Caracterização da Resposta Dinâmica de Estruturas obtida a partir de Modelos Complementares de

Elementos Finitos

Alykhan Navaz Madatali Sultanali

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientador: Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida

Júri Presidente: Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Orientador: Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida Vogal: Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Novembro de 2016

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Resumo Nesta dissertação apresenta-se uma abordagem de elementos finitos que combina duas formulações

complementares para o problema de determinação das frequências próprias e modos de vibração de

estruturas: Primal (compatível) e Dual (equilibrada). Quando combinadas, estas duas formulações

resultam num único problema de valores próprios, o qual é obtido utilizando a formulação de cada uma

das abordagens originais com informação obtida a partir da abordagem complementar.

Mostra-se neste trabalho que as soluções complexas obtidas por esta abordagem combinada apresentam,

através da sua parte real, uma estimativa melhorada das frequências naturais do problema, mesmo para

malhas menos refinadas; e, através da sua parte imaginária, um termo relacionado com o erro da solução.

Apresenta-se uma introdução a cada uma das formulações, bem como alguns exemplos e

correspondentes resultados que permitem comparar as soluções das diferentes abordagens em termos

do seu erro em relação à solução de referência. São feitos testes numéricos de convergência sobre

exemplos unidimensionais e bidimensionais. Para os casos unidimensionais, a discretização utilizada nas

abordagens utiliza funções de aproximação de 3.º grau; não permitindo estes a obtenção da solução

exacta, optou-se por um refinamento tipo-h, já utilizado em (Santos, 2008), trabalho que serve de base

para a definição das duas formulações em problemas unidimensionais. Para o caso bidimensional foram

considerados refinamentos tipo-h e tipo-p.

Verifica-se que na maior parte dos casos, o erro associado à parte real da solução combinada é inferior

àquele apresentado para as soluções primal e dual.

Palavras-Chave Elementos Finitos de Equilíbrio

Elementos Finitos Compatíveis

Análise Dinâmica

Frequências Próprias Naturais

Elasticidade Linear

iv

v

Characterization of the Dynamic Response of Structures

from Complementary Models of Finite Elements

Abstract In this dissertation, we study a finite element approach that combines two complementary models for

the determination of the eigenfrequencies of mechanical systems: Primal (compatible) and Dual

(equilibrated). By combining both these formulations we obtain a quadratic eigenvalue problem, which is

obtained by using the formulations of each one of the original approaches with information from its

complementary approach.

As a result of the study, we show that the complex eigenvalues obtained from this combined approach

present, through their real part, an improved estimate of the eigenfrequency, even for low refinements;

and, through their imaginary part, a term related to the solution’s error.

We present an introduction to each of the approaches as well as some examples and corresponding

results. This allows a comparison to be made between the solutions obtained from each approach, namely

in terms of their error in relation to the reference solutions. Numerical convergence tests are held for

unidimensional and bidimensional examples. For the unidimensional cases, in the different approaches,

3rd degree functions are used for the approximations, which do not allow us to obtain the exact solution,

leading to the use of type-h refinement – already used in (Santos, 2008), the study on which the definition

of both the approaches for unidimensional problems is based. For the bidimensional cases, type-h and

type-p refinements were considered.

We can observe that in most of the cases, the error associated to the real part of the combined solution

is lower than the ones presented by the primal and dual solutions.

Keywords Equilibrium Finite Elements

Compatible Finite Elements

Dynamics

Eigenfrequencies

Linear Elasticity

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vii

Agradecimentos Começo por agradecer ao meu Professor ZP Moitinho de Almeida pela oportunidade de trabalhar com

ele, pela sua amizade e pelo seu incansável apoio, um verdadeiro exemplo não só de professor, mas da

essência que faz dele um grande pedagogo. Recordo um episódio dos tempos de Análise de Estruturas I,

da aula prática pouco populosa que tínhamos: às 8 da manhã de um nascer do sol nublado e chuvoso, que

se seguia ao teste dessa mesma disciplina na noite anterior (saímos quase às 21…); estava atrasado e

peguei um táxi por que aquela era uma aula que eu não podia nem queria perder; quando cheguei,

atrasado, era o único; o Prof esperava por algum ‘cliente’ tranquilamente apoiado sobre uma secretária;

nesse dia de introdução aos conceitos de simetria/anti-simetria tive a minha única ‘explicação privada’.

Foi um, entre outros momentos, que guardei do IST e dos que significaram o IST para mim: os amigos, os

professores, (os chatos monitores do LTI a quem testávamos os limites!), os funcionários do

departamento, da mobilidade, da reprografia e da cantina e do bar que nos acompanharam e com quem

trocámos (sor)risos diariamente; os cafés de civil, aero e física que continuam em espera…. Agradeço a

todos por todos esses momentos que me/nos fizeram e viram crescer.

Agradeço aos meus pais por tudo o que fizeram e têm feito por mim e comigo, incluindo essas coisas

subtis e sublimes que passam nos bastidores do nosso olhar enquanto filhos. Agradeço todos as lições,

sucessos e insucessos que nos trouxeram ao dia de hoje, em que escrevo os agradecimentos ou que os

releio no saborear do passado. Adaptando o que um professor de Português que tive no Colégio Militar

disse a propósito da Cavalaria, não sou melhor nem pior do que poderia ter sido… sou diferente… (para

melhor!) Agradeço ao meu pai pelo constante exemplo de resiliência, de esperança disciplinada, de

ambição extrema e de uma generosidade discreta e genuína. Agradeço à minha mãe pela constante luta

daquilo que crê ser o melhor para mim e para a minha irmã, pela sua vida de dedicação por nos dar ‘tudo

aquilo que não teve’ e ao meu tio por a acompanhar cegamente durante a sua vida, dedicando-se a nós

como se filhos dele fôssemos. Agradeço à minha avó por todo o seu amor e só me arrependo de que não

haja palavras mais cheias que estas, ou que não as saiba eu ainda, para retratar o que transborda do seu

coração materno e que desde que tenho memória me lembro de receber; foi esse para mim o verdadeiro

néctar dos deuses de que falou Camões, esse amor aspergido sobre mim em todos os momentos que

partilhámos juntos e que jamais esquecerei.

Agradeço ainda a todos aqueles que fizeram parte deste percurso académico que culmina com esta

dissertação, dos educadores de infância do Ext. Paulo VI, de onde as memórias, ainda que curtas, me

satisfazem os caprichos dessa nostalgia dos meus primórdios. Ao Ext. S.V. Paulo e a todos os professores

e educadores que lá tive e que personifico na imagem representativa da minha professora Irmã Agostinha,

de quem guardo boas memórias e as memórias de ‘TPC’s’ intermináveis, das ‘cópias’ que tinha de fazer e

dos esquissos que o meu pai traçava na tentativa de que passassem por meus!

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Ao Colégio Militar por… tudo. São tantas as memórias, as aprendizagens, os sentimentos, as amizades, as

irmandades, as brincadeiras, os ramalhos, as firmezas, os professores, as aulas, é tanto o crescimento e

tão significativa essa parte da minha vida, do meu baú de memórias materiais e intangíveis, tantas as

experiências e vivências, momentos bons, óptimos, exímios! E outros menos agradáveis, mas que

recordamos sempre com um sorriso de emoções mistas que explode em riso… tanto e tanta gente que

poderia mesmo dissertar e divagar, ir e voltar e esquecer e lembrar e estou certo que páginas não haveria

suficientes para as encher do meu amor e da minha memória dessa casa que me foi e será sempre o meu

e nosso Colégio Militar.

Por fim e caprichosamente, agradeço à minha gata por todos os bons momentos que pass (´)mos.

A todos, pelos momentos esculpidos na memória dos meus tempos e que guardo, recordo e levo com

saudade, obrigado.

Alykhan

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Índice 1. Introdução ............................................................................................................................................ 1

2. Hipóteses Consideradas ....................................................................................................................... 3

2.1. Hipóteses relativas ao Material e às suas Propriedades............................................................. 3

2.1.1. Hipóteses ................................................................................................................................ 3

2.1.2. Hipóteses específicas relativas ao caso Unidimensional (Barras) .......................................... 3

2.1.3. Hipóteses específicas relativas ao caso Bidimensional (Placas) ............................................. 4

2.2. Hipóteses relativas às acções ..................................................................................................... 4

2.3. Malhas, Refinamento e Convergência ........................................................................................ 4

3. Formulação Primal ............................................................................................................................... 5

3.1. Equações Governativas ............................................................................................................... 5

3.2. Método dos Elementos Finitos ................................................................................................... 9

4. Formulação Dual ................................................................................................................................ 13

4.1. Equações Governativas ............................................................................................................. 14

4.2. Método dos Elementos Finitos ................................................................................................. 15

5. Considerações relativas ao caso Bidimensional ............................................................................ 23

5.1 Condições no Domínio .............................................................................................................. 23

5.2 Condições na Fronteira ............................................................................................................. 24

6. Considerações Primal VS Dual para Barras ........................................................................................ 27

7. Formulação Combinada ..................................................................................................................... 31

7.1. Modelo Primal com informação do Dual (Combine via Primal) ............................................... 31

7.2. Modelo Dual com informação do Primal (Combine via Dual) .................................................. 32

7.3. Equação Resolvente da Formulação Combinada ...................................................................... 33

8. Problemas Analisados ........................................................................................................................ 35

8.1. Problemas com Solução Analítica – Unidimensional ................................................................ 35

8.1.1. Vibração Longitudinal de Barras ........................................................................................... 35

8.1.2 Vibração Transversal de Barras ............................................................................................ 36

8.2. Problemas sem Solução Analítica Directa – Unidimensional .................................................... 38

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8.3. Problemas com Solução Analítica – Bidimensional .................................................................. 38

8.3.1. Vibração no Plano de Placa Rectangular .............................................................................. 38

8.4. Problemas sem Solução Analítica – Bidimensional ................................................................... 40

8.4.1. Vibração no Plano de Placa em L .......................................................................................... 40

8.5. Considerações ........................................................................................................................... 40

9. Análise de Resultados ........................................................................................................................ 41

9.1. Introdução ................................................................................................................................ 41

9.2 Análise de Resultados – Problemas Unidimensionais .............................................................. 41

9.3 Análise de Resultados – Problemas Bidimensionais ................................................................. 44

10. Conclusões e Desenvolvimentos Futuros ...................................................................................... 49

Bibliografia ................................................................................................................................................. 51

Anexos ........................................................................................................................................................ 53

Anexo 1 ...................................................................................................................................................... 53

Anexo 2 ...................................................................................................................................................... 55

Anexo 3 ...................................................................................................................................................... 93

Índice de Tabelas e Figuras Tabela 1- Resumo/síntese comparativa dos

termos obtidos em cada uma das

abordagens ...................................................... 29

Figura 1 - Representação dos sentidos dos

deslocamentos da barra .................................... 5

Figura 2 - Deslocamentos considerados, no

referencial da barra ........................................... 6

Figura 3 - Sentido dos deslocamentos no Ref.

Local/da barra (esq.) e Global (dir.) ................... 6

Figura 4 - Forças considerados, no referencial da

barra .................................................................. 8

Figura 5 - Matriz de compatibilidade no

elemento e significado das suas linhas e

colunas ............................................................ 19

Figura 6 - Definição do domínio e fronteiras (a),

convenção de sinais das tensões (b), forças de

fronteira, forças .............................................. 23

Figura 7 - Campo de deformações .................. 24

Figura 8 – Codifusividade: equilíbrio entre

elementos apenas das componentes normais e

tangenciais das tensões de ambos os lados dessa

fronteira (a azul).............................................. 26

xiii

Figura 9 - ExemploExemplo de obtenção do

número de equaçõesm, em 2D, para uma

discretização em quatro elementos ................ 28

Figura 10 - Condições de fronteira da placa

rectangular de tamanho a × b usada .............. 39

Figura 11 - Condições de fronteira e dimensões

da placa em L usada ........................................ 40

Índice de símbolos / Notação Alfabeto latino:

– Matriz de compatibilidade

– Área da secção

– Matriz das relações constitutivas

– Módulo de elasticidade do material

– Matriz de flexibilidade

– Vector das forças nodais equivalentes

– Esforços transmitidos pelas barras

– Esforços nodais resultantes das suas

características intrínsecas

– Espaço das matrizes Hermitianas de

dimensão

– Momento de inércia da secção na direcção

– Impulso aplicado no domínio do sistema

– Termo imaginário

– Matriz de rigidez

– Matriz de rigidezes nodais concentradas

– Momento flector na secção

– Matriz de massas consistente generalizada

M – Matriz de mobilidade

– Matriz de massas nodais concentradas

– Esforço normal na secção

– Matriz da normal à fronteira

– Frequência natural do sistema

– Vector de forças aplicadas no sistema

– Frequência própria do modo de vibração i ( ) – Polinómios de Legendre de grau

– Carregamento axial

– Carregamento transversal

– Força aplicada no sistema

– Vector dos esforços aplicados

– Esforços aplicados no nó

– Carregamento em coordenadas modais

– Parte real do número

– Matriz de aproximação dos deslocamentos ̅ – Vector das forças aplicadas na fronteira

– Energia potencial de deformação

– Vector de deslocamentos

– Vector dos parâmetros dos deslocamentos

– Vector dos deslocamentos impostos

– Campo de deslocamentos da solução

compatível

xiv

– Solução complementar de um problema

dinâmico

– Campo de deslocamentos da solução

equilibrada

– Campo de deslocamentos da solução

exacta

– Solução particular do problema

dinâmico

– Deslocamento da barra na direcção axial

– Deslocamento da barra na direcção

transversal

– Vector de velocidades generalizadas

impostas no sistema

– Vector de forças do elemento no referencial

global

– Termo independente do sistema dual

– Vector dos parâmetros dos impulsos e dos

deslocamentos dos nós

Alfabeto grego:

α – Grau de indeterminação estática da

estrutura

– Fronteira cinemática

– Fronteira estática

δ – Erro relativo

ε – Extensão linear da secção

ε - Vector das deformações

– Extensões na secção na direcção Λ – Função de interpolação utilizada nos

elementos finitos equilibrados

– Matriz das funções de interpolação dos

impulsos λ – Impulso de forças

– Vector de impulsos de uma solução

equilibrada

– Vector dos parâmetros dos impulsos dos nós

– Vector de tensões virtual

– Massa por unidade de comprimento

– Vector das tensões

– Campo de tensões (generalizadas) na

formulação compatível

– Campo de tensões (generalizadas) na

formulação equilibrada

– Campo de tensões (generalizadas) da

solução equilibrada

– Curvatura da secção

– Matriz das funções de interpolação

– Função de interpolação utilizada nos

elementos finitos compatíveis

– Domínio

– Operador diferencial de compatibilidade

∗ – Operador diferencial de equilíbrio

– Matriz dos modos de vibração normalizados

xv

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1

1. Introdução Este trabalho foca-se na caracterização da resposta dinâmica de estruturas obtidas com modelos

complementares de elementos finitos, um tema subjacente à maneira como se avalia a qualidade das

soluções obtidas utilizando o Método dos Elementos Finitos na prática de análise estrutural,

nomeadamente na obtenção de frequências próprias e modos de vibração. Mais concretamente, no que

se refere à qualidade das soluções, pretende-se avaliar a qualidade dos erros das soluções obtidas a partir

de programas desenvolvidos pelo Professor José Paulo Moitinho de Almeida.

