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Analise Geoestatıstica de Dados Composicionais

Ana Beatriz Tozzo Martins - PPGMNE-LEG/UFPRDES/UEM

Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPRPrograma de Pos-Graduacao em Metodos Numericos em Engenharia

PPGMNE - UFPR

09 de abril de 2010

Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE - UFPR

TESE

1. Introducao

2. Revisao da Literatura:

• Modelo Geoestatıstico Gaussiano;• Predicao Linear Espacial - Classica e Bayesiana;

• Modelo Multivariado;• Dados Composicionais;

3. Metodos:

• Modelo Geoestatıstico Composicional - Classica e Bayesiana;• Analise de Dados Composicionais Simulados;

4. Resultados: Analise de Fracoes Granulometricas de um Solo;

5. Conclusao e Sugestoes de Trabalhos Futuros.


Motivacao

Figura: Quadrante irrigado por sistemapivo-central no campo experimental daESALQ-USP.

SOLO

fracoes granulometricas(composicao)

⇓

propriedades fısico−hıdricas

⇓

pratica agrıcola

⇓

agricultura de precisao


Triangulo de Classificacao Textural

Figura: Diagrama de classificacao textural do solo.

Fonte: Lemos e Santos (1996) apud Reichardt e Timm (2004).Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE - UFPR

Dados Composicionais - Aitchison (1986)

Areia Silte

Argila

●

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●●

Figura: Diagrama Ternario dascomposicoes.

•Composicao: X¯

=(X1,X2, ...,XB)′

X1 > 0, . . . ,XB > 0X1 + X2 + · · ·+ XB = 1

SB={X¯∈ RB ; Xi>0, i=1, ...,B; 1

¯′X¯

=1}

• Base: W¯

=(W1,W2, ...,WB)′

RB+={W

¯∈RB ; Wi>0, i = 1, ...,B}

• Operador fechamento:

C : RB+ −→ SB

W¯−→ C[W

¯] =

W¯

1¯′W

¯


Geometria: Diagrama Ternario com altura unitaria

−0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

H

h

L

E

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

90% 80% 70% 60% 50% 40%I

30% 20% 10%

X2

●

p

X1

X2X3

F M

A

Figura: O ponto p, (40, 40, 20)% em S3 e (−0, 115; 0, 40) em R2, representadono triangulo de altura unitaria e triangulo de classificacao textural.


Geometria: Diagrama Ternario com lado unitario

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%

●

p

X1

X2

X3

X2

F M

A

Figura: O ponto p, (40, 40, 20)% em S3 e (0, 60; 0, 55) em R2, representado notriangulo com lado unitario e triangulo de classificacao textural.


Caracterıstica do Diagrama Ternario

−0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

H

● a

● b

●c

● d

●i

●j

●e

●f

●g

●n

● o

●

m

●

q

● s

L

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%F M

A

Figura: Diagrama ternario com pontos na mesma linha apresentando mesmarazao.


Analise de Dados Composicionais

Composicao: X¯

= (X1, X2, X3)′ = (Areia, Silte, Argila)′

Transformacao log-razao aditiva (ALR):

alr : SB −→ RB−1

X¯−→ alr

(X¯

)= Y

¯=

(ln

X1

XB, ..., ln

XB−1

XB

)′Transformacao logıstica generalizada aditiva (AGL):

agl : RB−1 −→ SB

Y¯−→ X

¯= C

((exp

{ln

(X1

XB

)}, . . . , exp{0}

)′).

Pawlowsky e Olea (2004).


Literatura

• Dados composicionais:

• Aitchison (1986).

• Modelos espaciais uni e multivaridados:

• Diggle e Ribeiro Jr (2007);

• Schmidt e Gelfand (2003);

• Banerjee, Carlin e Gelfand (2004);

• Schmidt e Sanso (2006).

• Combinacao de dados composicionais e espaciais:

• Pawlowsky e Olea (2004);

• Lark e Bishop (2007);

• Tjelmeland e Lund (2003).


