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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
CRISTIANO SOUZA RAMOS
UM EXPERIMENTO APOIADO NA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS SOBRE O ENSINO DE FUNÇÃO
LINEAR AFIM EM UM AMBIENTE COMPUTACIONAL
SÃO PAULO 2014
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
CRISTIANO SOUZA RAMOS
UM EXPERIMENTO APOIADO NA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS SOBRE O ENSINO DE FUNÇÃO
LINEAR AFIM EM UM AMBIENTE COMPUTACIONAL
Dissertação submetida à banca examinadora da Universidade Anhanguera de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros
SÃO PAULO 2014
Ramos, Cristiano Souza
Um experimento apoiado na teoria dos registros de representações semióticas sobre o ensino de função linear afim em um ambiente computacional / Cristiano Souza Ramos. São Paulo: [s.n.] 2014.
206 p. ; il. ; 30 cm. Dissertação (Pós-Graduação) – Universidade
Anhanguera de São Paulo, Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros. Educação matemática. Função linear afim. Registros de representações semióticas. Informática na Educação.
CRISTIANO SOUZA RAMOS
UM EXPERIMENTO APOIADO NA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS SOBRE O ENSINO DE FUNÇÃO
LINEAR AFIM EM UM AMBIENTE COMPUTACIONAL
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Anhanguera de São Paulo, à seguinte
banca examinadora:
BANCA EXAMINADORA
_______________________________________________________________
Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros. – (Presidente – Orientador)
_______________________________________________________________
Prof. Dr. Henrique Guzzo Jr. – (1º Titular Externo – USP)
_______________________________________________________________
Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva. – (1º Titular Interno)
SÃO PAULO 2014
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de
fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _____________________________________
Local e Data: ____________________________________
Dedico este trabalho ao exército de professores deste país, que diariamente buscam
transpor as dificuldades e os obstáculos que surgem durante o exercício do nosso
ofício.
AGRADECIMENTOS
Imensamente ao Professor Doutor Luiz Gonzaga Xavier de Barros, pela sua
competência, dedicação, incentivo, paciência e às suas orientações, nas quais foram
importantíssimas e fundamentais para que esse trabalho fosse realizado.
Agradeço à Professora Doutora Angélica da Fontoura Garcia Silva e ao
Professor Doutor Henrique Guzzo Jr., por aceitarem participar da banca
examinadora e que contribuíram muito com as sugestões dadas na ocasião da
qualificação, enriquecendo o nosso trabalho e auxiliando para que conseguíssemos
chegar ao seu término.
Agradeço imensamente aos Professores do Programa de Pós-graduação da
Universidade que, se disponibilizaram em compartilhar, não somente durante as
aulas, mas também, em outros momentos, seus enormes conhecimentos e
sabedorias, do mundo da Educação.
Aos colegas de curso que muito contribuíram com sugestões e pesquisas
bem feitas para a apresentação dos seminários que ocorreram durante o curso e
que acabaram ajudando na realização dessa pesquisa.
À minha esposa Fabiana e às minhas filhas, Laura e Ana Clara, pela
compreensão, paciência, apoio e carinho.
À Equipe de Direção e Coordenação da Escola, local na qual realizamos o
nosso experimento, e aos alunos que se prontificaram a participar desta pesquisa.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pelo apoio financeiro.
RESUMO
O objetivo desta pesquisa foi investigar o processo de ensino e aprendizagem do
objeto matemático função linear afim. Para isso, nos apoiamos na fundamentação
teórica dada pela Teoria dos Registros de Representações Semióticas desenvolvida
por Raymond Duval (1995, 2000, 2003, 2006, 2011) ao longo de vários livros e
artigos. Como parte do estudo preparatório para esta pesquisa, fizemos leituras de
livros e artigos sobre essa teoria e sua interação com o processo de ensino e
aprendizagem de matemática. Analisamos os materiais didático-pedagógicos: livros
didáticos do Plano Nacional do Livro Didático de 2014, como também o Material de
Apoio ao Currículo da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo (Caderno do
Professor) e das atividades propostas no Caderno do Aluno, com a intenção de se
verificar como o tema função linear afim é abordado sob o ponto de vista dos
registros de representações semióticas. Elaboramos e aplicamos um conjunto de
atividades a um grupo de estudantes da 8ªSérie/9º Ano do Ensino Fundamental de
uma escola pública estadual da cidade de São Paulo. Aplicamos as atividades do
experimento, tanto em um ambiente “Papel & Lápis” como no ambiente
informatizado com a utilização do software “Geogebra”. Após a aplicação e a análise
das produções discentes, colhemos elementos para responder à questão de
pesquisa: “Em que medida a articulação entre registros de representações
semióticas e ambientes computacionais favorece o processo de ensino e
aprendizagem do tópico função linear afim?”.
Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino e Aprendizagem. Função Linear
Afim. Registros de Representações Semióticas. Informática na Educação.
ABSTRACT
The main goal of this research was to investigate the teaching and learning process
of the mathematical object linear map. The theorical fundamentation was given by
the Theory of Registers of Semiotic Representations developed by Raymond Duval
(1995, 2000, 2003, 2006, 2011) in several books and articles. As part of preparatory
study for this research, we did readings of books and articles about the theory and its
interaction with teaching and learning process of mathematics. We analyzed the
didactical-pedagogical materials: didactical books included in the Plano Nacional do
Livro Didático (2014), as also the Material de Apoio ao Currículo da Secretaria de
Educação do Estado de São Paulo (Caderno do Professor) and the activities
proposed in the Caderno do Aluno, with the intention of verifying how the theme
linear map is approached under the viewpoint of the registers of semiotic
representations in these materials. We elaborated and applied a set of activities to a
group of students in the 8th. Serie / 9th. Year of a public Elementary School in São
Paulo City. We applied the experiment activities in a “Paper & Pencil” environment
and in a “Computational” environment using the software “Geogebra”. After the
application and the analysis of the student productions, we had elements to answer
the research question: “How the articulation between registers of semiotic
representations and computational environment easies the process of teaching and
learning of the topic linear map?”
Keywords: Mathematics Education. Teaching and Learning. Linear map.
Registers of Semiotic Representations. Informatics in Education.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Gráfico de uma função ............................................................................. 19
Figura 2 – Exemplo de função linear afim ................................................................. 20
Figura 3 – Exemplo de função constante .................................................................. 21
Figura 4 – Função identidade .................................................................................... 21
Figura 5 – Exemplo de função quadrática ................................................................. 22
Figura 6 – Função exponencial ................................................................................. 23
Figura 7 – Função exponencial ................................................................................. 23
Figura 8 – Função logarítmica ................................................................................... 24
Figura 9 – Função logarítmica ................................................................................... 24
Figura 10 – Função trigonométrica seno ................................................................... 25
Figura 11 – Função trigonométrica cosseno ............................................................. 25
Figura 12 – Raízes de um função de variável real .................................................... 26
Figura 13 – Crescimento de uma função de variável real ......................................... 26
Figura 14 – Decrescimento de uma função de variável real ...................................... 27
Figura 15 – Função linear afim .................................................................................. 28
Figura 16 – Raiz de uma função linear afim – única raiz ........................................... 29
Figura 17 – Raiz de uma função linear afim – não há raiz ........................................ 29
Figura 18 – Raiz de uma função linear afim – infinitas raízes ................................... 29
Figura 19 – Tela inicial .............................................................................................. 39
Figura 20 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 40
Figura 21 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 40
Figura 22 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 40
Figura 23 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 41
Figura 24 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 41
Figura 25 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 41
Figura 26 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 42
Figura 27 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 42
Figura 28 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 42
Figura 29 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 43
Figura 30 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 43
Figura 31 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 43
Figura 32 – Atividade de Matemática da 8ª Série/9ºAno do EF ................................ 56
Figura 33 – Atividade de Matemática da 8ª Série/9ºAno do EF ................................ 57
Figura 34 – Atividade proposta .................................................................................. 65
Figura 35 – Atividade proposta .................................................................................. 66
Figura 36 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 76
Figura 37 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 77
Figura 38 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno EF ............................... 78
Figura 39 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 79
Figura 40 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 80
Figura 41 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 80
Figura 42 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 81
Figura 43 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 82
Figura 44 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 83
Figura 45 – Ícone de atividade digital ........................................................................ 87
Figura 46 – Relação de objetos educacionais digitais ............................................... 88
Figura 47 – Introdução ao conceito de função linear afim ......................................... 89
Figura 48 – Exercícios ............................................................................................... 90
Figura 49 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim .................... 90
Figura 50 – Exercícios ............................................................................................... 91
Figura 51 – Definição da função linear ...................................................................... 92
Figura 52 – Gráfico da função linear ......................................................................... 92
Figura 53 – Definição de função identidade .............................................................. 92
Figura 54 – Exercícios ............................................................................................... 93
Figura 55 – Introdução a proporcionalidade e função linear...................................... 94
Figura 56 – Introdução a proporcionalidade e função linear...................................... 94
Figura 57 – Exercícios ............................................................................................... 95
Figura 58 – Exercícios ............................................................................................... 96
Figura 59 – Exercícios ............................................................................................... 96
Figura 60 – Conteúdo digital ..................................................................................... 98
Figura 61 – Introdução ao conceito de função linear afim ......................................... 99
Figura 62 – Exercícios ............................................................................................. 100
Figura 63 – Exercícios ............................................................................................. 101
Figura 64 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim .................. 101
Figura 65 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim .................. 101
Figura 66 – Definição de função linear .................................................................... 102
Figura 67 – Exercícios ............................................................................................. 103
Figura 68 – Exercícios ............................................................................................. 103
Figura 69 – Exercícios ............................................................................................. 103
Figura 70 – Exercícios ............................................................................................. 104
Figura 71 – Exercícios ............................................................................................. 104
Figura 72 – Exercícios ............................................................................................. 105
Figura 73 – Atividades propostas com a utilização de software .............................. 107
Figura 74 – Atividades propostas com a utilização de software .............................. 108
Figura 75 – Introdução ao conceito de função linear afim ....................................... 108
Figura 76 – Introdução a representação gráfica ...................................................... 110
Figura 77 – Exercícios ............................................................................................. 111
Figura 78 – Exercícios ............................................................................................. 112
Figura 79 – Situação contextualizada do Bloco I de atividades – “Papel & Lápis”. . 122
Figura 80 – Atividade I, Bloco I – “Papel & Lápis”. .................................................. 123
Figura 81 – Atividade II, Bloco I – “Papel & Lápis”. ................................................. 124
Figura 82– Atividade III, Bloco I – “Papel & Lápis”. ................................................. 125
Figura 83 – Atividade IV, Bloco I – “Papel & Lápis”. ................................................ 125
Figura 84 – Situação contextualizada do Bloco I de atividades – “Geogebra”. ....... 126
Figura 85 – Interação do aluno com a atividade informatizada ............................... 127
Figura 86 – Interação do aluno com a atividade informatizada ............................... 127
Figura 87 – Atividade I, Bloco I – “Geogebra”. ........................................................ 128
Figura 88 – Atividade II, Bloco I – “Geogebra”. ....................................................... 129
Figura 89 – Atividade III, Bloco I – “Geogebra”. ...................................................... 130
Figura 90 – Atividade IV, Bloco I – “Geogebra”. ...................................................... 130
Figura 91 – Situação contextualizada do Bloco II de atividades – “Papel & Lápis”. 131
Figura 92 – Atividade I, Bloco II – “Papel & Lápis”. ................................................. 132
Figura 93 – Atividade II, Bloco II – “Papel & Lápis”. ................................................ 133
Figura 94 – Atividade III, Bloco II – “Papel & Lápis”. ............................................... 134
Figura 95 – Atividade IV, Bloco II – “Papel & Lápis”. ............................................... 134
Figura 96 – Situação contextualizada do Bloco II de atividades – “Geogebra”. ...... 135
Figura 97 – Interação do aluno com a atividade informatizada ............................... 135
Figura 98 – Interação do aluno com a atividade informatizada ............................... 136
Figura 99 – Atividade I, Bloco II – “Geogebra”. ....................................................... 137
Figura 100 – Atividade II, Bloco II – “Geogebra”. .................................................... 138
Figura 101 – Atividade III, Bloco II – “Geogebra”. ................................................... 139
Figura 102 – Atividade IV, Bloco II – “Geogebra”. ................................................... 139
Figura 103 – Resultados do questionário socioeconômico ..................................... 142
Figura 104 – Resultados do questionário socioeconômico ..................................... 143
Figura 105 – Resultados do questionário socioeconômico ..................................... 143
Figura 106 – Resultados do questionário socioeconômico ..................................... 144
Figura 107 – Resultados do questionário socioeconômico ..................................... 145
Figura 108 – Resultados Atividade I, Bloco I – “Papel & Lápis”. ............................. 148
Figura 109 – Resultados Atividade II, Bloco I – “Papel & Lápis”. ............................ 149
Figura 110 – Resultados Atividade III, Bloco I – “Papel & Lápis”. ........................... 150
Figura 111 – Resultados Atividade IV, Bloco I – “Papel & Lápis”. ........................... 151
Figura 112 – Resultados Atividade I, Bloco II – “Papel & Lápis”. ............................ 151
Figura 113 – Resultados Atividade II, Bloco II – “Papel & Lápis”. ........................... 152
Figura 114 – Resultados Atividade III, Bloco II – “Papel & Lápis”. .......................... 153
Figura 115 – Resultados Atividade IV, Bloco II – “Papel & Lápis”. .......................... 154
Figura 116 – Resultados Atividade I, Bloco I – “Geogebra”. .................................... 155
Figura 117 – Resultados Atividade II, Bloco I – “Geogebra”. ................................... 156
Figura 118 – Resultados Atividade III, Bloco I – “Geogebra”. .................................. 157
Figura 119 – Resultados Atividade IV, Bloco I – “Geogebra”. ................................. 157
Figura 120 – Resultados Atividade I, Bloco II – “Geogebra”. ................................... 158
Figura 121 – Resultados Atividade II, Bloco II – “Geogebra”. .................................. 159
Figura 122 – Resultados Atividade III, Bloco II – “Geogebra”. ................................. 160
Figura 123 – Resultados Atividade IV, Bloco II – “Geogebra”. ................................ 161
Figura 124 – Evolução das Atividades Bloco I – “Papel &Lápis” ............................. 162
Figura 125 – Evolução das Atividades Bloco II – “Papel &Lápis” ............................ 163
Figura 126 – Protocolo do aluno nº5 ....................................................................... 164
Figura 127 – Protocolo do aluno nº14 ..................................................................... 164
Figura 128 – Protocolo do aluno nº15 ..................................................................... 165
Figura 129 – Protocolo do aluno nº15 ..................................................................... 165
Figura 130 – Protocolo do aluno nº2 ....................................................................... 166
Figura 131 – Protocolo do aluno nº5 ....................................................................... 166
Figura 132 – Protocolo do aluno nº6 ....................................................................... 166
Figura 133 – Protocolo do aluno nº7 ....................................................................... 167
Figura 134 – Protocolo do aluno nº9 ....................................................................... 167
Figura 135 – Protocolo do aluno nº14 ..................................................................... 167
Figura 136 – Evolução das Atividades Bloco I – “Geogebra” .................................. 168
Figura 137 – Evolução das Atividades Bloco II – “Geogebra” ................................. 168
Figura 138 – Protocolo do aluno nº9 ....................................................................... 169
Figura 139 – Protocolo do aluno nº10 ..................................................................... 170
Figura 140 – Protocolo do aluno nº11 ..................................................................... 170
Figura 141 – Protocolo do aluno nº9 ....................................................................... 171
Figura 142 – Protocolo do aluno nº10 ..................................................................... 171
Figura 143 – Protocolo do aluno nº11 ..................................................................... 171
Figura 144 – Protocolo do aluno nº2 ....................................................................... 172
Figura 145 – Protocolo do aluno nº3 ....................................................................... 172
Figura 146 – Protocolo do aluno nº9 ....................................................................... 173
Figura 147 – Protocolo do aluno nº10 ..................................................................... 173
Figura 148 – Protocolo do aluno nº11 ..................................................................... 173
Figura 149 – Desempenho da Turma “A” ................................................................ 175
Figura 150 – Desempenho da Turma “B” ................................................................ 175
Figura 151 – Desempenho das Turmas “A” e “B” .................................................... 176
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Dificuldades dos alunos em relação ao conceito de função ..................... 2
Quadro 2 – Tipos de representação .......................................................................... 48
Quadro 3 – Variáveis visuais ..................................................................................... 52
Quadro 4 – Variáveis visuais ..................................................................................... 52
Quadro 5 – Variáveis visuais ..................................................................................... 53
Quadro 6 – Variáveis visuais ..................................................................................... 53
Quadro 7 – Diferentes registros do objeto matemático “função linear afim” .............. 55
Quadro 8 – Concepções algébricas no ensino fundamental ..................................... 60
Quadro 9 – Conteúdos de Matemática ...................................................................... 70
Quadro 10 – Habilidades de Matemática .................................................................. 71
Quadro 11 – Habilidades de Matemática .................................................................. 71
Quadro 12 – Habilidades de Matemática .................................................................. 72
Quadro 13 – Habilidades de Matemática .................................................................. 72
Quadro 14 – Habilidades de Matemática .................................................................. 73
Quadro 15 – Conteúdos de Matemática da 8ª Série/9º Ano do EF ........................... 75
Quadro 16 – Conteúdos de Matemática da 1ª Série do EM ...................................... 75
Quadro 17 – Distribuição do questionário socioeconômico. .................................... 121
Quadro 18 – Distribuição e composição dos blocos de atividades. ......................... 121
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – RRS no Caderno do Aluno da 8ª Série/9º Ano do EF ............................. 57
Tabela 2 – Tipo de transformação – Caderno do Aluno 8ªSérie/9ºAno do EF .......... 84
Tabela 3 – Sentido da conversão – Caderno do Aluno 8ªSérie/9ºAno do EF ........... 84
Tabela 4 – Sentido da conversão de registros – Livro 1 ........................................... 97
Tabela 5 – Sentido da conversão de registros – Livro 2 ......................................... 106
Tabela 6 – Sentido da conversão de registros – Livro 3 ......................................... 113
Tabela 7 – Critérios de análise, atividades Papel & Lápis, Bloco I e II. ................... 146
Tabela 8 – Critérios de análise, atividades Geogebra, Bloco I e II. ......................... 147
Tabela 9 – Desempenho das Turmas “A” e “B” ....................................................... 174
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1
CAPÍTULO 1 - FUNÇÃO LINEAR AFIM ..................................................................... 7
1.1 A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO ............................................................... 7
1.2 O CONCEITO MODERNO DE FUNÇÃO .................................................................... 18
1.2.1 Definição de função................................................................................................ 18
1.2.2 Função de variável real a valores reais .................................................................. 19
1.2.3 Gráfico da função de variável real .......................................................................... 19
1.2.4 Exemplos de funções de variável real .................................................................... 20
1.2.5 Raiz de uma função de variável real ...................................................................... 26
1.2.6 Crescimento e decrescimento de uma função de variável real ............................... 26
1.2.7 As funções lineares afins........................................................................................ 27
CAPÍTULO 2 - INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................... 30
2.1 INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA........................................................... 30
2.2 REVISÃO DE LITERATURA ....................................................................................... 34
2.3 O AMBIENTE COMPUTACIONAL GEOGEBRA ......................................................... 37
CAPÍTULO 3 - REFERENCIAL TEÓRICO ............................................................... 45
3.1 A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS ..................... 45
3.1.1 A noção de registros de representações semióticas............................................... 47
3.1.2 Os diferentes tipos de registros .............................................................................. 48
3.1.3 Congruência e não congruência de conversões ..................................................... 49
3.1.4 Unidades de sentido............................................................................................... 50
3.2 FUNÇÃO LINEAR AFIM E REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS ..... 51
CAPÍTULO 4 - AS ORIENTAÇÕES SOBRE A ABORDAGEM DO TEMA FUNÇÕES NOS DOCUMENTOS OFICIAIS FEDERAIS E DO ESTADO DE SÃO PAULO ...... 58
4.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN) ............................................... 58
4.1.1 Objetivos da Matemática ........................................................................................ 61
4.1.2 Conteúdos propostos para o ensino de Matemática ............................................... 61
4.1.3 Conceitos e procedimentos .................................................................................... 62
4.1.4 Critérios de avaliação ............................................................................................. 62
4.1.5 Orientações Didáticas ............................................................................................ 63
4.2 CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO ............................................................. 67
4.2.1 Organização dos conteúdos básicos ...................................................................... 67
4.2.2 O processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos básicos ................................ 68
CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DE MATERIAIS DIDÁTICOS ........................................... 74
5.1 MATERIAL DA SEESP: CADERNOS DO PROFESSOR E DOS ALUNOS ................ 74
5.2 MATERIAL DO PNLD 2014: LIVROS DIDÁTICOS ..................................................... 85
5.2.1 Livro didático 1 ....................................................................................................... 87
5.2.2 Livro didático 2 ....................................................................................................... 98
5.2.3 Livro didático 3 ..................................................................................................... 107
CAPÍTULO 6 - METODOLOGIA ............................................................................. 114
6.1 ENGENHARIA DIDÁTICA ........................................................................................ 114
6.1.1 Características gerais da metodologia da engenharia didática ............................. 115
6.1.2 Fases da metodologia da Engenharia Didática .................................................... 116
6.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .................................................................. 119
6.2.1 Local da pesquisa ................................................................................................ 119
6.2.2 Sujeitos ................................................................................................................ 120
6.2.3 Instrumentos de pesquisa – Análise a priori ......................................................... 121
6.2.4 O experimento...................................................................................................... 140
CAPÍTULO 7 - ANÁLISES DAS PRODUÇÕES DISCENTES ................................ 141
7.1 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SOCIOECONÔMICO.............................................. 141
7.1.1 Análise das respostas sobre a utilização do computador ..................................... 141
7.2 ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES .......................................................... 145
7.2.1 Análise das Atividades no Ambiente “Papel & Lápis” ........................................... 148
7.2.2 Análise das Atividades no Ambiente “Geogebra” ................................................. 154
7.3 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ENTRE AS ATIVIDADES ............................... 162
7.3.1 Bloco I versus Bloco II no Ambiente “Papel & Lápis” ............................................ 162
7.3.2 Bloco I versus Bloco II no Ambiente “Geogebra” .................................................. 167
7.3.3 Comparação do desempenho: TURMA “A” versus TURMA “B”............................ 174
CAPÍTULO 8 – CONCLUSÕES .............................................................................. 177
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 182
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 185
ANEXOS ................................................................................................................. 187
1
INTRODUÇÃO
Exerço a profissão de professor efetivo na rede estadual de ensino de São
Paulo há aproximadamente dez anos. Durante esse tempo lecionando, presenciei
algumas discussões, debates e questionamentos que me despertaram enorme
interesse aliado a uma grande preocupação acerca do conteúdo escolar abordado
nas escolas nas quais lecionei. Algumas dessas discussões foram levantadas sob o
ponto de vista da aplicabilidade dos conteúdos matemáticos, dentre eles, o tema
funções. Surgiram questões como: “Os conteúdos matemáticos trabalhados em sala
de aula são realmente úteis aos nossos alunos fora da escola?” ou “O aluno
consegue perceber a conexão do tema funções com a sua praticidade no
cotidiano?”.
Juntamente com essas discussões, pude perceber diariamente no ambiente
escolar, questionamentos dos próprios alunos, em relação do “por que aprender
certos conteúdos matemáticos, por que aprender funções?”. A experiência que
adquiri em sala de aula, me fez perceber que esses questionamentos dos alunos
sobre o conceito de funções poderiam estar relacionados às dificuldades de
percepção em relação a uma das principais características do conceito de função, a
dependência entre grandezas variáveis.
Outro fato que me chamou a atenção e que evidencia as dificuldades dos
alunos em relação ao conceito de função foram os resultados trazidos pelos
relatórios do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo
(SARESP) dos anos de 2009, 2010 e 2011. Os relatórios dessas avaliações
mostram que os alunos têm dificuldades em representar algebricamente uma
função, dado um problema contextualizado; analisar gráficos de funções com o
objetivo de determinar a lei algébrica referente aos gráficos; determinar a variável
dependente, entre outras. No Quadro 1, destacamos a análise pedagógica das
questões da prova do SARESP 2009. Em resumo, são destacados os pontos em
que possivelmente ocorrem as maiores dificuldades dos alunos em relação ao
conceito de função.
2
Quadro 1 – Dificuldades dos alunos em relação ao conceito de função Fonte: RELATÓRIO SARESP (2009, p. 218, 219 e 220)
3
O conceito de função surge da necessidade de representar a dependência
entre grandezas variáveis. Grandes nomes das Ciências, como Isaac Newton e
Galileu Galilei, procuraram observar a natureza e, a partir dessas observações,
chegaram a conclusões que certos fenômenos da natureza podem ser
representados por meio de modelos algébricos (equações, funções, fórmulas), como
exemplifica Chaves e Carvalho (2004):
Para descrever fenômenos da natureza através da matemática, Galileu Galilei (1564–1642) utilizou grandezas físicas que se inter-relacionavam como uma maneira de modelar funções, de forma a ter uma variável que dependia da outra. Diferentemente de seus contemporâneos, seu interesse não era descobrir a causa desses fenômenos, mas descrevê-los algebricamente para que, de posse das condições iniciais, pudesse prever o comportamento de determinados acontecimentos mediante as equações. (Boyer, 1996 apud Chaves e Carvalho, 2004, p. 3).
Hoje em dia, o ensino de funções é de extrema importância para os alunos
sejam do ensino básico como do nível superior. No ensino básico, por exemplo, os
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e para o Ensino
Médio, destacam a importância do ensino do conceito de função para
compreendermos a conexão também com outras áreas do conhecimento. Segundo
os PCN:
O conceito de função desempenha papel importante para descrever e estudar por meio da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de fenômenos do cotidiano como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. (BRASIL, 1999, p. 255).
Dentro do assunto sobre funções, o tema função linear afim ocupa um
espaço importante por tratar de proporcionalidades e de problemas de natureza
linear. Estudar como se dá o processo de ensino e aprendizagem desse tema foi,
assim, escolhido como a proposta geral desta pesquisa.
A Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval
(1995, 2000, 2003, 2006, 2011) se aplica de maneira natural às diversas
4
representações de funções, sendo assim, optamos por eleger essa teoria como
suporte teórico para o experimento que desenvolvemos em nossa pesquisa.
Com a incorporação das tecnologias de informação e comunicação (TIC),
aos processos da Educação, a representação de funções ganhou um aspecto
dinâmico e interativo, que pode favorecer os processos de ensino e de
aprendizagem de Matemática. Dessa forma, além do ambiente “Papel & Lápis”,
decidimos também realizar a pesquisa num ambiente computacional dinâmico.
Optamos pelo software denominado “Geogebra”, porque ele, além de ser livre e ter
uma versão na língua portuguesa, é de fácil manipulação.
Elaboramos uma sequência de atividades sobre o tema função linear afim,
aplicamos a um grupo de alunos e, posteriormente, analisamos as produções
discentes. Com isso, colhemos elementos para responder à questão: “Em que
medida a articulação entre registros de representações semióticas e ambientes
computacionais favorecem os processos de ensino e de aprendizagem do
tópico função linear afim?”.
A estrutura desta dissertação segue a seguinte distribuição:
O Capítulo 1 está dividido em duas sessões, sendo a primeira uma
descrição de alguns aspectos históricos que influenciaram o desenvolvimento
conceitual de função, de uma forma geral e também em relação à sua forma de
notação. Na segunda sessão, apresentamos as propriedades matemáticas que
caracterizam o conceito moderno de função, apresentamos alguns exemplos de
funções e finalizamos o capítulo com a descrição da função linear afim, objeto
matemático do nosso estudo.
No Capítulo 2, em sessões separadas, abordamos as características de
dinamismo e interatividade, presentes atualmente nos softwares voltados à
Educação Matemática. Em seguida, discutimos sobre as pesquisas realizadas no
meio acadêmico e que tiveram como foco de estudo o ensino de função com a
utilização da informática. Para finalizar o capítulo 2, fizemos uma breve
apresentação do software Geogebra, ferramenta que utilizamos em nossa pesquisa.
Falamos um pouco sobre suas características e algumas de suas funções.
No Capítulo 3, na primeira sessão trazemos a “Teoria dos Registros de
Representações Semióticas”, de Raymond Duval, referencial teórico que norteia a
5
nossa pesquisa. Discutimos sobre algumas características essenciais próprias da
teoria, como os diferentes tipos de registros, suas transformações de tratamento e
conversão de registros, a congruência e não-congruência durante a conversão de
registros e as unidades de sentido. Na segunda sessão, procuramos relacionar a
Teoria dos Registros de Representações Semióticas, com o objeto matemático do
nosso estudo: função linear afim. Exibimos algumas representações da função linear
afim em diferentes tipos de registros. Finalizamos o capítulo 3, apresentando duas
atividades presentes no Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo,
analisamos essas duas atividades sob os princípios do referencial teórico.
O Capítulo 4 apresenta uma análise realizada nos documentos oficiais:
federal e estadual. Na primeira sessão, esta analise ocorreu sobre os Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental e na sessão seguinte a análise foi
realizada no Currículo do Estado de São Paulo. O objetivo desta análise foi verificar
a organização dos tópicos de estudo relacionados ao tema funções e as orientações
sugeridas por esses documentos para o desenvolvimento do conteúdo em sala de
aula.
No Capítulo 5, em duas sessões, são apresentadas as análises de materiais
didático-pedagógicos com base nos princípios da Teoria dos Registros de
Representação Semiótica. Na primeira sessão, descrevemos as atividades
propostas sobre o tema função linear afim nos Cadernos dos Alunos da 8ªSérie/9º
Ano do Ensino Fundamental – Volume 2, sendo esse material orientado e
direcionado pelo Caderno do Professor, ambos integrantes do material de apoio ao
Currículo do Estado de São Paulo. Na segunda sessão, descrevemos a análise com
o mesmo foco, feita em três livros didáticos pertencentes ao Programa Nacional do
Livro Didático para o ano de 2014.
No Capítulo 6, a primeira sessão trata dos princípios metodológicos que
orientaram o nosso trabalho: a “Engenharia Didática”, de Michele Artigue.
Discursamos sobre suas principais características como metodologia de pesquisa,
suas fases de planejamento, execução e análise. Na segunda sessão, que trata dos
procedimentos metodológicos, descrevemos as características da instituição de
ensino, no qual, aplicamos a nossa pesquisa, bem como os sujeitos pesquisados.
Fizemos uma descrição dos instrumentos de pesquisa, explicitando os objetivos de
investigação para cada atividade, análise a priori.