Em primeiro lugar, importa dar uma ideia geral do que é o Método dos Elementos Finitos (MEF), para que

se possa, a partir de uma visão simplificada do vasto campo que se encerra nesta definição, construir uma

ideia do que tratamos nesta dissertação: o que é o MEF e quais os princípios do seu funcionamento a

partir de duas abordagens complementares – Primal e Dual. A partir dessa contextualização, poderemos

partir para a análise e discussão da hipótese de trabalho que inspira esta dissertação: a abordagem

combinada.

O MEF pode ser definido, de forma genérica, como um método numérico que permite simular o

comportamento de sistemas contínuos complexos, no nosso caso estruturas, obtendo-se resultados

referentes a uma qualquer variedade de condições que se queiram considerar. Isto é conseguido por via

de uma subdivisão de um domínio complexo em problemas de menor dimensão, os denominados

elementos finitos. O comportamento de cada elemento finito é aproximado como uma combinação linear

de funções simples, de forma a satisfazer o melhor possível as equações do problema; resolvendo um

sistema de equações global que conglomera, por sua vez, as de todos esses elementos e, portanto, define

o sistema que modela o problema ‘maior’.

Ora, sabendo-se que não é, em geral, possível obter uma solução exacta para os problemas com

relevância prática, o MEF surge como algo de primordial importância no trabalho de modelação, ao

permitir obter resultados, mesmo que aproximados, para qualquer problema.

Consideram-se duas formas de abordar o problema: começar por garantir as condições de

compatibilidade, na fronteira e no domínio, seguindo-se a imposição das relações de elasticidade e, por

fim, verificar/abordar as condições de equilíbrio; ou, por outro lado, começar por garantir as condições

de equilíbrio, impor as relações de elasticidade e, só depois, abordar a questão da compatibilidade. A

primeira das abordagens designa-se por Primal/Compatível e a segunda por Dual/Equilibrada.

Como foi anteriormente referido, é geralmente impossível obter uma ‘solução exacta’ para o problema,

ou pondo o assunto de forma mais precisa, para problemas elásticos lineares: a solução exacta existe

sempre, e é sempre única, mas pode não ter solução analítica (Freitas, 2009) – solução exacta, essa, que

para além de ser estática e cinematicamente admissível, satisfaz também a relação de elasticidade. É

precisamente este aspecto que faz com que tenhamos duas vias por onde seguir: começar pela

compatibilidade, assegurar a elasticidade e abordar o equilíbrio; ou o percurso inverso. No caso de se ter

2

a solução exacta, o caso é ‘simples’, na medida em que começando por uma ou outra via, não haverá

problemas em respectivamente verificar, no final, as condições de equilíbrio ou as condições de

compatibilidade.

No caso da formulação Primal, o problema que surge é que, partindo de uma solução cinematicamente

admissível – diz-se que impomos a compatibilidade de maneira forte-, e impondo a relação de

elasticidade, pode ou não ser possível impor as condições de equilíbrio, de forma local. No caso de se

verificarem as condições de equilíbrio, diz-se que também o equilíbrio é satisfeito de maneira forte, o que

acontece se a solução aproximada contiver a solução exacta do problema. No caso contrário, que é o mais

comum, tenta-se impor de maneira fraca o equilíbrio, resulta daqui que todo o erro da solução que

tomámos como aproximação é transferido para as condições de equilíbrio. De forma a reduzir esse erro

que surge, quer-se obrigar essa solução a satisfazer pelo menos aproximadamente a condição de

admissibilidade estática; isto consegue-se através da substituição do carregamento aplicado por um

carregamento estaticamente equivalente, garantindo, assim, que pelo menos a resultante da força

aplicada é equilibrada na solução aproximada. Diz-se que o equilíbrio é imposto de forma fraca.

No caso da formulação Dual, todo o processo se inverte, sendo o equilíbrio imposto de maneira forte,

seguindo-se a imposição da relação de elasticidade e, finalmente, deixando todo o erro da aproximação

para as condições cinemáticas do problema, as quais serão, no caso de a aproximação não conter a

solução exacta, impostas de maneira fraca.

Na prática corrente, o uso do MEF é quase sempre feito pela abordagem Primal por ser de mais fácil

implementação, em relação à abordagem Dual.

No problema dinâmico, o resultado que se pretende obter corresponde às primeiras frequências próprias

e os respectivos modos de vibração associados ao caso em estudo. Como foi já referido, existem duas

formas de alcançar este objectivo, ambas associadas à resolução de um problema de valores próprios,

que permite calcular as frequências próprias do sistema.

Esta dissertação incide sobre uma abordagem combinada que, como a própria designação indica, resulta

numa nova forma de obtenção desses valores próprios através da combinação das duas abordagens já

referidas. O estudo desta alternativa resulta da hipótese de trabalho de que os valores obtidos por esta

via serão melhores do que os obtidos através de cada uma das abordagens originais, dando uma boa

ordem de grandeza das frequências para malhas de discretização relativamente grosseiras, e de que a

componente imaginária das soluções obtidas se constitui como um majorante do erro associado a essas

mesmas soluções, relativamente a soluções de referência.

Refere-se ainda que este estudo vem no seguimento de um outro, sob orientação do mesmo Professor -

(Santos, 2008) – e de onde se aproveitaram alguns programas, nomeadamente da análise primal e dual.

O programa da análise combinada, objecto central do estudo, foi desenvolvido pelo Professor Moitinho

de Almeida.

3

2. Hipóteses Consideradas

Em consonância com o trabalho de base do qual se parte, (Santos, 2008), nomeadamente no que se refere

à aplicação em separado de cada uma das abordagens, Primal e Dual, consideram-se hipóteses

simplificativas que de seguida se enumeram. Neste documento são contempladas estruturas planas

unidimensionais (barras) e bidimensionais (placas) considerando dois tipos de deformação para as barras:

axial e por flexão.

2.1. Hipóteses relativas ao Material e às suas Propriedades

2.1.1. Hipóteses

1) Linearidade Física – as tensões variam linearmente com a deformação (Lei de Hooke), sendo que

o material volta à posição inicial de equilíbrio após se retirar a carga aplicada que provoca a

deformação;

2) Linearidade Geométrica – a estrutura sofre apenas pequenas deformações, pelo que as relações

de equilíbrio e de compatibilidade são lineares;

3) O material que constitui a estrutura é isotrópico e homogéneo.

2.1.2. Hipóteses específicas relativas ao caso Unidimensional (Barras)

1) A barra é recta e coincide com o centro de rigidez da secção, garantindo assim que o esforço axial

não provoca tensões de flexão nem de torção;

2) Hipótese das secções planas – não há empenamento das secções, em consequência do que as

tensões variam linearmente na secção;

3) Hipótese de Euler-Bernoulli – a secção mantém-se perpendicular ao eixo deformado;

4) A barra não tem libertações internas e é contínua;

5) A relação entre comprimento/largura e altura da barra é relativamente grande (>10),

consequência do que as tensões perpendiculares à barra são muito menores que aquelas

paralelas à barra;

6) É desprezada a deformação por corte, havendo, portanto, uma subavaliação do deslocamento

transversal e uma sobreavaliação da rigidez da barra, com o consequente incremento das

frequências próprias;

7) É desprezada a inércia de rotação da secção, sendo que o corolário desta hipótese está

relacionado com os modos de vibração da estrutura, os quais, quando associados a frequências

de vibração mais elevadas (modos com maior deformação), se tornam progressivamente menos

‘correctos’, com a barra mais ‘dobrada’, quando a energia cinética de rotação deixar de ser

negligenciável em comparação à de translação.

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2.1.3. Hipóteses específicas relativas ao caso Bidimensional (Placas)

Admite-se que, no caso bidimensional, se trata de um problema de Estados Planos de Tensão (EPT) em

placas, situadas no plano ( , ), onde, por admissão das hipóteses de que estamos perante ) uma peça

laminar plana solicitada no próprio plano e ) com espessura suficientemente pequena em relação às

restantes dimensões características, podendo ser desprezada; a análise se reduz a considerar que == = 0 e que , e não variam com .

2.2. Hipóteses relativas às acções

Abordando-se o problema da determinação dos modos de vibração e frequências próprias não se

consideram explicitamente as acções aplicadas. Admite-se implicitamente que as ‘acções’ a considerar

(vibração na frequência própria) são harmónicas – o que resulta do facto de um estudo feito para acções

harmónicas poder ser estendido a outro tipo de acções periódicas, dado poderem estas ser decompostas

em termos de série de Fourier.

2.3. Malhas, Refinamento e Convergência

No que toca ao refinamento e convergência, existem essencialmente duas técnicas para melhorar a

qualidade da aproximação arbitrada, são elas o refinamento-h e o refinamento-p. Estando a convergência

da formulação primal assegurada, as técnicas de refinamento anteriores apresentam diferentes níveis de

‘eficiência’ em termos de taxa de convergência, sendo que um refinamento-p, mantendo a malha de

discretização e aumentando o grau das funções de aproximação, apresenta uma taxa de convergência

superior à de um refinamento-h – aumento da malha, mantendo grau de aproximação -, para um mesmo

número de nós livres.

No entanto, neste trabalho usou-se, na primeira parte (1D – Barras) apenas refinamento tipo-h por duas

razões essenciais: dado que se pretende avaliar a evolução do erro das soluções obtidas e avaliar as

hipóteses de trabalho nessa base, importa que haja um ‘espectro’ de erros que o permita, o qual seria

menor no caso de se utilizar um refinamento tipo-p, dado que a convergência seria mais célere; e, em

segundo lugar, por que exigiria um esforço de cálculo adicional, o que faria com que os problemas de

instabilidade numérica pudessem surgir mais cedo. Poderia ter-se usado também um refinamento tipo-

p, como acréscimo aos programas de base com que se iniciou o trabalho, mas isso não se constituiu como

um objectivo.

Na segunda parte, caso bidimensional, consideraram-se as duas alternativas de refinamento. Poderá

depois notar-se como um refinamento do tipo-p irá afecta a convergência da solução, nomeadamente em

termos dos dados disponíveis para uma análise do erro – a convergência é mais rápida, mas também as

‘anomalias’ que se julga deverem a problemas numéricos serão mais prematuras, o que implicará um

decréscimo nos dados disponíveis (‘de confiança’) para a análise do erro nesses casos.

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3. Formulação Primal Como foi referido na introdução, o conceito da formulação primal consiste em partir de uma aproximação

arbitrária do campo de deslocamentos que satisfaça as condições de admissibilidade cinemática: ser um

campo contínuo no domínio da peça e que satisfaz as condições de fronteira. Diz-se que impomos a

compatibilidade de maneira forte.

Em geral, i.e, nos casos em que a aproximação não contenha a solução exacta, as condições de equilíbrio

não podem ser satisfeitas em cada ponto para esta solução arbitrada. Importa então tentar que o

equilíbrio, não sendo obedecido localmente, pelo menos o seja em termos médios. O procedimento será

então no sentido de impor o equilíbrio de maneira fraca, o que passará pela definição de forças nodais

equivalentes – focadas precisamente, como a sua designação indica, em traduzir uma equivalência a nível

do equilíbrio.

A solução será então uma em que, por um lado, o campo de deslocamentos será contínuo e, por outro, o

campo de tensões não tem de ser equilibrado, nem no interior nem nas fronteiras entre elementos finitos,

o que se traduzirá num erro que pode ser identificado pela falta de equilíbrio dos esforços obtidos.

3.1. Equações Governativas

As condições que caracterizam o problema em estudo serão de seguida brevemente abordadas de modo

que se possa definir o seu significado. Começaremos por introduzir estes conceitos para o caso

unidimensional, as barras, sendo depois feita alusão às considerações necessárias para a generalização

dos mesmos ao caso da elasticidade linear bidimensional.

No caso em estudo, o problema dinâmico em que se pretende estudar as frequências próprias do sistema,

será abordado considerando que não há amortecimento, como é habitual considerar no estudo deste

problema.

As equações que se seguem foram essencialmente recuperadas de (Santos, 2008), onde poderão ser

vistas em maior detalhe, nomeadamente as deduções referentes às relações de equilíbrio.

3.1.1 Compatibilidade

3.1.1.1 Compatibilidade no Domínio:

Deformação Axial = (3. 1)

Figura 1 - Representação dos sentidos dos deslocamentos da barra

6

Deformação por flexão

= − (3. 2)

Representação matricial = (3. 3)

O que equivale a

= ∂∂x 00 − ∂∂xuu

(3. 4)

Sendo que as extensões na direcção de um ponto genérico da secção, , poderão ser obtidas pela

relação: = + . (3. 5)

3.1.1.2 Compatibilidade na fronteira

A compatibilidade nas fronteiras, tanto cinemáticas como interiores, é imposta igualando as duas

translações, e , e a rotação, , no nó.

