Analise Matematica I1o

Semestre de 2001/02LEC e LET

Resumo da materia

Resultados do texto [1]

I Numeros reais

1. Admitimos a existencia de um conjunto R (a cujos elementos chamamos nu-meros reais) no qual supomos definidas duas operacoes, uma chamada adicaoe outra multiplicacao, e supomos fixado um subconjunto de R, designadopor R+, a cujos elementos chamamos numeros positivos. Os quatro termosnumero real, numero positivo, adicao e multiplicacao sao adoptados comoconceitos primitivos da teoria o que significa que nao sao definidos.

2. Aceita-se que (R, +,×) seja um corpo, i.e., que sejam verdadeiras as seguintesproposicoes:

A. Axiomas da adicao:

i) associatividade:

∀x,y,z∈R (x + y) + z = x + (y + z);

ii) comutatividade:∀x,y∈R x + y = y + x;

iii) elemento neutro:∃u∈R∀x∈R u + x = x;

prova-se facilmente que o elemento neutro e unico; designa-se o ele-mento neutro da adicao por 0;

iv) existencia de simetrico:

∀x∈R∃x′∈R x + x′ = 0;

prova-se facilmente que o elemento simetrico e unico; designa-se osimetrico de x por −x.

O par (R, +) e um grupo comutativo.

Definicao da subtraccao:

∀x,y∈R x − y := x + (−y).

B. Axiomas da multiplicacao:

i) associatividade:

∀x,y,z∈R (x × y) × z = x × (y × z);

ii) comutatividade:∀x,y∈R x × y = y × x;

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iii) elemento neutro:∃u∈R\{0}∀x∈R u × x = x;

prova-se facilmente que o elemento neutro e unico; designa-se o ele-mento neutro da multiplicacao por 1;

iv) existencia de inverso:

∀x∈R\{0}∃x′∈R x × x′ = 1;

prova-se facilmente que o elemento inverso e unico; designa-se o in-verso de x por 1/x.

O par (R \ {0},×) e um grupo comutativo.

Definicao da divisao:

∀x∈R∀y∈R\{0}x

y:= x × (1/y).

C.Axioma da distributividade da multiplicacao em relacao a adicao:

∀x,y,z∈R x × (y + z) = x × y + x × z.

Prova-se facilmente que 0 e elemento absorvente da multiplicacao.

Note-se que se impoe que o elemento neutro da multiplicacao seja distintodo elemento neutro da adicao. De facto, no axioma relativo a existencia deelemento neutro para a multiplicacao exige-se que u ∈ R\{0}. Note-se que sese levantasse esta restricao, entao o conjunto {0} com a adicao e multiplicacaousuais satisfaria os nove axiomas anteriores.

3. Aceita-se que (R, R+, +,×) seja um corpo ordenado, i.e., que seja um corpoe que sejam verdadeiras as seguintes proposicoes:

D. Axiomas de ordem:

i) fecho de R+ para a adicao e multiplicacao:

∀x,y∈R+ x + y ∈ R+, x × y ∈ R+;

diz-se que um numero e negativo sse o seu simetrico for positivo edesigna-se por R− o conjunto dos numeros negativos;

ii) tricotomia: todo o numero real x verifica uma e uma so das trescondicoes seguintes: x e positivo, x e zero ou x e negativo.

Sendo x, y ∈ R, dizemos que x e menor do que y, ou que y e maior do quex, e escrevemos x < y ou y > x, sse y − x ∈ R+.

Seja x < y. Prova-se facilmente que se z > 0, entao xz < xy; se z < 0, entaoxz > xy.

Com os onze axiomas anteriores e a proposicao da linha anterior prova-sefacilmente que 0 < 1.

Nota: (Q, Q+, +,×) tambem e um corpo ordenado. O conjunto Q e definidomais a frente.

4. Aceita-se que (R, R+, +,×) seja um corpo ordenado completo, i.e., que queseja um corpo ordenado e que seja verdadeiro o

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IV. Axioma do supremo: qualquer subconjunto de R majorado e naovazio tem supremo.

5. Diz-se que L e majorante do conjunto A sse qualquer elemento de A formenor ou igual a L. Diz-se que l e minorante do conjunto A sse qualquerelemento de A for maior ou igual a l. Diz-se que o conjunto A e limitado ssetiver majorantes e minorantes.

Diz-se que M e maximo do conjunto A sse M e majorante de A e M ∈ A.Diz-se que m e mınimo do conjunto A sse m e minorante de A e m ∈ A.

Diz-se que s e supremo do conjunto A sse s e o mınimo do conjunto dosmajorantes de A. Diz-se que s e ınfimo do conjunto A sse s e o maximo doconjunto dos minorantes de A.

6. Existira de facto (R,R+,+,×) satisfazendo os doze axiomas acima? Pode construir-se

(R,R+,+,×) se se admitir a existencia de (N,+).

7. Um conjunto X ⊂ R e indutivo sse x ∈ X ⇒ x + 1 ∈ X .

8. O conjunto, N, dos numeros naturais e, por definicao, a interseccao de todosos conjuntos indutivos que contem 0. O conjunto N1 = N \ {0}.

9. Princıpio de inducao matematica. Para cada n ∈ N, seja P(n) uma proposi-cao. Se P(0) e verdadeira e P(n) ⇒ P(n + 1), entao P(n) e uma proposicaoverdadeira para todo o n ∈ N. (De facto, designando por A o subconjuntoformado pelos elementos de N para os quais P(n) e uma proposicao verda-deira, A e indutivo e contem 0, pelo que N ⊂ A; mas entao A = N, uma vezque A ⊂ N.)

10. Propriedade Arquimedeana: o conjunto N nao e majorado.

Prova: Suponhamos que N era majorado. Entao N teria supremo s. Existirianecessariamente um natural p > s − 1 (caso contario s − 1 seria majorantede N). Mas entao p + 1 > s. Como p + 1 e um natural, chegamos a umacontradicao. Logo, N nao e majorado.

(Nota: para provar que N nao e majorado tem que se recorrer ao axioma do supremo. Ha

corpos ordenados (nao completos) onde os naturais sao majorados.)

11. Define-se o conjunto, Z, dos numeros inteiros como a uniao do conjunto dosnumeros naturais com o conjunto dos seus simetricos.

12. Define-se o conjunto dos numeros racionais como sendo o conjunto dos nume-ros que se possam escrever na forma x/y com x ∈ Z e y ∈ N1.

13. Existencia de irracionais. Pode provar-se a existencia de um numero irraci-onal, mostrando que existe um x ∈ R tal que x2 = 2 e que nenhum numeroracional satisfaz esta condicao.

Prova. Admitamos que existia r ∈ Q tal que r2 = 2. Entao, existem p, q ∈ N1, primosentre si, tais que r = p/q. Segue que p2 = 2q2, pelo que p e par, p = 2s com s ∈ N1. Logo,4s2 = 2q2 ⇔ 2s2 = q2, pelo que q tambem e par. Mas entao p e q nao sao primos entre si.

Para provar que existe um x ∈ R tal que x2 = 2, define-se s = sup{x ∈ R : x > 0 e x2 < 2}.O numero real s esta bem definido porque o conjunto e nao vazio e majorado. Prova-se que

sao impossıveis as desigualdades s2 < 2 e s2 > 2, porque no primeiro caso (s+ 1/n)2 < 2

para n suficientemente grande, e no segundo caso (s − 1/n)2 > 2 para n suficientemente

grande.

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14. Seja a ∈ R+ e n ∈ N1. Define-se n√

a como o supremo do conjunto dosnumeros reais x tais que xn < a. Tem-se que ( n

√a)n = a.

15. Diz-se que dois conjuntos sao equipotentes sse existe uma bijeccao entre eles.

16. Densidade de Q e R \ Q em R. Sejam a, b ∈ R, a < b. Existem um racionale um irracional em ]a, b[.

Prova. Decorre facilmente do seguinte lema (tomando c = b−a e uma vez que os multiplos

inteiros de um (ir)racional sao (ir)racionais): qualquer que seja c > 0 existem um racional

e um irracional em ]0, c[. Este lema e consequencia de propriedade Arquimedeana e do

facto de 1/n ser racional e√

2/n ser irracional, ∀n∈N1.

Conclui-se, obviamente, que em qualquer intervalo com mais de um ponto hainfinitos racionais e infinitos irracionais.

