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ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA

REPRESENTAÇÃO DA REDE ELÉTRICA NO MODELO DC

_____________________________________________________________________

Diego Macedo Pedreira Lameirão

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges

Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos

Rio de Janeiro

Abril de 2014

ii

ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA

REPRESENTAÇÃO DA REDE ELÉTRICA NO MODELO DC


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO ELETRICISTA.

Examinada por:

__________________________________________

Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges D.Sc.

__________________________________________

André Luiz Diniz, D.Sc.

__________________________________________

Prof. Tatiana Mariano Lessa de Assis, D.Sc

__________________________________________

Tiago Norbiato dos Santos, M.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

ABRIL DE 2014

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Lameirão, Diego Macedo Pedreira

Análise comparativa para representação da rede elétrica no modelo DC/ Diego Macedo Pedreira Lameirão. – Rio de Janeiro: UFRJ/ ESCOLA POLITÉCNICA, 2014

xii, 81 p.; 29,7 cm


Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos.

Projeto de Graduação – UFRJ / POLI / Curso de Engenharia Elétrica, 2014.

Referências Bibliográficas: p.65 -66

1.Inclusão da rede no modelo de despacho econômico; I. Borges, Carmen Lúcia Tancredo et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica. III. Análise de formas alternativas para representação da rede elétrica no modelo DC.

iv

“Feliz é aquele que sabe que não controla nada, mas tem plena confiança

naquele que controla tudo.”

Domingos Marcelus Carias Rodrigues

v

Dedico este trabalho a minha mãe,

sinônimo de dedicação.

vi

Agradecimentos

A Gita. Pois sem o tudo, não somos nada.

Aos meus pais: Joselita e Antonio João, por me fazerem sentir a sensação do

que é ter os melhores pais do mundo.

Aos meus Avós: Isabel, Geny, João e Francisco. Sou muito feliz por ser um

pouquinho de cada um.

Ao meus irmãos: Marina, Marcela e Rafael, por serem minha fonte de

inspiração.

A minha namorada Adriane, por ser uma pessoa que vem caminhando ao meu

lado.

A toda minha família, afinal cada um contribuiu um pouco para tornar o que eu

sou hoje.

Aos meus amigos: Marvin, Ian, Filipe, Luis e todos aqueles em que posso

contar.

Aos meus amigos da faculdade: Cássio, Sthenio, Bruno e todos aqueles que

percorreram junto comigo esse difícil caminho que se chama Engenharia Elétrica.

Aos meus amigos do CEPEL: Jonathan, Juan, João, Felipe, Priscilla e todos os

outros que tornaram os meus dias de trabalho muito mais prazerosos.

A Tiago Norbiato, cuja paciência e dedicação me mostraram “o caminho das

pedras” para a realização desse trabalho.

A Andre Diniz, por acreditar que eu era capaz de obter sucesso nesse trabalho.

A Carmen Lucia, pelo conhecimento adquirido para realização desse trabalho.

A todos que não citei, mas não menos importantes, que de alguma forma me

ajudaram a chegar até aqui.

A UFRJ, por todos os momentos bons e ruins que modelaram o ser humano

que hoje sou.

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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.

ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA REPRESENTAÇÃO DA

REDE ELÉTRICA DO MODELO DC DA REDE ELÉTRICA NO MODELO

DC


Abril/2014


Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos

Curso: Engenharia Elétrica

A Programação Diária da Operação - PDO pode ser realizada considerando sistemas

hidrotérmicos ou puramente térmicos. Cada uma dessas abordagens será utilizada

dependendo do tipo de sistema a ser estudado e de sua configuração, ou até mesmo

do objetivo do estudo em si. Como forma de se obter um estudo mais detalhado, a

rede elétrica pode ser considerada como mais um atributo a ser utilizado no estudo,

ampliando o detalhamento do problema, independente do sistema ser térmico ou

hidrotérmico. Ao considerar a rede elétrica, as perdas nas linhas de transmissão

podem ser incluídas como forma de se obter um resultado mais próximo do real. Este

trabalho tem como objetivo estudar algumas das abordagens alternativas para utilizar

o modelo DC da rede elétrica para um problema de despacho econômico puramente

térmico com um estágio. Acredita-se que os resultados e conclusões obtidos possam

ser estendidos para o problema de PDO hidrotérmico multiestágio.

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SUMÁRIO

1 Introdução ................................................................................................................. 1

2 planejamento da operação ........................................................................................ 3

2.1 Descrição do Sistema brasileiro ....................................................................... 3

2.2 Programação diária da operação ....................................................................... 4

2.2.1 Sistemas Termoelétricos ............................................................................. 4

2.2.2 Sistemas Hidrotérmicos .............................................................................. 6

2.2.2.1 Formulação do problema ..................................................................... 6

2.2.2.2 Estratégia de solução ......................................................................... 10

2.3 Representação da transmissão sem perdas ..................................................... 12

2.3.1 Representação somente dos intercâmbios ................................................ 12

2.3.2 Representação linear da rede de transmissão ........................................... 12

2.3.3 Consideração dos limites de fluxo ............................................................ 13

2.3.3.1 Método I0: Ângulos em função das injeções. ................................... 13

2.3.3.2 Método F0: Fluxo como variável do problema ................................. 18

2.3.3.3 Método A0: Ângulos como variáveis do problema .......................... 22

2.3.4 Algoritmo de resolução geral ................................................................... 25

2.3.5 Comparação entre os métodos .................................................................. 26

3 Representação da rede com a inclusão das perdas ................................................. 28

3.1 Estratégia estática de inclusão dos cortes ....................................................... 28

ix

3.2 Estratégia dinâmica de inclusão dos cortes .................................................... 29

3.2.1 Método I1: representação dos ângulos em função das injeções com

representação das perdas ........................................................................................ 29

3.2.1.1. Formulação do problema ....................................................................... 29


3.2.2 Método A1: Representação dos ângulos diretamente no PPL com


3.2.2.1 Formulação do problema ................................................................... 32


3.2.3 Método F1: representação dos fluxos como variável do problema com


3.2.3.1 Formulação do Problema .................................................................. 36

3.2.3.2 Estratégia de Solução ........................................................................ 37

3.3 Comparação geral entre os métodos ............................................................... 40

4 estudo de caso ......................................................................................................... 43

4.1 Introdução ao caso .......................................................................................... 43

4.2 Comparação dos resultados sem consideração das perdas ............................. 45

4.2.1 Comparações de Eficiência ...................................................................... 46

4.2.2 Comparações de resultados ...................................................................... 46

4.3 Comparação dos resultados com a consideração das perdas .......................... 52

4.3.1 Comparações de eficiência ....................................................................... 52

4.3.2 Comparações de resultados ...................................................................... 53

4.4 Comparações finais entre todos os métodos ................................................... 63

x

5 Conclusões .............................................................................................................. 64

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Dados das linhas do exemplo 2.1.

Tabela 2: Dados de barra do exemplo 2.1.

Tabela 3: Dados das Usinas térmicas do sistema teste IEEE – 118 Barras

Tabela 4: Iterações e tempo de resolução métodos sem perdas IEEE – 118 Barras.

Tabela 5: Gerações sem perdas IEEE – 118 Barras.

Tabela 6: Fluxo sem perdas IEEE – 118 Barras.

Tabela 7: Iterações e tempo de resolução métodos com perdas IEEE – 118 Barras.

Tabela: 8: Gerações com perdas IEEE – 118 Barras.


Tabela 10: Perdas nos linhas IEEE – 118 Barras.

Tabela 11: Comparações finais entre os métodos IEEE – 118 Barras.

xii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Integração Eletroenergética do Sistema Interligado Nacional

Figura 2: Processo Iterativo de PDDD adotado para o modelo de Despacho de geração

em curtíssimo prazo.

Figura 3: Sistema elétrico simples com três barras

Figura 4: Algoritmo de resolução do subproblema para cada período considerando

limites na rede.

Figura 5: Exemplo de um modelo estático linear por partes de inclusão das perdas

Figura 6: Exemplo iterativo para calculo das perdas na transmissão para o Modelo

Linear Dinâmico por Partes. Aplicado para uma linha i no período t.

Figura 7: IEEE 118 Barra

1

1 INTRODUÇÃO

O planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos é um problema complexo que

pode ser decomposto em 3 etapas com distintas características: médio prazo ( horizonte

de até 5 anos), curto prazo (com horizonte de até 1 ano), e curtíssimo prazo (com

estudos semanais) [1]. Este trabalho terá como base o curtíssimo prazo, também

conhecido como programação diária da operação - PDO, com horizonte de estudo em

geral de até uma semana (vide revisão bibliográfica feita em [2]). O enfoque se dará na

inclusão da rede elétrica nesse tipo de problema [3], mais especificamente em estudar

formas distintas de considerar a modelagem DC com e sem as perdas na linha de

transmissão no problema. Os estudos foram realizados tomando como base diversos

trabalhos relacionados ao modelo DESSEM [4], desenvolvido pelo Centro de Pesquisas

de Energia Elétrica.

Inicialmente considerava-se a PDO sem a inclusão da rede [5]. Nesse caso existem duas

abordagens possíveis: a consideração de um sistema hidrotérmico ou a de um sistema

puramente térmico. No sistema hidrotérmico, em geral são representados os balanços

hídricos do sistema, restrições das usinas hidrelétricas, restrições das usinas térmicas, o

intercâmbio de energia entrem as áreas do sistema e a restrição de atendimento a

demanda. Nos sistemas puramente térmicos são representadas apenas as restrições das

usinas térmicas, o intercâmbio entre as áreas e a restrição de atendimento a demanda.

Ressalta-se que há uma série de restrições operativas adicionais [2] que podem ser

consideradas. Entretanto, essas restrições não serão mencionadas neste trabalho.

Com a inclusão da rede elétrica no problema [6], pode-se utilizar o fluxo de potência

linear, ou modelo DC da rede. Isso será feito com a representação das restrições de

fluxo em relação a sua capacidade de transmissão. No método I0, os ângulos serão

representados em função das injeções de potência, ou seja, o quanto cada fluxo em cada

linha é afetado pelas gerações e cargas em cada barra do sistema.

2

Outra forma de representar a rede no problema de PDO é diretamente através dos

ângulos das barras [7] (Método A0). Nesse caso, as restrições de fluxo também passam

a ser representadas em função dos ângulos e não das injeções. O Método A1 também

fará essa representação, porém com inclusão das perdas na rede elétrica.

Outra forma de considerar a rede no PDO é incluir explicitamente uma variável fluxo na

formulação do problema, sendo que esses são representados em função das injeções do

sistema (Método F0). O Método F1 também fará essa representação, porém com

inclusão das perdas na rede elétrica. Esta abordagem foi proposta em [8], com as perdas

representadas por barra. Entretanto, neste trabalho as perdas serão representadas por

linha de transmissão, sendo essa a principal contribuição deste trabalho.

O método com a inclusão das perdas que se mostrou mais eficiente até agora, foi o

Método A1 . Porém, seu custo computacional ainda não é satisfatório. A motivação

então é buscar alternativas que possam vir a gerar um custo computacional menor. É

nesse ponto que entra o Método F1, o qual será pela primeira vez testado com a

finalidade de verificar seu custo computacional, verificando se esse custo é menor

comparado ao Método A1.

3

2 PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO

2.1 Descrição do Sistema brasileiro

O sistema de produção e transmissão de energia elétrica do Brasil [9] é hidrotérmico, de

grande porte, sendo predominantemente composto por usinas hidrelétricas vinculadas a

proprietários diferentes. O Sistema Interligado Nacional (SIN) é formado por empresas

das regiões Sudeste/ Centro-oeste, Sul, Nordeste, e Norte, em que algumas áreas se

encontram fora do SIN (aproximadamente 3,4% da capacidade de produção do país). A

seguir pode ser visto a integração Eletroenergética do SIN:

Figura 1: Integração Eletroenergética do SIN – Disponível em: <https//

<http://www.ons.org.br/conheca_sistema/mapas_sin.aspx>

4

Para que se houvesse uma operação centralizada do sistema, foi criado em 1998 o

Operador Nacional do Sistema Elétrico – ONS, responsável pela coordenação e controle

da operação da geração e transmissão de energia elétrica no SIN. Maiores informações

sobre o ONS podem ser obtidas em [10]. O ONS possui varias responsabilidades, dentre

elas, incluem-se o planejamento da operação a longo, médio e curto prazo e do

despacho horário de geração. A fim de cumprir essas responsabilidades e obter a

otimização do sistema global em níveis diferentes, o ONS utiliza de uma cadeia de

modelos e programas computacionais [11], desenvolvidos pelo CEPEL, baseados em

regras definidas e aprovadas por todos os membros e pelo órgão regulador, a Agência

Nacional de Energia Elétrica – ANEEL.

2.2 Programação diária da operação

O Centro de pesquisa de Energia Elétrica (CEPEL) [12] desenvolve uma cadeia de

modelos para a operação, planejamento e expansão o sistema elétrico Brasileiro, dentre

eles está o modelo DESSEM [13] para o estudo de curtíssimo prazo (Despacho de

Geração Horário). O objetivo do DESSEM é resolver o problema de planejamento da

operação de forma detalhada, tendo como horizonte de estudo uma semana, com

discretização horária.

Para que esse problema possa ser resolvido, ele será descrito como um Problema de

Programação Linear – PPL. Nesse trabalho foi utilizada a linguagem Fortran 77, em que

foi feito um programa de computador utilizando a mesma. Nesse programa, a partir da

entrada de dados do sistema, ele modela o PPL para que possa ser resolvido a

otimização externamente a partir de um pacote de otimização.

2.2.1 Sistemas Termoelétricos

Sistemas Termoelétricos, como o próprio nome diz, são compostos apenas por usinas

térmicas. Neste caso o objetivo é obter uma operação para as usinas com o menor custo

possível. Uma característica importante deste tipo de sistema é o fato das gerações das

usinas não estarem relacionadas umas as outras. A seguir será descrito uma formulação

simplificada do problema termoelétrico.

5

Formulação do Problema: O objetivo do problema é minimizar a função Ct(Ut),

chamada de função de custo imediato. Essa função representa o custo de geração

térmico necessário para complementar o atendimento da demanda no período t. Para

calcular Ct(Ut), utiliza – se o PPL descrito a seguir:

(1.1)

𝐶𝑡(𝑈𝑡) = 𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝐶𝑇𝑗(𝐺𝑇𝑡(𝑗))𝑁𝑇𝑗=1 (2.1a)

s.a

∑ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) + ∑ (𝑓𝑡(𝑟, 𝑘) − 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟)) = 𝐷𝑡(𝑘)𝑟∈Ω𝑘

𝑁𝑇𝑘𝑗=1 (2.1b)

𝐺𝑇(𝑗) ≤ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝑇(𝑗) (2.1c)

𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) ≤ 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) (2.1d)

Para K=1,..., NS; para j=1,...,NT

Onde:

𝑁𝑇𝑘 = Usinas térmicas pertencentes ao submercado k

𝐶𝑡(𝑈𝑡) = Custo imediato associado à decisão 𝑈𝑡 ( geração térmica e déficit ocorrido no

período) .

𝐶𝑇𝐽 = Custo de geração da usina térmica j, em função da energia gerada. Inclui também

custos de déficit.

𝐺𝑇𝑡(𝑗) = Geração da usina térmica j no período t

𝐷𝑡(𝑘)= Demanda no submercado k, no período t

Ω𝑘= Conjunto de submercados interligados ao submercado k

𝑓𝑡(𝑟, 𝑘)= Intercambio de energia do submercado r para o submercado k ao longo do

período t

6

A restrição (2.1b) representa o atendimento a demanda. As restrições (2.1c) e (2.1d) são

respectivamente os limites de geração térmica e limites de intercâmbio de energia entre

submercado.

