBF vsPaCO2

%CBF

15

Para CMRO2:

%𝐶𝐵𝐹𝐶𝑀𝑅𝑂2 = −9.88769 + 30.87319 ∙ 𝐶𝑀𝑅𝑂2 ( 2.15 )

Figura 2.4 %CBF vs CMRO2

Para MABP:

0 ≤ 𝑀𝐴𝐵𝑃 < 60 %𝐶𝐵𝐹𝑀𝐴𝐵𝑃 = −9.3627273 + 3.8025758 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃

−6.6594872 ∙ 10−2 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃2 + 1.0904429 ∙ 10−3 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃3

+ 8.839161 ∙ 10−6 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃4

( 2.16 )

60 ≤ 𝑀𝐴𝐵𝑃 < 140 %𝐶𝐵𝐹𝑀𝐴𝐵𝑃 = 100 ( 2.17 )

0

20

40

60

80

100

120

140

160

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

%CB

F

CMRO2 (ml/100g/min)

%CBF vs CMRO2

%CBF

16

140 ≤ 𝑀𝐴𝐵𝑃 < 185 %𝐶𝐵𝐹𝑀𝐴𝐵𝑃 = −9824.923

+ 255.153798 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃 − 2.43203203 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃2

+1.0147878 ∙ 10−2 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃3 − 1.555245 ∙ 10−5 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃4

( 2.18 )

Figura 2.5 %CBF vs MABP

Diferentemente dos outros parâmetros, a taxa metabólica de consumo de oxigênio é um

parâmetro dependente da temperatura (THOMAN, LAMPOTANG, et al., 1998) e pode

ser calculado pela relação:

𝐶𝑀𝑅𝑂2 = 𝑒𝑥𝑝(−2.7579 + 0.1089.𝜙) ( 2.19 )

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 50 100 150 200

%CB

F

MABP (mmHg)

%CBF vs MABP

%CBF

17

Figura 2.6 CMRO2 vs Temperatura.

0

1

2

3

4

5

6

7

17 22 27 32 37 42 47

CMRO

2(m

l/10

0ml/

min

)

Temperatura(oC)

CMRO2 vs Temperatura

CMRO2

18

2.2 Modelo Numérico

No modelo numérico utiliza-se o método dos elementos finitos para a obtenção de uma

solução aproximada para a equação de Pennes ( 2.1 ). A geometria do problema,

representada por um quarto de esfera com quatro materiais, sendo eles o tecido cerebral

(massa branca e massa cinzenta), o crânio e o escalpo, é discretizada por elementos

tridimensionais tetraédricos de quatro nós (Figura 2.7). Este elemento foi utilizado na

implementação pela sua flexibilidade na representação de geometrias mais complexas.

Figura 2.7 Elemento Tetraédrico Linear.

Seja a equação diferencial ( 2.1 ) sujeita às condições de contorno apropriadas. Sendo

𝜙(𝑥, 𝑡) a variável dependente, Ω o domínio espacial do problema e (0,T) o intervalo de

tempo da análise. Na formulação semi-discreta o domínio Ω é discretizado em

elementos e para o tempo 𝑡 = 𝑡𝑛+1, adota-se uma aproximação do tipo 𝜙(𝒙, 𝑡𝑛+1) ≅

𝜙(𝒙, 𝑡𝑛+1) = ∑ 𝑁𝑗(𝒙)𝜙𝑗,𝑛+1𝑘𝑗=1 , onde 𝑁𝑗(𝑥) são as funções de interpolação espaciais, e

𝜙𝑗,𝑛+1 são os valores nodais da função 𝜙, no tempo 𝑡𝑛+1. As derivadas temporais de 𝜙

no instante 𝑡𝑛+1 são aproximadas por 𝜕𝜙𝜕𝑡 𝑡

𝑡=𝑡𝑛+1

≅ (𝒙) = ∑ 𝑁𝑗(𝒙)𝑘𝑗=1 𝑗,𝑛+1.

