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Anais do 2º Colóquio de Matemática da Região Sul24 a 28 de abril de 2012

Universidade Estadual de Londrina

Pôsteres

Teorema do Ponto Fixo de BanachAnna Claudia P. Piveta

Espaços de HilbertCamila Fabre Sehnem

Algumas Soluções para uma Equação de Evolução SimplesCarolina de Almeida Santos Pinotti

Solução Numérica da Equação de Burgers 1D usando o SciLabCláudia Brunosi Medeiros

Teorema de SarkovskiiGlaucia Lenita Dierings

Transformações de LorentzJackeline Conrado

Noções básicas sobre homeomorfismosTatiana Mari Saita

Cobertura de GruposAlex C. Dantas

Álgebra MultilinearBruno Suzuki

O Teorema de GelfandCamila Fabre Sehnem

Quadratura do QuadradoEdineia Filipiak

Transitividade em R² \ 0João Augusto Navarro Cossich

Sobre a Matemática do Antigo EgitoRodrigo de Freitas Gabert

O grupo simétrico e as suas representaçõesThamara Petroli

Alguns apontamentos sobre a álgebra, o pensamento algébrico e o ensino da álgebraVictor H. dos S. Gois

Maplet programada via software Maple 15 para resolução linha a linha de Equações Diferenciais Ordinárias de BernoulliOilson Alberto Gonzatto Junior

O Critério de Estabilidade de NyquistMikhailovRian Lopes de Lima

Aplicações da Álgebra Linear: Computação Gráfica, Deformações e MorfismosMariana Souza Innocenti

Caos Reduzido a Mapas UnidimensionaisMatheus Augusto Bannack Diniz

Otimização de um Reator de Síntese de AmôniaCarolina Borges

Evolução temporal de um pacote de onda em uma curva de energia potencialÉrika Sathie Takatsuki

Analyticity for Semigroup Associated with a Linear Viscoelastic Equation by a Locally Distributed DampingFredy Maglorio Sobrado Suarez

Estudo sobre Relações Interespecíficas: Competição e PredatismoGregório Luis Dalle Vedove Nosaki

Métodos matemáticos para ladrilhamentos aperiódicosGustavo Felisberto Valente

Teorema do Ponto Fixo de Banach

Anna Claudia P. Piveta (e-mail: [email protected])Rua Estilac Leal, 1187, Rolândia, Paraná, Brasil

Denise Sayuri Oda Nampo (e-mail: [email protected] )Rua Weslley Cesar Vanzo 189, AP 904 , Londrina, Paraná, Brasil

25/03/2012

Resumo

O objetivo deste trabalho é enunciar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, juntamente com a demonstração do mesmo.

Palavras-chave: Ponto fixo, Banach, contração.

1 IntroduçãoUm dos mais ricos resultados da Topologia, o chamado Teorema do Ponto Fixo de Banach, ou ainda Teorema daContração diz que se X é um subconjunto fechado de R então toda contração f : X → X possui um ponto fixo, istoé, existe a ∈ X tal que f(a) = a. Este resultado aparentemente simples, possui inúmeras aplicações na Geometria, naAnálise e no Cálculo Numérico.Para compreendermos melhor esse resultado, é necessário o conhecimento dos conceitos de contração e conjunto fechado.A partir delas, estabeleceremos as condições para que este resultado possa ser útil em suas diversas aplicações.Um conjunto diz-se fechado quando todos os seus pontos de aderência, ou seja, quando existe uma sequência (xn)n∈N talque xn → x (neste caso, escrevemos x ∈ F , ou seja, F é o conjunto dos pontos de aderência de F e também é chamadode fecho de F ), pertencerem a F , ou seja, se F ⊂ F (que neste caso implica F = F ).Uma função f : X → R é dita uma contraçao quando existe uma constante 0 ≤ k < 1 tal que |f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|.Vamos então, enunciar o teorema.

2 Teorema do Ponto Fixo de BanachSe X ⊂ R é fechado então toda contração f : X → X possui único ponto fixo. Mais precisamente, fixando x1 ∈ X asequência definida indutivamente por

x2 = f(x1), x3 = f(x2), · · · , xn+1 = f(xn), · · ·

converge para um único a ∈ X tal que f(a) = a.

3 ConclusõesEm síntese, nesse trabalho discutimos a respeito do Teorema do Ponto Fixo de Banach, que também pode ser visto comoum processo iterativo visto que a partir de suas iterações encontramos um valor x tal que f(x) = x, isto é, o ponto fixoda contração sendo este único.

Referências[1] Elon Lages Lima. Análise Real, volume 1. Coleção Matemática Universitária, IMPA. Rio de Janeiro, 1989.

[2] Elon Lages Lima. Curso de Análise, volume 1. Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 1989.

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Espaços de Hilbert

Camila Fabre SehnemOrientador: Dr. Danilo Royer

27 de março de 2012

Neste trabalho foram definidos espaços métricos, espaços normados, espaços com produto interno e espaçosde Hilbert, bem como operadores limitados e operador adjunto. Foram apresentados exemplos de espaços comproduto interno que não são espaços de Hilbert, espaços normados que não são espaços com produto interno eoperadores não limitados em um espaço de Hilbert.

As existências do operador adjunto para um dado operador limitado em um espaço de Hilbert e do comple-tamento de um espaço com produto interno foram provadas, além da igualdade entre as normas de um operadorlimitado e seu operador adjunto. Por fim, foram provadas as propriedades dos operadores adjuntos que sãoconstantemente utilizadas em suas aplicações.

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Nº 000 ALGUMAS SOLUÇÕES PARA UMA EQUAÇÃO DE EVOLUÇÃO SIMPLES

Aluno de Iniciação Científica: Carolina de Almeida Santos Pinotti (PET)

Nº de Registro do Projeto de Pesquisa no BANPESQ/THALES: 2009000001

Orientador: Carlos Henrique dos Santos

Departamento: Matemática Setor: Ciências Exatas

Palavras-chave: equilíbrio, equilíbrio estável, equações diferenciais.

Área de Conhecimento: 1.01.04.00-3

As equações diferenciais parciais (D) e (N) aparecem em modelagens matemáticas de fenômenos físicos, químicos ou biológicos, dentre outros, donde o interesse pelas soluções desses problemas e a compreensão dos comportamentos dessas soluções. O estudo dos aspectos matemáticos envolvidos na solução dessas equações constitui etapa fundamental na formação do profissional dessa área. Para os problemas lineares as soluções podem ser obtidas pelo método de separação de variáveis. Para os problemas não lineares não há, em geral, um método para obter as soluções. Nesses casos procuramos desenvolver algumas ferramentas para descrever o comportamento das soluções. Uma classe importante de solução para esses problemas é a dos equilíbrios, isto é, das soluções que não dependem de . Para a equação (D) com extremidades mantidas em zero e

, é um equilíbrio estável. Já na equação (N) com extremidades isoladas e , é equilíbrio estável. Entretanto, para , existem constantes de

modo que os problemas (D) e (N) passam a admitir equilíbrios não constantes. Porém aqueles equilíbrios estáveis tais que perdem sua estabilidade quando . Faz-se necessário, portanto, o desenvolvimento de métodos adequados para o tratamento tanto dos problemas lineares quando dos problemas não lineares, como por exemplo (Equação de Fisher) e , motivo principal deste trabalho.

Solução Numérica da Equação de Burgers 1D usando o SciLab

Cláudia Brunosi Medeiros (e-mail: [email protected])Edgar Felix Iastrenski (e-mail: [email protected])Tadasi Matsubara Júnior (e-mail:[email protected])

Neyva Maria Lopes Romeiro (e-mail: [email protected])Universidade Estadual de Londrina - Londrina - Pr - Brasil

Resumo

Neste trabalho estuda-se o método de diferenças finitas utilizando uma discretização upwind no termo convectivo [6],para a obtenção de solução numérica da equação de Burgers 1D. Na implementação utiliza-se do software livre Scilab,e compara-se a solução numérica da equação de Burgers, com a solução analítica conhecida.

Palavras-chave: equação de Burgers, Scilab, discretização upwind.

1 Introdução

Nas últimas décadas desenvolveu-se uma extensa pesquisa sobre dinâmica dos fluidos. Neste contexto, uma equaçãodiferencial que aplica-se a vários fenômenos físicos, como choque de ondas, problemas de tuburlência e processos es-tocásticos é a equação de Burgers [1]. Para estudar esta equação, como não tem-se solução contínua discretiza-se odomínio. Neste trabalho estuda-se a aplicação do método de diferenças finitas para obtenção da solução numérica de umproblema não linear, focalizando a obtenção de códigos que forneçam as soluções analítica e numérica da equação deBurgers. Para isto, usa-se o Scilab, que é uma alternativa livre do Matlab, mas que apresenta problema com respeito aotempo de execução, em contrapartida para suprir está deficiência, o software facilita a programação paralela. Enfim, asolução numérica obtida através do método utilizando uma discretização upwind no termo convectivo é comparada coma solução analítica conhecida utilizando o Scilab.

1.1 EDP´s

As EDP´s que descrevem o escoamento de fluidos podem ser de quatro tipos: equação elíptica, equação parabólica,equação hiperbólica ou equação mista [5]. Problemas de equilíbrio são frequentemente do tipo elíptico, problemas depropagação são na maioria do tipo hiperbólico ou parabólico. As equações parabólicas possuem soluções mais suavesenquanto que nas equações hiperbólicas as descontinuidades são transportadas sem suavização.

Um exemplo de equação hiperbólica é a equação de convecção que é dada por ut = −vux, onde v é a velocidade.A equação de difusão de calor ut = αuxx é um exemplo de uma equação parabólica, onde α é o coeficiente de difusividadetérmica do material. Outra equação parabólica é a equação de Burgers, dada por

ut + uux =1

Reuxx.

A equação de Laplace, é um exemplo da equação elíptica, dada por

uxx + uyy = 0.

1.2 Método de diferenças finitas

O método de diferenças finitas é um método numérico que baseia-se na aproximação das derivadas de primeira e de se-gunda ordem da função. Primeiramente antes de utilizar este método, é necessário discretizar a região onde procura-sea solução, o domínio, e em seguida pela discretização das derivadas que aparecem na equação diferencial. Para isto,define-se uma malha [3], que é um conjunto de pontos, frequentemente chamado de nós da malha.

1

Seja u uma função de variáveis independentes x e t, considera-se o plano x⊥t subdividido em retângulos de ladosδx = h, δt = k como mostra a Figura 1. Seja a coordenada (x, t) do ponto de malha P , então x = ih , t = jk. Logo,(x, t) = (xi, tj) = (ih, jk), com i e j inteiros e os valores h e k são, respectivamente, os espaçamentos da malha nasdireções x e t. Portanto, o valor de u no ponto P é denotado por

uP = u(ih, jk) = ui,j .

Assim substituem-se as aproximações na equação diferencial para se obter uma equação de diferenças.

Figura 1: Malha Computacional.

1.3 Equação de Burgers

Nesta seção aplica-se o método de diferença finitas para encontrar uma solução numérica para a equação de Burgers 1Dadimensional [6] definida por:

ut + uux =1

Reuxx (1)

onde Re = u0L/ν é o número de Reynolds, L o tamanho do domínio, u0 a amplitude de velocidade e ν é a viscosidadedo fluido.

Discretizando os termos da equação acima no ponto P (i, j) da malha computacional obtém-se:

ut =ui,j+1 − ui,j

k→ diferença progressiva (2)

uxx =ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

h2→ diferença central (3)

CONV (u) =1

2(ui+ 1

2 ,jui+ 1

2 ,j− ui− 1

2 ,jui− 1

2 ,j

h)→ upwind (4)

em que ui+ 12 ,j

= 12 (ui+1,j + ui,j), ui− 1

2 ,j= 1

2 (ui,j + ui−1,j).No termo convectivo aplica-se uma discretização upwind de primeira ordem [6] para determinar as variáveis ui+ 1

2 ,j

e ui− 12 ,j

.Assim considera-se três nós computacionais adjacentes ao ponto de discretização, denominados de D (Downstream),

U (Upstream) e R (Remote-Upstream) em relação a face f considerando o sinal da velocidade convectiva.

Substituindo-se as equações (3) e (4) em (1), tem-se o método numérico explícito para resolver a equação de Burgers1D dado por:

ui,j+1 = −kCONV (u) +r

Reui+1,j + (

Re− 2r

Re)ui,j +

r

Reui−1,j , (5)

2

onde r = kh2 .

Considera-se a equação de Burgers 1D com condição inicial:

u(x, 0) = sin(πx) (6)

e condições de fronteira:

u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0. (7)

Pela transformação de Hopf-Cole [4] obtém-se uma solução analítica para as condições (6) e (7) , que é dada por:

u(x, t) =2πν

∑∞n=1 an exp(−n2π2νt)n sin(nπx)

a0 +∑∞

n=1 an exp(−n2π2νt) cos(nπx), (8)

onde os coeficientes de Fourier são : a0 =∫ 2

0exp−(2πν)−1[1− cos(πx)]dx e an = 2

∫ 2

0exp−(2πν)−1[1− cos(πx)]cos(nπx)dx.

Usando o Scilab, implementa-se as soluções analítica numérica com Re = 100, h = 0.05, k = 0.01, tais resultadossão apresentados na Figura 2. Nesta figura, o gráfico corresponde ao corte feito para os tempos de simulação t = 0.1 et = 0.5. Observa-se a formação de choque em t = 0.5, e a capacidade do método de diferenças finitas com a discretizaçãoupwind no termo convectivo em capitar esta descontinuidade sem apresentar oscilações. Verificou-se que o erro absolutoé de ordem 10−3.Neste trabalho pode-se observar que a implementação por meio do Scilab foi satistatória em relação a outros softwares.Além disso, o Scilab possui várias ferramentas disponíveis que permitem aos usuários tirar total vantagem do seu trabalho[2].

Figura 2: Solução numérica e analítica para diferentes tempos.

Agradecimentos

Agradeço o CNPq pelo apoio financeiro.

Referências

[1] Armando de Oliveira Fortuna. Técnicas Computacionais para dinâmica dos Fluidos: Conceitos Básicos e Aplicações.EDUSP, São Paulo, 2000.

