i
ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA
REPRESENTAÇÃO DA REDE ELÉTRICA NO MODELO DC
_____________________________________________________________________
Diego Macedo Pedreira Lameirão
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges
Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos
Rio de Janeiro
Abril de 2014
ii
ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA
REPRESENTAÇÃO DA REDE ELÉTRICA NO MODELO DC
Diego Macedo Pedreira Lameirão
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO ELETRICISTA.
Examinada por:
__________________________________________
Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges D.Sc.
__________________________________________
André Luiz Diniz, D.Sc.
__________________________________________
Prof. Tatiana Mariano Lessa de Assis, D.Sc
__________________________________________
Tiago Norbiato dos Santos, M.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
ABRIL DE 2014
iii
Lameirão, Diego Macedo Pedreira
Análise comparativa para representação da rede elétrica no modelo DC/ Diego Macedo Pedreira Lameirão. – Rio de Janeiro: UFRJ/ ESCOLA POLITÉCNICA, 2014
xii, 81 p.; 29,7 cm
Orientador: Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges
Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos.
Projeto de Graduação – UFRJ / POLI / Curso de Engenharia Elétrica, 2014.
Referências Bibliográficas: p.65 -66
1.Inclusão da rede no modelo de despacho econômico; I. Borges, Carmen Lúcia Tancredo et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica. III. Análise de formas alternativas para representação da rede elétrica no modelo DC.
iv
“Feliz é aquele que sabe que não controla nada, mas tem plena confiança
naquele que controla tudo.”
Domingos Marcelus Carias Rodrigues
v
Dedico este trabalho a minha mãe,
sinônimo de dedicação.
vi
Agradecimentos
A Gita. Pois sem o tudo, não somos nada.
Aos meus pais: Joselita e Antonio João, por me fazerem sentir a sensação do
que é ter os melhores pais do mundo.
Aos meus Avós: Isabel, Geny, João e Francisco. Sou muito feliz por ser um
pouquinho de cada um.
Ao meus irmãos: Marina, Marcela e Rafael, por serem minha fonte de
inspiração.
A minha namorada Adriane, por ser uma pessoa que vem caminhando ao meu
lado.
A toda minha família, afinal cada um contribuiu um pouco para tornar o que eu
sou hoje.
Aos meus amigos: Marvin, Ian, Filipe, Luis e todos aqueles em que posso
contar.
Aos meus amigos da faculdade: Cássio, Sthenio, Bruno e todos aqueles que
percorreram junto comigo esse difícil caminho que se chama Engenharia Elétrica.
Aos meus amigos do CEPEL: Jonathan, Juan, João, Felipe, Priscilla e todos os
outros que tornaram os meus dias de trabalho muito mais prazerosos.
A Tiago Norbiato, cuja paciência e dedicação me mostraram “o caminho das
pedras” para a realização desse trabalho.
A Andre Diniz, por acreditar que eu era capaz de obter sucesso nesse trabalho.
A Carmen Lucia, pelo conhecimento adquirido para realização desse trabalho.
A todos que não citei, mas não menos importantes, que de alguma forma me
ajudaram a chegar até aqui.
A UFRJ, por todos os momentos bons e ruins que modelaram o ser humano
que hoje sou.
vii
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA REPRESENTAÇÃO DA
REDE ELÉTRICA DO MODELO DC DA REDE ELÉTRICA NO MODELO
DC
Diego Macedo Pedreira Lameirão
Abril/2014
Orientador: Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges
Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos
Curso: Engenharia Elétrica
A Programação Diária da Operação - PDO pode ser realizada considerando sistemas
hidrotérmicos ou puramente térmicos. Cada uma dessas abordagens será utilizada
dependendo do tipo de sistema a ser estudado e de sua configuração, ou até mesmo
do objetivo do estudo em si. Como forma de se obter um estudo mais detalhado, a
rede elétrica pode ser considerada como mais um atributo a ser utilizado no estudo,
ampliando o detalhamento do problema, independente do sistema ser térmico ou
hidrotérmico. Ao considerar a rede elétrica, as perdas nas linhas de transmissão
podem ser incluídas como forma de se obter um resultado mais próximo do real. Este
trabalho tem como objetivo estudar algumas das abordagens alternativas para utilizar
o modelo DC da rede elétrica para um problema de despacho econômico puramente
térmico com um estágio. Acredita-se que os resultados e conclusões obtidos possam
ser estendidos para o problema de PDO hidrotérmico multiestágio.
viii
SUMÁRIO
1 Introdução ................................................................................................................. 1
2 planejamento da operação ........................................................................................ 3
2.1 Descrição do Sistema brasileiro ....................................................................... 3
2.2 Programação diária da operação ....................................................................... 4
2.2.1 Sistemas Termoelétricos ............................................................................. 4
2.2.2 Sistemas Hidrotérmicos .............................................................................. 6
2.2.2.1 Formulação do problema ..................................................................... 6
2.2.2.2 Estratégia de solução ......................................................................... 10
2.3 Representação da transmissão sem perdas ..................................................... 12
2.3.1 Representação somente dos intercâmbios ................................................ 12
2.3.2 Representação linear da rede de transmissão ........................................... 12
2.3.3 Consideração dos limites de fluxo ............................................................ 13
2.3.3.1 Método I0: Ângulos em função das injeções. ................................... 13
2.3.3.2 Método F0: Fluxo como variável do problema ................................. 18
2.3.3.3 Método A0: Ângulos como variáveis do problema .......................... 22
2.3.4 Algoritmo de resolução geral ................................................................... 25
2.3.5 Comparação entre os métodos .................................................................. 26
3 Representação da rede com a inclusão das perdas ................................................. 28
3.1 Estratégia estática de inclusão dos cortes ....................................................... 28
ix
3.2 Estratégia dinâmica de inclusão dos cortes .................................................... 29
3.2.1 Método I1: representação dos ângulos em função das injeções com
representação das perdas ........................................................................................ 29
3.2.1.1. Formulação do problema ....................................................................... 29
3.2.1.2 Estratégia de solução ......................................................................... 30
3.2.2 Método A1: Representação dos ângulos diretamente no PPL com
representação das perdas ........................................................................................ 32
3.2.2.1 Formulação do problema ................................................................... 32
3.2.2.2 Estratégia de solução ......................................................................... 33
3.2.3 Método F1: representação dos fluxos como variável do problema com
representação das perdas ........................................................................................ 36
3.2.3.1 Formulação do Problema .................................................................. 36
3.2.3.2 Estratégia de Solução ........................................................................ 37
3.3 Comparação geral entre os métodos ............................................................... 40
4 estudo de caso ......................................................................................................... 43
4.1 Introdução ao caso .......................................................................................... 43
4.2 Comparação dos resultados sem consideração das perdas ............................. 45
4.2.1 Comparações de Eficiência ...................................................................... 46
4.2.2 Comparações de resultados ...................................................................... 46
4.3 Comparação dos resultados com a consideração das perdas .......................... 52
4.3.1 Comparações de eficiência ....................................................................... 52
4.3.2 Comparações de resultados ...................................................................... 53
4.4 Comparações finais entre todos os métodos ................................................... 63
x
5 Conclusões .............................................................................................................. 64
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Dados das linhas do exemplo 2.1.
Tabela 2: Dados de barra do exemplo 2.1.
Tabela 3: Dados das Usinas térmicas do sistema teste IEEE – 118 Barras
Tabela 4: Iterações e tempo de resolução métodos sem perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela 5: Gerações sem perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela 6: Fluxo sem perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela 7: Iterações e tempo de resolução métodos com perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela: 8: Gerações com perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela 9: Fluxo sem perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela 10: Perdas nos linhas IEEE – 118 Barras.
Tabela 11: Comparações finais entre os métodos IEEE – 118 Barras.
xii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Integração Eletroenergética do Sistema Interligado Nacional
Figura 2: Processo Iterativo de PDDD adotado para o modelo de Despacho de geração
em curtíssimo prazo.
Figura 3: Sistema elétrico simples com três barras
Figura 4: Algoritmo de resolução do subproblema para cada período considerando
limites na rede.
Figura 5: Exemplo de um modelo estático linear por partes de inclusão das perdas
Figura 6: Exemplo iterativo para calculo das perdas na transmissão para o Modelo
Linear Dinâmico por Partes. Aplicado para uma linha i no período t.
Figura 7: IEEE 118 Barra
1
1 INTRODUÇÃO
O planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos é um problema complexo que
pode ser decomposto em 3 etapas com distintas características: médio prazo ( horizonte
de até 5 anos), curto prazo (com horizonte de até 1 ano), e curtíssimo prazo (com
estudos semanais) [1]. Este trabalho terá como base o curtíssimo prazo, também
conhecido como programação diária da operação - PDO, com horizonte de estudo em
geral de até uma semana (vide revisão bibliográfica feita em [2]). O enfoque se dará na
inclusão da rede elétrica nesse tipo de problema [3], mais especificamente em estudar
formas distintas de considerar a modelagem DC com e sem as perdas na linha de
transmissão no problema. Os estudos foram realizados tomando como base diversos
trabalhos relacionados ao modelo DESSEM [4], desenvolvido pelo Centro de Pesquisas
de Energia Elétrica.
Inicialmente considerava-se a PDO sem a inclusão da rede [5]. Nesse caso existem duas
abordagens possíveis: a consideração de um sistema hidrotérmico ou a de um sistema
puramente térmico. No sistema hidrotérmico, em geral são representados os balanços
hídricos do sistema, restrições das usinas hidrelétricas, restrições das usinas térmicas, o
intercâmbio de energia entrem as áreas do sistema e a restrição de atendimento a
demanda. Nos sistemas puramente térmicos são representadas apenas as restrições das
usinas térmicas, o intercâmbio entre as áreas e a restrição de atendimento a demanda.
Ressalta-se que há uma série de restrições operativas adicionais [2] que podem ser
consideradas. Entretanto, essas restrições não serão mencionadas neste trabalho.
Com a inclusão da rede elétrica no problema [6], pode-se utilizar o fluxo de potência
linear, ou modelo DC da rede. Isso será feito com a representação das restrições de
fluxo em relação a sua capacidade de transmissão. No método I0, os ângulos serão
representados em função das injeções de potência, ou seja, o quanto cada fluxo em cada
linha é afetado pelas gerações e cargas em cada barra do sistema.
2
Outra forma de representar a rede no problema de PDO é diretamente através dos
ângulos das barras [7] (Método A0). Nesse caso, as restrições de fluxo também passam
a ser representadas em função dos ângulos e não das injeções. O Método A1 também
fará essa representação, porém com inclusão das perdas na rede elétrica.
Outra forma de considerar a rede no PDO é incluir explicitamente uma variável fluxo na
formulação do problema, sendo que esses são representados em função das injeções do
sistema (Método F0). O Método F1 também fará essa representação, porém com
inclusão das perdas na rede elétrica. Esta abordagem foi proposta em [8], com as perdas
representadas por barra. Entretanto, neste trabalho as perdas serão representadas por
linha de transmissão, sendo essa a principal contribuição deste trabalho.
O método com a inclusão das perdas que se mostrou mais eficiente até agora, foi o
Método A1 . Porém, seu custo computacional ainda não é satisfatório. A motivação
então é buscar alternativas que possam vir a gerar um custo computacional menor. É
nesse ponto que entra o Método F1, o qual será pela primeira vez testado com a
finalidade de verificar seu custo computacional, verificando se esse custo é menor
comparado ao Método A1.
3
2 PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO
2.1 Descrição do Sistema brasileiro
O sistema de produção e transmissão de energia elétrica do Brasil [9] é hidrotérmico, de
grande porte, sendo predominantemente composto por usinas hidrelétricas vinculadas a
proprietários diferentes. O Sistema Interligado Nacional (SIN) é formado por empresas
das regiões Sudeste/ Centro-oeste, Sul, Nordeste, e Norte, em que algumas áreas se
encontram fora do SIN (aproximadamente 3,4% da capacidade de produção do país). A
seguir pode ser visto a integração Eletroenergética do SIN:
Figura 1: Integração Eletroenergética do SIN – Disponível em: <https//
<http://www.ons.org.br/conheca_sistema/mapas_sin.aspx>
4
Para que se houvesse uma operação centralizada do sistema, foi criado em 1998 o
Operador Nacional do Sistema Elétrico – ONS, responsável pela coordenação e controle
da operação da geração e transmissão de energia elétrica no SIN. Maiores informações
sobre o ONS podem ser obtidas em [10]. O ONS possui varias responsabilidades, dentre
elas, incluem-se o planejamento da operação a longo, médio e curto prazo e do
despacho horário de geração. A fim de cumprir essas responsabilidades e obter a
otimização do sistema global em níveis diferentes, o ONS utiliza de uma cadeia de
modelos e programas computacionais [11], desenvolvidos pelo CEPEL, baseados em
regras definidas e aprovadas por todos os membros e pelo órgão regulador, a Agência
Nacional de Energia Elétrica – ANEEL.
2.2 Programação diária da operação
O Centro de pesquisa de Energia Elétrica (CEPEL) [12] desenvolve uma cadeia de
modelos para a operação, planejamento e expansão o sistema elétrico Brasileiro, dentre
eles está o modelo DESSEM [13] para o estudo de curtíssimo prazo (Despacho de
Geração Horário). O objetivo do DESSEM é resolver o problema de planejamento da
operação de forma detalhada, tendo como horizonte de estudo uma semana, com
discretização horária.
Para que esse problema possa ser resolvido, ele será descrito como um Problema de
Programação Linear – PPL. Nesse trabalho foi utilizada a linguagem Fortran 77, em que
foi feito um programa de computador utilizando a mesma. Nesse programa, a partir da
entrada de dados do sistema, ele modela o PPL para que possa ser resolvido a
otimização externamente a partir de um pacote de otimização.
2.2.1 Sistemas Termoelétricos
Sistemas Termoelétricos, como o próprio nome diz, são compostos apenas por usinas
térmicas. Neste caso o objetivo é obter uma operação para as usinas com o menor custo
possível. Uma característica importante deste tipo de sistema é o fato das gerações das
usinas não estarem relacionadas umas as outras. A seguir será descrito uma formulação
simplificada do problema termoelétrico.
5
Formulação do Problema: O objetivo do problema é minimizar a função Ct(Ut),
chamada de função de custo imediato. Essa função representa o custo de geração
térmico necessário para complementar o atendimento da demanda no período t. Para
calcular Ct(Ut), utiliza – se o PPL descrito a seguir:
(1.1)
𝐶𝑡(𝑈𝑡) = 𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝐶𝑇𝑗(𝐺𝑇𝑡(𝑗))𝑁𝑇𝑗=1 (2.1a)
s.a
∑ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) + ∑ (𝑓𝑡(𝑟, 𝑘) − 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟)) = 𝐷𝑡(𝑘)𝑟∈Ω𝑘
𝑁𝑇𝑘𝑗=1 (2.1b)
𝐺𝑇(𝑗) ≤ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝑇(𝑗) (2.1c)
𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) ≤ 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) (2.1d)
Para K=1,..., NS; para j=1,...,NT
Onde:
𝑁𝑇𝑘 = Usinas térmicas pertencentes ao submercado k
𝐶𝑡(𝑈𝑡) = Custo imediato associado à decisão 𝑈𝑡 ( geração térmica e déficit ocorrido no
período) .
𝐶𝑇𝐽 = Custo de geração da usina térmica j, em função da energia gerada. Inclui também
custos de déficit.
𝐺𝑇𝑡(𝑗) = Geração da usina térmica j no período t
𝐷𝑡(𝑘)= Demanda no submercado k, no período t
Ω𝑘= Conjunto de submercados interligados ao submercado k
𝑓𝑡(𝑟, 𝑘)= Intercambio de energia do submercado r para o submercado k ao longo do
período t
6
A restrição (2.1b) representa o atendimento a demanda. As restrições (2.1c) e (2.1d) são
respectivamente os limites de geração térmica e limites de intercâmbio de energia entre
submercado.
