un problema geométrico inverso en mecánica de fluidos

Un Problema Geométrico Inversoen Mecánica de Fluidos

Carlos Conca

cconca@dim.uchile.cl

Departamento de Ingenierıa Matematica

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Universidad de Chile

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.1/31

Trabajo en colaboración con

Catalina Alvarez (CMM, U. de Chile)

Luis Friz (Universidad del Bío-Bío)

Otared Kavian (Université de Versailles, Francia)

Jaime Ortega (Universidad del Bío-Bío)

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Plan del Seminario

Formulación del Problema

Introducción a los Problemas Inversos

Resultados de Identificación y de Estabilidad

Experiencias Numéricas (caso de esferas)

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Formulación del Problema

Recuperar la mayor y mejor información posible(posición, volumen, forma) de un sólido rígidodesconocido, digamos D, que está inmerso en unlíquido viscoso, incompresible.

D

Ω

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Formulación del Problema

Es posible medir el campo de velocidades y losesfuerzos internos (fuerzas de Cauchy) del líquidosobre el borde de la cavidad Ω que lo contiene, o bien,sobre una parte de este borde.

La dinámica del líquido es gobernada por lasecuaciones de Stokes evolutivas.

Imponemos una condición de Dirichlet no-homogéneasobre el borde exterior ∂Ω del dominio,

y una condición de adherencia sobre el borde ∂D delsólido.

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¿ Qué es un problema inverso ?

A modo de ejemplo, busquemos determinar laspropiedades internas de un medio, midiendo datossobre parte del borde.

El modelo matemático que gobierna el fenómeno físicoen cuestión es normalmente una ecuación enderivadas parciales (o un sistema).

Las medición de datos sobre el borde es síntetizada enun cierto operador de borde (“boundary map"). Elproblema inverso consiste en determinar o recuperarlos coeficientes de la EDP, a partir de este operador deborde.

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Un Ejemplo Modelo

El problema de Calderón“Electrical Impedance Tomography (I)"

Sea Ω un dominio acotado de RN y sea γ(x) la

conductividad eléctrica (que no conocemos) del medioocupando Ω.

Suponemos que γ(x) es estrictamente positiva y quepertenece a L∞(Ω). Cuando el borde de Ω es sometidaa un voltaje f , el medio alcanza un potencial u, solucióndel modelo siguiente:

div (γ(x)∇u) = 0 en Ω

u = f sobre ∂Ω

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Un Ejemplo Modelo

El problema de Calderón“Electrical Impedance Tomography (II)"

En este caso, el operador de borde asociado alproblema se denomina operador de voltaje a corrienteeléctrica o operador de Steklov-Poincaré :

f −→ Λγ(f) = γ∂u

∂nsobre ∂Ω

El problema que propuso A. Calderón en 1980 fuecómo recuperar γ a partir del operador de borde :

Λ : γ −→ Λγ

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.8/31

Un Ejemplo Modelo

Más exactamente, el problema de Calderón se puededividir en varias preguntas:

Injectividad de la función de borde Λ (Identificación)

Continuidad de Λ y de su inversa Λ−1, si existe(Estabilidad)

¿ Cuál es la imagen de Λ? (Caracterización)

Fórmula que permita recuperar γ a partir de Λ(Reconstrucción)

Generar un algoritmo numérico que permita encontraruna aproximación de γ (Reconstrucción numérica)

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Marco Funcional (I)

Para el problema inverso en mecánica de fluidos

Sea Ω un abierto acotado, suave de RN y sea D ⊂⊂ Ω un

cuerpo rígido, desconocido, immerso en el líquido.

Sea ϕ ∈ H1

2 (∂Ω) un dato Dirichlet no-homogéneo sobreel borde ∂Ω de Ω, y sea (v, p) la solución de lasecuaciones de Stokes en Ω∗ := Ω \D

(P)

div(σ(v, p)) = 0 en Ω∗

div v = 0 en Ω∗

v = ϕ sobre ∂Ω

v = 0 sobre ∂D

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.10/31

Marco Funcional (II)

Sea σ(v, p) el tensor de esfuerzos asociado alescurrimiento, definido por la ley de Stokes

σ(v, p) = −pI + 2νe(v) donde e(v) =(∇v + (∇v)T )

2

Se define la clase de dominios admisibles por

Uad = D ⊂⊂ Ω : D es un abierto suave, tal que

Ω \D sea conexo

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.11/31

Marco Funcional (III)

Sea Λ el operador de borde que a un campo develocidades dado sobre el borde, asocia la fuerza deCauchy sobre una parte, digamos Γ, del borde, a saber

Λ : D −→ ΛD

donde

ΛD(ϕ) = σ(v, p)n sobre Γ,

y (v, p) es la solución del sistema de Stokes (P).

