Análise de Algoritmos da Transformada WatershedAndré Körbes , Roberto de Alencar Lotufo (Orientador)

Departamento de Engenharia de Computação e Automação Industrial (DCA)Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC)

Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)Caixa Postal 6101, 13083-970 – Campinas, SP, Brasil

{korbes,lotufo}@dca.fee.unicamp.br

Abstract – This paper presents an analysis of two issues of the watershed transform algorithms. The first issueregards the general behaviour of those, concerning the scanning order of pixels on the image, providing means forclassification and generalization. The second issue is about the practical implications of the different definitionsimplemented by the algorithms in the literature. These are discussed on a real application of image segmentation.

Keywords – watershed transform, watershed algorithms

1. Introdução

A transformada watershed propõe uma abordagemmorfológica para o problema de segmentação deimagens, interpretando estas como superfícies, ondecada pixel corresponde a uma posição e os níveis decinza determinam as altitudes. A partir desta noção,deseja-se então identificar bacias hidrográficas, defi-nidas por mínimos regionais e suas regiões de domí-nio. Intuitivamente, a transformada watershed tratade encontrar os pontos em uma superfície onde umagota d’água possa escorrer para dois mínimos regio-nais diferentes. Esta analogia pode ser também cri-ada inversamente, onde um nível d’água é elevadoatravés de uma superfície, inundando a partir dosmínimos regionais, e, nos pontos onde águas prove-nientes de mínimos diferentes se tocarem ergue-seuma barreira, que constitui a linha de divisão dasbacias.

Todavia, este trabalho se trata de uma aná-lise dos algoritmos da transformada watershed, queimplementam as diversas definições existentes. Paratal efeito, considerou-se a literatura a partir da in-trodução da primeira transformada rápida em 1991por Vincent e Soille [10] até os trabalhos recentesde Cousty et al. [5], englobando 14 algoritmos. As-sim, são identificadas características que permitemclassificá-los e compara-se os resultados das defini-ções destes em uma aplicação real.

Este trabalho é organizado conforme: aSec. 2. apresenta as definições de transformada wa-tershed de base para os algoritmos, a Sec. 3. propõeos métodos de exploração para classificação dos al-goritmos, a Sec. 4. verifica a influências das defini-ções em uma aplicação real, e a Sec. 5. apresenta asconclusões.

2. Definições de Watershed

Nesta seção introduzimos brevemente as princi-pais definições de transformada watershed: inun-dação (Flooding-WT), distância topográfica (TD-WT), condição local (LC-WT), transformada ima-gem floresta com custo máximo de caminho (IFT-WT), zona de empate da IFT-WT (TZ-IFT-WT) ewatershed cut (WC-WT). Estas definições são abase dos algoritmos disponíveis na literatura [6], epor consequência seus resultados afetam como asaplicações se comportam e o que pode ser esperadocomo saída destas.

A def. Flooding-WT consiste em um pro-cesso iterativo de limiarizações, onde as regiõescrescem de acordo com suas zonas de influência cal-culadas em relação ao nível anterior. As linhas dewatershed são os pixels que não pertencem a ne-nhuma região [10].

A def. TD-WT minimiza uma função decusto entre quaisquer pontos em uma imagem, ba-seada na soma das distâncias entre os pontos inter-mediários e relacionada às diferenças de níveis decinza. Determina-se assim as regiões da imagem,provendo uma solução única onde um pixel comcusto igual para dois ou mais mínimos regionais émarcado como watershed [9]. A def. LC-WT é de-rivada da def. TD-WT, onde a condição de unici-dade da solução é removida. Desta forma, os pixelsde watershed deixam de existir, sendo atribuídos auma das regiões vizinhas [3].

