análise espectral de movimentos do mercado financeiro: três ... · o estudo do comportamento do...
TRANSCRIPT
Análise espectral de movimentos do mercado financeiro: três
experimentos sobre os mercados de ações e juros
Sérgio Soares Tigre
COPPEAD – UFRJ – Mestrado
Cláudio Contador, Ph.D.
Rio de Janeiro
Setembro 1999
ii
ANÁLISE ESPECTRAL DE MOVIMENTOS DO MERCADO FINANCEIRO: três
experimentos sobre os mercados de ações e juros
Sérgio Soares Tigre
Dissertação submetida ao corpo docente do Instituto de Pós-Graduação e Pesquisa
em Administração – COPPEAD, da Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ,
como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre.
Aprovada por:
-------------------------------------------------------------------Prof. Cláudio Contador, COPPEAD/UFRJ, Ph.D. – Orientador
-------------------------------------------------------------------Prof. Ricardo Leal, COPPEAD/UFRJ, D.Sc.
-------------------------------------------------------------------Prof. Basilio de Bragança Pereira, NESC/UFRJ, Ph.D.
Rio de Janeiro
1999
iii
Tigre, Sérgio Soares
Análise espectral de movimentos do
mercado financeiro: três experimentos
sobre os mercados de ações e juros /
Sérgio Soares Tigre. Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPEAD, 1999.
x, 84p. il.
Dissertação – Universidade Federal do
Rio de Janeiro, COPPEAD.
1. Análise espectral. 2. Eficiência de
mercado. 3. Tese (Mestr. –
UFRJ/COPPEAD). I. Título.
iv
À minha esposa,
pais, irmãos, e
amigos.
v
Agradecimentos
Agradeço, em primeiro lugar, ao meu orientador, Professor Cláudio Contador, pelo
apoio e incentivo para realização deste trabalho.
Agradeço principalmente à minha esposa, que esteve ao meu lado nos momentos
difíceis, assim como nos de grande alegria.
Agradeço aos meus pais, que me deram a melhor formação possível , à custa de
grande sacrifício pessoal. Ainda mais, me educaram com valores éticos e morais,
que sempre me servirão de guia.
Agradeço finalmente a todo corpo de professores e funcionários da COPPEAD, que
me ofereceram nestes dois anos não apenas uma instituição de alto padrão, com
qualidade excelente em todos os serviços que oferece, mas também um ambiente
acolhedor e amigável.
vi
Resumo
TIGRE, Sérgio Soares. Análise espectral de movimentos do mercado
financeiro: três experimentos sobre os mercados de ações e juros.
Orientador: Prof. Cláudio Contador. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 1999. Diss.
Neste trabalho são realizados três experimentos sobre os mercados de ações e
juros, utilizando técnicas da análise espectral.
O primeiro é um teste de eficiência de mercado na forma fraca. Neste teste, são
avaliados os mercados de ações de quatro países: Estados Unidos, Brasil, Argentina
e Chile. Para cada mercado é traçado o espectro de retornos, com o objetivo de
verificar se ele corresponde ao ruído branco, conforme previsto pela hipótese de
caminho aleatório.
O segundo é uma avaliação da inter-relação entre os mercados de juros e ações no
Brasil. Aqui são utilizadas ferramentas da análise espectral bivariada, com o
objetivo de identificar coerência significativa entre as duas séries temporais no
domínio da frequência.
O terceiro é uma avaliação da interdependência entre mercados nacionais – os
mesmos mercados do teste de eficiência. Agora, é avaliada a coerência espectral
entre as séries, duas a duas. O objetivo é avaliar o nível de correlação por
frequência, assim como identificar possíveis relações de antecedência ou retardo,
através do espectro de fase.
vii
Abstract
TIGRE, Sérgio Soares. Análise espectral de movimentos do mercado
financeiro: três experimentos sobre os mercados de ações e juros.
Orientador: Prof. Cláudio Contador. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 1999. Diss.
This work presents three statistical tests over the stock and money markets, using
spectral analysis.
The first is a market efficiency test (efficiency in weak form). Four stock markets
are evaluated: USA, Brazil, Argentina, and Chile. For each market the power
spectrum is derived, in order to verify if it is similar to white noise spectrum, as it is
expected according to the random walk hypothesis.
The second is an analysis of the relation between the Brazilian stock and money
markets. Here bivariate spectral analysis tools are employed, and the purpose is to
identify high level of spectral coherence between the two time series.
The third is an evaluation of the interdependence among four national stock
markets – the same of the efficiency test. Now, the coherence spectrum is derived,
in order to evaluate the level of interrelationship in frequency domain. The phase
spectrum is also derived, to identify possible lead and lag relations.
viii
Glossário de Símbolos
Símbolo Nome ou Significado
{ X(t), t ∈ T } Série temporal
T Número de dados da série
µ Média da série
σ2 Variância
f Frequência
w Frequência angular
A Amplitude
φ Fase
α, β Coeficientes da Fourier
γ Função de autocovariância
)( kc Função de autocovariância amostral
ρ Função de autocorrelação
)( kr Função de autocorrelação amostral
)( wI Periodograma de Schuster
)( ),( fpwp Função de densidade espectral
)( ' ),( ' fpwp Espectro de potências ou espectro
)( ˆ ),( ˆ jj fpwp Densidade espectral da amostra
)( 'ˆ ),( 'ˆ jj fpwp Espectro da amostra
λk Peso da janela de retardo
ν Graus de liberdade
)( wC Coerência espectral
)( wG Espectro de ganho
ix
SUMÁRIO
1 O PROBLEMA........................................................................................... 1
1.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 1
1.2 OBJETIVOS ............................................................................................. 2
1.3 HIPÓTESES ............................................................................................. 3
1.4 DELIMITAÇÃO .......................................................................................... 4
1.5 RELEVÂNCIA ............................................................................................ 5
1.6 DEFINIÇÃO DOS TERMOS ............................................................................. 5
2 REFERENCIAL TEÓRICO ........................................................................... 6
2.1 BREVE HISTÓRICO..................................................................................... 6
2.2 UMA ABORDAGEM SIMPLES ........................................................................... 7
2.3 PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA A TEORIA ATUAL..............................................10
2.4 POR QUE ANÁLISE ESPECTRAL ? ....................................................................12
2.5 ANÁLISE ESPECTRAL UNIVARIADA..................................................................15
2.6 ALIASING E LEAKAGE.................................................................................18
2.7 ESTIMAÇÃO ESPECTRAL ..............................................................................22
2.8 EXTENSÃO PARA DUAS SÉRIES ......................................................................24
2.9 ANÁLISE ESPECTRAL BIVARIADA....................................................................29
3 METODOLOGIA ...................................................................................... 31
3.1 TIPO DE PESQUISA....................................................................................31
3.2 UNIVERSO E AMOSTRA ...............................................................................31
3.3 COLETA DE DADOS ...................................................................................31
3.4 TRATAMENTO DOS DADOS ...........................................................................31
3.5 INTERVALOS DE CONFIANÇA.........................................................................33
3.6 NORMALIDADE DOS RETORNOS .....................................................................34
3.7 LIMITAÇÕES DO MÉTODO ............................................................................38
x
3.8 EFICIÊNCIA DE MERCADO ............................................................................40
3.9 INTERDEPENDÊNCIA ENTRE MERCADOS ............................................................41
4 RESULTADOS ......................................................................................... 42
4.1 EXPERIMENTO 1 – TESTE DE EFICIÊNCIA..........................................................42
4.2 EXPERIMENTO 2 – COERÊNCIA “CDI X IBOVESPA”..............................................51
4.3 EXPERIMENTO 3 – COERÊNCIA: DOW, IBOVESPA, MERVAL, IPSA ............................55
5 CONCLUSÕES ......................................................................................... 62
6 SUGESTÕES PARA NOVOS TRABALHOS .................................................. 63
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................... 64
ANEXO I – EFEITO DO PONTO DE TRUNCAMENTO..................................... 68
ANEXO II – EXTENSÃO DA ANÁLISE “IBOVESPA X CDI” .......................... 73
ANEXO III – RESULTADOS DO IBOVESPA ................................................. 78
1
1 O Problema
1.1 Introdução
O estudo do comportamento do mercado de ativos financeiros tem atraído atenção
crescente de pesquisadores em todo o mundo, cujo interesse é compreender os
fenômenos que o influenciam.
Entre as ferramentas utilizadas neste esforço está a análise espectral, desenvolvida
inicialmente para a compreensão de fenômenos naturais de natureza cíclica, como
na astronomia e meteorologia, e mais tarde aplicada também no campo das
ciências sociais.
Este método se destaca das demais ferramentas econométricas pela transformação
de variáveis que permite avaliar o conteúdo informacional de séries históricas não
mais no domínio do tempo, mas sim no domínio da frequência. Esta abordagem é
especialmente útil no caso de variáveis que apresentam comportamento recorrente
ou cíclico, ou cujo comportamento pode ser descrito como uma soma de
componentes cíclicos. Neste caso, a análise espectral permite identificar estes
componentes individualmente, inclusive indicando a fração da variância total da
série que pode ser atribuída a cada um deles.
De forma análoga, a análise espectral bivariada permite uma avaliação da
correlação entre duas variáveis por componente de frequência. Assim, duas
variáveis fracamente correlacionadas no domínio do tempo podem ter correlação
significativa em uma frequência específica. Além disso, este tipo de análise fornece
informações interessantes no que se refere aos fenômenos de antecedência e
atraso, através da avaliação do espectro de fase. Isto pode ser particularmente útil
no estudo da integração de mercados.
Este trabalho se propõe a fazer uso destas ferramentas para demonstrar a
aplicabilidade da análise espectral na área de finanças, com a realização de três
experimentos com o mercado financeiro: um teste de eficiência de mercado (na
forma fraca); um estudo sobre a correlação entre os mercados de ações e juros no
Brasil; e uma avaliação da coerência entre alguns mercados da América Latina.
O trabalho não ambiciona sustentar ou refutar hipóteses sobre ou assuntos
abordados nos experimentos. Trata-se apenas de um exercício econométrico que
objetiva fazer uma ilustração do método espectral aplicado à finanças.
2
1.2 Objetivos
O objetivo deste trabalho é desenvolver exemplos de aplicação das ferramentas de
análise espectral na área de finanças.
Serão realizados três experimentos para ilustrar a aplicação do método. O primeiro
trata de eficiência de mercado na forma fraca. O segundo trata da relação entre os
mercados de ações e juros no Brasil. Finalmente, o terceiro trata da avaliação da
interdependência entre mercados.
Uma das aplicações dos métodos econométricos é avaliar se as variações futuras de
preços podem ser previstas em função dos valores históricos. Esta característica é
utilizada para avaliar o grau de eficiência de um mercado. Assim, um mercado é
dito eficiente na forma fraca se não for possível prever preços futuros com base
apenas em preços passados. Diz-se então que o preço atual de qualquer ativo já
incorpora todo conteúdo informacional da série histórica.
Da mesma forma, um mercado é considerado eficiente na forma semiforte quando
os preços refletirem não apenas os dados históricos, mas também toda informação
pública disponível sobre o ativo. Finalmente, um mercado é considerado eficiente
na forma forte quando toda informação – dados históricos, informação pública e
informação não pública (inside information) – já estiver incorporada ao preço. Este
assunto é discutido em profundidade em diversos textos sobre finanças.
O primeiro experimento avalia 4 índices quanto à eficiência de mercado na forma
fraca utilizando ferramentas da análise espectral univariada (especificamente o
espectro de potência). Os índices são: Dow Jones Composite, Ibovespa, Merval
(Argentina), e Ipsa (Chile). Para isto são utilizados dados de retornos diários, no
período entre 03 de janeiro de 1995 e 29 de abril de 1999.
O segundo experimento avalia a relação entre os mercados de juros e ações no
Brasil fazendo uso dos recursos da análise espectral bivariada (especificamente a
coerência). A variável escolhida para representar o comportamento do mercado de
juros foi o retorno diário do CDI over.
Existe atualmente um interesse crescente na avaliação da correlação entre os
mercados financeiros internacionais. A análise espectral oferece ferramentas para
esta avaliação. O terceiro experimento avalia o nível de inter-relação entre os
índices de ações citados anteriormente, dois a dois. Para tanto, novamente serão
utilizados os recursos da análise espectral bivariada (especificamente a coerência, o
espectro de ganho, e o espectro de fase).
3
1.3 Hipóteses
Os experimentos em questão neste trabalho são testes de hipótese. São
procedimentos estatísticos que tem por objetivo avaliar uma hipótese básica com
as informações disponíveis nos dados amostrais. Esta hipótese, a ser rejeitada ou
não pelo resultado do teste de hipótese, é chamada hipótese nula.
Quanto ao primeiro objetivo, referente ao teste de eficiência fraca, a hipótese nula
é: “os mercados em questão são eficientes na forma fraca”. No domínio da
frequência, esta hipótese pode ser traduzida por espectros correspondentes ao
ruído branco.
Alguns estudos recentes indicam que nem mesmo o mercado americano,
considerado o mais eficiente do mundo, é perfeitamente eficiente no que diz
respeito à precificação, permitindo ganhos sistemáticos pelo uso da análise técnica.
