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Análise de Sistemas Elétricos de Potência 1

5.0 Componentes Simétricas

UNIVERSIDADE FEDERAL

DE JUIZ DE FORA

P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G o m e s

E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b rE N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 1

1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;

2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;

3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados;

4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);

5. Componentes Simétricas;

6. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, Zbarra);

7. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;

Ementa Base

An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF

2

Introdução

Resolução de Sistemas Trifásicos Equilibrados Equivalente Monofásico

Resolução de Sistemas Trifásicos Desequilibrados Sistema Matricial

Operação com Matriz Cheia

Inversão de matriz

Pode ser mais simples?

An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)

3

Introdução

Fortescue (em 1918) publicou o artigo: “Method of Symmetrical Coordinates

Applied to the Solution of PolyphaseNetworks”. Apresentado à 34º Convenção Anual de AIEE

(American Institute of Electrical Engineers) em Atlantic City, N.J. o 28 de julho de 1918. AIEE Transactions 37 (II): 1027-1140 (1918).

“Um sistema trifásico desequilibrado pode ser decomposto em três sistemas equilibrados, onde esta decomposição é única”. Sistema equilibrado: Módulos iguais e Diferença Angulares iguais


4

Decomposição em Componentes Simétricas

Um sistema trifásico desequilibrado pode ser decomposto em três sistemas equilibrados, formado por componentes de seqüência positiva (+), negativa (-) e zero (0).

Sistema de seqüência Positiva (+, 1):

3 Fasores equilibrados (mesmo módulo e defasados de 120º)

Seqüência de fase igual ao do sistema original (ex. A-B-C)

Sistema de seqüência Negativa (-, 2):

3 Fasores equilibrados (mesmo módulo e defasados de 120º)

Seqüência de fase inversa ao do sistema original (ex. A-C-B)

Sistema de seqüência Zero (0):

3 Fasores de mesmo módulo e com os mesmos ângulos de fase.

Defasagem entre fasores iguais a 0.An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)

5

Decomposição em Componentes Simétricas


6

Sistema Original Desequilibrado

Seqüência (+)

Seqüência (-)

Seqüência (0)

+

+

Va1

Vc1

Vb1 Va2

Vc2Vb2

Va0

Vb0

Va

Vc

Vb

Decomposição Gráfica em C.S.


7Vc1

Vc2

Vc0

Vb1

Vb2

Vb0

Va1

Va2

Va0

Seqüência (+)

Seqüência (-)

Seqüência (0)

+

+

Va1

Vc1

Vb1Va2

Vc2Vb2

Va0

Vb0

Va

Vc

Vb

Decomposição Analítica em C.S.


8

S (+) S(-)S (0)

0 1 2

0 1 2

0 1 2

20 1 2

2

1 1 1

1

1

A A A A

B B B B

C C C C

A A A

V V V V

V V V V V

V V V V

V V Vα αα α

= = + +

= + +

& & & &

& & & &

& & & &

& & &

1 120oα = ∠



9

0 1 22

0 1 2 0 1 22

0 1 2

2

0 1 22

1 1 1

1

1

1

1 1 1

1

A A A A

B B B B A A A

C C C C

B B B

V V V V

V V V V V V V V

V V V V

V V V

α αα α

α α

α α

= = + + = + +

= + +

& & & &

& & & & & & &

& & & &

& & &

2

20 1 2

1

1

1 1 1C C CV V V

α αα α

= + +

& & &


Notação usual de CS em função da Fase A:


10

20 1 2

2

20 1 2

2

1 1 1

1

1

1 1 1

1

1

A

B A A A

C

V

V V V V V

V

V V V

α αα α

α αα α

= = + +

= + +

&

& & & &

&

& & &

Matriz de Transformação de C.S.


11

S (+) S(-)S (0)

+

+

=

=2

22

10

11

1

1

1

αα

αα VVV

V

V

V

V

C

B

A

&&&

&

&

&

A

B

C

V

V

V

&

&

&

0

1

2

V

V

V

&

&

&

Matriz de Transformação de C.S.