Objetivo Geral

Propor e implementar um modelo geoestatıstico para dados espaciaiscomposicionais utilizando estruturas multivariadas como componentes domodelo especificados por funcao de correlacao, e desenvolvendo metodosde inferencia baseadas em verossimilhanca e sob o enfoque bayesiano.


Objetivos Especıficos

• Fazer modelagem alternativa a de Pawlowsky-Ghlan e Olea (2004);

• Construir um modelo em que a dependencia espacial e entre variaveisseja considerada na obtencao de uma funcao de covariancia valida;

• Derivar metodos de inferencia baseados em verossimilhanca;

• Aplicar metodos bayesianos para a inferencia dos parametros;

• Desenvolver rotinas computacionais para analise de dadoscomposicionais espacializados;

• Aplicar a metodologia em dados de solo elaborando mapas tematicosde modelos composicionais em estudo de caso.


Fundamentos Para Analise de Dados Composicionais

Composicao: X¯

(x¯

) = (X1(x¯

), X2(x¯

), X3(x¯

))′ = (Areia, Silte, Argila)′

Transformacao log-razao aditiva (ALR):

alr : SB −→ RB−1

X¯

(x¯

) −→ alr(X¯

(x¯

))

= Y¯

(x¯

) =

(ln

X1(x¯

)

XB(x¯

), ..., ln

XB−1(x¯

)

XB(x¯

)

)′Transformacao logıstica generalizada aditiva (AGL):

agl : RB−1 −→ SB

Y¯

(x¯

) −→ X¯

(x¯

) = C((

exp

{ln

(X1(x

¯)

XB(x¯

)

)}, . . . , exp{0}

)′).

Pawlowsky e Olea (2004).


Modelo Espacial

Modelo geoestatıstico bivariado para dados composicionais:{Y1(x

¯i ) = µ1(x¯i ) + σ1U(x

¯i ;φ) + τ1Z (x¯i ; ρ)

Y2(x¯i ′ ) = µ2(x

¯i ′ ) + σ2U(x¯i ′ ;φ) + τ2Z (x

¯i ′ ; ρ)

• x¯i , x¯i ′ ∈ R2; i , i

′= 1, ..., n1, n1 tamanho amostral;

• Y¯ n×1(x

¯) =

(Y1(x

¯1),Y2(x¯1), . . . ,Y1(x

¯n1),Y2(x

¯n1))′

;

• U ∼ N(0¯

; ΣU), ΣU : variancias unitarias e covariancias emfuncao de ρU(φ), exponencial;

• Z ∼ N(0¯

; ΣZ ), ΣZ : variancias unitarias e covariancias em funcao deρ induzida pela estrutura composicional.


Verossimilhanca I

• θ¯

= (µ1, µ2, σ1, σ2, τ1, τ2, φ, ρ)′ Reparam.+3 θ¯∗ = (η, ν1, ν2, φ, ρ)′

Σ = σ21V

• Log-Verossimilhanca → Normal multivariada com EMV:

µ¯

= (D′V−1D)−1(D′V−1Y¯

) e σ1 =√

Qe/n

Qe = (Y¯−Dµ

¯)′V−1(Y

¯−Dµ

¯)

• Log-verossimilhanca concentrada → solucao numerica:

l(θ¯∗,Y

¯) = −0, 5

[ln(|V|) + n

(ln(2π) + ln(Qe)− ln(n) + 1

)]Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE - UFPR

Verossimilhanca II

• Estimativa obtida por otimizacao numerica: θ¯

∗= (η, ν1, ν2, φ, ρ)′;

• µ¯

= (D′V−1D)−1(D′V−1Y¯

) e σ1 =√

Qe/n

Qe = (Y¯−Dµ

¯)′V−1(Y

¯−Dµ

¯)

• Hessiano numerico;

• Metodo Delta:

• Var(µ¯

) = Io(µ¯

)−1 = σ21(D′V

−1D)−1

• Var(σ1) = Io(σ1)−1 =σ3

1

3Qe − nσ1


Comentarios sobre precisao

• Qualidade limitada

• Aproximacoes quadraticas - parametros de covariancia/correlacao

• Alternativas: verossimilhanca

perfilhadamarginalcondicionalmodificada

• Tratamento bayesiano.