2.2.2 Sistemas Hidrotérmicos

2.2.2.1 Formulação do problema

Quando o problema de PDO é resolvido por Programação Dual Determinística (será

visto a frente), que é uma opção do modelo DESSEM, obtém-se a chamada função de

custo futuro ao final de cada meia-hora ou hora, além da a solução proveniente do pré-

despacho térmico, o despacho inicial da rede, e os custos marginais por submercado e

barras.

Além das restrições mais importantes descritas com mais detalhes nesse trabalho,

apresentam-se abaixo os conjuntos de restrições hidráulicas e elétricas importantes para

o aprimoramento do problema de despacho horário de geração:

a) Modelagem da calha do rio com o propósito de representar o tempo de viagem

da água entre duas usinas hidroelétricas;

b) Restrição de faixa operativa por unidade;

c) Limites máximo e mínimo de armazenamento nos reservatórios;

d) Restrições de vazões mínima e máxima de forma a atender a navegação e

qualidade da água;

e) Restrições de níveis máximo e mínimo;

f) Volume de água destinado à irrigação e abastecimento de água;

g) Cálculo de volume de espera para controle de cheias;

h) Diferença de nível entre duas usinas hidroelétricas;

i) Vazão máxima defluente em função do nível do reservatório de jusante;

j) Enchimento de volume morto;

7

k) Consideração de curvas de rendimento das unidades geradoras;

l) Taxa de variação de geração de um grupo de usinas (CAG);

m) Possibilidade de representação completa da rede DC;

n) Cálculo de custos marginais a nível de sub-mercados ou barras;

o) Representação de usinas térmicas;

p) Representação de contratos internacionais;

O problema de PDO hidrotérmico pode ser representado pela seguinte equação

recursiva:

𝛼𝑡(𝑋𝑡) = min[𝐶𝑡(𝑈𝑡) + 𝛼𝑡+1(𝑋𝑡+1) (2.2)

Sujeito a (s.a.)

𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑔𝑖𝑜 𝑡

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 𝑇, 𝑇 − 1, … ,1; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑋𝑡

O horizonte de estudo T, para o sistema brasileiro, é de 7 a 13 dias. Sendo que a

recursão (2.2) é feita para cada período T do período estudado.

No caso de sistemas hidrotérmicos, as variáveis de estado Xt representam o

armazenamento nos reservatórios, Vt, a cada período t. Sendo que Vt é um vetor

representando da seguinte maneira:Vt(i), i=1,...,Número de Usinas - NUS, onde i

representa o i-ézimo reservatório.

As variáveis de decisão a cada período t incluem as vazões turbinadas (Qt) e vertidas

(St) nas usinas hidrelétricas e as gerações das usinas térmicas. O vetor Ut representa a

energia fornecida pelos volumes turbinados nas usinas hidrelétricas. Ct(Ut) representa o

custo imediato associado a decisão Ut , e 𝛼𝑡 (𝑋𝑡) representa o custo de operação do

período t até o final do período em que está sendo feito o estudo, supondo operação

ótima.

8

Função de custo imediato: Ct(Ut) é chamada de função de custo imediato e representa o

custo de geração térmica necessário para complementar o atendimento da demanda na

etapa t, em que o complemento é representando pela diferença entre a demanda e a

energia hidroelétrica produzida.

Para obter um despacho ótimo de geração, resolve – se o PPL descrito a seguir:

𝐶𝑡(𝑈𝑡) = 𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝐶𝑇𝑗(𝐺𝑇𝑡(𝑗))𝑁𝑇𝑗=1 + 𝛼𝑡+1(𝑋𝑡+1) (2.3a)

s.a

𝑉𝑡+1(𝑖) = 𝑉𝑡(𝑖) + 𝐴𝑡(𝑖) − 𝑄𝑡(𝑖) − 𝑆𝑡(𝑖) − 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑡(𝑖) + ∑ (𝑄𝑡(𝑗) + 𝑆𝑡(𝑖))𝑗∈𝑀(𝑖) (2.3b)

∑ (𝑖)𝐺𝐻𝑡(𝑖) + ∑ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) + ∑ (𝑓𝑡(𝑟, 𝑘) − 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟)) = 𝐷𝑡(𝑘)𝑟∈Ω𝑘

𝑁𝑇𝑘𝑗=1

𝑁𝐻𝑘𝑖 (2.3c)

𝐺𝑇(𝑗) ≤ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝑇(𝑗) (2.3d)

𝐺𝐻(𝐽) ≤ 𝐺𝐻𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝐻(𝑗) (2.3e)

𝑄𝑡(𝑖) ≤ 𝑄𝑡(𝑖) ≤ 𝑄𝑡(𝑖) (2.3f)

𝑉(𝑖) ≤ 𝑉𝑡(𝑖) ≤ 𝑉(𝑖) , 𝑉(𝑖) ≤ 𝑉𝑡+1(𝑖) ≤ 𝑉(𝑖) (2.3g)

𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) ≤ 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) (2.3h)

Para K=1,..., NS; para i=,1...,NH; para j=1,...,NT

Onde:

𝑁𝐻𝑘 = Usinas hidrelétricas pertencentes ao submercado k

𝑁𝑇𝑘 = Usinas térmicas pertencentes ao submercado k

𝐶𝑡(𝑈𝑡) = Custo imediato associado à decisão 𝑈𝑡 ( geração térmica e déficit ocorrido no

período)

9

𝐶𝑇𝐽 = Custo de geração da usina térmica j, em função da energia gerada. Inclui também

custos de déficit.

𝐺𝑇𝑡(𝑗) = Geração da usina térmica j no período t

𝑉𝑡(𝑖) = Volume armazenado na usina i no inicio do período t

𝑄𝑡(𝑖) = Turbinamento da usina i no período t

𝑆𝑡(𝑖) = Vertimento da usina i no período t

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑡(𝑖) = Consumo de água na Usina i no período t(Devido à irrigação,

abastecimento, etc.)

𝐴𝑡(𝑖) = Afluência incremental natural a usina i no período t (conhecida).

M(i) = Conjunto de usinas imediatamente a montante da usina i

𝐷𝑡(𝑘)= Demanda no submercado k, no período t

Ω𝑘= Conjunto de submercados interligados ao submercado k

𝐺𝐻𝑡(𝑖)= Geração da usina hidrelétrica i no período t

𝑓𝑡(𝑟, 𝑘)= Intercambio de energia do submercado r para o submercado k ao longo do

período t

A restrição (2.3b) representa o balanço hídrico por cada reservatório. Já a restrição

(2.3c) representa o atendimento à demanda. As restrições (2.3d), (2.3e), (2.3f), (2.3g) e

(2.3h) são respectivamente os limites de geração térmica, geração hidrelétrica, volume

armazenado para as usinas hidrelétricas e limites de intercâmbio de energia entre

submercado.

Função de custo Futuro: A função de custo futuro é representada como uma função

linear por partes:

𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1) = 𝑚𝑖𝑛𝛼𝑡+1 (2.4a)

s.a.

10

𝛼𝑡+1 ≥ ∑ 𝜋1(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿1𝑁𝐻1=1 (2.4b)

𝛼𝑡+1 ≤ ∑ 𝜋2(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿2 𝑁𝐻𝑖=1 (2.4c)

...

𝛼𝑡+1 ≤ ∑ 𝜋𝑃(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿𝑝𝑁𝐻𝑖=1 (2.4d)

Onde:

𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1 ) = Custo de operação da etapa 𝑡 + 1 até o horizonte T, a partir do

armazenamento 𝑉𝑡+1

𝑉𝑡+1= Variável de estado a qual a função custo futuro é dependente.

P= Número de segmentos da função linear por p

𝜋= Coeficiente associado à variação dos volumes armazenados, o qual mede a

sensibilidade da função Custo Futuro do período t+1 até T em relação a variação

incremental do volume armazenado no período t.

𝛿= Termo constante da restrição linear

A função de custo futuro permite comparar o custo de utilizar o reservatório na Etapa

T, ou “guardar” a água para uma utilização futura. Conclui-se dessa maneira, que o

custo futuro aumenta com a utilização presente do reservatório, já que eles ficarão mais

vazios no futuro.

A recursão (2.2) requer como dado de entrada a função de custo futuro para a última

etapa,𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1). Esta função terminal fornecida pelo modelo de planejamento da

operação de médio prazo - DECOMP.

2.2.2.2 Estratégia de solução

Depois de visto a formulação do problema, será mostrada uma estratégia de solução

para o mesmo, que será aplicada também ao capitulo três, o qual mostra formas

diferentes de representação da rede.

11

O problema como um todo a ser otimizado é determinístico e multi-período. Com isso,

uma estratégia de solução a ser adotada baseia-se na Programação Dinâmica Dual

Determinística – PDDD [14], que é uma extensão, para o caso determinístico, do

método de decomposição de Benders multi-estágio. Esse processo envolve a construção

de corte de Benders (restrições de desigualdades lineares) que vão sendo adicionados

gradativamente ao subproblema de cada período, compondo suas respectivas funções de

custo futuro. No fim do processo, além de se obter o despacho de geração, obtêm-se

também os custos marginais de energia por submercado, usina ou barra, e por período

de tempo. No fluxograma da Figura 2, pode-se ver o processo iterativo da PDDD.

Figura 2: Processo Iterativo de PDDD adotado para o modelo Despacho energético em curtíssimo prazo.

Retirado de [1].

12

2.3 Representação da transmissão sem perdas

2.3.1 Representação somente dos intercâmbios

A primeira forma de se considerar restrições na transmissão é através do Intercambio

entre Submercados. Essa representação é chamada no modelo DESSEM como

representação sem rede.

2.3.2 Representação linear da rede de transmissão

No problema de PDO, pode-se utilizar o modelo linearizado em potência ativa, ou fluxo

DC. Nele é desprezado o efeito de tensão/potência reativa. Dessa forma temos uma

aproximação com baixo custo computacional e razoável para o fluxo na rede, devido ao

fato da potência ativa possuir um forte acoplamento com os ângulos das tensões, sendo

esse acoplamento maior quanto maior for o nível de tensão do sistema.

O modelo DC é obtido através da linearização das equações de fluxo de potência ativa

na rede. Primeiramente não consideraremos as perdas, o que será feito no próximo

capitulo. A equação de fluxo de potência ativa na rede entre as barras k será:

𝑃𝑘𝑚 = −𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚 sin 𝜃𝑘𝑚 (2.12)

Onde:

𝑉𝑘 e 𝑉𝑚 = Tensões das barras k e m;

𝑏𝑘𝑚 = Susceptância da linha k-m;

𝜃𝑘𝑚 = Diferença angular entre k e m;

Aproximando:

𝑉𝑘 ≅ 𝑉𝑚 ≅ 1 𝑝𝑢 ; sin 𝜃𝑘𝑚 ≅ 𝜃𝑘𝑚e 𝑏𝑘𝑚 ≅1

𝑋𝑘𝑚

Dessa forma, pode-se calcular o fluxo ativo entre as barras k e m no modelo linearizado:

𝑃𝑘𝑚 = 𝑏𝑘𝑚𝜃𝑘𝑚 =𝜃𝑘−𝜃𝑚

𝑋𝑘𝑚 (2.13)

13

No caso de um sistema com inúmeras barras:

𝑃 = 𝐵𝜃 (2.14)

Onde:

P = Vetor injeção de potência nas barras

B = Matriz de susceptâncias da rede

𝜃 = Vetor de ângulo das tensões nodais

A matriz de susceptâncias é conhecida através da entrada de dados do sistema no

modelo. Calcula-se então o fluxo de potência da rede. Não há nenhuma alteração na

geração da barra de referência do sistema devido a restrição de atendimento à demanda

por submercado, dessa forma as gerações obtidas no PPL são mantidas.

2.3.3 Consideração dos limites de fluxo

Para obter-se de forma direta um despacho ótimo que atenda os limites de fluxo ativo

nas linhas da rede elétrica, no PPL de cada período do Despacho energético em

curtíssimo prazo, seria necessário adicionar uma restrição para cada sentido de fluxo e

para cada linha. No caso brasileiro, isso levaria a milhares de restrições.

Como forma de contornar tal problema, será utilizado um raciocínio semelhante a [15],

onde são incluídos no problema apenas os limites de fluxo que vão sendo violados

durante a resolução do problema.

A seguir serão vistas diferentes estratégias de solução para representação da rede.

2.3.3.1 Método I0: Ângulos em função das injeções.

Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) não é representada dentro do PPL, com

isso as restrições de fluxo são representadas em função das injeções de potência da

barra. Isso torna o problema com menos variáveis, porém as restrições de fluxo se

tornam muito densas. Essas vantagens e desvantagens serão discutidas no Estudo de

caso (Capítulo 4). A seguir resume-se o algoritmo de resolução desse método:

14

Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda e as

restrições de geração no caso do despacho inicial (em outras iterações consideram-se

também os limites de fluxo para os fluxos violados).

Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede.

Passo três: Cálculo dos ângulos nas barras externamente ao PPL, a partir da equação

(2.14).

Passo quatro: A partir da equação (2.13), calculam-se os fluxos em toda rede.

Passo cinco: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma tolerância

desejada, sendo que, para os fluxos que ultrapassarem essa tolerância, adicionam-se as

seguintes restrições:

𝑊𝑙 ∙ 𝑃 ≤ 𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m,

𝑊𝑙 ∙ 𝑃 ≥ −𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 ,se a restrição é no sentido m-k, (2.15)

𝑊𝑙 = 𝑏𝑙(𝐴𝐵−1)

Onde:

"∙" representa o Produto escalar e A representa a matriz incidência nó ramo. Cada linha

da matriz corresponde a uma linha e possui apenas dois elementos que não são nulos: 1

e -1, correspondendo respectivamente a barra “de” e a barra “para” da linha. Essa matriz

possui dimensão NC X NB, em que NC corresponde ao número de linhas e NB

corresponde ao número de barras do sistema. 𝐵−1 Representa a inversa da matriz de

susceptâncias, essa matriz possui dimensão NB X NB. 𝑏𝑙 Representa a susceptância da

linha l.

Na equação (2.15), 𝑊𝑙 é o vetor coeficiente (derivadas) da restrição de fluxo na linha l

em relação às gerações nodais. Esse vetor possui dimensão NB. O índice l indica a l-

ésima linha na matriz 𝐴𝐵−1, que corresponde à linha de mesmo índice.

Passo seis: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições, podendo assim acontecer

três situações distintas:

15

Inviabilidade do PPL.

Um novo despacho é obtido, porém pode levar a violações na capacidade de

transmissão em outras linhas, devido à redistribuição que foi feita nas gerações

anteriores. Volta-se então ao passo dois.

Encontra-se um despacho ótimo que não viole a capacidade de transmissão de

nenhuma outra linha ou que viole a capacidade de transmissão de alguma linha

que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.

Exemplo 2.1: Aplicação da estratégia de solução para representação dos ângulos em

função da geração em um sistema simples de três barras (Aplicação em um único

período).

Figura 3: Sistema elétrico simples com três barras

Onde:

𝐵1, 𝐵2 e 𝐵3 representam respectivamente as Barras Um, Dois e Três. Já 𝐿1, 𝐺2 e 𝐺3

representam respectivamente a carga da Barra Um , a geração da Barra Dois e a

geração da Barra Três. E finalmente, 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3 representam o Linha Um, Dois e Três.

Dados do problema:

Tabela 1: Dados das linhas do exemplo 2.1

Linhas\Dados das

linhas

Susceptância

(𝑏𝑖): [pu]

Condutância

(𝑔𝑖): [pu]

Resistência

(𝑟𝑖): [pu]

Reatância

(𝑥𝑖): [pu]

Limite de

fluxo superior

Limite de

fluxo inferior

16

(𝑓) [MW] (𝑓) [MW]

𝐶1 2 2 0,25 0,25 100 -100

𝐶2 5 5 0,1 0,1 80 -80

𝐶3 1 1 0,5 0,5 800 -800

Tabela 2: Dados de barra do exemplo 2.1

Barras/Dados de

barra

Limite de geração superior (𝐺𝑖)

[MW]

Limite de geração inferior (𝐺𝑖)

[MW]

Custo de geração (𝑆𝑖)

[$/MW]

𝐵1 (Carga de 150

MW)

Não Há (Barra de carga) Não Há ( Barra de carga) Não Há (Barra de

carga)

𝐵2 0 100 10

𝐵3 0 500 100

Considerações:

Sistema na base de 100 MVA

Barra de referência adotada é a Barra dois.

