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5/20/2018 Analise Dinamica de Mecanismos Flexiveis.pdf

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ANLISE DINMICA DE MECANISMOS FLEXVEIS

VICTOR HUGO PANATO1, DOMINGOS ALVES RADE2

RESUMO

Este artigo tem por objetivo apresentar uma sntese do estudo desenvolvido acerca da

dinmica de sistemas de multicorpos, compostos por partes rgidas e flexveis, com aplicaes

aos mecanismos elsticos. A modelagem de sistemas de multicorpos apresentada, atentando

para problemas de representao de rotaes, caracterizao de deformaes dos corpos

flexveis e manipulao simblica para formulao das equaes do movimento. Para a

caracterizao de deformaes dos corpos elsticos e conseqente discretizao dos modelos

estudados utilizado o Mtodo de Elementos Finitos (MEF). As simulaes de sistemas de

multicorpos so apresentadas por meio de exemplos ilustrativos.

Palavras chave: Anlise Dinmica, Mecanismos Flexveis, Modelagem, Simulao.

________________________

(1)Acadmico do curso de Engenharia Mecnica, (2) OrientadorUniversidade Federal de Uberlndia - UFUFaculdade de Engenharia Mecnica FEMECCampus Santa Mnica CP: 593CEP 38400-902 Uberlndia MG Brasile-mail: [email protected]


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2

DYNAMIC ANALYSIS OF FLEXIBLE MECHANISMS

ABSTRACT

This paper focuses on the study carried on about multibody system dynamics, formed by both

rigid and flexible components, with particular emphasis to elastic mechanisms. The following

aspects are addressed: modeling, simulation and optimization. Modeling of flexible

mechanisms takes into account the representation of finite rotations and small elastic

displacements for obtaining the equations of motion. For characterizing elastic strains, the

Finite Element Method is used. A number of numerical simulations are presented to illustrate

some important features of the dynamic behavior of elastic mechanisms.

Keywords: Dynamic Analysis, Flexible Mechanisms, Modeling, Simulation.


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1 - Introduo

A anlise dinmica de corpos rgidos

e flexveis interconectados, que sofrem

grandes deslocamentos, tambm conhecidos

como sistemas de multicorpos, um tpico

com aplicaes em vrias reas da

Engenharia Mecnica, tais como robtica,

sistemas aeroespaciais, engenharia

automotiva, entre outras.

Particularmente, a dinmica de

mecanismos operando a alta velocidade,

um problema de grande importncia e tem

recebido ateno considervel de

pesquisadores, durante as duas ltimas

dcadas.

Sistemas de multicorpos eram

tradicionalmente modelados como corpos

rgidos, onde os efeitos das deformaes

elsticas no movimento eram desprezados.

No entanto, recentes trabalhos vm

admitindo a deformao estrutural na anlise

dinmica de sistemas de multicorpos, usando

uma teoria de elasticidade linear, onde tais

deformaes elsticas so admitidas

pequenas. Percebia-se, entretanto, que estes

mtodos lineares eram precisos somente para

alguns tipos de sistemas mecnicos, onde

grandes deformaes pudessem ser

desconsideradas.

Assim, em numerosos casos faz-se

necessria a criao de modelos dinmicos

mais sofisticados e precisos, capazes de

analisar os efeitos de deformaes elsticas e

grandes deslocamentos nas respostas de

mecanismos flexveis.

Os primeiros cdigos estruturais de

simulao da Dinmica de Sistemas de

Multicorpos pecavam principalmente pelo

grande nmero de hipteses simplificadoras,

como por exemplo, linearizao de rotaes e

negligenciamento de movimentos fora do

plano do mecanismo, que levavam a erros

bastante significativos.

No entanto, a hiptese mais

questionvel para a dinmica de multicorpos,

era a admisso de que todos corpos fossem

rgidos no sistema. A necessidade de se ter

mecanismos cada vez mais leves, com menor

consumo de potncia e com velocidades cada

vez maiores, tornou inadequada a hiptese de


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4

rigidez. Por isso faz-se necessrio levar em

conta os efeitos da flexibilidade dos corpos.