Predicao em RB−1

• Cokrigagem de Y¯ 0 em x

¯0 = (x¯10, x¯20, ..., x¯n20):

• µ¯Y

¯ 0|Y¯= µ

¯Y¯ 0

+ ΣY¯ 0Y¯

Σ−1Y¯Y¯

(Y¯− µ

¯Y¯

)

• ΣY¯ 0|Y¯

= ΣY¯ 0Y¯ 0

− ΣY¯ 0Y¯

Σ−1Y¯Y¯

ΣY¯Y¯ 0


Predicao em SB - Aproximacao Numerica

1. Integracao de Gauss-Hermite multivariada de ordem k

•∫

RB−1

g(Z¯

)f (−Z¯′Z¯

)dZ¯≈

k∑i1=1

k∑i2=1

· · ·k∑

iB−1=1

ωi1ωi2 · · ·ωiB−1g(Zi1 ,Zi2 , ...,ZiB−1

)

pesos ωi1ωi2 · · ·ωiB−1e abscissas Zi1 ,Zi2 , ...,ZiB−1

Abramowitz e Stegun (1972)

• Outras referencias quadratura de Gauss-Hermite:Gamerman (2006),Paulino, Turkman e Murteira (2003)


Predicao em SB - Aproximacao Numerica (cont.)

Solucao numerica - Momentos no simplex:

• µ¯X

¯

=∫

SB X¯

f (X¯

)dX¯

⇒ µ¯X

¯

=∫

RB−1 g1(Z¯

)f (−Z¯′Z¯

)dZ¯

• ΣX¯

=∫

SB (X¯−µ

¯X¯

)(X¯−µ

¯X¯

)′f (X¯

)dX¯⇒ ΣX

¯=∫

RB−1 g2(Z¯

)f (−Z¯′Z¯

)dZ¯

• Z¯

=1√2

(R′)−1(alr(X¯

)− µ¯Y

¯

) ; R cholesky de ΣY¯

• g1(Z¯

) = π−B−1

2 agl(µ¯Y

¯

+√

2R′Z¯

)• g2(Z

¯) = π−

B−12

(agl(µ

¯Y¯

+√

2R′Z¯

)−µ¯X

¯

)(agl(µ

¯Y¯

+√

2R′Z¯

)−µ¯X

¯

)′Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE - UFPR

Predicao em SB - Simulacao

2. Simulacao:

a. gerar dados bivariados de uma distribuicao gaussiana multivariada comparametros obtidos por cokrigagem;

b. aplicar a transformacao AGL nos dados obtidos no item (a);

c. construir os mapas de medias de predicao para cada componente.

Funcionais:

i. maximos e mınimos;

ii. mediana, 5 e 95% de probabilidade;

iii. probabilidades a posteriori de classificacao nas diferentes classes desolo.


Analise de Fracoes Granulometricas de Um Solo

0 50 100 150 200

050

100

150

200

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ●

● ● ● ●

Figura: Distribuicao das localizacoes naarea de estudo.

• Goncalves (1997):Tese - ESALQ-USP;

• Area: quadrante irrigado porum sistema pivo-central;

• Grade de amostragem 20× 20m

⇒ 76 amostras:

AreiaSilteArgila.



Areia

Fre

quen

cia

10 15 20 25 30 35 40 45

05

1015

2025

Silte

Fre

quen

cia

15 20 25 30

05

1015

2025

Argila

Fre

quen

cia

30 40 50 60 70

05

1015

2025

Areia Silte

Argila

●

●●●●

●

●

●●

●●

●●

●

●

●

● ●

●

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●

●●●

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●●●

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●●●

●

●●●

●●

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●

●●

●

Figura: Distribuicao de areia, silte e argila e diagrama ternario das composicoes.



ln(Areia/Argila)

Fre

qu

en

cia

−2.0 −1.0 0.0

05

10

15

20

ln(Silte/Argila)

Fre

qu

en

cia

−1.6 −1.2 −0.8 −0.4

05

10

15

20

●

●

●

●●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

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●

●

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●●

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●

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●●

●●

●

●

●

●●

●

●

●

−1.5 −1.0 −0.5 0.0

−1

.4−

1.0

−0

.6−

0.2

ln(Areia/Argila)

ln(S

ilte

/Arg

ila)

Figura: Distribuicao das log-razao e correspondente diagrama de dispersao.