17. Diz-se que um conjunto e numeravel sse for equipotente a N. Os conjuntosZ e Q sao numeraveis.

Um conjunto diz-se contavel sse for finito ou numeravel.

18. Princıpio do encaixe. Seja {In}n∈N1 uma famılia de intervalos limitados efechados satisfazendo In+1 ⊂ In, ∀n∈N1 . Entao ∩∞

n=1In 6= ∅.Prova. Se In = [an, bn] entao ∩∞

n=1In ⊃ [supn∈N1an, infn∈N1

bn] 6= ∅, porque supn∈N1an

≤ infn∈N1bn, desigualdade esta que decorre facilmente da definicao de supremo e ınfimo.

19. Seja a, b ∈ R, a < b. O intervalo [a, b] nao e numeravel.

Prova. O argumento e por contradicao. Suponhamos que [a, b] = {xn}n∈N1. Constroi-se

uma famılia In de intervalos limitados e fechados, [a, b] = I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . .,

tais que xn 6∈ In, ∀n∈N1. Pelo princıpio do encaixe, existe x0 ∈ ∩∞

n=1In. Observa-se que,

qualquer que seja n ∈ N1, xn 6∈ In implica que xn 6∈ ∩∞n=1In, pelo que xn 6= x0. Isto

contradiz o facto de x0 ∈ [a, b] = {xn}n∈N1.

20. Teorema de Cantor. Seja A um conjunto qualquer e P(A) o conjunto das partes de A,

ou seja, o conjunto cujos elementos sao todos os subconjuntos de A. Entao existe uma

aplicacao injectiva de A em P(A), mas nao existe nenhuma aplicacao bijectiva entre estes

dois conjuntos. Diz-se que o cardinal de A e inferior ao cardinal de P(A) e escreve-se

#A < #P(A).

Prova. Suponhamos que existia uma bijeccao ϕ de A em P(A). Designe-se por M o conjunto de↓nido por

M = {x ∈ A : x 6∈ ϕ(x)} e por m o elemento de A tal que ϕ(m) = M. Facilmente se veri↓ca que nao se pode

ter nem m ∈ M nem m 6∈ M.

21. Teorema de Schroder−Bernstein. Se existe uma funcao injectiva f : A → B e existe uma funcao injectiva

g : B → A, entao existe uma bijeccao h : A → B.

22. Cantor pos a questao de saber se existiria algum conjunto A ⊂ R com #N < #A < #R. Em sua opiniao nao

deveria existir um tal conjunto, mas ele nao foi capaz de o provar. Esta hipotese, conhecida como hipotese do

contınuo, foi um dos grandes desa↓os matematicos deixados pelo seculo XIX. Em 1940 Godel provou que nao

se podia desprovar a hipotese do contınuo usando os axiomas aceites da Teoria do Conjuntos. Mais tarde, em

1963, Cohen mostrou que, de acordo com os mesmos axiomas, era impossıvel provar a hipotese do contınuo.

Juntos, estes resultados implicam que a hipotese do contınuo e indecidıvel. Pode ser aceite ou rejeitada como

uma a↓rmacao acerca da natureza dos conjuntos in↓nitos, e em qualquer dos casos nenhuma contradicao logica

resultara. Podera encontrar mais informacao sobre este assunto em S. Abbott, Understanding Analysis, Springer

Undergraduate Texts in Mathematics, 2001.

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23. Por definicao, |x| = x se x ≥ 0, e |x| = −x se x < 0.

Seja a ∈ R e ǫ > 0. A vizinhanca ǫ de a e Vǫ(a) = {x ∈ R : |x − a| < ǫ} =]a − ǫ, a + ǫ[.

II Sucessoes

1. Por definicao, uma sucessao de termos em A e uma aplicacao de N1 em A.

Sendo u uma sucessao, os valores de u(1), u(2), . . . , u(n), . . . dizem-se os ter-mos da sucessao. O valor u(n) e o termo de ordem n, ou enesimo termo, dasucessao. Em vez de se escrever u(n), e habitual escrever-se un para designar

o enesimo termo da sucessao u. E ainda habitual designar a sucessao u por(un)n∈N1 , ou simplesmente (un).

As sucessoes de termos em R dizem-se sucessoes reais.

Por razoes de comodidade, por vezes consideram-se sucessoes definidas emN, em vez de N1, ou seja, aplicacoes de N num conjunto A.

2. Habitualmente representamos geometricamente os termos de uma sucessaoreal u por um dos dois seguintes processos: esbocando o seu grafico no planocartesiano, ou marcando os primeiros termos da sucessao na recta real. Ografico da sucessao u e o conjunto {(n, un) : n ∈ N1}.

3. Uma progressao aritmetica de primeiro termo a e razao r, e uma sucessao u,definida por un = a + (n − 1)r, para n ∈ N1.

Uma progressao geometrica de primeiro termo a e razao r, e uma sucessaou, definida por un = arn−1, para n ∈ N1.

A sucessao u : N → R dos numeros de Fibonacci e definida por

u0 = 0,u1 = 1,un+1 = un + un−1 para n ∈ N1.

Dizemos que uma tal sucessao esta definida por recorrencia.

E simples provar por inducao que un = 1√5

h“

1+√

52

”n−

“

1−√

52

”ni

, para n ∈ N.

4. As operacoes algebricas estendem-se naturalmente as sucessoes reais.

5. Uma sucessao real diz-se minorada sse for minorado o conjunto dos seustermos e majorada sse for majorado o conjunto dos seus termos. Uma suces-sao diz-se limitada sse for minorada e majorada, ou seja, sse for limitado oconjunto dos seus termos.

Uma sucessao real diz-se crescente sse un ≤ un+1, para qualquer n ∈ N1

e decrescente sse un ≥ un+1. Diz-se monotona sse for crescente ou decres-cente. Diz-se ainda estritamente monotona sse for estritamente crescente ouestritamente decrescente, onde estas designacoes tem o significado obvio.

6. Sejam u e v duas sucessoes e suponha-se que, para todo o n ∈ N1, vn ∈ N1

e ainda que v e estritamente crescente. A sucessao w = u ◦ v, definidapor wn = (u ◦ v)(n) = u(v(n)) = uvn

, diz-se uma subsucessao de u, maisprecisamente, a subsucessao de u determinada por v.

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7. Tem grande importancia o seguinte Teorema. Qualquer sucessao real temsubsucessoes monotonas.

Prova. Dada uma sucessao real u, seja K := {p : ∀n>p un > up}. Se K e infinito,

u tem uma subsucessao estritamente crescente. Se K e finito, u tem uma subsucessao

decrescente.

8. Diz-se que a sucessao real u converge ou tende para a, e escreve-se lim u = a,limn→∞ un = a ou un → a, sse

∀Vǫ(a)∃p∈N1∀n∈N1 n > p ⇒ un ∈ Vǫ(a),

ou seja,∀ǫ>0∃p∈N1∀n∈N1 n > p ⇒ |un − a| < ǫ.

Uma sucessao real diz-se convergente sse existe um numero real a tal queun → a. As sucessoes que nao sao convergentes dizem-se divergentes.

Uma sucessao diz-se um infinitesimo sse converge para zero.

9. Toda a sucessao convergente e limitada.

10. Unicidade do limite. Seja un uma sucessao real e a, b ∈ R. Se un → a eun → b, entao a = b.

11. Teorema das Sucessoes Enquadradas. Sejam u, v e w tres sucessoes reais esuponha-se que a partir de certa ordem un ≤ vn ≤ wn. Se u e w convergemambas para a, entao v tambem converge, e o seu limite e a.

12. O produto de um infinitesimo por uma sucessao limitada e um infinitesimo.

13. a) Se u e v sao sucessoes convergentes entao u + v e u × v sao sucessoesconvergentes e tem-se lim(u+v) = limu+lim v, lim(u×v) = limu× lim v.Se, alem disso, vn 6= 0 para todo o n ∈ N1 e lim v 6= 0, entao lim(u/v) =limu/ lim v.

b) Sejam u e v duas sucessoes convergentes e suponha-se que, para infinitosvalores de n, un ≤ vn. Entao limu ≤ lim v.

c) Se u → a, entao |u| → |a|.Prova. Segue da desigualdade ||un| − |a|| ≤ |un − a|.

d) Seja p ∈ N1 e un ≥ 0 para todo o n ∈ N1. Se un → a, entao p√

un → p√

a.A prova decorre de

| p√un − p√a| =|un − a|

( p√un)p−1 + p√a( p√un)p−2 + . . . + ( p√a)p−2 p√un + ( p√a)p−1≤

|un − a|

( p√a)p−1.