Estes ganhos são, no entanto, de pequena grandeza, e frequentemente menores
que os custos de transação envolvidos (FABOZZI, 1994).
Quanto ao relacionamento entre os mercados de juros e ações, a expectativa é de
correlação significativa, pois é natural que os investidores migrem para o mercado
de ações em períodos de juros baixos, e retornem para o mercado de juros em
períodos de juros altos, tudo o mais constante (CONTADOR, 1981). A hipótese nula
nos testes estatísticos seria “os dois mercados não tem correlação significativa” no
domínio do tempo, o que se traduziria para “a coerência espectral não é
significativamente diferente de zero em nenhuma frequência” na análise espectral.
No que se refere à questão da correlação entre mercados internacionais, existe
uma tendência de gradual integração dos mercados, em função da formação de
blocos econômicos, da globalização dos mercados e da eliminação de restrições ao
movimento de capitais. O período de análise (1995-1999) é bastante recente, e
espera-se que os resultados reflitam esta tendência.
Os testes de hipótese têm como hipótese nula: “os dois mercados não tem
correlação significativa”, o que pode ser entendido no domínio da frequência como:
“a coerência espectral não é significativamente diferente de zero em nenhuma
frequência” .
4
1.4 Delimitação
O período estudado vai de 03 de janeiro de 1995 até 29 de abril de 1999.
As séries de dados estudadas são as de retorno diário dos índices Dow Jones,
Ibovespa, Merval, Ipsa, e da taxa de juros CDI - conforme disponíveis no banco de
dados “Economática” .
Evolução - $100 em jan 1995
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
400.0
Jan-
95
Mar
-95
May
-95
Jul-9
5
Sep-
95
Nov
-95
Jan-
96
Mar
-96
May
-96
Jul-9
6
Sep-
96
Nov
-96
Jan-
97
Mar
-97
May
-97
Jul-9
7
Sep-
97
Nov
-97
Jan-
98
Mar
-98
May
-98
Jul-9
8
Sep-
98
Nov
-98
Jan-
99
Mar
-99
Dow
Ibovespa
Merval
IPSA
CDI
Não está no escopo deste trabalho discutir os fatores que influenciam a eficiência
de mercado, ou a integração de mercados, ou a relação entre os mercados de juros
e de ações. Apenas realizar testes estatísticos para avaliar a situação de alguns
mercados quanto a estes fenômenos. Mais ainda, não se pretende realizar todos os
testes possíveis, mas apenas utilizar as ferramentas da análise espectral.
O trabalho não ambiciona sustentar ou refutar as hipóteses aqui testadas. Cada um
dos temas abordados nos experimentos compreende uma área de pesquisa vasta e
rica, cujo referencial teórico não foi estudado. Este trabalho apenas ilustra a
aplicação do método espectral.
Crise da Asia
Crise da RússiaCrise cambial
5
1.5 Relevância
A relevância deste trabalho está em divulgar na área de finanças um método
consagrado e largamente utilizado em diversas ciências, como a medicina,
telecomunicações e geografia. São ferramentas poderosas que são raramente
utilizadas na administração de empresas, e que tem grande potencial para
contribuir nos processo de solução de problemas.
1.6 Definição dos termos
As expressões matemáticas e a nomenclatura utilizadas estão descritos no item
“referencial teórico” , mais a frente.
6
2 Referencial Teórico
2.1 Breve Histórico
Os astrônomos são considerados os primeiros a realizar análises de séries
temporais, apesar de algumas séries de dados meteorológicos e geofísicos terem
sido discutidas na metade do século XIX. Desde o princípio ficou claro para os
cientistas que a maioria das séries provenientes das ciências naturais não eram
apenas seqüências de dados independentes. Elas eram muito “suaves” para serem
independentes, ou seja, as oscilações entre valores consecutivos não eram
suficientemente abruptas. A característica mais óbvia destas séries eram as
flutuações constantes com período definido, como os ciclos de onze anos nos
padrões de manchas solares ou o ciclo anual das séries meteorológicas. Isto
alimentou a idéia de que o comportamento “suave” de qualquer série era devido a
presença de uma função periódica inerente. Foi percebido que quando se
conseguisse identificar esta função, e a subtrair dos dados reais, o restante seria
uma série de resíduos aleatórios independentes. O matemático Italiano Joseph
Louis Lagrange foi o primeiro a propor um método para identificação destas funções
periódicas, em 1772. Outras contribuições importantes foram dadas por Buys-
Ballot, em 1847 (avaliando séries meteorológicas) e Stokes, em 1879. Em 1898, Sir
Arthur Schuster propôs o método que se tornou mais conhecido, o periodograma.
Nele, um gráfico mostra a contribuição de cada freqüência para a variância total da
série. Os métodos utilizados na análise espectral evoluíram destes trabalhos, e
baseiam-se no estudo de séries no domínio da freqüência (em oposição ao domínio
do tempo). Grandes avanços foram realizados no século XX, principalmente após a
chegada dos primeiros computadores de grande porte, nas décadas de 50 e 60.
Com eles, foi superado o maior obstáculo encontrado pelos precursores do século
XIX: a enorme quantidade de cálculos necessários para o processamento dos dados
(GRANGER e HATANAKA, 1964).
7
2.2 Uma abordagem simples
Para descrever o principio fundamental da análise espectral, frequentemente se faz
uso de uma analogia com o rádio.
Considere toda potência sonora proveniente de uma banda de frequência bastante
larga no rádio. Se houvesse um instrumento capaz de transformar todo o ruído
contido na banda em sons compreensíveis para o ouvido humano, a cacofonia
resultante iria se parecer com o tipo de série temporal que se tenta analisar aqui.
Ela é constituída de vários componentes, cada um deles distinto, e cujas
propriedades se tenta avaliar. Assim como o ouvido humano pode filtrar sons e
concentrar a atenção em uma voz particular, um rádio pode “focar” em uma
determinada frequência. É certo que qualquer um já brincou com o dial do rádio,
pulando de uma estação para outra, e esta experiência tem tudo a ver com a
análise espectral.
Suponha que exista um rádio que ao invés do som, ofereça a potência sonora da
frequência em que estiver. Este dispositivo, de fato, tem a capacidade de ouvir
cada frequência ignorando o som (ruído) contido em todas as outras. Se este rádio
fosse ligado às três da manhã, quando nenhuma estação está operando, ele não
registraria zero, mas uma quantidade pequena de potência, constante ao longo do
dial. Ela é usualmente chamada de ruído de fundo. Trata-se de um fenômeno
natural, devido à interferências diversas - um sinal puramente randômico no
domínio do tempo. Se, no entanto, houver alguma estação funcionando neste
horário, então na sua frequência o rádio acusará um valor diferenciado de potência.
Na prática, o sinal de uma estação não está concentrado pontualmente em uma
frequência precisa. Ele se “espalha” sobre uma pequena faixa de frequência, seu
sinal mais forte e claro na frequência nominal, com potência decrescendo
rapidamente ao dela se afastar. Os diagramas a seguir mostram os três tipos de
sinal discutidos acima.
8
O espectro nada mais é que o gráfico que mostra a potência em cada frequência
encontrada em uma série temporal. Não é difícil perceber que o pleno
conhecimento do espectro pode garantir o conhecimento das propriedades da série
no tempo, mas não seus valores. De qualquer forma, o espectro revelará os
principais componentes da série.
Deve-se perceber que mesmo se as rádios difundissem conforme o diagrama (ii), o
output do rádio receptor seria semelhante ao diagrama (iii). Na realidade nenhum
rádio é capaz de difundir perfeitamente em uma única frequência, mas sim em uma
pequena faixa, centrada na frequência nominal, com “peso” decrescendo
rapidamente na medida em que se afasta da frequência nominal. Esta situação é
idêntica a que ocorre quando se tenta estimar o espectro. Tendo em mãos apenas
uma quantidade finita de informação, se pode estimar o espectro somente sobre
um número finito de bandas de frequência.
Supondo que se pudesse colocar uma antena parabólica no rádio receptor, e
direcioná-la para a Via Láctea, é possível que o resultado “potência x frequência” se
pareça com os diagramas (ii) ou (iii). Também é possível que apareçam diagramas
9
mais complexos, como (iv) ou (v). Estes dois últimos espectros não podem surgir
de séries constituídas somente de modelos lineares cíclicos. Por outro lado, é
perfeitamente possível que uma série gerada por uma modelo linear regressivo
produza um espectro suave como esses, apesar que um espectro suave não
significa necessariamente que este é o modelo que o gerou. Muitos outros sistemas
complexos poderiam gerar espectros com formato similar.
Ao examinar um espectro as bandas importantes podem ser identificadas (pois tem
maior potência), mas pouco pode ser dito a respeito do processo que gerou a série
em questão.
É importante enfatizar que a analogia acima foi apresentada apenas como
ilustração para os leitores não familiarizados com a análise espectral, e como toda
analogia, não deve ser avaliada em profundidade.
10
2.3 Principais contribuições para a teoria atual
Historicamente, a abordagem para análise de séries temporais no domínio do
tempo tem se baseado em extensões da teoria clássica da correlação, avaliando a
relação linear entre duas variáveis ou a mesma variável, com uma defasagem no
tempo. Entre os primeiros colaboradores para a evolução desta análise estão
Slutsky e Yule, que levantaram uma série de questões interessantes a respeito da
natureza da dependência intertemporal que a teoria existente em sua época não
poderia adequadamente resolver (FISHMAN, 1969).
A teoria formal de análise de séries temporais teve um grande impulso com os
trabalhos de Khintchine e Wiener. Ao estender as aplicações da análise de Fourier
clássica, eles alcançaram uma compreensão fundamental da relação entre a função
de autocorrelação clássica de um processo estocástico e a sua transformada de
Fourier, a função densidade espectral. Estas funções foram primeiramente definidas
para processos estritamente estacionários, o que requer que a lei de probabilidade
governando o processo seja invariante com respeito ao tempo. Mais tarde, os
resultados foram estendidos para uma classe mais ampla de processos com
covariância estacionária (FISHMAN, 1969).
Usando a estrutura estabelecida para processos estacionários, Kolmogorov e
Wiener criaram uma teoria formal de predição que é a base para as teorias atuais.
Whittle descreveu concisamente estas técnicas e, em particular, como elas podem
ser aplicadas para uma variedade de problemas nas áreas de economia e controle
(WHITTLE, 1963).
O espectro, que é a densidade espectral não normalizada, é a principal função de
interesse na análise no domínio da frequência. Ele é essencialmente a
decomposição harmônica da variância, e a sua importância para a pesquisa
científica já era aparente mesmo antes dos trabalhos de Khintchine e Wiener. O
próprio periodograma de Schuster, precursor da análise espectral, foi desenvolvido
em 1898 para análise de dados astronômicos. Na área da economia o periodograma
foi utilizado por Moore em 1914 para estudar dados pluviométricos, e por Beverige
em 1922 para avaliar o comportamento dos preço do trigo no mercado europeu
(FISHMAN, 1969).
O desenvolvimento da teoria dos processos de covariância estacionária permitiu o
estudo não apenas dos processos contendo apenas componentes periódicos, mas
também daqueles com comportamento cíclico irregular. O desenvolvimento da
11
engenharia de comunicações e eletrônica ampliou ainda mais a ênfase no estudo do
espectro.
Para melhorar as propriedades estatísticas da estimação espectral, Bartlett, Tukey,
e outros sugeriram uma abordagem que faz uso da função de autocovariância
amostral ponderada. Estas propriedades estatísticas eram de fato melhoradas
utilizando um número menor de autocovariâncias amostrais do que o utilizado no
periodograma de Schuster, um resultado que diminuía substancialmente o tempo
de computação. Além disso, em 1965 Cooley e Tukey descreveram um algoritmo,
chamado de Transformada Rápida de Fourier, que também trouxe grande economia
de tempo (BARTLETT,1961; BLACKMAN e TUKEY,1958; COOLEY e TUKEY, 1965).
O refinamento da análise espectral permitiu aos investigadores alcançar um grau
elevado de compreensão do conteúdo harmônico de seus dados amostrais. Este
conhecimento foi então utilizado no desenvolvimento de técnicas de filtragem, que
objetiva expurgar da série componentes em sequência específicos. Muitos estudos
econométricos exploraram a capacidade de revelar o grau de associação linear
entre fenômenos econômicos e os efeitos das transformações de variáveis. Nerlove,
por exemplo, utilizou análise espectral para avaliar os efeitos dos procedimentos de
remoção de sazonalidade em séries econômicas (NERLOVE, 1964).
12
2.4 Por que análise espectral ?
A vantagem da análise espectral sobre os métodos de regressão é que a análise
espectral oferece resultados no domínio da freqüência. Os métodos de regressão,
por sua vez, oferecem resultados no domínio do tempo. Dessa forma, com a
abordagem espectral fenômenos cíclicos ou periódicos são identificados com maior
facilidade. Alem disso, eles permitem a identificação de defasagens e relações de
antecedência, pela análise do espectro de fase.
