Análise de Circuitos Trifásicos Desequilibrados Utilizando-se Componentes Simétricas

Prof. José Rubens Macedo Jr.

Exercício: Uma determinada carga trifásica, ligada em estrela flutuante, é alimentada pelas seguintes tensões de linha: Vab = 200∠0 o V; Vbc = 141,4∠-135o V e Vca = 141,4∠135o V. Sabendo-se que as impedânicas da carga são Zan = 6 , Zbn = (5,2 - j3,0) e Zcn = j12, calcule as correntes de linha Ia, Ib e Ic utilizando-se: (a) correntes de malha e (b) componentes simétricas.

a) SOLUÇÃO 1 – Método das correntes de malha

Para a malha 1:

0

1 1 2

0

1 2

6 5,2 3 5,2 3 200 0 0

11,2 3 5,2 3 200 0

I j I j I

j I j I

Para a malha 2:

0

2 2 1

0

1 2

5,2 3 12 5,2 3 141,4 135 0

5,2 3 5,2 9 141,4 135

j I j I j I

j I j I

Tendo-se, assim, o seguinte sistema de equações:

0

1

0

2

11,2 3 5,2 3 200 0

5,2 3 5,2 9 141,4 135

j j I

j j I

Resultando em:

0

1 11,87 22,07I A

0

2 10,94 164,98I A

Assim, finalmente tem-se:

0

1

0

2 1

0

2

11,87 22,07

22,77 161,31

10,94 15,02

a

b

c

I I A

I I I A

I I A

→

0

0

0

11,87 22,07

22,77 161,31

10,94 15,02

a

b

c

I A

I A

I A

b) SOLUÇÃO 2 – Método das componentes simétricas

As tensões de linha da fonte em termos de suas componentes simétricas são as seguintes:

0

0

2 2 0

1

2 2 0

2

1 1 1 1 1 1 200 01 1

1 1 141,4 1353 3

1 1 141,4 135

ab

bc

ca

V V

V a a V a a

V a a V a a

Resultando em:

0

0

1

0

2

0

157,72 0

42,27 0

V

V V

V

De tal forma que:

2 0 2 0

0 1 2

2 2

1 1 1 1 1 1

1 0 1 157,72 0 42,27 0

1 1

ab

bc

ca

V

V V V a V a a a

V a a a a

Portanto:

0 0

0 0

0 0

0 157,72 0 42,27 0

0 157,72 120 42,27 120

0 157,72 120 42,27 120

ab

bc

ca

V

V

V

Em termos fasoriais, considerando-se a inexistência de componentes de sequência zero das tensões de linha, tem-se:

Sistema de tensões

de sequência zero

Sistema de tensões de

sequência positiva

Sistema de tensões de

sequência negativa

Sendo que neste caso a composição fasorial dos sistemas de sequência negativa e positiva para tensões de linha, resultam nos fasores originais, conforme abaixo:

As impedâncias da carga expressas em termos de suas componentes simétricas são as seguintes:

0

2 2

1

2 2

2

1 1 1 1 1 1 61 1

1 1 5,2 33 3

1 1 12

an

bn

cn

Z Z

Z a a Z a a j

Z a a Z a a j

Resultando em:

0

0

0

1

0

2

4,78 38,78

5,46 0

4,38 136,81

Z

Z

Z

É importante ressaltar que impedâncias não são fasores, mas podem ser representadas vetorialmente, conforme abaixo:

Lembrando-se que:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

4,78 38,78 5,46 0 4,38 136,81

4,78 38,78 5,46 120 4,38 16,81

4,78 38,78 5,46 120 4,38 103,19

an

bn

cn

Z

Z

Z

Impedâncias de

sequência zero

Impedâncias de

sequência positiva

Impedâncias de

sequência negativa

= + +

A partir das tensões de sequência, assim como das impedâncias de sequêncis, pode-se realizar o cálculo das correntes de linha da seguinte forma: Para a fase A:

(0) (1) (2) (0) (1) (2)an a an a a a an an anV I Z I I I Z Z Z

Ou ainda,

(0) (1) (2) (0) (1) (2) (0) (1) (2)an an an a a a an an anV V V I I I Z Z Z

(0) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (0)

(2) (1) (2) (2) (2) (0)

(0) (1) (0) (2) (

an an an a an a an a an

a an a an a an

a an a an a

V V V I Z I Z I Z

I Z I Z I Z

I Z I Z I

0) (0)anZ

Pela regra da sequência, tem-se que “a ordem do sistema de tensão à qual uma queda IZ pertence é igual à soma das ordens dos sistemas aos quais I e Z pertencem individualmente”. Dessa forma, pode-se afirmar que:

(1) (1) (0) (2) (2) (0) (1) an a an a an a anV I Z I Z I Z , pois (1) + (0) = ordem 1, (2) + (2) = 4 = ordem 1 e (0) + (1) = ordem 1

(2) (1) (1) (2) (0) (0) (2)an a an a an a anV I Z I Z I Z , pois (1) + (1) = ordem 2, (2) + (0) = 2 = ordem 1 e (0) + (2) = ordem 2

(0) (1) (2) (2) (1) (0) (0)an a an a an a anV I Z I Z I Z , pois (1) + (2) = 3 = ordem 0, (2) + (1) = 3 = ordem 0 e (0) + (0) = ordem 0

Adicionalmente, considerando-se que I0 = 0 (ligação em estrela flutuante), as equações anteriores podem ser simplicadas da seguinte maneira:

(1) (1) (0) (2) (2)

(2) (1) (1) (2) (0)

(0) (1) (2) (2) (1)

an a an a an

an a an a an

an a an a an

V I Z I Z

V I Z I Z

V I Z I Z

Para o cálculo de Ia(1) e Ia(2) bastam apenas as duas primeiras equações acima. E sabendo-se que (ver diagramas fasoriais das tensões de sequência),