Sistema termoelétrico.

Fluxos positivos: Linha um(Barra três para Barra um), Linha dois(Barra dois

para Barra um)e Linha três(Barra três para Barra dois).

Resolução do problema:

Matriz B de susceptância (Excluindo a barra de referência adotada (Barra 2):

17

B = [7 −2

−2 3] (ex2.1a)

Iteração um:

Min ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖 → Função objetivo

s.a

∑ 𝐺𝑖 = D → Equação de atendimento a demanda

𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 → Restrição das Gerações

Substituindo pelos valores dados:

Min 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.1a)

s.a.

𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.1b)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.1c)

0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.1d)

Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:

𝐺2 = 100 MW e 𝐺3 = 50 MW

Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14):

𝜃1 = −0,206 rad e 𝜃3 = 0,0294 rad

Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13):

𝑓1 = 47,04 MW , 𝑓2 = 102,9 MW e 𝑓3 = 2,94 MW

Verificação de fluxos violados:

Como somente o 𝑓2 violou, adicionamos uma restrição a partir da equação (2.15).

18

𝑏2 × [−1 00 0

] × [7 −2

−2 3]

−1

× [−150

G3] ≥ −80 → G3 ≥ 88,99 → Restrição de fluxo

Iteração dois:

Min 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.1f)

s.a.

𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.gi)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.1h)

88,99 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.1i)

Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores

𝐺2 = 61,01 MW e 𝐺3 = 88,99 MW


𝜃1 = −0,16 rad e 𝜃3 = 0,1899 rad

Calculando os fluxos nos linhas pela equação (2.13):

𝑓1 = 69,98 MW , 𝑓2 = 80 MW e 𝑓3 = 18,99 MW


Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha.

Fim do problema.

2.3.3.2 Método F0: Fluxo como variável do problema

Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) também não é representada dentro do PPL,

com isso as restrições de fluxo são representadas em função das Injeções de Potência da

Barra. Entretanto, diferentemente do problema anterior, a variável fluxo é representada

diretamente no PPL, conforme determinado fluxo viole sua capacidade. Devido à

representação dessas restrições de fluxo pelas injeções de potência, essas também se

19

tornam muito densas. Isso também será analisado no Estudo de caso (Capítulo 4). A

seguir resume-se o algoritmo de resolução desse método:

Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda e as

restrições de geração no caso do despacho inicial, (em outras iterações, consideram-se

também os limites de fluxo e as equações de fluxo em função das injeções para os

fluxos violados).

Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede.

Passo três: Cálculo dos ângulos nas barras a partir da equação (2.14).

Passo quatro: A partir da equação (2.13) calcula-se o fluxo em toda rede.

Passo cinco: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma tolerância

desejada, sendo que os fluxos que ultrapassarem essa tolerância adicionam-se as

seguintes restrições:

𝑓𝑙 = 𝑊𝑙 ∙ 𝑃

𝑓𝑙 ≤ 𝑓𝑙 (2.16)

Passo seis: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições. Podendo acontecer três

situações distintas:





Encontra-se um despacho ótimo que não viole a capacidade de nenhuma outra

linha de transmissão ou que viole a capacidade de transmissão de alguma linha

que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.

20

Exemplo 2.2: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos em

função das gerações, com o fluxo como variável do problema em um sistema simples de

três barras(Aplicação em um uníco período).


Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1:

Iteração um:

Min ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖

s.a

∑ 𝐺𝑖 = D

𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖


Min 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.2a)

s.a.

𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.2b)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.2c)

0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.2d)


𝐺2 = 100 MW e 𝐺3 = 50 MW


𝜃1 = −0,206 rad e 𝜃3 = 0,0294 rad


21

𝑓1 = 47,04 MW , 𝑓2 = 102,9 MW e 𝑓3 = 2,94 MW



𝑏2 × [−1 00 0

] × [7 −2

−2 3]

−1

× [−150

𝐺3] = 𝑓2 → 𝑓2 + 0,59𝐺3 = 132,35 →Equação de

fluxo com a variável fluxo representada diretamente no PPL.

e

𝑓2 ≤ 80 →Restrição de fluxo com a variável fluxo representada diretamente no PPL.

Iteração dois:

Min 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.2e)

s.a.

𝑓2 + 0.59𝐺3 = 1,3235 (ex2.2f)

𝐺2 + 𝐺3 = 1,5 (ex2.2g)

−0,8 ≤ f2 ≤ 0,8 (ex2.2h)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 1 (ex2.2i)

0 ≤ 𝐺3 ≤ 5 (ex2.2j)

Resolvendo o PPL , obtêm-se os seguintes valores:

𝑓2 = 80 MW, 𝐺2 = 61,27 MW e 𝐺3 = 88,73 MW


𝜃1 = −0.1603 rad e 𝜃3 = 0.1888 rad

Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13),lembrando que o fluxo no linha

dois foi obtido no resultado do PPL, portanto não há necessidade de calculá-lo

novamente.

22

𝑓1 = 69.8 MW , 𝑓2 = 80 MW e 𝑓3 = 18.88MW


Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha.

Fim do problema.

2.3.3.3 Método A0: Ângulos como variáveis do problema

Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) é representada dentro do PPL, com isso a

variável ângulo é representada diretamente no PPL. Isso torna o problema com mais

variáveis que o Método I0, e menos varáveis que o método F0. No entanto, as restrições

de fluxo acabam menos densas. Essas vantagens e desvantagens serão discutidas no

Estudo de caso (Capítulo 4). A seguir o algoritmo de resolução desse método:

Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda, as

restrições de geração e da equação (2.14) no PPL no caso do despacho inicial (em outras

iterações consideram-se também os limites de fluxo).

Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede e dos

ângulos entre as barras.

Passo três: A partir da equação (2.13) calcula-se o fluxo em toda rede.

Passo quatro: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma

tolerância desejada, sendo que os fluxos que ultrapassarem essa tolerância adicionam-se

as seguintes restrições:

𝑏𝑘𝑚 × (𝜃𝑘 − 𝜃𝑚) ≤ 𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m,

𝑏𝑘𝑚 × (𝜃𝑚 − 𝜃𝑘) ≥ −𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m, (2.17)

Passo cinco: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições. Podendo acontecer três

situações distintas:

23





Encontra-se um despacho ótimo que não viola a capacidade de nenhuma outra

linha de transmissão ou que viole algum a capacidade de transmissão de alguma

linha que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.

Exemplo 2.3: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos

diretamente no PPL em um sistema simples de três barras (Aplicação em um único

período).


Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1, tem-se a seguinte

resolução do problema:

Iteração um:

𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖

s.a

𝐵𝜃 = 𝑃 → Representação dos ângulos em função das injeções de potência (Variável

ângulo no problema)

∑ 𝐺𝑖 = 𝐷

𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖


𝑀𝑖𝑛 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.3a)

s.a.

24

7𝜃1 − 2𝜃3 = 150 (ex2.3b)

−2𝜃1 + 3𝜃3 + 𝐺3 = 0 (ex2.3c)

𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.3d)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.3e)

0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.3f)


𝐺2 = 100 𝑀𝑊 , 𝐺3 = 50 𝑀𝑊, 𝜃1 = −0,21 𝑟𝑎𝑑, 𝜃3 = 0,03 𝑟𝑎𝑑

Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13)

𝑓1 = 46 𝑀𝑊 , 𝑓2 = 100 𝑀𝑊 𝑒 𝑓3 = 𝑓32 = 3 𝑀𝑊

Verificação de fluxos violados


𝑏2 × (𝜃2 − 𝜃1) ≤ 80 → 𝜃1 ≥ −16 → Restrição de limite de fluxo com a variável

ângulo.

Iteração dois:

𝑀𝑖𝑛 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.3g)

s.a.

7𝜃1 − 2𝜃3 = 150 (ex2.3h)

−2𝜃1 + 3𝜃3 + 𝐺3 = 0 (ex2.3i)

𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.3j)

𝜃1 ≥ −16 (ex2.3l)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.3m)

0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.3n)

25


𝐺2 = 61 𝑀𝑊 , 𝐺3 = 89 𝑀𝑊, 𝜃1 = −0,16 𝑟𝑎𝑑, 𝜃3 = 0,19 𝑟𝑎𝑑


𝑓1 = 70 𝑀𝑊, 𝑓2 = 80 𝑀𝑊 𝑒 𝑓3 = 19 𝑀𝑊


Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha

Fim do problema.

2.3.4 Algoritmo de resolução geral

Abaixo se pode ver o fluxograma do processo iterativo que se insere na resolução de

cada período, quando se considera o limite da rede elétrica no estudo.

Figura 4: Algoritmo de resolução do problema para cada período, considerando limites na rede (Nesse

caso o estágio indica o período). – Retirado de [1].

26

É importante considerar que como os cortes de Benders para o período 𝑡 − 1 só são

construídos quando se obtêm uma solução viável para o período, solução inviáveis não

são consideradas no calculo da função de custo futuro. Outra ressalva importante é que

as restrições adicionadas em determinado período, permanecem no PPL para as

iterações seguintes.

Se o processo Iterativo terminar com uma solução viável no PPL de cada período,

garante-se que o despacho final obtido seja uma solução de mínimo custo. É importante

notar que as restrições já existiam implicitamente, apenas não tinham sido ativas.

Portanto o problema não está sendo modificado a medidas que elas vão surgindo.

2.3.5 Comparação entre os métodos

Por fins de um entendimento maior de todos os métodos, será feito agora uma

comparação dos algoritmos de cada método na hora de resolver cada iteração do PPL.

Lembrando que será considerado aqui um problema estático (um único período de

tempo). O Método I0 será o método base para comparação, sendo que o que estiver

diferente entre os métodos em relação ao método base (será considerado aqui o Método

I0), será destacado no texto.

1. Passo um:

Método I0: Despacho inicial + Restrições de fluxo. . Resultados: Valor das

gerações.

Método F0: Despacho inicial + Restrições de fluxo + equações de fluxo.

Resultados: Valor das gerações + fluxo nas linhas que violaram.

Método A0: Despacho inicial, considerando a restrição de atendimento a

demanda + a equação matricial das injeções de potência nas barras +

Restrições de fluxo. Resultados: Valor das gerações + ângulos nas barras.

27

2. Passo dois:

Método I0: Cálculo dos ângulos pela equação matricial das injeções de potência

nas barras por fora do PPL.

Método F0 Cálculo dos ângulos pela equação matricial das injeções de potência

nas barras por fora do PPL.

Método A0: Não há calculo dos ângulos.

3. Passo três:

Método I0: Calculo dos fluxos por fora do PPL

Método F0: Calculo dos fluxos por fora do PPL caso a restrição desse fluxo

ainda não tenha sido adicionada.

Método A0: Calculo dos fluxos por fora do PPL

4. Passo quatro:

Método I0: Adições das restrições dos fluxos violados.

Método F0: Adições das restrições dos fluxos + equações dos fluxos em

função das injeções nas linhas violadas

Método A0: Adições das restrições dos fluxos violados.

5. Passo cinco:

Método I0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1.

Método F0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1.

Método A0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1.

.

28

3 REPRESENTAÇÃO DA REDE COM A

INCLUSÃO DAS PERDAS

Após o problema inicial ser resolvido sem perdas (Capitulo dois), duas opções são

possíveis:

não considerar as perdas. Nesse caso, o problema teria um fim após a inclusão

de todos os limites de fluxo violados;

incluir as perdas na rede. Nesse caso, o problema continua após a inclusão de

todos os limites de fluxo violados, utilizando o ponto de operação obtido na

ultima iteração antes de considerar as perdas.

3.1 Estratégia estática de inclusão dos cortes

Um processo que permite a inclusão das perdas diretamente no PPL é um método de

inclusão “estático” de uma série de restrições lineares por partes (cortes) para

aproximação das perdas. É um processo que inclui todos os cortes de uma única vez,

assim como mostra a figura 5.

Figura 5: Exemplo de um modelo estático linear por partes de inclusão das perdas. Retirado de[13].

Entretanto esse método apresenta um ponto negativo: o número de restrições torna-se

maior que o necessário, já que todos os cortes são incluídos em uma única vez.

Como forma de contornar isso, utiliza-se uma estratégia dinâmica de inclusão dos cortes

proposta em [13]. Além da estratégia original daquele trabalho, foram consideradas

29

neste trabalho algumas variantes em relação à representação das variáveis no problema,

conforme descrito a seguir.

3.2 Estratégia dinâmica de inclusão dos cortes

3.2.1 Método I1: representação dos ângulos em função das

injeções com representação das perdas

Esse método é uma extensão do Método I0 (2.3.3.1), sendo o utilizado atualmente no

Dessem. Pelo fato do trabalho [7] sugerir que o Método A1 é mais eficiente, não será

considerado esse Método I1 nos estudos de caso. Entretanto, esse método será descrito a

seguir, pois como servir como base para o desenvolvimento desse trabalho. Apesar de a

formulação ser geral para um problema multi-período, será considerado o subproblema

de despacho econômico de um estágio t.

3.2.1.1. Formulação do problema

Assim como visto anteriormente, uma função objetivo será otimizada de forma a

minimizar o custo de geração térmica, porém com a inclusão das perdas nas restrições.

O problema pode ser equacionado da seguinte maneira:

𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.1a)

s.a.

𝑝𝑖𝑡 + ∑ 𝑓𝑘

𝑡𝑘𝜖Ω𝑖

= 𝑑𝑖𝑡 + ∑

𝑙𝑘𝑡

2𝑘∈Ω𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐵 (3.1b)

𝑓𝑖𝑡 = 𝑊𝑙 ∙ 𝑃 (3.1c)

𝑙𝑖𝑡 = 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖

𝑡)2, 1, … , 𝑁𝐿 (3.1d)

−𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.1e)

Assim como restrições adicionais e limites para a variável p.

O índice t representa o período que varia de 1 até T e o índice k representa a iteração em

determinado período.

30

A função objetivo (3.1a) representa a minimização dos custos de geração térmica. A

equação (3.1b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação (3.1c)

representa o fluxo em cada linha, o qual é função de uma combinação linear das

injeções de potência nas barras (Cargas subtraídas das gerações). As perdas são dadas

pela equação (3.1d), em que metade das perdas são colocadas em cada barra do sistema.

Finalmente, a inequação (3.1e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.


A proposta é adicionar progressivamente uma aproximação linear para a equação (3.1d)

para cada linha em um processo dinâmico. A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1

tangente a função no ponto corresponde à diferença do ângulo de fase obtida na iteração

𝑘.

Passo um: Iteração k=1. Usar a inequação 𝑙𝑖𝑡 ≥ 0 como uma aproximação inicial paras

perdas nas linhas variando de i=1,...,NL.

Passo dois: Através de uma aproximação atual para as perdas dada pela equação abaixo

(3.2), em que sua dedução está no anexo I, resolve-se o PPL:

𝑙𝑖𝑡 − 2𝑔𝑖∆𝜃𝑖

𝑡(𝑘)𝑥𝑖 (∑ 𝐾𝑏𝑖 (𝑝𝑏

𝑡 − ∑𝑙𝑗

𝑡

2− 𝑑𝑏

𝑡 )𝑁𝐵𝑏=1 ) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖

𝑡(𝑘))2 (3.2)

Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras, assim como uma

aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i.

Passo três: Resolve-se o sistema linear a seguir (3.3) para o fluxo de potência linear dc.

Como resultado, é obtido os ângulos de fase 𝜃𝑡(𝑘) em função do vetor 𝑝𝑡 − 𝑑𝑡 das

injeções de potência liquida nas barras.