2.2.2 Sistemas Hidrotérmicos
2.2.2.1 Formulação do problema
Quando o problema de PDO é resolvido por Programação Dual Determinística (será
visto a frente), que é uma opção do modelo DESSEM, obtém-se a chamada função de
custo futuro ao final de cada meia-hora ou hora, além da a solução proveniente do pré-
despacho térmico, o despacho inicial da rede, e os custos marginais por submercado e
barras.
Além das restrições mais importantes descritas com mais detalhes nesse trabalho,
apresentam-se abaixo os conjuntos de restrições hidráulicas e elétricas importantes para
o aprimoramento do problema de despacho horário de geração:
a) Modelagem da calha do rio com o propósito de representar o tempo de viagem
da água entre duas usinas hidroelétricas;
b) Restrição de faixa operativa por unidade;
c) Limites máximo e mínimo de armazenamento nos reservatórios;
d) Restrições de vazões mínima e máxima de forma a atender a navegação e
qualidade da água;
e) Restrições de níveis máximo e mínimo;
f) Volume de água destinado à irrigação e abastecimento de água;
g) Cálculo de volume de espera para controle de cheias;
h) Diferença de nível entre duas usinas hidroelétricas;
i) Vazão máxima defluente em função do nível do reservatório de jusante;
j) Enchimento de volume morto;
7
k) Consideração de curvas de rendimento das unidades geradoras;
l) Taxa de variação de geração de um grupo de usinas (CAG);
m) Possibilidade de representação completa da rede DC;
n) Cálculo de custos marginais a nível de sub-mercados ou barras;
o) Representação de usinas térmicas;
p) Representação de contratos internacionais;
O problema de PDO hidrotérmico pode ser representado pela seguinte equação
recursiva:
𝛼𝑡(𝑋𝑡) = min[𝐶𝑡(𝑈𝑡) + 𝛼𝑡+1(𝑋𝑡+1) (2.2)
Sujeito a (s.a.)
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑔𝑖𝑜 𝑡
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 𝑇, 𝑇 − 1, … ,1; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑋𝑡
O horizonte de estudo T, para o sistema brasileiro, é de 7 a 13 dias. Sendo que a
recursão (2.2) é feita para cada período T do período estudado.
No caso de sistemas hidrotérmicos, as variáveis de estado Xt representam o
armazenamento nos reservatórios, Vt, a cada período t. Sendo que Vt é um vetor
representando da seguinte maneira:Vt(i), i=1,...,Número de Usinas - NUS, onde i
representa o i-ézimo reservatório.
As variáveis de decisão a cada período t incluem as vazões turbinadas (Qt) e vertidas
(St) nas usinas hidrelétricas e as gerações das usinas térmicas. O vetor Ut representa a
energia fornecida pelos volumes turbinados nas usinas hidrelétricas. Ct(Ut) representa o
custo imediato associado a decisão Ut , e 𝛼𝑡 (𝑋𝑡) representa o custo de operação do
período t até o final do período em que está sendo feito o estudo, supondo operação
ótima.
8
Função de custo imediato: Ct(Ut) é chamada de função de custo imediato e representa o
custo de geração térmica necessário para complementar o atendimento da demanda na
etapa t, em que o complemento é representando pela diferença entre a demanda e a
energia hidroelétrica produzida.
Para obter um despacho ótimo de geração, resolve – se o PPL descrito a seguir:
𝐶𝑡(𝑈𝑡) = 𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝐶𝑇𝑗(𝐺𝑇𝑡(𝑗))𝑁𝑇𝑗=1 + 𝛼𝑡+1(𝑋𝑡+1) (2.3a)
s.a
𝑉𝑡+1(𝑖) = 𝑉𝑡(𝑖) + 𝐴𝑡(𝑖) − 𝑄𝑡(𝑖) − 𝑆𝑡(𝑖) − 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑡(𝑖) + ∑ (𝑄𝑡(𝑗) + 𝑆𝑡(𝑖))𝑗∈𝑀(𝑖) (2.3b)
∑ (𝑖)𝐺𝐻𝑡(𝑖) + ∑ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) + ∑ (𝑓𝑡(𝑟, 𝑘) − 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟)) = 𝐷𝑡(𝑘)𝑟∈Ω𝑘
𝑁𝑇𝑘𝑗=1
𝑁𝐻𝑘𝑖 (2.3c)
𝐺𝑇(𝑗) ≤ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝑇(𝑗) (2.3d)
𝐺𝐻(𝐽) ≤ 𝐺𝐻𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝐻(𝑗) (2.3e)
𝑄𝑡(𝑖) ≤ 𝑄𝑡(𝑖) ≤ 𝑄𝑡(𝑖) (2.3f)
𝑉(𝑖) ≤ 𝑉𝑡(𝑖) ≤ 𝑉(𝑖) , 𝑉(𝑖) ≤ 𝑉𝑡+1(𝑖) ≤ 𝑉(𝑖) (2.3g)
𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) ≤ 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) (2.3h)
Para K=1,..., NS; para i=,1...,NH; para j=1,...,NT
Onde:
𝑁𝐻𝑘 = Usinas hidrelétricas pertencentes ao submercado k
𝑁𝑇𝑘 = Usinas térmicas pertencentes ao submercado k
𝐶𝑡(𝑈𝑡) = Custo imediato associado à decisão 𝑈𝑡 ( geração térmica e déficit ocorrido no
período)
9
𝐶𝑇𝐽 = Custo de geração da usina térmica j, em função da energia gerada. Inclui também
custos de déficit.
𝐺𝑇𝑡(𝑗) = Geração da usina térmica j no período t
𝑉𝑡(𝑖) = Volume armazenado na usina i no inicio do período t
𝑄𝑡(𝑖) = Turbinamento da usina i no período t
𝑆𝑡(𝑖) = Vertimento da usina i no período t
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑡(𝑖) = Consumo de água na Usina i no período t(Devido à irrigação,
abastecimento, etc.)
𝐴𝑡(𝑖) = Afluência incremental natural a usina i no período t (conhecida).
M(i) = Conjunto de usinas imediatamente a montante da usina i
𝐷𝑡(𝑘)= Demanda no submercado k, no período t
Ω𝑘= Conjunto de submercados interligados ao submercado k
𝐺𝐻𝑡(𝑖)= Geração da usina hidrelétrica i no período t
𝑓𝑡(𝑟, 𝑘)= Intercambio de energia do submercado r para o submercado k ao longo do
período t
A restrição (2.3b) representa o balanço hídrico por cada reservatório. Já a restrição
(2.3c) representa o atendimento à demanda. As restrições (2.3d), (2.3e), (2.3f), (2.3g) e
(2.3h) são respectivamente os limites de geração térmica, geração hidrelétrica, volume
armazenado para as usinas hidrelétricas e limites de intercâmbio de energia entre
submercado.
Função de custo Futuro: A função de custo futuro é representada como uma função
linear por partes:
𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1) = 𝑚𝑖𝑛𝛼𝑡+1 (2.4a)
s.a.
10
𝛼𝑡+1 ≥ ∑ 𝜋1(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿1𝑁𝐻1=1 (2.4b)
𝛼𝑡+1 ≤ ∑ 𝜋2(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿2 𝑁𝐻𝑖=1 (2.4c)
...
𝛼𝑡+1 ≤ ∑ 𝜋𝑃(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿𝑝𝑁𝐻𝑖=1 (2.4d)
Onde:
𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1 ) = Custo de operação da etapa 𝑡 + 1 até o horizonte T, a partir do
armazenamento 𝑉𝑡+1
𝑉𝑡+1= Variável de estado a qual a função custo futuro é dependente.
P= Número de segmentos da função linear por p
𝜋= Coeficiente associado à variação dos volumes armazenados, o qual mede a
sensibilidade da função Custo Futuro do período t+1 até T em relação a variação
incremental do volume armazenado no período t.
𝛿= Termo constante da restrição linear
A função de custo futuro permite comparar o custo de utilizar o reservatório na Etapa
T, ou “guardar” a água para uma utilização futura. Conclui-se dessa maneira, que o
custo futuro aumenta com a utilização presente do reservatório, já que eles ficarão mais
vazios no futuro.
A recursão (2.2) requer como dado de entrada a função de custo futuro para a última
etapa,𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1). Esta função terminal fornecida pelo modelo de planejamento da
operação de médio prazo - DECOMP.
2.2.2.2 Estratégia de solução
Depois de visto a formulação do problema, será mostrada uma estratégia de solução
para o mesmo, que será aplicada também ao capitulo três, o qual mostra formas
diferentes de representação da rede.
11
O problema como um todo a ser otimizado é determinístico e multi-período. Com isso,
uma estratégia de solução a ser adotada baseia-se na Programação Dinâmica Dual
Determinística – PDDD [14], que é uma extensão, para o caso determinístico, do
método de decomposição de Benders multi-estágio. Esse processo envolve a construção
de corte de Benders (restrições de desigualdades lineares) que vão sendo adicionados
gradativamente ao subproblema de cada período, compondo suas respectivas funções de
custo futuro. No fim do processo, além de se obter o despacho de geração, obtêm-se
também os custos marginais de energia por submercado, usina ou barra, e por período
de tempo. No fluxograma da Figura 2, pode-se ver o processo iterativo da PDDD.
Figura 2: Processo Iterativo de PDDD adotado para o modelo Despacho energético em curtíssimo prazo.
Retirado de [1].
12
2.3 Representação da transmissão sem perdas
2.3.1 Representação somente dos intercâmbios
A primeira forma de se considerar restrições na transmissão é através do Intercambio
entre Submercados. Essa representação é chamada no modelo DESSEM como
representação sem rede.
2.3.2 Representação linear da rede de transmissão
No problema de PDO, pode-se utilizar o modelo linearizado em potência ativa, ou fluxo
DC. Nele é desprezado o efeito de tensão/potência reativa. Dessa forma temos uma
aproximação com baixo custo computacional e razoável para o fluxo na rede, devido ao
fato da potência ativa possuir um forte acoplamento com os ângulos das tensões, sendo
esse acoplamento maior quanto maior for o nível de tensão do sistema.
O modelo DC é obtido através da linearização das equações de fluxo de potência ativa
na rede. Primeiramente não consideraremos as perdas, o que será feito no próximo
capitulo. A equação de fluxo de potência ativa na rede entre as barras k será:
𝑃𝑘𝑚 = −𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚 sin 𝜃𝑘𝑚 (2.12)
Onde:
𝑉𝑘 e 𝑉𝑚 = Tensões das barras k e m;
𝑏𝑘𝑚 = Susceptância da linha k-m;
𝜃𝑘𝑚 = Diferença angular entre k e m;
Aproximando:
𝑉𝑘 ≅ 𝑉𝑚 ≅ 1 𝑝𝑢 ; sin 𝜃𝑘𝑚 ≅ 𝜃𝑘𝑚e 𝑏𝑘𝑚 ≅1
𝑋𝑘𝑚
Dessa forma, pode-se calcular o fluxo ativo entre as barras k e m no modelo linearizado:
𝑃𝑘𝑚 = 𝑏𝑘𝑚𝜃𝑘𝑚 =𝜃𝑘−𝜃𝑚
𝑋𝑘𝑚 (2.13)
13
No caso de um sistema com inúmeras barras:
𝑃 = 𝐵𝜃 (2.14)
Onde:
P = Vetor injeção de potência nas barras
B = Matriz de susceptâncias da rede
𝜃 = Vetor de ângulo das tensões nodais
A matriz de susceptâncias é conhecida através da entrada de dados do sistema no
modelo. Calcula-se então o fluxo de potência da rede. Não há nenhuma alteração na
geração da barra de referência do sistema devido a restrição de atendimento à demanda
por submercado, dessa forma as gerações obtidas no PPL são mantidas.
2.3.3 Consideração dos limites de fluxo
Para obter-se de forma direta um despacho ótimo que atenda os limites de fluxo ativo
nas linhas da rede elétrica, no PPL de cada período do Despacho energético em
curtíssimo prazo, seria necessário adicionar uma restrição para cada sentido de fluxo e
para cada linha. No caso brasileiro, isso levaria a milhares de restrições.
Como forma de contornar tal problema, será utilizado um raciocínio semelhante a [15],
onde são incluídos no problema apenas os limites de fluxo que vão sendo violados
durante a resolução do problema.
A seguir serão vistas diferentes estratégias de solução para representação da rede.
2.3.3.1 Método I0: Ângulos em função das injeções.
Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) não é representada dentro do PPL, com
isso as restrições de fluxo são representadas em função das injeções de potência da
barra. Isso torna o problema com menos variáveis, porém as restrições de fluxo se
tornam muito densas. Essas vantagens e desvantagens serão discutidas no Estudo de
caso (Capítulo 4). A seguir resume-se o algoritmo de resolução desse método:
14
Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda e as
restrições de geração no caso do despacho inicial (em outras iterações consideram-se
também os limites de fluxo para os fluxos violados).
Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede.
Passo três: Cálculo dos ângulos nas barras externamente ao PPL, a partir da equação
(2.14).
Passo quatro: A partir da equação (2.13), calculam-se os fluxos em toda rede.
Passo cinco: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma tolerância
desejada, sendo que, para os fluxos que ultrapassarem essa tolerância, adicionam-se as
seguintes restrições:
𝑊𝑙 ∙ 𝑃 ≤ 𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m,
𝑊𝑙 ∙ 𝑃 ≥ −𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 ,se a restrição é no sentido m-k, (2.15)
𝑊𝑙 = 𝑏𝑙(𝐴𝐵−1)
Onde:
"∙" representa o Produto escalar e A representa a matriz incidência nó ramo. Cada linha
da matriz corresponde a uma linha e possui apenas dois elementos que não são nulos: 1
e -1, correspondendo respectivamente a barra “de” e a barra “para” da linha. Essa matriz
possui dimensão NC X NB, em que NC corresponde ao número de linhas e NB
corresponde ao número de barras do sistema. 𝐵−1 Representa a inversa da matriz de
susceptâncias, essa matriz possui dimensão NB X NB. 𝑏𝑙 Representa a susceptância da
linha l.
Na equação (2.15), 𝑊𝑙 é o vetor coeficiente (derivadas) da restrição de fluxo na linha l
em relação às gerações nodais. Esse vetor possui dimensão NB. O índice l indica a l-
ésima linha na matriz 𝐴𝐵−1, que corresponde à linha de mesmo índice.
Passo seis: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições, podendo assim acontecer
três situações distintas:
15
Inviabilidade do PPL.
Um novo despacho é obtido, porém pode levar a violações na capacidade de
transmissão em outras linhas, devido à redistribuição que foi feita nas gerações
anteriores. Volta-se então ao passo dois.
Encontra-se um despacho ótimo que não viole a capacidade de transmissão de
nenhuma outra linha ou que viole a capacidade de transmissão de alguma linha
que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.
Exemplo 2.1: Aplicação da estratégia de solução para representação dos ângulos em
função da geração em um sistema simples de três barras (Aplicação em um único
período).
Figura 3: Sistema elétrico simples com três barras
Onde:
𝐵1, 𝐵2 e 𝐵3 representam respectivamente as Barras Um, Dois e Três. Já 𝐿1, 𝐺2 e 𝐺3
representam respectivamente a carga da Barra Um , a geração da Barra Dois e a
geração da Barra Três. E finalmente, 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3 representam o Linha Um, Dois e Três.
Dados do problema:
Tabela 1: Dados das linhas do exemplo 2.1
Linhas\Dados das
linhas
Susceptância
(𝑏𝑖): [pu]
Condutância
(𝑔𝑖): [pu]
Resistência
(𝑟𝑖): [pu]
Reatância
(𝑥𝑖): [pu]
Limite de
fluxo superior
Limite de
fluxo inferior
16
(𝑓) [MW] (𝑓) [MW]
𝐶1 2 2 0,25 0,25 100 -100
𝐶2 5 5 0,1 0,1 80 -80
𝐶3 1 1 0,5 0,5 800 -800
Tabela 2: Dados de barra do exemplo 2.1
Barras/Dados de
barra
Limite de geração superior (𝐺𝑖)
[MW]
Limite de geração inferior (𝐺𝑖)
[MW]
Custo de geração (𝑆𝑖)
[$/MW]
𝐵1 (Carga de 150
MW)
Não Há (Barra de carga) Não Há ( Barra de carga) Não Há (Barra de
carga)
𝐵2 0 100 10
𝐵3 0 500 100
Considerações:
Sistema na base de 100 MVA
Barra de referência adotada é a Barra dois.
