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• semivariograma empírico• semivariograma empírico

• krigeagem• krigeagem

• análise estrutural• análise estrutural

• isotropia e anisotropia• isotropia e anisotropia

• efeito pepita, alcance e patamar• efeito pepita, alcance e patamar

• validação cruzada• validação cruzada

P a l a v r a s - c h a v eP a l a v r a s - c h a v erealidaderealidade

análise estruturalanálise estrutural

cenáriocenário

Geoestatística para geoprocessamentoGeoestatística para geoprocessamento

Organizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPE

OBJETIVO

Apresentar as principais noções básicas de geoestatística

para o tratamento de dados geográficos, com exemplos

práticos no sistema Sistema de Processamento de

Informações Georeferenciadas - SPRING.

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TÓPICOS

1) Introdução / Motivação

2) Principais conceitos teóricos

3) A função variograma

4) Modelos teóricos de variograma

5) Isotropia e anisotropia

6) Validação cruzada

7) Krigeagem linear

8) Integração: SPRING e geoestatística

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Introdução / Motivação

• Os métodos geoestatísticos, ou simplesmente geoestatística, foram desenvolvidos graças aos estudos do engenheiro de minas Georges Matheron na França no início dos anos 60.

• A geoestatística está fundamentada na Teoria das Variáveis Regionalizadas, a qual foi formalizada por Matheron a partir de estudos práticos desenvolvidos por Daniel G. Krige, no cálculo de reservas nas minas de ouro na África do Sul.

• Atualmente a geoestatística é aplicada em vários campos, desde as ciências da Terra e atmosfera, na agricultura, nas ciências dos solos e hidrologia, estudos ambientais e mais recentemente na epidemiologia.

Origem da geoestatística

Parte 1

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É uma abordagem PROBABILÍSTICA de modelagem, que engloba umconjunto de métodos estatísticos, para a análise e mapeamento de dados distribuídos no espaço e/ou no tempo.

O que é geoestatística?

Introdução / MotivaçãoParte 1

Requer o conhecimento de alguns conceitos básicos:

• Variável aleatória (V.A.)

• Momentos da V.A. Exs: E[X]), C[X,Y];

• Função densidade de probabilidade (FDP);

• Função de Distribuição Acumulada (FDA): univariada e bivariada;

• Função aleatória (FA), etc.

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A modelagem geoestatística envolve três etapas:

1) Análise: objetiva descrever a variabilidade espacial do fenômeno em estudo, denominada de análise estrutural ou modelagem do semivariograma.

2) Inferência: objetiva estimar valores de uma variável distribuída no espaço em locais não amostrados, denominada de krigeagem.

3) Simulação: objetiva construir um conjunto de realizações equiprováveis ou igualmente representativa do fenômeno em estudo.

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Região de estudo

interpolação

krigeagem

análise

estrutural

• Construção de cenários• Construção de cenários

• Mapas de incerteza• Mapas de incerteza

simulação

condicionada

Realizações equiprováveisRealizações equiprováveis

Superfície estimada

do fenômeno

investigado

Superfície estimada

do fenômeno

investigado

Superfície da variância

da estimativa

Superfície da variância

da estimativa

análise

exploratória

Etapas da modelagem geoestatística

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Porque usar geoestatística?

Área de Estudo

P r o c e d i m e n t o s d e t e r m i n í s t i c o sP r o c e d i m e n t o s d e t e r m i n í s t i c o s

geoestatísticageoestatística

Amostras de campo

00 1001002525 5050 7575

% teor de argila% teor de argila

inverso da distânciainverso da distância

média Simplesmédia Simples

vizinho + próximovizinho + próximoFazenda CanchimFazenda Canchim

São Carlos - SPSão Carlos - SP

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Principais conceitos teóricosParte 2

•Variável aleatória (V.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística.

u: é um vetor de coordenadas geográficas [u(x,y)];

localizações geográficas onde a variável Z é

medida ou observada, denotado por z(u), u A.

Z representa a variável em estudo.

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•Variável aleatória (V.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística.

Localmente, um valor z(u), u A, é interpretado como uma das possíveis realizações da variável aleatória Z(u).

z(u) =45

V.A. Z(u)

F(u, z) = Prob[Z(u) ≤ z]F(u, z) = Prob[Z(u) ≤ z]

Função de Distribuição Acumulada (FDA) univariada

F(u, z) | (n) = Prob[Z(u) ≤ z | (n)]F(u, z) | (n) = Prob[Z(u) ≤ z | (n)]

z*(u) =51z*=51

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h é um vetor distância entre dois pontos.

z(u+h)

Na geoestatística um caso de particular interesse de F.A. é a FDA bivariada.

