variáveis aleatórias

Variáveis Aleatórias

• Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

• Mais precisamente…

Variáveis Aleatórias

• Uma variável aleatória é uma função X: R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

Exemplos de variáveis aleatórias

• Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …}X = número de carasY = número de transiçõesQuando se observa cck:X = 2Y = 1


• Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …}X = número de carasY = número de transições

x 0 1 2 3P(X=x)



x 0 1 2 3P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

função de massa de probabilidade (fmp) de X



y 0 1 2P(Y=y)



y 0 1 2P(Y=y) 1/4 2/4 1/4

Função de Distribuição Acumulada

• A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX: RR definida por

FX(x) = P(X ≤ x)


• Exemplo: x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

1 2 31/8

1/2

7/81

Se x < 0: P(X≤x) = 0Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2


• Roleta numerada continuamente de 0 a 10X = prêmio ganho

0, se x < 0P(X ≤ x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10

1, se x > 10

10

1


• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10X = prêmio ganho


• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10X = prêmio ganho

0, se x < 0P(X ≤ x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10

1, se x > 10

10

1

Tipos de Variáveis Aleatórias

• DiscretasFX(x) = xi x P(X = xi)

• (Absolutamente) ContínuasFX(x) = xi x fX(x) dx

(onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X)• Mistas

FX(x) = xi x P(X = xi) + xi x fX(x) dx

(Há outras, mais patológicas …)

Exemplo

10

1

P(X = 0) = ½ 0, se x < 0

fX(x) = 1/20, se 0 x 10 0, se x > 10

Propriedades da F.D.A.

• FX é não-decrescente

• lim x– FX(x) = 0, lim x+ FX(x) = 1

• lim xa+ FX(x) = F(a) (continuidade à direita)


• A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.)

1 3

0,4

1

x

FX(x)

0,65

P(X = 2) =

P(X = 3) =

P(X < 3) =

P(1 X 3) =

Principais Distribuições Discretas

• Bernoulli• Binomial• Geométrica• Hipergeométrica• Poisson

Principais Distribuições Contínuas

• Uniforme• Exponencial• Gama• Normal (e associadas: 2, t, F)

Bernoulli

• Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0)

1, com probabilidade p

• X = 0, com probabilidade 1–p

Notação: X be(p)

Binomial

• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso

• X = número de sucessos

Binomial


• X = número de sucessosCada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos

tem probabilidade pk (1–p)n-k .

kn

Binomial


• X = número de sucessosCada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos

tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo:

Notação: X B(n, p)

nkppkn

kXP knk ,...,1,0,)1()(

kn

Geométrica

• Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso

• X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

Geométrica

• Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso

• X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.X = k k–1 fracassos seguido de um sucesso

Notação: X G(p)

,...3,2,1,)1()( 1 kppkXP k

Hipergeométrica

• Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição.

• X = número de bolas brancas extraídas

Notação: X HG(N, B, n)

nN

bnBN

bB

bXP )(

Exemplo

• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato.

• Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?

Exemplo



• Resposta: HG(N, B, n)

Exemplo



• Resposta: HG(N, B, n)Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)

Distribuição de Poisson

• Em média, um site de internet tem = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um minuto?


• Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n

• Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p.

• Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a , deve-se ter np =


,...2,1,0,!

11)1)...(1(lim!

1)!(!

!lim)(

),(~onde),(lim)(

kek

nnn

knnnk

nnknknkXP

npnBYkYPkXP

k

kn

kn

k

knk

n

n


• Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante– Acessos a sites– Chegadas de consumidores a um banco– Número de erros tipográficos em um texto– Número de partículas radioativas emitidas

Exemplo

• No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

Exemplo

• No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

P(X>0) = 1- P(X=0) = 1-e-0.5 = 0,395

Exemplo

• Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

Exemplo

• Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

Poisson (30)

Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson (t)

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