Entre os primeiros desenvolvimentos no estudo de séries temporais está o esforço
para identificação de ciclos econômicos. Após retirados os componentes de
sazonalidade e tendência de séries de atividade econômica, restavam aos primeiros
pesquisadores uma série de movimentos irregulares. Ao estudar estas flutuações,
alguns economistas sugeriram que elas poderiam ter surgido como uma soma de
flutuações aproximadamente regulares. O termo “ciclos” foi utilizado ao descrever
estas flutuações, e algumas entraram para a história da econometria:
Ciclo de Kondratieff
Em um estudo publicado na década de 20, o economista russo N.D. Kondratieff
defendeu a existência de um ciclo longo de duração entre 40 e 60 anos. A
existência deste ciclo foi seriamente contestada na década de 60, e hoje parece
haver pouca sustentação para a proposta de Kondratieff.
Ciclo de Kuznets
O estudo do comportamento das séries de produto interno bruto, migração e
população nos Estados Unidos no final do século XIX e início do século XX indicam a
existência de um ciclo com período aproximado de 20 anos.
Building Cycle
Existe também algum consenso sobre a existência de um ciclo de 15 a 20 anos na
indústria de construção civil em vários países, e há algumas teorias plausíveis que
para explicar este ciclo (GRANGER e HATANAKA, 1964).
Business Cycles
O National Bureau of Economic Research definiu esses ciclos da seguinte forma:
“Business cycles são um tipo de flutuação encontrada na economia agregada de
nações que organizam suas economias em torno de empresas privadas: um ciclo
consiste em expansões ocorrendo ao mesmo tempo em diversas atividades
econômicas, seguido por recessões também abrangentes, que por sua vez dão
13
lugar à fase de expansão do ciclo seguinte. Esta sequência de flutuações é
recorrente, mas não periódica. Sua duração pode variar entre dois e doze anos.
Elas não são divisíveis em flutuações mais curtas de amplitude semelhante”
(BURNS e MITCHELL, 1947, apud GRANGER e HATANAKA, 1964, p.16).
Em nenhum ciclo citado acima a regularidade perfeita é assumida. De fato existe
um consenso geral entre os economistas de que estes “ciclos” são na realidade
apenas flutuações. Segundo Gordon (1961, p.250, apud GRANGER e HATANAKA,
1964, p.17) : “Apesar dos ciclos econômicos constituírem movimentos recorrentes
de prosperidade e depressão, virtualmente todos os pesquisadores concordam que
não há nada de periódico neles. Não há evidências de que os ciclos econômicos
tendam a recorrer sistematicamente da mesma forma, com a mesma duração, e a
mesma amplitude. Alguns ciclos são brandos, enquanto outros são severos. Alguns
duram dois ou três anos, enquanto outros oito ou dez. Em alguns, a expansão é
mais longa que a recessão, em outros, acontece o inverso.”
É exatamente a mistura de regularidade com não-regularidade que tem trazido
tanta dificuldade à construção de modelos econométricos e na descrição estatística
de séries econômicas. A análise espectral oferece uma abordagem natural para este
problema. Movimentos similares aos ciclos econômicos podem ser descritos como
uma soma de senóides com amplitudes e fases adequadamente definidas, todas
tendo praticamente o mesmo período. A superposição dos termos produziria
mudanças tanto na duração como na amplitude da flutuação, mas mesmo assim a
duração média permaneceria constante. A abordagem espectral essencialmente
descreve flutuações semelhantes aos ciclos econômicos pela generalização desta
idéia, apenas movendo de uma soma de senóides para uma integral de uma função
seno sobre uma faixa de períodos. Esta é uma das maiores vantagens da análise
espectral sobre a análise de Fourier simples, que foi concebida para funções
estritamente periódicas.
O método espectral também oferece uma forma robusta de determinar a realidade
dos “ciclos” descritos anteriormente ao indicar se as faixas de frequência
correspondentes aos “ciclos” respondem por uma parcela significativa da variância
da série. No entanto, o método requer uma quantidade bastante grande de dados
para que esta indicação seja feita adequadamente – a série de dados deve ser pelo
menos sete vezes mais longa que o maior ciclo a ser estudado. Assim, para estudar
o ciclo de Kuznets, seriam necessários 140 anos de observações. De fato, segundo
Granger e Hatanaka (1964) nenhum outro método pode oferecer conclusões mais
confiáveis com uma série mais curta de dados.
14
Uma aspecto importante da definição de ciclos feita pelo National Bureau of
Economic Research americano é que ciclos econômicos são aqueles encontrados na
atividade econômica agregada. Estudos extensivos foram realizados para avaliar se
diferentes séries setoriais se movem em conjunto durante períodos de expansão e
recessão. Os resultados revelaram que algumas séries consistentemente antecipam
outras. Os fenômenos de antecedência e retardo estão presentes dentro da
atividade econômica, e com parâmetros adequados para esta defasagem, pode-se
observar que muitas séries econômicas tem movimento sincronizado. Este é
realmente o aspecto mais importante dos ciclos econômicos, e uma das principais
ferramentas disponíveis para avaliá-lo é a análise de espectro cruzado.
De fato, a análise espectral bivariada permite o estudo do relacionamento entre
quaisquer componentes cíclicos de duas séries temporais. Se, além dos
componentes cíclicos tradicionais, existir algum significado nos sub-ciclos em que
alguns economistas estão interessados, pode-se esperar que a relação entre os
ciclos tradicionais de duas séries seja diferente da relação entre os sub-ciclos das
duas séries. Resumindo, com a análise espectral é possível estudar a relação entre
duas séries componente por componente.
Um caso interessante é quando uma série xt tem alta correlação com uma série yt
(mas não com uma série zt) no que se refere a um componente (por exemplo,
ciclos longos), e tem alta correlação com a série zt (mas não com a série yt) no que
se refere a outro componente (por exemplo, ciclos curtos). Na prática, pode-se
especular que o mercado de construção civil tem alta correlação com o mercado de
hipotecas mas não é tão correlacionado com o PIB no que se refere a flutuações de
curto prazo. No entanto, o mercado de construção civil é bem correlacionado com o
PIB em flutuações de duração mais longa, mas nem tanto com o mercado de
hipotecas.
A necessidade de distinguir as flutuações de curto prazo das de longo prazo é
reconhecida em muitos campos da economia. Por exemplo, a reação da oferta a
uma mudança de preço pode ser maior no curto prazo do que no longo prazo. É
importante distinguir flutuações de longo prazo de tendência. A análise espectral
não oferece benefícios no estudo de tendências. De fato, é conveniente remover a
tendência da série antes de calcular o espectro. Neste trabalho, nenhuma série
apresenta tendência.
15
2.5 Análise Espectral Univariada
Pelo teorema de Fourier qualquer função f(t) , periódica no período p, pode ser
escrita como uma soma de senos e co-senos na forma:
∑∞
=
⋅π+
⋅π=0j
jj tp
j2senbt
p
j2cosa)t(f
Uma Função não periódica , pode ser considerada como uma função periódica com
período infinito. Neste caso, a distância entre freqüências de termos consecutivos
na equação anterior tende a zero, e o somatório se torna uma integral.
( ) dw )wtsen()w(k)wtcos()w(g)t(f0∫∞
⋅+⋅=
Para que as operações de limite sejam válidas, é necessário que a função seja
absolutamente integrável, tenha um número finito de descontinuidades, e também
um número finito de máximos e de mínimos.
Uma das formas usuais de representação de funções periódicas é:
∑∞
=
=φ−⋅+µ=1j
jjj .. 1,2,t )twcos(A)t(X
∑∞
=
=⋅β+⋅α+µ=1j
jjjj .. 1,2,t )twsen( )twcos( )t(X
Onde:
Amplitude : 222jjjA βα +=
Angulo de fase: j
jj α
βφ arctan=
16
Pelo Teorema de Parseval pode-se verificar que a variância total da série pode ser
decomposta em uma combinação linear dos quadrados das amplitudes de cada
componente periódica:
2n
1n
1j
2j
T
1t
22 AA
2
1
T
)X)t(X( +=−=σ ∑∑
−
==
2n
1n
1j
2j
20
T
1t
22 A A
2
1 A
T
)t(X ++==σ ∑∑
−
==
2n
2j
1n
1j
2j
20
T
1t
22 ) (
2
1
T
)t(X α+β+α+α==σ ∑∑
−
==
Abaixo seguem as principais funções utilizadas na análise espectral:
Espectro de linha: gráfico de 20
2n
2j A,A,A
2
1 contra a freqüência
π=2
wf jj
Periodograma: gráfico de 2jA contra jp (período).
Espectograma: gráfico de 2jA contra jf (freqüência).
Autocovariância: ( )( )[ ]µµγ −+−= )( )( )( ktXtXEk
Função de autocorrelação: )0()()(
γγρ kk =
Autocovariância amostral: ( )( )[ ]XktXXtXT
kc −+−= ∑=
)( )( 1)(k-T
1t
Função de autocorrelação amostral: )0()()(
ckckr =
Correlograma: gráfico de r(k) contra o atraso k
Espectro de potência (ou espectro):
⋅γ+γ
π= ∑
∞
=1k
)wkcos()k(2)0(1
)w('p
π⋅γ+γ= ∑
∞
=1k
)fk2cos()k(2)0(2)f('p
17
Função de densidade espectral:
⋅ρ+
π= ∑
∞
=1k
)wkcos()k(211
)w(p
π⋅ρ+= ∑
∞
=1k
)fk2cos()k(212)f(p
Espectro amostral:
⋅+
π= ∑
−
=
1T
1kjj )kwcos()k(c2)0(c
1)w('p
)
⋅+= ∑
−
=
1
1
)2cos()(2)0(2)('T
kjj kfkccfp π)
Densidade espectral amostral:
⋅+
π= ∑
−
=
1T
1kjj )kwcos()k(r21
1)w(p
)
⋅+= ∑
−
=
1
1
)2cos()(212)(T
kjj kfkrfp π)
18
2.6 Aliasing e Leakage
Considerando a série amostral {xt} como composta de valores observados a
intervalos regulares de tempo de uma série contínua x(t), alguns aspectos
importantes da interpretação do espectro devem ser considerados.
Se a série x(t) contiver uma frequência 2π/k onde k é o intervalo entre
observações, então{xt} não conterá nenhuma informação sobre esta frequência.
Por exemplo, se alguém registrar a temperatura diariamente ao meio dia, não
saberá nada sobre a variação da temperatura ao longo do dia. Se os registros
forem realizados ao meio dia e também à meia noite, então a importância das
flutuações diárias pode ser estimada. De fato, a maior frequência sobre a qual se
tem informação ao avaliar uma série temporal é chamada frequência Nyquist
(FISHMAN, 1969).
Alem disso, uma onda senóide de alta frequência observada em intervalos
regulares pode se confundir com uma onda mais lenta, conforme na figura abaixo.
Dessa forma, a contribuição aparente de qualquer frequência é o resultado da
superposição das contribuições de muitas frequências, o que configura o fenômeno
de aliasing. Assim, se w0 é a frequência Nyquist, então as frequências w, 2wo-w,
2wo+w, 4wo-w, 4wo+w,.... se confundem.
Como um exemplo, suponha que a temperatura seja registrada a cada 30 horas. A
variação diária de temperatura, que segue um ciclo de 24 horas, corresponde a
30/24 = 1.25 oscilações por unidade básica (30 hs). Assim ela se confundirá com
oscilações que sigam um padrão de 0.25 oscilações por unidade básica. Se o
espectro for estimado com m atrasos (ou ponto de truncamento = m), este alias da
variação diária de temperatura vai afetar a potência da estimativa espectral de
ordem k, onde k é o inteiro mais próximo de 2
225.0 mm =⋅ .
Um exemplo aproximado pode decorre do fato de que não há exatamente quatro
semanas em um mês. Considerando que o número médio de dias em um mês é de
19
30.437, existem 4.348 semanas em um mês médio. Se uma série registrada
instantaneamente uma vez por mês (como preços de ações), contiver um ciclo
semanal importante, ele iria corresponder à frequência 0.348. Se o espectro fosse
estimado com ponto de truncamento em 60 atrasos, este ciclo semanal adicionaria
potência, devido ao aliasing ao 42o ponto, pois 42 é o inteiro mais próximo de
41.76 (0.348 ⋅⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅ 60 = 41.76). É importante que os efeitos de aliasing sejam
considerados ao se escolher períodos de amostragem e ao se interpretar o
espectro.
Um outro fenômeno de grande importância na utilização de métodos espectrais é
chamado de leakage, e é explicado a seguir.
Para processos reais e estacionários:
∫=π
τγ0
)(cos2 dwwwpt
Cuja inversão formal fica:
+= ∑
∞
=10 cos21)(
jj jwwp γγ
π
Assim, para uma quantidade finita de dados, { }Ttxt ,...,1, = uma estimativa sensata
seria:
+= ∑
−
=
1
10 cos21)(ˆ
T
jj jwCCwp
π
Onde :
∑−
=+ −−
−=
1
1
))((1 T
tttt xxxx
TC ττ
A estimativa acima é semelhante ao periodograma de Schuster:
( ) ( )[ ]22 cossen1)( ∑∑ += wtxwtxT
wI tt
Hannan (1960, p.52) mostra que:
)(2)]([ wpwIE n π=
mas: )(0)](2[)](var[ 12 −+≅ TwpwIn
20
)](var[ wIn não tende a zero quando ∞→n
E assim, )(wI n não oferece uma estimativa convergente de )(wp , pois sua
variância não diminui quando T (o tamanho da amostra) aumenta.
