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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

CRISTIANO SOUZA RAMOS

UM EXPERIMENTO APOIADO NA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS SOBRE O ENSINO DE FUNÇÃO

LINEAR AFIM EM UM AMBIENTE COMPUTACIONAL

SÃO PAULO 2014






Dissertação submetida à banca examinadora da Universidade Anhanguera de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros

SÃO PAULO 2014

Ramos, Cristiano Souza

Um experimento apoiado na teoria dos registros de representações semióticas sobre o ensino de função linear afim em um ambiente computacional / Cristiano Souza Ramos. São Paulo: [s.n.] 2014.

206 p. ; il. ; 30 cm. Dissertação (Pós-Graduação) – Universidade

Anhanguera de São Paulo, Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros. Educação matemática. Função linear afim. Registros de representações semióticas. Informática na Educação.




Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE EM

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Anhanguera de São Paulo, à seguinte

banca examinadora:

BANCA EXAMINADORA

_______________________________________________________________

Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros. – (Presidente – Orientador)

_______________________________________________________________

Prof. Dr. Henrique Guzzo Jr. – (1º Titular Externo – USP)

_______________________________________________________________

Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva. – (1º Titular Interno)

SÃO PAULO 2014

Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a

reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de

fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _____________________________________

Local e Data: ____________________________________

Dedico este trabalho ao exército de professores deste país, que diariamente buscam

transpor as dificuldades e os obstáculos que surgem durante o exercício do nosso

ofício.

AGRADECIMENTOS

Imensamente ao Professor Doutor Luiz Gonzaga Xavier de Barros, pela sua

competência, dedicação, incentivo, paciência e às suas orientações, nas quais foram

importantíssimas e fundamentais para que esse trabalho fosse realizado.

Agradeço à Professora Doutora Angélica da Fontoura Garcia Silva e ao

Professor Doutor Henrique Guzzo Jr., por aceitarem participar da banca

examinadora e que contribuíram muito com as sugestões dadas na ocasião da

qualificação, enriquecendo o nosso trabalho e auxiliando para que conseguíssemos

chegar ao seu término.

Agradeço imensamente aos Professores do Programa de Pós-graduação da

Universidade que, se disponibilizaram em compartilhar, não somente durante as

aulas, mas também, em outros momentos, seus enormes conhecimentos e

sabedorias, do mundo da Educação.

Aos colegas de curso que muito contribuíram com sugestões e pesquisas

bem feitas para a apresentação dos seminários que ocorreram durante o curso e

que acabaram ajudando na realização dessa pesquisa.

À minha esposa Fabiana e às minhas filhas, Laura e Ana Clara, pela

compreensão, paciência, apoio e carinho.

À Equipe de Direção e Coordenação da Escola, local na qual realizamos o

nosso experimento, e aos alunos que se prontificaram a participar desta pesquisa.

À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pelo apoio financeiro.

RESUMO

O objetivo desta pesquisa foi investigar o processo de ensino e aprendizagem do

objeto matemático função linear afim. Para isso, nos apoiamos na fundamentação

teórica dada pela Teoria dos Registros de Representações Semióticas desenvolvida

por Raymond Duval (1995, 2000, 2003, 2006, 2011) ao longo de vários livros e

artigos. Como parte do estudo preparatório para esta pesquisa, fizemos leituras de

livros e artigos sobre essa teoria e sua interação com o processo de ensino e

aprendizagem de matemática. Analisamos os materiais didático-pedagógicos: livros

didáticos do Plano Nacional do Livro Didático de 2014, como também o Material de

Apoio ao Currículo da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo (Caderno do

Professor) e das atividades propostas no Caderno do Aluno, com a intenção de se

verificar como o tema função linear afim é abordado sob o ponto de vista dos

registros de representações semióticas. Elaboramos e aplicamos um conjunto de

atividades a um grupo de estudantes da 8ªSérie/9º Ano do Ensino Fundamental de

uma escola pública estadual da cidade de São Paulo. Aplicamos as atividades do

experimento, tanto em um ambiente “Papel & Lápis” como no ambiente

informatizado com a utilização do software “Geogebra”. Após a aplicação e a análise

das produções discentes, colhemos elementos para responder à questão de

pesquisa: “Em que medida a articulação entre registros de representações

semióticas e ambientes computacionais favorece o processo de ensino e

aprendizagem do tópico função linear afim?”.

Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino e Aprendizagem. Função Linear

Afim. Registros de Representações Semióticas. Informática na Educação.

ABSTRACT

The main goal of this research was to investigate the teaching and learning process

of the mathematical object linear map. The theorical fundamentation was given by

the Theory of Registers of Semiotic Representations developed by Raymond Duval

(1995, 2000, 2003, 2006, 2011) in several books and articles. As part of preparatory

study for this research, we did readings of books and articles about the theory and its

interaction with teaching and learning process of mathematics. We analyzed the

didactical-pedagogical materials: didactical books included in the Plano Nacional do

Livro Didático (2014), as also the Material de Apoio ao Currículo da Secretaria de

Educação do Estado de São Paulo (Caderno do Professor) and the activities

proposed in the Caderno do Aluno, with the intention of verifying how the theme

linear map is approached under the viewpoint of the registers of semiotic

representations in these materials. We elaborated and applied a set of activities to a

group of students in the 8th. Serie / 9th. Year of a public Elementary School in São

Paulo City. We applied the experiment activities in a “Paper & Pencil” environment

and in a “Computational” environment using the software “Geogebra”. After the

application and the analysis of the student productions, we had elements to answer

the research question: “How the articulation between registers of semiotic

representations and computational environment easies the process of teaching and

learning of the topic linear map?”

Keywords: Mathematics Education. Teaching and Learning. Linear map.

Registers of Semiotic Representations. Informatics in Education.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Gráfico de uma função ............................................................................. 19

Figura 2 – Exemplo de função linear afim ................................................................. 20

Figura 3 – Exemplo de função constante .................................................................. 21

Figura 4 – Função identidade .................................................................................... 21

Figura 5 – Exemplo de função quadrática ................................................................. 22

Figura 6 – Função exponencial ................................................................................. 23

Figura 7 – Função exponencial ................................................................................. 23

Figura 8 – Função logarítmica ................................................................................... 24

Figura 9 – Função logarítmica ................................................................................... 24

Figura 10 – Função trigonométrica seno ................................................................... 25

Figura 11 – Função trigonométrica cosseno ............................................................. 25

Figura 12 – Raízes de um função de variável real .................................................... 26

Figura 13 – Crescimento de uma função de variável real ......................................... 26

Figura 14 – Decrescimento de uma função de variável real ...................................... 27

Figura 15 – Função linear afim .................................................................................. 28

Figura 16 – Raiz de uma função linear afim – única raiz ........................................... 29

Figura 17 – Raiz de uma função linear afim – não há raiz ........................................ 29

Figura 18 – Raiz de uma função linear afim – infinitas raízes ................................... 29

Figura 19 – Tela inicial .............................................................................................. 39

Figura 20 – Objetos, funções da barra de ferramentas ............................................. 40












Figura 32 – Atividade de Matemática da 8ª Série/9ºAno do EF ................................ 56

Figura 33 – Atividade de Matemática da 8ª Série/9ºAno do EF ................................ 57

Figura 34 – Atividade proposta .................................................................................. 65

Figura 35 – Atividade proposta .................................................................................. 66

Figura 36 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF .......................... 76


Figura 38 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno EF ............................... 78







Figura 45 – Ícone de atividade digital ........................................................................ 87

Figura 46 – Relação de objetos educacionais digitais ............................................... 88

Figura 47 – Introdução ao conceito de função linear afim ......................................... 89

Figura 48 – Exercícios ............................................................................................... 90

Figura 49 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim .................... 90


Figura 51 – Definição da função linear ...................................................................... 92

Figura 52 – Gráfico da função linear ......................................................................... 92

Figura 53 – Definição de função identidade .............................................................. 92


Figura 55 – Introdução a proporcionalidade e função linear...................................... 94

Figura 56 – Introdução a proporcionalidade e função linear...................................... 94




Figura 60 – Conteúdo digital ..................................................................................... 98

Figura 61 – Introdução ao conceito de função linear afim ......................................... 99

Figura 62 – Exercícios ............................................................................................. 100


Figura 64 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim .................. 101

Figura 65 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim .................. 101

Figura 66 – Definição de função linear .................................................................... 102







Figura 73 – Atividades propostas com a utilização de software .............................. 107

Figura 74 – Atividades propostas com a utilização de software .............................. 108

Figura 75 – Introdução ao conceito de função linear afim ....................................... 108

Figura 76 – Introdução a representação gráfica ...................................................... 110



Figura 79 – Situação contextualizada do Bloco I de atividades – “Papel & Lápis”. . 122

Figura 80 – Atividade I, Bloco I – “Papel & Lápis”. .................................................. 123

Figura 81 – Atividade II, Bloco I – “Papel & Lápis”. ................................................. 124

Figura 82– Atividade III, Bloco I – “Papel & Lápis”. ................................................. 125

Figura 83 – Atividade IV, Bloco I – “Papel & Lápis”. ................................................ 125

Figura 84 – Situação contextualizada do Bloco I de atividades – “Geogebra”. ....... 126

Figura 85 – Interação do aluno com a atividade informatizada ............................... 127


Figura 87 – Atividade I, Bloco I – “Geogebra”. ........................................................ 128

Figura 88 – Atividade II, Bloco I – “Geogebra”. ....................................................... 129

Figura 89 – Atividade III, Bloco I – “Geogebra”. ...................................................... 130

Figura 90 – Atividade IV, Bloco I – “Geogebra”. ...................................................... 130

Figura 91 – Situação contextualizada do Bloco II de atividades – “Papel & Lápis”. 131

Figura 92 – Atividade I, Bloco II – “Papel & Lápis”. ................................................. 132

Figura 93 – Atividade II, Bloco II – “Papel & Lápis”. ................................................ 133

Figura 94 – Atividade III, Bloco II – “Papel & Lápis”. ............................................... 134

Figura 95 – Atividade IV, Bloco II – “Papel & Lápis”. ............................................... 134

Figura 96 – Situação contextualizada do Bloco II de atividades – “Geogebra”. ...... 135



Figura 99 – Atividade I, Bloco II – “Geogebra”. ....................................................... 137

Figura 100 – Atividade II, Bloco II – “Geogebra”. .................................................... 138

Figura 101 – Atividade III, Bloco II – “Geogebra”. ................................................... 139

Figura 102 – Atividade IV, Bloco II – “Geogebra”. ................................................... 139

Figura 103 – Resultados do questionário socioeconômico ..................................... 142





Figura 108 – Resultados Atividade I, Bloco I – “Papel & Lápis”. ............................. 148

Figura 109 – Resultados Atividade II, Bloco I – “Papel & Lápis”. ............................ 149

Figura 110 – Resultados Atividade III, Bloco I – “Papel & Lápis”. ........................... 150

Figura 111 – Resultados Atividade IV, Bloco I – “Papel & Lápis”. ........................... 151

Figura 112 – Resultados Atividade I, Bloco II – “Papel & Lápis”. ............................ 151

Figura 113 – Resultados Atividade II, Bloco II – “Papel & Lápis”. ........................... 152

Figura 114 – Resultados Atividade III, Bloco II – “Papel & Lápis”. .......................... 153

Figura 115 – Resultados Atividade IV, Bloco II – “Papel & Lápis”. .......................... 154

Figura 116 – Resultados Atividade I, Bloco I – “Geogebra”. .................................... 155

Figura 117 – Resultados Atividade II, Bloco I – “Geogebra”. ................................... 156

Figura 118 – Resultados Atividade III, Bloco I – “Geogebra”. .................................. 157

Figura 119 – Resultados Atividade IV, Bloco I – “Geogebra”. ................................. 157

Figura 120 – Resultados Atividade I, Bloco II – “Geogebra”. ................................... 158

Figura 121 – Resultados Atividade II, Bloco II – “Geogebra”. .................................. 159

Figura 122 – Resultados Atividade III, Bloco II – “Geogebra”. ................................. 160

Figura 123 – Resultados Atividade IV, Bloco II – “Geogebra”. ................................ 161

Figura 124 – Evolução das Atividades Bloco I – “Papel &Lápis” ............................. 162

Figura 125 – Evolução das Atividades Bloco II – “Papel &Lápis” ............................ 163

Figura 126 – Protocolo do aluno nº5 ....................................................................... 164

Figura 127 – Protocolo do aluno nº14 ..................................................................... 164









Figura 136 – Evolução das Atividades Bloco I – “Geogebra” .................................. 168

Figura 137 – Evolução das Atividades Bloco II – “Geogebra” ................................. 168












Figura 149 – Desempenho da Turma “A” ................................................................ 175

Figura 150 – Desempenho da Turma “B” ................................................................ 175

Figura 151 – Desempenho das Turmas “A” e “B” .................................................... 176

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Dificuldades dos alunos em relação ao conceito de função ..................... 2

Quadro 2 – Tipos de representação .......................................................................... 48

Quadro 3 – Variáveis visuais ..................................................................................... 52




Quadro 7 – Diferentes registros do objeto matemático “função linear afim” .............. 55

Quadro 8 – Concepções algébricas no ensino fundamental ..................................... 60

Quadro 9 – Conteúdos de Matemática ...................................................................... 70

Quadro 10 – Habilidades de Matemática .................................................................. 71





Quadro 15 – Conteúdos de Matemática da 8ª Série/9º Ano do EF ........................... 75

Quadro 16 – Conteúdos de Matemática da 1ª Série do EM ...................................... 75

Quadro 17 – Distribuição do questionário socioeconômico. .................................... 121

Quadro 18 – Distribuição e composição dos blocos de atividades. ......................... 121

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – RRS no Caderno do Aluno da 8ª Série/9º Ano do EF ............................. 57

Tabela 2 – Tipo de transformação – Caderno do Aluno 8ªSérie/9ºAno do EF .......... 84

Tabela 3 – Sentido da conversão – Caderno do Aluno 8ªSérie/9ºAno do EF ........... 84

Tabela 4 – Sentido da conversão de registros – Livro 1 ........................................... 97

Tabela 5 – Sentido da conversão de registros – Livro 2 ......................................... 106

Tabela 6 – Sentido da conversão de registros – Livro 3 ......................................... 113

Tabela 7 – Critérios de análise, atividades Papel & Lápis, Bloco I e II. ................... 146

Tabela 8 – Critérios de análise, atividades Geogebra, Bloco I e II. ......................... 147

Tabela 9 – Desempenho das Turmas “A” e “B” ....................................................... 174

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1

CAPÍTULO 1 - FUNÇÃO LINEAR AFIM ..................................................................... 7

1.1 A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO ............................................................... 7

1.2 O CONCEITO MODERNO DE FUNÇÃO .................................................................... 18

1.2.1 Definição de função................................................................................................ 18

1.2.2 Função de variável real a valores reais .................................................................. 19

1.2.3 Gráfico da função de variável real .......................................................................... 19

1.2.4 Exemplos de funções de variável real .................................................................... 20

1.2.5 Raiz de uma função de variável real ...................................................................... 26

1.2.6 Crescimento e decrescimento de uma função de variável real ............................... 26

1.2.7 As funções lineares afins........................................................................................ 27

CAPÍTULO 2 - INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................... 30

2.1 INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA........................................................... 30

2.2 REVISÃO DE LITERATURA ....................................................................................... 34

2.3 O AMBIENTE COMPUTACIONAL GEOGEBRA ......................................................... 37

CAPÍTULO 3 - REFERENCIAL TEÓRICO ............................................................... 45

3.1 A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS ..................... 45

3.1.1 A noção de registros de representações semióticas............................................... 47

3.1.2 Os diferentes tipos de registros .............................................................................. 48

3.1.3 Congruência e não congruência de conversões ..................................................... 49

3.1.4 Unidades de sentido............................................................................................... 50

3.2 FUNÇÃO LINEAR AFIM E REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS ..... 51

CAPÍTULO 4 - AS ORIENTAÇÕES SOBRE A ABORDAGEM DO TEMA FUNÇÕES NOS DOCUMENTOS OFICIAIS FEDERAIS E DO ESTADO DE SÃO PAULO ...... 58

4.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN) ............................................... 58

4.1.1 Objetivos da Matemática ........................................................................................ 61

4.1.2 Conteúdos propostos para o ensino de Matemática ............................................... 61

4.1.3 Conceitos e procedimentos .................................................................................... 62

4.1.4 Critérios de avaliação ............................................................................................. 62

4.1.5 Orientações Didáticas ............................................................................................ 63

4.2 CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO ............................................................. 67

4.2.1 Organização dos conteúdos básicos ...................................................................... 67

4.2.2 O processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos básicos ................................ 68

CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DE MATERIAIS DIDÁTICOS ........................................... 74

5.1 MATERIAL DA SEESP: CADERNOS DO PROFESSOR E DOS ALUNOS ................ 74

5.2 MATERIAL DO PNLD 2014: LIVROS DIDÁTICOS ..................................................... 85

5.2.1 Livro didático 1 ....................................................................................................... 87

5.2.2 Livro didático 2 ....................................................................................................... 98

5.2.3 Livro didático 3 ..................................................................................................... 107

CAPÍTULO 6 - METODOLOGIA ............................................................................. 114

6.1 ENGENHARIA DIDÁTICA ........................................................................................ 114

6.1.1 Características gerais da metodologia da engenharia didática ............................. 115

6.1.2 Fases da metodologia da Engenharia Didática .................................................... 116

6.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .................................................................. 119

6.2.1 Local da pesquisa ................................................................................................ 119

6.2.2 Sujeitos ................................................................................................................ 120

6.2.3 Instrumentos de pesquisa – Análise a priori ......................................................... 121

6.2.4 O experimento...................................................................................................... 140

CAPÍTULO 7 - ANÁLISES DAS PRODUÇÕES DISCENTES ................................ 141

7.1 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SOCIOECONÔMICO.............................................. 141

7.1.1 Análise das respostas sobre a utilização do computador ..................................... 141

7.2 ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES .......................................................... 145

7.2.1 Análise das Atividades no Ambiente “Papel & Lápis” ........................................... 148

7.2.2 Análise das Atividades no Ambiente “Geogebra” ................................................. 154

7.3 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ENTRE AS ATIVIDADES ............................... 162

7.3.1 Bloco I versus Bloco II no Ambiente “Papel & Lápis” ............................................ 162

7.3.2 Bloco I versus Bloco II no Ambiente “Geogebra” .................................................. 167

7.3.3 Comparação do desempenho: TURMA “A” versus TURMA “B”............................ 174

CAPÍTULO 8 – CONCLUSÕES .............................................................................. 177

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 182

BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 185

ANEXOS ................................................................................................................. 187

1

INTRODUÇÃO

Exerço a profissão de professor efetivo na rede estadual de ensino de São

Paulo há aproximadamente dez anos. Durante esse tempo lecionando, presenciei

algumas discussões, debates e questionamentos que me despertaram enorme

interesse aliado a uma grande preocupação acerca do conteúdo escolar abordado

nas escolas nas quais lecionei. Algumas dessas discussões foram levantadas sob o

ponto de vista da aplicabilidade dos conteúdos matemáticos, dentre eles, o tema

funções. Surgiram questões como: “Os conteúdos matemáticos trabalhados em sala

de aula são realmente úteis aos nossos alunos fora da escola?” ou “O aluno

consegue perceber a conexão do tema funções com a sua praticidade no

cotidiano?”.

Juntamente com essas discussões, pude perceber diariamente no ambiente

escolar, questionamentos dos próprios alunos, em relação do “por que aprender

certos conteúdos matemáticos, por que aprender funções?”. A experiência que

adquiri em sala de aula, me fez perceber que esses questionamentos dos alunos

sobre o conceito de funções poderiam estar relacionados às dificuldades de

percepção em relação a uma das principais características do conceito de função, a

dependência entre grandezas variáveis.

Outro fato que me chamou a atenção e que evidencia as dificuldades dos

alunos em relação ao conceito de função foram os resultados trazidos pelos

relatórios do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo

(SARESP) dos anos de 2009, 2010 e 2011. Os relatórios dessas avaliações

mostram que os alunos têm dificuldades em representar algebricamente uma

função, dado um problema contextualizado; analisar gráficos de funções com o

objetivo de determinar a lei algébrica referente aos gráficos; determinar a variável

dependente, entre outras. No Quadro 1, destacamos a análise pedagógica das

questões da prova do SARESP 2009. Em resumo, são destacados os pontos em

que possivelmente ocorrem as maiores dificuldades dos alunos em relação ao

conceito de função.

2

Quadro 1 – Dificuldades dos alunos em relação ao conceito de função Fonte: RELATÓRIO SARESP (2009, p. 218, 219 e 220)

3

O conceito de função surge da necessidade de representar a dependência

entre grandezas variáveis. Grandes nomes das Ciências, como Isaac Newton e

Galileu Galilei, procuraram observar a natureza e, a partir dessas observações,

chegaram a conclusões que certos fenômenos da natureza podem ser

representados por meio de modelos algébricos (equações, funções, fórmulas), como

exemplifica Chaves e Carvalho (2004):

Para descrever fenômenos da natureza através da matemática, Galileu Galilei (1564–1642) utilizou grandezas físicas que se inter-relacionavam como uma maneira de modelar funções, de forma a ter uma variável que dependia da outra. Diferentemente de seus contemporâneos, seu interesse não era descobrir a causa desses fenômenos, mas descrevê-los algebricamente para que, de posse das condições iniciais, pudesse prever o comportamento de determinados acontecimentos mediante as equações. (Boyer, 1996 apud Chaves e Carvalho, 2004, p. 3).

Hoje em dia, o ensino de funções é de extrema importância para os alunos

sejam do ensino básico como do nível superior. No ensino básico, por exemplo, os

Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e para o Ensino

Médio, destacam a importância do ensino do conceito de função para

compreendermos a conexão também com outras áreas do conhecimento. Segundo

os PCN:

O conceito de função desempenha papel importante para descrever e estudar por meio da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de fenômenos do cotidiano como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. (BRASIL, 1999, p. 255).

Dentro do assunto sobre funções, o tema função linear afim ocupa um

espaço importante por tratar de proporcionalidades e de problemas de natureza

linear. Estudar como se dá o processo de ensino e aprendizagem desse tema foi,

assim, escolhido como a proposta geral desta pesquisa.

A Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval

(1995, 2000, 2003, 2006, 2011) se aplica de maneira natural às diversas

4

representações de funções, sendo assim, optamos por eleger essa teoria como

suporte teórico para o experimento que desenvolvemos em nossa pesquisa.

Com a incorporação das tecnologias de informação e comunicação (TIC),

aos processos da Educação, a representação de funções ganhou um aspecto

dinâmico e interativo, que pode favorecer os processos de ensino e de

aprendizagem de Matemática. Dessa forma, além do ambiente “Papel & Lápis”,

decidimos também realizar a pesquisa num ambiente computacional dinâmico.

Optamos pelo software denominado “Geogebra”, porque ele, além de ser livre e ter

uma versão na língua portuguesa, é de fácil manipulação.

Elaboramos uma sequência de atividades sobre o tema função linear afim,

aplicamos a um grupo de alunos e, posteriormente, analisamos as produções

discentes. Com isso, colhemos elementos para responder à questão: “Em que

medida a articulação entre registros de representações semióticas e ambientes

computacionais favorecem os processos de ensino e de aprendizagem do

tópico função linear afim?”.

A estrutura desta dissertação segue a seguinte distribuição:

O Capítulo 1 está dividido em duas sessões, sendo a primeira uma

descrição de alguns aspectos históricos que influenciaram o desenvolvimento

conceitual de função, de uma forma geral e também em relação à sua forma de

notação. Na segunda sessão, apresentamos as propriedades matemáticas que

caracterizam o conceito moderno de função, apresentamos alguns exemplos de

funções e finalizamos o capítulo com a descrição da função linear afim, objeto

matemático do nosso estudo.

No Capítulo 2, em sessões separadas, abordamos as características de

dinamismo e interatividade, presentes atualmente nos softwares voltados à

Educação Matemática. Em seguida, discutimos sobre as pesquisas realizadas no

meio acadêmico e que tiveram como foco de estudo o ensino de função com a

utilização da informática. Para finalizar o capítulo 2, fizemos uma breve

apresentação do software Geogebra, ferramenta que utilizamos em nossa pesquisa.

Falamos um pouco sobre suas características e algumas de suas funções.

No Capítulo 3, na primeira sessão trazemos a “Teoria dos Registros de

Representações Semióticas”, de Raymond Duval, referencial teórico que norteia a

5

nossa pesquisa. Discutimos sobre algumas características essenciais próprias da

teoria, como os diferentes tipos de registros, suas transformações de tratamento e

conversão de registros, a congruência e não-congruência durante a conversão de

registros e as unidades de sentido. Na segunda sessão, procuramos relacionar a

Teoria dos Registros de Representações Semióticas, com o objeto matemático do

nosso estudo: função linear afim. Exibimos algumas representações da função linear

afim em diferentes tipos de registros. Finalizamos o capítulo 3, apresentando duas

atividades presentes no Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo,

analisamos essas duas atividades sob os princípios do referencial teórico.

O Capítulo 4 apresenta uma análise realizada nos documentos oficiais:

federal e estadual. Na primeira sessão, esta analise ocorreu sobre os Parâmetros

Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental e na sessão seguinte a análise foi

realizada no Currículo do Estado de São Paulo. O objetivo desta análise foi verificar

a organização dos tópicos de estudo relacionados ao tema funções e as orientações

sugeridas por esses documentos para o desenvolvimento do conteúdo em sala de

aula.

No Capítulo 5, em duas sessões, são apresentadas as análises de materiais

didático-pedagógicos com base nos princípios da Teoria dos Registros de

Representação Semiótica. Na primeira sessão, descrevemos as atividades

propostas sobre o tema função linear afim nos Cadernos dos Alunos da 8ªSérie/9º

Ano do Ensino Fundamental – Volume 2, sendo esse material orientado e

direcionado pelo Caderno do Professor, ambos integrantes do material de apoio ao

Currículo do Estado de São Paulo. Na segunda sessão, descrevemos a análise com

o mesmo foco, feita em três livros didáticos pertencentes ao Programa Nacional do

Livro Didático para o ano de 2014.

No Capítulo 6, a primeira sessão trata dos princípios metodológicos que

orientaram o nosso trabalho: a “Engenharia Didática”, de Michele Artigue.

Discursamos sobre suas principais características como metodologia de pesquisa,

suas fases de planejamento, execução e análise. Na segunda sessão, que trata dos

procedimentos metodológicos, descrevemos as características da instituição de

ensino, no qual, aplicamos a nossa pesquisa, bem como os sujeitos pesquisados.

Fizemos uma descrição dos instrumentos de pesquisa, explicitando os objetivos de

investigação para cada atividade, análise a priori.

6

O Capítulo 7 trata das análises das produções discentes, divididas em duas

sessões. Na primeira sessão, apresentamos os resultados obtidos com a aplicação

de um questionário socioeconômico, no qual investigamos alguns aspectos

relacionados ao uso do computador pelos alunos sujeitos desta pesquisa. Na sessão

seguinte, análise a posteriori, apresentamos os resultados obtidos com a aplicação

dos instrumentos de investigação no formato de atividades sobre o conteúdo

matemático função linear afim, aplicados a um grupo de trinta alunos, divididos em

duas turmas. Ainda, nesta sessão avaliamos a evolução apresentada pelos

estudantes, por meio de uma análise que procurou comparar os seus desempenhos

em cada bloco de atividades. Para finalizar, apresentamos uma análise comparativa

de desempenho entre as duas turmas de alunos pesquisadas.

No Capítulo 8, último capítulo desta pesquisa, apresentamos nossas

conclusões a respeito dos resultados obtidos e sugerimos algumas possibilidades de

pesquisas, que poderão dar continuidade ao estudo iniciado neste trabalho.

7

CAPÍTULO 1 - FUNÇÃO LINEAR AFIM

Neste capítulo queremos realçar as propriedades que caracterizam uma

função linear afim.

Começaremos, entretanto, apresentando primeiramente alguns aspectos

históricos que marcaram o desenvolvimento do conceito de função de uma forma

geral e sobre a evolução da sua forma de notação. O presente material foi obtido

nas seguintes fontes: Roque (2012), Berlingoff e Gouvea (2008), Garbi (2007), Eves

(2002), Boyer (1996) e Aaboe (1984).

