INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALMarceloM.Cavalcanti e ValeriaN.DomingosCavalcantiUniversidadeEstadualdeMaringaDepartamentodeMatematicaMaringa-Maiode2007Maringa2007ii INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALFichaCatalogracaCavalcanti,MarceloM.eDomingosCavalcanti,ValeriaN.Introducao `a Analise Funcional / Marcelo M. CavalcantieValeriaNevesDomingosCavalcanti/Maringa:UEM/DMA,2007.iii,00p. il.Livro Texto - Universidade Estadual de Maringa, DMA.1. AnaliseFuncional.2. TeoriaEspectral.nomedasecao iiiAoProfessorAlvercioMoreiraGomes.iv INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALPrefacioOsautores.Conte udoIntroducao 11 OsTeoremasdeHahn-BanacheaTeoriadasFuncoesConvexasConju-gadas 31.1 FormasLineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 DualAlgebricode 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 DualAlgebricodeE F,ondeE, FsaoEspacosVetoriaisReais . 51.1.3 FormasLinearesLimitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 TeoremadeHahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 ProlongamentodeumaFormaLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 UmRepassoaoLemadeZorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 OTeoremadeHahn-Banach-FormaAnaltica . . . . . . . . . . . 161.2.4 FormasGeometricasdoTeoremadeHahn-Banach. . . . . . . . . . 221.3 Fun coesConvexaseSemicontnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 OsTeoremasdeBanach-SteinhausedoGracoFechado 512.1 UmRepassoaoTeoremadeBaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2 TeoremadeBanach-SteinhausoudaLimitacaoUniforme . . . . . . . . . . 552.3 TeoremadaAplicacaoAbertaedoGracoFechado . . . . . . . . . . . . . 612.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5 OperadoresNaoLimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.6 AdjuntodeumOperadorLinearNaoLimitado . . . . . . . . . . . . . . . . 79vvi INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONAL3 TopologiasFracas-EspacosReexivoseSeparaveis 873.1 EspacosTopologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.1 TopologiasFracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 ATopologiaFraca(E, E

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.3 Topologia Fraca, Conjuntos Convexos e OperadoresLineares. . 1083.4 ATopologiaFraco (E

, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.5 EspacosReexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.6 EspacosSeparaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7 EspacosUniformementeConvexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414 OsEspacosdeHilbert 1474.1 Denicao,PropriedadesElementares. Projec aosobreumconvexofechado. 1484.2 TeoremadaRepresentacaodeRiesz-Frechet. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.3 OsTeoremasdeLions-StampacchiaeLax-Milgram . . . . . . . . . . . . . 1614.4 SomaHilbertiana. BaseHilbertiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685 TeoriaEspectral 1755.1 FormasSesquilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2 FormasSesquilinearesLimitadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.3 OperadoresLinearesLimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.4 ConjuntosOrtonormaisCompletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.5 SubespacosFechadoseoTeoremadaProjecao. . . . . . . . . . . . . . . . 2155.6 AdjuntodeumOperadorLinearLimitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.7 Operadores Compactos - O Teorema Espectral para Operadores CompactosSimetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.8 AlternativadeRiesz-Fredholm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.9 OperadoresNaoLimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2695.10 Construc aodeOperadoresNaoLimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2965.11 ExtensoesdooperadorAdenidopelaterna V, H, a(u, v) . . . . . . . . . 3145.12 Conseq uenciasdaAlternativadeRiesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . 319nomedasecao vii5.12.1 OResolventeeoEspectrodeumOperador . . . . . . . . . . . . . 3195.12.2 AAlternativadeRiesz-Fredholm. OperadoresNaoLimitados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3235.13 OTeoremaEspectralparaoperadoresauto-adjuntosnaolimitados. . . . . 3305.14 CalculoFuncional-RaizQuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354Referenciasbibliogracas 364Introducao12 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALCaptulo1OsTeoremasdeHahn-BanacheaTeoriadasFuncoesConvexasConjugadasFigura1.1: Hahn-Banach.HansHahn (1879 - 1934), `a esquerda, foi um matematico Austraco que e mais lembradopeloTeoremaHahn-Banach. Eletambemrealizoucontribuic oesimportantesnoCalculodasVaria coes,desenvolvendoideiasdeWeierstrass.StefanBanach(1892-1945),`adireita,foiummatematicoPolonesquefundouaAnaliseFuncionalModernaefezmaiorescontribui coes`ateoriadeespacosvetoriaistopologicos.Alemdisso,elecontribuiunateoriademedidaeintegracaoeseriesortogonais.34 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONAL1.1 FormasLinearesSejaEumespacovetorial. Dizemosqueumaaplicac aof:E 1eumaformalinearsobreoespacoEsef(x + y) = f(x) + f(y), paratodox, y E, (1.1)f(x) = f(x), paratodox Ee 1. (1.2)Vejamos alguns exemplos. Seja C(a, b) o espaco das funcoes reais e contnuas em [a, b].Consideremos:f: C(a, b) 1, x f(x), onde (1.3)f(x) =_bax(t) dt.t0: C(a, b) 1, x t0(x), onde (1.4)t0(x) = x(t0), t0 [a, b].Veriquequeosexemplosacima, alemdeestarembemdenidos, constituemformaslinearessobreC(a, b).Sejaf:E 1umaformalinearnaonulaeconsideremosx Etal quef(x) ,=0.Seja,ainda, 1edenamos =f(x). Entao,f(x) = f(x) =f(x)f(x) = ,ou seja, toda forma linear nao nula sobre Eassume todos os valores reais, isto e, f(E) = 1.Comoconseq uencias,podemosescreverque1) SefeumaformalinearsobreEef(x) > ,paratodox E,ent aoa) < 0,b)f(x) = 0, paratodox E,2) SefeumaformalinearsobreEef(x) < ,paratodox E,ent aoa) > 0,b)f(x) = 0, paratodox E.FORMASLINEARES 5Sendo Eum espaco vetorial, designaremos por E o conjunto das formas lineares sobreE,munidodasoperacoesdenidaspor:(f+ g)(x) = f(x) + g(x), paratodox E, (1.5)(f)(x) = f(x), paratodox Ee 1. (1.6)Entao,Eeumespacovetorialdenominadodual algebricodeE.1.1.1 DualAlgebricode 1Sejam 1ef: 1 1denidaporf(x) =x, paratodox 1.Eclaroquef 1. Poroutrolado,sejaf 1edenamosf(1) = . Logo,f(x) = f(x1) = xf(1) = x = f(x),ouseja,f= f. Logo,f 1 f(x) = x, paratodox 1(paraalgum 1). (1.7)Denamos, : 1 1 f. esobrejetorapoisdadaf 1existe = f(1)talquef= f= ().Alemdisso, se () =(), segue que f=fe portantof(x) =f(x), paratodox 1. Logo, x= xparatodox 1oqueimplicaque=. Logo, einjetiva. Sendolinearresultaque e umisomorsmode 1sobre 1. Representaremos oisomorsmo entre 1 e 1 (ou entre dois conjuntos quaisquer) atraves da seguinte notac ao:1 1. (1.8)1.1.2 DualAlgebricodeEF,ondeE, FsaoEspacosVetoriaisReaisDenimosE F= (x, y); x E,y F6 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALmunidodasoperacoes:(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), paratodox1, x2 Eeparatodoy1, y2 F(x1, y1) = (x1, y1), paratodox1 E, y1 Feparatodo 1,queotornamumespacovetorial.Lema1.1(E F) EF.Demonstracao: Sejaf (E F). DenamosfE(x) = f(x, 0), paratodox EefF(y) = f(0, y), paratodoy F.Comof: E F 1 elineartemosquefE E,fF Fe,alemdisso,f(x, y) = f((x, 0) + (0, y)) = f(x, 0) + f(0, y) = fE(x) + fF(y). (1.9)Doexpostoacima,denamos: (E F) EFf (f) = (fE, fF).Notemosqueeumaaplicac aoinjetiva. Defato, sejamf, g (EF)taisque(f)=(g). Ent ao, dadenicaodevemque(fE, fF)=(gE, gF), ouseja, fE=gEefF= gF,econsequentementede(1.9)resultaquef(x, y) = fE(x) + fF(y) = gE(x) + gF(y) = g(x, y), paratodox Eey F,oqueimplicaquef= geprovaainjetividade.Provaremos, a seguir, que e sobrejetiva. Com efeito, seja (e, h) EF e denamosg(x, y) = e(x) + h(y). Entao,g (EF)postoquee, hsaoformaslinearessobreEeF,respectivamente. Alemdisso,(g) = (gE, gF) = (e, h),postoquegE(x) = g(x, 0) = e(x) + h(0)egF(y) = g(0, y) = e(0) + h(y)FORMASLINEARES 7ecomoh(0) = e(0) = 0,umavezqueeehsaolineares,temosquegE(x) = e(x), paratodox EegF(y) = h(y), paratodoy F,oqueprovaasobrejetividade.Finalmente, observemos que e uma aplicac ao linear. De fato, sejam f, g (EF).Ent ao,(f+ g) = ((f+ g)E, (f+ g)F) = (fE + gE, fF+ gF) = (fE, fF) + (gE, gF) = (f) + (g).Analogamenteprova-seque(f) =(f) paratodof(EF)eparatodo 1. Logo, e um isomorsmo de (EF) sobre EF o que nos permite identicartaisespacos, oquefaremos, conformejamencionadoanteriormente, atravesdaseguintenotac ao:(E F) EF2Em particular, se E= F= 1, ent ao (12) 11 11 = 12. Da resulta que sefe uma forma linear sobre o 12, ent ao existem , 1 tais que f(x, y) = x+y; x, y 1.SefeumaformalinearsobreE 1,entaoexisteg Ee 1taisquef(x, y) =g(x) + y,x E, y 1.1.1.3 FormasLinearesLimitadasNoquesegue, aolongodestasecao, Erepresentaraumespacovetorial normadocomnorma [[[[Eesejaf E. Sesup||x||E1[f(x)[ < +, (1.10)dizemosquefelimitada.Observacao1.2Sendof: E 1linear,naoenecessarioconsiderarmosnaexpressaoacimaomodulodef,amenosqueestejamostrabalhandocomn umeroscomplexos. Comefeito,seja[f(x)[ =_f(x), f(x) 0f(x), f(x) < 0.8 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALAssim,sex Etemosque [f(x)[ = f(x)sef(x) 0e [f(x)[ = f(x)sef(x) < 0.Mas,pelalinearidadedeftemosque f(x) = f(x)eportanto[f(x)[ =_f(x), f(x) 0f(x), f(x) < 0,e,alemdisso,se [[x[[E 1,como [[x[[E= [[ x[[E 1resultaquesup||x||E1[f(x)[ = sup||x||E1f(x).Notemos,entretanto,quesef: E Comoduloefundamental.Denamos no espaco das formas lineares e limitadas sobre E, o qual designaremos por/(E, 1),anorma[[f[[L(E,R)= sup||x||E1[f(x)[. (1.11)Aexpressaoacimarealmentedeneumanormasobre /(E, 1). Defato,veriquemosprimeiramenteapropriedade(N1) [[f[[L(E,R)= 0 f= 0.Sef=0evidentementetem-se [[f[[L(E,R)=0. Agorasesup||x||E1[f(x)[=0, conse-quentementef(x)=0paratodox Etal que [[x[[E 1. Sey Eetal quey ,=0ent ao, f(y) = [[y[[Ef(y)||y||E= [[y[[E f_y||y||E_= 0 e como f(0) = 0 resulta que f(y) = 0 paratodoy E.Aseguir,veriquemosquesecumpretambemaseguintepropriedade(N2) [[f+ g[[L(E,R) [[f[[L(E,R) +[[g[[L(E,R).Defato,notemosque[f(x) + g(x)[ [f(x)[ +[g(x)[ [[f[[L(E,R) +[[g[[L(E,R), paratodox Ecom [[x[[E 1,oqueprovaque [[f[[L(E,R)+ [[g[[L(E,R)eumacotasuperior paraoconjunto [f(x) +g(x)[; x Etalque [[x[[E 1eportantosup||x||E1[(f+ g)(x)[ = [[f+ g[[L(E,R) [[f[[L(E,R) +[[g[[L(E,R),FORMASLINEARES 9oqueprovaodesjado.Resta-nosprovarque(N3) [[f[[L(E,R)= [[[[f[[L(E,R), paratodo 1.Comefeito,notemosinicialmenteque[f(x)[ = [[[f(x)[ [[ [[f[[L(E,R), paratodox Ecom [[x[[E 1,e,portantosup||x||E1[f(x)[ = [[f[[L(E,R) [[ [[f[[L(E,R).Poroutrolado,[[ [f(x)[ = [f(x)[ [[f[[L(E,R) [f(x)[ 1[[[[f[[L(E,R)(se ,= 0),donde[[f[[L(E,R) 1[[[[f[[L(E,R) [[ [[f[[L(E,R) [[f[[L(E,R)(se , = 0).Combinandoasdesigualdadesacimaenotando-sequepara = 0aidentidadeseguetrivialmente,tem-seodesejado.Lema1.3Temosasseguintesigualdades:[[f[[L(E,R)= supxE:||x||E=1[f(x)[ = supxE:x=0[f(x)[[[x[[EDemonstracao: Provemosaprimeiradasigualdadesacima. Comox E; [[x[[E= 1 x E; [[x[[E 1,temosquesupxE:||x||E=1[f(x)[ supxE:||x||E1[f(x)[,ouseja,supxE:||x||E=1[f(x)[ [[f[[L(E,R). (1.12)10 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALPor outrolado, dado >0, existe yEtal que [[y[[E1,y,=0e [f(y)[ >[[f[[L(E,R). Pondo-sex =y||y||Eent ao, [[x[[E= 1e,alemdisso,[f(x)[ = [f(y)[[[y[[E=1[[y[[E[f(y)[ [f(y)[(jaque1[[y[[E 1).Assim,[f(x)[ [f(y)[ > [[f[[L(E,R) [[f[[L(E,R) < supxE:||x||E=1[f(x)[.Pelaarbitrariedadedevemque[[f[[L(E,R) supxE:||x||E=1[f(x)[. (1.13)Combinando-se(1.12)e(1.13)tem-seaprimeiradasidentidades.Aseguir, provaremos asegundadas identidades. Seja, entao, x ,=0. Temos quex||x||EE= 1eportanto[f(x)[[[x[[E=f_x[[x[[E_ supxE:||x||E=1[f(x)[,dondesupxE:x=0[f(x)[[[x[[E supxE:||x||E=1[f(x)[. (1.14)Poroutrolado, dado>0, existey Etal que [[y[[E=1e [f(y)[> [[f[[L(E,R) (noteque [[f[[L(E,R)= supxE:||x||E=1[f(x)[). Dendo-sex = y,onde 10,resultaque [[x[[E= [[ [[y[[E. .=1= [[. Logo,[f(x)[[[x[[E= [[ [f(y)[[[= [f(y)[ > [[f[[L(E,R),dondeseconclui[[f[[L(E,R) supxE:x=0[f(x)[[[x[[E,epelaarbitrariedadedoresultaque[[f[[L(E,R) supxE:x=0[f(x)[[[x[[E. (1.15)FORMASLINEARES 11De(1.14), (1.15)edaprimeiraidentidadetem-seasegundaidentidade. Istoencerraaprova.2Dolema1.3decorrequesef: E 1 eumaformalinearlimitada,entao[f(x)[ [[f[[L(E,R)[[x[[E, paratodox E. (1.16)Denotaremos, por simplicidade, E

o conjunto /(E, 1) das formas lineares e limitadassobre Ebem como [[f[[L(E,R)simplesmente por [[f[[E . Usualmente as notac oes acima saousadasparaformaslinearesecontnuassobreE. Contudo,alimitac aodaformaimplicanacontiuidadedamesmaconformeveremosnaproposicaoaseguir.Proposicao1.4Sejaf E. Asseguintesexpressoessaoequivalentes:(1) felimitada,(2) fecontnuanopontox = 0,(3) fecontnuaemE.Demonstracao:(1) (2) Seja f limitada. Entao, de acordo com(1.16) resulta que [f(x)[ [[f[[E [[x[[E, paratodox E. Comof(0)=0entaodado>0decorreimediatamentequeexiste=||f||E

talquese [[x[[E< ent ao [f(x)[ < ,oqueprovaacontinuidadedefemx = 0.(2) (3)Assumamosquefsejacontnuaemx=0econsideremosx0 E. Ent ao,dado > 0,existe> 0talquese [[x[[E< entao [f(x)[ < . Reultadaquesex Eetalque [[x x0[[E0existe >0tal quese [[x[[E= [[x0[[2.TEOREMADEHAHN-BANACH 21Demonstracao: Sex0=0, temos quef0 0satisfazodesejado. Sejax0 ,=0eG := 1x0= tx0; t 1. Denimosg(tx0) = t[[x0[[2,paratodot 1. Assim,supxG, ||x||=1[g(x)[ = suptR, |t|=1||x0||[t[[[x0[[2= [[x0[[.Sendogclaramentelinear,resultaqueg G

e [[g[[G = [[x0[[. PeloCorolario(1.15)existeumprolongamentof0degaEtal quef0 E

e [[f0[[E = [[g[[G = [[x0[[. Alemdisso,comox0 G,temos f0, x0) = g, x0) = [[x0[[2. 2SejaEumespaconormado. Deummodogeral, sedesignaparacadax0 EoconjuntoF(x0) = f0 E