6
O Capítulo 7 trata das análises das produções discentes, divididas em duas
sessões. Na primeira sessão, apresentamos os resultados obtidos com a aplicação
de um questionário socioeconômico, no qual investigamos alguns aspectos
relacionados ao uso do computador pelos alunos sujeitos desta pesquisa. Na sessão
seguinte, análise a posteriori, apresentamos os resultados obtidos com a aplicação
dos instrumentos de investigação no formato de atividades sobre o conteúdo
matemático função linear afim, aplicados a um grupo de trinta alunos, divididos em
duas turmas. Ainda, nesta sessão avaliamos a evolução apresentada pelos
estudantes, por meio de uma análise que procurou comparar os seus desempenhos
em cada bloco de atividades. Para finalizar, apresentamos uma análise comparativa
de desempenho entre as duas turmas de alunos pesquisadas.
No Capítulo 8, último capítulo desta pesquisa, apresentamos nossas
conclusões a respeito dos resultados obtidos e sugerimos algumas possibilidades de
pesquisas, que poderão dar continuidade ao estudo iniciado neste trabalho.
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CAPÍTULO 1 - FUNÇÃO LINEAR AFIM
Neste capítulo queremos realçar as propriedades que caracterizam uma
função linear afim.
Começaremos, entretanto, apresentando primeiramente alguns aspectos
históricos que marcaram o desenvolvimento do conceito de função de uma forma
geral e sobre a evolução da sua forma de notação. O presente material foi obtido
nas seguintes fontes: Roque (2012), Berlingoff e Gouvea (2008), Garbi (2007), Eves
(2002), Boyer (1996) e Aaboe (1984).
1.1 A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO
Hoje quando inserimos o tema funções aos nossos alunos durante as aulas
de Matemática, procuramos apresentar as suas diversas concepções, tais como:
variáveis, variação, interdependência, grandezas variáveis, correspondência entre
valores numéricos, regularidades.
Atualmente representamos uma função por meio de tabelas, fórmulas,
gráficos ou de forma descritiva. Neste mesmo contexto escolar, a notação que mais
utilizamos no processo de ensino, presentes também em materiais didáticos, para se
trabalhar de forma simbólica são as notações: x, para a variável independente e y ou
f(x), para a variável dependente.
O conceito de função foi sendo construído durante vários séculos da História
da Humanidade e da Matemática. Portanto, não podemos afirmar que chegamos ao
final do seu desenvolvimento e tão menos em sua forma definitiva de notação.
Afirma-se algumas vezes que a noção de função teve sua origem na
matemática antiga. Segundo Roque (2012 p.369), tabelas babilônicas e egípcias já
continham registros que demonstravam de alguma forma a ideia de correspondência
entre um número e o resultado das operações que envolviam esse número. Muitas
das tábuas matemáticas desse período são tabelas para ajudar nos cálculos ou
coleções de problemas para o treinamento de jovens escribas. Algumas tábuas de
problemas contêm respostas ou mesmo soluções completas, mas há pouco que
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explique o processo de descoberta por trás dos métodos que estão sendo ensinados
ou apresentados. Roque (2012 p. 369) destaca que, nesse momento, ainda não
estava presente a ideia de variação.
Segundo Eves (2002 p. 91), a Grécia Helênica, período da Grécia Antiga
que vai de 800 a 336 a.C., foi berço dos maiores cientistas do mundo antigo.
Apresentou um progresso intelectual e científico surpreendente tanto em Matemática
como em outros campos. Pela primeira vez foram formuladas questões sobre
eventos relacionados à Matemática, como “Por que os ângulos da base de um
triângulo isósceles são iguais?” ou “Por que o diâmetro de um círculo divide esse
círculo ao meio?”, (EVES, 2002, p. 94).
Foi nesse período que se assistiu pela primeira vez ao emprego da
demonstração, do raciocínio dedutivo lógico matemático, por meio de Tales de
Mileto , Pitágoras de Samos, Aristóteles, entre outros.
A forma dominante da matemática grega era a Geometria, embora os gregos
também tenham estudado as propriedades dos números inteiros, a teoria das
razões, Astronomia e Mecânica, com estes dois últimos temas sendo também
tratados em estilo geométrico. (BERLINGOFF e GOUVEA, 2008, p.14).
Nesse contexto, ainda não havia se desenvolvido o conceito funcional ou de
variação. Continuava sim, apenas uma relação de correspondência entre grandezas.
Na Astronomia, por exemplo, Claudius Ptolomeu, em sua obra mais famosa
“Sintaxe”, conhecida também pelo nome de “Almagesto”, que significa “o maior”,
apresentava soluções de problemas astronômicos por meio de relações
trigonométricas, tabuladas por meio do uso de interpolação linear ou por meio de
limites de proporções de duas quantidades infinitamente pequenas.
A Álgebra grega antiga até o período de Diofanto de Alexandria baseou-se
praticamente em uma Álgebra retórica, no qual os argumentos da resolução de um
problema eram escritos em prosa e que a solução dos problemas era descrita
unicamente por meio de palavras, sem abreviações ou símbolos específicos.
Segundo Eves (2002 p.209), uma das principais contribuições de Diofanto à
Matemática, contida em sua obra Aritmética, foi a criação de uma simbologia
algébrica, abreviações para a incógnita, potências da incógnita até o expoente seis,
somas, subtrações, igualdade e inversos.
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Durante todo o período de desenvolvimento da Matemática pelos grandes
mestres da Grécia, os conhecimentos acumulados não foram suficientes para o
desenvolvimento do conceito de variável, nem da abstração das relações de
dependência, não existindo dessa forma, uma ideia mais geral do conceito de
função.
Durante a Baixa Idade Média, período que vai da queda do Império Romano
na metade do século V até o século XI, a produção científica desaparece quase que
por completamente e pouca coisa pôde se observar no desenvolvimento da
Matemática. Somente a partir do final do século XI e início do século XII, começam a
entrar na Europa, traduções para o latim de antigas obras gregas, realizadas pelos
árabes, entre elas o Almagesto de Ptolomeu, os Elementos de Euclides e a Álgebra
de Al-Khowârizmî.
Nos primeiros tempos dos séculos XIII e XIV, começam a surgir na Europa
as primeiras universidades: Bolona, Oxford, Paris, proporcionando grandes
atividades matemáticas, devido ao intenso intercâmbio entre elas. Nesse período, a
natureza do movimento dos objetos, a Cinemática, desperta grande interesse nos
cientistas da época.
O século XIV foi marcado pela Peste Negra e pela Guerra dos Cem anos, as
quais devastaram mais de um terço da população da Europa. Nesse período,
segundo Boyer (1996 pág. 180), o desenvolvimento do conceito de função teve
como protagonista, entre outros, o bispo parisiense de Liseux, Nicole Oresme (1323
– 1382). Em sua obra Proportionibus Proportomum, escrita por volta de 1360,
Oresme generalizou a teoria das proporções. Segundo Roque (2012, p. 287),
Oresme trabalhou em um método gráfico para representar quantidades variáveis.
Vemos aqui, uma sugestão antiga daquilo que agora chamamos representação
gráfica de funções, antecipando alguns aspectos da Geometria Analítica. Para isso,
ele traçou um gráfico da velocidade em relação ao tempo para um corpo que se
move com aceleração constante. Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos
representando instantes de tempo, ou longitudes, e para cada instante ele traçou
perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta, a latitude, cujo
comprimento representava a velocidade. Os termos latitude e longitude, introduzidos
por Oresme, são equivalentes num sentido amplo aos termos abcissas e ordenadas
que são atualmente utilizadas.
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A atividade matemática no século XV centrou-se grandemente nas cidades
italianas e focou-se em torno da Aritmética, Álgebra e Trigonometria.
Regiomontanus (1436 – 1476), um dos grandes representantes desse período,
completou a tradução do grego para o latim do Almagesto, traduziu do grego para o
latim trabalhos de Apolônio, Hierão e Arquimedes. Em sua obra “De triangulis
omnimodis”, trabalho dedicado à trigonometria plana e esférica, ele aplica a álgebra
em métodos de resolução de problemas, e, segundo Garbi (2007 p. 446), ao invés
de referir-se à uma incógnita e ao seu quadrado usando a retórica, ele empregava
dois símbolos simples, o primeiro deles muito parecido com a letra xis minúscula
escrita à mão. Além disso, ele utilizava um traço horizontal “ ” para
representar a igualdade, abandonando a costumeira palavra “aequalis”.
“Não pode haver duas coisas mais iguais”, com essas palavras Robert
Recorde (1510-1558), autor inglês de textos escolares, introduziu pela primeira vez o
moderno símbolo de igualdade “=”, Garbi (2007, p. 448).
O matemático de maior prestígio da França no século XVI foi François Viète.
Sua vasta obra compreende trabalhos sobre Trigonometria, Álgebra e Geometria.
Em seu mais famoso trabalho, “In Artem”, no qual desenvolveu um simbolismo
algébrico, ele introduziu a prática de se usar vogais para representar incógnitas e
consoantes para representar as constantes. Antes do modelo proposto por Viète,
era comum utilizar letras ou símbolos diferentes para representar uma potência. Um
exemplo do resultado da contribuição de Viète na padronização das notações foi a
transformação de A, A quadratum, A cubum em X, X², X³. Atualmente utilizamos as
letras x, y e z do alfabeto para indicar as incógnitas e as letras a, b e c, as
constantes. Esta convenção foi introduzida por Descartes em 1637.
O século XVII, denominado como o século da Revolução Científica, é
associado pelos historiadores à expansão da ciência experimental e à
“matematização” da natureza. Um dos maiores representantes desse período foi
Galileu Galilei (1564 – 1642) nascido em Pisa. Suas contribuições vão da
Astronomia à Matemática. Galileu em seus estudos científicos ocupou-se em
observar e descrever fenômenos naturais, e por meio dessas observações, traduzi-
las em linguagem matemática. Galileu estudou também a Cinemática e lançou os
fundamentos da Dinâmica em geral, fundando a Mecânica dos corpos em queda
livre. Segundo Eves, (2002, p. 354) é sua a afirmação de que “A distância percorrida
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por um corpo em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo
levado para o corpo percorrer esta distância”.
Vemos aqui, um componente fundamental no conceito de função: a
dependência entre as grandezas variáveis: o espaço e o tempo.
Conforme Roque (2012, p. 308), é importante observar que nesse tipo de
estudo do movimento, não importava saber por que um corpo cai, mas como ele cai,
e essa descrição era puramente geométrica. Ou seja, na queda livre, era preciso
saber como as grandezas variavam umas em relação às outras, e a resposta a essa
pergunta implicou na utilização de proporções matemáticas para relacionar as
grandezas. As leis naturais eram escritas em linguagem matemática, mas essa
linguagem era geométrica, sintética, de tipo euclidiano, e não envolvia as fórmulas
algébricas que conhecemos hoje.
O filósofo e matemático francês René Descartes (1596 – 1650), em sua obra
“Discurso do Método”, baseou-se na razão para dar fundamentos à certeza
científica, criando o método científico. Descartes também foi um dos criadores da
chamada Geometria Analítica, sendo esse, um novo método para enfrentar
problemas geométricos. A ideia era que, quando aplicada ao plano, consistia em
estabelecer uma correspondência entre pontos do plano e pares ordenados de
números reais. Ela foi sugerida em problemas de navegação que levaram a adaptar
o sistema às coordenadas geométricas. Mas as coordenadas existiam para resolver
problemas geométricos da antiguidade por meio da álgebra da época. Para
Descartes, uma equação de duas variáveis poderia ser representada
geometricamente por uma curva, e isso indicava uma dependência entre valores
variáveis. Outra contribuição de Descartes foi considerar como função qualquer
potência de x, isto é, f(x) = xn.
Segundo Eves (2002, p. 389), simultaneamente aos trabalhos de Descartes
para a formulação das bases da Geometria Analítica, o advogado e, matemático
francês, Pierre Fermat, também se ocupava desse assunto. Ele trabalhou também
na criação nas bases da Geometria Analítica e propôs refazer a obra “Lugares
Planos” do matemático grego Apolônio. A descrição da Geometria Analítica feita por
Fermat era muito mais sistemática e didática do que a de Descartes.
As ideias de Fermat e Descartes, juntas, permitiram a criação do plano
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cartesiano. Ele consiste de dois eixos perpendiculares entre si. Nesse plano, temos
o eixo horizontal sendo o eixo das abscissas, e o eixo vertical, o eixo das ordenadas.
Ao se cortarem, os dois eixos determinam quatro regiões conhecidas como
quadrantes e o ponto de intersecção desses dois eixos é denominado a origem do
sistema. Esses quadrantes são enumerados no sentido anti-horário, começando
pelo quadrante onde tanto as abscissas como as ordenadas são simultaneamente
positivas. Para indicar as coordenadas de um ponto no plano utiliza-se o par
ordenado de números (x,y).
Vimos assim que o conceito de função atravessou vários séculos até vir a ter
uma definição sistemática no século XVII. Podemos atribuir essa evolução do
conceito de função, em grande parte, aos processos extremamente produtivos da
Matemática nesse período, à Revolução Científica e ao desenvolvimento da
Geometria Analítica.
Segundo Eves (2002, p. 417), a realização matemática mais notável desse
período foi a invenção do Cálculo por Isaac Newton (1642 – 1727) e por Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) independentemente. Segundo Boyer (1999), pode-se
entender por Cálculo, um conjunto de ferramentas matemáticas que podem ser
usadas para estudar grandezas em mudança, como, por exemplo, corpos em
movimento. Isaac Newton e Leibniz disputaram acirradamente e publicamente a
autoria da criação do Cálculo e, infelizmente, proporcionaram um dos maiores
embates da História das Ciências, que durou mais de dez anos, e seguiu até o fim
de suas vidas.
Segundo Boyer (2002, p. 269), Isaac Newton nasceu prematuro com poucas
chances de vida no dia do Natal de 1642, o mesmo ano de falecimento de Galileu
Galilei. Diz a lenda que no ato de seu nascimento somente apresentou sinais de vida
após ser banhado em vinho. Produziu muitas pesquisas na área de Física utilizando
a Matemática. Além do Cálculo Diferencial e Integral, deixou também grandes
contribuições em Cálculo Numérico, em Séries Infinitas, em Álgebra e em Estudo de
Curvas. Na Física, sistematizou as leis da Dinâmica, o qual permitiu o estudo
abrangente dos corpos em movimento, formulou a Lei da Gravitação Universal,
sistematizou a Óptica e concebeu a Teoria das Cores.
Sua grande contribuição para o conceito de função foi a demonstração de
que as funções poderiam ser escritas como uma série de potências. Além disso, foi
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o responsável por introduzir o termo “variável independente”. Também desenvolveu
o chamado “método dos fluxos”, que considerava a curva gerada pelo movimento
contínuo, os valores da abscissa e da ordenada variavam, sendo as variáveis
associadas ao “fluente” e a taxa de variação o “fluxo”.
Leibniz nasceu em Leipzig, Alemanha, em 1646. Era jurista, diplomata,
filólogo, filósofo, historiador, lógico, geólogo e teólogo. Foi também o inventor de
uma máquina de calcular. Foi o primeiro a dar o nome função às quantidades
geométricas que dependiam de um ponto em uma curva, ou seja, quantidades que
dependem de uma variável. Introduziu os termos “constante”, “variável” e
“parâmetro”. Segundo Eves (2002, p. 443), Leibniz inventou o cálculo entre 1673 e
1676. Usou pela primeira vez o símbolo de integral, um “S” alongado, derivado da
primeira letra da palavra latina “summa” (soma). Sua notação para o cálculo se
mostrou mais conveniente e flexível do que a de Newton, sendo utilizada até hoje.
Segundo Roque (2012, p. 373), apesar de terem pesquisado inúmeras
relações funcionais, Leibniz e Newton não explicitaram o conceito de função em
suas obras. A falta de um termo geral para exprimir quantidades arbitrárias, que
dependem de outra quantidade variável, motivou a necessidade da definição do
conceito de função. Tal fato é expresso pela primeira vez em uma correspondência
entre Leibniz e Johann Bernoulli (1667 – 1748).
Ainda, segundo a autora, Bernoulli já empregava o termo função,
relacionando-o indiretamente a “quantidades formadas a partir de quantidades
indeterminadas e constantes.”, (ROQUE, 2012, p. 373).
Mesmo por algum tempo depois de Newton e Leibniz, os fundamentos do
Cálculo permaneceram despercebidos pela comunidade científica. O primeiro texto
de Cálculo foi publicado em 1696, pelo Marquês de L’Hospital (1661 – 1704), o qual
continha lições que recebera de seu professor particular, Johann Bernoulli. Nesse
livro encontra-se a chamada “Regra de L’Hospital”, utilizada para se determinar o
limite de quociente de funções que tendem simultaneamente a zero.
Johann Bernoulli publicou em 1698, um artigo sobre o conceito de função,
que acabou se popularizando entre os matemáticos. Até então, o conceito de função
não representava nenhum tipo de teoria. Ele utilizou a palavra função como solução
de um problema, considerava uma “[...] função de uma grandeza variável uma
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quantidade composta, de um modo qualquer, desta grandeza variável e de
constantes”, (ROQUE, 2012, p. 373).
Neste mesmo artigo, Bernoulli usa a letra grega φ para representar o nome
da função, escrevendo o argumento na forma φx., sem parênteses.
No século XVIII Leonard Euler (1707 – 1783), também contribuiu para o
desenvolvimento do conceito de função. No início de sua obra intitulada “Introdução
à Análise Infinita”, Euler situa função como a noção central da matemática e propõe
a seguinte definição: “Uma função de uma quantidade variável é uma expressão
analítica composta de um modo qualquer dessa quantidade e de números, ou de
quantidades constantes”, (ROQUE, 2012, p. 374).
Nessa mesma obra, segundo Roque (2012, p. 374), Euler define constante
como: “uma quantidade definida que possui sempre um mesmo e único valor”.
No caso da variável, Euler define:
Uma quantidade variável compreende todos os números nela mesma, tanto positivos quanto negativos, inteiros, fracionários, os que são racionais, transcendentes e irracionais. Não devemos excluir nem mesmo o zero e os números imaginários. (ROQUE, 2012, p. 374).
Assim, as representações de funções passam a ser dadas por fórmulas
matemáticas. Em 1734, Euler introduziu a notação f(x) para representar de forma
genérica uma função de x, conforme Garbi (2007, p. 451). Euler não apresentou
uma explicação formal do que seria uma expressão analítica. No entanto, tentou dar
um significado, dizendo que tais expressões envolviam as quatro operações, raízes,
exponenciais e logaritmo.
No prefácio da obra “Fundamentos do Cálculo Diferencial”, publicada em
1775, Euler formula uma nova definição de função que não se identifica à expressão
analítica:
Se certas quantidades dependem de outras quantidades de maneira que se as outras mudam, essas quantidades também mudam, então temos o hábito de chamar essas quantidades de funções dessas últimas. Essa denominação é bastante extensa e contêm nela mesma, todas as maneiras pelas quais uma quantidade pode ser determinada por outras. Consequentemente, se x designa uma quantidade variável, então todas as outras quantidades que dependem de x, de qualquer maneira, ou que são determinadas por x, são chamadas funções de x. (EULER, 1775 apud ROQUE, 2012, p. 378).
15
Ainda, segundo Roque (2012, p. 373), em meados do século XVIII, diversos
matemáticos, motivados pelo Problema da Corda Vibrante, introduziram séries
infinitas para estudar curvas. A partir daí, a relação entre variáveis podia ser dada
por uma série infinita de potências. O Problema da Corda Vibrante consiste em
determinar o formato de uma corda elástica cujos pontos inicial e final estão fixados
em determinado instante, após sofrer uma vibração. O filosofo francês D’Alembert
(1717 – 1790) publicou uma solução para esse problema. Demonstrou que o
resultado era dado por um tipo de equação chamada de “diferencial”, cujo objetivo
era determinar a função y que representava o movimento da corda. Euler
apresentou uma solução muito parecida com a de D’Alembert, mas não concordava
com algumas considerações feitas por ele. D’Alembert redigiu o verbete “função” em
sua Encyclopédia de 1757. Nela substitui a designação de “geômetra”, que era
usada até então para designar um matemático, pela de “analista”.
Função, s.f. (Álgebra). Os antigos geômetras, ou melhor, os antigos analistas, chamaram função de uma quantidade qualquer x às diferentes potências dessa quantidade; mas, hoje, chamamos função de x, ou, em geral de uma quantidade qualquer, a uma quantidade algébrica composta de tantos termos quanto quisermos e na qual x se encontra, ou não, misturado de um modo qualquer com constantes. (D’ALEMBERT, 1757 apud ROQUE, 2012, p. 378).
Em 1753, o matemático e físico suíço Daniel Bernoulli (1700 – 1782), filho de
Johann Bernoulli, apresentou uma terceira visão para o Problema da Corda
Vibrante, com um ponto de vista mais físico. Ele percebeu que a corda poderia vibrar
de infinitas maneiras diferentes, mas a preocupação de Bernoulli era resolver o
problema físico e não conceituar função. Euler e D’Alembert achavam um absurdo
essa resolução do problema e usaram instrumentos da época em seus argumentos
para demonstrar que Bernoulli estava errado.
O matemático italiano Lagrange (1736 – 1813) também contribuiu para o
Problema da Corda Vibrante, dando uma solução mais abrangente. Para Lagrange
uma função representava operações com valores tidos como conhecidos e que
sendo realizadas, se obtinha valores desconhecidos.
No final do século XVIII, havia a necessidade de formalizar os Fundamentos
do Cálculo, pois até então haviam sido usadas apenas muita intuição e
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informalidade. O matemático theco Bernhard Bolzano (1781 – 1848) é considerado o
pioneiro nessa formalização. Já o conceito de função também precisava ser
claramente definido. Foi o que implicou no surgimento da Análise Matemática, que
tinha como objeto de estudo, as funções.
Em 1807, o matemático francês Josheph Fourier (1768 – 1830) apresentou
na Academia de Ciências da França um trabalho que tratava da propagação do calor
em barras, chapas e sólidos metálicos, pelo qual foi premiado. No trabalho havia
uma contribuição para o conceito de função, pois Fourier afirmava que toda função
poderia ser expressa por funções trigonométricas. Em 1822, Fourier escreveu a obra
Teoria Analítica do Calor. Nela encontra-se uma definição mais geral do termo
“função”:
Em geral, a função fx representa uma sucessão de valores, ou ordenadas, os quais cada um é arbitrário. Uma infinidade de valores sendo atribuídos à abscissa x existe um número igual de ordenadas fx. Todas têm valores numéricos atuais, ou positivos, ou negativos, ou nulos. Não se supõe que essas ordenadas estejam sujeitas a uma lei comum; elas se sucedem uma à outra de um modo qualquer, e cada um delas é dada como se fosse uma única quantidade.
(FOURIER, 1822 apud ROQUE, 2012, p. 395).
O matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) também
contribuiu para dar mais rigor à matemática. Para ele era possível determinar o valor
de quantidades variáveis a partir do conhecimento de apenas uma delas, desde que
existisse algum tipo de relação entre si. Essa quantidade conhecida era expressa
por meio de uma variável considerada independente. Já as outras quantidades
derivadas desse valor constituíam as chamadas funções dessa variável.
Em 1837 o matemático alemão Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 –1859)
demonstrou que nem todas as funções poderiam ser escritas como séries de
Fourier. Tais séries mostravam que qualquer função por mais complicada que fosse
poderia ser decomposta como uma soma de senos e cossenos. Para isso foi
necessário fazer a separação entre o conceito de função e sua representação
analítica. Ampliou-se o conceito, determinando que fosse uma correspondência
arbitrária entre variáveis. Isto quer dizer que não era mais necessário uma fórmula
para representar uma função, bastava uma associação entre variáveis. Em um artigo
escrito em 1829, Dirichlet não define o que é uma função, mas discute problemas
17
relacionados à continuidade das funções estudadas por Cauchy e Fourier. Uma
versão revisada deste texto, publicada em 1837 contém uma definição de função
bastante citada:
Sejam a e b dois números fixos e x uma quantidade variável que recebe sucessivamente todos os valores entre a e b. Se a cada x corresponde um único y, finito, de maneira que, quando x se move continuamente no intervalo entre a e b, y = f(x) também varia progressivamente, então y é dita função contínua de x nesse intervalo. Para isso, não é obrigatório, em absoluto, nem que y dependa de x de acordo com uma mesma e única lei, nem mesmo que seja representada por uma relação expressa por meio de operações matemáticas. (DIRICHLET, 1837 apud ROQUE, 2012, p. 458).
No século XX, segundo Boyer (1999, p. 438) surgiu um movimento na
Europa, chamado de Matemática Moderna que se baseou na formalidade e no rigor
dos Fundamentos da Teoria dos Conjuntos e da Álgebra para tentar aprimorar o
ensino da Matemática. Um grupo de matemáticos criou o Movimento Bourbaki, que
tinha como objetivo fundamentar toda a Matemática na Teoria dos Conjuntos, teoria
desenvolvida por George Cantor (1845 – 1918), fazendo assim a propagação das
ideias da Matemática Moderna. A definição de função usada por Dedekind (1831 –
1916) e por Cantor era considerada insuficiente e, em seu lugar, o grupo Bourbaki
propôs a seguinte definição:
Sejam E e F dois conjuntos, que podem ser distintos ou não. Uma relação entre um elemento variável x de E e um elemento variável y de F é dita uma relação funcional se, para todo x pertencente a E, existe um único y pertencente a F que possui a relação dada com x. Damos o nome de função à operação que associa, desse modo, a todo elemento x pertencente a E, o elemento y pertencente a F que possui a relação dada com x; y será dito o valor da função no elemento x. (BOURBAKI, ROQUE, 2012, p.474).
Segundo Eves (2002), esse conceito de função passa a ser defendido por
muitos matemáticos, entre eles, Félix Klein (1849 – 1925), desde as primeiras
décadas do século XX. Entende-se o conceito de função como o princípio central e
unificador dos cursos elementares de Matemática.
18
O conceito de função sofreu várias transformações ao longo da história. À
medida que a sociedade passou por mudanças, seu conceito foi sendo reformulado
conforme as necessidades. Esse fato demonstra que o objeto matemático função
não pode ser considerado como um saber estático e imutável ao longo do tempo.
Foram necessários muitos séculos para que se chegasse ao formato que o conceito
possui hoje. O conceito de função está presente em vários campos da Matemática e
também em outras ciências como a Física, a Biologia, a Medicina, a Economia, entre
outras.
1.2 O CONCEITO MODERNO DE FUNÇÃO
1.2.1 Definição de função
Seja f uma relação entre os conjuntos não vazios A e B, isto é, f é um
subconjunto do produto cartesiano de conjuntos A X B. Dizemos que a relação f é
uma função de A em B se para todo elemento x de A existe um único elemento y de
B tal que (x,y) pertence a f, ou xfy, ou mais simplesmente y = f(x).
O conjunto A é denominado o domínio de f e o conjunto B é denominado o
contradomínio de f. O subconjunto de B definido por Im(f) = { y em B | existe x em A
com y = f(x)} = { f(x) em B | x em A } se denomina a imagem de f.
Nas Ciências Naturais, sempre que duas grandezas variáveis x e y são tais
que para cada valor atribuído à grandeza x fica determinado um único valor para a
grandeza y, diz-se que a grandeza y depende funcionalmente da grandeza x ou que
a grandeza y é função da grandeza x. Nesse caso, costuma-se escrever y = f(x). A
grandeza x é denominada variável independente e a grandeza y é denominada
variável dependente.
19
1.2.2 Função de variável real a valores reais
Seja f uma função do conjunto A no conjunto B. Se os conjuntos A e B forem
subconjuntos do conjunto dos números reais, diz-se que f é uma função de variável
real a valores reais, ou simplesmente função de variável real.
Se uma função de variável real é definida por uma expressão sem se
mencionar o seu domínio, costuma-se adotar como domínio dessa função o maior
subconjunto dos números reais onde aquela expressão possa ter significado.
1.2.3 Gráfico da função de variável real
Consideremos num plano um sistema de coordenadas ortogonal Oxy.
Cada ponto do plano pode assim ser representado por um par ordenado de
números reais (x,y). Dada uma função de variável real y = f(x) com domínio D,
chamaremos de gráfico da função f, o subconjunto G do plano Oxy definido por
G = { (x , f(x)) | x ϵ a D }
Figura 1 – Gráfico de uma função Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
20
1.2.4 Exemplos de funções de variável real
1) Função Linear Afim
Chama-se função linear afim a função f que para todo número real x associa
o número real y, definido por y = a.x + b, onde a e b são constantes reais. O termo
“Afim” foi introduzido por Leonhard Euler no século XVIII, sendo o primeiro a estudar
tópicos avançados da Geometria Afim.
O gráfico de uma função linear afim é uma reta.
Se a = 0 tem-se a função constante y = b, cujo gráfico é uma reta no plano
Oxy paralela ao eixo Ox e corta o eixo Oy no ponto (0,b). Caso se tenha também
b = 0, o gráfico de y = 0 coincide com o eixo Ox.
Se a = 1 e b = 0 tem-se a função identidade y = x, cujo gráfico é a reta
bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes do plano Oxy.
Figura 2 – Exemplo de função linear afim Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
21
Figura 3 – Exemplo de função constante Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 4 – Função identidade Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
22
2) Função Quadrática
Chama-se função quadrática a função f que para todo número real x associa
o número real y, definido por y = a.x2 + b.x + c, onde a, b e c são constantes reais,
sendo necessariamente a ≠ 0.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Figura 5 – Exemplo de função quadrática Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
23
3) Função Exponencial
Dado um número real a > 0 e a ≠ 0, chama-se função exponencial de base
a, a função que a cada número real x associa o número y = ax .
Se 0 < a < 1, o gráfico de y = ax é da forma:
Figura 6 – Função exponencial Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
Se a > 1, o gráfico de y = ax é da forma:
Figura 7 – Função exponencial Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
24
4) Função Logarítmica
Dado um número real a > 0 e a ≠ 1, chama-se função logarítmica de base a,
a função que a cada número real x associa o número y = loga(x).
Se 0 < a < 1, o gráfico de y = loga(x) é da forma:
Figura 8 – Função logarítmica Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
Se a > 1, o gráfico de y = loga(x) é da forma:
Figura 9 – Função logarítmica Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
25
5) Funções Seno e Cosseno
Para cada número real x, podemos associar de forma única, um ponto M
numa circunferência de centro em O percorrida no sentido anti-horário a partir do
ponto A situado no eixo horizontal, utilizando o raio dessa circunferência como
unidade de medida. Assim x pode ser visto como a medida do ângulo central AÔM.
O ponto M tem coordenadas (m1,m2) no sistema de coordenadas Oxy.