1.1 A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO

Hoje quando inserimos o tema funções aos nossos alunos durante as aulas

de Matemática, procuramos apresentar as suas diversas concepções, tais como:

variáveis, variação, interdependência, grandezas variáveis, correspondência entre

valores numéricos, regularidades.

Atualmente representamos uma função por meio de tabelas, fórmulas,

gráficos ou de forma descritiva. Neste mesmo contexto escolar, a notação que mais

utilizamos no processo de ensino, presentes também em materiais didáticos, para se

trabalhar de forma simbólica são as notações: x, para a variável independente e y ou

f(x), para a variável dependente.

O conceito de função foi sendo construído durante vários séculos da História

da Humanidade e da Matemática. Portanto, não podemos afirmar que chegamos ao

final do seu desenvolvimento e tão menos em sua forma definitiva de notação.

Afirma-se algumas vezes que a noção de função teve sua origem na

matemática antiga. Segundo Roque (2012 p.369), tabelas babilônicas e egípcias já

continham registros que demonstravam de alguma forma a ideia de correspondência

entre um número e o resultado das operações que envolviam esse número. Muitas

das tábuas matemáticas desse período são tabelas para ajudar nos cálculos ou

coleções de problemas para o treinamento de jovens escribas. Algumas tábuas de

problemas contêm respostas ou mesmo soluções completas, mas há pouco que

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explique o processo de descoberta por trás dos métodos que estão sendo ensinados

ou apresentados. Roque (2012 p. 369) destaca que, nesse momento, ainda não

estava presente a ideia de variação.

Segundo Eves (2002 p. 91), a Grécia Helênica, período da Grécia Antiga

que vai de 800 a 336 a.C., foi berço dos maiores cientistas do mundo antigo.

Apresentou um progresso intelectual e científico surpreendente tanto em Matemática

como em outros campos. Pela primeira vez foram formuladas questões sobre

eventos relacionados à Matemática, como “Por que os ângulos da base de um

triângulo isósceles são iguais?” ou “Por que o diâmetro de um círculo divide esse

círculo ao meio?”, (EVES, 2002, p. 94).

Foi nesse período que se assistiu pela primeira vez ao emprego da

demonstração, do raciocínio dedutivo lógico matemático, por meio de Tales de

Mileto , Pitágoras de Samos, Aristóteles, entre outros.

A forma dominante da matemática grega era a Geometria, embora os gregos

também tenham estudado as propriedades dos números inteiros, a teoria das

razões, Astronomia e Mecânica, com estes dois últimos temas sendo também

tratados em estilo geométrico. (BERLINGOFF e GOUVEA, 2008, p.14).

Nesse contexto, ainda não havia se desenvolvido o conceito funcional ou de

variação. Continuava sim, apenas uma relação de correspondência entre grandezas.

Na Astronomia, por exemplo, Claudius Ptolomeu, em sua obra mais famosa

“Sintaxe”, conhecida também pelo nome de “Almagesto”, que significa “o maior”,

apresentava soluções de problemas astronômicos por meio de relações

trigonométricas, tabuladas por meio do uso de interpolação linear ou por meio de

limites de proporções de duas quantidades infinitamente pequenas.

A Álgebra grega antiga até o período de Diofanto de Alexandria baseou-se

praticamente em uma Álgebra retórica, no qual os argumentos da resolução de um

problema eram escritos em prosa e que a solução dos problemas era descrita

unicamente por meio de palavras, sem abreviações ou símbolos específicos.

Segundo Eves (2002 p.209), uma das principais contribuições de Diofanto à

Matemática, contida em sua obra Aritmética, foi a criação de uma simbologia

algébrica, abreviações para a incógnita, potências da incógnita até o expoente seis,

somas, subtrações, igualdade e inversos.

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Durante todo o período de desenvolvimento da Matemática pelos grandes

mestres da Grécia, os conhecimentos acumulados não foram suficientes para o

desenvolvimento do conceito de variável, nem da abstração das relações de

dependência, não existindo dessa forma, uma ideia mais geral do conceito de

função.

Durante a Baixa Idade Média, período que vai da queda do Império Romano

na metade do século V até o século XI, a produção científica desaparece quase que

por completamente e pouca coisa pôde se observar no desenvolvimento da

Matemática. Somente a partir do final do século XI e início do século XII, começam a

entrar na Europa, traduções para o latim de antigas obras gregas, realizadas pelos

árabes, entre elas o Almagesto de Ptolomeu, os Elementos de Euclides e a Álgebra

de Al-Khowârizmî.

Nos primeiros tempos dos séculos XIII e XIV, começam a surgir na Europa

as primeiras universidades: Bolona, Oxford, Paris, proporcionando grandes

atividades matemáticas, devido ao intenso intercâmbio entre elas. Nesse período, a

natureza do movimento dos objetos, a Cinemática, desperta grande interesse nos

cientistas da época.

O século XIV foi marcado pela Peste Negra e pela Guerra dos Cem anos, as

quais devastaram mais de um terço da população da Europa. Nesse período,

segundo Boyer (1996 pág. 180), o desenvolvimento do conceito de função teve

como protagonista, entre outros, o bispo parisiense de Liseux, Nicole Oresme (1323

– 1382). Em sua obra Proportionibus Proportomum, escrita por volta de 1360,

Oresme generalizou a teoria das proporções. Segundo Roque (2012, p. 287),

Oresme trabalhou em um método gráfico para representar quantidades variáveis.

Vemos aqui, uma sugestão antiga daquilo que agora chamamos representação

gráfica de funções, antecipando alguns aspectos da Geometria Analítica. Para isso,

ele traçou um gráfico da velocidade em relação ao tempo para um corpo que se

move com aceleração constante. Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos

representando instantes de tempo, ou longitudes, e para cada instante ele traçou

perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta, a latitude, cujo

comprimento representava a velocidade. Os termos latitude e longitude, introduzidos

por Oresme, são equivalentes num sentido amplo aos termos abcissas e ordenadas

que são atualmente utilizadas.

10

A atividade matemática no século XV centrou-se grandemente nas cidades

italianas e focou-se em torno da Aritmética, Álgebra e Trigonometria.

Regiomontanus (1436 – 1476), um dos grandes representantes desse período,

completou a tradução do grego para o latim do Almagesto, traduziu do grego para o

latim trabalhos de Apolônio, Hierão e Arquimedes. Em sua obra “De triangulis

omnimodis”, trabalho dedicado à trigonometria plana e esférica, ele aplica a álgebra

em métodos de resolução de problemas, e, segundo Garbi (2007 p. 446), ao invés

de referir-se à uma incógnita e ao seu quadrado usando a retórica, ele empregava

dois símbolos simples, o primeiro deles muito parecido com a letra xis minúscula

escrita à mão. Além disso, ele utilizava um traço horizontal “ ” para

representar a igualdade, abandonando a costumeira palavra “aequalis”.

“Não pode haver duas coisas mais iguais”, com essas palavras Robert

Recorde (1510-1558), autor inglês de textos escolares, introduziu pela primeira vez o

moderno símbolo de igualdade “=”, Garbi (2007, p. 448).

O matemático de maior prestígio da França no século XVI foi François Viète.

Sua vasta obra compreende trabalhos sobre Trigonometria, Álgebra e Geometria.

Em seu mais famoso trabalho, “In Artem”, no qual desenvolveu um simbolismo

algébrico, ele introduziu a prática de se usar vogais para representar incógnitas e

consoantes para representar as constantes. Antes do modelo proposto por Viète,

era comum utilizar letras ou símbolos diferentes para representar uma potência. Um

exemplo do resultado da contribuição de Viète na padronização das notações foi a

transformação de A, A quadratum, A cubum em X, X², X³. Atualmente utilizamos as

letras x, y e z do alfabeto para indicar as incógnitas e as letras a, b e c, as

constantes. Esta convenção foi introduzida por Descartes em 1637.

O século XVII, denominado como o século da Revolução Científica, é

associado pelos historiadores à expansão da ciência experimental e à

“matematização” da natureza. Um dos maiores representantes desse período foi

Galileu Galilei (1564 – 1642) nascido em Pisa. Suas contribuições vão da

Astronomia à Matemática. Galileu em seus estudos científicos ocupou-se em

observar e descrever fenômenos naturais, e por meio dessas observações, traduzi-

las em linguagem matemática. Galileu estudou também a Cinemática e lançou os

fundamentos da Dinâmica em geral, fundando a Mecânica dos corpos em queda

livre. Segundo Eves, (2002, p. 354) é sua a afirmação de que “A distância percorrida

11

por um corpo em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo

levado para o corpo percorrer esta distância”.

Vemos aqui, um componente fundamental no conceito de função: a

dependência entre as grandezas variáveis: o espaço e o tempo.

Conforme Roque (2012, p. 308), é importante observar que nesse tipo de

estudo do movimento, não importava saber por que um corpo cai, mas como ele cai,

e essa descrição era puramente geométrica. Ou seja, na queda livre, era preciso

saber como as grandezas variavam umas em relação às outras, e a resposta a essa

pergunta implicou na utilização de proporções matemáticas para relacionar as

grandezas. As leis naturais eram escritas em linguagem matemática, mas essa

linguagem era geométrica, sintética, de tipo euclidiano, e não envolvia as fórmulas

algébricas que conhecemos hoje.

O filósofo e matemático francês René Descartes (1596 – 1650), em sua obra

“Discurso do Método”, baseou-se na razão para dar fundamentos à certeza

científica, criando o método científico. Descartes também foi um dos criadores da

chamada Geometria Analítica, sendo esse, um novo método para enfrentar

problemas geométricos. A ideia era que, quando aplicada ao plano, consistia em

estabelecer uma correspondência entre pontos do plano e pares ordenados de

números reais. Ela foi sugerida em problemas de navegação que levaram a adaptar

o sistema às coordenadas geométricas. Mas as coordenadas existiam para resolver

problemas geométricos da antiguidade por meio da álgebra da época. Para

Descartes, uma equação de duas variáveis poderia ser representada

geometricamente por uma curva, e isso indicava uma dependência entre valores

variáveis. Outra contribuição de Descartes foi considerar como função qualquer

potência de x, isto é, f(x) = xn.

Segundo Eves (2002, p. 389), simultaneamente aos trabalhos de Descartes

para a formulação das bases da Geometria Analítica, o advogado e, matemático

francês, Pierre Fermat, também se ocupava desse assunto. Ele trabalhou também

na criação nas bases da Geometria Analítica e propôs refazer a obra “Lugares

Planos” do matemático grego Apolônio. A descrição da Geometria Analítica feita por

Fermat era muito mais sistemática e didática do que a de Descartes.

As ideias de Fermat e Descartes, juntas, permitiram a criação do plano

12

cartesiano. Ele consiste de dois eixos perpendiculares entre si. Nesse plano, temos

o eixo horizontal sendo o eixo das abscissas, e o eixo vertical, o eixo das ordenadas.

Ao se cortarem, os dois eixos determinam quatro regiões conhecidas como

quadrantes e o ponto de intersecção desses dois eixos é denominado a origem do

sistema. Esses quadrantes são enumerados no sentido anti-horário, começando

pelo quadrante onde tanto as abscissas como as ordenadas são simultaneamente

positivas. Para indicar as coordenadas de um ponto no plano utiliza-se o par

ordenado de números (x,y).

Vimos assim que o conceito de função atravessou vários séculos até vir a ter

uma definição sistemática no século XVII. Podemos atribuir essa evolução do

conceito de função, em grande parte, aos processos extremamente produtivos da

Matemática nesse período, à Revolução Científica e ao desenvolvimento da

Geometria Analítica.

Segundo Eves (2002, p. 417), a realização matemática mais notável desse

período foi a invenção do Cálculo por Isaac Newton (1642 – 1727) e por Gottfried

Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) independentemente. Segundo Boyer (1999), pode-se

entender por Cálculo, um conjunto de ferramentas matemáticas que podem ser

usadas para estudar grandezas em mudança, como, por exemplo, corpos em

movimento. Isaac Newton e Leibniz disputaram acirradamente e publicamente a

autoria da criação do Cálculo e, infelizmente, proporcionaram um dos maiores

embates da História das Ciências, que durou mais de dez anos, e seguiu até o fim

de suas vidas.

Segundo Boyer (2002, p. 269), Isaac Newton nasceu prematuro com poucas

chances de vida no dia do Natal de 1642, o mesmo ano de falecimento de Galileu

Galilei. Diz a lenda que no ato de seu nascimento somente apresentou sinais de vida

após ser banhado em vinho. Produziu muitas pesquisas na área de Física utilizando

a Matemática. Além do Cálculo Diferencial e Integral, deixou também grandes

contribuições em Cálculo Numérico, em Séries Infinitas, em Álgebra e em Estudo de

Curvas. Na Física, sistematizou as leis da Dinâmica, o qual permitiu o estudo

abrangente dos corpos em movimento, formulou a Lei da Gravitação Universal,

sistematizou a Óptica e concebeu a Teoria das Cores.

Sua grande contribuição para o conceito de função foi a demonstração de

que as funções poderiam ser escritas como uma série de potências. Além disso, foi

13

o responsável por introduzir o termo “variável independente”. Também desenvolveu

o chamado “método dos fluxos”, que considerava a curva gerada pelo movimento

contínuo, os valores da abscissa e da ordenada variavam, sendo as variáveis

associadas ao “fluente” e a taxa de variação o “fluxo”.

Leibniz nasceu em Leipzig, Alemanha, em 1646. Era jurista, diplomata,

filólogo, filósofo, historiador, lógico, geólogo e teólogo. Foi também o inventor de

uma máquina de calcular. Foi o primeiro a dar o nome função às quantidades

geométricas que dependiam de um ponto em uma curva, ou seja, quantidades que

dependem de uma variável. Introduziu os termos “constante”, “variável” e

“parâmetro”. Segundo Eves (2002, p. 443), Leibniz inventou o cálculo entre 1673 e

1676. Usou pela primeira vez o símbolo de integral, um “S” alongado, derivado da

primeira letra da palavra latina “summa” (soma). Sua notação para o cálculo se

mostrou mais conveniente e flexível do que a de Newton, sendo utilizada até hoje.

Segundo Roque (2012, p. 373), apesar de terem pesquisado inúmeras

relações funcionais, Leibniz e Newton não explicitaram o conceito de função em

suas obras. A falta de um termo geral para exprimir quantidades arbitrárias, que

dependem de outra quantidade variável, motivou a necessidade da definição do

conceito de função. Tal fato é expresso pela primeira vez em uma correspondência

entre Leibniz e Johann Bernoulli (1667 – 1748).

Ainda, segundo a autora, Bernoulli já empregava o termo função,

relacionando-o indiretamente a “quantidades formadas a partir de quantidades

indeterminadas e constantes.”, (ROQUE, 2012, p. 373).

Mesmo por algum tempo depois de Newton e Leibniz, os fundamentos do

Cálculo permaneceram despercebidos pela comunidade científica. O primeiro texto

de Cálculo foi publicado em 1696, pelo Marquês de L’Hospital (1661 – 1704), o qual

continha lições que recebera de seu professor particular, Johann Bernoulli. Nesse

livro encontra-se a chamada “Regra de L’Hospital”, utilizada para se determinar o

limite de quociente de funções que tendem simultaneamente a zero.

Johann Bernoulli publicou em 1698, um artigo sobre o conceito de função,

que acabou se popularizando entre os matemáticos. Até então, o conceito de função

não representava nenhum tipo de teoria. Ele utilizou a palavra função como solução

de um problema, considerava uma “[...] função de uma grandeza variável uma

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quantidade composta, de um modo qualquer, desta grandeza variável e de

constantes”, (ROQUE, 2012, p. 373).

Neste mesmo artigo, Bernoulli usa a letra grega φ para representar o nome

da função, escrevendo o argumento na forma φx., sem parênteses.

No século XVIII Leonard Euler (1707 – 1783), também contribuiu para o

desenvolvimento do conceito de função. No início de sua obra intitulada “Introdução

à Análise Infinita”, Euler situa função como a noção central da matemática e propõe

a seguinte definição: “Uma função de uma quantidade variável é uma expressão

analítica composta de um modo qualquer dessa quantidade e de números, ou de

quantidades constantes”, (ROQUE, 2012, p. 374).

Nessa mesma obra, segundo Roque (2012, p. 374), Euler define constante

como: “uma quantidade definida que possui sempre um mesmo e único valor”.

No caso da variável, Euler define:

Uma quantidade variável compreende todos os números nela mesma, tanto positivos quanto negativos, inteiros, fracionários, os que são racionais, transcendentes e irracionais. Não devemos excluir nem mesmo o zero e os números imaginários. (ROQUE, 2012, p. 374).

Assim, as representações de funções passam a ser dadas por fórmulas

matemáticas. Em 1734, Euler introduziu a notação f(x) para representar de forma

genérica uma função de x, conforme Garbi (2007, p. 451). Euler não apresentou

uma explicação formal do que seria uma expressão analítica. No entanto, tentou dar

um significado, dizendo que tais expressões envolviam as quatro operações, raízes,

exponenciais e logaritmo.

No prefácio da obra “Fundamentos do Cálculo Diferencial”, publicada em

1775, Euler formula uma nova definição de função que não se identifica à expressão

analítica:

Se certas quantidades dependem de outras quantidades de maneira que se as outras mudam, essas quantidades também mudam, então temos o hábito de chamar essas quantidades de funções dessas últimas. Essa denominação é bastante extensa e contêm nela mesma, todas as maneiras pelas quais uma quantidade pode ser determinada por outras. Consequentemente, se x designa uma quantidade variável, então todas as outras quantidades que dependem de x, de qualquer maneira, ou que são determinadas por x, são chamadas funções de x. (EULER, 1775 apud ROQUE, 2012, p. 378).

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Ainda, segundo Roque (2012, p. 373), em meados do século XVIII, diversos

matemáticos, motivados pelo Problema da Corda Vibrante, introduziram séries

infinitas para estudar curvas. A partir daí, a relação entre variáveis podia ser dada

por uma série infinita de potências. O Problema da Corda Vibrante consiste em

determinar o formato de uma corda elástica cujos pontos inicial e final estão fixados

em determinado instante, após sofrer uma vibração. O filosofo francês D’Alembert

(1717 – 1790) publicou uma solução para esse problema. Demonstrou que o

resultado era dado por um tipo de equação chamada de “diferencial”, cujo objetivo

era determinar a função y que representava o movimento da corda. Euler

apresentou uma solução muito parecida com a de D’Alembert, mas não concordava

com algumas considerações feitas por ele. D’Alembert redigiu o verbete “função” em

sua Encyclopédia de 1757. Nela substitui a designação de “geômetra”, que era

usada até então para designar um matemático, pela de “analista”.

Função, s.f. (Álgebra). Os antigos geômetras, ou melhor, os antigos analistas, chamaram função de uma quantidade qualquer x às diferentes potências dessa quantidade; mas, hoje, chamamos função de x, ou, em geral de uma quantidade qualquer, a uma quantidade algébrica composta de tantos termos quanto quisermos e na qual x se encontra, ou não, misturado de um modo qualquer com constantes. (D’ALEMBERT, 1757 apud ROQUE, 2012, p. 378).

Em 1753, o matemático e físico suíço Daniel Bernoulli (1700 – 1782), filho de

Johann Bernoulli, apresentou uma terceira visão para o Problema da Corda

Vibrante, com um ponto de vista mais físico. Ele percebeu que a corda poderia vibrar

de infinitas maneiras diferentes, mas a preocupação de Bernoulli era resolver o

problema físico e não conceituar função. Euler e D’Alembert achavam um absurdo

essa resolução do problema e usaram instrumentos da época em seus argumentos

para demonstrar que Bernoulli estava errado.

O matemático italiano Lagrange (1736 – 1813) também contribuiu para o

Problema da Corda Vibrante, dando uma solução mais abrangente. Para Lagrange

uma função representava operações com valores tidos como conhecidos e que

sendo realizadas, se obtinha valores desconhecidos.

No final do século XVIII, havia a necessidade de formalizar os Fundamentos

do Cálculo, pois até então haviam sido usadas apenas muita intuição e

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informalidade. O matemático theco Bernhard Bolzano (1781 – 1848) é considerado o

pioneiro nessa formalização. Já o conceito de função também precisava ser

claramente definido. Foi o que implicou no surgimento da Análise Matemática, que

tinha como objeto de estudo, as funções.

Em 1807, o matemático francês Josheph Fourier (1768 – 1830) apresentou

na Academia de Ciências da França um trabalho que tratava da propagação do calor

em barras, chapas e sólidos metálicos, pelo qual foi premiado. No trabalho havia

uma contribuição para o conceito de função, pois Fourier afirmava que toda função

poderia ser expressa por funções trigonométricas. Em 1822, Fourier escreveu a obra

Teoria Analítica do Calor. Nela encontra-se uma definição mais geral do termo

“função”:

Em geral, a função fx representa uma sucessão de valores, ou ordenadas, os quais cada um é arbitrário. Uma infinidade de valores sendo atribuídos à abscissa x existe um número igual de ordenadas fx. Todas têm valores numéricos atuais, ou positivos, ou negativos, ou nulos. Não se supõe que essas ordenadas estejam sujeitas a uma lei comum; elas se sucedem uma à outra de um modo qualquer, e cada um delas é dada como se fosse uma única quantidade.

(FOURIER, 1822 apud ROQUE, 2012, p. 395).

O matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) também

contribuiu para dar mais rigor à matemática. Para ele era possível determinar o valor

de quantidades variáveis a partir do conhecimento de apenas uma delas, desde que

existisse algum tipo de relação entre si. Essa quantidade conhecida era expressa

por meio de uma variável considerada independente. Já as outras quantidades

derivadas desse valor constituíam as chamadas funções dessa variável.

Em 1837 o matemático alemão Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 –1859)

demonstrou que nem todas as funções poderiam ser escritas como séries de

Fourier. Tais séries mostravam que qualquer função por mais complicada que fosse

poderia ser decomposta como uma soma de senos e cossenos. Para isso foi

necessário fazer a separação entre o conceito de função e sua representação

analítica. Ampliou-se o conceito, determinando que fosse uma correspondência

arbitrária entre variáveis. Isto quer dizer que não era mais necessário uma fórmula

para representar uma função, bastava uma associação entre variáveis. Em um artigo

escrito em 1829, Dirichlet não define o que é uma função, mas discute problemas

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relacionados à continuidade das funções estudadas por Cauchy e Fourier. Uma

versão revisada deste texto, publicada em 1837 contém uma definição de função

bastante citada:

Sejam a e b dois números fixos e x uma quantidade variável que recebe sucessivamente todos os valores entre a e b. Se a cada x corresponde um único y, finito, de maneira que, quando x se move continuamente no intervalo entre a e b, y = f(x) também varia progressivamente, então y é dita função contínua de x nesse intervalo. Para isso, não é obrigatório, em absoluto, nem que y dependa de x de acordo com uma mesma e única lei, nem mesmo que seja representada por uma relação expressa por meio de operações matemáticas. (DIRICHLET, 1837 apud ROQUE, 2012, p. 458).

No século XX, segundo Boyer (1999, p. 438) surgiu um movimento na

Europa, chamado de Matemática Moderna que se baseou na formalidade e no rigor

dos Fundamentos da Teoria dos Conjuntos e da Álgebra para tentar aprimorar o

ensino da Matemática. Um grupo de matemáticos criou o Movimento Bourbaki, que

tinha como objetivo fundamentar toda a Matemática na Teoria dos Conjuntos, teoria

desenvolvida por George Cantor (1845 – 1918), fazendo assim a propagação das

ideias da Matemática Moderna. A definição de função usada por Dedekind (1831 –

1916) e por Cantor era considerada insuficiente e, em seu lugar, o grupo Bourbaki

propôs a seguinte definição:

Sejam E e F dois conjuntos, que podem ser distintos ou não. Uma relação entre um elemento variável x de E e um elemento variável y de F é dita uma relação funcional se, para todo x pertencente a E, existe um único y pertencente a F que possui a relação dada com x. Damos o nome de função à operação que associa, desse modo, a todo elemento x pertencente a E, o elemento y pertencente a F que possui a relação dada com x; y será dito o valor da função no elemento x. (BOURBAKI, ROQUE, 2012, p.474).

Segundo Eves (2002), esse conceito de função passa a ser defendido por

muitos matemáticos, entre eles, Félix Klein (1849 – 1925), desde as primeiras

décadas do século XX. Entende-se o conceito de função como o princípio central e

unificador dos cursos elementares de Matemática.

18

O conceito de função sofreu várias transformações ao longo da história. À

medida que a sociedade passou por mudanças, seu conceito foi sendo reformulado

conforme as necessidades. Esse fato demonstra que o objeto matemático função

não pode ser considerado como um saber estático e imutável ao longo do tempo.

Foram necessários muitos séculos para que se chegasse ao formato que o conceito

possui hoje. O conceito de função está presente em vários campos da Matemática e

também em outras ciências como a Física, a Biologia, a Medicina, a Economia, entre

outras.

1.2 O CONCEITO MODERNO DE FUNÇÃO

1.2.1 Definição de função

Seja f uma relação entre os conjuntos não vazios A e B, isto é, f é um

subconjunto do produto cartesiano de conjuntos A X B. Dizemos que a relação f é

uma função de A em B se para todo elemento x de A existe um único elemento y de

B tal que (x,y) pertence a f, ou xfy, ou mais simplesmente y = f(x).

O conjunto A é denominado o domínio de f e o conjunto B é denominado o

contradomínio de f. O subconjunto de B definido por Im(f) = { y em B | existe x em A

com y = f(x)} = { f(x) em B | x em A } se denomina a imagem de f.

Nas Ciências Naturais, sempre que duas grandezas variáveis x e y são tais

que para cada valor atribuído à grandeza x fica determinado um único valor para a

grandeza y, diz-se que a grandeza y depende funcionalmente da grandeza x ou que

a grandeza y é função da grandeza x. Nesse caso, costuma-se escrever y = f(x). A

grandeza x é denominada variável independente e a grandeza y é denominada

variável dependente.

19

1.2.2 Função de variável real a valores reais

Seja f uma função do conjunto A no conjunto B. Se os conjuntos A e B forem

subconjuntos do conjunto dos números reais, diz-se que f é uma função de variável

real a valores reais, ou simplesmente função de variável real.

Se uma função de variável real é definida por uma expressão sem se

mencionar o seu domínio, costuma-se adotar como domínio dessa função o maior

subconjunto dos números reais onde aquela expressão possa ter significado.

1.2.3 Gráfico da função de variável real

Consideremos num plano um sistema de coordenadas ortogonal Oxy.

Cada ponto do plano pode assim ser representado por um par ordenado de

números reais (x,y). Dada uma função de variável real y = f(x) com domínio D,

chamaremos de gráfico da função f, o subconjunto G do plano Oxy definido por

G = { (x , f(x)) | x ϵ a D }

Figura 1 – Gráfico de uma função Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

20

1.2.4 Exemplos de funções de variável real

1) Função Linear Afim

Chama-se função linear afim a função f que para todo número real x associa

o número real y, definido por y = a.x + b, onde a e b são constantes reais. O termo

“Afim” foi introduzido por Leonhard Euler no século XVIII, sendo o primeiro a estudar

tópicos avançados da Geometria Afim.

O gráfico de uma função linear afim é uma reta.

Se a = 0 tem-se a função constante y = b, cujo gráfico é uma reta no plano

Oxy paralela ao eixo Ox e corta o eixo Oy no ponto (0,b). Caso se tenha também

b = 0, o gráfico de y = 0 coincide com o eixo Ox.

Se a = 1 e b = 0 tem-se a função identidade y = x, cujo gráfico é a reta

bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes do plano Oxy.

Figura 2 – Exemplo de função linear afim Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

21

Figura 3 – Exemplo de função constante Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

Figura 4 – Função identidade Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

22

2) Função Quadrática

Chama-se função quadrática a função f que para todo número real x associa

o número real y, definido por y = a.x2 + b.x + c, onde a, b e c são constantes reais,

sendo necessariamente a ≠ 0.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Figura 5 – Exemplo de função quadrática Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

23

3) Função Exponencial

Dado um número real a > 0 e a ≠ 0, chama-se função exponencial de base

a, a função que a cada número real x associa o número y = ax .