14. Se |c| < 1, entao cn → 0.

Prova. Usa-se a desigualdade de Bernoulli: (1 + k)n ≥ 1 + nk, para qualquer

n ∈ N e k > −1.

15. Para todo a > 0, tem-se limn→∞n√

a = 1.

Prova. Usa-se a desigualdade de Bernoulli: (1 + kn)n ≥ 1 + nkn, para qualquer

n ∈ N e qualquer sucessao (kn) cujos termos sejam maiores do que −1. Suponha-

se em primeiro lugar que a > 1 e defina-se kn := n√

a − 1. Claro que kn > 0 e

a = (1 + kn)n ≥ 1 + nkn. Logo, kn ≤ (a − 1)/n. Pelo Teorema das Sucessoes

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Enquadradas, kn e um infinitesimo. Isto prova que limn→∞n√

a = 1, para a > 1.

No caso em que 0 < a < 1, limn→∞n√

a = limn→∞

“

1/ np

1/a”

= 1/1 = 1. O caso

a = 1 e trivial.

16. Toda a sucessao monotona e limitada e convergente.

Prova. Se a sucessao e crescente prova-se que ela converge para o supremodo conjunto dos seus termos.

17. A sucessao u, definida por un =∑n

k=01k! e obviamente estritamente crescente

e e tambem majorada (por exemplo por 3, porque 1k! < 1

2k−1 para k > 2).Logo converge. Chamamos ao seu limite numero de Neper, usualmentedesignado pela letra e.

Outra sucessao com limite e e a sucessao v, definida por vn =(

1 + 1n

)n,

tambem crescente e majorada.

18. Um Teorema fundamental sobre sucessoes reais deve-se a Bolzano e Wei-erstrass. Qualquer sucessao limitada tem subsucessoes convergentes.

Prova. Qualquer sucessao real u tem uma subsucessao monotona. Essasubsucessao e, alem de monotona, limitada.

19. Dizemos que a sucessao real u e uma sucessao de Cauchy sse

∀ǫ>0∃p∈N1∀m,n∈N1 m, n > p ⇒ |um − un| < ǫ.

20. Uma sucessao real e convergente sse e uma sucessao de Cauchy.

Ideia da prova. E facil provar que qualquer sucessao convergente e de Cauchy. Em

sentido inverso, se u e de Cauchy, entao e limitada. Pelo Teorema de Bolzano-

Weierstrass, tem uma subsucessao convergente, digamos para a. E facil provar que

lim u = a.

21. A definicao de sucessao de Cauchy e muito util para provar a convergencia de

sucessoes para as quais nao temos candidato a limite.

22. Diz-se que a e sublimite da uma sucessao sse a sucessao tem uma subsucessaoconvergente para a.

23. Seja u uma sucessao real limitada. Entao u e convergente sse o conjunto dosseus sublimites e singular.

Claro que se u e convergente, entao o conjunto dos seus sublimites e singular. Para

a prova em sentido inverso, e facil provar que se u nao converge, entao o conjunto

dos seus sublimites nao e singular.

24. O conjunto dos sublimites de uma sucessao limitada tem elemento maximoe mınimo.

25. Chama-se limite superior de (un), e denota-se por lim sup un ou lim un, aomaior sublimite da sucessao (un). Chama-se limite inferior de (un), e denota-se por lim inf un ou lim un, ao menor sublimite da sucessao (un).

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26. Seja (un) uma sucessao limitada e S o conjunto dos seus sublimites. Entao, (i)S 6= ∅; (ii) S e singular sse (un) e convergente; (iii) uma sucessao monotona,e convergente (pelo que S e um conjunto singular); (iv) S tem elementomaximo e mınimo. Estas quatro propriedades nao subsistem no quadro das

sucessoes nao limitadas. No sentido de as estender a sucessoes nao limitadas eno sentido de caracterizar o comportamento de um maior leque de sucessoes,introduz-se a recta acabada.

27. A recta acabada e o conjunto definido por R = R ∪ {−∞, +∞}, onde −∞e +∞ designam dois objectos matematicos distintos e distintos de qualquernumero real. Um elemento de R diz-se finito sse pertence a R e infinito emcaso contrario.

28. Considera-se em R a relacao de ordem menor (<) determinada pelas seguintesregras: (i) se x, y ∈ R sao ambos finitos a relacao x < y coincide com a relacaode ordem em R; (ii) para qualquer x ∈ R, tem-se −∞ < x < +∞.

29. Qualquer subconjunto de R (incluindo o conjunto vazio) tem supremo e ın-fimo.

30. Na recta acabada definem-se vizinhancas do modo seguinte. Sendo ǫ > 0,se a ∈ R, entao Vǫ(a) coincide com a vizinhanca anteriormente definida.As vizinhancas de −∞ e +∞ sao definidas por Vǫ(−∞) = [−∞,−1/ǫ[ eVǫ(+∞) =]1/ǫ, +∞].

Estas definicoes asseguram que Vǫ(+∞) e um intervalo, +∞ e a interseccaode todas as suas vizinhancas, e que 0 < δ < ǫ implica Vδ(a) ⊂ Vǫ(a).

31. Dizemos que a sucessao real u tende ou converge em R para a (a ∈ R) sse

∀Vǫ(a)∃p∈N1∀n∈N1 n > p ⇒ un ∈ Vǫ(a).

Assim,un → +∞ sse ∀k∈R∃p∈N1∀n∈N1 n > p ⇒ un > k,

un → −∞ sse ∀k∈R∃p∈N1∀n∈N1 n > p ⇒ un < k.

32. Seja (un) uma sucessao e S o conjunto dos seus sublimites em R. Entao, (i)S 6= ∅; (ii) S e singular sse (un) e convergente; (iii) uma sucessao monotona,e convergente (pelo que S e um conjunto singular); (iv) S tem elementomaximo e mınimo.

33. Seja u uma sucessao de termos positivos. Se un+1/un converge em R, entaon√

un tambem converge, e para o mesmo limite.

Prova quando o limite e finito. Seja limn→∞ un+1/un = l ∈ R e ǫ > 0. Existe p ∈ N1 tal

que, para todo o n > p, l − ǫ < un+1/un < l + ǫ. Isto implica que (l − ǫ)n−p−1up+1 <

un < (l + ǫ)n−p−1up+1, para todo o n > p + 1. Logo, (l − ǫ) 1n√

(l−ǫ)p+1n√up+1 <

n√un < (l + ǫ) 1

n√

(l+ǫ)p+1n√up+1, para todo o n > p + 1. Pelo Teorema das Sucessoes

Enquadradas, qualquer sublimite de n√un pertence ao intervalo [l − ǫ, l + ǫ]. Como ǫ e

arbitrario, o conjunto dos sublimites e um conjunto singular, e n√un converge para l.

34. Aplicando a proposicao do ponto anterior pode, por exemplo, concluir-se quelimn→∞

n√

n = 1 e que limn→∞n√

n! = +∞.

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35. Seja p ∈ N1 e a > 1. Tem-se limn→∞np

an = 0, limn→∞an

n! = 0 e limn→∞n!nn =

0.

(i) Como limn→∞n

q

np

an = limn→∞(n√n)p

a= 1

a< 1, existe ǫ > 0 tal que n

q

np

an < (1 − ǫ),

para todo o n ∈ N1 suficientemente grande. Logo, np

an < (1 − ǫ)n, para todo o n ∈ N1

suficientemente grande. O Teorema das Sucessoes Enquadradas implica que limn→∞np

an =0.

(ii) Como limn→∞n

q

an

n!= a limn→∞

1n√n!

= 0, tem-se n

q

an

n!< 1

2, para todo o n ∈ N1

suficientemente grande. Logo, an

n!< 1

2n , para todo o n ∈ N1 suficientemente grande. O

Teorema das Sucessoes Enquadradas implica que limn→∞an

n!= 0.

(iii) Como n!nn ≤ 1

n, o Teorema das Sucessoes Enquadradas implica que limn→∞

n!nn = 0.

36. Define-se potencia de um expoente racional r, representado pela fraccao ir-redutıvel p

q, com p ∈ Z e q ∈ N1, por ar := ( q

√a)p, para todos os reais a para

os quais o segundo membro tem sentido.