; f0, x0) = [[x0[[2= [[f0[[2, (1.19)Observacao1.17PeloCorolario(1.16)resultaimediatamentequeF(x0) ,= paratodox0 E. Alemdisso, seE

eestritamenteconvexo(oqueesempreverdadeseEeumespacodeHilbert, ouseE=Lp()com10;x C ,= . Sex ,=0ent ao [[x[[ ,=0e, como0 CeCeaberto, temos queexister >0tal queBr(0) C. Assim,sey=x||x||com0 < < rresultaque[[y[[ = < r y Br(0) C.Destaforma, =||x|| >0;xC. Logo, emambos os casos, temos quje>0;x C ,= , qualquerquesejax Etendosentidotomarmoso nmodesteconjunto.PropriedadesdoFuncionalp1) p(x) = p(x),paratodo 0eparatodox E.2) p(x + y) p(x) + p(y),paratodox, y E.3) ExisteM> 0talquep(x) M[[x[[,paratodox E.4) C= x E; p(x) < 1.Demonstracao: Provemosaspropriedadesacima.TEOREMADEHAHN-BANACH 231) Temos que p(x) = inf > 0;x C. Se = 0, a identidade segue trivialmente.Agorase ,= 0,pondo=temosque = e,conseq uentemente,p(x) = inf> 0; x C = inf> 0; x C = p(x).2)Seja>0econsideremosx, y E. Entao, emvirtudedadenic aodofuncionaldeMinkowski,existem, > 0taisquex C,y C, < p(x) +2e< p(y) +2.Como0 0talqueBr(x0) EH. Comox0 EHseguequef(x0) ,= econsequentementepodemossupor, sem perda da generalidade que f(x0) < . Mostraremos que para todo x Br(x0)temos que f(x) < . Com efeito, suponhamos o contrario, que exista x1 Br(x0) tal quef(x1) . ComoBr(x0) eumconjuntoconvexotemosquet x1 + (1 t)x0 Br(x0), paratodot [0, 1],epelofatodeBr(x0) EHdecorrequef(t x1 + (1 t)x0) ,= , paratodot [0, 1].Poroutrolado,f(x1) implicaquef(x1) f(x0) f(x0) 0 < f(x0)f(x1) f(x0) 1.Denamos,emparticular,t =f(x0)f(x1)f(x0). Conseq uentemente,f(t x1 + (1 t)x0) = f(t(x1x0) + x0) = t f(x1x0) + f(x0)= t[f(x1) f(x0)] + f(x0)= f(x0) + f(x0) = ,oqueeumabsurdo! Logo, paratodox Br(x0)temosquef(x)0talqueBr1(x0) Br(x0). Notequesex Br1(x0)temosquex = x0 +r1z,ondez B1(0).Assim,f(x) = f(x0 + r1z) < f(x0) + r1f(z) < ,ouainda,f(z) < f(x0)r1< +, paratodoz B1(0).Logo,supzE;||z||1[f(z)[ < +,o que prova quefe limitada e portanto contnua. 226 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALObservacao1.22Se tivessemos suposto na proposicao anterior que f(x0) > , mostraramosqueparatodox Br(x0) teramos f(x) >. Usaramos, nestecaso, t =f(x0)f(x0)f(x1)para gerar o absurdo. Da mesma forma, entao, f(x) =f(x0+r1z) >, isto e,f(x0) + r1f(z) > ouainda,f(z) = f(z) 0tal quef(x) , paratodox A e f(y) + , paratodoy B.Geometricamente,aseparacaosignicaqueAeBsesituamemladosopostosdeH.

ABHFigura1.3: HseparaAeBLema1.24SejamEumespaconormado, C Eumconjuntoconvexo, abertoenao-vazioex0 Etal quex0/ C. Entaoexistef E

tal quef(x) x0devemsemanterestritamentemaioresquef(x0) ,enquantoqueas.c.s. seriaumaespeciedecontinuidadepeladireita,sendoqueosvaloresdef(x)parax < x0devemsemanterestritamentemenoresquef(x0) + .Parafacilitaracompreensao, veremos, aseguir, umaformadiferentedeenfocarosconceitos acimaquandoEeumespacometrico. Paraisso, recordemos oconceitodelimiteinferioresuperiorquepassamosadenir.Sejam Eum espaco metrico, f: E [, +] uma func ao e x0 E. Denominamoslimitesuperiorda funcaofemx0,edenotamosporlimsup0f(x),`a quantidade (nitaouinnita)lim0_supxB(x0)f(x)_.De maneira analoga, denominamos limiteinferior da funcao fem x0e denotamos porliminf0f(x),`aquantidade(nitaouinnita)lim0_infxB(x0)f(x)_.Umadenic aoequivalente`adesemicontinuidade easeguinte:a)Dizemosquefesemicontnuasuperiormentenopontox0selimsupxx0f(x) f(x0).34 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALb)Dizemosquefesemicontnuainferiormentenopontox0seliminfxx0f(x) f(x0).Mostremos a equivalencia das denicoes para as func oes s.c.i. em x0 , ou seja, provare-mosqueliminfxx0f(x) f(x0) > 0, V (x0)talquef(x) > f(x0) , x V (x0) E.(1.34)Demonstracao: () Seja > 0 dado. Ent ao, existe V (x0) tal que f(x) > f(x0), paratodox V (x0). Assim,existeBr(x0)talquef(x) > f(x0) ,paratodox Br(x0).Ser temosquef(x) > f(x0) paratodox B(x0)e,portanto,infxB(x0)f(x) f(x0) lim0_infxB(x0)f(x)_ f(x0).Serf(x0) , paratodox Br(x0)e0 lim0r lim0 = 0. Assim,infxBr(x0)f(x) f(x0) lim0_infxBr(x0)f(x)_ f(x0),oqueimplicaquelimr0f(x)_infxBr(x0)f(x)_ f(x0).() Suponhamos o contrario, ou seja, que exista 0> 0 tal que para toda V (x0) existax V (x0)tal quef(x) f(x0) 0. Emparticular, seV (x0)=B1/n(x0)temosqueexistexn B1/n(x0)talquef(xn) f(x0) 0,paratodon N,isto e,infxB1/n(x0)f(x) f(xn) f(x0) 0.Assim,limn+_infxB1/n(x0)f(x)_ f(x0) 0< f(x0),oque eumabsurdo(!) pois,porhipotese,lim0_infxB(x0)f(x)_ f(x0),FUNC OESCONVEXASESEMICONTINUAS 35oqueprovaaequivalenciaem(1.34). 2Exemplos:Consideremosafunc aof: 1 1dadaporf(x) =_1, x > 0,1, x 0TE11x0Figura1.8: fes.c.i. em 1masnao es.c.s. em0.fe s.c.i. em 1 posto que e contnua em 10 e f(0) = 1 liminfx0f(x). Porem,fnao es.c.s. emx = 0.Analogamente,afunc aof: 1 1dadaporf(x) =_1, x 0,1, x < 0TE11x0Figura1.9: fes.c.s. em 1masnao es.c.i. em0.es.c.s. em 1postoque econtinuaem 10ef(0) = 1 liminfx0f(x). Porem,fnao es.c.i. emx = 0.36 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALVeremos,aseguir,algunsresultadosquenosserao uteisposteriormente.Lema1.31(Resultado1) SejaEumconjunto. f: E 1econtnuaemx0 Ese,esomentese, fes.c.i. es.c.s. emx0 E. Aqui estamosexcluindof assumir+ou.Demonstracao: Imediata. 2Lema1.32(Resultado2) Paraquef:E 1sejas.c.i. nopontox0enecessarioesucientequeparacada 1talque < f(x0),existaumavizinhancadex0,V (x0)talque < f(x),paratodox V (x0).Demonstracao: ()Facamos = f(x0) . Entao,existeV (x0)talquef(x) > f(x0) = f(x0) f(x0) + = , paratodox V (x0).() Reciprocamente, seja > 0 e consideremos = f(x0). Como f(x0) < f(x0),istoe, , paratodox V (x0),ouseja,f(x) > f(x0) ,paratodox V (x0),oqueconcluiaprova. 2Lema1.33(Resultado3) Paraquef: E 1sejas.c.i. emEenecessarioesu-cientequetodososconjuntosdenvel defsejamfechados.Demonstracao: ParaprovarestelemausaremosoResultado2.()ParamostrarqueN(, f)efechado, paratodo 1, bastamostrarmosqueEN(, f) = x E; f(x) >eaberto. Comefeito, sejaxo EN(, f). Ent ao,f(x0) > eexisteV (x0)talque < f(x),paratodox V (x0),deondeseconcluiqueV (x0) EN(, f)provandoqueEN(, f) eaberto.() Supondo que N(, f) fechado, temos que EN(, f) e aberto e conseq untementedadox0 EN(, f), ouseja, f(x0)>, existeumavizinhancadex0, V (x0)tal queV (x0) EN(, f),ouseja,f(x) > ,paratodox V (x0). Istoconcluiaprova. 2FUNC OESCONVEXASESEMICONTINUAS 37Exemplos:a)Afunc aocaractersticadeumconjuntoabertoA E,A,dadaporA(x) =_1, x A,0, x/ A,es.c.i.. Comefeito,N(, A) = x E; A(x) .Se < 0, N(, A) = x E; A(x) = .Se = 0, N(0, A) = x E; A(x) 0 = EA.Se0 < < 1, N(, A) = x E; A(x) = EA.Se = 1, N(1, A) = x E; A(x) 1 = E.Se > 1, N(, A) = x E; A(x) = E.Essesconjuntossaotodosfechados.b)Afunc aoindicatrizdeumconjuntofechadoA,IA,dadaporIA(x) =_0, x A,+, x/ A,es.c.i. ComefeitoSe < 0, N(, IA) = x E; IA(x) = .Se = 0, N(0, IA) = x E; IA(x) 0 = A.Se > 0, N(, IA) = x E; IA(x) = A.Analogamenteaoexemploanteriorosconjuntosacimasaotodosfechados.Lema1.34(Resultado4) Paraquef: E 1sejas.c.i. enecessarioesucientequeoepigracodefsejafechadoemE 1.Demonstracao: ()Sejaf s.c.i. eent aomostraremosque(E1)epi(f)eabertoemE 1. Como(E 1)epi(f) = (x, ) E 1; f(x) > ,38 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALse (x0, 0) (E1)epi(f) temos que f(x0) >0. PeloResultado2, decorre queexiste V (x0), vizinhancade x0emE, tal que f(x) >paratodox V (x0), onde0< < f(x0). ArmamosqueV (x0, 0) = V (x0)] , [ (E 1)epi(f). (1.35)Defato, seja(x, ) V (x0, 0). Ent ao, x V (x0)e e,portanto,(x, ) (E 1)epi(f),oqueprova(1.35)implicandoque(E 1)epi(f) eabertoconformequeramosprovar.() Reciprocamente se epi(f) e fechado, entao (E1)epi(f) e aberto e desta forma,se(x0, 0) (E 1)epi(f),existeumavizinhancaV (x0, 0) (E 1)epi(f),ousejaSe(x1, 1) V (x0, 0)entaof(x1) > 1.Mostraremosquefes.c.i. emE,utilizandooResultado2. Comefeito,sejax0 Ee 1tal que,pois (y, ) V (x0, ) (E1)epi(f). Logo, pondoV (x0) =E[Br(x0, )] (vejadiagramac aoabaixo)seguedoResultado2odesejado.TE1E

epi(f)(E 1)epi(f)x0( )V (x0, )E[Br(x0, )]ddsrFigura1.10: diagramac ao2Denicao1.35Sejam Eum espaco topologico e fiiIuma famlia de funcoes fi: E [, +]. Afuncao : E [, +]denidapor(x) = supiIfi(x),e denominada involucrosuperior de fiiI. Analogamente, a funcao : E [, +],denidapor(x) = infiIfi(x),FUNC OESCONVEXASESEMICONTINUAS 39edenominadainvolucroinferiorde fiiI.Lema1.36(Resultado5) Oinvolucrosuperiordeumafamlia fiiI,es.c.i. eumafuncaos.c.i..Demonstracao: Seja(x) = supiIfi(x). Armamosqueepi() =

iIepi(fi). (1.36)Comefeito, se(x, ) epi(), temosque(x) e, conseq uentemente, fi(x) ,paratodox I. Logo, (x, ) epi(fi), paratodoi I. Reciprocamente, seja(x, )

iI epi(fi). Ent ao, fi(x) para todo i Idonde supiIfi(x) . Assim, (x) ,eportanto, (x, ) epi(), oqueprova(1.36). Comocadaepi(fi)efechado, postoquecadafies.c.i. (Resultado4), eainterse caoarbitrariadefechadosefechada, vemqueepi() efechadoeconsequentemente es.c.i.2Aseguir,apresentamosdoisresultadoscujasdemonstracoessaoimediataseportantoseraosuprimidas. Saoeles:Lema1.37(Resultado6) Asomadeduasfuncoess.c.i. es.c.i..Lema1.38(Resultado7) Oprodutodeduasfuncoesnao-negativass.c.i. es.c.i..Lema1.39(Resultado8) Sef: E 1eumaaplicacaopropria, s.c.i. eEecom-pacto,entaofatingeseu nmoemD(f).Demonstracao: Denamosm =infxEf(x).Note que m esta bem denido, pois como fe propria, f ,= +(fe nao identicamente+) e, portanto, m < +. Para cada > m, temos que N(, f) = x E; f(x) efechado em virtude do Resultado 3 e a famlia N(, f) e totalmente ordenada por inclusao,ouseja, se1 2temosqueN(1, f) N(2, f). Alemdisso, pelapropriedadedenmoseguequeN(, f) ,= , paratodo>m[Notequeseexistir >mtal que40 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALf(x) > paratodox Etemosque eumacotainferiormaiorque nmo,oque eumabsurdo(!)]. ComocadaN(, f) efechadoemE,eE,porsuavez ecompacto,vemqueN(, f)ecompactoqualquerqueseja>m. Assim, temosumacolec ao N(, f)>mdecompactostaisqueaintersec aodequalquercolec aonitaenaovazia, oqueimplicaque