Se 0 < a < 1, o gráfico de y = ax é da forma:

Figura 6 – Função exponencial Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

Se a > 1, o gráfico de y = ax é da forma:

Figura 7 – Função exponencial Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

24

4) Função Logarítmica

Dado um número real a > 0 e a ≠ 1, chama-se função logarítmica de base a,

a função que a cada número real x associa o número y = loga(x).

Se 0 < a < 1, o gráfico de y = loga(x) é da forma:

Figura 8 – Função logarítmica Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

Se a > 1, o gráfico de y = loga(x) é da forma:

Figura 9 – Função logarítmica Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

25

5) Funções Seno e Cosseno

Para cada número real x, podemos associar de forma única, um ponto M

numa circunferência de centro em O percorrida no sentido anti-horário a partir do

ponto A situado no eixo horizontal, utilizando o raio dessa circunferência como

unidade de medida. Assim x pode ser visto como a medida do ângulo central AÔM.

O ponto M tem coordenadas (m1,m2) no sistema de coordenadas Oxy.

Chama-se seno a função que a cada número real x associa a coordenada

m2 do ponto M construído a partir de x. Escrevemos y = m2 = sen(x) = sen x. O

gráfico da função seno é uma curva denominada senóide.

Figura 10 – Função trigonométrica seno Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

Chama-se cosseno a função que a cada número real x associa a

coordenada m1 do ponto M construído a partir de x. Escrevemos y = m1 = cos(x) =

cos x. O gráfico da função cosseno é uma curva denominada cossenóide.

Figura 11 – Função trigonométrica cosseno Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

26

1.2.5 Raiz de uma função de variável real

Dada uma função de variável real y = f(x), qualquer número real a tal que

f(a) = 0 é chamado uma raiz da função. Graficamente as raízes de uma função f

correspondem às abcissas dos pontos onde o gráfico de f corta o eixo Ox. Por

exemplo, para função y = x2 – 4x + 3, as raízes são os valores a1 = 1 e a2 = 3,

conforme mostra o gráfico a seguir:

Figura 12 – Raízes de um função de variável real Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

1.2.6 Crescimento e decrescimento de uma função de variável real

Diz-se que uma função f é crescente num intervalo I se a valores crescentes

de x no intervalo I correspondem valores f(x) crescentes na imagem de f. Isto é, para

todos x1 e x2 elementos de I com x1 < x2 tem-se f(x1) < f(x2).

Figura 13 – Crescimento de uma função de variável real Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

27

Diz-se que uma função f é decrescente num intervalo I se a valores

crescentes de x no intervalo I correspondem valores f(x) decrescentes na imagem de

f. Isto é, para todos x1 e x2 elementos de I com x1 < x2 tem-se f(x1) > f(x2).

Figura 14 – Decrescimento de uma função de variável real Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

1.2.7 As funções lineares afins

Como já foi definido anteriormente, chama-se função linear afim a função f

que para todo número real x associa o número real y, definido por y = a.x + b, onde

a e b são constantes reais.

Primeiro observemos que o gráfico de uma função linear afim é sempre uma

reta. Para isso basta tomarmos três pontos distintos genéricos do gráfico de f e

provar que esses três pontos estão alinhados.

Consideremos então os pontos A = (x1 , a.x1 + b) , B = (x2 , a.x2 + b) e

C = (x3 , a.x3 + b) com x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ x1. A reta AB forma um ângulo α com o eixo Ox,

cuja tangente vale ((a.x2 + b) – (a.x1 + b)) / (x2 – x1) = a. Por sua vez a reta BC forma

um ângulo β com o eixo Ox, cuja tangente vale ((a.x3 + b) – (a.x2 + b)) / (x3 – x2) = a.

Portanto as retas AB e BC são paralelas, e como têm um ponto comum, coincidem,

isto é, A, B e C estão alinhados.

28

Figura 15 – Função linear afim Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

O domínio da função linear afim coincide com o conjunto dos números reais.

Já a imagem depende do coeficiente a. Se a = 0 então a imagem da função definida

por f(x) = a.x + b, consiste do conjunto unitário {b}. Se a ≠ 0 então a imagem de f

coincide com o conjunto dos números reais.

O coeficiente a na fórmula f(x) = a.x + b se chama o coeficiente angular da

reta que é o gráfico de f. Ele indica a tangente do ângulo que essa reta forma com o

eixo Ox.

O coeficiente b na fórmula f(x) = a.x + b se chama o coeficiente linear da reta

que é o gráfico de f. Ele indica a ordenada do ponto onde essa reta corta o eixo Oy.

Se a ≠ 0 então a função f(x) = a.x + b é sempre crescente ou sempre

decrescente de acordo com o valor do coeficiente a. Se a > 0 a função f é crescente

em qualquer intervalo dos números reais, enquanto que se a < 0, então a função f é

decrescente em qualquer intervalo dos números reais.

Se a ≠ 0 então a função f(x) = a.x + b admite uma única raiz que é o número

x1 = -b/a. Se a = 0 e b ≠ 0, a função f(x) = a.x + b não admite raízes e se a = b = 0

então o gráfico de f coincide com o eixo Ox e portanto, neste caso, f admite infinitas

raízes.

29

Figura 16 – Raiz de uma função linear afim – única raiz Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

Figura 17 – Raiz de uma função linear afim – não há raiz Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

Figura 18 – Raiz de uma função linear afim – infinitas raízes Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

30

CAPÍTULO 2 - INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Neste capítulo abordaremos as características presentes nos softwares

dinâmicos atualmente em uso no processo de ensino e aprendizagem de

Matemática. Em seguida destacaremos algumas pesquisas realizadas sobre o

ensino de função com a utilização da informática, e depois faremos uma breve

apresentação do software dinâmico Geogebra, ferramenta que utilizamos em nosso

experimento.

2.1 INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Com o passar dos anos a Informática ficou mais próxima do indivíduo e o

indivíduo mais dependente dela. Podemos estar em contato instantâneo com

qualquer outra pessoa, em qualquer lugar do mundo. Hoje a internet nos

proporciona uma rede de conexão no qual, acontecimentos viram notícias no

momento dos fatos ocorridos. Todos os tipos de informações sobre qualquer

assunto estão disponíveis a todo instante. Por exemplo, a localização de um

endereço, o sinônimo de uma palavra, a tradução de uma palavra estrangeira, a

prestação de serviços diversos como, transações bancárias, compra de

mercadorias, aluguel de carros, até quando queremos agraciar uma dama, podemos

recorrer à encomenda de flores online. São várias as formas e facilidades que se

fazem presentes hoje em dia na tecnologia da Informática, proporcionadas por seus

diferentes equipamentos desde a velocidade até o tamanho do banco de dados para

armazenamento de informações.

Esta realidade também está presente nas escolas por meio dos laboratórios

de informática que destinam sua utilização como ferramentas pedagógicas de auxilio

no processo de construção do conhecimento dos diversos conteúdos disciplinares.

Usufruindo da tecnologia, podemos colocar nossos alunos diante de atividades

prazerosas que desafiem suas curiosidades, e que poderão ajudá-los a colocarem

em prática suas criatividades e levá-los a motivações e aprendizagens.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de 1998 já era orientada a

importância da utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC),

31

entre elas o computador, como recurso pedagógico para desenvolvimento dos

processos de ensino e de aprendizagem em Matemática. De acordo com esse PCN,

os computadores podem ser usados nas aulas de Matemática com várias

finalidades:

como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem;

como auxiliar no processo de construção de conhecimento;

como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções;

como ferramenta para realizar determinadas atividades – uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto, banco de dados, etc. (BRASIL, 1998, p. 44).

Além das boas condições de equipamentos, a eficácia em atingir os

objetivos educacionais também está ligada ao software escolhido para desenvolver

a atividade. Atualmente dispomos de softwares específicos de Matemática que

procuram promover a aprendizagem por meio de um processo construtivo, fazendo

com que os alunos coloquem em prática habilidades como, observação, intuição,

senso comum, apreciação de regularidades, senso estético, argumentação,

representação, abstração, generalização, etc.

Segundo Gravina e Santarosa (1998), fundamentadas em Piaget, toma-se

como princípio que a aprendizagem é um processo construtivo, no qual:

[...] depende de modo fundamental das ações do sujeito (aluno) e de suas reflexões sobre estas ações. Todo conhecimento é ligado à ação e conhecer um objeto ou evento é assimilá-lo a um esquema de ação...Isto é verdade do mais elementar nível sensório motor ao mais elevado nível de operações lógico-matemáticas. (PIAGET, 1967 apud GRAVINA e SANTAROSA, 1998).

Como exemplos desses softwares, temos programas dinâmicos e interativos

de Matemática que simulam Álgebra e Geometria como o Graphmática, Winplot,

Geogebra, Cabri-Géomètre, Simcalc, entre outros.

Podemos ter nesses ambientes informatizados ferramentas de grande

32

suporte ao processo de formalização de conceitos matemáticos. O dinamismo e a

possibilidade de interatividade entre o aluno e o objeto matemático em estudo,

proporcionam, segundo Gravina e Santarosa (1998), quando citam (Papert, 1998) e

(Hebenstreint, 1987): “[...] a possibilidade de mudar os limites entre o concreto e o

formal”. E em relação à Hebenstreint:

O computador permite criar um novo tipo de objeto – os objetos “concreto-abstratos”. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais. (HEBENSTREINT, 1987 apud GRAVINA e SANTAROSA, 1998).

Sendo assim, é permitido ao sujeito agir inicialmente de forma concreta

sobre objetos concretos, constituindo os esquemas e, em último estágio, executar as

ações abstratas sobre objetos abstratos constituindo os conceitos.

Ainda, segundo Gravina e Santarosa (1998), o surgimento de softwares

específicos no ensino da Matemática proporcionou um maior dinamismo à

representação dos objetos matemáticos e abriu-se a possibilidade de uma

representação mutável desses objetos. O potencial desta representação dinâmica

permite ao aluno a possibilidade de manipulação direta das suas representações.

Por exemplo, após a introdução do conceito de coeficiente de variação e de

coeficiente de linearidade do objeto matemático função linear afim, é possível

estabelecer a relação desses coeficientes com as representações algébricas e

gráficas. Verifica-se dessa maneira, de forma dinâmica, o deslocamento da

representação gráfica da função em relação ao eixo das ordenadas e a sua

inclinação em relação ao eixo das abcissas. Em um meio dinâmico, por exemplo, no

Geogebra, podemos verificar essas variações utilizando-se de “seletores”. Conforme

Nóbrega e Araújo (2010, p. 11), “Um seletor é um pequeno segmento com um ponto

que se movimenta sobre ele. Com esta ferramenta é possível modificar, de forma

dinâmica, o valor de algum parâmetro”.

A vantagem do seletor no estudo de funções se deve por possibilitar um

maior dinamismo quando correlacionados coeficientes de uma função e o seu

comportamento gráfico.

A utilização desses seletores servirá de parâmetro para caracterizar os

coeficientes a e b de uma função linear afim. O aluno por meio da interação manual

33

dos seletores poderá observar e comprovar as alterações ocorridas na

representação algébrica da função, devido ao seu dinamismo em resposta aos

comandos do aluno. Isso ocorre também, simultaneamente com a representação

gráfica da função. Conforme o aluno interage com o seletor, a representação gráfica

responde em relação à sua inclinação e ao seu deslocamento no eixo das

ordenadas.

Os ambientes computacionais que exploram a representação algébrica, a

representação gráfica e a representação numérica, em geral, possuem uma

interface gráfica dinâmica, que possibilita a interação em tempo real desses três

registros.

Para Valente:

O uso do computador requer certas ações que são bastante efetivas no processo de construção do conhecimento. Quando o aprendiz está interagindo com o computador, ele está manipulando conceitos e isso contribui para o seu desenvolvimento mental. (VALENTE, 1998, p. 40).

Além disso, Borba e Penteado (2001), esses autores destacam que há um

excesso de abordagem em um tipo de representação no ensino de funções.

Segundo eles:

Usualmente, a ênfase para o ensino de funções se dá via álgebra. Assim, é comum encontrarmos em livros didáticos um grande destaque para a expressão analítica de uma função e quase nada para os aspectos gráficos ou tabulares. (BORBA e PENTEADO, 2001, p.14).

Borba e Penteado (2001 p. 34) alertam para a importância da coordenação

entre diferentes representações. Enfatizam também sobre a necessidade de que o

trabalho de conceitos matemáticos se realize por meio das múltiplas representações.

Nesse sentido, consideramos que o estudo de funções pode se resultar em um

grande aproveitamento, por meio dos ambientes computacionais que utilizam de

forma integrada, as suas múltiplas representações: a expressão algébrica, o gráfico

e a tabela. Propor aos alunos atividades que exercite a articulação em diferentes

34

representações, significaria levar ao aluno a uma possível compreensão sobre o

conceito de função.

O desafio dos docentes na atualidade é colocar em prática essas vantajosas

ferramentas da informática no ensino de conceitos matemáticos e com ajuda de

seus poderosos recursos facilitadores de dinamismo e interatividade, desenvolver

nos alunos habilidades de observação, de questionamentos, de argumentações, de

reflexão, de interação no processo de ensino e aprendizagem.

2.2 REVISÃO DE LITERATURA

Na revisão de literatura, procuramos investigar pesquisas realizadas que

tivessem alguma ligação com a nossa proposta de pesquisa: investigar o processo

de ensino e aprendizagem do objeto matemático função linear afim a uma turma do

9º ano do ensino fundamental com apoio de um ambiente computacional. Focamos

nossa atenção em estudos sobre o tema Informática na Educação e também sobre

ensino de funções com a utilização do computador.

O primeiro trabalho estudado foi a pesquisa realizada por Sardeiro (2010, p.

20). Em sua pesquisa, ela teve como objetivo principal: “Investigar e analisar

argumentos apresentados por um grupo de professores de matemática da educação

básica, quando da reflexão sobre o uso do computador em suas aulas e da

elaboração de atividades”.

A pesquisadora por meio de uma revisão bibliográfica e referindo-se a

Bonilla e Preto (2000), Borba e Penteado (2005), Bolite Frant (1993), Valente (2001),

Bairral e Di Leu (2007), Penteado e Skovsmose (2008), relata historicamente o

desenvolvimento da informática na educação brasileira e sobre as discussões que

surgiram em meados de 1970 com a criação da Secretaria Especial de Informática

(SEI), órgão ligado ao Conselho de Segurança Nacional, com o objetivo de

apresentar ações voltadas para a área da Informática na Educação.

A pesquisadora descreve alguns fatos importantes durante a introdução da

tecnologia no país e o desenvolvimento da informática nas escolas Essas ações

iniciaram-se na década de 30 com um movimento de inserção de tecnologia no

Brasil, com um modelo intervencionista e ligado a interesses militares. Na década de

35

70, a SEI passa a supervisionar, fomentar e coordenar a Política Nacional de

Informática. Nas décadas de 80 e 90 as ações para utilização da informática na

educação foram intensificadas, visando atender a demanda da nova sociedade.

É criado o projeto EDUCOM, com a criação de centros de pesquisas

universitários nos estados de São Paulo (Campinas-Unicamp), Porto Alegre (Rio

Grande do Sul-UFRGS), Rio de Janeiro, Minas Gerais e Pernambuco. Surge o

Projeto FORMAR, com o objetivo de formar professores para o uso pedagógico dos

computadores e como multiplicadores do saber em suas unidades de ensino. O

governo federal lança o PRONINFE – Programa Nacional de Informática na

Educação, administrada pelo Ministério da Educação e do Desporto (MEC), com a

intenção de desenvolvimento da informática na educação, contribuindo com a

criação de laboratórios e centros de capacitação para professores, Sardeiro (2010).

Segundo a pesquisadora, essas ações foram as bases para a criação do

programa atual, o PROINFO (Programa Nacional de Informática na Educação) do

Governo Federal, o qual promove o uso da Informática, equipa as escolas, investe

na formação de professores. É um programa do governo federal, mas que mantêm

parceria com as secretarias de educação dos estados e dos municípios.

Sardeiro (2010, p. 26) relata também os programas governamentais de

incentivo ao uso da Informática nas escolas, promovidos pelo Governo do Estado de

São Paulo, por meio do fornecimento de equipamentos, cursos, softwares e

manutenção dos mesmos. Atualmente, programas como Rede do Saber, que

mantém cursos de formação continuada para os professores, e o Acessa Escola,

que tem por objetivo a inclusão digital da comunidade escolar (alunos, professores e

funcionários), disponibilizam acesso à internet e a um ambiente de comunicação

digital para a troca de informações e conhecimentos entre alunos e professores.

Nesse ambiente, os monitores dessas salas são os próprios alunos do ensino

médio, os quais atuam como estagiários. Em 2008 foi lançado o “Programa

Computador do Professor”, uma parceria entre a Secretaria da Educação, Secretaria

da Fazenda e Secretaria de Desenvolvimento do Estado de São Paulo que oferece

aos professores financiamento sem juros para aquisição de notebooks.

Sardeiro (2010, p. 31), após análise do material “Cadernos dos Alunos” e o

“Caderno do Professor”, partes integrantes da Proposta Curricular para o Estado de

São Paulo, lançada em 2008. A pesquisadora destaca nesse material, algumas

36

sugestões de para o desenvolvimento de conteúdos matemáticos por meio da

utilização de softwares livres, no qual, o aluno poderá usar em casa ou na escola.

Destaca-se no caderno do 2º ano do ensino médio a sugestão do uso do

computador para o ensino de funções periódicas (seno, cosseno).

O relato de Sardeiro (2010) nos mostra que os programas governamentais

de implementação da Informática nas escolas para fins pedagógicos e de utilização

geral não é algo recente em nosso país e que também não é algo que sofre de falta

de investimentos nas escolas, Borba e Penteado (2001) relatam um acontecimento

recente sobre os recursos financeiros destinados a informatização das escolas:

O governo privatiza as empresas de telecomunicações, com preços e juros abaixo do mercado, subsidiados pelo contribuinte e impõe uma clausula nos contratos de privatização que faz com que as novas empresas separem uma parcela de seus faturamentos para o Fundo de Universalização do Sistema de Telecomunicações (FUST) que será utilizado para a compra de equipamentos de informática. (BORBA e PENTEADO, 2001, p. 14).

Portanto, segundo esses autores, é dessa fonte que o governo federal utiliza

recursos para a compra de computadores e implementação de programas

educacionais informatizados ou relacionados à telecomunicação.

O computador faz parte da vida das famílias brasileiras e do aluno

contemporâneo, isto já era evidenciado pelos PCN (1997, p. 34): “é fato que o

acesso a calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos já é uma

realidade para parte significativa da população”, também ARAUJO (2005, p. 105) e

CALIL (2010, p. 68) em suas pesquisas por meio dos resultados obtidos em coletas

de dados identificaram um alto índice de conhecimento básico em informática,

utilização do computador pelos alunos em atividades escolares em casa e na escola,

mas quanto a utilização desse recurso em atividades específicas da disciplina de

Matemática, seu índice apresentado não se repercutiu na mesma intensidade. No

caso dos dados obtidos por ARAUJO (2005, p. 106) e em CALIL (2010, p. 68) a

maioria dos alunos pesquisados afirmaram nunca terem utilizado o computador na

escola para aprender algum conteúdo específico de Matemática.

Sardeiro (2010, p. 14), apresenta como objetivo principal de sua pesquisa:

colher argumentos dos professores sobre o uso do computador em suas aulas de

Matemática. Infelizmente, esses argumentos percebidos pela pesquisadora foram

37

desde a insuficiência de máquinas para todos os alunos, imposição de normas e até

a não autorização por parte de diretores, falta de apoio da coordenação, problemas

de funcionamento de equipamentos, falta de tempo para o preparo das aulas e das

atividades.

Outro problema identificado de forma implícita tanto por Sardeiro (2010, p.

68) e também por Calil (2010, p. 49) foi a insegurança dos professores. Essa

insegurança em relação à utilização da informática tanto no aspecto físico da

máquina: hardware quanto da operacionalização, manipulação dos programas e

aplicativos: softwares.

Todas essas dificuldades apontadas pelos pesquisadores fazem com que a

salas de informática das escolas sejam pouco utilizadas ou em alguns casos sejam

utilizadas como salas depósitos, tendo assim destino triste, o de serem nomeadas

“Salas Túmulos”. Tal fato também evidenciado por Calil (2010, p. 49) em seu

ambiente de pesquisa, que mesmo sendo criado um Laboratório de Informática com

o intuito de auxiliar e melhorar o processo de ensino e aprendizagem em

Matemática, tal utilização não foi colocada em prática.

Dessa forma, entendemos que se há recursos materiais disponíveis, se o

aluno de hoje domina os recursos de operação do computador, portanto acreditamos

que esse recurso não deve ficar de fora da prática diária da escola, sua utilização

deve ser constantemente incentivada com projetos que auxilie o professor durante o

processo de construção, desenvolvimento e validação do conhecimento durante as

aulas de matemática.

2.3 O AMBIENTE COMPUTACIONAL GEOGEBRA

Optamos por utilizar o software Geogebra neste trabalho, porque, além de

ser livre, possui uma versão na língua portuguesa, e é de fácil manipulação. Assim,

na sequência, faremos uma breve descrição dessa ferramenta.

O software Geogebra foi criado na Universität Salzburg, também conhecida

como Universidade Paris Lodron, localizada na cidade de Salzburg, Áustria.

Lançado em 2008, o Geogebra é um software multiplataforma, isto é, compatível

com os diversos sistemas operacionais: Windows, Linux e MAC. Pode ser utilizado

em computadores pessoais (PC), Notebooks, e atualmente já está disponível uma

38

versão atualizada para Tablets. É um software de matemática dinâmica, podendo

ser utilizado em todos os níveis de ensino. Ele combina conteúdos de geometria,

álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo, tudo em um mesmo sistema, tendo

recebido diversos prêmios na Europa e nos EUA, dentre eles o Prêmio Alemão

Software Educacional de 2004 e, em Washington, o Prêmio Nacional de Liderança

em Tecnologia de 2010.

O Geogebra está disponível gratuitamente para download em vários idiomas

para milhões de usuários em todo o mundo.

Seus recursos algébricos, gráficos e de tabelas estão interconectados. Há

ferramenta de produção de aplicativos interativos em páginas na WEB, esses

recursos permitem a criação de atividades em formato de arquivo, que

posteriormente podem ser acessados via web, pelos alunos.

Idealizado pelo professor austríaco, Markus Hohenwarter, o Geogebra têm

em seu nome a combinação das palavras Geometria e Álgebra. Atualmente há a

contribuição de diversos colaboradores ao redor do mundo, no aprimoramento do

programa. Os responsáveis pela tradução do software em português: Humberto

José Bortolossi, professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade

Federal Fluminense, Luciana de Lima, Herminio Borges Neto, Alana Souza de

Oliveira, entre outros.

O programa permite realizar construções geométricas com a utilização de

pontos, retas, segmentos de reta, polígonos. Permite inserir funções e alterar todos

esses objetos dinamicamente, após a construção ter sido finalizada. Equações e

coordenadas também podem ser diretamente inseridas. Portanto, o Geogebra é

capaz de lidar com variáveis para números, pontos, vetores, derivar e integrar

funções, e ainda, oferecer comandos para se encontrar raízes e pontos extremos de

uma função. Com isto, o programa reúne as ferramentas tradicionais de geometria

com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Isto proporciona a vantagem

didática de representar, ao mesmo tempo e em um único ambiente visual, as

características geométricas e algébricas de um mesmo objeto matemático.

Nas figuras a seguir apresentamos além da tela inicial do Geogebra, seus

diferentes ambientes de visualização do objeto matemático e também algumas de

suas ferramentas de criação e edição do objeto.

39

Figura 19 – Tela inicial Fonte: GEOGEBRA

Barra de Menus

Barra de

Comandos

Barra de Ferramentas

Janela

Algébrica

Janela

Gráfica

Planilha

Eletrônica

40

Figura 20 – Objetos, funções da barra de ferramentas Fonte: GEOGEBRA



41




42




43




44

Para inserir uma função pode-se usar variáveis previamente definidas

(números, pontos, vetores) e outras funções.

Exemplos: Função f f (x) = 3*x^3 – x^2

Função g g(x) = tan(f (x))

Função sem nome sen(3*x) + tan (x)

No Geogebra, também temos recursos para achar a Integral e a Derivada de

uma função. Podemos utilizar para isso os comandos f’(x) ou f’’(x), para obter a 1ª e

a 2ª Derivada de uma função f(x) previamente definida.

Além disso, uma função pode ser transladada por um vetor, utilizando-se o

comando Translação e uma função livre, isto é, não dependente de outros objetos,

pode ser movida com o mouse utilizando a ferramenta Mover.

Podemos também criar uma função restrita a um intervalo [a, b], utilizando-

se o comando Função. E com o “seletor” poderemos controlar a variação desses

intervalos, tanto em números inteiros como também em números racionais.

45

CAPÍTULO 3 - REFERENCIAL TEÓRICO

Neste capítulo, descreveremos a Teoria dos Registros de Representações

Semióticas, referencial teórico utilizado nesta pesquisa, e procuraremos relacioná-la

com o objeto matemático do nosso estudo: a função linear afim, exibindo algumas

representações desse objeto em diferentes registros.

3.1 A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

A Teoria dos Registros de Representações Semióticas foi desenvolvida por

Raymond Duval (1995, 2000, 2003, 2006, 2011) ao longo de diversos livros e

artigos. Duval, filósofo e psicólogo, coordenou por algumas décadas estudos em

psicologia cognitiva no Institute de Recherche sur l’Enseignement de Mathématiques

(IREM) de Estrasburg, França. É autor reconhecido de diversas pesquisas sobre a

atividade matemática e sobre a problemática do ensino e aprendizagem desta

disciplina.

A Teoria dos Registros de Representações Semióticas apresenta-se como

uma teoria cognitiva, preocupada com a organização de situações de aprendizagem

e com a forma como se processa essa aprendizagem. Ela tem se revelado muito útil

no estudo de processos de ensino e aprendizagem de Matemática e tem sido

amplamente utilizada em pesquisas na área da Educação Matemática por

pesquisadores brasileiros. Segundo Duval, devemos procurar entender a natureza

dos problemas específicos de compreensão que os alunos enfrentam na atividade

Matemática, avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência. Tendo como

objetivo o aprendizado de forma eficaz por parte dos alunos, e para que eles

possam realmente compreender a Matemática, contribuindo para a sua formação

intelectual de forma significativa, e não somente de um aprendizado tecnológico ou

de procedimentos mecanicamente executáveis.

Duval (1995) defende em sua teoria que toda a comunicação se estabelece

por meio de representações. Na Matemática, em particular, como os objetos

matemáticos são conceitos, propriedades, construções mentais abstratas, dessa

forma, esses objetos matemáticos não são diretamente acessíveis à percepção ou à

46

experiência intuitiva imediata como são os objetos concretos. As representações

desses objetos são os únicos meios de acessá-los. Nas outras disciplinas científicas,

apesar de que na maioria dos casos se tem acesso direto aos objetos de estudo, as

representações desses objetos é que permitem a aquisição de conhecimento sobre

eles. Na atividade matemática, para que o acesso aos objetos ocorra é preciso,

portanto dar-lhes representações, mas sempre deixando clara a importância da

distinção entre o objeto matemático representado e a sua representação.

Essas representações são chamadas de representações semióticas e se

referem aos diferentes sistemas semióticos. Na Matemática costumeiramente são

utilizados o sistema da língua natural, o sistema algébrico, o sistema numérico, o

sistema gráfico, o sistema figural, entre outros.

Segundo Barros (2011), a Semiótica:

[...] é a ciência ligada a signos e símbolos que têm a função de comunicação. Nesse contexto um sistema semiótico é um conjunto de signos que se articulam segundo regras próprias. Representar um objeto significa criar uma cópia ou produzir alguma expressão que lembre esse objeto. Portanto, uma representação é o produto do ato de representar um objeto. (BARROS, 2011, p. 2).

Duval (2011) afirma que:

[...] na produção cognitiva entre as representações e os signos, na atividade de conhecimento, eles (as representações e os signos) cumprem uma função comum que é “se colocar no lugar de” o que eles representam ou designam e surgem da mesma exigência epistemológica fundamental que é de jamais se confundirem com os próprios objetos. (DUVAL, 2011, p. 37).

Sendo assim, a relação entre representações, signos e os objetos

matemáticos será apenas na forma de referência, não havendo nenhuma interação

entre eles.