Chama-se seno a função que a cada número real x associa a coordenada
m2 do ponto M construído a partir de x. Escrevemos y = m2 = sen(x) = sen x. O
gráfico da função seno é uma curva denominada senóide.
Figura 10 – Função trigonométrica seno Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
Chama-se cosseno a função que a cada número real x associa a
coordenada m1 do ponto M construído a partir de x. Escrevemos y = m1 = cos(x) =
cos x. O gráfico da função cosseno é uma curva denominada cossenóide.
Figura 11 – Função trigonométrica cosseno Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
26
1.2.5 Raiz de uma função de variável real
Dada uma função de variável real y = f(x), qualquer número real a tal que
f(a) = 0 é chamado uma raiz da função. Graficamente as raízes de uma função f
correspondem às abcissas dos pontos onde o gráfico de f corta o eixo Ox. Por
exemplo, para função y = x2 – 4x + 3, as raízes são os valores a1 = 1 e a2 = 3,
conforme mostra o gráfico a seguir:
Figura 12 – Raízes de um função de variável real Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
1.2.6 Crescimento e decrescimento de uma função de variável real
Diz-se que uma função f é crescente num intervalo I se a valores crescentes
de x no intervalo I correspondem valores f(x) crescentes na imagem de f. Isto é, para
todos x1 e x2 elementos de I com x1 < x2 tem-se f(x1) < f(x2).
Figura 13 – Crescimento de uma função de variável real Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
27
Diz-se que uma função f é decrescente num intervalo I se a valores
crescentes de x no intervalo I correspondem valores f(x) decrescentes na imagem de
f. Isto é, para todos x1 e x2 elementos de I com x1 < x2 tem-se f(x1) > f(x2).
Figura 14 – Decrescimento de uma função de variável real Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
1.2.7 As funções lineares afins
Como já foi definido anteriormente, chama-se função linear afim a função f
que para todo número real x associa o número real y, definido por y = a.x + b, onde
a e b são constantes reais.
Primeiro observemos que o gráfico de uma função linear afim é sempre uma
reta. Para isso basta tomarmos três pontos distintos genéricos do gráfico de f e
provar que esses três pontos estão alinhados.
Consideremos então os pontos A = (x1 , a.x1 + b) , B = (x2 , a.x2 + b) e
C = (x3 , a.x3 + b) com x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ x1. A reta AB forma um ângulo α com o eixo Ox,
cuja tangente vale ((a.x2 + b) – (a.x1 + b)) / (x2 – x1) = a. Por sua vez a reta BC forma
um ângulo β com o eixo Ox, cuja tangente vale ((a.x3 + b) – (a.x2 + b)) / (x3 – x2) = a.
Portanto as retas AB e BC são paralelas, e como têm um ponto comum, coincidem,
isto é, A, B e C estão alinhados.
28
Figura 15 – Função linear afim Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
O domínio da função linear afim coincide com o conjunto dos números reais.
Já a imagem depende do coeficiente a. Se a = 0 então a imagem da função definida
por f(x) = a.x + b, consiste do conjunto unitário {b}. Se a ≠ 0 então a imagem de f
coincide com o conjunto dos números reais.
O coeficiente a na fórmula f(x) = a.x + b se chama o coeficiente angular da
reta que é o gráfico de f. Ele indica a tangente do ângulo que essa reta forma com o
eixo Ox.
O coeficiente b na fórmula f(x) = a.x + b se chama o coeficiente linear da reta
que é o gráfico de f. Ele indica a ordenada do ponto onde essa reta corta o eixo Oy.
Se a ≠ 0 então a função f(x) = a.x + b é sempre crescente ou sempre
decrescente de acordo com o valor do coeficiente a. Se a > 0 a função f é crescente
em qualquer intervalo dos números reais, enquanto que se a < 0, então a função f é
decrescente em qualquer intervalo dos números reais.
Se a ≠ 0 então a função f(x) = a.x + b admite uma única raiz que é o número
x1 = -b/a. Se a = 0 e b ≠ 0, a função f(x) = a.x + b não admite raízes e se a = b = 0
então o gráfico de f coincide com o eixo Ox e portanto, neste caso, f admite infinitas
raízes.
29
Figura 16 – Raiz de uma função linear afim – única raiz Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 17 – Raiz de uma função linear afim – não há raiz Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 18 – Raiz de uma função linear afim – infinitas raízes Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
30
CAPÍTULO 2 - INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Neste capítulo abordaremos as características presentes nos softwares
dinâmicos atualmente em uso no processo de ensino e aprendizagem de
Matemática. Em seguida destacaremos algumas pesquisas realizadas sobre o
ensino de função com a utilização da informática, e depois faremos uma breve
apresentação do software dinâmico Geogebra, ferramenta que utilizamos em nosso
experimento.
2.1 INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Com o passar dos anos a Informática ficou mais próxima do indivíduo e o
indivíduo mais dependente dela. Podemos estar em contato instantâneo com
qualquer outra pessoa, em qualquer lugar do mundo. Hoje a internet nos
proporciona uma rede de conexão no qual, acontecimentos viram notícias no
momento dos fatos ocorridos. Todos os tipos de informações sobre qualquer
assunto estão disponíveis a todo instante. Por exemplo, a localização de um
endereço, o sinônimo de uma palavra, a tradução de uma palavra estrangeira, a
prestação de serviços diversos como, transações bancárias, compra de
mercadorias, aluguel de carros, até quando queremos agraciar uma dama, podemos
recorrer à encomenda de flores online. São várias as formas e facilidades que se
fazem presentes hoje em dia na tecnologia da Informática, proporcionadas por seus
diferentes equipamentos desde a velocidade até o tamanho do banco de dados para
armazenamento de informações.
Esta realidade também está presente nas escolas por meio dos laboratórios
de informática que destinam sua utilização como ferramentas pedagógicas de auxilio
no processo de construção do conhecimento dos diversos conteúdos disciplinares.
Usufruindo da tecnologia, podemos colocar nossos alunos diante de atividades
prazerosas que desafiem suas curiosidades, e que poderão ajudá-los a colocarem
em prática suas criatividades e levá-los a motivações e aprendizagens.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de 1998 já era orientada a
importância da utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC),
31
entre elas o computador, como recurso pedagógico para desenvolvimento dos
processos de ensino e de aprendizagem em Matemática. De acordo com esse PCN,
os computadores podem ser usados nas aulas de Matemática com várias
finalidades:
como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem;
como auxiliar no processo de construção de conhecimento;
como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções;
como ferramenta para realizar determinadas atividades – uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto, banco de dados, etc. (BRASIL, 1998, p. 44).
Além das boas condições de equipamentos, a eficácia em atingir os
objetivos educacionais também está ligada ao software escolhido para desenvolver
a atividade. Atualmente dispomos de softwares específicos de Matemática que
procuram promover a aprendizagem por meio de um processo construtivo, fazendo
com que os alunos coloquem em prática habilidades como, observação, intuição,
senso comum, apreciação de regularidades, senso estético, argumentação,
representação, abstração, generalização, etc.
Segundo Gravina e Santarosa (1998), fundamentadas em Piaget, toma-se
como princípio que a aprendizagem é um processo construtivo, no qual:
[...] depende de modo fundamental das ações do sujeito (aluno) e de suas reflexões sobre estas ações. Todo conhecimento é ligado à ação e conhecer um objeto ou evento é assimilá-lo a um esquema de ação...Isto é verdade do mais elementar nível sensório motor ao mais elevado nível de operações lógico-matemáticas. (PIAGET, 1967 apud GRAVINA e SANTAROSA, 1998).
Como exemplos desses softwares, temos programas dinâmicos e interativos
de Matemática que simulam Álgebra e Geometria como o Graphmática, Winplot,
Geogebra, Cabri-Géomètre, Simcalc, entre outros.
Podemos ter nesses ambientes informatizados ferramentas de grande
32
suporte ao processo de formalização de conceitos matemáticos. O dinamismo e a
possibilidade de interatividade entre o aluno e o objeto matemático em estudo,
proporcionam, segundo Gravina e Santarosa (1998), quando citam (Papert, 1998) e
(Hebenstreint, 1987): “[...] a possibilidade de mudar os limites entre o concreto e o
formal”. E em relação à Hebenstreint:
O computador permite criar um novo tipo de objeto – os objetos “concreto-abstratos”. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais. (HEBENSTREINT, 1987 apud GRAVINA e SANTAROSA, 1998).
Sendo assim, é permitido ao sujeito agir inicialmente de forma concreta
sobre objetos concretos, constituindo os esquemas e, em último estágio, executar as
ações abstratas sobre objetos abstratos constituindo os conceitos.
Ainda, segundo Gravina e Santarosa (1998), o surgimento de softwares
específicos no ensino da Matemática proporcionou um maior dinamismo à
representação dos objetos matemáticos e abriu-se a possibilidade de uma
representação mutável desses objetos. O potencial desta representação dinâmica
permite ao aluno a possibilidade de manipulação direta das suas representações.
Por exemplo, após a introdução do conceito de coeficiente de variação e de
coeficiente de linearidade do objeto matemático função linear afim, é possível
estabelecer a relação desses coeficientes com as representações algébricas e
gráficas. Verifica-se dessa maneira, de forma dinâmica, o deslocamento da
representação gráfica da função em relação ao eixo das ordenadas e a sua
inclinação em relação ao eixo das abcissas. Em um meio dinâmico, por exemplo, no
Geogebra, podemos verificar essas variações utilizando-se de “seletores”. Conforme
Nóbrega e Araújo (2010, p. 11), “Um seletor é um pequeno segmento com um ponto
que se movimenta sobre ele. Com esta ferramenta é possível modificar, de forma
dinâmica, o valor de algum parâmetro”.
A vantagem do seletor no estudo de funções se deve por possibilitar um
maior dinamismo quando correlacionados coeficientes de uma função e o seu
comportamento gráfico.
A utilização desses seletores servirá de parâmetro para caracterizar os
coeficientes a e b de uma função linear afim. O aluno por meio da interação manual
33
dos seletores poderá observar e comprovar as alterações ocorridas na
representação algébrica da função, devido ao seu dinamismo em resposta aos
comandos do aluno. Isso ocorre também, simultaneamente com a representação
gráfica da função. Conforme o aluno interage com o seletor, a representação gráfica
responde em relação à sua inclinação e ao seu deslocamento no eixo das
ordenadas.
Os ambientes computacionais que exploram a representação algébrica, a
representação gráfica e a representação numérica, em geral, possuem uma
interface gráfica dinâmica, que possibilita a interação em tempo real desses três
registros.
Para Valente:
O uso do computador requer certas ações que são bastante efetivas no processo de construção do conhecimento. Quando o aprendiz está interagindo com o computador, ele está manipulando conceitos e isso contribui para o seu desenvolvimento mental. (VALENTE, 1998, p. 40).
Além disso, Borba e Penteado (2001), esses autores destacam que há um
excesso de abordagem em um tipo de representação no ensino de funções.
Segundo eles:
Usualmente, a ênfase para o ensino de funções se dá via álgebra. Assim, é comum encontrarmos em livros didáticos um grande destaque para a expressão analítica de uma função e quase nada para os aspectos gráficos ou tabulares. (BORBA e PENTEADO, 2001, p.14).
Borba e Penteado (2001 p. 34) alertam para a importância da coordenação
entre diferentes representações. Enfatizam também sobre a necessidade de que o
trabalho de conceitos matemáticos se realize por meio das múltiplas representações.
Nesse sentido, consideramos que o estudo de funções pode se resultar em um
grande aproveitamento, por meio dos ambientes computacionais que utilizam de
forma integrada, as suas múltiplas representações: a expressão algébrica, o gráfico
e a tabela. Propor aos alunos atividades que exercite a articulação em diferentes
34
representações, significaria levar ao aluno a uma possível compreensão sobre o
conceito de função.
O desafio dos docentes na atualidade é colocar em prática essas vantajosas
ferramentas da informática no ensino de conceitos matemáticos e com ajuda de
seus poderosos recursos facilitadores de dinamismo e interatividade, desenvolver
nos alunos habilidades de observação, de questionamentos, de argumentações, de
reflexão, de interação no processo de ensino e aprendizagem.
2.2 REVISÃO DE LITERATURA
Na revisão de literatura, procuramos investigar pesquisas realizadas que
tivessem alguma ligação com a nossa proposta de pesquisa: investigar o processo
de ensino e aprendizagem do objeto matemático função linear afim a uma turma do
9º ano do ensino fundamental com apoio de um ambiente computacional. Focamos
nossa atenção em estudos sobre o tema Informática na Educação e também sobre
ensino de funções com a utilização do computador.
O primeiro trabalho estudado foi a pesquisa realizada por Sardeiro (2010, p.
20). Em sua pesquisa, ela teve como objetivo principal: “Investigar e analisar
argumentos apresentados por um grupo de professores de matemática da educação
básica, quando da reflexão sobre o uso do computador em suas aulas e da
elaboração de atividades”.
A pesquisadora por meio de uma revisão bibliográfica e referindo-se a
Bonilla e Preto (2000), Borba e Penteado (2005), Bolite Frant (1993), Valente (2001),
Bairral e Di Leu (2007), Penteado e Skovsmose (2008), relata historicamente o
desenvolvimento da informática na educação brasileira e sobre as discussões que
surgiram em meados de 1970 com a criação da Secretaria Especial de Informática
(SEI), órgão ligado ao Conselho de Segurança Nacional, com o objetivo de
apresentar ações voltadas para a área da Informática na Educação.
A pesquisadora descreve alguns fatos importantes durante a introdução da
tecnologia no país e o desenvolvimento da informática nas escolas Essas ações
iniciaram-se na década de 30 com um movimento de inserção de tecnologia no
Brasil, com um modelo intervencionista e ligado a interesses militares. Na década de
35
70, a SEI passa a supervisionar, fomentar e coordenar a Política Nacional de
Informática. Nas décadas de 80 e 90 as ações para utilização da informática na
educação foram intensificadas, visando atender a demanda da nova sociedade.
É criado o projeto EDUCOM, com a criação de centros de pesquisas
universitários nos estados de São Paulo (Campinas-Unicamp), Porto Alegre (Rio
Grande do Sul-UFRGS), Rio de Janeiro, Minas Gerais e Pernambuco. Surge o
Projeto FORMAR, com o objetivo de formar professores para o uso pedagógico dos
computadores e como multiplicadores do saber em suas unidades de ensino. O
governo federal lança o PRONINFE – Programa Nacional de Informática na
Educação, administrada pelo Ministério da Educação e do Desporto (MEC), com a
intenção de desenvolvimento da informática na educação, contribuindo com a
criação de laboratórios e centros de capacitação para professores, Sardeiro (2010).
Segundo a pesquisadora, essas ações foram as bases para a criação do
programa atual, o PROINFO (Programa Nacional de Informática na Educação) do
Governo Federal, o qual promove o uso da Informática, equipa as escolas, investe
na formação de professores. É um programa do governo federal, mas que mantêm
parceria com as secretarias de educação dos estados e dos municípios.
Sardeiro (2010, p. 26) relata também os programas governamentais de
incentivo ao uso da Informática nas escolas, promovidos pelo Governo do Estado de
São Paulo, por meio do fornecimento de equipamentos, cursos, softwares e
manutenção dos mesmos. Atualmente, programas como Rede do Saber, que
mantém cursos de formação continuada para os professores, e o Acessa Escola,
que tem por objetivo a inclusão digital da comunidade escolar (alunos, professores e
funcionários), disponibilizam acesso à internet e a um ambiente de comunicação
digital para a troca de informações e conhecimentos entre alunos e professores.
Nesse ambiente, os monitores dessas salas são os próprios alunos do ensino
médio, os quais atuam como estagiários. Em 2008 foi lançado o “Programa
Computador do Professor”, uma parceria entre a Secretaria da Educação, Secretaria
da Fazenda e Secretaria de Desenvolvimento do Estado de São Paulo que oferece
aos professores financiamento sem juros para aquisição de notebooks.
Sardeiro (2010, p. 31), após análise do material “Cadernos dos Alunos” e o
“Caderno do Professor”, partes integrantes da Proposta Curricular para o Estado de
São Paulo, lançada em 2008. A pesquisadora destaca nesse material, algumas
36
sugestões de para o desenvolvimento de conteúdos matemáticos por meio da
utilização de softwares livres, no qual, o aluno poderá usar em casa ou na escola.
Destaca-se no caderno do 2º ano do ensino médio a sugestão do uso do
computador para o ensino de funções periódicas (seno, cosseno).
O relato de Sardeiro (2010) nos mostra que os programas governamentais
de implementação da Informática nas escolas para fins pedagógicos e de utilização
geral não é algo recente em nosso país e que também não é algo que sofre de falta
de investimentos nas escolas, Borba e Penteado (2001) relatam um acontecimento
recente sobre os recursos financeiros destinados a informatização das escolas:
O governo privatiza as empresas de telecomunicações, com preços e juros abaixo do mercado, subsidiados pelo contribuinte e impõe uma clausula nos contratos de privatização que faz com que as novas empresas separem uma parcela de seus faturamentos para o Fundo de Universalização do Sistema de Telecomunicações (FUST) que será utilizado para a compra de equipamentos de informática. (BORBA e PENTEADO, 2001, p. 14).
Portanto, segundo esses autores, é dessa fonte que o governo federal utiliza
recursos para a compra de computadores e implementação de programas
educacionais informatizados ou relacionados à telecomunicação.
O computador faz parte da vida das famílias brasileiras e do aluno
contemporâneo, isto já era evidenciado pelos PCN (1997, p. 34): “é fato que o
acesso a calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos já é uma
realidade para parte significativa da população”, também ARAUJO (2005, p. 105) e
CALIL (2010, p. 68) em suas pesquisas por meio dos resultados obtidos em coletas
de dados identificaram um alto índice de conhecimento básico em informática,
utilização do computador pelos alunos em atividades escolares em casa e na escola,
mas quanto a utilização desse recurso em atividades específicas da disciplina de
Matemática, seu índice apresentado não se repercutiu na mesma intensidade. No
caso dos dados obtidos por ARAUJO (2005, p. 106) e em CALIL (2010, p. 68) a
maioria dos alunos pesquisados afirmaram nunca terem utilizado o computador na
escola para aprender algum conteúdo específico de Matemática.
Sardeiro (2010, p. 14), apresenta como objetivo principal de sua pesquisa:
colher argumentos dos professores sobre o uso do computador em suas aulas de
Matemática. Infelizmente, esses argumentos percebidos pela pesquisadora foram
37
desde a insuficiência de máquinas para todos os alunos, imposição de normas e até
a não autorização por parte de diretores, falta de apoio da coordenação, problemas
de funcionamento de equipamentos, falta de tempo para o preparo das aulas e das
atividades.
Outro problema identificado de forma implícita tanto por Sardeiro (2010, p.
68) e também por Calil (2010, p. 49) foi a insegurança dos professores. Essa
insegurança em relação à utilização da informática tanto no aspecto físico da
máquina: hardware quanto da operacionalização, manipulação dos programas e
aplicativos: softwares.
Todas essas dificuldades apontadas pelos pesquisadores fazem com que a
salas de informática das escolas sejam pouco utilizadas ou em alguns casos sejam
utilizadas como salas depósitos, tendo assim destino triste, o de serem nomeadas
“Salas Túmulos”. Tal fato também evidenciado por Calil (2010, p. 49) em seu
ambiente de pesquisa, que mesmo sendo criado um Laboratório de Informática com
o intuito de auxiliar e melhorar o processo de ensino e aprendizagem em
Matemática, tal utilização não foi colocada em prática.
Dessa forma, entendemos que se há recursos materiais disponíveis, se o
aluno de hoje domina os recursos de operação do computador, portanto acreditamos
que esse recurso não deve ficar de fora da prática diária da escola, sua utilização
deve ser constantemente incentivada com projetos que auxilie o professor durante o
processo de construção, desenvolvimento e validação do conhecimento durante as
aulas de matemática.
2.3 O AMBIENTE COMPUTACIONAL GEOGEBRA
Optamos por utilizar o software Geogebra neste trabalho, porque, além de
ser livre, possui uma versão na língua portuguesa, e é de fácil manipulação. Assim,
na sequência, faremos uma breve descrição dessa ferramenta.
O software Geogebra foi criado na Universität Salzburg, também conhecida
como Universidade Paris Lodron, localizada na cidade de Salzburg, Áustria.
Lançado em 2008, o Geogebra é um software multiplataforma, isto é, compatível
com os diversos sistemas operacionais: Windows, Linux e MAC. Pode ser utilizado
em computadores pessoais (PC), Notebooks, e atualmente já está disponível uma
38
versão atualizada para Tablets. É um software de matemática dinâmica, podendo
ser utilizado em todos os níveis de ensino. Ele combina conteúdos de geometria,
álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo, tudo em um mesmo sistema, tendo
recebido diversos prêmios na Europa e nos EUA, dentre eles o Prêmio Alemão
Software Educacional de 2004 e, em Washington, o Prêmio Nacional de Liderança
em Tecnologia de 2010.
O Geogebra está disponível gratuitamente para download em vários idiomas
para milhões de usuários em todo o mundo.
Seus recursos algébricos, gráficos e de tabelas estão interconectados. Há
ferramenta de produção de aplicativos interativos em páginas na WEB, esses
recursos permitem a criação de atividades em formato de arquivo, que
posteriormente podem ser acessados via web, pelos alunos.
Idealizado pelo professor austríaco, Markus Hohenwarter, o Geogebra têm
em seu nome a combinação das palavras Geometria e Álgebra. Atualmente há a
contribuição de diversos colaboradores ao redor do mundo, no aprimoramento do
programa. Os responsáveis pela tradução do software em português: Humberto
José Bortolossi, professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade
Federal Fluminense, Luciana de Lima, Herminio Borges Neto, Alana Souza de
Oliveira, entre outros.
O programa permite realizar construções geométricas com a utilização de
pontos, retas, segmentos de reta, polígonos. Permite inserir funções e alterar todos
esses objetos dinamicamente, após a construção ter sido finalizada. Equações e
coordenadas também podem ser diretamente inseridas. Portanto, o Geogebra é
capaz de lidar com variáveis para números, pontos, vetores, derivar e integrar
funções, e ainda, oferecer comandos para se encontrar raízes e pontos extremos de
uma função. Com isto, o programa reúne as ferramentas tradicionais de geometria
com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Isto proporciona a vantagem
didática de representar, ao mesmo tempo e em um único ambiente visual, as
características geométricas e algébricas de um mesmo objeto matemático.
Nas figuras a seguir apresentamos além da tela inicial do Geogebra, seus
diferentes ambientes de visualização do objeto matemático e também algumas de
suas ferramentas de criação e edição do objeto.
39
Figura 19 – Tela inicial Fonte: GEOGEBRA
Barra de Menus
Barra de
Comandos
Barra de Ferramentas
Janela
Algébrica
Janela
Gráfica
Planilha
Eletrônica
40
Figura 20 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
Figura 21 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
Figura 22 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
41
Figura 23 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
Figura 24 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
Figura 25 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
42
Figura 26 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
Figura 27 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
Figura 28 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
43
Figura 29 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
Figura 30 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
Figura 31 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA
44
Para inserir uma função pode-se usar variáveis previamente definidas
(números, pontos, vetores) e outras funções.
Exemplos: Função f f (x) = 3*x^3 – x^2
Função g g(x) = tan(f (x))
Função sem nome sen(3*x) + tan (x)
No Geogebra, também temos recursos para achar a Integral e a Derivada de
uma função. Podemos utilizar para isso os comandos f’(x) ou f’’(x), para obter a 1ª e
a 2ª Derivada de uma função f(x) previamente definida.
Além disso, uma função pode ser transladada por um vetor, utilizando-se o
comando Translação e uma função livre, isto é, não dependente de outros objetos,
pode ser movida com o mouse utilizando a ferramenta Mover.
Podemos também criar uma função restrita a um intervalo [a, b], utilizando-
se o comando Função. E com o “seletor” poderemos controlar a variação desses
intervalos, tanto em números inteiros como também em números racionais.
45
CAPÍTULO 3 - REFERENCIAL TEÓRICO
Neste capítulo, descreveremos a Teoria dos Registros de Representações
Semióticas, referencial teórico utilizado nesta pesquisa, e procuraremos relacioná-la
com o objeto matemático do nosso estudo: a função linear afim, exibindo algumas
representações desse objeto em diferentes registros.
3.1 A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
A Teoria dos Registros de Representações Semióticas foi desenvolvida por
Raymond Duval (1995, 2000, 2003, 2006, 2011) ao longo de diversos livros e
artigos. Duval, filósofo e psicólogo, coordenou por algumas décadas estudos em
psicologia cognitiva no Institute de Recherche sur l’Enseignement de Mathématiques
(IREM) de Estrasburg, França. É autor reconhecido de diversas pesquisas sobre a
atividade matemática e sobre a problemática do ensino e aprendizagem desta
disciplina.
A Teoria dos Registros de Representações Semióticas apresenta-se como
uma teoria cognitiva, preocupada com a organização de situações de aprendizagem
e com a forma como se processa essa aprendizagem. Ela tem se revelado muito útil
no estudo de processos de ensino e aprendizagem de Matemática e tem sido
amplamente utilizada em pesquisas na área da Educação Matemática por
pesquisadores brasileiros. Segundo Duval, devemos procurar entender a natureza
dos problemas específicos de compreensão que os alunos enfrentam na atividade
Matemática, avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência. Tendo como
objetivo o aprendizado de forma eficaz por parte dos alunos, e para que eles
possam realmente compreender a Matemática, contribuindo para a sua formação
intelectual de forma significativa, e não somente de um aprendizado tecnológico ou
de procedimentos mecanicamente executáveis.
Duval (1995) defende em sua teoria que toda a comunicação se estabelece
por meio de representações. Na Matemática, em particular, como os objetos
matemáticos são conceitos, propriedades, construções mentais abstratas, dessa
forma, esses objetos matemáticos não são diretamente acessíveis à percepção ou à
46
experiência intuitiva imediata como são os objetos concretos. As representações
desses objetos são os únicos meios de acessá-los. Nas outras disciplinas científicas,
apesar de que na maioria dos casos se tem acesso direto aos objetos de estudo, as
representações desses objetos é que permitem a aquisição de conhecimento sobre
eles. Na atividade matemática, para que o acesso aos objetos ocorra é preciso,
portanto dar-lhes representações, mas sempre deixando clara a importância da
distinção entre o objeto matemático representado e a sua representação.
Essas representações são chamadas de representações semióticas e se
referem aos diferentes sistemas semióticos. Na Matemática costumeiramente são
utilizados o sistema da língua natural, o sistema algébrico, o sistema numérico, o
sistema gráfico, o sistema figural, entre outros.
Segundo Barros (2011), a Semiótica:
[...] é a ciência ligada a signos e símbolos que têm a função de comunicação. Nesse contexto um sistema semiótico é um conjunto de signos que se articulam segundo regras próprias. Representar um objeto significa criar uma cópia ou produzir alguma expressão que lembre esse objeto. Portanto, uma representação é o produto do ato de representar um objeto. (BARROS, 2011, p. 2).
Duval (2011) afirma que:
[...] na produção cognitiva entre as representações e os signos, na atividade de conhecimento, eles (as representações e os signos) cumprem uma função comum que é “se colocar no lugar de” o que eles representam ou designam e surgem da mesma exigência epistemológica fundamental que é de jamais se confundirem com os próprios objetos. (DUVAL, 2011, p. 37).
Sendo assim, a relação entre representações, signos e os objetos
matemáticos será apenas na forma de referência, não havendo nenhuma interação
entre eles.
Duval (2009, p. 17) considera fundamental durante a aprendizagem
matemática por meio da atividade cognitiva do pensamento, a ligação entre semiósis
e noésis. A semiósis sendo a capacidade de absorção, apreensão ou a produção de
uma representação semiótica de um objeto matemático e a noésis os processos de
47
conceitualização ou a compreensão do objeto representado. E afirma também que
não há separação entre essa dualidade, para compreensão de um objeto
matemático (noésis) há a necessidade de uma representação (semiósis) desse
objeto.
3.1.1 A noção de registros de representações semióticas
Duval (2009, p. 53) coloca três atividades cognitivas fundamentais ligadas às
representações:
- a formação de uma representação identificável, que pode ser estabelecida
por meio de um enunciado compreensível numa determinada língua natural, na
composição de um texto, no desenho de uma figura geométrica, na escrita de uma
fórmula, no esboço de um gráfico. Podemos comparar a formação de uma
representação à realização de uma tarefa de descrição, devendo respeitar regras
gramaticais na composição de um texto, restrições de construções de figura,
construção do algoritmo da multiplicação, o sistema posicional e o sistema de
numeração decimal, isto é, na formação de uma representação já fica determinado o
sistema semiótico ao qual essa representação está vinculada.
- o tratamento de uma representação é a transformação dessa
representação em outra representação sem mudar o sistema semiótico no qual ela
foi formada. Por meio do tratamento uma representação é transformada em outra
representação sem mudar a forma e o conteúdo.
- a conversão de uma representação é a transformação dessa
representação em outra representação num outro sistema semiótico, conservando a
totalidade ou uma parte do objeto matemático que está sendo representado. A
conversão se dá entre sistemas semióticos diferentes, ou seja, é uma atividade
exterior ao sistema semiótico de partida.
Um sistema semiótico que permite que as representações a ele vinculadas
possam sofrer essas três transformações cognitivas se denomina um registro de
representações semióticas. Articular diferentes registros significa converter
representações semióticas de um mesmo objeto entre vários registros.
48
3.1.2 Os diferentes tipos de registros
Duval (1995 apud Machado, 2003, p. 14) aponta a existência de quatro tipos
diferentes de registros mobilizáveis no funcionamento matemático, classificando-os
a seguir:
REPRESENTAÇÃO
DISCURSIVA
REPRESENTAÇÃO
NÃO DISCURSIVA
REGISTROS
MULTIFUNCIONAIS
Os tratamentos não são
algoritmizáveis.
LÍNGUA NATURAL
Associações verbais (conceituais).
Formas de raciocinar:
argumentação a partir de
observações, de crenças...;
dedução válida a partir de
definição ou de teoremas.
FÍGURAS GEOMÉTRICAS
PLANAS OU EM PERSPECTIVAS
(configurações em dimensão 0, 1,
2 ou 3).
apreensão operatória e não
somente perceptiva;
construção com
instrumentos.
REGISTROS
MONOFUNCIONAIS
Os tratamentos são
principalmente
algoritmos.
SISTEMAS DE ESCRITA
numéricas (binária, decimal,
fracionária ...);
algébricas;
simbólicas (línguas formais).
Cálculo
GRÁFICOS CARTESIANOS
mudanças de sistemas de
coordenadas;
interpolação,
extrapolação.