F(u, u+h; z1, z2) = Prob[Z(u) ≤ z1, Z(u+h) ≤ z2]F(u, u+h; z1, z2) = Prob[Z(u) ≤ z1, Z(u+h) ≤ z2]

Momento da FDA bivariada: Covariância

C[Z(u),Z(u+h)] = E[Z(u).Z(u+h)] – E[Z(u)].E[Z(u+h)]

•Função aleatória (F.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística.

O conjunto de V.A., {Z(u), u A}, é uma F.A. Z(u).

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PROBLEMA: como deduzir a lei de probabilidade da F.A. Z(u) a partir de uma única realização da mesma?

O que conhecemos de fato até agora?

Em outras palavras, tudo o que se sabe da F.A. Z(u) é uma única realização.

{z(u), u A}

Resposta: uma única amostragem do fenômeno de interesse.

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O paradigma que se estabelece, para inferir as FDA e interpolar valores em localizações não amostradas, é o de assumir a hipótese de

estacionariedade.

• a estacionariedade é uma propriedade do modelo probabilístico, uma hipótese necessária para realização de inferências;

• não é uma característica do fenômeno espacial em estudo;

• é uma decisão feita pelo analista, afim de verificar a adequação do modelo à realidade a ser investigada.

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Hipótese de estacionariedade de 2a ordem

Considera somente o primeiro e o segundo momentos invariantes da F.A.

1) E[Z(u)] = m, u A

E[Z(u)] = E[Z(u+h)] = m ou E[Z(u)] - E[Z(u+h)] = E[Z(u) - Z(u+h)] = 0

z(u+h)

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2) a covariância entre os pares Z(u) e Z(u h), separados por um vetor distância h, é estacionária.

C[Z(u), Z(u h)] = E[(Z(u).(Z(u h)] E[Z(u)].E[Z(u h)] u AC[Z(u), Z(u h)] = E[(Z(u).(Z(u h)] E[Z(u)].E[Z(u h)] u A

z(u+h)

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3) A estacionariedade da covariância implica na estacionariedade da variância:

Var[Z(u)] = E[Z(u) m]2 = E[Z2(u)] 2.E[Z(u)].m m2 =

= E[Z(u).Z(u 0)] 2m2 m2 =

= E[Z(u).Z(u 0)] m2 = C(0), u A

CovariânciaCovariância

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Hipótese de estacionariedade intrínseca

1) E[Z(u) Z(u h)]=0 , u A.

2) Var[Z(u) Z(u h)] = E{[Z(u) Z(u h)]2} = 2(h)

em que:

2(h) é denominado de função variograma e (h) de semivariograma

(h) = C(0) C(h)

a covariância C(h) e o semivariograma (h) são ferramentas equivalentes para caracterizar a dependência espacial.a covariância C(h) e o semivariograma (h) são ferramentas equivalentes para caracterizar a dependência espacial.

estabelece que os incrementos [Z(u) Z(u h)] tem esperança zero e variância somente em função de h, assim:

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(h) = C(0) C(h)

relação entre as funções semivariograma e covariância

Variância =

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Variograma 2(h)Parte 3

O variograma é uma ferramenta básica de suporte às técnicas de geoestatística, quepermite representar quantitativamente a variação de um fenômeno regionalizado noespaço (Huijbregts, 1975).

z(u h)

• 2(h) mede o grau de dissimilaridade entre pares de observação separados pelo vetor distância h;

• é função do vetor distância h;

• depende da geometria de amostragem.

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Variograma 2(h)Parte 3

Definição: esperança matemática (E) do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço separados pelo vetor distância h.

2(h) = E{[z(u) z(u h)]2}

Através de um conjunto amostral, {z(u1), z(u2), ..., z(uN)}, o variograma pode serestimado por:

[ z(ui) z(ui h)]2

1 i = 1

2(h) = ^

N(h): é o número de pares, z(ui) e z(ui h), separados por h;

2(h): é o estimador de variograma; ^

z(ui) e z(ui h): são valores observados nas localizações ui e ui h.

h: é o vetor distância (modulo e direção) entre pares de observação;

em que:

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Semivariograma (h)Parte 3

Definição: metade da esperança matemática (E) do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço separados pelo vetor distância h.