Além disso:
)(0)]()(cov[ 121
−= nwIwI nn
O periodograma não oferece uma curva suave, e suas limitações levaram a
consideração de estimativas do tipo:
+= ∑
−
=
1
100 cos)(2)(1)(ˆ
m
jjj jwCwwCwp λλ
π
Diversos autores discutem critérios para escolha dos pesos jλ , entre eles Hannan
(HANNAN, 1960), e Jenkins (JENKINS e WATTS, 1968). Ao longo deste trabalho,
será utilizado o método de Parzen.
Do ponto de vista estatístico, quando uma amostra de tamanho T é colhida de uma
população, é claramente impossível determinar a totalidade da distribuição a partir
da amostra. Essencialmente, afirma-se que é impossível estimar um número
infinito de pontos a partir de uma quantidade finita de informação. O procedimento
usual, então, é aproximar a distribuição em frequência por um histograma,
conforme na figura abaixo.
Claramente, quanto maior for o número de pontos que se deseja estimar, maior é a
variância, e pior a estimativa para cada ponto.
O mesmo problema ocorre ao se estimar o espectro. O objetivo é estimar um valor
médio para a potência espectral sobre um conjunto finito de faixas de frequência.
21
Usualmente se tomam faixas de mesmo tamanho. Assim, a estimativa é calculada
nos pontos mkmkwk ,...,1,0, == π .
Uma maneira de obter tal estimativa seria aplicar um filtro com o fator abaixo:
mww
mwwS kk 22
:para 1)( ππ +<≤−=
restante no 0)( =wS
Em seguida, encontrar a variância dos dados filtrados para mk ,...,2,1= .
No entanto, não é possível criar um filtro tão preciso, e normalmente se utiliza um
filtro com um fator de transferência com um formato semelhante ao da figura
abaixo. Estes filtros são chamados de janelas espectrais - quando são utilizados,
permitem ver apenas uma parte do espectro de frequências.
Se o espectro tem um grande “pico” em uma outra frequência (fora de kw , então
é possível que uma fração da potência deste “pico” “vaze” para a estimativa do
espectro em kw , devido à presença das ondulações laterais no fator do filtro.
Nas séries econômicas, existem picos desta natureza (por exemplo aqueles
decorrentes da sazonalidade), e portanto é interessante escolher uma estimativa
espectral que minimize este fenômeno de “vazamento” ou leakage. Esta é uma das
propriedades importantes dos pesos de Parzen.
22
2.7 Estimação espectral
O método para estimação do espectro consiste no cálculo de :
⋅λ+λ
π= ∑
=
m
1kjk0j )kwcos()k(c2)0(c
1)w('p
)
m
jw j
π=
m ..., ,1 ,0j=
Onde as autocovariâncias estimadas são:
−−
−= ∑ ∑ ∑
−
= +=
−
=+
kT
t
T
kt
kT
tttktt xx
kTxx
kTkc
1 1 1
11)(
Com dados T , ... 2, 1, t, =tx e pesos kλ geralmente dependentes de m .
Ao longo deste trabalho o método utilizado para cálculo dos pesos é o de Parzen
(PARZEN apud JENKINS e WATTS, 1968).
Este método oferece a vantagem de apresentar pesos sempre positivos, e leakage
pequeno.
Os pesos de Parzen são:
2
mk0
m
k1
m
k61
2
2
k ≤≤
−−=λ
mk2
m
m
k12
3
k ≤≤
−=λ
E a fórmula de estimação fica:
π⋅⋅
−
π+
π⋅⋅
−−
π+
π= ∑∑
+==
jm
kcos)k(c
m
k1
2j
m
kcos)k(c
m
k1
m
k61
1
2
)0(c)w('p
m
12
mk
32/m
1k2
2
j
)
Assim a fórmula para a autocovariância estimada fica:
( )( )xxxxT
kc kt
kT
tt −−= −
−
=∑
0
1)(
O número inteiro m é chamado o “ponto de truncamento”, e representa
essencialmente o número de faixas de freqüência para os quais o espectro será
estimado. Quanto maior for m , maior será o numero de pontos onde o espectro é
23
estimado. Na medida em que m aumenta, a curva do espectro vai se tornando
mais suave (este efeito é descrito no anexo II). Neste trabalho, para um total de
1128 observações, foi escolhido o valor 99m = , de modo que 11m
T ≅ .
24
2.8 Extensão para duas séries
Anteriormente foi afirmado que qualquer série estacionária poderia ser considerada
como uma soma de componentes, ou bandas de frequência, cada componente
estatisticamente independente dos outros.
Apesar que, teoricamente, se pode dividir qualquer variável em uma soma de
infinitos componentes, na prática devido a limitações na quantidade de dados
disponíveis e para facilidade de interpretação, supõe-se que existam apenas m
componentes. Ao se dividir o domínio (0,π) em m seções de igual comprimento,
cada um dos m componentes pode ser considerado como o conjunto de frequências
contidas em uma seção particular. Suponha que a seção numero j seja centrada na
frequência wj, j = 1,2,3,..., m.
Uma das conclusões importantes da teoria dos processos estacionários é que o
componente centrado em wj é independente não apenas de todos os outros
componentes contidos na série, mas também é independente de todos os
componentes contidos em uma outra série (outra variável) exceto o componente
também centrado em wj .
Se, conforme no diagrama abaixo, as variáveis Xt e Yt forem decompostas em m
componentes (com m=6), então cada um dos Xti, Yti são variáveis estatísticas e por
exemplo, Xt,3 é independente de Xt,1, Xt,2, Xt,4, Xt,5, e Xt,6, assim como de Yt,1, Yt,2,
Yt,4, Yt,5, e Yt,6. Pode ser que Xt,3 seja independente de Yt,3 (ou não); isto dependerá
do grau de relação entre as variáveis Xt e Yt.
Supondo que Xt e Yt não são independentes, então pelo menos um dos pares Xt,i e
Yt,i, são correlacionados. Não existe, no entanto, nenhuma razão para supor que a
correlação entre Xt,1 e Yt,1 seja a mesma que entre Xt,3 e Yt,3. De uma forma geral, a
25
correlação entre componentes em frequência correspondentes não precisa ser
constante para todas as frequências. Pode-se desenhar um diagrama mostrando o
grau de correlação para qualquer par particular de componentes que, para o caso
com m=6, poderia se parecer com o diagrama abaixo.
Quando ∞→m , e existe um número muito grande de componentes, o diagrama
fica mais suave, como na figura seguinte.
C(w) é chamada coerência entre as variáveis {Xt} e {yt}, na frequência w, e é uma
medida direta do quadrado da correlação das amplitudes nesta frequência. Assim,
no diagrama mostrado, as faixas de frequência em α são parcialmente
dependentes, aquelas em β são inteiramente dependentes, e aquelas em γ são
quase independentes.
Mesmo que as amplitudes sejam completamente correlacionadas, é possível que os
componentes em frequência tenham fases diferentes. Assim, por exemplo, o ciclo
anual de produção agrícola de uvas pode corresponder em frequência exatamente
ao ciclo anual de produção de vinho, mas os dois ciclos podem não ter picos no
mesmo momento no tempo. De fato, há uma expectativa de que o pico na
produção agrícola anteceda um pouco o pico na produção industrial. Neste exemplo
os dois componentes anuais podem ser representados por:
Produção de uvas: )cos( θ+wtat
26
Produção de vinho: )cos( ϕ+wtat
Sendo θ > ϕ , o valor ‘θ - ϕ’ é chamado defasagem na frequência 122π=w , se a
unidade básica de tempo for um mês.
Isto indica que, ao considerar o relacionamento entre duas séries estacionárias, não
é necessário apenas o diagrama de coerência, mas também o diagrama de fase, na
qual a defasagem (ou phase-lag), é plotada contra a frequência. Este diagrama
pode parecer mais complicado de interpretar que o de coerência, mas no entanto
ele pode provar ser o mais útil dos dois.
Isto pode ser mostrado avaliando um diagrama de fase onde uma das variáveis
tem uma defasagem fixa em relação á outra: Yt=Xt-k.
Ao considerar a frequência angular w:
)cos( θ+= twaX tt
)](cos[])cos[( kwtwawktaY ktktt −+=+−= −− θθ
Como as amplitudes at, at-k vêm da mesma sequência de variáveis estocásticas, a
coerência será um e o phase-lag na frequência w é kw. Assim, o diagrama de fase
será uma linha reta com inclinação dependente do valor da defasagem k, conforme
na figura abaixo.
Não existe nenhuma razão pela qual o relacionamento entre duas variáveis seja de
time lag simples. Pode ser que alguns pares de componentes tenham defasagem
maior que outros. Dessa forma, um diagrama como o seguinte indicaria que todas
as frequências entre 0 e w0 tem uma defasagem, e as restantes um valor de
defasagem diferente. Em termos econômicos isto pode ser encarado como o caso
27
em que duas variáveis tem defasagens diferentes para flutuações de curto prazo e
de longo prazo.
Um caso de particular interesse, devido a sua simplicidade, é aquele em que o
diagrama de phase-lag tem a forma abaixo:
Aqui, a defasagem é constante para todas as frequências. Novamente para as
séries Xt e Yt :
)cos( θ+= twaX tt
+
−=−+= −− θθ
wctwactwaY ktktt cos)cos(
Pode-se interpretar este resultado como uma defasagem de wc
na frequência w.
Isto significa que quanto menor a frequência, maior será a defasagem, entre
componentes correspondentes. Esta situação é chamada de fixed angle lag .
Se Xt(w), e Yt(w) são os componentes de Xt e Yt na frequência w, existe interesse
em modelos da forma :
)()()()( wwYwRwX ttxyt ε+⋅=
28
Trata-se da regressão linear de )(wX t sobre )(wYt . O coeficiente )(wRxy é
chamado de ganho na frequência w, e seu gráfico contra a freqüência é chamado
de diagrama de ganho.
Estes conceitos podem ser generalizados da seguinte forma: considerando duas
séries Xt e Yt , estacionárias, cada uma delas pode ser tomada como uma soma de
um número muito grande de componentes em frequência. Cada variável terá um
espectro que indicará a distribuição de potência, ou energia (ou variância) por
frequência. Se as duas variáveis forem de alguma forma correlacionadas, então
uma parte da potência da série Yt na frequência w pode ser atribuída ao
componente em w da variável Xt (e/ou vice-versa). Por exemplo, a produção de
vinhos pode ter uma variação anual causada ou induzida pelo ciclo anual da
produção de uvas no campo. Por outro lado, é fácil pensar em duas séries com
componentes anuais importantes, e mesmo assim completamente não
correlacionadas – venda de cartões de natal e venda de sorvetes.
Existe também um teorema que afirma que o componente de Yt n frequência w
pode ser influenciado apenas pelo componente em w de Xt, e por nenhum outro
componente de Xt (GRANGER e HATANAKA, 1964).
O diagrama que mostra o nível de correlação por componente de frequência é o
diagrama de coerência espectral. Podem existir também diferenças em fase, entre
componentes relacionados, e o diagrama indicando estas defasagens por frequência
é chamado diagrama de fase, ou phase-lag diagram.
29
2.9 Análise Espectral bivariada
Para estudar a interdependência entre duas séries no domínio da freqüência há
uma extensão natural da análise espectral. São ferramentas análogas às
apresentadas anteriormente, e que permitem avaliar relações de coerência e
antecedência entre fenômenos cíclicos.
Dadas duas séries X(t) e Y(t), t ∈ T, serão utilizadas as funções abaixo:
Covariância cruzada:
k))Y(tcov(X(t),)k,t(xy +=γ
Correlação cruzada (processos estacionários):
T k )0()0(
)k()k(
yyxx
xyxy ∈
γ⋅γγ=ρ
Espectro cruzado:
∑∞
−∞=
− π≤≤γπ
=k
iwkxyxy w0 e)k(
1)w(p
)w(iq)w(c)w(pxy −=
Co-espectro:
∑∞
−∞=
π≤≤γπ
=k
xy w0 )wkcos(1
)w(c
Espectro de quadratura:
∑∞
−∞=
π≤≤γπ
=k
xy w0 )wksen(1
)w(q
Espectro de amplitude cruzada:
)w(q)w(c)w( 22xy +=α
Espectro de fase:
))w(c/)w(q(tan)w( 1xy −=φ −
30
Coerência:
)w(p)w(p
)w(p
)w(p)w(p
)w(
)w(p)w(p
)w(q)w(c)w(C
yx
2
xy
yx
2xy
yx
22
⋅=
⋅α
=⋅+=
Espectro de ganho:
)w(p
)x(p
)w(p
)w(
)w(p
)w(C)w(p)w(G
x
xy
x
xy
x
y
xy =α
=⋅
=
Função Tau (função de defasagem cronológica):
wwxy )(φ
=Τ
Função Tau modificada:
wwxy )(2 φπ −
=Τ
31
3 Metodologia
3.1 Tipo de pesquisa
Quanto ao fim, esta é uma pesquisa metodológica, que faz uso de ferramentas da
análise espectral, que é um método pouco difundido em administração, para avaliar
algumas características dos objetos de estudo - as séries temporais especificadas
anteriormente. As principais características estudadas são a existência de ciclos
recorrentes, a coerência espectral (equivalente à correlação, mas com valores para
cada componente em frequência) e qualquer possível relação de antecedência ou
retardo.