Quadro 2 – Tipos de representação Fonte: MACHADO (2003, p. 14)
Os registros multifuncionais não são específicos da Matemática, podendo
ser utilizados em todas as áreas do conhecimento com o objetivo de comunicação.
Os tratamentos de representações semióticas em seu interior não são
algoritmizáveis. Esses registros podem ser discursivos utilizando a linguagem
natural, permitindo descrever, explicar, calcular, raciocinar e inferir por meio desses
registros, e, também, não discursivos, com a utilização de instrumentos para sua
construção como na representação das formas geométricas.
Os registros monofuncionais são utilizados na Matemática, devido à
característica específica da linguagem matemática. Apresentam tratamentos
algoritmizáveis de suas representações semióticas. Os registros na forma discursiva
49
incluem os sistemas de numeração, as expressões algébricas, os símbolos e as
ferramentas de cálculo. Na forma não discursiva, os registros se apresentam na
forma de gráficos.
Um objeto matemático, como a função linear afim, por exemplo, pode ser
apresentado por meio de diferentes representações, havendo dessa forma a
possibilidade da ocorrência de dificuldades de aprendizagem por parte dos alunos,
devido justamente à identificação nessas diferentes representações do mesmo
objeto matemático.
Para haver uma compreensão desse conteúdo é necessário que haja
interpretações corretas de suas diferentes representações e a coordenação entre as
suas diversas representações. Segundo Duval (1995), a compreensão de um
conteúdo matemático supõe a coordenação de ao menos dois registros de
representação e esta coordenação manifesta-se pela rapidez e espontaneidade da
atividade cognitiva de conversão. Ou seja, quanto maior for a articulação entre os
diferentes registros de representações semióticas de um mesmo objeto matemático,
maior será a possibilidade de apreensão desse objeto.
3.1.3 Congruência e não congruência de conversões
No que consiste à operação de conversão podemos observar dois
fenômenos associados à sua natureza cognitiva, segundo Machado (2003 p.19 e
20):
as variações de congruência e de não congruência;
Para haver a congruência de uma conversão é necessária a verificação
do registro de partida e do registro de chegada, comparando as
representações nesses dois registros e confirmando a existência de
semelhança entre os termos. Nesse caso, a conversão se resume apenas
a uma codificação. No caso de não congruência, há a necessidade de
reorganização da representação no registro de chegada para haver a
correspondência entre as representações.
50
a heterogeneidade dos dois sentidos de conversão;
Nem sempre a conversão se efetua de maneira trivial quando se invertem
os registros de partida e de chegada, isto é, pode-se ganhar ou perder
alguma informação quando se invertem os sentidos de uma conversão de
uma representação semiótica.
3.1.4 Unidades de sentido
Duval (2011) destaca que diante de uma produção matemática oriunda de
uma representação em determinado registro, é importante reconhecer as unidades
de sentido nessa produção. As unidades de sentido são os dados e as informações
matematicamente pertinentes a uma representação num determinado registro. É
necessária a conversão dessa representação entre registros para se ter o
reconhecimento dessas unidades de sentido. Nesse caso, duas condições são
necessárias:
- isolar as unidades de sentido matematicamente pertinentes no conteúdo de
dada representação, convertendo essa representação para outro registro. Depois,
gerar todas as modificações possíveis dessa representação para convertê-las para
esse outro registro.
- fazer um inventário das variações possíveis que permitem passar
diretamente de uma representação a outra que é reconhecida como sendo do
mesmo registro.
O exemplo das representações gráficas nos permite isolar e reconhecer as
unidades de sentido utilizando apenas uma regra de codificação: um par de números
corresponde a um ponto de interseção sobre um plano quadriculado por dois eixos
graduados e orientados. Para essas representações gráficas podemos reconhecer
imediatamente que se trata de uma reta ou uma curva, se cresce ou se decresce e,
no caso das curvas, vemos num primeiro instante o número de ramos, os pontos de
inflexão, de máximo e de mínimo.
51
3.2 FUNÇÃO LINEAR AFIM E REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
Como já foi dito anteriormente, o objeto matemático função linear afim, pode
ser representado em diferentes registros de representações e essa pluralidade de
registros está sujeita também às possíveis transformações de tratamento e
conversões. Há dessa forma, a chance da ocorrência de dificuldades de
aprendizagem desse conceito por parte dos alunos, devido justamente à
identificação nessas diferentes representações do mesmo objeto matemático.
Acreditamos também nas dificuldades de articulação, coordenação ou mobilização
entre as diferentes representações. Para amenizar essa problemática, Duval (1988)
alerta para a importância da identificação e interpretação das unidades de sentido
em diferentes registros de representação do mesmo objeto matemático. No nosso
caso, da função linear afim. Duval (1988) defende a importância da identificação e
interpretação das variáveis visuais da representação gráfica e sua correspondência
com as unidades de sentido simbólicas na expressão algébrica. Segundo Duval
(1988, p. 235), “A leitura das representações gráficas pressupõe a discriminação das
variáveis visuais pertinentes e a percepção das variações correspondentes da
escrita algébrica”.
Ainda, segundo o autor:
A interpretação das representações gráficas depende de uma identificação precisa de todos os valores das variáveis visuais pertinentes e do reconhecimento qualitativo das unidades de escrita simbólicas que lhes são correspondentes. (DUVAL, 1988, p. 251).
Baseando-se nos pressupostos da teoria de Duval, sobre os registros de
representações semióticas, destacamos abaixo as propriedades figurais ou variáveis
visuais e suas unidades simbólicas na expressão algébrica, correspondentes ao
objeto matemático do nosso estudo: função linear afim. Apresentamos os elementos
dos sistemas semióticos envolvidos na conversão entre a representação algébrica
f(x) = a.x + b e a representação gráfica. Segundo Duval (1988):
52
Representação gráfica Representação algébrica
f(x) = a.x + b
Variáveis visuais Valores Unidades simbólicas correspondentes
Sentido da inclinação
- ascendente - coeficiente > 0 - ausência do símbolo -
Ângulo com os eixos
- ângulo maior - coeficiente variável > 1 - há coeficiente escrito
Posição em
relação ao eixo y ou f(x)
- corta acima da origem
- acrescido a uma constante - sinal +
Quadro 3 – Variáveis visuais Fonte: Adaptado de DUVAL (1988)
Representação gráfica Representação algébrica
f(x) = -a.x + b
Variáveis visuais
Valores Unidades simbólicas correspondentes
Sentido da inclinação
- descendente - coeficiente < 0 - presença do sinal -
Ângulo com os eixos
- ângulo menor - coeficiente variável < 1 - há coeficiente escrito
Posição em relação ao eixo
y ou f(x)
- corta acima da origem
- acrescido a uma constante - sinal +
Quadro 4 – Variáveis visuais Fonte: Adaptado de DUVAL (1988)
53
Representação gráfica Representação algébrica
f(x) = a.x - b
Variáveis visuais
Valores Unidades simbólicas correspondentes
Sentido da inclinação
- ascendente - coeficiente > 0 - ausência de sinal -
Ângulo com os eixos
- ângulo maior - coeficiente variável > 1 - há coeficiente escrito
Posição em relação ao eixo
y ou f(x)
- corta abaixo da origem
- subtrai-se a uma constante - sinal -
Quadro 5 – Variáveis visuais Fonte: Adaptado de DUVAL (1988)
Representação gráfica Representação algébrica
f(x) = -a.x - b
Variáveis visuais
Valores Unidades simbólicas correspondentes
Sentido da inclinação
- descendente - coeficiente < 0 - presença de sinal -
Ângulo com os eixos
- ângulo menor - coeficiente variável < 1 - há coeficiente escrito
Posição em relação ao eixo
y ou f(x)
- corta abaixo da origem
- subtrai-se a uma constante - sinal -
Quadro 6 – Variáveis visuais Fonte: Adaptado de DUVAL (1988)
54
Segundo Machado (2003 pág. 184 e 185), a complementaridade entre
registros é fundamental, no sentido da sua parcialidade em relação ao objeto que
pretendemos representar, sendo que a possibilidade de conversão entre os registros
possibilita ao sujeito perceber outros aspectos da situação representada.
Essa complementaridade entre os registros de representação escolhidos
para representar um objeto é que acaba exigindo do professor o trabalho com várias
representações de um mesmo objeto. Por exemplo, quando trabalhamos com as
funções, os gráficos, as tabelas e as equações são todos registros parciais desse
objeto. Cada um desses registros é parcial e possui uma especificação própria.
Perceber essa especificidade a cada registro e reforçá-las é um caminho para
entendimento do objeto como um todo.
No quadro abaixo exemplificamos alguns registros de representações
semióticas do objeto matemático função linear afim em diferentes registros.
Representação Registro Tipo de registro
R1. A variável dependente y ou f(x) será o dobro da variável independente x somado a uma
unidade.
Registro na língua portuguesa
Língua natural
R2. A idade do meu irmão é dobro da minha idade
mais um ano. Quando eu tinha 15 anos, quantos anos tinha meu irmão?
Registro na língua portuguesa
Língua natural
R3. y = 2.x + 1
Registro algébrico
Simbólico
R4.
Registro tabular
Simbólico x -1 0 1 2
y -1 1 3 5
55
Representação Registro Tipo de registro
R5.
Registro cartesiano
Gráfico
R6.
Registro em forma de
desenho Figural
Quadro 7 – Diferentes registros do objeto matemático “função linear afim” Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
-1
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 x
y
56
Neste quadro exemplificamos algumas possíveis representações do objeto
matemático função linear afim. Podemos citar como exemplos de conversão
apresentadas neste quadro: passar do registro algébrico para o registro gráfico (R3
para R5); da língua natural para a tabular (R1 para R4); da tabular para a gráfico (R4
para R5); do gráfico para o algébrico (R5 para R3), etc. A transformação da
representação R1 para a representação R2 é um tratamento.
Na sequência, apresentamos duas atividades presentes no Material de
Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo. Essas atividades que destacamos como
exemplos, estão no volume 2 da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental. No quadro
de cada atividade temos o enunciado e a seguir fizemos algumas observações sob
os aspectos do referencial teórico dos registros de representações semióticas.
Atividade 1
ENUNCIADO
Figura 32 – Atividade de Matemática da 8ª Série/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013, p. 34)
Observemos que essa atividade é apresentada no registro da língua
materna e no registro figural. É solicitado aos alunos que discutam sobre a
problemática levantada, e por meio da comparação entre os resultados nos registros
numéricos, eles identifiquem a proporção direta, e decidam qual é a situação mais
vantajosa para o consumidor.
57
Atividade 2
ENUNCIADO
Figura 33 – Atividade de Matemática da 8ª Série/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013, p. 34)
Esta é composta de quatro atividades, apresentadas em registro tabular. É
solicitado aos alunos, que analisem a variação entre as grandezas denominadas y e
x. É informado que a grandeza y varia em função da grandeza x. Com base nessa
análise os alunos deverão concluir se as duas grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais, ou ainda, se não há proporcionalidade entre elas. Em
seguida, em cada exercício proposto, é solicitado aos alunos, a conversão para o
registro algébrico.
Atividade Registro de Representação
Semiótica Registro de Partida
Tipo de Transformação do Registo
Registro de Representação Semiótica
Registro de Chegada
1 Língua materna Numérico
Tratamento Língua materna - Numérico
2 Tabular
Exerc
ício
s
a) Conversão a) Algébrico
b) Conversão b) Algébrico
c) Conversão c) Algébrico
d) Conversão d) Algébrico
Tabela 1 – RRS no Caderno do Aluno da 8ª Série/9º Ano do EF Fonte: Elaborado pelo pesquisador.
58
CAPÍTULO 4 - AS ORIENTAÇÕES SOBRE A ABORDAGEM DO
TEMA FUNÇÕES NOS DOCUMENTOS OFICIAIS FEDERAIS E DO
ESTADO DE SÃO PAULO
Neste capítulo, realizamos uma análise nos documentos oficiais: federal e
estadual, por meios dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental
e do Currículo do Estado de São Paulo, com o propósito de verificarmos como se
encontra organizados os tópicos de estudo relacionados ao tema função linear afim.
Destacamos as orientações didático-pedagógicas sugeridas por esses documentos
para o desenvolvimento do conteúdo pelo professor em sala de aula e os critérios
propostos para avaliação, aos alunos do Ensino Fundamental.
4.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN)
Atualmente o poder público federal, por meio do Ministério da Educação e do
Desporto (MEC), disponibiliza os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o
Ensino Fundamental e os PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio. Estes documentos são as diretrizes curriculares educacionais de todo
o país, separados por disciplinas. Seu objetivo principal é apontar metas de
qualidade que auxiliem crianças e jovens brasileiros, no acesso ao conjunto de
conhecimentos reconhecidos como necessários para o exercício da cidadania
participativa, reflexiva e autônoma.
Instituídos pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº9394/96 (LDB),
implementados em 1997 os PCN têm por finalidade estabelecer uma referência
curricular e apoiar a revisão e a elaboração da proposta curricular das escolas
integrantes dos sistemas de ensino estaduais e municipais. Tem por finalidade
também auxiliar os educadores na reflexão sobre a prática diária em sala de aula,
servindo de apoio ao planejamento de aulas e ao desenvolvimento do currículo da
escola.
Visando o desenvolvimento de cidadãos participativos, reflexivos e
autônomos, os PCN (1998) para os anos finais do Ensino Fundamental da disciplina
de Matemática, apontam os objetivos em termos das capacidades que se espera
59
que os estudantes desenvolvam durante essa etapa escolar. Abaixo destacamos
especificamente as finalidades do ensino de Matemática que visam para esse
desenvolvimento. Espera-se levar o aluno a:
identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;
resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;
comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;
estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;
sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções;
interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (BRASIL, 1998, pag. 47 e 48).
60
A seleção e a organização dos conteúdos matemáticos para o Ensino
Fundamental nos PCN foram organizados em quatro grandes blocos de conteúdos,
a saber: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento
da informação.
Durante a análise desses documentos, procuramos identificar como as
diferentes concepções que compõe o nosso objeto de estudo, a função linear afim,
como interdependência, variável, variação, grandezas variáveis, proporcionalidade
estão distribuídos entre os blocos citados. Abaixo apresentamos o quadro extraído
dos PCN (1998), no qual, sintetiza as diferentes interpretações da álgebra no
cotidiano escolar. Procuramos identificar as orientações de trabalho sugeridas, a
importância de cada uma dessas concepções para o desenvolvimento escolar do
aluno, e os critérios de avaliação definidos pelos PCN.
Quadro 8 – Concepções algébricas no ensino fundamental Fonte: PCN (1998, p.116)
61
4.1.1 Objetivos da Matemática
Nesta etapa da educação, segundo os PCN (1998), o ensino de Matemática
deve visar ao desenvolvimento do pensamento algébrico e do raciocínio
proporcional.
Segundo os PCN (1998, p. 68), no decorrer do trabalho com o bloco
NÚMERO E OPERAÇÕES, é fundamental estudar algumas relações funcionais pela
exploração de padrões em sequências numéricas que levem os alunos a fazerem
algumas regularidades e generalizações, a compreensão da noção de variável pela
interdependência entre grandezas e a construção de procedimentos para calcular o
valor numérico de expressões algébricas simples. Conforme esse mesmo
documento, o trabalho inicial restringe-se apenas a compreensão da noção de
variável e o reconhecimento da relação entre a variação de duas grandezas.
Evitando-se ao aprofundamento das operações com as expressões algébricas e as
equações.
Sobre a introdução da noção de função no Ensino Fundamental, o trabalho é
orientado para que se utilize do conceito de proporcionalidade, permitindo a
articulação entre problemas multiplicativos, porcentagem, semelhança de figuras,
matemática financeira, análise de tabelas e gráficos. Espera-se que com esse
trabalho, os alunos ao final do Ensino Fundamental tenham desenvolvido uma
relação pessoal com a noção de função afim e que possam aplicar esse conceito em
situações contextualizadas, utilizando-se das diversas representações desse objeto
(fórmula, tabela e gráfico) e articulando-se entre elas.
4.1.2 Conteúdos propostos para o ensino de Matemática
Sobre os conteúdos propostos para o ensino de Matemática, no Ensino
Fundamental, os PCN (1998) destacam a importância do trabalho de estudo de
algumas relações funcionais, pela exploração de padrões em sequências numéricas,
a fim de fazer com que os alunos generalizem e compreendam a natureza das
representações algébricas; compreendam o conceito de variável e de função,
reconhecendo nessa expressão algébrica como uma forma de traduzir a relação
existente entre a variação e a interdependência de duas grandezas; representem
fenômenos de grandezas variáveis na forma algébrica e na forma gráfica no plano
62
cartesiano, caracterizando o comportamento dessa variação em diretamente
proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional (função afim ou
quadrática).
4.1.3 Conceitos e procedimentos
Sobre os conceitos a serem trabalhados e os procedimentos a serem
adotados, os PCN (1998) são bastante enfáticos em indicar que se proponha a
resolução de situações-problema como procedimento.
Os procedimentos adotados devem sugerir ao aluno a resolução de
situações-problema que envolvam a ideia de proporcionalidade, incluindo cálculos
com porcentagens, pelo uso de estratégias não-convencionais. Utilização de
representações algébricas para expressar generalizações sobre propriedades das
operações aritméticas e regularidades observadas em algumas sequências
numéricas. Situações-problema que levem a identificação da natureza da variação
de duas grandezas e expressando-a por meio de uma sentença algébrica e gráfica.
4.1.4 Critérios de avaliação
No que tange aos critérios de avaliação, segundo as orientações contidas
nos PCN (1998), expressam as expectativas de aprendizagem, objetivando a
verificação dos conteúdos matemáticos trabalhados durante os ciclos do Ensino
Fundamental. Os autores desse documento definem alguns critérios, os quais
poderão fundamentar o trabalho do professor, com a finalidade de verificar se os
alunos desenvolveram as capacidades previstas de conceitualização, procedimental
e atitudinal, de modo que possam continuar aprendendo no ciclo1 seguinte. Os
critérios de avaliação não abrangem a totalidade dos conteúdos, mas alguns
conteúdos destacados como fundamentais para cada ciclo do Ensino Fundamental.
Abaixo relacionamos alguns critérios para avaliação, de modo a verificar se os
1 Sistema concebido nos termos da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB), de
1996 como alternativa ao tradicional sistema de séries e na qual a avaliação é feita ao longo
do ciclo – e não ao fim do ano letivo. O sistema de ciclos tem base no regime de progressão
continuada, uma perspectiva pedagógica em que a vida escolar e o currículo são assumidos e
trabalhados em dimensões de tempo mais flexíveis. Dessa forma, o aluno só poderia ser
reprovado no fim de cada ciclo.
63
alunos desenvolveram as capacidades de:
Utilizar a linguagem algébrica para representar as generalizações inferidas a partir de padrões, tabelas e gráficos em contextos numéricos e geométricos.
Resolver situações-problema que envolvam a variação de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais e representar em um sistema de coordenadas cartesianas essa variação. (BRASIL, 1998, pag. 76 e 92).
4.1.5 Orientações Didáticas
As orientações didáticas apresentadas pelos PCN (1998), para o Ensino
Fundamental apontam que o estudo da Álgebra constitui um espaço bastante
significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e
generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para
resolver problemas. Assim, propõe que o trabalho no estudo da Álgebra envolva
principalmente situações-problema, para que levem os alunos a construírem noções
algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo
relações, evitando que se desenvolva o estudo da Álgebra apenas enfatizando as
“manipulações” com expressões e equações de uma forma meramente mecânica.
Os PCN (1998) orientam sobre a importância do estudo das variáveis para
representar relações funcionais em situações-problemas concretas. Possibilitando
que o aluno veja outra função para as letras ao identificá-las como números de um
conjunto numérico, úteis para representar generalizações, além de servirem para
indicar ou encobrir um valor desconhecido (incógnita).
No bloco ESPAÇO E FORMA, o trabalho com situações-problema sobre
variações de grandezas fornecem, segundo os PCN (1998), excelentes contextos
para o desenvolvimento da noção de função. Os alunos podem estabelecer como
varia o perímetro (ou área) de um quadrado, em função da medida de seu lado;
determinar a expressão algébrica que representa a variação, assim como esboçar o
gráfico cartesiano que representa essa variação.
Os autores do PCN (1998) destacam a importância dos gráficos para o
desenvolvimento de conceitos e procedimentos algébricos, permitindo a observação
64
da variedade de relações possíveis entre duas variáveis. Quando uma variável
aumenta, a outra pode permanecer constante, aumentar ou diminuir na mesma
razão da primeira, crescer ou decrescer, mas não exatamente na mesma razão,
aumentar ou diminuir muito mais acentuadamente, aproximar-se mais e mais de um
determinado valor, aumentar e diminuir alternadamente, aumentar ou diminuir em
etapas.
Segundo os PCN (1998), o conceito de função potencializa além das
conexões internas à própria Matemática, a descrição e o estudo, por meio da leitura,
interpretação e construção de gráficos, do comportamento de certos fenômenos
tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento.
É interessante perceber que já se incentivava a utilização da informática
como ferramenta pedagógica no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos
matemáticos. Segundo os PCN (1998), as planilhas eletrônicas e os softwares
gráficos são ricos recursos para se trabalhar conceitos algébricos por meio do
preenchimento de tabelas, da percepção das vantagens do uso das letras (como
variáveis) como generalização de um procedimento.
Finalizamos esta sessão com dois exemplos que fazem parte das
orientações didáticas dos PCN (1998), para serem trabalhadas em sala de aula.
66
Figura 35 – Atividade proposta Fonte: PCN (1998, p.120)
Nos dois exemplos citados acima, pudemos identificar a utilização da
contextualização de situações práticas do dia-a-dia, como proposta de trabalho no
processo de ensino e aprendizagens sobre o conceito de função linear afim.
67
4.2 CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
A Proposta Curricular para o Estado de São Paulo, criada em 2008 e que se
tornou referência comum em todas as escolas da rede estadual por meio do
Programa São Paulo Faz Escola, teve no início como uma de suas principais
características a implantação de um currículo pedagógico único que visava a prática
de um mesmo plano de aula para todas as escolas da rede estadual, dessa forma
tendo como meta a melhoria na qualidade de ensino.
Atualmente a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo publicou uma
nova versão do Currículo, este material teve sua edição revista com a colaboração
de especialistas de cada área e pelos professores, hoje passando a ser denominado
como Currículo do Estado de São Paulo. Fazem parte desse programa, o Caderno
do Gestor e o material didático destinado aos professores e alunos: Caderno do
Professor e os Cadernos dos Alunos, organizados por disciplina/série
(ano)/bimestre.
Todo esse conjunto de documentos tem por finalidade apresentar os
princípios orientadores para a prática educativa, priorizando ao aluno o
desenvolvimento das competências de leitura e escrita, (2012, p. 14).
4.2.1 Organização dos conteúdos básicos
A organização dos conteúdos de Matemática do Currículo do Estado de São
Paulo, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio, estão organizados em
três blocos temáticos: NÚMEROS, GEOMETRIA e RELAÇÕES.
Segundo o Currículo do Estado de São Paulo (2012) define as
características de cada bloco, a saber:
Os NÚMEROS envolvem as noções de contagem, medida e
representação simbólica, tanto de grandezas efetivamente existentes quanto de outras imaginadas a partir das primeiras, incluindo-se a representação algébrica das operações fundamentais sobre elas. Duas ideias fundamentais na constituição da noção de número são as de equivalência e de ordem.
68
A GEOMETRIA diz respeito diretamente à percepção de formas e de
relações entre elementos de figuras planas e espaciais; à construção e à representação de formas geométricas, existentes ou imaginadas, e à elaboração de concepções de espaço que sirvam de suporte para a compreensão do mundo físico que nos cerca.
As RELAÇÕES, consideradas como um bloco temático inclui a
noção de medida, com a fecundidade e a riqueza da ideia de aproximação; as relações métricas em geral; e as relações de interdependência, como as de proporcionalidade ou as associadas à ideia de função. (SÃO PAULO, 2012, p. 39).
4.2.2 O processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos básicos
Segundo as orientações contidas no Currículo do Estado de São Paulo
(2012, p. 40), para que o trabalho referente às representações algébricas seja
desenvolvido, é importante que o professor se atente para os seguintes pontos:
- as primeiras ideias associadas ao plano cartesiano devem ser trabalhadas
no Ensino Fundamental, na 5ªsérie/6ºano ou na 6ªsérie/7ºano, por meio da
localização de pontos.
- a construção, análise e interpretação de gráficos, devem ser desenvolvidas
na 7ªsérie/8ºano ou na 8ªsérie/9ºano.
A ideia de proporcionalidade também é tema do currículo do Ensino
Fundamental, servindo para a exploração das relações entre grandezas direta e
inversamente proporcionais, cujo prolongamento será o estudo das funções de 1º
grau.
No Ensino Médio, há uma grande ênfase aos conteúdos associados ao bloco
temático Relações. Nesse eixo é proposto a investigação das relações de
interdependência, e o aprofundamento mais sistematizado de um tipo particular de
interdependência, que são as funções, incluindo-se a noção de taxa de variação.
Sobre a forma de apresentação dos conteúdos matemáticos, o Currículo do
Estado de São Paulo destaca a importância da apresentação aos alunos do
significado dos conteúdos a serem ensinados, por meio da expressão histórica de
tais conteúdos, seu desenvolvimento, suas mudanças conceituais no decorrer do
tempo.
69
Finalizamos esse capítulo, apresentando os quadros de conteúdos e
habilidades de Matemática, constantes do Currículo do Estado de São Paulo.
Nesses quadros, optamos por apresentar como destaque, os tópicos relacionados
ao tema função linear afim, os bimestres letivos, no qual são desenvolvidos os
trabalhos, e também, as habilidades que se espera que os alunos tenham
desenvolvido no final de cada etapa escolar.
70
6ª Série/7º Ano do EF 7ª Série/8º Ano do EF 8ª Série/9º Ano do EF 1ª Série do EM 3ª Série do EM
CONTEÚDOS
2º
BIM
ES
TR
E
Números/Relações
Funções
Noções básicas sobre função
A ideia de variação
Construção de tabelas e gráficos para representar função de 1º grau
Relações
Funções
Relação entre duas grandezas
Proporcionalidades: direta, inversa
Função de 1º grau
3º
BIM
ES
TR
E
Relações
Proporcionalidade
Variação de grandezas direta ou inversamente proporcionais
Conceito de razão
Números/Relações
Gráficos
Coordenadas: localização de pontos no plano cartesiano
Relações
Estudo das funções
Qualidades das funções
Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação
Quadro 9 – Conteúdos de Matemática Fonte: Adaptado de SEE/SP (2012)
71
6ª Série/7º Ano
do EF
HABILIDADES
3º
BIM
ES
TR
E
Relações
Proporcionalidade
Variação de grandezas direta ou inversamente proporcionais
Conceito de razão
Saber reconhecer situações que envolvem proporcionalidade em
diferentes contextos, compreendendo a ideia de grandezas direta e
inversamente proporcionais
Saber resolver problemas variados, envolvendo grandezas direta e
inversamente proporcionais
Quadro 10 – Habilidades de Matemática Fonte: Adaptado de SEE/SP (2012)
7ª Série/8º Ano
do EF
HABILIDADES
3º
BIM
ES
TR
E
Números/Relações
Gráficos
Coordenadas: localização de pontos no plano cartesiano
Compreender e usar o plano cartesiano para a representação de
pares ordenados, bem como para a representação das soluções de
um sistema de equações lineares
Quadro 11 – Habilidades de Matemática Fonte: Adaptado de SEE/SP (2012)
72
8ª Série/9º Ano do EF
HABILIDADES
2º
BIM
ES
TR
E
Números/Relações
Funções
Noções básicas sobre função
A ideia de variação
Construção de tabelas e gráficos para representar função de 1º grau
Compreender a noção de função como relação de interdependência
entre grandezas
Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de
proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções
de 1º grau
Saber construir gráficos de função de 1º grau por meio de tabelas e
da comparação com os gráficos das funções y = x
Quadro 12 – Habilidades de Matemática Fonte: Adaptado de SEE/SP (2012)
1ª Série do EM
HABILIDADES
2º
BIM
ES
TR
E
Relações
Funções
Relação entre duas grandezas
Proporcionalidades: direta, inversa
Função de 1º grau
Saber reconhecer relações de proporcionalidade direta, inversa,
direta com o quadrado, entre outras, representando-as por meio de
funções
Compreender a construção do gráfico de funções de 1º grau,
sabendo caracterizar o crescimento, o decrescimento e a taxa de
variação
Saber utilizar em diferentes contextos as funções de 1º grau
Quadro 13 – Habilidades de Matemática Fonte: Adaptado de SEE/SP (2012)
73
3ª Série do EM
HABILIDADES
3º
BIM
ES
TR
E
Relações
Estudo das funções
Qualidades das funções
Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação
Saber usar de modo sistemático as funções para caracterizar
relações de interdependência, reconhecendo as funções de 1º grau,
com suas propriedades características
Compreender o significado da taxa de variação unitária (variação de
f(x) por unidade a mais de x), utilizando-a para caracterizar o
crescimento, o decrescimento de gráficos
Quadro 14 – Habilidades de Matemática Fonte: Adaptado de SEE/SP (2012)
74
CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DE MATERIAIS DIDÁTICOS
O objetivo deste capítulo será descrever a análise realizada nos materiais
didático-pedagógicos: Caderno do Aluno/Professor e Livros Didáticos. O objetivo
desta análise foi investigar como o tema função linear afim é abordado nos materiais
didático-pedagógicos sob o ponto de vista da Teoria dos Registros de
Representações Semióticas, e como são propostas as atividades sobre o tema. Para
isso, analisamos o material Volume 2 do Caderno do Aluno da 8ª Série/9º Ano do
Ensino Fundamental e o Caderno do Professor, sendo esses materiais de apoio ao
Currículo do Estado de São Paulo e três livros didáticos, integrantes do Programa
Nacional do Livro Didático (PNLD) para o ano de 2014.
5.1 MATERIAL DA SEESP: CADERNOS DO PROFESSOR E DOS ALUNOS
O Programa São Paulo Faz Escola, promovido pela Secretaria da Educação
do Estado de São Paulo, disponibiliza para toda a rede de ensino público o material
didático-pedagógico: Caderno do Professor e os Cadernos dos Alunos. O Caderno
do Professor é um material de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo e tem por
finalidade promover orientações básicas para a prática do trabalho pedagógico do
professor, durante a realização das atividades pelos alunos no Caderno do Aluno.