Sistema termoelétrico.
Fluxos positivos: Linha um(Barra três para Barra um), Linha dois(Barra dois
para Barra um)e Linha três(Barra três para Barra dois).
Resolução do problema:
Matriz B de susceptância (Excluindo a barra de referência adotada (Barra 2):
17
B = [7 −2
−2 3] (ex2.1a)
Iteração um:
Min ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖 → Função objetivo
s.a
∑ 𝐺𝑖 = D → Equação de atendimento a demanda
𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 → Restrição das Gerações
Substituindo pelos valores dados:
Min 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.1a)
s.a.
𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.1b)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.1c)
0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.1d)
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝐺2 = 100 MW e 𝐺3 = 50 MW
Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14):
𝜃1 = −0,206 rad e 𝜃3 = 0,0294 rad
Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13):
𝑓1 = 47,04 MW , 𝑓2 = 102,9 MW e 𝑓3 = 2,94 MW
Verificação de fluxos violados:
Como somente o 𝑓2 violou, adicionamos uma restrição a partir da equação (2.15).
18
𝑏2 × [−1 00 0
] × [7 −2
−2 3]
−1
× [−150
G3] ≥ −80 → G3 ≥ 88,99 → Restrição de fluxo
Iteração dois:
Min 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.1f)
s.a.
𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.gi)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.1h)
88,99 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.1i)
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores
𝐺2 = 61,01 MW e 𝐺3 = 88,99 MW
Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14):
𝜃1 = −0,16 rad e 𝜃3 = 0,1899 rad
Calculando os fluxos nos linhas pela equação (2.13):
𝑓1 = 69,98 MW , 𝑓2 = 80 MW e 𝑓3 = 18,99 MW
Verificação de fluxos violados:
Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha.
Fim do problema.
2.3.3.2 Método F0: Fluxo como variável do problema
Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) também não é representada dentro do PPL,
com isso as restrições de fluxo são representadas em função das Injeções de Potência da
Barra. Entretanto, diferentemente do problema anterior, a variável fluxo é representada
diretamente no PPL, conforme determinado fluxo viole sua capacidade. Devido à
representação dessas restrições de fluxo pelas injeções de potência, essas também se
19
tornam muito densas. Isso também será analisado no Estudo de caso (Capítulo 4). A
seguir resume-se o algoritmo de resolução desse método:
Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda e as
restrições de geração no caso do despacho inicial, (em outras iterações, consideram-se
também os limites de fluxo e as equações de fluxo em função das injeções para os
fluxos violados).
Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede.
Passo três: Cálculo dos ângulos nas barras a partir da equação (2.14).
Passo quatro: A partir da equação (2.13) calcula-se o fluxo em toda rede.
Passo cinco: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma tolerância
desejada, sendo que os fluxos que ultrapassarem essa tolerância adicionam-se as
seguintes restrições:
𝑓𝑙 = 𝑊𝑙 ∙ 𝑃
𝑓𝑙 ≤ 𝑓𝑙 (2.16)
Passo seis: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições. Podendo acontecer três
situações distintas:
Inviabilidade do PPL.
Um novo despacho é obtido, porém pode levar a violações na capacidade de
transmissão em outras linhas, devido à redistribuição que foi feita nas gerações
anteriores. Volta-se então ao passo dois.
Encontra-se um despacho ótimo que não viole a capacidade de nenhuma outra
linha de transmissão ou que viole a capacidade de transmissão de alguma linha
que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.
20
Exemplo 2.2: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos em
função das gerações, com o fluxo como variável do problema em um sistema simples de
três barras(Aplicação em um uníco período).
Resolução do problema:
Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1:
Iteração um:
Min ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖
s.a
∑ 𝐺𝑖 = D
𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖
Substituindo pelos valores dados:
Min 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.2a)
s.a.
𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.2b)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.2c)
0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.2d)
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝐺2 = 100 MW e 𝐺3 = 50 MW
Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14):
𝜃1 = −0,206 rad e 𝜃3 = 0,0294 rad
Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13):
21
𝑓1 = 47,04 MW , 𝑓2 = 102,9 MW e 𝑓3 = 2,94 MW
Verificação de fluxos violados:
Como somente o 𝑓2 violou, adicionamos uma restrição a partir da equação (2.16).
𝑏2 × [−1 00 0
] × [7 −2
−2 3]
−1
× [−150
𝐺3] = 𝑓2 → 𝑓2 + 0,59𝐺3 = 132,35 →Equação de
fluxo com a variável fluxo representada diretamente no PPL.
e
𝑓2 ≤ 80 →Restrição de fluxo com a variável fluxo representada diretamente no PPL.
Iteração dois:
Min 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.2e)
s.a.
𝑓2 + 0.59𝐺3 = 1,3235 (ex2.2f)
𝐺2 + 𝐺3 = 1,5 (ex2.2g)
−0,8 ≤ f2 ≤ 0,8 (ex2.2h)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 1 (ex2.2i)
0 ≤ 𝐺3 ≤ 5 (ex2.2j)
Resolvendo o PPL , obtêm-se os seguintes valores:
𝑓2 = 80 MW, 𝐺2 = 61,27 MW e 𝐺3 = 88,73 MW
Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14):
𝜃1 = −0.1603 rad e 𝜃3 = 0.1888 rad
Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13),lembrando que o fluxo no linha
dois foi obtido no resultado do PPL, portanto não há necessidade de calculá-lo
novamente.
22
𝑓1 = 69.8 MW , 𝑓2 = 80 MW e 𝑓3 = 18.88MW
Verificação de fluxos violados:
Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha.
Fim do problema.
2.3.3.3 Método A0: Ângulos como variáveis do problema
Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) é representada dentro do PPL, com isso a
variável ângulo é representada diretamente no PPL. Isso torna o problema com mais
variáveis que o Método I0, e menos varáveis que o método F0. No entanto, as restrições
de fluxo acabam menos densas. Essas vantagens e desvantagens serão discutidas no
Estudo de caso (Capítulo 4). A seguir o algoritmo de resolução desse método:
Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda, as
restrições de geração e da equação (2.14) no PPL no caso do despacho inicial (em outras
iterações consideram-se também os limites de fluxo).
Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede e dos
ângulos entre as barras.
Passo três: A partir da equação (2.13) calcula-se o fluxo em toda rede.
Passo quatro: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma
tolerância desejada, sendo que os fluxos que ultrapassarem essa tolerância adicionam-se
as seguintes restrições:
𝑏𝑘𝑚 × (𝜃𝑘 − 𝜃𝑚) ≤ 𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m,
𝑏𝑘𝑚 × (𝜃𝑚 − 𝜃𝑘) ≥ −𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m, (2.17)
Passo cinco: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições. Podendo acontecer três
situações distintas:
23
Inviabilidade do PPL.
Um novo despacho é obtido, porém pode levar a violações na capacidade de
transmissão em outras linhas, devido à redistribuição que foi feita nas gerações
anteriores. Volta-se então ao passo dois.
Encontra-se um despacho ótimo que não viola a capacidade de nenhuma outra
linha de transmissão ou que viole algum a capacidade de transmissão de alguma
linha que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.
Exemplo 2.3: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos
diretamente no PPL em um sistema simples de três barras (Aplicação em um único
período).
Resolução do problema:
Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1, tem-se a seguinte
resolução do problema:
Iteração um:
𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖
s.a
𝐵𝜃 = 𝑃 → Representação dos ângulos em função das injeções de potência (Variável
ângulo no problema)
∑ 𝐺𝑖 = 𝐷
𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖
Substituindo pelos valores dados:
𝑀𝑖𝑛 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.3a)
s.a.
24
7𝜃1 − 2𝜃3 = 150 (ex2.3b)
−2𝜃1 + 3𝜃3 + 𝐺3 = 0 (ex2.3c)
𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.3d)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.3e)
0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.3f)
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝐺2 = 100 𝑀𝑊 , 𝐺3 = 50 𝑀𝑊, 𝜃1 = −0,21 𝑟𝑎𝑑, 𝜃3 = 0,03 𝑟𝑎𝑑
Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13)
𝑓1 = 46 𝑀𝑊 , 𝑓2 = 100 𝑀𝑊 𝑒 𝑓3 = 𝑓32 = 3 𝑀𝑊
Verificação de fluxos violados
Como somente o 𝑓2 violou, adicionamos uma restrição a partir da equação (2.15).
𝑏2 × (𝜃2 − 𝜃1) ≤ 80 → 𝜃1 ≥ −16 → Restrição de limite de fluxo com a variável
ângulo.
Iteração dois:
𝑀𝑖𝑛 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex2.3g)
s.a.
7𝜃1 − 2𝜃3 = 150 (ex2.3h)
−2𝜃1 + 3𝜃3 + 𝐺3 = 0 (ex2.3i)
𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.3j)
𝜃1 ≥ −16 (ex2.3l)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.3m)
0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.3n)
25
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝐺2 = 61 𝑀𝑊 , 𝐺3 = 89 𝑀𝑊, 𝜃1 = −0,16 𝑟𝑎𝑑, 𝜃3 = 0,19 𝑟𝑎𝑑
Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13):
𝑓1 = 70 𝑀𝑊, 𝑓2 = 80 𝑀𝑊 𝑒 𝑓3 = 19 𝑀𝑊
Verificação de fluxos violados:
Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha
Fim do problema.
2.3.4 Algoritmo de resolução geral
Abaixo se pode ver o fluxograma do processo iterativo que se insere na resolução de
cada período, quando se considera o limite da rede elétrica no estudo.
Figura 4: Algoritmo de resolução do problema para cada período, considerando limites na rede (Nesse
caso o estágio indica o período). – Retirado de [1].
26
É importante considerar que como os cortes de Benders para o período 𝑡 − 1 só são
construídos quando se obtêm uma solução viável para o período, solução inviáveis não
são consideradas no calculo da função de custo futuro. Outra ressalva importante é que
as restrições adicionadas em determinado período, permanecem no PPL para as
iterações seguintes.
Se o processo Iterativo terminar com uma solução viável no PPL de cada período,
garante-se que o despacho final obtido seja uma solução de mínimo custo. É importante
notar que as restrições já existiam implicitamente, apenas não tinham sido ativas.
Portanto o problema não está sendo modificado a medidas que elas vão surgindo.
2.3.5 Comparação entre os métodos
Por fins de um entendimento maior de todos os métodos, será feito agora uma
comparação dos algoritmos de cada método na hora de resolver cada iteração do PPL.
Lembrando que será considerado aqui um problema estático (um único período de
tempo). O Método I0 será o método base para comparação, sendo que o que estiver
diferente entre os métodos em relação ao método base (será considerado aqui o Método
I0), será destacado no texto.
1. Passo um:
Método I0: Despacho inicial + Restrições de fluxo. . Resultados: Valor das
gerações.
Método F0: Despacho inicial + Restrições de fluxo + equações de fluxo.
Resultados: Valor das gerações + fluxo nas linhas que violaram.
Método A0: Despacho inicial, considerando a restrição de atendimento a
demanda + a equação matricial das injeções de potência nas barras +
Restrições de fluxo. Resultados: Valor das gerações + ângulos nas barras.
27
2. Passo dois:
Método I0: Cálculo dos ângulos pela equação matricial das injeções de potência
nas barras por fora do PPL.
Método F0 Cálculo dos ângulos pela equação matricial das injeções de potência
nas barras por fora do PPL.
Método A0: Não há calculo dos ângulos.
3. Passo três:
Método I0: Calculo dos fluxos por fora do PPL
Método F0: Calculo dos fluxos por fora do PPL caso a restrição desse fluxo
ainda não tenha sido adicionada.
Método A0: Calculo dos fluxos por fora do PPL
4. Passo quatro:
Método I0: Adições das restrições dos fluxos violados.
Método F0: Adições das restrições dos fluxos + equações dos fluxos em
função das injeções nas linhas violadas
Método A0: Adições das restrições dos fluxos violados.
5. Passo cinco:
Método I0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1.
Método F0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1.
Método A0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1.
.
28
3 REPRESENTAÇÃO DA REDE COM A
INCLUSÃO DAS PERDAS
Após o problema inicial ser resolvido sem perdas (Capitulo dois), duas opções são
possíveis:
não considerar as perdas. Nesse caso, o problema teria um fim após a inclusão
de todos os limites de fluxo violados;
incluir as perdas na rede. Nesse caso, o problema continua após a inclusão de
todos os limites de fluxo violados, utilizando o ponto de operação obtido na
ultima iteração antes de considerar as perdas.
3.1 Estratégia estática de inclusão dos cortes
Um processo que permite a inclusão das perdas diretamente no PPL é um método de
inclusão “estático” de uma série de restrições lineares por partes (cortes) para
aproximação das perdas. É um processo que inclui todos os cortes de uma única vez,
assim como mostra a figura 5.
Figura 5: Exemplo de um modelo estático linear por partes de inclusão das perdas. Retirado de[13].
Entretanto esse método apresenta um ponto negativo: o número de restrições torna-se
maior que o necessário, já que todos os cortes são incluídos em uma única vez.
Como forma de contornar isso, utiliza-se uma estratégia dinâmica de inclusão dos cortes
proposta em [13]. Além da estratégia original daquele trabalho, foram consideradas
29
neste trabalho algumas variantes em relação à representação das variáveis no problema,
conforme descrito a seguir.
3.2 Estratégia dinâmica de inclusão dos cortes
3.2.1 Método I1: representação dos ângulos em função das
injeções com representação das perdas
Esse método é uma extensão do Método I0 (2.3.3.1), sendo o utilizado atualmente no
Dessem. Pelo fato do trabalho [7] sugerir que o Método A1 é mais eficiente, não será
considerado esse Método I1 nos estudos de caso. Entretanto, esse método será descrito a
seguir, pois como servir como base para o desenvolvimento desse trabalho. Apesar de a
formulação ser geral para um problema multi-período, será considerado o subproblema
de despacho econômico de um estágio t.
3.2.1.1. Formulação do problema
Assim como visto anteriormente, uma função objetivo será otimizada de forma a
minimizar o custo de geração térmica, porém com a inclusão das perdas nas restrições.
O problema pode ser equacionado da seguinte maneira:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.1a)
s.a.
𝑝𝑖𝑡 + ∑ 𝑓𝑘
𝑡𝑘𝜖Ω𝑖
= 𝑑𝑖𝑡 + ∑
𝑙𝑘𝑡
2𝑘∈Ω𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐵 (3.1b)
𝑓𝑖𝑡 = 𝑊𝑙 ∙ 𝑃 (3.1c)
𝑙𝑖𝑡 = 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖
𝑡)2, 1, … , 𝑁𝐿 (3.1d)
−𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.1e)
Assim como restrições adicionais e limites para a variável p.
O índice t representa o período que varia de 1 até T e o índice k representa a iteração em
determinado período.
30
A função objetivo (3.1a) representa a minimização dos custos de geração térmica. A
equação (3.1b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação (3.1c)
representa o fluxo em cada linha, o qual é função de uma combinação linear das
injeções de potência nas barras (Cargas subtraídas das gerações). As perdas são dadas
pela equação (3.1d), em que metade das perdas são colocadas em cada barra do sistema.
Finalmente, a inequação (3.1e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.
3.2.1.2 Estratégia de solução
A proposta é adicionar progressivamente uma aproximação linear para a equação (3.1d)
para cada linha em um processo dinâmico. A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1
tangente a função no ponto corresponde à diferença do ângulo de fase obtida na iteração
𝑘.
Passo um: Iteração k=1. Usar a inequação 𝑙𝑖𝑡 ≥ 0 como uma aproximação inicial paras
perdas nas linhas variando de i=1,...,NL.
Passo dois: Através de uma aproximação atual para as perdas dada pela equação abaixo
(3.2), em que sua dedução está no anexo I, resolve-se o PPL:
𝑙𝑖𝑡 − 2𝑔𝑖∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)𝑥𝑖 (∑ 𝐾𝑏𝑖 (𝑝𝑏
𝑡 − ∑𝑙𝑗
𝑡
2− 𝑑𝑏
𝑡 )𝑁𝐵𝑏=1 ) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘))2 (3.2)
Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras, assim como uma
aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i.