[2] Glavelis Themistoklis, Ploskas Nikolaos, Samaras Nikolaos. A computational evaluation of some free mathematicalsoftware for scientific computing. In Journal of Computational Science 1, pages 150 – 158, 2010.

[3] Gordon D. Smith. Numerical solution of partial differential equations. Oxford, New York, 1985.

[4] J. D. Cole. On a quasi linear parabolic equation occurring in aerodynamics. In Quarterly Applied Mathematics 9,pages 225 – 236, 1951.

[5] Valéria de Magalhães Iório. EDP- Um curso de graduação. IMPA, Rio de Janeiro, 2007.

[6] Valdemir Garcia Ferreira e Gisele Ap. Braz de Lima. Solução numérica de equações diferenciais parciais. In V Bienalda SBM, Sociedade Brasileira de Matemática, UFPB - Universidade Federal da Paraíba, 18 a 22 de outubro de 2010.

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Teorema de Sarkovskii

Gláucia Lenita Dierings (e-mail: [email protected])Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Rio Grande do Sul, Brasil

Alessandra Kreutz (e-mail: [email protected])Alesandra Tedy Ximendes (e-mail: [email protected])

Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Rio Grande do Sul, Brasil

Anderson Luiz Maciel (e-mail: [email protected])Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Rio Grande do Sul, Brasil

Resumo

O Teorema de Sarkovski afirma que se uma função contínua f : R → R, possui um ponto periódico de período k, e sek l, na ordenação de Sarkovskii dos números naturais, então f também terá um ponto periódico de período l.

Palavras-chave: Teorema de Sarkovskii, Ordenação de Sarkovskii, Teorema de Li-Yorke.

1 IntroduçãoSeja f : R → R uma função contínua. Considerando as composições dessa função, dizemos que um ponto p ∈ Ré um ponto periódico de período n se fn(p) = p, onde n é o menor número inteiro positivo onde isso ocorre. Umapergunta natural a ser respondida é se uma dada função contínua sempre possui um ponto periódico. A resposta é não.Por exemplo, considerando a função f(x) = x+1 temos que sua n-ésima composição é fn(x) = x+n, implicando quef não possui nenhum ponto periódico. A partir daí outras perguntas surgem, por exemplo, se uma função que possui umponto periódico de período qualquer pode possuir outro ponto periódico de outro período?

Em 1964 o Ucraniano A. N. Sarkovskii (1936 - ) respondeu a algumas dessas perguntas com um teorema forte e comhipóteses simples, precisa apenas da continuidade da função, hoje chamado de Teorema de Sarkovskii, cujo enunciadopreciso apresentamos na próxima seção. Esse resultado afirma que se uma função contínua possui um ponto periódico deperíodo k então essa função possui um ponto periódico de período l, onde k e l devem satisfazer uma certa ordem. Hojeem dia existem demonstrações distintas do Teorema de Sarkovskii, e escolhemos uma das mais simples para verificar suavalidade. Tal prova pode ser encontrada em [D].

Uma consequência interessante do Teorema de Sarkovskii é o Teorema de Li-Yorke. Esse resultado foi obtido umadécada após Sarkovskii, de fato a publicação é do ano de 1975. Porém, deve-se levar em conta que naquela época eraquase nulo o acesso do ocidente às descobertas científicas da antiga União Soviética. O Teorema de Li-Yorke afirma que,se uma função contínua f tem um ponto periódico de período 3 então ela tem pontos periódicos de todos os períodos, e afunção tem um comportamento caótico. Veja [LY], [D] ou [BB].

Apesar do Teorema de Sarkovskii nos dar a existência de pontos periódicos ele não explicita quantos pontos periódicosde cada período a função possui. Para isso, é necessário o estudo de outras teorias de dinâmica unidimensional, porexemplo, dinâmica simbólica e a Teoria Kneading.

Além disso, o Teorema de Sarkovskii não é válido para dimensões maiores, por exemplo, não temos um resultadoanálogo para funções contínuas na circunferência.

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2 ResultadosPara enunciar o Teorema de Sarkovskii, vamos considerar a seguinte ordenação nos números inteiros positivos

3 5 7 11 · · · 2n+ 1 · · · · · · 2.3 2.5 2.7 2.11 · · · 2(2n+ 1) · · · · · · 22.3 22.5 22.7 22.11 · · · 22(2n+ 1) · · · ... · · · 2k+1 2k · · · 23 22 2 1.

A partir dessa ordenação, enunciamos o principal resultado:

Teorema 1 (Teorema de Sarkovskii). Seja f : R → R uma função contínua. Suponha que f tem um ponto periódico deperíodo k, e que k l na ordenação de Sarkovskii. Então f terá um ponto periódico de período l.

Do Teorema de Sarkovskii uma primeira consequência imediata, como mencionado anteriormente, é o Teorema deLi-Yorke, [LY]. Esse teorema afirma que se uma função f contínua tem um ponto periódico de período 3 então, alémdessa função ter pontos periódicos de todos os períodos, ela possui um comportamento caótico, no sentido da falta deprevisão futura nas órbitas dessa função.

Podemos observar que se f é uma função com um ponto periódico de período n2m, onde n é ímpar, então essa funçãotem infinitos pontos periódicos. Por outro lado, caso f tenha um ponto periódico de período 2m, então f possui finitospontos periódicos.

Outro fato a ser notado é que a recíproca do teorema não é verdadeira. Ou seja, dados k, l ∈ N com k l na ordenaçãode Sarkovskii, então existe uma função contínua f que tenha ponto periódico de período l, mas não tem pontos periódicosde período k.

Por exemplo, o gráfico abaixo nos dá um exemplo concreto de uma função que possui um ponto periódico de período5 e não tem nenhum ponto periódico de período 3.

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

Note que, no nosso exemplo acima, o ponto x = 1 satisfaz f5(1) = 1, e analisando as imagens dos subintervalos pelafunção f temos a não-existência de um ponto periódico de período 3.

AgradecimentosEste trabalho contou com o apoio financeiro do Programa de Educação Tutorial - PET/SESu.

Referências[D] DEVANEY, R. L., An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley Publishing Company, 2nd.

ed., (1994).

[LY] LI, T.-Y. and YORKE, J. A., Period three implies chaos. American Mathematical Monthly, 1975, 82, 985-992.

[BB] BRANDON, J. A. and BENOIT, E., A Note on Sarkovskii’s Theorem. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 8, No10, pp. 1587-1589, 1997.

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Transformações de Lorentz

Jackeline Conrado (autor)

Eduardo Hoefel (orientador)


Na Física clássica, as mudanças de referenciais são dadas pelas transformações de Galileu.Por outro lado, na teoria da relatividade restrita de Einstein, as mudanças de referenciais sãodadas por tranformações de Lorentz. Uma transformação de Galileu define uma isometriano espaço euclidiano de dimensão 3. Neste trabalho demonstraremos como, a partir de fatosexperimentais relacionados à simultaneidade da relatividade descrita por Einstein em 1916, amétrica de Lorentz pode ser definida no espaço vetorial real de dimensão 4, denotado por R3,1.Com esta métrica, as transformações de Lorentz são isometrias. Além disso, analisaremos aestrutura do grupo de Isometrias do espaço R3,1.

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Noções básicas sobre homeomorfismos

Tatiana Mari Saita (e-mail: [email protected])Departamento de Matemática - UEL, Londrina , Paraná, Brasil

Luci Harue Fatori (orientadora) (e-mail: [email protected])Universidade Estadual de Londrina , Londrina, Paraná, Brasil

Resumo

Homeomorfismos são aplicações fortemente estudadas na teoria de espaços métricos, pois é através delas que con-seguimos “transferir” as propriedades topológicas de um espaço métrico para outro. No ponto de vista geométrico,dois objetos que são homeomorfos são indistinguiveis no sentido topológico.

Palavras-chave: Espaços métricos, homeomorfismos.

1 IntroduçãoUm dos tipos de aplicações contínuas muito importantes na teoria de espaços métricos são os homeomorfismos. Doisespaços métricos M e N com um homeomorfismo f : M → N são ditos homeomorfos.

Definição 1. Sejam M e N espaços métricos. Um homeomorfismo de M sobre N é uma bijeção contínua f : M → Ncuja inversa f−1 : N →M também é contínua.

De modo geral, um homeomorfismo é um alongamento contínuo e flexão do objeto numa nova forma. Por exemplo,um quadrado e um círculo são homeomorfos um ao outro. Note que uma aplicação bijetora e contínua não garante quesua inversa seja contínua também.

Um caso particular de homeomorfismo é chamado de Projeção Estereográfica, uma aplicação que em geral levaSn − p sobre Rn, onde Sn é a esfera unitária n-dimensional e p = (0, 0, . . . , 1) é o polo norte da esfera Sn. Essaaplicação é utilizada em geologia e em processos físicos.

AgradecimentosAgradeço a todas as pessoas que me ajudaram a desenvolver esse estudo, em especial, a orientadora Profa. Luci HarueFatori. Manifesto também minha gratidão a organização deste evento. Muito obrigada a todos!

Referências[1] Elon Lages Lima Espaços Métricos. IMPA, Rio de Janeiro, 2011.

[2] Hygino H. Domingues Espaços Métricos e Introdução à topologia. Atual, São Paulo, 1982.

[3] Jorge Picado Apontamentos de Geometria Diferencial. Universidade de Coimbra, 2006.

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Cobertura de Grupos

Alex Carrazedo Dantas (e-mail: [email protected])Departamento de Matemática, Universidade de Brasília, Brasília, Distrito Federal, Brasil

Raimundo de Araújo Bastos Júnior (e-mail: [email protected])Departamento de Matemática, Universidade de Brasília, Brasília, Distrito Federal, Brasil

Resumo

É bem conhecido na literatura, que um grupo não pode ser coberto por dois subgrupos próprios. No entanto, algunsgrupos podem ser cobertos por três ou mais, por exemplo, o grupo de Klein (V = C2 × C2) pode ser coberto por trêssubgrupos próprios. Na verdade, se um grupo G pode ser coberto por três subgrupos próprios, então existe um subgruponormal N de G, tal que G/N ' V . Neste trabalho será apresentado esses dois resultados, em seguida, será demonstradoque se um grupo G pode ser coberto por uma quantidade finita de subgrupos normais próprios, então existe um subgruponormal N de G, tal que G/N ' Cp × Cp, para algum primo p. Também será apresentado um teorema devido a B.H. Neumann e, por fim, será respondida a pergunta: pode um grupo divisível ser coberto por uma quantidade finita desubgrupos próprios?.

Palavras-chave: Cobertura de grupos, grupos divisíveis.

Referências[1] Seymour Haber and Azriel Rosenfeld. Groups as Unions of Proper Subgroups. The American Mathematical Monthly,

New York, 1959.

[2] M. Bruckheimer, A. C. Bryan and A. Muir. Groups Which are the Union of Three Subgroups. The AmericanMathematical Monthly, New York, 1970.

[3] Mira Bhargava. When Is a Group the Union of Proper Normal Subgroups?. The American Mathematical Monthly,New York, 2002.

[4] B. H. Neumann. Groups with Finite Classes de Conjugate Elements. Proc. Lond. Math., Londres, 1951.

[5] D. J. S. Robinson. A Course in the Theory of Groups. Springer, New York, 1991.

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Álgebra Multilinear

Aluno: Bruno SuzukiOrientador: Aldemir José da Silva Pinto O objetivo desse trabalho é estudar os conceitos básicos da Álgebra Multilinear, também conhecida

como Álgebra Exterior, estudados por H. Grassmann. A Álgebra Multilinear, em seu aspecto

puramente algébrico, estuda as aplicações multilineares alternadas e suas conseqüências;

geometricamente, estuda os vetores q-dimensionais em seus respectivos espaços. A noção de forma

diferencial de grau superior é um assunto da Álgebra Multilinear: uma forma diferencial de grau 1,

por exemplo, é um funcional linear e, portanto, objeto da Álgebra (Multi)linear. Uma forma de grau

mais elevado, conhecida também como forma exterior é uma forma alternada. Os objetos algébricos

conhecidos no século passado como tensores covariantes antissimétricos hoje se chamam formas

alternadas. Iniciamos o trabalho mostrando que todo espaço vetorial V possui uma base, usando o

Axioma da Escolha. Definimos aplicações multilineares, destacamos algumas como produto

tensorial e o produto interno. Um importante resultado é um isomorfismo que permite calcular a

dimensão do espaço vetorial das transformações multilineares. A seguir definimos algumas

importantes aplicações Multilineares Alternadas e alguns resultados. Apresentamos o conceito de

determinante de um endomorfismo linear e algumas propriedades do determinante. Mostramos

então que toda aplicação multilinear alternada se expressa através de determinantes; em outras

palavras: O determinante é a única aplicação multilinear alternada não trivial. A seguir,

apresentamos a noção de Produto Exterior, estudando as aplicações r-lineares alternadas cujas

imagens geram subespaços de maior dimensão possível.

O Teorema de Gelfand

Camila Fabre SehnemOrientador: Dr. Danilo Royer


Iniciamos este trabalho com o estudo de álgebras, com ênfase em álgebras de Banach. Nelas, temos algunssubespaços com propriedades particulares, como subálgebras, ideais, ideais modulares e maximais. Quandotemos um ideal, podemos obter a álgebra quociente A/I e se A for uma álgebra normada e I ideal fechado emA, temos uma norma em A/I. Mais ainda, se A é uma álgebra de Banach, assim também é a álgebra quocienteA/I, com I ideal fechado.

Definimos o espectro de um elemento, no caso unital e não unital, e mostramos que este é um subconjuntocompacto e não vazio do plano complexo, quando tratamos de álgebras de Banach. Por exemplo, no caso daálgebra das matrizes complexas, o espectro de uma matriz é o conjunto dos auto-valores desta matriz. Sendoassim, definimos o raio espectral de um elemento em uma álgebra de Banach A. Definimos o espaço caracter deuma álgebra abeliana, e mostramos que este espaço é não vazio quando tratamos de álgebras unitais de Banachabelianas.

Por fim, definimos involução, ∗-álgebras e C∗-álgebras. Trouxemos alguns resultados que são verdadeiros so-mente para esta última classe de álgebras, entre eles e o mais importante, o Teorema de Gelfand, que caracterizaC∗-álgebras abelianas.

