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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAUNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

““JÚLIO DE MESQUITA FILHO”JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE

Campus de Presidente Prudente

Refinamentos Adaptativos Refinamentos Adaptativos Bidimensionais de DelaunayBidimensionais de Delaunay

Aluno:Danillo Roberto PereiraOrientador: Marco Antônio Piteri

Faculdade de Ciências e Tecnologia

OrganizaçãoOrganização

Contextualizaçao/Enquadramento do Trabalho;

Arquitetura do Sistema;

Triangulação de Delaunay;

Refinamentos Adaptativos de Delaunay;

Exemplos de Malhas;

Considerações Finais.

ENQUADRAMENTOENQUADRAMENTO

MEF

pós-processador

pré-processador

AnáliseAdaptativa

4

Características do sistema Características do sistema Remexe-2DRemexe-2D

Capaz de gerar malhas triangulares e quadrangulares;

Malhas adaptativas (Refinamentos Adaptativos);

Desenvolvido em ANSI C;

Interface Gráfica Tcl/Tk; Portabilidade

Arquitetura do Sistema sob a E.D.T. (winged-edge modificada);

Decomposição ... em regiões convexas;

Domínio Público; Uso Didático;Geração de pontos e de Malhas;

Arquitetura:Arquitetura:Modelo BidimensionalModelo Bidimensional

MODELOBIDIMENSIONAL

geometria

Modelo Hierárquico Topológico

topologia atributos

MODELOTOPOLÓGICO

MODELOGEOMÉTRICO

componenteconexa ...

curvas ...

geo_shell

geo_face

geo_aresta

geo_vértice

geometria

atr_face

atr_loop

atr_aresta

atr_vértice

atributos

atr_shell

ptr

ptr

ptr

ptr

ptr

ptr

ptr

ptr

...

...

...

...

Arquitetura:Arquitetura:Modelo hierárquico topológicoModelo hierárquico topológico

shell

face

aresta

vértice

ciclo

topologia

Arquitetura:Arquitetura:Winged-edge modificadaWinged-edge modificada

pccw

nccw pcw

ncw

face1

ciclo1ciclo2

face2

v2

v1

e

Operadores de EulerOperadores de Euler

msflv

make shell, face, loop and vertex

shellciclo

facevksflv

e1

v2

v1

e1

v2

v1

e

v

mve

Operadores de EulerOperadores de Euler

make vertex and edge

kve

mfle

Operadores de EulerOperadores de Euler

make face, loop and edge

vivj

ciclo1

face1

vivj

ciclo1

ciclo2

face1

face2

kfle

mev

Operadores de EulerOperadores de Euler

make edge and vertex

e

ciclo1

2v

v1v1

ciclo1

kev

ciclo2

ciclo1mekl

Operadores de EulerOperadores de Euler

e

ciclo1

make edge and kill loop

keml

Arquitetura: Remexe-2DArquitetura: Remexe-2D

INTERFACE

BASE DEDADOS

winged-edgemodificada

ANÁLISE

ADAPTATIVA PÓS-PROCESSADOR

OPERADORES DEEULER

PRÉ-PROCESSADOR

ADAPTATIVO

FUNÇÕES

análisenumérica

gráficas

operadores dealto nível

atualização

FUNÇÕES

consulta

busca

...

...

Triangulação de DelaunayTriangulação de Delaunay

Propriedades:

Todos triângulos possuem a circunferência que o circunscreve vazia;

Possui unicidade; exceto em casos degenerados onde 4 ou mais pontos são co-circulares;

Garante a maximização do menor ângulo da triangulação;

Triangulação de DelaunayTriangulação de Delaunay

Algoritmo de LawsonAlgoritmo de Lawson

Malhas de DelaunayMalhas de Delaunay

Refinamentos ...Refinamentos ...

Análise Pós-processamento

QualidadeSatisfeita?