Passo três: Resolve-se o sistema linear a seguir (3.3) para o fluxo de potência linear dc.
Como resultado, é obtido os ângulos de fase 𝜃𝑡(𝑘) em função do vetor 𝑝𝑡 − 𝑑𝑡 das
injeções de potência liquida nas barras.
𝑝𝑡 − 𝑑𝑡 = 𝐵𝜃𝑡(𝑘) (3.3)
Onde:
B = Matriz de Susceptância da rede elétrica
Passo quatro: Para cada linha i, calculam-se as perdas “reais” 𝑙𝑖𝑡(𝑘)
utilizando-se a
seguinte expressão:
31
𝑙𝑖𝑡(𝑘)
= 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
)2 (3.4)
Passo cinco: Para cada linha i, comparar as perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:
𝛿𝑖𝑡 = 𝑙𝑖
𝑡 (𝑘)− 𝑙𝑖
𝑡 (3.5)
Onde:
𝛿𝑖𝑡 = Erro na aproximação para as perdas.
Passo seis: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL
encontrando uma solução ótima e viável.
Passo sete: Para as linhas em que o erro for maior que uma dada tolerância, constrói-se
uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das perdas
(Equação (3.2)). Vá para o passo dois.
Figura 6: Exemplo iterativo para calculo das perdas na transmissão para o Modelo Linear Dinâmico por
Partes. Aplicado para uma linha i. Retirado de[13].
32
3.2.2 Método A1: Representação dos ângulos diretamente no
PPL com representação das perdas
Nesse caso, o problema é uma extensão do Método A0 (item 2.3.3.3). Ou seja, ele
começa exatamente aonde acaba o problema sem perdas. Utiliza-se, portanto, os pontos
de operação para a aproximação que será vista a seguir, os resultados obtidos na ultima
iteração do caso sem perdas.
3.2.2.1 Formulação do problema
Da mesma maneira, uma função objetivo será otimizada de forma a minimizar o custo
de geração térmica, também com a inclusão das perdas nas restrições. O problema pode
ser equacionado da seguinte maneira:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.6a)
s.a.
𝑝𝑖𝑡 + ∑ 𝑓𝑘
𝑡𝑘𝜖Ω𝑖
= 𝑑𝑖𝑡 + ∑
𝑙𝑘𝑡
2𝑘∈Ω𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐵 (3.6b)
P = Bθ (3.6c)
𝑙𝑖𝑡 = 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖
𝑡)2, 1, … , 𝑁𝐿 (3.6d)
−𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.6e)
Pode-se notar que nesse caso os ângulos são incluídos diretamente no PPL, assim como
restrições adicionais e limites para a variável p. O índice t representa o período e o
índice k representa a iteração em determinado período.
A função objetivo (3.6a) representa a minimização dos custos de geração térmica. A
equação (3.6b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação (3.6c)
representa os ângulos em função das injeções de potência. As perdas são dadas pela
equação (3.6d), em que metade das perdas são colocadas em cada barra do sistema.
Finalmente, a inequação (3.6e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.
33
3.2.2.2 Estratégia de solução
A proposta é adicionar progressivamente uma aproximação linear para a equação (3.6d)
para cada linha em um processo dinâmico. A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1
tangente a função no ponto corresponde à diferença do ângulo de fase obtida na iteração
𝑘.
Passo um: Iteração k=1. Usar a inequação 𝑙𝑖𝑡 ≥ 0 como uma aproximação inicial paras
perdas nas linhas variando de i=1,...,NL.
Passo dois: Através de uma aproximação atual para as perdas dada pela equação abaixo
(3.2), em que sua dedução está no anexo II, resolve-se o PPL:
𝑙𝑖𝑡 − 2𝑔𝑖∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)(∆𝜃𝑖
𝑡) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
)2 (3.7)
Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras, uma
aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i e os ângulos de fase 𝜃𝑡(𝑘)
.
Passo três: Para cada linha i, calcula-se as perdas “reais” 𝑙𝑖𝑡(𝑘)
utilizando-se a seguinte
expressão:
𝑙𝑖𝑡(𝑘)
= 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
)2 (3.8)
Passo quatro: Para cada linha i, comparar as perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:
𝛿𝑖𝑡 = 𝑙𝑖
𝑡 (𝑘)− 𝑙𝑖
𝑡 (3.9)
Onde:
𝛿𝑖𝑡 = Erro na aproximação para as perdas.
Passo cinco: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL
encontrando uma solução ótima e viável.
Passo seis: Para as linhas em que o erro for maior que uma dada tolerância constrói-se
uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das perdas
(Equação (3.7)). Vá para o passo dois.
34
Exemplo 3.1: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos
diretamente no PPL, com as perdas na rede representadas em um modelo por linha em
um sistema simples de três barras (Aplicação em um único período).
Resolução do problema:
Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1 e considerando ainda
uma tolerância entre as perdas reais e as obtidas pelo modelo (𝜹) de 5%:
Iteração um:
𝑀𝑖𝑛 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex3.1a)
s.a.
7𝜃1 − 2𝜃3 = −150 −𝑃1
2−
𝑃2
2 (ex3.1b)
−2𝜃1 + 3𝜃3 − 𝐺3 = −𝑃1
2−
𝑃3
2 (ex3.1c)
−𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 + 𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex3.1d)
𝜃1 ≥ −16 (ex3.1e)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex3.1f)
0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex3.1g)
𝑃1 ≥ 𝑔1 × (𝜃3∗ − 𝜃1
∗)2 + 2 × 𝑔1 × (𝜃3∗ − 𝜃1
∗) × (𝜃3 − 𝜃1 − (𝜃3∗ − 𝜃1
∗)) → Corte para
perda na linha um
𝑃2 ≥ 𝑔2 × (𝜃2∗ − 𝜃1
∗)2 + 2 × 𝑔1 × (𝜃2∗ − 𝜃1
∗) × (𝜃2 − 𝜃1 − (𝜃2∗ − 𝜃1
∗)) → Corte para
perda na linha dois
𝑃3 ≥ 𝑔3 × (𝜃3∗ − 𝜃2
∗)2 + 2 × 𝑔3 × (𝜃3∗ − 𝜃2
∗) × (𝜃3 − 𝜃2 − ((𝜃3∗ − 𝜃2
∗)) → Corte para
perda na linha três
As equações (ex3.1c) e (ex3.1d) representam os ângulos em função das injeções de
potência em uma barra. São equações menos densas em relação às equações de fluxo
que serão vistas no Método F1.
35
Serão utilizados como ponto de operação para série de Taylor de primeira ordem, os
valores obtidos da ultima iteração do exemplo 2.3. Substituindo valores, colocando as
variáveis do lado esquerdo e passando as gerações para seus valores em pu:
𝑀𝑖𝑛 10𝐺2 + 100𝐺3 (ex3.1h)
s.a.
𝑃1
2+
𝑃2
2+ 7𝜃1 − 2𝜃3 = −1.5 (ex3.1i)
𝑃1
2+
𝑃3
2 − 2𝜃1 + 3𝜃3 − 𝐺3 = 0 (ex3.1j)
−𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 + 𝐺2 + 𝐺3 = 1.5 (ex3.1l)
𝑃1 + 1,4𝜃1 − 1,4𝜃3 ≥ −0,245 (ex3.1m)
𝑃2 + 1,6𝜃1 ≥ −0,128 (ex3.1n)
𝑃3 − 0,38𝜃3 ≥ −0,0361 (ex3.1o)
𝜃1 ≥ −0.16 (ex3.1p)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 1 (ex3.1q)
0 ≤ 𝐺3 ≤ 5 (ex3.1r)
As inequações de perdas (ex3.1l), (ex3.1m) e (ex3.1n), apresentam um maior número de
variáveis por restrição em relação ao Método F1.
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝑃1 = 0,0702; 𝑃2 = 0,032; 𝑃3 = 0,011; 𝜃1 = −0,08; 𝜃3 = 0,107; 𝐺2 = 0,606; 𝐺3 =
1,007
Calculando as perdas na rede pela equação (3.3):
𝑃1 = 0,0701 ; 𝑃2 = 0,032; 𝑃3 = 0,012
Comparação das perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:
36
𝛿1 = 0,0001; 𝛿2 = 0 ; 𝛿3 = 0,001
Todas as perdas ficaram abaixo da tolerância desejada.
Fim do problema.
3.2.3 Método F1: representação dos fluxos como variável do
problema com representação das perdas
Nesse caso, o problema é uma extensão do Método F0 (item 2.3.3.2). Assim como item
anterior (3.2.2), serão utilizados os pontos de operação obtidos na ultima iteração do
caso sem perdas.
Como foi optado a pela inclusão das perdas, as equações para os fluxos nas linhas terão
que ser adicionadas já antes da primeira iteração do exemplo do item 2.3.3.2, já que as
perdas de cada linha dependem do fluxo de cada linha. Nesse caso, portanto, somente os
limites de fluxo serão adicionados dinamicamente.
3.2.3.1 Formulação do Problema
Nesse modelo, tem-se a seguinte formulação:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.10a)
s.a.
𝑝𝑖𝑡 − 𝑙𝑖
𝑡 = 𝑑𝑖𝑡 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10b)
𝑓𝑘𝑡 = ∑ 𝑘𝑖𝑘
𝑁𝐵𝑖=1 (𝑝𝑖 − 𝑙𝑖
𝑡 − 𝑑𝑖), 𝑘 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10c)
𝑙𝑖𝑡 = 𝑅𝑖(𝑓𝑖
𝑡)2, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10d)
Em que:
𝑅𝑖 = 𝑔𝑖 × 𝑥𝑖2, onde 𝑔𝑖 é a condutância da linha de transmissão e 𝑥𝑖 é a reatância da
mesma.
−𝑓𝑘 ≤ 𝑓𝑘 ≤ 𝑓𝑘, 𝑘 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10e)
37
A função objetivo (3.10a) representa a minimização dos custos de geração térmica. A
equação (3.10b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação
(3.10c) representa o fluxo em cada linha, o qual é função de uma combinação linear das
injeções de potência nas barras (Cargas subtraídas das gerações), exatamente como que
foi visto no item 2.3.3. As perdas são dadas pela equação (3.10d), em que metade das
perdas em uma linha são colocadas em cada barra do sistema. Finalmente, a inequação
(3.10e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.
3.2.3.2 Estratégia de Solução
A proposta é adicionar progressivamente uma aproximação linear para a equação (3.5d)
para cada linha, sendo que metade das perdas são injetadas negativamente em cada
barra dos extremos de uma linha, em um processo dinâmico.
A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1 tangente a função no ponto corresponde a
diferença do ângulo de fase obtida na iteração 𝑘.
Passo um: Iteração k=1. Usar a inequação 𝑙𝑖𝑡 ≥ 0 como uma aproximação inicial paras
perdas nas linhas variando de i=1,...,NL.
Passo dois: Através de uma aproximação atual para as perdas dada pela equação abaixo
(3.6), em que sua dedução está no anexo III, resolve-se o PPL:
𝑙𝑖𝑡 − 2𝑅𝑖𝑓𝑖
𝑡(𝑘)(𝑓𝑖
𝑡) ≥ −𝑅𝑖(𝑓𝑖𝑡(𝑘)
)2 (3.11)
Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras,os fluxos nas
linhas as quais foram violadas no PPL antes de se considerar as perdas, assim como
uma aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i.
Passo três: Para cada linha i, calcula-se as perdas “reais” 𝑙i𝑡(𝑘)
utilizando-se a seguinte
expressão, onde 𝑖 indica a linha i :
𝑙𝑖𝑡(𝑘)
=𝑅𝑖(𝑓𝑖
𝑡(𝑘))2
2 (3.12)
Passo quatro: Para cada linha 𝑖 e período t, comparar as perdas “reais” com as obtidas
pelo modelo:
38
𝛿𝑖𝑡 = 𝑙𝑖
𝑡 (𝑘)− (𝑙𝑖
𝑡) (3.13)
Onde:
𝛿𝑖𝑡 = Erro na aproximação para as perdas.
Passo cinco: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL
encontrando uma solução ótima e viável.
Passo seis: Para as linhas e intervalos em que o erro for maior que uma dada tolerância
constrói-se uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das
perdas (Equação (3.6)). Vá para o passo dois.
Exemplo 3.2: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos em
função das gerações, sendo o fluxo uma variável do problema, com as perdas na rede
representadas em um modelo por barra em um sistema simples de três barras (Aplicação
em um único período).
Resolução do problema:
Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1 e considerando ainda
uma tolerância entre as perdas reais e as obtidas pelo modelo (𝜹) de 5%:
Iteração um:
Min 10𝐺2 + 100𝐺3
s.a.
𝑏1 × [−1 10 0
] × [7 −2
−2 3]
−1
× [−150 −
𝑃1
2−
𝑃2
2
𝐺3 −𝑃1
2−
𝑃3
2
] = 𝑓1
𝑏2 × [−1 00 0
] × [7 −2
−2 3]
−1
× [−150 −
𝑃1
2−
𝑃2
2
𝐺3 −𝑃1
2−
𝑃3
2
] = 𝑓2
𝑏3 × [0 10 0
] × [7 −2
−2 3]
−1
× [−150 −
𝑃1
2−
𝑃2
2
𝐺3 −𝑃1
2−
𝑃3
2
] = 𝑓3
39
−𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 + 𝐺2 + 𝐺3 = 150
𝑃1 ≥𝑟1×𝑓1
∗2
2+
𝑟2×𝑓2∗2
2+ 𝑟1 × 𝑓1
∗ × (𝑓1 − 𝑓1∗) + 𝑟2 × 𝑓2
∗ × (𝑓2 − 𝑓2∗) → Corte para perda
na linha um
𝑃2 ≥𝑟2×𝑓2
∗2
2+
𝑟3×𝑓3∗2
2+ 𝑟2 × 𝑓2
∗ × (𝑓2 − 𝑓2∗) + 𝑟3 × 𝑓3
∗ × (𝑓3 − 𝑓3∗) → Corte para perda
na linha dois
𝑃3 ≥𝑟1×𝑓1
∗2
2+
𝑟3×𝑓3∗2
2+ 𝑟1 × 𝑓1
∗ × (𝑓1 − 𝑓1∗) + 𝑟3 × 𝑓3
∗ × (𝑓3 − 𝑓3∗) → Corte para perda
na linha três
f2 ≤ 80
0 ≤ G2 ≤ 100
0 ≤ G3 ≤ 500
Serão utilizados como ponto de operação para série de Taylor de primeira ordem, os
valores obtidos da ultima iteração do exemplo 2.2. Substituindo valores, colocando as
variáveis do lado esquerdo e passando as gerações para seus valores em pu:
Min 10𝐺2 + 100𝐺3
s.a.
0,235𝑃1 − 0,059𝑃2 + 0,29𝑃3 + 𝑓1 − 0,588𝐺3 = 0,1764 (ex3.2a)
−0.735𝑃1 − 0,44𝑃2 − 0,29𝑃3 + 𝑓2 + 0,588G3 = 1,324 (ex3.2b)
0,264𝑃1 + 0,058𝑃2 + 0,206𝑃3 + 𝑓3 − 0.412𝐺3 = −0,1764 (ex3.2c)
−𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 + 𝐺2 + 𝐺3 = 1,5 (ex3.2d)
100𝑃1 − 0.175𝑓1 ≥ −6,12 (ex3.2e)
100𝑃2 − 0,08𝑓2 ≥ −3,2 (ex3.2f)
100𝑃3 − 0,095𝑓1 ≥ −0,9 (ex3.2g)
40
−0.8 ≤ 𝑓2 ≤ 0.8 (ex3.2h)
0 ≤ 𝐺2 ≤ 1 (ex3.2i)
0 ≤ 𝐺3 ≤ 5 (ex3.2j)
Como se pode observar, as inequações de perdas (ex3.2e), (ex3.2f) e (ex3.2g),
apresentam menos varáveis em relação ao Método A1. No entando, as equações de
fluxo (ex3.2a), (ex3.2b) e (ex3.2c) são mais densas que as equações dos ângulos em
função das injeções de potência do Método A1.