Os conteúdos matemáticos propostos no Volume 2 do Caderno do Aluno da
8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental, orientados pelo Caderno do Professor, são
as equações de 2º grau e a noção de função, sendo que, esses conteúdos estão
organizados em oito unidades, conforme quadro abaixo:
75
Quadro 15 – Conteúdos de Matemática da 8ª Série/9º Ano do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 11)
Para os conteúdos a serem trabalhados na 1ª Série do Ensino Médio no
Caderno do Aluno, também tendo suas orientações contidas no Caderno do
Professor, estão apresentadas no quadro abaixo:
Quadro 16 – Conteúdos de Matemática da 1ª Série do EM Fonte: SEE/SP (2013 p. 10)
Como o nosso objeto de pesquisa, refere-se ao tema função linear afim,
focamos nossa análise, apenas nas Unidades 6, 7 e 8 do material da 8ª Série/9º Ano
do Ensino Fundamental, com o propósito já descrito no início deste capítulo.
76
As orientações do material de apoio da 8ª Série/9º Ano do Ensino
Fundamental, propõem que o conteúdo funções seja desenvolvido durante o 2º
bimestre do ano letivo. Espera-se que os alunos iniciem o desenvolvimento do
conceito de função por meio da análise e percepção da interdependência entre duas
grandezas. As atividades são apresentadas em duas situações de aprendizagens,
de forma a sugerir como o professor possa abordar os conteúdos a serem
desenvolvidos durante o bimestre.
As sugestões de abordagem para o tema funções, segundo o Caderno do
Professor, foram organizadas em três das oito unidades, conforme apresentado no
Quadro 14. No Caderno do Aluno, as unidades são trabalhadas em dois capítulos
denominados de Situações de Aprendizagem 3, para a unidade 6 e Situações de
Aprendizagem 4, para as unidades 7 e 8.
As atividades propostas na Situação de Aprendizagem 3, baseiam-se na
resolução de situações-problema. Tem-se inicialmente a intenção de fazer com que
o aluno além de perceber a variação entre grandezas, também consiga estabelecer
uma relação entre essas grandezas por meio da proporcionalidade. Proporcionando
ao aluno a possibilidade de exploração das noções básicas sobre funções, como a
dependência entre grandezas variáveis, e também o desenvolvimento do raciocínio
proporcional.
Atividade 1
A situação-problema dessa atividade é apresentada no registro da língua
natural e no registro numérico. É solicitado aos alunos que discutam sobre a
problemática levantada, e por meio da comparação entre os registros numéricos
eles consigam identificar a proporção direta, caso exista.
ENUNCIADO
Figura 36 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 34)
77
Atividade 2
Essa atividade é composta de quatro situações-problema, são apresentadas
em registro tabular. É solicitado aos alunos, que eles analisem a variação entre as
grandezas denominadas y e x, é informado que a grandeza y varia em função da
grandeza x. E com base nessa análise os alunos deverão concluir se as duas
grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, ou ainda, se não há
proporcionalidade entre elas. Em seguida, em cada caso proposto anteriormente é
solicitado aos alunos, a conversão para representação algébrica.
ENUNCIADO
Figura 37 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 34)
Atividade 3
Essa atividade é composta de sete situações-problema, é solicitado aos
alunos que analisem cada uma das situações propostas e verifiquem a existência ou
não de proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas, é solicitado
também, caso haja tal fato, a sua representação algébrica e a indicação da
constante de proporcionalidade. Quanto à forma de apresentação dos registros, as
situações-problema contemplam os registros da língua natural/algébrico, língua
natural e figural/língua natural/algébrico.
78
ENUNCIADO
Figura 38 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 36)
Atividade 4
A atividade 4 apresenta uma situação contextualizada sobre a relação entre
a distância de segurança e a velocidade de um veículo, após ter sido acionado o
sistema de freio. O objeto matemático função, nesta contextualização é informado
tanto no registro tabular e no registro algébrico. A atividade é dividida em três
situações-problemas, sendo que, na primeira é solicitada a constante de
proporcionalidade por meio do tratamento do registro algébrico. Na segunda e na
terceira situação-problema, também é explorada o tratamento em registro algébrico,
a fim de se obter a velocidade média e a distância, respectivamente.
79
ENUNCIADO
Figura 39 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 37)
Atividade 5
A contextualização também se faz presente nesta atividade sob a situação
da relação dentre o custo total C e a quantidade x produzida de um produto. As
informações do enunciado são apresentas em registro algébrico, sendo os
exercícios divididos em cinco etapas. Na primeira etapa é solicitada por meio do
tratamento do registro algébrico, a constante de proporcionalidade. Nos dois
exercícios seguintes, também são resolvidos por meio do tratamento da expressão
algébrica dada no enunciado do problema. Os dois últimos exercícios dessa
atividade são solicitados a verificação da existência de proporcionalidade entre as
variáveis C e x, sendo que é sugerido ao professor a resolução por meio da
construção de uma tabela.
80
ENUNCIADO
Figura 40 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 38)
Atividade 6
A situação proposta é apresentada na forma contextualizada e o objeto
matemático função é informado em seu registro algébrico. Dividida em três partes,
sendo que a primeira e a segunda são aplicadas o tratamento no registro algébrico e
na terceira é sugerida a construção de uma tabela, neste caso verificamos a
conversão do registro algébrico do enunciado principal para o registro numérico-
tabular.
ENUNCIADO
Figura 41 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 40)
81
Atividade 7
Nesta atividade a situação-problema é apresenta de forma contextualizada,
o objeto matemático é apresentado em seu registro algébrico e todas as cinco partes
são resolvidas aplicando-se o tratamento em registro algébrico.
ENUNCIADO
Figura 42 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 41)
Atividade 8
Na atividade 8, temos figuras que simulam a área projetada em função da
distância do projetor e a tela de projeção. Dividida em quatro situações-problema, na
primeira temos uma conversão dessa representação figural para uma representação
tabular. Na segunda vemos a conversão da relação apresentada na figura para uma
em registro algébrico. Nas duas últimas situações-problema, são realizadas
tratamentos em registro algébrico.
82
ENUNCIADO
Figura 43 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 42)
Atividade 9
Esta última atividade proposta, temos uma contextualização sobre o conceito
de oferta e demanda, e o objeto matemático função é representado algebricamente.
São propostas duas situações problemas, sendo a primeira, desenvolvida por meio
do tratamento de registros algébricos e na segunda situação problema, a fim de que
se perceba a relação entre as variáveis da representação, sugere-se a construção
de uma tabela, isto é, há uma conversão entre os registros algébrico e numérico-
tabular.
83
ENUNCIADO
Figura 44 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 42)
Ao final desta Situação de Aprendizagem 3, composta das atividades
descritas acima, segundo o Material de Apoio, para que haja uma avaliação sobre o
conteúdo trabalhado durante esse período, espera-se que os alunos por meio de
contextualizações, consigam modelar por meio de uma expressão algébrica as
relações entre duas grandezas, consigam analisar a proporcionalidade direta e
inversa, e percebam a relação de interdependência entre as variáveis na expressão
algébrica ou na construção de tabelas.
O trabalho de análise que fizemos no Material de Apoio ao Currículo do
Estado de São Paulo, sendo estes o Volume 2 do Caderno do Professor e Caderno
do Aluno da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental, teve como objetivo verificar de
que forma as atividades propostas nesse material abordam as transformações e os
tipos de registros de representação semiótica do objeto matemático função linear
afim. O interesse nessa análise foi para verificar se as atividades e/ou exercícios
propostos aos alunos englobam os diversos registros de representações semióticas
e se os mesmos dão subsídios necessários para os alunos transitarem entre as
diversas representações por meio das conversões.
84
Tipo de transformação de registros
Tratamento Conversão
Atividade 1 1 -
Atividade 2 - 4
Atividade 3 - 6
Atividade 4 3 -
Atividade 5 5 2
Atividade 6 2 1
Atividade 7 5 -
Atividade 8 2 1
Atividade 9 1 1
TOTAL 18 15 Tabela 2 – Tipo de transformação – Caderno do Aluno 8ªSérie/9ºAno do EF FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Sentido da conversão de registros
TabularAlgébrico AlgébricoTabular Língua naturalAlgébrico
Atividade 2 4 - -
Atividade 3 - - 6
Atividade 5 - 2 -
Atividade 6 - 1 -
Atividade 8 1 - -
Atividade 9 - 1 -
TOTAL 5 4 6 Tabela 3 – Sentido da conversão – Caderno do Aluno 8ªSérie/9ºAno do EF FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Interessante notar que, o material analisado acima, sob o ponto de vista da
Teoria dos Registros de Representações Semióticas, apresenta quase um equilíbrio
em relação a quantidade de transformações de tratamento e conversão de registros.
Já em relação aos sentidos das conversões, não identificamos nenhuma atividade
que explorasse a conversão de registros no sentido gráfico.
85
5.2 MATERIAL DO PNLD 2014: LIVROS DIDÁTICOS
O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), promovido pelo Ministério
da Educação e do Desporto (MEC), por meio do Fundo Nacional de
Desenvolvimento da Educação (FNDE), disponibiliza para a rede de ensino público
do país, aos alunos do Ensino Fundamental e Médio, o material livro didático. Além
desse material, são distribuídos também obras literárias, obras complementares e
dicionários.
O PNLD ocorre a cada três anos alternadamente. A cada ano o FNDE
adquire e distribui livros para todos os alunos de determinada etapa de ensino,
repõe e complementa os livros reutilizáveis para outras etapas de ensino. Para o
PNLD 2014, o programa passa a distribuir, além do material didático impresso, o
conteúdo multimídia complementar aos livros, que são DVDs, CD-ROM entre outros.
Este material contêm conteúdos que poderão ser reproduzidos livremente para
todos os alunos. Esta iniciativa tem por objetivo facilitar o acesso dos professores e
alunos às novas tecnologias, auxiliando dessa forma, no processo de ensino e
aprendizagem.
Optamos por escolher apenas três exemplares, de forma aleatória, dentre as
dez coleções de livros didáticos de Matemática, recomendados para compor o PNLD
2014. Os livros escolhidos correspondem à etapa de ensino da 8ª Série/9º Ano do
Ensino Fundamental.
Para análise dos livros didáticos selecionados, estabelecemos os seguintes
critérios de análise descritos abaixo, juntamente com as respectivas justificativas
para os critérios adotados:
Critério 1: Em algum momento, no desenvolvimento do conceito de função
linear afim, nas atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, é proposta
a utilização de algum ambiente computacional?
Justificamos a adoção do critério 1, como critério de análise, por
entendermos a importância que o material livro didático têm para o professor. Sendo
o livro didático, na maioria das vezes o alicerce e o direcionador do trabalho
pedagógico do professor, juntamente com as orientações constantes nos
documentos oficiais. É no livro didático que se encontra a possibilidade de se
colocar em prática, por meio de exercícios, o conteúdo específico da disciplina, e
86
que o professor desenvolverá com os seus alunos. Aliada à importância do livro
didático como material pedagógico, percebemos também a importância que o tema
informática tem para os dias atuais e o seu papel no ambiente escolar. Pois, como já
foi dito, podemos ter em ambientes informatizados, ferramentas de grande suporte
ao processo de formalização dos conteúdos matemáticos, auxiliado pelas suas
características de dinamismo e interatividade entre o aluno e o objeto matemático
(Gravina e Santarosa, 1998).
Por esse motivo, procuramos investigar se este material, o livro didático,
também compartilha dessa importância e incentiva a prática do uso da informática,
por meio de atividades constituídas, desenvolvidas e orientadas ao uso de um
ambiente informatizado.
Critério 2: No desenvolvimento do conceito de função linear afim, nas
atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, com qual intensidade são
exploradas as noções de registros de representações semióticas e as noções de
conversões de representações?
De acordo com Duval (1996 apud Moretti 2002), é importante que haja
articulação entre os diversos registros de um objeto matemático. Sendo essa
articulação, uma condição satisfatória para o acesso à compreensão do objeto
matemático em estudo, dando ao aluno a oportunidade de conhecimento das
diversas representações, evitando o “enclausuramento” em uma única
representação.
Concordamos com Silva (2007, p. 46), quando diz que, “para haver uma
apreensão global das representações gráfica e algébrica de uma função, é
necessário que a conversão entre os registros de representação ocorra nos dois
sentidos”.
Dessa forma, acreditamos na importância em analisar de que forma são
propostas as atividades aos alunos. Se essas atividades abordam as
transformações de conversões entre as representações do objeto matemático
função linear afim nos livros didáticos integrantes do PNLD 2014. E se essa
articulação abrange os dois sentidos de conversão.
87
5.2.1 Livro didático 1
DANTE, L. R.: Projeto Teláris – Matemática – 9º ano, 1ª Edição, 2ª
Impressão, São Paulo: Editora Ática, 2013.
Critério 1: Em algum momento, no desenvolvimento do conceito de função
linear afim, nas atividades e exercícios a serem desenvolvidos pelos alunos, é
proposta a utilização de algum ambiente computacional?
Com base em nossa análise, pudemos observar no Livro 1, que durante o
desenvolvimento dos temas, há a indicação e orientação do autor para a realização
de atividades por meio da utilização das TIC. No decorrer dos capítulos, há a
indicação por meio de um pequeno ícone juntamente com um número.
Figura 45 – Ícone de atividade digital Fonte: DANTE (2013 p. 84)
Este ícone indica que o professor deverá dirigir-se a sessão “Objetos
Educacionais Digitais”. Nesta sessão o professor encontrará uma tabela com as
orientações sobre o conteúdo matemático e a respectiva atividade multimídia a ser
realizada. Essas atividades envolvem a utilização de jogos eletrônicos, vídeos,
simuladores e infográficos animados.
88
Figura 46 – Relação de objetos educacionais digitais Fonte: DANTE (2013 p. 328)
No Livro 1, há também sugestões de sites, página 325 com que os alunos
poderão complementar seus estudos relacionados à Matemática e outros assuntos
em geral.
Critério 2: No desenvolvimento do conceito de função linear afim, nas
atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, com qual intensidade são
exploradas as noções de registros de representações semióticas e as noções de
conversões de representações?
Neste livro, o conceito de função linear afim é inicialmente abordado por
meio de uma situação contextualizada, no caso, a situação do salário de um
vendedor.
89
Figura 47 – Introdução ao conceito de função linear afim Fonte: DANTE (2013 p. 83)
Neste exemplo inicial o registro é dado em língua natural e em seguida há a
conversão para a representação no registro algébrico. Logo em seguida, o autor
introduz a definição algébrica de função linear afim, não especificando como
coeficientes e sim como letras a e b pertencentes aos reais.
“Chamamos de função afim toda função cuja lei de formação pode ser
indicada por y = ax + b, com a e b reais.” (Grifo do autor).
DANTE (2013 p.83).
O autor continua com mais alguns exemplos de função linear afim, mas
todos esses exemplos indicados em registro algébrico.
O conjunto de exercícios referentes à etapa de conceitualização de função
linear afim explora inicialmente a conversão para registro algébrico de situações
indicadas em registro da língua natural, para, em seguida, prosseguir em sua maior
parte, no tratamento de registros.
90
Figura 48 – Exercícios Fonte: DANTE (2013 p. 83)
A introdução da representação gráfica da função linear afim é feita por meio
da conversão de representações, do registro numérico tabular para o registro gráfico
no plano cartesiano.
Figura 49 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim Fonte: DANTE (2013 p. 84)
O autor aproveita essa situação para introduzir os conceitos de crescimento
ou decrescimento da função, quando a é positivo ou negativo, respectivamente. Em
um segundo momento, sobre a representação gráfica, o autor explica sobre a
inclinação da reta em relação ao eixo x, inicialmente pelo registro gráfico e em
seguida, definindo o sinal de a em registro algébrico.
91
É importante destacar, que a forma como é traçada o gráfico linear depende
do conjunto numérico ao qual pertence a variável x. Tomando-se como exemplo, o
exercício 21 da Figura 48, vimos que se trata da produção de determinada peça.
Sendo assim, devemos considerar x (número de peças produzidas) pertencendo ao
conjunto dos números naturais, pois neste caso, não poderá ocorrer a produção de
peças fracionadas ou negativas. Ocasionando, dessa forma, o traçado gráfico de
forma não-contínua. Já no caso do exercício 22, Figura 48, cabe o traçado do gráfico
linear de forma contínua, pois x (minutos em que a torneira fica aberta) pode ser
representado pelo conjunto dos números racionais não negativos.
O conjunto de atividades referentes aos conceitos gráficos da função linear
afim é proposto de forma a explorar as transformações de tratamento e conversão
de registros. É um pequeno bloco de exercícios, no qual são solicitados inicialmente
a conversão dos registros algébrico para o registro gráfico, em seguida são
exploradas na forma de tratamento de registro gráfico no plano cartesiano, os
conceitos de par ordenado, zero da função e declividade da reta.
Figura 50 – Exercícios Fonte: DANTE (2013 p. 85)
Neste livro, também são abordados os conceitos de casos particulares da
função linear afim: função linear e função identidade. Nos dois casos, as definições
são apresentadas em representações algébrica e gráfica.
92
Figura 51 – Definição da função linear Fonte: DANTE (2013 p. 86)
Figura 52 – Gráfico da função linear Fonte: DANTE (2013 p. 87)
Figura 53 – Definição de função identidade Fonte: DANTE (2013 p. 87)
93
Nos exercícios são propostas atividades que colocam em prática, tanto as
transformações de tratamento de registros – algébrico, quanto as conversões –
língua natural para o registro algébrico, do registro algébrico para o registro gráfico
no plano cartesiano. Destacamos dois exercícios desse bloco, no qual são
exploradas a representação figural.
Figura 54 – Exercícios Fonte: DANTE (2013 p.86)
O conceito de proporcionalidade direta em conjunto com a função linear,
também é considerado neste livro. É introduzido por meio de uma contextualização
entre grandezas: espaço percorrido e tempo. Em seguida, é solicitada a sua
representação em registro algébrico, continua com o tratamento em registro
numérico tabular e finaliza este exemplo com a transformação de conversão em
registro gráfico no plano cartesiano.
94
Figura 55 – Introdução a proporcionalidade e função linear Fonte: DANTE (2013 p.89)
Figura 56 – Introdução a proporcionalidade e função linear Fonte: DANTE (2013 p. 89)
Os exercícios que tratam da proporcionalidade direta e a função linear são
em sua maioria propostos de forma contextualizada. Quanto aos registros de
representação semióticas, os exercícios foram constituídos de forma a englobar as
diversas representações (língua natural, algébrico, tabular, figural e gráfico). As
transformações de tratamento e conversões entre representações também são
tratadas nesses exercícios finais de proporcionalidade direta e a função linear. Há
tratamento em registro algébrico, tabular, gráfico. As conversões seguem o padrão:
Língua natural algébrico, Figural Tabular Gráfico. Para finalizar,
destacamos três exercícios que utilizam representações diferentes de função linear.
96
Figura 58 – Exercícios Fonte: DANTE (2013 p. 90)
Figura 59 – Exercícios Fonte: DANTE (2013 p. 90)
Apresentamos na tabela a seguir, a quantidade de conversões de registros e
o sentido das conversões exploradas nos exercícios presentes no Livro 1:
97
Sentido da conversão de registros – Livro 1
Sessão Língua naturalAlgébrico AlgébricoLíngua natural AlgébricoGráfico GráficoAlgébrico
Conceito de função afim
(pág. 83)
2 - - -
Gráfico de uma função afim
(pág. 84 e 85)
- - 8 -
Um caso particular de função afim
(função linear) (pág. 86)
4 - - -
Gráfico de um função linear
Função identidade (pág. 87)
5 - 9 -
Função linear e Proporcionalidade
(pág. 89)
2 - - 1
TOTAL 13 - 17 1
Tabela 4 – Sentido da conversão de registros – Livro 1 Fonte: DANTE (2013)
98
5.2.2 Livro didático 2
LEONARDO, F. M. de: Projeto Araribá – Matemática – 9º ano, Obra coletiva,
3ª Edição, São Paulo: Editora Moderna, 2010.
Critério 1: Em algum momento, no desenvolvimento do conceito de função
linear afim, nas atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, é proposta
a utilização de algum ambiente computacional?
Pudemos observar no Livro 2, que durante o desenvolvimento dos temas, há
a indicação de conteúdo digital relacionado ao tema trabalhado. Trata-se de
animações contidas em CD-ROM e DVD, no qual o professor é orientado a
demonstrar com seus alunos por meio das animações, situações do cotidiano. Como
por exemplo, no caso da sessão que trata de função linear afim, há um conteúdo
digital que demonstra situação do cotidiano, envolvendo grandezas variáveis:
distância percorrida por um carro em função do tempo.
Figura 60 – Conteúdo digital Fonte: LEONARDO (2010 p. 146)
Não identificamos no Livro 2 alguma atividade que explorasse o uso do
computador como ferramenta no processo de ensino e aprendizagem. Encontramos
no volume do professor, no “Guia e Recursos Didáticos”, apenas um indicação para
o professor, de softwares gratuitos voltados ao ensino de funções e gráficos:
Geogebra e Graphmatica (página 11).
Na sessão de orientações para o desenvolvimento das unidades, há outras
sugestões para os professores, por meio de links. Acessando os links o professor
poderá encontrar atividades previamente elaboradas para serem desenvolvidas com
seus alunos, mas não se trata de atividades que necessitem da utilização do
computador para serem realizadas.
99
Critério 2: No desenvolvimento do conceito de função linear afim, nas
atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, com qual intensidade são
exploradas as noções de registros de representações semióticas e as noções de
conversões de representações?
No Livro 2, o conceito de função linear afim é inicialmente abordado por
meio de uma situação contextualizada, no caso, a situação do valor total gasto por
“Francisco” ao se deslocar com o seu veículo de uma cidade a outra para o trabalho.
Figura 61 – Introdução ao conceito de função linear afim Fonte: LEONARDO (2010 p. 138)
Neste exemplo inicial o registro é dado em língua natural e em seguida há a
conversão para o registro algébrico. Na sequência, o autor apresenta o mesmo
exemplo em forma de tabela e a sua representação gráfica, alertando para o fato de
que o gráfico dessa função é uma linha contínua, devido x poder assumir qualquer
100
valor real igual a zero ou maior. O Livro 2 encerra essa etapa inicial de
conceitualização da função linear afim, definindo-a como:
“Função afim é toda função cuja lei pode ser escrita na forma y = ax + b,
em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real.” (Grifo
do autor).
LEONARDO (2010 p.138).
O autor continua com mais alguns exemplos de função linear afim, mas
todos esses exemplos indicados em registro algébrico.
O conjunto de exercícios referentes à etapa de conceitualização de função
linear afim explora em sua maior parte o tratamento de registros. Mas, há alguns
exercícios interessantes que tratam da conversão de registros, no sentido: Figural
Algébrico e outro no sentido Língua natural TabularAlgébrico.
Figura 62 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 139)
101
Figura 63 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 139)
Na introdução da representação gráfica da função linear afim, o Livro 2
utiliza como exemplo a associação entre duas representações: Tabular e Gráfico.
Figura 64 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim Fonte: LEONARDO (2010 p. 140)
Figura 65 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim Fonte: LEONARDO (2010 p. 140)
O autor também expõe nesses exemplos os efeitos de quando a função é
crescente, decrescente ou constante, definindo quando a é positivo, negativo ou
igual a zero, respectivamente. Na sequência, são apresentados os conceitos de zero
da função. Por meio de um exemplo contextualizado, é apresentada a análise do
102
gráfico da função afim. Essa contextualização aborda a questão do faturamento de
uma indústria de automóveis, no qual esse faturamento dependente da quantidade
de veículos vendidos. É representado em registro gráfico, tendo como parâmetro de
análise as representações algébricas de a na representação algébrica f(x) = a.x + b:
para x = b
, com a 0, f(x) 0a
, R$0,00 de faturamento
para x > b
, com a 0, f(x) 0a
, Lucro no faturamento
para x < b
, com a 0, f(x) 0a
, Prejuízo no faturamento
O conjunto de atividades referentes aos conceitos gráficos da função linear
afim é proposto de forma a explorar em sua maioria os tratamentos de registros.
Encontramos poucos exercícios que envolvessem conversões em registro gráfico.
No Livro 2, é trabalhado o conceito de função linear, mas não o de função
identidade. O autor explica por meio de definição o comportamento da reta,
utilizando-se das representações algébrica e gráfica, demonstrando como principal
característica, tendo em sua representação gráfica, a reta passando pelo ponto
(0,0).
Figura 66 – Definição de função linear Fonte: LEONARDO (2010 p. 143)
Nos exercícios propostos, aparece de forma implícita o conceito de
proporcionalidade entre grandezas, com alguns casos na forma contextualizada.
Quanto aos registros de representações, além dos tratamentos de registros,
103
aparecem também atividades envolvendo as conversões. Em sua maioria as
conversões exigidas nesses exercícios seguem o padrão: Língua natural
Algébrico.
Figura 67 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 143)
Figura 68 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 143)
Figura 69 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 143)
104
Figura 70 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 143)
Para finalizar este capítulo, o Livro 2 propõe um conjunto de exercícios para
serem resolvidos pelos alunos, denominada “Atividades integradas”. Os exercícios
abrangem todo o conteúdo de função linear afim trabalhado. Em relação às suas
representações, são aplicadas de forma a se utilizar dos tratamentos de registros,
sendo a maioria no registro algébrico e as conversões no sentido Língua natural
Algébrico, Algébrico Gráfico e Gráfico Algébrico.
Figura 71 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 146)
105
Figura 72 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 146)
Apresentamos na tabela a seguir, a quantidade de conversões de registros e
o sentido das conversões exploradas nos exercícios presentes no Livro 2:
106
Sentido da conversão de registros – Livro 2
Sessão Língua naturalAlgébrico AlgébricoLíngua natural AlgébricoGráfico GráficoAlgébrico
Conceito de função afim
(pág. 138) 2 - - -
Gráfico de uma função afim
(pág. 140) - - 3 -
Função linear (pág. 143) 4 - - -
Atividades Integradas (pág. 144) 4 - 2 3
TOTAL 10 - 5 3
Tabela 5 – Sentido da conversão de registros – Livro 2 Fonte: LEONARDO (2010)
107
5.2.3 Livro didático 3
PATARO, P. R. M, SOUZA, J. R. de: Vontade de saber Matemática – 9º ano,
São Paulo: Editora FTD, 2012.
Critério 1: Em algum momento, no desenvolvimento do conceito de função
linear afim, nas atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, é proposta
a utilização de algum ambiente computacional?
Encontramos no Livro 3, diversas atividades que utilizam de recurso
computacional. Essas atividades são propostas no final de cada capítulo com o título
de “Acessando tecnologias”. Em relação ao capítulo que trata da função linear afim,
no final do capítulo, o “Acessando tecnologia” propõe algumas atividades com a
utilização do software livre Geogebra, conforme abaixo:
Figura 73 – Atividades propostas com a utilização de software Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 116)
108
Figura 74 – Atividades propostas com a utilização de software Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 116)
Critério 2: No desenvolvimento do conceito de função linear afim, nas
atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, com qual intensidade são
exploradas as noções de registros de representações semióticas e as noções de
conversões de representações?
No Livro 3, como no dois livros analisados anteriormente, inicia conceito de
função linear por meio de uma situação contextualizada, nesse caso, a situação é a
locação de um quarto em uma pousada de férias. Sendo o aluguel correspondente a
uma parte fixa, referente à taxa de limpeza, mais um valor por dia.
Figura 75 – Introdução ao conceito de função linear afim Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 93)
109
Neste exemplo inicial, a representação em registro da língua natural e em
seguida há a conversão para o registro algébrico. Na sequência, o autor efetua um
tratamento em registro para explicar como exemplo, o valor total a pagar, caso a
hospedagem fosse de sete dias.
O Livro 3 encerra essa etapa inicial de conceitualização da função linear
afim, definindo-a como:
“Chamamos de função afim toda função do tipo f(x) = ax + b, em que:
a é o coeficiente real de x, com a 0.
b é um coeficiente real, também chamado termo independente.” (Grifo do
autor).
PATARO e SOUZA (2012 p. 93).
O autor continua com mais alguns exemplos de função linear afim, mas
todos esses exemplos indicados em registro algébrico.
No conjunto de exercícios sobre a conceitualização de função linear afim,
podemos perceber que existem dois grandes blocos de exercícios. O primeiro
exercita o tratamento de registros algébricos, e o segundo bloco abrange também o
tratamento em registro algébrico, mas somente após a conversão feita inicialmente
no sentido Língua natural Algébrico.
Na introdução da representação gráfica da função linear afim, o Livro 3
utiliza-se de um roteiro. A partir de uma função dada, o autor orienta a construção de
uma tabela, e com valores atribuídos a x, faz-se o tratamento de cada um desses
valores no registro algébrico, obtendo-se os pares ordenados (x,y), no qual servirão
para localização dos pontos no plano cartesiano. Esse roteiro apresentado pelo Livro
3, é ilustrado no livro utilizando-se as representações tabular e gráfica no plano
cartesiano e demonstra a transformação de conversão entre esses dois registros, no
padrão: Tabular Gráfico.
110
Figura 76 – Introdução a representação gráfica Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 95)
O conjunto de atividades referentes aos conceitos gráficos da função linear
afim se concentra nas conversões de registros. Há uma grande quantidade de
conversões, sendo elas em maior parte no sentido Algébrico Gráfico, mas
também, só que em número menor, o sentido oposto Gráfico Algébrico.
111
Figura 77 – Exercícios Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 96)
Os conceitos de função linear e proporcionalidade são trabalhados em
conjunto no Livro 3. São introduzidos por meio de uma situação contextualizada,
tendo seus registros presentes em língua natural, algébrico, tabular e gráfico. Na
sequência são propostos alguns exercícios, nos quais são colocadas em prática os
tratamentos e as conversões. Como na sessão anterior, nesses exercícios sobre
função linear e proporcionalidade, são bastante aproveitadas as conversões nos
dois sentidos: Gráfico Algébrico e Algébrico Gráfico.
112
Figura 78 – Exercícios Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 98)
O Livro 3, também introduz crescimento e decrescimento da função linear
afim, por meio das representações tabular e gráfico. São poucos exercícios
destinados a esse tópico, e todos eles utilizam apenas dos tratamentos de registros.
O último tópico de função linear afim no Livro 3, ficou reservado para o
trabalho sobre o “zero de uma função afim” e a “Interseção com o eixo y”. Nessa
etapa, o autor utilizou das representações algébricas e gráficas para falar do tema.
Para encerrar, foram propostos exercícios, em sua maioria com tratamentos de
registros, dentre os quais, tratamento em registro gráfico.