Quanto aos meios, esta é uma pesquisa de laboratório. Mais especificamente, uma
análise de dados realizada em computador com a ajuda de softwares específicos.
3.2 Universo e amostra
O universo da pesquisa são os mercados de juros e ações no Brasil, assim como os
mercados de ações dos Estados Unidos, da Argentina, e do Chile. Como amostra
representativa destes mercados foram arbitrariamente escolhidos os índices CDI
over, Ibovespa, Dow Jones Composite, Merval e Ipsa, respectivamente.
Deve-se considerar também a dimensão temporal: o período estudado ( jan95 a
abr99). Qualquer conclusão alcançada aqui possivelmente não terá validade fora
deste período.
3.3 Coleta de dados
As séries temporais utilizadas neste estudo foram obtidas do banco de dados
Economática.
3.4 Tratamento dos dados
As séries temporais utilizadas neste trabalho foram:
! Retorno diário do índice Ibovespa
! Retorno diário do índice DOW-Jones
! Retorno diário do índice Merval
! Retorno diário do índice IPSA
! A taxa de juros nominal diária CDI
32
Estes valores de retorno compreendem o período entre 03/jan/95 e 29/abr/99
(1128 observações).
Os retornos foram calculados pela formula 1
1
−
−−=
i
iii P
PPR .
O dias sem negociação – sábados, domingos, e feriados internacionais – foram
simplesmente excluídos. No caso dos feriados regionais, foi considerado retorno
zero para o mercado que ficou fechado neste dia. É o caso do 7 de setembro, por
exemplo. Os outros mercados operaram normalmente, e o Ibovespa teve retorno
zero.
O retorno diário do CDI é o retorno diário efetivo.
As séries consideradas neste trabalho não apresentam tendência – são retornos, e
não preços. Dessa forma, a análise espectral não é prejudicada pelo fenômeno de
leakage. Quando se calcula o espectro de uma série com tendência, o método
assume a tendência como um ciclo de período infinito, aumentando assim a
amplitude na faixa de freqüência zero, e nas faixas vizinhas. Este fenômeno é
chamado de leakage (GRANGER, 1964).
Os softwares utilizados foram: Microsoft Excel , SPSS, Statgraphics, Eviews e Pest.
33
3.5 Intervalos de confiança
A hipótese de caminho aleatório para as séries de retorno pode ser confirmada pela
avaliação do espectro dos retornos diários. Para isso, é calculado um intervalo de
confiança para as ordenadas do espectro, considerando o espectro de uma série
aleatória pura – ruído branco. Se, em alguma freqüência, o espectro dos retornos
sair fora do intervalo, naquela freqüência existe um ciclo estatisticamente
significativo. Isto contraria o princípio de eficiência de mercado na sua forma fraca,
pois revela que o comportamento futuro da série pode ser, em parte, previsto em
função de dados passados.
O intervalo de confiança para o espectro é dado por:
21,
2,
)(ˆ )( )(ˆαναν χ
νχν
−
⋅<<⋅ wpwpwp
Onde ν é o número de graus de liberdade: m
T71,3 ⋅=ν , onde m é o ponto de
truncamento.
Para o espectro do ruído branco, pode-se provar que π
σ=2
)w(p2
, onde σ2 é a
variância da série.
Os limites dos intervalos para os espectros de potência estão plotados junto com os
espectros na seção de resultados.
No caso da análise bivariada, são estimados intervalos de confiança para a
coerência. Aqui a hipótese nula é a de coerência zero em todo o espectro. A
coerência espectral é o equivalente no domínio da frequência ao coeficiente de
determinação no domínio do tempo (r2). Ela varia de zero a um, de modo que o
intervalo de confiança se resume a um valor limite, a partir do qual pode-se negar
a hipótese de coerência zero com 95% de confiança (neste trabalho, todos os
intervalos são calculados com α=0,05).
O teste para significância da coerência é oferecido por Goodman (GOODMAN, apud
GRANGER E HATANAKA, 1964). Este método assume que os retornos tem
distribuição normal, e que os espectros, os co-espectros, e os espectros de
quadratura amostrais são distribuídos segundo uma distribuição complexa de
Wishart. O método assume também que o procedimento de estimação utilizado tem
janelas perfeitas (sem leakage). Uma tabela dá os valores limite para a coerência
34
amostral, considerando que a coerência verdadeira do processo seja zero. Para os
valores de tamanho da amostra (1128) e ponto de truncamento (m=99) utilizados
neste trabalho, o método fornece o valor limite de 0,5 para todas as séries
analisadas.
É importante notar que apesar dos intervalos de confiança para o espectro de
potência e para a coerência espectral assumirem dados normais, os resultados
permanecem válidos mesmo para dados não normais (que não seguem uma
distribuição de Gauss). Isto é demonstrado por Jenkins (JENKINS e WATTS, 1968)
e Fishman (FISHMAN, 1969).
3.6 Normalidade dos retornos
A série de dados que mais se aproxima da normal é a de retornos do índice Dow.
As séries correspondentes às bolsas da América Latina (Ibovespa, Merval, e Ipsa),
apresentam histogramas com uma descontinuidade próxima à região de retorno
igual a zero.
Histograma dos retornos: Dow e Ibovespa
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-4.9
5%
-4.6
5%
-4.3
5%
-4.0
5%
-3.7
5%
-3.4
5%
-3.1
5%
-2.8
5%
-2.5
5%
-2.2
5%
-1.9
5%
-1.6
5%
-1.3
5%
-1.0
5%
-0.7
5%
-0.4
5%
-0.1
5%
0.15
%
0.45
%
0.75
%
1.05
%
1.35
%
1.65
%
1.95
%
2.25
%
2.55
%
2.85
%
3.15
%
3.45
%
3.75
%
4.05
%
4.35
%
4.65
%
4.95
%
DowIbovespa
35
Histograma dos retornos: Merval e IPSA
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-4.9
5%
-4.6
5%
-4.3
5%
-4.0
5%
-3.7
5%
-3.4
5%
-3.1
5%
-2.8
5%
-2.5
5%
-2.2
5%
-1.9
5%
-1.6
5%
-1.3
5%
-1.0
5%
-0.7
5%
-0.4
5%
-0.1
5%
0.15
%
0.45
%
0.75
%
1.05
%
1.35
%
1.65
%
1.95
%
2.25
%
2.55
%
2.85
%
3.15
%
3.45
%
3.75
%
4.05
%
4.35
%
4.65
%
4.95
%
MervalIpsa
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
1128 1128 1128 1128 11289.7E-04 1.316E-03 3.4E-04 3.1E-05 1.1E-039.7E-03 3.136E-02 2.4E-02 1.4E-02 4.6E-04
.076 .099 .095 .079 .150
.046 .099 .087 .074 .121-.076 -.098 -.095 -.079 -.1502.567 3.335 3.189 2.658 5.030.000 .000 .000 .000 .000
NMeanStd. Deviation
Normal Parametersa,b
AbsolutePositiveNegative
Most ExtremeDifferences
Kolmogorov-Smirnov ZAsymp. Sig. (2-tailed)
DOW IBOVESPA MERVAL IPSA CDI
Test distribution is Normal.a. Calculated from data.b.
Os resultados do teste de Kolmogorov-Smirnov revelam valores elevados para o
desvio em relação à normal. Isto pode ser comprovado pela inspeção visual dos
gráficos Normalplot em seguida.
36
Normal P-P Plot of DOW
Observed Cum Prob
1.00.75.50.250.00
Expe
cted
Cum
Pro
b
1.00
.75
.50
.25
0.00
Normal P-P Plot of IBOVESPA
Observed Cum Prob
1.00.75.50.250.00
Expe
cted
Cum
Pro
b
1.00
.75
.50
.25
0.00
37
Normal P-P Plot of IPSA
Observed Cum Prob
1.00.75.50.250.00
Expe
cted
Cum
Pro
b
1.00
.75
.50
.25
0.00
Normal P-P Plot of MERVAL
Observed Cum Prob
1.00.75.50.250.00
Expe
cted
Cum
Pro
b
1.00
.75
.50
.25
0.00
38
3.7 Limitações do método
A primeira limitação característica da análise espectral decorre do procedimento de
amostragem. Normalmente são coletadas observações do comportamento da série
no tempo seguindo intervalos regulares. Neste trabalho, por exemplo, os dados são
diários. Isto significa que esta análise não pode identificar ciclos de período menor
que dois dias (frequência Nyquist). Mais ainda, possíveis ciclos de período menor
que dois dias podem causar regiões de alta potência no espectro em períodos
maiores, em função do fenômeno de aliasing (descrito no referencial teórico). A
definição do intervalo de amostragem é portanto de grande importância para os
resultados da análise espectral, e frequentemente requer algum conhecimento
prévio das características do fenômento estudado.
Duas práticas são recomendadas para contornar este problema. A primeira é
coletar os dados em intervalos pequenos – menores que o período do menor ciclo a
ser estudado. A segunda é confrontar os resultados com o espectro gerado pela
mesma série, mas com intervalo de amostragem diferente. Ciclos reais devem ser
identificáveis nos dois espectros, e aqueles decorrentes de aliasing devem
desaparecer com a nova amostragem (CONTADOR, 1975).
No anexo III está uma extensão da análise sobre o espectro dos retornos do índice
Ibovespa, com resultados computados de quinze em quinze minutos. Ela confirma
os resultados obtidos com os dados diários, indicando ausência de aliasing para
esta série.
Quanto ao fenômeno de leakage, pode-se afirmar que os resultados aqui descritos
não sofrem grande influência do “vazamento” de potência entre frequências
vizinhas. As séries são de retorno (e não de preço) sobre um período bastante
longo (1128 observações) e apresentam pouca ou nenhuma tendência. Alem disso
a janela espectral utilizada é a de Parzen, que minimiza o leakage (GRANGER e
HATANAKA, 1964).
Para o caso da análise espectral bivariada, uma limitação adicional é a de que
conclusões a respeito de antecedência ou retardo, derivadas da avaliação do
espectro de fase, somente são válidas em frequências em que as duas séries
apresentem coerência estatisticamente significativa.
Finalmente, pode-se afirmar que a análise espectral evoluiu das ciências da
natureza: astronomia, meteorologia, etc. Sua vocação natural está portanto no
estudo de fenômenos cíclicos, recorrentes – as estações do ano, os movimentos
39
das estrelas. Sua aplicação nas ciências humanas pressupõe que fenômenos de
conotação social – expansões e recessões econômicas, movimentos financeiros –
também podem seguir padrões recorrentes, ou superposição de diversos padrões.
Ao abandonar a dimensão do tempo e observar o mundo pelo domínio da
frequência, a análise espectral afirma sua área de aplicação. Seu uso é restrito:
encontrar ciclos, movimentos repetitivos, dentro de séries aparentemente
randômicas.
40
3.8 Eficiência de mercado
Diversos autores tem argumentado a favor da hipótese de eficiência de mercado na
forma fraca (Efficient Markets Hipothesis – EMH) utilizando a análise espectral.
Estes estudos indicam que o espectro das variações de preço de ações é de uma
forma geral plano – ruído branco. Entre os trabalhos que utilizam a análise
espectral para sustentar a EMH destacam-se os de Samuelson (SAMUELSON,
1973), Granger e Morgenstern (GRANGER e MORGENSTERN, 1963), Godfrey,
Granger, e Morgenstern (GODFREY, GRANGER e MORGENSTERN, 1964), e Praetz
(PRAETZ, 1979).
Estudos mais recentes, no entanto, tendem a rejeitar a hipótese de mercado
eficiente utilizando estas mesmas técnicas, com dados coletados em intervalos
menores (McCULLOUGH, 1995). Estes estudos estão de acordo com diversos
resultados no domínio do tempo, que também rejeitam a EMH. Destacam-se os
trabalhos de Shiller (SHILLER, 1981), Leroy e Porter (LEROY e PORTER, 1981),
Campbell e Mankiw (CAMPBELL e MANKIW, 1987), Poterba e Summers (POTERBA e
SUMMERS, 1987), e Lo e MacKinley (LO e MACKINLEY, 1988).
A discrepância entre os resultados mais antigos e os mais recentes (no domínio da
frequência) pode ser atribuída em parte à escolha do intervalo de amostragem. De
fato, o uso de intervalos longos impede a identificação da potência espectral em
frequências mais altas.