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝑃1 = 0,071; 𝑃2 = 0,032, 𝑃3 = 0,012; 𝑓1 = 𝑓13 = 0,75; 𝑓2 = 𝑓21 = 0,8; 𝑓3 = 𝑓32 =
0,21; 𝐺2 = 0,606; 𝐺3 = 1,007
Calculando as perdas na rede pela equação (3.7):
𝑃1 = 0,0702; 𝑃2 = 0,032; 𝑃3 = 0,012
Comparação das perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:
𝛿1 = 0,0008 ; 𝛿2 = 0 ; 𝛿3 = 0
Todas as perdas ficaram abaixo da tolerância desejada.
Fim do problema.
3.3 Comparação geral entre os métodos
Por fins de um entendimento maior de todos os métodos, será feito agora uma
comparação dos algoritmos de cada método na hora de resolver cada iteração do PPL.
Lembrando que será considerado aqui um problema estático (um único período de
tempo). O Método I1 será o método base para comparação, sendo que o que estiver
41
diferente entre os métodos em relação ao método base (será considerado aqui o Método
I1), será destacado no texto.
6. Passo um:
Método I1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes para as
perdas em todas as linhas a partir dos ângulos obtidos por fora do PPL com o
valor das gerações da ultima iteração do método I0.
Método F1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes para as
perdas em todas as linhas a partir dos fluxos obtidos diretamente do PPL com o
valor da ultima iteração do método F0.
Método A1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes para
as perdas em todas as linhas a partir dos ângulos obtidos diretamente do PPL
com o valor da ultima iteração do método A0.
7. Passo dois:
Método I1: Resolver PPL. Resultados: Além dos resultados do método I0,
aproximação para as perdas em cada linha.
Método F1: Resolver PPL. Resultados: Além dos resultados do método F0,
aproximação para as perdas em cada linha.
Método A1: Resolver PPL. Resultados: Além dos resultados do método A0,
aproximação para as perdas em cada linha.
8. Passo três:
Método I1: Achar perdas reais partir dos ângulos obtidos por fora do PPL com o
valor das gerações da iteração atual. .
42
Método F1: Achar perdas reais a partir dos fluxos obtidos diretamente do PPL
da iteração atual.
Método A1: Achar perdas reais partir dos ângulos obtidos diretamente do PPL
da iteração atual.
9. Passo quatro:
Método I1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes em
que a comparação entre as perdas são maiores que uma dada tolerância. a partir
dos ângulos obtidos por fora do PPL com o valor das gerações da iteração atual.
Caso não adicione cortes: FIM DO PROBLEMA. Caso adicione volte ao passo
2.
Método F1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes em
que a comparação entre as perdas são maiores que uma dada tolerância. a partir
dos fluxos obtidos diretamente do PPL da iteração atual Caso não adicione
cortes : FIM DO PROBLEMA. Caso adicione volte ao passo 2.
Método A1: Representação linear por partes das perdas: Adicionar cortes em
que a comparação entre as perdas são maiores que uma dada tolerância. a partir
dos ângulos obtidos diretamente do PPL da iteração atual. Caso não adicione
cortes : FIM DO PROBLEMA. Caso adicione volte ao passo 2.
43
4 ESTUDO DE CASO
4.1 Introdução ao caso
Baseado na metodologia apresentada, um estudo de caso foi feito com base no sistema
IEEE – 118 Barras utilizado em [13]. Por simplicidade na implementação, este foi
adaptado para um sistema puramente térmico, de forma a manter o mesmo padrão
utilizado nos exemplos citados. Ressalta-se que, em termos de injeção na rede, não há
diferença se a geração é de uma usina hidrelétrica ou uma usina térmica.
Apesar de o trecho teórico deste trabalho mostrar um problema com vários períodos,
também por simplicidade o estudo de caso foi feito em apenas um período único, pois a
utilização de múltiplos períodos tornaria um problema maior. Ressalta-se que como o
foco do trabalho é a representação da rede no problema, considera-se que os resultados
e conclusões a serem obtidos para o caso de período simples possam ser válidos para
um sistema multi-período.
Como já dito nesse trabalho, a comparação do Método F1 com o Método A1 tem o
objetivo de verificar se o Método F1 é mais eficiente, já que o Método A1 já se mostrou
mais eficiente que o Método I1 [7].
Apresenta-se a seguir um diagrama esquemático e os dados deste sistema.
44
Figura 7: IEEE 118 BARRAS - Disponível em: < http://sys.elec.kitami-it.ac.jp/ueda/demo/PFdata/>
45
Tabela 3:Dados das usinas térmicas do sistema
Usina Barra Geração máxima(MW) Custo($/MW)
1 1 606,6 24,27
2 4 1335 19,28
3 6 131 645,3
4 8 37 310,41
5 10 350 80,4
6 12 67 523,35
7 15 31 6,27
8 18 42 937
9 19 10 1047,38
10 24 400 470,34
11 25 521,7 233,27
12 26 998 141,25
13 27 373,6 181,16
14 31 212,2 188,99
15 32 878 320,01
16 34 335,8 119,03
17 36 79 150
18 40 206,9 218,41
19 42 400 37,8
20 46 100 58,89
21 49 200 102,84
22 54 100 149,33
23 69 58 100
4.2 Comparação dos resultados sem consideração das
perdas
Primeiramente será feito um estudo dos casos sem consideração das perdas. O objetivo
é verificar, para um sistema de 118 barras, se algun(s) dos tipos de representação
apresenta(m) um menor tempo de execução e um menor número de iterações. Também
será feita uma comparação geral dos resultados de cada um dos métodos.
As representações utilizadas serão respectivamente: Método I0, Método F0 e Método
A0, que são os respectivos métodos dos itens 2.3.3.1, 2.3.3.2, 2.3.3.3.
46
4.2.1 Comparações de Eficiência
A Tabela 4 mostra o número de iterações e tempo de resolução de cada um dos métodos
considerados.
Tabela 4: Iterações e tempo de execução IEEE – 118 Barras
Iterações Tempo de resolução(s)
Método um 3 12,56
Métododois 3 25,53
Método A0 3 11,66
Os três métodos apresentam os mesmos números de iterações, o que faz sentido já que
os fluxos violados são os mesmos e, consequentemente, espera-se que ocorra o mesmo
processo iterativo em relação à ocorrência de violações de limites de fluxo. Ou seja, os
métodos constituem-se apenas em formas diferentes de representar a mesma situação.
Ressalta-se que, apesar do tempo entre os métodos serem diferentes, o tempo gasto por
iteração em cada método, quando avaliado isoladamente, foi o mesmo.
Em relação ao tempo total de execução, o Método A0 foi o que obteve a resolução mais
rápida, já que apesar dele possuir mais variáveis que o Método I0 dentro do PPL, a
matriz com os índices de cada variável do problema é mais esparsa, significando ganho
computacional.
O Método F0 obteve um maior tempo de resolução, já que como dito no inicio do item
3.2.3, todas as equações de fluxo terão que ser adicionadas no inicio do problema, e
como os fluxos são em função das gerações, todas essas equações serão densas na
matriz dos índices das variáveis.
4.2.2 Comparações de resultados
A Tabela 5 detalha os resultados por barra, para cada um dos métodos. As gerações em
negrito representam as gerações que obtiveram valores diferentes para cada método.
Porém pode-se notar que esses valores são muito pequenos, o que correspondem a erros
de precisão.
47
Tabela 5: Gerações sem perdas IEEE – 118 Barras
Usina Custo($/MW) Geração método I0(MW) Geração método F0(MW) Geração Método A0(MW)
1 24,3 385,75 385,75 385,75
2 19,3 298,8 298,8 298,81
3 645,3 0 0 0
4 310,4 0 0 0
5 80,4 18,41 18,41 18,41
6 523,4 0 0 0
7 6,3 31 31 31
8 937 12,2 12,2 12,22
9 1047,38 0 0 0
10 470,3 400 400 400
11 233,3 95,13 95,13 95,13
12 141,2 0 0 0
13 181,2 373,6 373,6 373,6
14 189 141,85 141,85 141,85
15 320 431,56 431,56 431,54
16 119 335,8 335,8 335,8
17 150 79 79 79
18 218,4 206,9 206,9 206,9
19 37,8 400 400 400
20 58,9 100 100 100
21 102,8 200 200 200
22 149,3 100 100 100
23 100 58 58 58
A Tabela 6 apresenta os resultados para cada linha. Os fluxos em negrito representam os
fluxos que obtiveram valores diferentes para cada método. Porém pode-se notar que
esses valores são muito pequenos, o que corresponde a erros de precisão. As
capacidades de fluxo que possuem “*” correspondem aos fluxos que não foram
possíveis atender os limites de fluxo, ou que atenderam esses limites na sua capacidade
máxima.
Tabela 6: Fluxo sem perdas IEEE – 118 Barras.
Barra de Barra para Fluxo método I0 (MW) Fluxo método F0 (MW) Fluxo Método A0 (MW)
Capacidade
(MW)
1 2 134,75 134,75 134,75 200
1 3 200 200 200 200,*
4 5 200 200 200 200,*
3 5 85,61 85,61 85,61 200
5 6 58,01 58,01 58,01 200
6 7 6,01 6,01 6,01 200
8 9 -18,41 -18,41 -18,41 200
8 5 -181,59 -181,59 -181,59 200
48
9 10 -18,41 -18,41 -18,41 200
4 11 68,81 68,81 68,81 200
5 11 46,01 46,01 46,01 200
11 12 -16,42 -16,42 -16,42 200
2 12 114,75 114,75 114,75 200
3 12 75,39 75,39 75,39 200
7 12 -12,99 -12,99 -12,99 200
11 13 61,24 61,24 61,24 200
12 14 53,39 53,39 53,39 200
13 15 27,24 27,24 27,24 200
14 15 39,39 39,39 39,39 200
12 16 40,34 40,34 40,34 200
15 17 -121,94 -121,94 -121,94 200
16 17 15,34 15,34 15,34 200
17 18 93,67 93,67 93,66 200
18 19 45,87 45,87 45,87 200
19 20 -24,48 -24,48 -24,48 200
15 19 42,2 42,2 42,2 200
20 21 -42,48 -42,48 -42,48 200
21 22 -56,48 -56,48 -56,48 200
22 23 -66,48 -66,48 -66,48 200
23 24 168,1 168,1 168,11 300
23 25 -41,58 -41,58 -41,58 200
26 25 -200 -200 -200 200,*
25 27 -146,45 -146,45 -146,45 200
27 28 67,76 67,76 67,76 200
28 29 50,76 50,76 50,76 200
30 17 -154,28 -154,28 -154,28 300
26 30 200 200 200 200,*
8 30 200 200 200 200,*
17 31 -200 -200 -200 200,*
29 31 26,76 26,76 26,76 200
23 32 -200 -200 -200 200,*
31 32 -74,39 -74,39 -74,39 200
27 32 54,81 54,81 54,81 200
15 33 87,36 87,36 87,36 200
19 34 67,55 67,55 67,55 200
35 36 -52,88 -52,88 -52,88 200
35 37 19,88 19,88 19,88 200
33 37 64,36 64,36 64,36 200
34 36 4,88 4,88 4,88 200
34 37 176,39 176,39 176,39 200
38 37 -282,2 -282,2 -282,2 200,*
37 39 -5,95 -5,95 -5,95 200
37 40 -15,62 -15,62 -15,62 200
49
30 38 554,28 554,28 554,28 500,*
39 40 -32,95 -32,95 -32,95 200
40 41 82,65 82,65 82,66 200
40 42 55,68 55,68 55,68 200
41 42 45,65 45,65 45,66 200
43 44 145,08 145,08 145,08 200
34 43 163,08 163,08 163,08 200
44 45 129,08 129,08 129,08 200
45 46 24,65 24,65 24,66 200
46 47 66,46 66,46 66,46 200
46 48 30,2 30,2 30,2 200
47 49 -35,49 -35,49 -35,49 200
42 49 232,17 232,17 232,17 200,*
42 49 232,17 232,17 232,17 200,*
45 49 51,43 51,43 51,43 200
48 49 10,2 10,2 10,2 200
49 50 87,45 87,45 87,45 200
49 51 106,79 106,79 106,79 200
51 52 41,18 41,18 41,18 200
52 53 23,18 23,18 23,18 200
53 54 0,18 0,18 0,18 200
49 54 72,19 72,19 72,19 200
49 54 71,69 71,69 71,69 200
54 55 23,5 23,5 23,5 200
54 56 83,83 83,83 83,84 200
55 56 -57,01 -57,01 -57,01 200
56 57 -58,45 -58,45 -58,45 200
50 57 70,45 70,45 70,45 200
56 58 -36,62 -36,62 -36,62 200
51 58 48,62 48,62 48,62 200
54 59 23,72 23,72 23,72 200
56 59 18,48 18,48 18,48 200
56 59 19,41 19,41 19,41 200
55 59 17,51 17,51 17,51 200
59 60 -26,48 -26,48 -26,48 200
59 61 -33,16 -33,16 -33,16 200
60 61 -83,97 -83,97 -83,97 200
60 62 -20,52 -20,52 -20,52 200
61 62 -0,46 -0,46 -0,46 200
63 59 138,23 138,23 138,23 200
63 64 -138,23 -138,23 -138,23 200
64 61 116,66 116,66 116,66 200
38 65 836,47 836,47 836,48 700,*
64 65 -254,89 -254,89 -254,89 200,*
49 66 100,11 100,11 100,11 200
50
49 66 100,11 100,11 100,11 200
62 66 -55,56 -55,56 -55,56 200
62 67 -42,42 -42,42 -42,42 200
65 66 -35,25 -35,25 -35,25 200
66 67 70,42 70,42 70,42 200
65 68 616,83 616,83 616,84 200,*
47 69 67,95 67,95 67,95 200
49 69 65,11 65,11 65,11 200
68 69 19,46 19,46 19,47 200
69 70 -152,38 -152,38 -152,39 200
24 70 284,05 284,05 284,05 200,*
70 71 -284,05 -284,05 -284,05 200,*
24 72 284,05 284,05 284,05 200,*
71 72 -284,05 -284,05 -284,05 200,*
71 73 0 0 0 200
70 74 165,88 165,88 165,88 200
70 75 183,83 183,83 183,83 200
69 75 53,83 53,83 53,83 200
74 75 97,88 97,88 97,88 200
76 77 64,24 64,24 64,24 200
69 77 309,08 309,08 309,08 200,*
75 77 123,31 123,31 123,31 200
77 78 109,22 109,22 109,22 200
78 79 38,22 38,22 38,22 200
77 80 46,01 46,01 46,01 200
77 80 21,25 21,25 21,25 200
79 80 -0,78 -0,78 -0,78 200
68 81 597,37 597,37 597,37 200,*
81 80 597,37 597,37 597,37 200,*
77 82 259,15 259,15 259,15 200,*
82 83 156,5 156,5 156,5 200
83 84 60,76 60,76 60,76 200
83 85 75,74 75,74 75,74 200
84 85 49,76 49,76 49,76 200
85 86 21 21 21 200
86 87 0 0 0 200
85 88 50,1 50,1 50,1 200
85 89 30,4 30,4 30,4 200
88 89 2,1 2,1 2,1 200
89 90 19,51 19,51 19,51 200
89 90 36,78 36,78 36,78 200
90 91 -21,71 -21,71 -21,71 200
89 92 -18,03 -18,03 -18,03 200
89 92 -5,76 -5,76 -5,76 200
91 92 -21,71 -21,71 -21,71 200
51
92 93 -45,47 -45,47 -45,47 200
92 94 -51,03 -51,03 -51,03 200
93 94 -57,47 -57,47 -57,47 200
94 95 -85,17 -85,17 -85,17 200
80 96 123,37 123,37 123,37 200
82 96 48,65 48,65 48,65 200
94 96 -122,58 -122,58 -122,58 200
80 97 130,73 130,73 130,73 200
80 98 150,55 150,55 150,55 200
80 99 129,21 129,21 129,21 200
92 100 -13,72 -13,72 -13,72 200
94 100 69,24 69,24 69,24 500
95 96 -127,17 -127,17 -127,17 200
96 97 -115,73 -115,73 -115,73 200
98 100 116,55 116,55 116,55 200
99 100 129,21 129,21 129,21 300
100 101 27,27 27,27 27,27 200
92 102 -0,27 -0,27 -0,27 200
101 102 5,27 5,27 5,27 200
100 103 130,22 130,22 130,22 200
100 104 52,71 52,71 52,71 200
103 104 24,72 24,72 24,72 200
103 105 33,27 33,27 33,27 200
100 106 54,07 54,07 54,07 200
104 105 39,43 39,43 39,43 200
105 106 2,55 2,55 2,55 200
105 107 14,38 14,38 14,38 200
105 108 24,76 24,76 24,76 200
106 107 13,62 13,62 13,62 200
108 109 22,76 22,76 22,76 200
103 110 49,24 49,24 49,24 200
109 110 14,76 14,76 14,76 200
110 111 0 0 0 200
110 112 25 25 25 200
17 113 -165,54 -165,54 -165,54 200
32 113 165,54 165,54 165,54 200
32 114 -12,57 -12,57 -12,58 200
27 115 42,58 42,58 42,58 200
114 115 -20,57 -20,57 -20,58 200
68 116 0 0 0 200
12 117 20 20 20 200
75 118 165,24 165,24 165,24 200
76 118 -132,24 -132,24 -132,24 200
52
Os três métodos obtiveram uma geração total de 3668 MW, o que corresponde à
demanda total, mostrando que a carga foi atendida. Consequentemente o custo dos três
métodos foi o mesmo considerando os erros de precisão: em torno de $ 630470 (o que
já era esperado).
