variáveis aleatórias
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Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.
• Mais precisamente…
Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória é uma função X: R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …}X = número de carasY = número de transiçõesQuando se observa cck:X = 2Y = 1
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …}X = número de carasY = número de transições
x 0 1 2 3P(X=x)
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …}X = número de carasY = número de transições
x 0 1 2 3P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
função de massa de probabilidade (fmp) de X
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …}X = número de carasY = número de transições
y 0 1 2P(Y=y)
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …}X = número de carasY = número de transições
y 0 1 2P(Y=y) 1/4 2/4 1/4
Função de Distribuição Acumulada
• A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX: RR definida por
FX(x) = P(X ≤ x)
Função de Distribuição Acumulada
• Exemplo: x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
1 2 31/8
1/2
7/81
Se x < 0: P(X≤x) = 0Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2
Função de Distribuição Acumulada
• Roleta numerada continuamente de 0 a 10X = prêmio ganho
0, se x < 0P(X ≤ x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
10
1
Função de Distribuição Acumulada
• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10X = prêmio ganho
Função de Distribuição Acumulada
• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10X = prêmio ganho
0, se x < 0P(X ≤ x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
10
1
Tipos de Variáveis Aleatórias
• DiscretasFX(x) = xi x P(X = xi)
• (Absolutamente) ContínuasFX(x) = xi x fX(x) dx
(onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X)• Mistas
FX(x) = xi x P(X = xi) + xi x fX(x) dx
(Há outras, mais patológicas …)
Exemplo
10
1
P(X = 0) = ½ 0, se x < 0
fX(x) = 1/20, se 0 x 10 0, se x > 10
Propriedades da F.D.A.
• FX é não-decrescente
• lim x– FX(x) = 0, lim x+ FX(x) = 1
• lim xa+ FX(x) = F(a) (continuidade à direita)
Função de Distribuição Acumulada
• A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.)
1 3
0,4
1
x
FX(x)
0,65
P(X = 2) =
P(X = 3) =
P(X < 3) =
P(1 X 3) =
Principais Distribuições Discretas
• Bernoulli• Binomial• Geométrica• Hipergeométrica• Poisson
Principais Distribuições Contínuas
• Uniforme• Exponencial• Gama• Normal (e associadas: 2, t, F)
Bernoulli
• Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0)
1, com probabilidade p
• X = 0, com probabilidade 1–p
Notação: X be(p)
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = número de sucessos
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = número de sucessosCada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos
tem probabilidade pk (1–p)n-k .
kn
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = número de sucessosCada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos
tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo:
Notação: X B(n, p)
nkppkn
kXP knk ,...,1,0,)1()(
kn
Geométrica
• Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.
Geométrica
• Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.X = k k–1 fracassos seguido de um sucesso
Notação: X G(p)
,...3,2,1,)1()( 1 kppkXP k
Hipergeométrica
• Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição.
• X = número de bolas brancas extraídas
Notação: X HG(N, B, n)
nN
bnBN
bB
bXP )(
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?
• Resposta: HG(N, B, n)
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?
• Resposta: HG(N, B, n)Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)
Distribuição de Poisson
• Em média, um site de internet tem = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um minuto?
Distribuição de Poisson
• Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n
• Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p.
• Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a , deve-se ter np =
Distribuição de Poisson
,...2,1,0,!
11)1)...(1(lim!
1)!(!
!lim)(
),(~onde),(lim)(
kek
nnn
knnnk
nnknknkXP
npnBYkYPkXP
k
kn
kn
k
knk
n
n
Distribuição de Poisson
• Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante– Acessos a sites– Chegadas de consumidores a um banco– Número de erros tipográficos em um texto– Número de partículas radioativas emitidas
Exemplo
• No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?
Exemplo
• No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?
P(X>0) = 1- P(X=0) = 1-e-0.5 = 0,395
Exemplo
• Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?
Exemplo
• Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?
Poisson (30)
Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson (t)
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