Evidentemente, o custo computacional

aumentado, j que os modelos matemticos

so mais sofisticados. Todavia, com o uso de

computadores cada vez mais potentes no

mercado, torna-se vivel a simulao

numrica do comportamento dinmico a parti

destes modelos.

Outra motivao que caracteriza este

trabalho a incluso das tcnicas de

otimizao nos modelos analiticamente

estudados.

No projeto de mecanismos elsticos,

restries de tenso e de deformao no

podem ser desprezadas. Alm desses, muitos

outros critrios, especficos a cada

mecanismo, so utilizados na otimizao de

sistemas de multicorpos. Na literatura

especializada, comum a adoo de funes

objetivos, que levam em conta freqncias

naturais de vibrao ou velocidades crticas

de operao de um determinado mecanismos

elstico; algumas propriedades fsicas e/ou

geomtricas so utilizadas como variveis de

projeto, para se obter um melhor

desempenho.

Com uso de pacotes de otimizao, a

tarefa de encontrar uma configurao tima

para um determinado problema ficou

bastante simplificada. Esses otimizadores

aparecem no mercado com a mesma

capacidade matemtica, com uma interface

grfica muito mais amigvel, e com a

capacidade de conexo com outros

programas, que permitem resolver vrios

problemas na modelagem, simulao, na

prpria otimizao, na identificao e no

controle desses sistemas.

2 - Modelagem Numrica de SistemasMecnicos de Multicorpos Baseada naTcnica de Rayleigh-Ritz

A configurao e o movimento de um

sistema de multicorpos podem ser descritos,

utilizando as seguintes grandezas cinemticas

vetoriais: posio, velocidade e acelerao.

Essas grandezas devem ser medidas emrelao a um sistema tri-ortogonal de eixos

de referncia, previamente escolhido.


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5

Uma vez escolhido o sistema de

referncia, um vetor arbitrrio u fica

definido por suas trs componentes espaciais.

Na anlise de sistemas de

multicorpos, dois tipos de sistemas

referenciais so empregados, a saber: a)

sistema de referncia globalou inercial: com

eixos fixos, tomado como padro para

todos os componentes, independentemente

de suas posies ou movimento; b) sistemas

de referncia locais: esto ligados

diretamente a cada um dos corpos

componentes do sistema. Assim, sua posio

e orientao variam com o tempo, quando o

sistema se movimenta.

Fig. 1 - Sistemas Referenciais

A vetor posio iu de um ponto

qualquerPi , de um componente genrico i do

sistema de multicorpos pode ser

representada da seguinte forma. No sistema

global:

332211 iiiuiiii

uuu ++= (1)

E no sistema local:

iiiiiii uuu 332211 iiiu ++= (2)

As configuraes determinadas pelas

Eqs. (1) e (2) podem ser relacionadas atravs

de uma transformao algbrica, denominada

matriz de rotao.

Em sistemas de multicorpos com

componentes flexveis, deve-se incluir na

formulao os efeitos relacionados

elasticidade. A deformao, ou mudana de

forma de um corpo, depende do movimento

de cada partcula, relativo a sua vizinhana.

2.1 - Vetor Posio

Pode-se identificar um ponto P no

corpo, com o vetor posio . O

deslocamento final de P, de t0a t dado por:

xu = (3)

Onde:

[ ] [ ] [ ]TTT ,xxx,uuu 321321321 === xucomo pode ser observado na Fig. 2.


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6

Fig. 2 - Configurao Deformvel e Indeformvel

Mtodos de aproximao so usados

para formular um conjunto finito de equaes

dinmicas do movimento de sistemas de

multicorpos, contendo partes deformveis

interconectadas.

Assim, a formulao das equaes do

movimento para corpos deformveis, que

esto sob ao de grandes deslocamentos

rotacionais e translacionais desenvolvidausando como referncia o sistema de

coordenadas locais.