Após a introdução das aproximações acima, obtém-se o sistema de equações algébricas

para o tempo 𝑡 = 𝑡𝑛+1:

𝐌𝐧+𝟏 + 𝐊𝛟𝐧+𝟏 = 𝐅𝐧+𝟏 ( 2.20 )

19

onde M é a matriz de massa,𝐧+𝟏 são valores nodais das derivadas no tempo da

temperatura, 𝐊 é a matriz de rigidez, 𝛟𝐧+𝟏 são as temperaturas nodais no tempo tn+1 e

𝐅𝐧+𝟏 é o vetor de termos independentes, sendo

𝑚𝑖𝑗 = 𝑐𝑡𝜌𝑡𝑁𝑖Ω

𝑁𝑗𝑑Ω ( 2.21 )

k𝑖𝑗 = 𝑘𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑗𝜕𝑥

+𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦

𝜕𝑁𝑗𝜕𝑦

+𝜕𝑁𝑖𝜕𝑧

𝜕𝑁𝑗𝜕𝑧Ω

𝑑Ω

+ 𝑐𝑎𝜌𝑎w𝑎𝑁𝑖Ω

𝑁𝑗𝑑Ω

( 2.22 )

𝑓𝑖 = 𝑞𝑚𝑁𝑖Ω

𝑑Ω − 𝑞𝑁𝑖Γ

𝑑Γ + 𝑐𝑎𝜌𝑎w𝑎𝜙𝑎𝑁𝑖Ω

𝑑Ω ( 2.23 )

Para resolver o problema transiente, utiliza-se uma formulação semi-discreta do método

dos elementos finitos, onde a discretização espacial é feita por elementos finitos e as

derivadas no tempo são discretizadas por operadores de diferenças finitas utilizando-se

o método do Trapézio (Figura 2.8).

Figura 2.8 Método do Trapézio

Considerando para o tempo 𝑡 = 𝑡𝑛+1 a variável dependente como 𝛟𝐧+𝟏 e a derivada

temporal 𝒏+𝟏, pode-se escrever:

𝒏+𝟏 𝒏+α

𝒏

20

𝒏+𝟏 − 𝒏+α

(1 − α)=𝒏+α − 𝒏

α (0 ≤ α ≤ 1) ( 2.24 )

𝒏+α = (1 − α)𝒏 + α𝒏+𝟏 ( 2.25 )

ϕn+1 = ϕn + ∆t𝒏+α ( 2.26 )

Sendo α uma constante positiva cujo valor encontra-se entre zero e um. Caso α = 0 o

método é dito explícito, e para α > 0, o método é implícito. Para valores de α ≥ 1 2⁄ , o

método apresenta estabilidade incondicional. Se α ≥ 1 2⁄ , a estabilidade fica

condicionada a um interval de tempo ∆t < ∆tcrit, sendo ∆tcrit o maior valor de passo de

tempo para o qual o método apresenta estabilidade.

Para problemas não-lineares, pode-se usar um algoritmo preditor/multicorretor. Para

isto, deve-se considerar que o resíduo no tempo 𝑡𝑛+1 deve ser igual a zero se o sistema

está equilíbrio:

𝐑 = 𝐅𝐧+𝟏 − 𝐌𝐧+𝟏 − 𝐊𝛟𝐧+𝟏 = 𝟎 ( 2.27 )

Sendo 𝐑 o resíduo calculado no tempo 𝑡𝑛+1. Nesta dissertação, utilizou-se o Algoritmo 2.1 apresentado abaixo (HUGHES, 1987).

Algoritmo 2.1 Algoritmo preditor/multicorretor 1: 𝛟n+1 = 𝛟𝐧 + (1 − α)∆t𝒏 (preditor)

2: i = 0

3: 𝛟n+1i = 𝛟n+1

4: 𝑛+1𝑖 = 0

5: 𝐑𝑖 = 𝐅𝑛+1 −𝐌𝑛+1𝑖 − 𝐊𝛟𝑛+1

𝑖

6: ∆𝑛+1𝑖+1 = (𝐌∗)−1𝐑𝑖 (1)

7: 𝑛+1𝑖+1 =𝑛+1

𝑖 + ∆𝑛+1𝑖+1 (fase corretora)

8: 𝛟𝑛+1𝑖+1 =𝛟n+1+ α∆t𝑛+1

𝑖+1

9: i = i + 1

(1) 𝐌∗ = 𝐌 + α∆t𝐊.