Os fluxos da iteração um e dois de cada método se encontram nos Anexos IV e V.
4.3 Comparação dos resultados com a consideração
das perdas
Serão comparados agora duas formas diferentes para representação das perdas: Método
A1 (item 3.2.2) e Método F1 (item 3.2.3). Os aspectos a serem analisados serão os
mesmos do item 4.2.
4.3.1 Comparações de eficiência
A Tabela 7 mostra o número de iterações e tempo de resolução de cada um dos métodos
considerados.
Tabela 7:Iterações e tempo de resolução métodos com perdas IEEE – 118 Barras.
Iterações Tempo de resolução
Método I1 4 13,96 s
Método A1 4 2,26 min
Os dois métodos apresentam os mesmos números de iterações, o que faz sentido já que
os fluxos violados e cortes de perdas são os mesmos. Ou seja, os dois métodos
consistem apenas em formas diferentes de representar a mesma situação.
Em relação ao tempo de execução, o Método A1 foi o que obteve a resolução mais
rápida, já que apesar dele possuir mais variáveis que o Método F1 dentro do PPL, a
matriz com os índices de cada variável do problema é mais esparsa, significando ganho
computacional.
O Método A1 obteve um maior tempo de resolução, já que como dito no item 4.2.1,
todas as equações de fluxo terão que ser adicionadas no inicio do problema, e como os
fluxos são em função das gerações, todas essas equações serão densas dentro da matriz
dos índices das variáveis. O fator que faz com que o tempo fique bem maior do que o
53
Método A1 é a inclusão das perdas no inicio do problema junto com todas as equações
fluxo em cada linha, fazendo com que a matriz fique muito mais densa que
anteriormente (antes de se considerar as perdas).
Todos os métodos gastaram o mesmo tempo em cada iteração, não comparados entre si,
mas dentro do próprio método.
4.3.2 Comparações de resultados
A Tabela 8 detalha os resultados por barra, para cada um dos métodos. As gerações em
negrito representam as gerações que obtiveram valores diferentes para cada método.
Porém pode-se notar que esses valores são muito pequenos, o que correspondem a erros
de precisão.
Tabela 8:Gerações métodos com perdas IEEE – 118 Barras.
Usina Custo($/MW) Geração Método A0(MW) Geração Método I1(MW)
1 24,3 385,74 385,74
2 19,3 298,65 298,65
3 645,3 0 0
4 310,4 0 0
5 80,4 18,11 18,11
6 523,4 0 0
7 6,3 31 31
8 937 18,28 18,27
9 1047,38 0 0
10 470,3 400 400
11 233,3 96,76 96,76
12 141,2 0,02 0,02
13 181,2 373,6 373,6
14 189 144,5 144,49
15 320 428,07 428,08
16 119 335,8 335,8
17 150 79 79
18 218,4 206,9 206,9
19 37,8 400 400
20 58,9 100 100
21 102,8 200 200
22 149,3 100 100
23 100 58 58
A Tabela 9 apresenta os resultados para cada linha. Os fluxos em negrito representam os
fluxos que obtiveram valores diferentes para cada método. Porém pode-se notar que
54
esses valores são muito pequenos, o que corresponde a erros de precisão. As
capacidades de fluxo que possuem “*” correspondem aos fluxos que não foram
possíveis atender os limites de fluxo, ou que atenderam esses limites na sua capacidade
máxima.
Tabela 9: Fluxo com perdas IEEE – 118 Barras.
Barra de Barra para Fluxo Método I1(MW) Fluxo Método A1(MW) Capacidade(MW)
1 2 134,69 134,69 200
1 3 200 200 200,*
4 5 200 200 200,*
3 5 85,64 85,64 200
5 6 57,88 57,88 200
6 7 5,88 5,88 200
8 9 -18,11 -18,11 200
8 5 -181,9 -181,9 200
9 10 -18,11 -18,11 200
4 11 68,64 68,64 200
5 11 45,84 45,84 200
11 12 -16,56 -16,56 200
2 12 114,66 114,66 200
3 12 75,32 75,32 200
7 12 -13,12 -13,12 200
11 13 61,04 61,04 200
12 14 53,16 53,16 200
13 15 27,03 27,03 200
14 15 39,15 39,15 200
12 16 40,1 40,1 200
15 17 -121,96 -121,96 200
16 17 15,1 15,1 200
17 18 90,22 90,23 200
18 19 48,49 48,49 200
19 20 -23,97 -23,97 200
15 19 41,04 41,05 200
20 21 -41,97 -41,97 200
21 22 -55,97 -55,97 200
22 23 -65,98 -65,98 200
23 24 169,78 169,78 300
23 25 -42,85 -42,85 200
26 25 -200 -200 200,*
25 27 -146,12 -146,12 200
27 28 67,11 67,11 200
28 29 50,1 50,1 200
30 17 -156,47 -156,46 300
26 30 200 200 200,*
55
8 30 200 200 200,*
17 31 -200 -200 200,*
29 31 26,1 26,1 200
23 32 -200 -200 200,*
31 32 -72,5 -72,5 200
27 32 55,43 55,43 200
15 33 88,07 88,07 200
19 34 68,48 68,48 200
35 36 -52,92 -52,92 200
35 37 19,92 19,92 200
33 37 65,05 65,05 200
34 36 4,92 4,92 200
34 37 176,74 176,74 200
38 37 -282,44 -282,44 200,*
37 39 -5,53 -5,53 200
37 40 -15,21 -15,21 200
30 38 556,38 556,37 500,*
39 40 -32,53 -32,53 200
40 41 83,06 83,06 200
40 42 56,08 56,08 200
41 42 46,06 46,05 200
43 44 145,44 145,44 200
34 43 163,55 163,55 200
44 45 129,36 129,36 200
45 46 24,78 24,78 200
46 47 66,54 66,54 200
46 48 30,23 30,23 200
47 49 -35,54 -35,54 200
42 49 232,38 232,38 200,*
42 49 232,38 232,38 200,*
45 49 51,55 51,55 200
48 49 10,22 10,22 200
49 50 87,48 87,48 200
49 51 106,81 106,81 200
51 52 41,17 41,17 200
52 53 23,17 23,17 200
53 54 0,17 0,17 200
49 54 72,19 72,19 200
49 54 71,7 71,7 200
54 55 23,5 23,5 200
54 56 83,82 83,82 200
55 56 -57 -57 200
56 57 -58,44 -58,44 200
50 57 70,46 70,46 200
56 58 -36,61 -36,61 200
56
51 58 48,61 48,61 200
54 59 23,7 23,7 200
56 59 18,47 18,47 200
56 59 19,39 19,39 200
55 59 17,49 17,49 200
59 60 -26,5 -26,5 200
59 61 -33,17 -33,17 200
60 61 -83,99 -83,99 200
60 62 -20,51 -20,51 200
61 62 -0,45 -0,45 200
63 59 138,29 138,29 200
63 64 -138,29 -138,29 200
64 61 116,71 116,71 200
38 65 838,43 838,42 700,*
64 65 -255,01 -255,01 200,*
49 66 100,06 100,06 200
49 66 100,06 100,06 200
62 66 -55,56 -55,56 200
62 67 -42,42 -42,42 200
65 66 -35,11 -35,11 200
66 67 70,43 70,43 200
65 68 618,19 618,18 200,*
47 69 68,05 68,05 200
49 69 65,21 65,2 200
68 69 20,03 20,02 200
69 70 -152,26 -152,25 200
24 70 284,49 284,49 200,*
70 71 -284,14 -284,13 200,*
24 72 284,7 284,69 200,*
71 72 -284,34 -284,34 200,*
71 73 0 0 200
70 74 165,93 165,93 200
70 75 183,87 183,87 200
69 75 54,01 54,01 200
74 75 97,87 97,87 200
76 77 64,24 64,24 200
69 77 309,33 309,33 200,*
75 77 123,33 123,33 200
77 78 109,18 109,18 200
78 79 38,17 38,17 200
77 80 45,92 45,92 200
77 80 21,21 21,21 200
79 80 -0,83 -0,83 200
68 81 598,1 598,1 200,*
81 80 598,07 598,07 200,*
57
77 82 259,31 259,31 200,*
82 83 156,57 156,57 200
83 84 60,78 60,78 200
83 85 75,76 75,76 200
84 85 49,76 49,76 200
85 86 21 21 200
86 87 0 0 200
85 88 50,1 50,1 200
85 89 30,4 30,4 200
88 89 2,1 2,1 200
89 90 19,51 19,51 200
89 90 36,78 36,78 200
90 91 -21,72 -21,72 200
89 92 -18,03 -18,03 200
89 92 -5,76 -5,76 200
91 92 -21,72 -21,72 200
92 93 -45,48 -45,48 200
92 94 -51,04 -51,04 200
93 94 -57,49 -57,49 200
94 95 -85,2 -85,2 200
80 96 123,46 123,46 200
82 96 48,64 48,64 200
94 96 -122,63 -122,63 200
80 97 130,84 130,84 200
80 98 150,66 150,66 200
80 99 129,3 129,3 200
92 100 -13,72 -13,72 200
94 100 69,26 69,26 500
95 96 -127,22 -127,22 200
96 97 -115,81 -115,81 200
98 100 116,61 116,61 200
99 100 129,25 129,25 300
100 101 27,27 27,27 200
92 102 -0,27 -0,27 200
101 102 5,27 5,27 200
100 103 130,25 130,25 200
100 104 52,72 52,72 200
103 104 24,72 24,72 200
103 105 33,27 33,27 200
100 106 54,08 54,08 200
104 105 39,43 39,43 200
105 106 2,55 2,55 200
105 107 14,38 14,38 200
105 108 24,76 24,76 200
106 107 13,62 13,62 200
58
108 109 22,76 22,76 200
103 110 49,24 49,24 200
109 110 14,76 14,76 200
110 111 0 0 200
110 112 25 25 200
17 113 -164,66 -164,66 200
32 113 164,75 164,75 200
32 114 -12,9 -12,89 200
27 115 42,9 42,9 200
114 115 -20,9 -20,89 200
68 116 0 0 200
12 117 20 20 200
75 118 165,29 165,29 200
76 118 -132,26 -132,26 200
Finalmente, a Tabela 10 mostra as perdas nas linhas obtidas em cada modelo,
comparando-as com as perdas exatas, calculadas “por fora” através das injeções
fornecidas pelo modelo.
Tabela 10: Perdas nas linhas IEEE - 118 Barras.