PARE

SIM

Pré-processamento

NÃO

Refinamentos AdaptativosRefinamentos Adaptativos

GeraçãoInicial

de Malha

Condições deFronteira,

Carregamentos,etc

PRÉ-PROCESSADORADAPTATIVO

ANÁLISEADAPTATIVA

PARE

SIM

UTILIZADOR

INTERFACENÃO

ERRO<

Tolerância?(para todo elemento)

Análise

Cálculo doEstimador de ERRO e

dos Indicadores deRefinamento

Geraçãoda Malha

Adaptativa

Refinamentos Adaptativos de Refinamentos Adaptativos de Delaunay: MotivaçãoDelaunay: Motivação

Surgiu a partir da constatação de que a posição e o tamanho dos elementos influencia a qualidade da solução obtida pelo MEF;

Reconhecendo primeiramente que é necessário concentrar elementos em determinadas regiões do domínio que não atendem os requisito de precisão inicialmente proposto.

Um dos grandes paradigmas de refinamentos adaptativos encontra-se na obtenção de de uma malha ótima no sentido de se obter uma solução com um número de elementos mínimos para satisfazer o erro inicialmente pré-estabelecido.

Refinamentos Adaptativos de Refinamentos Adaptativos de Delaunay: ChewDelaunay: Chew

antes depois

O Critério de Chew insere um novo vértice no circuncentro de todo elemento que possui o raio do circuncírculo maior que o tamanho da menor aresta.

Exemplo de malha refinada Exemplo de malha refinada pelo critério de Chewpelo critério de Chew

Refinamentos Adaptativos de Refinamentos Adaptativos de Delaunay: RuppertDelaunay: Ruppert

Caso a inserção de um novo vértice resultar na invasão de algum segmento, tal inserção é cancelada e o segmento que seria invadido deve ser subdividido.

Exemplo de malha refinada Exemplo de malha refinada pelo algoritmo de Ruppertpelo algoritmo de Ruppert

Problemas do princípio de Problemas do princípio de RuppertRuppert

a b

c

d

e

f a b

ce

f d

Propostas de soluçãoPropostas de solução

Idéia de Bern Idéia de Ruppert

Refinamentos Adaptativos de Refinamentos Adaptativos de Delaunay: ShewchukDelaunay: Shewchuk

Shewchuk criou um processo de decisão mais elaborado, onde algumas condições são verificadas para se garantir a subdivisão de um segmento invadido s, ou não. Essas condições encontram-se listadas abaixo.

Se nenhum dos vértices que definem s possuírem ângulos inferiores a 60º, ou se ambos possuírem, então s é subdividido;

Caso contrário, seja a o menor ângulo entre duas arestas consecutivas incidentes a um dos vértices que determinam s. Vamos referenciar esse vértice por v. Neste caso, devemos criar um cluster de segmentos que será composto por todos os segmentos incidentes a v e que se encontram separados de s ou de algum outro segmento do cluster por menos de 60º.

Refinamentos Adaptativos de Refinamentos Adaptativos de Delaunay: ShewchukDelaunay: Shewchuk

Após a definição do cluster de segmentos, o segmento invadido s será subdivido, se e somente se, pelo menos uma das seguintes situações for verdadeira:

Primeiramente devemos dividir todos os segmentos do cluster que possuírem tamanho superior a |s| com a inserção de um novo vértice em seu ponto médio. Se algum desses novos segmentos possuírem tamanho inferior a algum segmento incidente ao vértice que ocasionou a inserção de v, então s é subdivido;

Se algum segmento do cluster possuir tamanho que não seja potencia de 2 (com certa tolerância), então s deve ser subdivido.

Exemplo de malha refinada Exemplo de malha refinada pelo algoritmo de Ruppertpelo algoritmo de Ruppert

Comparação das Comparação das metodologiasmetodologias

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Refinamentos Adaptativos Refinamentos Adaptativos Bidimensionais de DelaunayBidimensionais de Delaunay

Danillo Roberto PereiraAluno do Curso de Ciência da Computação da Faculdade de Ciência e Tecnologia/UNESP

danillo-rob-pereira@bol.com.br