Através de um conjunto amostral, {z(u1), z(u2), ..., z(uN)}, o semivariograma podeser estimado por:

[ z(ui) z(ui h)]2

1 i = 1

(h) = ^

(h): é o estimador de semivariograma; ^

h, N(h), z(ui) e z(ui h): conforme definidos anteriormente.

em que:

(h) = E{[z(u) z(u h)]2}12

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A figura ilustra um semivariograma empírico (ou experimental) com característicasmuito próximas do ideal.

alcance (a)alcance (a)

patamar (C)patamar (C)

efeito pepita (C0)efeito pepita (C0)

(h)(h)

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Cálculo do semivariograma a partir de amostras regularmente espaçadas.

vetor distância hvetor distância h

[ z(ui) z(ui h)]2

1 i = 1

(h) = ^

90o90o

180o180o

45o45oNN

direções de análisedireções de análise

(h) = (h)(h) = (h)

função simétricafunção simétrica

h (km)h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas.

[ z(ui) z(ui h)]2

1 i = 1

(h) = ^

parâmetros adicionaisparâmetros adicionais

tolerância do incremento (lag) tolerância angular largura de banda

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Semivariograma omnidirecional => tolerância angular = 90o

direção de análise (do vetor h) não importa.

••••

••

h (1,135 o)

h (1,2

25o )h (

90o90o270o270o

180o180o

h (1,4

[ z(ui) z(ui h)]2

1 i = 1

(h) = ^

h (|h|; )

h (km)h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exemplo:incremento (lag) = 1 km tolerância lag = 0,5 km

direção de análisedireção de análise

tolerância angular = 90otolerância angular = 90o

90o90o

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Semivariograma direcional => tolerância angular < 90o

•• ••

••••

••

h (1; 304 o)

h (1; 2

90o90o270o270o

180o180o

h (1; 6

[ z(ui) z(ui h)]2

1 i = 1

(h) = ^

(h)(h)

direção do vetor hdireção do vetor h

Tolerância angular < 90o

9090oo9090oo

Exemplo:

incremento (lag) = 1 km

tolerância lag = 0,5 km

direção de análise = 90o

tolerância angular = 35o

55o 90o 125o

|______|_______|

Exemplo:

incremento (lag) = 1 km

tolerância lag = 0,5 km

direção de análise = 90o

tolerância angular = 35o

55o 90o 125o

|______|_______|

h (|h|; )

••

h (1,6; 5

h (km)h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Modelos teóricos de semivariogramaParte 4

O gráfico do semivariograma empírico estimado por é formado por uma sériede valores, sobre os quais se objetiva ajustar uma função.

(h)(h)

O modelo de ajuste deve representar o melhor possível o comportamento de (h).

alcance (a)alcance (a)

patamar (C)patamar (C)

efeito pepita (C0)efeito pepita (C0)

contribuição (C1)

C C0 C1

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Modelo de ajuste esférico

a||0,a

|| 30,5

a||1,5

Sph(h)Sph(h)

C = 1C = 1

a||0,])( Sph[CCa

(h)(h)

C C0 C1C C0 C1

• Normalizado

• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1

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Modelo de ajuste gaussiano

||exp1

0=||,0Gau 2

• Normalizado

a||C+C

a||0)]( [GauC+Ca|| exp1C+C

Gau(h)

C C0 C1

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Modelo de ajuste exponencial

0|h|,a

||exp1

0=|h|,0Exp hh

a||C+C

a||0 ,)]( Exp[C+Ca||exp1C+C

• Normalizado

Exp(h)

C C0 C1

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Modelo de ajuste potência

• Normalizado

0||,||c.

0=||,0)(Pot

0||,|)(|Pot+C||c.+C

e hhhh

Pot(h)

(h)(h)

e<1e<1

e=1e=1

e>1e>1

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a||,CCC

a||a,)(γa||3

a||0,)(γa||3

a||,CCC

a||a,)(γa||3

a||0,)(γa||3

Modelo de ajuste aninhados

Existem determinados fenômenos em que são necessários modelos mais complexos desemivariograma para explicar suas variações espaciais. Estes modelos são combinaçõesde modelos simples, denominados aninhados.

Ex: Modelo aninhado duplo esférico

C = C0+ C1+ C2

a1 a2h

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IsotropiaParte 5

Quando a variabilidade espacial de um fenômeno em estudo é a mesma em todas as direções, diz-se que o fenômeno é isotrópico.

LLLL OOOO

Imagem nível de cinzaImagem nível de cinza Composição ColoridaComposição Colorida

11/04/23 33

IsotropiaParte 5

Considere os semivariogramas ilustrados na figura abaixo

45O45O

90O90O

135O135O

• • • •

• •

• • • •

• • • • • •

• • • •

• •

• • • •

• •

Modelo de ajusteModelo de ajuste

Esta é a representação de um caso simples e menos freqüente, em que a distribuição espacial

do fenômeno é denominada isotrópica.