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Quadratura do Quadrado

Edinéia Filipiak (e-mail: [email protected])Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Rio Grande do Sul, Brasil

Anderson Luiz Maciel (e-mail: [email protected])Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Rio Grande do Sul, Brasil

Resumo

A quadratura do quadrado consiste no problema de decompor umquadrado, de lado inteiro, em quadrados menores. Omesmo problema pode ser considerado para retângulos. Ao longo desse trabalho é feito um breve resumo histórico, e éapresentado alguns resultados básicos.

Palavras-chave:Decomposição, quadratura do quadrado, jogos matemáticos.

1 Introdução

A decomposição de um objeto geométrico em polígonos menoresé interessante por vários aspectos, sejam teóricos (comoa triangularização de superfícies em geometria diferencial) ou práticos (para, por exemplo, achar áreas de figuras geométri-cas complexas através de áreas de figuras conhecidas).

Considerando um quadrado de ladon, onden ∈ N, é sempre possível decompô-lo em quadrados menores, bastandopara isso, considerar a existência dosn2 quadrados menores de lados de tamanho1 que formam o quadrado inicial. Outradecomposição possível do quadrado de ladon é formada por quadrados e retângulos ou somente por retângulos. Asdecomposições acima são claramente possíveis para retângulos de dimensõesn × m, n, m ∈ N. Apresentamos algumasdecomposições de quadrados e retângulos considerando partições formadas apenas por quadrados ou retângulos, nãotodos de área unitária, mas onde todos têm lados inteiros.

Apesar de fácil enunciado esse problema está longe de ser resolvido por completo, alguns pesquisadores utilizamcomputadores de alta performance para obter listas de quadrados ou retângulos decompostos em quadrados. Algunsestudos apontam que a complexidade computacional desse problema aumenta em nível exponencial de acordo com oaumento do lado do quadrado. Nos últimos anos a procura por algoritmos eficientes para obter soluções da quadratura doquadrado têm sido o foco em diversas instituições.

São várias as tentativas de resolver o problema da quadratura de um quadrado teoricamente, porém, até o presentemomento, nenhuma teoria relacionada ao caso geral foi formulada. Várias foram as tentativas para ajustar uma teoriamatemática existente para obter a desejada decomposição. Citamos a teoria dos grafos utilizada por Brooks-Smith-Stone-Tutte (1940) [BSST], e a teoria das frações contínuas por John Conway no artigo [CJ].

2 Resultados

A primeira referência conhecida sobre a decomposição de um quadrado em quadrados menores, todos de lados inteiros, sedeve ao inglês Henry Ernest Dudeney(1857−1930). Dudeney era um entusiasta por jogos matemáticos e publicouo jogochamado “Lady Isabel’s Casket", na revista Strand Magazine(1902) e em The Canterbury Puzzels(1907). Trata-se de umproblema que consiste em decompor um quadrado em quadrados menores, todos de tamanhos distintos, e um retângulofixado de tamanho conhecido. A pessoa que resolvesse este problema teria como prêmio a mão da princesa Isabel.

O primeiro matemático a se preocupar com a formalização matemática do problema de decompor retângulos emretângulos menores foi o alemão Max Dehn(1878−1952). Ele provou, em 1903, que um retângulo pode ser particionadoem quadrados menores se, e somente se, seus lados são comensuráveis (ou seja, se os lados são inteiros múltiplos de umamesma quantidade).

Assim como Dudeney, Samuel Loyd (1841-1911), um americano conhecido como Sam Loyd, também criou famososjogos matemáticos e recreativos, e tinha verdadeiro fascínio por xadrez. Ele propôs o enigma “Mrs Perkins Quilt"(Acolcha da senhora Perkins), que trata do problema da senhoraPerkins em preencher completamente uma colcha quadrada,de lado 13, com o menor número de retalhos quadrados (com lados inteiros) possíveis, sem sobrepô-los. A única solução

1

desse problema é composta por 11 quadrados de lados: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 6, 6, 7, e é encontrada em uma das coleçõesde Dudeney, no Problema 173 em Amusements Mathematics, 1917. Na figura abaixo temos a solução para o problemada senhora Perkins, onde o lado do quadrado está indicado dentro de cada polígono1.

Figura 1: Colcha da senhora Perkins

A partir desse problema, no artigo [CJ], John Conway (eminente matemático britânico radicado nos Estados Unidos)mostrou quef(N) (ou seja, o número de quadrados de lados inteiros que decompõem um quadrado inicial de ladoN )está limitado inferiormente porlog

2N , e superiormente por6 3

√N + 1.

O trabalho de Conway é originalmente interessante por apresentar um método utilizando frações contínuas para de-compor retângulos.

O matemático polonês Zbigniew Moron (1904-1971) contribuiu significativamente para o problema da partição de umretângulo em quadrados. Em 1925, apresentou o primeiro exemplo da decomposição de um retângulo em quadrados delados inteiros e todos com diferentes tamanhos. Entre os anos de 1925 e 1928 ele provou que é impossível construir umretângulo com menos de 9 quadrados distintos.

Moron mostrou também que se em um quadrado existe um retângulo formado pelas partiçõesR1 e R2 conforme afigura 2, tais que em nenhuma dessas partições aparece um quadrado de tamanho igual ao menor lado do retângulo, ecada quadrado deR1 é diferente de cada quadrado deR2, então o quadrado pode ser particionado em quadrados todosdistintos.

Figura 2: Quadrado

Na década de 1940 os ingleses Rowland Leonard Brooks (1916-1993), Cedric Austin Bardell Smith (1917-2002),Arthur Harold Stone (1916-2000) e William Thomas Tutte (1917-2002) no artigo [BSST] utilizaram desde teoria dosnúmeros até grafos planares para obter alguns resultados naquadratura de retângulos. Entre eles destacamos: todo retân-gulo que pode ser decomposto em quadrados têm o tamanho dos seus lados inteiros e proporcionais a uma quantidade;não existe nenhum retângulo perfeito de ordem menor que 92; obtiveram generalizações do problema; também consid-eraram o problema de decompor um retângulo em retângulos menores; associaram a decomposição de um retângulo porquadrados a um diagrama de rede elétrica através de um grafo planar.

1Essa notação foi estabelecida por Zbigniew Moron.2Um retângulo é perfeito se a sua decomposição é formada por quadrados de lados distintos, e a ordem de uma decomposição é a quantidade de

elementos utilizada nessa decomposição.

2

Passando agora para a visão computacional do problema da quadratura de quadrados e retângulos, um dos pioneirosna utilização de computadores em pesquisas matemáticas foio matemático holandês Christoffel Jacob Bouwkamp (1915-2003). Uma importante notação idealizada por Bouwkamp, também conhecida como configuração de Bouwkamp, con-siste em ordenar os lados dos quadrados da decomposição do retângulo inicial. Cada decomposição possui um únicorepresentante na configuração de Bouwkamp.

Adrianus Johannes Wilhelmus Duijvestijn (1927-1998) fez uso da computação nas partições de retângulos e quadra-dos, mestre em engenharia elétrica e matemática, obteve seudoutorado em 1962 tendo como tema da tese “Com-putação Eletrônica de Q-retângulos", sob orientação do matemático holandês Christoffel Jacob Bouwkamp. Duijvestijne Bouwkamp estabeleceram que a menor ordem de um quadrado particionado em quadrados, todos distintos3, deve sermaior ou igual a 20. Eles não puderam prosseguir a pesquisa com uma ordem maior que 19. Isto se deve ao aumentoexponencial do número de retângulos particionados em quadrados e o fato de os computadores da época não serem tãoeficientes para processar as informações necessárias.

Os resultados de Duijvestijn e Boukamp foram aprimorados, em 1973, por N.D. Kazarinoff e R. Weitzenkamp quemostraram que não existe um quadrado particionado em quadrados, todos distintos4 de ordem menor que 22, assim comos resultados que se tinham até o momento, os quadrados particionados em quadrados de ordem 20 ou 21 eram simples eos de ordem 22, 23 ou 24 eram simples ou compostos.

Agradecimentos

Esta pesquisa teve apoio financeiro do Programa de Educação Tutorial - PET/SESu.

Referências

[A] ANDERSON, S.E.www.squaring.net2011.Disponível em:< http://www.Squaring.net>. Acesso em 24/10/2011.

[BSST] BROOKS, R.L.; SMITH, C.A.B.; STONE, A.H.; TUTTE, W.T.; The dissection of rectangles into squares,Duke Mathematical Journal, vol.7, December, 1940, 312-340.

[C] CHUNG, F.R.K.; GILBERT, E.N.; GRAHAM, R.L.; SHEARER, J.B.; LINT, V.J.M.; Tiling rectangles with rect-angles, Mathematics Magazine vol.55, No.5, November 1982, 286 - 291.

[CJ] CONWAY, J.H.;Mrs Perkins’s Quilt , Proceedings of The Cambridge Philosophical Society, vol.60, July 1964,363-368.

3de modo que o quadrado particionado não possua um subquadrado já decomposto, tais quadrados são chamados de simples4de modo que o quadrado particionado possua um subquadrado jádecomposto, tais quadrados são chamados de compostos

3

Transitividade em R20

Joao Augusto Navarro Cossich (*)

Neste trabalho, apresentaremos as subalgebras de Lie

g ⊂ gl(2,R) = A;A e matriz quadrada de ordem 2 com entradas reais

que sao transitivas em R20 = R2 − (0, 0) no sentido de que dados u, v ∈ R2

0 existe A ∈ g tal queAu = v.

No inıcio do trabalho, conseguimos mostrar um teorema o qual nos diz que as subalgebras gl(2,R),sl(2,R) = A ∈ gl(2,R); tr(A) = 0, onde tr(A) representa o traco da matriz A e so(2,R)⊕RI = A ∈

gl(2,R);[a −bb a

]com a, b ∈ R sao transitivas em R2

0. O restante do trabalho, o qual e a parte

mais trabalhosa do projeto, e dedicado a mostrar que essas subalgebras de Lie de gl(2,R) transitivasem R2

0 que encontramos sao unicas. Para isso, mostramos varios lemas tecnicos e proposicoes que nospermitiram provar a unicidade dessas algebras de Lie.

No estudo de teoria de Lie, e sabido que cada grupo de Lie tem uma algebra Lie associada a ele.Dessa forma, uma maneira de verificar que um grupo de Lie e transitivo em uma certa variedade conexa(como por exemplo R2

0), no sentido usual de transitividade de grupos, e estudar a transitividade de suaalgebra de Lie. Isto e de certa forma uma motivacao, pois quando apelamos para o estudo da algebrade Lie de um dado grupo de Lie somos capazes de realizar calculos utilizando basicamente ferramentasde Algebra Linear.

(*) Resumo do trabalho de iniciacao cientıfica financiado pelo CNPq sob orientacao do Prof. Dr.Alexandre Jose Santana.

1

SOBRE A MATEMÁTICA DO ANTIGO EGITO

Autor: Rodrigo de Freitas Gabert Universidade Federal de Santa Maria - Departamento de Matemática

97105-900, Santa Maria, RSE-mail: [email protected]

Orientador: Prof. Dr Ricardo FajardoUniversidade Federal de Santa Maria - Departamento de Matemática


Co-autor: Ronaldo Bressan PesUniversidade Federal de Santa Maria – Departamento de Matemática


O presente resumo trata de um projeto de iniciação científica sobre as raízes históricas da matemática elementar, desenvolvido na Universidade Federal de Santa Maria envolvendo dois acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática e um professor orientador, onde foram trabalhados os seguintes temas:a Matemática Egípcia, a Matemática na Babilônia e o Começo da Matemática Grega. Contudo, será trabalhada apenas a Matemática Egípcia.

Introduzir-se-á a notação numérica egípcia de quase 3000 anos atrás, dando uma ideia de como eles representavam os números. Será apresentada a aritmética feita no Antigo Egito, fazendo paralelos entre as ideias de como eles faziam as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão, com a maneira que hoje é feita.

Além disso, será abordado o problema 50 do Papiro Rhind, que trata da maneira pela qual os antigos egípcios calculavam a área de um círculo inscrito em um quadrado, que se comparada à fórmula atual podemos extrair uma aproximação para o número irracional π.

Usar-se-á como referência básica de estudo e investigação o livro The Historical Roots of Elementary Mathematics de autoria de Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones e Jack D. Bedient.

Na realização deste trabalho eram feitos encontros semanais com duração de duas horas onde os acadêmicos apresentavam o conteúdo estudado na referência básica. Após a apresentação, tinha-se um período de discussão onde eram trabalhadas as dúvidas, bem como ideias de como usar o conteúdo estudado na sala de aula da escola básica.

Tal trabalho faz-se necessário uma vez que alguns conceitos matemáticos não são estanques e não surgem do acaso, sendo necessário que voltemos ao tempo recheando essas ideias com um pouco da história, oportunizando ao acadêmico saber de como aquele conceito surgiu e de como o mesmo desenvolveu-se ao longo do tempo.

Os resultados esperados são maior conhecimento específico sobre o desenvolvimento histórico da numeração e aritmética egípcia e também geometria, ampliar a gama de conhecimentos do acadêmico com relação à História da Matemática e entender como os conceitos matemáticos de desenvolveram ao longo do tempo.

Portanto, expondo o acadêmico a uma “nova” notação numérica, embutida em um contexto histórico, cria-se uma “máquina do tempo” capaz de levá-lo ao passado, mergulhando-o nas raízes históricas da matemática elementar.

mailto:[email protected]



O grupo simétrico e as suas representações

Aluna: Thamara PetroliOrientadora: Mari Sano (UTFPR)

Este trabalho de iniciação cientifica envolve dois conceitos fundamentais:

o conceito de grupo e o de espaço vetorial, cada um deles satisfazendo

certas regras. A relação entre estas duas estruturas é muito interessante

e é feita atraves de uma representação. Estas representações tomam a operação

de um grupo em uma ação por simetrias sobre o espaço vetorial.

O objetivo do projeto é estudar a Teoria dos Grupos e as suas representações,

usando principalmente o exemplo específico das representações do grupo simétrico

S(n) de bijeções dos conjuntos de n elementos, enfatizando o aspecto combinatorial e as

tabelas de Young. A importância do grupo simétrico é exemplificada pelo teorema de

Cayley, que garante que todo grupo finito pode ser imerso em S(n) para algum n.