21

Foram implementados elementos isoparamétricos para mapear a geometria dos

elementos em um sistema local de coordenadas naturais, onde as integrais podem ser

facilmente efetuadas. A parametrização consiste em mapear os elementos em um

domínio regular de coordenadas naturais, considerando funções polinomiais idênticas às

utilizadas na aproximação da solução. Assim, as integrais podem ser calculadas no

domínio de coordenadas naturais, mudando apenas o domínio e limites de integração.

Isso é feito através da matriz Jacobiana J de transformação de coordenadas. Os

parâmetros usados no tetraedro são as coordenadas de volume do elemento. Assim, a

integral a ser resolvida pode ser definida como:

f(ξ1, ξ2, ξ3, ξ4)dΩΩ

= f(ξ1, ξ2, ξ3, ξ4)det𝐉dξ3dξ21−ξ1−ξ2

0dξ1

1−ξ1

0

1

0

( 2.28 )

O sistema de equações é montado através de um loop nos elementos e resolvido

utilizando-se o método dos gradientes conjugados com pré-condicionador diagonal

(SAAD, 2000). Os passos seguidos no método dos gradientes conjugados podem ser

sintetizados da seguinte maneira para um sistema Ax=b:

Escolher um ponto 𝑥0 arbitrário e gerar uma seqüência de pontos 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛

para seguir a direção do vetor 𝑓′(𝑥).

O resíduo em 𝑥𝑖 será 𝑟𝑖 = 𝑏 − 𝐀𝑥𝑖 e o erro em 𝑥𝑖 será 𝑒𝑖 = 𝑥∗ − 𝑥𝑖.O resíduo

pode ser visto como a direção de máxima descida de 𝑓(𝑥) em 𝑥𝑖, isto é 𝑟𝑖 =

𝑓′(𝑥).

Dado 𝑥0 pode-se encontrar um ponto 𝑥1 definindo-o como 𝑥1 = 𝑥0 + 𝜆𝑟0, onde

o parâmetro 𝜆 é o comprimento do passo, de modo que 𝑥1 diminua o resíduo (ou

seja, 𝑓′(𝑥)) dando-se um passo na direção de −𝑓′(𝑥0).

Para encontrar o melhor valor de 𝜆, minimiza-se 𝑓(𝑥) ao longo da direção

definida por 𝑟0.

22

Este procedimento é repetido por várias iterações, até que 𝑥𝑖 esteja

suficientemente próximo de 𝑥∗. Nesta dissertação utilizou-se como critério de

parada uma tolerância de 1.0 × 10−10 e um máximo de 20.000 iterações.

O pré-condicionador diagonal, que foi utilizado nesta dissertação, consiste em uma

matriz diagonal 𝐌 que contém os valores da diagonal de 𝐀. Em outras palavras:

Mij = Aij 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 𝑗

Mij = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 ( 2.29 )

23

3. RESULTADOS

3.1 Geometria e Condições de Contorno

O problema foi discretizado utilizando uma malha de 2.979.344 elementos tetraédricos

lineares ( Figura 3.1) representando o cérebro de um recém-nascidos, e em uma malha

de 3.979.344 elementos tetraédricos lineares (Figura 3.2) representando o cérebro de um

adulto, formando um quarto de esfera dividida em quatro camadas representando o

tecido cerebral (massa cinzenta e massa branca), o crânio e o escalpo.

Figura 3.1 Malha de 2.979.344 elementos tetraédricos lineares – cérebro de um recém-

nascidos.

24

Figura 3.2 Malha de 3.979.344 elementos tetraédricos lineares – cérebro de um adulto.