𝑝𝑡 − 𝑑𝑡 = 𝐵𝜃𝑡(𝑘) (3.3)

Onde:

B = Matriz de Susceptância da rede elétrica

Passo quatro: Para cada linha i, calculam-se as perdas “reais” 𝑙𝑖𝑡(𝑘)

utilizando-se a

seguinte expressão:

31

𝑙𝑖𝑡(𝑘)

= 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)

)2 (3.4)

Passo cinco: Para cada linha i, comparar as perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:

𝛿𝑖𝑡 = 𝑙𝑖

𝑡 (𝑘)− 𝑙𝑖

𝑡 (3.5)

Onde:

𝛿𝑖𝑡 = Erro na aproximação para as perdas.

Passo seis: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL

encontrando uma solução ótima e viável.

Passo sete: Para as linhas em que o erro for maior que uma dada tolerância, constrói-se

uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das perdas

(Equação (3.2)). Vá para o passo dois.

Figura 6: Exemplo iterativo para calculo das perdas na transmissão para o Modelo Linear Dinâmico por

Partes. Aplicado para uma linha i. Retirado de[13].

32

3.2.2 Método A1: Representação dos ângulos diretamente no

PPL com representação das perdas

Nesse caso, o problema é uma extensão do Método A0 (item 2.3.3.3). Ou seja, ele

começa exatamente aonde acaba o problema sem perdas. Utiliza-se, portanto, os pontos

de operação para a aproximação que será vista a seguir, os resultados obtidos na ultima

iteração do caso sem perdas.

3.2.2.1 Formulação do problema

Da mesma maneira, uma função objetivo será otimizada de forma a minimizar o custo

de geração térmica, também com a inclusão das perdas nas restrições. O problema pode

ser equacionado da seguinte maneira:

𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.6a)

s.a.

𝑝𝑖𝑡 + ∑ 𝑓𝑘

𝑡𝑘𝜖Ω𝑖

= 𝑑𝑖𝑡 + ∑

𝑙𝑘𝑡

2𝑘∈Ω𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐵 (3.6b)

P = Bθ (3.6c)

𝑙𝑖𝑡 = 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖

𝑡)2, 1, … , 𝑁𝐿 (3.6d)

−𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.6e)

Pode-se notar que nesse caso os ângulos são incluídos diretamente no PPL, assim como

restrições adicionais e limites para a variável p. O índice t representa o período e o

índice k representa a iteração em determinado período.


equação (3.6b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação (3.6c)

representa os ângulos em função das injeções de potência. As perdas são dadas pela

equação (3.6d), em que metade das perdas são colocadas em cada barra do sistema.

Finalmente, a inequação (3.6e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.

33



para cada linha em um processo dinâmico. A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1

tangente a função no ponto corresponde à diferença do ângulo de fase obtida na iteração

𝑘.




(3.2), em que sua dedução está no anexo II, resolve-se o PPL:


𝑡(𝑘)(∆𝜃𝑖

𝑡) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)

)2 (3.7)

Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras, uma

aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i e os ângulos de fase 𝜃𝑡(𝑘)

.

Passo três: Para cada linha i, calcula-se as perdas “reais” 𝑙𝑖𝑡(𝑘)

utilizando-se a seguinte

expressão:

𝑙𝑖𝑡(𝑘)

= 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)

)2 (3.8)

Passo quatro: Para cada linha i, comparar as perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:


𝑡 (𝑘)− 𝑙𝑖

𝑡 (3.9)

Onde:


Passo cinco: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL


Passo seis: Para as linhas em que o erro for maior que uma dada tolerância constrói-se

uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das perdas

(Equação (3.7)). Vá para o passo dois.

34

Exemplo 3.1: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos

diretamente no PPL, com as perdas na rede representadas em um modelo por linha em

um sistema simples de três barras (Aplicação em um único período).


Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1 e considerando ainda

uma tolerância entre as perdas reais e as obtidas pelo modelo (𝜹) de 5%:

Iteração um:

𝑀𝑖𝑛 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex3.1a)

s.a.

7𝜃1 − 2𝜃3 = −150 −𝑃1

2−

𝑃2

2 (ex3.1b)

−2𝜃1 + 3𝜃3 − 𝐺3 = −𝑃1

2−

𝑃3

2 (ex3.1c)

−𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 + 𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex3.1d)

𝜃1 ≥ −16 (ex3.1e)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex3.1f)

0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex3.1g)

𝑃1 ≥ 𝑔1 × (𝜃3∗ − 𝜃1

∗)2 + 2 × 𝑔1 × (𝜃3∗ − 𝜃1

∗) × (𝜃3 − 𝜃1 − (𝜃3∗ − 𝜃1

∗)) → Corte para

perda na linha um

𝑃2 ≥ 𝑔2 × (𝜃2∗ − 𝜃1

∗)2 + 2 × 𝑔1 × (𝜃2∗ − 𝜃1

∗) × (𝜃2 − 𝜃1 − (𝜃2∗ − 𝜃1


perda na linha dois

𝑃3 ≥ 𝑔3 × (𝜃3∗ − 𝜃2

∗)2 + 2 × 𝑔3 × (𝜃3∗ − 𝜃2

∗) × (𝜃3 − 𝜃2 − ((𝜃3∗ − 𝜃2


perda na linha três

As equações (ex3.1c) e (ex3.1d) representam os ângulos em função das injeções de

potência em uma barra. São equações menos densas em relação às equações de fluxo

que serão vistas no Método F1.

35

Serão utilizados como ponto de operação para série de Taylor de primeira ordem, os

valores obtidos da ultima iteração do exemplo 2.3. Substituindo valores, colocando as

variáveis do lado esquerdo e passando as gerações para seus valores em pu:

𝑀𝑖𝑛 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex3.1h)

s.a.

𝑃1

2+

𝑃2

2+ 7𝜃1 − 2𝜃3 = −1.5 (ex3.1i)

𝑃1

2+

𝑃3

2 − 2𝜃1 + 3𝜃3 − 𝐺3 = 0 (ex3.1j)

−𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 + 𝐺2 + 𝐺3 = 1.5 (ex3.1l)

𝑃1 + 1,4𝜃1 − 1,4𝜃3 ≥ −0,245 (ex3.1m)

𝑃2 + 1,6𝜃1 ≥ −0,128 (ex3.1n)

𝑃3 − 0,38𝜃3 ≥ −0,0361 (ex3.1o)

𝜃1 ≥ −0.16 (ex3.1p)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 1 (ex3.1q)

0 ≤ 𝐺3 ≤ 5 (ex3.1r)

As inequações de perdas (ex3.1l), (ex3.1m) e (ex3.1n), apresentam um maior número de

variáveis por restrição em relação ao Método F1.


𝑃1 = 0,0702; 𝑃2 = 0,032; 𝑃3 = 0,011; 𝜃1 = −0,08; 𝜃3 = 0,107; 𝐺2 = 0,606; 𝐺3 =

1,007

Calculando as perdas na rede pela equação (3.3):

𝑃1 = 0,0701 ; 𝑃2 = 0,032; 𝑃3 = 0,012

Comparação das perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:

36

𝛿1 = 0,0001; 𝛿2 = 0 ; 𝛿3 = 0,001

Todas as perdas ficaram abaixo da tolerância desejada.

Fim do problema.

3.2.3 Método F1: representação dos fluxos como variável do

problema com representação das perdas

Nesse caso, o problema é uma extensão do Método F0 (item 2.3.3.2). Assim como item

anterior (3.2.2), serão utilizados os pontos de operação obtidos na ultima iteração do

caso sem perdas.

Como foi optado a pela inclusão das perdas, as equações para os fluxos nas linhas terão

que ser adicionadas já antes da primeira iteração do exemplo do item 2.3.3.2, já que as

perdas de cada linha dependem do fluxo de cada linha. Nesse caso, portanto, somente os

limites de fluxo serão adicionados dinamicamente.

3.2.3.1 Formulação do Problema

Nesse modelo, tem-se a seguinte formulação:

𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.10a)

s.a.

𝑝𝑖𝑡 − 𝑙𝑖

𝑡 = 𝑑𝑖𝑡 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10b)

𝑓𝑘𝑡 = ∑ 𝑘𝑖𝑘

𝑁𝐵𝑖=1 (𝑝𝑖 − 𝑙𝑖

𝑡 − 𝑑𝑖), 𝑘 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10c)

𝑙𝑖𝑡 = 𝑅𝑖(𝑓𝑖

𝑡)2, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10d)

Em que:

𝑅𝑖 = 𝑔𝑖 × 𝑥𝑖2, onde 𝑔𝑖 é a condutância da linha de transmissão e 𝑥𝑖 é a reatância da

mesma.

−𝑓𝑘 ≤ 𝑓𝑘 ≤ 𝑓𝑘, 𝑘 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10e)

37


equação (3.10b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação

(3.10c) representa o fluxo em cada linha, o qual é função de uma combinação linear das

injeções de potência nas barras (Cargas subtraídas das gerações), exatamente como que

foi visto no item 2.3.3. As perdas são dadas pela equação (3.10d), em que metade das

perdas em uma linha são colocadas em cada barra do sistema. Finalmente, a inequação

(3.10e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.

3.2.3.2 Estratégia de Solução


para cada linha, sendo que metade das perdas são injetadas negativamente em cada

barra dos extremos de uma linha, em um processo dinâmico.

A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1 tangente a função no ponto corresponde a

diferença do ângulo de fase obtida na iteração 𝑘.




(3.6), em que sua dedução está no anexo III, resolve-se o PPL:

𝑙𝑖𝑡 − 2𝑅𝑖𝑓𝑖

𝑡(𝑘)(𝑓𝑖

𝑡) ≥ −𝑅𝑖(𝑓𝑖𝑡(𝑘)

)2 (3.11)

Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras,os fluxos nas

linhas as quais foram violadas no PPL antes de se considerar as perdas, assim como

uma aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i.

Passo três: Para cada linha i, calcula-se as perdas “reais” 𝑙i𝑡(𝑘)

utilizando-se a seguinte

expressão, onde 𝑖 indica a linha i :

𝑙𝑖𝑡(𝑘)

=𝑅𝑖(𝑓𝑖

𝑡(𝑘))2

2 (3.12)

Passo quatro: Para cada linha 𝑖 e período t, comparar as perdas “reais” com as obtidas

pelo modelo:

38


𝑡 (𝑘)− (𝑙𝑖

𝑡) (3.13)

Onde:


Passo cinco: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL


Passo seis: Para as linhas e intervalos em que o erro for maior que uma dada tolerância

constrói-se uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das

perdas (Equação (3.6)). Vá para o passo dois.

Exemplo 3.2: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos em

função das gerações, sendo o fluxo uma variável do problema, com as perdas na rede

representadas em um modelo por barra em um sistema simples de três barras (Aplicação

em um único período).


Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1 e considerando ainda

uma tolerância entre as perdas reais e as obtidas pelo modelo (𝜹) de 5%:

Iteração um:

Min 10𝐺2 + 100𝐺3

s.a.

𝑏1 × [−1 10 0

] × [7 −2

−2 3]

−1

× [−150 −

𝑃1

2−

𝑃2

2

𝐺3 −𝑃1

2−

𝑃3

2

] = 𝑓1

𝑏2 × [−1 00 0

] × [7 −2

−2 3]

−1

× [−150 −

𝑃1

2−

𝑃2

2

𝐺3 −𝑃1

2−

𝑃3

2

] = 𝑓2

𝑏3 × [0 10 0

] × [7 −2

−2 3]

−1

× [−150 −

𝑃1

2−

𝑃2

2

𝐺3 −𝑃1

2−

𝑃3

2

] = 𝑓3

39

−𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 + 𝐺2 + 𝐺3 = 150

𝑃1 ≥𝑟1×𝑓1

∗2

2+

𝑟2×𝑓2∗2

2+ 𝑟1 × 𝑓1

∗ × (𝑓1 − 𝑓1∗) + 𝑟2 × 𝑓2

∗ × (𝑓2 − 𝑓2∗) → Corte para perda

na linha um

𝑃2 ≥𝑟2×𝑓2

∗2

2+

𝑟3×𝑓3∗2

2+ 𝑟2 × 𝑓2

∗ × (𝑓2 − 𝑓2∗) + 𝑟3 × 𝑓3


na linha dois

𝑃3 ≥𝑟1×𝑓1

∗2

2+

𝑟3×𝑓3∗2

2+ 𝑟1 × 𝑓1

∗ × (𝑓1 − 𝑓1∗) + 𝑟3 × 𝑓3


na linha três

f2 ≤ 80

0 ≤ G2 ≤ 100

0 ≤ G3 ≤ 500

Serão utilizados como ponto de operação para série de Taylor de primeira ordem, os

valores obtidos da ultima iteração do exemplo 2.2. Substituindo valores, colocando as

variáveis do lado esquerdo e passando as gerações para seus valores em pu:

Min 10𝐺2 + 100𝐺3

s.a.

0,235𝑃1 − 0,059𝑃2 + 0,29𝑃3 + 𝑓1 − 0,588𝐺3 = 0,1764 (ex3.2a)

−0.735𝑃1 − 0,44𝑃2 − 0,29𝑃3 + 𝑓2 + 0,588G3 = 1,324 (ex3.2b)

0,264𝑃1 + 0,058𝑃2 + 0,206𝑃3 + 𝑓3 − 0.412𝐺3 = −0,1764 (ex3.2c)

−𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 + 𝐺2 + 𝐺3 = 1,5 (ex3.2d)

100𝑃1 − 0.175𝑓1 ≥ −6,12 (ex3.2e)

100𝑃2 − 0,08𝑓2 ≥ −3,2 (ex3.2f)

100𝑃3 − 0,095𝑓1 ≥ −0,9 (ex3.2g)

40

−0.8 ≤ 𝑓2 ≤ 0.8 (ex3.2h)

0 ≤ 𝐺2 ≤ 1 (ex3.2i)

0 ≤ 𝐺3 ≤ 5 (ex3.2j)

Como se pode observar, as inequações de perdas (ex3.2e), (ex3.2f) e (ex3.2g),

apresentam menos varáveis em relação ao Método A1. No entando, as equações de

fluxo (ex3.2a), (ex3.2b) e (ex3.2c) são mais densas que as equações dos ângulos em

função das injeções de potência do Método A1.


𝑃1 = 0,071; 𝑃2 = 0,032, 𝑃3 = 0,012; 𝑓1 = 𝑓13 = 0,75; 𝑓2 = 𝑓21 = 0,8; 𝑓3 = 𝑓32 =

0,21; 𝐺2 = 0,606; 𝐺3 = 1,007

Calculando as perdas na rede pela equação (3.7):

𝑃1 = 0,0702; 𝑃2 = 0,032; 𝑃3 = 0,012

Comparação das perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:

𝛿1 = 0,0008 ; 𝛿2 = 0 ; 𝛿3 = 0

Todas as perdas ficaram abaixo da tolerância desejada.

Fim do problema.

3.3 Comparação geral entre os métodos

Por fins de um entendimento maior de todos os métodos, será feito agora uma

comparação dos algoritmos de cada método na hora de resolver cada iteração do PPL.

Lembrando que será considerado aqui um problema estático (um único período de

tempo). O Método I1 será o método base para comparação, sendo que o que estiver

41

diferente entre os métodos em relação ao método base (será considerado aqui o Método

I1), será destacado no texto.

6. Passo um:

Método I1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes para as

perdas em todas as linhas a partir dos ângulos obtidos por fora do PPL com o

valor das gerações da ultima iteração do método I0.

Método F1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes para as

perdas em todas as linhas a partir dos fluxos obtidos diretamente do PPL com o

valor da ultima iteração do método F0.

Método A1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes para

as perdas em todas as linhas a partir dos ângulos obtidos diretamente do PPL

com o valor da ultima iteração do método A0.

7. Passo dois:

Método I1: Resolver PPL. Resultados: Além dos resultados do método I0,

aproximação para as perdas em cada linha.