Seja a > 1. Seja ainda α um irracional arbitrario e (rn) uma sucessao cres-cente de racionais convergente para α. A sucessao (arn) e crescente e limi-tada, pelo que converge. Prova-se que o limite nao depende da sucessao deracionais, convergente para α. Define-se aα como limn→∞ arn . Mais, podeprovar-se que sempre que (sn) seja uma sucessao de racionais convergentepara α, se tem limn→∞ asn = aα.

Se 0 < a < 1 e α e irracional, entao define-se aα :=(

1a

)−α. Esta definicao e

equivalente a atribui a aα valor igual ao limite de (arn), onde (rn) e qualquersucessao de racionais convergente para α.

37. Sao sete as indeterminacoes: +∞−∞, ∞∞ , 0

0 , 0 ×∞, ∞0, 00 e 1∞.

38. lim (unvn) = limun

lim vn , desde que o segundo membro nao seja um sımbolode indeterminacao (∞0, 00 ou 1∞).

39. Prova-se que se xn → a e |un| → +∞, entao(

1 + xn

un

)un

→ ea.

III Series

1. Seja (an) uma sucessao real. Chama-se sucessao das somas parciais de (an) asucessao definida por sn =

∑nk=1 ak = a1+. . .+an. Diz-se que a sucessao (an)

e somavel sse a sucessao (sn) convergir. Neste caso, designando por l o limitede (sn), costuma escrever-se l =

∑∞k=1 ak, em vez de l = limn→∞

∑nk=1 ak, e

costuma dizer-se que a serie∑∞

k=1 ak e convergente e que l e a soma da serie.Quando (sn) nao converge (em R) costuma dizer-se que a serie e divergente.Em qualquer dos casos, e costume chamar-se a an o termo de ordem n daserie.

A notacao acima e ambıgua pois confunde a serie∑∞

k=1 ak com a sua soma.

Em rigor, uma serie e um par ordenado de sucessoes ((an), (sn)) que veri↓que sn =Pn

k=1 ak, para qualquer

n ∈ N1.

2. A serie∑∞

n=1 xn−1 converge sse |x| < 1 e, neste caso, a sua soma e 1/(1−x).

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3. Uma serie de Mengoli e uma serie do tipo∑∞

n=1(bn − bn+1), em que bn ∈ R,para cada n ∈ N1. A sucessao das suas somas parciais e

∑n

k=1(bk − bk+1) =b1− bn+1, pelo que a serie converge sse a sucessao (bn) convergir. Nesse caso,designando por k o limite de (bn),

∑∞n=1(bn − bn+1) = b1 − k.

4. Se a serie∑∞

n=1 an converge, entao an e um infinitesimo.

5. Uma serie,∑∞

n=1 an, de termos nao negativos (an ≥ 0, para todo o n ∈ N1)converge sse a sucessao das suas somas parciais for majorada.

6. Criterio geral de comparacao. Suponha-se que 0 ≤ an ≤ bn, para todo on ∈ N1. Entao,

a) se∑∞

n=1 bn e convergente,∑∞

n=1 an e convergente;

b) se∑∞

n=1 an e divergente,∑∞

n=1 bn e divergente.

7. A serie harmonicaP∞

n=11n

diverge. De facto,P2k+1

n=2k+11n

≥ P2k+1

n=2k+11

2k+1 =2k

2k+1 = 12, para k ∈ N1. Logo,

P∞n=1

1n≥ 1 + 1

2+

P∞k=1

12

= +∞.

Seja α < 1. EntaoP∞n=1

1nα >

P∞n=1

1n

= ∞, pelo queP∞n=1

1nα e divergente.

8.P∞n=1

1n2 ≤ 1 +

P∞n=2

1n(n−1)

≤ 1 +P∞n=2

“

1n−1

− 1n

”

= 2, pelo queP∞n=1

1n2 e

convergente.

Seja α > 2. EntaoP∞n=1

1nα <

P∞n=1

1n2 < ∞, pelo que

P∞n=1

1nα e convergente.

9. Sejam an ≥ 0 e bn > 0. Se an/bn converge para l ∈]0, +∞[, entao∑∞

n=1 an

e∑∞

n=1 bn sao da mesma natureza.

Nota. Se an/bn converge para 0, entao a convergencia deP∞n=1 bn implica a convergencia

deP∞n=1 an, e a divergencia de

P∞n=1 an implica a divergencia de

P∞n=1 bn. Se an/bn

converge para +∞, entao a divergencia deP∞n=1 bn implica a divergencia de

P∞n=1 an, e

a convergencia deP∞n=1 an implica a convergencia de

P∞n=1 bn.

10. A serie de Dirichlet,∑∞

n=11

nα converge sse α > 1.

Em face do ja exposto, basta provar que a serie de Dirichlet converge se 1 < α < 2. Tem-

seP2k+1−1n=2k

1nα ≤ P2k+1−1

n=2k1

2kα = 2k

2kα = 12k(α−1) , para k ∈ N. Como α > 1, segue-se

12α−1 < 1 e

P∞n=1

1nα ≤ P∞

k=01

(2α−1)k = 11−2α−1 .

11. Criterio de Cauchy. Seja∑∞

n=1 an uma serie de termos nao negativos esuponha-se que n

√an converge e que o seu limite e l. Se l < 1, a serie

converge; se l > 1, a serie diverge.

Prova. Suponhamos que l < 1 e seja 0 < ǫ < 1 − l. Existe p ∈ N1 tal que n > p implican√an < l + ǫ < 1. Logo an < (l + ǫ)n, para n > p. Se l > 1, entao existe p ∈ N1 tal que

n > p implica n√an ≥ 1, pelo que an ≥ 1, para todo o n > p.

Este criterio pode ser melhorado. SejaP∞n=1 an uma serie de termos nao negativos

e suponha-se que lim sup n√

an = l. Se l < 1, a serie converge; se l > 1, a serie

diverge.

12. Criterio de D’Alembert. Seja∑∞

n=1 an uma serie de termos positivos esuponha-se que an+1/an converge e que o seu limite e l. Se l < 1, a serieconverge; se l > 1, a serie diverge.

Prova. Num dos pontos anteriores vimos que se lim an+1/an = l, entao lim n√an = l.

Basta aplicar o Criterio de Cauchy.

10

13. Dizemos que a serieP∞n=1 bn e uma permutacao de

P∞n=1 an sse existe uma bijeccao

ψ : N1 → N1 tal que bn = aψ(n), para todo o n ∈ N1.

SejaP∞n=1 an uma serie de termos nao negativos e

P∞n=1 bn uma sua permutacao, bn =

aψ(n). EntaoP∞n=1 an =

P∞n=1 bn. De facto, sendo m = max{ψ(1), ψ(2), . . . , ψ(n)}, vem

b1+. . .+bn = aψ(1)+. . .+aψ(n) ≤ a1+. . .+am ≤ P∞n=1 an. Logo,

P∞n=1 bn ≤ P∞

n=1 an.

ComoP∞n=1 an e uma permutacao de

P∞n=1 bn

“

porque an = bψ−1(n)

”

, vem tambemP∞n=1 an ≤ P∞

n=1 bn.

SejaP∞n=1 an uma serie de termos nao negativos e (Km) uma sucessao de subconjuntos

de N1, disjuntos dois a dois, cuja uniao e N1. EntaoP∞n=1 an =

P∞m=1

P

n∈Kman.

14. Criterio de Cauchy. A serie∑∞

n=1 an converge sse a sucessao das suas somasparciais for uma sucessao de Cauchy, ou seja,

∀ǫ>0∃p∈N1∀q,r∈N1 p < q < r ⇒ |aq+1 + . . . + ar| < ǫ.

15. Criterio de Leibniz. Seja (an) uma sucessao decrescente de termos positivos.A serie

∑∞n=1(−1)n+1an converge sse (an) converge para zero.

Prova. Seja (an) uma sucessao decrescente, convergente para 0. Se q, r ∈ N1 com q < r,

entao |aq+1 − aq+2 + . . .+ (−1)r−q−1ar | ≤ aq+1, pelo que a sucessao das somas parciais

e de Cauchy. A implicacao em sentido contrario e imediata.

16. A serie harmonica alternada,∑∞

n=1(−1)n

n, converge.

17. Diz-se que a serie∑∞

n=1 an e absolutamente convergente sse∑∞

n=1 |an| forconvergente. As series convergentes, mas nao absolutamente convergentes,dizem-se simplesmente convergentes.