3.2 Taxa de Perfusão Constante

Mantendo uma taxa de perfusão de 80 ml 100g-1 min -1 para a massa cinzenta e 20 ml

100g-1 min -1 para a massa branca do tecido cerebral, foi feita uma análise da

temperatura radial considerando como condição de contorno uma temperatura de 0.0oC,

10.0oC ,20.0oC e 30.0oC na parte externa da esfera e fluxo nulo nos contornos internos

(condição adiabática). Foi considerada uma temperatura inicial de 37.0oC em toda a

esfera. Os resultados encontrados estão representados na Figura 3.3 e na Figura 3.4.

25

Figura 3.3 Distribuição radial da temperature – Perfusão Constante (recém-nascidos).

Figura 3.4 Distribuição radial da temperature – Perfusão Constante (adultos).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distância do centro da esfera (m)

Distribuição radial da temperatura - Perfusão constante - recém-nascidos

0oC

10oC

20oC

30oC

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)


Distribuição radial da temperatura - Perfusão Constante - adultos

0oC

10oC

20oC

30oC

22.0 mm

19.0 mm

26

Os resultados mostram que, mantendo uma taxa de perfusão constante, o resfriamento

no interior do cérebro é limitado às camadas superiores, independente da temperatura da

superfície. Considerando uma variação de até 0.3oC, resfriamento penetra um máximo

de 22.0 mm em recém-nascidos (18.0 mm da massa cinzenta do cérebro) e 19.0mm em

adultos (11.0 mm da massa cinzenta do cérebro). A temperatura interna do cérebro

mantem-se aproximadamente a 37.3oC, sendo 0.3oC acima da temperatura arterial

imposta.

3.3 Taxa de perfusão reduzida

Na Figura 3.5 e Figura 3.6 podem ser vistos os efeitos de uma redução da taxa de

perfusão à 30%, 50% e 80% do seu valor normal 𝑤0. Para essa análise foi considerada

a temperatura externa de 0oC, correspondente ao resfriamento com pacotes de gelo. A

redução na taxa de perfusão aumenta a penetração do resfriamento tanto em adultos

quanto em recém-nascidos, sendo nesses o efeito mais pronunciado.

Figura 3.5 Redução na perfusão – Recém-nascidos.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distância radial (m)

Redução na Perfusão - recém-nascidos

30%wo 50%wo 80%wo 100%wo

27

Figura 3.6 Redução na Perfusão – Adultos.

A redução na taxa de perfusão significa um menor fluxo de calor do sangue pros

tecidos, o que leva a uma diminuição da temperatura do cérebro. Embora nas camadas

mais externas essa diminuição seja mais pronunciada, no interior do cérebro pode haver

uma pequena elevação da temperatura, o que é evidenciado por ZHU e DIAO. (2001).

Uma justificativa para esse aumento é que uma redução na perfusão faz com que o valor

de (𝜙𝑎 − 𝜙) aumente próximo à superfície, o que faz com que o termo de perfusão

𝜌𝑎𝑐𝑎w𝑎(𝜙𝑎 − 𝜙) aumente no centro do cérebro. Em outras palavras, a redução de w𝑎

não garante que o produto 𝜌𝑎𝑐𝑎w𝑎(𝜙𝑎 − 𝜙) sempre aumente.

3.4 Taxa Mebólica de geração de calor e Taxa de Perfusão Variáveis

Mantendo uma taxa metabólica de geração de calor e taxa de perfusão variáveis de

acordo com ( 2.5 ) e ( 2.6 ), foi feita uma análise da temperatura radial considerando

como condição de contorno uma temperatura de 0.0oC, 10.0oC ,20.0oC e 30.0oC na

parte externa da esfera e fluxo nulo nos contornos internos (condição adiabática). Foi

considerada uma temperatura inicial de 37.0oC em toda a esfera. Os resultados

comparativos da utilização de uma taxa metabólica de geração de calor e taxa de

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tem

pera

tura

(o C)


Reduçao na Perfusão - adultos

30%wo 50%wo 80%wo 100%wo

28

perfusão constantes e variáveis estão representados em Figura 3.7 e Figura 3.8 para cada

temperatura externa prescrita.