A def. IFT-WT é uma abordagem baseadaem floresta de caminhos mínimos para o problema,onde o custo do caminho é o máximo dos arcos. To-davia, em uma zona plana estes custos são iguaispara todos os pixels nesta. Para tratar isto, é intro-

duzida uma segunda componente, o custo lexicográ-fico, que determina a menor distância até a borda dazona plana, desempatando a primeira [8]. A zonade empate da IFT-WT é uma transformada que uni-fica soluções. Dado que a IFT-WT produz um con-junto de soluções ótimas, a TZ-IFT-WT unifica-asem apenas uma solução, onde as regiões são defini-das por aqueles pixels que tem um caminho ótimopara o mesmo conjunto de sementes em todas as so-luções possíveis [1].

A def. WC-WT é uma transformada decorte de grafo, onde os cortes são feitos quando umaaresta satisfaz as condições de que os vértices queconecta levam a dois mínimos diferentes, e que seuvalor é maior do que o valor de qualquer aresta nes-tes caminhos até os mínimos [5]. Entretanto, nãoé produzida uma solução única pois diversos cortespodem satisfazer estes critérios.

Uma consideração importante é que inde-pendentemente do algoritmo, seus resultados serãodependentes da definição implementada. Isto im-plica que algoritmos em uma mesma definição de-vem ser todos capazes de produzir o mesmo con-junto de soluções, ou um subconjunto deste.

3. Métodos de ExploraçãoA análise de exploração da imagem realizada nestetrabalho busca caracterizar os algoritmos de acordocom a estratégia utilizada para a rotulação dos pi-xels. Entre as formas de exploração identificadas, háduas vertentes representativas e ainda outra alterna-tiva pouco utilizada. Adotamos aqui a nomenclaturautilizada por Cormen et al. [4] e clássica na avalia-ção de algoritmos de busca em grafos: busca emlargura e busca em profundidade. A terceira linhaconstitui-se da varredura aleatória, onde não é im-posta nenhuma ordem no acesso aos pixels, poucoutilizada no âmbito da transformada por questões dedesempenho. É importante ressaltar que esta carac-terização não implica em qual definição o algoritmoimplementa.

3.1. Busca em LarguraMétodos de busca em largura são bem conhecidosna literatura de computação, sendo os fundamen-tos de diversos procedimentos, como os algoritmosde busca em grafos de Dijsktra para construção deSPFs e de Prim para construção de MSFs [4]. Aprincipal característica deste tipo de algoritmo é

dada por sua natureza de expansão, sempre da úl-tima borda e uniformemente em sua largura. A res-peito da distância da semente original, todos os vér-tices a distância k são visitados antes de visitar qual-quer vértice a distância k + 1 [4].

No campo dos algoritmos de transformadawatershed, pode ser vista uma similaridade entrea busca em largura e o watershed por marcadores,onde um conjunto de sementes é expandido parase encontrar a partição ótima formada por estas,ou mesmo considerando-se como sementes os mí-nimos regionais. Estas propostas se diferenciam emuma série de características e implementam defini-ções distintas, mas preservam a varredura em lar-gura, onde a distância k passa a ser o custo do cami-nho.

Desta forma, pode-se generalizar os algorit-mos que aplicam esta estratégia em 3 passos, ondepermite-se variar a forma de expansão e rotulaçãode acordo com a definição adotada, com a variaçãofundamental sendo as conexões iterativas no passo2:

1. Defina as sementes/marcadores2. Calcule as conexões dos pixels da iteração

atual com a anterior3. Rotule os pixels de acordo com as conexões

calculadas. Vá para o passo 2 e expanda asregiões da iteração atual, até visitar todos ospixels

De maneira geral, algoritmos de transfor-mada watershed com varredura em largura temcomo desvantagem a detecção inicial dos mínimosregionais, seja por um procedimento independente,ou por ordenação dos pixels por seus valores, paradetecção dos componentes conexos mínimos. Noentanto, se estes marcadores constituírem parâme-tros de entrada do algoritmo, o processamento davizinhança torna-se uma operação localizada e debaixo custo computacional.

3.2. Busca em ProfundidadeAssim como os algoritmos de busca em largura, abusca em profundidade também é muito comum naliteratura de grafos, representada comumente por al-goritmos gulosos. A estratégia adotada aqui é con-tinuar a busca sempre a partir do vértice visitadomais recentemente, enquanto possível, e então re-tornar para analisar vértices pendentes. De fato, em

contraste com a busca em largura, a busca em pro-fundidade prioriza vértices a distância k + 1 assimque são descobertos, antes de visitar todos à distân-cia k [4].