12

+

+

=

=2

22

10

11

1

1

1

αα

αα VVV

V

V

V

V

C

B

A

&&&

&

&

&

=

=

++++++

=

2

1

0

2

1

0

2

2

22

10

212

0

210

1

1

111

V

V

V

V

V

V

VVV

VVV

VVV

V

V

V

C

B

A

&

&

&

&

&

&

&&&

&&&

&&&

&

&

&

T

αααα

αααα

T = MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES SIMÉTRICAS

Transformação


13

0 1 22

0 1 22

0 1 2

Aabc

B

C

V V V V

V V V V V

V V V V

α αα α

+ + = = + + + +

& & & &

& & & &

& & & &

=

2

1

0

V

V

V

V

V

V

C

B

A

&

&

&

&

&

&

T T=

2

2

1

1

111

αααα

1

1201

1201

03

2

==−∠=

∠=

αααα

o

o


14

=

C

B

A

V

V

V

V

V

V

&

&

&

&

&

&

-1T

2

1

0-1T=

αααα

2

2

1

1

111

3

1

0012 2

12

2

1

3

A B C

A B C

A B C

V V V V

V V V V V

V V V V

α αα α

+ + = = + + + +

& & & &

& & & &

& & & &

Transformação

Teorema Fundamental (Matriz T)


15

=

2

1

0

V

V

V

V

V

V

C

B

A

&

&

&

&

&

&

T T=

2

2

1

1

111

αααα

=

C

B

A

V

V

V

V

V

V

&

&

&

&

&

&

-1T

2

1

0

-1T=

αααα

2

2

1

1

111

3

1

==100

010

001

I-1T.T

Aplicação de C.S. em SEP (V e I)


16

=

2

1

0

V

V

V

V

V

V

C

B

A

&

&

&

&

&

&

T

=

C

B

A

V

V

V

V

V

V

&

&

&

&

&

&

-1T

2

1

0

0

1

2

A

B

C

I I

I I

I I

=

T

& &

& &

& &

0

1

2

A

B

C

I I

I I

I I

=

-1T

& &

& &

& &

Aplicação de C.S. em SEP (V, I e Z)


17

abcabcabc IZV && ×=012VTV abc && ×= 012ITI abc && ×=

012012 ITZVT abc && ××=×

Reescrevendo a equação, tem-se:

Aplicação de C.S. em SEP (Z)


18

012 012 abcT V Z T I× = × ×& &

012Z

012012012 .IZV && =

0121012 ITZTV abc && ×××= −

01210121 ITZTVTT abc && ×××=×× −−

Aplicação de C.S. em SEP (Z)


19

00 01 02

2 210 11 12

2 220 21 22

1 1 1 1 1 11

1 . . 13

1 1

aa ab ac

ba bb bc

ca cb cc

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

α α α αα α α α

=

012 1 abcZ T Z T−= × ×

012 1abcZ T Z T −= × ×

Aplicação de C.S. em SEP (Z equilibrada)

Para matriz de impedância, Zabc, equilibrada:


20

012 1 abcZ T Z T−= × ×00 01 02

110 11 12

20 21 22

0

1

2

. .

0 0 2 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

p m m

m p m

m m p

p m

p m

p m

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z T Z Z Z T

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

−

= =

+

= − −

Aplicação de C.S. em SEP (Z equilibrada)

Portanto, para matriz de impedância, Zabc, equilibrada:

É análogo a ter 3 sistemas monofásico desacoplados


21

00 0

11 1

22 2

0 0

0 0 .

0 0

ZV I

V Z I

V IZ

=

& &

& &

& &

Aplicação de C.S. em SEP (V simétrica)

Para um sistema de tensão simétrico tem-se:

Portanto em componentes simétricos:


22

2 2

1 1

1 1

120 . .

120

Ao

B A

oC

VV

V V V V

V V

θθ θ α α

α αθ

= − = = +

&

& &

&

02 2

12 1

2

11 1 1 01

1 .3

1 0

A

B A A

C

V V

V V V V

V V

α α αα α α

= = =

-1T

& &

& & & &

& &

Exercício 5.0.1

Seja um sistema trifásico do tipo gerador-linha-carga, onde: Tensão do gerador é assimétrica e dada por:

Linha Equilibrada cujos valores são: Impedâncias próprias da LT iguais a (3,0+j5,6)Ω

Impedâncias mútuas da LT iguais a j2,60Ω

Carga equilibrada conectada em Y cuja impedância é de j50Ω/fase.

Calcule as correntes na linha em componentes de fase (ABC) e componentes simétricas (012) usando-se: V012=Z012.I012


23

13,8 0

13,8 90

13,8 90

Ao

B

oC

V

V kV

V

= −

&

&

&

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