Nuestro problema inverso consiste en recuperar D, apartir de este operador de borde (que generaliza aloperador de Steklov-Poincaré) Λ : (D,ϕ) −→ ΛD(ϕ)

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.12/31

Resultados Principales

Resultado de Identificación : esto es, injectividad deloperador de Steklov-Poincaré:

D1 6= D2 =⇒ σ(v1, p1)n 6= σ(v2, p2)n en Γ,∀ϕ

Estabilidad : continuidad del inverso del operador deborde (si dos medidas son próximas, entonces loscuerpos rígidos están cerca).

Se propone un algoritmo numérico que permiterecuperar el volumen y la posición del cuerpo rígido, enel caso de esferas.

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.13/31

Identificación

Teorema (Alvarez, C2R, Friz, Kavian, Ortega)Suponga que D0, D1 ∈ Uad son dos subconjuntos abiertosen Ω de clase C0,1, y sean (vj , pj) para j = 0, 1 solucionesde :

(1)

div(σ(vj , pj)) = 0 en (Ω \Dj)

div vj = 0 en (Ω \Dj)

vj = ϕ sobre ∂Ω

vj = 0 sobre ∂Dj .

Si σ(v0, p0)n = σ(v1, p1)n sobre Γ, entonces

D0 ≡ D1

.Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.14/31

Idea de la Demostración (I)

D D1

0

Se define D = D0 ∪D1. En Ω \D, denotamos

v = v1 − v0 y p = p1 − p0

El par (v, p) satisface σ(v, p)n = 0 sobre Γ y verifica :

div(σ(v, p)) = 0 en Ω \D

div v = 0 en Ω \D

v = 0 sobre ∂ΩUn Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.15/31

Idea de la Demostración (II)

Gracias a la propiedad de continuación única para Stokes(C. Fabre & G. Lebeau, 1990), se concluye que: v = 0 yp = constante en Ω \D.

Así, v0 = v1 en Ω \D.

Si A0 = D1 \D0 no es vacío, es posible escribirdiv(σ(v0, p)) = 0 y div(v0) = 0 en A0, y v0 = 0 sobre∂A0 = (∂D1 ∩ (D0)

c) ∪ (∂D0 ∩D1). Multiplicando por v0,se deduce facilmente que v0 = 0 en A0.

D1 D0

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.16/31

Idea de la Demostración (III)

Usando nuevamente la propiedad de continuaciónúnica, se concluye que v0 = 0 in Ω \D0. Esto es unacontradicción, pues v0 = ϕ 6= 0 sobre ∂Ω.

Así, A0 = ∅. Analogamente, se prueba que D0 \D1 = ∅,y entonces D0 = D1.

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.17/31

Estabilidad (I)

Se quiere probar que si las medidas sobre el bordeexterior ∂Ω son próximas, entonces los cuerpos rígidoscorrespondientes están cerca.

La herramienta principal utilizada para abordar estapregunta es diferenciación con respecto a un dominio(F. Murat & J. Simon, 1974), en la que intervienenpequeñas perturbaciones del dominio.

Considere un dominio de referencia D, y un dominiodeformado D + u.

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.18/31

Estabilidad (II)

La deformación u se supone regular (suave) y tal queu = 0 en una vecindad de ∂Ω.

Ω

D0

D1

Dada una deformación regular u y un dato de Dirichletno-homogéneo ϕ ∈ H

1

2 (∂Ω)N verificando la condiciónde flujo:

∫

∂Ω ϕ · nds = 0,

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.19/31

Estabilidad (III)

se considera el problema :

(Pu)

divσ(vu, pu) = 0 en Ω∗ + u = (Ω\D) + u

div vu = 0 en Ω∗ + u

vu = ϕ sobre ∂Ω

vu = 0 sobre ∂(D + u)

En primer lugar, note que posee solución única

(vu, pu) ∈ H1(Ω∗ + u)N × L2(Ω∗ + u)

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.20/31

Regularidad

Lemma (Alvarez, C2R, Friz, Kavian, Ortega)Existe una vecindad W de u = 0 tal que la funciónu 7→ (vu, pu) (I + u), definida en W a valores enH1(Ω)N × L2(Ω), es analítica en W.Aquí, (vu, pu) es la única solución del problema (Pu).

La demonstración se basa en un uso astuto del Teorema de

la Función Implícita (versión analítica).