Neste sistema de coordenadas, a

configurao de cada corpo flexvel no

sistema identificado, usando dois conjuntos

de coordenadas: um de referncia e um

elstico. Coordenadas de referncia definem

a localizao e a orientao de um corpo

selecionado. Coordenadas elsticas, por sua

vez, definem a deformao do corpo com

relao ao sistema de referncia. Com a

inteno de evitar dificuldades

computacionais, associadas a espaos de

dimenses infinitas, essas coordenadas so

introduzidas usando tcnicas clssicas de

aproximao, como o mtodo de Rayleigh-

Ritze o mtodo de Galerkin.

Sistemas de multicorpos, em geral,

incluem duas classes de corpos. Uma delas

consiste de slidos compactos e volumosos

que so tratados como corpos rgidos,

enquanto outra classe inclui componentes

tipicamente estruturais , como barras, vigas,

placas elsticas.

O comportamento de tais

componentes governado por um conjunto

de equaes diferenciais parciais

simultneas.

Supe-se que o campo de

deslocamentos descreva a deformao do

corpo com relao ao sistema de referncia

local, de acordo com Fig. 3:


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7

Fig. 3 - Coordenadas de um Corpo Deformvel

O movimento do corpo ser ento

definido como o movimento deste

referencial, mais o movimento dos pontos

materiais no corpo com relao a esta

referncia.

Estabelecendo a hiptese do campo

de deslocamento conter modos de corpo

rgido, ento um conjunto de condies

iniciais dever ser imposto para definir um

nico campo de deslocamentos, com relao

ao sistema de coordenadas selecionado.

Para identificar a configurao de

corpos elsticos, um conjunto de

coordenadas generalizadas selecionado deforma que a localizao de um ponto,

arbitrrio, possa ser descrita por essas

coordenadas.

Assim, selecionado um sistema

global, (X1X2X3), fixo no tempo, que define

a conectividade entre diferentes corpos no

sistema de multicorpos. Para um corpo

arbitrrio i, escolhemos o sistema de

referncia ( )iii XXX 321 , cuja localizao e

orientao com relao ao sistema global so

definidas por um conjunto de coordenadas

chamadas coordenadas de referncia e

denotadas por irq . Este vetor pode ser escrito

da seguinte forma:

[ ]TTiTiir vq = (4)

onde iv o vetor das coordenadas

cartesianas de translao, que define a

localizao da origem do corpo de referncia,

conforme a ltima figura, e i um conjunto

de coordenadas de rotao, que descreve a

orientao do corpo selecionado.

Se o corpo for rgido, as coordenadas

de referncia so suficientes para a

localizao de um ponto arbitrrio do corpo,

e consequentemente, essas coordenadas

descrevem completamente a cinemtica do

corpo.


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8

No caso de um corpo rgido

bidimensional, a posio global de um ponto

Ppode ser descrita por:

iiiiP uAvr += (5)

onde iu o vetor posio do ponto Pe iA

a matriz de transformao definida por:

=

ii

ii

i

cossen

sencosA (6)

Como a hiptese de rigidez do corpo i

implica que a distncia entre dois pontos

quaisquer do corpo permanea sempre

constante, conclui-se que o comprimento do

vetor iu permanecer, tambm, consta nte.

No entanto, quando corpos

deformveis so considerados, a distncia

entre dois pontos arbitrrios, em geral, no

permanece constante, devido ao movimento

relativo entre as partculas que formam o

corpo. Neste caso o vetor iu pode ser escrito

como:

i

f

i

f

qSuuuu +=+=00

(7)

onde 0u a posio do ponto P, no estado

indeformado, Si a matriz de forma, e ifq

o vetor de coordenadas generalizadas

elsticasdo corpo flexvel i.

Assim, podemos expressar a posio

do pontoPno corpo i, por:

)ifiiiiiii

P qSuAvuAvr ++=+= 0 (8)

onde a posio global do ponto P escrita

em termos das coordenadas generalizadas e

das coordenadas elsticas do corpo i. Assim,

pode-se definir as coordenadas do corpo i,

por:

=

=

if

i

i

if

iri

q

v

q

qq (9)

com iv e i sendo as coordenadas de

referncia e ifq o vetor de coordenadas

elsticas.