Tabela: Estimativas, erros padrao e intervalos de confianca pelo metodo Delta viametodo de otimizacao “L-BFGS-B”.

Parametros Estimativas Erro Padrao LI. Delta LS. Delta

µ1 -0,759 0,440 -1,200 -0,3195µ2 -0,794 0,229 -1,023 -0,5655σ1 0,450 0,121 0,330 0,5712σ2 0,115 0,052 0,064 0,1668τ1 0,287 0,045 0,242 0,3321τ2 0,267 0,031 0,236 0,2984φ 66,908 42,554 24,355 109,4623ρ 0,954 0,068 0,886 1,0224



• Mapas de predicao em S3

• Quadratura Gaussiana: grade de predicao de 2500 localizacoes,ordem de quadratura k = 7;

• Simulacao: 1000 simulacoes, grade de predicao de 1156 localizacoes.



0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.150.20.250.30.35

(A)Areia/QG

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.2150.220.2250.230.235

(B)Silte/QG

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.450.50.550.6

(C)Argila/QG

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.150.20.250.30.35

(D)Areia/Sim

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.2150.220.2250.230.2350.24

(E)Silte/Sim

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.450.50.550.6

(F)Argila/Sim

Figura: Mapas das fracoes de areia, silte e argila obtidos por quadratura deGauss-Hermite (A-C) e por simulacao (D-F).



0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

(A)Are/Max

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

(B)Sil/Max

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.8 0.85 0.9 0.95

(C)Arg/Max

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

(D)Are/Min

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.030.040.050.060.070.08

(E)Sil/Min

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.05 0.1 0.15 0.2

(F)Arg/Min

Figura: Mapas das fracoes maximas e mınimas por componente.



0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.150.20.250.30.35

(A)Are/50%

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.210.2150.220.2250.230.2350.24

(B)Sil/50%

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.40.450.50.550.6

(C)Arg/50%

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.05 0.1 0.15

(D)Are/5%

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.110.1150.120.1250.130.135

(E)Sil/5%

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.20.250.30.35

(F)Arg/5%

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.30.350.40.450.50.55

(G)Are/95%

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.30.320.340.360.38

(H)Sil/95%

0 50 100 150 2000

5010

015

020

0 0.7 0.75 0.8

(I)Arg/95%

Figura: Mapas das fracoes medianas, inferiores a 5% e 95% de probabilidade, porcomponente.



Muito argilosa

Dens

idade

0.00 0.15 0.30

05

15

Argila

Dens

idade

0.0 0.2 0.4

05

15

Argila arenosa

Dens

idade

0.000 0.006 0.012

040

010

00

Argila siltosa

Dens

idade

0.000 0.002 0.004

010

00

Franco argilo−arenosa

Dens

idade

0.02 0.06 0.10 0.14

0.0

1.5

3.0

Franco argiloso

Dens

idade

0.00 0.10 0.20

020

40

Franco argilo−siltoso

Dens

idade

0.0000 0.0010 0.0020

020

0050

00

Franco arenoso

Dens

idade

0.0 0.4 0.8

02

46

Franco

Dens

idade

0.00 0.02 0.04 0.06

010

020

0Areia Franca

Dens

idade

0.000 0.004 0.008

040

010

00

Areia

Dens

idade

0.0000 0.0015

020

0050

00

Figura: Probabilidades a posteriori de classificacao nas diferentes classes de solo.


Inferencia Bayesiana

• θ¯

= (µ1, µ2, σ1, σ2, τ1, τ2, φ, ρ)′ → variaveis aleatorias

• Dist. conjunta = veros. x priori : P(Y¯, θ¯

) = P(Y¯|θ¯

) P(θ¯

).