Figura 3.7 Distribuição radial da temperatura (recém-nascidos) - Perfusão Variável.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)


Distribuição radial da temperatura (recém-nascidos) - Perfusão Variável

0oC Variável

10oC Variável

20oC Variável

30oC Variável

29.0 mm

29

Figura 3.8 Distribuição radial da temperatura (adultos) – Perfusão variável

Os resultados mostram que, ao se utilizar uma taxa de perfusão variável, consegue-se

aumentar a penetração do resfriamento no interior do cérebro, embora este continue

limitado às camadas superiores, independente da temperatura da superfície.

Considerando-se uma variação de até 0.3oC da temperatura interna, o resfriamento

penetra um máximo de 29.0 mm em recém-nascidos (25.0mm do tecido cerebral

cérebro) e 22.0mm em adultos (14.0 mm do tecido cerebral). A temperatura interna do

cérebro mantem-se aproximadamente a 37.3oC, sendo 0.3oC acima da temperatura

arterial imposta.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)


Distribuição radial da temperatura (adultos) - Perfusão variável

0oC Variável

10oC Variável

20oC Variável

30oC Variável

22.0 mm

30


Temperatura externa 0oC - recém-nascidos

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)

Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura- Temperatura externa 0oC - recém-

nascidos

0oC Variável 0oC

31





10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)

Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 10oC - recém-

nascidos

10oC Variável

10oC

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)


nascidos

20oC Variável

20oC

32




Temperatura externa 0oC - adultos

30

31

32

33

34

35

36

37

38

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)


nascidos

30oC Variável 30oC

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)

Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 0oC - adultos

0oC Variável

0oC

33





10

15

20

25

30

35

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)


10oC Variável

10oC

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)


20oC Variável

20oC

34



3.5 Variação nos parâmetros fisiológicos (PaO2,PaCO2,CMRO2 e MABP)

Para estudar os efeitos da variação dos parâmetros fisiológicos na distribuição da

temperatura, foi feita uma variação de cada parâmetro separadamente, mantendo os

outros parâmetros nos seus valores médios normais, sendo eles MABP = 100mmHg,

PaO2 = 100 mmHg e PaCO2=40mmHg. O consumo metabólico de oxigênio (CMRO2)

varia com a temperatura de acordo com ( 2.19 ). A variação na taxa metabólica de

geração de calor continua a ser feita segundo ( 2.5 ). Segundo LEY e BAYAZITOGLU.

(2003), a expressão ( 2.19 ) é válida para temperaturas acima de 10oC e alguns autores

(GLUCKMAN, WYATT, et al., 2005) consideram que para temperaturas abaixo de

20oC o fluxo de sangue no cérebro é desacoplado da taxa metabólica de oxigênio. Por

esses motivos, adotou-se como temperatura na superfície externa a temperatura de 10oC.

Dessa forma, a temperatura nas camadas representativas da massa cerebral não chegam

a valores inferiores a 20oC.

30

31

32

33

34

35

36

37

38

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)


30oC Variável

30oC

35

i. Variação da MABP

A MABP pode ser alterada devido a drogas ou condições como edemas cerebrais,

aneurismas ou outros problemas causados por derrames. Considera-se valores utilizados

em hipotensão moderada (45 mmHg), normotensão (100mmHg) e hipertensão

moderada (160mmHg).

Figura 3.17 Distribuição radial da temperatura – variação na MABP – Recém nascidos

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)

MABP - recém -nascidos

MABP 45mmHg

MABP 100mmHg

MABP 160mmHg

36

Figura 3.18 Distribuição radial da temperatura – variação na MABP – Adultos.

Pode-se observar que, para uma situação de hipotensão moderada, o fluxo de sangue no

cérebro se reduz em 14%, o que leva a uma pequena queda na temperatura. Já para um

caso de hipertensão moderada, ocorre um acréscimo na CBF de aproximadamente 13%,

reduzindo a penetração do resfriamento com relação a uma situação normal. A diferença

na penetração do resfriamento é de menos de 2.0 mm em recém-nascidos e de menos de

1 mm em adultos.