Apresentamos na tabela a seguir, a quantidade de conversões de registros e
o sentido das conversões exploradas nos exercícios presentes no Livro 3:
113
Sentido da conversão de registros – Livro 3
Sessão Língua naturalAlgébrico AlgébricoLíngua natural AlgébricoGráfico GráficoAlgébrico
Conceito de função afim
(pág. 93)
5 - - -
Gráfico de uma função afim
(pág. 95)
1 - 16 3
Função linear/proporcionalidade
(pág. 97)
2 - 6 3
Função crescente e decrescente (pág. 100)
- - - -
Zero de uma função afim
Interseção com o eixo y (pág. 101)
- - 1 -
TOTAL 8 - 23 6
Tabela 6 – Sentido da conversão de registros – Livro 3 Fonte: PATARO e SOUZA (2012)
114
CAPÍTULO 6 - METODOLOGIA
Neste capítulo apresentamos os princípios metodológicos que orientaram
este trabalho. Em sessões separadas descreveremos os procedimentos
metodológicos adotados para o planejamento, desenvolvimento e execução do
experimento de ensino, parte integrante dessa pesquisa. Descrevemos os
instrumentos de pesquisa, juntamente com os objetivos de investigação de cada
atividade, análise a priori e finalizamos, com a descrição de como se procedeu a
aplicação do experimento.
6.1 ENGENHARIA DIDÁTICA
A Engenharia Didática surgiu no início da década de 80 e uma das principais
colaboradoras e estudiosa sobre o assunto, é a pesquisadora francesa Michèle
Artigue. É uma metodologia de pesquisa, que têm por objetivo analisar as situações
didáticas, objeto de estudo da Didática da Matemática. Caracteriza-se como uma
metodologia que se processa de forma empírica, procura extrair dados da realidade
e compará-los às hipóteses.
O termo Engenharia Didática é empregado nas pesquisas da Didática da
Matemática que incluem uma parte experimental, segundo Michèle Artigue (1988):
[...] este termo foi “cunhado” para o trabalho didático que é aquele comparável ao trabalho do engenheiro que, para realizar um projeto preciso, se apoia sobre conhecimentos científicos de seu domínio, aceita submeter-se a um controle de tipo científico, mas, ao mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar sobre objetos bem mais complexos que os objetos depurados da ciência e, portanto, a enfrentar praticamente, com todos os meios de que dispõe, problemas que a ciência não quer ou não pode levar em conta. (ARTIGUE apud MACHADO, 2012, p. 234).
115
Pelo termo Engenharia Didática entende-se tanto uma metodologia de
pesquisa específica, quanto segundo Douady (1993) explicitou como sendo:
[...] uma sequência de aula(s) concebida(s), organizada(s) e articulada(s) no tempo, de forma coerente, por um professor-engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para uma certa população de alunos. No decurso das trocas entre professor e alunos, o projeto evolui sob as reações dos alunos e em função das escolhas e decisões do professor. (DOUADY apud MACHADO, 2012, p. 234).
A noção de Engenharia Didática foi se construindo na Didática da
Matemática com uma dupla função, ela pode ser compreendida tanto como um
produto resultante de uma análise a priori, caso da metodologia de pesquisa, quanto
uma produção para o ensino.
6.1.1 Características gerais da metodologia da engenharia didática
Artigue (1988, apud Machado, 2012, p. 235) caracteriza a engenharia
didática como, “[...] um esquema experimental baseado sobre “realizações didáticas”
em sala de aula, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise
de sequências de ensino”.
Podemos distinguir dois níveis de Engenharia Didática:
- nível de microengenharia: é a Engenharia Didática que tem por objeto o
estudo de um determinado assunto. Ela é localizada e leva em conta,
principalmente, a complexidade dos fenômenos de sala de aula;
- nível de macroengenharia: é a Engenharia Didática que permite compor a
complexidade das pesquisas de uma microengenharia com a dos fenômenos ligados
à duração nas relações ensino/aprendizagem.
A Engenharia Didática caracteriza-se também pelo registro dos estudos
feitos sobre o caso em questão e pela validação. A validação da pesquisa é feita
internamente, se baseia na confrontação entre a análise a priori, que, por sua vez,
se apoia no quadro teórico, e a análise a posteriori.
116
6.1.2 Fases da metodologia da Engenharia Didática
Uma metodologia de pesquisa fundamentada nos princípios da engenharia
didática se divide em quatro fases:
Primeira fase: análises preliminares;
Segunda fase: concepção e análise a priori das situações didáticas;
Terceira fase: experimentação;
Quarta fase: análise a posteriori e validação.
Na primeira fase, das análises preliminares, objetivando a concepção da
engenharia, são feitas por meio de considerações sobre o referencial teórico didático
geral e sobre os conhecimentos didáticos já adquiridos sobre o assunto em questão,
bem como sobre:
a análise epistemológica dos conteúdos contemplados pelo ensino;
a análise do ensino atual e de seus efeitos;
a análise da concepção dos alunos, das dificuldades e dos obstáculos
que determinam sua evolução;
a análise do campo dos entraves no qual vai se situar a efetiva
realização didática.
As análises preliminares são feitas principalmente para embasar a
concepção da engenharia, podendo ser retomadas e aprofundadas durante todo o
transcorrer do trabalho.
Na segunda fase, da concepção e da análise a priori o pesquisador
direcionado pelas análises preliminares delimita certo número de variáveis
pertinentes do sistema sobre o qual o ensino pode atuar, as quais são chamadas de
variáveis de comando.
Artigue (1988 apud Machado, 2012 p. 241) distingue as variáveis de
comando como:
117
variáveis macrodidáticas ou globais, concernentes à organização
global da engenharia;
variáveis microdidáticas ou locais, concernentes à organização
local da engenharia, isto é, à organização de uma sessão ou de uma
fase.
Essas variáveis podem ser tanto de ordem geral como específica,
dependendo do conteúdo didático a ser ensinado. Caso a variável seja do tipo
microdidático, têm-se as variáveis intrínsecas ao problema, que são de ordem geral
e as variáveis que dependem da situação, ligadas à organização e à gestão do
meio, que são específicas.
As escolhas de ordem geral, globais, precedem a descrição de cada fase da
engenharia, quando influem as escolhas locais.
Na análise a priori, o objetivo é determinar no que as escolhas feitas
permitem controlar os comportamentos dos alunos e o significado de cada um
desses comportamentos. Irá basear-se em hipóteses e são essas hipóteses cuja
validação estará, em princípio, indiretamente em jogo, na confrontação entre a
análise a priori e a análise a posteriori. Nesta fase, compõe-se de uma parte de
descrição e outra de previsão, e está centrada nas características de uma situação
adidática que se quis criar e que se quer aplicar aos alunos visados pela
experimentação. Na análise a priori deve-se:
descrever cada escolha local feita (eventualmente, relacionando-as às
escolhas globais) e as características da situação adidática
decorrentes de cada escolha;
analisar qual o desafio da situação para o aluno, decorrente das
possibilidades de ação, de escolha, de decisão, de controle e de
validação de que ele disporá durante a experimentação;
prever os comportamentos possíveis e mostrar no que a análise
efetuada permite controlar o sentido desses comportamentos; além
disso, deve-se assegurar que, se tais comportamentos ocorrem,
resultarão do desenvolvimento do conhecimento visado pela
aprendizagem.
118
Durante a fase da análise a priori, o foco fica direcionado principalmente
para o aluno. Nesta fase, o papel do professor fica limitado apenas ao fechamento
do assunto discutido, institucionalização do tema abordado.
A terceira fase é a fase da experimentação. Nela é realizada a engenharia
com uma certa população de alunos. Ela se inicia no momento em que se dá o
contato pesquisador-professor-/observador(es) com a população de alunos, objeto
da investigação. A experimentação supõe:
a explicitação dos objetivos e condições de realização da pesquisa à
população de alunos que participará da experimentação;
o estabelecimento do contrato didático;
aplicação dos instrumentos de pesquisa;
registro das observações feitas durante a experimentação
(observação cuidadosa descrita em relatório, transcrição dos registros
audiovisuais, etc.).
A última fase, da análise a posteriori e da validação. Essa fase se apoia
sobre todos os dados colhidos durante a experimentação constante das
observações realizadas durante cada sessão de ensino, bem como das produções
dos alunos em classe ou fora dela. Nesta fase se dá o tratamento dos dados que
constam da seleção dos dados pertinentes à análise a posteriori. Se junta a essa
fase, dados complementares: questionários, entrevistas individuais ou em pequenos
grupos, realizadas tanto durante a experimentação quanto no final dela.
Finalmente, é da confrontação das análises a priori e a posteriori que se
validam ou se refutam as hipóteses levantadas no início da engenharia. Pais (2008,
p. 103) destaca que, “do ponto de vista metodológico, a validação é uma etapa onde
a vigilância deve ser ampliada, pois se trata de garantir a essência do caráter
científico”.
119
6.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Os procedimentos metodológicos para elaboração, aplicação e análise do
nosso experimento se iniciaram no campo teórico por meio da revisão de literatura.
Realizamos pesquisa bibliográfica, leitura e fichamento de trabalhos acadêmicos
defendidos, livros e artigos publicados na área da Educação Matemática sobre os
seguintes temas: funções, educação matemática, informática na educação e
softwares utilizados para o ensino de funções. Neste contexto, pesquisamos sobre o
referencial teórico dos Registros de Representações Semióticas, Duval (1995, 2000,
2003, 2011), como já foi indicado no capítulo 3 desta pesquisa, fundamentou nosso
estudo. Analisamos também o material de apoio ao Currículo Oficial do Estado de
São Paulo (Caderno do Professor e Caderno do Aluno), fornecidos pela Secretaria
da Educação, bem como três livros didáticos integrantes do PNLD de 2014. As
análises desses materiais tiveram por objetivo verificar como é proposto a
abordagem inicial do tema função linear afim e como são propostas as atividades
sob o ponto de vista dos diversos registros de representações semióticas, aos
alunos da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental. Foi analisada também nesse
material a frequência com que é proposta a utilização da informática no
desenvolvimento de conteúdos matemáticos e resolução de atividades.
Descreveremos a seguir as etapas da aplicação prática do nosso
experimento.
6.2.1 Local da pesquisa
O local de realização da pesquisa é uma escola estadual da região sul da
Cidade de São Paulo – SP. Esta escola dispõe em seu período diário de
funcionamento, os níveis de Ensino Fundamental II (6º Ano ao 9º Ano) durante os
períodos manhã e tarde e à noite abrange todo o Ensino Médio. A escola se localiza
em uma região nobre da zona sul de São Paulo, mas a grande maioria de seus
alunos provém de uma comunidade carente da região, próxima à escola. A escolha
da escola como local de pesquisa justifica-se pelo fato do pesquisador exercer o
cargo de professor efetivo de Matemática.
Antes de darmos início ao nosso experimento, levamos ao conhecimento da
direção da escola escolhida como local do estudo, as intenções da pesquisa, a
120
necessidade de utilização do laboratório de informática e demais informações que
foram necessárias para a obtenção da autorização da instituição de ensino para
realização do experimento. Tal proposta de experimento foi de imediato aceita pela
direção da escola e a autorização foi deferida no Termo de Responsabilidade da
Instituição, assinado pela direção em 19 de novembro de 2013 (Anexo A - modelo).
Para o acesso ao laboratório de informática, fomos informados pela direção
da escola, que deveríamos solicitar junto à diretoria de ensino, uma autorização de
acesso ao laboratório, pois o mesmo, abriga o programa “Acessa Escola”. O Acessa
Escola é um programa do Governo do Estado de São Paulo, coordenado pela
Secretaria da Educação no qual os computadores instalados no laboratório de
informática ficam interligados à uma central de controle nas diretorias de ensino. O
acesso ao equipamento, somente é permitido juntamente com um monitor
designado pela diretoria de ensino, por meio de login e senha, específicos para cada
monitor, e que na maioria das vezes é um estudante de ensino médio exercendo a
função de estagiário. Nesta ocasião, a escola local do experimento não dispunha
desse monitor. Dirigimo-nos à diretoria de ensino, responsável pela escola local do
experimento e informamos a respeito dos objetivos e necessidades para aplicação
do nosso experimento. Neste caso, também obtemos uma resposta satisfatória para
o acesso ao laboratório de informática e foi atribuído ao professor-pesquisador um
login e senha de acesso ao ambiente.
6.2.2 Sujeitos
Os sujeitos da pesquisa são um grupo de aproximadamente trinta
estudantes da 8ªSérie/9º Ano do Ensino Fundamental que estudam no período da
tarde. A seleção dos alunos que participaram da pesquisa foi realizada com um
convite aberto para a sala toda. Foram explicadas pelo pesquisador as intenções e
as justificativas sobe a pesquisa. Os alunos que se apresentaram como voluntários
foram submetidos ao Termo de Esclarecimento do Projeto e Pesquisa (Anexo B) e
do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (Anexo C).
121
6.2.3 Instrumentos de pesquisa – Análise a priori
Foram criados para esse experimento como instrumentos de pesquisa, um
questionário socioeconômico e dois blocos de atividades denominados: BLOCO I e
BLOCO II. O questionário socioeconômico, além de coletar informações referentes à
situação econômica e social familiar dos alunos, teve por objetivo específico,
levantar informações sobre a utilização do computador em suas residências ou fora
delas. Queremos saber com que frequência os alunos utilizam a informática para o
uso escolar, e mais especificamente para a realização de atividades de Matemática.
Em relação aos blocos de atividades, tanto o BLOCO I, quanto o BLOCO II
foram divididos em dois tipos diferentes de atividades, denominadas: “Atividades
com a Utilização de Papel & Lápis” e “Atividades com o Apoio do Geogebra”, a
serem aplicadas a dois grupos diferentes de alunos. Abaixo, nos quadros 16 e 17,
sintetizamos os instrumentos a serem aplicados aos sujeitos da pesquisa.
Questionário socioeconômico
38 questões 15 alunos (TURMA A) 15 alunos (TURMA B)
Quadro 17 – Distribuição do questionário socioeconômico. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Atividades
AMBIENTE BLOCO I BLOCO II
“Papel & Lápis” 15 alunos (TURMA A)
“Geogebra” 15 alunos (TURMA B)
Quadro 18 – Distribuição e composição dos blocos de atividades. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
As atividades do experimento foram criadas com a intenção de serem
aplicadas a dois grupos diferentes de alunos. Um grupo, denominado TURMA A
realizaria as atividades do Bloco I e Bloco II apenas com o uso dos recursos papel e
lápis, enquanto, o segundo grupo de alunos, denominado TURMA B realizaria as
atividades do Bloco I e Bloco II, com o auxílio do software Geogebra.
122
Para elaboração das atividades buscou-se aplicar a ideia de relação entre
grandezas variáveis e também os conceitos fundamentais dos registros de
representações semióticas, mais especificamente, no que diz respeito às
transformações de tratamento e conversão de registros de representação sobre
objeto matemático: função linear afim.
O objetivo geral nos dois blocos de atividades foi avaliar se os alunos
conceitualizam o tema função, como a interdependência entre grandezas variáveis,
e verificar também, se, são capazes de transitar entre os diversos registros de
representação semiótica.
O BLOCO I procura explorar as propriedades relativas às funções lineares
afins, cujo coeficiente linear é nulo, isto é, aquelas cujo gráfico passa pela origem.
Inicialmente será proposta uma situação contextualizada sobre o movimento
retilíneo uniforme de um veículo, Figura 79.
Figura 79 – Situação contextualizada do Bloco I de atividades – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
SITUAÇÃO:
“Um automóvel se locomove num movimento retilíneo uniforme (MRU)
com velocidade constante de 20 km/h. A tabela a seguir descreve a posição s do
automóvel medida em quilômetros (km) a cada instante T (tempo), medido em
horas (h).”
Instante T (tempo) medido em horas (h)
Espaço percorrido s medido em quilômetros (km)
T = 0 s = 0
T = 1 s = 20
T = 2 s = 40
T = 3 s = 60
T = 4 s = 80
T = 5 s = 100
T = 6 s = 120
T = 7 s = 140
T = 8 s = 160
T = 9 s = 180
T = 10 s = 200
123
A seguir são propostas atividades para resolução no ambiente “Papel &
Lápis”, com base na situação contextualizada apresentada.
Na ATIVIDADE I – LENDO A TABELA, Figura 80, os objetivos são
investigar se os alunos, por meio da leitura realizada na situação contextualizada e
na observação das informações numéricas contidas na tabela, conseguem perceber
a relação entre as duas grandezas envolvidas e verificar se os alunos efetuam o
tratamento de registros, neste caso, no registro da língua natural. Os alunos terão
que indicar em alguns momentos a posição do veículo, decorrido alguns instantes de
tempo, como também, identificar quais instantes de tempo o veículo ocupa as
posições indicadas.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos não encontrarão dificuldades para
resolverem esta primeira atividade, pois somente dependerão da observação e
leitura dos valores numéricos relacionados à situação contextualizada, registrados
em uma tabela.
Figura 80 – Atividade I, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
ATIVIDADE I - Com base nas informações disponíveis na situação apresentada e em suas observações realizadas na tabela complete as afirmações abaixo.
No instante T = 0 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 1 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 2 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 3 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 4 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 5 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 6 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 7 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 8 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
O automóvel atingiu a posição s = 100 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 120 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 140 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 160 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 180 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 200 km no instante T = _______ h.
124
Para a ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS, Figura 81, temos como
objetivos, verificar se os alunos são capazes de prever alguns resultados em relação
à posição do veículo, como também em relação ao tempo decorrido com base em
sua posição e identificar nesta atividade, se os alunos realizam o tratamento em
registro numérico tabular.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos já terão construído a ideia de relação
entre as duas grandezas envolvidas na situação contextualizada e não encontrarão
dificuldades na resolução da atividade. Pois observada a relação estabelecida entre
as duas grandezas, poderão dar continuidade ao padrão observado na atividade
anterior, hora utilizando-se o tratamento de registro numérico, por meio do produto
da variável independente Tempo (T) pela velocidade constante (20), hora por meio
da divisão da variável dependente posição do veículo (S) pela velocidade constante
(20).
Figura 81 – Atividade II, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A ATIVIDADE III - GENERALIZANDO, Figura 82, procura explorar a
generalização da dependência entre grandezas variáveis. Solicitaremos aos alunos,
por meio da modelagem, uma função matemática que represente a dependência
entre as duas grandezas envolvidas. Dessa forma, estaremos investigando a
capacidade do aluno em representar a função linear afim, utilizando a conversão de
registros, do sentido da língua natural, numérico tabular para o registro algébrico.
ATIVIDADE II – Analisando a tabela, e sabendo que o movimento é retilíneo uniforme (velocidade constante) complete:
No instante T = 11 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
No instante T = 12 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
No instante T = 13 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
O automóvel atingirá a posição s = 400 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingirá a posição s = 420 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingirá a posição s = 440 km no instante T = _______ h.
125
Hipóteses: Nesta atividade, supomos que os alunos terão facilidade em sua
resolução, pois as funções já estão parcialmente representadas, bastando apenas
ao aluno, o registro numérico da velocidade constante.
Figura 82– Atividade III, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS, Figura 83, última
atividade do BLOCO I, tem por objetivo investigar se os alunos, por meio das
observações feitas nas atividades anteriores, utilizam a conversão de registros, do
sentido numérico tabular para o registro algébrico.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos terão facilidade na resolução desta
atividade. A dúvida que poderá surgir, é em relação a: “Qual das duas
representações optar como resposta à atividade?”. Já que, não ficou claro no
enunciado da atividade, se tratar da representação da função linear afim em registro
algébrico.
Figura 83 – Atividade IV, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
ATIVIDADE III - T representa o instante de tempo em horas e S representa a posição em quilômetros do automóvel. Com base nessas informações e em suas observações realizadas durante a ATIVIDADE II, modele a função que relaciona S em função de T.
No instante T qualquer, a posição do automóvel será _____ s T
O automóvel atingirá a posição s no instante s
T
ATIVIDADE IV – Nesta atividade duas grandezas estão relacionadas: o espaço percorrido s, medido em quilômetros (km), e o instante T (tempo) medido em horas (h). Qual é a fórmula matemática que relaciona estas duas grandezas?
_______________________________________________________________
126
A seguir descrevemos as atividades do Bloco I, que deverão ser executadas
em ambiente informatizado com o auxílio do software Geogebra.
Conforme Figura 84, será proposta uma situação contextualizada.
Disponibilizaremos alguns procedimentos de execução e operacionalização com o
software, como também instruções de interação do aluno com a atividade
informatizada.
Figura 84 – Situação contextualizada do Bloco I de atividades – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A interação dos alunos com as atividades propostas com o uso do software,
será orientada pelo procedimento 2, Figura 84. Nesse procedimento, o aluno
utilizando-se das setas do teclado, irá movimentar o controle deslizante fixado na
atividade. Por meio dessa interação, o aluno poderá perceber a movimentação do
veículo, conforme apresentado nas Figuras 85 e 86.
SITUAÇÃO:
“Um automóvel se locomove num movimento retilíneo uniforme (MRU) com
velocidade constante de 20 km/h. Vamos explorar o software Geogebra para obter
algumas informações sobre o espaço percorrido por esse automóvel.”
PROCEDIMENTO 1 – Procure pelo ícone na área de trabalho do
computador, execute o programa e em seguida abra o arquivo MRU.
PROCEDIMENTO 2 – Utilize as setas do teclado para movimentar o controle
deslizante , e observe o que ocorre com a posição do veículo,
indicada pelo ponto .
127
Figura 85 – Interação do aluno com a atividade informatizada FONTE: Elaborado pelo pesquisador
Figura 86 – Interação do aluno com a atividade informatizada FONTE: Elaborado pelo pesquisador
Na sequência são propostas atividades para os alunos resolverem,
baseadas na situação contextualizada e em suas interações com o software
Geogebra.
128
O objetivo da ATIVIDADE I – CONSTRUINDO A TABELA, Figuras 87, é
verificar a capacidade de associação que o aluno desenvolve. Tendo em vista a sua
interação com a grandeza tempo em horas, resulta na movimentação e posição do
veículo. Com isso, queremos saber se ele consegue perceber essa relação e com
isso transportar na forma de registro numérico tabular.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos não encontrarão dificuldades para
resolverem esta primeira atividade, pois poderão observar a representação numérica
da variável dependente posição do veículo em km, por meio de sua interação com o
controle deslizante que representa a variável independente tempo em horas.
Figura 87 – Atividade I, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
ATIVIDADE I – Com base em suas interações realizadas no programa e nas observações referentes às posições do veículo, complete as informações abaixo e preencha a tabela de dados.
No instante T = 0 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 1 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 2 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 3 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 4 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 5 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 6 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 7 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 8 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 9 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 10 h, a posição do automóvel é s = ______ km.
Instante T (tempo) medido em horas (h)
Espaço percorrido s medido em quilômetros (km)
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
129
Para a ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS, Figura 88, destacamos
como objetivos, verificarmos se os alunos conseguem prever alguns resultados em
relação à posição do veículo, como também em relação ao tempo decorrido com
base em sua posição. Sobre os registros de representação, procuramos identificar
se essa interação lhes proporciona o tratamento em registro numérico tabular.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos já terão construído a ideia de relação
entre as duas grandezas envolvidas na situação contextualizada e não encontrarão
dificuldades na resolução das duas partes desta atividade. Pois observada a relação
estabelecida entre as duas grandezas, poderão dar continuidade ao padrão
observado na atividade anterior, hora utilizando-se o tratamento de registro
numérico, por meio do produto da variável independente Tempo (T) pela velocidade
constante (20), hora por meio da divisão da variável dependente posição do veículo
(S) pela velocidade constante (20).
Figura 88 – Atividade II, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A ATIVIDADE III - GENERALIZANDO, Figura 89, explora a generalização
da dependência entre grandezas variáveis. Solicitaremos aos alunos, a modelagem
de uma função matemática. Queremos investigar se as suas observações e
interações com a atividade informatizada, lhes proporcionam requisitos para se
ATIVIDADE II – Analisando a tabela, e sabendo que o movimento é retilíneo uniforme (velocidade constante) responda:
No instante T = 11 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
No instante T = 12 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
No instante T = 13 h, a posição do automóvel será s = _______ km. O automóvel atingirá a posição s = 400 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingirá a posição s = 420 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingirá a posição s = 440 km no instante T = _______ h.
130
trabalhar a conversão de registros, representando a função linear afim em registro
algébrico.
Hipóteses: Nesta atividade, supomos que os alunos terão facilidade em sua
resolução, pois parte das funções já estão parcialmente representadas, bastando
apenas ao aluno, o registro numérico da velocidade constante.
Figura 89 – Atividade III, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A ATIVIDADE IV – RELACIOANDO GRANDEZAS, Figura 90, última
atividade do BLOCO I, tem por objetivo investigar se os alunos utilizam a conversão
de registros, com destino ao registro algébrico, por meio das suas observações e
interações realizadas na atividade informatizada.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos terão facilidade na resolução desta
atividade. A dúvida que poderá surgir, é em relação a: “Qual das duas
representações optar como resposta à atividade?”. Já que, não ficou claro no
enunciado da atividade, se tratar da representação da função linear afim em registro
algébrico.
Figura 90 – Atividade IV, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
ATIVIDADE III - T representa o instante de tempo em horas e S representa a posição em quilômetros do automóvel. Com base nessas informações e em suas interações com programa, modele a função que relaciona S em função de T.
No instante T qualquer, a posição do automóvel será _____ s T
O automóvel atingirá a posição s no instante s
T
ATIVIDADE IV – Nesta atividade duas grandezas estão relacionadas: o espaço percorrido s, medido em quilômetros (km), e o instante T (tempo) medido em horas (h). Qual é a fórmula matemática que relaciona estas duas grandezas?
_______________________________________________________________
131
O BLOCO II procura explorar as propriedades relativas às funções lineares
afins, cujo coeficiente linear é diferente de zero, isto é, aquelas cujo gráfico não
passa pela origem. Inicialmente é colocada uma situação contextualizada sobre o
movimento retilíneo uniforme de um veículo, Figura 91.
Figura 91 – Situação contextualizada do Bloco II de atividades – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A seguir são propostas atividades para resolução no ambiente “Papel &
Lápis”, com base na situação contextualizada apresentada acima.
Na ATIVIDADE I – LENDO A TABELA, Figura 92, os objetivos são
investigar se os alunos, por meio da leitura realizada na situação contextualizada e
na observação das informações numéricas contidas na tabela, conseguem perceber
a relação entre as duas grandezas envolvidas e verificar se os alunos efetuam o
tratamento de registros, neste caso, no registro da língua natural. Os alunos terão
que indicar em alguns momentos a posição do veículo, decorrido alguns instantes de
SITUAÇÃO:
“Um automóvel se locomove num movimento retilíneo uniforme (MRU)
com velocidade constante de 20 km/h. A tabela a seguir descreve a posição s do
automóvel medida em quilômetros (km) a cada instante T (tempo), medido em
horas (h).”
Instante T (tempo) medido em horas (h)
Espaço percorrido s medido em quilômetros (km)
T = 0 s = 50
T = 1 s = 70
T = 2 s = 90
T = 3 s = 110
T = 4 s = 130
T = 5 s = 150
T = 6 s = 170
T = 7 s = 190
T = 8 s = 210
T = 9 s = 230
T = 10 s = 250
132
tempo, como também, identificar quais instantes de tempo o veículo ocupa as
posições indicadas.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos não encontrarão dificuldades para
resolverem esta primeira atividade, pois somente dependerão da observação e
leitura dos valores numéricos relacionados à situação contextualizada, registrados
em uma tabela.
Figura 92 – Atividade I, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Para a ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS, Figura 93, temos como
objetivos, verificar se os alunos são capazes de prever alguns resultados em relação
à posição do veículo, como também em relação ao tempo decorrido com base em
sua posição e identificar nesta atividade, se os alunos realizam o tratamento em
registro numérico tabular.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos já terão construído a ideia de relação
entre as duas grandezas envolvidas na situação contextualizada e não encontrarão
dificuldades na resolução da atividade. Pois observada a relação estabelecida entre
ATIVIDADE I - Com base nas informações disponíveis na situação apresentada e em suas observações realizadas na tabela complete as afirmações abaixo.
No instante T = 0 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 1 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 2 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 3 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 4 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 5 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 6 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 7 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 8 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
O automóvel atingiu a posição s = 150 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 170 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 190 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 210 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 230 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingiu a posição s = 250 km no instante T = _______ h.
133
as duas grandezas, poderão dar continuidade ao padrão observado na atividade
anterior, hora utilizando-se o tratamento de registro numérico, por meio do produto
da variável independente Tempo (T) pela velocidade constante (20) e adicionando
50, hora por meio da subtração da variável dependente posição do veículo (S) por
50, para em seguida efetuar a divisão pela velocidade constante (20).
Figura 93 – Atividade II, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A ATIVIDADE III - GENERALIZANDO, Figura 94, procura explorar a
generalização da dependência entre grandezas variáveis. Solicitaremos aos alunos,
por meio da modelagem, uma função matemática que represente a dependência
entre as duas grandezas envolvidas. Dessa forma, estaremos investigando a
capacidade do aluno em representar a função linear afim, utilizando a conversão de
registros, do sentido da língua natural, numérico tabular para o registro algébrico.
Hipóteses: Nesta atividade, supomos que os alunos terão facilidade em sua
resolução, pois parte das funções já estão parcialmente representadas, bastando
apenas ao aluno, o registro numérico da velocidade constante.
ATIVIDADE II – Analisando a tabela, e sabendo que o movimento é retilíneo uniforme (velocidade constante) complete:
No instante T = 11 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
No instante T = 12 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
No instante T = 13 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
O automóvel atingirá a posição s = 450 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingirá a posição s = 490 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingirá a posição s = 550 km no instante T = _______ h.
134
Figura 94 – Atividade III, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS, Figura 95, última
atividade do BLOCO II, tem por objetivo investigar se os alunos, por meio das
observações feitas nas atividades anteriores, utilizam a conversão de registros, do
sentido numérico tabular para o registro algébrico.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos terão facilidade na resolução desta
atividade. A dúvida que poderá surgir, é em relação a: “Qual das duas
representações optar como resposta à atividade?”. Já que, não ficou claro no
enunciado da atividade, se tratar da representação da função linear afim em registro
algébrico.
Figura 95 – Atividade IV, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A seguir descrevemos as atividades do Bloco II, que deverão ser executadas
em ambiente informatizado com o auxílio do software Geogebra.
Conforme Figura 96, será proposta uma situação contextualizada.
Disponibilizaremos alguns procedimentos de execução e operacionalização com o
software, como também instruções de interação do aluno com a atividade
informatizada.
ATIVIDADE III - T representa o instante de tempo em horas e S representa a posição em quilômetros do automóvel. Com base nessas informações e em suas observações realizadas durante a ATIVIDADE II, modele a função que relaciona S em função de T.