2.2 - Equaes de Velocidade

Derivando a Eq. (8) em relao ao

tempo, teremos:

iiiiiiP uAuAvr &&& ++= (10)

Usando a Eq. (7), podemos escrever

iu& em termos de suas derivadas temporais,

de acordo com as coordenadas elsticas do

corpo i, da seguinte maneira:


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9

if

ii qSu && = (11)

onde ifq& o vetor de velocidades elsticas

para o corpo i. Substituindo essa relao na

Eq. (10), resulta:

i

f

iiiiii

P qSAuAvr ++= &&& (12)

Fazendo a seguinte substituio

iiii BuA && = , onde iB um vetor que

depende de e ifq , ei& a derivada das

coordenadas rotacionais em i, a ltima

equao ficar da seguinte forma:

i

f

iiiiii

P qSABvr &&& ++= (13)

Podemos ainda expressar o vetor

velocidade absoluta da Eq. (13) pela seguinte

relao:

[ ]

=

i

f

i

i

iiiiP

q

v

SABIr

&

&

&

& 3 (14)

Fazendo [ ] iiii SABIL 3= , e

usando a relao [ ]TTifTiTii qvq &&&& = pode-

se escrever:

iiiP qLr && = (15)

que uma forma simplificada para o vetor de

velocidades generalizadas do ponto P , no

corpo i.

A Eq. (13) expressa o vetor

velocidade de um ponto P em funo das

coordenadas generalizadas do corpo i. Temos

ainda que iv& o vetor velocidade absoluta

da origem do corpo de referncia; ifii qSA & a

velocidadedo ponto P, devida deformao

do corpo, definida em relao a um

observador estacionrio no corpo. Se este for

rgido, ifii qSA & ser igual a zero; o termo

central iiB & , resultante das derivadas

temporais da matriz de transformao. Este

termo depende das coordenadas de rotao, etambm das coordenadas de deformao

elstica do corpo.

2.3 - Equaes de Acelerao

A acelerao do ponto P

determinada pela diferenciao direta da Eq.

(15). Isso conduz a:iiiii

P qLqLr &&&&&& += (16)

onde iiqL && um vetor de velocidades

quadrticas, que contm a componente de


10/18

10

Coriolis. O vetor acelerao pode ser

expresso ainda da seguinte forma:

iiiii

iiiiii

)(2

)(

uAuA

uuvr iP

&&&

&&&&

++

+++= (17)

Nesta equao, i o vetor

acelerao angular; o termo iv&& a

acelerao da origem do corpo de

referncia; )( iii u a componente

normal de acelerao do ponto P, que

instantaneamente coincide com P, na

configurao indeformada. Esta componente

da acelerao est direcionada ao longo do

eixo que conecta a origem do sistema de

referncia ao ponto P; ii u a

componente tangencial da acelerao de P

relativa origem. A direo desta

componente perpendicular aos vetores i e

iu ; )( iii uA &2 a componente de

Coriolisda acelerao e iiuA && a acelerao

do ponto Pdevida deformao relativa ao

sistema de referncia.

Em um corpo rgido, os dois ltimos

termos da Eq. (17) desaparecem. Esta

equao, inclusive, usada na dinmica de

corpos rgidos para descrever a acelerao

das partculas que se deslocam no corpo,

contanto que o movimento destas seja

apropriadamente descrito pelo vetor iu .

2.4 - Propriedades de Inrcia

A respeito da energia de corpos

deformveis, observa-se diferenas entre as

propriedades de inrcia de corpos flexveis

que sofrem rotaes finitas e as propriedades

de inrcia de sistemas rgidos e estruturais.

As integrais de forma que aparecem

nas componentes da matriz de inrcia

representam a inrcia que existe no

acoplamento entre o movimento de

referncia e a deformao elstica do corpo

deformvel. Alm disso, a matriz de inrcia

depende da deformao elstica e, como

consequncia, ter variao com o tempo.

2.5 - Matriz de Inrcia

A seguinte definio da energia

cinticaTi , para um corpo iser usada:

ii

P

Ti

PV

iidVT

irr &&

=

2

1 (18)

onde i a densidade, Vi o volume, e iPr&

o vetor velocidade de um ponto arbitrrio P

neste sistema de referncia.