ii. Variação da PaO2 e PaCO2

Variações de PaO2 e PaCO2 ocorrem pela respiração de ar com diferentes concentrações

de O2 e CO2 ou por asfixia ou envenenamento por CO2. Valores de PaO2 menores que

100mmHg representam uma condição hipóxica, e produzem aumento da CBF. Valores

muito superiores a 100mmHg representam uma condição de hiperoxia.Foram

considerados valores de PaO2 de 25, 50, 100 e 250 mmHg. Com relação ao CO2, valores

correspondentes a uma condição de hipercapnia moderada e severa correspondente a

10

15

20

25

30

35

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)

MABP - Adultos

MABP 45mmHg

MABP 100mmHg

MABP 160mmHg

37

60mmHg e 90mmHg são considerados. A PaCO2 é um forte vasodilatador da

vasculatura cerebral, o que significa que o aumento da concentração de CO2 aumenta o

raio das arteriolas e o volume de sangue que penetra nos tecidos.A condição de

Hipocapnia (PaCO2 < 40 mmHg) por outro lado, reduz a CBF e aumenta a capacidade

autoregulatória do cérebro, reduzindo o diametro dos vasos e aumentando a elasticidade

após hipertensão ou condições que afetam a quantidade de sangue que entra no cérebro.

Figura 3.19 Distribuição radial da temperatura – variação na PaO2 – Recém-nascidos.

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distäncia r (m)

PaO2 - Recém-nascidos

PaO2 25mmHg

PaO2 50mmHg

PaO2 100mmHg

38

Figura 3.20 Distribuição radial da temperatura – variação na PaO2 – Adultos.

Pode-se observar que, para uma condição hipóxica, o fluxo de sangue no cérebro reduz

em 68% e 7%, respectivamente para valores de PaO2 de 25mmHg e 50mmHg,

enquanto uma condição hiperóxica (250mmHg) aumenta o CBF em 10% levando a uma

variação máxima na penetração do resfriamento de 12 mm e 7 mm para recém-nascidos

e adultos, respectivamente, considerando-se a condição de hipoxia (25mmHg).

10

15

20

25

30

35

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)

Distäncia r (m)

PaO2 - Adultos

PaO2 25mmHg PaO2 50mmHg PaO2 100mmHg PaO2 250mmHg

39

Figura 3.21 Distribuição radial da temperatura – variação na PaCO2 – Recém-nascidos.

Figura 3.22 Distribuição radial da temperatura – variação na PaCO2 – Adultos.

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distäncia r (m)

PaCO2 - Recém-nascidos

PaCO2 40mmHg PaCO2 60mmHg PaCO2 90mmHg

10

15

20

25

30

35

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)

Distäncia r (m)

PaCO2 - Adultos

PaCO2 40mmHg PaCO2 60mmHg PaCO2 90mmHg

40

Pode-se observar que o aumento da Pressão de dióxido de carbono leva a um aumento

do fluxo de sangue no cérebro de 52% e 108%, respectivamente para valores de PaCO2

de 60mmHg e 90mmHg. levando a uma variação máxima na penetração do

resfriamento de 13 mm para recém-nascidos e 5 mm para adultos.

3.6 Mudança na Temperatura Arterial (Ta)

Mantendo-se uma taxa metabólica de geração de calor e taxa de perfusão variáveis de

acordo com ( 2.5 ) e ( 2.6 ), foi feita uma análise da temperatura radial considerando a

temperatura do sangue arterial (𝑇𝑎) de 34oC. Como condição de contorno considerou-se

uma temperatura de 0.0oC, 10.0oC ,20.0oC e 30.0oC na parte externa da esfera e fluxo

nulo nos contornos internos (condição adiabática). Foi considerada uma temperatura

inicial de 37.0oC em toda a esfera. Os resultados encontrados estão representados na

Figura 3.23 e Figura 3.24.

Figura 3.23 Distribuição radial da temperatura – Temperatura arterial de 34oC – Recém-

Nascidos.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)

Temperatura Arterial 34oC - Recém-nascidos

0oC

10oC

20oC

30oC

41

Figura 3.24 Distribuição radial da temperatura – Temperatura arterial de 34oC –

Adultos.