Estudamos a relação entre a estrutura do grupo S(n) (em particular, classes conjugadas)

e a descrição combinatorial das suas representações usando as tabelas de Young.

A bibliografia principal é o livro "The symmetric group" de Bruce Sagan.

Área do Conhecimento: Educação Matemática Autores: Jair Lucas Jorge, Guilherme Almeida, Paulo Henrique Rodrigues e Victor Hugo dos Santos Gois - UEL

Alguns apontamentos sobre a Álgebra, o pensamento algébrico e o Ensino da Álgebra

Introdução

De uma maneira geral, o ensino de Álgebra no Brasil, ainda assume uma perspectiva tradicional, tendo sua primeira aparição no Ensino Básico por volta da 6ª série (7º ano). Segundo Caldeira (2010), o ensino desse ramo da Matemática tem sido caracterizado pelo “uso de símbolos literais e operações que são realizadas sobre esses símbolos, e a aprendizagem tem se limitado à memorização de regras para a manipulação simbólica.” (p.34)

Muitos podem ser os fatores para essa concepção, um deles pode ser o modo como uso do livro didático é assumido pelos professores. Fazemos essa afirmação por três motivos: o primeiro baseado no que Lins e Gimenez (1997) mencionam sobre o fato dos livros didáticos apresentarem forte tendência para uma concepção letrista da Álgebra em que a técnica é seguida pela prática (exercícios); o outro motivo é baseado em Kieran (1992) ao afirmar que os alunos sentem dificuldades pela Álgebra ensinada pelos professores que por sua vez apresentam somente a Álgebra que está nos livros didáticos; o terceiro, e último motivo é baseado no que mostram Silva e Junior (2005) ao afirmarem que aproximadamente nove entre dez professores utilizam em todas as suas aulas o livro didático.

Segundo os PCN (1998), é mais favorável propor situações que levem os alunos a construir noções algébricas a partir da observação de tabelas e gráficos, ao invés de atribuir um significado de forma mecânica, apenas fazendo repetições com equações e expressões.

Diante disso, discussões que tratam a Álgebra e o seu Ensino de uma maneira não tradicional são bem vindas.

Materiais e Métodos

Este trabalho é resultado de um levantamento bibliográfico, a respeito dos temas de Álgebra, Ensino de Álgebra e pensamento algébrico, que realizamos no grupo de pesquisa sobre álgebra e pensamento algébrico. Inicialmente foi proposto para nós um questionário cujas respostas deveriam escritas em diferentes abordagens, respaldadas por referenciais teóricos distintos.

Em seguida, sistematizamos em um único texto todas essas respostas o que gerou subsídios para criarmos este trabalho. Com isso, o trabalho mostra-se com caráter essencialmente teórico.

Resultados e Discussão

Caracterização da Álgebra e do Pensamento Algébrico

Segundo Falcão (1993), podemos caracterizar a Álgebra [...] como um conjunto de procedimentos matemáticos que nos permite representar e resolver problemas através dos quais somente com os conceitos aritméticos não conseguiríamos resolver. (SANTOS e SANTOS, 2011, p. 2 apud FALCÃO, 1993).

Para Lins e Gimenez (1997, p.137), a Álgebra consiste em “um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade ou desigualdade”.

Assumimos a perspectiva de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) ao classificar o desenvolvimento da Álgebra. Nessa idéia, a Álgebra pode ser classificada pelas diversas culturas que a constituíram ou ainda por meio de sua história. Com isso, podemos nos basear em contribuições de diversas culturas que constituíram a Álgebra, nas quais se destacam a “álgebra egípcia”, a “álgebra babilônica”, a “álgebra diofantina”, entre outras.

Ainda podemos classificar o desenvolvimento da Álgebra pela história, na qual se divide em dois campos: a Álgebra Clássica ou Elementar e a Álgebra Moderna ou Abstrata.

Com relação ao desenvolvimento da linguagem da Álgebra, podemos classificá-la em função de suas fases evolutivas, que podem ser distinguidas em três momentos: a retórica ou verbal, a sincopada e a simbólica.

Também consideramos que o desenvolvimento da Álgebra está ligado com a significação que é atribuída aos símbolos desta linguagem.

Finalmente, podemos classificar o desenvolvimento da Álgebra, com um objetivo fundamental: o da resolução de equações. Nisto se distinguiu três períodos: o intra-operacional, o interoperacional e o transoperacional.

Com relação ao pensamento algébrico, segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) podemos caracterizá-lo.

[...] pela existência de certos elementos como: percepção de regularidades, de aspectos invariantes contrastando com os variantes, de tentativas de expressar ou explicar a estrutura de uma situação-problema e da presença de um processo de generalização (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, apud KEPPKE, 2007, p. 24)

Segundo Lins e Gimenez (1997) o pensamento algébrico, um modo de produção de significados, possuí três características fundamentais, que são:

1. Produzir significados apenas em relação a números e operações aritméticas (aritmeticismo); 2. Considerar números e operações apenas segundo suas propriedades, e não “modelando” números em outros objetos, por exemplo, objetos “físicos” ou geométricos (internalismo); 3. Operar sobre números não conhecidos como se fossem conhecidos (analiticidade) (LINS E GIMENEZ, 1997, p. 151).

Entendemos então que pensar algebricamente é ser capaz de compreender,

entender e utilizar conceitos algébricos. Segundo Ponte, Branco e Matos (2009) as perspectivas da Álgebra escolar,

devem ser caracterizadas pelo desenvolvimento do pensamento algébrico. Os autores complementam ainda que o pensamento algébrico, no que diz respeito ao estudo das estruturas, se dá na compreensão de padrões, relações e funções. Quanto à simbolização, o mesmo ocorre através da representação e da análise de situações e estruturas matemáticas, usando símbolos algébricos. Ao que diz respeito à modelação, utiliza-se de modelos matemáticos para representar e envolver relações que são quantitativas. E

por fim, o pensamento algébrico diz respeito ao estudo da variação no sentido de análise quanto à variação em diversos contextos.

Conclusão

O pensamento algébrico pode ser manifestado de diferentes formas. Para Fiorentini e Miorim (1993) tanto do ponto de vista histórico quanto do ponto de vista cognitivo a linguagem algébrica é também resultado de uma forma especial de pensamento. Sendo assim, sua manifestação não é, somente, resultado do desenvolvimento de um cálculo literal e da manipulação da linguagem simbólica da Álgebra. Com isso, o pensamento algébrico pode ser desenvolvido antes mesmo de uma linguagem simbólica, e isso acontece quando

[...] a criança estabelece relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos (como veremos, mais adiante, na Tarefa I); percebe e tenta expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema; produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; ou, reciprocamente, produz vários significados para uma mesma expressão numérica; interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; transforma uma expressão aritmética em outra mais simples; desenvolve algum tipo de processo de generalização; percebe e tenta expressar regularidades ou invarianças; desenvolve/cria uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente... (FIORENTINI, FERNANDES e CRISTOVAO, 2005, p.5)1

Diante disso, faz sentido uma abordagem que objetive a manifestação do pensamento algébrico já nas séries iniciais do Ensino Fundamental, ideia já defendida por Lins e Gimenez (1997).

Com isso, discussões sobre os critérios de escolha de tarefas para serem levadas à sala de aula são bem vindas. Se o objetivo for a manifestação do pensamento algébrico já nas séries iniciais, tarefas que têm o “poder” de manifestar os aspectos anteriormente citados, devem ser discutidas.

Referências

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

FIORENTINI, D. ; FERNANDES, F. L. P. ; Cristovão, E.M.. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do 1 A tarefa I se tratava de uma sequência de bolinhas e os alunos deveriam, por meio de suas estratégias, encontrar a quantidade de bolinhas em determinado termo.

pensamento algébrico. In: CIBEM V- Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática, 2005, Porto. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico, 2005. v. 1. p. 1-13.

FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar... a Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições (UNICAMP), v. 4, n.1, p. 78-91, mar. 1993. KIERAN, C. The learning and teaching of algebra. Montreal: Université du Québec à Montréal, 1992. KEPPKE, C. L. Álgebra nos Currículos do Ensino Fundamental. São Paulo/ SP, 2007. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. LINS, R. C; GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI. 4 ed. Campinas: Papirus Editora, 1997, 176 p.

PONTE, J. P., BRANCO, N., e MATOS, A. Álgebra no ensino básico. Lisboa: Ministério da Educação, Direcção Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular, 2009.

Mapletprogramada via softwareMaple 15para resolução linha alinha de Equações Diferenciais Ordinárias de Bernoulli

Adilandri Mércio Lobeiro (e-mail: [email protected])Clícia Geovana Alves Pereira (e-mail: [email protected])

Depto de Informática, COINF, UTFPR-CM, 87301-006, Campo Mourão, PR - BR

Liliana Madalena Gramani (e-mail: [email protected])Centro Politécnico, Depto de Matemática, UFPR-Campus Universitário, 81531-990, Curitiba, PR

Oilson Alberto Gonzatto Junior (e-mail: [email protected])Bolsista UTFPR-CM - EDITAL PROREC 05/2011 - (INOVAÇÃO), Campo Mourão, PR

Resumo

Neste trabalho, com o auxílio do softwareMaple 15e sua viabilidade para a programação matemática, idealiza-se umprograma capaz de resolver Equações Diferenciais Ordinárias de Bernoulli, linha-a-linha, no intuito de, além de solu-cionar problemas práticos advindos dos cursos de engenharia, auxiliar na fixação mental das etapas lógicas sugeridaspara a resolução destas equações, por meio da visualização e entendimento de todas as partes do processo. O softwareimplementado é caracterizado como umaMaplet, um programa secundário que pode ser escrito por qualquer usuárioutilizando-se da linguagem de programação disponibilizada peloMaple. Tal ferramenta supre possíveis necessidadesque não foram alcançadas pelos instrumentos usuais do software, desta forma é possível programá-la de acordo com asconveniências desejadas. O trabalho é encadeado por uma abordagem geral acerca de Equações Diferenciais, seguida dadelimitação dos tipos de problemas para os quais propõem-se a solução,EDOs de Bernoulli, a resolução de um exemploda maneira tradicional, como estamos acostumados, juntamente com a alternativa de se trabalhar com aMapletdesenvol-vida para este trabalho, seguida por fim, das conclusões deduzidas após a utilização dos diferentes procedimentos.

Palavras-chave:Programação Matemática, Equação Diferencial Ordinária, Maplet.

1 Introdução

O estudo das equações diferenciais iniciou em meados do século XVII, quando o cálculo foi descoberto independen-temente por Newton (c. 1665) e Leibniz (c. 1684). A obraPrincipia (1687), de Newton, deu início à física e matemáticamodernas, pois, além do desenvolvimento do cálculo, foram apresentadas suas três leis fundamentais do movimento, quetornaram possível a modelagem matemática dos fenômenos físicos. Os avanços na teoria das equações diferenciais, his-toricamente, se deram com o desenvolvimento dos conhecimentos adquiridos ao tentar lidar com modelos específicos dafísica, no entanto, o que eram apenas fragmentos de estudo, hoje é uma área bem definida e coerente da matemática [5].

A matemática, de maneira geral, não é vista com bons olhos pelos alunos e, em um curso de equações diferenciaisnão é diferente, estecomportamento defensivopor parte deles se deve a inúmeros fatores, dentre os quais, pode-se incluira quantidade excessiva de conteúdos abordados no curto espaço de tempo disponibilizado para o curso bem como ametodologia utilizada pelo professor que, comumente é aulaexpositiva [2]. É importante ressaltar que a utilização desoftwares interativos é uma ferramenta adicional de grandevalia ao ensino, interfaces gráficas inteligentes podem serdesenvolvidas para cada temática potencializando o aprendizado, esta experiência tem dado certo em países como o Japão[1].

Neste trabalho, utilizando-se da viabilidade para a programação matemática disponibilizada pelo softwareMaple15, idealizamos um novo programa capaz de resolver Equações Diferenciais Ordinárias de Bernoulli [4], linha a linha,no intuito de, além de solucionar problemas práticos advindos das ciências aplicadas, auxiliar na fixação mental dasetapas lógicas sugeridas para a resolução destas equações,por meio da visualização e entendimento de todas as partes doprocesso.

1

O software implementado por nós é caracterizado como umaMaplet, um programa secundário [3] que pode ser escritopelos usuários utilizando-se a linguagem de programação disponível noMaple, tal ferramenta supriu uma necessidade quenão foi alcançada pelos instrumentos mais usuais do software, desta forma programamos uma extensão adicional, comobjetivos mais específicos. O desenvolvimento englobou a classificação de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO)qualquer, e focou na resolução de uma Equação Diferencial Ordinária de Bernoulli, uma equação diferencial na forma:

dy

dx+ P (x)y(x) = f(x)y(x)n, onden é um número real qualquer

Do início ao fim, o usuário daMaplet é guiado pelo programa e, com o decorrer do processo é instruído linha alinha acerca das etapas necessárias à resolução, abrangendo substituições adequadas para simplificação e evidenciandoa existência de Soluções Singulares, que têm sua grande relevância exposta por meio da plotagem do Campo de Dire-ções e da Solução Geral (utilizando-se algumas Soluções Particulares escolhidas pelo usuário), além disso, é tambémpossível resolver e visualizar graficamente um Problema de Valor Inicial (PVI), que representa uma solução específica dedeterminado problema.

O trabalho é encadeado pela apresentação teórica da resolução comumente utilizada para estas equações, seguida dealgumas imagens da resolução do exemplo

xdy

dx+ 4y = x3y3,

resolvido por meio da utilização daMaplet programada para este fim, obtendo a Solução Geral analítica egráfica daequação, e a solução também analítica e gráfica de um PVI.

2 Equação de Bernoulli

Definição 1(Equação de Bernoulli). A equação diferencial

dy

dx+ P (x)y(x) = f(x)y(x)n (1)

em quen é um número real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli.[4]

Método de Solução:Sey 6= 0, a equação(1) pode ser escrita como

y−n dy

dx+ P (x)y−n · y = f(x) .