>mN(, f) ,= .Maisalem, sex >mN(, f), entaof(x) , paratodo>m. Destaforma,considerando nnNtal que n> m e n m resulta que f(x) n, para todo n N,e,conseq uentemente,f(x) m, paratodox >mN(, f).Poroutrolado, comof(x) m, paratodox E, vemquef(x) =m, paratodox

>mN(, f). Assim,existex0 Etalquef(x0) = infxE f(x) = m. 2Denicao1.40Sejam Eum espaco vetorial e Cum subconjunto convexo de E. Dizemosque : C ] , +]eumafuncaoconvexasobreCse(t x + (1 t) y) t (x) + (1 t) (y), paratodox, y Cet [0, 1].Exemplos:a)Anorma [[[[emumespacovetorial normadoEeumafuncaoconvexasobreE.Avericac aodestefatodecorreimediatamentedadesigualdadetriangular.b)Todafunc aolinearamsobreE,isto e, : E 1denidapor(x) = f, x) +,para algum 1 e f E, e convexa, o que segue diretamente das propriedades de umafunc aolinear.Lema1.41(Resultado9) A funcao : C ] , +], onde Ce convexo, e convexa,se,esomentese,oepi()econvexo.Demonstracao: () Sejam(x, ), (y, ) epi() et [0, 1]. Entao, (x) e(y) . Logo,(t x + (1 t) y) t (x) + (1 t) (y) t + (1 t),FUNC OESCONVEXASESEMICONTINUAS 41donde(t x + (1 t) y, t + (1 t) ) epi(),ouseja,t(x, ) + (1 t)(y, ) epi().()Reciprocamente, sejamx, y Cet [0, 1]. Como(x) (x)e(y) (y)vemque(x, (x)), (y, (y)) epi(). Logo,t(x, (x)) + (1 t)(y, (y))= (t x + (1 t)y, t (x) + (1 t) (y)) epi(),ouseja,(t x + (1 t)y) t (x) + (1 t) (y).2Lema1.42(Resultado10) Seafuncao: C ] , +], ondeCeconvexo, econvexa,entaoN(, ), 1,eumconjuntoconvexo.Demonstracao: Sejam 1,x, y N(, )et [0, 1]. Ent ao,(x) e(y) .Logo,(t x + (1 t)y) t (x) + (1 t) (y) t + (1 t) = .2Observacao1.43Notemosquearecprocadoresultado10naoeverdadeira. Consider-emosafuncao:(x) =_x2, x 0,x2+ 1, x > 0.TE1x 1 1Figura1.11: diagramac ao42 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALEntao,N(, ) = x 1; (x) .Se < 0,x 1; (x) = .Se = 0,x 1; (x) 0 = 0.Se0 < < 1,x 1; (x) = [, 0].Se = 1,x 1; (x) 1 = [1, 0].Se > 1,x 1; (x) = [, 0]]0, 1[= [, 1].Os conjuntosacimasaoconvexos, mas naoeconvexa. Defato, considerex= 12,y=12et =14(1 t =34). Da,(1/2) = 1/4,(1/2) = 5/4,et (x) + (1 t) (y) =1414+3454=116+1516= 1.Poroutrolado,t x + (1 t)y=14_12_+3412= 18+38=14,e,assim,(t x + (1 t)y) = (1/4) =116+ 1 > 1 = t (x) + (1 t) (y),oqueprovaodesejado.Noquesegue,consideraremosEumespacovetorialnormado.Proposicao1.44Seja: E ] , +] umaaplicacaoconvexa, s.c.i. epropria.Entao,existeumaretaam,f ,ondef E

e 1tal quef(x) < (x),paratodox E.Demonstracao: Como epropria,existex0 Etalquex0 De(),ouseja,(x0) 0. Ent ao, (x0, 0) / epi(). Comoepi()eumconjunto convexo ( Resultado 9), fechado (Resultado 4) e nao vazio (pois e uma func aopropria) de E1 e (x0, 0) e um conjunto convexo e compacto de E1 onde epi() (x0, 0) = , vem, pela 2aForma Geometrica do Teorema de Hahn-Banach que existem (E 1)

e 1taisque(x, ) < + (x0, 0), paratodo(x, ) epi().FUNC OESCONVEXASESEMICONTINUAS 43Como (E 1)

,existemg E

ek 1(vejasubsec ao1.1.2)taisque(x, ) = g, x) + k , paratodox Ee 1.Assim,g, x) +k < + g, x0) + k 0, paratodo(x, ) epi().Emparticular,para(x0, (x0)) epi()resultaquek (x0) < < k 0 k((x0) 0) < 0.Mas,como(x0) > 0,adesigualdadeacimaimplicaquek< 0. Emparticular,parax De()resultaque(x, (x)) epi()e,portanto,g, x) + k (x) < g, x0) + k 0,donde_gk, x_(x) < k.Pondof= gke= k,obtemosf, x) (x) < f, x) < (x), paratodox De().Sex/ De()temosque(x) = +eadesigualdadeseguetrivialmente. Logo,f, x) < (x), paratodox E,conformequeramosdemonstrar. 2Observacao1.45Da proposicao acima resulta que f, x) < (x), paratodox E,e,portanto,supxEf, x) (x) .Portanto,denindo-se: E

1; f (f) = supxEf, x) (x) , (1.37)temosque(f)eomenordosvaloresdeparaosquaisf minora.44 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALAfunc aodenidaacima edenominadaconjugada(oupolar)da.Vejamos um exemplo: Seja : 1 1 dada por (x) = x2. Como esta nas condic oesdaproposicao1.44, existef 1

1e 1taisque f, x) (x0). Chegaremosaumacon-tradic ao,oquenosgarantiraaigualdadeparafunc oesnaonegativas,emumprimeiromomento. Comefeito, dahipotesefeita, decorreque (x0) 0,taisque(x, ) + > > (x0, (x0)), paratodo(x, ) epi(),ouainda,existef E

ek 1taisquef, x) + k > > f, x0) + k(x0), paratodo(x, ) epi(). (1.39)Sejam x De(), sucientemente grande e n0 N tal que (x) n, para todon n0. Ent ao,(x, n) epi(),paratodon n0e,conseq uentementef, x) + k n > k > f, x)n, paratodox De().Logo, tomando o limite quando n +na expressao acima resulta que k 0. [Noteque nao podemos usar o raciocnio feito anteriormente para (x0, (x0)) pois nao sabemosse x0 De() e conseq uentemente nao podemos garantir que (x0, (x0)) epi()]. Assim,sex De()f, x) + k (x) > , ondek 0.Como(x) 0,seguequepara > 0dadof, x) + (k + ) (x) > , paratodox De(),[note que tomamos pois o proximo passo seria uma divisao por ke como k 0 isto naopoderiaserfeito],ouseja,_f(k + ), x_(x) < k + , paratodox De().FUNC OESCONVEXASESEMICONTINUAS 49Assim,_fk + _= supxE__f(k + ), x_(x)_= supxDe()__f(k + ), x_(x)_ k + ,poisse(x) = +ent ao (x) = .Logo,(x0) = supgE

g, x0) (g)_f(k + ), x0__fk + __f(k + ), x0_+k + .Porconseguinte,f, x0) + (k +)(x0) , paratodo > 0,e,pelaarbitrariedadede,f, x0) +k(x0) ,oque eumabsurdo(!) poisde(1.39)temosquef, x0) + k(x0) < .Assim,se 0,temosque(x) = (x),paratodox E.Consideremos,agora,ocasogeral,ouseja,naonecessariamentenaonegativa. Dashipoteses feitas sobre, temos, pelaproposic ao1.47queepropria. Assim, existef0 E

talquef0 De(). Denamos,ent ao(x) = (x) f0, x) + (f0).Daspropriedadesdasfuncoesenvolvidas, resultaqueeconvexa, s.c.i. epropria.Alemdisso,(x) 0,paratodox Epois(f0) = supxEf0, x) (x) f0, x) (x), paratodox E,50 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALoqueimplica(f0) f0, x) + (x) 0, paratodox E.Daprimeirapartedademonstrac aoconclumosque(x) = (x), paratodox E. (1.40)Mas,(f) = supxEf, x) (x)= supxEf, x) (x) +f0, x) (f0)= supxEf+ f0, x) (x) (f0)= (f+ f0) (f0),e,portanto,(x) = supfE

f, x) (f)= supfE

f, x) (f+ f0) + (f0)= supfE

f+ f0, x) (f+f0) f0, x) + (f0)= (x) f0, x) +(f0)= (x) + (x) (x).Desta ultimaidentidadeede(1.40)resultaque(x)=(x), paratodox E, oqueencerraaprova. 2Observacao1.51APrimeiraFormaGeometricadoteoremade Hahn-Banachse es-tendeaosespacosvetoriaistopologicosgeraisenquantoqueaSegundaFormaseestendeaosespacos localmenteconvexosespacosextremamenteimportantesnaTeoriadasDistribuicoes.`Aquelesinteressadosemtalassunto,sugerimososclassicosHorvath[12]eSchwartz[19].Captulo2OsTeoremasdeBanach-SteinhausedoGracoFechadoFigura2.1: Steinhaus-Baire.Hugo Dyonizy Steinhaus (1887 - 1972), `a esquerda, foi ummatematico polones(nasceunaantigaGalcia, hojePolonia)quetrabalhounateoriadamedida, inspiradoporLebesgue,enoprincpiodacondensac aodesingularidadesjuntamentecomBanach.Rene-LouisBaire (1874-1932),`adireita,foiummatematicofrancesquetrabalhounateoriadefunc oesenoconceitodelimite.5152 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONAL2.1 UmRepassoaoTeoremadeBaireComecemosporumadenic ao.Denicao2.1Seja Xum espaco metrico e A X. Dizemos que A e rarefeito (nowheredense-nuncadenso)seintA = .Como exemplos de conjuntos rarefeitos podemos considerar aqueles formados por pon-tosisoladosdeX.Proposicao2.2SejaXumespacometrico. A Xerarefeitose, esomentese, XAedensoemX.Demonstracao: ()SejaArarefeito,istoe,talqueintA = . DevemosmostrarqueXA e denso em X. Com efeito, raciocinemos por contradicao, ou seja, que exista x0 Xe0> 0talqueB0(x0) (XA) = . Assim,B0(x0) A,oqueimplicaquex0 intA,oque eumabsurdo(!) poisintA = .()SuponhamosqueXA=XequeAnaosejararefeito, ouseja, queintA ,= .Ent ao, existemx0Ae r0>0tais que Br0(x0) intA A, oque implicaqueBr0(x0) (XA) = , o que contraria o fato de XA ser denso em X. Logo, intA = . 2Denicao2.3SejaXumespacometrico. DizemosqueA XedecategoriaI(oude1acategoria) seA=

nJ An, ondeJeenumeravel eosconjuntosAnsaorarefeitos,paratodonatural n J.OsconjuntosquenaosaodecategoriaI, saodenominadosdecategoriaII(oude2acategoria).OsconjuntosdecategoriaIsaotambemdenominadosconjuntosmagrosemX.Exemplo: Oconjuntodosn umerosracionais ede1acategoriapois =_qQq e intq = .Proposicao2.4Seja Xum espaco metrico. Se A Xe de 1acategoria e B A, entaoBede1acategoria(oudecategoriaI).UMREPASSOAOTEOREMADEBAIRE 53Demonstracao: ComoA ede1acategoria,temosqueA =

nJ AneintAn= ,paratodonaturaln J,comJenumer avel. Assim,B= A B=__nJAn_ B=_nJ(An B) =_nJBn,Bn= An BeintBn intAn,oqueimplicaqueintBn= ,paratodon J.2Proposicao2.5SejaXumespacometrico. Saoequivalentes:1)Todosubconjuntoabertoenao-vaziodeXedecategoriaII.2)A =

nJ An;ondeAnefechadoeintAn= ,paratodon J(Jenumeravel ) intA = .3)A=

nJ An; ondeAneabertoeAn=X, paratodon J(Jenumeravel ) A = X.4)SeAedecategoriaI,entaoXA = X.Demonstracao:(1) (2) Seja A =

nJ An, onde Ane fechado e intAn= para todo n J. Ent ao,cadaAn, paran JerarefeitopoisAn=Ane, portanto, AedecategoriaI. ComointA A, temos, pelaproposic ao2.4queintAedecategoriaI. ComointAeabertoede categoria I, temos que intA = pois,caso contrario,se intA ,= ,entao,por hipotese,intAseriadecategoriaII,oque eumabsurdo(!).(2) (3)SejaA =

nJ An,onde,paracadan J,AneabertoeAn= X. Entao,XA = X

nJAn=_nJ(XAn),eXAnefechado(poisAneaberto)ecomoAn= X,temosqueXAn= . Armamosqueint(XAn) XAn, paracadan J. (2.1)Defato, paracadan J, sejax int(XAn). Entao, exister>0talqueBr(x) XAne, portanto, Br(x) An= , donde x / An, istoe x XAn, oque prova(2.1). Logo, int(XAn)= e, porhipotese, temosqueint(XA)= , jaqueXA=54 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONAL

nJ(XAn). Resta-nos provar que A = X. Suponhamos, o contr ario, que exista x0 Xtal que x0/ A. Entao, existe r0> 0 tal que Br0(x0) A = e, portanto, Br0(x0) XA.Logo,x0 int(XA),oque eumabsurdo(!) poisint(XA) = . Assim,A = X.(3) (4) Seja A Xtal que A e de categoria I, isto e, A = nJAnonde intAn= ,paracadan J. Logo,A

nJ An,e,portanto,X

nJ An XA,ouseja,

nJXAn XA.Pondo-seB=

nJ XAn, temosqueXAneabertoeXAn=X. [Mostra-sedemaneiraanalogaao temanterior]. Porhipotese, B=X. ComoB XA, temosqueXA = X.(4) (1) Seja A Xtal que Ae aberto e nao vazio. Logo, XAe fechado e XA ,= XeportantoXA ,=X(notequeXA=XA). Porhipotese(contra-positiva),AnaoedecategoriaIe,portanto,A edecategoriaII. 2Teorema2.6(TeoremadeBaire) TodosubconjuntoabertoenaovaziodeumespacometricocompletoedecategoriaII.Demonstracao: De acordocomaProposic aoanterior, bastademonstrar umadasarmac oes posto que elas sao equivalentes. Escolhamos ent ao a n umero 3, isto e, supondoqueA=

nJ An, AneabertoeAn=X, paracadan JemostraremosqueA=X.Seja, entao, x0 Xe0>0. Devemos mostrar queB0(x0) A ,= . Sejar0>0sucientemente pequeno tal que Br0(x0) B0(x0). Como A1= X, entao A1Br0(x0) ,= e, pelo fato de A1Br0(x0) ser aberto, temos que existem x1 A1Br0(x0) e 0 < r1 n0temosqued(xn, xm) d(xn, xn0) + d(xm, xn0) < rn0 + rn0= 2 rn0r0n0> 1 + log2_r0_].Logo, xnnNedeCauchyecomoXecompletotemosqueexistex Xtal quexn xemX,quandon +.Poroutrolado, sejan0 Narbitrario, poremxado. Ent ao, sen>n0temosquexn Brn0(xn0) Brn0(xn0) econsequentementex Brn0(xn0) postoqueBrn0(xn0)efechado. Pela arbitrariedade de n0 N temos que x Brn(xn), para todo n N, ou seja,x nNBrn(xn). ComoBrn(xn) An, temosquex An, paracadan N, ouseja,x A. Alemdisso,x Brn0(xn0) Br0(x0) Br0(x0) B0(x0),dondex A B0(x0),oquenalizaademonstracao.2Denicao2.7Um espaco topologico e dito EspacodeBaire, se satisfaz a uma das armacoesdaProposicao2.5.Observacao2.8DoTeoremadeBaireconclumosquetodoespacometricocompletoeumespacodeBaire.Corolario2.9SejaAumsubconjuntoabertoenao-vaziodeumespacodeBaireXtalqueA =