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11

Usando o fato de que iiiP qLr && = ,

escrevemos:

= iViiiTiTiii dVT qLLq &

2

1 (19)

Assim:

[ ] iV

iiTiiTii dVTi

qLLq && = 21

(20)

Ou ainda, numa forma mais

compacta:

iiTii

T qMq &&

2

1

= (21)

onde, Mi a matriz simtrica, chamada

matriz de inrcia do corpo i, no sistema de

multicorpos. Esta matriz definida por:

= iViiTiii

dVLLM (22)

Como [ ] iiii

SABIL 3= , tem-se:

( )[ ]

=

iV

iiii

T

Tii

TiiidVSABI

SA

B

I

M 3

3

(23)

Ou ainda:

( ) ( )

i

iTiTiiiTii

iiTiiTiTi

iii

V

ii

dVi

= SSSABSA SABBBB

SABI

M

3

(24)

Numa notao simplificada, a Eq.

(24) pode ser reescrita como a seguinte

matriz simtrica:

=iTiTi

iiTi

iii

i

ffff v

fv

vfvvv

MMM

MMM

MMM

M (25)

Voltando energia cintica, pode-se

expressar a Eq. (21) em funo das

submatrizes da Eq. (25):

]2

2

2[2

1T

if

iTif

if

iTi

iiTiif

iTi

iiTiiiTii

qMqqM

MqMv

MvvMv

fff

vf

vvv

&&&&

&&&&

&&&&

++

+++

++=

(26)

Caso o corpo analisado seja rgido, o vetor

ifq& , relacionado s coordenadas elsticas de

i, desaparece, e a energia cintica se reduz a:

[ ]iiTiiiTiiiTiiT MMvvMv vvv &&&&&& ++= 22

1 (27)

2.6 - Matriz de Rigidez

Considerando o trabalho virtual

relacionado s foras elsticas, tem-se::

iiT

V

iiS dVW i = (28)

onde i e i so, respectivamente, os vetores

de tenso e de deformao, e iSW o

trabalho virtual realizado pelas foras

elsticas.

Pode-se definir ainda, a seguinte

relao:


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12

if

ii uD = (29)

onde iD um operador diferencial e ifu o

vetor de deslocamento. Assim, usando as

coordenadas generalizadas do corpo i:

i

f

iii qSD= (30)

Relacionando os vetores i e i , de

acordo com a equao constitutiva linear:

iii E = , (31)

em que iE a matriz simtrica de

coeficientes elsticos, e fazendo as devidas

substituies, escreve-se:

i

f

iiii qSDE = (32)

Voltando Eq. (27), tem-se:

( ) iifiiTiTii

V

Ti

f

i

S dVW i qSDESDq = (33)

Ou ainda:

( ) ifiiiiT

V

iiTif

iS dVW i qSDESDq

= (34)

Define-se ento a matriz de rigidez,

i

ffK , como sendo:

( )

iiii

V

TiiidV

i

SDESDKff =

(35)

Assim, pode-se escrever a equao do

trabalho virtual, em funo da rigidez, da

seguinte forma:

i

f

iTi

f

i

SW qKq ff = (36)

Ou ainda:

[ ]

=i

f

i

i

i

Tif

Ti

TiiS W

q

v

K00000

000

qvff

(37)

2.7 - Foras Externas

O trabalho virtual de todas as foras

externas que atuam em um corpo i, em um

sistema de multicorpos pode ser escrito como

segue:

qf Ti

ei

eW = (38)

onde ief o vetor das foras generalizadas,

associado s coordenadas do corpo i. Com

isso, pode-se escrever:

[ ]

=

i

f

i

i

TiTiTiie W

q

v

fff fv

(39)

Nota-se que as coordenadas do vetor

de foras externas esto relacionadas,

respectivamente, s coordenadas de

translao, de rotao e s coordenadas

elsticas do corpo i.