Duval (2009, p. 17) considera fundamental durante a aprendizagem

matemática por meio da atividade cognitiva do pensamento, a ligação entre semiósis

e noésis. A semiósis sendo a capacidade de absorção, apreensão ou a produção de

uma representação semiótica de um objeto matemático e a noésis os processos de

47

conceitualização ou a compreensão do objeto representado. E afirma também que

não há separação entre essa dualidade, para compreensão de um objeto

matemático (noésis) há a necessidade de uma representação (semiósis) desse

objeto.

3.1.1 A noção de registros de representações semióticas

Duval (2009, p. 53) coloca três atividades cognitivas fundamentais ligadas às

representações:

- a formação de uma representação identificável, que pode ser estabelecida

por meio de um enunciado compreensível numa determinada língua natural, na

composição de um texto, no desenho de uma figura geométrica, na escrita de uma

fórmula, no esboço de um gráfico. Podemos comparar a formação de uma

representação à realização de uma tarefa de descrição, devendo respeitar regras

gramaticais na composição de um texto, restrições de construções de figura,

construção do algoritmo da multiplicação, o sistema posicional e o sistema de

numeração decimal, isto é, na formação de uma representação já fica determinado o

sistema semiótico ao qual essa representação está vinculada.

- o tratamento de uma representação é a transformação dessa

representação em outra representação sem mudar o sistema semiótico no qual ela

foi formada. Por meio do tratamento uma representação é transformada em outra

representação sem mudar a forma e o conteúdo.

- a conversão de uma representação é a transformação dessa

representação em outra representação num outro sistema semiótico, conservando a

totalidade ou uma parte do objeto matemático que está sendo representado. A

conversão se dá entre sistemas semióticos diferentes, ou seja, é uma atividade

exterior ao sistema semiótico de partida.

Um sistema semiótico que permite que as representações a ele vinculadas

possam sofrer essas três transformações cognitivas se denomina um registro de

representações semióticas. Articular diferentes registros significa converter

representações semióticas de um mesmo objeto entre vários registros.

48

3.1.2 Os diferentes tipos de registros

Duval (1995 apud Machado, 2003, p. 14) aponta a existência de quatro tipos

diferentes de registros mobilizáveis no funcionamento matemático, classificando-os

a seguir:

REPRESENTAÇÃO

DISCURSIVA

REPRESENTAÇÃO

NÃO DISCURSIVA

REGISTROS

MULTIFUNCIONAIS

Os tratamentos não são

algoritmizáveis.

LÍNGUA NATURAL

Associações verbais (conceituais).

Formas de raciocinar:

argumentação a partir de

observações, de crenças...;

dedução válida a partir de

definição ou de teoremas.

FÍGURAS GEOMÉTRICAS

PLANAS OU EM PERSPECTIVAS

(configurações em dimensão 0, 1,

2 ou 3).

apreensão operatória e não

somente perceptiva;

construção com

instrumentos.

REGISTROS

MONOFUNCIONAIS

Os tratamentos são

principalmente

algoritmos.

SISTEMAS DE ESCRITA

numéricas (binária, decimal,

fracionária ...);

algébricas;

simbólicas (línguas formais).

Cálculo

GRÁFICOS CARTESIANOS

mudanças de sistemas de

coordenadas;

interpolação,

extrapolação.

Quadro 2 – Tipos de representação Fonte: MACHADO (2003, p. 14)

Os registros multifuncionais não são específicos da Matemática, podendo

ser utilizados em todas as áreas do conhecimento com o objetivo de comunicação.

Os tratamentos de representações semióticas em seu interior não são

algoritmizáveis. Esses registros podem ser discursivos utilizando a linguagem

natural, permitindo descrever, explicar, calcular, raciocinar e inferir por meio desses

registros, e, também, não discursivos, com a utilização de instrumentos para sua

construção como na representação das formas geométricas.

Os registros monofuncionais são utilizados na Matemática, devido à

característica específica da linguagem matemática. Apresentam tratamentos

algoritmizáveis de suas representações semióticas. Os registros na forma discursiva

49

incluem os sistemas de numeração, as expressões algébricas, os símbolos e as

ferramentas de cálculo. Na forma não discursiva, os registros se apresentam na

forma de gráficos.

Um objeto matemático, como a função linear afim, por exemplo, pode ser

apresentado por meio de diferentes representações, havendo dessa forma a

possibilidade da ocorrência de dificuldades de aprendizagem por parte dos alunos,

devido justamente à identificação nessas diferentes representações do mesmo

objeto matemático.

Para haver uma compreensão desse conteúdo é necessário que haja

interpretações corretas de suas diferentes representações e a coordenação entre as

suas diversas representações. Segundo Duval (1995), a compreensão de um

conteúdo matemático supõe a coordenação de ao menos dois registros de

representação e esta coordenação manifesta-se pela rapidez e espontaneidade da

atividade cognitiva de conversão. Ou seja, quanto maior for a articulação entre os

diferentes registros de representações semióticas de um mesmo objeto matemático,

maior será a possibilidade de apreensão desse objeto.

3.1.3 Congruência e não congruência de conversões

No que consiste à operação de conversão podemos observar dois

fenômenos associados à sua natureza cognitiva, segundo Machado (2003 p.19 e

20):

as variações de congruência e de não congruência;

Para haver a congruência de uma conversão é necessária a verificação

do registro de partida e do registro de chegada, comparando as

representações nesses dois registros e confirmando a existência de

semelhança entre os termos. Nesse caso, a conversão se resume apenas

a uma codificação. No caso de não congruência, há a necessidade de

reorganização da representação no registro de chegada para haver a

correspondência entre as representações.

50

a heterogeneidade dos dois sentidos de conversão;

Nem sempre a conversão se efetua de maneira trivial quando se invertem

os registros de partida e de chegada, isto é, pode-se ganhar ou perder

alguma informação quando se invertem os sentidos de uma conversão de

uma representação semiótica.

3.1.4 Unidades de sentido

Duval (2011) destaca que diante de uma produção matemática oriunda de

uma representação em determinado registro, é importante reconhecer as unidades

de sentido nessa produção. As unidades de sentido são os dados e as informações

matematicamente pertinentes a uma representação num determinado registro. É

necessária a conversão dessa representação entre registros para se ter o

reconhecimento dessas unidades de sentido. Nesse caso, duas condições são

necessárias:

- isolar as unidades de sentido matematicamente pertinentes no conteúdo de

dada representação, convertendo essa representação para outro registro. Depois,

gerar todas as modificações possíveis dessa representação para convertê-las para

esse outro registro.

- fazer um inventário das variações possíveis que permitem passar

diretamente de uma representação a outra que é reconhecida como sendo do

mesmo registro.

O exemplo das representações gráficas nos permite isolar e reconhecer as

unidades de sentido utilizando apenas uma regra de codificação: um par de números

corresponde a um ponto de interseção sobre um plano quadriculado por dois eixos

graduados e orientados. Para essas representações gráficas podemos reconhecer

imediatamente que se trata de uma reta ou uma curva, se cresce ou se decresce e,

no caso das curvas, vemos num primeiro instante o número de ramos, os pontos de

inflexão, de máximo e de mínimo.

51

3.2 FUNÇÃO LINEAR AFIM E REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

Como já foi dito anteriormente, o objeto matemático função linear afim, pode

ser representado em diferentes registros de representações e essa pluralidade de

registros está sujeita também às possíveis transformações de tratamento e

conversões. Há dessa forma, a chance da ocorrência de dificuldades de

aprendizagem desse conceito por parte dos alunos, devido justamente à

identificação nessas diferentes representações do mesmo objeto matemático.

Acreditamos também nas dificuldades de articulação, coordenação ou mobilização

entre as diferentes representações. Para amenizar essa problemática, Duval (1988)

alerta para a importância da identificação e interpretação das unidades de sentido

em diferentes registros de representação do mesmo objeto matemático. No nosso

caso, da função linear afim. Duval (1988) defende a importância da identificação e

interpretação das variáveis visuais da representação gráfica e sua correspondência

com as unidades de sentido simbólicas na expressão algébrica. Segundo Duval

(1988, p. 235), “A leitura das representações gráficas pressupõe a discriminação das

variáveis visuais pertinentes e a percepção das variações correspondentes da

escrita algébrica”.

Ainda, segundo o autor:

A interpretação das representações gráficas depende de uma identificação precisa de todos os valores das variáveis visuais pertinentes e do reconhecimento qualitativo das unidades de escrita simbólicas que lhes são correspondentes. (DUVAL, 1988, p. 251).

Baseando-se nos pressupostos da teoria de Duval, sobre os registros de

representações semióticas, destacamos abaixo as propriedades figurais ou variáveis

visuais e suas unidades simbólicas na expressão algébrica, correspondentes ao

objeto matemático do nosso estudo: função linear afim. Apresentamos os elementos

dos sistemas semióticos envolvidos na conversão entre a representação algébrica

f(x) = a.x + b e a representação gráfica. Segundo Duval (1988):

52

Representação gráfica Representação algébrica

f(x) = a.x + b

Variáveis visuais Valores Unidades simbólicas correspondentes

Sentido da inclinação

- ascendente - coeficiente > 0 - ausência do símbolo -

Ângulo com os eixos

- ângulo maior - coeficiente variável > 1 - há coeficiente escrito

Posição em

relação ao eixo y ou f(x)

- corta acima da origem

- acrescido a uma constante - sinal +

Quadro 3 – Variáveis visuais Fonte: Adaptado de DUVAL (1988)


f(x) = -a.x + b

Variáveis visuais

Valores Unidades simbólicas correspondentes


- descendente - coeficiente < 0 - presença do sinal -


- ângulo menor - coeficiente variável < 1 - há coeficiente escrito

Posição em relação ao eixo

y ou f(x)

- corta acima da origem

- acrescido a uma constante - sinal +


53


f(x) = a.x - b

Variáveis visuais



- ascendente - coeficiente > 0 - ausência de sinal -


- ângulo maior - coeficiente variável > 1 - há coeficiente escrito


y ou f(x)

- corta abaixo da origem

- subtrai-se a uma constante - sinal -



f(x) = -a.x - b

Variáveis visuais



- descendente - coeficiente < 0 - presença de sinal -


- ângulo menor - coeficiente variável < 1 - há coeficiente escrito


y ou f(x)

- corta abaixo da origem

- subtrai-se a uma constante - sinal -


54

Segundo Machado (2003 pág. 184 e 185), a complementaridade entre

registros é fundamental, no sentido da sua parcialidade em relação ao objeto que

pretendemos representar, sendo que a possibilidade de conversão entre os registros

possibilita ao sujeito perceber outros aspectos da situação representada.

Essa complementaridade entre os registros de representação escolhidos

para representar um objeto é que acaba exigindo do professor o trabalho com várias

representações de um mesmo objeto. Por exemplo, quando trabalhamos com as

funções, os gráficos, as tabelas e as equações são todos registros parciais desse

objeto. Cada um desses registros é parcial e possui uma especificação própria.

Perceber essa especificidade a cada registro e reforçá-las é um caminho para

entendimento do objeto como um todo.

No quadro abaixo exemplificamos alguns registros de representações

semióticas do objeto matemático função linear afim em diferentes registros.

Representação Registro Tipo de registro

R1. A variável dependente y ou f(x) será o dobro da variável independente x somado a uma

unidade.

Registro na língua portuguesa

Língua natural

R2. A idade do meu irmão é dobro da minha idade

mais um ano. Quando eu tinha 15 anos, quantos anos tinha meu irmão?

Registro na língua portuguesa

Língua natural

R3. y = 2.x + 1

Registro algébrico

Simbólico

R4.

Registro tabular

Simbólico x -1 0 1 2

y -1 1 3 5

55

Representação Registro Tipo de registro

R5.

Registro cartesiano

Gráfico

R6.

Registro em forma de

desenho Figural

Quadro 7 – Diferentes registros do objeto matemático “função linear afim” Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

-1

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 x

y

56

Neste quadro exemplificamos algumas possíveis representações do objeto

matemático função linear afim. Podemos citar como exemplos de conversão

apresentadas neste quadro: passar do registro algébrico para o registro gráfico (R3

para R5); da língua natural para a tabular (R1 para R4); da tabular para a gráfico (R4

para R5); do gráfico para o algébrico (R5 para R3), etc. A transformação da

representação R1 para a representação R2 é um tratamento.

Na sequência, apresentamos duas atividades presentes no Material de

Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo. Essas atividades que destacamos como

exemplos, estão no volume 2 da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental. No quadro

de cada atividade temos o enunciado e a seguir fizemos algumas observações sob

os aspectos do referencial teórico dos registros de representações semióticas.

Atividade 1

ENUNCIADO

Figura 32 – Atividade de Matemática da 8ª Série/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013, p. 34)

Observemos que essa atividade é apresentada no registro da língua

materna e no registro figural. É solicitado aos alunos que discutam sobre a

problemática levantada, e por meio da comparação entre os resultados nos registros

numéricos, eles identifiquem a proporção direta, e decidam qual é a situação mais

vantajosa para o consumidor.

57

Atividade 2

ENUNCIADO

Figura 33 – Atividade de Matemática da 8ª Série/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013, p. 34)

Esta é composta de quatro atividades, apresentadas em registro tabular. É

solicitado aos alunos, que analisem a variação entre as grandezas denominadas y e

x. É informado que a grandeza y varia em função da grandeza x. Com base nessa

análise os alunos deverão concluir se as duas grandezas são diretamente ou

inversamente proporcionais, ou ainda, se não há proporcionalidade entre elas. Em

seguida, em cada exercício proposto, é solicitado aos alunos, a conversão para o

registro algébrico.

Atividade Registro de Representação

Semiótica Registro de Partida

Tipo de Transformação do Registo

Registro de Representação Semiótica

Registro de Chegada

1 Língua materna Numérico

Tratamento Língua materna - Numérico

2 Tabular

Exerc

ício

s

a) Conversão a) Algébrico

b) Conversão b) Algébrico

c) Conversão c) Algébrico

d) Conversão d) Algébrico

Tabela 1 – RRS no Caderno do Aluno da 8ª Série/9º Ano do EF Fonte: Elaborado pelo pesquisador.

58

CAPÍTULO 4 - AS ORIENTAÇÕES SOBRE A ABORDAGEM DO

TEMA FUNÇÕES NOS DOCUMENTOS OFICIAIS FEDERAIS E DO

ESTADO DE SÃO PAULO

Neste capítulo, realizamos uma análise nos documentos oficiais: federal e

estadual, por meios dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental

e do Currículo do Estado de São Paulo, com o propósito de verificarmos como se

encontra organizados os tópicos de estudo relacionados ao tema função linear afim.

Destacamos as orientações didático-pedagógicas sugeridas por esses documentos

para o desenvolvimento do conteúdo pelo professor em sala de aula e os critérios

propostos para avaliação, aos alunos do Ensino Fundamental.

4.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN)

Atualmente o poder público federal, por meio do Ministério da Educação e do

Desporto (MEC), disponibiliza os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o

Ensino Fundamental e os PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais para o

Ensino Médio. Estes documentos são as diretrizes curriculares educacionais de todo

o país, separados por disciplinas. Seu objetivo principal é apontar metas de

qualidade que auxiliem crianças e jovens brasileiros, no acesso ao conjunto de

conhecimentos reconhecidos como necessários para o exercício da cidadania

participativa, reflexiva e autônoma.

Instituídos pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº9394/96 (LDB),

implementados em 1997 os PCN têm por finalidade estabelecer uma referência

curricular e apoiar a revisão e a elaboração da proposta curricular das escolas

integrantes dos sistemas de ensino estaduais e municipais. Tem por finalidade

também auxiliar os educadores na reflexão sobre a prática diária em sala de aula,

servindo de apoio ao planejamento de aulas e ao desenvolvimento do currículo da

escola.

Visando o desenvolvimento de cidadãos participativos, reflexivos e

autônomos, os PCN (1998) para os anos finais do Ensino Fundamental da disciplina

de Matemática, apontam os objetivos em termos das capacidades que se espera

59

que os estudantes desenvolvam durante essa etapa escolar. Abaixo destacamos

especificamente as finalidades do ensino de Matemática que visam para esse

desenvolvimento. Espera-se levar o aluno a:

identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;

fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;

resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;

comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;

estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;

sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções;

interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (BRASIL, 1998, pag. 47 e 48).

60

A seleção e a organização dos conteúdos matemáticos para o Ensino

Fundamental nos PCN foram organizados em quatro grandes blocos de conteúdos,

a saber: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento

da informação.

Durante a análise desses documentos, procuramos identificar como as

diferentes concepções que compõe o nosso objeto de estudo, a função linear afim,

como interdependência, variável, variação, grandezas variáveis, proporcionalidade

estão distribuídos entre os blocos citados. Abaixo apresentamos o quadro extraído

dos PCN (1998), no qual, sintetiza as diferentes interpretações da álgebra no

cotidiano escolar. Procuramos identificar as orientações de trabalho sugeridas, a

importância de cada uma dessas concepções para o desenvolvimento escolar do

aluno, e os critérios de avaliação definidos pelos PCN.

Quadro 8 – Concepções algébricas no ensino fundamental Fonte: PCN (1998, p.116)

61

4.1.1 Objetivos da Matemática

Nesta etapa da educação, segundo os PCN (1998), o ensino de Matemática

deve visar ao desenvolvimento do pensamento algébrico e do raciocínio

proporcional.

Segundo os PCN (1998, p. 68), no decorrer do trabalho com o bloco

NÚMERO E OPERAÇÕES, é fundamental estudar algumas relações funcionais pela

exploração de padrões em sequências numéricas que levem os alunos a fazerem

algumas regularidades e generalizações, a compreensão da noção de variável pela

interdependência entre grandezas e a construção de procedimentos para calcular o

valor numérico de expressões algébricas simples. Conforme esse mesmo

documento, o trabalho inicial restringe-se apenas a compreensão da noção de

variável e o reconhecimento da relação entre a variação de duas grandezas.

Evitando-se ao aprofundamento das operações com as expressões algébricas e as

equações.

Sobre a introdução da noção de função no Ensino Fundamental, o trabalho é

orientado para que se utilize do conceito de proporcionalidade, permitindo a

articulação entre problemas multiplicativos, porcentagem, semelhança de figuras,

matemática financeira, análise de tabelas e gráficos. Espera-se que com esse

trabalho, os alunos ao final do Ensino Fundamental tenham desenvolvido uma

relação pessoal com a noção de função afim e que possam aplicar esse conceito em

situações contextualizadas, utilizando-se das diversas representações desse objeto

(fórmula, tabela e gráfico) e articulando-se entre elas.

4.1.2 Conteúdos propostos para o ensino de Matemática

Sobre os conteúdos propostos para o ensino de Matemática, no Ensino

Fundamental, os PCN (1998) destacam a importância do trabalho de estudo de

algumas relações funcionais, pela exploração de padrões em sequências numéricas,

a fim de fazer com que os alunos generalizem e compreendam a natureza das

representações algébricas; compreendam o conceito de variável e de função,

reconhecendo nessa expressão algébrica como uma forma de traduzir a relação

existente entre a variação e a interdependência de duas grandezas; representem

fenômenos de grandezas variáveis na forma algébrica e na forma gráfica no plano

62

cartesiano, caracterizando o comportamento dessa variação em diretamente

proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional (função afim ou

quadrática).

4.1.3 Conceitos e procedimentos

Sobre os conceitos a serem trabalhados e os procedimentos a serem

adotados, os PCN (1998) são bastante enfáticos em indicar que se proponha a

resolução de situações-problema como procedimento.

Os procedimentos adotados devem sugerir ao aluno a resolução de

situações-problema que envolvam a ideia de proporcionalidade, incluindo cálculos

com porcentagens, pelo uso de estratégias não-convencionais. Utilização de

representações algébricas para expressar generalizações sobre propriedades das

operações aritméticas e regularidades observadas em algumas sequências

numéricas. Situações-problema que levem a identificação da natureza da variação

de duas grandezas e expressando-a por meio de uma sentença algébrica e gráfica.

4.1.4 Critérios de avaliação

No que tange aos critérios de avaliação, segundo as orientações contidas

nos PCN (1998), expressam as expectativas de aprendizagem, objetivando a

verificação dos conteúdos matemáticos trabalhados durante os ciclos do Ensino

Fundamental. Os autores desse documento definem alguns critérios, os quais

poderão fundamentar o trabalho do professor, com a finalidade de verificar se os

alunos desenvolveram as capacidades previstas de conceitualização, procedimental

e atitudinal, de modo que possam continuar aprendendo no ciclo1 seguinte. Os

critérios de avaliação não abrangem a totalidade dos conteúdos, mas alguns

conteúdos destacados como fundamentais para cada ciclo do Ensino Fundamental.

Abaixo relacionamos alguns critérios para avaliação, de modo a verificar se os

1 Sistema concebido nos termos da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB), de

1996 como alternativa ao tradicional sistema de séries e na qual a avaliação é feita ao longo

do ciclo – e não ao fim do ano letivo. O sistema de ciclos tem base no regime de progressão

continuada, uma perspectiva pedagógica em que a vida escolar e o currículo são assumidos e

trabalhados em dimensões de tempo mais flexíveis. Dessa forma, o aluno só poderia ser

reprovado no fim de cada ciclo.

63

alunos desenvolveram as capacidades de:

Utilizar a linguagem algébrica para representar as generalizações inferidas a partir de padrões, tabelas e gráficos em contextos numéricos e geométricos.

Resolver situações-problema que envolvam a variação de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais e representar em um sistema de coordenadas cartesianas essa variação. (BRASIL, 1998, pag. 76 e 92).

4.1.5 Orientações Didáticas

As orientações didáticas apresentadas pelos PCN (1998), para o Ensino

Fundamental apontam que o estudo da Álgebra constitui um espaço bastante

significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e

generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para

resolver problemas. Assim, propõe que o trabalho no estudo da Álgebra envolva

principalmente situações-problema, para que levem os alunos a construírem noções

algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo

relações, evitando que se desenvolva o estudo da Álgebra apenas enfatizando as

“manipulações” com expressões e equações de uma forma meramente mecânica.

Os PCN (1998) orientam sobre a importância do estudo das variáveis para

representar relações funcionais em situações-problemas concretas. Possibilitando

que o aluno veja outra função para as letras ao identificá-las como números de um

conjunto numérico, úteis para representar generalizações, além de servirem para

indicar ou encobrir um valor desconhecido (incógnita).

No bloco ESPAÇO E FORMA, o trabalho com situações-problema sobre

variações de grandezas fornecem, segundo os PCN (1998), excelentes contextos

para o desenvolvimento da noção de função. Os alunos podem estabelecer como

varia o perímetro (ou área) de um quadrado, em função da medida de seu lado;

determinar a expressão algébrica que representa a variação, assim como esboçar o

gráfico cartesiano que representa essa variação.

Os autores do PCN (1998) destacam a importância dos gráficos para o

desenvolvimento de conceitos e procedimentos algébricos, permitindo a observação

64

da variedade de relações possíveis entre duas variáveis. Quando uma variável

aumenta, a outra pode permanecer constante, aumentar ou diminuir na mesma

razão da primeira, crescer ou decrescer, mas não exatamente na mesma razão,

aumentar ou diminuir muito mais acentuadamente, aproximar-se mais e mais de um

determinado valor, aumentar e diminuir alternadamente, aumentar ou diminuir em

etapas.

Segundo os PCN (1998), o conceito de função potencializa além das

conexões internas à própria Matemática, a descrição e o estudo, por meio da leitura,

interpretação e construção de gráficos, do comportamento de certos fenômenos

tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento.

É interessante perceber que já se incentivava a utilização da informática

como ferramenta pedagógica no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos

matemáticos. Segundo os PCN (1998), as planilhas eletrônicas e os softwares

gráficos são ricos recursos para se trabalhar conceitos algébricos por meio do

preenchimento de tabelas, da percepção das vantagens do uso das letras (como

variáveis) como generalização de um procedimento.

Finalizamos esta sessão com dois exemplos que fazem parte das

orientações didáticas dos PCN (1998), para serem trabalhadas em sala de aula.

65

Figura 34 – Atividade proposta Fonte: PCN (1998, p.119)

66

Figura 35 – Atividade proposta Fonte: PCN (1998, p.120)

Nos dois exemplos citados acima, pudemos identificar a utilização da

contextualização de situações práticas do dia-a-dia, como proposta de trabalho no

processo de ensino e aprendizagens sobre o conceito de função linear afim.

67

4.2 CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

A Proposta Curricular para o Estado de São Paulo, criada em 2008 e que se

tornou referência comum em todas as escolas da rede estadual por meio do

Programa São Paulo Faz Escola, teve no início como uma de suas principais

características a implantação de um currículo pedagógico único que visava a prática

de um mesmo plano de aula para todas as escolas da rede estadual, dessa forma

tendo como meta a melhoria na qualidade de ensino.

Atualmente a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo publicou uma

nova versão do Currículo, este material teve sua edição revista com a colaboração

de especialistas de cada área e pelos professores, hoje passando a ser denominado

como Currículo do Estado de São Paulo. Fazem parte desse programa, o Caderno

do Gestor e o material didático destinado aos professores e alunos: Caderno do

Professor e os Cadernos dos Alunos, organizados por disciplina/série

(ano)/bimestre.

Todo esse conjunto de documentos tem por finalidade apresentar os

princípios orientadores para a prática educativa, priorizando ao aluno o

desenvolvimento das competências de leitura e escrita, (2012, p. 14).

4.2.1 Organização dos conteúdos básicos

A organização dos conteúdos de Matemática do Currículo do Estado de São

Paulo, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio, estão organizados em

três blocos temáticos: NÚMEROS, GEOMETRIA e RELAÇÕES.

Segundo o Currículo do Estado de São Paulo (2012) define as

características de cada bloco, a saber:

Os NÚMEROS envolvem as noções de contagem, medida e

representação simbólica, tanto de grandezas efetivamente existentes quanto de outras imaginadas a partir das primeiras, incluindo-se a representação algébrica das operações fundamentais sobre elas. Duas ideias fundamentais na constituição da noção de número são as de equivalência e de ordem.

68

A GEOMETRIA diz respeito diretamente à percepção de formas e de

relações entre elementos de figuras planas e espaciais; à construção e à representação de formas geométricas, existentes ou imaginadas, e à elaboração de concepções de espaço que sirvam de suporte para a compreensão do mundo físico que nos cerca.

As RELAÇÕES, consideradas como um bloco temático inclui a

noção de medida, com a fecundidade e a riqueza da ideia de aproximação; as relações métricas em geral; e as relações de interdependência, como as de proporcionalidade ou as associadas à ideia de função. (SÃO PAULO, 2012, p. 39).

4.2.2 O processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos básicos

Segundo as orientações contidas no Currículo do Estado de São Paulo

(2012, p. 40), para que o trabalho referente às representações algébricas seja

desenvolvido, é importante que o professor se atente para os seguintes pontos:

- as primeiras ideias associadas ao plano cartesiano devem ser trabalhadas

no Ensino Fundamental, na 5ªsérie/6ºano ou na 6ªsérie/7ºano, por meio da

localização de pontos.

- a construção, análise e interpretação de gráficos, devem ser desenvolvidas

na 7ªsérie/8ºano ou na 8ªsérie/9ºano.

A ideia de proporcionalidade também é tema do currículo do Ensino

Fundamental, servindo para a exploração das relações entre grandezas direta e

inversamente proporcionais, cujo prolongamento será o estudo das funções de 1º

grau.

No Ensino Médio, há uma grande ênfase aos conteúdos associados ao bloco

temático Relações. Nesse eixo é proposto a investigação das relações de

interdependência, e o aprofundamento mais sistematizado de um tipo particular de

interdependência, que são as funções, incluindo-se a noção de taxa de variação.

Sobre a forma de apresentação dos conteúdos matemáticos, o Currículo do

Estado de São Paulo destaca a importância da apresentação aos alunos do

significado dos conteúdos a serem ensinados, por meio da expressão histórica de

tais conteúdos, seu desenvolvimento, suas mudanças conceituais no decorrer do

tempo.

69

Finalizamos esse capítulo, apresentando os quadros de conteúdos e

habilidades de Matemática, constantes do Currículo do Estado de São Paulo.