+n=1An,ondeAnefechadoparan = 1, 2,. Entao,existeum ndicen0 Nparaoqual intAn0 ,= .Demonstracao: ComoXeumespacodeBaire,entaoA e,emvirtudedoTeoremadeBaire, de categoria II. Argumentemos por contradicao, ou seja, que intAn= para todon N. Entao,A e,pordenicao,decategoriaIoqueumacontradic ao(!). Logo,existen0 NtalqueintAn0 ,= . 22.2 TeoremadeBanach-Steinhaus oudaLimitacaoUniformeSejam E e Fespacos vetoriais normados. Denotamos por /(E, F) o espaco dos operadoreslinearesecontnuosdeEemF,munidodanorma[[T[[L(E,F)= supxE;||x||E1[[Tx[[F.56 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALQuandoE= Fescreve-sesimplesmente /(E) = /(E, E).Proposicao2.10(PrincpiodaLimitacaoUniforme) SejamXumespacometricocompletoe Tumafamliadefuncoescontnuasf:X 1taisque, paracadax X,temossupfF[f(x)[ < Mx< +.Entao,existemM> 0eG X,aberto,taisque [f(x)[ M,paratodox Geparatodaf T.Demonstracao: DenamosXn,f= x X; [f(x)[ n = f1([n, n]).Comoasfunc oesfsaocontnuas, temosqueXn,fefechadoparatodon Neparatodaf T.Denamos,agora,Xn=

fFXn,f= x X; [f(x)[ n, paratodaf T, paratodon N.ComoosXn,fsaofechadoseaintersecaoarbitrariadeconjuntosfechados eumcon-juntofechado,resultaquecadaXnefechado. Provaremos,aseguir,queX=_nNXn. (2.2)A inclusao

nNXn Xe evidente. Resta-nos provar que X

nNXn. Com efeito,sejax0 X. Temos,porhipotese,quesupfF[f(x0)[ < Mx0< +.Assim, existe n1 N tal que [f(x0)[ n1, para todo f T, e, portanto, x0

nNXn,oqueprova(2.2).Temos, ent ao, queX,= , X=

nNXnondeos Xnsaofechados eXeaberto(poiseoespacotodo). PeloCorolario2.9existen0 Ntal queintXn0 ,= . Pondo-seG = intXn0,temosque [f(x)[ n0,paratodaf T.2TEOREMADEBANACH-STEINHAUSSOUDALIMITAC AOUNIFORME 57Teorema2.11(Banach-Steinhaus) SejamEeFespacosdeBanache TumafamliadeaplicacoeslinearesecontnuasdeEemFsatifazendoacondicaosup[[Tx[[F< +, paratodox E.Entao,sup[[T[[L(E,F)< +,istoe,existeC> 0tal que[[Tx[[F C [[x[[E, paratodox Eeparatodo .Demonstracao: Consideremosaseq uenciadefunc oesf: E 1,denidaporf(x) = [[Tx[[F, .Temosquefecontnuaparatodo . Defato,sejamx, x1 E. Entao,[f(x) f(x1)[ = [ [[Tx[[F [[Tx1[[F [ [[T(x x1)[[F [[T[[L(E,F)[[x x1[[E,oqueprovaacontinuidadedefemx1. Ainda, paracadax E, temos, porhipotese,quesup[f(x)[ = sup[[Tx[[F< +.PeloPrincpiodaLimitac aoUniformetemosqueexistemG E, aberto, eM>0taisque[f(x)[ = [[Tx[[F M, paratodox Geparatodo . (2.3)Sejax0 G. SendoGaberto,exister> 0sucientementepequenotalqueBr(x0) G. Mas, sex Br(x0), temosquex=x0 + r z, ondez B1(0)e, portanto, de(2.3)resultaque[[T(x0 +r z)[[F M, paratodoz B1(0)eparatodo .Noentanto,sez B1(0)vemque z B1(0)e,porconseguinte,M [[T(x0r z)[[F= [[Tx0r Tz[[F= [[r Tz Tx0[[F r[[Tz[[F [[Tx0[[F,58 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALoqueimplicaque[[Tz[[F M+[[Tx0[[Fr2Mr, postoquex0 G.Assim,[[Tz[[F 2Mr, paratodo , ez B1(0),e,ent ao,supzE;||z||1[[Tz[[F< +, partodo ,ouseja,existeC> 0queverica[[Tx[[F C [[x[[E, paratodox Eeparatodo ,oquenalizaaprova. 2Corolario2.12SejamEeFespacosdeBanacheconsideremos TnnNumasucessaodeaplicacoes lineares econtnuas deEemF, tal queparacadax E, aseq uenciaTnxnN converge em F. Entao, pondo Tx = limn+Tnx, temos que Te uma aplicacaolinearecontnuadeEemF. Maisalem,[[T[[L(E,F) liminfn[[Tn[[L(E,F).Demonstracao: NotemosinicialmentequeT: E Festabemdenidaemfunc aodaunicidadedolimiteemF. Ainda,T(x +y) = limn+Tn(x + y) = limn+Tnx + limn+Tny= Tx +Ty, paratodox, y E.Analogamente,T(x) = Tx, paratodox Eeparatodo 1,oqueimplicaalinearidadedeT. Sendo TnxnNconvergente,entao,paracadax E,existeMx> 0talque[[Tnx[[F Mx< +, paratodon N,TEOREMADEBANACH-STEINHAUSSOUDALIMITAC AOUNIFORME 59dondesupnN[[Tnx[[F Mx +, paratodox E.Logo,peloTeoremadeBanach-Steinhaus,existeumaconstanteC> 0talque[[Tnx[[F C[[x[[E, paratodox Eeparatodon N.Assim,tomandoolimitenadesigualdadeacimaresultaque[[Tx[[F C[[x[[E, paratodox E,oqueprovaacontinuidadedeT. Temosaindaque[[Tnx[[F [[Tn[[L(E,F)[[x[[E, paratodox Eeparatodon N,oqueimplica,tomando-seolimiteinferior,que[[Tx[[F _liminfn[[Tn[[L(E,F)_[[x[[E, paratodox E,ouainda,[[T[[L(E,F) liminfn[[Tn[[L(E,F).2Corolario2.13SejamGumespacodeBanacheBumsubconjuntodeG. Suponhamosque, paratodafG

, oconjuntof(B) =

xBf, x) elimitadoem1. EntaoBelimitado.Demonstracao: Paracadab B,denamosTb(f) = f, b) , ondeTb: G

1.Porhipotese,temosquesupbB[Tb(f)[ < +, paratodaf G

.PeloTeoremadeBanach-Steinhaus,temosquesupbB[[Tb[[L(G

,R)< +,60 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALouseja,existeC> 0talque[Tb(f)[ = [ f, b) [ C [[f[[G , paratodaf G

eparatodob B.Assim,_f[[f[[G

, b_ C, paratodaf G

, f ,= 0(fnaoidenticamentenula), eparatodob B.Logo,peloCorolario1.18doTeoremadeHahn-Banachresultaque[[b[[G= supfG

;||f||G 1[ f, b) [ C, paratodob B.2Oproximoresultadopodeserdenominadoresultadodualdocorolarioanterior.Corolario2.14SejaGumespacodeBanacheconsideremosB

G

. Suponhamosqueparatodox Goconjunto B

, x) =

fB

f, x) elimitadoem 1. Entao,B

elimitado.Demonstracao: Paracadaf B

denamosTf(x) = f, x) , paratodox G.Porhipotese,supfB

[Tf(x)[ =supfB

[ f, x) [ < +, paratodox G.PeloTeoremadeBanach-SteinhausresultaquesupfB

[[Tf[[L(G,R)< +,ouseja,existeC> 0talque[Tf(x)[ C [[x[[G, paratodox Geparatodof B

.Equivalentemente,[ f, x) [ C [[x[[G, paratodox Geparatodof B

,oqueimplicaque [[f[[G C,paratodaf B

.2TEOREMADAAPLICAC AOABERTAEDOGRAFICOFECHADO 612.3 Teorema da Aplicacao Aberta e do Graco FechadoOsdoisprincipaisresultadosqueveremosnestasec aosaodevidosaBanach. Antesdeenunciarmos os Teoremas em questao, precisamos de alguns lemas tecnicos que passamosacomentar.Lema2.15Sejam Ee Fespacos vetoriais, Cum subconjunto convexo de Ee T: E Fumaaplicacaolinear. Entao,TCeumsubconjuntoconvexodeF.Demonstracao: No lema acima entendemos por TC, a imagem de Cpela aplicac ao T,ouseja,TC= Tx, x C.Sejament ao, y, y TC. Logo, existemx, x Ctaisquey=Txey=Tx. Ent ao,paratodot [0, 1]resulta,emvirtudedaconvexidadedeC,quet y + (1 t)y = t Tx + +(1 t) Tx= T(t x) + T((1 t)x) = T(t x + (1 t)x. .C) TC,oqueprovaodesejado. 2Lema2.16SejaEumespacodeBanacheCumsubconjuntoconvexodeE. Entao,Ceconvexo.Demonstracao: Sejamx, y C. Entao, existe xn, yn Ctaisquexn xeyn y. Ent aoparatodot [0, 1]eparatodon N,temos,emvirtudedaconvexidadedeC,quet xn + (1 t)yn C. Resultada,dasconvergenciasacimaedofatodeCserum conjunto fechado, que o limite t x +(1 t)y C, conforme queramos demonstrar. 2Lema2.17SejamEeFespacosdeBanacheT: E Fumaaplicacaolinear. Entao,T(B1(0))eumsubconjuntoconvexodeF. Alemdisso,T(B1(0)) + T(B1(0)) = 2T(B1(0)).62 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALDemonstracao: Sendo B1(0) um subconjunto convexo de E, resulta,em vista do lema2.15, que T(B1(0)) e um subconjunto convexo de F. Do lema 2.16 vem entao que T(B1(0))eumsubconjuntoconvexodeF.Seja,agora,y 2T(B1(0)). Entao,vemquey/2 T(B1(0)),eportanto,y=y2+y2 T(B1(0)) + T(B1(0)). (2.4)Reciprocamente, sejamy1, y2 T(B1(0)). Logo, 2y1, 2y2 2T(B1(0)). Como 2T(B1(0))eumconjuntoconvexo,deduzimosquey1 +y2=12 2y1 +12 2y2 2T(B1(0)).Logo,decorrequeT(B1(0)) + T(B1(0)) 2T(B1(0)), (2.5)ede(2.4)e(2.5)resultaodesejado. 2Lema2.18SejamEe F espacos de Banache T : EF umaaplicacaolinear esobrejetiva. Entao,existeC> 0tal queB3C(0) T(B1(0)).Demonstracao: ComoE=+_n=1nB1(0),ent ao,resultaqueF=+_n=1nT(B1(0)).Defato,bastamostrarmosqueF +n=1nT(B1(0))umavezqueaoutrainclusaoeobvia. Comefeito,sejay F. ComoTesobrejetiva,existex Etalquey= Tx. Poroutro lado, se x E, temos, em virtude da primeira identidade acima, que x = n0z, paraalgumn0 Nez B1(0). Logo,y= T(n0z) = n0Tz,z B1(0)en0 N,oqueimplicaquey +_n=1nT(B1(0)) +_n=1nT(B1(0)),TEOREMADAAPLICAC AOABERTAEDOGRAFICOFECHADO 63o que mostra o desejado. Assim, Fe aberto (posto que e o espaco todo), nao vazio, e podeserescritocomoF=

+n=1nT(B1(0)),ondeT(B1(0)) e,evidentemente,umsubconjuntofechadodeF. Pelocorolario2.9, temosqueexisten0 Ntal queint(n0T(B1(0))) ,= ,ou ainda, int(T(B1(0))) ,= . Consideremos, ent ao, y int(T(B1(0))). Logo, existe r > 0tal queBr(y) T(B1(0)). SejaC 1, sucientementepequenodemodoque6C 0,temosqueB(y) T(B1(0)) ,= ,ouseja,existex B1(0)talque [[Tx y[[ < ,e,portanto,[[Tx y[[ = [[ T(x) y[[ = [[(y) T( x..B1(0))[[ < ,isto e,T(x) B(y),onde x B1(0),oqueprovaodesejado. Resultada,de(2.6)edolema2.17queB6C(y) y T(B1(0)) + T(B1(0)) = 2T(B1(0)).Contudo,B6C(y) y= B6C(0),postoqueB6C(y) = y + B6C(0). Assim,destefatoedainclusaoacimasegue,imediatamente,queB6C(0) 2T(B1(0)) 2B3C(0) 2T(B1(0)) B3C(0) T(B1(0)),oquenalizaaprova.2Denicao2.19SejamEeFespacostopologicos. Dizemosqueaaplicacaof:E Feabertaquando,paratodoabertoU E,f(U)eabertoemF.Teorema2.20(TeoremadaAplicacaoAberta) SejamEeFespacosdeBanacheT : E F umaaplicacaolinear, contnuaesobrejetiva. Entao, T eumaaplicacaoaberta.Demonstracao: Pelolema2.18, existeC>0tal queB3C(0) T(B1(0)). Seguedaqueparatodor > 0,tem-seB3rC(0) T(Br(0)) (2.7)64 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALLogo,dadow B3rC(0),temosquew T(Br(0))e,portanto,dado > 0temosqueB(w) T(Br(0)) ,= ,isto e,paratodo > 0existex Br(0)talque,[[w Tx[[ < , comw B3rC(0). (2.8)ArmamosqueBC(0) T(B1(0)). (2.9)Defato,tomemosy BC(0). Devemosmostrarqueexistex B1(0)talquey= Tx.Comefeito,sejam =C3er =13. De(2.8)resultaqueexistez1 B1/3(0)talque[[y Tz1[[ 0tal que [[x[[1 C[[x[[E, paratodox E, ouseja,[[x[[E +[[Tx[[F C[[x[[E, paratodox E.Mas,evidentemente[[Tx[[F [[x[[E +[[Tx[[F.Combinando-seas duas ultimas desigualdades resultaque [[Tx[[FC [[x[[E, paratodox E,oqueencerraaprova. 22.4 OrtogonalidadeComecemosporumadenic ao.Denicao2.27SejaXumespacodeBanach. SeMXeumsubespacovetorial,entaooconjuntoM= f X

; f, x) = 0, paratodox M,edenominadoortogonal deM.SeN X

eumsubespacovetorial,entaooconjuntoN= x X; f, x) = 0, paratodof N,editooortogonal deN.Observacao2.28Notemosque,poranalogia`adenicaodeM,acima,deveramosterN= J(X) X

; , f) = 0, paratodof N,onde, conformejavimosanteriormente, J: X X

eaaplicacaolineareisometricadadaporJx(f)= f, x), paratodof X

denidanaproposicao1.48. Entretanto, se J(X),temosqueexistex Xtal que= Jx. Logo,, f) = Jx, f) = f, x) .68 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALAssim,podemosescreverN= x X; f, x) = 0, paratodof N,comoacimadenido.Proposicao2.29i)MeumsubespacofechadodeX