18. Para a ∈ R, sejam a+ e a−, respectivamente, as partes positiva e negativade a, ou seja, a+ = max{a, 0} e a− = max{−a, 0}. A serie

∑∞n=1 an e abso-

lutamente convergente sse convergem ambas as series∑∞

n=1 a+n e

∑∞n=1 a−

n .A prova decorre imediatamente de 0 ≤ a+

n ≤ |an|, 0 ≤ a−n ≤ |an| e |an| =

a+n + a−

n .

19. Toda a serie absolutamente convergente e convergente. Tem-se∣

∣

∣

∣

∣

∞∑

n=1

an

∣

∣

∣

∣

∣

≤∞∑

n=1

|an|.

Prova. Suponhamos queP∞n=1 |an| converge. Pelo ponto anterior,

P∞n=1 a+

n eP∞n=1 a−

n convergem. Logo,P∞n=1 an =

P∞n=1 a+

n − P∞n=1 a−

n tambem converge.

Para provar a desigualdade, basta aplicar a desigualdade triangular a sucessao das

somas parciais da serie de termo geral an e, seguidamente, tomar o limite de ambos

os membros.

20. Teorema de Riemann. SejaP∞n=1 an uma serie simplesmente convergente e α ∈ R.

Existem permutacoes deP∞n=1 an com soma α.

21. Motivacao da definicao da serie produto. O produto dos dois polinomiosa0 + a1x + a2x

2 + . . . + arxr e b0 + b1x + b2x

2 + . . . + brxr e o polinomio

a0b0 + (a1b0 + a0b1)x + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x2 + . . .

Definicao da serie produto. A serie produto de∑∞

n=0 an e∑∞

n=0 bn e a serie∑∞

n=0 cn, onde cn =∑n

i=0 an−ibi, para todo o n ∈ N.

11

22. Se∑∞

n=0 an e∑∞

n=0 bn sao absolutamente convergentes tambem o e a serieproduto,

∑∞n=0 cn. Alem disso,

∑∞n=0 cn =

∑∞n=0 an · ∑∞

n=0 bn.

23. Seja (an) uma sucessao real e x ∈ R. Chamamos serie de potencias de x,com coeficientes a0, a1, . . . , an, . . ., a

∑∞n=0 anxn.

24. A serie de potencias∑∞

n=0 anxn e absolutamente convergente em cada pontodo intervalo ] − r, r[, onde

r =1

lim sup n√

|an|,

e e divergente em ]−∞,−r[∪ ]r, +∞[. A r ∈ R chama-se raio de convergenciada serie.

25. O raio de convergencia da serie∑∞

n=0 anxn e igual a limn→∞

∣

∣

∣

an

an+1

∣

∣

∣, sempre

que este limite exista.

26. A serie E(x) :=∑∞

n=0xn

n! e absolutamente convergente para qualquer x ∈ R.Verifica-se facilmente que E(x)E(y) = E(x + y).

Como E(1) = e, conclui-se que E(n) = en, para n ∈ N. Alem disso,enE(−n) = E(n)E(−n) = E(0) = 1, pelo que E(−n) = e−n. Logo, E(m) =em para todo o m ∈ Z. Seja p ∈ Z e q ∈ N1. Entao E (p/q)

q= E(p) = ep,

ou seja, E (p/q) = q√

ep. Logo, E(r) = er, para todo o r ∈ Q.

Seja a ∈ R. Prova-se que se (xn) e uma sucessao convergente para a, entaoE(xn) converge para E(a).

Seja x ∈ R e a ∈ R+. Vimos atras que ax e igual ao limite de (arn), onde(rn) e qualquer sucessao de racionais convergente para x. Tomando a = e,ex = limn→∞ ern = limn→∞ E(rn) = E(x). Conclui-se que E(x) = ex, paratodo o x ∈ R.

27. Definimos as seguintes series de potencias, absolutamente convergentes emR:

sin x = x − x3

3! + x5

5! − . . . =∑∞

n=0(−1)nx2n+1

(2n+1)! ,

cosx = 1 − x2

2! + x4

4! − . . . =∑∞

n=0(−1)nx2n

(2n)! .

Usando a proposicao relativa ao produto de series absolutamente convergen-tes, prova-se que cos(x+ y) = cosx cos y− sinx sin y, para todos os x, y ∈ R.

IV Continuidade e limite

1. Uma funcao real de variavel real e uma aplicacao de um subconjunto D deR em R.

Sendo f : D → R, a imagem de um conjunto A ⊂ D por f designa-se porf(A).

A funcao f : D → R diz-se majorada sse f(D) for um conjunto majorado.Define-se de modo analogo funcao minorada e limitada.

12

Chama-se supremo de f em A, supA f , ao supremo do conjunto f(A), ouseja, ao supx∈A f(x). Este supremo sera +∞ se f nao for majorada e −∞ seA = ∅ ou se f e a funcao vazia, i.e., a funcao de domınio vazio. Define-se demodo analogo ınfimo de f em A, infA f e, quando existam, maxA f e minA f .[Nota: Nao se deve confundir (valor do) maximo com ponto de maximo (oponto onde o maximo ocorre).]

Define-se da forma habitual o que se entende por funcao crescente, estrita-mente crescente, decrescente, estritamente decrescente, monotona e estrita-mente monotona.

O grafico de f : D → R e o conjunto {(x, y) ∈ R2 : x ∈ D, y = f(x)}.

2. Definimos a funcao logaritmo natural, designada por ln ou log, como sendoa inversa da funcao x 7→ ex. Esta definicao faz sentido porque a funcaoexponencial (de base e > 1) e estritamente crescente. Sendo o contradomıniode x 7→ ex o intervalo R+, o domınio da funcao logaritmo e R+ e para x ∈ R+,lnx e o unico valor y, tal que x = ey.

Reconhece-se sem dificuldade a validade das formulas ln(xy) = lnx + ln y eln(x/y) = lnx − ln y, para todos os x, y ∈ R+.

3. Estao deduzidas algumas propriedades das funcoes trigonometricas no textoa partir das definicoes do seno e coseno dadas acima. Devemos salientar quese prova que existe um ρ > 0 tal que cos ρ = 0 e cosx > 0 para cada x ∈ [0, ρ[;Define-se o numero π por π := 2ρ.

4. Definem-se as funcoes seno hiperbolico e coseno hiperbolico por

sinhx = ex−e−x

2 = x + x3

3! + x5

5! + . . . =∑∞

n=0x2n+1

(2n+1)! ,

cosh x = ex+e−x

2 = 1 + x2

2! + x4

4! − . . . =∑∞

n=0x2n

(2n)! .

Verifica-se, sem qualquer dificuldade, que cosh2 x − sinh2 x = 1.

Se o parametro t percorrer o conjunto R, o ponto (cos t, sin t) percorre (infi-nitas vezes) a circunferencia de raio um e centro na origem.

Se o parametro t percorrer o conjunto R, o ponto (cosh t, sinh t) percorre(uma vez) o ramo direito da hiperbole {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 = 1}.

5. Definicao de continuidade de Cauchy. Seja D ⊂ R e a ∈ D. A funcaof : D → R e contınua em a sse

∀Vδ(f(a))∃Vǫ(a)∀x∈D x ∈ Vǫ(a) ⇒ f(x) ∈ Vδ(f(a)),

ou seja, sse

∀δ>0∃ǫ>0∀x∈D |x − a| < ǫ ⇒ |f(x) − f(a)| < δ.

6. Definicao de continuidade de Heine. Seja D ⊂ R e a ∈ D. A funcaof : D → R e contınua no ponto a sse sempre que xn seja uma sucessao, determos em D, convergente para a, a sucessao f(xn) converge para f(a).

7. As definicoes de continuidade de Cauchy e Heine sao equivalentes.

13

8. Diz-se que a funcao f e contınua sse e contınua em todos os pontos do seudomınio.

9. Exemplos.

a) Sejam m, b ∈ R. A aplicacao x 7→ mx + b e contınua.

b) A funcao de Heaviside e descontınua na origem.

c) A funcao de Dirichlet e descontınua em R.

10. Da definicao de continuidade de Heine e dos teoremas sobre sucessoes, obtem-se:

a) se f e g sao contınuas no ponto a, entao f + g, f − g e f × g sao contınuasem a; se, alem disso, g(a) 6= 0, entao f/g (esta definida numa vizinhancade a e) e contınua em a;

b) se g e contınua em a e f e contınua no ponto g(a), entao f ◦ g e contınuaem a.