A Compatibilidade na fronteira cinemática será então dada, matricialmente, por: ==

(3. 6)

Figura 3 - Deslocamentos considerados, no referencial da barra

(para esforços positivos)

Figura 2 - Sentido dos deslocamentos no Ref. Local/da barra (esq.) e Global (dir.)

7

Em que representa o vector dos deslocamentos aplicados no nó.

3.1.2 Relações Constitutivas

Parcela Axial

O Esforço Normal é dado por: = (3. 7)

Parcela de flexão – Euler-Bernoulli

O Momento flector é dado por: = (3. 8)

Representação matricial

Genericamente as relações constitutivas apresentadas podem ser representadas matricialmente por: =

(3. 9)

O que equivale a

= 00 (3. 10)

3.1.3 Equilíbrio

3.1.3.1 Equilíbrio no Domínio

Parcela axial

− ( ) ( , ) + ( , ) = 0 (3. 11)

Este resultado pode facilmente ser obtido através da consideração do diagrama de corpo livre de uma

parte infinitesimal da barra, em que se considera o equilíbrio na direcção axial feito num elemento de

comprimento . Onde ( ) é a massa por unidade de comprimento, representado o termo ( ) ( , )as forças de inércia e; ( , ) representa o carregamento axial.

Introduzindo as equações da relação constitutiva e da compatibilidade, para o caso de uma barra

uniforme – características mecânicas e massa constantes ao longo do comprimento, fica: ( , ) − ( , ) + ( , ) = 0 (3. 12)

8

Parcela de Flexão – Euler-Bernoulli

− ( ) ( , ) + ( , ) = 0 (3. 13)

Onde ( ) é a massa por unidade de comprimento, representado o termo ( ) ( , ) as forças de

inércia; e ( , ) representa o carregamento transversal.

Este resultado pode facilmente ser obtido através da consideração do diagrama de corpo livre de uma

parte infinitesimal da barra, em que se considera o equilíbrio de forças transversais e de momentos num

elemento de comprimento e lateralmente limitado por faces planas perpendiculares ao seu eixo.

Tendo em atenção ainda a contribuição desprezável de termos que multiplicam pelo quadrado do

comprimento infinitesimal , de onde surge a sua eliminação.

Introduzindo as equações da relação constitutiva e da compatibilidade, para o caso de uma barra

uniforme – características mecânicas e massa constantes ao longo do comprimento, fica: ( , ) − ( , ) + ( , ) = 0 (3. 14)

Representação matricial

Genericamente as equações de equilíbrio apresentadas podem ser representadas matricialmente por:

∗ − + =

Com ∗ = ∂∂x 00 ∂2∂x2

(3. 15)

3.1.3.2 Equilíbrio na fronteira

A compatibilidade na fronteira estática é imposta garantindo-se que o somatório das forças/momentos – , , no nó é nulo; ou, no caso de haver forças/momentos aplicados, que esse somatório iguale esse

carregamento concentrado.

O Equilíbrio na fronteira estática será então dado, matricialmente, por: = ̅ (3. 16)

Em que representa a matriz normal à fronteira, a qual também obtém os esforços transversais a partir

dos momentos, e ̅ representa o vector das forças aplicadas na fronteira.

Figura 4 - Forças considerados, no referencial da barra

9

3.2. Método dos Elementos Finitos

A aplicação do MEF pode ser essencialmente resumida a três fases:

1) Aproximações

A estrutura é discretizada em elementos finitos, definindo assim os nós. O campo de deslocamentos passa

a ser caracterizado pelo deslocamento desses pontos da malha através de funções de aproximação.

O campo de deslocamentos é então genericamente dado por: =

(3. 17)

em que representa o vector de deslocamentos de uma solução compatível, representa a matriz das

funções de interpolação dos deslocamentos e representa o vector dos parâmetros/pesos de

deslocamentos nodais.

Estas funções que aproximam o campo de deslocamentos em cada elemento são contínuas e assumem

em cada nó, para cada direcção (translação ou rotação), um valor unitário para o deslocamento a que se

referem, sendo nulas para os restantes. Estas funções são referidas ao referencial local de cada elemento,

sendo depois aplicada uma transformação de coordenadas de modo a que cada uma das aproximações

dos campos de deslocamentos nos referenciais locais seja então referida ao referencial global do sistema.

Neste ponto, importa referir que é imposta a compatibilidade localmente entre elementos através da

imposição do mesmo deslocamento e rotação nas secções extremas de barras adjacentes. Sendo que o

equilíbrio do campo de tensões/esforços não será assegurado a priori.

De seguida, é imposta a relação de elasticidade localmente, de onde se obtém o campo de

tensões/esforços em cada elemento.

2) Forças Nodais Equivalentes

A compatibilidade entre elementos é obtida por imposição da mesma translação e rotação nas

extremidades de barras contíguas, sendo as condições de fronteira cinemáticas satisfeitas por imposição

do valor dos deslocamentos no nó dessa fronteira. Estas condições são consideradas no sistema de

equações aquando da assemblagem dos elementos, o que simplifica e compacta a representação do

sistema de equações que representa o problema.

Em termos do campo de tensões, a sua continuidade não é garantida a priori, sendo o equilíbrio imposto

em termos de forças nodais equivalentes. A definição de forças nodais equivalentes vai permitir a já

referida imposição do equilíbrio de maneira fraca, já que geralmente o resultado desta operação é a

satisfação do equilíbrio de uma forma global, não se garantindo o equilíbrio em cada ponto.

A maneira de se obterem estas forças nodais equivalentes será substituindo a carga de vão, estática ou

dinâmica, a qual será impossível equilibrar localmente, por um carregamento estaticamente equivalente,

10

garantido assim que pelo menos a resultante da força aplicada é equilibrada na solução aproximada. A

questão será então quantificá-las, sendo o critério utilizado o de assegurar que, no modelo aproximado,

o trabalho das forças interiores é compensado pelo das forças exteriores, como acontece na solução

exacta. Este critério pode mostrar-se ser equivalente a minimizar o trabalho realizado ou, também

equivalente, a minimizar a energia potencial do sistema (Freitas, 2009).

Para a abordagem Primal, a equação do MEF para o caso estático – isto é, sem considerar as forças de

inércia nem as de amortecimento apresenta-se como: = (3. 18)

Em que representa a matriz de rigidez e representa o vector das forças nodais equivalentes

(considerando que não existem cargas nodais aplicadas, caso em que bastaria somar esse vector de forças

a este). = , onde = =

(3. 19)

Ora, voltando ao caso dinâmico, o equilíbrio de forças em (3. 14) contempla a actuação não apenas de

um carregamento externo como também das forças de inércia, vindo, por introdução desse equilíbrio e

da aproximação dos deslocamentos pelas funções de forma, respectivamente (3. 14) e (3. 17), o vector

das forças nodais equivalentes expresso já com as componentes dinâmicas (Santos, 2008). Da substituição

deste novo vector em (3. 18) surge a Equação Fundamental da Dinâmica: + = ( ) (3. 20)

Onde representa a matriz de massas e a notação usada é ≡ e; ≡ .

=

(3. 21)

Visto pretender-se determinar as soluções não-triviais do problema dinâmico na ausência de acções

externas, por se quererem estudar as frequências de vibração da estrutura, toma-se o problema

homogéneo, i.e., teremos ( ) = 0. Desta forma, o problema toma a forma: + = (3. 22)

11

No que concerne às referidas funções de aproximação, para uma barra de comprimento , foram

utilizadas, para a parcela axial: ( ) = 1 − ( ) = (3. 23)

E, para as referentes à parcela de flexão, polinómios de Hermite: ( ) = 1 ( − 3 + 2 )

( ) = − 1 ( − 2 + )

( ) = − 1 (3 − 2 )

( ) = 1 (− + ) (3. 24)

Cada um destes polinómios está relacionado com um deslocamento independente. Aqueles referidos a

uma translação assumem valor unitário para esse deslocamento, enquanto aqueles referidos a uma

rotação apresentam primeira derivada de valor unitário (para essa rotação).

Saliente-se que, uma vez que a parcela do operador referente à flexão é de segunda ordem, é necessário

que a aproximação do campo de deslocamentos transversais seja contínua e apresente primeira derivada

contínua na ligação entre elementos, o que se garante com a utilização de polinómios do 3ºgrau.

A obtenção das forças nodais equivalentes surgirá de substituir as cargas de vão e dinâmicas, que não

estarão a ser equilibradas localmente, por um carregamento estaticamente equivalente, garantindo que

pelo menos a resultante da força aplicada é equilibrada nessa solução aproximada. O modo de fazê-lo

será assegurar o equilíbrio do trabalho das forças interiores e exteriores, garantindo que o trabalho das

tensões nas deformadas compatíveis seja igual ao trabalho do carregamento aplicado.

3) Equação Resolvente

A equação resolvente do MEF será aquela em (3. 22), em que = ; representa a matriz de rigidez

e representa a matriz de massas consistente.

A equação poderá ser escrita, no entanto, dado o deslocamento ser harmónico e com frequência , no

caso de ser aproximado por uma função seno, como: ( − ) = (3. 25)

Sendo que esta equação será satisfeita, para o caso não trivial ( ≠ ), quando: | − | = 0 (3. 26)

12

Determinante cuja solução se designa por polinómio característico, a partir do qual se podem obter os

valores das frequências próprias naturais do sistema – sendo que representará um valor próprio

desse sistema. Calculados estes valores, poderá então proceder-se à obtenção dos modos de vibração do

sistema, sendo que estes representam os vectores próprios do problema.

13

4. Formulação Dual

Em relação à formulação dual, esta consiste em partir de uma aproximação arbitrária do campo de

tensões que satisfaça as condições de admissibilidade estática: equilíbrio no interior dos elementos e nas

suas fronteiras. Diz-se que impomos o equilíbrio de maneira forte.

A situação será análoga ao que foi descrito para a formulação primal, no entanto começando-se por

discretizar o campo de tensões e partindo daí para verificar as relações constitutivas, após o que se virá a

impor de maneira fraca a compatibilidade.

A solução será então uma em que, por um lado, o campo de tensões será equilibrado e, por outro, o

campo de deslocamentos não tem sequer de existir, nem de ser compatível/contínuo, nem no interior

nem nas fronteiras entre elementos finitos, o que se traduzirá num erro que pode ser identificado pela

falta de compatibilidade das deformações.

Note-se que, por facilitar a formulação, em lugar de se discretizar um campo de tensões/forças/esforços,

se utiliza o conceito de impulso de força, sendo que o impulso representa o integral das

tensões/forças/esforços no tempo. As suas derivadas no tempo são as tensões/forças/esforços. = ∫ (4. 1)

Ou, querendo-se partir das tensões/forças/esforços para obter deformações, invertendo a relação:

= = (4. 2)

Em que representa uma tensão/força/esforço aplicado no sistema. Além disso, trabalha-se com

velocidades de deformação e velocidades de variação da tensão, que na prática correspondem às

acelerações dos impulsos, .

O equilíbrio nas fronteiras será imposto através de equações adicionais, às quais corresponderão graus

de liberdade adicionais. No caso das barras, as equações estarão relacionadas com o equilíbrio de forças

nos nós, sendo que os graus de liberdade adicionais correspondem aos deslocamentos nos nós. Note-se

que esta discretização dos deslocamentos nodais é feita de modo que serão satisfeitas as condições de

fronteira cinemáticas para os deslocamentos nodais, não garantido a compatibilidade em termos dos

deslocamentos internos entre os diferentes elementos da malha.

As variáveis do sistema serão então os pesos das funções de aproximação dos impulsos nos elementos e

ainda os deslocamentos nos nós dos elementos.

Refere-se desde já que não foram consideradas forças aplicadas nem deslocamentos impostos nos nós,

pelo que esta consideração será desde já tida em conta na escrita das equações.

14

4.1. Equações Governativas

As condições que caracterizam o problema em estudo serão de seguida brevemente abordadas de modo

que se possa definir o seu significado. Começaremos por introduzir estes conceitos para o caso

unidimensional, as barras, sendo depois feita alusão às considerações necessárias para a generalização

dos mesmos ao caso bidimensional.

Mais uma vez se refere que foi desprezado o amortecimento, o que acontecerá também aqui na

formulação dual, para que se possam comparar os resultados obtidos através de cada uma das

abordagens.

As equações que se seguem foram também adaptadas de (Santos, 2008), onde poderão ser vistas em

maior detalhe.

4.1.1 Compatibilidade

4.1.1.1 Compatibilidade no Domínio:

A compatibilidade será assegurada em termos da derivada no tempo das deformações, . Assim sendo, a

condição de compatibilidade obtém-se através da diferenciação no tempo de (3. 3): = (4. 3)

O que equivale a

= ∂∂x 00 − ∂∂x uu

(4. 4)

Sendo que, do mesmo modo, se obtém a velocidade das extensões, na direcção de um ponto genérico

da secção, a partir da derivada no tempo de (3. 5): = + . (4. 5)

4.1.1.2 Compatibilidade na Fronteira

A Compatibilidade na fronteira cinemática a impor será dada por: ==

(4. 6)

15

4.1.2 Relações Constitutivas

As relações constitutivas nesta formulação dual podem também ser facilmente obtidas através daquelas

apresentadas para o caso primal, derivando-as no tempo: = = (4. 7)

O que equivale a

= 1 00 1

(4. 8)

4.1.3 Equilíbrio

4.1.3.1 Equilíbrio no domínio

A garantia do equilíbrio no sistema é conseguida através da primitiva dos esforços, os impulsos. Relação

que pode também ser obtida por integração no tempo da relação de equilíbrio do caso primal, (3. 15):

∗ − + = (4. 9)

onde representa o impulso no domínio, o integral no tempo das forças de massa.