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.21/31

Teorema de Estabilidad

Teorema (Alvarez, C2R, Friz, Kavian, Ortega)Sea u0 ∈W 3,∞(Ω; RN ) una deformación dada. Si u = tu0,entonces existe C = C(u0,Ω, D, ϕ) > 0 y un enterom = m(u0,Ω, D, ϕ) ≥ 1, tales que para t suficientementepequeño :

‖ΛD(ϕ) − ΛD+tu0(ϕ)‖

H−

1

2 (∂Ω)≥ C |t|m

dondeΛD(ϕ) = σ(v0, p0)n sobre ∂Ω

yΛD+tu0

(ϕ) = σ(vtu0, ptu0

)n sobre ∂Ω

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.22/31

Idea de la Demostración (I)

Suponga que el dominio deformado tiene la forma

Ω∗ + tu0 = (Ω \ D) + tu0

Sea ψ ∈ H1

2 (∂Ω) un dato de Dirichlet arbitrario sobre elborde tal que

∫

∂Ω ψ · nds = 0. Consideremos laidentidad

〈ΛD+tu0(ϕ) − ΛD(ϕ), ψ〉 =

∫

∂Ω[σ(vtu0

, ptu0) − σ(v0, p0)]n · ψds

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.23/31

Idea de la Demostración (II)

Claramente, por Cauchy-Schwarz,

‖ψ‖H

1

2 (∂Ω)‖ΛD+tu0

(ϕ) − ΛD(ϕ)‖H

−

1

2 (∂Ω)≥

∣

∣

∣

∣

∫

∂Ω

[σ(vtu0, ptu0

) − σ(v0, p0)]n · ψds

∣

∣

∣

∣

Podemos expandir el lado derecho, obteniendo:

∫

∂Ω

[σ(vtu0, ptu0

) − σ(v0, p0)]n · ψds =

∫

∂Ω

σ(v′(tu0), p′(tu0))n · ψds+ o(t),

donde

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.24/31

Idea de la Demostración (III)

donde (v′(tu0), p′(tu0)) es la solución de

(2)

−div σ(v′(tu0), p′(tu0)) = 0 en Ω∗

∇ · v′(tu0) = 0 en Ω∗

v′(tu0) = 0 sobre ∂Ω

v′(tu0) = −t(u0 · n)

∂v0

∂nsobre ∂D.

Por otra parte, multiplicando (2) por v0 e integrando por partes,

se tiene

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.25/31

Idea de la Demostración (IV)

∫

∂Ω

σ(v′(tu0), p′(tu0))n · ψds =

∫

∂D0

v′(tu0) · σ(v0, p0)nds

= −t

∫

∂D0

(u0 ·n)∂v0

∂n·σ(v0, p0)nds = −t

∫

∂D0

(u0 ·n)

∣

∣

∣

∣

∂v0

∂n

∣

∣

∣

∣

2

ds.

Combinando las desigualdades e identidades anteriores, sededuce la existencia de una constante no-negativaC = C(Ω∗, D, u0, ϕ) tal que

‖ψ‖H

12 (∂Ω)

‖ΛD+tu0(ϕ) − ΛD(ϕ)‖

H−

12 (∂Ω)

≥ C|t|

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.26/31

Idea de la Demostración (V)

Si C > 0, se tiene el resultado de estabilidad con m = 1.

Si C = 0, debemos recomenzar y estudiar el término desegundo orden:

‖ψ‖H

1

2 (∂Ω)‖ΛD+tu0

(ϕ) − ΛD(ϕ)‖H−

1

2 (∂Ω)≥ C|t|2

y así sucesivamente . . .

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.27/31

Ejemplo Numérico

Γ

Γ

Γ Γ(a,b)

rout

optB

in

m

div(σ(vu, pu)) = 0 en Ω∗ + u

div vu = 0 en Ω∗ + u

vu = ϕ sobre Γin

vu = 0 sobre Γ ∪ Γm

σ(vu, pu)n = 0 sobre Γout

vu = 0 sobre ∂D + u.

Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.28/31

Ejemplo Numérico

Introducción de una Función Costo Adecuada

Sea ΛD(ϕ) la fuerza de Cauchy sobre el borde exterior,que ha sido medida sobre Γ, y que corresponde alcuerpo desconocido D.

Con objeto de resolver numéricamente el problemainverso, es útil reformularlo como el siguiente problemade minimización (control óptimo) :

minu∈Uad

J(u) = minu∈Uad

∫

Γ

|(σ(vu, pu)n − ΛD(ϕ))|2 ds.

Note que este problema posee un mínimo global enu = 0, gracias al resultado de identificación.

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Fórmula Explícita del Gradiente

Utilizando el método de diferenciación con respecto aldominio, un cálculo simple muestra que:

J ′(u;w) =

∫

∂D+u

(w · n)∂vu

∂n· σ(ζ, q)nds,

donde (ζ, q) es la solución única del problema adjunto

div(σ(ζ, q)) = 0 en Ω∗ + u

div ζ = 0 en Ω∗ + u

σ(ζ, q)n = 0 sobre ∂Ωout

ζ = 2 [σ(vu, pu)n− ΛD(ϕ)] sobre Γm

ζ = 0 sobre Γ ∪ Γin

ζ = 0 sobre ∂(D + u)Un Problema Geometrico Inverso en Mecanica de Fluidos – p.30/31

Método Numérico

Función costo no convexa.

Método del gradiente conjugado.

Existencia de mínimos locales múltiples (inicializaciónbasada en un método heurístico del tipo “simulatingannealing").

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