.ii)NeumsubespacofechadodeX.Demonstracao: Verica-sefacilmentequeMbemcomoNsaosubespacos. Prove-mosquesaofechados.(i)Paracadax X,temosqueJx: X

1eumaaplicac aolinearecontnuadadaporJx(f) = f, x). Assimoconjuntof X

; Jx(f) = 0 = J1x(0),ouseja,f X

; f, x) = 0 = J1x(0),e fechado, posto que e dado pela imagem inversa de um conjunto fechado, por uma funcaocontnua. Logo,

xMJ1x(0) = f X

; f, x) = 0, paratodox M = Mefechado.(ii)Sejaf N. Logo,feumaformalinearecontnuasobreXe,portanto,x X; f, x) = 0 = f1(0),efechado,e,conseq uentemente

fNf1(0) = Nefechado.2Proposicao2.30(i) (M)= M.(ii) (N) N.ORTOGONALIDADE 69Demonstracao: (i)Provaremos,incialmente,queM (M). (2.10)Com efeito, seja x M. Ent ao, existe xnnN Mtal que xn x quando n +.Tendoemmenteque(M)= x X; f, x) = 0, paratodof M,ent ao,sef M,resultaimediatamenteque f, xn) = 0,paratodon Ne,conseq uen-temente f, x) = 0,oqueprovaquex (M)candoprovado(2.10).Reciprocamente,provemosque(M) M. (2.11)Comefeito, suponhamosque(2.11)naoocorra, istoe, suponhamosqueexistax0 (M)tal quex0/ M. Como x0ecompactoeMefechado, eambos convexosedisjuntos, vem, pela2aFormaGeometricadoTeoremadeHahn-Banach, queexisteumhiperplanodeequac ao[f= ]quesepara x0eMnosentidoestrito,ouseja,f, x) < < f, x0) , paratodox M.Em particular, f, x) < , para todo x M. Como Me subespaco e fe uma aplicac aolineartalque f, x) < ,paratodox M,vemquef, x) = 0, paratodox M.Mas,0 < < f, x0),ouseja,f, x0) ,= 0.Tambem, f Mpois f, x)=0, paratodox M. Comof Mex0 (M),resultaquef, x0) = 0,oque eumacontradi cao(!),candoprovado(2.11).(ii)Ademonstrac aodestainclusao eanalogaaprovade(2.10)e,portanto,seraomi-tida.270 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALObservacao2.31Se tentarmos mostrar que (N)Nusandoatecnicaanterior,teramosf0 (N)tal quef0/ N. Pela2aFormaGeometricadoTeoremadeHahn-Banach,existeumhiperplanodeequacao[ = ], X

,tal que, f) < < , f0) , paratodaf N (emparticular).Portanto,, f) = 0, paratodaf Ne , f0) ,= 0.Noentanto, istonaoimplicaque NpoispodenaopertenceraJ(X). Istoocorre,entretanto,quandoXereexivo,istoe,quandoJ(X) = X

.Proposicao2.32i)SeM1 M2 M1 M2.ii)SeN1 N2 N1 N2.Demonstracao: i)Sejaf M2. Ent ao, f, x)=0, paratodox M2. Porhipotese,f, x) = 0,paratodox M1,e,portanto,f M1.ii)Analogaaoitem(i).2Proposicao2.33SejamGeLsubespacosfechadosdeX. Entao,i)G L = (G + L).ii)G L= (G + L).Demonstracao: i)ProvaremosincialmentequeG L (G + L). (2.12)Defato,temos,pelaproposicoes2.30e2.32,queG (G +L)L G +L(G + L) (G)= G = G.(G + L) (L)= L = L.,oqueprova(2.12)ORTOGONALIDADE 71Reciprocamente,provaremosqueG L (G + L). (2.13)Comefeito,notemosinicialmenteque(G + L)= x X; f, x) = 0; paratodof (G + L).Alem disso, observemos que se f (G+L), entao f= g +h onde g Ge h L.Logo,g, x1) = 0, paratodox1 G,h, x2) = 0, paratodox2 L.Consideremos, ent ao, x G L. devemos provar que f, x) =0; paratodof(G + L). Seja,ent ao,f (G + L). Peloquefoivistoacima,f, x) =_g + h, x..GL_= 0,oqueprovaquex (G + L),e,portanto(2.13).(ii)Provaremos,inicialmentequeG L (G +L). (2.14)Defato,temos,pelaproposicao2.32,queG G + LL G + L(G +L) G(G +L) L (G + L) G L,oqueprova(2.14). Finalmente,resta-nosprovarque(G+ L) G L. (2.15)Comefeito, sefafG L. Ent ao, f, x) =0, paratodox Ge f, y) =0,paratodoy L, ouseja, f, x +y)=0, paratodox Gey L, oqueimplicaquef (G+ L),provando(2.15). 2Corolario2.34SejamGeLsubespacosfechadosdeX. Entao,i)(G L) G + L.ii)(G L)= G+ L.72 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALDemonstracao: i) Temos,pela proposic ao 2.33,queGL = (G +L),donde,pelaproposic ao2.30,(G L)=_(G + L) G + L.ii)Analogamente,G L= (G +L),donde_G L_=_(G+ L)= G + L.22.5 OperadoresNaoLimitadosSejamEeFespacosdeBanach. DenominamosoperadorlinearnaolimitadodeEemF, atodaaplicacaolinearA: D(A) E F, denidasobreumsubespacovetorialD(A) E,comvaloresemF. OsubespacoD(A) editoodomniodeA.DizemosqueAelimitadoseexistirumaconstanteC>0talque [[Au[[F C [[u[[E,paratodou D(A).Observacao2.35Quando usamos a terminologia naolimitado, estamos entendendo queo operador A pode ser limitado ou nao. No caso em que A e limitado, entao, em virtude daproposicao 1.4,A e contnuo em D(A),com a topologia induzida por E. Isto signica quesexn xnoespacotopologico(D(A), [[[[E)entaoAxn Axem(F, [[[[F). Atencao,istonaoimplicaqueogracoG(A) sejafechadoemEF, ouequivalentementequeD(A)sejafechadoemE. ObservequenaotemosagarantiaqueD(A)sejaumespacodeBanachcomatopologiainduzidaporE. Emoutraspalavras, sexn xemE, comxn D(A),naotemosagarantiaqueolimitex D(A).Notacoes:GracodeA = G(A) = (u, Au) E F; u D(A),ImagemdeA = Im(A) = Au F; u D(A)N ucleodeA = N(A) = u D(A); Au = 0.Denicao2.36DizemosqueumoperadorA: D(A) E FefechadoseogracoG(A)forfechadoemE F.OPERADORESNAOLIMITADOS 73Lema2.37SeAefechado,entaoN(A)efechado.Demonstracao: De fato, seja x N(A). Ent ao, existe uma seq uencia xnnN N(A)tal quexn x, quandon +. Como xnnN N(A), temosqueAxn=0, paratodon N,e,consequentemente,Axn 0. Logo,(xn, Axn) (x, 0), com(xn, Axn) G(A).ComoG(A)efechado,temosque(x, 0) G(A),ouseja,Ax = 0,oqueimplicaquex N(A). 2Lema2.38SeD(A) = EentaoAefechadose,esomentese,Aecontnuo.Demonstracao: Aplicac aoimediatadoteoremadoGracoFechado. 2SeD(A) ,= E,Apodeserfechadoenaoserlimitado. Vejamosumexemplo.Exemplo: SejamE=F =C(0, 1) oespacodas funcoes contnuas em[0, 1], ambos,munidosdanormadosupremo. SejaD(A) = C1(0, 1)A : D(A) E F, f dfdt.Mostremos,inicialmente,queG(A)efechado. Comefeito,seja(x, y) G(A). Logo,existe (xn, Axn) G(A) tal que (xn, Axn) (x, y) em EF. Como, xnnN D(A)eAxn=dxndt,paracadan,temosquexn xemEedxndt yemF. Porumresultadobemconhecido, emfuncaodasconvergenciasseremuniformes, (veja, porexemplo[18]Teorema7.17)resultaquex ederivavele,alemdisso,dxdt= y. Logo,y=dxdt= Ax,oqueprovaqueA efechado.Noentanto,Anao elimitado. Defato,sejaxn= sennt, n N.Temosque xnnN D(A)e,alemdisso,ddt(sennt) = ncos nt.74 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALNotemosque[[xn[[E= [[sennt[[E=supt[0,1][sennt[ = 1, n 2_noteque2 [0, n], n 2_, e[[Axn[[F=supt[0,1][ncos nt[ = n, [noteque0 [0, n], paratodon 1] .Logo,[[A[[ = supxD(A);||x||1[[Ax[[F [[Axn[[ = n, paratodon N,deonderesultaqueAnao elimitado.Veremos, asseguir, queexistemoperadoresquesaolimitadosmasnaosaofechados.Basta, para isso, que o domnio D(A) nao seja fechado em E, conforme mostra a proximaproposic ao.Proposicao2.39SejamEeFespacosdeBanacheA:D(A) E Fumoperadorlimitado. Entao,Aefechadose,esomentese,D(A)efechado.Demonstracao: ()SuponhamosAfechado, istoe, queG(A)efechadoemEF.Sejax D(A)E. Ent ao, existe xnnN D(A) tal quexn xemE. ComoAelimitado,temosque AxnnNeumaseq uenciadeCauchyemFpois[[AxnAxm[[F= [[A(xnxm)[[F C [[xnxm[[E 0, quandom, n +,oqueimplicaque Axneconvergente, poisFeumespacodeBanach. Assim, existey FtalqueAxn yemF. Logo,(xn, Axn)nN G(A) e (xn, Axn) (x, y)emE F.ComoogracoG(A)efechado, resultaquedaconvergenciaacimaquex D(A)ey= Ax,oqueprovaqueD(A) efechado.() Reciprocamente, suponhamos que D(A) sejafechadoe consideremos (x, y) G(A). Entao, existe (xn, Axn)nN G(A)talquexn xeAxn y. Como xn D(A), e D(A) e fechado, resulta que x D(A) e, pela limitac ao de A vem que Axn Ax,jaque[[AxnAx[[F C[[xnx[[E 0, quandon +.Pelaunicidade dolimite emF resultaque y =Ax, e, portanto, (x, y)G(A),provandoqueG(A) = G(A),ouseja,queA efechado. Istoencerraaprova. 2OPERADORESNAOLIMITADOS 75Denicao2.40SejamEeFespacosdeBanach. UmoperadorlinearA : D(A) E Fedenominadofechavel seexistirumaextensaolinearfechadadeA.Exemplo: Consideremos E= F= C(0, 1) o espaco das funcoes contnuas em [0, 1] munidocomanormadosupremoeA : D(A) E FtalqueD(A) = p C(0, 1); p epolinomio, p Ap =dpdt.SejaB: D(B) E FtalqueD(B) = x C(0, 1); x ederivaveledxdt C(0, 1), eBx =dxdt.TemosqueBefechadopoisse(x, y) G(B),ent aoexiste xn, BxnnN G(B)talquexn xemEeBxn yemF. Comoaconvergenciaeuniforme, temosquexederivavel ey=dxdt. Alemdisso, como xn C1(0, 1)temosquex C1(0, 1), istoe,(x, y) G(B), o que prova que Be fechado. Como Bestende A, temos que A e fech avel.Teorema2.41SejamEeFespacosdeBanacheA: D(A) E Fumoperadorlinear. A e fechavel se, e somente se, a seguinte condicao e satisfeita: se xnnN D(A),xn 0emEeAxn yemFquandon +entaoy= 0.Demonstracao: () Como A e fech avel, existe B, extensao linear e fechada de A, istoe,D(A) D(B)eAx = Bx,paratodox D(A).Seja xn D(A) tal quexn 0eAxn y. Ent ao, xn D(B), xn 0eBxn y. ComoBelinearefechado,(0, y) D(B)e0 = B0 = y,ouseja,y= 0.()Temos, porhipotese, quese xn D(A)etal quexn 0eAxn y,entaoy= 0. QueremosmostrarqueA efech avel. Denamos:D( A) = x E; existe xnnN D(A)talquexn xeexiste limn+Axne,A : D( A) E F; x Ax = limn+Axn.NotemosinicialmentequeAestabemdenido. (2.16)Comefeito, sex D(A), existexn=x, paratodon N, tal quexn xemE.Logo, Axn=Axe, portanto, Axn AxemF, implicandoqueD(A) D( A). Sejam,76 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALagora,x D( A)e xnnN, ynnN D(A)taisquexn xeyn xemEeexistemos limites limn+Axne limn+Ayn. Ent ao, xn ynnND(A), pois D(A) esubespaco,(xnyn) 0,quandon +eexisteolimitelimn+A(xnyn) = limn+(AxnAyn) = limn+Axn limn+Ayn.Entao,porhipotese,limn+A(xnyn) = 0 limn+Axn= limn+Ayn,oqueprova(2.16).Observemosque eimediatoconcluirqueAelinear, (2.17)emvirtudedaspropriedadesdelimiteedalinearidadedeA.O ultimopasso eprovarqueA efechado. (2.18)Seja(x, y) G( A). Entao, existe (xn,Axn)nN G( A)tal quexn xemEeAxn yem F, quando n +. Ent ao, para cada n N, existe xnm D(A) tal quelimm+xnm= xneAxn= limm+Axnm. (2.19)Seja > 0dado. Dasconvergenciasacima,existen1 Ntalque[[xnx[[ 0,existem0 Ntalque[[fmf[[E < L, paratodom m0, ondeL = min_3M,3[[x[[_, sex ,= 0, (3.5)ou L =23M, sex = 0. (3.6)Poroutrolado,emvirtudedahipotese(ii),sejan0 Ntalque[fm0, xn) fm0, x)[ 0taisqueV= x E; [ fi, x x0) [ < , paratodoi I U.Consideremosasaplicac oesfi: E 1, x xi, ondex =n

i=1xiei, i = 1, , n.ATOPOLOGIA(E, E

) 105Ofatode e1, , enserumconjuntol.i. fazcomqueasfunc oesfiestejambemdenidas. Defato,Sex =n

i=1xiei=n

i=1yiei n

i=1(xiyi)ei= 0 xi= yi, i = 1, , n.Alemdisso,fi E

pois,paratodoi = 1, , n,[ fi, x) [ = [xi[ ([x1[ + +[xn[) C [[x[[E, paraalgumC> 0,ondea ultimadesigualdadevemdofatoqueemumespacodedimensaonitatodasasnormassaoequivalentes.Doexpostoacima,denamos,ent ao,I= 1, , n, = r/n,eV=_x E; [ fi, x x0) [ 0,umavizinhancaarbitrariadex0natopologia(E, E

). ProvaremosqueVB1(0), ouseja,Vnao esta contido na bolaB1(0). De fato,sejay0 Etal quey0 ,= 0 e fi, y0) = 0,paratodoi=1, , n. Observemosquetal y0existepois, casocontr ario, separatodoy0 E,y0 ,= 0tivessemos fi, y0) ,= 0,paraalgumi,aaplicac ao : E 1n, x (x) = (f1, x) , , fn, x))106 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALqueeclaramentelinear, seriainjetivapoison ucleode, N()= x E; (x)=0=0, e consequentemente um isomorsmo de E sobre (E) o que implicaria que dimE n,oque eumabsurdo(!),poisEtemdimensaoinnita,porhipotese.Notemosque(x0 +t y0) V, paratodot 1, (3.8)pois[ fi, (x0 + t y0) x0) [ = [t[ [ fi, y0) [ = 0 < , paratodoi = 1, , n.Noentanto,Existet 1talque(x0 + t y0)/ B1(0). (3.9)Comefeito,denamosafunc aog: 1 1+, t g(t) = [[x0 + t y0[[.Temos que ge contnua com g(0) = [[x0[[ < 1 e limt+g(t) = +. Logo,pelo TeoremadoValorIntermedi ario,existet0 1+0talqueg(t0) = 1,ouseja, [[x0 + t0y0[[ = 1e,assim,(x0 + t0y0) / B1(0),oqueprova(3.9). De(3.8)e(3.9)resultaqueV B1(0),oquenalizaaprova.2Observacao3.18Dademonstracaodaproposicaoanterior caprovadoque emtodoespacodedimensaoinnita, todavizinhancaV dex0 Enatopologiafraca(E, E