11. A funcao modulo e contınua.

12. Seja n ∈ N1. Para n par, x 7→ n√

x e contınua em R+0 . Para n ımpar, x 7→ n

√x

e contınua em R.

13. Seja∑∞

n=0 anxn uma serie de potencias com raio de convergencia r ∈]0, +∞].A funcao f : ] − r, r[→ R, definida por f(x) =

∑∞n=0 anxn e contınua.

Mais geralmente, prova-se (p. 339) que uma serie de potencias e uma funcao contınua em

todo o intervalo de convergencia da serie.

14. Seja D ⊂ R. Diz-se que o ponto a e aderente a D sse toda a vizinhanca Vǫ(a)intersecta D. De forma equivalente, o ponto a e aderente a D sse existeuma sucessao de termos em D convergente para a. Designa-se o conjunto depontos aderentes a D por D.

15. Definicao de limite de Cauchy. Seja D ⊂ R e a ∈ D. A funcao f : D → R

tem limite b (b ∈ R) no ponto a sse

∀δ>0∃ǫ>0∀x∈D |x − a| < ǫ ⇒ |f(x) − b| < δ.

Neste caso escreve-se limx→a f(x) = b.

16. Definicao de limite de Heine. Seja D ⊂ R e a ∈ D. Diz-se que a funcaof , definido em D, tem limite b no ponto a sse sempre que (xn) seja umasucessao, de termos em D, convergente para a, a sucessao (f(xn)) convergepara b.

17. As definicoes de limite de Cauchy e Heine sao equivalentes.

18. Se a ∈ D, entao f tem limite em a sse e contınua em a e neste casolimx→a f(x) = f(a).

14

Se a ∈ D \ D, a existencia de limite no ponto a equivale a possibilidade deprolongar por continuidade f ao ponto a, ou seja, a existencia de uma funcao,f , definida em D ∪ {a} e contınua. E claro que

f(x) =

{

f(x) se x ∈ D,limx→a f(x) se x = a.

19. Exemplos. limx→0sinxx

= 1, limx→0ex−1x

= 1, limx→01−cos xx2 = 1

2.

20. Seja D ⊂ R, f : D → R, A ⊂ D e a ∈ A. O limite de f no ponto a relativoao conjunto A e limx→a f |A(x), quando este exista. Escrevemos tambemlimx → a

x ∈ Af(x) para designar limx→a f |A(x).

Em particular, ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjuntoD∩ ]a, +∞[, quando este exista, e costume chamar limite de f no pontoa a direita, ou limite de f(x) quando x tende para a por valores superio-res, usando-se para designa-lo o sımbolo limx→a+ f(x). Define-se de formaanaloga o limx→a− f(x). Tanto os limites a direita como a esquerda sao usu-almente designados por limites laterais. O limite de f no ponto a relativoao conjunto D \ {a} e chamado o limite de f(x) quando x tende para a porvalores distintos de a, escrevendo-se limx → a

x 6= af(x).

21. Usando as definicoes de vizinhanca na recta acabada introduzidas acima,podemos tambem dar significado a limx→a f(x) = b quando a e/ou b sao±∞

22. Da definicao de limite de Heine e dos teoremas sobre sucessoes, obtem-seimediatamente proposicoes relativas ao limite da soma, diferenca, produtoe quociente (em pontos em que o denominador nao tenha limite nulo) defuncoes.

23. Se limx→a g(x) = b, limx→b f(x) = c e a e aderente ao domınio de f ◦g, entaolimx→a(f ◦ g)(x) = c.

Notas: 1. Este resultado nao e valido para os limites por valores distintos de a e de b. 2.

A hipotese de a ser aderente ao domınio de f ◦ g e necessaria: podem existir os limites

indicados de f e g, e uma vizinhanca de a onde f ◦ g nao esta definida.

24. Teorema de Weierstrass. Seja I um intervalo limitado, fechado e nao-vazioe f : I → R contınua. Entao f tem maximo e mınimo.

25. Teorema do Valor Intermedio. Sejam a e b ∈ R com a < b e f : [a, b] → R

contınua. Entao f assume todos os valores entre f(a) e f(b).

26. Seja I ⊂ R um intervalo e f : I → Rn estritamente monotona e contınua.Entao f−1 : f(I) → R e contınua.

27. A funcao arcsin e a inversa da restricao do seno a[

−π2 , π

2

]

:

(

x ∈[

−π2 , π

2

]

∧ sin x = y)

⇔ x = arcsiny.

A funcao arccos e a inversa da restricao do coseno a [0, π].

(x ∈ [0, π] ∧ cosx = y) ⇔ x = arccos y.

15

A funcao arctan e a inversa da restricao do tangente a]

−π2 , π

2

[

.

(

x ∈]

−π2 , π

2

[

∧ tan x = y)

⇔ x = arctany.

-

x

π2

−π2

11

arcsin x

-

x

π

11

arccos x

x

π2

−π2

arctan x

Pela proposicao do ponto anterior as quatro funcoes log, arcsin, arccos earctan sao contınuas.

28. A funcao f : D → R e contınua (em todos os pontos y ∈ D) sse

∀y∈D f e contınua em y,

ou seja,∀y∈D∀δ>0∃ǫ>0∀x∈D |x− y| < ǫ⇒ |f(x) − f(y)| < δ.

Assim, se f e contınua, dados um y ∈ D e um δ > 0, e possıvel determinar ǫ (que dependede δ e y) tais que ∀x∈D|x− y| < ǫ⇒ |f(x) − f(y)| < δ.

Seja δ > 0 fixo. A funcao f : ]0, 1] → R, definida por f(x) = 1/x e contınua. Contudo, amedida que y se aproxima de zero somos forcados a escolher valores para ǫ(δ, y) cada vez

mais pequenos. E, portanto, impossıvel escolher ǫ apenas em funcao de δ.

Existem funcoes, ditas uniformemente contınuas, para as quais a escolha de ǫ pode serfeita apenas em funcao de delta, ou seja,

∀δ>0∃ǫ>0∀x,y∈D |x− y| < ǫ⇒ |f(x) − f(y)| < δ.

O exemplo anterior mostra que, em geral, a condicao de continuidade uniforme em D

e diferente da condicao de continuidade em todos os pontos de D. Isto e consequencia

do facto de nao podermos trocar a ordem de quantificadores existenciais e universais. A

continuidade uniforme e mais forte do que a continuidade em todos os pontos do domınio.

29. O Teorema de Heine-Cantor garante que uma funcao contınua num intervalo limitado e

fechado e uniformemente contınua nesse intervalo. A sua prova faz-se por contradicao.

Este teorema sera usado mais tarde para provar a integrabilidade das funcoes contınuas em intervalos limitados

e fechados.

16

30. Uma sucessao de funcoes (fn)n∈N1, com fn : D → R, converge pontualmente para f :

D → R sse ∀x∈D limn→∞ fn(x) = f(x), ou seja, sse

∀x∈D∀δ>0∃p∈N1n > p⇒ |fn(x) − f(x)| < δ.

Aqui a escolha de p depende de x e δ. A sucessao (fn) diz-se uniformemente convergentequando a escolha de p pode ser feita apenas em funcao de δ:

∀δ>0∃p∈N1∀x∈D n > p⇒ |fn(x) − f(x)| < δ.

A nocao de convergencia uniforme sera usada mais tarde, por exemplo, para trocar limites com integrais.

31. O limite pontual de uma sucessao de funcoes contınua pode nao ser uma funcao contınua

mas o limite uniforme de funcoes contınuas e uma funcao contınua.

Este resultado pode ser usado, por exemplo, para provar a continuidade das series de potencias no interior dos

seus intervalos de convergencia.

V Diferenciabilidade

1. Seja D ⊂ R. Diz-se que o ponto a ∈ R e interior a D sse existe umavizinhanca Vǫ(a) ⊂ D. Designa-se o conjunto de pontos interiores a D porintD.

2. Definicao de derivada. Seja f : D → R, com D ⊂ R e a ∈ intD. Diz-seque f e diferenciavel em a sse existe

limx→a

f(x) − f(a)

x − a.

Neste caso designa-se o valor do limite por derivada de f em a, e denota-sepor f ′(a).