4.1.3.2 Equilíbrio na fronteira

O Equilíbrio na fronteira estática será dado por: = ̅ (4. 10)

em que representa a matriz normal à fronteira, a qual também obtém as derivadas no tempo dos

esforços transversos a partir da dos momentos, e ̅ representa o vector das forças aplicadas na fronteira.

4.2. Método dos Elementos Finitos

A aplicação do MEF pode ser essencialmente resumida a quatro fases:

1) Aproximações

Como foi já referido, a aproximação do campo de tensões/forças/esforços será feita em termos dos

impulsos.

As funções de aproximação usadas neste caso serão os denominados polinómios de Legendre, os quais

possuem características próprias que serão adiante expostas.

A condição terá então a representação: = (4. 11)

16

Em que representa a matriz das funções de aproximação dos impulsos no elemento e representa o

vector dos parâmetros de impulso do elemento.

Num dado elemento, esta equação pode ser traduzida, de forma gráfica, por:

(4. 12)

Mais uma vez importa referir que todas as operações são, primeiramente, realizadas em função do

referencial local de cada elemento – neste caso as barras, sendo de seguida aplicadas transformações de

coordenadas de modo a cada uma das grandezas referidas a referenciais locais seja então referida ao

referencial global do sistema, vide Figura 2.

Também se aproximam os deslocamentos nas fronteiras, os quais correspondem, no caso das barras, aos

deslocamentos nodais: = (4. 13)

em que representa a matriz de funções de aproximação dos deslocamentos nodais, i.e, os

deslocamentos na fronteira.

Funções de Forma – Polinómios de Legendre

Como inicialmente referido a propósito da aproximação do campo de tensões/forças/esforços, as funções

utilizadas serão polinómios de Legendre, os quais possuem características específicas que agora serão

expostas. Recorde-se que a matriz usada para essa aproximação reúne estas funções.

Em termos da parcela axial, são utilizados os polinómios de grau 0 e 1: Λ ( ) = 1 Λ ( ) = 2

(4. 14)

Sendo que em termos da parcela de flexão são utilizados quatro polinómios, desde constante ao 3.º grau,

de modo a formar uma base de elementos linearmente independentes: Λ ( ) = 1 Λ ( ) = 2

17

Λ ( ) = 12 3 2 − 1

Λ ( ) = 12 5 2 − 6

(4. 15)

Algumas das referidas características importantes deste tipo de polinómios são:

1. Para polinómios de grau consecutivo, as funções são alternadamente pares e ímpares: (− ) = (−1) ( ) (4. 16)

onde ( ) representa um polinómio de Legendre de grau .

2. Os polinómios são ortogonais em relação ao seu produto interno no intervalo

− 2 ≤ ≤ 2

( ) ( ) // = 2 + 1

(4. 17)

em que é o símbolo de Kronecker.

Esta segunda propriedade resulta em duas consequências relevantes. Em primeiro lugar, uma redução no

tempo de processamento numérico é geralmente permitida por ser mais esparsa a matriz. Em segundo

lugar, a utilização destes polinómios permite uma simplificação da matriz de mobilidade M, como se

refere em (Santos, 2008).

2) Deformações Equivalentes

Comparativamente à formulação primal, na formulação dual não é usado o conceito de forças nodais

equivalentes, surgindo em vez delas as deformações equivalentes, as quais correspondem ao integral das

deformações, ponderadas pelas funções de aproximação dos esforços. A compatibilidade na forma fraca

corresponde a impor que as deformações equivalentes calculadas a partir dos deslocamentos ou das

tensões são as mesmas.

A maneira de assegurar, então, a compatibilidade de maneira fraca, começa por isolar, na relação de

equilíbrio no domínio (4. 9), o termo da velocidade e derivar a equação que se obtém:

= 1 ( ∗ + )

(4. 18)

Obtendo-se assim a derivada no tempo das deformações obtidas através do equilíbrio.

A igualdade que irá impor a compatibilidade de maneira fraca será feita em termos da derivada no tempo

das deformações. Assim sendo, falta agora determinar essa grandeza através da relação de constitutiva

18

(4. 7), escrita em ordem à derivada no tempo das deformações, , também designada por velocidade de

deformação: = (4. 19)

Em que a primeira derivada no tempo do impulso resulta na tensão, vindo a segunda derivada no tempo

do impulso igual à primeira derivada no tempo da tensão, = .

A partir destas duas expressões, a compatibilidade das velocidades de deformação na forma fraca – note-

se que corresponde a uma maneira indirecta de compatibilizar os deslocamentos, já que = , será

assegurada através da igualdade:

= (4. 20)

A qual traduz uma igualdade em termos do trabalho que essas deformações produzem nas distribuições

de tensões equilibradas, sendo o campo de tensões virtual e que se pode escrever em termos das

funções de aproximação : = (4. 21)

Considerando que a equação (4. 20) tem de ser válida para qualquer , obtém-se, quando o primeiro

termo é integrado por partes e a relação constitutiva é introduzida no segundo, que:

Γ − ( ) 1 ( ) =

(4. 22)

Nesta equação é introduzida a matriz de compatibilidade , que nos dá as deformações equivalentes

provocadas por cada parâmetro de deslocamento na fronteira:

= Γ (4. 23)

Sendo que no caso das barras as fronteiras são pontos, temos que a matriz de interpolação dos

deslocamentos, , terá a forma de matriz identidade. Desta forma, para as barras, teremos directamente: = (4. 24)

Em que representa o vector dos parâmetros de deslocamento dos nós do elemento; é a matriz de

aproximação das forças no elemento; é a matriz normal à fronteira, que é idêntica àquela considerada

para a abordagem primal; e é a matriz de compatibilidade do elemento.

19

Em relação ao segundo termo, é introduzida a matriz de mobilidade M:

M = ( ) 1 ( )

(4. 25)

E, por último, no terceiro termo temos a matriz de flexibilidade :

=

(4. 26)

Substituindo na relação (igualdade de trabalho), o sistema reduz-se a:

−M + = (4. 27)

Que, por simplificação e troca de sinal, resultará em:

M + − = (4. 28)

Em resumo: note-se que o objectivo das deformações equivalentes é assegurar que essas deformações

façam o mesmo trabalho que aquelas a que ‘equivalem’, qualquer que seja a distribuição de tensões

equilibrada; desta forma, e pensando na relação (4. 22), equivale a dizer que esta equivalência de

trabalhos deve ser verificada qualquer que sejam os parâmetros/pesos – o que significa que o referido

campo de tensões virtuais poderá sempre ser representada a partir da matriz .

3) Equilíbrio na Fronteira

A equação resolvente desta abordagem inclui dois conjuntos de condições: a compatibilidade na forma

fraca de cada elemento e o equilíbrio entre elementos. A primeira foi tratada no ponto anterior, a segunda

será agora abordada.

Figura 5 - Matriz de compatibilidade no elemento e significado das suas linhas e colunas

20

A relação de equilíbrio nodal tem a forma: + = (4. 29)

Em que representa as forças resultantes das características intrínsecas do nó, como sejam rigidez, de

amortecimento ou de massa; representa as forças transmitidas pelas barras ao nó; e ( ) representa

as forças aplicadas no nó.

As forças nodais podem ser representadas como: = + (4. 30)

Em que as matrizes de massa e rigidez estão associadas apenas às características nodais. Assim sendo,

representa a matriz de massas nodais concentradas; e representa a matriz de rigidezes nodais

concentradas.

No que toca às tensões/forças/esforços transmitidos pelas barras ao nó, , o equilíbrio entre elementos

e na fronteira estática pode ser definido através da transposta da matriz de compatibilidade, , que nos

dá as forças equivalentes na fronteira em função dos parâmetros de aproximação das

tensões/forças/esforços – seria a matriz transposta daquela representada na Figura 5. = (4. 31)

Finalmente, tendo em consideração estas expressões, o equilíbrio nodal vem dado por: − + + = (4. 32)

O que equivale a garantir que o somatório de tensões/forças/esforços nesse nó é igual ao carregamento

aí aplicado. Sendo que, no âmbito deste trabalho não foram consideradas forças aplicadas ou

deslocamentos impostos nos nós, vindo = e = , resulta o equilíbrio nodal em: = (4. 33)

A admissibilidade estática da solução será então assegurada através desta última condição, em conjunto

com a condição de equilíbrio no domínio.

4) Equação Resolvente

Para obter o sistema de equações final da equação resolvente do MEF, basta reunir a equação (4. 28) da

compatibilidade das velocidades de deformação com a equação (4. 32) do equilíbrio nodal. Desta forma,

a equação do MEF para a abordagem dual vem: + + = (4. 34)

21

Com o significado:

M − + =

(4. 35)

Sistema Matricial Final

Introduzindo as simplificações anteriormente referidas, possíveis pelas características das funções de

forma usadas, o sistema matricial do MEF ficará:

M − 0 + =

(4. 36)

No caso de as acções serem apenas pontuais e nodais, estas acções podem ser incluídas nas equações de

equilíbrio nodal, o que se traduz por ser nulo o termo .

Não se incluindo características dinâmicas intrínsecas dos nós resulta em = = .

Assim sendo, o formato final da equação do MEF para a abordagem dual, nos problemas que iremos

tratar, toma a forma:

M − 0 + =

(4. 37)

Em que as matrizes de mobilidade M e de flexibilidade foram subdivididas como a seguir se mostra,

sendo que, para cada elemento, cada uma das submatrizes elementares é quadrada 3x3; o índice S traduz-

se estático e D dinâmico. A matriz de compatibilidade foi também subdividida em parte estática e

dinâmica, em que cada submatriz apresenta dimensão 3x6.

O termo , referindo-se à parte estática, terá derivada nula, ∗ = – é a derivada dos esforços, os

quais são auto-equilibrados. Enquanto se refere à parte dinâmica, vindo a sua derivada diferente de

zero, ∗ ≠ .

Matriz de Mobilidade, já após simplificação consequente das características dos polinómios de Legendre:

M = M , em que as submatrizes de mobilidade elementares relacionadas com a parte estática

resultam nulas, atendendo à definição da matriz mobilidade e dado que = .

Matriz de Flexibilidade: =

Matriz de Compatibilidade: =

22

Na abordagem dual, existe a particularidade de o problema de valores e vectores próprios apresentar

valores próprios nulos por a matriz de mobilidade M ser singular. A estes valores próprios nulos irão

corresponder os designados modos estáticos –para uma frequência de excitação nula o sistema não vibra,

em contraste com os modos dinâmicos, os quais estão associados a frequências próprias positivas.

Esta situação poderia simplesmente ser ignorada, resultando num esforço de cálculo superior ao

necessário. Assim, de modo a poupar esse esforço, foi desenvolvido (Santos, 2008) um algoritmo que

permite essa ‘poupança’ ao nível da eficiência na resolução do sistema, a qual se traduz por reduzir o

problema de valores próprios a apenas um bloco de equações (em lugar do sistema com três blocos de

equações).

Partindo de: ( )( )( ) M − 0 − =

(4. 38)

E após algumas manipulações matemáticas dos blocos de equações e obtiveram-se e como

funções de :

= ( − ) (4. 39)

= − (4. 40)

Que inseridas no bloco resultam em:

M + − + = (4. 41)

A qual depende exclusivamente de . A resolução deste sistema de equações permite agora obter as

frequências próprias naturais e, por conseguinte, os modos de vibração do sistema dual.

23

5. Considerações relativas ao caso Bidimensional Os problemas de EPT caracterizam-se por um conjunto de equações que será apresentado e cujos

significados podem encontrar-se de forma mais detalhada em (Melo, 2010), explicação que de seguida se

resume, incluindo-se as figuras ilustrativas apresentadas também em (Melo, 2010). Note-se que as

equações para o domínio e para a fronteira são as mesmas para o caso Primal e para o Dual.

5.1 Condições no Domínio

No que toca às condições no domínio, a condição de equilíbrio assegura que a variação do campo de

tensões, em cada ponto, equilibra as forças de massa. Representando os termos: (ou ∗) o operador

diferencial de compatibilidade (ou equilíbrio); um vector que agrupa as componentes independentes

do tensor das tensões para cada ponto e; o vector das forças de domínio, representando as forças

distribuídas no domínio , as quais podem ser distribuídas na área, linha ou aplicadas num ponto. Na

Figura 6 podem observar-se as componentes de cada um desses vectores.

A forma explícita da equação de equilíbrio no domínio será: + + = 0+ + = 0 em

Com ∗ = = 00

(5. 1)

Figura 6 - (a) Definição do domínio e fronteiras, (b) convenção de sinais das tensões, (c) forças de

fronteira e de massa.

A condição de compatibilidade no domínio define, em cada ponto, as medidas de deformação em função

da variação do campo de deslocamentos, ponderada com a já referida matriz ; o vector agrupa as

componentes independentes do tensor das deformações, o qual é composto pelas extensões axiais e

e pela distorção total = 2 , não sendo definido a priori e sendo as restantes componentes

nulas para EPT: = = 0. Na Figura 6 podem observar-se as componentes do vector .

24

A forma explícita da equação de compatibilidade no domínio será: === + em

Com = 00

(5. 2)

Figura 7 - Campo de deformações

No que concerne à relação constitutiva de elasticidade, refere-se que a forma que esta toma resulta das

hipóteses de não consideração de deformações residuais e da linearidade física. A matriz representa o

operador elástico, também denominado de matriz das relações constitutivas, em cuja definição se

considera a homogeneidade e isotropia do material.

5.2 Condições na Fronteira

A fronteira da peça é decomposta em duas regiões complementares, por não ser fisicamente possível

impor num ponto simultaneamente uma força e o deslocamento correspondente. São essas regiões a

fronteira cinemática, , e fronteira estática, , sendo aí impostas as condições que caracterizam o

problema.