Neste caso, um único modelo é suficiente para descrever a variabilidade espacial do fenômenoem estudo.

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AnisotropiaParte 5

Quando a variabilidade espacial de um fenômeno em estudo não é a mesma em todas as direções, diz-se que o fenômeno é anisotrópico.

Imagem nível de cinzaImagem nível de cinza Composição ColoridaComposição Colorida

maior menor

direções de continuidade espacial

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AnisotropiaParte 5

Uma forma de detectar a anisotropia é através da observação dos semivariogramas obtidos para diferentes direções.

Convenções direcionais usadas na geoestatística

A análise da anisotropia objetiva detectar as direções de maior e menor continuidade

espacial do fenômeno investigado.

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AnisotropiaParte 5

Um modo direto de visualizar e calcular os parâmetros (fator e ângulo) da anisotropiaé através do esboço gráfico de uma elipse (ou diagrama de rosa ).

S 180oS 180o

Parâmetros da anisotropia

Fator de anisotropia (Fa)

Fa = a2 / a1

Ângulo de anisotropia (Aa)

Aa = tomado da direção Norte para o eixo de

maior continuidade. No exemplo = 30o.

Parâmetros da anisotropia

Fator de anisotropia (Fa)

Fa = a2 / a1

Ângulo de anisotropia (Aa)

Aa = tomado da direção Norte para o eixo de

maior continuidade. No exemplo = 30o.

Tipos de anisotropia: geométrica, zonal e combinada.

11/04/23 37

AnisotropiaParte 5

Neste caso, os semivariogramas apresentam o mesmo patamar (C) com diferentesalcances (a) para o mesmo modelo.

(h)(h) Mesmo modelo para as duas direçõesMesmo modelo para as duas direções

120O120O

30O30O

Anisotropia geométrica

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AnisotropiaParte 5

Anisotropia zonal

Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) com mesmoalcance (a) para o mesmo modelo.

Como a isotropia, a anisotropia zonal é um caso menos freqüente presente nosfenômenos naturais.

CoCo150

60O60O

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AnisotropiaParte 5

Anisotropia combinada (geométrica + zonal)

Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) e diferentes

alcances (a) para o mesmo modelo. Pode apresentar também diferentes efeitos pepita.

CoCo150

60O60O

11/04/23 40

Semivariograma de superfícieParte 3

É um gráfico 2D que fornece uma visão geral da variabilidade espacial dofenômeno em estudo. Também conhecido como Mapa de Semivariograma.

Utilizado para detectar os eixos de Anisotropia (direções de maior e menorcontinuidade espacial).

ângulo de anisotropia

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Semivariograma de nuvemParte 3

““outliers”outliers”““outliers”outliers”

É um gráfico das semivariâncias de todos os pares de pontos tomados para umdeterminado lag (distância).

O variograma de nuvem é útil para detectar a presença de “outliers”.

11/04/23 42

Validação cruzadaParte 6

É um procedimento para verificar a adequação do modelo de ajuste ao semivariograma

Aprova ?

Modelo semariograma

SimSim

NãoNão

1111 2222 3333 4444 5555

Análises

– estatísticas do erro– histograma do erro– diagrama espacial do erro – diagrama de valores

observados versus estimados

Análises

– estatísticas do erro– histograma do erro– diagrama espacial do erro – diagrama de valores

observados versus estimados

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Validação cruzadaParte 6

Análise de resultados

11/04/23 44

KrigeagemParte 7

O termo krigeagem é derivado do nome Daniel G. Krige

A krigeagem é um estimador estocástico que depende da análise de correlação espacial baseada em semivariograma.

Áreas de Aplicações:

mapeamento geológico (Verly et al., 1984)

mapeamento solo (Burgess e Webster, 1980)

mapeamento hidrológico (Kitanidis et. al., 1983)

mapeamento atmosférico (Lajaunie, 1984)

A krigeagem engloba um conjunto de estimadores:

• krigeagem Simples (*) • krigeagem Ordinária (*)

• krigeagem Universal • co-krigeagem

• krigeagem por indicação • Outros

11/04/23 45

KrigeagemParte 7

Envolve uma combinação linear de n valores em pontos vizinhos.

média local

Z =^u0

i . Z ui

i = 1/n

inverso do quadradoda distância

i = 1/d2

Z =^u0

i . Z ui

krigeagem

Z =^u0

i . Z ui

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KrigeagemParte 7

Os pesos são calculados considerando a estrutura de correlação espacial impostapelo semivariograma

zz análise de correlação espacial baseada em semivariograma

ajuste do semivariograma experimental (modelo teórico)

estimador de krigeagem

validação do modelo de ajuste

11/04/23 47

KrigeagemParte 7

Segundo Journel (1988): K. = k => Kk

1C C .........C 1

C C .........C 1

: : : :

C C .........C 1

1 1 ......... 1 0

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

Substituindo os valores de Cij nas matrizes encontram-se os pesos 1, 2, ..., e n.