• Teorema de Bayes ⇒ distribuicao a posteriori de θ¯

:

P(θ¯|Y¯

) =P(θ

¯,Y

¯)

P(Y¯

)=

P(Y¯|θ¯

)P(θ¯

)

P(Y¯

)=

P(Y¯|θ¯

)P(θ¯

)∫P(θ

¯,Y

¯)dθ

¯

∝ P(Y¯|θ¯

)P(θ¯

),

• Resumos estatısticos como esperancas a posteriori de funcoes de θ¯

:

E (f (θ¯

)|Y¯

) =

∫f (θ

¯)P(θ

¯)P(Y

¯|θ¯

)dθ¯∫

P(θ¯

)P(Y¯|θ¯

)dθ¯

∝∫

f (θ¯

)P(θ¯

)P(Y¯|θ¯

)dθ¯.


Inferencia Bayesiana (cont.)

• Resolucao:

• integracao Monte Carlo - cadeias de Markov de Monte Carlo(MCMC):

Gamerman (2006),Lee (2004),Gelman, Carlin, Stern e Rubin (2003),Gill (2002),Gilks, Richardson e Spiegelhalter (1996).



• θ¯

= (µ1, µ2, σ1, σ2, τ1, τ2, φ, ρ)′

• θ¯∗ = (η, ν1, ν2, φ, ρ) e (µ

¯, σ2

1) independentes

• Distribuicao a posteriori de θ¯

:

P(µ¯, σ2

1, θ¯∗|Y

¯) ∝ P(Y

¯|µ¯, σ2

1, θ¯∗)P(µ

¯, σ2

1)P(θ¯∗)



Prioris:

• Conjugadas: levam a uma posteriori da mesma famılia dedistribuicoes.

• Casos extremos:

• parametros conhecidos ⇒ distribuicoes degeneradas (V ≡ 0);

• prioris vagas:

• prioris nao informativas (de Jeffrey’s) - P(θ) ∝p

I (θ) ou

P(θ¯

) ∝ |I (θ¯

)|1/2;• flat - P(θ) ∝ 1;

• impropia - P(θ) ∝ 1/σ2.

Ribeiro Jr e Diggle (1999)


IB (cont.) - Prioris

Prioris:

• P(µ¯, σ2

1);

• P(µ¯|σ2

1);

• P(η), P(ν1) e P(ν2);

• P(φ);

• P(ρ).


IB (cont.) - Distribuicoes a Posteriori

•∫θ¯∗

P(µ¯, σ2

1, θ¯∗|Y

¯)dθ

¯∗ ∝

∫θ¯∗

P(Y¯|µ¯, σ2

1, θ¯∗)P(µ

¯, σ2

1)P(θ¯∗)dθ

¯∗

•P(µ

¯, σ2

1|Y¯) ∝ P(Y

¯|µ¯, σ2

1, θ¯∗)

1

σ21

∫θ¯∗

P(θ¯∗)dθ

¯∗.

∝ 1

σ21

P(Y¯|µ¯, σ2

1, θ¯∗)

•[µ¯|Y¯, σ2

1, θ∗] ∼ N

(µ¯

;σ21

(D′V−1D

)−1)µ¯

= (D′V−1D)−1(D′V−1Y¯

)

[σ2

1|Y¯, θ∗]∼χ2

Sinv

(n − nµ

¯; S2)

S2 =

`Y¯−Dµ

¯

´′V−1 Y

¯−Dµ

¯

´n − nµ

¯

.