Então

y−n dy

dx+ P (x)y1−n = f(x) . (2)

Se fizermosw = y1−n, comn 6= 0 en 6= 1, temos

dw

dx= (1− n)y−n dy

dx

Com esta substituição, a equação(2) transforma-se na equação

dw

dx+ (1− n)P (x)w = (1− n)f(x) , (3)

que é uma EDO linear. Resolvendo(3) e depois substituindoy1−n = w, obtemos a solução de (1).

Observação. a)Sen = 0 oun = 1 temos, em particular, uma EDO Linear de Primeira Ordem;

b) SeP (x) = 0 ouf(x) = 0 temos, em particular, uma EDO separável;

b) Sef eP forem constantes, temos uma EDO Quadratura;

3 Resolução Via Maplet

Dada a equação inicialx dy

dx+ 4y = x3y3, utilizamos aMapletpara realizarmos as seguintes etapas:

• Classificação (Figura 1);

2

• Organização na forma de uma Equação de Bernoulli;

• obtenção da Solução Singulary(x) = 0;

• Realização da substituiçãow = y1−n (Figura 2);

• Organização da equação resultante para sua forma Linear usual;

• Determinação do fator de integraçãok(x);

• Multiplicação da equação por tal fator;

• Integração da equação e obtenção de seu resultado emw;

• Retorno à variável de origemy;

• Plotagem de algumas de suas soluções (Figura 3) e, por fim, a resolução e plotagem de um PVI (Figura 4).

Figura 1: Equaçãox dy

dx+ 4y = x3y3 classificada pelo

software.

Figura 2: Alguns passos depois e, realizadas as substi-tuições, a equação torna-se do tipo Linear.

Figura 3: Solução Geral da equaçãox dy

dx+4y = x3y3,

para todo inteiroC ∈ [−5, 4].Figura 4: Solução do PVIx = 2, y = 4 para equaçãoinicial x dy

dx+ 4y = x3y3.

Referências

[1] CHITOSE I. S. T..The PC-Maestro Project. 2004.

[2] DIAS, T. C.. O Ensino do Cálculo Diferencial e Integral e o Pensamento Reversível. Dissertação de Mestrado, UCB,1999.

[3] EBERHART, C.. Problem solving with maple - a handbook for calculus students. Department of Mathematics,University of Kentucky, 2003.

[4] MURPHY, A. B. Equações Diferenciais. blábláblá

[5] ROBINSON, J.C.. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Department of Mathematics, CambridgeUniversity Press, 2004.

[6] ZILL, D. G.; CULLEN, M. R.. Equações Diferenciais. São Paulo, Makron Books, 2003.

3

O Critério de Estabilidade de Nyquist-Mikhailov

(Pôster)

Rian Lopes de Lima Depto de Matemática, UFSM 97105-900, Santa Maria, RS

E-mail: [email protected]

Prof. Dra. Taísa Junges Miotto

Universidade Federal de Santa Maria - Departamento de Matemática 97105-900, Santa Maria, RS


Prof. Dra. Karine Magnago Universidade Federal de Santa Maria - Departamento de Matemática

97105-900, Santa Maria, RS


Resumo:

Em teoria é utilizado o chamado critério de Nyquist-Mikhailov, que faz uso da

interpretação geométrica dos números complexos, o que é natural, uma vez que o problema é

essencialmente geométrico (BASSANEZI, 1988).

Seja

e

o operador derivada

com

, ; estudar-se-á o comportamento das soluções e a estabilidade, do

sistema quando , no qual é contínua em e é um operador

definido em .

Para tanto, usaremos o critério de estabilidade de Nyquist-Mikhailov, o qual consiste

em analisar . Pelo teorema fundamental da Álgebra, temos:

(1)

tal que é raíz de com multiplicidade algébrica para e

.

O argumento de um número complexo é o ângulo formado pelo vetor associado a

no plano Argand-Gauss e o eixo real.

Após aplicar em tal que , vamos analisar a variação do

argumento de quando percorre o eixo real de a : .

Usando (1) temos

, para tanto,

precisamos analisar a variação do argumento de . No plano complexo, é

um vetor que depende do fato de estar no semiplano direito ou esquerdo em relação ao

eixo imaginário. Sendo as raízes que estão no semiplano esquerdo e as raízes que estão

no semiplano direito, temos:

i) crescente e quando

ii) decrescente e quando

Por i) temos e por ii) temos

.

Portanto, podemos escrever onde é o número de

raízes à esquerda e é o número de raízes à direita.

Temos que é simétrica e conseguimos escrever tal que

é uma soma de funções pares e é uma soma de funções ímpares; é

chamada de Curva de Mikhailov.

Outro resultado importante mostra que:

(2).

Se todas as raízes estiverem no semiplano esquerdo, teremos e ,

o que garante a estabilidade assintótica (A-estabilidade) do sistema.

Se todas as raízes possuem então e assim, por (2), temos que o

sistema é A-estável se

.

Resumindo:

Critério de Nyquist-Mikhailov: é A-estável na origem

Passos para o uso do critério:

1. Dado de grau , reduzir para a forma .

2. Esboçar a Curva de Mikhailov para .

3. Achar e concluir se

.

Este critério de estabilidade é amplamente exemplificado por NHAVOTO (2007) e

aplicado em Teoria do Controle por GIRALDO e TABARES (1997).

Referências:

BASSANEZI, R. C.; FERREIRA, W. C. Equações Diferenciais com Aplicações. Ed. HARBRA ltda. São

Paulo, SP, 1992

NHAVOTO, J. A. Sobre alguns critérios de C-estabilidade para sistemas de equações

diferenciais. 2007. Disponível em: < http://www.saber.ac.mz/bitstream/10857/3038/1/MT-

015.pdf >. Acesso em: 10 nov, 2011, 15:09:48.

GIRALDO, D.; TABARES, I. Teoría de Control. 1997. Disponível em:

<http://www.albertomorales.org/Book_Control/Teoria%20de%20Control%20(Giraldo%20y%2

0Tabares).pdf>. Acesso em: 25 mar, 2012, 20:12:26.

APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA LINEAR: COMPUTAÇÃO GRÁFICA, DEFORMAÇÕES E MORFISMOS

Mariana Souza Innocenti, Ângela Marta Pereira das Dores Savioli, Débora Cristiane Barbosa Kirnev

Depto de Matemática, UEL Londrina, PR


Resumo:Estudamos algumas aplicações da

álgebra linear, tais como: computação gráfica, deformações e morfismos. A computação gráfica trata da geração de imagens em três dimensões transmitida em um monitor de computador por meio da utilização de matrizes. Já a distorção ocorre por meio da deformação, e, na fusão de deformações obtêm-se o morfismo, ambas utilizando transformações lineares.

Introdução:Este trabalho aborda algumas das

aplicações da álgebra linear como a computação gráfica, que é uma área da computação que estuda a geração de imagens. Por meio da computação gráfica podemos deslocar, rotacionar e redimensionar uma imagem; essas transformações são chamadas de translação, rotação e homotetia respectivamente. Segundo Anton e Rorres a translação significa deslocar uma imagem para outra posição. Para transladar uma imagem devemos somar a matriz de coordenadas, que é a matriz da imagem, 3xn, cujas colunas são as coordenadas dos n pontos da imagem. A rotação é um giro em torno de um eixo coordenado; trata-se de um método mais complexo de transformação, pois envolve trigonometria e transformações lineares. E a homotetia redimensiona uma imagem por meio da ampliação e redução.

As deformações e morfismos estão entre as aplicações mais interessantes da álgebra linear, utilizadas em filmes de animação, efeitos especiais, envelhecimento e rejuvenescimento de imagens, entre outros.

Materiais e métodos:

Realizamos seminários e discussões a respeito de vários tópicos, bem como a demonstração de alguns resultados. Destacamos:

Homotetia: é o primeiro tipo de transfor-mação, significa ampliar ou reduzir distân-cias dos pontos de um espaço em relação a um ponto fixo. Homotetia ou mudança de escala, consiste em mudar as escalas da imagem ao longo das direções x,y,z por fa-tores α, β, γ respectivamente. Isto significa que um ponto Pi que tem coordenadas (xi, yi, zi) na imagem original, será transfor-mado no novo ponto P0 de coordenadas (αxi, βyi, γzi) na nova imagem. Isto tem o efeito de transformar um cubo unitário da imagem original em um paralelepípedo de dimensões α×β×γ. Para calcularmos a nova matriz de coordenadas da nova imagem devemos multiplicar a matriz de coordenadas da imagem original pela matriz diagonal dos fatores α, β, γ.

Translação: significa transladar ou deslo-car um objeto para uma nova posição da imagem. Para realizarmos a translação de-vemos somar a matriz de coordenadas ao chamado vetor translação, definido por uma matriz 3x n, onde n é o numero de co-ordenadas da imagem. De uma forma su-cinta, suponha que queiramos mudar uma imagem existente de tal modo que cada ponto Pi com coordenadas (xi, yi, zi) seja movido para um novo ponto P0 com coor-denadas (xi + x0, yi + y0, zi + z0). Definindo a matriz 3 × n,

todos os n pontos da imagem determinados pela matriz de coordenadas P podem ser transladados por adição matricial por meio da equação P´= P + T.

Rotação: consiste em um método complexo da computação gráfica, pois envolve trigono-metria além de transformações lineares. É um giro da imagem em torno de eixos x, y e z, no caso de imagens da terceira dimensão. Para cada eixo de rotação temos uma forma de cal-cular a nova matriz de coordenadas. Segue a rotação em torno do eixo z:

Analogamente podemos obter rotações em torno dos eixos x e y. As rotações em torno dos três eixos coordenados podem ser combinadas para obter imagens oblíquas de um objeto.

Deformações: um exemplo de uma deformação simples é uma região triangular no plano, cujos vértices são três pontos não-colineares v1, v2, v3. Chamamos de triângulo inicial. Se v é um ponto qualquer no triangulo inicial, existem constantes únicas c1 e c2 tais que v- v3 = c1(v1- v3) + c2(v2- v3), onde c1+ c2+ c3 = 1. Em seguida dados os três pontos não colineares w1, w2, w3 dos vértices de um triangulo final, existe uma única transformação afim que leva v1 em w1, v2 em w2 e v3 em w3. Ou seja, existe uma única matriz invertível M e um único vetor b tais que wi = M vi + b para i = 1, 2 e 3. Além disso, por esta transformação afim, a imagem w do vetor v = c3v3+ c2v2 + c1v1, é: w = c1w1+ c2w2+ c3w3. Tal transformação é o que denominamos deformação. Há também as deformações dependentes do tempo, trata-se de um conjunto de deformações geradas quando os pontos de vértice da imagem inicial são movidos continuamente ao longo do tempo desde suas posições iniciais até as finais.

Morfismos: um morfismo dependente do tem-po pode ser descrito como uma combinação de duas deformações dependentes do tempo de duas imagens distintas, usando duas triangula-ções, que associam características correspon-dentes das duas imagens. Uma das duas ima-gens é escolhida como a imagem inicial e a outra como a imagem final. Primeiro, geramos uma deformação dependendo do tempo de t = 0 a t = 1 na qual a imagem inicial é deformada para a forma da imagem final. Ao gerarmos uma deformação dependendo do tempo de t = 0 a t = 1 na qual a imagem final é deformada para a forma da imagem inicial. Finalmente, para cada instante t entre 0 e 1 criamos um morfismo das duas deformações no instante t usando uma média ponderada dos dois níveis de cinza.

Resultados e discussão

Por meio dos nossos estudos realizamos aplicações das transformações, sejam elas homotetias, translações, rotações, deformações ou morfismos. Além de demonstrar algumas proposições relacionadas ao assunto.

Conclusões

Neste trabalho foi possível explorar aplicações da Álgebra Linear, que comumente não são estudadas nesta disciplina, contribuindo para o enriquecimento do aprendizado.

Agradecimento

Ao CNPq pelo apoio financeiro.

Referências

[1] Anton, H.; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8.ed. Tradução Claus Ivo Doering Porto Alegre: Bookman, 2001.

[2] Boldrini, J.L. et al. Álgebra Linear. 3.ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.

[3] Hoffman, K.; Kunze, R. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: LTC, 1976.

[4] Lang, S. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Edgard Blücher, 1971.

[5] Lima, E. L. Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2000.

CAOS REDUZIDO A MAPAS UNIDIMENSIONAIS

Aluno: MATHEUS AUGUSTO BANNACK DINIZ (PET)

Orientador: JOSÉ RENATO RAMOS BARBOSA

A teoria do caos busca no acaso aparente uma ordem intrínseca determinada por leis precisas.

Isso siginifica que podem existir resultados determinísticos gerados de forma praticamente

aleatória. O clima, o quebrar das ondas no mar, o crescimento populacional, arritmias cardíacas,

flutuação do mercado financeiro, a formação de uma nuvem no céu, entre outros, são processos

aparentemente casuais que apresentam contudo, uma certa ordem. Iremos nos ater à

apresentação de três condições sobre um mapa f: V → V (sendo V um intervalo), as quais serão

fundamentais para averiguar se o mapa apresenta caos ou não. Adotaremnos V como sendo o

intervalo [0,1]. Tais condições são: dependência sensível às condições iniciais, transitividade e

existência de um conjunto de pontos periódicos que é denso em [0,1]. Após a definição dessas

três condições, introduziremos o conceito de iteradas sinuosas (Wiggly Iterates). Sendo assim, se

f é um mapa que possui iteradas sinuosas, f apresenta caos, visto que existem resultados que

relacionam a existência de iteradas sinuosas com cada uma das três condições necessárias para

a existência de caos. Levando em consideração tais fatos e mais alguns resultados, mostraremos

que o mapa logístico e o mapa da tenda apresentam caos para um determinado parâmetro. Por

fim, definiremos Derivada Schwariziana e com isso, teremos ferramentas para enunciar um

teorema que relaciona tal definição com a existência ou não de comportamento caótico para um

certo mapa f: V → V.

Otimização de um Reator de Síntese de Amônia

Carolina Borges (e-mail: [email protected])Esdras Penêdo de Carvalho (e-mail: [email protected])

Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, Brasil

Resumo

A amônia é uma das substâncias mais produzidas no mundo e sua produção é utilizada como matéria-prima para afabricação de fertilizantes, explosivos, produtos farmacêuticos, fibras e plásticos, produtos de limpeza e outros produtosem geral. Devido sua ampla aplicabilidade, a modelagem e a simulação do processo têm recebido atenção especial.A produção de amônia depende da temperatura do gás de alimentação no topo do reator, da pressão parcial dos gasesreagentes e do comprimento do reator. O modelo matemático que descreve este processo é dado por um sistema de trêsequações diferenciais e a busca das condições ótimas de operação do reator tem como critério de desempenho o máximoretorno financeiro. Neste trabalho apresentamos resultados de simulações e de estimativas de parâmetros com o métodode otimização de Nelder-Mead.