Pode-se facilmente ver a semelhança entreeste procedimento descrito e uma gota d’água des-cendo sobre uma superfície, onde esta segue um ca-minho único. Em relação a transformada watershed,segue-se o mesmo raciocínio, representado pela téc-nica de arrowing, onde identifica-se para cada pi-xel o vizinho com menor valor. Diversos algoritmosutilizam esta abordagem, seguindo um caminho atéque este seja esgotado em um mínimo regional, en-quanto outros são baseados em construir os cami-nhos em etapas anteriores, identificar os mínimos,e por último executar a rotulação percorrendo o ca-minho, caracterizando-os como buscas em profun-didade.

Assim como o algoritmo de transformadawatershed por busca em largura, pode-se generali-zar a busca em profundidade em 3 passos, conformea caracterização mencionada anteriormente:

1. Conecte cada pixel ao(s) seu(s) vizinho(s)de acordo com o custo desejado

2. Rotule os mínimos regionais3. Percorra para cada pixel o caminho até o

mínimo regional e rotule-o

Estes passos são geralmente distinguíveisnos algoritmos, no entanto podem ser unidos, natentativa de atingir melhor desempenho. Em espe-cial deve-se comentar sobre o passo 1, que dependeda resolução das zonas planas. Estas regiões nãopodem, de maneira geral, ser conectadas utilizandoum algoritmo de busca em profundidade, optando-se por utilizar variações de algoritmos em largurapara propagação e divisão correta, aplicando-se umasegunda componente de custo para resolução destesempates. Entretanto, mesmo nestes casos, o passo 3é característico de algoritmos de busca em profundi-dade, percorrendo o caminho até encontrar um pixeljá rotulado ou um mínimo regional.

4. Análise de ResultadosNesta seção comparam-se os algoritmos de wa-tershed por seus resultados em uma aplicação real.Desta forma, busca-se destacar a questão da defi-nição implementada pelos algoritmos que pode im-pactar no resultado da aplicação. Considerando-se que cada um dos algoritmos está associado a

uma definição da transformada [6], serão apresen-tados apenas os resultados para cada uma destas. Adef. Flooding-WT, que não é implementada corre-tamente por nenhum algoritmo, é representada aquipelo algoritmo de Imersão de Vincent e Soille [10].

A aplicação apresentada aqui é um veri-ficador de imagens de concreto em microscópio,onde deseja-se medir algumas regiões de interesse(ROI’s), sendo a transformada watershed usadacomo um detector de texturas para regiões homogê-neas, filtradas com base em um critério de área. AFig. 1 apresenta as etapas para extração das ROI’s:(a) imagem de entrada; (b) transformada watershedrotulada aplicada sobre o gradiente filtrado; (c) con-tornos internos das regiões obtidas após filtragempor área para selecionar regiões e remover ruído.

(a) (b) (c)

Figura 1. Etapas da aplicação concrete

Alternando a transformada watershed apli-cada no passo (b) entre as seis definições, mede-se o número de regiões homogêneas detectadas, aárea e variação para as cinco ROI’s. A Fig. 2 apre-senta as imagens produzidas pelos algoritmos, como contorno interno destacado. A Fig. 2 (a)-(f) apre-senta as cinco ROI’s numeradas, e as soluções ob-tidas pelos algoritmos de Vincent e Soille [10], deLin et al. [7], de Bieniek e Moga [3], de Beucher eMeyer [2,8], de Audigier, Lotufo e Couprie [1] e deCousty et al. [5], respectivamente.

Conforme mencionado, o objetivo destaaplicação é medir regiões homogêneas, sendo quetambém há interesse no número de regiões detecta-das. Para as imagens (a) - (f), foram encontradas26, 27, 28, 28, 23 e 30 regiões respectivamente. Arespeito das cinco ROI’s, a área média e a máximavariação positiva (MVP) e negativa (MVN) foramcalculadas, sendo apresentadas na Tab. 1, onde cadalinha corresponde a uma ROI.