)contemumaretaquepassaporx0(veja(3.8)).&%'$

0x0

y0x0 +ty0Figura3.3: Avizinhancafracadopontox0contemaretax0 +t y0TOPOLOGIAFRACA,CONJUNTOSCONVEXOSEOPERADORESLINEARES 107Proposicao3.19SedimE=+, entaooconjuntoS= x E; [[x[[ =1naoefechadonatopologiafraca(E, E

). Maisprecisamente,temosqueS(E,E

)= x E; [[x[[ 1, (istoeS(E,E

),= S).Demonstracao: ProvaremosinicialmentequeS(E,E

) x E; [[x[[ 1. (3.10)Defato,sejax S(E,E

). Entao,existe xn Stalquexnx. Logo,daproposic ao3.12(iii),temos[[x[[ liminfn[[xn[[ com[[xn[[ = 1, paratodon N,oqueimplicaque [[x[[ 1provando(3.10).Resta-nosprovarquex E; [[x[[ 1 S(E,E

). (3.11)ClaramenteS S(E,E

). Seja, entao, x0 Etal que [[x0[[ 0e f1, , fnE

. Fixemos, comonademonstrac aodaproposic ao3.17,y0 Etal quey0 ,=0e fi, y0)=0, paratodoi =1, , n. Ent ao, conformevimosanteriormente,(x0 +t y0) V, paratodot 1,edenindo-se,comoantes,g: 1 1+, t g(t) = [[x0 + t y0[[,temos quegecontnuacomg(0) = [[x0[[ .Temosque(i) x0 V.(ii) V C= ,poissex Ctemosque f, x) < ,e,portanto,V EC.(iii) V eabertoem(E, E

)poisV=f1(], +[)ondef E

e], +[eumabertoem 1.Logo, ECe abertoem(E, E

) donde se conclui que Ce fechadoem(E, E

),conformequeramosdemonstrar.2TOPOLOGIAFRACA,CONJUNTOSCONVEXOSEOPERADORESLINEARES 109Corolario3.22SejamEumespacodeBanache xn Etal quexnx. Entao,existeumaseq uencia yndecombinacoesconvexasde xntal queyn xforte.Demonstracao: Denotaremosporconvxn =_m

i=1tixni; 0 ti 1,m

i=1ti= 1, xni xn_.Temosqueconvxneconvexoeportanto, convxn(natopologiaforte)tambemoe. Como convxn e fortemente fechado, resulta, pelo teorema anterior, que e fracamentefechado e portanto x convxn (posto que xn convxn convxn). Logo, existeyn convxntalqueyn xforte. 2Corolario3.23Seja: E] , +] umafuncaoconvexae s.c.i. natopologiaforte. Entao,es.c.i. natopologiafraca(E, E

). Emparticular,sexn xtemosque(x) liminfn(xn).Demonstracao: Lembremosqueoconjuntodenvelde edadoporN(, ) = x E; (x) .Temos que N(, ) e convexo, umavez que e convexae, alemdisso, e fechadonatopologiaforte pois e s.c.i. natopologiaforte. Logo, de acordocomolemma1.33(Resultado3),N(, ) efechadonatopologiaforteepeloteorema3.21resultaqueN(, ) efechadonatopologiafraca(E, E

). 2Observacao3.241)Efundamental noresultadoacimaquesejaconvexaparaqueosconjuntosdenvel N(, )sejamconvexos.2)Afuncao(x)= [[x[[ econvexaes.c.i. natopologiaforte(poisecontnuanatopologiaforte). Logo,es.c.i. natopologiafraca(E, E

). Emparticular,comojavimos,sexn xtemosque [[x[[ liminfn[[xn[[.Teorema3.25SejamEeFespacosdeBanacheTumoperadorlinearecontnuodeEemF. Entao, TecontnuoemE, ondeEestamunidodatopologiafraca(E, E

),emF,comFmunidodatopoliafraca(F, F

). Arecprocatambemeverdadeira.110 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALDemonstracao: SejaT: E FlinearecontnuoquandoEeFestaomunidosdatopologiaforte. Temos, de acordocomaproposic ao3.7, que T e contnuode EemF, comEeFmunidos datopologiafraca(E, E

) e(F, F

), respectivamente, se, esomentese,f T: E 1 econtnuoemEmunidodatopolgiafraca(E, E

),qualquerquesejaf F

. Poremaaplicacaox f, Tx) eumaformalinearecontnuasobreE,qualquerquesejaf F

. Assim,f T E

e,consequentemente,f TecontnuacomEmunidodatopologiafraca(E, E

)(notequenatopologiafracatodasasfuncoesdeE

saocontnuas).Reciprocamente,suponhamosqueT: E Felinearecontnuocomambos,EeF,munidos da topologia fraca. Entao,G(T) e fechado em E Fmunido da topologia fraca(EF, E

F

). ComooG(T)esubespaco, temosqueG(T)econvexoe, portanto,G(T)efechadonatopologiaforte(Teorema3.21). PeloTeoremadoGracoFechadoseconclui que Te contnuo de Eem Fcom ambos munidos da topologia forte. Isto encerraaprova.23.4 ATopologiaFraco (E/, E)SejaEumespacodeBanach,consideremosE

oseudualdotadodanormadual[[f[[E = supxE;||x||1[ f, x) [,esejaE

seubidual,ouseja,odualdeE

,dotadodanorma[[[[E = supfE

;||f||1[ , f) [.Lembremosdainjec aocanonicadenidanaproposicao1.48J: E E

, x Jx, Jx, f) = f, x) , paratodof E

eparatodox E.TemosqueJelinear,contnuaemaisainda,Jeumaisometriapois[[Jx[[E = supfE

;||f||E 1[ Jx, f) [ = supfE

;||f||E 1[ f, x) [ = [[x[[.Logo, Je um isomorsmo de Esobre o conjunto J(E) E

, o que permite identicarJ(E) = E.ATOPOLOGIAFRACO (E

, E) 111SobreE

podemosdenirasseguintestopologias:(i)Atopologiaforte,dadapelanormadeE

.(ii)Atopologiafraca(E

, E

), queeatopologiamaisgrossaparaaqual todasas E

saocontnuasemE

.(iii) A topologia fraca (E

, J(E)), que e a topologia mais grossa para a qual todas as J(E)saocontnuasemE

.ComoJ : E E

nos permiteaidenticac aodeEcomJ(E) eJx(f) = f, x),paratodaf E

, o tem(iii)acimaeequivalenteadizerquepodemosinduziremE

atopologiafraca(E

, E)que eatopologiamaisgrossaparaaqualasfunc oesJx,x E,saocontnuasemE

. Temos,ent ao,aseguintedenic ao.Denicao3.26Atopologiafraco , designadapor(E

, E), eatopologiamaisgrossasobreE

paraaqual todasasfuncoesJx, x E,saocontnuas.Observacao3.27Aterminologiafraco noslembraqueestamostrabalhandonoespa codual,designadoporE,naliteraturaamericana.Como E E

, resulta que a topologia (E

, E) e menos na que a topologia (E

, E

).Porsuavez,atopologia(E

, E

) emenosnadoqueatopologiaforteemE

Proposicao3.28Munidodatopologiafraco (E

, E),E

eumespacodeHausdor.Demonstracao: Sejamf1, f2 E

tais que f1 ,= f2. Ent ao, existe x E tal que f1, x) ,=f2, x). Suponhamos, semperdadageneralidade, que f1, x) < f2, x)econsideremos 1talque f1, x) < < f2, x). Denamos:U1= f E

; f, x) < = f E

; Jx, f) < = J1x(] , [)U2= f E

; f, x) > = f E

; Jx, f) > = J1x(], +[) .ComoJxecontnuae] , [ e], +[ saoabertosem 1, temosqueU1eU2saoabertosem(E

, E),U1 U2= ef1 U1ef2 U2. Istoconcluiaprova.2Proposicao3.29Se obtem uma base de vizinhancas de f0 E

para a topologia (E

, E)aoseconsiderartodososconjuntosdaformaV= f E

; [ f f0, xi) [ < , paratodoi I,112 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALondeIenito,xi Ee > 0.Demonstracao: Ademonstrac aoeanaloga`ademonstrac aodaproposicao3.10feitaparaatopologia(E, E

). 2Notacao: Dada uma sucessao fn E

,se designa porfn fa convergencia defn`a fnatopologiafraco (E

, E).Assim,fn f emE

[[fnf[[E 0,fn f em(E

, E

) , fn) , f) , paratodo E

,fn f em(E

, E) Jx, fn) Jx, f) , paratodox E.Proposicao3.30Seja fnumasucessaoemE

. Severica:(i)fn f em(E

, E) fn, x) f, x) , paratodox E.(ii)fn f forteemE

fn f em(E

, E

).fn f em(E

, E

) fn f em(E

, E).(iii)fn f em(E

, E),[[fn[[E elimitadae [[f[[E liminfn[[fn[[E .(iv)fn fem(E

, E) exn x forteemE, fn, xn) f, x) .Demonstracao: Analoga`ademonstracaodaproposicao3.12feitapara(E, E

). 2Observacao3.31QuandoEpossui dimensaonita, astrestopologiascoincidem, istoe,astopologiasforte,(E

, E

)e(E

, E)coincidem. Comefeito,sedimE= n,temosqueasaplicacoesI: E 1n, x (x1, , xn), ondex =n

i=1xieie,I: [1n] E, onde If, x) = f, (x1, , xn)) , comx Etal quex =n

i=1xiei,saoisomorsmos. Alemdisso, como[1n]=1neE=E, resultaqueI I eumisomorsmodeEemE

. Assim,dimE= dimE

= n. Demaneiraanaloga,conclumosATOPOLOGIAFRACO (E

, E) 113quedimE

= dimE

= n. Assim,dimE= dimE

= dimE

e,porconseguinte,J(E) =E

, ouseja, J: E E

esobrejetiva[notequepeloTeoremadoN ucleoedaImagemdimN(J) + dimIm(J) =dimE=n. ComoJ(x) =0se, esose, x=0, pois J einjetiva,entaodimN(J) = 0,e,conseq uentemente,dimIm(J) = n,istoe,J(E) = E

].Logo,(E

, E

) = (E

, E)e,como javimosqueastopologiasforteefracacoincidem emespacosdedimensaonita,segueodesejado.Lema3.32SejamXumespacovetorial e, 1, , nformas lineares sobreXquevericamacondicaoi(x) = 0; i = 1, , n (x) = 0, paratodox X. (3.12)Entao,existem1, , n 1taisque =

ni=1ii.Demonstracao: ConsideremosaaplicacaoF: X 1n+1dadaporF(x) = ((x), 1(x), , n(x)), x X.Dahipotese(3.12)conclumosquea = (1, 0, , 0) / Im(F). Assim,temosque aecompactoeIm(F)efechado, postoqueIm(F)eumsubespacode 1n+1. Logo, pela2aFormaGeometricadoTeoremadeHahn-Banach, existeumhiperplanode 1n+1queseparaestritamente aeIm(F),ouseja,existem, 1, , n 1e 1talque(, 1, , n), a) < < (, 1, , n), F(x)) , paratodox X,isto e, < < (x) +n

i=1ii(x), paratodox X.Como G(x) = (x) +

ni=1ii(x),x Xe uma forma linear sobre Xe < G(x),paratodox X,seguequeG(x) = 0,paratodox X,bemcomo< 0(vejaoinciodasec ao1). Assim,(x) +n

i=1ii(x) = 0, paratodox X.Sendo, paratodaf V ou , f) 0,dadesigualdadeacimainferimosque[ , g) [ < C, paratodag W. (3.16)ComoW= V f0eVeumavizinhancadef0natopologia(E

, E)resultaqueWeumavizinhancade0nestatopologia. Logo,de(3.16)edado>0,existeCW:=V0,vizinhancade0natopologia(E

, E)talque[ , f) [ =_,Cg_ =C[ , g) [ 0exi E,ouainda,V= g X; [ g g0, xi) [ < , i = 1, , n.Sejamx, y Ee > 0arbitrarioseconsideremosavizinhancaV= g X; [ g g0, z) [ 0)= x E; [gi, x x0)[ < , i = 1, , n M(ondegi E

e > 0)= V0 M, comV0 (E, E

).A recproca e analoga, o que prova que as topologias (M, M

) e (E, E

) Mcoinci-dem. Como BM= BEMe BEe Msao fechados na topologia forte de Evem que BMefechada na topologia forte de E. Alem disso, como BEe Msao convexos, resulta que BMeconvexa. Logo,emvirtudedoteorema3.21conclumosqueBMefechadanatopologiafraca(E, E

)deE. ComoBM BEeBEecompactanatopologiafraca(E, E

)(emvirtude da reexividade de E) e BMe a fechada, resulta que BMe compacta na topologiafraca(E, E

),ouequivalentemente,queBMecompactanatopologiafraca(M, M

).2Corolario3.44SejaEumespacode Banach. Ee reexivose, e somente se, E

ereexivo.Demonstracao: ()SejaEreexivo. Bastamostrar, emvirtudedoteorema3.41,queBE ecompactanatopologia(E

, E

). Porhipotese,J(E) = E

epeloTeoremadeESPAC OSREFLEXIVOS 127AlaoglutemosqueBE ecompactanatopologiafraco(E

, E)deE

. Como, atravesdoisomorsmoJ: E E

, identicamosEcomJ(E) E

, decorreque(E

, E) (E

, E

)e,portanto,BE ecompactanatopologia(E

, E

).()ConsideremosE

reexivo. PeloqueacabamosdeprovarE

ereexivo. Ar-mamosqueJ(E) esubespacofechadodeE

. (3.28)Comefeito, sejay J(E)||||E

. Ent ao, existe xnnN Etal queJxn yemE

fortemente. Logo, JxnnNedeCauchyemE

ecomo [[Jx[[E = [[x[[EresultaquexnnNedeCauchyemE. SendoEBanach, existex Etal quexn xfortementeemEe,pelacontinuidadedaaplicacaoJ,Jxn JxfortementeemE

. Pelaunicidadedolimiteconclumosquey= Jx J(E),oqueprovaodesejadoem(3.28). Assim,pelaproposic ao3.43deduzimosqueJ(E) ereexivo. ComoJ(E)seidenticacomEatravesdoisomorsmoJ,seguequeEereexivo,oqueconcluiaprova.2Corolario3.45SejamEumespacodeBanachreexivoeKumsubconjuntoconvexo,fechadoelimitadodeE. EntaoKecompactonatopologiafraca(E, E

).Demonstracao: Sendo Ereexivo temos, de acordo com o teorema 3.41 que a bola BEecompactanatopologiafraca(E, E

). Poroutrolado,comoKeconvexoefechadonatopologiafortedeEresulta, emvirtudedoteorema3.21queKefechadonatopologiafraca (E, E

). Como Ke limitado, existe m N tal que K mBE. Sendo Kfechado emBEecompactonatopologiafraca(E, E