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13

2.8 - Equaes do Movimento

O trabalho virtual realizado pelas

foras atuantes em um corpo i, em sistema

de multicorpos pode ser representado por:

i

e

i

S

iWWW += (40)

onde iSW o trabalho virtual devido s

foras elsticas, resultantes da deformao

do corpo, e ieW o trabalho virtual

realizado pelas foras externas, tais como

molas, amortecedores, fora gravitacional,

etc.

Substituindo as Eqs. (35) e (38) em

(39), tem-se:

[ ]i

Tie

Tiii

Tie

iiT

ii W qfqKqfqKq +=+=

(41)

Fazendo [ ] TiTieTii

ffqK =+ , onde

if o vetor de foras generalizadas

associado s coordenadas do corpo i, obtm-

se:

iTiiW qf = (42)

Na dinmica de multicorpos, os

sistemas de coordenadas no so

independentes, devido s trajetrias dos

corpos e existncia de juntas, que podem

ser de revoluo, prismticas ou universais.

Estas restries cinemticas podem ser

introduzidas na formulao pelo uso de

equaes algbricas no-lineares que

dependem do conjunto de coordenadas

generalizadas e possivelmente do tempo.

Pode-se escrever as funes de

restries cinemticas da seguinte forma:

0qCq =)t,(i (43)

As Equaes de Lagrangeassociadas

ao corpo i, no sistema de multicorpos so

expressas segundo:

iTi

T

i

iT

i

iTT

dt

d

fCqq q =+

& , (44)

onde iT representa a energia cintica do

corpo eTi

qC a matriz Jacobiana de

restries, e representa o conjunto dos

multiplicadores de Lagrange.

Usando a expresso geral da energia

cintica dada pela Eq. (21), os dois primeiros

termos de (43) ficam:


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14

TiiTi

i

iiiiT

i

iT

i

i

2

1

TTdtd

+=

qMq

q

qMqMqq

&&

&&&&

&

(45)

Define-se o vetor iv como sendo o

vetor de velocidade quadrtica , resultante da

diferenciao da energia cintica com relao

ao tempo e s coordenadas do corpo:

T

iiTi

i

iii

+= qMqq

qM &&&&2

1v (46)

Neste vetor esto contidas as

componentes de fora de Coriolis. Assim

sendo, a Eq. (44) pode ser escrita como:

iii

T

i

iT

i

iTT

dt

d

v

=

qM

qq &&

&

(47)

Substituindo esta equao em (43),

tem-se:

b

ii

e

Tiiiiin,,,i, L&& 21=+=++ vfCqKqM q

(48)

onde nb o nmero total de corpos no

sistema.

A Eq. (47) pode ainda ser escrita

numa forma mais explcita:

( )

( )

( )

( )

+

=

+

+

+

v

v

e

eT

T

ii

ii

f

r

f

r

q

q

f

r

fff

r

fffr

rfrr

f

f

C

C

q

q

K0

00

q

q

MM

MM

f

r

v

v

&&

&&

(49)

Para simplificar a notao, pode-se

omitir o ndice ida formulao acima.

Derivando duas vezes a equao (42),

tem-se:

qqCqCCqC qqqq &&&&& = ttt 2 (50)

O vetor dado em (49) pode ser

representado por cq=qCq && , que um vetor

que depende das coordenadas de referncia,

coordenadas elsticas, velocidades e

eventualmente do tempo.

Combinando as Eqs. (48) e (49) tem-

se:

( ) ( )

( ) ( )

+

+=

=

ffff

rr

f

r

qff

qrfrr

Kf

f

q

q

0

CM

CMM

f

r

cq

v

v

ve

ve

T

T

sim.

&&

&&

(51)

Ou ainda:

f=qM (52)


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15

A resoluo da equao (51) pode ser

obtida por um mtodo aproximado

encontrado em Shabana (1998), chamado

tcnica de insero, que consiste na

eliminao das foras de restrio para se

obter os valores das aceleraes

Esta a formulao usada por

Shabana (1998) e que foi a base para a

anlise desenvolvida at agora, sendo

relevante na parte de modelagem e simulao

dos mecanismos flexveis estudados.

3 - Resultados Preliminares

Usando o softwareANSYS, foi feita

a modelagem de um mecanismo plano de

quatro-barras.