3. Se f e diferenciavel em a, chama-se recta tangente ao grafico de f em(a, f(a)) a recta de equacao

y = f(a) + f ′(a)(x − a).

Logo, a derivada de f em a e o declive da recta tangente ao grafico de fem (a, f(a)).

4. Se f(x) e a posicao de uma partıcula deslocando-se sobre a recta real noinstante x, entao f ′(a) e a velocidade da partıcula no instante a.

5. Notacao de Leibniz: sendo y = f(x), f ′(x) = lim∆x→0∆y∆x

= dydx

.

6. Se f e diferenciavel em a, entao f e contınua em a.

7. Se f e g sao diferenciaveis no ponto a, entao

a) f + g e diferenciavel em a e (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).

b) f − g e diferenciavel em a e (f − g)′(a) = f ′(a) − g′(a).

c) fg e diferenciavel em a e (fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a).

17

d) f/g e diferenciavel em a se g(a) 6= 0 e (f/g)′(a) = [f ′(a)g(a) −f(a)g′(a)]/[g(a)]2.

8. Derivada da funcao composta. Se g e diferenciavel no ponto a e f ediferenciavel no ponto g(a), entao f ◦ g e diferenciavel no ponto a e (f ◦g)′(a) = f ′[g(a)]g′(a).

Em termos da notacao de Leibniz: se y = g(x) e z = f(y), entao

(f ◦ g)′(x) =dz

dx=dz

dy

dy

dx.

9. Derivada da funcao inversa. Seja I ⊂ R um intervalo, f : I → R umafuncao estritamente monotona e contınua, g : f(I) → R a sua inversa. Sef e diferenciavel no ponto a e f ′(a) 6= 0, entao g e diferenciavel no pontob = f(a) e

g′(b) =1

f ′(a).

Em termos da notacao de Leibniz: se y = f(x), entao x = g(y) e

g′(y) =dx

dy=

1dydx

.

10. Exemplos.

a) Seja n ∈ N1 e g : ]0, +∞[→ R, definida por g(x) = n√

x. A funcao g e inversade f : ]0, +∞[→ R, definida por f(y) = yn.

g′(x) =1

f ′(y)|y=f(x)=

1

nyn−1|y= n√x=

1

nx

1n−1.

b) Seja g : ]0, +∞[→ R, definida por g(x) = ln x. A funcao g e inversa def : R → R, definida por f(y) = ey.

g′(x) =1

f ′(y)|y=f(x)=

1

ey|y=lnx=

1

x.

c) Seja g : R → R, definida por g(x) = arctan x. A funcao g e inversa def :

˜

−π2, π

2

ˆ

→ R, definida por f(y) = tan y.

g′(x) =1

f ′(y)|y=f(x)=

1

sec2 y|y=arctanx=

1

(1 + tan2 y)|y=arctanx=

1

1 + x2.

d) Seja g : ] − 1, 1[→ R, definida por g(x) = arcsin x. A funcao g e inversa def :

˜

−π2, π

2

ˆ

→ R, definida por f(y) = sin y.

g′(x) =1

f ′(y)|y=f(x)=

1

cos y|y=arcsinx=

1

| cos y| |y=arcsinx

=1

p

1 − sin2 y |y=arcsinx

=1√

1 − x2.

Note-se que quando y esta no domınio de f tem-se que cos y e positivo.

e) Seja α ∈ R. Usando o resultado da alınea b) e o resultado relativo a derivadada funcao composta calculemos a derivada de f : ]0, +∞[→ R, definida porf(x) = xα. Tem-se

f ′(x) =“

eα lnx”′

= eα lnxα1

x= αxα−1.

Isto generaliza o resultado da alınea a).

18

11. Diferenciabilidade das series de potencias (p. 415). Uma funcao definidapor uma serie de potencias de x − a, com raio de convergencia r > 0, eindefinidamente diferenciavel no intervalo ]a− r, a+ r[ e as suas derivadaspodem calcular-se derivando a serie termo a termo.

12. Diz-se que a e ponto de estacionaridade de f sse f e diferenciavel em a ef ′(a) = 0.

13. Se f e diferenciavel em a e tem um extremo em a, entao a e ponto deestacionaridade de f .

14. Teorema de Rolle. Sejam a, b ∈ R, com a < b, f : [a, b] → R contınua,diferenciavel em ]a, b[ verificando f(a) = f(b). Existe c ∈ ]a, b[ tal quef ′(c) = 0.

15. Corolarios do Teorema de Rolle. Considere-se uma funcao definida numintervalo e diferenciavel. Entre dois zeros da funcao existe pelo menos umzero da sua derivada, e entre dois zeros consecutivos da derivada nao podeexistir mais do que um zero da funcao.

16. Teorema de Lagrange. Sejam a, b ∈ R, com a < b, f : [a, b] → R contınua,diferenciavel em ]a, b[. Existe c ∈ ]a, b[ tal que [f(b)−f(a)]/(b−a) = f ′(c).

17. Corolarios do Teorema de Lagrange. Uma funcao com derivada identica-mente nula num intervalo e constante nesse intervalo; se a derivada forpositiva, entao a funcao e estritamente crescente.

18. Teorema de Cauchy. Sejam a, b ∈ R, com a < b, f e g funcoes contınuasno intervalo [a, b], diferenciaveis no intervalo ]a, b[, com g′(x) 6= 0 paratodos x ∈ ]a, b[. Existe c ∈ ]a, b[ tal que

f(b) − f(a)

g(b) − g(a)=

f ′(c)

g′(c).

19. Regra de Cauchy. Seja I ⊂ R um intervalo nao degenerado e a ∈ I. Sejamf e g : I → R duas funcoes (cujo domınio e o intervalo I) diferenciaveisem I \ {a}, com g′(x) 6= 0 para cada x ∈ I \ {a}. Se f e g tendem ambaspara 0 ou ambas para +∞ quando x → a, com x 6= a, entao

limx → ax 6= a

f(x)

g(x)= lim

x → ax 6= a

f ′(x)

g′(x)

sempre que o segundo limite exista em R.

Ideia da prova quando ambas f e g tendem para +∞ quando x → a: sef(x)−f(y)g(x)−g(y) ≈ l,

entao f(x)g(x)

≈ l“

1 − g(y)g(x)

”

+ f(y)g(x)

→ l quando g(x) → +∞.

19

VI Formula e Serie de Taylor

1. Seja f : D → R, com D ⊂ R. Designa-se por D(1) o conjunto formadopelos pontos (interiores a D) em que f e diferenciavel. Por inducao, paran natural maior ou igual a 2, define-se D(n) como o conjunto formado pelospontos (interiores a D(n−1)) em que f (n−1) e diferenciavel.

2. Formulas de Taylor com restos de Peano e Lagrange.

a) Se a ∈ D(1), entao

f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) + (x − a)E1(x, a),

com limx→a E1(x, a) = 0.Seja I ⊂ D(1) um intervalo, a e x ∈ I. Entao,

f(x) = f(a) + f ′(ξ)(x − a),

para algum ξ entre a e x.

b) Se a ∈ D(2), entao

f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2(x − a)2 + (x − a)2E2(x, a),

com limx→a E2(x, a) = 0.Seja I ⊂ D(2) um intervalo, a e x ∈ I. Entao,

f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(ξ)

2(x − a)2,

para algum ξ entre a e x.

c) Se a ∈ D(n), entao

f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2(x − a)2

+f ′′′(a)

3!(x − a)3 + . . . +

fn−1(a)

(n − 1)!(x − a)n−1

+fn(a)

n!(x − a)n + (x − a)nEn(x, a)

com limx→a En(x, a) = 0.Seja I ⊂ D(n) um intervalo, a e x ∈ I. Entao,

f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2(x − a)2

+f ′′′(a)

3!(x − a)3 + . . . +

fn−1(a)

(n − 1)!(x − a)n−1

+fn(ξ)

n!(x − a)n

para algum ξ entre a e x.

Nota: o valor de ξ depende de x, a e n. No ponto 15 indicaremos explici-tamente a dependencia de ξ em x e n escrevendo ξn(x).

20

3. Quando a = 0 as formulas de Taylor tomam o nome de formulas de Mac-Laurin.

4. Seja f : D → R e a ∈ D(1). Para que f tenha um extremo local em a enecessario (mas nao suficiente) que a seja ponto de estacionaridade de f , ouseja, que f ′(a) = 0.