0 0 0

(1)

0 0 0

(2)

157,720 30 91,06 30

3

42,270 30 24,40 30

3

an

an

V V

V V

Resulta:

0(0) (2) (1) (1) (1)

0(1) (0) (2) (2) (2)

10,99 39,87

11,81 77,41

an an a an a

an an a an a

Z Z I V IA

Z Z I V I

Assim, tem-se finalmente que: 0

(1) (2) 11,89 22,15a a a aI I I I A

Para a fase B:

(0) (1) (2) (0) (1) (2)bn b bn b b b bn bn bnV I Z I I I Z Z Z

Ou ainda,

(0) (1) (2) (0) (1) (2) (0) (1) (2)bn bn bn b b b bn bn bnV V V I I I Z Z Z

(0) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (0)

(2) (1) (2) (2) (2) (0)

(0) (1) (0) (2) (

bn bn bn b bn b bn b bn

b bn b bn b bn

b bn b bn b

V V V I Z I Z I Z

I Z I Z I Z

I Z I Z I

0) (0)bnZ

Pela regra da sequência, tem-se que “a ordem do sistema de tensão à qual uma queda IZ pertence é igual à soma das ordens dos sistemas aos quais I e Z pertencem individualmente”. Dessa forma, pode-se afirmar que:

(1) (1) (0) (2) (2) (0) (1) bn b bn b bn bn bnV I Z I Z I Z , pois (1) + (0) = ordem 1, (2) + (2) = 4 = ordem 1 e (0) + (1) = ordem 1

(2) (1) (1) (2) (0) (0) (2)bn b bn b bn b bnV I Z I Z I Z , pois (1) + (1) = ordem 2, (2) + (0) = 2 = ordem 1 e (0) + (2) = ordem 2

(0) (1) (2) (2) (1) (0) (0)bn b bn b bn b bnV I Z I Z I Z , pois (1) + (2) = 3 = ordem 0, (2) + (1) = 3 = ordem 0 e (0) + (0) = ordem 0

Adicionalmente, considerando-se que I0 = 0 (ligação em estrela flutuante), as equações anteriores podem ser simplicadas da seguinte maneira:

(1) (1) (0) (2) (2)

(2) (1) (1) (2) (0)

(0) (1) (2) (2) (1)

bn b bn b bn

bn b bn b bn

bn b bn b bn

V I Z I Z

V I Z I Z

V I Z I Z

Para o cálculo de Ib(1) e Ib(2) bastam apenas as duas primeiras equações acima. E sabendo-se que (ver diagramas fasoriais das tensões de sequência),

0 0 0

(1)

0 0 0

(2)

157,72120 30 91,06 150

3

42,27120 30 24,40 150

3

bn

bn

V V

V V

Resulta:

0(0) (2) (1) (1) (1)

0(1) (0) (2) (2) (2)

10,99 159,87

11,81 162,59

bn bn b bn b

bn bn b bn b

Z Z I V IA

Z Z I V I

Assim, tem-se finalmente que: 0

(1) (2) 22,79 161, 28b b b bI I I I A

Para a fase C:

(0) (1) (2) (0) (1) (2)cn c cn c c c cn cn cnV I Z I I I Z Z Z

Ou ainda,

(0) (1) (2) (0) (1) (2) (0) (1) (2)cn cn cn c c c cn cn cnV V V I I I Z Z Z

(0) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (0)

(2) (1) (2) (2) (2) (0)

(0) (1) (0) (2) (

cn cn cn c cn c cn c cn

c cn c cn c cn

c cn c cn c

V V V I Z I Z I Z

I Z I Z I Z

I Z I Z I

0) (0)cnZ

Pela regra da sequência, tem-se que “a ordem do sistema de tensão à qual uma queda IZ pertence é igual à soma das ordens dos sistemas aos quais I e Z pertencem individualmente”. Dessa forma, pode-se afirmar que:

(1) (1) (0) (2) (2) (0) (1) cn c cn c cn cn cnV I Z I Z I Z , pois (1) + (0) = ordem 1, (2) + (2) = 4 = ordem 1 e (0) + (1) = ordem 1

(2) (1) (1) (2) (0) (0) (2)cn c cn c cn c cnV I Z I Z I Z , pois (1) + (1) = ordem 2, (2) + (0) = 2 = ordem 1 e (0) + (2) = ordem 2

(0) (1) (2) (2) (1) (0) (0)cn c cn c cn c cnV I Z I Z I Z , pois (1) + (2) = 3 = ordem 0, (2) + (1) = 3 = ordem 0 e (0) + (0) = ordem 0

Adicionalmente, considerando-se que I0 = 0 (ligação em estrela flutuante), as equações anteriores podem ser simplicadas da seguinte maneira:

(1) (1) (0) (2) (2)

(2) (1) (1) (2) (0)

(0) (1) (2) (2) (1)

cn c cn c cn

cn c cn c cn

cn c cn c cn

V I Z I Z

V I Z I Z

V I Z I Z

Para o cálculo de Ib(1) e Ib(2) bastam apenas as duas primeiras equações acima. E sabendo-se que (ver diagramas fasoriais das tensões de sequência),

0 0 0

(1)

0 0 0

(2)

157,72120 30 91,06 90

3

42,27120 30 24,40 90

3

cn

bn

V V

V V

Resulta:

0(0) (2) (1) (1) (1)

0(1) (0) (2) (2) (2)

10,99 80,13

11,81 42,59

cn cn c cn c

cn cn c cn c

Z Z I V IA

Z Z I V I

Assim, tem-se finalmente que: 0

(1) (2) 10,95 15c c c cI I I I A