Método F1: Resolver PPL. Resultados: Além dos resultados do método F0,


Método A1: Resolver PPL. Resultados: Além dos resultados do método A0,


8. Passo três:

Método I1: Achar perdas reais partir dos ângulos obtidos por fora do PPL com o

valor das gerações da iteração atual. .

42

Método F1: Achar perdas reais a partir dos fluxos obtidos diretamente do PPL

da iteração atual.

Método A1: Achar perdas reais partir dos ângulos obtidos diretamente do PPL

da iteração atual.

9. Passo quatro:

Método I1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes em

que a comparação entre as perdas são maiores que uma dada tolerância. a partir

dos ângulos obtidos por fora do PPL com o valor das gerações da iteração atual.

Caso não adicione cortes: FIM DO PROBLEMA. Caso adicione volte ao passo

2.

Método F1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes em


dos fluxos obtidos diretamente do PPL da iteração atual Caso não adicione

cortes : FIM DO PROBLEMA. Caso adicione volte ao passo 2.

Método A1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes em


dos ângulos obtidos diretamente do PPL da iteração atual. Caso não adicione

cortes : FIM DO PROBLEMA. Caso adicione volte ao passo 2.

43

4 ESTUDO DE CASO

4.1 Introdução ao caso

Baseado na metodologia apresentada, um estudo de caso foi feito com base no sistema

IEEE – 118 Barras utilizado em [13]. Por simplicidade na implementação, este foi

adaptado para um sistema puramente térmico, de forma a manter o mesmo padrão

utilizado nos exemplos citados. Ressalta-se que, em termos de injeção na rede, não há

diferença se a geração é de uma usina hidrelétrica ou uma usina térmica.

Apesar de o trecho teórico deste trabalho mostrar um problema com vários períodos,

também por simplicidade o estudo de caso foi feito em apenas um período único, pois a

utilização de múltiplos períodos tornaria um problema maior. Ressalta-se que como o

foco do trabalho é a representação da rede no problema, considera-se que os resultados

e conclusões a serem obtidos para o caso de período simples possam ser válidos para

um sistema multi-período.

Como já dito nesse trabalho, a comparação do Método F1 com o Método A1 tem o

objetivo de verificar se o Método F1 é mais eficiente, já que o Método A1 já se mostrou

mais eficiente que o Método I1 [7].

Apresenta-se a seguir um diagrama esquemático e os dados deste sistema.

44

Figura 7: IEEE 118 BARRAS - Disponível em: < http://sys.elec.kitami-it.ac.jp/ueda/demo/PFdata/>

http://sys.elec.kitami-it.ac.jp/ueda/demo/PFdata/

45

Tabela 3:Dados das usinas térmicas do sistema

Usina Barra Geração máxima(MW) Custo($/MW)

1 1 606,6 24,27

2 4 1335 19,28

3 6 131 645,3

4 8 37 310,41

5 10 350 80,4

6 12 67 523,35

7 15 31 6,27

8 18 42 937

9 19 10 1047,38

10 24 400 470,34

11 25 521,7 233,27

12 26 998 141,25

13 27 373,6 181,16

14 31 212,2 188,99

15 32 878 320,01

16 34 335,8 119,03

17 36 79 150

18 40 206,9 218,41

19 42 400 37,8

20 46 100 58,89

21 49 200 102,84

22 54 100 149,33

23 69 58 100

4.2 Comparação dos resultados sem consideração das

perdas

Primeiramente será feito um estudo dos casos sem consideração das perdas. O objetivo

é verificar, para um sistema de 118 barras, se algun(s) dos tipos de representação

apresenta(m) um menor tempo de execução e um menor número de iterações. Também

será feita uma comparação geral dos resultados de cada um dos métodos.

As representações utilizadas serão respectivamente: Método I0, Método F0 e Método

A0, que são os respectivos métodos dos itens 2.3.3.1, 2.3.3.2, 2.3.3.3.

46

4.2.1 Comparações de Eficiência

A Tabela 4 mostra o número de iterações e tempo de resolução de cada um dos métodos

considerados.

Tabela 4: Iterações e tempo de execução IEEE – 118 Barras

Iterações Tempo de resolução(s)

Método um 3 12,56

Métododois 3 25,53

Método A0 3 11,66

Os três métodos apresentam os mesmos números de iterações, o que faz sentido já que

os fluxos violados são os mesmos e, consequentemente, espera-se que ocorra o mesmo

processo iterativo em relação à ocorrência de violações de limites de fluxo. Ou seja, os

métodos constituem-se apenas em formas diferentes de representar a mesma situação.

Ressalta-se que, apesar do tempo entre os métodos serem diferentes, o tempo gasto por

iteração em cada método, quando avaliado isoladamente, foi o mesmo.

Em relação ao tempo total de execução, o Método A0 foi o que obteve a resolução mais

rápida, já que apesar dele possuir mais variáveis que o Método I0 dentro do PPL, a

matriz com os índices de cada variável do problema é mais esparsa, significando ganho

computacional.

O Método F0 obteve um maior tempo de resolução, já que como dito no inicio do item

3.2.3, todas as equações de fluxo terão que ser adicionadas no inicio do problema, e

como os fluxos são em função das gerações, todas essas equações serão densas na

matriz dos índices das variáveis.

4.2.2 Comparações de resultados

A Tabela 5 detalha os resultados por barra, para cada um dos métodos. As gerações em

negrito representam as gerações que obtiveram valores diferentes para cada método.

Porém pode-se notar que esses valores são muito pequenos, o que correspondem a erros

de precisão.

47

Tabela 5: Gerações sem perdas IEEE – 118 Barras

Usina Custo($/MW) Geração método I0(MW) Geração método F0(MW) Geração Método A0(MW)

1 24,3 385,75 385,75 385,75

2 19,3 298,8 298,8 298,81

3 645,3 0 0 0

4 310,4 0 0 0

5 80,4 18,41 18,41 18,41

6 523,4 0 0 0

7 6,3 31 31 31

8 937 12,2 12,2 12,22

9 1047,38 0 0 0

10 470,3 400 400 400

11 233,3 95,13 95,13 95,13

12 141,2 0 0 0

13 181,2 373,6 373,6 373,6

14 189 141,85 141,85 141,85

15 320 431,56 431,56 431,54

16 119 335,8 335,8 335,8

17 150 79 79 79

18 218,4 206,9 206,9 206,9

19 37,8 400 400 400

20 58,9 100 100 100

21 102,8 200 200 200

22 149,3 100 100 100

23 100 58 58 58

A Tabela 6 apresenta os resultados para cada linha. Os fluxos em negrito representam os

fluxos que obtiveram valores diferentes para cada método. Porém pode-se notar que

esses valores são muito pequenos, o que corresponde a erros de precisão. As

capacidades de fluxo que possuem “*” correspondem aos fluxos que não foram

possíveis atender os limites de fluxo, ou que atenderam esses limites na sua capacidade

máxima.


Barra de Barra para Fluxo método I0 (MW) Fluxo método F0 (MW) Fluxo Método A0 (MW)

Capacidade

(MW)

1 2 134,75 134,75 134,75 200

1 3 200 200 200 200,*

4 5 200 200 200 200,*

3 5 85,61 85,61 85,61 200

5 6 58,01 58,01 58,01 200

6 7 6,01 6,01 6,01 200

8 9 -18,41 -18,41 -18,41 200

8 5 -181,59 -181,59 -181,59 200

48

9 10 -18,41 -18,41 -18,41 200

4 11 68,81 68,81 68,81 200

5 11 46,01 46,01 46,01 200

11 12 -16,42 -16,42 -16,42 200

2 12 114,75 114,75 114,75 200

3 12 75,39 75,39 75,39 200

7 12 -12,99 -12,99 -12,99 200

11 13 61,24 61,24 61,24 200

12 14 53,39 53,39 53,39 200

13 15 27,24 27,24 27,24 200

14 15 39,39 39,39 39,39 200

12 16 40,34 40,34 40,34 200

15 17 -121,94 -121,94 -121,94 200

16 17 15,34 15,34 15,34 200

17 18 93,67 93,67 93,66 200

18 19 45,87 45,87 45,87 200

19 20 -24,48 -24,48 -24,48 200

15 19 42,2 42,2 42,2 200

20 21 -42,48 -42,48 -42,48 200

21 22 -56,48 -56,48 -56,48 200

22 23 -66,48 -66,48 -66,48 200

23 24 168,1 168,1 168,11 300

23 25 -41,58 -41,58 -41,58 200

26 25 -200 -200 -200 200,*

25 27 -146,45 -146,45 -146,45 200

27 28 67,76 67,76 67,76 200

28 29 50,76 50,76 50,76 200

30 17 -154,28 -154,28 -154,28 300

26 30 200 200 200 200,*

8 30 200 200 200 200,*

17 31 -200 -200 -200 200,*

29 31 26,76 26,76 26,76 200

23 32 -200 -200 -200 200,*

31 32 -74,39 -74,39 -74,39 200

27 32 54,81 54,81 54,81 200

15 33 87,36 87,36 87,36 200

19 34 67,55 67,55 67,55 200

35 36 -52,88 -52,88 -52,88 200

35 37 19,88 19,88 19,88 200

33 37 64,36 64,36 64,36 200

34 36 4,88 4,88 4,88 200

34 37 176,39 176,39 176,39 200

38 37 -282,2 -282,2 -282,2 200,*

37 39 -5,95 -5,95 -5,95 200

37 40 -15,62 -15,62 -15,62 200

49

30 38 554,28 554,28 554,28 500,*

39 40 -32,95 -32,95 -32,95 200

40 41 82,65 82,65 82,66 200

40 42 55,68 55,68 55,68 200

41 42 45,65 45,65 45,66 200

43 44 145,08 145,08 145,08 200

34 43 163,08 163,08 163,08 200

44 45 129,08 129,08 129,08 200

45 46 24,65 24,65 24,66 200

46 47 66,46 66,46 66,46 200

46 48 30,2 30,2 30,2 200

47 49 -35,49 -35,49 -35,49 200

42 49 232,17 232,17 232,17 200,*

42 49 232,17 232,17 232,17 200,*

45 49 51,43 51,43 51,43 200

48 49 10,2 10,2 10,2 200

49 50 87,45 87,45 87,45 200

49 51 106,79 106,79 106,79 200

51 52 41,18 41,18 41,18 200

52 53 23,18 23,18 23,18 200

53 54 0,18 0,18 0,18 200

49 54 72,19 72,19 72,19 200

49 54 71,69 71,69 71,69 200

54 55 23,5 23,5 23,5 200

54 56 83,83 83,83 83,84 200

55 56 -57,01 -57,01 -57,01 200

56 57 -58,45 -58,45 -58,45 200

50 57 70,45 70,45 70,45 200

56 58 -36,62 -36,62 -36,62 200

51 58 48,62 48,62 48,62 200

54 59 23,72 23,72 23,72 200

56 59 18,48 18,48 18,48 200

56 59 19,41 19,41 19,41 200

55 59 17,51 17,51 17,51 200

59 60 -26,48 -26,48 -26,48 200

59 61 -33,16 -33,16 -33,16 200

60 61 -83,97 -83,97 -83,97 200

60 62 -20,52 -20,52 -20,52 200

61 62 -0,46 -0,46 -0,46 200

63 59 138,23 138,23 138,23 200

63 64 -138,23 -138,23 -138,23 200

64 61 116,66 116,66 116,66 200

38 65 836,47 836,47 836,48 700,*

64 65 -254,89 -254,89 -254,89 200,*

49 66 100,11 100,11 100,11 200

50

49 66 100,11 100,11 100,11 200

62 66 -55,56 -55,56 -55,56 200

62 67 -42,42 -42,42 -42,42 200

65 66 -35,25 -35,25 -35,25 200

66 67 70,42 70,42 70,42 200

65 68 616,83 616,83 616,84 200,*

47 69 67,95 67,95 67,95 200

49 69 65,11 65,11 65,11 200

68 69 19,46 19,46 19,47 200

69 70 -152,38 -152,38 -152,39 200

24 70 284,05 284,05 284,05 200,*

70 71 -284,05 -284,05 -284,05 200,*

24 72 284,05 284,05 284,05 200,*

71 72 -284,05 -284,05 -284,05 200,*

71 73 0 0 0 200

70 74 165,88 165,88 165,88 200

70 75 183,83 183,83 183,83 200

69 75 53,83 53,83 53,83 200

74 75 97,88 97,88 97,88 200

76 77 64,24 64,24 64,24 200

69 77 309,08 309,08 309,08 200,*

75 77 123,31 123,31 123,31 200

77 78 109,22 109,22 109,22 200

78 79 38,22 38,22 38,22 200

77 80 46,01 46,01 46,01 200

77 80 21,25 21,25 21,25 200

79 80 -0,78 -0,78 -0,78 200

68 81 597,37 597,37 597,37 200,*

81 80 597,37 597,37 597,37 200,*

77 82 259,15 259,15 259,15 200,*

82 83 156,5 156,5 156,5 200

83 84 60,76 60,76 60,76 200

83 85 75,74 75,74 75,74 200

84 85 49,76 49,76 49,76 200

85 86 21 21 21 200

86 87 0 0 0 200

85 88 50,1 50,1 50,1 200

85 89 30,4 30,4 30,4 200

88 89 2,1 2,1 2,1 200

89 90 19,51 19,51 19,51 200

89 90 36,78 36,78 36,78 200

90 91 -21,71 -21,71 -21,71 200

89 92 -18,03 -18,03 -18,03 200

89 92 -5,76 -5,76 -5,76 200

91 92 -21,71 -21,71 -21,71 200

51

92 93 -45,47 -45,47 -45,47 200

92 94 -51,03 -51,03 -51,03 200

93 94 -57,47 -57,47 -57,47 200

94 95 -85,17 -85,17 -85,17 200

80 96 123,37 123,37 123,37 200

82 96 48,65 48,65 48,65 200

94 96 -122,58 -122,58 -122,58 200

80 97 130,73 130,73 130,73 200

80 98 150,55 150,55 150,55 200

80 99 129,21 129,21 129,21 200

92 100 -13,72 -13,72 -13,72 200

94 100 69,24 69,24 69,24 500

95 96 -127,17 -127,17 -127,17 200

96 97 -115,73 -115,73 -115,73 200

98 100 116,55 116,55 116,55 200

99 100 129,21 129,21 129,21 300

100 101 27,27 27,27 27,27 200

92 102 -0,27 -0,27 -0,27 200

101 102 5,27 5,27 5,27 200

100 103 130,22 130,22 130,22 200

100 104 52,71 52,71 52,71 200

103 104 24,72 24,72 24,72 200

103 105 33,27 33,27 33,27 200

100 106 54,07 54,07 54,07 200

104 105 39,43 39,43 39,43 200

105 106 2,55 2,55 2,55 200

105 107 14,38 14,38 14,38 200

105 108 24,76 24,76 24,76 200

106 107 13,62 13,62 13,62 200

108 109 22,76 22,76 22,76 200

103 110 49,24 49,24 49,24 200

109 110 14,76 14,76 14,76 200

110 111 0 0 0 200

110 112 25 25 25 200

17 113 -165,54 -165,54 -165,54 200

32 113 165,54 165,54 165,54 200

32 114 -12,57 -12,57 -12,58 200

27 115 42,58 42,58 42,58 200

114 115 -20,57 -20,57 -20,58 200

68 116 0 0 0 200

12 117 20 20 20 200

75 118 165,24 165,24 165,24 200

76 118 -132,24 -132,24 -132,24 200

52

Os três métodos obtiveram uma geração total de 3668 MW, o que corresponde à

demanda total, mostrando que a carga foi atendida. Consequentemente o custo dos três

métodos foi o mesmo considerando os erros de precisão: em torno de $ 630470 (o que

já era esperado).

Os fluxos da iteração um e dois de cada método se encontram nos Anexos IV e V.

4.3 Comparação dos resultados com a consideração

das perdas

Serão comparados agora duas formas diferentes para representação das perdas: Método

A1 (item 3.2.2) e Método F1 (item 3.2.3). Os aspectos a serem analisados serão os

mesmos do item 4.2.