A condição de fronteira estática (equilíbrio) define o estado de tensão na fronteira que equilibra as forças

aplicadas, representando a matriz a normal exterior unitária da fronteira em questão. O vector ̅ agrupa

as forças de fronteira aplicadas, podendo estas estar distribuídas numa linha ou concentradas num ponto.

A forma explícita da condição de fronteira estática será: + = ̅+ = ̅ em

(5. 3)

A condição de fronteira cinemática (compatibilidade) assegura que os deslocamentos registados no

domínio, junto à fronteira, através do campo de deslocamentos , são coerentes com os deslocamentos

impostos nessa fronteira, .

25

A forma explícita da condição de fronteira cinemática será: == em

(5. 4)

Existe ainda um terceiro tipo de fronteira exterior, a fronteira mista, – a qual resulta geralmente de

uma condição de simetria. Este tipo de fronteira caracteriza-se pela imposição de uma força e a

componente complementar do deslocamento correspondente e pode ser expressa por: =+ = ̅ em

(5. 5)

Ou, complementarmente, no caso de uma condição de anti-simetria: + = ̅= em

(5. 6)

Existem ainda as condições de fronteira Interiores, , as quais são artificialmente introduzidas em

consequência da discretização do domínio em elementos finitos. Estas condições visam ) assegurar a

continuidade dos deslocamentos entre elementos adjacentes – que partilham essa fronteira,

expressando-se por:

( ) = ( ) em (5. 7)

Onde os índices e identificam dois elementos que partilham essa fronteira interior ; bem como )

garantir o equilíbrio das forças em qualquer ponto dessa fronteira:

( ),( ) + ( ),( ) = ̅ em (5. 8)

As forças na fronteira de um elemento podem ser obtidas com recurso à condição de equilíbrio nessa

fronteira, sendo válida para qualquer secção do domínio da peça. Como as normais exteriores dos dois

elementos que partilham a mesma fronteira interior são simétricas, resulta daí uma simplificação na

expressão, vindo esta directamente em termos do estado de tensão em cada elemento:

( ),( ) ( ) − ( ) = ̅ ( ),( ) em (5. 9)

Em que representa a a normal à fronteira interior do elemento e ( ),( ) representa o vector das

forças que, nessa fronteira, equilibram o estado de tensão no elemento. Esta condição de equilíbrio de

tensões entre elementos é também designada por codifusividade.

Em consequência desta equação, as três componentes do estado de tensão em cada elemento estão

relacionadas unicamente por duas equações, ao invés das três necessárias para estabelecer a

continuidade em termos das tensões. Resulta daqui que podem os campos de tensões desenvolvidos em

26

cada elemento ser diferentes na fronteira que estes partilham, mesmo quando anulada a força exterior

aí aplicada.

Tudo isto resulta num enfraquecimento da condição de continuidade do campo de tensão na peça, o qual

resulta directamente da discretização da mesma.

Assim sendo, nos domínios estudados – peças discretizada em dois ou mais elementos, não há,

geralmente, continuidade das tensões, mas sim apenas o equilíbrio das componentes normais e

tangenciais das tensões de ambos os lados dessa fronteira.

Figura 8 – Codifusividade: equilíbrio entre elementos apenas das componentes normais e tangenciais das

tensões (a azul) de ambos os lados dessa fronteira

27

6. Considerações Primal VS Dual para Barras Podem tecer-se algumas considerações em relação à diferença das abordagens primal e dual,

nomeadamente no que concerne à diferença no problema de valores próprios e também no referente ao

número de equações.

Em relação ao problema de valores próprios, a partir destes podem obter-se os vectores próprios do

sistema, os quais correspondem aos respectivos modos de vibração. No caso da abordagem

primal/compatível, os vectores próprios são ortogonais às matrizes de rigidez e de massa, e ;

enquanto na abordagem dual/equilibrada são ortogonais a M e . Esta propriedade deve-se a que, para

um problema de valores próprios generalizados, ( + ) = , existe uma matriz ortogonal tal que: e (6. 1)

são diagonais e as colunas de são os vectores próprios.

As diferenças no problema de valores próprios nas duas abordagens são discutidas em (Santos, 2008), de

onde se extrai o número de frequências próprias obtidas para cada abordagem:

Abordagem Primal – Elementos finitos compatíveis: 6 frequências próprias por elemento sem

restrições e antes da assemblagem, sendo que por cada deslocamento assemblado desaparece uma

frequência própria. Um elemento isostático apresenta 3 frequências próprias.

Abordagem Dual – Elementos finitos equilibrados: 3 frequências próprias por elemento.

Dado ser o tempo de processamento computacional uma questão de grande relevância e dependendo

muito do número de equações, é referida a sua relação com o grau de indeterminação da estrutura para

cada uma das abordagens, para o caso 1D, sendo que a abordagem dual apresenta um maior número de

equações (Santos, 2008):

Abordagem Primal – Elementos finitos compatíveis: o número de equações é igual ao grau de

indeterminação cinemática β da estrutura, sendo que o sistema de equações utilizado no problema de

valores e vectores próprios usa todas estas equações.

Abordagem Dual – Elementos finitos equilibrados: o número de equações é função do grau de

indeterminação estática exterior da estrutura, sendo o sistema de equações constituído por:

Equações relativas à parcela estática: 3 ;

Equações relativas à parcela dinâmica: 3 ;

Equações de equilíbrio nodal: 3 − ( + 3) = 3 − .

Com – número de barras; – número de nós da estrutura; – grau de indeterminação estática exterior

da estrutura; - número de reacções.

Desta forma, pode referir-se que o sistema final (4. 41) fica com 3 equações.

28

Para o caso 2D exemplifica-se na Figura 9 a obtenção do número de equações para aproximações lineares,

em função do número de elementos e do número de nós:

Abordagem Primal: 5 ó 2 çõ = 10 çõ

Abordagem Dual: 4 2 = ã = 8 çõ

Sendo que, em 2D, para Λ linear temos os termos constante, linear em e linear em : + .

Existem 3 funções em cada componente ( , ). Desta forma, existem 3 3 = 9 â .

Desses 9 parâmetros, 2 são dinâmicos – a derivada é diferente de zero. Desta forma temos que a dimensão

de é igual a 2, sendo a dimensão de igual a 7.

Pode também fazer-se uma referência às propriedades das frequências próprias obtidas através de cada

abordagem:

Abordagem Primal – as frequências próprias obtidas constituem-se como majorantes das

respectivas soluções exactas, o que pode ser provado com referência ao Princípio da Inclusão, como se

pode ler em (Santos, 2008). Desta forma, pode escrever-se que: ≤ (6. 2)

Abordagem Dual – as frequências próprias obtidas não têm propriedades de

majorante/minorante, o que ocorre por, ao contrário do que acontecia no caso primal, o problema poder

apresentar como solução frequências próprias nulas, associadas aos modos estáticos; além disso, olhando

para o sistema de equações (4. 38) basta pensar que se houver um modo de vibração muito flexível isso

conduzirá a uma frequência própria ω mais baixa. Desta forma, é inconclusiva a relação entre as

frequências próprias obtidas pela abordagem dual e as respectivas soluções exactas: ≶ (6. 3)

Apresenta-se em seguida uma tabela em que resumidamente se comparam e sintetizam os termos

obtidos em cada uma das abordagens (Santos, 2008):

Figura 9 - Exemplo de obtenção do número de equações, em 2D, para uma discretização em quatro elementos e aproximação linear

29

Primal Dual ∗ − + = Equilíbrio ∗ − + = = Relação Constitutiva = = = Compatibilidade =

Condições de Fronteira = Fronteira Cinemática = = ̅ Fronteira Estática = ̅ Matriz de Aproximação = Rigidez

= Massa

Flexibilidade =

Mobilidade M = ( ) 1 ( )

Tabela 1- Resumo/síntese comparativa dos termos obtidos em cada uma das abordagens

30

31

7. Formulação Combinada O objecto deste estudo é caracterizar a resposta dinâmica de estruturas com modelos complementares

de elementos finitos, os quais já foram apresentados – Primal e Dual, as abordagens originais. Neste

capítulo estuda-se um outro modelo, o qual resulta de combinar esses modelos dinâmicos

complementares. Esta nova abordagem permitirá melhorar a aproximação obtida para as frequências

próprias através da utilização da formulação de cada uma das abordagens originais com informação

obtida através do modelo complementar.

Obtendo-se as soluções provenientes de cada um dos modelos dinâmicos, expressas em termos dos

deslocamentos e dos impulsos, é possível controlar facilmente se estamos perante a solução exacta do

problema, bastando para isso verificar se as tensões e as forças de inércia obtidas a partir de cada um dos

modelos são idênticas: = ( ) = =

e = ∗ (7. 1)

A ideia do modelo combinado será introduzir esta informação no decurso da utilização do modelo

contrário àquele de onde essa informação veio e vice-versa.

7.1. Modelo Primal com informação do Dual (Combine via Primal)

No que concerne às Forças Elásticas, para o modelo Primal (compatível), as forças nodais equivalentes

obtêm-se através da matriz de rigidez, a qual projecta as tensões devidas a cada deslocamento unitário

como sendo as forças nodais equivalentes:

=

(7. 2)

Visto que as tensões, obtidas por via do modelo Dual (equilibrado), representam a derivada no tempo dos

impulsos, pode introduzir-se essa informação na equação anterior. Obtém-se dessa forma uma

interpretação Combinada das forças nodais equivalentes:

=

(7. 3)

visto ter-se = = ; e onde = .

Onde surge a definição de uma nova matriz, , referente ao novo modelo, que combina os modelos

originais ao projectar as derivadas temporais dos impulsos (do modelo Dual) como forças nodais

equivalentes (do modelo Primal) – a primeira coluna desta matriz representa as forças nodais que

resultam de ter o primeiro parâmetro de tensão unitário quando os restantes são nulos. Esta nova

32

definição das forças nodais equivalentes seria exactamente equivalente, para a solução exacta, àquela

obtida exclusivamente através do modelo Primal, não o sendo noutros casos.

Poderemos então pensar em usar uma versão ponderada das forças nodais equivalentes através de: + (1 − ) (7. 4)

Já em relação às Forças Dinâmicas, associadas à matriz de massas, pode aplicar-se um raciocínio

semelhante. Partindo da definição destas forças para o modelo compatível:

=

(7. 5)

Visto que as forças de inércia, obtidas por via do modelo Dual (equilibrado), representam a derivada no

tempo dos impulsos afectada da matriz de compatibilidade ∗, pode introduzir-se essa informação em (7.

5). Obtém-se dessa forma uma interpretação Combinada das forças de inércia, através da integração por

partes do integral que se obtém com a introdução da informação referida:

( ∗ ) = Γ − ( ) = −

(7. 6)

Já que o integral na fronteira se anula, bastando para isso que seja compatível e que seja equilibrado.

Resulta daqui uma definição para forças nodais dinâmicas (para o modelo compatível) como projecção

das derivadas temporais dos impulsos (vindos do modelo equilibrado).

Poderemos então pensar em usar uma versão ponderada das forças de inércia através de: − (1 − ) (7. 7)

Ora, substituindo agora esta informação, (7. 4) e (7. 7), na equação homogénea que rege o problema do

MEF para abordagem Primal, Erro! A origem da referência não foi encontrada., obtém-se a forma desta

equação para a abordagem Combinada que parte da abordagem Primal: + ( − ) + = 0 (7. 8)

7.2. Modelo Dual com informação do Primal (Combine via Dual)

Neste caso, partindo da formulação Dual para construir um modelo combinado através de informação

recolhida do caso Primal, o raciocínio será análogo ao descrito para o caso anterior. Desta forma, tendo

em consideração que as derivadas temporais das tensões podem ser obtidas através dos deslocamentos,

tem-se: = ( ) (7. 9)

33

e ∗ = (7. 10)

Partindo então da equação que rege o problema do MEF para o caso Dual, (4. 28):

M + + = (7. 11)

E seguindo o raciocínio do subcapítulo anterior, após algumas manipulações matemáticas, obtemos a

forma desta equação para a abordagem Combinada que parte da abordagem Dual:

M M + ( M − ) − = 0 (7. 12)

7.3. Equação Resolvente da Formulação Combinada

Juntando as equações que resultam da modificação das abordagens originais nas suas versões

combinadas, (7. 8) e (7. 12), obtemos o sistema matricial da Formulação Combinada para respostas

harmónicas, o qual se constitui como um problema quadrático de valores próprios (Moitinho de Almeida

& Maunder):

M M + ( − )( M − ) − =

(7. 13)

Este problema de valores próprios não será resolvido exactamente da forma como se escreve, em lugar

disso ir-se-á resolver o problema de valores próprios de cada uma das abordagens originais, lineares em

, sendo depois o problema Combinado expresso em coordenadas modais. Esta abordagem será

essencialmente responsável por duas consequências: as matrizes do sistema – , , M e , com

excepção de – tornam-se diagonais, facilitando a resolução do sistema; e, segundo, a dimensão do

problema quadrático de valores próprios não tem de ser elevada, mesmo para malhas refinadas (já que

os ‘primeiros’ modos são os mais relevantes para a resposta). É possível trabalhar com um subconjunto

dos modos, truncando frequências mais altas, que permita a obtenção de resultados com a aproximação

necessária sem despender tanto tempo de processamento numérico. Tomou-se um subespaço que se

considerou suficientemente largo, mas idealmente deveria estudar-se o problema para diferentes

condições, o que se propõe como desenvolvimento futuro de forma a avaliar até que ponto o tamanho

do subespaço influencia os resultados obtidos. A questão que se põe agora prende-se com os valores a

atribuir aos factores de ponderação .

Em (Moitinho de Almeida & Maunder), não se tentando dar resposta cabal a esta questão, os autores

apresentam uma resposta simples baseada em testes numéricos e na sua apreciação, estando esta

questão ainda em aberto.