Palavras-chave: Modelagem matemática, programação não-linear, otimização de reatores.

1 IntroduçãoA amônia (NH3) é um dos produtos químicos mais importantes para o ser humano, sendo uma das cinco substânciasproduzidas em maior quantidade no mundo. A maior parte de sua produção é utilizada como fertilizante ou como matéria-prima para a fabricação de outros fertilizantes nitrogenados (sulfato de amônio, fosfato de amônio, nitrato de amônio euréia). É também utilizada na produção de ácido nítrico (para preparação de explosivos), no refino de petróleo, nafabricação de produtos farmacêuticos, na fabricação de fibras e plásticos (nylon e outras poliamidas), e de produtosde limpeza (detergentes e amaciantes de roupas) etc. Como resultado disso, a modelagem e a simulação do processo deprodução de amônia têm recebido considerável atenção dentre os processos industriais ([1], [3], [4], [5], [6]). Atualmente,as principais plantas de produção utilizam o processo de Haber-Bosch para síntese de amônia a partir de uma misturagasosa de N2 e H2, como mostra a reação a seguir:

N2 + 3H2 2NH3. (1)

De acordo com o processo de produção, a mistura de N2 e H2 é colocada em um reator que está a uma temperaturade 500C e pressão de 200 atm. Ao ocorrer a reação e atingir o equilíbrio, a mistura de N2 e H2 é transferida para umcondensador e bombeada de volta para o reator. Nesta etapa a amônia formada se encontra no estado gasoso, mas quandopassa pelo condensador se converte em líquida. Estando a amônia liquefeita é então separada para poder ser utilizada.A reação de síntese (1) é reversível, exotérmica (∆H = −92 kJ/mol) e catalítica. O equilíbrio químico é desfavorecidopela baixa atividade dos catalisadores à base de ferro e mesmo trabalhando-se em altas pressões, de todo gás que passa noreator não mais que 20–25% é convertido em amônia. O processo é modelado considerando-se o balanço de energia parao gás de alimentação, o balanço de energia para o gás reagente e o balanço de massa para o N2, respectivamente:

dTf

dx= − US1

WCpf(Tg − Tf ) (2)

dTg

dx=

US1

WCpg(Tg − Tf ) +

(−∆H)S2

WCpg(f)

[K1

1.5pN2pH2

pNH3

−K2pNH3

1.5pH2

], (3)

dNN2

dx= −f

[K1

1.5pN2pH2

pNH3

−K2pNH3

1.5pH2

]. (4)

onde K1 = 1.78954 × 104 exp(−20800/RTg), K2 = 2.5714 × 1016 exp(−47400/RTg),

pN2= 286

[NN2

1 − 2(N0N2

−NN2)

], pH2

= 286

[3NN2

1 − 2(N0N2

−NN2)

], e pNH3

= 286

[2(N0

N2−NN2)

1 − 2(N0N2

−NN2)

].

1

As incógnitas do sistema de equações (2-4) são x, o comprimento do reator [m]; NN2, a taxa de fluxo molar de N2

por área de catalisador [kg mol/h m2]; Tf , a temperatura do gás de alimentação [K]; e Tg , a temperatura do gás reagente[K]. Os parâmetros que aparecem em (2-4) são: Cpf , a capacidade calorífica do gás de alimentação [kcal/kg K]; Cpg , acapacidade calorífica do gás reagente [kcal/kg K]; f , a atividade catalítica; ∆H , o calor de reação [kcal/kg mol N2]; N ,o fluxo de massa [kg mol/h m2]; p, a pressão parcial; R, a constante dos gases [kcal/kg mol K]; S1, a área superficial; S2,a seção reta [m2]; T0, a temperatura de referência [K]; U , o coeficiente global de transferência de calor [kcal/h m2 K]; eW , a taxa de transferência de massa [kg/h]. Para resolver este conjunto de equações necessitamos das condições iniciaisTf (x = 0) = 694 K, Tg(x = 0) = 694 K e NN2

(x = 0) = 701.2 kg mol/h m2. A composição do gás de alimentação édada por 21.75 % de N2, 65.25 % de H2, 5 % de NH3, 4 % de CH4 e 4 % de Ar. Além disso, as seguintes restrições denatureza física são impostas: 0 6 x 6 10, 400 6 Tf 6 800 e 0 6 NN2 6 3220.

A busca das condições ótimas de operação de um reator de produção de amônia tem como critério de desempenho omáximo retorno financeiro o qual se baseia na diferença entre o valor dos produtos gasosos e o valor do gás de alimentaçãomenos a amortização dos custos de capital do reator ([2], [4]). Tais condições devem satisfazer o sistema de equaçõesdiferenciais (2-4) e isto corresponde a resolver o seguinte problema de otimização:

min f(x,NN2, Tf , Tg) = 1.3356 × 107 − 1.708 × 104NN2

+ 704.09(Tg − T0) − 699.27(Tf − T0)

−(3.4566 × 107 + 1.9837 × 109x)12

sujeito a

dTf

dx + US1

WCpf(Tg − Tf ) = 0

dTg

dx − US1

WCpg(Tg − Tf ) − (−∆H)S2

WCpg(f)[K1

1.5pN2pH2

pNH3−K2

pNH3

1.5pH2

]= 0

dNN2

dx + f[K1

1.5pN2pH2

pNH3+ K2

pNH3

1.5pH2

]= 0

Tf (0) = 694, Tg(0) = 694, NN2(0) = 701.2

0 6 x 6 10400 6 Tf 6 8000 6 NN2 6 3220.

(5)

O procedimento utilizado para resolver esse problema é realizado da seguinte forma: a partir de um valor inicialpara o comprimento do reator, x0, e estimando os parâmetros Tf , Tg e NN2 , é aplicado o algoritmo de otimização deNelder-Mead. Então, com os dados fornecidos pelo código e utilizando as condições iniciais do problema, o sistema deequações diferenciais é resolvido, através do método de Runge-Kutta, obtendo-se novos valores para x, Tf , Tg e NN2

. Oprocedimento é repetido até que uma solução ótima seja encontrada.

Referências[1] B.V. Babu and Rakesh Angira. Optimal design of an auto-thermal ammonia synthesis reactor. Computers & Chemical

Engineering, 29 (5), pp.1041–1045, 2005.

[2] Thomas F. Edgar, David M. Himmelblau and Leon S. Lasdon. Optimization of Chemical Processes. 2nd ed., McGraw-Hill, Singapore, 2001.

[3] M.S.M.Ksasy , F Areed , S Saraya , Mostafa A. Khalik. Optimal reactor length of an auto-thermal ammonia synthesisreactor. International Journal of Electrical & Computer Sciences, pp. 06–15, 2010.

[4] Akira Murase, Howard L. Roberts and Alvin O. Converse. Optimal Thermal Design of an Autothermal AmmoniaSynthesis Reactor. Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., 9 (4), pp. 503–513, 1970.

[5] Simant R. Upreti and Kalyanmow Deb. Optimal design of an ammonia synthesis reactor using genetic algorithms.Computers & Chemical Engineering, 21 (1), pp. 87–92, 1996.

[6] Suzana Yusup, Haslinda Zabiri, Nooryusmiza Yusoff and Young C. Yew. Modeling and Optimization Of AmmoniaReactor Using Shooting Methods. Proceedings of the 5th WSEAS Int. Conf. on Data Networks, Communications &Computers, Oct 16–17, Bucharest, Romania, 2006.

2

Nº 000 Evolução temporal de um pacote de onda em uma curva de energiapotencial

Aluno de Iniciação Científica: Érika Sathie Takatsuki (PET - SESu)

Nº de Registro do Projeto de Pesquisa no BANPESQ/THALES: 2009000001

Orientador: Sergio d’Almeida Sanchez

Departamento: Física Setor: Ciências Exatas

Palavras-chave: mecânica quântica, pacote de onda, evolução temporal.

Área de Conhecimento: 1.05.05.00-8

É de grande interesse atual na área de física atômica e molecular o estudo de íons transientes. Esses íons são formados, por exemplo, quando um elétron do contínuo é aprisionado por uma molécula em um processo conhecido como ressonância. Este aprisionamento é uma forma eficiente de transferência de energia para graus de liberdade nuclear e pode levar à dissociação molecular. Este tipo de processo, conhecido como dissociação pelo elétron aprisionado (Dissociative electron attachment – DEA), é muito comum quando radiação ionizantes incide no corpo-humano, por exemplo. Estima-se que 10000 elétrons de baixa energia sejam liberados para cada 1MeV de energia incidente. Estes elétrons podem colidir com o DNA celular causando quebra de simples e de dupla fita [1]. Uma parte importante do estudo de DEA está relacionado à evoluação temporal do pacote de onda vibracional na curva de energia potencial da ressonância. Este trabalho visa à introdução de conceitos básicos de mecânica quântica assim como um primeiro contato com simulação computacional para estudar o comportamento de um pacote de onda em diferentes curvas de energia potencial.[1] B. Boudaiffa, P. Cloutier, D. Hunting, M. A. Huels and L. Sanche, Science 287, 1658 (2000).

Analyticity for Semigroup Associated with a Linear

Viscoelastic Equation by a Locally Distributed Damping ∗

Fredy Maglorio Sobrado Suarez∗∗ Filomena Barbosa Rodrigues Mendes∗∗

Abstract: This paper develops an analysis of linear viscoelastic wave equation with locally distributed damping.A linear theory Semigroups developed by Zheng and Liu (1999) is used to show that the problem is well-posednessand providing conditions sufficient for the study of the analytic semigroup associated with a linear viscoelasticdamping locally distributed, the analytic results are obtained by the direct method. This work generalizes theresult shown in Cunha–Diniz (2006)[3] and Garcia–Suarez (2011)[9].

Keywords: Analyticity, linear viscoelastic equation, exponential stability, semigroup, locally distributeddamping.

1 Introduction

Let us first consider the motion of an elastic rod in the x direction with the reference configuration of length L.Suppose that the stress is of rate type, i.e.,

σ = αux + γuxt, where α > 0 and γ > 0 are given constants. (1.1)

Then, the momentum equation is write as

utt − αuxx − γuxxt = 0, (x, t) ∈ (0, L)× (0,∞). (1.2)

To define better our idea first, let us assume that the rod is clamped at both ends, x = 0 and x = L. Thenwe have the following boundary conditions u(0, t) = u(L, t) = 0 and also the following initial conditions:u(x, 0) = u1(x) and ut(x, 0) = u1(x) ∀t > 0 are imposed.

But observe that if γ being a constant in the equation above implies that the damping is distributedon the whole rod. In pratice, it is desirable to consider the problem with locally distributed damping (seeZuazua(1990)). Instead, we consider γ linear. In this study we will consider the following initial and boundaryvalue problem

utt − αuxx − γ(x)uxxt = 0, (x, t) ∈ (0, L)× (0,∞) (1.3)

u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 (1.4)

u(x, 0) = u0(x), x ∈ (0, L) (1.5)

ut(x, 0) = u1(x), x ∈ (0, L) (1.6)

γ(x) = ax+ b, x ∈ (0, L). (1.7)

with α, a, b reals constants, with α > 0 and a and b such that ax+ b ≥ b0 > 0 ∀x ∈ (0, L).The problem with dissipation of types γ const and γ(x) = ax + b was studied respectively by Zheng-Liu(

see Liu and zheng(1999)) and Cunha-Diniz (see Cunha and Diniz(2006)). They’s proved the ExponentialStability for semigroups Associated with a linear Viscoelastic Equation both using contradiction argument.The analyticity of the associated semigroups for Linear Viscoelastic Equation by damping is distributed on thewhole rod, case γ > 0 is shown using direct argument in Garcia–Suarez (see Garcia and Suarez (2011)). Wewill prove that the result is also valid when γ(x) is a linear function. It should be noted: If A is generatorinfinitesimal of the analytic semigroup and 0 ∈ ρ(A) then the semigroup eAt is exponentially stable and thefunction U(t) = eAtw belongs to the space C∞((0,∞);D(A∞)) for all w ∈ H(This property is known as anregularizante effect ), (see Rivera (2008)).

Our goals are the following:

∗Supported by UTFPR (Brazil) ** Teachers on campus Pato Branco these Areas Mathematic and Electric

1

1. We conclude this section by collecting some result in the literature concerning the study the well-posednessand analyticity they linear semigroup theory.

2. The section 2, develop an abstract framework for the Linear Viscoelastic Equation by a Locally DistributedDamping and study the well-posedness by the linear semigroup theory.

3. The section 3, find sufficient conditions for the analyticity on semigroups associated with Linear Viscoelas-tic Equation by a Locally Distributed Damping.

Theorem 1.1. Let A : H → H be a compact linear operator on a normed space H and let λ 6= 0. Then:

Ax− λx = y (1.8)

has a solution x for every y ∈ H if and only if the homogeneous equation

Ax− λx = 0 (1.9)

has only the trivial solutions x = 0. In this case the solution of (1.8) is unique, and A − λI has a boundedinverse.

Definition 1.2 (Dissipative). Let H be a real or complex Hilbert space equipped with the inner product ( , )Hand the induced norm ‖ ‖H. Let A be a densely defined linear operator on H, i.e, A : D(A) ⊆ H → H. We saythat A is dissipative if for any x ∈ D(A),

Re(Ax, x)H ≤ 0 ∀x ∈ D(A).

As a corollary of the theorem Lummer-Phillips, the researchers Liu and Zheng(1999) published in his booksemigroups Associated with dissipative systems. The following theorem:

Theorem 1.3. Let A be a linear operator with dense domain D(A) in a Hilbert space H. If A is dissipativeand 0 ∈ ρ(A), the resolvent set of A), then A is the infinitesimal generator of a C0-semigroup of contractionson H.

Proof. See [7] Pag. 3.The following invariant of the result is due to Gearhart(see Wyler[12]).