)vemqueKecompactonatopologiafraca(E, E

). Istoencerraaprova. 2Teorema3.46SejamEumespacodeBanachreexivo, A Eumconjuntoconvexo,fechadoenaovazioe: A ] , +] umafuncaoconvexa, s.c.i., ,=+(naoidenticamente+)etal quelim||x||+, xA(x) = +(seAforlimitadoseomitetal hipotese).Entao,atingeseumnimoemA,ouseja,existex0 Atal que(x0) = minxA(x).128 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALDemonstracao: Pelofatode ,=+, existe a Atal que (a) =0 0 (x0) (x0 N(0, )). Logo,(x0) (x), paratodox A.Comox0 A,resultaque(x0) = minxA(x). Istoconcluiaprova.2Antes de enunciarmos o proximo resultado, relembremos o conceito de adjunto de umoperadorlinearnaolimitadointroduzidonasec ao2.6. SejamEeFespacosdeBanacheA: D(A) E FumoperadorlinearnaolimitadocomD(A)=E. Consideremosv F

talqueacomposicaov A eumaformalinearlimitada. ComoD(v A) = D(A),temos que v A e uma forma linear limitada com domnio denso em E. Assim, existe um unicoprolongamentofvdev AatodoE. DenamosD(A) = v F

; v Aelimitado ,A: D(A) F

E

,v Av= fv.ESPAC OSREFLEXIVOS 129Temos,ainda,arelac aodeadjunc aoAv, u) = v, Au) , paratodov D(A)eu D(A).SeD(A) = F

,podemosdenirAdaseguinteformaD(A) = E

; Aelimitado ,A: D(A) E

F

, A= f.TemosaindaqueA, v) = , Av) , paratodo D(A)ev D(A).Teorema3.47SejamEeFespacosdeBanachreexivoseA: D(A) E Fumoperadorlinear,naolimitado,fechadoecomD(A) = E. Entao:(i)D(A) edensoemF

.(ii)A= A.Demonstracao: (i) Paramostrar esteitemusaremos ocorolario1.29. Seja, entao, F

tal que , v)F

,F

=0, paratodov D(A) F

. ComoFereexivo, temosqueseidenticacomumelementodeFpeloisomorsmoJe, destaforma, podemosent aodizerque F. Logo, v, )F

,F= 0,paratodov D(A). Armamosque 0 emF. (3.30)De fato, suponhamos, por contradic ao, que ,= 0 (nao e identicamente nula). Ent ao oponto (0, )/ G(A) pois A0 = 0. Como G(A) e fechado, por hipotese, e G(A) e subspaco,(emvirtudedalinearidadedeA), existe, emdecorrenciada2aFormaGeometricadoTeoremadeHahn-Banach, umhiperplanofechadoemEFqueseparaestritamenteG(A)e (0, ),ouseja,existem(f, v) E

F

e 1taisquef, u) +v, Au) < < v, ) , paratodou D(A). (3.31)Denamos : G(A) E F 1(u, Au) (u, Au) = f, u) +v, Au) .130 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALComoeumaformalineardenidasobreG(A), queeumsubespacovetorial, etalque,emvirtudede(3.31),(u, Au) < ,ent ao, 0emG(A). Resultadaquef, u) = v, Au) , paratodou D(A)e0 < < v, ) .Dasrelac oesacimaconclumosquev D(A), Av= fe v, ) , =0, oqueeumacontradi caopois v, )F

,F= 0,paratodov D(A). Istoprova(3.30). Resultadaque 0emF

, ouainda, , v)F

,F

=0, paratodov F

, oqueprovaadensidadedeD(A)emF

.(ii)Pelo tem(i)fazsentidodenirmosA:D(A) E F, pois, pelareexivi-dade,E E

eF F

. Consideremosaaplicac aoJdenidaem(2.29)dadaporJ: F

E

E

F

; J([v, f]) = [f, v],eA : D(A) E FumoperadorlinearnaolimitadotalqueD(A) = E.Entao,J(G(A)) = G(A).Analogamente,emfunc aodareexividadeE E

eF F

,temosJ: E F F E; J([v, f]) = [f, v],e como A: D(A) F

E

e um operador linear nao limitado tal D(A) = F

podemosescreverJ(G(A)) = G(A).Alemdisso,[J(G(A))]=___[x, y] E F. .E

F

; [Av, v], [x, y]) = 0, paratodov D(A)___= [x, y] E F; Av, x) = v, y) , paratodov D(A) .Poroutrolado,G(A)= [x, y] F E; [Av, v], [x, y]) = 0, paratodov D(A) .ESPAC OSSEPARAVEIS 131Assim,[x, y] [J(G(A))][Av, v], [x, y]) = 0, paratodov D(A)Av, x) +v, y) = 0, paratodov D(A)[v, Av], [y, x]) = 0, paratodov D(A) [y, x] G(A) [x, y] J_G(A)_,oqueprovaque[J(G(A))]= J_G(A)_. (3.32)Porconseguinte,comoG(A) efechado,e,portantoG(A) = G(A) =_G(A),seguede(3.32)edasrelac oesacimaqueG(A) =_G(A)= [J(G(A))]= J_G(A)_= J J. .=I(G(A)) = G(A) = G(A).Portanto,D(A) = D(A)eA A,oqueconcluiaprova.23.6 EspacosSeparaveisDenicao3.48DizemosqueumespacotopologicoEeseparavelseexisteumconjuntoD Eenumeravel edensoemE.Equivalentemente, dizemosqueEeseparavel seexisteumaseq uencia xnnN Etalque xnnN= E.Saoexemplosdeespacosseparaveis: 1ou, maisgeralmente, 1npois n= 1n, paran=1, 2,. Umoutroexemplointeressanteeoespacodasfunc oescontnuasC(a, b)munido da norma do supremo pois, pelo teorema de Weirstrass, toda func ao contnua podeser aproximada por polinomios de coecientes reais e estes por polinomios de coecientesracionais.132 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALProposicao3.49TodoespacotopologicoXquesatisfacaao20AxiomadaEnumerabi-lidadeeseparavel.Demonstracao: SeXsatisfazao20AxiomadaEnumerabilidade, ent aoexisteumabaseenumer avel AnnNparaatopologiadeX(revejasecao3.1). Paracadan N,escolhamosan AnedenamosA = annN. ArmamosqueXA = . (3.33)Defato,suponhamos,porcontradicao,que(3.33)naoocorra. ComoXA eabertoeporser Anumabase,entao,paratodox XAexisteAnx Antalquex Anx XA. (3.34)Poroutrolado, comoA AeA (XA)= , resultaqueA (XA)= . Logo,an/ (XA), para todo n N e, portanto, An _ (XA), para todo n N, o que contraria(3.34)candoprovado(3.33). ResultadaqueA = X,oqueconcluiaprova.2Proposicao3.50SejaEumespacometricoseparavel. Entao, Esatisfazo20AxiomadaEnumerabilidade.Demonstracao: Seja xnnN E um subconjunto enumer avel e denso em E. Provare-mosque:Brn(xn); rn> 0taisquern , paratodon N (3.35)eumabaseparaafamliadeabertosdeE.Defato, sejamUumabertodeEex U. Ent ao, exister>0tal queBr(x) U.Seja com0 < < r. Entao,B(x) U. Como xnnN= E,existen Ntalquexn B/3(x). Assim,x B/3(xn) B2/3(xn). ArmamosqueB2/3(xn) B(x). (3.36)Comefeito,sejay B2/3(xn). Entao,d(y, xn) 0segueque [[f[[E0, ouseja, f =0, oqueprovaodesejado. Istoconcluiaprovadoteorema. 2Observacao3.54Notemos que a recproca do Teorema anterior nao e verdadeira, isto e,nao esempreverdadequeseEeseparavelentaoE

eseparavel. Porexemplo,considere-mososespacosLp(), 1n,aberto. TemosqueLp()eseparavel para1 p < +.Nademonstracaoutiliza-sequeC0()edensoemLp(), 1 p 0talqueU= f BE ; d(f, f0) < r V. (3.44)Podemos supor, sem perda da generalidade (de acordo com a proposic ao 3.29), que VedaformaV= f BE ; [ f f0, zi) [ < ; i = 1, , n, ondezi BEe > 0.Como xnnNedensoemBE,paracadai 1, , n,existeni Ntalque[[zixni[[E 0talque2ni+1r entaox+y2E< 1 .142 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALExemplo: ConsidereE= 12. Comanorma [[x[[2=([x1[2+[x2[2)1/2Eeuniforme-menteconvexoenquantoquecomanorma [[x[[1= [x1[ + [x2[ Enaoeuniformementeconvexo. PodemosnosconvencerdissoobservandoasgurasabaixoET&%'$ETFigura 3.5:`A esquerda bola unitaria de E para [[[[2 enquanto que `a direita bola unitaria paraa norma [[[[1.Teorema3.66(Milman) TodoespacodeBanachuniformementeconvexoereexivo.Demonstracao: Seja Eum espaco de Banach uniformemente convexo. Provaremos queE

J(E). Paraisso,bastamostrarmosqueBE = J(BE), (3.56)pois,de(3.56)resultaquemBE = J(mBE),paratodom Noqueimplicaodesejado.Entretanto, comoJ(BE)eumsubconjuntofechadodeE

, temosqueJ(BE)=J(BE).Resultadaede(3.56)que esucienteprovarmosqueJ(BE) edensoemBE , (3.57)ouseja,dados > 0e E

talque [[[[E 1,existex BEtalque [[Jx [[E .Podemossupor, semperdadageneralidadeque [[[[E =1, poiscaso0< [[[[E 0,existex BEtalqueJx [[[[E

E

[[Jx [[[[E [[E [[[[E < .Mas, Jx [[[[E = J([[[[E x) e como [[x[[E 1, ent ao [[[[E [[x[[E [[[[E < 1, o queimplicaquex=x [[[[E BE e, assim, dado>0e BE , existex BEtal que[[Jx [[E 0e BE com [[[[E = 1, existex BEtalque [[Jx [[E .(3.58)ESPAC OSUNIFORMEMENTECONVEXOS 143Defato,sejam > 0e E

talque [[[[E = 1. ComoEeuniformementeconvexo,para > 0dado,existe> 0talqueparatodosx, y BEe [[x y[[E> temosquex + y2E< 1 . (3.59)Poroutrolado,como[[[[E = supfE

, ||f||E =1[ , f) [,resultaque[[[[E 2< [ , f0) [, paraalgumf0 E

com [[f0[[E = 1. (3.60)SejaV= V (, /2, f0)umavizinhancafracadeem(E

, E

),ouseja,V= E

; [ , f0) [ < /2.Recordemos que olemade Goldstine nos garante que J(BE) e densoemBE natopologia(E

, E

)e, destaforma, paraavizinhancaV acima, existirax BEtal queJx V . Armamosque[[Jx [[ ,como queremos demonstrar em (3.58). Suponhamos o contr ario, isto e, que [[Jx[[ > .Isto implica que / B(Jx)E

= Jx+BE e, conseq uentemente, [E

(Jx+BE )] =W. PeloTeoremadeAlaoglutemosqueBE ecompactanatopologia(E

, E

)oqueimplicaqueJx + BE ecompactonatopologia(E

, E

)e, portantoefechadonestatopologia. Logo, Weabertonatopologia(E

, E

)eobviamenteWeumavizinhancade. Como We V resultaqueV W ,= alemdeV Wserumavizinhancafracade em(E

, E

). Novamente, pelolemadeGoldstine, existex BEtal queJx V W. Contudo,comoJx, Jx V ,resultaque_[ Jx, f0) , f0) [ < /2[ Jx, f0) , f0) [ < /2_[ f0, x) , f0) [ < /2[ f0, x) , f0) [ < /2,e,conseq uentemente,2[ , f0) [ < (/2 +[ f0, x) [) + (/2 +[ f0, x) [) = +[ f0, x + x) [.144 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALDadesigualdadeacimaobtemos[ , f0) [ 1 .DadesigualdadeacimaedofatodeEseruniformementeconvexoconclumosque[[x x[[E . (3.62)Poroutrolado,comoJeumaisometria,vemque[[x x[[E= [[J(x x)[[E = [[Jx Jx[[E .Mas,comoJx W,ent aoJx E

B(Jx)E

,oqueimplicaqueJx/ B(Jx)E

,e,conseq uentemente, [[Jx Jx[[E > . Seguedaedaidentidadeacimaque[[x x[[E> . (3.63)Logo, por(3.62)e(3.63)chegamosaumacontradic aocandoprovado(3.58). Istoconcluiaprovadoteorema.2Teorema3.67SejamEumespacodeBanachuniformementeconvexoe xnnNumaseq uencia de elementos de Etal que xn x na topologia fraca (E, E

) e limsupn[[xn[[E [[x[[E. Entaoxn xforte.Demonstracao: Suponhamosinicialmentequex=0. Comoxn0(fracamente),ent aodaproposic ao3.12(iii)resultaqueexisteC>0talque [[xn[[E Ce, alemdisso,0 liminfn[[xn[[E. Resultadaedahipoteseque0 liminfn[[xn[[E limsupn[[xn[[E 0,resultandoquexn 0fortementeemE.ESPAC OSUNIFORMEMENTECONVEXOS 145Consideremos,agora,x ,= 0edenamos,paracadan N,n= max[[xn[[E, [[x[[E.Evidentementen> 0,yn=xnne y=x[[x[[E.Temosquen [[x[[Equandon +. Armamosque:yn y fracamentequandon +. (3.64)Com efeito, como xn x fracamente, ent ao f, xn) f, x) para todo f E

e comon [[x[[Evemque1nf, xn) 1[[x[[Ef, x) paratodof E

,oqueprova(3.64). Denindozn=y, paratodon N, resultaobviamentequezn yquandon +e,portanto,zn y fracamentequandon +. (3.65)De(3.64)e(3.65)resultaqueyn +zn2 y fracamentequandon +,oqueimplica,tendoemmenteque [[zn[[E= [[y[[Eparatodon N,que[[y[[E liminfnyn + y2E.Mascomo [[y[[E=x||x||EE= 1,dadesigualdadeanteriorpodemosescrever1 liminfnyn + y2E. (3.66)Poroutrolado,notemosqueyn + y2E12([[yn[[E +[[y[[E. .=1) =12_[[xn[[En+ 1_,oqueimplicalimsupnyn + y2E12limsupn_[[xn[[En+ 1_=12_limsupn_[[xn[[En_+ 1_12(1 + 1) = 1,146 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALouseja,limsupnyn + y2E 1. (3.67)De(3.66)e(3.67)conclumosquelimn+yn + y2E= 1. (3.68)Provaremos,aseguir,que[[yny[[E 0 fortementequandon +, (3.69)ouseja, dado>0devemosexibirn0 Ntal que [[yn y[[E 0talque,sejaqualforon N,teremos [[yny[[E 0. Comoyn, y BE,pelaconvexidadeuniformedeEresultaqueexistira0> 0talqueyn + y2E< 1 0, paratodon N,oqueimplicaquelimn+yn +y2E 1 0< 1,oqueeumacontradi caoemvistade(3.68), candoprovado(3.69). Assim, de(3.69)edofatoquen [[x[[E,deduzimosque[[xnx[[E= [[x[[Exn[[x[[Ex[[x[[EE [[x[[E_xn[[x[[ExnnE+xnnx[[x[[EE_ [[x[[E__[[xn[[E. .elimitado_____1[[x[[E1n. .

0_____+[[yny[[E. .