No instante T qualquer, a posição do automóvel será _____________ s T
O automóvel atingirá a posição s no instante S
T
ATIVIDADE IV – Nesta atividade duas grandezas estão relacionadas: o espaço percorrido s, medido em quilômetros (km), e o instante T (tempo) medido em horas (h). Qual é a fórmula matemática que relaciona estas duas grandezas?
_______________________________________________________________
135
Figura 96 – Situação contextualizada do Bloco II de atividades – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A interação dos alunos com as atividades propostas com o uso do software,
será orientada pelo procedimento 2, Figura 96. Nesse procedimento, o aluno
utilizando-se das setas do teclado, irá movimentar o controle deslizante fixado na
atividade. Por meio dessa interação, o aluno poderá perceber a movimentação do
veículo, conforme apresentado nas Figuras 97 e 98.
Figura 97 – Interação do aluno com a atividade informatizada FONTE: Elaborado pelo pesquisador
SITUAÇÃO:
“Um automóvel se locomove num movimento retilíneo uniforme (MRU) com
velocidade constante de 20 km/h. Vamos explorar o software Geogebra para obter
algumas informações sobre o espaço percorrido por esse automóvel.”
PROCEDIMENTO 1 – Procure pelo ícone na área de trabalho do
computador, execute o programa e em seguida abra o arquivo MRU2.
PROCEDIMENTO 2 – Utilize as setas do teclado para movimentar o controle
deslizante , e observe o que ocorre com a posição do veículo,
indicada pelo ponto .
136
Figura 98 – Interação do aluno com a atividade informatizada FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Na sequência são propostas atividades para os alunos resolverem,
baseadas na situação contextualizada e em suas interações com o software
Geogebra.
O objetivo da ATIVIDADE I – CONSTRUINDO A TABELA, Figuras 99, é
verificar a capacidade de associação que o aluno desenvolve. Tendo em vista a sua
interação com a grandeza tempo em horas, resulta na movimentação e posição do
veículo. Com isso, queremos saber se ele consegue perceber essa relação e com
isso transportar na forma de registro numérico tabular.
Hipóteses: Acreditamos que os alunos não encontrarão dificuldades para
resolverem esta primeira atividade, pois poderão observar a representação numérica
da variável dependente posição do veículo em km, por meio de sua interação com o
controle deslizante que representa a variável independente tempo em horas.
137
Figura 99 – Atividade I, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Para a ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS, Figura 100, temos
como objetivos, verificar se os alunos são capazes de prever alguns resultados em
relação à posição do veículo, como também em relação ao tempo decorrido com
base em sua posição e identificar nesta atividade, se os alunos realizam o
tratamento em registro numérico tabular.
Hipóteses: Esta atividade está dividida em duas partes. Supomos que na
primeira parte os alunos não encontrarão dificuldades para resolvê-la, pois
acreditamos que os alunos já terão percebido a relação entre as grandezas
ATIVIDADE I – Com base em suas interações realizadas no programa e nas observações referentes às posições do veículo, complete as informações abaixo e preencha a tabela de dados.
No instante T = 0 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 1 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 2 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 3 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 4 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 5 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 6 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 7 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 8 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 9 h, a posição do automóvel é s = _______ km.
No instante T = 10 h, a posição do automóvel é s = ______ km.
Instante T (tempo) medido em horas (h)
Espaço percorrido s medido em quilômetros (km)
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
T = s =
138
envolvidas, e por meio da percepção do padrão observado na atividade anterior,
poderão dar continuidade. Em relação à segunda parte, supomos que os alunos
terão dificuldades em sua resolução devido ao fato de que o tratamento em registro
numérico necessitar da subtração do coeficiente linear igual a 50.
Figura 100 – Atividade II, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A ATIVIDADE III - GENERALIZANDO, Figura 101, procura explorar a
generalização da dependência entre grandezas variáveis. Solicitaremos aos alunos,
por meio da modelagem, uma função matemática que represente a dependência
entre as duas grandezas envolvidas. Dessa forma, estaremos investigando a
capacidade do aluno em representar a função linear afim, utilizando a conversão de
registros, do sentido da língua natural, numérico tabular para o registro algébrico.
Hipóteses: Esta atividade está dividida em duas partes. Em relação à
primeira parte, acreditamos que os alunos não encontrarão dificuldades em
representar na forma de registro algébrico: f(x) = a.x + b, com b diferente de zero, a
relação entre as duas grandezas envolvidas. Quanto à segunda parte,
possivelmente os alunos poderão ter dificuldades na representação em registro
algébrico na forma f(x) 50
x20
.
ATIVIDADE II – Analisando a tabela, e sabendo que o movimento é retilíneo uniforme (velocidade constante) complete:
No instante T = 11 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
No instante T = 12 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
No instante T = 13 h, a posição do automóvel será s = _______ km.
O automóvel atingirá a posição s = 450 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingirá a posição s = 490 km no instante T = _______ h.
O automóvel atingirá a posição s = 550 km no instante T = _______ h.
139
Figura 101 – Atividade III, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A ATIVIDADE IV – RELACIOANDO GRANDEZAS, Figura 102, última
atividade do BLOCO II, tem por objetivo investigar se os alunos utilizam a conversão
de registros, com destino ao registro algébrico, por meio das suas observações e
interações realizadas na atividade informatizada.
Figura 102 – Atividade IV, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Hipóteses: Como esta atividade propõe a confirmação em relação à
atividade anterior, supomos que os alunos não apresentarão dificuldades em
resolvê-la. Acreditamos que poderão confirmar a representação da função linear
afim registrada na atividade anterior, utilizando-se do registro algébrico f(x) = a.x + b,
com b diferente de zero.
ATIVIDADE III - T representa o instante de tempo em horas e S representa a posição em quilômetros do automóvel. Com base nessas informações e em suas observações realizadas durante a ATIVIDADE II, modele a função que relaciona S em função de T.
No instante T qualquer, a posição do automóvel será _____________ s T
O automóvel atingirá a posição s no instante S
T
ATIVIDADE IV – Nesta atividade duas grandezas estão relacionadas: o espaço percorrido s, medido em quilômetros (km), e o instante T (tempo) medido em horas (h). Qual é a fórmula matemática que relaciona estas duas grandezas?
_______________________________________________________________
140
6.2.4 O experimento
Antes da aplicação dos instrumentos, foram explicados aos participantes do
experimento, que as atividades faziam parte de uma pesquisa de Mestrado em
Educação Matemática, de autoria do pesquisador, sob a orientação de seu
Professor Orientador, e que as mesmas não teriam caráter avaliativo. Foi informado
também, que não haveria a necessidade de identificação dos alunos no questionário
socioeconômico e nem nas atividades, mantendo-se assim o sigilo de cada
participante.
O experimento foi aplicado a dois grupos de alunos, denominados “TURMA
A” e “TURMA B”, contendo quinze alunos cada. Os sujeitos da pesquisa que
participaram do experimento são alunos de diversas turmas da 8ª Série/9º Ano do
ensino fundamental que estudam no período da tarde, na escola local da pesquisa.
Para aplicação do questionário socioeconômico, foi proposto que cada aluno
levasse-o para a sua residência, e que fosse preenchido juntamente com a presença
dos pais ou dos responsáveis pelo aluno. Ficou combinado entre o pesquisador e os
sujeitos da pesquisa, que trouxessem o questionário socioeconômico preenchido no
dia da aplicação das atividades.
Na aplicação das atividades, participaram quinze alunos, que denominamos
“TURMA A”, este grupo realizou as atividades denominadas Atividades com Papel &
Lápis, integrantes do Bloco I e Bloco II. Outro grupo contendo também quinze
alunos, que denominamos de “TURMA B” realizou as atividades denominadas
Atividades com o Apoio do Geogebra, integrantes do Bloco I e Bloco II.
As atividades do Bloco I e Bloco II, com a utilização somente dos recursos
papel & lápis foram realizadas em um único dia, em uma sala de aula da escola,
com a participação apenas dos alunos da TURMA A, sob a condução, orientação e
observação do pesquisador. As atividades do Bloco I e Bloco II, com o auxílio do
computador e do software Geogebra foram realizadas também em único dia, no
laboratório de informática da escola, com a participação apenas dos alunos da
TURMA B, sob a condução orientação e observação do pesquisador.
Os encontros para a aplicação do experimento ocorreram, no período da
tarde, em horário de aula. O tempo de aplicação das atividades nos dois dias
ocupou-se de dois tempos de aula para cada dia, sendo que, cada tempo de aula
correspondendo a cinquenta minutos.
141
CAPÍTULO 7 - ANÁLISES DAS PRODUÇÕES DISCENTES
O objetivo deste capítulo será apresentar as análises das produções
realizadas pelos alunos, sujeitos da pesquisa. São apresentados os resultados
coletados com a aplicação do questionário socioeconômico, que trata da utilização
do computador pelos alunos pesquisados. Discutiremos sobre os resultados obtidos
com a aplicação das atividades realizadas pelas TURMAS A e B, análise a
posteriori, conforme os instrumentos de pesquisa apresentados na Seção 6.2.3 do
Capítulo 6. Para finalizar, apresentaremos os resultados referentes à comparação de
desempenho na resolução das atividades e do desempenho entre as turmas.
7.1 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SOCIOECONÔMICO
7.1.1 Análise das respostas sobre a utilização do computador
Foi perguntado aos alunos, sujeitos da pesquisa: “Se, e de que forma eles
têm acesso a um computador?” Perguntou-se também: “Qual era o uso que eles
faziam do computador?” No caso em que o computador fosse utilizado
especificamente para o desenvolvimento de atividades de Matemática em casa, foi
solicitado que os alunos indicassem o software que era utilizado. Foi feito também
esse mesmo questionamento, agora voltado para a utilização de instrumentos de
informática na escola. Queríamos saber: “Se, e com que frequência eles utilizam o
computador na escola para o desenvolvimento de atividades de Matemática?” Para
finalizar essa etapa do questionário, procuramos saber dos alunos pesquisados: “Se
um software específico para a aplicação de conteúdos matemáticos poderia
contribuir com o seu desenvolvimento escolar?”
Os resultados obtidos são apresentados e discutidos em seguida.
Como já evidenciado anteriormente, em relatos de pesquisa de ARAUJO
(2005 p. 105) e CALIL (2010 p. 68), identificamos também em nossa pesquisa, que a
maioria dos alunos pesquisados, tem acesso ao computador. Isto nos mostra que
não se trata mais de um aparelho de difícil acesso e sim, de um bem comum, que se
tornou necessário à boa parte das famílias brasileiras. A Figura 103, abaixo, nos
mostra que dos trinta alunos pesquisados, vinte e sete possuem o equipamento em
suas residências, e apenas três responderam não possuir e equipamento. Mas
142
dentre esses três alunos, dois informaram ter acesso ao equipamento por meio Lan
Houses.
32. Você tem computador em casa?
Figura 103 – Resultados do questionário socioeconômico FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Sobre a que se destina a utilização do computador pelos alunos, deixamos
essa questão com a possibilidade de “respostas abertas”, isto é, os entrevistados
poderiam preencher o espaço destinado a resposta, com o tipo que se destina o uso
do computador. Foi necessário optar por essa metodologia, para que os sujeitos da
pesquisa pudessem se sentir livres para expor a sua diversidades de respostas.
Sem sombra de dúvidas, a resposta que mais apareceu sobre essa questão, reflete
o comportamento atual da sociedade. E o acesso às redes sociais foi o destino mais
usual do computador pelos sujeitos da pesquisa. E, por nossa surpresa, o segundo
destino mais utilizados pelos pesquisados é a utilização do computador como
ferramenta de estudo. Também foi dado como respostas pelos alunos, o uso do
computador para “pesquisas”, neste caso não ficou claro que se trata de pesquisas
no âmbito escolar. Achamos melhor neste caso classificar como pesquisa de modo
geral. A seguir, Figura 104, apresentamos os gráficos com os resultados referentes
ao destino usual do computador no dia a dia dos sujeitos pesquisados.
27
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
SIM
NÃO
90%
10%
143
33. Você utiliza o computador, geralmente, para fazer o quê?
Figura 104 – Resultados do questionário socioeconômico FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Questionamos os sujeitos da pesquisa sobre a utilização em suas
residências do computador como ferramenta para o desenvolvimento e a resolução
de atividades específicas de Matemática. O que podemos perceber, os sujeitos se
posicionaram de maneira quase que dividida. Os gráficos da Figura 105 expõem os
resultados dessa parcialidade entre os estudantes.
34. Você utiliza ou já utilizou o computador para desenvolver atividades de Matemática em casa?
Figura 105 – Resultados do questionário socioeconômico FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
13
4
7
19
7
0
3
6
9
12
15
18
21
Estudar
Entreterimento
Pesquisa
Redes sociais
Jogos
26%
8%
14% 38%
14%
16 14
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
SIM
NÃO
53%
47%
144
Sobre a utilização do equipamento na escola, para o desenvolvimento e a
resolução de atividades específicas de Matemática, notamos a esmagadora
quantidade de alunos, quase que a totalidade, responderam não utilizar o
equipamento para esse fim específico. Abaixo, a Figura 106 demonstra os
resultados dessa questão.
36. Você utiliza ou já utilizou o computador para desenvolver atividades de Matemática na escola?
Figura 106 – Resultados do questionário socioeconômico FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Sobre a opinião dos alunos, em que a utilização do computador e de um
software específico, poderia ajudá-los com o desenvolvimento de conteúdos e a
aprendizagem em Matemática. A maioria acredita que isso seria possível.
Infelizmente, cinco alunos dos trinta pesquisados, não conseguiram expor suas
opiniões a respeito desta questão. Os resultados estão apresentados nos gráficos
da Figura 107.
3
27
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
SIM
NÃO
10%
90%
145
38. Você acha que o computador, especificamente um software de Matemática, poderia contribuir com a sua aprendizagem na escola?
Figura 107 – Resultados do questionário socioeconômico FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
7.2 ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES
As tabelas a seguir sintetizam os critérios que utilizamos para analisar os
protocolos fornecidos pelos alunos, participantes da pesquisa em relação às
atividades sobre função linear afim, realizadas tanto no ambiente “Papel & Lápis”,
como no ambiente informatizado com o auxílio do software “Geogebra”.
20
5 5
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
SIM
NÃO
NÃO RESPONDEU
67%
17% 17%
146
CRITÉRIOS DE ANÁLISE – ATIVIDADES NO AMBIENTE PAPEL & LÁPIS
Atividades BLOCO I e BLOCO II
ATIVIDADE I
- verificar se o aluno consegue perceber a relação entre as duas grandezas envolvidas. - verificar se o aluno efetua o tratamento no registro da língua natural.
ATIVIDADE II
- verificar se o aluno é capaz de prever resultados, o aluno já terá construído a ideia de relação entre as duas grandezas. - identificar se o aluno realiza o tratamento de registros, em língua natural e numérico tabular.
ATIVIDADE III - verificar se o aluno utiliza a conversão de registros, do sentido da língua natural, numérico tabular para o registro algébrico para representa-la na forma de uma função linear afim.
ATIVIDADE IV - investigar se o aluno consegue utilizar a conversão de registros, do sentido numérico tabular para o registro algébrico.
Tabela 7 – Critérios de análise, atividades Papel & Lápis, Bloco I e II. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
147
CRITÉRIOS DE ANÁLISE – ATIVIDADES NO AMBIENTE GEOGEBRA
Atividades BLOCO I e BLOCO II
ATIVIDADE I
- verificar se o aluno consegue perceber a relação entre as duas grandezas envolvidas. - verificar se o aluno efetua o tratamento no registro da língua natural.
ATIVIDADE II
- verificar se o aluno é capaz de prever resultados, - verificar se o aluno já consegue construir a ideia de relação entre as duas grandezas. - identificar se o aluno realiza o tratamento de representações em língua natural e numérico tabular.
ATIVIDADE III - verificar se o aluno consegue utilizar a conversão de registros, do sentido da língua natural ou numérico tabular para o registro algébrico para representar a situação na forma de uma função linear afim.
ATIVIDADE IV - investigar se o aluno consegue utilizar a conversão de registros, do sentido numérico tabular para o registro algébrico.
ATIVIDADE V - investigar se o aluno consegue utilizar a conversão de registros, com destino ao registro algébrico, por meio das suas observações e interações realizadas na atividade informatizada.
Tabela 8 – Critérios de análise, atividades Geogebra, Bloco I e II. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
148
7.2.1 Análise das Atividades no Ambiente “Papel & Lápis”
Começaremos apresentando os resultados obtidos após a aplicação das
atividades do Bloco I realizadas em ambiente “Papel e Lápis”.
Com base nos resultados apresentados na Figura 108, a totalidade dos
alunos pesquisados apresentou facilidade na resolução da atividade. Acreditamos
desta forma, que os alunos conseguiram perceber a relação entre as duas
grandezas envolvidas no problema. Verificamos também, total sucesso no
tratamento de registros na língua natural.
ATIVIDADE I – LENDO A TABELA – Bloco I – Papel e Lápis
Figura 108 – Resultados Atividade I, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A atividade II foi composta de dois exercícios, sendo solicitado no primeiro a
posição do veículo S em km, no outro o instante de tempo T em horas. Os
resultados apresentados na Figura 109 indicam que os alunos pesquisados, foram
capazes de prever resultados propostos pela atividade. Acreditamos que essa
capacidade pode ter sido adquirida devido à percepção dos alunos da relação entre
as grandezas. Os alunos também demonstraram conseguir tratar os registros em
língua natural e numérico tabular.
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
100%
0%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
149
ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS – Bloco I – Papel e Lápis
A)
B)
Figura 109 – Resultados Atividade II, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Os resultados apresentados na Figura 110, a seguir, indicam ser
satisfatórios. Isso nos mostra que os alunos pesquisados não apresentaram ter
dificuldades em realizar a conversão de registros, do sentido língua natural/numérico
tabular para o registro algébrico. Apenas dois alunos encontraram dificuldades na
resolução da atividade, sendo que um deles deixou a questão sem respostas.
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
100%
0%
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
100%
0%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
150
ATIVIDADE III - GENERALIZANDO – Bloco I – Papel e Lápis
A)
B)
Figura 110 – Resultados Atividade III, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Com base em nosso critério de análise, verificamos nos resultados
apresentados a seguir, Figura 111, que a maioria dos alunos pesquisados
demonstrou ter capacidade de utilizar a conversão de registros de representação, do
sentido numérico tabular para o registro algébrico.
14
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
93%
0% 7%
13
1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
87%
7% 7%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
151
ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS – Bloco I – Papel e Lápis
Figura 111 – Resultados Atividade IV, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Apresentaremos agora os resultados das atividades do Bloco II realizadas
no ambiente “Papel & Lápis”.
Conforme os resultados apresentados na Figura 112, a totalidade dos alunos
pesquisados, apresentaram facilidade na resolução da atividade. Acreditamos desta
forma, que os alunos conseguiram perceber a relação entre as duas grandezas
envolvidas no problema. Verificamos também, total sucesso no tratamento de
registros na língua natural.
ATIVIDADE I – LENDO A TABELA – Bloco II – Papel e Lápis
Figura 112 – Resultados Atividade I, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
12
1 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
80%
7% 13%
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
100%
0%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
152
Identificamos nesta atividade, dividida em dois exercícios, conforme
resultados apresentados na Figura 113, uma grande quantidade de acertos. Mas,
também a ocorrência de dificuldades por parte de dois alunos pesquisados, que não
atingiram os resultados esperados de prever resultados e realizar o tratamento de
registros, em língua natural e numérico tabular.
ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS – Bloco II – Papel e Lápis
A)
B)
Figura 113 – Resultados Atividade II, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A Atividade III, também foi dividida em dois exercícios. Na Figura 114,
apresentamos os resultados de cada exercício separadamente. Os resultados
indicam um aumento na dificuldade dos alunos em resolver esse tipo de questão, no
qual foi solicitado que a relação entre as duas grandezas envolvidas fosse
representada por meio de uma fórmula matemática, isto é, partindo de registros da
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
100%
0%
13
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
87%
13%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
153
língua natural ou numérico tabular, com destino ao registro algébrico. Dessa forma,
acreditamos, que quando o aluno é colocado nesta situação, na qual a necessidade
de uma representação genérica, ele encontra dificuldades em utilizar de uma
linguagem algébrica, a fim de servir como representação.
ATIVIDADE III - GENERALIZANDO – Bloco II – Papel e Lápis
A)
B)
Figura 114 – Resultados Atividade III, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Os resultados apresentados na Figura 115 vieram para confirmar os
resultados da atividade anterior, e também sobre a nossa suspeita. De que os
alunos apresentam dificuldades, quando são solicitados a trabalhar a conversão de
registros. Nesse caso com destino ao registro algébrico.
7 7
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
47%
47%
7%
5
9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
33%
60%
7%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
154
ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS – Bloco II – Papel e Lápis
Figura 115 – Resultados Atividade IV, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
7.2.2 Análise das Atividades no Ambiente “Geogebra”
Começaremos apresentando os resultados obtidos após a aplicação das
atividades do Bloco I realizadas em ambiente informatizado e com a utilização do
software Geogebra, lembrando que as atividades propostas neste ambiente
exploravam a interação e a observação dos alunos pesquisados junto ao software.
Os resultados apresentados na Figura 116 indicam um grau satisfatório de
acertos para essa primeira atividade. Com exceção de um aluno, que iniciou a
resolução de forma incorreta, acarretando a uma sequência de erros até o final da
atividade. Os demais alunos pesquisados obtiveram sucesso em suas resoluções,
demonstrando, dessa forma, percepção da relação entre as grandezas envolvidas
no problema e o tratamento no registro da língua natural.
4
9
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 27%
60%
13%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
155
ATIVIDADE I – CONSTRUINDO E LENDO A TABELA – Bloco I – Geogebra
Figura 116 – Resultados Atividade I, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A Figura 117 apresenta os resultados referentes à atividade II. Conforme
critérios de análise, os resultados dessa atividade também foram satisfatórios para
quase a totalidade dos alunos envolvidos na atividade. Interessante observar que, o
aluno que não obteve sucesso nesta atividade, é o mesmo aluno que encontrou
dificuldades na atividade anterior, resultando em erro na resolução.
ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS – Bloco I – Geogebra
A)
14
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
93%
7%
12
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
80%
20%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
156
B)
Figura 117 – Resultados Atividade II, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Para a análise dos resultados da atividade III, analisamos separadamente os
resultados obtidos com a resolução dos exercícios A e B. Verificamos que em
relação ao exercício A, poucos alunos cometeram algum erro e três alunos deixaram
a atividade sem resolução. Na sequência da resolução do exercício B, percebemos
que a quantidade de alunos que erraram e que deixaram a questão sem respostas,
ultrapassou a quantidade de acertos. Consequentemente, dos três alunos que
erraram o exercício A, um deles também cometeu erro na resolução do exercício B e
dois deixaram a questão sem respostas.
ATIVIDADE III - GENERALIZANDO – Bloco I – Geogebra
A)
10
4
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
67%
27%
9
3 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
60% 20%
20%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
157
B)
Figura 118 – Resultados Atividade III, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Na última atividade deste bloco, Figura 119, percebemos que em relação
aos resultados obtidos, uma redução à um terço de alunos que responderam
corretamente esta atividade. O que chama atenção, nesses resultados, é a
quantidade alunos que deixaram a atividade sem nenhuma resposta, dada à
importância desta atividade, pois explorava a conversão de registros, do sentido
numérico tabular para o registro algébrico.
ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS – Bloco I – Geogebra
Figura 119 – Resultados Atividade IV, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
7
3
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
47%
20%
33%
5 5 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
33%
33%
33%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
158
Apresentaremos agora os resultados obtidos após a aplicação das
atividades do Bloco II, realizadas no ambiente informatizado e com o auxílio do
software Geogebra.
Os resultados apresentados na Figura 120 indicam um grau satisfatório de
acertos para essa primeira atividade. Com exceção de um aluno, que iniciou a
resolução de forma incorreta, acarretando a uma sequência de erros, até o final da
atividade. Para esclarecimentos, este aluno não se trata do mesmo que cometeu
erro parecido na resolução da Atividade I, Bloco I. Os demais obtiveram sucesso em
suas resoluções. Demonstrando dessa forma, terem percebido a relação entre as
grandezas envolvidas no problema e o tratamento no registro da língua natural.
ATIVIDADE I – CONSTRUINDO E LENDO A TABELA – Bloco II – Geogebra
Figura 120 – Resultados Atividade I, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A Figura 121 apresenta os resultados referentes à atividade II, dividida em
dois exercícios. Apesar do número de acertos nos dois exercícios, ser superior,
observamos uma quantidade expressiva de respostas incorretas. Lembrando que
esta atividade procurou explorar o tratamento em registro numérico tabular.
14
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
93%
7%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
159
ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS – Bloco II – Geogebra
A)
B)
Figura 121 – Resultados Atividade II, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
A análise dos resultados da atividade III, também foi feita separadamente
para os exercícios A e B. Conforme Figura 122 verificamos que o número de
respostas incorretas e atividades sem respostas, ultrapassa a quantidade de alunos
que responderam corretamente esta atividade. A importância desta atividade, devido
ao fato dela exigir a conversão de registros, com destino ao registro algébrico.
11
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
73%
27%
9
5
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
60%
33%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
160
ATIVIDADE III - GENERALIZANDO – Bloco II – Geogebra
A)
B)
Figura 122 – Resultados Atividade III, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
7
3
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
47%
20%
33%
6
3
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
40%
20%
40%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
161
A última atividade deste bloco apresentou resultados que vieram para
confirmar as dificuldades apresentadas em relação à atividade anterior. A Figura 123
apresenta a quantidade de respostas incorretas e sem respostas, sendo superior ao
número de acertos. O objetivo da atividade, foi utilizar a conversão de registros, com
destino ao registro algébrico, para desta forma, representar de forma genérica a
relação entre as duas grandezas envolvidas.
ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS – Bloco II – Geogebra
Figura 123 – Resultados Atividade IV, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
7
2
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
47%
13%
40%
CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA
162
7.3 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ENTRE AS ATIVIDADES
7.3.1 Bloco I versus Bloco II no Ambiente “Papel & Lápis”
Como podemos perceber ao compararmos os dois blocos de atividades,
vimos que há um crescimento da quantidade de respostas incorretas durante a
resolução do Bloco II, quando comparado com o Bloco I. Observa-se essa evolução
já a partir da resolução dos exercícios da atividade II, Figuras 124 e 125.
Figura 124 – Evolução das Atividades Bloco I – “Papel &Lápis” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
15 15 15 14
13 12
0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
I II(A) II(B) III(A) III(B) IV ATIVIDADES
EVOLUÇÃO - Quantidade de Acertos, Erros e Questões não Respondidas - "Papel & Lápis"
Bloco I
CORRETO
INCORRETO
NÃO RESPONDIDO
163
Figura 125 – Evolução das Atividades Bloco II – “Papel &Lápis” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Acreditamos que tal fato, se deva à dificuldade do aluno em perceber que no
instante de tempo T = 0 h, a localização do veículo não se encontra na posição S = 0
km, como na situação proposta em atividade do Bloco I, mas, sim, em S = 50 km.
Essa ideia era justamente o propósito para explorarmos o conceito de função linear
afim, quando o coeficiente linear é diferente de zero. Nesse caso, a função f(x) = a.x
+ b, que em nossa situação aplicada tomaria a forma S(t) = 20.t + 50. A posição do
veículo em S = 0 km, com T = 0 h, foi aplicado no Bloco I de Atividades, dessa forma
explorando a ideia de função linear afim com coeficiente linear igual a zero.
Destacamos abaixo, os protocolos de respostas de dois alunos, referentes à
atividade II do Bloco II, a fim de discutirmos sobre quais possíveis circunstâncias
esses erros ocorreram, Figuras 126 e 127.
15 15
13
7
5
4
0 0
2
7
9 9
0 0 0
1 1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
I II(A) II(B) III(A) III(B) IV
ATIVIDADES
EVOLUÇÃO - Quantidade de Acertos, Erros e Questões não Respondidas - "Papel & Lápis"
Bloco II
CORRETO
INCORRETO
NÃO RESPONDIDO
164
Figura 126 – Protocolo do aluno nº5 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 127 – Protocolo do aluno nº14 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Os resultados apresentados na primeira parte da atividade II, acima, estão
corretos, isto é, os dois alunos não encontraram dificuldades em prever resultados
quando, dado um instante de tempo T em horas, foram solicitados a localizar a
posição do veículo em km. Possivelmente, utilizando-se o tratamento em registro
algébrico: S(T) = 20.T + 50, nesse caso a incógnita já se encontra isolada na
igualdade da função. Mas quando, solicitados o inverso, isto é, dado a posição do
veículo em km, os mesmos deveriam calcular o instante de tempo T em horas, esses
alunos encontraram dificuldades, e por consequência, levaram aos erros, conforme
destaque circular acima. Acreditamos que tal fato tenha sido motivado pela
dificuldade dos alunos em utilizar o tratamento de registros da mesma função S(T) =
20.T + 50, já que as duas grandezas se comportam de maneira dependentes, mas
165
para isso, eles deveriam procurar isolar a incógnita T por meio de uma sequência de
operações, como o anulamento do produto e o cancelamento da adição.
A situação piora na sequência das atividades III e IV do Bloco II,
comparadas com as mesmas atividades do Bloco I. Nas duas atividades o aluno
pesquisado que denominamos nº1, não respondeu nenhuma das duas atividades e
o aluno nº 9 não respondeu a atividade IV.
Em uma das resoluções incorretas, conforme podemos observar nos
protocolos do aluno nº15, Figuras 128 e 129, observamos que o erro cometido, pode
ter sido por pura distração, já que a conversão de registros com destino ao registro
algébrico para a função em S, considerada mais difícil, fora efetuada corretamente.
Já no caso da conversão, também para o registro algébrico para a função em T, o
aluno troca um pelo outro, os valores dos coeficientes.
Figura 128 – Protocolo do aluno nº15 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 129 – Protocolo do aluno nº15 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Os demais erros observados em relação as atividade III e IV, entendemos
como realmente dificuldades dos alunos em generalizar a relação entre as
grandezas, por meio de uma função linear afim, utilizando-se para isso a conversão
de registros com destino ao registro algébrico. A seguir, Figuras 130 a 135,
destacamos os protocolos contendo essas dificuldades observadas.
166
Figura 130 – Protocolo do aluno nº2 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 131 – Protocolo do aluno nº5 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 132 – Protocolo do aluno nº6 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
167
Figura 133 – Protocolo do aluno nº7 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 134 – Protocolo do aluno nº9 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 135 – Protocolo do aluno nº14 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
7.3.2 Bloco I versus Bloco II no Ambiente “Geogebra”
Ao compararmos os Blocos I e II de atividades que foram realizadas no
ambiente informatizado e com a utilização do software Geogebra, percebemos
também nesse caso, que os alunos pesquisados apresentaram maiores dificuldades
na resolução do Bloco II. Tal fato se deve ao número crescente de respostas
incorretas e não respondidas, identificadas no Bloco II, quando comparadas com o
Bloco I, como mostra os gráficos das Figuras 136 e 137.