41
3.9 Interdependência entre mercados
A crescente inter-relação entre mercados de ações no mundo tem cada vez mais
chamado a atenção de pesquisadores. Os avanços na tecnologia de informação, que
oferece sistemas cada vez mais rápidos e sofisticados, tem permitido movimentos
rápidos de grande volume de capital através das fronteiras nacionais. Além disso, o
volume negociado está aumentando, empreendimentos multinacionais estão se
expandindo, assim como o número de empresas listadas em diversos mercados. A
tendência de desregulamentação de mercados também contribui para este
fenômeno, chamado globalização (SMITH, 1999).
Este crescente interesse é plenamente justificado: na medida em que aumenta a
correlação entre mercados nacionais, diminuem os benefícios da diversificação
internacional.
Uma das ferramentas possíveis para identificar movimentos coordenados entre
mercados é a análise espectral bivariada.
Enquanto estudos na década de sessenta indicaram coerência baixa entre mercados
internacionais (SMITH apud GRANGER e MORGENSTERN, 1970), pesquisas mais
recentes indicam coerência significativa entre diversos mercados. Mais ainda,
revelam interdependência crescente ao longo dos anos oitenta e noventa. Nesse
contexto, os Estados Unidos tem papel preponderante, outros mercados reagindo
com retardo às suas mudanças. (FISCHER e PALASVIRTA, 1990).
Muitos estudos recentes tem focado a atenção nos efeitos do crash de outubro de
1987 na correlação entre mercados de ações. Uma conclusão geral é que os
espectros de coerência indicam interdependência maior no período após o crash
(KOUTMOS e BOOTH, 1995).
Outra conclusão importante é a de que o mercado de ações americano é o mais
influente do mundo, suas perturbações tendo repercussão em todos os restantes.
Existe, inclusive, uma assimetria com relação à direção da perturbação: quedas
aparentam ter contágio mais rápido e mais intenso, enquanto períodos de alta ou
estáveis se propagam mais lentamente (EUN e SHIM, 1989).
É importante notar que a interdependência crescente entre mercados de diversos
países não significa integração de mercados. De fato, diversos testes utilizando o
International Capital Asset Model – ICAPM, e a International Arbitrage Pricing
Theory tenderam a rejeitar a hipótese de integração estrita (FISCHER e
PALASVIRTA, 1990).
42
4 Resultados
4.1 Experimento 1 – teste de eficiência
Abaixo está o espectro de potência das variáveis consideradas, assim como os
respectivos correlogramas, com intervalos de confiança de 95%.
Espectro de Potência - DOW JONES
0.0E+00
1.0E-05
2.0E-05
3.0E-05
0.01
0.11
0.21
0.31
0.41
Frequência
P(f)
Limite superior 95%
Limite inferior 95%
Correlograma - DOW
Lag Number
15131197531
AC
F
.1
0.0
-.1
Confidence Limits
Coefficient
5 dias úteis
43
Espectro de Potência - IBOVESPA
0.0E+00
1.0E-04
2.0E-04
3.0E-04
0.01
0.11
0.21
0.31
0.41
Frequência
P(f)
Limite superior 95%
Limite inferior 95%
IBOVESPA
Lag Number
15131197531
AC
F
.10
.08
.06
.04
.02
-.00
-.02
-.04
-.06
-.08
-.10
-.12
Confidence Limits
Coefficient
10 dias úteis
44
Espectro de Potência - Merval
0.0E+00
1.0E-04
2.0E-04
0.01
0.11
0.21
0.31
0.41
Frequência
P(f)Limite superior 95%
Limite inferior 95%
MERVAL
Lag Number
15131197531
AC
F
.14
.12
.10
.08
.06
.04
.02
-.00
-.02
-.04
-.06
-.08-.10
Confidence Limits
Coefficient
5 dias úteis
45
Espectro de Potência - IPSA
0.0E+00
5.0E-05
0.01
0.11
0.21
0.31
0.41
Frequência
P(f)Limite superior 95%
Limite inferior 95%
IPSA
Lag Number
15131197531
AC
F
.25
.20
.15
.10
.05
0.00
-.05
-.10
Confidence Limits
Coefficient
46
O espectro de potências do índice Dow apresenta uma elevação na freqüência 0,20,
correspondente a um período de 5 dias. Trata-se de um ciclo semanal, pois os
dados compreendem apenas dias úteis. A contribuição deste componente em
freqüência para a variância total da série é estatisticamente significativa, pois
ultrapassou o intervalo de confiança (95%) para uma série aleatória (ruído branco)
de mesma variância. Este comportamento pode ser visualizado abaixo, no gráfico
de densidade espectral por período.
Spectral Density of DOW
Window: Parzen (99)
Period
20001000
500400
300200
100504030201054321
Den
sity
.4
.3
.2
.1
A existência de uma segunda elevação correspondente a um período de dez dias é
um indicativo forte de que o ciclo de 5 dias é realmente significativo. Normalmente,
quando há um componente cíclico em uma série temporal, o espectro acusa
potência elevada não apenas na sua frequência, mas também nos harmônicos
próximos (JENKINS e WATTS, 1968).
47
Para o Ibovespa tanto o espectro como o correlograma têm picos em 10 dias úteis–
correspondentes a ciclos de duas semanas em dias corridos. O correlograma, além
disso, apresenta pontos significativos de autocorrelação negativa em 3, 6 e 12 dias.
No anexo III há uma extensão desta análise para dados do Ibovespa em intervalos
menores: 15 minutos, uma hora e duas horas. Os resultados confirmam a
existência de um componente significativo na frequência correspondente à duas
semanas, ou dez dias úteis. Esta confirmação elimina a possibilidade de que o
resultado tenha sido causado por aliasing.
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (99)
Period
20001000
500400
300200
100504030201054321
Den
sity
5
4
3
2
1
48
No caso da série de valores do índice Merval, esta mesma coincidência se repete –
ciclos de 10 dias úteis se destacam tanto no espectro como no correlograma.
Existe, além disso, um ponto significativo correspondente ao período 5 dias no
espectro, indicando um ciclo semanal, que também contribuiria para a potência em
10 dias. Abaixo pode-se notar ainda uma terceira elevação em 15 dias,
possivelmente harmônica do ciclo semanal.
Spectral Density of MERVAL
Window: Parzen (99)
Period
20001000
500400
300200
100504030201054321
Den
sity
3
2
1.9
.8
.7
49
O correlograma da série Ipsa indica autocorrelação forte com defasagem de 1 dia, e
dez dias. O ponto correspondente a dez dias pode ser identificado no espectro,
juntamente com outros três sem explicação, todos na região de baixa freqüência. O
gráfico da densidade espectral por período não é muito revelador, apenas indicando
que o período de dez dias responde por uma parcela considerável da variância da
série. De fato, com exceção do componente de baixa frequência (que corresponde
no gráfico abaixo à região de período longo) em nenhuma frequência a potência
espectral ultrapassa fortemente o limite do intervalo de confiança.
Spectral Density of IPSA
Window: Parzen (99)
Period
20001000
500400
300200
100504030201054321
Den
sity
.8
.7
.6
.5
.4
.3
.2
50
De maneira geral, os resultados indicam que os quatro mercados analisados se
comportam de acordo com o modelo do caminho aleatório (random walk), ou seja,
as séries são aleatórias no tempo, e apresentam em frequência espectros
equivalentes ao ruído branco.
Apenas as frequências de 5 e 10 dias úteis, correspondentes a uma e duas
semanas corridas, apresentaram potência espectral significativa. Esta pode ser uma
indicação de um comportamento repetitivo semanal: possivelmente o “efeito
segunda-feira”.
51
4.2 Experimento 2 – coerência “CDI x Ibovespa”
Abaixo seguem os gráficos de Coerência, entre as séries do retorno diário do
Ibovespa e CDI, para avaliar a relação entre os mercados de ações e juros no
Brasil.
Em todos os gráficos foi traçada a linha correspondente ao intervalo de confiança
de 95%. O método utilizado para estabelecer esta linha (GOODMAN apud
GRANGER E HATANAKA, 1964) foi descrito na metodologia. Para uma amostra de
1128 dias, defasagem máxima de 99 dias, o valor limite para o intervalo de
confiança (95%) é aproximadamente 0,5.
Coherency of IBOVESPA and CDI
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy
.60
.50
.40
.30
.20
.10
0.00
95% confidence limit
52
Ibovespa x CDI
-15.00%
-10.00%
-5.00%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
0.04% 0.09% 0.14% 0.19% 0.24%
CDI
Ibov
espa
Surpreendentemente, os dados sugerem não haver coerência estatisticamente
significativa entre os mercados de juros e de ações no Brasil em nenhuma
freqüência.
Esta informação pode ser confirmada pelo gráfico acima, onde estão plotados os
retornos das duas séries - Ibovespa x CDI. Pode-se observar que os valores de
retorno Ibovespa e CDI aparentam ser independentes entre si (R2=0,0046). Este
assunto é analisado de forma mais extensa (utilizando dados de dez anos: 1989-
1999) no anexo II.
A expectativa segundo o modelo de três ativos (CONTADOR, 1981) era de que,
tudo o mais constante, uma alta de juros provocasse uma queda no retorno do
mercado de ações, e vice versa. Este é um raciocínio intuitivo e bastante divulgado
na mídia. Dessa forma, deveria haver alguma correlação no domínio do tempo, ou
coerência significativa em alguma frequência.
Uma interpretação alternativa para esta correlação seria a de que o retorno diário
do índice Ibovespa seja correlacionado com a variação do retorno diário CDI, e não
com o retorno propriamente dito. Nesta abordagem, entende-se que o mercado de
ações reage apenas nos dias em que há mudança da taxa de juros. Assim, nos
períodos em que a taxa de juros permanece estável, os movimentos da bolsa
deixam de ser influenciados por esta variável.
53
Os gráficos seguintes mostram a correlação segundo esta alternativa:
Retorno Ibovespa X Variação absoluta no retorno diário CDI
y = 97.968x + 0.0014R2 = 0.0399
-10.00%
-8.00%
-6.00%
-4.00%
-2.00%
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
-0.010% -0.005% 0.000% 0.005% 0.010%
Variação no retorno diário do CDI
Ret
orno
diá
rio Ib
oves
pa
Coerência: Ibovespa X variação absoluta no retorno CDI
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy
.6
.5
.4
.3
.2
.1
0.0
95% Confidence Limit
54
Retorno Ibovespa X Variação percentual no retono diário CDI
y = 0.1012x + 0.0012R2 = 0.0321
-10.00%
-8.00%
-6.00%
-4.00%
-2.00%
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
-10.00% -8.00% -6.00% -4.00% -2.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00%
Variação percentual no retorno diário do CDI
Ret
orno
diá
rio Ib
oves
pa
Coerência: Ibovespa X variação percentual no retorno CDI
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy
.6
.5
.4
.3
.2
.1
0.0
95% Confidence limit
Mesmo com esta abordagem alternativa, os dados do período estudado não
revelam qualquer correlação no domínio do tempo, ou coerência no domínio da
frequência.
55
4.3 Experimento 3 – coerência: Dow, Ibovespa, Merval, Ipsa
Abaixo seguem os gráficos de Coerência, entre as séries do retorno diário dos
índices Dow Jones, Ibovespa, Merval, e Ipsa. Aqui o objetivo é identificar possíveis
frequências em que estes mercados tenham alta correlação, dois a dois.
Em todos os gráficos foi traçada a linha correspondente ao intervalo de confiança
de 95%. O método utilizado para estabelecer esta linha (GOODMAN apud
GRANGER e HATANAKA, 1964) foi descrito no item metodologia. Para uma amostra
de 1128 dias, defasagem máxima de 99 dias, o valor limite para o intervalo de
confiança (95%) é aproximadamente 0,5.
Coherency of DOW and IBOVESPA
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy
.6
.5
.4
.3
.2
.1
0.0
95% confidence limit
56
Coherency of DOW and MERVAL
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy.6
.5
.4
.3
.2
.1
0.0
95% confidence limit
Coherency of DOW and IPSA
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy
.6
.5
.4
.3
.2
.1
0.0
95% confidence limit
57
Coherency of IBOVESPA and MERVAL
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy.8
.7
.6
.5
.4
.3
.2
95% confidence limit
Coherency of IBOVESPA and IPSA
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy
.7
.6
.5
.4
.3
.2
.1
95% confidence limit
58
Coherency of MERVAL and IPSA
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy.6
.5
.4
.3
.2
.1
0.0
95% confidence limit
As principais observações sobre a coerência entre os mercados de ações são:
! Ibovespa e Merval: este gráfico relevou coerência estatisticamente significativa
em diversas freqüências, notavelmente a freqüência 0.2, equivalente ao período
de 5 dias úteis. Este comportamento possivelmente pode ser explicado pelo
efeito segunda feira. Há também um valor elevado na freqüência 0.1 (10 dias),
provavelmente harmônico. Nas freqüências próximas a zero, que correspondem
a movimentos de longo prazo, também se encontram valores significativos.
! Ibovespa e Dow: nenhuma freqüência com coerência significativamente
diferente de zero. O valor mais alto corresponde ao ciclo de 5 dias úteis.
! Ibovespa e Ipsa: apenas freqüências próximas de zero e freqüências mais
elevadas, próximas de 0.5, que correspondem ao intervalo mínimo de dois dias.