Os resultados mostram que, mesmo diminuindo-se a temperatura arterial de 37 oC para

34oC , o resfriamento no interior do cérebro continua limitado às camadas superiores,

porém é possível resfriar o interior do cérebro a 34-35oC. Isso mostra a influência da

temperatura arterial na temperatura do cérebro, e corrobora com a teoria de que não se

consegue resfriar o cérebro resfriando apenas a superfície da cabeça, deve-se resfriar o

corpo inteiro de modo a baixar a temperatura do sangue que chega ao cérebro, ou, como

mostra (NEIMARK, KONSTAS, et al., 2008) pode-se injetar um fluido frio para ajudar

a reduzir a temperatura cerebral sem a necessidade de resfriar todo o corpo. A

temperatura interna do cérebro mantem-se aproximadamente a 34.3oC, sendo 0.2-0.3oC

acima da temperatura arterial imposta, o mesmo resultado foi encontrado por NELSON

e NUNNELEY. (1998). Considerando os efeitos da temperatura externa, para uma

variação de até 0.3oC, o resfriamento externo penetra um máximo de 28.0 mm em

recém-nascidos (24.0 mm da massa cinzenta do cérebro) e 21.0mm em adultos (13.0

mm da massa cinzenta do cérebro).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tem

pera

tura

(o C)

Distância r (m)

Temperatura Arterial 34oC - Adultos

0oC

10oC

20oC

30oC

42

3.7 Simulação utilizando-se modelo do crânio

Após realizar análises utilizando o modelo simplificado, considerando-se a cabeça como

uma semi-esfera, foi obtida uma geometria através de imagens de ressonância

magnética de um crânio real de um adulto (Figura 3.25). O modelo possui uma

geometria mais próxima do real, possibilitando uma interpretação maior dos resultados.

A malha foi discretizada em 1.276.821 elementos tetraédricos lineares, conforme mostra

a Figura 3.26. Neste caso, devido às limitações na aquisição da geometria, foi possível a

definição de três materiais, sendo eles o crânio, a massa cinzenta e a massa branca

(Figura 3.27).

Figura 3.25 Geometria obtida através de imagens computadorizadas.

43

Figura 3.26 Malha de 1.276.821 elementos tetraédricos lineares.

44

Figura 3.27 Definição das camadas de materiais: Azul – massa cerebral branca, verde-

massa cerebral cinzenta e vermelho – crânio.

Devido à ausência da camada representativa do escalpo, foi definida uma temperatura

prescrita na parte de trás da superfície do crânio, simulando o efeito de resfriamento da

cabeça com pacotes de gelo. A temperatura foi obtida através das análises anteriores,

utilizando-se a temperatura de transição entre as camadas de escalpo e crânio da análise

da semi-esfera, como mostram a Figura 3.4 e Figura 3.8. Foi adotada para fins

comparativos para todos os casos uma mesma temperatura prescrita de 20.0oC.

Os resultados de temperatura para uma taxa de perfusão constante por material e para

uma análise dependente da temperatura segundo ( 2.5 ) e ( 2.6 ) estão plotados na Figura

3.30 ao longo de uma linha que passa pelo centro da cabeça, como mostra a Figura 3.29.

A

B

45

Figura 3.28 Definição da condição de temperatura prescrita (em azul).

46

Figura 3.29 Linha AB ao longo da qual são plotados os resultados de temperatura.

A,B

A B

A B

47

Figura 3.30 Perfusão Constante x Perfusão Variável – modelo do crânio.

Pelo gráfico acima, pode-se constatar que a variação da perfusão com a temperatura não

possui resultados expressivos no modelo geométrico utilizado. A análise da Figura 3.30

mostra que considerando-se a perfusão dependente da temperatura não se obtem uma

diferença significativa na redução da temperatura no cérebro. Os resultados

comparativos utilizando-se perfusão constante e dependente da temperatura são tão

parecidos que não justificam a realização de outras simulações com o crânio, embora a

geometria seja bem mais realista.