IB (cont.) - Passos Para Inferencia Bayesiana

1. Algoritmo Metropolis-Hastings ⇒ matriz de covariancia do modelo;

• θ(t) ⇒ θ(t+1): θ′ de q(·|θ(t)) com probabilidade

α(θ; θ′) = min

{1;

P(Y¯|θ′) P(θ′) q(θ|θ′)

P(Y¯|θ) P(θ) q(θ′|θ)

}

2. Calcular µ¯

e S2 e amostrar σ21 de

[σ2

1|Y¯]∼ χ2

Sinv

(n − nµ

¯; S2)

;

3. Calcular Var(µ¯

):[µ¯|Y¯, σ2

1

]∼ N

(µ¯

;σ21

(D′V−1

Y¯

D)−1

);

4. Amostrar um valor de µ¯

de[µ¯|Y¯, σ2

1

];

5. Repetir tantas vezes quanto o numero de simulacoes;


IB (cont.) - Distribuicoes a Posteriori

•∫θ¯∗

P(µ¯, σ2

1, θ¯∗|Y

¯)dθ

¯∗ ∝

∫θ¯∗

P(Y¯|µ¯, σ2

1, θ¯∗)P(µ

¯, σ2

1)P(θ¯∗)dθ

¯∗

•P(µ

¯, σ2

1|Y¯) ∝ P(Y

¯|µ¯, σ2

1, θ¯∗)

1

σ21

∫θ¯∗

P(θ¯∗)dθ

¯∗.

∝ 1

σ21

P(Y¯|µ¯, σ2

1, θ¯∗)

•[µ¯|Y¯, σ2

1, θ∗] ∼ N

(µ¯

;σ21

(D′V−1D

)−1)µ¯

= (D′V−1D)−1(D′V−1Y¯

)

[σ2

1|Y¯, θ∗]∼χ2

Sinv

(n − nµ

¯; S2)

S2=

(Y¯−Dµ

¯

)′V−1

(Y¯−Dµ

¯

)n − nµ

¯

.


IB (cont.) - Passos Para Inferencia Bayesiana (cont.)

6. Predicao espacial:

6.1 Cokrigagem de Y¯ 0 em x

¯0 = (x¯10, x¯20, ..., x¯n20) com cada conjunto de

parametros simulados:

• µ¯Y

¯ 0|Y¯= µ

¯Y¯ 0

+ ΣY¯ 0Y¯

Σ−1

Y¯Y¯

(Y¯− µ

¯Y¯

)

• ΣY¯ 0|Y¯

= ΣY¯ 0Y¯ 0

− ΣY¯ 0Y¯

Σ−1

Y¯Y¯

ΣY¯Y¯ 0

6.2 Gerar uma amostra de NM ∼ (µ¯Y

¯ 0|Y¯; ΣY

¯ 0|Y¯) para cada conjunto de

parametros simulados.

6.3 Aplicar transformacao AGL.

6.4 Calcular a media das simulacoes para cada componente.


IB (cont.) - Diagnostico de Convergencia

Metodos

• Autocorrelacoes dos parametros a posteriori, Gill (2002);

• Grafico da trajetoria da cadeia;

• Grafico da densidade estimada do parametro a posteriori ;

• Teste de Geweke: Gill (2002), Gamerman e Lopes (2006),teste de diferenca de medias usando umaaproximacao assintotica p/ o erro padrao dadiferenca. Preocupacao: zG > |2|

• Diagnostico de sequencia multipla de Gelman e Rubin:Gill (2002), Gamerman e Lopes (2006),

Indicador de convergencia - reducao de escala estimado:

√FRE =

√V ar(θ)

VD< 1, 2 ⇒ convergencia.


Analise Bayesiana de Fracoes Granulometricas de Um Solo

• Prioris:

• P(µ¯, σ2

1) ∝ 1

σ21

;

• P(µ¯|σ2

1) = 1;

• P(η), P(ν1) e P(ν2) → lognormais com mediasln(0, 24), ln(0, 63), ln(0, 59)e desvios padrao iguais a 0, 3

• P(φ) = Gama(66, 1);

• P(ρ) = 1

• no de simulacoes= 12000, burn-in= 1000 e salto= 10.



Tabela: Estimativas obtidas por inferencia classica com respectivos intervalos de95% de confianca via metodo Delta e esperancas das 1200 simulacoes dadistribuicao a posteriori de θ e intervalos de 95% de credibilidade obtidos porinferencia bayesiana.