Theorem 1.4 (Analyticity). Let S(t) = eAt be a C0–semigroup of contractions on a Hilbert space H. Supposethat

ρ(A) ⊇ iIR. (1.10)

Then, S(t) is analytic if and only if

lim|β|→∞

‖β(iβI −A)−1‖L(H) < ∞ (1.11)

holds.

Proof. See [7] Pag. 5.

Remark 1.5. Let A infinitesimal generator of a analytic semigroup S(t) of contractions on a Hilbert space H,such that 0 ∈ ρ(A). Then exist constant C, γ > 0, such that

‖S(t)‖ ≤ Ce−γt.

2 Well–Posedness

The solution will be sought in the space of energy (also called phase space) by means of invariants. Formallymultiplying (1.3) for ut integrating by parts and using the conditions (1.4), we have the associated energy isdefined as:

E(t) :=1

2

∫ L

0

(|ut|2 + α|ux|2)dx anddE(t)

dt= −

∫ L

0

(ax+ b)|uxt|2dx ≤ 0, (2.12)

2

Therefore E(t) is decreasing. Noting (2.12), so that the energy exists its terms must be finite and even of (1.4)and Poincare inequality we have that space energy is given by H = H1

0 (0, L) × L2(0, L) carrying the innerproduct

(U1, U2)H =

∫ L

0

αu1xv

1xdx+

∫ L

0

u2v2dx, (2.13)

where Uj = (ujvj)T ∈ H, j = 1, 2 and vj = ujt . And the norm induced in energy space is ‖U‖2H = (U,U)H. The

system (1.3)–(1.7) can be written as Ut = AU taking v = ut. From (1.3) we can write vt = αuxx+(ax+ b)uxxt,then

Ut =

(v

αuxx + (ax+ b)vxx

)

e A =

(0 I

α(.)xx (ax+ b)(.)xx

)

. (2.14)

We have A : D(A) ⊂ H → H. where D(A) :=

(uv

)

∈ H; AU ∈ H

, i.e.,

D(A) :=

(uv

)

∈(H1

0 (0, L)L2(0, L)

)

; [αu+ (ax+ b)v] ∈ H10 (0, L) ∩H2(0, L)

. (2.15)

Theorem 2.1. The abstract Cauchy problem: Ut = AU U0 = (u0(x), u1(x))T with A defined in (2.14),

possess a unique solution with regularity defined by1) If U0 ∈ H ⇒ U ∈ C0(0,∞;H) and2) If U0 ∈ D(A) ⇒ U ∈ C0(0,∞;D(A)) ∩ C1(0,∞;H).

Proof. Recall that if A is infinitesimal generator of a semigroup of class C0 contractions then there exists aunique solution of the Cauchy problem. To apply the theorem (1.3) we verify the assumptions:

1. D(A) dense H;

2. A dissipative and;

3. 0 ∈ ρ(A).

To show that A is infinitesimal generator of class C0 contractions of a semigroup eAt with t ≥ 0. Indeed

1. We have H10 (0, L) and H1

0 (0, L) ∩ H2(0, L) dense in H10 (0, L) and furthermore L2(0, L) and H1

0 (0, L) ∩H2(0, L) dense in L2(0, L) then D(A) is dense in H.

2. If A a linear operator is not limited, such that A : D(A) ⊂ H → H and if Re(AU,U)H ≤ 0 ∀ U ∈ D(A)then A is dissipative. Indeed

(AU,U)H =

((v

αuxx + (ax+ b)vxx

)

,

(uv

))

H

=

∫ L

0

αvxux + [(αuxx + (ax+ b)vxx)v]dx

= α

∫ L

0

vxuxdx− α

∫ L

0

vxuxdx+ αvux

∣∣∣∣

L

0︸︷︷︸

=0

+

∫ L

0

(ax+ b)vvxxdx

= i2αIm

[∫ L

0

vxuxdx

]

+ (ax+ b)vvx

∣∣∣∣

L

0︸︷︷︸

=0

−a

∫ L

0

vvxdx−∫ L

0

(ax+ b)|vx|2dx.

= i2αIm

[∫ L

0

vxuxdx

]

− ia

∫ L

0

[Re(v)Im(vx)− Im(v)Re(vx)]dx−∫ L

0

(ax+ b)|vx|2dx. (2.16)

De onde, temos

Re(AU,U)H = −∫ L

0

(ax+ b)|vx|2dx ≤ 0. (2.17)

3. Finally let us show that 0 ∈ ρ(A). We have ρ(A) := λ ∈ C/(λI − A)−1 exist and is limit in H orequivalently ρ(A) := λ ∈ C/(λI −A)−1 ∈ L(H) . We shows that (−A)−1 exists and is bounded in H.

3

Indeed, we prove that A is bijective, A is surjective, if ∀ F =

(fg

)

∈ H, exists U =

(uv

)

∈ D(A) such that

AU = F,

i.e.,

v = f ∈ H10 (0, L)

αuxx + (ax+ b)vxx = g ∈ L2(0, L).(2.18)

Since the system (2.18), replacing the first equation in the second, we have:

αuxx = g − (ax+ b)fxx in L2(0, L). (2.19)

Note that (2.19) is an elliptic problem and can be solved using the theorem of Lax–Milgram. For this, we takeV = H1

0 (0, L) and we define

B : H10 (0, L)×H1

0 (0, L) → IR

(u, v) → B(u, v) := α

∫ L

0

uxvxdx

It is immediate that B(., .) is bilinear, let us show that B(., .) is continuous and coercive. Indeed:

i) continuity B(., .):

|B(u, v)| = |α∫ L

0

uxvxdx| ≤ α

∫ L

0

|uxvx|dx

≤ α‖ux‖L2(0,L)‖vx‖L2(0,L) ≤ C‖u‖H1

0(0,L)‖v‖H1

0(0,L)

ii) coercivity of B(., .):

B(u, u) = α

∫ L

0

uxuxdx ≥ α‖u‖2H1

0(0,L).

Now is possible to apply the theorem of Lax–Milgram. From (2.18) we have vxx is in H−1(0, L) andαuxx = g − (ax+ b)fxx in H−1(0, L).

Since ϕ = g− (ax+ b)fxx ∈ H−1(0, L) then ∃! u ∈ H10 (0, L) such that B(u, v) = 〈ϕ, v〉 ∀v ∈ H1

0 (0, L). i.e.:

α

∫ L

0

uxvxdx = 〈g − (ax+ b)fxx, v〉∀v ∈ H10 (0, L) integrating by parts

−α(uxx, v)L2(0,L) = 〈g − (ax+ b)fxx, v〉∀v ∈ H10 (0, L)

Then the elliptic problem (2.19) has a unique solution u ∈ H10 (0, L).

Remember that we want to show that A is surjective. This requires further shows that u ∈ D(A) i.e.[αu + (ax+ b)v] ∈ H1

0 (0, L) ∩H2(0, L). from (2.18) we have:

αuxx + (ax+ b)vxx = g in L2(0, L) or

(αu + (ax+ b)v)xx − 2avx = g in L2(0, L)

Hence follows that: [αu + (ax+ b)v] ∈ H2(0, L). Therefore A is surjective and we have the injectivity ofunity. Therefore (0I −A)−1 exists.

Finally we show that (0I −A)−1 is limited to H. It is sufficient to show that (A)−1 is limited to H. Indeed, asAU = F , applying the inverse A−1 and taking the norm in H, we have ‖U‖H = ‖A−1F‖H., so we must showthat ∃C > 0 such that ‖U‖H ≤ C‖F‖H. From (2.13) we have:

‖U‖2H = α‖u‖2H1

0(0,L) +

∫ L

0

|v|2dx ≤ α‖u‖2H1

0(0,L) + C2

P ‖fx‖2L2(0,L). (2.20)

4

But,

α‖u‖2H1

0(0,L) = −α(uxx, u)L2(0,L) = B(u, u) =

︸︷︷︸

(2.19)

α(−(ax + b)fxx + g, u)

≤ |(afx, u)|+ |((ax+ b)fx, ux)|+ |(g, u)|≤ ‖afx‖L2(0,L)‖u‖L2(0,L) + ‖(ax+ b)fx‖L2(0,L)‖ux‖L2(0,L) +

+ ‖g‖L2(0,L)‖u‖L2(0,L)

≤ CP ‖afx‖L2(0,L) + ‖(ax+ b)fx‖L2(0,L) + CP ‖g‖L2(0,L)

Substituting for (2.20) we have:

‖U‖2H ≤ αCP

α‖afx‖L2(0,L) +

1

α‖(ax+ b)fx‖L2(0,L) +

+CP

α‖g‖L2(0,L)2 + C2

P ‖fx‖2L2(0,L).

≤ C‖fx‖2L2(0,L) + ‖g‖2L2(0,L) ≤ C‖F‖2H,

Therefore (A)−1 is limited. Therefore, 0 ∈ ρ(A). It follows thatA is infinitesimal generator of class C0 semi-group of contractions of eAt with t ≥ 0. Therefore, there exists a unique solution of the Cauchy problem.Consequently there exists a unique solution of the problem (1.3)–(1.7).

Moreover we have the following regularity:

i) Se U0 ∈ H ⇒ U ∈ C0(0,∞;H)in other words

u ∈ C0(0,∞;H10 (0, L))

v = ut ∈ C0(0,∞;L2(0, L))

Therefore, the solution u ∈ C1(0,∞;L2(0, L)).

ii) If U0 ∈ D(A) ⇒ U ∈ C0(0,∞;D(A)) ∩ C1(0,∞;H), i.e.,

u ∈ C1(0,∞;H10 (0, L))/ [αu + (ax+ b)v] ∈ (H1

0 (0, L) ∩H2(0, L))v = ut ∈ C1(0,∞;L2(0, L))/ [αu+ (ax + b)v] ∈ (H1

0 (0, L) ∩H2(0, L))

In this case, the solution u ∈ C2(0,∞;L2(0, L)).

3 Analyticity

Here we show that the differential operator A associated with the system is Analytical. From equation (2.12)can say that the energy associated with the system is decreasing. But one question can be raised: at what rateE(t) decreases?

Theorem 3.1. The semigroup associated with the linear viscoelastic system (1.3)–(1.7) is analytical.

Proof. For theorem (1.4), we verify the conditions: (1.10) and (1.11). Let’s check first (1.10). Indeed, wehave

A : D(A) ⊂ H → H and A−1 : H → D(A),

and we have proved thatA−1 is limited, moreover we have that the immersion iA : D(A) ⊂ H → H is compact..Then,

A−1 = iA A−1 : H → H is compact.

Suppose that ∃λ = iβ 6= 0 ∈ iIR such that λ ∈ σ(A). Will apply the theorem (1.1) to operator A−1 to show

first that λ = iβ is an eigenvalue of A i.e.,1

λis an eigenvalue of A−1. From Theorem (1.1) we have:

A−1x− 1

λx = y or λx −Ax = λAy and

A−1x− 1

λx = 0 or Ax− λx = 0

5

Let’s suppose that Ax − λx = 0 admits only the trivial solution x = 0. Then A−1x − 1

λx = y has a unique

solution x for each y ∈ H and (A−1 − 1

λI) has limited reverse. But, (λI − A) = λA(A−1 − 1

λI), ass both

parts of this equation have limited reverse, then it follows that; (λI −A) have limited reverse. Then λ ∈ ρ(A).(=⇒ / ⇐=), provided that λ = iβ ∈ σ(A).

So as Ax− λx = 0, we have Ax = λx or λ is an eigenvalue of A. Then:

AU = λU (3.21)

By other side, since W =U

‖U‖H=

(w1

w2

)

, from (3.21), we have iβW −AW = 0, i. e.,

iβw1 = w2 (3.22)

iβw2 = αw1xx + (ax+ b)w2xx (3.23)

taking the inner product by W in H, we have

(iβW −AW,W )H = iβ(W,W )H − (AW,W )H

= i

[

β‖W‖2H − 2αIm[∫ L

0

w2xw1xdx]+ a

∫ L

0

[Re(w2)Im(w2x)− Im(w2)Re(w2x)

]dx

]

+

∫ L

0

(ax+ b)|w2x|2dx = 0 + 0i.

Tomando a parte real e observando que 0 ≤ b0 ≤ ax + b, temos∫ L

0|w2x|2dx = 0, portanto de (3.22) e da

desigualdade de poincare , temos ‖W‖H = 0 que e (=⇒ / ⇐=) the fact ‖W‖H = 1. Portanto ρ(A) ⊇ iIR.