34

Nota-se, em primeiro lugar, que estabelecendo = e M = se anulam os termos de

acoplamento, levando a que se fique de novo com o problema original de duas equações que regem o

problema de valores próprios da abordagem primal e dual. Desta forma, este é um caso sem interesse.

Estabelecendo, no entanto, = M = e = = − , hipótese adoptada pelos autores e também

neste trabalho, obtém-se de facto um problema quadrático de valores próprios expresso por:

−M + 2 − + =

(7. 14)

Que pode ser escrita como um sistema com a estrutura:

( + 2 + ) =

(7. 15)

De observar que para um sistema de valores próprios com esta estrutura – onde e são reais,

simétricas e positivas definidas; e é imaginária e Hermitiana – resulta, função destas características,

que os valores próprios obtidos serão ou reais, ou imaginários dispostos em pares, ou complexos

dispostos em quadras, como se refere em (Moitinho de Almeida & Maunder).

A hipótese de trabalho que se quer verificar agora, através da análise de alguns casos-exemplo, é que os

valores próprios obtidos para este modelo combinado o são na forma de quadras ± ± , onde a parte

real dos mesmos corresponde a uma aproximação melhorada das frequências próprias do sistema, sendo

que a parte imaginária estará associada com o seu erro em relação à solução exacta/referência. Estes

casos-exemplo serão descritos no capítulo seguinte, sendo posteriormente apresentados e analisados os

resultados obtidos.

35

8. Problemas Analisados

8.1. Problemas com Solução Analítica – Unidimensional

8.1.1. Vibração Longitudinal de Barras

Nesta secção estudam-se problemas associados apenas a modos de vibração longitudinal, designados

FixoFixoN e FixoLivreN e que se descrevem de seguida.

Começando por se estabelecer as equações de equilíbrio de um troço infinitesimal de barra e

prosseguindo com determinadas simplificações e considerações, como se pode ver em (Guerreiro, 1999),

para a análise da vibração longitudinal de barras uniformes e secção transversal constante, chega-se a:

( ) + ( ) = 0

(8. 1)

Equação que traduz um problema de valores e vectores próprios e cuja solução geral é expressa por:

( ) = +

(8. 2)

Com =

Onde as constantes e são função das condições de fronteira e representa a componente espacial

da variável ( , ) - a qual representa o deslocamento ao longo do eixo longitudinal , sendo que ( , ) = ( ) ( ), em que ( ) = ( ) representa a variação no tempo que se admite harmónica.

FixoFixoN

Este problema trata-se de uma barra de comprimento com um apoio fixo em cada extremidade, sendo

as condições de fronteira expressas por: (0) = 0 ( ) = 0 (8. 3)

Da primeira condição resulta que = 0 Da segunda condição resulta que

= 0 ∨ = 0

Sendo que a primeira condição conduz à solução trivial ( e nulos), interessando então anular a função

seno. Assim sendo, a solução para a configuração dos modos terá a forma: ( ) = = 1, 2, 3, … (8. 4)

36

Com as frequências próprias dadas por:

= = 1, 2, 3, … (8. 5)

FixoLivreN

Este problema trata-se de uma barra de comprimento com um apoio fixo numa extremidade e um apoio

livre na outra, sendo as condições de fronteira expressas por: (0) = 0 ( ) = 0 (8. 6)

De maneira análoga chega-se à solução para a configuração dos modos e frequências próprias:

( ) = (2 − 1)2 = 1, 2, 3, … (8. 7)

= (2 − 1)2 = 1, 2, 3, … (8. 8)

8.1.2 Vibração Transversal de Barras

Nesta secção estudam-se problemas associados apenas a modos de vibração transversal, designados

ConsolaM, EncDeslizanteM e EncApoiadaM e que se descrevem de seguida.

Começando por se estabelecer as equações de equilíbrio de forças e momentos de um troço infinitesimal

de barra e prosseguindo com determinadas simplificações e considerações, como se pode ver em

(Guerreiro, 1999), para a análise da vibração transversal de barras uniformes e secção transversal

constante, chega-se a: ( ) − ( ) = 0 (8. 9)

Em que ( , ) = ( ) ( ) representa agora o deslocamento transversal da secção, em que ( )

representa a variação no espaço e ( ) = ( ) a variação no tempo, que se admite harmónica.

Esta equação, a qual traduz um problema de valores e vectores próprios, tem a sua solução dada pela

expressão geral: ( ) = ℎ( ) + ℎ( ) + ( ) + ( ) (8. 10)

Com =

37

Onde as constantes , , e são função das condições de fronteira, sendo que o cálculo dos modos de

vibração e das respectivas frequências próprias se resume à determinação do seu valor para as condições

de fronteira impostas.

ConsolaM

Este problema trata-se de uma barra de comprimento com um encastramento numa extremidade e a

outra livre, sendo as condições de fronteira expressas por: (0) = 0 ′(0) = 0 ( ) = 0 ⟹ ( ) = 0 ( ) = 0 ⇒ ( ) = 0 (8. 11)

Partindo da expressão geral da solução e substituindo as condições de fronteira, chega-se a duas soluções

possíveis, uma delas trivial. Continuando com a solução não-trivial, chega-se à solução para a configuração

dos modos e para as frequências próprias: ( ) = ℎ( ) − ( ) − ( ℎ( ) − ( )) (8. 12)

Onde tem de respeitar a condição: ( ) = ( ); E é definido por: = ( ) ( )( ) ( )

= = 1, 2, 3, …

(8. 13)

Com = 1.875 ; = 4.694 ; = 7.855 ; = 10.996 ; . . . ≈ (2 − 1)2

Para os casos restantes, podem obter-se de forma análoga as soluções analíticas, variando apenas as

condições de fronteira de caso para caso. Desta forma, apresentam-se de seguida, para os restantes casos,

apenas as condições de fronteira que os caracterizam.

EncDeslizanteM

Este problema trata-se de uma barra de comprimento com um encastramento numa extremidade e um

encastramento deslizante na outra, sendo as condições de fronteira expressas por: (0) = 0 ′(0) = 0 ′( ) = 0 ( ) = 0 ⇒ ( ) = 0

(8. 14)

38

EncApoiadoM

Este problema trata-se de uma barra de comprimento com um encastramento numa extremidade e

rotulada na outra, sendo as condições de fronteira expressas por: (0) = 0 ′(0) = 0 ( ) = 0 ( ) = 0 ⇒ ( ) = 0 (8. 15)

8.2. Problemas sem Solução Analítica Directa – Unidimensional

PorticoN

Estuda-se aqui a vibração do pórtico, constituído por três barras de comprimento e com os apoios

rotulados, sendo rígidas as ligações entre barras.

A solução do pórtico plano (Moitinho de Almeida & Maunder) foi obtida considerando, para uma

frequência genérica, a solução exacta para cada barra, a qual pode ser expressa em função dos 6 graus de

liberdade nodais. De seguida, impondo o equilíbrio e a compatibilidade em cada nó, foi obtida uma

expressão genérica da resposta. Sendo que para as frequências próprias o sistema apresenta resposta

infinita, encontraram-se os pontos em que a inversa da resposta se anulava, o que foi feito com recurso

a computação numérica.

8.3. Problemas com Solução Analítica – Bidimensional

8.3.1. Vibração no Plano de Placa Rectangular

Placa Rect 2D

Para o estudo da vibração bidimensional, parte-se das soluções referidas em (Wang, Chamoin, Ladevèze,

& Zhong, 2016).

Figura 10-Problemas unidimensionais estudados: a) FixoFixo, b) FixoLivre, c) ConsolaM, d) EncDeslizante, e) EncApoiada e f) PorticoN

39

O referido exemplo consiste numa placa rectangular de tamanho com = 4, = 2 e espessura

unitária com os quatro bordos simplesmente apoiados, sendo as condições de fronteira expressas por,

Para os bordos no alinhamento da menor dimensão: (− /2) = 0 ( /2) = 0 (8. 16)

E para os bordos no alinhamento da maior dimensão: (− /2) = 0 ( /2) = 0 (8. 17)

Sendo que a solução exacta para as frequências próprias vem dada pela expressão:

√2 = 14 + (3 − )⨀(1 + ν)1 −

(8. 18)

Em que e são as duas componentes do deslocamento = ( , ) ; = 1 é a massa volúmica; = 1 é o módulo de Young; = 0.3 é o coeficiente de Poisson; e é admitido que a placa tem um estado

plano de tensão. Em relação ao operador ⨀: quando ⨀ = +, e devem satisfazer/verificar 1 e 1; sendo que quando ⨀ = −, e não-negativos devem satisfazer a condição + 1.

Pode notar-se que quando ⨀ = −, a expressão conserva o coeficiente de Poisson, sendo visível nas

deformadas obtidas o efeito prático deste facto – quando há tracção numa direcção, há compressão na

outra, e vice-versa – incluem-se ainda os casos de nenhuma onda numa das direcções. Quando ⨀ = +,

os termos do coeficiente de Poisson anulam-se, ficando a expressão independente deste coeficiente,

observando-se que a deformada apresenta tracções ou compressões em ambas as direcções.

Figura 11 - Condições de fronteira da placa rectangular de tamanho a × b usada

40

8.4. Problemas sem Solução Analítica – Bidimensional

8.4.1. Vibração no Plano de Placa em L

Placa L 2D

Volta a partir-se de um exemplo apresentado no trabalho efectuado por (Wang, Chamoin, Ladevèze, &

Zhong, 2016).

O referido exemplo consiste numa placa em L cujas dimensões e condições de fronteira são dadas na

figura seguinte:

Figura 12 - Condições de fronteira e dimensões da placa em L usada

Sendo os parâmetros materiais os mesmos que aqueles usados no anterior exemplo da placa rectangular

e admitindo-se que a placa em L tem um estado plano de tensão.

8.5. Considerações

Note-se que, quando há problemas numéricos, a forma como se resolve o problema, quer seja da forma ( + ) ou, equivalentemente, da forma ( + ), pode afectar a solução, optando-se em cada caso

pela forma que deu resultados numericamente mais estáveis.

41

9. Análise de Resultados

9.1. Introdução

Como exemplificação esquemática daquilo que acontece em cada abordagem, apresenta-se no Anexo A,

para um dos casos analisados, as representações das deformadas e diagramas de momentos obtidos

através das abordagens primal e dual, para duas discretizações diferentes e para os dois primeiros modos.

A par destas apresentam-se as representações correspondentes à solução exacta.

É possível verificar as descontinuidades na representação do diagrama de momentos flectores no caso da

abordagem primal e da deformada no caso da abordagem dual. Estas descontinuidades vão se esbatendo

com a melhoria da solução, nomeadamente através do aumento da discretização. Refere-se ainda que

nas representações apresentadas não foi tomada especial atenção à escala apresentada, visando apenas

dar-se uma visão qualitativa do que acontece. O erro estudado está então relacionado com as

descontinuidades que cada abordagem origina. No caso da abordagem combinada resultam dois

diagramas de esforços e duas deformadas, cada uma semelhante à da formulação que lhe dá origem.

Seria possível representar um diagrama de momentos flectores médio e uma deformada média, em que

a parte real representa uma estimativa da solução e a parte imaginária estará relacionada com o erro.

Optou-se por não incluir esta representação, focando a abordagem combinada nos valores das

frequências.

Note-se que nas representações referidas ao caso combinado, há um gráfico a tracejado que representa

a parte imaginária, no entanto, sendo a parte imaginária pequena nestas soluções, este gráfico tracejado

acaba por não ser distinguível nas representações. Refere-se ainda que, de qualquer forma, a parte

imaginária se mantém compatível no caso compatível (primal) e equilibrada no caso equilibrado (dual).

As representações podem ser encontradas em anexo, bem como os resultados e gráficos obtidos para os

exemplos estudados. Apresentam-se ainda representações gráficas das tensões e deformações para a

placa L.

9.2 Análise de Resultados – Problemas Unidimensionais

Os gráficos, dispostos no Anexo B, apresentam nas ordenadas o erro absoluto, em relação à solução de

referência, associado à solução obtida a partir de cada uma das três abordagens – observe-se que no caso

da abordagem combinada esta se constitui como a parte real da solução complexa obtida (REALV) –, bem

como o valor da parte imaginária da solução combinada (IMAGV). No eixo das abcissas apresenta-se a

malha de discretização (nbarra), que neste caso corresponde ao número em que cada barra é subdividida,

tendo-se usado as discretizações nbarras = 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 e 768. Apresentam-se os valores

para as discretizações 3, 12 e 48, as quais se julga serem representativas no contexto do estudo, já que se

pretende mostrar que a abordagem combinada apresenta soluções muito satisfatórias para malhas

relativamente grosseiras. Ambos os eixos apresentam escala logarítmica.

Começando a análise dos resultados pelo caso FixoFixoN, observa-se que, para cada frequência, para cada

42

malha de discretização, os resultados obtidos por via da abordagem combinada apresentam um erro

inferior àqueles obtidos tanto pela abordagem primal como pela dual. Verifica-se que esta diferença no

erro se acentua com a utilização de malhas cada vez mais finas (ou menos grosseiras), dentro daquelas

que se consideraram no estudo. Desta forma, os resultados obtidos pela abordagem combinada

melhoram relativamente às outras duas, com malhas cada vez mais finas.

Observa-se também que os resultados obtidos por via primal e dual apresentam, em termos práticos, o

mesmo erro absoluto, sendo que os seus gráficos coincidem.

No que concerne à parte imaginária da solução combinada, observa-se também um andamento linear

com taxa de variação praticamente constante, à semelhança do que ocorre com os restantes gráficos,

mas com um declive menos acentuado.

Os resultados do exemplo FixoLivreN são consistentes com os do exemplo anterior, sendo a análise destes

resultados em tudo análoga aos desse exemplo. Este resultado não é inesperado dado que uma estrutura

resulta de uma simplificação de anti-simetria da outra.

Na Figura 13 podem observar-se alguns exemplos dos resultados obtidos para uma melhor percepção da

análise que se faz e do tipo de gráficos de que se fala, não se dispensando a consulta ao vasto leque de

resultados apresentados no anexo referido.