Barra de Barra para Perdas exatas Perdas do modelo Método A1 Perdas do modelo Método F1
1 2 0,050348 0,050348 0,050348
1 3 0,047228 0,047228 0,047228
4 5 0,000704 0,000704 0,000704
3 5 0,016836 0,016836 0,016836
5 6 0,003802 0,003802 0,003802
6 7 0,000015 0,000015 0,000015
8 9 0,00008 0,000079 0,000080
8 5 0 - 0,000000
9 10 0,000084 0,000084 0,000084
4 11 0,009015 0,009015 0,009015
5 11 0,003919 0,003919 0,003919
11 12 0,000149 0,000149 0,000149
2 12 0,022509 0,022509 0,022509
3 12 0,025154 0,025154 0,025154
7 12 0,000139 0,000139 0,000139
11 13 0,007587 0,007587 0,007587
12 14 0,005562 0,005562 0,005562
13 15 0,004976 0,004976 0,004976
14 15 0,008344 0,008344 0,008344
12 16 0,003202 0,003202 0,003202
15 17 0,017993 0,017993 0,017993
16 17 0,000973 0,000973 0,000973
17 18 0,009451 0,009437 0,009439
59
Barra de Barra para Perdas exatas Perdas do modelo Método A1 Perdas do modelo Método F1
18 19 0,002503 0,002495 0,002495
19 20 0,001383 0,001383 0,001383
15 19 0,00185 0,001848 0,001849
20 21 0,00308 0,003080 0,003080
21 22 0,006257 0,006257 0,006257
22 23 0,014231 0,014231 0,014231
23 24 0,03619 0,036186 0,036185
23 25 0,002759 0,002757 0,002757
26 25 0 - 0,000000
25 27 0,065406 0,065405 0,065405
27 28 0,008205 0,008204 0,008204
28 29 0,005596 0,005595 0,005595
30 17 0 - 0,000000
26 30 0,031686 0,031686 0,031686
8 30 0,017115 0,017115 0,017115
17 31 0,173631 0,173631 0,173631
29 31 0,000665 0,000664 0,000664
23 32 0,117889 0,117889 0,117889
31 32 0,014349 0,014339 0,014341
27 32 0,006444 0,006443 0,006442
15 33 0,026962 0,026960 0,026958
19 34 0,032278 0,032272 0,032269
35 36 0,000598 0,000598 0,000598
35 37 0,000416 0,000416 0,000416
33 37 0,016181 0,016179 0,016178
34 36 0,000019 0,000019 0,000019
34 37 0,007445 0,007445 0,007445
38 37 0 - 0,000000
37 39 0,00009 0,000090 0,000090
37 40 0,001219 0,001218 0,001219
30 38 0,14258 0,142578 0,142575
39 40 0,001783 0,001782 0,001782
40 41 0,00919 0,009190 0,009189
40 42 0,015985 0,015984 0,015983
41 42 0,007962 0,007962 0,007961
43 44 0,121167 0,121166 0,121165
34 43 0,104183 0,104183 0,104181
44 45 0,035302 0,035302 0,035301
45 46 0,002259 0,002259 0,002259
46 47 0,015442 0,015442 0,015442
46 48 0,004987 0,004987 0,004987
47 49 0,002207 0,002207 0,002207
42 49 0,368062 0,368062 0,368059
42 49 0,368062 0,368062 0,368059
60
Barra de Barra para Perdas exatas Perdas do modelo Método A1 Perdas do modelo Método F1
45 49 0,016014 0,016014 0,016014
48 49 0,000166 0,000166 0,000166
49 50 0,018143 0,018143 0,018143
49 51 0,04925 0,049250 0,049250
51 52 0,003075 0,003075 0,003075
52 53 0,002049 0,002049 0,002049
53 54 0 - 0,000000
49 54 0,035765 0,035765 0,035765
49 54 0,041014 0,041014 0,041014
54 55 0,000883 0,000883 0,000883
54 56 0,001784 0,001784 0,001784
55 56 0,001435 0,001435 0,001435
56 57 0,010403 0,010403 0,010403
50 57 0,020913 0,020913 0,020913
56 58 0,004081 0,004081 0,004081
51 58 0,005352 0,005352 0,005352
54 59 0,002697 0,002697 0,002697
56 59 0,002539 0,002539 0,002539
56 59 0,002714 0,002714 0,002714
55 59 0,001383 0,001383 0,001383
59 60 0,002124 0,002124 0,002124
59 61 0,003445 0,003445 0,003445
60 61 0,001794 0,001794 0,001794
60 62 0,000494 0,000494 0,000494
61 62 0 - 0,000000
63 59 0 - 0,000000
63 64 0,003265 0,003265 0,003265
64 61 0 - 0,000000
38 65 0,628129 0,628126 0,628115
64 65 0,017355 0,017355 0,017355
49 66 0,017356 0,017356 0,017356
49 66 0,017356 0,017356 0,017356
62 66 0,014183 0,014183 0,014183
62 67 0,004427 0,004427 0,004427
65 66 0 - 0,000000
66 67 0,010594 0,010594 0,010594
65 68 0,052348 0,052348 0,052346
47 69 0,035786 0,035786 0,035784
49 69 0,038338 0,038337 0,038336
68 69 0 - 0,000000
69 70 0,06587 0,065870 0,065868
24 70 0,779169 0,779167 0,779157
70 71 0,067067 0,067067 0,067066
24 72 0,372443 0,372441 0,372436
61
Barra de Barra para Perdas exatas Perdas do modelo Método A1 Perdas do modelo Método F1
71 72 0,339728 0,339728 0,339723
71 73 0 - 0,000000
70 74 0,101114 0,101114 0,101113
70 75 0,132493 0,132493 0,132491
69 75 0,010642 0,010642 0,010642
74 75 0,010792 0,010792 0,010791
76 77 0,016809 0,016809 0,016809
69 77 0,270355 0,270355 0,270358
75 77 0,083829 0,083829 0,083829
77 78 0,004104 0,004104 0,004104
78 79 0,000758 0,000758 0,000758
77 80 0,003192 0,003192 0,003192
77 80 0,001226 0,001226 0,001226
79 80 0,000001 0,000001 0,000001
68 81 0,062135 0,062135 0,062135
81 80 0 - 0,000000
77 82 0,178584 0,178584 0,178585
82 83 0,02511 0,025110 0,025110
83 84 0,018858 0,018858 0,018858
83 85 0,022758 0,022758 0,022758
84 85 0,00612 0,006120 0,006120
85 86 0,001428 0,001428 0,001428
86 87 0 - 0,000000
85 88 0,004834 0,004834 0,004834
85 89 0,002168 0,002168 0,002168
88 89 0,000006 0,000006 0,000006
89 90 0,001832 0,001832 0,001832
89 90 0,003046 0,003046 0,003046
90 91 0,001097 0,001097 0,001097
89 92 0,00031 0,000310 0,000310
89 92 0,000123 0,000123 0,000123
91 92 0,001671 0,001671 0,001671
92 93 0,004885 0,004885 0,004885
92 94 0,011469 0,011469 0,011469
93 94 0,006744 0,006744 0,006744
94 95 0,008771 0,008771 0,008771
80 96 0,052265 0,052265 0,052265
82 96 0,003505 0,003505 0,003505
94 96 0,036914 0,036914 0,036914
80 97 0,03017 0,030170 0,030170
80 98 0,051519 0,051519 0,051519
80 99 0,072386 0,072386 0,072386
92 100 0,001164 0,001164 0,001164
94 100 0,007804 0,007804 0,007804
62
Barra de Barra para Perdas exatas Perdas do modelo Método A1 Perdas do modelo Método F1
95 96 0,025211 0,025211 0,025211
96 97 0,02235 0,022350 0,022350
98 100 0,05145 0,051450 0,051450
99 100 0,028665 0,028665 0,028664
100 101 0,001966 0,001966 0,001966
92 102 0 - 0,000000
101 102 0,000065 0,000065 0,000065
100 103 0,024839 0,024839 0,024839
100 104 0,01195 0,011950 0,011950
103 104 0,002621 0,002621 0,002621
103 105 0,005343 0,005343 0,005343
100 106 0,016539 0,016539 0,016539
104 105 0,001445 0,001445 0,001445
105 106 0,000009 0,000009 0,000009
105 107 0,001011 0,001011 0,001011
105 108 0,001407 0,001407 0,001407
106 107 0,000907 0,000907 0,000907
108 109 0,00048 0,000480 0,000480
103 110 0,009051 0,009051 0,009051
109 110 0,000535 0,000535 0,000535
110 111 0 - 0,000000
110 112 0,001344 0,001344 0,001344
17 113 0,02267 0,022669 0,022669
32 113 0,152897 0,152894 0,152898
32 114 0,000214 0,000214 0,000214
27 115 0,002877 0,002877 0,002877
114 115 0,000096 0,000096 0,000096
68 116 0 - 0,000000
12 117 0,001247 0,001247 0,001247
75 118 0,036315 0,036315 0,036315
76 118 0,026298 0,026298 0,026298
Os dois métodos obtiveram uma perda total de 6,425 MW (com três casas decimais de
precisão). A soma total das gerações foi de 3674,43, que corresponde justamente a soma
da demanda (3668 MW) com a perda total. Consequentemente, o custo total dos dois
métodos foi os mesmo considerando os erros de precisão: em torno de $ 635900.
Pode se observar também que as perdas dos dois modelos foram praticamente as
mesmas das perdas exatas.
63
4.4 Comparações finais entre todos os métodos
A Tabela 11 mostra uma comparação geral entre os métodos.
Tabela 11:Comparações finais entre os métodos.
Custo
total($) Geração
total(MW) Perda
total(MW)
Método I0 630463 3668 0
Método F0 630463 3668 0
Método A0 630476 3668 0
Método A1 635900 3674,43 6,425
Método F1 635892 3674,43 6,425
Os métodos cinco e seis obtiveram um custo maior que os métodos um, dois e três. Isso
já era o esperado, já as perdas teriam que ser geradas pelas barras para que a demanda
seja atendida corretamente. Esse custo corresponde justamente a diferença de geração
entre os métodos com perdas e os métodos sem perdas.
A diferença de custo entre o Método A1 e seis foi ocasionada também por erros de
precisão.
64
5 CONCLUSÕES
O objetivo deste trabalho foi comparar o desempenho obtido por métodos alternativos
para representação DC da rede elétrica no problema de Programação Diária da
Operação (PDO), em relação à representação das variáveis no problema. Um resumo
destes métodos é apresentado no capítulo de Introdução.
Quando se consideram as perdas, o Método A1, onde se representam os ângulos das
barras diretamente no Problema de Programação Linear (PPL), se mostrou o mais
eficiente entre todos os métodos. É importante ressaltar que, até em relação as métodos
sem perdas, ele obteve praticamente o mesmo tempo de resolução, se mostrando ainda
mais rápido do que o método F0, onde se representam os fluxo diretamente no PPL.
Espera-se que, para este Método A1, o tempo computacional será maior no sistema
brasileiro. Porém, mesmo apresentando um tempo superior ao dos Métodos um e três
(sem perdas), esse método fornece um custo mais próximo do real, já que as perdas são
computadas.
Já em relação ao Método F1, o Método A1 se mostra muito mais eficiente. Apesar de os
dois computarem as perdas corretamente, o Método F1 se mostrou muito mais lento,
com um tempo computacional cerca de 10 vezes maior.
Devido ao fato dos métodos com perdas serem mais fiéis a situações reais, não se deve
descartar totalmente o Método F1, apesar de seu desempenho não ter sido muito bom.
Deve–se, portanto, buscar formas de modificar sua implementação, como por exemplo
uma representação de perdas por barra (ao invés de representar por linhas), de forma
que as equações de fluxo fiquem menos densas e o tempo computacional seja
diminuído. Com isso, o Método F1 pode vir a ser competitivo quando comparado ao
Método A1.
65
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] L. A. M. Fortunato, T. A. A. Neto, J. C. R. Albuquerque, M. V. F. Pereira,
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modelagem detalhada da rede elétrica – aplicação ao sistema brasileiro”, Tese de
Doutorado, COPPE – Programa de Engenharia de Sistemas, Jan. 2007.
[3] BORGES, C.L.T., “Análise de Sistemas de Potência” (ed. HAZAN, S.S.,
GUERRA, L.N., EE UFRJ – Departamento de Eletrotécnica, Março 2005.
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66
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[10] Disponível em: < http://www.ons.org.br>. 2013, 17:15:00.
[11] M.E.P. Maceira, L.A. Terry, F.S. Costa, J. M. Damazio, A C. G. Melo,
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Conference - PSCC’02, Sevilla, Spain, June 2002.
[12] Disponível em: <http //www.cepel.br>. 2013, 17:15:45.
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stochastic linear programs”, Operations Research, v.33, n.5, pp. 989-1007, 1985.
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Network Security Applications, IEEE Transactions on PAS, vol. 98, 𝑛𝑜3, pp.
837-848, may/june 1979
67
ANEXOS
68
ANEXO I: APROXIMAÇÃO LINEAR NO PPL
PARA AS PERDAS NA LINHA DE
TRANSMISSÃO COM OS ÂNGULOS EM
FUNÇÃO DAS GERAÇÕES
Supondo que no passo sete do item 2.3.3.1 uma nova tangente de aproximação para a
curva dada por (3.1d) no ponto ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
é para ser computada por determinada linha 𝑖,
período 𝑡 e iteração 𝑘. Aplicando a série de Taylor de primeira ordem para a
aproximação, é obtida a seguinte expressão:
𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑙𝑖
𝑡(𝑘)+
𝑑𝑙𝑖
𝑑∆𝜃𝑖(∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)) (∆𝜃𝑖
𝑖 − ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
) (i.1)
Onde a função 𝑙𝑖(∆𝜃𝑖) não varia com o período t. Aplicando essa função a expressão
(i.1) e resolvendo sua derivada, obtêm-se:
𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)) 2 + 2𝑔𝑖 (∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)) (∆𝜃𝑖
𝑖 − ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
) (i.2)
Rearranjando a expressão acima (i.2), colocando as variáveis do lado esquerdo da
equação, obtêm a seguinte restrição:
𝑙𝑖𝑡 − 2𝑔𝑖∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)(∆𝜃𝑖
𝑡) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
)2 (i.3)
Entretanto, não é o objetivo do modelo de Representação dos ângulos em função da
geração com uma representação das perdas por linha fazer a representação dos ângulos
diretamente no problema representado pelas equações de (3.1a) até (3.1e). Com isso,
usaremos os fatores de participação representando na equação (3.1c), de forma que as
perdas fiquem em função das injeções de potência nas barras, e das perdas de cada linha
do sistema( em que as barras computam metade das perdas de cada linha j ligada a ela).
𝑙𝑖𝑡 − 2𝑔𝑖∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)𝑥𝑖 (∑ 𝐾𝑏𝑖 (𝑝𝑏
𝑡 − ∑𝑙𝑗
𝑡
2− 𝑑𝑏
𝑡 )𝑁𝐵𝑏=1 ) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘))2 (i.4)
Para i=1,...,NL, t=1,...,T, k=1,...,
69
Onde:
𝑘𝑖𝑡= É o numero dos cortes de corrente para o modelo da linha i no período t.
70
ANEXO II: APROXIMAÇÃO LINEAR PARA
AS PERDAS NA LINHA DE TRANSMISSÃO
COM OS ÂNGULOS REPRESENTADOS
DIRETAMENTE NO PPL
Supondo que no passo sete do item 3.2.2.2 uma nova tangente de aproximação para a
curva dada por (3.1d) no ponto ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
é para ser computada por determinada linha 𝑖,
período 𝑡 e iteração 𝑘. Aplicando a série de Taylor de primeira ordem para a
aproximação, é obtida a seguinte expressão:
𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑙𝑖
𝑡(𝑘)+
𝑑𝑙𝑖
𝑑∆𝜃𝑖(∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)) (∆𝜃𝑖
𝑖 − ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
) (i.1)
Onde a função 𝑙𝑖(∆𝜃𝑖) não varia com o período t. Aplicando essa função a expressão
(i.1) e resolvendo sua derivada, obtêm-se:
𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)) 2 + 2𝑔𝑖 (∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)) (∆𝜃𝑖
𝑖 − ∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
) (i.2)
Rearranjando a expressão acima (i.2), colocando as variáveis do lado esquerdo da
equação, obtêm-se a restrição desejada:
𝑙𝑖𝑡 − 2𝑔𝑖∆𝜃𝑖
𝑡(𝑘)(∆𝜃𝑖
𝑡) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)
)2 (i.3)
71
ANEXO III: APROXIMAÇÃO LINEAR PARA
AS PERDAS NA LINHA DE TRANSMISSÃO
COM UMA REPRESENTAÇÃO DOS FLUXOS
DIRETAMENTE NO PPL
Supondo que no passo sete do item 3.2.3.2 uma nova tangente de aproximação para a
curva dada por (3.6d) no ponto 𝑓𝑙𝑡(𝑘)
é para ser computada por determinada barra 𝑖
através de duas linhas l ligadas a ela, período 𝑡 e iteração 𝑘. Aplicando a série de Taylor
de primeira ordem para a aproximação, é obtida a seguinte expressão:
𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑙𝑖
𝑡(𝑘)+
𝛿𝑙𝑖
𝛿𝑓𝑖(𝑓𝑖
𝑡(𝑘)) (𝑓𝑖
𝑡 − 𝑓𝑖𝑡(𝑘)
) (i.4)
Onde a função 𝑙𝑖(𝑓𝑙) não varia com o período t. Aplicando essa função a expressão (i.4)
e resolvendo sua derivada, obtêm-se:
𝑙𝑖𝑡 ≥ 𝑅𝑖(𝑓𝑖
𝑡(𝑘))2 + 2𝑅𝑖 (𝑓𝑖
𝑡(𝑘)) (𝑓𝑖
𝑡 − 𝑓𝑖𝑡(𝑘)
) (i.5)
Rearranjando a expressão acima (i.5), colocando as variáveis do lado esquerdo da
equação, obtêm a seguinte restrição:
𝑙𝑖𝑡 − 2𝑅𝑖𝑓𝑖
𝑡(𝑘)(𝑓𝑖
𝑡) ≥ −𝑅𝑖(𝑓𝑖𝑡(𝑘)
)2 (i.6)
72
ANEXO IV: FLUXOS ITERAÇÃO UM
Tabela 12:Fluxo iteração um(Método A1 igual ao Método A0 e Método F1 igual ao método F0)
Barra de Barra para Fluxo método I0(MW) Fluxo método F0(MW) Fluxo Método A0(MW) Capacidade(MW)
1 2 247,92 247,92 247,92 200.*
1 3 307,68 307,68 307,68 200.*
4 5 1019,19 1019,19 1019,18 200.*
3 5 107,52 107,52 107,52 200.
5 6 162,39 162,39 162,39 200.
6 7 110,39 110,39 110,39 200.
8 9 -350 -350 -350 200.*
8 5 -795,24 -795,24 -795,24 200.*
9 10 -350 -350 -350 200.*
4 11 285,82 285,82 285,82 200.*
5 11 169,08 169,08 169,08 200.
11 12 134,73 134,73 134,73 200.
2 12 227,92 227,92 227,92 200.*
3 12 161,15 161,15 161,15 200.
7 12 91,39 91,39 91,39 200.
11 13 250,16 250,16 250,16 200.*
12 14 268 268 268 200.*
13 15 216,16 216,16 216,16 200.*
14 15 254 254 254 200.*
12 16 280,2 280,2 280,2 200.*
15 17 19,56 19,56 19,56 200.
16 17 255,2 255,2 255,2 200.*
17 18 108,57 108,57 108,57 200.
18 19 48,57 48,57 48,57 200.
19 20 96,41 96,41 96,41 200.
15 19 221,61 221,61 221,61 200.*
20 21 78,41 78,41 78,41 200.
21 22 64,41 64,41 64,41 200.
22 23 54,41 54,41 54,41 200.
23 24 438,65 438,65 438,65 300.*
23 25 -287,04 -287,04 -287,05 200.*
26 25 353,77 353,77 353,77 200.*
25 27 66,73 66,73 66,73 200.
27 28 -10,93 -10,93 -10,92 200.
28 29 -27,93 -27,93 -27,92 200.