! Merval e Dow: apenas em 0.2, equivalente a 5 dias úteis.
! Merval e Ipsa: apenas em 0.2 e baixas freqüências.
! Ipsa e Dow: nenhuma freqüência com coerência significativamente diferente de
zero. Valores mais elevados em volta de 0.2, 0.4, e baixas freqüências.
59
O espectro de ganho para as séries Ibovespa e Merval está na figura abaixo:
Gain of IBOVESPA and MERVAL
Window: Parzen (99)
Frequency
.5.4.3.2.10.0
1.4
1.2
1.0
.8
.6
.4
.2
Gain of
MERVAL from IBOVESPA
IBOVESPA from MERVAL
A avaliação desta figura revela que :
Na freqüência 0,1 - correspondente ao período de 10 dias – uma variação de 1,3%
no retorno Ibovespa coincide com uma variação de 0,5% no retorno do índice
Merval.
Na freqüência 0,2 - correspondente ao período de 5 dias – uma variação de 0.9%
no retorno Ibovespa coincide com uma variação de 0,7% no retorno do índice
Merval.
Na média ao longo do espectro encontramos uma relação aproximada de 6.0
0.1,
semelhante à relação entre as variâncias das duas séries.
60
A regressão linear entre as variáveis estudadas oferece resultados consistentes com
as indicações da análise espectral. Assim, o par de variáveis “Ibovespa e Merval”,
que teve coerência estatisticamente significativa em ampla parte do espectro,
também apresenta correlação razoável. Seu valor de R2 é 0,50. Este valor, apesar
de pequeno, é mais que duas vezes maior que o R2 do par “Ibovespa e Dow”.
Retorno diário - Ibovespa x Dow
y = 1.4701x - 0.0001R2 = 0.2069
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
-6% -4% -2% 0% 2% 4% 6%
Dow
Ibov
espa
Retorno diário - Merval x Ibovespa
y = 0.534x - 0.0004R2 = 0.4947
-10.00%
-8.00%
-6.00%
-4.00%
-2.00%
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
-15.00% -10.00% -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00%
Ibovespa
Mer
val
61
Espectro de Fase:
A análise da função tau entre as séries Ibovespa e Merval revela que na freqüência
0,1 – correspondente à períodos de 10 dias úteis, os movimentos dos índices
Ibovespa e Merval apresentam defasagem próxima de zero.
Função Tau - Ibovespa x Merval
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
0.00 0.04 0.09 0.13 0.18 0.22 0.27 0.31 0.35 0.40 0.44 0.49
Os dados não permitem nenhuma conclusão a respeito da antecedência entre os
dois mercados. É provável que seja necessária a utilização de dados horários ( em
vez de diários) para a avaliação deste fenômeno. Aparentemente o ajuste dos
mercados à novas informações é realizado em período menor que um dia.
62
5 Conclusões
As conclusões seguintes devem ser compreendidas considerando a delimitação da
pesquisa. Elas são limitadas ao período de estudo (jan/1995 - abr/1999), aos
índices avaliados, e ao método utilizado. Nenhuma generalização pode ser
realizada. Este trabalho não sustenta ou refuta nenhuma hipótese referente aos
temas abordados, mas apenas ilustra a aplicação da análise espectral.
Os espectros de potência para as séries estudadas indicam que todos os mercados
se comportaram durante o período de estudo de acordo com a hipótese de caminho
aleatório (random walk), exceto para períodos semanais.
Não foi encontrada coerência significativa entre os retornos do mercado de juros
brasileiro (CDI) e o de ações (Ibovespa).
De uma forma geral, pode-se observar que as bolsas de São Paulo (Ibovespa) e
Buenos Aires (Merval) tem movimentos diários com coerência espectral significativa
para o período estudado (1995-1999). Este comportamento não pode ser
observado entre os outros mercados estudados, salvo para freqüências baixas,
correspondentes a movimentos de longo prazo, e para ciclos de uma semana,
possivelmente associados ao “efeito segunda-feira”.
Quanto à antecedência, os dados são inconclusivos. É provável que sejam
necessários dados horários (ou até de intervalos menores) para que este fenômeno
seja identificado, pois aparentemente a velocidade de ajuste dos mercados maior
que a freqüência diária.
63
6 Sugestões para novos trabalhos
Poucos estudos tem sido realizados no Brasil utilizando a análise espectral aplicada
a finanças. Apesar deste método ser amplamente utilizado nas ciências da
natureza, raramente se encontram teses ou artigos no campo das ciências sociais.
Isto deixa para os pesquisadores um mundo de oportunidades: diversos fenômenos
econômicos, por exemplo, apresentam comportamento explicável por uma
composição de componentes periódicos. É natural que seja assim. Se a natureza é
regida por ciclos, porque deveria a sociedade seguir alheia a estas flutuações?
A realização de testes com análise espectral bivariada (coerência e fase) com dados
de mercados internacionais coletados em intervalos pequenos pode revelar
comportamentos interessantes de antecedência e retardo. Os mercados da
Argentina e Brasil, por exemplo, provavelmente oferecem conclusões deste tipo.
Estudos na área de macroeconomia também oferecem perspectivas interessantes:
taxa de juros e base monetária são duas variáveis “candidatas” a alta correlação
em frequência – e a identificação de um comportamento relacionado tem
consequências importantes para o mercado financeiro.
Em marketing, também existem oportunidades atraentes. Muitos produtos
apresentam sazonalidade na produção e no consumo, e provavelmente elevada
correlação em frequência com outros produtos. A identificação dos fenômenos que
governam este comportamento é de grande importância estratégica.
Da mesma forma, diversas atividades na cadeia de suprimentos são recorrentes, de
modo que o uso da análise espectral pode ser de grande utilidade na área de
logística.
64
Referências Bibliográficas
BARNES, P. Thin trading and stock market efficiency, the case of the Kuala
Lumpur Stock Exchange, Journal of Business Finance & Accounting. v.13,
n.4, p.609-617, 1986.
BARTLETT, M.S. An Introduction to Stochastic Processes. London: Cambridge
University Press, 1961.
BERG, L., LYHAGEN, J. Short and Long run dependence in swedish stock returns
Applied Financial Economics. v.8, n.4, p.435-443, 1998.
BLACKMAN, R.B., TUKEY, J.W. The Measurement of Power Spectra. New
York: Dover, 1958. 190p.
BOX, G.E.P., JENKINS, G.M. Time Series Analysis Forecasting and Control.
San Francisco: Holden Day, 1970. 553p.
BROOKS, H., Investing With a Computer: a Time Series Analysis Approach.
New York: Petrocelli Books, 1984. 148p.
CAMPBELL, J.Y., MANKIW, G.M. Permanent and transitory components in
macroeconomic time series, American Economic Review. v.77, p.111-117,
1987.
CONTADOR, C.R. Money, inflation, and the stock market: the brazilian case.
Chicago: University of Chicago, 1973. Tese. (Doutorado em Finanças)
_____________. O efeito realimentador da correção monetária. Rio de
Janeiro: IPEA, dez.1977. (Comunicação IPEA, 7)
_____________. O funcionamento do mercado financeiro em um modelo
de tres ativos. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, fev.1981. (Relatório COPPEAD,
58)
_____________. Uma análise espectral dos movimentos da Bolsa de Valores do
Rio de Janeiro, Revista Brasileira de Mercado de Capitais. v.1, p.67-92,
1975.
COOLEY, J.W., TUKEY, J.W. An algorithm for the machine calculation of Fourier
series, Mathematical Computing. v.19, p.297-301, 1965.
ENGLUND, P., PERSSON, T., LARS, E. Swedish Business Cycles: 1861-1988,
Journal of Monetary Economics. v.30, n.3, p.343-471, 1992.
65
EROL, U., RICHARDSON, J.A., GULLEGE, T.R. Spectral analysis of nominal interest
rates, Journal of Economic Dynamics & Control. v.11, n.2, p.275-281,
1987.
EUN, F.S., SHIM, S. International transmition of stock market movements, Journal
of Financial and Quantitative Analysis. v.24, n.2, p.241-256, 1989.
FABOZZI, F.J. Investment Management. New Jersey: Prentice Hall, 1994. 780p.
FISCHER, K.P., PALASVIRTA, A.P. High road to a global marketplace: the
international transmition of stock market fluctuations, The Financial Review.
v.25, n.3, p.371-394, Aug. 1990.
FISHMAN, G.S. Spectral Methods in Econometrics. Cambridge, Mass.: Harvard
University Press, 1969. 212p.
GODFREY, M, GRANGER, C.W, MORGENSTERN, O. The random walk hypothesis of
stock market behavior, Kyklos. v.17, p.1-30, 1964.
GRANGER, C.W. Forecasting in Business and Economics. San Diego: Academic
Press, 1989. 279p.
GRANGER, C.W. Investigating causal relations by econometric models and cross
spectral methods, Econometrica. v.37, p.424-438, 1969.
GRANGER, C.W., HATANAKA, M. Spectral Analysis of Economic Time Series.
Princeton: Princeton University Press, 1964. 299p.
GRANGER, C.W., MORGENSTERN, O. Predictability of Stock Market prices.
Lexington: Heath Lexington Books, 1970.
GRANGER, C.W., MORGENSTERN, O. Spectral analysis of New York stock market
prices, Kyklos. v.16, p.163-187, 1963.
GRANGER, C.W., NEWBOLD, P. Forecasting Economic Time Series. New York:
Academic Press, 1977. 333p.
HANNAN, E.J. Time Series Analysis. London: Methuen, 1960. 152p.
HILLIARD, J.E. The relationship between equity indices on world exchanges,
Journal of Finance. v.34, n.1, p.103-114, 1979.
JENKINS, G.M., WATTS, D.G. Spectral Analysis and its Applications. San
Francisco: Holden Day, 1968. 523p.
JENKINS, G.M. General considerations in the analysis of spectra, Technometrics.
v.3, p.133-166, 1961.
66
KOOPMANS, L.H. Spectral Analysis of Time Series. New York: Academic press,
1974. 366p.
KOUTMOS, G., BOOTH, G.G. Asymmetric volatility transmission in international
stock markets, International Journal of Money and Finance. v.14, n.6,
p.747-762, 1995.
LABYS, W.C., GRANGER, C.W. Speculation, Hedging and Commodity Price
Forecasts. Lexington: Heath Lexington Books, 1973. 320p.
LEROY, S., PORTER, S. The present value relation: tests based on implied variance
bounds, Econometrica. v.49, p.555-574, 1981.
LIM, G.C., MARTIN, V.L. A spectral-temporal index with an application to U.S.
interest rates, Journal of Business & Economic Statistics. v.12, n.1, p.81-
93, 1994.
LIN, S.M., DENNING, K.C., CHOW, K.V. Spectral analysis in three dimensions: the
examination of economic interdependence between New York, London, Tokio
and the Pacific Basin equity market indices, Journal of Applied Business
Research. v.12, n.3, p.72-84, 1990.
LO, A., MACKINLAY, A.C. Stock prices do not follow a random walk: some evidence
from a simple specification test, Review of Financial Studies. v.1, p.41-66,
1988.
McCULLOUGH, B.D. A spectral analysis of transactions: stock market data, The
Financial Review. v.30, n.4, p.823-842, Nov.1995.
MOORE, H.L. Economic Cycles: their law and cause. New York: Macmillan, 1914.
NERLOVE, M. Spectral analysis of seasonal adjustment procedures, Econometrica.
V.32, p.241-86, July 1964.
PARZEN, E. Mathematical considerations in the estimation of spectra,
Technometrics. V.3, p.167-190, 1961.
PEREIRA, B.B., PAIS, M.B., SALES, P.R. Análise Espectral de Séries
Temporais. Rio de Janeiro: Arte Final, 1986. 110p.
POTERBA, J., SUMMERS, L. Mean reversion in stock prices: evidence and
implications, Journal of Financial Economics. v.12, p.27-59, 1987.
PRAEZ, P. Testing for a flat spectrum on efficient market price data, Journal of
Finance. v.34, p.645-658, 1979.
67
SAMUELSON, P. Proof that properly discounted present values of assets vibrate
randomly, Bell Journal of Economics and Management Science. v.4,
p.369-374, 1973.
SEWELL S.P., et al. Using chaos measures to examine international capital market
integration, Applied Financial Economics. v.6, n.2, p.91-101, 1996.
SHILLER, R. The use of volatility measures in assessing market efficiency, Journal
of Finance. v.36, p.291-304, 1981.
SLTUSKY, E. The sommation of random causes as the source of cyclic processes,
Econometrica, v.5, p.105-146, 1937.
SMIRLOCK, M., STARKS, L. Day of the week and intraday effects in stock returns,
Journal of Financial Economics. v.17, p.197-210, 1986.
SMITH, K.L. Major world equity market interdependence a decade after the 1987
crash: evidence from cross spectral analysis , Journal of Business Finance &
Accouting, p.365-392, Apr.1999.
SODERLIND, P. Cyclical properties of a real business cycle model, Journal of
Applied Econometrics, v.9, p.113-122, 1994.