De forma geral, a análise dos resultadosaponta para consistência entre as soluções. Entre-tanto, em alguns problemas uma análise mais apro-fundada pode ser necessária, de modo a determinar

(a) Flooding-WT (b) TD-WT (c) LC-WT

(d) IFT-WT (e) TZ-IFT-WT (f) WC-WT

Figura 2. Comparação de resultados da aplica-ção de watershed na identificação de regiõeshomogêneas

Região Média MVP MVN1 12749,66 2,3% 3,5%2 11343,5 1,9% 2,8%3 11030,16 1,8% 2,9%4 11041,83 6,2% 4,0%5 22776 0,3% 1,0%

Tabela 1. Medidas nas cinco ROI’s da aplica-ção

a abordagem mais adequada, especialmente no quediz respeito ao comportamento da definição, sendoque os algoritmos são dependentes destas, e podeocorrer variação. Esta conclusão deve ser consi-derada em aplicações com baixa tolerância a erros.Todavia, quando há pré-processamento com grandesimplificação da imagem, as diferenças tendem a serpequenas, variando abaixo de 1%.

5. Conclusões

Neste trabalho foram analisados dois aspectos datransformada watershed: o comportamento de vi-sitação da imagem dos algoritmos, classificados emlargura e profundidade; e a influência das diferentesdefinições em uma aplicação real. Propusemos duasgeneralizações para os algoritmos de watershed demodo a compreender melhor o funcionamento des-tes, e permitir associar mais a transformada a princí-pios da computação como otimização de custos emcaminhos e menos a princípios naturais como a gotad’água. A aplicação real foi testada com seis defini-ções de modo a se verificar que, embora aproxima-dos, os resultados variam e isso deve ser estudadocaso a caso.

Referências[1] R. Audigier, R. Lotufo, and M. Couprie. The

tie-zone watershed: Definition, algorithm andapplications. In Proceedings of IEEE In-ternational Conference on Image Processing(ICIP’05), volume 2, pages 654–657, 2005.

[2] S. Beucher and F. Meyer. Mathematicalmorphology in image processing, chapter TheMorphological Approach to Segmentation:The Watershed Transformation. Optical En-gineering. M. Dekker, New York, 1993.

[3] A. Bieniek and A. Moga. An efficient wa-tershed algorithm based on connected compo-nents. Pattern Recognition, 33(6):907–916,2000.

[4] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest,and C. Stein. Introduction to Algorithms. TheMIT Press, Cambridge , Massachusetts, 2 edi-tion, 2001.

[5] J. Cousty, G. Bertrand, L. Najman, andM. Couprie. Watershed cuts: Minimum span-ning forests and the drop of water principle.IEEE Transactions on Pattern Analysis andMachine Intelligence, 31(8):1362–1374, 2009.

[6] A. Körbes and R. Lotufo. Analysis of the wa-tershed algorithms based on the breadth-firstand depth-first exploring methods. In SIB-GRAPI’09, pages 133–140, Rio de Janeiro,Brazil, Oct. 2009. IEEE Computer Society.

[7] Y. Lin, Y. Tsai, Y. Hung, and Z. Shih.Comparison between immersion-based andtoboggan-based watershed image segmenta-tion. IEEE Transactions on Image Processing,15(3):632–640, 2006.

[8] R. Lotufo and A. Falcão. The ordered queueand the optimality of the watershed approa-ches. In Proceedings of the 5th InternationalSymposium on Mathematical Morphology andits Applications to Image and Signal Proces-sing, volume 18, pages 341–350. Kluwer Aca-demic Publishers, June 2000.

[9] F. Meyer. Topographic distance and wa-tershed lines. Signal Processing, 38(1):113–125, 1994.

[10] L. Vincent and P. Soille. Watersheds in di-gital spaces: An efficient algorithm based onimmersion simulations. IEEE Transactionson Pattern Analysis and Machine Intelligence,13(6):583–598, 1991.