0__0, quandon +.Istoconcluiaprova. 2Captulo4OsEspacosdeHilbertFigura4.1: Hilbert-Lions.DavidHilbert (1862-1943),`aesquerda. OtrabalhodeHilbertemGeometriateveumadasmaioresinuenciasnaareadepoisdeEuclides. UmestudosistematicodosaxiomasdaGeometriaEuclidianalevouHilbert apropor 21axiomas os quais eleanalisousuasignicancia. Eledeixoucontribuic oesemdiversasareasdaMatematicaedaFsica.Jacques-LouisLions (1928- 2001), `adireita, foi ummatematicoFrancesquefezcon-tribuic oesimportantesnateoriadeequac oesdiferenciaisparciaisecontroleestocastico,alemdeoutrasareas. ElerecebeuopremioSIAMsJohnVonNeumannem1986.147148 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONAL4.1 Denicao, Propriedades Elementares. ProjecaosobreumconvexofechadoDenicao4.1SejaHumespacovetorial real. Dizemosqueumaaplicacao(, ):H H 1eumprodutointerno(ouprodutoescalar),se,paratodou, v, w He, 1valemasseguintescondicoes: (a) (u +v, w) = (u, w) + (v, w), (b)(u, v + w) = (u, v) + (u, w), (c)(u, u) 0e(u, u) = 0 u = 0, (d) (u, v) = (v, u).DizemosqueH= (H, (, ))eumespacocomprodutointerno.Proposicao4.2SejaHumespacocomprodutointerno. Entao:(1)Paratodou, v H, [(u, u)[ (u, v)1/2(v, v)1/2.(2) Aaplicacaou [[u[[ =(u, u)1/2deneumanormaemH, queseraanormainduzidapeloprodutointerno(, ).(3)Paratodou, v H,valeaIdentidadedoParalelogramo:u + v22+u v22=12_[[u[[2+[[v[[2_.Demonstracao: (1)Sejam 1eu, v H. Temos0 (u v, u v) = 2(u, u) 2(u, v) + (v, v)= a2+ b + c = p(),ondea = (u, u),b = 2(u, v)ec = (v, v). Logo,p() 0 4(u, v)24(u, u)(v, u) 0 (u, v)2 (u, u)(v, v),e,portanto[(u, v)[ (u, u)1/2(v, v)1/2.PROJEC AOSOBREUMCONVEXOFECHADO 149(2)(a)Sejamu, v H. Temos,por(1)[[u + v[[2= (u + v, u +v) = (u, u) + 2(u, v) + (v, v) (u, u) + 2[[u[[ [[v[[ + (v, v)= [[u[[2+ 2[[u[[ [[v[[ +[[v[[2= ([[u[[ +[[v[[)2,deonderesultaque[[u + v[[2 ([[u[[ +[[v[[)2,oqueprovaadesigualdadetriangular.(b)Sejav H,comv ,= 0. Entao,(v, v) > 0 [[v[[ > 0.Obviamente. (v, v) = [[v[[2= 0 v= 0(c)Sejam 1eu H. Entao[[u[[2= (u, u) = 2(u, u),e,conseq uentementetem-se [[u[[ = [[ [[u[[.(3)Sejamu, v H. Temos:u +v22=_u +v2, u + v2_=14 [(u, u) + 2(u, v) + (v, v)] , (4.1)u v22=_u v2, u v2_=14 [(u, u) 2(u, v) + (v, v)] . (4.2)Somando(4.1)e(4.2)obtem-seu + v22+u v22=12_[[u[[2+[[v[[2_,oquemostraodesejadoeencerraaprova. 2Observacao4.3Em (1) obtemos a igualdade quando u = v, ou quando v= u. Ainda,usandoanormadenidaem(2),adesigualdadedadaem(1)podeserescritacomo[(u, v)[ [[u[[ [[v[[, paratodou, v H, (4.3)queeconhecidacomoDesigualdadedeCauchy-Schwarz.150 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALDenicao4.4UmespacodeHilberteumespacovetorial Hdotadodeumprodutoin-terno,tal queHeBanachrelativamente`anormainduzidapeloprodutointerno.Exemplo: OespacoL2(), ondeeumsubconjuntoabertode 1n, munidodoprodutointerno(f, g)L2()=_f(x)g(x) dx,eumespacodeHilbert.Proposicao4.5SejaHumespacodeHilbert comprodutointerno(, ) : HH1. Entao, Heuniformementeconvexoe, portanto, emvirtudedoteoremadeMilman(teorema3.66)ereexivo.Demonstracao: Sejamu, v He > 0taisque [[u[[H 1, [[v[[H 1e [[u v[[H> .Pelaidentidadedoparalelogramoobtidanoitem(3)daproposic ao4.2,resultaqueu + v22H= 1 u v22H< 1 24 .Tomando= 1 _1 24_1/2deduzimosqueu + v2H< 1 ,mostrandoqueHeuniformementeconvexo. 2Teorema4.6(Projecaosobreumconvexofechado) SejaKumsubconjuntocon-vexo, fechadoenaovaziodeumespacodeHilbert (H, (, )). Entao, paratodof H,existeum unicou Ktal que(i) [[f u[[ = minvK[[f v[[, istoe[[f u[[ [[f v[[, paratodov K.Alemdisso,usecaracterizapor(ii)_u K(f u, v u) 0, paratodov K.denotamosu = PKfaprojecaodefsobreK.PROJEC AOSOBREUMCONVEXOFECHADO 151Demonstracao: Dividiremosademonstracaoemtrespartes.(a)Existencia.Faremosduasdemonstrac oesparao tem(a). Aprimeiraeumademonstrac aomaisdiretaeasegundautilizandoosargumentosdaAnaliseFuncionalconvexa.Demonstracao1:Sef K, nadatemosafazer. Suponhamos, ent ao, quef / Keseja vnnNumaseq uenciaminimizantepara(i),isto e,dn= [[f vn[[ d =infvK[[v f[[,notandoqueo nmoexistepois [[f v[[ 0,paratodof Hev K.Armamosque:vnnNeumaseq uenciadeCauchyemH. (4.4)Defato,aplicandoaidentidadedoparalelogramoparaf vnef vm,obtemos(f vn) + (f vm)22+(f vn) (f vm)22=12[[f vn[[2+12[[f vm[[2,ouainda,f vn + vm22+vnvm22=12(d2n + d2m). (4.5)ComoKeconvexoevn, vm K,implicaquevm+vn2 Ke,portanto,f vn + vm22 d,ede(4.5)resultaquevnvm2212(d2n + d2m) d2 0, quandom, n +,oqueprova(4.4). SendoHumespacodeHilbertdeduzimosque vnnNeconvergenteparaumelementou H. Contudo, sendoKfechado, ecomo vnnN Kseguequevn u. Acontinuidadedanormaimplicaqued = [[f v[[.Demonstracao2:152 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALConsideremos,comoantes, vnnNumaseq uenciaminimizantepara(i),isto e,dn= [[f vn[[ d =infvK[[v f[[.A sucessao vnfnN e limitada, posto que e convergente. Resulta imediatamente quea seq uencia vnnN tambem o e. Sendo Hum espaco de Hilbert,e portanto reexivo (vejaproposic ao4.5). Resultada edoteorema3.63queexistemu Heumasubseq uenciade vnnN,queaindarepresentaremospelamesmanotacaotaisquevn u fracamenteemH vnf u f fracamenteemH.Entretanto, como vnnN KesendoKconvexo, astopologiasforteefracacoin-cidem(vejateorema3.21). ComoKefortementefechadoentaoefracamentefechadoeconseq uentementeu K.Resultadaconvergenciaacimaqueedaproposic ao3.12(iii)queexisteu Ktalque[[u f[[ liminfnN[[vnf[[ = d =infvK[[v f[[ [[v f[[, paratodov K,oqueprovaodesejado.Observacao4.7Umaoutraformadedemonstraraexistenciadoelementou Kveri-cando(i)seriadenirmososeguintefuncional: : K K, (v) = [[v f[[.Nao edifcilprovarque efortementecontnuo,convexoecoercivo,ouseja,vericaacondicao:limvK,||v||+(v) = +.Quando Kfor limitado omite-se a condicao acima. Entao aplicando-se o teorema 3.46tem-seodesejado. Deixamosaoleitoravericacaodefal fato.(b)Equivalenciaentre(i)e(ii).(i) (2).Suponhamosqueexistau Kqueverica[[f u[[ [[f v[[, paratodov K.PROJEC AOSOBREUMCONVEXOFECHADO 153Tomemosv Ke (0, 1]. Logo,w= (1 )u + v Kedadesigualdadeacimaresultaque[[f u[[ [[f [(1 )u +v][[= [[(f u) (v u)[[,oqueimplicaque[[f u[[2 [[(f u) (v u)[[2= [[f u[[22(f u, v u) + 2[[v u[[2,ouseja,2(f u, v u) [[v u[[2.Fazendo 0nadesigualdadeacimaobtemos(f u, v u) 0, paratodov K,obtendo(ii).(ii) (i).Reciprocamente,suponhamosqueexistau Ktalque(f u, v u) 0, paratodov K.Sejav K. Entao,dadesigualdadeacimapodemosescrever2(f u, v u) 0 [[v u[[2, paratodov K.Daresultaque[[f u[[2+ 2(f u, v u) [[v u[[2+[[f u[[2, paratodov K,ouseja,[[f u[[2 [[(v u) (f u)[[2= [[v f[[2, paratodov K,oquemostra(i).(c)Unicidade.154 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALSejamu1, u2 Kvericando(ii). Ent ao,(f u1, v u1) 0 paratodov K, (4.6)(f u2, v u2) 0 paratodov K. (4.7)Fazendov= u2em(4.6)ev= u1em(4.7)obtemos(f u1, u2u1) + (f u2, u1u1) 0,ouainda,eliminandoostermosiguais,vemque(u1, u1u2) (u2, u1u2) 0,isto e(u1u2, u1u2) 0 [[u1u2[[2 0,deonderesultaqueu1= u2,oqueprovaaunicidadeeencerraademonstrac ao.2Proposicao4.8SejaKumsubconjuntoconvexo,fechadoenaovaziodeumespacodeHilbertH. Entao,[[PKf1PKf2[[ [[f1f2[[, paratodof1, f2 H.Emoutraspalavras,aprojecaoPK: H Keuniformementecontnua.Demonstracao: Vimos,de acordo com o teorema 4.6,que para cadaf H,existe um unicou Ktalque[[f u[[ = minvK[[f v[[, ouequivalentemente,(f u, v u) 0, paratodov K,candobemdenidaaaplicacaoPK: H Kf PK(f) = u.Sejamf1, f2 H. Doexostoacimaresultaque(f1Pkf1, v PKf1) 0, paratodov K,(f2Pkf2, v PKf2) 0, paratodov K.PROJEC AOSOBREUMCONVEXOFECHADO 155Fazendo v= PKf2 na primeira desigualdade acima e v= PKf1 na segunda, e, somandomembroamembro,inferimos(f1Pkf1, PKf2PKf1) + (f2PKf2, PKf1PKf2) 0, paratodov K.Desta ultimadesigualdaderesultaque(PKf1PKf2, PKf1PKf2) (f1f2, PKf1PKf2) ,oqueimplica,emvirtudedadesigualdadedecauchy-Schwarz,[[PKf1PKf2[[2 [[f1f2[[ [[PKf1PKf2[[.Se [[PKf1PKf2[[ ,= 0,ent ao[[PKf1PKf2[[ [[f1f2[[.Agora,se [[PKf1 PKf2[[ = 0,adesigualdadeaserprovadaseguetrivialmente. Istoconcluiaprova.2Corolario4.9SejamMumsubespacovetorial fechadodeumespacodeHilbert Hef H. Entao,u = PMfsecaracterizapor_Existeum unicou Mtal que(f u, v) = 0, paratodov M.Alemdisso,PMeumoperadorlinear.Demonstracao: Sejaf M. Sabemosqueexisteum unicoelementou Mtalque(f u, v) 0, paratodov M.SendoMsubespaco,emparticular,para v Mtemos(f u, v) 0 (f u, v) 0, paratodov M,deondeconclumosque(f u, v) = 0 paratodov M.156 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALResta-nosprovarquePM: H Mf PM(f) = uelinear. Defato,sejamf1, f2 M. Provaremos,primeiramentequePM(f1 + f2) = PM(f1) + PM(f2). (4.8)Comefeito,denotemosf= f1 + f2. Sabemosque:Existeum unicou1= PM(f1)talque (f1u1, v) = 0, paratodov M. (4.9)Existeum unicou2= PM(f2)talque (f2u2, v) = 0, paratodov M.(4.10)Existeum unicou = PM(f)talque (f u, v) = 0, paratodov M. (4.11)De(4.9)e(4.10)obtemos(f (u1 + u2), v) = 0, paratodov M, (4.12)ede(4.11)e(4.12)resultaque(u1 + u2, v) = (u, v) , paratodov M,ouseja,(u1 + u2u, v) = 0, paratodov M.Tomandov=(u1 + u2 u) M, poisMesubespaco, daidentidadeacimaresultaque [[u1 +u2u[[2= 0, o que implica que u = u1 +u2, o que prova (4.8). Analogamente,dadof Me 1prova-sequePM(f) = PM(f).24.2 TeoremadaRepresentacaodeRiesz-Frechet.Teorema4.10(TeoremadaRepresentacaodeRiesz-Frechet) SejaHumespacodeHilbertcomprodutointerno(, )enorma [[[[. Dado H

,existeum unicof Htal que, v)H

,H= (f, v), paratodov H.OTEOREMADAREPRESENTAC AODERIESZ-FRECHET 157Alemdisso,[[f[[ = [[[[H .Demonstracao: ConsideremosaseguinteaplicacaoT: H H

(4.13)f Tf,denidaporTf, v)H

,H= (f, v), paratodov H. (4.14)Tf: H 1 eclaramentelinearecontnuapoisde(4.14)obtemosTf, v)H

,H [[f[[ [[v[[, paratodov H,oqueimplicaqueTf H

. Assim,T: H H

estabemdenidaeelinearpoisdadosf, g, v He, 1,temosT(f+g), v) = (f+ g, v) = (f, v) + (g, v)= Tf, v) + Tg, v) = Tf+ Tg) ,oqueimplicaqueT(f+ g)=Tf+ TgprovandoalinearidadedeT. Aseguir,provaremosque[[Tf[[H = [[f[[, paratodof H. (4.15)Defato,dadosf, v Hde(4.14)vemque[ Tf, v) [ [[f[[ [[v[[ [[Tf[[H [[f[[. (4.16)Poroutrolado,notemosquesef ,= 0(enaoidenticamentenula),entao[[f[[2= (f, f) = Tf, f) =_Tf,f[[f[[_ [[f[[ supvH,||v||1[ Tf, v) [ = [[f[[ [[Tf[[H ,ouseja,[[f[[ [[Tf[[H . (4.17)158 INTRODUC AO`AANALISEFUNCIONALObservequesef= 0adesigualdade(4.17)seguetrivialmente. Combinando(4.16)e(4.17)obtemosodesejadoem(4.15). Assim, aaplicacaoT: H H

eumaaplicacaolinearisometrica,portantoinjetora. Resta-nosprovarqueTH= H

, (4.18)isto e,Tesobrejetora. Comefeito,armamosqueTH eumsubespacofechadodeH

, (4.19)poisse TvN THetalqueTv wemH

,ent ao,pelofatode[[v v[[ = [[Tv Tv[[H 0 quando, +,seguequeaseq uencia vNedeCauchyemHeportantoeconvergente, digamos,existev Htalquev vemH. PelacontinuidadedaaplicacaoT:H H

resultaqueTvTv emH

e, portanto, faceaunicidadedolimiteemH

conclumos quew = Tv TH,oqueprova(4.19). Logo,semostrarmosqueTH edensoemH

, (4.20)ent ao, por (4.19) e (4.20) resulta que TH= TH= H

, ou seja, TH= H

, cando provado(