Nesses quadros, optamos por apresentar como destaque, os tópicos relacionados

ao tema função linear afim, os bimestres letivos, no qual são desenvolvidos os

trabalhos, e também, as habilidades que se espera que os alunos tenham

desenvolvido no final de cada etapa escolar.

70

6ª Série/7º Ano do EF 7ª Série/8º Ano do EF 8ª Série/9º Ano do EF 1ª Série do EM 3ª Série do EM

CONTEÚDOS

2º

BIM

ES

TR

E

Números/Relações

Funções

Noções básicas sobre função

A ideia de variação

Construção de tabelas e gráficos para representar função de 1º grau

Relações

Funções

Relação entre duas grandezas

Proporcionalidades: direta, inversa

Função de 1º grau

3º

BIM

ES

TR

E

Relações

Proporcionalidade

Variação de grandezas direta ou inversamente proporcionais

Conceito de razão

Números/Relações

Gráficos

Coordenadas: localização de pontos no plano cartesiano

Relações

Estudo das funções

Qualidades das funções

Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação

Quadro 9 – Conteúdos de Matemática Fonte: Adaptado de SEE/SP (2012)

71

6ª Série/7º Ano

do EF

HABILIDADES

3º

BIM

ES

TR

E

Relações

Proporcionalidade

Variação de grandezas direta ou inversamente proporcionais

Conceito de razão

Saber reconhecer situações que envolvem proporcionalidade em

diferentes contextos, compreendendo a ideia de grandezas direta e

inversamente proporcionais

Saber resolver problemas variados, envolvendo grandezas direta e

inversamente proporcionais

Quadro 10 – Habilidades de Matemática Fonte: Adaptado de SEE/SP (2012)

7ª Série/8º Ano

do EF

HABILIDADES

3º

BIM

ES

TR

E

Números/Relações

Gráficos

Coordenadas: localização de pontos no plano cartesiano

Compreender e usar o plano cartesiano para a representação de

pares ordenados, bem como para a representação das soluções de

um sistema de equações lineares


72

8ª Série/9º Ano do EF

HABILIDADES

2º

BIM

ES

TR

E

Números/Relações

Funções

Noções básicas sobre função

A ideia de variação

Construção de tabelas e gráficos para representar função de 1º grau

Compreender a noção de função como relação de interdependência

entre grandezas

Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de

proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções

de 1º grau

Saber construir gráficos de função de 1º grau por meio de tabelas e

da comparação com os gráficos das funções y = x


1ª Série do EM

HABILIDADES

2º

BIM

ES

TR

E

Relações

Funções

Relação entre duas grandezas

Proporcionalidades: direta, inversa

Função de 1º grau

Saber reconhecer relações de proporcionalidade direta, inversa,

direta com o quadrado, entre outras, representando-as por meio de

funções

Compreender a construção do gráfico de funções de 1º grau,

sabendo caracterizar o crescimento, o decrescimento e a taxa de

variação

Saber utilizar em diferentes contextos as funções de 1º grau


73

3ª Série do EM

HABILIDADES

3º

BIM

ES

TR

E

Relações

Estudo das funções

Qualidades das funções

Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação

Saber usar de modo sistemático as funções para caracterizar

relações de interdependência, reconhecendo as funções de 1º grau,

com suas propriedades características

Compreender o significado da taxa de variação unitária (variação de

f(x) por unidade a mais de x), utilizando-a para caracterizar o

crescimento, o decrescimento de gráficos


74

CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DE MATERIAIS DIDÁTICOS

O objetivo deste capítulo será descrever a análise realizada nos materiais

didático-pedagógicos: Caderno do Aluno/Professor e Livros Didáticos. O objetivo

desta análise foi investigar como o tema função linear afim é abordado nos materiais

didático-pedagógicos sob o ponto de vista da Teoria dos Registros de

Representações Semióticas, e como são propostas as atividades sobre o tema. Para

isso, analisamos o material Volume 2 do Caderno do Aluno da 8ª Série/9º Ano do

Ensino Fundamental e o Caderno do Professor, sendo esses materiais de apoio ao

Currículo do Estado de São Paulo e três livros didáticos, integrantes do Programa

Nacional do Livro Didático (PNLD) para o ano de 2014.

5.1 MATERIAL DA SEESP: CADERNOS DO PROFESSOR E DOS ALUNOS

O Programa São Paulo Faz Escola, promovido pela Secretaria da Educação

do Estado de São Paulo, disponibiliza para toda a rede de ensino público o material

didático-pedagógico: Caderno do Professor e os Cadernos dos Alunos. O Caderno

do Professor é um material de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo e tem por

finalidade promover orientações básicas para a prática do trabalho pedagógico do

professor, durante a realização das atividades pelos alunos no Caderno do Aluno.

Os conteúdos matemáticos propostos no Volume 2 do Caderno do Aluno da

8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental, orientados pelo Caderno do Professor, são

as equações de 2º grau e a noção de função, sendo que, esses conteúdos estão

organizados em oito unidades, conforme quadro abaixo:

75

Quadro 15 – Conteúdos de Matemática da 8ª Série/9º Ano do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 11)

Para os conteúdos a serem trabalhados na 1ª Série do Ensino Médio no

Caderno do Aluno, também tendo suas orientações contidas no Caderno do

Professor, estão apresentadas no quadro abaixo:

Quadro 16 – Conteúdos de Matemática da 1ª Série do EM Fonte: SEE/SP (2013 p. 10)

Como o nosso objeto de pesquisa, refere-se ao tema função linear afim,

focamos nossa análise, apenas nas Unidades 6, 7 e 8 do material da 8ª Série/9º Ano

do Ensino Fundamental, com o propósito já descrito no início deste capítulo.

76

As orientações do material de apoio da 8ª Série/9º Ano do Ensino

Fundamental, propõem que o conteúdo funções seja desenvolvido durante o 2º

bimestre do ano letivo. Espera-se que os alunos iniciem o desenvolvimento do

conceito de função por meio da análise e percepção da interdependência entre duas

grandezas. As atividades são apresentadas em duas situações de aprendizagens,

de forma a sugerir como o professor possa abordar os conteúdos a serem

desenvolvidos durante o bimestre.

As sugestões de abordagem para o tema funções, segundo o Caderno do

Professor, foram organizadas em três das oito unidades, conforme apresentado no

Quadro 14. No Caderno do Aluno, as unidades são trabalhadas em dois capítulos

denominados de Situações de Aprendizagem 3, para a unidade 6 e Situações de

Aprendizagem 4, para as unidades 7 e 8.

As atividades propostas na Situação de Aprendizagem 3, baseiam-se na

resolução de situações-problema. Tem-se inicialmente a intenção de fazer com que

o aluno além de perceber a variação entre grandezas, também consiga estabelecer

uma relação entre essas grandezas por meio da proporcionalidade. Proporcionando

ao aluno a possibilidade de exploração das noções básicas sobre funções, como a

dependência entre grandezas variáveis, e também o desenvolvimento do raciocínio

proporcional.

Atividade 1

A situação-problema dessa atividade é apresentada no registro da língua

natural e no registro numérico. É solicitado aos alunos que discutam sobre a

problemática levantada, e por meio da comparação entre os registros numéricos

eles consigam identificar a proporção direta, caso exista.

ENUNCIADO

Figura 36 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno do EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 34)

77

Atividade 2

Essa atividade é composta de quatro situações-problema, são apresentadas

em registro tabular. É solicitado aos alunos, que eles analisem a variação entre as

grandezas denominadas y e x, é informado que a grandeza y varia em função da

grandeza x. E com base nessa análise os alunos deverão concluir se as duas

grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, ou ainda, se não há

proporcionalidade entre elas. Em seguida, em cada caso proposto anteriormente é

solicitado aos alunos, a conversão para representação algébrica.

ENUNCIADO


Atividade 3

Essa atividade é composta de sete situações-problema, é solicitado aos

alunos que analisem cada uma das situações propostas e verifiquem a existência ou

não de proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas, é solicitado

também, caso haja tal fato, a sua representação algébrica e a indicação da

constante de proporcionalidade. Quanto à forma de apresentação dos registros, as

situações-problema contemplam os registros da língua natural/algébrico, língua

natural e figural/língua natural/algébrico.

78

ENUNCIADO

Figura 38 – Atividade do caderno do aluno – 8ªSérie/9ºAno EF Fonte: SEE/SP (2013 p. 36)

Atividade 4

A atividade 4 apresenta uma situação contextualizada sobre a relação entre

a distância de segurança e a velocidade de um veículo, após ter sido acionado o

sistema de freio. O objeto matemático função, nesta contextualização é informado

tanto no registro tabular e no registro algébrico. A atividade é dividida em três

situações-problemas, sendo que, na primeira é solicitada a constante de

proporcionalidade por meio do tratamento do registro algébrico. Na segunda e na

terceira situação-problema, também é explorada o tratamento em registro algébrico,

a fim de se obter a velocidade média e a distância, respectivamente.

79

ENUNCIADO


Atividade 5

A contextualização também se faz presente nesta atividade sob a situação

da relação dentre o custo total C e a quantidade x produzida de um produto. As

informações do enunciado são apresentas em registro algébrico, sendo os

exercícios divididos em cinco etapas. Na primeira etapa é solicitada por meio do

tratamento do registro algébrico, a constante de proporcionalidade. Nos dois

exercícios seguintes, também são resolvidos por meio do tratamento da expressão

algébrica dada no enunciado do problema. Os dois últimos exercícios dessa

atividade são solicitados a verificação da existência de proporcionalidade entre as

variáveis C e x, sendo que é sugerido ao professor a resolução por meio da

construção de uma tabela.

80

ENUNCIADO


Atividade 6

A situação proposta é apresentada na forma contextualizada e o objeto

matemático função é informado em seu registro algébrico. Dividida em três partes,

sendo que a primeira e a segunda são aplicadas o tratamento no registro algébrico e

na terceira é sugerida a construção de uma tabela, neste caso verificamos a

conversão do registro algébrico do enunciado principal para o registro numérico-

tabular.

ENUNCIADO


81

Atividade 7

Nesta atividade a situação-problema é apresenta de forma contextualizada,

o objeto matemático é apresentado em seu registro algébrico e todas as cinco partes

são resolvidas aplicando-se o tratamento em registro algébrico.

ENUNCIADO


Atividade 8

Na atividade 8, temos figuras que simulam a área projetada em função da

distância do projetor e a tela de projeção. Dividida em quatro situações-problema, na

primeira temos uma conversão dessa representação figural para uma representação

tabular. Na segunda vemos a conversão da relação apresentada na figura para uma

em registro algébrico. Nas duas últimas situações-problema, são realizadas

tratamentos em registro algébrico.

82

ENUNCIADO


Atividade 9

Esta última atividade proposta, temos uma contextualização sobre o conceito

de oferta e demanda, e o objeto matemático função é representado algebricamente.

São propostas duas situações problemas, sendo a primeira, desenvolvida por meio

do tratamento de registros algébricos e na segunda situação problema, a fim de que

se perceba a relação entre as variáveis da representação, sugere-se a construção

de uma tabela, isto é, há uma conversão entre os registros algébrico e numérico-

tabular.

83

ENUNCIADO


Ao final desta Situação de Aprendizagem 3, composta das atividades

descritas acima, segundo o Material de Apoio, para que haja uma avaliação sobre o

conteúdo trabalhado durante esse período, espera-se que os alunos por meio de

contextualizações, consigam modelar por meio de uma expressão algébrica as

relações entre duas grandezas, consigam analisar a proporcionalidade direta e

inversa, e percebam a relação de interdependência entre as variáveis na expressão

algébrica ou na construção de tabelas.

O trabalho de análise que fizemos no Material de Apoio ao Currículo do

Estado de São Paulo, sendo estes o Volume 2 do Caderno do Professor e Caderno

do Aluno da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental, teve como objetivo verificar de

que forma as atividades propostas nesse material abordam as transformações e os

tipos de registros de representação semiótica do objeto matemático função linear

afim. O interesse nessa análise foi para verificar se as atividades e/ou exercícios

propostos aos alunos englobam os diversos registros de representações semióticas

e se os mesmos dão subsídios necessários para os alunos transitarem entre as

diversas representações por meio das conversões.

84

Tipo de transformação de registros

Tratamento Conversão

Atividade 1 1 -

Atividade 2 - 4

Atividade 3 - 6

Atividade 4 3 -

Atividade 5 5 2

Atividade 6 2 1

Atividade 7 5 -

Atividade 8 2 1

Atividade 9 1 1

TOTAL 18 15 Tabela 2 – Tipo de transformação – Caderno do Aluno 8ªSérie/9ºAno do EF FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Sentido da conversão de registros

TabularAlgébrico AlgébricoTabular Língua naturalAlgébrico

Atividade 2 4 - -

Atividade 3 - - 6

Atividade 5 - 2 -

Atividade 6 - 1 -

Atividade 8 1 - -

Atividade 9 - 1 -

TOTAL 5 4 6 Tabela 3 – Sentido da conversão – Caderno do Aluno 8ªSérie/9ºAno do EF FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Interessante notar que, o material analisado acima, sob o ponto de vista da

Teoria dos Registros de Representações Semióticas, apresenta quase um equilíbrio

em relação a quantidade de transformações de tratamento e conversão de registros.

Já em relação aos sentidos das conversões, não identificamos nenhuma atividade

que explorasse a conversão de registros no sentido gráfico.

85

5.2 MATERIAL DO PNLD 2014: LIVROS DIDÁTICOS

O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), promovido pelo Ministério

da Educação e do Desporto (MEC), por meio do Fundo Nacional de

Desenvolvimento da Educação (FNDE), disponibiliza para a rede de ensino público

do país, aos alunos do Ensino Fundamental e Médio, o material livro didático. Além

desse material, são distribuídos também obras literárias, obras complementares e

dicionários.

O PNLD ocorre a cada três anos alternadamente. A cada ano o FNDE

adquire e distribui livros para todos os alunos de determinada etapa de ensino,

repõe e complementa os livros reutilizáveis para outras etapas de ensino. Para o

PNLD 2014, o programa passa a distribuir, além do material didático impresso, o

conteúdo multimídia complementar aos livros, que são DVDs, CD-ROM entre outros.

Este material contêm conteúdos que poderão ser reproduzidos livremente para

todos os alunos. Esta iniciativa tem por objetivo facilitar o acesso dos professores e

alunos às novas tecnologias, auxiliando dessa forma, no processo de ensino e

aprendizagem.

Optamos por escolher apenas três exemplares, de forma aleatória, dentre as

dez coleções de livros didáticos de Matemática, recomendados para compor o PNLD

2014. Os livros escolhidos correspondem à etapa de ensino da 8ª Série/9º Ano do

Ensino Fundamental.

Para análise dos livros didáticos selecionados, estabelecemos os seguintes

critérios de análise descritos abaixo, juntamente com as respectivas justificativas

para os critérios adotados:

Critério 1: Em algum momento, no desenvolvimento do conceito de função

linear afim, nas atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, é proposta

a utilização de algum ambiente computacional?

Justificamos a adoção do critério 1, como critério de análise, por

entendermos a importância que o material livro didático têm para o professor. Sendo

o livro didático, na maioria das vezes o alicerce e o direcionador do trabalho

pedagógico do professor, juntamente com as orientações constantes nos

documentos oficiais. É no livro didático que se encontra a possibilidade de se

colocar em prática, por meio de exercícios, o conteúdo específico da disciplina, e

86

que o professor desenvolverá com os seus alunos. Aliada à importância do livro

didático como material pedagógico, percebemos também a importância que o tema

informática tem para os dias atuais e o seu papel no ambiente escolar. Pois, como já

foi dito, podemos ter em ambientes informatizados, ferramentas de grande suporte

ao processo de formalização dos conteúdos matemáticos, auxiliado pelas suas

características de dinamismo e interatividade entre o aluno e o objeto matemático

(Gravina e Santarosa, 1998).

Por esse motivo, procuramos investigar se este material, o livro didático,

também compartilha dessa importância e incentiva a prática do uso da informática,

por meio de atividades constituídas, desenvolvidas e orientadas ao uso de um

ambiente informatizado.

Critério 2: No desenvolvimento do conceito de função linear afim, nas

atividades e exercícios a serem resolvidos pelos alunos, com qual intensidade são

exploradas as noções de registros de representações semióticas e as noções de

conversões de representações?

De acordo com Duval (1996 apud Moretti 2002), é importante que haja

articulação entre os diversos registros de um objeto matemático. Sendo essa

articulação, uma condição satisfatória para o acesso à compreensão do objeto

matemático em estudo, dando ao aluno a oportunidade de conhecimento das

diversas representações, evitando o “enclausuramento” em uma única

representação.

Concordamos com Silva (2007, p. 46), quando diz que, “para haver uma

apreensão global das representações gráfica e algébrica de uma função, é

necessário que a conversão entre os registros de representação ocorra nos dois

sentidos”.

Dessa forma, acreditamos na importância em analisar de que forma são

propostas as atividades aos alunos. Se essas atividades abordam as

transformações de conversões entre as representações do objeto matemático

função linear afim nos livros didáticos integrantes do PNLD 2014. E se essa

articulação abrange os dois sentidos de conversão.

87

5.2.1 Livro didático 1

DANTE, L. R.: Projeto Teláris – Matemática – 9º ano, 1ª Edição, 2ª

Impressão, São Paulo: Editora Ática, 2013.


linear afim, nas atividades e exercícios a serem desenvolvidos pelos alunos, é

proposta a utilização de algum ambiente computacional?

Com base em nossa análise, pudemos observar no Livro 1, que durante o

desenvolvimento dos temas, há a indicação e orientação do autor para a realização

de atividades por meio da utilização das TIC. No decorrer dos capítulos, há a

indicação por meio de um pequeno ícone juntamente com um número.

Figura 45 – Ícone de atividade digital Fonte: DANTE (2013 p. 84)

Este ícone indica que o professor deverá dirigir-se a sessão “Objetos

Educacionais Digitais”. Nesta sessão o professor encontrará uma tabela com as

orientações sobre o conteúdo matemático e a respectiva atividade multimídia a ser

realizada. Essas atividades envolvem a utilização de jogos eletrônicos, vídeos,

simuladores e infográficos animados.

88

Figura 46 – Relação de objetos educacionais digitais Fonte: DANTE (2013 p. 328)

No Livro 1, há também sugestões de sites, página 325 com que os alunos

poderão complementar seus estudos relacionados à Matemática e outros assuntos

em geral.





Neste livro, o conceito de função linear afim é inicialmente abordado por

meio de uma situação contextualizada, no caso, a situação do salário de um

vendedor.

89

Figura 47 – Introdução ao conceito de função linear afim Fonte: DANTE (2013 p. 83)

Neste exemplo inicial o registro é dado em língua natural e em seguida há a

conversão para a representação no registro algébrico. Logo em seguida, o autor

introduz a definição algébrica de função linear afim, não especificando como

coeficientes e sim como letras a e b pertencentes aos reais.

“Chamamos de função afim toda função cuja lei de formação pode ser

indicada por y = ax + b, com a e b reais.” (Grifo do autor).

DANTE (2013 p.83).

O autor continua com mais alguns exemplos de função linear afim, mas

todos esses exemplos indicados em registro algébrico.

O conjunto de exercícios referentes à etapa de conceitualização de função

linear afim explora inicialmente a conversão para registro algébrico de situações

indicadas em registro da língua natural, para, em seguida, prosseguir em sua maior

parte, no tratamento de registros.

90

Figura 48 – Exercícios Fonte: DANTE (2013 p. 83)

A introdução da representação gráfica da função linear afim é feita por meio

da conversão de representações, do registro numérico tabular para o registro gráfico

no plano cartesiano.

Figura 49 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim Fonte: DANTE (2013 p. 84)

O autor aproveita essa situação para introduzir os conceitos de crescimento

ou decrescimento da função, quando a é positivo ou negativo, respectivamente. Em

um segundo momento, sobre a representação gráfica, o autor explica sobre a

inclinação da reta em relação ao eixo x, inicialmente pelo registro gráfico e em

seguida, definindo o sinal de a em registro algébrico.

91

É importante destacar, que a forma como é traçada o gráfico linear depende

do conjunto numérico ao qual pertence a variável x. Tomando-se como exemplo, o

exercício 21 da Figura 48, vimos que se trata da produção de determinada peça.

Sendo assim, devemos considerar x (número de peças produzidas) pertencendo ao

conjunto dos números naturais, pois neste caso, não poderá ocorrer a produção de

peças fracionadas ou negativas. Ocasionando, dessa forma, o traçado gráfico de

forma não-contínua. Já no caso do exercício 22, Figura 48, cabe o traçado do gráfico

linear de forma contínua, pois x (minutos em que a torneira fica aberta) pode ser

representado pelo conjunto dos números racionais não negativos.

O conjunto de atividades referentes aos conceitos gráficos da função linear

afim é proposto de forma a explorar as transformações de tratamento e conversão

de registros. É um pequeno bloco de exercícios, no qual são solicitados inicialmente

a conversão dos registros algébrico para o registro gráfico, em seguida são

exploradas na forma de tratamento de registro gráfico no plano cartesiano, os

conceitos de par ordenado, zero da função e declividade da reta.


Neste livro, também são abordados os conceitos de casos particulares da

função linear afim: função linear e função identidade. Nos dois casos, as definições

são apresentadas em representações algébrica e gráfica.

92

Figura 51 – Definição da função linear Fonte: DANTE (2013 p. 86)

Figura 52 – Gráfico da função linear Fonte: DANTE (2013 p. 87)

Figura 53 – Definição de função identidade Fonte: DANTE (2013 p. 87)

93

Nos exercícios são propostas atividades que colocam em prática, tanto as

transformações de tratamento de registros – algébrico, quanto as conversões –

língua natural para o registro algébrico, do registro algébrico para o registro gráfico

no plano cartesiano. Destacamos dois exercícios desse bloco, no qual são

exploradas a representação figural.

Figura 54 – Exercícios Fonte: DANTE (2013 p.86)

O conceito de proporcionalidade direta em conjunto com a função linear,

também é considerado neste livro. É introduzido por meio de uma contextualização

entre grandezas: espaço percorrido e tempo. Em seguida, é solicitada a sua

representação em registro algébrico, continua com o tratamento em registro

numérico tabular e finaliza este exemplo com a transformação de conversão em

registro gráfico no plano cartesiano.

94

Figura 55 – Introdução a proporcionalidade e função linear Fonte: DANTE (2013 p.89)

Figura 56 – Introdução a proporcionalidade e função linear Fonte: DANTE (2013 p. 89)

Os exercícios que tratam da proporcionalidade direta e a função linear são

em sua maioria propostos de forma contextualizada. Quanto aos registros de

representação semióticas, os exercícios foram constituídos de forma a englobar as

diversas representações (língua natural, algébrico, tabular, figural e gráfico). As

transformações de tratamento e conversões entre representações também são

tratadas nesses exercícios finais de proporcionalidade direta e a função linear. Há

tratamento em registro algébrico, tabular, gráfico. As conversões seguem o padrão:

Língua natural algébrico, Figural Tabular Gráfico. Para finalizar,

destacamos três exercícios que utilizam representações diferentes de função linear.

95


96



Apresentamos na tabela a seguir, a quantidade de conversões de registros e

o sentido das conversões exploradas nos exercícios presentes no Livro 1:

97

Sentido da conversão de registros – Livro 1

Sessão Língua naturalAlgébrico AlgébricoLíngua natural AlgébricoGráfico GráficoAlgébrico

Conceito de função afim

(pág. 83)

2 - - -

Gráfico de uma função afim

(pág. 84 e 85)

- - 8 -

Um caso particular de função afim

(função linear) (pág. 86)

4 - - -

Gráfico de um função linear

Função identidade (pág. 87)

5 - 9 -

Função linear e Proporcionalidade

(pág. 89)

2 - - 1

TOTAL 13 - 17 1

Tabela 4 – Sentido da conversão de registros – Livro 1 Fonte: DANTE (2013)

98


LEONARDO, F. M. de: Projeto Araribá – Matemática – 9º ano, Obra coletiva,

3ª Edição, São Paulo: Editora Moderna, 2010.




Pudemos observar no Livro 2, que durante o desenvolvimento dos temas, há

a indicação de conteúdo digital relacionado ao tema trabalhado. Trata-se de

animações contidas em CD-ROM e DVD, no qual o professor é orientado a

demonstrar com seus alunos por meio das animações, situações do cotidiano. Como

por exemplo, no caso da sessão que trata de função linear afim, há um conteúdo

digital que demonstra situação do cotidiano, envolvendo grandezas variáveis:

distância percorrida por um carro em função do tempo.

Figura 60 – Conteúdo digital Fonte: LEONARDO (2010 p. 146)

Não identificamos no Livro 2 alguma atividade que explorasse o uso do

computador como ferramenta no processo de ensino e aprendizagem. Encontramos

no volume do professor, no “Guia e Recursos Didáticos”, apenas um indicação para

o professor, de softwares gratuitos voltados ao ensino de funções e gráficos:

Geogebra e Graphmatica (página 11).

Na sessão de orientações para o desenvolvimento das unidades, há outras

sugestões para os professores, por meio de links. Acessando os links o professor

poderá encontrar atividades previamente elaboradas para serem desenvolvidas com

seus alunos, mas não se trata de atividades que necessitem da utilização do

computador para serem realizadas.

99





No Livro 2, o conceito de função linear afim é inicialmente abordado por

meio de uma situação contextualizada, no caso, a situação do valor total gasto por

“Francisco” ao se deslocar com o seu veículo de uma cidade a outra para o trabalho.

Figura 61 – Introdução ao conceito de função linear afim Fonte: LEONARDO (2010 p. 138)

Neste exemplo inicial o registro é dado em língua natural e em seguida há a

conversão para o registro algébrico. Na sequência, o autor apresenta o mesmo

exemplo em forma de tabela e a sua representação gráfica, alertando para o fato de

que o gráfico dessa função é uma linha contínua, devido x poder assumir qualquer

100

valor real igual a zero ou maior. O Livro 2 encerra essa etapa inicial de

conceitualização da função linear afim, definindo-a como:

“Função afim é toda função cuja lei pode ser escrita na forma y = ax + b,

em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real.” (Grifo

do autor).

LEONARDO (2010 p.138).



O conjunto de exercícios referentes à etapa de conceitualização de função

linear afim explora em sua maior parte o tratamento de registros. Mas, há alguns

exercícios interessantes que tratam da conversão de registros, no sentido: Figural

Algébrico e outro no sentido Língua natural TabularAlgébrico.

Figura 62 – Exercícios Fonte: LEONARDO (2010 p. 139)

101


Na introdução da representação gráfica da função linear afim, o Livro 2

utiliza como exemplo a associação entre duas representações: Tabular e Gráfico.

Figura 64 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim Fonte: LEONARDO (2010 p. 140)

Figura 65 – Introdução da representação gráfica – Função linear afim Fonte: LEONARDO (2010 p. 140)

O autor também expõe nesses exemplos os efeitos de quando a função é

crescente, decrescente ou constante, definindo quando a é positivo, negativo ou

igual a zero, respectivamente. Na sequência, são apresentados os conceitos de zero

da função. Por meio de um exemplo contextualizado, é apresentada a análise do

102

gráfico da função afim. Essa contextualização aborda a questão do faturamento de

uma indústria de automóveis, no qual esse faturamento dependente da quantidade

de veículos vendidos. É representado em registro gráfico, tendo como parâmetro de

análise as representações algébricas de a na representação algébrica f(x) = a.x + b:

para x = b

, com a 0, f(x) 0a

, R$0,00 de faturamento

para x > b

, com a 0, f(x) 0a

, Lucro no faturamento

para x < b

, com a 0, f(x) 0a

, Prejuízo no faturamento


afim é proposto de forma a explorar em sua maioria os tratamentos de registros.

Encontramos poucos exercícios que envolvessem conversões em registro gráfico.

No Livro 2, é trabalhado o conceito de função linear, mas não o de função

identidade. O autor explica por meio de definição o comportamento da reta,

utilizando-se das representações algébrica e gráfica, demonstrando como principal

característica, tendo em sua representação gráfica, a reta passando pelo ponto

(0,0).

Figura 66 – Definição de função linear Fonte: LEONARDO (2010 p. 143)

Nos exercícios propostos, aparece de forma implícita o conceito de

proporcionalidade entre grandezas, com alguns casos na forma contextualizada.