30 17 117,27 117,27 117,27 300.
26 30 -102,17 -102,17 -102,17 200.
73
8 30 1145,24 1145,24 1145,24 200.*
17 31 149,34 149,34 149,34 200.
29 31 -51,93 -51,93 -51,92 200.
23 32 -104,19 -104,19 -104,19 200.
31 32 54,41 54,41 54,41 200.
27 32 0,97 0,97 0,98 200.
15 33 169,98 169,98 169,99 200.
19 34 128,77 128,77 128,77 200.
35 36 -26,42 -26,42 -26,42 200.
35 37 -6,58 -6,58 -6,58 200.
33 37 146,98 146,98 146,99 200.
34 36 57,42 57,42 57,42 200.
34 37 157,57 157,57 157,58 200.
38 37 -114,12 -114,12 -114,12 200.
37 39 97,22 97,22 97,22 200.
37 40 86,63 86,63 86,63 200.
30 38 925,79 925,79 925,8 500.*
39 40 70,22 70,22 70,22 200.
40 41 81,92 81,92 81,92 200.
40 42 54,94 54,94 54,94 200.
41 42 44,92 44,92 44,92 200.
43 44 172,57 172,57 172,57 200.
34 43 190,57 190,57 190,57 200.
44 45 156,57 156,57 156,57 200.
45 46 37,18 37,18 37,18 200.
46 47 74,45 74,45 74,45 200.
46 48 34,73 34,73 34,73 200.
47 49 -34,36 -34,36 -34,36 200.
42 49 231,43 231,43 231,43 200.*
42 49 231,43 231,43 231,43 200.*
45 49 66,39 66,39 66,39 200.
48 49 14,73 14,73 14,73 200.
49 50 97,83 97,83 97,83 200.
49 51 120,08 120,08 120,08 200.
51 52 46,43 46,43 46,43 200.
52 53 28,43 28,43 28,43 200.
53 54 5,43 5,43 5,43 200.
49 54 84,74 84,74 84,74 200.
49 54 84,16 84,16 84,16 200.
54 55 15,91 15,91 15,91 200.
54 56 36,3 36,3 36,3 200.
55 56 -51,55 -51,55 -51,55 200.
56 57 -68,83 -68,83 -68,83 200.
50 57 80,83 80,83 80,83 200.
56 58 -44,65 -44,65 -44,65 200.
74
51 58 56,65 56,65 56,65 200.
54 59 9,11 9,11 9,11 200.
56 59 6,94 6,94 6,94 200.
56 59 7,29 7,29 7,29 200.
55 59 4,47 4,47 4,47 200.
59 60 -35,92 -35,92 -35,92 200.
59 61 -42,91 -42,91 -42,91 200.
60 61 -90,97 -90,97 -90,97 200.
60 62 -22,95 -22,95 -22,95 200.
61 62 -1,58 -1,58 -1,58 200.
63 59 170,36 170,36 170,36 200.
63 64 -170,36 -170,36 -170,36 200.
64 61 132,31 132,31 132,31 200.
38 65 1039,91 1039,91 1039,92 700.*
64 65 -302,67 -302,67 -302,67 200.*
49 66 82,53 82,53 82,53 200.
49 66 82,53 82,53 82,53 200.
62 66 -57,33 -57,33 -57,33 200.
62 67 -44,19 -44,19 -44,19 200.
65 66 3,48 3,48 3,47 200.
66 67 72,19 72,19 72,19 200.
65 68 733,77 733,77 733,78 200.*
47 69 74,8 74,8 74,81 200.
49 69 70,77 70,77 70,77 200.
68 69 100,87 100,87 100,87 200.
69 70 -85,85 -85,85 -85,85 200.
24 70 219,32 219,32 219,33 200.*
70 71 -219,32 -219,32 -219,33 200.*
24 72 219,32 219,32 219,33 200.*
71 72 -219,32 -219,32 -219,33 200.*
71 73 0 0 0 200.
70 74 137,62 137,62 137,62 200.
70 75 149,18 149,18 149,18 200.
69 75 83,04 83,04 83,04 200.
74 75 69,62 69,62 69,62 200.
76 77 49,28 49,28 49,28 200.
69 77 307,26 307,26 307,26 200.*
75 77 104,56 104,56 104,56 200.
77 78 101,8 101,8 101,8 200.
78 79 30,8 30,8 30,8 200.
77 80 29,62 29,62 29,62 200.
77 80 13,68 13,68 13,68 200.
79 80 -8,2 -8,2 -8,2 200.
68 81 632,9 632,9 632,9 200.*
81 80 632,9 632,9 632,9 200.*
75
77 82 254,99 254,99 254,99 200.*
82 83 155,74 155,74 155,74 200.
83 84 60,43 60,43 60,43 200.
83 85 75,31 75,31 75,31 200.
84 85 49,43 49,43 49,43 200.
85 86 21 21 21 200.
86 87 0 0 0 200.
85 88 49,72 49,72 49,72 200.
85 89 30,02 30,02 30,02 200.
88 89 1,72 1,72 1,72 200.
89 90 19,47 19,47 19,47 200.
89 90 36,72 36,72 36,72 200.
90 91 -21,81 -21,81 -21,81 200.
89 92 -18,53 -18,53 -18,53 200.
89 92 -5,92 -5,92 -5,92 200.
91 92 -21,81 -21,81 -21,81 200.
92 93 -45,62 -45,62 -45,62 200.
92 94 -51,18 -51,18 -51,18 200.
93 94 -57,62 -57,62 -57,62 200.
94 95 -84,91 -84,91 -84,91 200.
80 96 124,79 124,79 124,79 200.
82 96 45,25 45,25 45,25 200.
94 96 -122,29 -122,29 -122,29 200.
80 97 132,16 132,16 132,16 200.
80 98 151,2 151,2 151,2 200.
80 99 129,86 129,86 129,86 200.
92 100 -13,96 -13,96 -13,96 200.
94 100 68,41 68,41 68,41 500.
95 96 -126,91 -126,91 -126,91 200.
96 97 -117,16 -117,16 -117,16 200.
98 100 117,2 117,2 117,2 200.
99 100 129,86 129,86 129,86 300.
100 101 27,51 27,51 27,51 200.
92 102 -0,51 -0,51 -0,51 200.
101 102 5,51 5,51 5,51 200.
100 103 130,22 130,22 130,22 200.
100 104 52,71 52,71 52,71 200.
103 104 24,72 24,72 24,72 200.
103 105 33,27 33,27 33,27 200.
100 106 54,07 54,07 54,07 200.
104 105 39,43 39,43 39,43 200.
105 106 2,55 2,55 2,55 200.
105 107 14,38 14,38 14,38 200.
105 108 24,76 24,76 24,76 200.
106 107 13,62 13,62 13,62 200.
76
108 109 22,76 22,76 22,76 200.
103 110 49,24 49,24 49,24 200.
109 110 14,76 14,76 14,76 200.
110 111 0 0 0 200.
110 112 25 25 25 200.
17 113 123,13 123,13 123,13 200.
32 113 -123,13 -123,13 -123,13 200.
32 114 15,33 15,33 15,32 200.
27 115 14,68 14,68 14,68 200.
114 115 7,32 7,32 7,32 200.
68 116 0 0 0 200.
12 117 20 20 20 200.
75 118 150,28 150,28 150,28 200.
76 118 -117,28 -117,28 -117,28 200.
77
ANEXO V: FLUXOS ITERAÇÃO DOIS
Barra de Barra para Fluxo método I0(MW) Fluxo método F0(MW) Fluxo Método A0(MW) Capacidade(MW)
1 2 -20,12 -20,12 -20,12 200
1 3 -30,88 -30,88 -30,88 200
4 5 -53,53 -53,53 -53,53 200
3 5 -50,03 -50,03 -50,03 200
5 6 52,61 52,61 52,62 200
6 7 0,62 0,62 0,62 200
8 9 0 0 0 200
8 5 186,18 186,18 186,18 200
9 10 0 0 0 200
4 11 23,53 23,53 23,53 200
5 11 30 30 30 200
11 12 9,32 9,32 9,32 200
2 12 -40,12 -40,12 -40,12 200
3 12 -19,84 -19,84 -19,84 200
7 12 -18,39 -18,39 -18,38 200
11 13 -25,79 -25,79 -25,79 200
12 14 -52,5 -52,5 -52,5 200
13 15 -59,79 -59,79 -59,79 200
14 15 -66,5 -66,5 -66,5 200
12 16 -83,53 -83,53 -83,53 200
15 17 -224,98 -224,98 -224,98 200,*
16 17 -108,53 -108,53 -108,53 200
17 18 114,27 114,27 114,27 200
18 19 54,27 54,27 54,27 200
19 20 -82,09 -82,09 -82,09 200
15 19 -35,15 -35,15 -35,15 200
20 21 -100,09 -100,09 -100,09 200
21 22 -114,09 -114,09 -114,09 200
22 23 -124,09 -124,09 -124,09 200
23 24 230,28 230,28 230,29 300
23 25 -47,53 -47,53 -47,53 200
26 25 -436,26 -436,26 -436,27 200,*
25 27 -200,29 -200,29 -200,29 200,*
27 28 91,85 91,85 91,85 200
28 29 74,85 74,85 74,85 200
30 17 -255,87 -255,87 -255,87 300
26 30 436,26 436,26 436,27 200,*
8 30 -186,18 -186,18 -186,18 200
17 31 -385,85 -385,85 -385,86 200,*
29 31 50,85 50,85 50,85 200
23 32 -313,85 -313,85 -313,85 200,*
78
31 32 -165,81 -165,81 -165,81 200
27 32 3,48 3,48 3,48 200
15 33 74,84 74,84 74,84 200
19 34 66,21 66,21 66,21 200
35 36 -53,39 -53,39 -53,39 200
35 37 20,39 20,39 20,39 200
33 37 51,84 51,84 51,84 200
34 36 5,39 5,39 5,39 200
34 37 181,1 181,1 181,1 200
38 37 -286,56 -286,56 -286,56 200,*
37 39 -11,81 -11,81 -11,81 200
37 40 -21,42 -21,42 -21,42 200
30 38 505,95 505,95 505,95 500,*
39 40 -38,81 -38,81 -38,81 200
40 41 76,84 76,84 76,84 200
40 42 49,83 49,83 49,84 200
41 42 39,84 39,84 39,84 200
43 44 138,52 138,52 138,53 200
34 43 156,52 156,52 156,53 200
44 45 122,52 122,52 122,53 200
45 46 21,22 21,22 21,22 200
46 47 63,51 63,51 63,51 200
46 48 29,71 29,71 29,71 200
47 49 -31,35 -31,35 -31,35 200
42 49 226,33 226,33 226,34 200,*
42 49 226,33 226,33 226,34 200,*
45 49 48,3 48,3 48,3 200
48 49 9,71 9,71 9,71 200
49 50 87,18 87,18 87,18 200
49 51 106,46 106,46 106,46 200
51 52 41,07 41,07 41,07 200
52 53 23,07 23,07 23,07 200
53 54 0,07 0,07 0,07 200
49 54 71,91 71,91 71,91 200
49 54 71,41 71,41 71,41 200
54 55 23,42 23,42 23,42 200
54 56 83,56 83,56 83,56 200
55 56 -56,79 -56,79 -56,79 200
56 57 -58,18 -58,18 -58,18 200
50 57 70,18 70,18 70,18 200
56 58 -36,39 -36,39 -36,39 200
51 58 48,39 48,39 48,39 200
54 59 23,41 23,41 23,41 200
56 59 18,21 18,21 18,21 200
56 59 19,12 19,12 19,12 200
79
55 59 17,21 17,21 17,21 200
59 60 -26,66 -26,66 -26,66 200
59 61 -33,35 -33,35 -33,35 200
60 61 -84,23 -84,23 -84,23 200
60 62 -20,43 -20,43 -20,43 200
61 62 -0,25 -0,25 -0,25 200
63 59 139,03 139,03 139,03 200
63 64 -139,03 -139,03 -139,03 200
64 61 117,33 117,33 117,33 200
38 65 792,51 792,51 792,51 700,*
64 65 -256,36 -256,36 -256,36 200,*
49 66 98,57 98,57 98,58 200
49 66 98,57 98,57 98,58 200
62 66 -55,41 -55,41 -55,41 200
62 67 -42,27 -42,27 -42,27 200
65 66 -32,47 -32,47 -32,47 200
66 67 70,27 70,27 70,27 200
65 68 568,61 568,61 568,62 200,*
47 69 60,86 60,86 60,86 200
49 69 58,23 58,23 58,23 200
68 69 -13,3 -13,3 -13,29 200
69 70 -184,56 -184,56 -184,56 200
24 70 315,14 315,14 315,15 200,*
70 71 -315,14 -315,14 -315,15 200,*
24 72 315,14 315,14 315,15 200,*
71 72 -315,14 -315,14 -315,15 200,*
71 73 0 0 0 200
70 74 179,36 179,36 179,37 200
70 75 200,36 200,36 200,37 200,*
69 75 39,45 39,45 39,45 200
74 75 111,36 111,36 111,37 200
76 77 71,18 71,18 71,18 200
69 77 308,91 308,91 308,91 200,*
75 77 132 132 132 200
77 78 112,44 112,44 112,44 200
78 79 41,44 41,44 41,44 200
77 80 53,14 53,14 53,14 200
77 80 24,55 24,55 24,55 200
79 80 2,44 2,44 2,44 200
68 81 581,91 581,91 581,91 200,*
81 80 581,91 581,91 581,91 200,*
77 82 260,96 260,96 260,96 200,*
82 83 156,83 156,83 156,83 200
83 84 60,9 60,9 60,9 200
83 85 75,93 75,93 75,93 200
80
84 85 49,9 49,9 49,9 200
85 86 21 21 21 200
86 87 0 0 0 200
85 88 50,26 50,26 50,26 200
85 89 30,57 30,57 30,57 200
88 89 2,26 2,26 2,26 200
89 90 19,52 19,52 19,52 200
89 90 36,81 36,81 36,81 200
90 91 -21,67 -21,67 -21,67 200
89 92 -17,81 -17,81 -17,81 200
89 92 -5,69 -5,69 -5,69 200
91 92 -21,67 -21,67 -21,67 200
92 93 -45,41 -45,41 -45,41 200
92 94 -50,97 -50,97 -50,97 200
93 94 -57,41 -57,41 -57,41 200
94 95 -85,28 -85,28 -85,28 200
80 96 122,74 122,74 122,74 200
82 96 50,13 50,13 50,13 200
94 96 -122,71 -122,71 -122,71 200
80 97 130,11 130,11 130,11 200
80 98 150,26 150,26 150,26 200
80 99 128,92 128,92 128,92 200
92 100 -13,62 -13,62 -13,62 200
94 100 69,6 69,6 69,6 500
95 96 -127,28 -127,28 -127,28 200
96 97 -115,11 -115,11 -115,11 200
98 100 116,26 116,26 116,26 200
99 100 128,92 128,92 128,92 300
100 101 27,17 27,17 27,17 200
92 102 -0,17 -0,17 -0,17 200
101 102 5,17 5,17 5,17 200
100 103 130,22 130,22 130,22 200
100 104 52,71 52,71 52,71 200
103 104 24,72 24,72 24,72 200
103 105 33,27 33,27 33,27 200
100 106 54,07 54,07 54,07 200
104 105 39,43 39,43 39,43 200
105 106 2,55 2,55 2,55 200
105 107 14,38 14,38 14,38 200
105 108 24,76 24,76 24,76 200
106 107 13,62 13,62 13,62 200
108 109 22,76 22,76 22,76 200
103 110 49,24 49,24 49,24 200
109 110 14,76 14,76 14,76 200
110 111 0 0 0 200
81
110 112 25 25 25 200
17 113 -328,79 -328,79 -328,79 200,*
32 113 328,79 328,79 328,79 200,*
32 114 14,03 14,03 14,03 200
27 115 15,98 15,98 15,97 200
114 115 6,02 6,02 6,03 200
68 116 0 0 0 200
12 117 20 20 20 200
75 118 172,18 172,18 172,18 200
76 118 -139,18 -139,18 -139,18 200