4.3.1 Comparações de eficiência

A Tabela 7 mostra o número de iterações e tempo de resolução de cada um dos métodos

considerados.

Tabela 7:Iterações e tempo de resolução métodos com perdas IEEE – 118 Barras.

Iterações Tempo de resolução

Método I1 4 13,96 s

Método A1 4 2,26 min

Os dois métodos apresentam os mesmos números de iterações, o que faz sentido já que

os fluxos violados e cortes de perdas são os mesmos. Ou seja, os dois métodos

consistem apenas em formas diferentes de representar a mesma situação.

Em relação ao tempo de execução, o Método A1 foi o que obteve a resolução mais

rápida, já que apesar dele possuir mais variáveis que o Método F1 dentro do PPL, a

matriz com os índices de cada variável do problema é mais esparsa, significando ganho

computacional.

O Método A1 obteve um maior tempo de resolução, já que como dito no item 4.2.1,

todas as equações de fluxo terão que ser adicionadas no inicio do problema, e como os

fluxos são em função das gerações, todas essas equações serão densas dentro da matriz

dos índices das variáveis. O fator que faz com que o tempo fique bem maior do que o

53

Método A1 é a inclusão das perdas no inicio do problema junto com todas as equações

fluxo em cada linha, fazendo com que a matriz fique muito mais densa que

anteriormente (antes de se considerar as perdas).

Todos os métodos gastaram o mesmo tempo em cada iteração, não comparados entre si,

mas dentro do próprio método.

4.3.2 Comparações de resultados

A Tabela 8 detalha os resultados por barra, para cada um dos métodos. As gerações em

negrito representam as gerações que obtiveram valores diferentes para cada método.

Porém pode-se notar que esses valores são muito pequenos, o que correspondem a erros

de precisão.

Tabela 8:Gerações métodos com perdas IEEE – 118 Barras.

Usina Custo($/MW) Geração Método A0(MW) Geração Método I1(MW)

1 24,3 385,74 385,74

2 19,3 298,65 298,65

3 645,3 0 0

4 310,4 0 0

5 80,4 18,11 18,11

6 523,4 0 0

7 6,3 31 31

8 937 18,28 18,27

9 1047,38 0 0

10 470,3 400 400

11 233,3 96,76 96,76

12 141,2 0,02 0,02

13 181,2 373,6 373,6

14 189 144,5 144,49

15 320 428,07 428,08

16 119 335,8 335,8

17 150 79 79

18 218,4 206,9 206,9

19 37,8 400 400

20 58,9 100 100

21 102,8 200 200

22 149,3 100 100

23 100 58 58

A Tabela 9 apresenta os resultados para cada linha. Os fluxos em negrito representam os

fluxos que obtiveram valores diferentes para cada método. Porém pode-se notar que

54

esses valores são muito pequenos, o que corresponde a erros de precisão. As

capacidades de fluxo que possuem “*” correspondem aos fluxos que não foram

possíveis atender os limites de fluxo, ou que atenderam esses limites na sua capacidade

máxima.

Tabela 9: Fluxo com perdas IEEE – 118 Barras.

Barra de Barra para Fluxo Método I1(MW) Fluxo Método A1(MW) Capacidade(MW)

1 2 134,69 134,69 200

1 3 200 200 200,*

4 5 200 200 200,*

3 5 85,64 85,64 200

5 6 57,88 57,88 200

6 7 5,88 5,88 200

8 9 -18,11 -18,11 200

8 5 -181,9 -181,9 200

9 10 -18,11 -18,11 200

4 11 68,64 68,64 200

5 11 45,84 45,84 200

11 12 -16,56 -16,56 200

2 12 114,66 114,66 200

3 12 75,32 75,32 200

7 12 -13,12 -13,12 200

11 13 61,04 61,04 200

12 14 53,16 53,16 200

13 15 27,03 27,03 200

14 15 39,15 39,15 200

12 16 40,1 40,1 200

15 17 -121,96 -121,96 200

16 17 15,1 15,1 200

17 18 90,22 90,23 200

18 19 48,49 48,49 200

19 20 -23,97 -23,97 200

15 19 41,04 41,05 200

20 21 -41,97 -41,97 200

21 22 -55,97 -55,97 200

22 23 -65,98 -65,98 200

23 24 169,78 169,78 300

23 25 -42,85 -42,85 200

26 25 -200 -200 200,*

25 27 -146,12 -146,12 200

27 28 67,11 67,11 200

28 29 50,1 50,1 200

30 17 -156,47 -156,46 300

26 30 200 200 200,*

55

8 30 200 200 200,*

17 31 -200 -200 200,*

29 31 26,1 26,1 200

23 32 -200 -200 200,*

31 32 -72,5 -72,5 200

27 32 55,43 55,43 200

15 33 88,07 88,07 200

19 34 68,48 68,48 200

35 36 -52,92 -52,92 200

35 37 19,92 19,92 200

33 37 65,05 65,05 200

34 36 4,92 4,92 200

34 37 176,74 176,74 200

38 37 -282,44 -282,44 200,*

37 39 -5,53 -5,53 200

37 40 -15,21 -15,21 200

30 38 556,38 556,37 500,*

39 40 -32,53 -32,53 200

40 41 83,06 83,06 200

40 42 56,08 56,08 200

41 42 46,06 46,05 200

43 44 145,44 145,44 200

34 43 163,55 163,55 200

44 45 129,36 129,36 200

45 46 24,78 24,78 200

46 47 66,54 66,54 200

46 48 30,23 30,23 200

47 49 -35,54 -35,54 200

42 49 232,38 232,38 200,*

42 49 232,38 232,38 200,*

45 49 51,55 51,55 200

48 49 10,22 10,22 200

49 50 87,48 87,48 200

49 51 106,81 106,81 200

51 52 41,17 41,17 200

52 53 23,17 23,17 200

53 54 0,17 0,17 200

49 54 72,19 72,19 200

49 54 71,7 71,7 200

54 55 23,5 23,5 200

54 56 83,82 83,82 200

55 56 -57 -57 200

56 57 -58,44 -58,44 200

50 57 70,46 70,46 200

56 58 -36,61 -36,61 200

56

51 58 48,61 48,61 200

54 59 23,7 23,7 200

56 59 18,47 18,47 200

56 59 19,39 19,39 200

55 59 17,49 17,49 200

59 60 -26,5 -26,5 200

59 61 -33,17 -33,17 200

60 61 -83,99 -83,99 200

60 62 -20,51 -20,51 200

61 62 -0,45 -0,45 200

63 59 138,29 138,29 200

63 64 -138,29 -138,29 200

64 61 116,71 116,71 200

38 65 838,43 838,42 700,*

64 65 -255,01 -255,01 200,*

49 66 100,06 100,06 200

49 66 100,06 100,06 200

62 66 -55,56 -55,56 200

62 67 -42,42 -42,42 200

65 66 -35,11 -35,11 200

66 67 70,43 70,43 200

65 68 618,19 618,18 200,*

47 69 68,05 68,05 200

49 69 65,21 65,2 200

68 69 20,03 20,02 200

69 70 -152,26 -152,25 200

24 70 284,49 284,49 200,*

70 71 -284,14 -284,13 200,*

24 72 284,7 284,69 200,*

71 72 -284,34 -284,34 200,*

71 73 0 0 200

70 74 165,93 165,93 200

70 75 183,87 183,87 200

69 75 54,01 54,01 200

74 75 97,87 97,87 200

76 77 64,24 64,24 200

69 77 309,33 309,33 200,*

75 77 123,33 123,33 200

77 78 109,18 109,18 200

78 79 38,17 38,17 200

77 80 45,92 45,92 200

77 80 21,21 21,21 200

79 80 -0,83 -0,83 200

68 81 598,1 598,1 200,*

81 80 598,07 598,07 200,*

57

77 82 259,31 259,31 200,*

82 83 156,57 156,57 200

83 84 60,78 60,78 200

83 85 75,76 75,76 200

84 85 49,76 49,76 200

85 86 21 21 200

86 87 0 0 200

85 88 50,1 50,1 200

85 89 30,4 30,4 200

88 89 2,1 2,1 200

89 90 19,51 19,51 200

89 90 36,78 36,78 200

90 91 -21,72 -21,72 200

89 92 -18,03 -18,03 200

89 92 -5,76 -5,76 200

91 92 -21,72 -21,72 200

92 93 -45,48 -45,48 200

92 94 -51,04 -51,04 200

93 94 -57,49 -57,49 200

94 95 -85,2 -85,2 200

80 96 123,46 123,46 200

82 96 48,64 48,64 200

94 96 -122,63 -122,63 200

80 97 130,84 130,84 200

80 98 150,66 150,66 200

80 99 129,3 129,3 200

92 100 -13,72 -13,72 200

94 100 69,26 69,26 500

95 96 -127,22 -127,22 200

96 97 -115,81 -115,81 200

98 100 116,61 116,61 200

99 100 129,25 129,25 300

100 101 27,27 27,27 200

92 102 -0,27 -0,27 200

101 102 5,27 5,27 200

100 103 130,25 130,25 200

100 104 52,72 52,72 200

103 104 24,72 24,72 200

103 105 33,27 33,27 200

100 106 54,08 54,08 200

104 105 39,43 39,43 200

105 106 2,55 2,55 200

105 107 14,38 14,38 200

105 108 24,76 24,76 200

106 107 13,62 13,62 200

58

108 109 22,76 22,76 200

103 110 49,24 49,24 200

109 110 14,76 14,76 200

110 111 0 0 200

110 112 25 25 200

17 113 -164,66 -164,66 200

32 113 164,75 164,75 200

32 114 -12,9 -12,89 200

27 115 42,9 42,9 200

114 115 -20,9 -20,89 200

68 116 0 0 200

12 117 20 20 200

75 118 165,29 165,29 200

76 118 -132,26 -132,26 200

Finalmente, a Tabela 10 mostra as perdas nas linhas obtidas em cada modelo,

comparando-as com as perdas exatas, calculadas “por fora” através das injeções

fornecidas pelo modelo.

Tabela 10: Perdas nas linhas IEEE - 118 Barras.

Barra de Barra para Perdas exatas Perdas do modelo Método A1 Perdas do modelo Método F1