Quanto aos registros de representações, além dos tratamentos de registros,

103

aparecem também atividades envolvendo as conversões. Em sua maioria as

conversões exigidas nesses exercícios seguem o padrão: Língua natural

Algébrico.




104


Para finalizar este capítulo, o Livro 2 propõe um conjunto de exercícios para

serem resolvidos pelos alunos, denominada “Atividades integradas”. Os exercícios

abrangem todo o conteúdo de função linear afim trabalhado. Em relação às suas

representações, são aplicadas de forma a se utilizar dos tratamentos de registros,

sendo a maioria no registro algébrico e as conversões no sentido Língua natural

Algébrico, Algébrico Gráfico e Gráfico Algébrico.


105




106




(pág. 138) 2 - - -


(pág. 140) - - 3 -

Função linear (pág. 143) 4 - - -

Atividades Integradas (pág. 144) 4 - 2 3

TOTAL 10 - 5 3

Tabela 5 – Sentido da conversão de registros – Livro 2 Fonte: LEONARDO (2010)

107


PATARO, P. R. M, SOUZA, J. R. de: Vontade de saber Matemática – 9º ano,

São Paulo: Editora FTD, 2012.




Encontramos no Livro 3, diversas atividades que utilizam de recurso

computacional. Essas atividades são propostas no final de cada capítulo com o título

de “Acessando tecnologias”. Em relação ao capítulo que trata da função linear afim,

no final do capítulo, o “Acessando tecnologia” propõe algumas atividades com a

utilização do software livre Geogebra, conforme abaixo:

Figura 73 – Atividades propostas com a utilização de software Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 116)

108

Figura 74 – Atividades propostas com a utilização de software Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 116)





No Livro 3, como no dois livros analisados anteriormente, inicia conceito de

função linear por meio de uma situação contextualizada, nesse caso, a situação é a

locação de um quarto em uma pousada de férias. Sendo o aluguel correspondente a

uma parte fixa, referente à taxa de limpeza, mais um valor por dia.

Figura 75 – Introdução ao conceito de função linear afim Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 93)

109

Neste exemplo inicial, a representação em registro da língua natural e em

seguida há a conversão para o registro algébrico. Na sequência, o autor efetua um

tratamento em registro para explicar como exemplo, o valor total a pagar, caso a

hospedagem fosse de sete dias.

O Livro 3 encerra essa etapa inicial de conceitualização da função linear

afim, definindo-a como:

“Chamamos de função afim toda função do tipo f(x) = ax + b, em que:

a é o coeficiente real de x, com a 0.

b é um coeficiente real, também chamado termo independente.” (Grifo do

autor).

PATARO e SOUZA (2012 p. 93).



No conjunto de exercícios sobre a conceitualização de função linear afim,

podemos perceber que existem dois grandes blocos de exercícios. O primeiro

exercita o tratamento de registros algébricos, e o segundo bloco abrange também o

tratamento em registro algébrico, mas somente após a conversão feita inicialmente

no sentido Língua natural Algébrico.

Na introdução da representação gráfica da função linear afim, o Livro 3

utiliza-se de um roteiro. A partir de uma função dada, o autor orienta a construção de

uma tabela, e com valores atribuídos a x, faz-se o tratamento de cada um desses

valores no registro algébrico, obtendo-se os pares ordenados (x,y), no qual servirão

para localização dos pontos no plano cartesiano. Esse roteiro apresentado pelo Livro

3, é ilustrado no livro utilizando-se as representações tabular e gráfica no plano

cartesiano e demonstra a transformação de conversão entre esses dois registros, no

padrão: Tabular Gráfico.

110

Figura 76 – Introdução a representação gráfica Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 95)


afim se concentra nas conversões de registros. Há uma grande quantidade de

conversões, sendo elas em maior parte no sentido Algébrico Gráfico, mas

também, só que em número menor, o sentido oposto Gráfico Algébrico.

111

Figura 77 – Exercícios Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 96)

Os conceitos de função linear e proporcionalidade são trabalhados em

conjunto no Livro 3. São introduzidos por meio de uma situação contextualizada,

tendo seus registros presentes em língua natural, algébrico, tabular e gráfico. Na

sequência são propostos alguns exercícios, nos quais são colocadas em prática os

tratamentos e as conversões. Como na sessão anterior, nesses exercícios sobre

função linear e proporcionalidade, são bastante aproveitadas as conversões nos

dois sentidos: Gráfico Algébrico e Algébrico Gráfico.

112

Figura 78 – Exercícios Fonte: PATARO e SOUZA (2012 p. 98)

O Livro 3, também introduz crescimento e decrescimento da função linear

afim, por meio das representações tabular e gráfico. São poucos exercícios

destinados a esse tópico, e todos eles utilizam apenas dos tratamentos de registros.

O último tópico de função linear afim no Livro 3, ficou reservado para o

trabalho sobre o “zero de uma função afim” e a “Interseção com o eixo y”. Nessa

etapa, o autor utilizou das representações algébricas e gráficas para falar do tema.

Para encerrar, foram propostos exercícios, em sua maioria com tratamentos de

registros, dentre os quais, tratamento em registro gráfico.



113




(pág. 93)

5 - - -


(pág. 95)

1 - 16 3

Função linear/proporcionalidade

(pág. 97)

2 - 6 3

Função crescente e decrescente (pág. 100)

- - - -

Zero de uma função afim

Interseção com o eixo y (pág. 101)

- - 1 -

TOTAL 8 - 23 6

Tabela 6 – Sentido da conversão de registros – Livro 3 Fonte: PATARO e SOUZA (2012)

114

CAPÍTULO 6 - METODOLOGIA

Neste capítulo apresentamos os princípios metodológicos que orientaram

este trabalho. Em sessões separadas descreveremos os procedimentos

metodológicos adotados para o planejamento, desenvolvimento e execução do

experimento de ensino, parte integrante dessa pesquisa. Descrevemos os

instrumentos de pesquisa, juntamente com os objetivos de investigação de cada

atividade, análise a priori e finalizamos, com a descrição de como se procedeu a

aplicação do experimento.

6.1 ENGENHARIA DIDÁTICA

A Engenharia Didática surgiu no início da década de 80 e uma das principais

colaboradoras e estudiosa sobre o assunto, é a pesquisadora francesa Michèle

Artigue. É uma metodologia de pesquisa, que têm por objetivo analisar as situações

didáticas, objeto de estudo da Didática da Matemática. Caracteriza-se como uma

metodologia que se processa de forma empírica, procura extrair dados da realidade

e compará-los às hipóteses.

O termo Engenharia Didática é empregado nas pesquisas da Didática da

Matemática que incluem uma parte experimental, segundo Michèle Artigue (1988):

[...] este termo foi “cunhado” para o trabalho didático que é aquele comparável ao trabalho do engenheiro que, para realizar um projeto preciso, se apoia sobre conhecimentos científicos de seu domínio, aceita submeter-se a um controle de tipo científico, mas, ao mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar sobre objetos bem mais complexos que os objetos depurados da ciência e, portanto, a enfrentar praticamente, com todos os meios de que dispõe, problemas que a ciência não quer ou não pode levar em conta. (ARTIGUE apud MACHADO, 2012, p. 234).

115

Pelo termo Engenharia Didática entende-se tanto uma metodologia de

pesquisa específica, quanto segundo Douady (1993) explicitou como sendo:

[...] uma sequência de aula(s) concebida(s), organizada(s) e articulada(s) no tempo, de forma coerente, por um professor-engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para uma certa população de alunos. No decurso das trocas entre professor e alunos, o projeto evolui sob as reações dos alunos e em função das escolhas e decisões do professor. (DOUADY apud MACHADO, 2012, p. 234).

A noção de Engenharia Didática foi se construindo na Didática da

Matemática com uma dupla função, ela pode ser compreendida tanto como um

produto resultante de uma análise a priori, caso da metodologia de pesquisa, quanto

uma produção para o ensino.

6.1.1 Características gerais da metodologia da engenharia didática

Artigue (1988, apud Machado, 2012, p. 235) caracteriza a engenharia

didática como, “[...] um esquema experimental baseado sobre “realizações didáticas”

em sala de aula, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise

de sequências de ensino”.

Podemos distinguir dois níveis de Engenharia Didática:

- nível de microengenharia: é a Engenharia Didática que tem por objeto o

estudo de um determinado assunto. Ela é localizada e leva em conta,

principalmente, a complexidade dos fenômenos de sala de aula;

- nível de macroengenharia: é a Engenharia Didática que permite compor a

complexidade das pesquisas de uma microengenharia com a dos fenômenos ligados

à duração nas relações ensino/aprendizagem.

A Engenharia Didática caracteriza-se também pelo registro dos estudos

feitos sobre o caso em questão e pela validação. A validação da pesquisa é feita

internamente, se baseia na confrontação entre a análise a priori, que, por sua vez,

se apoia no quadro teórico, e a análise a posteriori.

116

6.1.2 Fases da metodologia da Engenharia Didática

Uma metodologia de pesquisa fundamentada nos princípios da engenharia

didática se divide em quatro fases:

Primeira fase: análises preliminares;

Segunda fase: concepção e análise a priori das situações didáticas;

Terceira fase: experimentação;

Quarta fase: análise a posteriori e validação.

Na primeira fase, das análises preliminares, objetivando a concepção da

engenharia, são feitas por meio de considerações sobre o referencial teórico didático

geral e sobre os conhecimentos didáticos já adquiridos sobre o assunto em questão,

bem como sobre:

a análise epistemológica dos conteúdos contemplados pelo ensino;

a análise do ensino atual e de seus efeitos;

a análise da concepção dos alunos, das dificuldades e dos obstáculos

que determinam sua evolução;

a análise do campo dos entraves no qual vai se situar a efetiva

realização didática.

As análises preliminares são feitas principalmente para embasar a

concepção da engenharia, podendo ser retomadas e aprofundadas durante todo o

transcorrer do trabalho.

Na segunda fase, da concepção e da análise a priori o pesquisador

direcionado pelas análises preliminares delimita certo número de variáveis

pertinentes do sistema sobre o qual o ensino pode atuar, as quais são chamadas de

variáveis de comando.

Artigue (1988 apud Machado, 2012 p. 241) distingue as variáveis de

comando como:

117

variáveis macrodidáticas ou globais, concernentes à organização

global da engenharia;

variáveis microdidáticas ou locais, concernentes à organização

local da engenharia, isto é, à organização de uma sessão ou de uma

fase.

Essas variáveis podem ser tanto de ordem geral como específica,

dependendo do conteúdo didático a ser ensinado. Caso a variável seja do tipo

microdidático, têm-se as variáveis intrínsecas ao problema, que são de ordem geral

e as variáveis que dependem da situação, ligadas à organização e à gestão do

meio, que são específicas.

As escolhas de ordem geral, globais, precedem a descrição de cada fase da

engenharia, quando influem as escolhas locais.

Na análise a priori, o objetivo é determinar no que as escolhas feitas

permitem controlar os comportamentos dos alunos e o significado de cada um

desses comportamentos. Irá basear-se em hipóteses e são essas hipóteses cuja

validação estará, em princípio, indiretamente em jogo, na confrontação entre a

análise a priori e a análise a posteriori. Nesta fase, compõe-se de uma parte de

descrição e outra de previsão, e está centrada nas características de uma situação

adidática que se quis criar e que se quer aplicar aos alunos visados pela

experimentação. Na análise a priori deve-se:

descrever cada escolha local feita (eventualmente, relacionando-as às

escolhas globais) e as características da situação adidática

decorrentes de cada escolha;

analisar qual o desafio da situação para o aluno, decorrente das

possibilidades de ação, de escolha, de decisão, de controle e de

validação de que ele disporá durante a experimentação;

prever os comportamentos possíveis e mostrar no que a análise

efetuada permite controlar o sentido desses comportamentos; além

disso, deve-se assegurar que, se tais comportamentos ocorrem,

resultarão do desenvolvimento do conhecimento visado pela

aprendizagem.

118

Durante a fase da análise a priori, o foco fica direcionado principalmente

para o aluno. Nesta fase, o papel do professor fica limitado apenas ao fechamento

do assunto discutido, institucionalização do tema abordado.

A terceira fase é a fase da experimentação. Nela é realizada a engenharia

com uma certa população de alunos. Ela se inicia no momento em que se dá o

contato pesquisador-professor-/observador(es) com a população de alunos, objeto

da investigação. A experimentação supõe:

a explicitação dos objetivos e condições de realização da pesquisa à

população de alunos que participará da experimentação;

o estabelecimento do contrato didático;

aplicação dos instrumentos de pesquisa;

registro das observações feitas durante a experimentação

(observação cuidadosa descrita em relatório, transcrição dos registros

audiovisuais, etc.).

A última fase, da análise a posteriori e da validação. Essa fase se apoia

sobre todos os dados colhidos durante a experimentação constante das

observações realizadas durante cada sessão de ensino, bem como das produções

dos alunos em classe ou fora dela. Nesta fase se dá o tratamento dos dados que

constam da seleção dos dados pertinentes à análise a posteriori. Se junta a essa

fase, dados complementares: questionários, entrevistas individuais ou em pequenos

grupos, realizadas tanto durante a experimentação quanto no final dela.

Finalmente, é da confrontação das análises a priori e a posteriori que se

validam ou se refutam as hipóteses levantadas no início da engenharia. Pais (2008,

p. 103) destaca que, “do ponto de vista metodológico, a validação é uma etapa onde

a vigilância deve ser ampliada, pois se trata de garantir a essência do caráter

científico”.

119

6.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Os procedimentos metodológicos para elaboração, aplicação e análise do

nosso experimento se iniciaram no campo teórico por meio da revisão de literatura.

Realizamos pesquisa bibliográfica, leitura e fichamento de trabalhos acadêmicos

defendidos, livros e artigos publicados na área da Educação Matemática sobre os

seguintes temas: funções, educação matemática, informática na educação e

softwares utilizados para o ensino de funções. Neste contexto, pesquisamos sobre o

referencial teórico dos Registros de Representações Semióticas, Duval (1995, 2000,

2003, 2011), como já foi indicado no capítulo 3 desta pesquisa, fundamentou nosso

estudo. Analisamos também o material de apoio ao Currículo Oficial do Estado de

São Paulo (Caderno do Professor e Caderno do Aluno), fornecidos pela Secretaria

da Educação, bem como três livros didáticos integrantes do PNLD de 2014. As

análises desses materiais tiveram por objetivo verificar como é proposto a

abordagem inicial do tema função linear afim e como são propostas as atividades

sob o ponto de vista dos diversos registros de representações semióticas, aos

alunos da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental. Foi analisada também nesse

material a frequência com que é proposta a utilização da informática no

desenvolvimento de conteúdos matemáticos e resolução de atividades.

Descreveremos a seguir as etapas da aplicação prática do nosso

experimento.

6.2.1 Local da pesquisa

O local de realização da pesquisa é uma escola estadual da região sul da

Cidade de São Paulo – SP. Esta escola dispõe em seu período diário de

funcionamento, os níveis de Ensino Fundamental II (6º Ano ao 9º Ano) durante os

períodos manhã e tarde e à noite abrange todo o Ensino Médio. A escola se localiza

em uma região nobre da zona sul de São Paulo, mas a grande maioria de seus

alunos provém de uma comunidade carente da região, próxima à escola. A escolha

da escola como local de pesquisa justifica-se pelo fato do pesquisador exercer o

cargo de professor efetivo de Matemática.

Antes de darmos início ao nosso experimento, levamos ao conhecimento da

direção da escola escolhida como local do estudo, as intenções da pesquisa, a

120

necessidade de utilização do laboratório de informática e demais informações que

foram necessárias para a obtenção da autorização da instituição de ensino para

realização do experimento. Tal proposta de experimento foi de imediato aceita pela

direção da escola e a autorização foi deferida no Termo de Responsabilidade da

Instituição, assinado pela direção em 19 de novembro de 2013 (Anexo A - modelo).

Para o acesso ao laboratório de informática, fomos informados pela direção

da escola, que deveríamos solicitar junto à diretoria de ensino, uma autorização de

acesso ao laboratório, pois o mesmo, abriga o programa “Acessa Escola”. O Acessa

Escola é um programa do Governo do Estado de São Paulo, coordenado pela

Secretaria da Educação no qual os computadores instalados no laboratório de

informática ficam interligados à uma central de controle nas diretorias de ensino. O

acesso ao equipamento, somente é permitido juntamente com um monitor

designado pela diretoria de ensino, por meio de login e senha, específicos para cada

monitor, e que na maioria das vezes é um estudante de ensino médio exercendo a

função de estagiário. Nesta ocasião, a escola local do experimento não dispunha

desse monitor. Dirigimo-nos à diretoria de ensino, responsável pela escola local do

experimento e informamos a respeito dos objetivos e necessidades para aplicação

do nosso experimento. Neste caso, também obtemos uma resposta satisfatória para

o acesso ao laboratório de informática e foi atribuído ao professor-pesquisador um

login e senha de acesso ao ambiente.

6.2.2 Sujeitos

Os sujeitos da pesquisa são um grupo de aproximadamente trinta

estudantes da 8ªSérie/9º Ano do Ensino Fundamental que estudam no período da

tarde. A seleção dos alunos que participaram da pesquisa foi realizada com um

convite aberto para a sala toda. Foram explicadas pelo pesquisador as intenções e

as justificativas sobe a pesquisa. Os alunos que se apresentaram como voluntários

foram submetidos ao Termo de Esclarecimento do Projeto e Pesquisa (Anexo B) e

do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (Anexo C).

121

6.2.3 Instrumentos de pesquisa – Análise a priori

Foram criados para esse experimento como instrumentos de pesquisa, um

questionário socioeconômico e dois blocos de atividades denominados: BLOCO I e

BLOCO II. O questionário socioeconômico, além de coletar informações referentes à

situação econômica e social familiar dos alunos, teve por objetivo específico,

levantar informações sobre a utilização do computador em suas residências ou fora

delas. Queremos saber com que frequência os alunos utilizam a informática para o

uso escolar, e mais especificamente para a realização de atividades de Matemática.

Em relação aos blocos de atividades, tanto o BLOCO I, quanto o BLOCO II

foram divididos em dois tipos diferentes de atividades, denominadas: “Atividades

com a Utilização de Papel & Lápis” e “Atividades com o Apoio do Geogebra”, a

serem aplicadas a dois grupos diferentes de alunos. Abaixo, nos quadros 16 e 17,

sintetizamos os instrumentos a serem aplicados aos sujeitos da pesquisa.

Questionário socioeconômico

38 questões 15 alunos (TURMA A) 15 alunos (TURMA B)

Quadro 17 – Distribuição do questionário socioeconômico. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Atividades

AMBIENTE BLOCO I BLOCO II

“Papel & Lápis” 15 alunos (TURMA A)

“Geogebra” 15 alunos (TURMA B)

Quadro 18 – Distribuição e composição dos blocos de atividades. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

As atividades do experimento foram criadas com a intenção de serem

aplicadas a dois grupos diferentes de alunos. Um grupo, denominado TURMA A

realizaria as atividades do Bloco I e Bloco II apenas com o uso dos recursos papel e

lápis, enquanto, o segundo grupo de alunos, denominado TURMA B realizaria as

atividades do Bloco I e Bloco II, com o auxílio do software Geogebra.

122

Para elaboração das atividades buscou-se aplicar a ideia de relação entre

grandezas variáveis e também os conceitos fundamentais dos registros de

representações semióticas, mais especificamente, no que diz respeito às

transformações de tratamento e conversão de registros de representação sobre

objeto matemático: função linear afim.

O objetivo geral nos dois blocos de atividades foi avaliar se os alunos

conceitualizam o tema função, como a interdependência entre grandezas variáveis,

e verificar também, se, são capazes de transitar entre os diversos registros de

representação semiótica.

O BLOCO I procura explorar as propriedades relativas às funções lineares

afins, cujo coeficiente linear é nulo, isto é, aquelas cujo gráfico passa pela origem.

Inicialmente será proposta uma situação contextualizada sobre o movimento

retilíneo uniforme de um veículo, Figura 79.

Figura 79 – Situação contextualizada do Bloco I de atividades – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

SITUAÇÃO:

“Um automóvel se locomove num movimento retilíneo uniforme (MRU)

com velocidade constante de 20 km/h. A tabela a seguir descreve a posição s do

automóvel medida em quilômetros (km) a cada instante T (tempo), medido em

horas (h).”

Instante T (tempo) medido em horas (h)

Espaço percorrido s medido em quilômetros (km)

T = 0 s = 0

T = 1 s = 20

T = 2 s = 40

T = 3 s = 60

T = 4 s = 80

T = 5 s = 100

T = 6 s = 120

T = 7 s = 140

T = 8 s = 160

T = 9 s = 180

T = 10 s = 200

123

A seguir são propostas atividades para resolução no ambiente “Papel &

Lápis”, com base na situação contextualizada apresentada.

Na ATIVIDADE I – LENDO A TABELA, Figura 80, os objetivos são

investigar se os alunos, por meio da leitura realizada na situação contextualizada e

na observação das informações numéricas contidas na tabela, conseguem perceber

a relação entre as duas grandezas envolvidas e verificar se os alunos efetuam o

tratamento de registros, neste caso, no registro da língua natural. Os alunos terão

que indicar em alguns momentos a posição do veículo, decorrido alguns instantes de

tempo, como também, identificar quais instantes de tempo o veículo ocupa as

posições indicadas.

Hipóteses: Acreditamos que os alunos não encontrarão dificuldades para

resolverem esta primeira atividade, pois somente dependerão da observação e

leitura dos valores numéricos relacionados à situação contextualizada, registrados

em uma tabela.

Figura 80 – Atividade I, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

ATIVIDADE I - Com base nas informações disponíveis na situação apresentada e em suas observações realizadas na tabela complete as afirmações abaixo.

No instante T = 0 h, a posição do automóvel é s = _______ km.









O automóvel atingiu a posição s = 100 km no instante T = _______ h.






124

Para a ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS, Figura 81, temos como

objetivos, verificar se os alunos são capazes de prever alguns resultados em relação

à posição do veículo, como também em relação ao tempo decorrido com base em

sua posição e identificar nesta atividade, se os alunos realizam o tratamento em

registro numérico tabular.

Hipóteses: Acreditamos que os alunos já terão construído a ideia de relação

entre as duas grandezas envolvidas na situação contextualizada e não encontrarão

dificuldades na resolução da atividade. Pois observada a relação estabelecida entre

as duas grandezas, poderão dar continuidade ao padrão observado na atividade

anterior, hora utilizando-se o tratamento de registro numérico, por meio do produto

da variável independente Tempo (T) pela velocidade constante (20), hora por meio

da divisão da variável dependente posição do veículo (S) pela velocidade constante

(20).

Figura 81 – Atividade II, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A ATIVIDADE III - GENERALIZANDO, Figura 82, procura explorar a

generalização da dependência entre grandezas variáveis. Solicitaremos aos alunos,

por meio da modelagem, uma função matemática que represente a dependência

entre as duas grandezas envolvidas. Dessa forma, estaremos investigando a

capacidade do aluno em representar a função linear afim, utilizando a conversão de

registros, do sentido da língua natural, numérico tabular para o registro algébrico.

ATIVIDADE II – Analisando a tabela, e sabendo que o movimento é retilíneo uniforme (velocidade constante) complete:

No instante T = 11 h, a posição do automóvel será s = _______ km.



O automóvel atingirá a posição s = 400 km no instante T = _______ h.



125

Hipóteses: Nesta atividade, supomos que os alunos terão facilidade em sua

resolução, pois as funções já estão parcialmente representadas, bastando apenas

ao aluno, o registro numérico da velocidade constante.

Figura 82– Atividade III, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS, Figura 83, última

atividade do BLOCO I, tem por objetivo investigar se os alunos, por meio das

observações feitas nas atividades anteriores, utilizam a conversão de registros, do

sentido numérico tabular para o registro algébrico.

Hipóteses: Acreditamos que os alunos terão facilidade na resolução desta

atividade. A dúvida que poderá surgir, é em relação a: “Qual das duas

representações optar como resposta à atividade?”. Já que, não ficou claro no

enunciado da atividade, se tratar da representação da função linear afim em registro

algébrico.

Figura 83 – Atividade IV, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

ATIVIDADE III - T representa o instante de tempo em horas e S representa a posição em quilômetros do automóvel. Com base nessas informações e em suas observações realizadas durante a ATIVIDADE II, modele a função que relaciona S em função de T.

No instante T qualquer, a posição do automóvel será _____ s T

O automóvel atingirá a posição s no instante s

T

ATIVIDADE IV – Nesta atividade duas grandezas estão relacionadas: o espaço percorrido s, medido em quilômetros (km), e o instante T (tempo) medido em horas (h). Qual é a fórmula matemática que relaciona estas duas grandezas?

_______________________________________________________________

126

A seguir descrevemos as atividades do Bloco I, que deverão ser executadas

em ambiente informatizado com o auxílio do software Geogebra.

Conforme Figura 84, será proposta uma situação contextualizada.

Disponibilizaremos alguns procedimentos de execução e operacionalização com o

software, como também instruções de interação do aluno com a atividade

informatizada.

Figura 84 – Situação contextualizada do Bloco I de atividades – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A interação dos alunos com as atividades propostas com o uso do software,

será orientada pelo procedimento 2, Figura 84. Nesse procedimento, o aluno

utilizando-se das setas do teclado, irá movimentar o controle deslizante fixado na

atividade. Por meio dessa interação, o aluno poderá perceber a movimentação do

veículo, conforme apresentado nas Figuras 85 e 86.

SITUAÇÃO:

“Um automóvel se locomove num movimento retilíneo uniforme (MRU) com

velocidade constante de 20 km/h. Vamos explorar o software Geogebra para obter

algumas informações sobre o espaço percorrido por esse automóvel.”

PROCEDIMENTO 1 – Procure pelo ícone na área de trabalho do

computador, execute o programa e em seguida abra o arquivo MRU.

PROCEDIMENTO 2 – Utilize as setas do teclado para movimentar o controle

deslizante , e observe o que ocorre com a posição do veículo,

indicada pelo ponto .

127

Figura 85 – Interação do aluno com a atividade informatizada FONTE: Elaborado pelo pesquisador


Na sequência são propostas atividades para os alunos resolverem,

baseadas na situação contextualizada e em suas interações com o software

Geogebra.

128

O objetivo da ATIVIDADE I – CONSTRUINDO A TABELA, Figuras 87, é

verificar a capacidade de associação que o aluno desenvolve. Tendo em vista a sua

interação com a grandeza tempo em horas, resulta na movimentação e posição do

veículo. Com isso, queremos saber se ele consegue perceber essa relação e com

isso transportar na forma de registro numérico tabular.


resolverem esta primeira atividade, pois poderão observar a representação numérica

da variável dependente posição do veículo em km, por meio de sua interação com o

controle deslizante que representa a variável independente tempo em horas.

Figura 87 – Atividade I, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

ATIVIDADE I – Com base em suas interações realizadas no programa e nas observações referentes às posições do veículo, complete as informações abaixo e preencha a tabela de dados.











No instante T = 10 h, a posição do automóvel é s = ______ km.



T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

129

Para a ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS, Figura 88, destacamos

como objetivos, verificarmos se os alunos conseguem prever alguns resultados em

relação à posição do veículo, como também em relação ao tempo decorrido com

base em sua posição. Sobre os registros de representação, procuramos identificar

se essa interação lhes proporciona o tratamento em registro numérico tabular.



dificuldades na resolução das duas partes desta atividade. Pois observada a relação

estabelecida entre as duas grandezas, poderão dar continuidade ao padrão

observado na atividade anterior, hora utilizando-se o tratamento de registro

numérico, por meio do produto da variável independente Tempo (T) pela velocidade

constante (20), hora por meio da divisão da variável dependente posição do veículo

(S) pela velocidade constante (20).

Figura 88 – Atividade II, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A ATIVIDADE III - GENERALIZANDO, Figura 89, explora a generalização

da dependência entre grandezas variáveis. Solicitaremos aos alunos, a modelagem

de uma função matemática. Queremos investigar se as suas observações e

interações com a atividade informatizada, lhes proporcionam requisitos para se

ATIVIDADE II – Analisando a tabela, e sabendo que o movimento é retilíneo uniforme (velocidade constante) responda:



No instante T = 13 h, a posição do automóvel será s = _______ km. O automóvel atingirá a posição s = 400 km no instante T = _______ h.