5. Seja a ∈ D(2) um ponto de estacionaridade de f tal que f ′′(a) 6= 0. Sef ′′(a) > 0, entao f tem um mınimo local estrito em a, ou seja,

∃ǫ>0∀x∈Vǫ(a)\{a} f(x) > f(a).

Se f ′′(a) < 0, entao f tem um maximo local estrito em a, ou seja,

∃ǫ>0∀x∈Vǫ(a)\{a} f(x) < f(a).

6. Seja a ∈ D(3) um ponto de estacionaridade de f tal que f ′′(a) = 0 e f ′′′(a) 6=0. Entao, f nao tem qualquer extremo em a.

7. Se a ∈ D(1) e

∃ǫ>0∀x∈Vǫ(a) f(x) ≥ f(a) + f ′(a)(x − a),

entao f diz-se convexa (ou com a concavidade voltada para cima) em a. Se

∃ǫ>0∀x∈Vǫ(a) f(x) ≤ f(a) + f ′(a)(x − a),

entao f diz-se concava (ou com a concavidade voltada para baixo) em a. Podetambem acontecer que exista um ǫ > 0 tal que num dos intervalos ]a− ǫ, a[ e]a, a + ǫ[ o grafico de f esteja por cima do da sua recta tangente em (a, f(a))e no outro esteja por baixo do dessa recta. Em tal hipotese diz-se que a eum ponto de inflexao de f .

8. Se a ∈ D(2) e f ′′(a) > 0, entao f e convexa em a. Se f ′′(a) < 0, entao f econcava em a.

9. A funcao f diz-se indefinidamente diferenciavel no ponto a sse a ∈ D(n), paratodo o n ∈ N1. Note-se que se f e indefinidamente diferenciavel no ponto ae n ∈ N1, entao f e n vezes diferenciavel numa vizinhanca de a, visto quea ∈ D(n+1), pelo que a e interior a D(n).

10. Uma serie de potencias e indefinidamente diferenciavel no interior do seuintervalo de convergencia e as suas derivadas podem calcular-se derivando aserie termo a termo.

11. Uma funcao f diz-se analıtica num ponto a, interior ao seu domınio, sseexistir uma vizinhanca de a, Vǫ(a), tal que f |Vǫ(a) e uma serie de potenciasde x − a.

12. Prova-se que uma serie de potencias, s(x), de x−a com raio de convergencia re uma funcao analıtica em |x−a| < r. Mais precisamente, para cada b tal que|b−a| < r, s(x) e igual a uma serie de potencias de x−b se |x−b| < r−|b−a|.

21

13. Seja f e indefinidamente diferenciavel em a. Chama-se serie de Taylor de fno ponto a a

f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2(x − a)2 + . . . +

fn(a)

n!(x − a)n + . . .

14. Nem toda a funcao f indefinidamente diferenciavel em a e analıtica em a.Se f for analıtica em a, entao f coincide, numa vizinhanca de a, com a suaserie de Taylor no ponto a, pois usando a proposicao do ponto 10 prova-sefacilmente que nenhuma serie de potencias distinta da serie de Taylor poderepresentar f numa vizinhanca de a.

15. Seja f indefinidamente diferenciavel no ponto a. Entao f e analıtica em asse limn→+∞(x − a)nEn(x, a) = 0 para todo o x nalguma vizinhanca de a,

sse limn→+∞fn(ξn(x))

n! (x − a)n = 0 para todo o x nalguma vizinhanca de a.

16. Em vez de se usar a proposicao do ponto 15, para escrever a serie de Taylorde uma funcao num ponto e frequente usar-se a proposicao do ponto 10 e os

desenvolvimentos seguintes, a saber, dos quais se podem tirar os desenvolvi-mentos das funcoes analıticas de uso mais frequente:

a) da serie geometrica:

1

1 − x= 1 + x + x2 + . . . + x + . . . ,

valido para |x| < 1;

b) da exponencial:

ex = 1 + x +x2

2!+ . . . +

xn

n!+ . . . ,

valido para todo o x ∈ R;

c) das funcoes trigonometricas:

sinx = x − x3

3!+ . . . + (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ . . . ,

cosx = 1 − x2

2!+ . . . + (−1)n x2n

(2n)!+ . . . ,

validos para todo o x ∈ R;

d) da funcao binomial: se α ∈ R,

(1 + x)α = 1 + αx +α(α − 1)

2!x2 + . . . +

α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n!xn + . . . ,

valido para |x| < 1 (todo o x ∈ R se α ∈ N).A prova deste desenvolvimento faz-se em quatro passos:

i) Define-se a funcao f por f(x) := 1+αx+α(α−1)

2!x2 + . . .+

α(α−1)...(α−n+1)n!

xn+. . . , verificando que f(x) esta bem definida para |x| < 1, ou seja, que o raio deconvergencia da serie de potencias e 1.

ii) Usando 10, verifica-se que (1 + x)f ′(x) = αf(x) para todo o x ∈] − 1, 1[.

22

iii) O passo anterior implica que [f(x)(1 + x)−α]′ ≡ 0.

iv) Um dos corolarios do Teorema de Lagrange implica que x 7→ f(x)(1 + x)−α econstante. Dando o valor zero a x conclui-se que a constante e 1.

17. Exemplos de desenvolvimentos em serie de Taylor:

a) Sejam a, b ∈ R \ {0}. Calculemos o desenvolvimento de x 7→ 1a+bx

em torno de0.

1

a + bx=

1

a· 1

1 + bx/a

=1

a

„

1 − b

ax +

b2

a2x2 − . . . + (−1)n

bn

anxn + . . .

«

=1

a− b

a2x +

b2

a3x2 − . . . + (−1)n

bn

an+1xn + . . .

valido para |bx/a| < 1, ou seja, para |x| < |a|/|b|.b) Seja a 6= 0. Calculemos o o desenvolvimento de x 7→ 1

xem torno de a. Fazendo

y = x − a,

1

x=

1

a + y

=1

a· 1

1 + y/a

=1

a

„

1 − y

a+

y2

a2− . . . + (−1)n

yn

an+ . . .

«

=1

a− y

a2+

y2

a3− . . . + (−1)n

yn

an+1+ . . .

=1

a− 1

a2(x − a) +

1

a3(x − a)2 − . . . + (−1)n

1

an+1(x − a)n + . . .

valido para |y/a| < 1, ou seja, para |x − a| < |a|.c) Calculemos o desenvolvimento de x 7→ ln(1 − x) em torno de 0.

d

dxln(1 − x) = − 1

1 − x

= −1 − x − x2 − . . . − xn−1 − . . .

=d

dx

„

−x − 1

2x2 − 1

3x3 − . . . − 1

nxn − . . .

«

,

para |x| < 1 porque a ultima serie tem raio de convergencia 1 e a sua derivadapode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 10. Usando um corolario doTeorema de Lagrange,

ln(1 − x) = c − x − 1

2x2 − 1

3x3 − . . . − 1

nxn − . . . .

Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0.

d) Calculemos o desenvolvimento de x 7→ arctan x em torno de 0.

d

dxarctan x =

1

1 + x2

= 1 − x2 + x4 − . . . + (−1)nx2n + . . .

=d

dx

„

x − 1

3x3 +

1

5x5 + . . . + (−1)n

1

2n + 1x2n+1 + . . .

«

,

23

para |x| < 1 porque a ultima serie tem raio de convergencia 1 e a sua derivadapode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 10. Usando um corolario doTeorema de Lagrange,

arctan x = c + x − 1

3x3 +

1

5x5 + . . . + (−1)n

1

2n + 1x2n+1 + . . . .

Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0.

e) Calculemos o desenvolvimento de x 7→ arcsin x em torno de 0.

d

dxarcsin x =

1√1 − x2

= 1 +1

2x2 +

1

2

3

4x4 +

1

2

3

4

5

6x6 + . . .

=d

dx

„

x +1

2

1

3x3 +

1

2

3

4

1

5x5 +

1

2

3

4

5

6

1

7x7 + . . .

«

,

para |x| < 1 porque a ultima serie tem raio de convergencia 1 e a sua derivadapode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 10. Usando um corolario doTeorema de Lagrange,

arcsin x = c + x +1

2

1

3x3 +

1

2

3

4

1

5x5 +

1

2

3

4

5

6

1

7x7 + . . . .

Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0.

Referencias

[1] J. Campos Ferreira, Introducao a Analise Matematica, Fundacao Gulben-kian, 6

aed., 1995.

24