3.1 Hypothesis Analyticity: Using a direct proof

We show now (1.11), i.e, we want to show that ‖β(iβI −A)−1‖L(H) < c where c is a positive constant. Indeed,it is

(iβI −A)U = F, for F =

(fg

)

∈ H10 (0, L)× L2(0, L) and U ∈ D(A), (3.24)

Let us show first that |β|‖R(iβ, A)F‖ ≤ C‖F‖H, from (3.24), we have

iβu− v = f in H10 (Ω) (3.25)

iβv − αuxx − (ax+ b)vxx = g in L2(Ω). (3.26)

Multiplying (3.26) by v and integrating by parts in (0, L), we have

iβ

∫ L

0

|v|2dx− αuxv

∣∣∣∣

L

0︸︷︷︸

=0

+α

∫ L

0

uxvxdx− (ax+ b)vvx∣∣L

0︸︷︷︸

=0

+

∫ L

0

(ax+ b)|vx|2dx+ a

∫ L

0

vxvdx =

∫ L

0

gvdx, (3.27)

tomando a parte imaginaria em (3.27), temos

β

∫ L

0

|v|2dx+ Im

[ ∫ L

0

αuxvxdx

]

+ aIm

[ ∫ L

0

vxvdx

]

= Im

[∫ L

0

gvdx

]

, (3.28)

como ∣∣∣∣Im

[ ∫ L

0

αuxvxdx

]∣∣∣∣≤∫ L

0

|αuxvx|dx ≤ ε|β|2

‖αux‖2L2(0,L) +1

2ε|β| ‖vx‖2L2(0,L). (3.29)

e ∣∣∣∣Im

[

a

∫ L

0

vxvdx

∣∣∣∣≤ a

∫ L

0

|vxv|dx ≤ a

2ε|β|‖vx‖2L2(0,L) +

aε|β|2

‖v‖2L2(0,L). (3.30)

Logo aplicando modulo em (3.28) e aplicando as desigualdades (3.29) e (3.30), temos

|β|∫ L

0

|v|2dx− (a+ 1)ε|β|2

‖U‖2H ≤ 1 + a

2ε|β| ‖vx‖2L2(0,L) + ‖U‖H‖F‖H. (3.31)

6

Alem disso, multiplicando (3.24) por U em H, temos

iβ‖U‖2H − i2aIm

[∫ L

0

vxuxdx

]

+ ia

∫ L

0

[Re(v)Im(vx)− Im(v)Re(vx)]dx

+

∫ L

0

(ax+ b)|vx|2dx = Im((F,U)H

). (3.32)

Tomando a parte Real o modulo e aplicando Holder em (3.32), temos

b0

∫ L

0

|vx|2dx ≤∫ L

0

(ax+ b)|vx|2dx ≤ ‖U‖H‖F‖H, (3.33)

logo, usando (3.33) em (3.31), temos

|β|∫ L

0

|v|2dx− (a+ 1)ε|β|2

‖U‖2H ≤ (1 + a)

2εb0|β|‖U‖H‖F‖H + ‖U‖H‖F‖H. (3.34)

Por outro lado, usando (3.25) em (3.26), temos

iβ(iβu− f)− αuxx − (ax+ b)(iβu− f)xx = g (3.35)

equivalentemente− β2u− αuxx − iβ(ax+ b)uxx = g + iβf − (ax+ b)fxx, (3.36)

multiplicando (3.36), por u em L2(0, L) e integrando por partes, temos

− β2

∫ L

0

|u|2dx+ α

∫ L

0

|ux|2dx+ iaβ

∫ L

0

uuxdx+ iβ

∫ L

0

(ax+ b)|ux|2dx

=

∫ L

0

gudx+

∫ L

0

fiβudx + a

∫ L

0

ufxdx+

∫ L

0

(ax+ b)uxfxdx (3.37)

observando que∫ L

0 uuxdx = i∫ L

0 [Re(u)Im(ux)− Im(u)Re(ux)]dx e iβu = −v− f , tomando a parte imaginariaem (3.37), temos

βb0

∫ L

0

|ux|2dx ≤ β

∫ L

0

(ax + b)|ux|2 = Im

[∫ L

0

gudx −∫ L

0

f vdx + a

∫ L

0

ufxdx +

∫ L

0

(ax + b)uxfxdx

]

.

(3.38)

De onde, temos

β

∫ L

0

α|ux|2dx ≤ α

b0Im

[∫ L

0

gudx−∫ L

0

f vdx + a

∫ L

0

ufxdx+

∫ L

0

(ax+ b)uxfxdx

]

. (3.39)

Aplicando modulo, usando novamente Holder em (3.39), temos

|β|∫ L

0

α|ux|2dx ≤ α

b0

∣∣∣∣∣

∫ L

0

gudx−∫ L

0

f vdx+ a

∫ L

0

ufxdx +

∫ L

0

(ax+ b)uxfxdx

∣∣∣∣∣

≤ α

b0

[

2Cp√α+

aCp

α+

aL+ b

α

]

‖F‖H‖U‖H. (3.40)

Somando (3.40) com (3.34), temos

|β|∫ L

0

|v|2dx+ |β|∫ L

0

α|ux|2dx− (a+ 1)ε|β|2

‖U‖2H ≤ (1 + a)

2εb0|β|‖U‖H‖F‖H + ‖U‖H‖F‖H

+α

b0

[

2Cp√α+

aCp

α+

aL+ b

α

]

‖F‖H‖U‖H. (3.41)

7

Equivalentemente

|β|(

1− (a+ 1)ε

2

)

‖U‖2H ≤(

1 + a

2εb0|β|

)

‖U‖H‖F‖H +1

b0

[

b0 + 2Cp

√α+ aCp + aL+ b

]

‖F‖H‖U‖H.

onde tomamos ε, suficientemente pequeno, tal que

(

1− (1 + a)ε

2

)

> 0 e aplicando supremo ‖F‖ = 1 e tomando

limite superior |β| → ∞ e simplificando, we have

lim|β|→∞

|β|‖U‖L(H) ≤(

2b0 + 4Cp

√α+ 2aCp + 2aL+ 2b

b0(2− (a+ 1)ε)

)

. (3.42)

Moreover, applying R(iβ,A) = (iβI − A)−1 in both members of the first equation of (3.24), we have U =(iβI −A)−1F . Therefore (3.42) is equivalent to

lim|β|→∞

|β|‖(iβI −A)−1‖L(H) ≤(

2b0 + 4Cp

√α+ 2aCp + 2aL+ 2b

b0(2− (a+ 1)ε)

)

. (3.43)

Whence it follows that the semigroup is analytic.Finally observing (1.5) as eAtt≥0 is analytic and 0 ∈ ρ(A), also show the exponential decay of solutions

of the system (1.3) – (1.7).

References

[1] BREZIS H., Analisis Funcional Teorıa y Aplicaciones. Alianza Editora S.A, Madrid (1984).

[2] BREZIS H. and CAZENAVE T., Nolinear Evolution Equations . Livro a ser publicado, Madrid (2007).

[3] CUNHA C. A. R. and DINIZ A. C., Exponential stability for semigoup associated with a linearviscoelastic equation by a locally distributed damping, revista Matematica estatıstica, Sao Paulov.24, n.2, p.07-15, (2006).

[4] DASSIOS, G., Local Energy Decay for Scattering of Elastic Waves, J. Differential Equations, 49,p.124–141, (1983),

[5] DUVAUT, G. and LIONS, J. L., Inequalities in Mechanics and physics. Springer-Verlag, (1976).

[6] KREYSZIG, E., Introductory Functional Analysis With Applications, Editora John Wiley & SonsInc. University of Windsor New York, (1978).

[7] LIU, Z. and ZHENG, S., Semigroups associated with dissipative systems. Chapman & Hall CRCResearch Notes in Mathematics, 398. Boca Raton, FL, (1999).

[8] LIU, Z. and LIU, K., Exponential stability and analyticity of abstract linear thermoelasticsystems. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik ZAMP, Birkhauser Verlag. Basel, (1997).

[9] GARCIA M. L. and SUAREZ, F. M. S., Estabilizacao e Analiticidade do Sistema Linear Vis-coelastico. Minissimposio de Iniciacao Cientıfica do XXVIII Programa de verao em Matematica do ICMC-USP. Sao Carlos, (2011).

[10] PAZY A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.Applied Mathematical Sciences 44, Springer, (1983).

[11] RIVERA J., Estabilizacao de Semigrupos e Aplicacoes. Editora Academia das Contas, Serie deMetodos Matematicos, Rio de Janeiro. (2008).

[12] WYLER, A., Stability of wave equations with dissipative boundary conditions in a boundeddomain. Diferrential and Integral Equations, Vol. 7, No.2, pag. 345–366, (1994).

[13] ZANATTA, C. D., Estabilidade exponencial de modelos dissipativos via teoria de semigrupos. Dissertacao de Mestrado em Matematica. UFSC-Florianopolis, Agosto do (2008).

8

Estudo sobre Relacoes Interespecıficas:Competicao e Predatismo

Gregorio Luıs Dalle Vedove Nosaki∗ Marcio Ricardo Alves GouveiaDepto. de Matematica, Estatıstica e Computacao, DMEC, UNESP,

19060-900, Presidente Prudente, SPE-mail: greg [email protected], [email protected],

RESUMO

Dentro dos Sistemas Dinamicos Contınuos os estudos a respeito de dinamica populacionalocupam uma posicao de destaque dentro das aplicacoes. Essa area analisa o comportamento deuma ou mais populacoes de uma especie que vivem dentro de um habitat no decorrer do tempo.

Neste trabalho analisaremos dois tipos de relacoes interespecıficas que sao referentes a duasespecies diferentes que dividem o mesmo espaco. No primeiro caso estudaremos a competicao,onde as especies precisam concorrer pelos mesmos fatores ambientais tais como alimento, disponi-bildade de agua, luz para fotossıntese...

Palavras-chave: Sistemas Dinamicos Contınuos, Dinamica Populacional, Retrato de FaseDenotando por x e y duas populacoes distintas num determinado momento t convivendo em

um mesmo meio e competindo por disponibilidade de alimento, por exemplo. Podemos suporque cada uma das populacoes, na ausencia da outra, e governada por uma equacao logıstica

dx

dt= x(ε1 − σ1x)

dy

dt= y(ε2 − σ2y)

onde ε1 e ε2 representam o crescimento das duas populacoes e ε1/σ1 e ε2/σ2 os seus respectivosnıveis de saturacao. Mas, como sabemos, as especies em questao estao disputando alimentodentro de um mesmo meio, entao o crescimento delas estao de certo modo relacionados. Assimobtemos as equacoes

dx

dt= x(ε1 − σ1x− α1y)

dy

dt= y(ε2 − σ2y − α2x)

onde α1 e α2 sao medidas do grau de interferencia que uma especie tem sobre a outra.O outro tipo de relacao interespecıfica estudada aqui e o predatismo, onde uma especie usa-se

de outra para se alimetar; e a relacao presa-predador encontrada na maioria dos ambientes.Contruimos o nosso modelo de maneira analoga ao anterior. Representamos por x e y as

populacoes de presa e predador, respectivamente, no instante t. Nesse modelo devemos fazeralgumas suposicoes a mais do que no modelo anterior, pois uma especie se alimenta diretamenteda outra. Assim devemos ter por hipotese

∗bolsista de Iniciacao Cientıfica FAPESP

a) Sem o predador, as presas aumentam numa taxa proporcional a populacao atual (dx/dt = ax,a > 0, quando y = 0);

b) Sem presas o predador e extinto (dy/dt = −cy, c > 0, quando x = 0);

c) O numero de encontro entres seres das duas populacoes e proporcional ao produto das duaspopulacoes. Cada um desses encontros interfere de maneira diferente em cada uma daspopulacoes: a populacao de predadores aumenta a uma taxa γxy enquando a populacaode presas diminui a uma taxa −αxy, onde γ e α sao constantes positivas.

Devido a essas suposicoes e ao que consideramos das duas especies, temos as seguintesequacoes

dx

dt= ax− αxy = x(a− αy)

dy

dt= −cy + γxy = y(−c+ γx)

onde a e c definem a taxa de crescimento da populacao de presas e a taxa de mortalidade depredadores respectivamente.

Essas equacoes sao chamadas de equacoes de Lotka-Volterra desenvolvidas nos anos de 1925e 1926.

As duas relacoes estudadas nesse trabalho sao classisficadas como interespecıficas desarmonicas,pois o sucesso de uma das populacoes implica no fracasso para a outra populacao ja que am-bas ocupam o mesmo habitat. Esse tipo de relacao se torna interessante dentro dos sistemasdinamicos, pois desta forma podemos esbocar retratos de fase onde podemos prever o compor-tamento das populacoes, mediante a condicoes iniciais, no decorrer do tempo.

Apresentamos o modelo que rege cada uma das relacoes interespecıficase em seguida dare-mos exemplos numericos onde aplicaremos diretamente o metodo e finalmente os resultados, quesao apresentados na forma de retratos de fase, e com isso podemos fazer uma analise do com-portamento das populacoes como por exemplo pontos crıticos ou solucoes de equilıbrio, pontosassistoticamente estaveis ou instaveis, variacoes cıclicas nas populacoes no caso do predatismo...Dados esses resultados podemos fazer ainda algumas generalizacoes a respeito dos modelos apli-cados em cada sistema, chegando a conclusoes onde, por comparacao dos parametros, avaliamose classificamos as situacoes encontradas.

Referencias

[1] BOYCE W. E., DIPRIMA R. C., Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de Valoresde Contorno, LTC - Livros Tecnicos Cientıficos, (2009).

[2] FIGUEIREDO D. G., NEVES A. F., Equacoes Diferenciais Aplicadas Colecao MatematicaUniversitaria, (2001).

[3] ZILL D. G., CULLEN M. R., Equacoes Diferenciais, ed.3, Sao Paulo: Pearson MakronBooks (2001) v.1.

Métodos matemáticos para ladrilhamentos aperiódicos

Gustavo Felisberto ValenteOrientador: Daniel Gonçalves

Resumo

Neste trabalho será apresentado o conceito e a definição de um ladrilhamento com ênfase nos ladrilha-mentos de substituição. Será descrito um método para construir o complexo associado a um ladrilhamento,bem como apresentado um exemplo. Também serão exibidos exemplos e aplicações na física.

1 IntroduçãoEm física, um ladrilhamento é um modelo para identificar a estrutura da matéria de uma substância. Para tal,costuma-se utilizar um método chamado difração de raios-X.

Os cristais, quando submetidos à difração por raios-X, apresentam uma estrutura periódica, isto é, admitemuma simetria de translação no ladrilhamento. Acreditava-se que todos os sólidos arranjados de uma forma apa-rentemente padrão teriam que ser periódicos. Em 1982, o físico israelense Dan Shechtman sintetizou um materialde alumínio-manganês que não era periódico mas admitia simetrias de translação em partes do ladrilhamento.Materias com esta propriedade passaram a se chamar quasicristais.

A pesquisa feita com estes materiais rendeu a Dan Shechtman o prêmio Nobel de Química em 2011.[1]

2 DesenvolvimentoO trabalho inicia com a definição matematica de um ladrilhamento através da introdução de conceitos comoladrilhos.

Em seguida é apresentado um método para construir ladrilhamentos. Sob algumas condições descritas notrabalho, estes ladrilhamentos serão do tipo aperiódicos, isto é, admitem simetrias de translação em partes doladrilhamento.

Por fim será descrito um algoritmo para construir um complexo associado a um ladrilhamento. Com estecomplexo pode-se calcular a homologia e, com isto, concluir propriedades físicas interessantes sobre a matériaque origina o ladrilhamento.

3 ConclusãoSerá apresentado dois exemplos de complexos associados a ladrilhamentos e suas homologias.

Referências[1] MLA style: “The Nobel Prize in Chemistry”. Nobelprize.org. 20 Mar 2012

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/

1

anais do 2º colóquio de matemática da região sul 24 a 28 ... · pdf...

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