No caso da ConsolaM, verifica-se que a análise feita para o caso FixoFixoN se mantém totalmente válida

até à discretização nbarras=24 para todas as frequências. A partir daqui os resultados perdem estabilidade

numérica, sendo que para o caso da primeira frequência isto ocorre a partir da discretização nbarras=24.

No entanto, regista-se que o erro associado à solução combinada se situa sempre abaixo do erro associado

às soluções primal e dual.

Nota-se ainda que a partir da discretização que marca este ‘início de instabilidade’ para cada uma das

frequências, o gráfico do erro da solução combinada cresce e o gráfico da parte imaginária da solução

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F1 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-111,00E-10

1,00E-091,00E-08

1,00E-071,00E-06

1,00E-051,00E-04

1,00E-031,00E-02

1,00E-01

1,00E+001,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F1 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

Figura 13 – Resultados para a primeira frequência (F1) para os casos FixoFixoN e ConsolaM

43

combinada decresce, o que contraria a hipótese de a parte imaginária da solução estar associada ao erro

que ela tem – o erro cresceria com o aumento da parte imaginária.

Pode, no entanto, referir-se que visto verificar-se essa ‘instabilidade’ de forma generalizada entre os

gráficos – também os gráficos relativos às abordagens primal e dual registam essa tendência e sempre a

partir da mesma discretização –, poderá o fenómeno estar relacionado com erros numéricos associados

à resolução do problema de valores próprios. Outra referência que se poderá fazer e que advoga também

esta mesma conclusão é que se não existissem erros numéricos se teria sempre melhores resultados para

discretizações mais finas – o que é demonstrável matematicamente – e, consequentemente, menores

erros em relação à solução tida como referência – e que neste caso se trata precisamente da solução

exacta. Ora, desta forma, e atendendo a que o próprio gráfico associado ao erro da amplamente

conhecida formulação primal também segue a tendência de aumento do erro com malhas mais finas a

partir desse ‘momento de instabilização’, a hipótese de problemas numéricos ganha força.

Outra observação pode ainda ser feita acerca desse ‘momento de instabilização’ e que é registar-se a sua

ocorrência a partir dos seguintes pontos para cada frequência: a partir de nbarras=24 para a 1.ª

frequência; a partir de nbarras=48 para a 2.ª frequência; e a partir de nbarras=96 para as frequências 7,

8, 9 e 10. Desta forma verifica-se que, com o aumento da discretização, a instabilidade ocorre mais

precocemente para as frequências mais baixas.

O caso dos exemplos EncDeslizanteM e EncApoiadoM seguem a linha dos resultados obtidos no exemplo

da ConsolaM, sendo a análise dos resultados em tudo semelhante ao desse exemplo. Refere-se, no

entanto, uma particularidade acerca deste exemplo observada nos resultados relativos a algumas

frequências, a partir do ‘momento de instabilização’: o gráfico da parte imaginária da solução combinada

cruza o gráfico do erro associado a essa mesma solução combinada.

A análise dos resultados relativos ao exemplo PorticoN segue também as linhas do exemplo ConsolaM,

sendo de notar, em relação ao que é graficamente perceptível, que a linearidade com que os gráficos

evoluíam nos exemplos anteriores, até ao grau de discretização a partir do qual se verificava a sua

‘instabilização’, deixa de ser tão rigorosa, podendo notar-se perturbações no andamento dos gráficos.

Nomeadamente, e por exemplo, nos gráficos relativos às frequências 9 e 10, evidencia-se uma certa

concavidade no andamento dos gráficos até à discretização nbarras=192; e também o distúrbio no troço

inicial do gráfico relativo ao erro associado à solução combinada, Erro REALV, relativo à frequência 7.

Sendo este exemplo do PorticoN um caso mais complexo que aqueles vistos anteriormente, é natural

/expectável que os problemas numéricos associados à resolução dos problemas de valores próprios se

intensifiquem, o que fica patente nestes pequenos ‘distúrbios’ que ocorrem antes do ‘momento de

instabilização’ para cada frequência.

De forma a ter-se uma ideia mais clara do grau da aproximação dos deslocamentos e dos esforços em

cada uma das abordagens, relembra-se essa informação de forma sintética:

44

Abordagem primal: deslocamento longitudinal linear, deslocamento transversal cúbico; esforço

normal constante, momento flector linear;

Abordagem dual: esforço normal linear, momento flector cúbico; deslocamento longitudinal

constante, deslocamento transversal linear.

9.3 Análise de Resultados – Problemas Bidimensionais

Para os problemas bidimensionais duas perspectivas se oferecem: i) analisar, para uma dada malha, a

evolução dos gráficos em função do aumento do grau das funções de aproximação usadas na obtenção

das soluções; ou, inversamente, ii) fixando o grau e observando a evolução dos gráficos fazendo variar a

malha. Sendo que ambas estas perspectivas usam os mesmos resultados, diferindo apenas na ordem de

os apresentar, a análise dos resultados será feita apenas em termos da primeira forma, sendo fornecidos

os resultados da segunda de modo a permitir a leitura complementar. Os gráficos apresentam-se também

no Anexo B.

À semelhança dos gráficos apresentados para os casos unidimensionais, o eixo das ordenadas assume o

mesmo significado, sendo que o eixo das abcissas representa o grau das funções de aproximação.

As malhas usadas utilizam elementos triangulares, sendo que a aproximação se faz atribuindo uma função

às arestas e não através do aumento do número de nós ao longo dessa aresta, i.e, em coordenadas de

área.

São fixadas três malhas de discretização usadas em cada caso. Para o caso da Placa Rect 2D: Malha-0 com

22 elementos; Malha-1 com 86 elementos; e Malha-2 com 346 elementos. Para o caso da Placa L 2D:

Malha-0 com 34 elementos; Malha-1 com 126 elementos; e Malha-2 com 480 elementos O eixo das

ordenadas é apresentado em escala logarítmica, enquanto o eixo das abcissas apresenta uma escala

linear. Deve ainda referir-se que as malhas usadas não coincidem exactamente com aquelas usadas neste

trabalho, (Wang, Chamoin, Ladevèze, & Zhong, 2016), onde as malhas são constituídas por elementos

rectangulares, sendo que se usam malhas de elementos triangulares neste estudo. As malhas usadas na

obtenção das soluções de referência foram de 128 e 2048 elementos, para o caso da placa rectangular; e

de 192 e 768 elementos para a placa em L – sendo que para este 2.º exemplo o artigo indicado não

apresenta quaisquer valores de referência.

Figura 14 – Malha-0 usada para cada um dos casos 2D: 22 elementos para Placa

Rect 2D;; 34 elementos para Placa L 2D

45

Na Figura 14 apresentam-se as malhas mais elementares usadas em cada caso, Malha-0.

No que concerne ao exemplo Placa Rect 2D, os resultados obtidos para a Malha-0 permitem observar

que, fixada a malha, a tendência é de um decréscimo do erro com o aumento do grau das funções de

aproximação, para as três abordagens. Regista-se ainda que os gráficos de evolução do erro, e novamente

para as três abordagens, seguem um desenvolvimento linear de declive quase constante, com o aumento

do grau, para algumas das frequências, nomeadamente da 1.ª à 8.ª, notando-se, no entanto, que por

vezes esta aparente continuidade da derivada é interrompida. No que concerne às frequências 9 e 10,

observa-se que o gráfico do erro da parte real da solução combinada perde a consistência/’estabilidade’

até aí registadas, o que acontece também a par do mesmo comportamento por parte dos gráficos

associados ao erro das abordagens primal e dual; ainda que nestes últimos essa ‘instabilidade’ seja em

menor escala.

Regista-se ainda que, da 1.ª à 10.ª frequência, o gráfico referente à parte imaginária da solução

combinada mantém consistência num desenvolvimento linear de derivada praticamente constante.

Nota-se que os gráficos referentes ao erro das soluções primal e dual, não coincidindo, mantêm registos

muito próximos, não se podendo conclusiva ou cabalmente afirmar que uma abordagem apresenta

melhores resultados que a outra. Pode, por outro lado, verificar-se que, à excepção de quatro pontos –

um referente à 8.ª frequência, dois referentes à 9.ª e um outro referente à 10.ª –, que o gráfico do erro

associado à parte real da solução combinada está sempre abaixo daquele associado a qualquer uma das

duas outras abordagens.

Novamente se apresentam alguns exemplos dos resultados obtidos, agora na Figura 15, para uma melhor

percepção da análise que se faz e do tipo de gráficos de que se fala, não se dispensando a consulta ao

vasto leque de resultados apresentados no anexo referido.

Em relação à discretização com a Malha-1, verifica-se que, com este aumento da discretização face ao

caso anterior, o comportamento mais ou menos regular observado nos gráficos se regista agora

consistentemente a partir da 4.ª frequência, sendo a análise a partir daí em tudo semelhante à

anteriormente feita para o caso da Malha-0.

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+011 2 3 4

Malha 0 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+011 2 3 4

Malha 1 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

Figura 15 - – Resultados para a primeira frequência (F1) do caso Placa Rect 2D – malhas 0 e 1

46

Analisando os resultados para as três primeiras frequências, observa-se que a 1.ª frequência apresenta

ainda o referido andamento regular, estendendo-se a esta a análise anterior.

No gráfico da 2.ª frequência observa-se esse comportamento regular para a transição de grau 1 para grau

2; na transição para grau 3 há uma quebra no andamento do gráfico do erro da solução combinada, sendo

que se mantém ‘regular’ o gráfico da parte imaginária da solução combinada. No que concerne aos

gráficos referentes às soluções primal e dual, estes mantêm sempre regularidade, o que acontecerá

também no gráfico da 3.ª frequência.

Nos resultados da 3.ª frequência, os gráficos referentes à solução combinada mantêm uma certa

regularidade até ao grau 3, sendo que na transição para grau 4 ‘instabilizam’, desta vez com um

decréscimo da parte imaginária conjugada a um aumento do erro da parte real, o que já contraria a

hipótese anteriormente referida a propósito da relação entre estes dois termos.

Pode ainda fazer-se referência ao ponto do gráfico associado ao erro da solução combinada, da 1.ª

frequência, correspondente ao grau 4; o qual não aparece no gráfico visto ser igual a zero – a parte real

da solução combinada coincide com a solução de referência.

Em relação à instabilidade numérica de alguns resultados, uma hipótese possível é de que a solução é tão

próxima de um valor real que se registam problemas numéricos no algoritmo de cálculo do problema de

valores próprios, visto à partida a solução combinada apresentar-se como quadra de valores complexos.

Para a Malha-2, os resultados apresentam em muitos momentos a referida regularidade, mantendo um

andamento linear de derivada praticamente constante com o aumento do grau. Notam-se em particular

perturbações na 2.ª e 3.ª frequências.

Pode referir-se ainda que, mais uma vez, os gráficos referentes às abordagens primal e dual mantêm a

sua consistência, apresentado um decaimento praticamente constante com o aumento do grau, para

todas as frequências.

Por último, tendo em análise o exemplo Placa L 2D, os resultados obtidos para a Malha-0 apresentam um

distanciamento por parte dos resultados obtidos a partir da abordagem primal e dual, sendo que os

segundos apresentam menores erros, situação que se esbate à medida que se aumenta o grau de

aproximação, convergindo o resultado da solução primal para valores da mesma ordem de grandeza de

erro que os obtidos para a abordagem dual. Esta ‘superioridade’ da solução dual mostra-se também face

aos resultados obtidos pela abordagem combinada em muitos momentos, o que também se esbate com

o aumento do grau, excepto no caso da 9.ª e 10.ª frequências – o que pode também ser explicado por se

ter calculado o problema combinado só com alguns modos, o que poderá dar origem a uma menor

qualidade dos modos mais altos. Nota-se, no entanto, que, para qualquer das frequências, para grau 4 os

erros da solução dual e da combinada são comparáveis. À semelhança do que já aconteceu anteriormente,

o gráfico da parte imaginária da solução combinada desenvolve-se consistentemente com um decaimento

praticamente constante.

47

Na Malha-1 o andamento segue as linhas do que se tinha visto na Malha-0, sem grandes novidades,

fazendo-se o mesmo registo em relação à Malha-2.

É possível verificar que, para a Malha-0, não se apresentam valores para a 9.ª e 10.ª frequências

correspondentes ao grau 1, o que se deve a não se terem os valores correspondentes à solução

combinada, o que de seguida se explica.

Considerando um exemplo simples, por exemplo uma consola discretizada em barras, considerando

apenas os modos de flexão e sabendo que cada barra usa quatro funções independentes na aproximação

dos momentos – dado a aproximação ser do 3.º grau, vide (4. 12) e (4. 15), existem quatro parâmetros:

constante, linear, parabólico e cúbico –, dos quais apenas dois estão associados aos modos dinâmicos

(derivada não nula que implica a existência de acelerações, dado não existirem forças de massa aplicadas);

o número de modos dinâmicos, por via do Dual, obtém-se multiplicando esses dois parâmetros dinâmicos

pelo número de barras. No que concerne ao Primal, o número de modos obtém-se directamente do

número de graus de liberdade.

Para determinar a solução Combinada utiliza-se uma parte dos modos dos modelos Primal e Dual. Essa

escolha seleciona o mesmo número de modos de cada modelo, até um máximo de 40 modos, que são

considerados no modelo combinado. Da solução obtida só é considerada válida a primeira metade dos

modos, uma medida que visa assegurar a qualidade dos resultados.

Desta forma se explica que a solução não apresente resultados para alguns dos modos.