130

trabalhar a conversão de registros, representando a função linear afim em registro

algébrico.


resolução, pois parte das funções já estão parcialmente representadas, bastando

apenas ao aluno, o registro numérico da velocidade constante.

Figura 89 – Atividade III, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A ATIVIDADE IV – RELACIOANDO GRANDEZAS, Figura 90, última

atividade do BLOCO I, tem por objetivo investigar se os alunos utilizam a conversão

de registros, com destino ao registro algébrico, por meio das suas observações e

interações realizadas na atividade informatizada.





algébrico.

Figura 90 – Atividade IV, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

ATIVIDADE III - T representa o instante de tempo em horas e S representa a posição em quilômetros do automóvel. Com base nessas informações e em suas interações com programa, modele a função que relaciona S em função de T.

No instante T qualquer, a posição do automóvel será _____ s T

O automóvel atingirá a posição s no instante s

T


_______________________________________________________________

131

O BLOCO II procura explorar as propriedades relativas às funções lineares

afins, cujo coeficiente linear é diferente de zero, isto é, aquelas cujo gráfico não

passa pela origem. Inicialmente é colocada uma situação contextualizada sobre o

movimento retilíneo uniforme de um veículo, Figura 91.

Figura 91 – Situação contextualizada do Bloco II de atividades – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A seguir são propostas atividades para resolução no ambiente “Papel &

Lápis”, com base na situação contextualizada apresentada acima.

Na ATIVIDADE I – LENDO A TABELA, Figura 92, os objetivos são

investigar se os alunos, por meio da leitura realizada na situação contextualizada e

na observação das informações numéricas contidas na tabela, conseguem perceber

a relação entre as duas grandezas envolvidas e verificar se os alunos efetuam o

tratamento de registros, neste caso, no registro da língua natural. Os alunos terão

que indicar em alguns momentos a posição do veículo, decorrido alguns instantes de

SITUAÇÃO:

“Um automóvel se locomove num movimento retilíneo uniforme (MRU)

com velocidade constante de 20 km/h. A tabela a seguir descreve a posição s do

automóvel medida em quilômetros (km) a cada instante T (tempo), medido em

horas (h).”



T = 0 s = 50

T = 1 s = 70

T = 2 s = 90

T = 3 s = 110

T = 4 s = 130

T = 5 s = 150

T = 6 s = 170

T = 7 s = 190

T = 8 s = 210

T = 9 s = 230

T = 10 s = 250

132

tempo, como também, identificar quais instantes de tempo o veículo ocupa as

posições indicadas.


resolverem esta primeira atividade, pois somente dependerão da observação e

leitura dos valores numéricos relacionados à situação contextualizada, registrados

em uma tabela.

Figura 92 – Atividade I, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Para a ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS, Figura 93, temos como

objetivos, verificar se os alunos são capazes de prever alguns resultados em relação

à posição do veículo, como também em relação ao tempo decorrido com base em

sua posição e identificar nesta atividade, se os alunos realizam o tratamento em

registro numérico tabular.



dificuldades na resolução da atividade. Pois observada a relação estabelecida entre

ATIVIDADE I - Com base nas informações disponíveis na situação apresentada e em suas observações realizadas na tabela complete as afirmações abaixo.
















133

as duas grandezas, poderão dar continuidade ao padrão observado na atividade

anterior, hora utilizando-se o tratamento de registro numérico, por meio do produto

da variável independente Tempo (T) pela velocidade constante (20) e adicionando

50, hora por meio da subtração da variável dependente posição do veículo (S) por

50, para em seguida efetuar a divisão pela velocidade constante (20).

Figura 93 – Atividade II, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.








resolução, pois parte das funções já estão parcialmente representadas, bastando

apenas ao aluno, o registro numérico da velocidade constante.








134

Figura 94 – Atividade III, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS, Figura 95, última

atividade do BLOCO II, tem por objetivo investigar se os alunos, por meio das

observações feitas nas atividades anteriores, utilizam a conversão de registros, do






algébrico.

Figura 95 – Atividade IV, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A seguir descrevemos as atividades do Bloco II, que deverão ser executadas

em ambiente informatizado com o auxílio do software Geogebra.

Conforme Figura 96, será proposta uma situação contextualizada.

Disponibilizaremos alguns procedimentos de execução e operacionalização com o

software, como também instruções de interação do aluno com a atividade

informatizada.


No instante T qualquer, a posição do automóvel será _____________ s T

O automóvel atingirá a posição s no instante S

T


_______________________________________________________________

135

Figura 96 – Situação contextualizada do Bloco II de atividades – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A interação dos alunos com as atividades propostas com o uso do software,

será orientada pelo procedimento 2, Figura 96. Nesse procedimento, o aluno

utilizando-se das setas do teclado, irá movimentar o controle deslizante fixado na

atividade. Por meio dessa interação, o aluno poderá perceber a movimentação do

veículo, conforme apresentado nas Figuras 97 e 98.


SITUAÇÃO:

“Um automóvel se locomove num movimento retilíneo uniforme (MRU) com

velocidade constante de 20 km/h. Vamos explorar o software Geogebra para obter

algumas informações sobre o espaço percorrido por esse automóvel.”

PROCEDIMENTO 1 – Procure pelo ícone na área de trabalho do

computador, execute o programa e em seguida abra o arquivo MRU2.

PROCEDIMENTO 2 – Utilize as setas do teclado para movimentar o controle

deslizante , e observe o que ocorre com a posição do veículo,

indicada pelo ponto .

136

Figura 98 – Interação do aluno com a atividade informatizada FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Na sequência são propostas atividades para os alunos resolverem,

baseadas na situação contextualizada e em suas interações com o software

Geogebra.

O objetivo da ATIVIDADE I – CONSTRUINDO A TABELA, Figuras 99, é

verificar a capacidade de associação que o aluno desenvolve. Tendo em vista a sua

interação com a grandeza tempo em horas, resulta na movimentação e posição do

veículo. Com isso, queremos saber se ele consegue perceber essa relação e com

isso transportar na forma de registro numérico tabular.


resolverem esta primeira atividade, pois poderão observar a representação numérica

da variável dependente posição do veículo em km, por meio de sua interação com o

controle deslizante que representa a variável independente tempo em horas.

137

Figura 99 – Atividade I, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Para a ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS, Figura 100, temos

como objetivos, verificar se os alunos são capazes de prever alguns resultados em

relação à posição do veículo, como também em relação ao tempo decorrido com

base em sua posição e identificar nesta atividade, se os alunos realizam o

tratamento em registro numérico tabular.

Hipóteses: Esta atividade está dividida em duas partes. Supomos que na

primeira parte os alunos não encontrarão dificuldades para resolvê-la, pois

acreditamos que os alunos já terão percebido a relação entre as grandezas

ATIVIDADE I – Com base em suas interações realizadas no programa e nas observações referentes às posições do veículo, complete as informações abaixo e preencha a tabela de dados.











No instante T = 10 h, a posição do automóvel é s = ______ km.



T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

T = s =

138

envolvidas, e por meio da percepção do padrão observado na atividade anterior,

poderão dar continuidade. Em relação à segunda parte, supomos que os alunos

terão dificuldades em sua resolução devido ao fato de que o tratamento em registro

numérico necessitar da subtração do coeficiente linear igual a 50.

Figura 100 – Atividade II, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.







Hipóteses: Esta atividade está dividida em duas partes. Em relação à

primeira parte, acreditamos que os alunos não encontrarão dificuldades em

representar na forma de registro algébrico: f(x) = a.x + b, com b diferente de zero, a

relação entre as duas grandezas envolvidas. Quanto à segunda parte,

possivelmente os alunos poderão ter dificuldades na representação em registro

algébrico na forma f(x) 50

x20

.








139

Figura 101 – Atividade III, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A ATIVIDADE IV – RELACIOANDO GRANDEZAS, Figura 102, última

atividade do BLOCO II, tem por objetivo investigar se os alunos utilizam a conversão

de registros, com destino ao registro algébrico, por meio das suas observações e

interações realizadas na atividade informatizada.

Figura 102 – Atividade IV, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Hipóteses: Como esta atividade propõe a confirmação em relação à

atividade anterior, supomos que os alunos não apresentarão dificuldades em

resolvê-la. Acreditamos que poderão confirmar a representação da função linear

afim registrada na atividade anterior, utilizando-se do registro algébrico f(x) = a.x + b,

com b diferente de zero.


No instante T qualquer, a posição do automóvel será _____________ s T

O automóvel atingirá a posição s no instante S

T


_______________________________________________________________

140

6.2.4 O experimento

Antes da aplicação dos instrumentos, foram explicados aos participantes do

experimento, que as atividades faziam parte de uma pesquisa de Mestrado em

Educação Matemática, de autoria do pesquisador, sob a orientação de seu

Professor Orientador, e que as mesmas não teriam caráter avaliativo. Foi informado

também, que não haveria a necessidade de identificação dos alunos no questionário

socioeconômico e nem nas atividades, mantendo-se assim o sigilo de cada

participante.

O experimento foi aplicado a dois grupos de alunos, denominados “TURMA

A” e “TURMA B”, contendo quinze alunos cada. Os sujeitos da pesquisa que

participaram do experimento são alunos de diversas turmas da 8ª Série/9º Ano do

ensino fundamental que estudam no período da tarde, na escola local da pesquisa.

Para aplicação do questionário socioeconômico, foi proposto que cada aluno

levasse-o para a sua residência, e que fosse preenchido juntamente com a presença

dos pais ou dos responsáveis pelo aluno. Ficou combinado entre o pesquisador e os

sujeitos da pesquisa, que trouxessem o questionário socioeconômico preenchido no

dia da aplicação das atividades.

Na aplicação das atividades, participaram quinze alunos, que denominamos

“TURMA A”, este grupo realizou as atividades denominadas Atividades com Papel &

Lápis, integrantes do Bloco I e Bloco II. Outro grupo contendo também quinze

alunos, que denominamos de “TURMA B” realizou as atividades denominadas

Atividades com o Apoio do Geogebra, integrantes do Bloco I e Bloco II.

As atividades do Bloco I e Bloco II, com a utilização somente dos recursos

papel & lápis foram realizadas em um único dia, em uma sala de aula da escola,

com a participação apenas dos alunos da TURMA A, sob a condução, orientação e

observação do pesquisador. As atividades do Bloco I e Bloco II, com o auxílio do

computador e do software Geogebra foram realizadas também em único dia, no

laboratório de informática da escola, com a participação apenas dos alunos da

TURMA B, sob a condução orientação e observação do pesquisador.

Os encontros para a aplicação do experimento ocorreram, no período da

tarde, em horário de aula. O tempo de aplicação das atividades nos dois dias

ocupou-se de dois tempos de aula para cada dia, sendo que, cada tempo de aula

correspondendo a cinquenta minutos.

141

CAPÍTULO 7 - ANÁLISES DAS PRODUÇÕES DISCENTES

O objetivo deste capítulo será apresentar as análises das produções

realizadas pelos alunos, sujeitos da pesquisa. São apresentados os resultados

coletados com a aplicação do questionário socioeconômico, que trata da utilização

do computador pelos alunos pesquisados. Discutiremos sobre os resultados obtidos

com a aplicação das atividades realizadas pelas TURMAS A e B, análise a

posteriori, conforme os instrumentos de pesquisa apresentados na Seção 6.2.3 do

Capítulo 6. Para finalizar, apresentaremos os resultados referentes à comparação de

desempenho na resolução das atividades e do desempenho entre as turmas.

7.1 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SOCIOECONÔMICO

7.1.1 Análise das respostas sobre a utilização do computador

Foi perguntado aos alunos, sujeitos da pesquisa: “Se, e de que forma eles

têm acesso a um computador?” Perguntou-se também: “Qual era o uso que eles

faziam do computador?” No caso em que o computador fosse utilizado

especificamente para o desenvolvimento de atividades de Matemática em casa, foi

solicitado que os alunos indicassem o software que era utilizado. Foi feito também

esse mesmo questionamento, agora voltado para a utilização de instrumentos de

informática na escola. Queríamos saber: “Se, e com que frequência eles utilizam o

computador na escola para o desenvolvimento de atividades de Matemática?” Para

finalizar essa etapa do questionário, procuramos saber dos alunos pesquisados: “Se

um software específico para a aplicação de conteúdos matemáticos poderia

contribuir com o seu desenvolvimento escolar?”

Os resultados obtidos são apresentados e discutidos em seguida.

Como já evidenciado anteriormente, em relatos de pesquisa de ARAUJO

(2005 p. 105) e CALIL (2010 p. 68), identificamos também em nossa pesquisa, que a

maioria dos alunos pesquisados, tem acesso ao computador. Isto nos mostra que

não se trata mais de um aparelho de difícil acesso e sim, de um bem comum, que se

tornou necessário à boa parte das famílias brasileiras. A Figura 103, abaixo, nos

mostra que dos trinta alunos pesquisados, vinte e sete possuem o equipamento em

suas residências, e apenas três responderam não possuir e equipamento. Mas

142

dentre esses três alunos, dois informaram ter acesso ao equipamento por meio Lan

Houses.

32. Você tem computador em casa?

Figura 103 – Resultados do questionário socioeconômico FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Sobre a que se destina a utilização do computador pelos alunos, deixamos

essa questão com a possibilidade de “respostas abertas”, isto é, os entrevistados

poderiam preencher o espaço destinado a resposta, com o tipo que se destina o uso

do computador. Foi necessário optar por essa metodologia, para que os sujeitos da

pesquisa pudessem se sentir livres para expor a sua diversidades de respostas.

Sem sombra de dúvidas, a resposta que mais apareceu sobre essa questão, reflete

o comportamento atual da sociedade. E o acesso às redes sociais foi o destino mais

usual do computador pelos sujeitos da pesquisa. E, por nossa surpresa, o segundo

destino mais utilizados pelos pesquisados é a utilização do computador como

ferramenta de estudo. Também foi dado como respostas pelos alunos, o uso do

computador para “pesquisas”, neste caso não ficou claro que se trata de pesquisas

no âmbito escolar. Achamos melhor neste caso classificar como pesquisa de modo

geral. A seguir, Figura 104, apresentamos os gráficos com os resultados referentes

ao destino usual do computador no dia a dia dos sujeitos pesquisados.

27

3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

SIM

NÃO

90%

10%

143

33. Você utiliza o computador, geralmente, para fazer o quê?


Questionamos os sujeitos da pesquisa sobre a utilização em suas

residências do computador como ferramenta para o desenvolvimento e a resolução

de atividades específicas de Matemática. O que podemos perceber, os sujeitos se

posicionaram de maneira quase que dividida. Os gráficos da Figura 105 expõem os

resultados dessa parcialidade entre os estudantes.

34. Você utiliza ou já utilizou o computador para desenvolver atividades de Matemática em casa?


13

4

7

19

7

0

3

6

9

12

15

18

21

Estudar

Entreterimento

Pesquisa

Redes sociais

Jogos

26%

8%

14% 38%

14%

16 14

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

SIM

NÃO

53%

47%

144

Sobre a utilização do equipamento na escola, para o desenvolvimento e a

resolução de atividades específicas de Matemática, notamos a esmagadora

quantidade de alunos, quase que a totalidade, responderam não utilizar o

equipamento para esse fim específico. Abaixo, a Figura 106 demonstra os

resultados dessa questão.

36. Você utiliza ou já utilizou o computador para desenvolver atividades de Matemática na escola?


Sobre a opinião dos alunos, em que a utilização do computador e de um

software específico, poderia ajudá-los com o desenvolvimento de conteúdos e a

aprendizagem em Matemática. A maioria acredita que isso seria possível.

Infelizmente, cinco alunos dos trinta pesquisados, não conseguiram expor suas

opiniões a respeito desta questão. Os resultados estão apresentados nos gráficos

da Figura 107.

3

27

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

SIM

NÃO

10%

90%

145

38. Você acha que o computador, especificamente um software de Matemática, poderia contribuir com a sua aprendizagem na escola?


7.2 ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES

As tabelas a seguir sintetizam os critérios que utilizamos para analisar os

protocolos fornecidos pelos alunos, participantes da pesquisa em relação às

atividades sobre função linear afim, realizadas tanto no ambiente “Papel & Lápis”,

como no ambiente informatizado com o auxílio do software “Geogebra”.

20

5 5

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

SIM

NÃO

NÃO RESPONDEU

67%

17% 17%

146

CRITÉRIOS DE ANÁLISE – ATIVIDADES NO AMBIENTE PAPEL & LÁPIS

Atividades BLOCO I e BLOCO II

ATIVIDADE I

- verificar se o aluno consegue perceber a relação entre as duas grandezas envolvidas. - verificar se o aluno efetua o tratamento no registro da língua natural.

ATIVIDADE II

- verificar se o aluno é capaz de prever resultados, o aluno já terá construído a ideia de relação entre as duas grandezas. - identificar se o aluno realiza o tratamento de registros, em língua natural e numérico tabular.

ATIVIDADE III - verificar se o aluno utiliza a conversão de registros, do sentido da língua natural, numérico tabular para o registro algébrico para representa-la na forma de uma função linear afim.

ATIVIDADE IV - investigar se o aluno consegue utilizar a conversão de registros, do sentido numérico tabular para o registro algébrico.

Tabela 7 – Critérios de análise, atividades Papel & Lápis, Bloco I e II. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

147

CRITÉRIOS DE ANÁLISE – ATIVIDADES NO AMBIENTE GEOGEBRA

Atividades BLOCO I e BLOCO II

ATIVIDADE I

- verificar se o aluno consegue perceber a relação entre as duas grandezas envolvidas. - verificar se o aluno efetua o tratamento no registro da língua natural.

ATIVIDADE II

- verificar se o aluno é capaz de prever resultados, - verificar se o aluno já consegue construir a ideia de relação entre as duas grandezas. - identificar se o aluno realiza o tratamento de representações em língua natural e numérico tabular.

ATIVIDADE III - verificar se o aluno consegue utilizar a conversão de registros, do sentido da língua natural ou numérico tabular para o registro algébrico para representar a situação na forma de uma função linear afim.

ATIVIDADE IV - investigar se o aluno consegue utilizar a conversão de registros, do sentido numérico tabular para o registro algébrico.

ATIVIDADE V - investigar se o aluno consegue utilizar a conversão de registros, com destino ao registro algébrico, por meio das suas observações e interações realizadas na atividade informatizada.

Tabela 8 – Critérios de análise, atividades Geogebra, Bloco I e II. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

148

7.2.1 Análise das Atividades no Ambiente “Papel & Lápis”

Começaremos apresentando os resultados obtidos após a aplicação das

atividades do Bloco I realizadas em ambiente “Papel e Lápis”.

Com base nos resultados apresentados na Figura 108, a totalidade dos

alunos pesquisados apresentou facilidade na resolução da atividade. Acreditamos

desta forma, que os alunos conseguiram perceber a relação entre as duas

grandezas envolvidas no problema. Verificamos também, total sucesso no

tratamento de registros na língua natural.

ATIVIDADE I – LENDO A TABELA – Bloco I – Papel e Lápis

Figura 108 – Resultados Atividade I, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A atividade II foi composta de dois exercícios, sendo solicitado no primeiro a

posição do veículo S em km, no outro o instante de tempo T em horas. Os

resultados apresentados na Figura 109 indicam que os alunos pesquisados, foram

capazes de prever resultados propostos pela atividade. Acreditamos que essa

capacidade pode ter sido adquirida devido à percepção dos alunos da relação entre

as grandezas. Os alunos também demonstraram conseguir tratar os registros em

língua natural e numérico tabular.

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

100%

0%

CORRETO INCORRETO NÃO RESPONDIDA

149

ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS – Bloco I – Papel e Lápis

A)

B)

Figura 109 – Resultados Atividade II, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Os resultados apresentados na Figura 110, a seguir, indicam ser

satisfatórios. Isso nos mostra que os alunos pesquisados não apresentaram ter

dificuldades em realizar a conversão de registros, do sentido língua natural/numérico

tabular para o registro algébrico. Apenas dois alunos encontraram dificuldades na

resolução da atividade, sendo que um deles deixou a questão sem respostas.

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

100%

0%

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

100%

0%


150

ATIVIDADE III - GENERALIZANDO – Bloco I – Papel e Lápis

A)

B)

Figura 110 – Resultados Atividade III, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Com base em nosso critério de análise, verificamos nos resultados

apresentados a seguir, Figura 111, que a maioria dos alunos pesquisados

demonstrou ter capacidade de utilizar a conversão de registros de representação, do


14

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

93%

0% 7%

13

1 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

87%

7% 7%


151

ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS – Bloco I – Papel e Lápis

Figura 111 – Resultados Atividade IV, Bloco I – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Apresentaremos agora os resultados das atividades do Bloco II realizadas

no ambiente “Papel & Lápis”.

Conforme os resultados apresentados na Figura 112, a totalidade dos alunos

pesquisados, apresentaram facilidade na resolução da atividade. Acreditamos desta

forma, que os alunos conseguiram perceber a relação entre as duas grandezas

envolvidas no problema. Verificamos também, total sucesso no tratamento de

registros na língua natural.

ATIVIDADE I – LENDO A TABELA – Bloco II – Papel e Lápis

Figura 112 – Resultados Atividade I, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

12

1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

80%

7% 13%

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

100%

0%



152

Identificamos nesta atividade, dividida em dois exercícios, conforme

resultados apresentados na Figura 113, uma grande quantidade de acertos. Mas,

também a ocorrência de dificuldades por parte de dois alunos pesquisados, que não

atingiram os resultados esperados de prever resultados e realizar o tratamento de

registros, em língua natural e numérico tabular.

ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS – Bloco II – Papel e Lápis

A)

B)

Figura 113 – Resultados Atividade II, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A Atividade III, também foi dividida em dois exercícios. Na Figura 114,

apresentamos os resultados de cada exercício separadamente. Os resultados

indicam um aumento na dificuldade dos alunos em resolver esse tipo de questão, no

qual foi solicitado que a relação entre as duas grandezas envolvidas fosse

representada por meio de uma fórmula matemática, isto é, partindo de registros da

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

100%

0%

13

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

87%

13%


153

língua natural ou numérico tabular, com destino ao registro algébrico. Dessa forma,

acreditamos, que quando o aluno é colocado nesta situação, na qual a necessidade

de uma representação genérica, ele encontra dificuldades em utilizar de uma

linguagem algébrica, a fim de servir como representação.

ATIVIDADE III - GENERALIZANDO – Bloco II – Papel e Lápis

A)

B)

Figura 114 – Resultados Atividade III, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Os resultados apresentados na Figura 115 vieram para confirmar os

resultados da atividade anterior, e também sobre a nossa suspeita. De que os

alunos apresentam dificuldades, quando são solicitados a trabalhar a conversão de

registros. Nesse caso com destino ao registro algébrico.

7 7

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

47%

47%

7%

5

9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

33%

60%

7%


154

ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS – Bloco II – Papel e Lápis

Figura 115 – Resultados Atividade IV, Bloco II – “Papel & Lápis”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

7.2.2 Análise das Atividades no Ambiente “Geogebra”

Começaremos apresentando os resultados obtidos após a aplicação das

atividades do Bloco I realizadas em ambiente informatizado e com a utilização do

software Geogebra, lembrando que as atividades propostas neste ambiente

exploravam a interação e a observação dos alunos pesquisados junto ao software.

Os resultados apresentados na Figura 116 indicam um grau satisfatório de

acertos para essa primeira atividade. Com exceção de um aluno, que iniciou a

resolução de forma incorreta, acarretando a uma sequência de erros até o final da

atividade. Os demais alunos pesquisados obtiveram sucesso em suas resoluções,

demonstrando, dessa forma, percepção da relação entre as grandezas envolvidas

no problema e o tratamento no registro da língua natural.

4

9

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 27%

60%

13%


155

ATIVIDADE I – CONSTRUINDO E LENDO A TABELA – Bloco I – Geogebra

Figura 116 – Resultados Atividade I, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A Figura 117 apresenta os resultados referentes à atividade II. Conforme

critérios de análise, os resultados dessa atividade também foram satisfatórios para

quase a totalidade dos alunos envolvidos na atividade. Interessante observar que, o

aluno que não obteve sucesso nesta atividade, é o mesmo aluno que encontrou

dificuldades na atividade anterior, resultando em erro na resolução.

ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS – Bloco I – Geogebra

A)

14

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

93%

7%

12

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

80%

20%


156

B)

Figura 117 – Resultados Atividade II, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Para a análise dos resultados da atividade III, analisamos separadamente os

resultados obtidos com a resolução dos exercícios A e B. Verificamos que em

relação ao exercício A, poucos alunos cometeram algum erro e três alunos deixaram

a atividade sem resolução. Na sequência da resolução do exercício B, percebemos

que a quantidade de alunos que erraram e que deixaram a questão sem respostas,

ultrapassou a quantidade de acertos. Consequentemente, dos três alunos que

erraram o exercício A, um deles também cometeu erro na resolução do exercício B e

dois deixaram a questão sem respostas.

ATIVIDADE III - GENERALIZANDO – Bloco I – Geogebra

A)

10

4

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

67%

27%

9

3 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

60% 20%

20%


157

B)

Figura 118 – Resultados Atividade III, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Na última atividade deste bloco, Figura 119, percebemos que em relação

aos resultados obtidos, uma redução à um terço de alunos que responderam

corretamente esta atividade. O que chama atenção, nesses resultados, é a

quantidade alunos que deixaram a atividade sem nenhuma resposta, dada à

importância desta atividade, pois explorava a conversão de registros, do sentido

numérico tabular para o registro algébrico.

ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS – Bloco I – Geogebra

Figura 119 – Resultados Atividade IV, Bloco I – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

7

3

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

47%

20%

33%

5 5 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

33%

33%

33%



158

Apresentaremos agora os resultados obtidos após a aplicação das

atividades do Bloco II, realizadas no ambiente informatizado e com o auxílio do

software Geogebra.

Os resultados apresentados na Figura 120 indicam um grau satisfatório de

acertos para essa primeira atividade. Com exceção de um aluno, que iniciou a

resolução de forma incorreta, acarretando a uma sequência de erros, até o final da

atividade. Para esclarecimentos, este aluno não se trata do mesmo que cometeu

erro parecido na resolução da Atividade I, Bloco I. Os demais obtiveram sucesso em

suas resoluções. Demonstrando dessa forma, terem percebido a relação entre as

grandezas envolvidas no problema e o tratamento no registro da língua natural.

ATIVIDADE I – CONSTRUINDO E LENDO A TABELA – Bloco II – Geogebra

Figura 120 – Resultados Atividade I, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A Figura 121 apresenta os resultados referentes à atividade II, dividida em

dois exercícios. Apesar do número de acertos nos dois exercícios, ser superior,

observamos uma quantidade expressiva de respostas incorretas. Lembrando que

esta atividade procurou explorar o tratamento em registro numérico tabular.

14

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

93%

7%


159

ATIVIDADE II – PREVENDO RESULTADOS – Bloco II – Geogebra

A)

B)

Figura 121 – Resultados Atividade II, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

A análise dos resultados da atividade III, também foi feita separadamente

para os exercícios A e B. Conforme Figura 122 verificamos que o número de

respostas incorretas e atividades sem respostas, ultrapassa a quantidade de alunos

que responderam corretamente esta atividade. A importância desta atividade, devido

ao fato dela exigir a conversão de registros, com destino ao registro algébrico.

11

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

73%

27%

9

5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

60%

33%


160

ATIVIDADE III - GENERALIZANDO – Bloco II – Geogebra

A)

B)

Figura 122 – Resultados Atividade III, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

7

3

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

47%

20%

33%

6

3

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

40%

20%

40%


161

A última atividade deste bloco apresentou resultados que vieram para

confirmar as dificuldades apresentadas em relação à atividade anterior. A Figura 123

apresenta a quantidade de respostas incorretas e sem respostas, sendo superior ao

número de acertos. O objetivo da atividade, foi utilizar a conversão de registros, com

destino ao registro algébrico, para desta forma, representar de forma genérica a

relação entre as duas grandezas envolvidas.