3.1 - Descrio do Modelo

O modelo inicial composto de vigas

bidimensionais acopladas, de seo

transversal circular, conforme a Fig. 4, onde

sero consideradas as seguintes

caractersticas:

Comprimento de cada viga:2l = 0,127 m,

3l = 0,2794 m, 4l = 0,2667 m;

Mdulo de elasticidade: E = 2,1 x 1010 kg /

m2;

Densidade: = 7751,09 kg / m3;

rea da seo transversal: A = 1,6129 x 10-4

m2;

Momento de inrcia: I = 8,65761 x 10-9m4;

Dimetro da seo: d = 1,4 x 10-2m;

Coeficiente de Poisson: = 0,3.

Fig. 4 - Mecanismo Plano de Quatro-Barras

O modelo consiste de trs vigas

uniformes acopladas, sendo que uma das

extremidades de2l e outra de 4l esto fixas

ao referenc ial, como mostra a Fig. 8.

Foi efetuada uma anlise modal do

sistema, utilizando o mtodo de iterao por

subespaos para a extrao dos primeiros

modos naturais de vibrao e uma anlise

transientepara se obter os dados relativos s

velocidades angulares e aceleraes

angulares das barras3

l e4l . Neste

segundo tipo de anlise, (anlise esta


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16

puramente cinemtica), foi atribuda a2l

uma vel. ang. (cte) srad2,182= .

Para simplificar a notao utilizada na

Fig. 4, os ns 2 e 3 representaro uma junta

de revoluo denominada B, e os ns 4 e 5

que esto representando a junta C. Sendo

assim, os ns 1 e 6 sero, respectivamente, os

pontos Ae D.

Baseado nisso, os grficos dos

deslocamentos relativos aos ns 2 e 4, em

funo do tempo, nas suas componentes

cartesianas, so mostrados a seguir, nas

figuras 5 e 6.

Fig. 5 - Deslocamentos relativos ao ponto B

Fig. 6 - Deslocamentos relativos ao ponto C

O mesmo mecanismo foi modelado

no software DYMORE e os resultados da

simulao, plotados no ambienteMATLAB, so apresentados nas figuras 7 e

8:

Fig. 7 - Deslocamentos relativos ao ponto B

Fig. 8 - Deslocamentos relativos ponto C

Os grficos plotados nas figuras 5 e

7, com relao junta B, mostram os

deslocamentos segundo as trs componentes

cartesianas, utilizando-se inicia lmente o

ANSYS , e em seguida o DYMORE.


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17

Analogamente, de acordo com a junta de

revoluo C, so apresentadas as figuras 6 e

8. A coincidncia dos resultados indica a

correta utilizao dos programas

computacionais.

Para o mecanismo de quatro-barras

mostrado na Fig. 4, foi formulado ainda a

seguinte situao, similar a um problema

apresentado por Bauchau (1998).

4 - Concluso

Uma reviso sobre as principais

caractersticas da formulao inerente aos

mecanismos flexveis foi feita, com o intuito

de buscar as ferramentas necessrias para

desenvolver o tema proposto.

Uma metodologia de modelagem

matemtica de sistemas de multicorpos,

baseada no mtodo de Rayleigh-Ritz

apresentada.

Efeitos da flexibilidade no contexto

da teoria da elasticidade linear so

considerados.

A anlise dinmica de um

mecanismo de quatro barras apresentada,

levando-se em considerao duas

implementaes: usando o software

ANSYS e outra utilizando o programa

DYMORE, juntamente com o pacote

MATLAB

.

Nas simulaes numricas, nota-se a

presena de pequenas regies de

instabilidade nos grficos relacionados ao

mecanismo no-flexvel, no que diz respeito

aos deslocamentos e s rotaes.

Esta mesma concluso observada

nas anlises de velocidade angular, foras,

tenses, entre outras.

A vibrao encontrada cada vez

mais acentuada, na medida que em que se

modifica o mdulo de elasticidade das barras

(Bauchau, 1998).

5. Bibliografia

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Journal of Engineering for Industry , p. 268-274, 1974.

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VAZ, C. M. - Modelagem Numrico-

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