1 2 0,050348 0,050348 0,050348

1 3 0,047228 0,047228 0,047228

4 5 0,000704 0,000704 0,000704

3 5 0,016836 0,016836 0,016836

5 6 0,003802 0,003802 0,003802

6 7 0,000015 0,000015 0,000015

8 9 0,00008 0,000079 0,000080

8 5 0 - 0,000000

9 10 0,000084 0,000084 0,000084

4 11 0,009015 0,009015 0,009015

5 11 0,003919 0,003919 0,003919

11 12 0,000149 0,000149 0,000149

2 12 0,022509 0,022509 0,022509

3 12 0,025154 0,025154 0,025154

7 12 0,000139 0,000139 0,000139

11 13 0,007587 0,007587 0,007587

12 14 0,005562 0,005562 0,005562

13 15 0,004976 0,004976 0,004976

14 15 0,008344 0,008344 0,008344

12 16 0,003202 0,003202 0,003202

15 17 0,017993 0,017993 0,017993

16 17 0,000973 0,000973 0,000973

17 18 0,009451 0,009437 0,009439

59


18 19 0,002503 0,002495 0,002495

19 20 0,001383 0,001383 0,001383

15 19 0,00185 0,001848 0,001849

20 21 0,00308 0,003080 0,003080

21 22 0,006257 0,006257 0,006257

22 23 0,014231 0,014231 0,014231

23 24 0,03619 0,036186 0,036185

23 25 0,002759 0,002757 0,002757

26 25 0 - 0,000000

25 27 0,065406 0,065405 0,065405

27 28 0,008205 0,008204 0,008204

28 29 0,005596 0,005595 0,005595

30 17 0 - 0,000000

26 30 0,031686 0,031686 0,031686

8 30 0,017115 0,017115 0,017115

17 31 0,173631 0,173631 0,173631

29 31 0,000665 0,000664 0,000664

23 32 0,117889 0,117889 0,117889

31 32 0,014349 0,014339 0,014341

27 32 0,006444 0,006443 0,006442

15 33 0,026962 0,026960 0,026958

19 34 0,032278 0,032272 0,032269

35 36 0,000598 0,000598 0,000598

35 37 0,000416 0,000416 0,000416

33 37 0,016181 0,016179 0,016178

34 36 0,000019 0,000019 0,000019

34 37 0,007445 0,007445 0,007445

38 37 0 - 0,000000

37 39 0,00009 0,000090 0,000090

37 40 0,001219 0,001218 0,001219

30 38 0,14258 0,142578 0,142575

39 40 0,001783 0,001782 0,001782

40 41 0,00919 0,009190 0,009189

40 42 0,015985 0,015984 0,015983

41 42 0,007962 0,007962 0,007961

43 44 0,121167 0,121166 0,121165

34 43 0,104183 0,104183 0,104181

44 45 0,035302 0,035302 0,035301

45 46 0,002259 0,002259 0,002259

46 47 0,015442 0,015442 0,015442

46 48 0,004987 0,004987 0,004987

47 49 0,002207 0,002207 0,002207

42 49 0,368062 0,368062 0,368059

42 49 0,368062 0,368062 0,368059

60


45 49 0,016014 0,016014 0,016014

48 49 0,000166 0,000166 0,000166

49 50 0,018143 0,018143 0,018143

49 51 0,04925 0,049250 0,049250

51 52 0,003075 0,003075 0,003075

52 53 0,002049 0,002049 0,002049

53 54 0 - 0,000000

49 54 0,035765 0,035765 0,035765

49 54 0,041014 0,041014 0,041014

54 55 0,000883 0,000883 0,000883

54 56 0,001784 0,001784 0,001784

55 56 0,001435 0,001435 0,001435

56 57 0,010403 0,010403 0,010403

50 57 0,020913 0,020913 0,020913

56 58 0,004081 0,004081 0,004081

51 58 0,005352 0,005352 0,005352

54 59 0,002697 0,002697 0,002697

56 59 0,002539 0,002539 0,002539

56 59 0,002714 0,002714 0,002714

55 59 0,001383 0,001383 0,001383

59 60 0,002124 0,002124 0,002124

59 61 0,003445 0,003445 0,003445

60 61 0,001794 0,001794 0,001794

60 62 0,000494 0,000494 0,000494

61 62 0 - 0,000000

63 59 0 - 0,000000

63 64 0,003265 0,003265 0,003265

64 61 0 - 0,000000

38 65 0,628129 0,628126 0,628115

64 65 0,017355 0,017355 0,017355

49 66 0,017356 0,017356 0,017356

49 66 0,017356 0,017356 0,017356

62 66 0,014183 0,014183 0,014183

62 67 0,004427 0,004427 0,004427

65 66 0 - 0,000000

66 67 0,010594 0,010594 0,010594

65 68 0,052348 0,052348 0,052346

47 69 0,035786 0,035786 0,035784

49 69 0,038338 0,038337 0,038336

68 69 0 - 0,000000

69 70 0,06587 0,065870 0,065868

24 70 0,779169 0,779167 0,779157

70 71 0,067067 0,067067 0,067066

24 72 0,372443 0,372441 0,372436

61


71 72 0,339728 0,339728 0,339723

71 73 0 - 0,000000

70 74 0,101114 0,101114 0,101113

70 75 0,132493 0,132493 0,132491

69 75 0,010642 0,010642 0,010642

74 75 0,010792 0,010792 0,010791

76 77 0,016809 0,016809 0,016809

69 77 0,270355 0,270355 0,270358

75 77 0,083829 0,083829 0,083829

77 78 0,004104 0,004104 0,004104

78 79 0,000758 0,000758 0,000758

77 80 0,003192 0,003192 0,003192

77 80 0,001226 0,001226 0,001226

79 80 0,000001 0,000001 0,000001

68 81 0,062135 0,062135 0,062135

81 80 0 - 0,000000

77 82 0,178584 0,178584 0,178585

82 83 0,02511 0,025110 0,025110

83 84 0,018858 0,018858 0,018858

83 85 0,022758 0,022758 0,022758

84 85 0,00612 0,006120 0,006120

85 86 0,001428 0,001428 0,001428

86 87 0 - 0,000000

85 88 0,004834 0,004834 0,004834

85 89 0,002168 0,002168 0,002168

88 89 0,000006 0,000006 0,000006

89 90 0,001832 0,001832 0,001832

89 90 0,003046 0,003046 0,003046

90 91 0,001097 0,001097 0,001097

89 92 0,00031 0,000310 0,000310

89 92 0,000123 0,000123 0,000123

91 92 0,001671 0,001671 0,001671

92 93 0,004885 0,004885 0,004885

92 94 0,011469 0,011469 0,011469

93 94 0,006744 0,006744 0,006744

94 95 0,008771 0,008771 0,008771

80 96 0,052265 0,052265 0,052265

82 96 0,003505 0,003505 0,003505

94 96 0,036914 0,036914 0,036914

80 97 0,03017 0,030170 0,030170

80 98 0,051519 0,051519 0,051519

80 99 0,072386 0,072386 0,072386

92 100 0,001164 0,001164 0,001164

94 100 0,007804 0,007804 0,007804

62


95 96 0,025211 0,025211 0,025211

96 97 0,02235 0,022350 0,022350

98 100 0,05145 0,051450 0,051450

99 100 0,028665 0,028665 0,028664

100 101 0,001966 0,001966 0,001966

92 102 0 - 0,000000

101 102 0,000065 0,000065 0,000065

100 103 0,024839 0,024839 0,024839

100 104 0,01195 0,011950 0,011950

103 104 0,002621 0,002621 0,002621

103 105 0,005343 0,005343 0,005343

100 106 0,016539 0,016539 0,016539

104 105 0,001445 0,001445 0,001445

105 106 0,000009 0,000009 0,000009

105 107 0,001011 0,001011 0,001011

105 108 0,001407 0,001407 0,001407

106 107 0,000907 0,000907 0,000907

108 109 0,00048 0,000480 0,000480

103 110 0,009051 0,009051 0,009051

109 110 0,000535 0,000535 0,000535

110 111 0 - 0,000000

110 112 0,001344 0,001344 0,001344

17 113 0,02267 0,022669 0,022669

32 113 0,152897 0,152894 0,152898

32 114 0,000214 0,000214 0,000214

27 115 0,002877 0,002877 0,002877

114 115 0,000096 0,000096 0,000096

68 116 0 - 0,000000

12 117 0,001247 0,001247 0,001247

75 118 0,036315 0,036315 0,036315

76 118 0,026298 0,026298 0,026298

Os dois métodos obtiveram uma perda total de 6,425 MW (com três casas decimais de

precisão). A soma total das gerações foi de 3674,43, que corresponde justamente a soma

da demanda (3668 MW) com a perda total. Consequentemente, o custo total dos dois

métodos foi os mesmo considerando os erros de precisão: em torno de $ 635900.

Pode se observar também que as perdas dos dois modelos foram praticamente as

mesmas das perdas exatas.

63

4.4 Comparações finais entre todos os métodos

A Tabela 11 mostra uma comparação geral entre os métodos.

Tabela 11:Comparações finais entre os métodos.

Custo

total($) Geração

total(MW) Perda

total(MW)

Método I0 630463 3668 0

Método F0 630463 3668 0

Método A0 630476 3668 0

Método A1 635900 3674,43 6,425

Método F1 635892 3674,43 6,425

Os métodos cinco e seis obtiveram um custo maior que os métodos um, dois e três. Isso

já era o esperado, já as perdas teriam que ser geradas pelas barras para que a demanda

seja atendida corretamente. Esse custo corresponde justamente a diferença de geração

entre os métodos com perdas e os métodos sem perdas.

A diferença de custo entre o Método A1 e seis foi ocasionada também por erros de

precisão.

64

5 CONCLUSÕES

O objetivo deste trabalho foi comparar o desempenho obtido por métodos alternativos

para representação DC da rede elétrica no problema de Programação Diária da

Operação (PDO), em relação à representação das variáveis no problema. Um resumo

destes métodos é apresentado no capítulo de Introdução.

Quando se consideram as perdas, o Método A1, onde se representam os ângulos das

barras diretamente no Problema de Programação Linear (PPL), se mostrou o mais

eficiente entre todos os métodos. É importante ressaltar que, até em relação as métodos

sem perdas, ele obteve praticamente o mesmo tempo de resolução, se mostrando ainda

mais rápido do que o método F0, onde se representam os fluxo diretamente no PPL.

Espera-se que, para este Método A1, o tempo computacional será maior no sistema

brasileiro. Porém, mesmo apresentando um tempo superior ao dos Métodos um e três

(sem perdas), esse método fornece um custo mais próximo do real, já que as perdas são

computadas.

Já em relação ao Método F1, o Método A1 se mostra muito mais eficiente. Apesar de os

dois computarem as perdas corretamente, o Método F1 se mostrou muito mais lento,

com um tempo computacional cerca de 10 vezes maior.

Devido ao fato dos métodos com perdas serem mais fiéis a situações reais, não se deve

descartar totalmente o Método F1, apesar de seu desempenho não ter sido muito bom.

Deve–se, portanto, buscar formas de modificar sua implementação, como por exemplo

uma representação de perdas por barra (ao invés de representar por linhas), de forma

que as equações de fluxo fiquem menos densas e o tempo computacional seja

diminuído. Com isso, o Método F1 pode vir a ser competitivo quando comparado ao

Método A1.

65

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] L. A. M. Fortunato, T. A. A. Neto, J. C. R. Albuquerque, M. V. F. Pereira,

“Introdução ao planejamento da expansão e operação de sistemas de produção

de energia elétrica”, Niterói: Universidade Federal Fluminense, EDUFF, 1990.

[2] DINIZ, A. L. “Uma estratégia de decomposição por relaxação lagrangeana para

a otimização da programação diária da operação de sistemas hidrotérmicos com

modelagem detalhada da rede elétrica – aplicação ao sistema brasileiro”, Tese de

Doutorado, COPPE – Programa de Engenharia de Sistemas, Jan. 2007.

[3] BORGES, C.L.T., “Análise de Sistemas de Potência” (ed. HAZAN, S.S.,

GUERRA, L.N., EE UFRJ – Departamento de Eletrotécnica, Março 2005.

[4] CEPEL, “Manual de Referência do Modelo DESSEM”, Relatório Técnico

CEPEL, 2013.

[5] MACEIRA, M.E.P., TERRY, DINIZ, A.S.L. et AL, Despacho de Geração

Horário com Representação Detalhada de Restrições Hidráulicas, VII SEPOPE,

2000.

[6] A. L. Diniz, L. C. F. Sousa, M. E. P. Maceira, S. P. Romero, F. S. Costa, C. A.

Sagastizabal, A. Belloni, “Estratégia de representação DC da rede elétrica no

modelo de despacho da operação energética – DESSEM”, VIII SEPOPE –

Symposium of Simposium of Specialists in Electric Operational and Expansion

Planning, Brasilia, Brazil, May 2002

[7] SANTOS, T. N. ; DINIZ, A.L. . Alternative Approaches to Consider DC−Power

Flow With Losses in a Linear Program for Short Term Hydrothermal

Scheduling. in: 2012 sixth ieee/pes Transmission and Distribution: Latin

America Conference and Exposition (t&d-la)., 2012, Montevideo.

[8] Helseth, A. "A Linear Optimal Power Flow Model Considering Nodal

Distribution of Losses.", European Energy Market (EEM), 2012 9th

International Conference, 2012

66

[9] Disponível em: <http://www.ons.org.br/conheca_sistema/o_que_e_sin.aspx>

Acesso em 07 ago. 2013, 16:53:00.

[10] Disponível em: < http://www.ons.org.br>. 2013, 17:15:00.

[11] M.E.P. Maceira, L.A. Terry, F.S. Costa, J. M. Damazio, A C. G. Melo,

Chain of optimization models for setting the energy dispatch and spot price in

the Brazilian system”, Proceedings of the Power System Computation

Conference - PSCC’02, Sevilla, Spain, June 2002.

[12] Disponível em: <http //www.cepel.br>. 2013, 17:15:45.

[13] SANTOS, T.N. ; DINIZ, A.L. . a Dynamic Piecewise Linear Model For

Dc Transmission Losses in Optimal Scheduling Problems. IEEE Transactions on

Power Systems, v. 26, p. 508-519, 2011.

[14] BIRGE, J.R., “Decomposition and partitioning methods for multistage

stochastic linear programs”, Operations Research, v.33, n.5, pp. 989-1007, 1985.

[15] STOTT, B., MARINHO, J.L., Linear Programming for Power System

Network Security Applications, IEEE Transactions on PAS, vol. 98, 𝑛𝑜3, pp.

837-848, may/june 1979

http://www.ons.org.br/

http://lattes.cnpq.br/4815367573091647

67

ANEXOS

68

ANEXO I: APROXIMAÇÃO LINEAR NO PPL

PARA AS PERDAS NA LINHA DE

TRANSMISSÃO COM OS ÂNGULOS EM

FUNÇÃO DAS GERAÇÕES

Supondo que no passo sete do item 2.3.3.1 uma nova tangente de aproximação para a

curva dada por (3.1d) no ponto ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)

é para ser computada por determinada linha 𝑖,

período 𝑡 e iteração 𝑘. Aplicando a série de Taylor de primeira ordem para a

aproximação, é obtida a seguinte expressão:

𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑙𝑖

𝑡(𝑘)+

𝑑𝑙𝑖

𝑑∆𝜃𝑖(∆𝜃𝑖

𝑡(𝑘)) (∆𝜃𝑖

𝑖 − ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)

) (i.1)

Onde a função 𝑙𝑖(∆𝜃𝑖) não varia com o período t. Aplicando essa função a expressão

(i.1) e resolvendo sua derivada, obtêm-se:

𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖

𝑡(𝑘)) 2 + 2𝑔𝑖 (∆𝜃𝑖



) (i.2)

Rearranjando a expressão acima (i.2), colocando as variáveis do lado esquerdo da

equação, obtêm a seguinte restrição:




)2 (i.3)

Entretanto, não é o objetivo do modelo de Representação dos ângulos em função da

geração com uma representação das perdas por linha fazer a representação dos ângulos

diretamente no problema representado pelas equações de (3.1a) até (3.1e). Com isso,

usaremos os fatores de participação representando na equação (3.1c), de forma que as

perdas fiquem em função das injeções de potência nas barras, e das perdas de cada linha

do sistema( em que as barras computam metade das perdas de cada linha j ligada a ela).


𝑡(𝑘)𝑥𝑖 (∑ 𝐾𝑏𝑖 (𝑝𝑏

𝑡 − ∑𝑙𝑗

𝑡

2− 𝑑𝑏

𝑡 )𝑁𝐵𝑏=1 ) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖

𝑡(𝑘))2 (i.4)

Para i=1,...,NL, t=1,...,T, k=1,...,

69

Onde:

𝑘𝑖𝑡= É o numero dos cortes de corrente para o modelo da linha i no período t.

70

ANEXO II: APROXIMAÇÃO LINEAR PARA

AS PERDAS NA LINHA DE TRANSMISSÃO

COM OS ÂNGULOS REPRESENTADOS

DIRETAMENTE NO PPL


curva dada por (3.1d) no ponto ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)

é para ser computada por determinada linha 𝑖,

período 𝑡 e iteração 𝑘. Aplicando a série de Taylor de primeira ordem para a

aproximação, é obtida a seguinte expressão:


𝑡(𝑘)+

𝑑𝑙𝑖

𝑑∆𝜃𝑖(∆𝜃𝑖



) (i.1)

Onde a função 𝑙𝑖(∆𝜃𝑖) não varia com o período t. Aplicando essa função a expressão

(i.1) e resolvendo sua derivada, obtêm-se:

𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖

𝑡(𝑘)) 2 + 2𝑔𝑖 (∆𝜃𝑖



) (i.2)


equação, obtêm-se a restrição desejada:




)2 (i.3)

71

ANEXO III: APROXIMAÇÃO LINEAR PARA

AS PERDAS NA LINHA DE TRANSMISSÃO

COM UMA REPRESENTAÇÃO DOS FLUXOS

DIRETAMENTE NO PPL


curva dada por (3.6d) no ponto 𝑓𝑙𝑡(𝑘)

é para ser computada por determinada barra 𝑖

através de duas linhas l ligadas a ela, período 𝑡 e iteração 𝑘. Aplicando a série de Taylor

de primeira ordem para a aproximação, é obtida a seguinte expressão:


𝑡(𝑘)+

𝛿𝑙𝑖

𝛿𝑓𝑖(𝑓𝑖

𝑡(𝑘)) (𝑓𝑖

𝑡 − 𝑓𝑖𝑡(𝑘)

) (i.4)

Onde a função 𝑙𝑖(𝑓𝑙) não varia com o período t. Aplicando essa função a expressão (i.4)

e resolvendo sua derivada, obtêm-se:

𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑅𝑖(𝑓𝑖

𝑡(𝑘))2 + 2𝑅𝑖 (𝑓𝑖

𝑡(𝑘)) (𝑓𝑖

𝑡 − 𝑓𝑖𝑡(𝑘)

) (i.5)


equação, obtêm a seguinte restrição:

𝑙𝑖𝑡 − 2𝑅𝑖𝑓𝑖

𝑡(𝑘)(𝑓𝑖

𝑡) ≥ −𝑅𝑖(𝑓𝑖𝑡(𝑘)

)2 (i.6)

72

ANEXO IV: FLUXOS ITERAÇÃO UM

Tabela 12:Fluxo iteração um(Método A1 igual ao Método A0 e Método F1 igual ao método F0)

Barra de Barra para Fluxo método I0(MW) Fluxo método F0(MW) Fluxo Método A0(MW) Capacidade(MW)

1 2 247,92 247,92 247,92 200.*

1 3 307,68 307,68 307,68 200.*

4 5 1019,19 1019,19 1019,18 200.*

3 5 107,52 107,52 107,52 200.

5 6 162,39 162,39 162,39 200.

6 7 110,39 110,39 110,39 200.

8 9 -350 -350 -350 200.*

8 5 -795,24 -795,24 -795,24 200.*

9 10 -350 -350 -350 200.*

4 11 285,82 285,82 285,82 200.*

5 11 169,08 169,08 169,08 200.

11 12 134,73 134,73 134,73 200.

2 12 227,92 227,92 227,92 200.*

3 12 161,15 161,15 161,15 200.

7 12 91,39 91,39 91,39 200.

11 13 250,16 250,16 250,16 200.*

12 14 268 268 268 200.*

13 15 216,16 216,16 216,16 200.*

14 15 254 254 254 200.*

12 16 280,2 280,2 280,2 200.*

15 17 19,56 19,56 19,56 200.

16 17 255,2 255,2 255,2 200.*

17 18 108,57 108,57 108,57 200.

18 19 48,57 48,57 48,57 200.

19 20 96,41 96,41 96,41 200.

15 19 221,61 221,61 221,61 200.*

20 21 78,41 78,41 78,41 200.

21 22 64,41 64,41 64,41 200.

22 23 54,41 54,41 54,41 200.

23 24 438,65 438,65 438,65 300.*

23 25 -287,04 -287,04 -287,05 200.*

26 25 353,77 353,77 353,77 200.*

25 27 66,73 66,73 66,73 200.

27 28 -10,93 -10,93 -10,92 200.

28 29 -27,93 -27,93 -27,92 200.

30 17 117,27 117,27 117,27 300.

26 30 -102,17 -102,17 -102,17 200.

73

8 30 1145,24 1145,24 1145,24 200.*

17 31 149,34 149,34 149,34 200.

29 31 -51,93 -51,93 -51,92 200.