THOMA, M.A. The effects of money growth on inflation and interest rates across
spectral frequency bands, Journal of Money, Credit & Banking. v.26, n.2,
p.218-231, 1994.
TUKEY, J.W. Discussion, emphasizing the connection between analysis of variance
and spectrum analysis, Technometrics. v.3, p.191-219, 1961.
WHITTLE, P. Prediction and regulation by linear least square methods.
London: English Universities Press, 1963.
68
Anexo I – Efeito do Ponto de Truncamento
A seqüência de gráficos abaixo ilustra o efeito do ponto de truncamento no
resultado do espectro. O ponto de truncamento, ou defasagem máxima, representa
na prática o número de faixas de freqüência em que o espectro é estimado. A
literatura não oferece regra definida para escolha deste número (GRANGER e
HATANAKA, 1964, p.61). Quando maior ele for, mais suave será o espectro. Deve-
se escolhê-lo de modo que o espectro seja uma curva razoavelmente suave, mas
sem que informações importantes sejam perdidas. Neste trabalho o valor utilizado
foi 99.
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (5)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
.06
.04
.02
.01.008.006
.004
.002
.001
69
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (11)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
.3
.2
.1.09.08.07.06.05
.04
.03
.02
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (21)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
.8
.7
.6
.5
.4
.3
.2
.1
70
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (31)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
2
1.9.8.7
.6
.5
.4
.3
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (41)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
3
2
1.9.8
.7
.6
71
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (51)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
3
2
1.9.8
.7
.6
.5
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (61)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
4
3
2
1
72
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (71)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
4
3
2
1
Spectral Density of IBOVESPA
Window: Parzen (99)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Den
sity
5
4
3
2
1
73
Anexo II – Extensão da Análise “Ibovespa x CDI”
Para aprofundar a análise entre a relação entre os mercados de juros e ações no
Brasil, foi realizada uma extensão do período de avaliação de cinco para dez anos
(de 31/maio/1989 até 29/abr/1999). Os resultados estão nos gráficos abaixo, que
confirmam a ausência de correlação estatisticamente significativa.
O primeiro gráfico mostra a evolução de $100 em 31/05/89 ao longo do período de
dez anos, deflacionado pelo IGP. Pode-se observar os períodos de elevada inflação
anteriores ao Plano Real, e em seguida o período de estabilização.
Evolução $100 em 31/05/89, deflacionado pelo IGP
0
100
200
300
400
500
600
700
5/31
/89
9/30
/89
1/31
/90
5/31
/90
9/30
/90
1/31
/91
5/31
/91
9/30
/91
1/31
/92
5/31
/92
9/30
/92
1/31
/93
5/31
/93
9/30
/93
1/31
/94
5/31
/94
9/30
/94
1/31
/95
5/31
/95
9/30
/95
1/31
/96
5/31
/96
9/30
/96
1/31
/97
5/31
/97
9/30
/97
1/31
/98
5/31
/98
9/30
/98
1/31
/99
5/31
/99
CDI over
D_ptax
D_par
Ibovespa
Em seguida estão três gráficos de retornos nominais “Ibovespa x CDI over”. Trata-
se na realidade do mesmo gráfico, impresso em três escalas diferentes para
permitir uma visualização adequada de todos os pontos. Assim como para o período
de 5 anos, os dados de dez anos também não sugerem a existência de correlação
entre os dois mercados. Foram utilizados os retornos nominais, em razão das
dificuldades em estabelecer uma taxa de inflação diária.
74
Ibovespa X CDI (retornos nominais diários dos últimos 10 anos) - escala menor
y = 0.9226x + 0.0008R2 = 0.0275
-5.00%
-2.50%
0.00%
2.50%
5.00%
0.00% 0.10% 0.20% 0.30%
CDI
Ibov
espa
Ibovespa X CDI (retornos nominais diários dos últimos 10 anos) - escala média
y = 0.9226x + 0.0008R2 = 0.0275
-10.00%
-5.00%
0.00%
5.00%
10.00%
0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00%CDI
Ibov
espa
75
Ibovespa X CDI (retornos nominais diários dos últimos 10 anos) - escala maior
y = 0.9226x + 0.0008R2 = 0.0275
-15.00%
-10.00%
-5.00%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00%CDI
Ibov
espa
Em seguida estão as duas séries históricas, os dados de retornos plotados contra o
tempo. Novamente são retornos nominais diários. Pode-se observar os diferentes
períodos de aceleração da inflação (nos anos anteriores ao Plano Real) na série
histórica do CDI. Quanto ao gráfico dos retornos Ibovespa, destaca-se a redução da
variância no período de estabilização, e o aumento da variância nos períodos
correspondentes às crises internacionais recentes (Ásia, Rússia, Brasil).
76
CDI over- série histórica dos retornos nominais diários
0.00%
0.50%
1.00%
1.50%
2.00%
2.50%
3.00%
3.50%
4.00%
4.50%
5.00%
4/2/89 10/19/89
5/7/90 11/23/90
6/11/91
12/28/91
7/15/92
1/31/93
8/19/93
3/7/94 9/23/94
4/11/95
10/28/95
5/15/96
12/1/96
6/19/97
1/5/98 7/24/98
2/9/99 8/28/99
Ibovespa- série histórica dos retornos nominais diários
-10.00%
-5.00%
0.00%
5.00%
10.00%
4/2/89 8/15/90 12/28/91 5/11/93 9/23/94 2/5/96 6/19/97 11/1/98
O gráfico seguinte mostra a coerência entre as duas séries históricas, que fica
abaixo do limite de confiança (95%) para qualquer frequência, confirmando a
ausência de correlação.
77
Coherency of CDI and IBOVESPA
Window: Parzen (99)
Frequency
.6.5.4.3.2.10.0
Coh
eren
cy.5
.4
.3
.2
.1
0.0
-.1
Lim. 95% conf.
78
Anexo III – Resultados do Ibovespa
Para estender a avaliação do índice Ibovespa quanto à eficiência de mercado na
forma fraca, foi calculado o espectro de potência para dados coletados de 15 em 15
minutos durante o período entre Jan/98 e Jul/99. Os dados foram gentilmente
cedidos pela própria Bovespa. A prática de recalcular o utilizando um intervalo
amostral diferente é recomendada para identificar efeitos de aliasing, que podem
levar a conclusões incorretas.
No caso específico do Ibovespa, os resultados com intervalo de 01 dia indicaram
alta potência espectral em um ciclo de 10 dias. Este resultado pode ser confirmado
pelos dados coletados em intervalos de 15 minutos e duas horas. Na sequência
temos os resultados para estas séries.
Ibovespa - jan/1998 a jul/1999
0.00
2000.00
4000.00
6000.00
8000.00
10000.00
12000.00
14000.00
Jan-98
Feb-98
Mar-98
Apr-98
May-98
Jun-98
Jul-98
Jul-98
Aug-98
Sep-98
Oct-98
Nov-98
Dec-98
Jan-99
Feb-99
Mar-99
Apr-99
May-99
Jun-99
Choque cambial
79
Retornos Ibovespa - 15 em 15 min - agrupados por dia
-5%
-3%
0%
3%
5%
31-Dec-97 10-Apr-98 19-Jul-98 27-Oct-98 4-Feb-99 15-May-99
Pode-se notar o aumento da variância nos períodos de crise: crise cambial
brasileira, jan/99; Rússia, set-out/98. A crise asiática foi anterior ao período
coberto pelos dados, mas pode-se observar ainda uma perturbação no mercado no
início de janeiro de 1998. As linhas verticais “vazias” no gráfico são os feriados,
pois os dados foram agrupados por dia.
Os retornos a cada 15 minutos apresentam grandes desvios em relação à curva
normal (Gauss). Isto pode ser comprovado pelo resultado do teste de Kolmogorov-
Smirnov, e pelo NormalPlot em seguida.
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
10724******************
.131
.131-.127
13.539.000
NMeanStd. Deviation
Normal Parametersa,b
AbsolutePositiveNegative
Most ExtremeDifferences
Kolmogorov-Smirnov ZAsymp. Sig. (2-tailed)
RETORNO
Test distribution is Normal.a. Calculated from data.b.
80
Normal P-P Plot of Ibovespa - 15 em 15 min
Observed Cum Prob
1.00.75.50.250.00
Expe
cted
Cum
Pro
b
1.00
.75
.50
.25
0.00
Histograma - Retornos Ibovespa - 15 em 15 min (-1% a +1%)
0
100
200
300
400
500
600
-1.0
0%
-0.9
4%
-0.8
8%
-0.8
2%
-0.7
6%
-0.7
0%
-0.6
4%
-0.5
8%
-0.5
2%
-0.4
6%
-0.4
0%
-0.3
4%
-0.2
8%
-0.2
2%
-0.1
6%
-0.1
0%
-0.0
4%
0.02
%
0.08
%
0.14
%
0.20
%
0.26
%
0.32
%
0.38
%
0.44
%
0.50
%
0.56
%
0.62
%
0.68
%
0.74
%
0.80
%
0.86
%
0.92
%
0.98
%
81
Histograma - Retornos Ibovespa - 15 em 15 min (-2% a +2%)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000-2
.00%
-1.8
8%
-1.7
6%
-1.6
4%
-1.5
2%
-1.4
0%
-1.2
8%
-1.1
6%
-1.0
4%
-0.9
2%
-0.8
0%
-0.6
8%
-0.5
6%
-0.4
4%
-0.3
2%
-0.2
0%
-0.0
8%
0.04
%
0.16
%
0.28
%
0.40
%
0.52
%
0.64
%
0.76
%
0.88
%
1.00
%
1.12
%
1.24
%
1.36
%
1.48
%
1.60
%
1.72
%
1.84
%
1.96
%
Espectro de Potência - Ibovespa - dados de 15 em 15 minutos
0.0E+00
4.0E-06
8.0E-06
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.50
Frequência
P(f)
Limite superior 99%
Limite inferior 99%
1 semana, e outros ciclos mais longos
9 intervalos = aprox 2 horas
3,6 intervalos = aprox 1 hora
Os dados indicam potência espectral significativa para frequências baixas, próximas
ao valor 0,01 – Que incluem os ciclos semanais e os ainda mais longos.
82
A frequência 0,11 também se destacou. Ela corresponde a um ciclo de duas horas.
Como 911.01 = , e como as tomadas são de 15 em 15 minutos, 9 intervalos
correspondem aproximadamente a duas horas. A correspondência perfeita a duas
horas seria 8 intervalos.
Nas frequências mais elevadas nenhum componente se destaca.
Em seguida está um gráfico equivalente, o de densidade espectral. A principal
diferença é que ele está plotado contra o período, ao invés de frequência.
Densidade espectral do retorno Ibovespa
Window: Parzen (99)
Period
2000010000
50004000
30002000
1000500
400300
200100
504030201054321
Den
sity
.4
.3
.2
.1
O gráfico por período confirma a ausência de componentes importantes nos
períodos mais curtos. O primeiro componente de destaque aparece próximo a 10
intervalos, o equivalente à frequência 0,10 e a um ciclo um pouco mais longo que
duas horas, que também aparece em destaque no gráfico anterior, por frequência.
83
Os dados em intervalos de 15 minutos revelaram potência elevada para ciclos de
períodos maiores que três dias. Para identificar melhor estes componentes, foi
realizado um teste com dados em intervalos de 2 horas.
Espectro de potência - Ibovespa - dados a cada 2 hs
0.0E+00
2.0E-05
4.0E-05
6.0E-05
8.0E-05
1.0E-04
0.01
0.02
0.04
0.05
0.07
0.08
0.10
0.11
0.13
0.14
0.16
0.17
0.19
0.20
0.22
0.23
0.25
0.26
0.28
0.29
0.31
0.32
0.34
0.35
0.37
0.38
0.40
0.41
0.43
0.44
0.46
0.47
0.49
Frequência
Limite superior 95%
Limite inferior 95%
O espectro acusa valores significativos nas seguintes frequências:
♦ Frequência 0,03 : 33 intervalos de 2 hs = aprox. 10 dias
♦ Frequência 0,09 : 11 intervalos de 2 hs = aprox. 3 dias
♦ Frequência 0,285 : entre 3 e 4 intervalos de 2 hs = aprox. 1 dia
Uma parte da imprecisão no “fechamento” dos ciclos se deve ao fato da Bovespa
ter alternado expedientes de 6, 7 e 8 horas durante o período analisado.
Ainda assim, os resultados confirmam o ciclo de 10 dias úteis, identificado com
dados diários.
Nas páginas seguintes estão os gráficos por período (ao invés de frequência), para
dados coletados em intervalos de 2 horas e 1 hora.
10 dias
3 dias
1 dia
84
Densidade espectral do retorno Ibovespa - int: 2 hs
Window: Parzen (99)
Period
20001000
500400
300200
10050
4030
2010
54
32
1
Den
sity
2
1.9
.8
.7
.6
.5
Densidade espectral do retorno Ibovespa - int: 1 hr
Window: Parzen (99)
Period
40003000
20001000
500400
300200
100504030201054321
Den
sity
1
.9
.8
.7
.6
.5
3 dias 10 dias
10 dias