No que toca à grande proximidade entre os valores registados para a abordagem dual e para a combinada,

podem tecer-se algumas considerações. Neste caso, os resultados do dual são comparáveis aos do

combinado, ou até mesmo melhores – o que acontece para graus de aproximação menores e,

maioritariamente, de forma residual; mas poderia, noutro exemplo, tratar-se da solução do primal e não

do dual a ter esta relação com a solução do combinado. Esta variação do comportamento deve-se a que,

num determinado exemplo, podem assumir preponderância sobre o comportamento da estrutura tanto

as tensões como os deslocamentos. Ora, neste caso, é notório, pelos resultados obtidos, que são as

tensões o efeito preponderante na definição do comportamento desta estrutura. Simplificadamente,

basta pensar que, por exemplo, a abordagem primal de grau 2 irá envolver deslocamentos de grau 2 e

tensões de grau 1 – as quais resultam das extensões que, por sua vez, resultam da derivada dos

deslocamentos; e que a abordagem dual de grau 2 irá envolver tensões de grau 2 e aproximações dos

deslocamentos de grau 1. A diferença no caso 2D é de apenas um grau (viu-se antes ser de dois graus no

caso 1D). Evidenciando-se que a abordagem dual fornece resultados muito bons para menores exigências

(grau menor ou malha menor), fica patente que o que prepondera neste exemplo são as tensões,

nomeadamente devido ao efeito das singularidades apresentadas – canto reentrante e extremidades dos

encastramentos. Desta forma, visto as singularidades serem o factor preponderante, para as malhas

48

utilizadas, que podem ser consideradas como relativamente grosseiras, as soluções obtidas não vão ‘ver’

muito além desse factor dominante.

Sendo a solução do dual comparativamente melhor, o princípio em que se baseia a ideia de que a solução

combinada gera resultados melhores é o mesmo que justifica a perda desse estatuto para a solução dual

em algumas situações: a ideia é que a abordagem combinada pega na informação proveniente de duas

soluções, obtidas por via combinada, ‘menos boas’, as quais têm maior enfoque uma na compatibilidade

e outra no equilíbrio da solução, e combina as informações disponíveis para obter um resultado de maior

precisão. Neste caso, e em casos semelhantes, em que uma das soluções, primal ou dual, é já muito boa,

a abordagem combinada já não acrescenta uma qualidade adicional tão relevante, para além de poder

instabilizar por problemas numéricos pela mesma razão já anteriormente referida – a solução é tão

próxima de um valor real (a parte imaginária é tão pequena) que podem surgir problemas de natureza

computacional de processamento do problema de valores próprios. Seria interessante, nestes casos,

estudar a influência da alteração dos valores dos pesos da formulação combinada, assunto que se

recomenda como desenvolvimento futuro.

Em suma, no que toca à instabilização numérica dos resultados, a partir de determinado nível da

discretização, as soluções numéricas instabilizam e a partir daí os resultados não permitem tirar

conclusões, devendo ser ignorados. Em rigor, pode argumentar-se contra a apresentação dos resultados

a partir desse ponto, no entanto, a justificação da sua presença prende-se com a vontade de documentar

todos os resultados/cenários obtidos. Em relação ainda a esta instabilização, duas alternativas se

poderiam colocar, no sentido de tentar ‘resolver’ esta situação: i) acreditando-se que ela surge de

problemas numéricos devidos à solução combinada apresentar resultados muito bons, trabalhar com

algarismos de vírgula flutuante com mais dígitos – o que, mantendo-se o mesmo processador, daria aso

a menor eficiência no processamento; ou ii) recorrer a rotinas especificamente orientadas para a

estrutura deste problema, o que poderia pelo menos reduzir os problemas de má convergência.

Acrescenta-se que, no Anexo C, se juntam representações gráficas das deformadas e tensões obtidas para

este exemplo da placa em L, obtidos por via das abordagens primal e dual, para alguns modos, de forma

a ilustrar também para este exemplo, a convergência da solução, analogamente ao que se mostra

esquematicamente para um dos exemplos do caso unidimensional. Apresenta-se uma escala qualitativa

que toma valor zero ao centro e cujos valores absolutos nos extremos valem: 0,5 [kN/m2] para as tensões

normais; e 0,3 [kN/m2] para as tensões tangenciais. Acrescenta-se ainda que, por vezes, para um mesmo

modo, as deformadas e as representações das tensões trocam de sinal de uma abordagem para a outra,

o que se deve a o modo não ter orientação, o que não altera em nada os resultados, bastando-se

multiplicar o modo por -1 para obter o outro resultado.

49

10. Conclusões e Desenvolvimentos Futuros

Neste capítulo apresentam-se resumidamente as conclusões tiradas aquando da análise de resultados

feita no capítulo anterior, bem como as propostas para desenvolvimento futuro consideradas mais

interessantes. Para uma melhor compreensão destes pontos-chave recomenda-se, principalmente, a

leitura do referido capítulo.

Nos problemas unidimensionais, o erro associado à parte real da solução

combinada é consistentemente inferior àquele apresentado para as soluções

primal e dual. As soluções do primal e dual apresentam valores muito

semelhantes, o que se traduz pela sobreposição dos dois gráficos. O decaimento

da parte imaginária da solução combinada, não tendo a mesma taxa de decaimento

do erro associado à parte real, é consistente com o decaimento do erro da

parte real e, portanto, consistente com a hipótese de trabalho de que a parte

imaginária está relacionada com o erro da solução. Estas conclusões são

válidas até se verificar uma instabilidade numérica dos resultados; a

partir desse ponto os resultados são ignorados.

Na Placa Rect 2D, as conclusões são semelhantes àquelas dos problemas

unidimensionais: o erro da solução combinada é inferior ao das restantes

soluções; as soluções do primal e dual, não coincidindo, apresentam registos

muito próximos; com o refinamento do grau as soluções melhoram; e o gráfico da

parte imaginária é consistente com o do erro da parte real da solução

combinada. Observa-se que com o aumento da malha os problemas de instabilidade

numérica se agravam, aparecendo mais precocemente – no entanto, agora, os

gráficos do primal e dual apresentam muito menor sensibilidade a estes

problemas, comparativamente aos da solução combinada.

Na Placa L 2D as conclusões são semelhantes ao caso da placa rectangular

com excepção de dois aspectos principais: i) os gráficos do primal e dual já

não são tão próximos, sendo que o do dual melhora ao ponto de se equiparar ao

do combinado, o que se deduz dever à preponderância que neste exemplo as

tensões assumem na definição do comportamento da estrutura; e ii) a

instabilidade numérica, não afectando muito a solução do primal, já

aparece no gráfico do dual na mesma medida em que afecta o da parte real do

combinado. Acreditando-se que a instabilidade numérica da solução combinada

possa estar relacionada com a qualidade dos seus resultados, seria

interessante observar o que aconteceria com a alteração dos pesos das duas formulações

combinadas.

50

No sentido de pelo menos reduzir os problemas de má convergência, que se

acredita surgirem de problemas numéricos, propõem-se duas alternativas: i)

trabalhar com maior precisão, aumentando o número de dígitos dos algarismos de

vírgula flutuante; e ii) recorrer a rotinas especificamente orientadas para a

estrutura deste problema.

No caso dos problemas unidimensionais, usar também um refinamento tipo-p.

Por exemplo usar funções de grau superior em que os valores nos nós são nulos,

alterando/melhorando dessa forma só a aproximação no interior da barra, não

complicando a ‘soma de funções’ para acerto do valor nos nós de ligação –

equilíbrio/compatibilidade entre barras adjacentes.

Tendo-se trabalhado com um subespaço dos modos na abordagem combinada,

avaliar até que ponto a dimensão desse subespaço influencia os resultados

obtidos.

Trabalhando a abordagem combinada com expressões ponderadas, que resultam

das duas formulações híbridas que a constituem, estudar sistematicamente a

influência da alteração dos valores dos pesos nos resultados obtidos e na

estabilidade numérica da solução combinada.

51

Bibliografia

Clough, R. W. (1993). Dynamics of Structures. McGraw-Hill.

Freitas, J. A. (2009). Introdução ao Método dos Elementos Finitos: Estruturas Articuladas. IST.

Guerreiro, L. (1999). Osciladores lineares contínuos - Apontamentos da disciplina de Dinâmica e

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Melo, V. A. (2010). Avaliação da qualidade dos majorantes do erro das soluções de elementos finitos. IST.

Moitinho de Almeida, J., & Maunder, E. (s.d.). Improved eigenfrequencies of mechanical systems by

combining complementary models. in preparation.

Santos, P. M. (2008). Soluções Compatíveis e Soluções Equilibradas em Análise Dinâmica - Aplicação no

Domínio do Tempo a Estruturas Porticadas. IST.

Wang, L., Chamoin, L., Ladevèze, P., & Zhong, H. (2016). Computable upper and lower bounds on

eigenfrequencies. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, pp. 27-43.

52

Anexo A

Representação qualitativa de Deformadas e Esforços:

Barra Encastrada-Apoiada

53

Anexo B

Listagem de Resultados e Gráficos:

- FixoFixo

- FixoLivre

- ConsolaM

- EncDeslizante

- EncApoiada

- PorticoN

- Placa Rect 2D (por Malha)

- Placa Rect 2D (por Grau)

- Placa L 2D (por Malha)

- Placa L 2D (por Grau)

55

—

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F1 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F2 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F3 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F4 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F5 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F6 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

—

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — — — — — — — — — —

— — — — — — — — — — — — — — — —

— — — — — — — — — — — — — — — —

— — — — — — — — — — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F7 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F8 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F9 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoFixoN - F10 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

57

—

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F1 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F2 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F3 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F4 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

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1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F5 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F6 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

—

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — — — — — — — — — —

— — — — — — — — — — — — — — — —

— — — — — — — — — — — — — — — —

— — — — — — — — — — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

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1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F7 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F8 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F9 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

FixoLivreN - F10 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

59

—

1,00E-121,00E-111,00E-101,00E-091,00E-081,00E-071,00E-061,00E-051,00E-041,00E-031,00E-021,00E-011,00E+001,00E+011,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F1 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-121,00E-111,00E-101,00E-091,00E-081,00E-071,00E-061,00E-051,00E-041,00E-031,00E-021,00E-011,00E+001,00E+011,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F2 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-121,00E-111,00E-101,00E-091,00E-081,00E-071,00E-061,00E-051,00E-041,00E-031,00E-021,00E-011,00E+001,00E+011,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F4 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

— — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

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1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F6 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-121,00E-111,00E-101,00E-091,00E-081,00E-071,00E-061,00E-051,00E-041,00E-031,00E-021,00E-011,00E+001,00E+011,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F3 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

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1,00E-06

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1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F5 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

—

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F7 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F8 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F9 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

ConsolaM - F10 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

61

—

— — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F1 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F2 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

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1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F3 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F4 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F5 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F6 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

—

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F7 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F8 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F9 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncDeslizanteM - F10 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

63

—

— — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F1 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F2 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F3 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F4 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F5 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F6 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

—

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

— — — — — — — —

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F8 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F7 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F9 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

EncApoiadaM - F10 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

65

—

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

PorticoN - F1 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

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1,00E+00

1,00E+01

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1 10 100 1000

PorticoN - F2 - Erros

IMAG V Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

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1,00E+00

1,00E+01

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1 10 100 1000

PorticoN - F3 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

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1 10 100 1000

PorticoN - F4 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

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1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

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1 10 100 1000

PorticoN - F5 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

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1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

PorticoN - F6 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

—

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

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1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

PorticoN - F7 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

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1,00E+00

1,00E+01

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1 10 100 1000

PorticoN - F8 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

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1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

PorticoN - F9 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

1,00E-12

1,00E-11

1,00E-10

1,00E-09

1,00E-08

1,00E-07

1,00E-06

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1,00E-03

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1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1 10 100 1000

PorticoN - F10 - Erros

IMAGV Erro P Erro D Erro REALV

67

Resultados — Placa Rect 2D — Malha-0 22 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG Com e P e D e Com

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1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1

Malha 0 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

Resultados — Placa Rect 2D — Malha-0 22 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG e P e D e Com

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 0 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

69

Resultados — Placa Rect 2D — Malha- 86 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG e P e D e Com

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1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

Resultados — Placa Rect 2D — Malha- 86 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG Com e P e D e Com

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 1 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

71

Resultados — Placa Rect D — Malha- 6 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG Com e P e D e Com

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

Resultados — Placa Rect D — Malha- 6 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG e P e D e Com

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1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+01

1 2 3 4

Malha 2 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

73

— —

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

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1,00E-03

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1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

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1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

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1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

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1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

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1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

— —

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

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1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

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1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 2 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

75

— —

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

— —

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

77

— —

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

— —

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

1,00E-05

1,00E-03

1,00E-01

1,00E+0110 100 1000

Grau 4 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

79

Resultados — Placa L 2D — Malha-0 22 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG Com e P e D e Com

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1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

Resultados — Placa L 2D — Malha-0 22 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG e P e D e Com

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1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 0 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

81

Resultados — Placa L 2D — Malha- 86 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG e P e D e Com

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1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1

Malha 1 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

Resultados — Placa L 2D — Malha- 86 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG Com e P e D e Com

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1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 1 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

83

Resultados — Placa L D — Malha- 6 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG Com e P e D e Com

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1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

Resultados — Placa L D — Malha- 6 ele e tos

Malha/Elemts G au P e D F e Exa ta P D Com IMAG e P e D e Com

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1,00E-06

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1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

1 2 3 4

Malha 2 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

85

— —

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

— —

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 2 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

87

— —

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 3 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 3 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

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1,00E+00

10 100 1000

Grau 3 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 3 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-13

1,00E-11

1,00E-09

1,00E-07

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1,00E+0110 100 1000

Grau 3 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

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10 100 1000

Grau 3 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

— —

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 3 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 3 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 3 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 3 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

89

— —

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F1

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F2

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F3

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F4

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F5

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F6

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

— —

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F7

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F8

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F9

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

1,00E-06

1,00E-04

1,00E-02

1,00E+00

10 100 1000

Grau 4 - F10

Exact-Combine Erro P Erro D IMAG Comb

91

Anexo C

Representação Gráfica de Deformada e Tensões:

Placa L 2D

93

— —

- -

— —

- -

95

— —

- -

— —

- -

97