23 32 -104,19 -104,19 -104,19 200.

31 32 54,41 54,41 54,41 200.

27 32 0,97 0,97 0,98 200.

15 33 169,98 169,98 169,99 200.

19 34 128,77 128,77 128,77 200.

35 36 -26,42 -26,42 -26,42 200.

35 37 -6,58 -6,58 -6,58 200.

33 37 146,98 146,98 146,99 200.

34 36 57,42 57,42 57,42 200.

34 37 157,57 157,57 157,58 200.

38 37 -114,12 -114,12 -114,12 200.

37 39 97,22 97,22 97,22 200.

37 40 86,63 86,63 86,63 200.

30 38 925,79 925,79 925,8 500.*

39 40 70,22 70,22 70,22 200.

40 41 81,92 81,92 81,92 200.

40 42 54,94 54,94 54,94 200.

41 42 44,92 44,92 44,92 200.

43 44 172,57 172,57 172,57 200.

34 43 190,57 190,57 190,57 200.

44 45 156,57 156,57 156,57 200.

45 46 37,18 37,18 37,18 200.

46 47 74,45 74,45 74,45 200.

46 48 34,73 34,73 34,73 200.

47 49 -34,36 -34,36 -34,36 200.

42 49 231,43 231,43 231,43 200.*

42 49 231,43 231,43 231,43 200.*

45 49 66,39 66,39 66,39 200.

48 49 14,73 14,73 14,73 200.

49 50 97,83 97,83 97,83 200.

49 51 120,08 120,08 120,08 200.

51 52 46,43 46,43 46,43 200.

52 53 28,43 28,43 28,43 200.

53 54 5,43 5,43 5,43 200.

49 54 84,74 84,74 84,74 200.

49 54 84,16 84,16 84,16 200.

54 55 15,91 15,91 15,91 200.

54 56 36,3 36,3 36,3 200.

55 56 -51,55 -51,55 -51,55 200.

56 57 -68,83 -68,83 -68,83 200.

50 57 80,83 80,83 80,83 200.

56 58 -44,65 -44,65 -44,65 200.

74

51 58 56,65 56,65 56,65 200.

54 59 9,11 9,11 9,11 200.

56 59 6,94 6,94 6,94 200.

56 59 7,29 7,29 7,29 200.

55 59 4,47 4,47 4,47 200.

59 60 -35,92 -35,92 -35,92 200.

59 61 -42,91 -42,91 -42,91 200.

60 61 -90,97 -90,97 -90,97 200.

60 62 -22,95 -22,95 -22,95 200.

61 62 -1,58 -1,58 -1,58 200.

63 59 170,36 170,36 170,36 200.

63 64 -170,36 -170,36 -170,36 200.

64 61 132,31 132,31 132,31 200.

38 65 1039,91 1039,91 1039,92 700.*

64 65 -302,67 -302,67 -302,67 200.*

49 66 82,53 82,53 82,53 200.

49 66 82,53 82,53 82,53 200.

62 66 -57,33 -57,33 -57,33 200.

62 67 -44,19 -44,19 -44,19 200.

65 66 3,48 3,48 3,47 200.

66 67 72,19 72,19 72,19 200.

65 68 733,77 733,77 733,78 200.*

47 69 74,8 74,8 74,81 200.

49 69 70,77 70,77 70,77 200.

68 69 100,87 100,87 100,87 200.

69 70 -85,85 -85,85 -85,85 200.

24 70 219,32 219,32 219,33 200.*

70 71 -219,32 -219,32 -219,33 200.*

24 72 219,32 219,32 219,33 200.*

71 72 -219,32 -219,32 -219,33 200.*

71 73 0 0 0 200.

70 74 137,62 137,62 137,62 200.

70 75 149,18 149,18 149,18 200.

69 75 83,04 83,04 83,04 200.

74 75 69,62 69,62 69,62 200.

76 77 49,28 49,28 49,28 200.

69 77 307,26 307,26 307,26 200.*

75 77 104,56 104,56 104,56 200.

77 78 101,8 101,8 101,8 200.

78 79 30,8 30,8 30,8 200.

77 80 29,62 29,62 29,62 200.

77 80 13,68 13,68 13,68 200.

79 80 -8,2 -8,2 -8,2 200.

68 81 632,9 632,9 632,9 200.*

81 80 632,9 632,9 632,9 200.*

75

77 82 254,99 254,99 254,99 200.*

82 83 155,74 155,74 155,74 200.

83 84 60,43 60,43 60,43 200.

83 85 75,31 75,31 75,31 200.

84 85 49,43 49,43 49,43 200.

85 86 21 21 21 200.

86 87 0 0 0 200.

85 88 49,72 49,72 49,72 200.

85 89 30,02 30,02 30,02 200.

88 89 1,72 1,72 1,72 200.

89 90 19,47 19,47 19,47 200.

89 90 36,72 36,72 36,72 200.

90 91 -21,81 -21,81 -21,81 200.

89 92 -18,53 -18,53 -18,53 200.

89 92 -5,92 -5,92 -5,92 200.

91 92 -21,81 -21,81 -21,81 200.

92 93 -45,62 -45,62 -45,62 200.

92 94 -51,18 -51,18 -51,18 200.

93 94 -57,62 -57,62 -57,62 200.

94 95 -84,91 -84,91 -84,91 200.

80 96 124,79 124,79 124,79 200.

82 96 45,25 45,25 45,25 200.

94 96 -122,29 -122,29 -122,29 200.

80 97 132,16 132,16 132,16 200.

80 98 151,2 151,2 151,2 200.

80 99 129,86 129,86 129,86 200.

92 100 -13,96 -13,96 -13,96 200.

94 100 68,41 68,41 68,41 500.

95 96 -126,91 -126,91 -126,91 200.

96 97 -117,16 -117,16 -117,16 200.

98 100 117,2 117,2 117,2 200.

99 100 129,86 129,86 129,86 300.

100 101 27,51 27,51 27,51 200.

92 102 -0,51 -0,51 -0,51 200.

101 102 5,51 5,51 5,51 200.

100 103 130,22 130,22 130,22 200.

100 104 52,71 52,71 52,71 200.

103 104 24,72 24,72 24,72 200.

103 105 33,27 33,27 33,27 200.

100 106 54,07 54,07 54,07 200.

104 105 39,43 39,43 39,43 200.

105 106 2,55 2,55 2,55 200.

105 107 14,38 14,38 14,38 200.

105 108 24,76 24,76 24,76 200.

106 107 13,62 13,62 13,62 200.

76

108 109 22,76 22,76 22,76 200.

103 110 49,24 49,24 49,24 200.

109 110 14,76 14,76 14,76 200.

110 111 0 0 0 200.

110 112 25 25 25 200.

17 113 123,13 123,13 123,13 200.

32 113 -123,13 -123,13 -123,13 200.

32 114 15,33 15,33 15,32 200.

27 115 14,68 14,68 14,68 200.

114 115 7,32 7,32 7,32 200.

68 116 0 0 0 200.

12 117 20 20 20 200.

75 118 150,28 150,28 150,28 200.

76 118 -117,28 -117,28 -117,28 200.

77

ANEXO V: FLUXOS ITERAÇÃO DOIS

Barra de Barra para Fluxo método I0(MW) Fluxo método F0(MW) Fluxo Método A0(MW) Capacidade(MW)

1 2 -20,12 -20,12 -20,12 200

1 3 -30,88 -30,88 -30,88 200

4 5 -53,53 -53,53 -53,53 200

3 5 -50,03 -50,03 -50,03 200

5 6 52,61 52,61 52,62 200

6 7 0,62 0,62 0,62 200

8 9 0 0 0 200

8 5 186,18 186,18 186,18 200

9 10 0 0 0 200

4 11 23,53 23,53 23,53 200

5 11 30 30 30 200

11 12 9,32 9,32 9,32 200

2 12 -40,12 -40,12 -40,12 200

3 12 -19,84 -19,84 -19,84 200

7 12 -18,39 -18,39 -18,38 200

11 13 -25,79 -25,79 -25,79 200

12 14 -52,5 -52,5 -52,5 200

13 15 -59,79 -59,79 -59,79 200

14 15 -66,5 -66,5 -66,5 200

12 16 -83,53 -83,53 -83,53 200

15 17 -224,98 -224,98 -224,98 200,*

16 17 -108,53 -108,53 -108,53 200

17 18 114,27 114,27 114,27 200

18 19 54,27 54,27 54,27 200

19 20 -82,09 -82,09 -82,09 200

15 19 -35,15 -35,15 -35,15 200

20 21 -100,09 -100,09 -100,09 200

21 22 -114,09 -114,09 -114,09 200

22 23 -124,09 -124,09 -124,09 200

23 24 230,28 230,28 230,29 300

23 25 -47,53 -47,53 -47,53 200

26 25 -436,26 -436,26 -436,27 200,*

25 27 -200,29 -200,29 -200,29 200,*

27 28 91,85 91,85 91,85 200

28 29 74,85 74,85 74,85 200

30 17 -255,87 -255,87 -255,87 300

26 30 436,26 436,26 436,27 200,*

8 30 -186,18 -186,18 -186,18 200

17 31 -385,85 -385,85 -385,86 200,*

29 31 50,85 50,85 50,85 200

23 32 -313,85 -313,85 -313,85 200,*

78

31 32 -165,81 -165,81 -165,81 200

27 32 3,48 3,48 3,48 200

15 33 74,84 74,84 74,84 200

19 34 66,21 66,21 66,21 200

35 36 -53,39 -53,39 -53,39 200

35 37 20,39 20,39 20,39 200

33 37 51,84 51,84 51,84 200

34 36 5,39 5,39 5,39 200

34 37 181,1 181,1 181,1 200

38 37 -286,56 -286,56 -286,56 200,*

37 39 -11,81 -11,81 -11,81 200

37 40 -21,42 -21,42 -21,42 200

30 38 505,95 505,95 505,95 500,*

39 40 -38,81 -38,81 -38,81 200

40 41 76,84 76,84 76,84 200

40 42 49,83 49,83 49,84 200

41 42 39,84 39,84 39,84 200

43 44 138,52 138,52 138,53 200

34 43 156,52 156,52 156,53 200

44 45 122,52 122,52 122,53 200

45 46 21,22 21,22 21,22 200

46 47 63,51 63,51 63,51 200

46 48 29,71 29,71 29,71 200

47 49 -31,35 -31,35 -31,35 200

42 49 226,33 226,33 226,34 200,*

42 49 226,33 226,33 226,34 200,*

45 49 48,3 48,3 48,3 200

48 49 9,71 9,71 9,71 200

49 50 87,18 87,18 87,18 200

49 51 106,46 106,46 106,46 200

51 52 41,07 41,07 41,07 200

52 53 23,07 23,07 23,07 200

53 54 0,07 0,07 0,07 200

49 54 71,91 71,91 71,91 200

49 54 71,41 71,41 71,41 200

54 55 23,42 23,42 23,42 200

54 56 83,56 83,56 83,56 200

55 56 -56,79 -56,79 -56,79 200

56 57 -58,18 -58,18 -58,18 200

50 57 70,18 70,18 70,18 200

56 58 -36,39 -36,39 -36,39 200

51 58 48,39 48,39 48,39 200

54 59 23,41 23,41 23,41 200

56 59 18,21 18,21 18,21 200

56 59 19,12 19,12 19,12 200

79

55 59 17,21 17,21 17,21 200

59 60 -26,66 -26,66 -26,66 200

59 61 -33,35 -33,35 -33,35 200

60 61 -84,23 -84,23 -84,23 200

60 62 -20,43 -20,43 -20,43 200

61 62 -0,25 -0,25 -0,25 200

63 59 139,03 139,03 139,03 200

63 64 -139,03 -139,03 -139,03 200

64 61 117,33 117,33 117,33 200

38 65 792,51 792,51 792,51 700,*

64 65 -256,36 -256,36 -256,36 200,*

49 66 98,57 98,57 98,58 200

49 66 98,57 98,57 98,58 200

62 66 -55,41 -55,41 -55,41 200

62 67 -42,27 -42,27 -42,27 200

65 66 -32,47 -32,47 -32,47 200

66 67 70,27 70,27 70,27 200

65 68 568,61 568,61 568,62 200,*

47 69 60,86 60,86 60,86 200

49 69 58,23 58,23 58,23 200

68 69 -13,3 -13,3 -13,29 200

69 70 -184,56 -184,56 -184,56 200

24 70 315,14 315,14 315,15 200,*

70 71 -315,14 -315,14 -315,15 200,*

24 72 315,14 315,14 315,15 200,*

71 72 -315,14 -315,14 -315,15 200,*

71 73 0 0 0 200

70 74 179,36 179,36 179,37 200

70 75 200,36 200,36 200,37 200,*

69 75 39,45 39,45 39,45 200

74 75 111,36 111,36 111,37 200

76 77 71,18 71,18 71,18 200

69 77 308,91 308,91 308,91 200,*

75 77 132 132 132 200

77 78 112,44 112,44 112,44 200

78 79 41,44 41,44 41,44 200

77 80 53,14 53,14 53,14 200

77 80 24,55 24,55 24,55 200

79 80 2,44 2,44 2,44 200

68 81 581,91 581,91 581,91 200,*

81 80 581,91 581,91 581,91 200,*

77 82 260,96 260,96 260,96 200,*

82 83 156,83 156,83 156,83 200

83 84 60,9 60,9 60,9 200

83 85 75,93 75,93 75,93 200

80

84 85 49,9 49,9 49,9 200

85 86 21 21 21 200

86 87 0 0 0 200

85 88 50,26 50,26 50,26 200

85 89 30,57 30,57 30,57 200

88 89 2,26 2,26 2,26 200

89 90 19,52 19,52 19,52 200

89 90 36,81 36,81 36,81 200

90 91 -21,67 -21,67 -21,67 200

89 92 -17,81 -17,81 -17,81 200

89 92 -5,69 -5,69 -5,69 200

91 92 -21,67 -21,67 -21,67 200

92 93 -45,41 -45,41 -45,41 200

92 94 -50,97 -50,97 -50,97 200

93 94 -57,41 -57,41 -57,41 200

94 95 -85,28 -85,28 -85,28 200

80 96 122,74 122,74 122,74 200

82 96 50,13 50,13 50,13 200

94 96 -122,71 -122,71 -122,71 200

80 97 130,11 130,11 130,11 200

80 98 150,26 150,26 150,26 200

80 99 128,92 128,92 128,92 200

92 100 -13,62 -13,62 -13,62 200

94 100 69,6 69,6 69,6 500

95 96 -127,28 -127,28 -127,28 200

96 97 -115,11 -115,11 -115,11 200

98 100 116,26 116,26 116,26 200

99 100 128,92 128,92 128,92 300

100 101 27,17 27,17 27,17 200

92 102 -0,17 -0,17 -0,17 200

101 102 5,17 5,17 5,17 200

100 103 130,22 130,22 130,22 200

100 104 52,71 52,71 52,71 200

103 104 24,72 24,72 24,72 200

103 105 33,27 33,27 33,27 200

100 106 54,07 54,07 54,07 200

104 105 39,43 39,43 39,43 200

105 106 2,55 2,55 2,55 200

105 107 14,38 14,38 14,38 200

105 108 24,76 24,76 24,76 200

106 107 13,62 13,62 13,62 200

108 109 22,76 22,76 22,76 200

103 110 49,24 49,24 49,24 200

109 110 14,76 14,76 14,76 200

110 111 0 0 0 200

81

110 112 25 25 25 200

17 113 -328,79 -328,79 -328,79 200,*

32 113 328,79 328,79 328,79 200,*

32 114 14,03 14,03 14,03 200

27 115 15,98 15,98 15,97 200

114 115 6,02 6,02 6,03 200

68 116 0 0 0 200

12 117 20 20 20 200

75 118 172,18 172,18 172,18 200

76 118 -139,18 -139,18 -139,18 200

analise de formas alternativas para representaÇÃo...

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