168
Figura 136 – Evolução das Atividades Bloco I – “Geogebra” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 137 – Evolução das Atividades Bloco II – “Geogebra” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
14 14
12
10
8 7
5
1 1 3
4
3
2
5
0 0 0
1
4 6 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
I II III(A) III(B) IV(A) IV(B) V ATIVIDADES
EVOLUÇÃO - Quantidade de Acertos, Erros e Questões não Respondidas "Geogebra"
Bloco I
CORRETO
INCORRETO
NÃO RESPONDIDO
14
13
11
8
7
6 7
1
2
4
5 4
3 3
0 0 0
2
4
6
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
I II III(A) III(B) IV(A) IV(B) V
ATIVIDADES
EVOLUÇÃO - Quantidade de Acertos, Erros e Questões não Respondidas "Geogebra"
Bloco II
CORRETO
INCORRETO
NÃO RESPONDIDO
169
Acreditamos que tal fato, como ocorrido também com os alunos pesquisados
no ambiente “Papel & Lápis”, se deva à dificuldade dos alunos em perceber a
relação do coeficiente linear, no caso, km 50, na função linear afim.
Destacamos abaixo, os protocolos de respostas de dois alunos, referentes à
atividade II (A,B) do Bloco II, a fim de discutirmos sobre quais possíveis
circunstâncias esses erros ocorreram.
Possivelmente, o erro que o aluno nº9 cometeu durante a resolução da
Atividade II(A), foi tê-la iniciado como continuação do último exercício da Atividade I,
que se tratava do preenchimento de uma tabela, sem levar em consideração o
coeficiente linear igual a 50. Em relação à Atividade II(B), o mesmo aluno deixou-a
sem resolução, como mostra a Figura 138.
Figura 138 – Protocolo do aluno nº9 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Em relação aos erros cometidos pelo aluno nº10 durante a resolução da
Atividade II(A), acreditamos que ele tenha utilizado a função linear afim na forma
S(T) = 20.T, omitindo o coeficiente linear igual a 50. Quanto à Atividade II(B), não
conseguimos identificar as causas que levaram o aluno ao erro na resolução da
atividade. A Figura 139, destacamos os erros comentados.
170
Figura 139 – Protocolo do aluno nº10 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Em relação ao aluno nº11, identificamos que os erros cometidos por ele,
tenham se iniciado já primeira atividade, pois ele não considerou que no instante T =
0 h, a posição do veículo era S = 50 km, mas considerou como sendo S = 0 km,
levando-o a uma sequência de erros no desenvolvimento das Atividades II(A) e II(B).
Figura 140 – Protocolo do aluno nº11 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Vale a pena destacar nessa comparação entre os Blocos de Atividades, uma
elevada quantidade de alunos que responderam incorretamente ou que deixaram
sem respostas as atividade III e IV, tanto do Bloco I como do Bloco II. Lembrando
que esta atividade era de extrema importância para verificarmos a capacidade dos
alunos em utilizar a conversão de registros, com destino ao registro algébrico. Nas
171
Figuras 141 a 143 destacamos os erros existentes em alguns protocolos de alunos
referentes às atividades III e IV do Bloco I.
Figura 141 – Protocolo do aluno nº9 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 142 – Protocolo do aluno nº10 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 143 – Protocolo do aluno nº11 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
172
Nas Figuras 144 a 148, destacamos os protocolos dos alunos pesquisados,
e que apresentaram dificuldades na resolução das atividades do Bloco II, sendo
essas atividades a conversão de registros com destino ao registro algébrico.
Figura 144 – Protocolo do aluno nº2 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 145 – Protocolo do aluno nº3 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
173
Figura 146 – Protocolo do aluno nº9 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 147 – Protocolo do aluno nº10 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 148 – Protocolo do aluno nº11 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
174
7.3.3 Comparação do desempenho: TURMA “A” versus TURMA “B”
Para finalizar essa etapa da pesquisa, realizamos uma comparação de
desempenho entre as duas turmas pesquisadas. Lembrando que, a Turma “A”,
contendo quinze alunos realizou as atividades do Bloco I e do Bloco II no ambiente
“Papel & Lápis”, enquanto a Turma “B”, contendo quinze alunos realizou as
atividades do Bloco I e do Bloco II no ambiente “Geogebra”. Escolhemos como
critério de comparação de desempenho entre as duas turmas “A” e “B”, a contagem
da quantidade de acertos das atividades aplicadas. A Tabela 9 e os gráficos das
Figuras 149, 150 e 151, sintetizam os resultados dessa comparação.
Categoria das
Atividades Atividade
"P&L" TURMA “A”
Atividade
"Geogebra" TURMA “B”
BLOCO I
BLOCO II
BLOCO I
BLOCO II
Tabela I 15 15 I e II 14 14
Prevendo Resultados
II 30 28 III 22 20
Generalizando III 27 12 IV 16 13
Relacionando Grandezas
IV 12 4 V 5 7
TOTAL 143 TOTAL 111
Tabela 9 – Desempenho das Turmas “A” e “B” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Baseados no critério de contagem da quantidade de acertos das atividades
aplicadas, verificamos que a Turma A, obteve um melhor desempenho em
comparação com o desempenho da Turma B, isto é, tivemos 143 acertos para a
Turma A e 111 para a Turma B. Podemos verificar a superioridade da Turma A,
também em relação às categorias das atividades que foram aplicadas: Tabela,
Prevendo Resultados, Generalizando, Relacionando Grandezas, no qual, em todas
essas categorias, a Turma A foi superior à Turma B.
175
Figura 149 – Desempenho da Turma “A” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
Figura 150 – Desempenho da Turma “B” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
79%
21%
Erros e Acertos em Percentual "P&L"
62%
38%
Erros e Acertos em Percentual "Geogebra"
176
Figura 151 – Desempenho das Turmas “A” e “B” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.
0 10 20 30 40 50 60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
"P&L"
"Geogebra"
143
111
Quantidade de Acertos
177
CAPÍTULO 8 – CONCLUSÕES
O objetivo desta pesquisa constituiu-se em investigar o processo de ensino e
aprendizagem do objeto matemático função linear afim, sob o ponto de vista da
articulação entre os registros de representações semióticas e apoiado em um
ambiente computacional dinâmico. Para isso foi aplicado um conjunto de atividades
a um grupo de trinta alunos da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental. O propósito
da coleta e análise dos protocolos fornecidos pelos sujeitos foi tentar obter
evidências para poder responder a questão de pesquisa: “Em que medida a
articulação entre registros de representações semióticas e ambientes
computacionais favorece o processo de ensino e aprendizagem do tópico
função linear afim?”.
Como já foi dito, o objeto matemático de investigação deste estudo foi a
função linear afim. Inicialmente fizemos um breve relato histórico do
desenvolvimento do conceito de função e da sua forma de notação, conforme
exposto no capítulo 1. Por meio de pesquisa realizada em diversos livros que tinham
como assunto a História da Matemática, verificamos que o conceito de função levou
muitos séculos para ser tratado como um conceito matemático e para que se
chegasse ao formato que possui hoje. Além disso, foram necessários o
envolvimento e a colaboração de diversos estudiosos: Euler, Dedekind, Cantor,
Cauchy, Fourier, Dirichlet, Bolzano, Lagrange, D’Alember, família Bernoulli, Newton,
Leibniz, Fermat, Descartes, Galileu, Viète, Ptolomeu, Diofanto, entre vários outros
grandes nomes das ciências que contribuíram para o seu desenvolvimento.
Podemos concluir que o conceito de função sofreu diversas transformações
ao longo da história. À medida que a sociedade passou por mudanças sociais e
científicas, seu conceito foi sendo reformulado conforme as suas necessidades.
Esse fato demonstra que o objeto matemático função não pode ser considerado
como um saber estático e imutável ao longo do tempo. O seu estudo e o seu
processo de ensino e aprendizagem é de extrema importância para a sociedade, já
que se trata de um conceito presente não só na Matemática, mas também em
diversas outras áreas e ciências como a Física, a Biologia, a Medicina, a Economia,
entre outras.
178
Parte da nossa questão de pesquisa, refere-se à um recurso informatizado,
por isso achamos conveniente, saber dos alunos, sujeitos da pesquisa, como se dá
a relação entre eles e a informática, mais especificamente o uso do computador.
Para isso, propomos ao grupo de alunos, um levantamento socioeconômico, por
meio de um questionário. Este questionário foi aplicado com o objetivo principal de
coletarmos informações sobre a utilização do computador como ferramenta de
auxilio no processo de ensino e aprendizagem. Com os dados coletados neste
estudo, pudemos primeiramente perceber a evidência de que o acesso ao
computador é algo corriqueiro entre os sujeitos pesquisados, fato também
evidenciado por ARAUJO (2005) e CALIL (2010). No presente caso, mesmo
observado que os sujeitos da nossa pesquisa pertencerem a uma comunidade
carente, o computador faz parte integrante dos objetos mais comuns e necessários
em seus lares, como a TV, o telefone, o fogão, a geladeira, etc. Em relação ao tipo
de uso que se faz do computador, pudemos verificar que as “redes sociais”, como
suspeitávamos, foram os destinos mais procurados e utilizados por esses jovens.
Sobre o uso do computador em casa, como ferramenta de estudo ou para o
desenvolvimento de conteúdos escolares, os dados obtidos nesta pesquisa,
corroboram com os dados demonstrados por ARAUJO (2005) e CALIL (2010). Isto é,
os resultados obtidos em nossa pesquisa, mostraram que a frequência do uso do
computador para fins escolares, também é representativa, sendo o segundo maior
destino usual, depois das redes sociais. Deixando para trás, o uso para o
entretenimento e os jogos. Já os resultados apurados, nos mostraram que a sua
utilização no ambiente escolar para o desenvolvimento de atividades não só de
matemática, mas também de outras disciplinas, é de pouca utilização.
Preocupados com a problemática do processo de ensino e aprendizagem
em matemática, mais especificamente sobre o objeto função linear afim. Apoiamos-
nos na Teoria dos Registros de Representações Semióticas, a qual teve um papel
importante no suporte teórico das pesquisas aqui realizadas.
A função linear afim, como já mencionado no capítulo 3, pode ser
apresentada por meio de diferentes representações, havendo dessa forma a
possibilidade da ocorrência de dificuldades de aprendizagem por parte dos alunos,
devido justamente à identificação nessas diferentes representações do mesmo
objeto matemático.
179
Segundo Duval (1995), para haver uma compreensão desse conteúdo é
necessário que haja interpretações corretas de suas diferentes representações e a
coordenação entre as suas representações. E, segundo esse mesmo autor, essa
compreensão pressupõe além da coordenação de ao menos dois registros de
representação, manifesta-se também pela rapidez e espontaneidade da atividade
cognitiva de conversão. Ou seja, quanto maior for a articulação entre os diferentes
registros de representações semióticas no estudo da função linear afim, maior será a
possibilidade de apreensão do seu conteúdo.
Sendo assim, nossas atividades de pesquisas foram construídas, com os
objetivos de além da investigação sobre a percepção dos alunos sobre a relação
entre as grandezas variáveis, também a utilização do tratamento e da conversão
entre os registros de representações semióticas.
Ao darmos início ao nosso experimento sobre o objeto matemático função
linear afim e a articulação entre os seus registros de representação, os sujeitos da
pesquisa foram divididos em duas turmas: “Turma A” e “Turma B”. Os alunos da
Turma A realizaram as atividades dos Blocos I e II no ambiente “Papel & Lápis”,
enquanto os alunos da Turma B realizaram as atividades dos Blocos I e II no
ambiente “Geogebra”. O Bloco I era constituído de atividades relativas às funções
lineares afins cujo coeficiente linear era igual a zero, enquanto o Bloco II era
constituído de atividades relativas às funções lineares afins cujo coeficiente linear
era diferente de zero.
Após análises dos dados coletados e a comparação dos desempenhos entre
as duas turmas pesquisadas, os resultados apontam para algumas evidências:
a) Na Atividade I – Atividade com Tabela, tanto no Bloco I como no Bloco II,
ambas as turmas tiveram um desempenho satisfatório, com quase a
totalidade de acertos. É bom lembrar que esta atividade em si não dependia
do ambiente onde foi desenvolvida, pois era apenas uma leitura de dados de
uma tabela. O fato de que as duas turmas tiveram o mesmo desempenho
mostra que houve, de certa forma, uma divisão homogênea do grupo de
sujeitos em termos de formação de conteúdo.
180
b) Na Atividade II – Prevendo Resultados. Os resultados obtidos em relação ao
Bloco I e ao Bloco II, demonstram uma superioridade da Turma A sobre a
Turma B. Isso parece apontar para o fato de que o ambiente “Geogebra”,
neste caso, não favoreceu a aprendizagem.
c) Na Atividade III – Generalizando. Foram atividades que pendiam as
generalizações da relação entre as grandezas, na forma de um registro
algébrico. Nesta atividade, observamos a superioridade da Turma A durante a
resolução do Bloco I. Já no Bloco II, observamos um desempenho
equivalente entre as duas turmas.
d) Na Atividade IV – Relacionando Grandezas. Estas atividades pediam
generalizações em termos de fórmulas, relacionando as grandezas
envolvidas, observamos durante a resolução do Bloco I, a Turma A foi
superior à turma B. No Bloco II, houve uma inversão, com a turma B
prevalecendo sobre a turma A.
e) Ao compararmos os desempenhos das duas turmas em relação ao
comportamento da função linear afim, e com base nos resultados obtidos
nessa comparação, pudemos concluir que em ambos ambientes, os
estudantes tiveram mais dificuldade em resolver os problemas nos casos em
que o coeficiente linear da função linear afim era diferente de zero, isto é, nas
atividades pertencentes ao Bloco II. Na verdade, é uma das dificuldades do
processo de ensino e aprendizagem desse tópico, pois os alunos são levados
a pensar em uma proporção direta e possivelmente não levam em conta o
termo linear.
f) Ao compararmos os desempenhos das duas turmas em relação ao ambiente
no qual foram propostas aos alunos, as resoluções das atividades, tanto do
Bloco I como do Bloco II, pudemos verificar que o ambiente informatizado,
com a utilização do Geogebra não foi superou ao ambiente Papel & Lápis,
contrariando dessa forma, as conclusões de ARAUJO (2005) e CALIL (2010).
181
Sendo assim, com base nas análises dos dados obtidos em nossa pesquisa,
especificamente para esse grupo de alunos pesquisados, podemos concluir que eles
apresentaram uma maior facilidade em se trabalhar com a relação entre as duas
grandezas, quando se comportaram na forma de uma função do tipo f(x) = a.x + b,
com b igual de zero. Por outro lado, devido ao número maior de erros observados,
nos levam a crer, que, especificamente para esse grupo de alunos, apresentaram
maiores dificuldades, quando a relação entre as duas grandezas envolvidas se
comporta na forma f(x) = a.x + b, com b diferente de zero.
Outro fato, evidenciado em nossa pesquisa, refere-se aos registros de
representações semióticas. Concluímos que, especificamente, para esse grupo de
alunos pesquisados, as dificuldades foram mais evidentes nas resoluções das
atividades que dependiam das transformações de conversão, do sentido língua
natural/tabular com destino ao registro algébrico.
Para finalizarmos nossas conclusões e respondendo à nossa questão de
pesquisa. Os resultados das atividades apresentadas por esta amostra de dados
apontam para o fato de que o ambiente informatizado não parece ser fundamental
para trabalhar esse assunto: função linear afim. Entretanto os registros gráficos que
permitiram a visualização dos problemas foram muito importantes para o
experimento. Aparentemente os alunos não tiveram grandes dificuldades em
transitar entre os diversos registros.
De qualquer forma, como a amostra de dados é muito pequena, as
conclusões aqui mencionadas não podem ser generalizadas e definitivas. Sugerimos
a aplicação de outras pesquisas para ter-se uma melhor ideia desse processo de
ensino e aprendizagem. Acreditamos que este estudo poderá ser ampliado, por meio
de um número maior de atividades e que envolvam, além dos registros da língua
natural, numérico tabular, a utilização dos registros gráficos.
Sendo assim, esperamos ter contribuído para as pesquisas educacionais
nessa área.
182
REFERÊNCIAS
ARAUJO, E. A concepção de um software de Matemática para auxiliar na aprendizagem dos alunos da primeira série do ensino médio no estudo das funções exponenciais e logarítmicas. 2005 153 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, São Paulo, 2005. BARROS, L. G. X. de. Uma Introdução Ingênua à Teoria dos Registros de Representações Semióticas. Revista Ceciliana, Ano 22, nº 32, p.33 – 41. Santos, 2011. BERLINGHOFF, W. P.; GOUVÊA, F. Q. A Matemática Através dos Tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. Tradução Elza Gomide, Helena Castro. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2008. 279 p. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª
Edição, 2ª Reimpressão. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2007. 104 p. BOYER, C. B.. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2ª Edição,
2ªReimpressão, São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1999. 496 p. BRASIL. Ministério da Educação (MEC), Secretaria da Educação Básica (SEB): Orientações Curriculares para o Ensino Médio - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. MEC/SEB, v.2, Brasília, 2008. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática: 5ª a 8ª série. MEC, Brasília, 1998. ______. Plano Nacional do Livro Didático - (PNLD 2014). Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FDNE). MEC/SEB, Brasília, 2013. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. MEC/SEMTEC, Brasília, 1999. CALIL, A. M. Aplicação do software Graphmatica no ensino de funções polinomiais de 1º grau no 9º ano do ensino fundamental. 2010 99 f. Dissertação
(Mestrado Profissional em Educação Matemática), Universidade Severino Sombra, Vassouras, Rio de Janeiro, 2010.
183
CHAVES, M. I. de A., CARVALHO, H. C. Formalização do conceito de função no ensino médio: Uma sequência de ensino-aprendizagem. VII Encontro Nacional de Educação Matemática, Anais, pp.1 – 18, Recife, 2004. DAMM, R. F. Registros de Representação. In: FRANCHI, A., et al; org. Silvia Dias Alcântara Machado. Educação Matemática: uma (nova) introdução. 3ª Edição, 2ª
reimpressão. São Paulo: Educ., 2012. Cap. 6, p. 167-188. DANTE, L. R. Projeto Teláris – Matemática – 9º ano, 1ª Edição, 2ª Impressão, São
Paulo: Editora Ática, 2013. 328 p. DUVAL, R. Graphiques et équations: L’articulation de deux registres. Annalles de Didactiques et de Sciences Cognitives. v.1, p. 235-253, 1988b. Strasbourg: ULP – IREM, 1988. Tradução Méricles Thadeu Moretti. REVEMAT, v.6, nº2, p. 96-112.
Florianópolis – Santa Catarina, 2011. ______. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara. Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas, São Paulo:
Papirus, 2003. Cap. 1, p. 11-33. ______. Ver e Ensinar a Matemática de outra forma – Entrar no modo matemático
de pensar: os registros de representações semióticas. Org.: Tânia M. M. Campos. Tradução: Marlene Alves Dias. São Paulo: Proem Editora, 2011. 160 p. EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução Hygino H. Domingues. 3ª Edição, Campinas, São Paulo: Editora da Unicamp, 2002. 843 p. GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. 2ª Edição revisada. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007. 468 p. GEOGEBRA. Manual do Geogebra. Disponível em:
http://wiki.geogebra.org/pt/Manual:P%C3%A1gina_Principal. Acesso em: 22 de outubro de 2013. GRAVINA, M. A., SANTAROSA, L. M. A Aprendizagem da Matemática em Ambientes Informatizados. IV Congresso RIBIE, Brasília, 1998.
184
LEONARDO, F. M. de, et al. Projeto Araribá – Matemática – 9º ano, Obra coletiva,
3ª Edição, São Paulo: Editora Moderna, 2010. 240 p. NÓBREGA, J. C.; ARAÚJO, L. C. L. Aprendendo Matemática com o GeoGebra. São Paulo: EXATO, 2010. PAIS, L. C. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 3ª Edição.
Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2008. 136 p. PATARO, P. M.; SOUZA, J. Vontade de saber Matemática – 9º ano, São Paulo: Editora FTD, 2012. 272 p. ROQUE, T. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas.
Rio de Janeiro: Zahar, 2012. 511 p. SÃO PAULO, Secretaria de Estado da Educação. Currículo do Estado de São Paulo – Matemática e suas tecnologias - Ensino Fundamental Ciclo II e Ensino Médio. 1ª edição atualizada, Impressa Oficial do Estado, São Paulo, 2012. ______. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo – Caderno do Professor: Matemática, Ensino Fundamental, 8ª Série/9º Ano, Impressa Oficial do Estado, 1ª edição revista, São Paulo, 2013. ______. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo – Caderno do
Aluno: Matemática, Ensino Fundamental, 8ª Série/9º Ano, Impressa Oficial do Estado, 1ª edição revista, São Paulo, 2013. ______. Relatório Pedagógico 2009 Saresp – Matemática, Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini. SEE, São Paulo, 2010. SARDEIRO, F. G. Argumentação dos Professores de Matemática da Educação Básica Quando Pensam na sua Aula com Computador. 2010 111 f. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática), Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN, São Paulo, 2010. SILVA, U. A. Análise da Abordagem de Função Adotada em Livros Didáticos de Matemática da Educação Básica. 2007 95 f. Dissertação (Mestrado Profissional
em Ensino de Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, São Paulo, 2007. VALENTE, J. A. (Org.) Computadores e conhecimento: repensando a educação. 2ª Edição. Campinas, São Paulo: UNICAMP/NIED, 1998. 501 p.
185
BIBLIOGRAFIA
AABOE, A. Episódios da História Antiga da Matemática. Tradução João
Pitombeira de Carvalho. Rio de Janeiro: SBM, 1984. ALMOULOUD, S. Ag. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed.
UFPR, 2007. 218 p. ÁVILA, G. S. de S. Várias faces da Matemática: tópicos para licenciatura e
leitura geral. 2ª Edição revista. São Paulo: Blucher, 2010. 203 p. BALLEJO, C. C. O uso de software no ensino de funções polinomiais no ensino médio, 2009. 58 f. Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em Matemática), Departamento de Matemática Pura e Aplicada do Instituto Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2009. BARDI, J. S. A guerra do cálculo. Rio de Janeiro: Record, 2008. 303 p.
BARROS, L. G. X de; KARRER, M. A. Integração de Ambientes Computacionais com os Registros de Representações Semióticas nos Processos de Ensino e Aprendizagem de Matemática. Revista Seleção Documental. Nº 23. 2011.
BARUFI, M. C.; LAURO, M. M. Funções elementares, equações e inequações: uma abordagem utilizando microcomputador. São Paulo: CAEM –
IME/USP, 2000. 121 p. BOOTH, C. W.; COLOMB, G. G.; WILLIAMS, J. M. A arte da pesquisa. 2ª
Edição, São Paulo: Martins Fontes, 2005. 351 p. BRAGA, Ciro. Função: a alma do ensino da matemática. São Paulo:
Annablume, Fapesp, 2006. 174 p. BRAGA, Ciro. O processo inicial de disciplinarização de função na Matemática do ensino secundário brasileiro, 2003. 161 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2003.
186
DARIO, F.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos. 3ª Edição revisada. Campinas, São Paulo: Autores Associados, 2009. 226 p. DUVAL, R. Semiósis e Pensamento Humano: Registros semióticos e aprendizagens intelectuais. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. 110 p. GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. 2ª Edição revisada. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007. 240 p. LINTZ, R. G. História da Matemática, V. I, Blumenau, Santa Catarina: Ed. da FURB, 1999. 521 p. ______. História da Matemática, V. II, 2ª edição revista. Campinas, São Paulo: UNICAMP, 2012. 619 p. REIS, A. M. Uma proposta dinâmica para o ensino de função afim a partir de erros dos alunos no primeiro ano do ensino médio, 2011. 171 f.
Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2011. SANTAELLA, L. O que é semiótica. São Paulo: Brasiliense, 2012. 131 p. SILVA, B. A. da; et al. Atividades para o estudo de funções em ambiente computacional. São Paulo: Iglu, 2002. 122 p.
187
ANEXOS
ANEXO A – MODELO DO TERMO DE RESPONSABILIDADE DA
INSTITUIÇÃO LOCAL DA PESQUISA.
Eu, Professor **************, diretor da Escola Estadual *********************,
declaro para os devidos fins, ter conhecimento da pesquisa: “Um Experimento
Apoiado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas Sobre o
Ensino de Função Linear Afim Em Um Ambiente Computacional”, de
responsabilidade do Mestrando CRISTIANO SOUZA RAMOS aluno da Universidade
Anhanguera de São Paulo – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática,
sob a orientação do Professor Dr LUIZ GONZAGA XAVIER DE BARROS. Autorizo
sua realização com alunos da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental.
Assinando esta autorização, estou ciente de que os alunos estarão
respondendo os seguintes instrumentos: “TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E
ESCLARECIDO”, “AUTORIZAÇÃO DO USO DE IMAGENS”, “QUESTIONÁRIO
SÓCIO-ECONOMICO”, “ATIVIDADES RELACIONADAS AO OJBETO
MATEMÁTICO FUNÇÃO LINEAR AFIM”.
São Paulo, 19 de novembro de 2013.
_____________________________________________
188
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ANEXO B – TERMO DE ESCLARECIMENTO DO PROJETO E PESQUISA.
TERMO DE ESCLARECIMENTO DO PROJETO E PESQUISA
Título do Projeto: “Um Experimento Apoiado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas Sobre o Ensino de Função Linear Afim Em Um Ambiente Computacional”
Pesquisador Responsável: Cristiano Souza Ramos RA 121.657.159 CPF 130.016.848-01 Rua Canário, 140 – Diadema – SP – CEP 09931-470 Telefone: (11) 4091-0759
Instituição a que pertence o Pesquisador Responsável: Universidade Anhanguera de São Paulo
Telefones para contato: (11) 2967-9000 - (11) 2967-9110
O sr.(a) aluno(a) está sendo convidado(a) a participar desta pesquisa
que tem como objetivo principal investigar o processo de ensino aprendizagem
do conceito de função linear afim aos alunos da 8ª Série/9º Ano do Ensino
Fundamental mediado pelo ambiente computacional denominado Geogebra.
Os dados do projeto serão obtidos por meio de entrevistas em duplas e
individuais, nas quais o sr(a) aluno(a), como participantes desta pesquisa
resolverão atividades matemáticas. O material coletado durante o projeto, as
atividades realizadas, as transcrições e os registros escritos serão de uso
exclusivo do grupo de pesquisa, e servirão como base para procurar entender
melhor a relação entre os processos de ensino e aprendizagens do objeto
matemático em estudo.
A participação nesta pesquisa é voluntária, sendo garantida ao sr(a)
aluno(a) a liberdade de se recusar a participar e ainda se recusar a continuar
participando em qualquer fase da pesquisa, sem qualquer prejuízo para o sr(a)
aluno(a).
189
Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da
Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução nº196/96 do
Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos usados oferece
riscos à sua dignidade e integridade física.
Todas as informações coletadas neste estudo são estritamente
confidenciais. Somente o(a) pesquisador(a) e o(a) orientador(a) terão
conhecimento dos dados, para fins específicos do estudo e divulgação na
literatura científica especializada. Os dados pessoais do sr(a) aluno(a) sob a
responsabilidade do pesquisador serão mantidos em sigilo.
Os participantes terão seus nomes trocados por pseudônimos
preservando a identidade dos sujeitos. Menção às instituições onde as
entrevistas serão realizadas será feita somente mediante a autorização das
mesmas. O cronograma das entrevistas será organizado de modo que não
prejudique outras atividades escolares, sendo realizadas de acordo com a
disponibilidade dos participantes. Além disso, o conteúdo matemático e as
atividades das entrevistas serão discutidos previamente com os professores
dos participantes, para evitar aplicação de atividades consideradas
inadequadas.
Ao participar desta pesquisa o sr(a) aluno(a) não terá nenhum tipo de
despesa ou benefício direto. Entretanto, esperamos que este estudo nos traga
informações importantes sobre o processo de construção do conhecimento sob
objeto matemático: funções lineares afins, com o auxilio do ambiente
computacional Geogebra, de forma que o conhecimento desenvolvido durante
esta pesquisa possa trazer dados importantes para a área da Educação
Matemática. Finalizada a pesquisa o sr(a) aluno(a) terá acesso aos resultados
globais do estudo.
Os resultados dessa pesquisa poderão ser utilizados pelos
pesquisadores em publicações em periódicos, livros, eventos científicos, cursos
e outras divulgações acadêmico-científicas. A veiculação de imagem dos
sujeitos em divulgações científicas só será realizada com consentimento dos
envolvidos.
Em qualquer etapa do estudo, o sr(a) aluno(a), participante da pesquisa
terá acesso aos responsáveis pela pesquisa. Para eventuais dúvidas ou
esclarecimentos sobre os procedimentos ou a ética da pesquisa entre em
190
contato com o pesquisador responsável Prof. Cristiano Souza Ramos, no
telefone 97387-7253 ou pelo e-mail: chrisrock53@hotmail.com ou com o
orientador Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros na Universidade
Anhanguera de São Paulo – Campus Maria Cândida, sito à Rua Maria
Cândida, 1.813 - São Paulo – SP – CEP: 02071-013, telefones (11) 2967-9000
- (11) 2967-9110.
191
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ANEXO C – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO.
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Eu,_______________________________,RG nº _______________________,
responsável legal por ____________________________________, RG nº
_____________________ declaro estar suficientemente informado a respeito
das informações que li acima, ou que foram lidas para mim, a respeito do
projeto “Um Experimento Apoiado na Teoria dos Registros de
Representações Semióticas Sobre o Ensino de Função Linear Afim Em
Um Ambiente Computacional”. Ficaram claros para mim quais são os
propósitos do estudo, os procedimentos, as garantias de confidencialidade e
autorizo a veiculação dos resultados para os usos mencionados. Está claro
também que minha participação é isenta de qualquer tipo de despesas. Assim
sendo, concordo em participar deste estudo e poderei retirar o meu
consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem
penalidades ou prejuízo para mim e sem prejuízo para a continuidade da
pesquisa em andamento.
São Paulo, _____ de ___________________ de _______
Assinatura do sujeito de pesquisa/representante legal
Assinatura do pesquisador responsável
______________________________
Assinatura da testemunha
______________________________
Assinatura da testemunha
Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e Esclarecido deste sujeito de pesquisa ou representante legal para a participação neste estudo.
Assinatura do responsável pelo estudo Data ____/_____/_____
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