Par. Est.Class LI LS Esp.Bayes LI.cred. LS.cred

µ1 -0,759 -1,20 -0,32 -0,764 -1,20 -0,33µ2 -0,794 -1,02 -0,57 -0,794 -0,94 -0,67σ1 0,450 0,33 0,57 0,442 0,34 0,56σ2 0,115 0,06 0,17 0,112 0,06 0,18τ1 0,287 0,24 0,33 0,287 0,22 0,36τ2 0,266 0,24 0,30 0,265 0,23 0,31φ 66,908 24,35 109,46 65,727 51,53 84,46ρ 0,954 0,89 1,02 0,931 0,83 0,99



0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

(A)Areia/QG

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.2150.220.2250.230.235

(B)Silte/QG

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.45 0.5 0.55 0.6

(C)Argila/QG

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

(D)Areia/Sim

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.2150.220.2250.230.2350.24

(E)Silte/Sim

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.45 0.5 0.55 0.6

(F)Argila/Sim

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

(G)Areia/IB

0 50 100 150 200

050

100

150

200 0.2150.220.2250.230.2350.24

(H)Silte/IB

0 50 100 150 2000

5010

015

020

0 0.45 0.5 0.55 0.6

(I)Argila/IB

Figura: Mapas das fracoes de areia, silte e argila obtidos por quadraturagaussiana (GH), por simulacao (Sim) e por inferencia bayesiana (IB).


Conclusao

• Modelo captura variacoes espaciais, induzidas pelas composicoes enao estruturadas;

• Construcao de mapas de areia, silte e argila garantindo que as fracoessomem 1, nos pontos observados e preditos;

• Metodologia baseada em verossimilhanca e declaracao explıcita domodelo permite fazer inferencias sobre parametros pelo metodoclassico e bayesiano considerando nas predicoes a incerteza associadaa estimacao dos parametros;

• Transformacao dos valores preditos para o simplex S3 por quadraturade Gauss-Hermite de ordem igual a 7 nao diferiram dos obtidos comordem 20.


Sugestoes de Trabalhos Futuros

1. Extensoes do presente trabalho: covariaveis, qualidade do modelo,zeros, procedimentos computacionais;

2. Extensoes para outros modelos: Schmidt e Sanso (2006), pacotespBayes;

3. Aplicacoes em outras areas: proporcoes de gases que formamefeito estufa, diversidade e riqueza de especies;

4. Extensoes gerais de estatıstica espacial: modelos naoestacionarios, modelos composicionais espaco-temporais.


Bibliografia

• AITCHISON, J., The statistical analysis of compositional data, New Jersey: TheBlackburn Press, 1986.

• DIGGLE, P.J.; RIBEIRO JR, P.J., Model-based geostatistics, USA: Springer Seriesin Statistics, 2007.

• GONCALVES, A.C.A., Variabilidade espacial de propriedades fısicas do solo parafins de manejo da irrigacao. 1997. 119p. Tese (Doutorado em Agronomia) -ESALQ-USP, Sao Paulo, Piracicaba.

• PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R.A., Geostatistical analysis of compositionaldata, New York: Oxford University Press, Inc., 2004.

• SCHMIDT, A.M.; GELFAND, A.E., A bayesian coregionalization approach formultivariate pollutant data. Journal of Geophysical Research, v. 108, p.10-1-18-8, 2003.

• SCHMIDT, A.M.; SANSO, B., Modelagem bayesiana da estrutura de covarianciade processos espaciais e espaco temporais, In: 17 SINAPE e ABE, Caxambu:Associacao Brasileira de Estatıstica, 2006, Minicurso.

• TJELMELAND, H.; LUND, K.V., Bayesian modelling of spatial compositionaldata. Journal of Applied Statistics, v. 30, n. 1, p. 87–100, 2003.


OBRIGADA PELA ATENCAO!


Agradecimentos

DES - Departamento de Estatıstica, UEM.

PPGMNE - Programa de Pos-Graduacao em

Metodos Numericos em Engenharia, UFPR.

LEG - Laboratorio de Estatıstica e Geoinformacao, UFPR.

CNPQ - Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientıfico e

Tecnologico.

FINEP projeto CT-INFRA/UFPR.


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