ATIVIDADE IV – RELACIONANDO GRANDEZAS – Bloco II – Geogebra

Figura 123 – Resultados Atividade IV, Bloco II – “Geogebra”. FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

7

2

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

47%

13%

40%


162

7.3 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ENTRE AS ATIVIDADES

7.3.1 Bloco I versus Bloco II no Ambiente “Papel & Lápis”

Como podemos perceber ao compararmos os dois blocos de atividades,

vimos que há um crescimento da quantidade de respostas incorretas durante a

resolução do Bloco II, quando comparado com o Bloco I. Observa-se essa evolução

já a partir da resolução dos exercícios da atividade II, Figuras 124 e 125.

Figura 124 – Evolução das Atividades Bloco I – “Papel &Lápis” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

15 15 15 14

13 12

0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

I II(A) II(B) III(A) III(B) IV ATIVIDADES

EVOLUÇÃO - Quantidade de Acertos, Erros e Questões não Respondidas - "Papel & Lápis"

Bloco I

CORRETO

INCORRETO

NÃO RESPONDIDO

163

Figura 125 – Evolução das Atividades Bloco II – “Papel &Lápis” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Acreditamos que tal fato, se deva à dificuldade do aluno em perceber que no

instante de tempo T = 0 h, a localização do veículo não se encontra na posição S = 0

km, como na situação proposta em atividade do Bloco I, mas, sim, em S = 50 km.

Essa ideia era justamente o propósito para explorarmos o conceito de função linear

afim, quando o coeficiente linear é diferente de zero. Nesse caso, a função f(x) = a.x

+ b, que em nossa situação aplicada tomaria a forma S(t) = 20.t + 50. A posição do

veículo em S = 0 km, com T = 0 h, foi aplicado no Bloco I de Atividades, dessa forma

explorando a ideia de função linear afim com coeficiente linear igual a zero.

Destacamos abaixo, os protocolos de respostas de dois alunos, referentes à

atividade II do Bloco II, a fim de discutirmos sobre quais possíveis circunstâncias

esses erros ocorreram, Figuras 126 e 127.

15 15

13

7

5

4

0 0

2

7

9 9

0 0 0

1 1

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

I II(A) II(B) III(A) III(B) IV

ATIVIDADES

EVOLUÇÃO - Quantidade de Acertos, Erros e Questões não Respondidas - "Papel & Lápis"

Bloco II

CORRETO

INCORRETO

NÃO RESPONDIDO

164

Figura 126 – Protocolo do aluno nº5 FONTE: Elaborado pelo pesquisador.


Os resultados apresentados na primeira parte da atividade II, acima, estão

corretos, isto é, os dois alunos não encontraram dificuldades em prever resultados

quando, dado um instante de tempo T em horas, foram solicitados a localizar a

posição do veículo em km. Possivelmente, utilizando-se o tratamento em registro

algébrico: S(T) = 20.T + 50, nesse caso a incógnita já se encontra isolada na

igualdade da função. Mas quando, solicitados o inverso, isto é, dado a posição do

veículo em km, os mesmos deveriam calcular o instante de tempo T em horas, esses

alunos encontraram dificuldades, e por consequência, levaram aos erros, conforme

destaque circular acima. Acreditamos que tal fato tenha sido motivado pela

dificuldade dos alunos em utilizar o tratamento de registros da mesma função S(T) =

20.T + 50, já que as duas grandezas se comportam de maneira dependentes, mas

165

para isso, eles deveriam procurar isolar a incógnita T por meio de uma sequência de

operações, como o anulamento do produto e o cancelamento da adição.

A situação piora na sequência das atividades III e IV do Bloco II,

comparadas com as mesmas atividades do Bloco I. Nas duas atividades o aluno

pesquisado que denominamos nº1, não respondeu nenhuma das duas atividades e

o aluno nº 9 não respondeu a atividade IV.

Em uma das resoluções incorretas, conforme podemos observar nos

protocolos do aluno nº15, Figuras 128 e 129, observamos que o erro cometido, pode

ter sido por pura distração, já que a conversão de registros com destino ao registro

algébrico para a função em S, considerada mais difícil, fora efetuada corretamente.

Já no caso da conversão, também para o registro algébrico para a função em T, o

aluno troca um pelo outro, os valores dos coeficientes.



Os demais erros observados em relação as atividade III e IV, entendemos

como realmente dificuldades dos alunos em generalizar a relação entre as

grandezas, por meio de uma função linear afim, utilizando-se para isso a conversão

de registros com destino ao registro algébrico. A seguir, Figuras 130 a 135,

destacamos os protocolos contendo essas dificuldades observadas.

166




167




7.3.2 Bloco I versus Bloco II no Ambiente “Geogebra”

Ao compararmos os Blocos I e II de atividades que foram realizadas no

ambiente informatizado e com a utilização do software Geogebra, percebemos

também nesse caso, que os alunos pesquisados apresentaram maiores dificuldades

na resolução do Bloco II. Tal fato se deve ao número crescente de respostas

incorretas e não respondidas, identificadas no Bloco II, quando comparadas com o

Bloco I, como mostra os gráficos das Figuras 136 e 137.

168

Figura 136 – Evolução das Atividades Bloco I – “Geogebra” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Figura 137 – Evolução das Atividades Bloco II – “Geogebra” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

14 14

12

10

8 7

5

1 1 3

4

3

2

5

0 0 0

1

4 6 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

I II III(A) III(B) IV(A) IV(B) V ATIVIDADES

EVOLUÇÃO - Quantidade de Acertos, Erros e Questões não Respondidas "Geogebra"

Bloco I

CORRETO

INCORRETO

NÃO RESPONDIDO

14

13

11

8

7

6 7

1

2

4

5 4

3 3

0 0 0

2

4

6

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

I II III(A) III(B) IV(A) IV(B) V

ATIVIDADES

EVOLUÇÃO - Quantidade de Acertos, Erros e Questões não Respondidas "Geogebra"

Bloco II

CORRETO

INCORRETO

NÃO RESPONDIDO

169

Acreditamos que tal fato, como ocorrido também com os alunos pesquisados

no ambiente “Papel & Lápis”, se deva à dificuldade dos alunos em perceber a

relação do coeficiente linear, no caso, km 50, na função linear afim.

Destacamos abaixo, os protocolos de respostas de dois alunos, referentes à

atividade II (A,B) do Bloco II, a fim de discutirmos sobre quais possíveis

circunstâncias esses erros ocorreram.

Possivelmente, o erro que o aluno nº9 cometeu durante a resolução da

Atividade II(A), foi tê-la iniciado como continuação do último exercício da Atividade I,

que se tratava do preenchimento de uma tabela, sem levar em consideração o

coeficiente linear igual a 50. Em relação à Atividade II(B), o mesmo aluno deixou-a

sem resolução, como mostra a Figura 138.


Em relação aos erros cometidos pelo aluno nº10 durante a resolução da

Atividade II(A), acreditamos que ele tenha utilizado a função linear afim na forma

S(T) = 20.T, omitindo o coeficiente linear igual a 50. Quanto à Atividade II(B), não

conseguimos identificar as causas que levaram o aluno ao erro na resolução da

atividade. A Figura 139, destacamos os erros comentados.

170


Em relação ao aluno nº11, identificamos que os erros cometidos por ele,

tenham se iniciado já primeira atividade, pois ele não considerou que no instante T =

0 h, a posição do veículo era S = 50 km, mas considerou como sendo S = 0 km,

levando-o a uma sequência de erros no desenvolvimento das Atividades II(A) e II(B).


Vale a pena destacar nessa comparação entre os Blocos de Atividades, uma

elevada quantidade de alunos que responderam incorretamente ou que deixaram

sem respostas as atividade III e IV, tanto do Bloco I como do Bloco II. Lembrando

que esta atividade era de extrema importância para verificarmos a capacidade dos

alunos em utilizar a conversão de registros, com destino ao registro algébrico. Nas

171

Figuras 141 a 143 destacamos os erros existentes em alguns protocolos de alunos

referentes às atividades III e IV do Bloco I.




172

Nas Figuras 144 a 148, destacamos os protocolos dos alunos pesquisados,

e que apresentaram dificuldades na resolução das atividades do Bloco II, sendo

essas atividades a conversão de registros com destino ao registro algébrico.



173




174

7.3.3 Comparação do desempenho: TURMA “A” versus TURMA “B”

Para finalizar essa etapa da pesquisa, realizamos uma comparação de

desempenho entre as duas turmas pesquisadas. Lembrando que, a Turma “A”,

contendo quinze alunos realizou as atividades do Bloco I e do Bloco II no ambiente

“Papel & Lápis”, enquanto a Turma “B”, contendo quinze alunos realizou as

atividades do Bloco I e do Bloco II no ambiente “Geogebra”. Escolhemos como

critério de comparação de desempenho entre as duas turmas “A” e “B”, a contagem

da quantidade de acertos das atividades aplicadas. A Tabela 9 e os gráficos das

Figuras 149, 150 e 151, sintetizam os resultados dessa comparação.

Categoria das

Atividades Atividade

"P&L" TURMA “A”

Atividade

"Geogebra" TURMA “B”

BLOCO I

BLOCO II

BLOCO I

BLOCO II

Tabela I 15 15 I e II 14 14

Prevendo Resultados

II 30 28 III 22 20

Generalizando III 27 12 IV 16 13

Relacionando Grandezas

IV 12 4 V 5 7

TOTAL 143 TOTAL 111

Tabela 9 – Desempenho das Turmas “A” e “B” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Baseados no critério de contagem da quantidade de acertos das atividades

aplicadas, verificamos que a Turma A, obteve um melhor desempenho em

comparação com o desempenho da Turma B, isto é, tivemos 143 acertos para a

Turma A e 111 para a Turma B. Podemos verificar a superioridade da Turma A,

também em relação às categorias das atividades que foram aplicadas: Tabela,

Prevendo Resultados, Generalizando, Relacionando Grandezas, no qual, em todas

essas categorias, a Turma A foi superior à Turma B.

175

Figura 149 – Desempenho da Turma “A” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

Figura 150 – Desempenho da Turma “B” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

79%

21%

Erros e Acertos em Percentual "P&L"

62%

38%

Erros e Acertos em Percentual "Geogebra"

176

Figura 151 – Desempenho das Turmas “A” e “B” FONTE: Elaborado pelo pesquisador.

0 10 20 30 40 50 60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

"P&L"

"Geogebra"

143

111

Quantidade de Acertos

177

CAPÍTULO 8 – CONCLUSÕES

O objetivo desta pesquisa constituiu-se em investigar o processo de ensino e

aprendizagem do objeto matemático função linear afim, sob o ponto de vista da

articulação entre os registros de representações semióticas e apoiado em um

ambiente computacional dinâmico. Para isso foi aplicado um conjunto de atividades

a um grupo de trinta alunos da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental. O propósito

da coleta e análise dos protocolos fornecidos pelos sujeitos foi tentar obter

evidências para poder responder a questão de pesquisa: “Em que medida a

articulação entre registros de representações semióticas e ambientes

computacionais favorece o processo de ensino e aprendizagem do tópico

função linear afim?”.

Como já foi dito, o objeto matemático de investigação deste estudo foi a

função linear afim. Inicialmente fizemos um breve relato histórico do

desenvolvimento do conceito de função e da sua forma de notação, conforme

exposto no capítulo 1. Por meio de pesquisa realizada em diversos livros que tinham

como assunto a História da Matemática, verificamos que o conceito de função levou

muitos séculos para ser tratado como um conceito matemático e para que se

chegasse ao formato que possui hoje. Além disso, foram necessários o

envolvimento e a colaboração de diversos estudiosos: Euler, Dedekind, Cantor,

Cauchy, Fourier, Dirichlet, Bolzano, Lagrange, D’Alember, família Bernoulli, Newton,

Leibniz, Fermat, Descartes, Galileu, Viète, Ptolomeu, Diofanto, entre vários outros

grandes nomes das ciências que contribuíram para o seu desenvolvimento.

Podemos concluir que o conceito de função sofreu diversas transformações

ao longo da história. À medida que a sociedade passou por mudanças sociais e

científicas, seu conceito foi sendo reformulado conforme as suas necessidades.

Esse fato demonstra que o objeto matemático função não pode ser considerado

como um saber estático e imutável ao longo do tempo. O seu estudo e o seu

processo de ensino e aprendizagem é de extrema importância para a sociedade, já

que se trata de um conceito presente não só na Matemática, mas também em

diversas outras áreas e ciências como a Física, a Biologia, a Medicina, a Economia,

entre outras.

178

Parte da nossa questão de pesquisa, refere-se à um recurso informatizado,

por isso achamos conveniente, saber dos alunos, sujeitos da pesquisa, como se dá

a relação entre eles e a informática, mais especificamente o uso do computador.

Para isso, propomos ao grupo de alunos, um levantamento socioeconômico, por

meio de um questionário. Este questionário foi aplicado com o objetivo principal de

coletarmos informações sobre a utilização do computador como ferramenta de

auxilio no processo de ensino e aprendizagem. Com os dados coletados neste

estudo, pudemos primeiramente perceber a evidência de que o acesso ao

computador é algo corriqueiro entre os sujeitos pesquisados, fato também

evidenciado por ARAUJO (2005) e CALIL (2010). No presente caso, mesmo

observado que os sujeitos da nossa pesquisa pertencerem a uma comunidade

carente, o computador faz parte integrante dos objetos mais comuns e necessários

em seus lares, como a TV, o telefone, o fogão, a geladeira, etc. Em relação ao tipo

de uso que se faz do computador, pudemos verificar que as “redes sociais”, como

suspeitávamos, foram os destinos mais procurados e utilizados por esses jovens.

Sobre o uso do computador em casa, como ferramenta de estudo ou para o

desenvolvimento de conteúdos escolares, os dados obtidos nesta pesquisa,

corroboram com os dados demonstrados por ARAUJO (2005) e CALIL (2010). Isto é,

os resultados obtidos em nossa pesquisa, mostraram que a frequência do uso do

computador para fins escolares, também é representativa, sendo o segundo maior

destino usual, depois das redes sociais. Deixando para trás, o uso para o

entretenimento e os jogos. Já os resultados apurados, nos mostraram que a sua

utilização no ambiente escolar para o desenvolvimento de atividades não só de

matemática, mas também de outras disciplinas, é de pouca utilização.

Preocupados com a problemática do processo de ensino e aprendizagem

em matemática, mais especificamente sobre o objeto função linear afim. Apoiamos-

nos na Teoria dos Registros de Representações Semióticas, a qual teve um papel

importante no suporte teórico das pesquisas aqui realizadas.

A função linear afim, como já mencionado no capítulo 3, pode ser

apresentada por meio de diferentes representações, havendo dessa forma a

possibilidade da ocorrência de dificuldades de aprendizagem por parte dos alunos,

devido justamente à identificação nessas diferentes representações do mesmo

objeto matemático.

179

Segundo Duval (1995), para haver uma compreensão desse conteúdo é

necessário que haja interpretações corretas de suas diferentes representações e a

coordenação entre as suas representações. E, segundo esse mesmo autor, essa

compreensão pressupõe além da coordenação de ao menos dois registros de

representação, manifesta-se também pela rapidez e espontaneidade da atividade

cognitiva de conversão. Ou seja, quanto maior for a articulação entre os diferentes

registros de representações semióticas no estudo da função linear afim, maior será a

possibilidade de apreensão do seu conteúdo.

Sendo assim, nossas atividades de pesquisas foram construídas, com os

objetivos de além da investigação sobre a percepção dos alunos sobre a relação

entre as grandezas variáveis, também a utilização do tratamento e da conversão

entre os registros de representações semióticas.

Ao darmos início ao nosso experimento sobre o objeto matemático função

linear afim e a articulação entre os seus registros de representação, os sujeitos da

pesquisa foram divididos em duas turmas: “Turma A” e “Turma B”. Os alunos da

Turma A realizaram as atividades dos Blocos I e II no ambiente “Papel & Lápis”,

enquanto os alunos da Turma B realizaram as atividades dos Blocos I e II no

ambiente “Geogebra”. O Bloco I era constituído de atividades relativas às funções

lineares afins cujo coeficiente linear era igual a zero, enquanto o Bloco II era

constituído de atividades relativas às funções lineares afins cujo coeficiente linear

era diferente de zero.

Após análises dos dados coletados e a comparação dos desempenhos entre

as duas turmas pesquisadas, os resultados apontam para algumas evidências:

a) Na Atividade I – Atividade com Tabela, tanto no Bloco I como no Bloco II,

ambas as turmas tiveram um desempenho satisfatório, com quase a

totalidade de acertos. É bom lembrar que esta atividade em si não dependia

do ambiente onde foi desenvolvida, pois era apenas uma leitura de dados de

uma tabela. O fato de que as duas turmas tiveram o mesmo desempenho

mostra que houve, de certa forma, uma divisão homogênea do grupo de

sujeitos em termos de formação de conteúdo.

180

b) Na Atividade II – Prevendo Resultados. Os resultados obtidos em relação ao

Bloco I e ao Bloco II, demonstram uma superioridade da Turma A sobre a

Turma B. Isso parece apontar para o fato de que o ambiente “Geogebra”,

neste caso, não favoreceu a aprendizagem.

c) Na Atividade III – Generalizando. Foram atividades que pendiam as

generalizações da relação entre as grandezas, na forma de um registro

algébrico. Nesta atividade, observamos a superioridade da Turma A durante a

resolução do Bloco I. Já no Bloco II, observamos um desempenho

equivalente entre as duas turmas.

d) Na Atividade IV – Relacionando Grandezas. Estas atividades pediam

generalizações em termos de fórmulas, relacionando as grandezas

envolvidas, observamos durante a resolução do Bloco I, a Turma A foi

superior à turma B. No Bloco II, houve uma inversão, com a turma B

prevalecendo sobre a turma A.

e) Ao compararmos os desempenhos das duas turmas em relação ao

comportamento da função linear afim, e com base nos resultados obtidos

nessa comparação, pudemos concluir que em ambos ambientes, os

estudantes tiveram mais dificuldade em resolver os problemas nos casos em

que o coeficiente linear da função linear afim era diferente de zero, isto é, nas

atividades pertencentes ao Bloco II. Na verdade, é uma das dificuldades do

processo de ensino e aprendizagem desse tópico, pois os alunos são levados

a pensar em uma proporção direta e possivelmente não levam em conta o

termo linear.

f) Ao compararmos os desempenhos das duas turmas em relação ao ambiente

no qual foram propostas aos alunos, as resoluções das atividades, tanto do

Bloco I como do Bloco II, pudemos verificar que o ambiente informatizado,

com a utilização do Geogebra não foi superou ao ambiente Papel & Lápis,

contrariando dessa forma, as conclusões de ARAUJO (2005) e CALIL (2010).

181

Sendo assim, com base nas análises dos dados obtidos em nossa pesquisa,

especificamente para esse grupo de alunos pesquisados, podemos concluir que eles

apresentaram uma maior facilidade em se trabalhar com a relação entre as duas

grandezas, quando se comportaram na forma de uma função do tipo f(x) = a.x + b,

com b igual de zero. Por outro lado, devido ao número maior de erros observados,

nos levam a crer, que, especificamente para esse grupo de alunos, apresentaram

maiores dificuldades, quando a relação entre as duas grandezas envolvidas se

comporta na forma f(x) = a.x + b, com b diferente de zero.

Outro fato, evidenciado em nossa pesquisa, refere-se aos registros de

representações semióticas. Concluímos que, especificamente, para esse grupo de

alunos pesquisados, as dificuldades foram mais evidentes nas resoluções das

atividades que dependiam das transformações de conversão, do sentido língua

natural/tabular com destino ao registro algébrico.

Para finalizarmos nossas conclusões e respondendo à nossa questão de

pesquisa. Os resultados das atividades apresentadas por esta amostra de dados

apontam para o fato de que o ambiente informatizado não parece ser fundamental

para trabalhar esse assunto: função linear afim. Entretanto os registros gráficos que

permitiram a visualização dos problemas foram muito importantes para o

experimento. Aparentemente os alunos não tiveram grandes dificuldades em

transitar entre os diversos registros.

De qualquer forma, como a amostra de dados é muito pequena, as

conclusões aqui mencionadas não podem ser generalizadas e definitivas. Sugerimos

a aplicação de outras pesquisas para ter-se uma melhor ideia desse processo de

ensino e aprendizagem. Acreditamos que este estudo poderá ser ampliado, por meio

de um número maior de atividades e que envolvam, além dos registros da língua

natural, numérico tabular, a utilização dos registros gráficos.

Sendo assim, esperamos ter contribuído para as pesquisas educacionais

nessa área.

182

REFERÊNCIAS

ARAUJO, E. A concepção de um software de Matemática para auxiliar na aprendizagem dos alunos da primeira série do ensino médio no estudo das funções exponenciais e logarítmicas. 2005 153 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, São Paulo, 2005. BARROS, L. G. X. de. Uma Introdução Ingênua à Teoria dos Registros de Representações Semióticas. Revista Ceciliana, Ano 22, nº 32, p.33 – 41. Santos, 2011. BERLINGHOFF, W. P.; GOUVÊA, F. Q. A Matemática Através dos Tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. Tradução Elza Gomide, Helena Castro. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2008. 279 p. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª

Edição, 2ª Reimpressão. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2007. 104 p. BOYER, C. B.. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2ª Edição,

2ªReimpressão, São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1999. 496 p. BRASIL. Ministério da Educação (MEC), Secretaria da Educação Básica (SEB): Orientações Curriculares para o Ensino Médio - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. MEC/SEB, v.2, Brasília, 2008. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática: 5ª a 8ª série. MEC, Brasília, 1998. ______. Plano Nacional do Livro Didático - (PNLD 2014). Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FDNE). MEC/SEB, Brasília, 2013. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. MEC/SEMTEC, Brasília, 1999. CALIL, A. M. Aplicação do software Graphmatica no ensino de funções polinomiais de 1º grau no 9º ano do ensino fundamental. 2010 99 f. Dissertação

(Mestrado Profissional em Educação Matemática), Universidade Severino Sombra, Vassouras, Rio de Janeiro, 2010.

183

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187

ANEXOS

ANEXO A – MODELO DO TERMO DE RESPONSABILIDADE DA

INSTITUIÇÃO LOCAL DA PESQUISA.

Eu, Professor **************, diretor da Escola Estadual *********************,

declaro para os devidos fins, ter conhecimento da pesquisa: “Um Experimento

Apoiado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas Sobre o

Ensino de Função Linear Afim Em Um Ambiente Computacional”, de

responsabilidade do Mestrando CRISTIANO SOUZA RAMOS aluno da Universidade

Anhanguera de São Paulo – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática,

sob a orientação do Professor Dr LUIZ GONZAGA XAVIER DE BARROS. Autorizo

sua realização com alunos da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental.

Assinando esta autorização, estou ciente de que os alunos estarão

respondendo os seguintes instrumentos: “TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E

ESCLARECIDO”, “AUTORIZAÇÃO DO USO DE IMAGENS”, “QUESTIONÁRIO

SÓCIO-ECONOMICO”, “ATIVIDADES RELACIONADAS AO OJBETO

MATEMÁTICO FUNÇÃO LINEAR AFIM”.

São Paulo, 19 de novembro de 2013.

_____________________________________________

188



ANEXO B – TERMO DE ESCLARECIMENTO DO PROJETO E PESQUISA.

TERMO DE ESCLARECIMENTO DO PROJETO E PESQUISA

Título do Projeto: “Um Experimento Apoiado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas Sobre o Ensino de Função Linear Afim Em Um Ambiente Computacional”

Pesquisador Responsável: Cristiano Souza Ramos RA 121.657.159 CPF 130.016.848-01 Rua Canário, 140 – Diadema – SP – CEP 09931-470 Telefone: (11) 4091-0759

Instituição a que pertence o Pesquisador Responsável: Universidade Anhanguera de São Paulo

Telefones para contato: (11) 2967-9000 - (11) 2967-9110

O sr.(a) aluno(a) está sendo convidado(a) a participar desta pesquisa

que tem como objetivo principal investigar o processo de ensino aprendizagem

do conceito de função linear afim aos alunos da 8ª Série/9º Ano do Ensino

Fundamental mediado pelo ambiente computacional denominado Geogebra.

Os dados do projeto serão obtidos por meio de entrevistas em duplas e

individuais, nas quais o sr(a) aluno(a), como participantes desta pesquisa

resolverão atividades matemáticas. O material coletado durante o projeto, as

atividades realizadas, as transcrições e os registros escritos serão de uso

exclusivo do grupo de pesquisa, e servirão como base para procurar entender

melhor a relação entre os processos de ensino e aprendizagens do objeto

matemático em estudo.

A participação nesta pesquisa é voluntária, sendo garantida ao sr(a)

aluno(a) a liberdade de se recusar a participar e ainda se recusar a continuar

participando em qualquer fase da pesquisa, sem qualquer prejuízo para o sr(a)

aluno(a).

189

Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da

Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução nº196/96 do

Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos usados oferece

riscos à sua dignidade e integridade física.

Todas as informações coletadas neste estudo são estritamente

confidenciais. Somente o(a) pesquisador(a) e o(a) orientador(a) terão

conhecimento dos dados, para fins específicos do estudo e divulgação na

literatura científica especializada. Os dados pessoais do sr(a) aluno(a) sob a

responsabilidade do pesquisador serão mantidos em sigilo.

Os participantes terão seus nomes trocados por pseudônimos

preservando a identidade dos sujeitos. Menção às instituições onde as

entrevistas serão realizadas será feita somente mediante a autorização das

mesmas. O cronograma das entrevistas será organizado de modo que não

prejudique outras atividades escolares, sendo realizadas de acordo com a

disponibilidade dos participantes. Além disso, o conteúdo matemático e as

atividades das entrevistas serão discutidos previamente com os professores

dos participantes, para evitar aplicação de atividades consideradas

inadequadas.

Ao participar desta pesquisa o sr(a) aluno(a) não terá nenhum tipo de

despesa ou benefício direto. Entretanto, esperamos que este estudo nos traga

informações importantes sobre o processo de construção do conhecimento sob

objeto matemático: funções lineares afins, com o auxilio do ambiente

computacional Geogebra, de forma que o conhecimento desenvolvido durante

esta pesquisa possa trazer dados importantes para a área da Educação

Matemática. Finalizada a pesquisa o sr(a) aluno(a) terá acesso aos resultados

globais do estudo.

Os resultados dessa pesquisa poderão ser utilizados pelos

pesquisadores em publicações em periódicos, livros, eventos científicos, cursos

e outras divulgações acadêmico-científicas. A veiculação de imagem dos

sujeitos em divulgações científicas só será realizada com consentimento dos

envolvidos.

Em qualquer etapa do estudo, o sr(a) aluno(a), participante da pesquisa

terá acesso aos responsáveis pela pesquisa. Para eventuais dúvidas ou

esclarecimentos sobre os procedimentos ou a ética da pesquisa entre em

190

contato com o pesquisador responsável Prof. Cristiano Souza Ramos, no

telefone 97387-7253 ou pelo e-mail: [email protected] ou com o

orientador Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros na Universidade

Anhanguera de São Paulo – Campus Maria Cândida, sito à Rua Maria

Cândida, 1.813 - São Paulo – SP – CEP: 02071-013, telefones (11) 2967-9000

- (11) 2967-9110.

191



ANEXO C – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO.

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Eu,_______________________________,RG nº _______________________,

responsável legal por ____________________________________, RG nº

_____________________ declaro estar suficientemente informado a respeito

das informações que li acima, ou que foram lidas para mim, a respeito do

projeto “Um Experimento Apoiado na Teoria dos Registros de

Representações Semióticas Sobre o Ensino de Função Linear Afim Em

Um Ambiente Computacional”. Ficaram claros para mim quais são os

propósitos do estudo, os procedimentos, as garantias de confidencialidade e

autorizo a veiculação dos resultados para os usos mencionados. Está claro

também que minha participação é isenta de qualquer tipo de despesas. Assim

sendo, concordo em participar deste estudo e poderei retirar o meu

consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem

penalidades ou prejuízo para mim e sem prejuízo para a continuidade da

pesquisa em andamento.

São Paulo, _____ de ___________________ de _______

Assinatura do sujeito de pesquisa/representante legal

Assinatura do pesquisador responsável

______________________________

Assinatura da testemunha

______________________________

Assinatura da testemunha

Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e Esclarecido deste sujeito de pesquisa ou representante legal para a participação neste estudo.

Assinatura do responsável pelo estudo Data ____/_____/_____

universidade anhanguera de sÃo paulo programa … · agradeço à professora doutora angélica da...

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