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Tem

pera

tura

(oC)

distância AB(m)

Perfusão Constante x Perfusão Variável

w constante

w variável

48

4. CONCLUSÕES

O modelo estudado nessa dissertação permite um entendimento maior dos métodos de

resfriamento utilizados para tratamento de doenças, tanto em adultos quanto em recém-

nascidos. Os resultados encontrados mostram que a hipótese levantada em outros

estudos de que mantendo-se a taxa de perfusão constante, não se consegue diminuir a

temperatura no interior do cérebro apenas usando resfriamento seletivo da cabeça é

verdadeira.

O resfriamento da superfície da cabeça mantendo-se a temperatura sistêmica normal de

37oC não é atingido devido ao alto fluxo de sangue no cérebro. A diminuição da

temperatura na superfície apenas aumenta o gradiente nas camadas superficiais do

cérebro, como pode ser visto na Figura 3.3 e Figura 3.4.

A redução na perfusão e a consideração da mesma como dependente da temperatura

também são hipóteses que diminuem a temperatura nas camadas superficiais, reduzindo

a temperatura média e aumentando a penetração do resfriamento. Porém, esse

resfriamento não atinge as camadas mais internas.

O mesmo acontece com a alteração de parâmetros fisiológicos. A MABP, PaCO2,PaO2

e CMRO2 alteram o fluxo de sangue no cérebro (CBF), aumentando ou reduzindo a

perfusão. A integração desses fatores no modelo mostra uma alteração na profundidade

limite atingida pelo resfriamento superficial. Porém, mesmo utilizando-se diferentes

fluxos de sangue no cérebro (CBF) não é possível atingir as camadas mais internas do

cérebro.

O modelo mostra que a temperatura do cérebro é basicamente controlada pela

temperatura do sangue arterial que entra no cérebro, mantendo-se 0.2-0.3oC acima da

mesma (KONSTAS, NEIMARK, et al., 2006). Reduzindo esta temperatura, é possível

alcançar uma condição de hipotermia moderada em toda a massa cerebral. Isto sugere

que a hipotermia deve ser alcançada através de outros meios, como resfriamento de todo

o corpo para reduzir a temperatura corporal e, consequentemente, a temperatura arterial,

ou infusão de um fluido refrigerante para obter um resfriamento mais rápido e eficiente.

O resfriamento através dessa técnica é obtido quando o fluido é levado até o cérebro

provocando a redução das temperaturas, ao mesmo tempo em que a hemoluição

provocada pela infusão aumenta a perfusão, o que auxilia a difusão do resfriamento

49

ocasionado pelo mesmo. Para realizar análises considerando-se o efeito da infusão

salina, é necessário incluir a temperatura do fluido refrigerante e, para isso, considerar a

localização das artérias que levam o sangue ao cérebro e das veias que o retornam, o

que torna o problema muito mais técnico. Para o caso de recém-nascidos, a técnica de

infusão salina não é aplicada, sendo um caso mais delicado a ser estudado.

Uma avaliação entre os resultados obtidos com adultos e recém-nascidos mostra que,

apesar de haver uma barreira ao resfriamento externo em ambos, em recém-nascidos ela

é mais fraca, possibilitando uma penetração de resfriamento maior com a temperatura e

com a variação de parâmetros fisiológicos.

O estudo de uma geometria mais realista da cabeça possibilita a confirmação das

conclusões acima em um modelo mais próximo do real que uma semi-esfera, mantendo

a posição da impossibilidade de resfriamento pela superfície da cabeça. A falta da

camada mais externa mostra que, partindo-se de uma mesma temperatura na interface

crânio/escalpo, a variação da perfusão com a temperatura é praticamente insignificante,

influenciando apenas as camadas mais externas da cabeça. Os resultados obtidos podem

nao ter uma correlação direta com recém-nascidos, mas servem como ponto de partida

para uma análise mais realista dos resultados obtidos para os mesmos.

Assim, uma simulação mais realista teria que considerar o corpo inteiro, o que torna o

problema bem mais complicado, pois envolveria uma simulação do fluxo de sangue no

corpo. Tal simulação poderia ser feita utilizando as equações de Navier-Stokes. Neste

caso, os maiores desafios seriam na modelagem de veias e arterias. Estudos recentes

(SCHWARZ, HEILMANN, et al., 2009) mostram modelos simplificados deste tipo de

análise.

50

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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