Estimador de Krigeagem (Journel, 1988):

Variância de Krigeagem (Journel, 1988):

Os elementos das matrizes de covariâncias são calculados da seguinte forma (Journel, 1988):

11/04/23 48

KrigeagemParte 7

Considere o espaço amostral na figura abaixo. Deseja-se estimar o valor da variável Z no ponto u0, a partir de z(u1), z(u2), z(u3) e z(u4). Considere ainda, que o semivariograma empírico foi ajustado através de um modelo esférico, com a = 200, C1 = 20, e C0 = 2.

5050 uu11

krigeagem ordinária

101111

44434241

34333231

24232221

14131211

CCCCCCCCCCCCCCCC

Os elementos das matrizes são calculados: Cij = C0 + C1 - (h) Os elementos das matrizes são calculados: Cij = C0 + C1 - (h)

Modelo TeóricoModelo Teórico

)250(5,0

2505,1202

C12 = C21 = C04 = C0 + C1 - (50 2)C12 = C21 = C04 = C0 + C1 - (50 2)

= 9,84= 9,84= (2+20) -= (2+20) -

EXEMPLO

11/04/23 49

KrigeagemParte 7

C14 = C41 = C02 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (50)2 ] = 4,98C14 = C41 = C02 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (50)2 ] = 4,98

C13 = C31 = (C0 + C1) - [ V (150)2 + (50)2 ] = 1,23C13 = C31 = (C0 + C1) - [ V (150)2 + (50)2 ] = 1,23

C23 = C32 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (100)2 ] = 2,33C23 = C32 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (100)2 ] = 2,33

C24 = C42 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (150)2 ] = 0,29C24 = C42 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (150)2 ] = 0,29

C34 = C43 = (C0 + C1 ) - [ V (200)2 + (50)2 ] = 0C34 = C43 = (C0 + C1 ) - [ V (200)2 + (50)2 ] = 0

C01 = (C0 + C1 ) - (50) = 12,66 C01 = (C0 + C1 ) - (50) = 12,66

C03 = (C0 + C1 ) - (150) = 1,72 C03 = (C0 + C1 ) - (150) = 1,72

C11 = C22 = C33 = C44 = (C0 + C1 ) - (0) = 22 C11 = C22 = C33 = C44 = (C0 + C1 ) - (0) = 22

5050 uu11

EXEMPLO

11/04/23 50

KrigeagemParte 7

5050 uu11

EXEMPLO

Substituindo os valores de Cij nas matrizes, encontra-se os seguintes pesos:

1 = 0,518 2 = 0,022 3 = 0,089 4 = 0,371

Finalmente o valor estimado é dado por:

0,518 z(u1) + 0,022 z(u2) + 0,089 z(u3) + 0,371 z(u4)0,518 z(u1) + 0,022 z(u2) + 0,089 z(u3) + 0,371 z(u4)Z(u0) = ^

COMENTÁRIO: embora as amostras Z2 e Z3 tenham pouca influência na

estimativa final de Z0, suas influências não são lineares em relação às suas

distâncias a partir de Z0. A amostra Z3 está mais distante que Z2; no en-

tanto, tem mais influência, 8,9%, que Z2, 2,2%. Isto ocorre porque Z0

está diretamente sobre a influência de Z3, enquanto Z2 está muito pró-

ximo de Z1. Ao se introduzir as covariâncias no cálculo dos pesos, evita-se

associar pesos indevidos a “clusters” (agrupamentos) de amostras, o que

não ocorre com outros métodos baseados somente na distância.

11/04/23 51

Integração: SPRING e geoestatisticaParte 8

SPRING: geoestatística

11/04/23 52

Integração: geoestatistica e SPRINGParte 8

11/04/23 53

11/04/23 54

11/04/23 55

11/04/23 56

11/04/23 57

variáveis regionalizadas semivariograma empírico krigeagem análise estrutural isotropia e...

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