uma interação significante pode mascarar a significância dos efeitos principais. visualização...

Uma interação significante pode mascarar a significância dos efeitos principais.

Visualização da não-Interação:

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

+

-

50B+

10

B+ B+

B- B-

Experimento Fatorial sem interação

Fator A

Resp

osta

Visualização da Interação:

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

+

-

50B+

10

B+ B-

B- B+

Experimento Fatorial com interação

Fator A

Resp

osta

Uma alternativa ao planejamento fatorial (infelizmente) usada na prática, é a mudança de fatores, um de cada vez, em vez de variá-los simultaneamente.

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

Exemplo: um engenheiro está interessado em achar a temperatura e o tempo que maximizem a produção.

Fixamos a temperatura em 155ºF (nível de operação corrente) e realizamos 5 rodadas em níveis diferentes de tempo (0,5h; 1h; 1,5h; 2h; 2,5h).

Veja os resultados:

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

Esta figura indica que a produção máxima é alcançada por volta de 1,7h de tempo de reação.

Para otimizar a temperatura, o engenheiro fixa o tempo em 1,7h (o ótimo aparente) e realiza 5 rodadas em diferentes temperaturas: 140ºF, 150ºF, 160º, 170º e 180ºF.

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

80

50

Tempo (horas)

Prod

ução

(%)

Os resultados das rodadas estão na figura a seguir. A produção máxima ocorre em 155ºF (aprox.). Concluiríamos que executar o processo em 155ºF e

1,7h é o melhor conjunto de condições de operação.

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

140 150 160 170 180

80

50

Temperatura (ºF)

Prod

ução

(%)

O gráfico a seguir mostra o contorno da produção como função da temperatura e do tempo, com o experimento um-fator-de-cada-vez mostrado nos contornos.

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

60%

70%

90%

80%

95%

Tem

pera

tura

(º

F)

Tempo (h)0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

140

15

0

160

17

0

180

19

0

200

Claramente, o planejamento um-fator-de-cada-vez falhou aqui: o verdadeiro ótimo está, no mínimo, vinte pontos de produção acima e ocorre um tempo de reação muito mais baixo e em temperatura mais alta.

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

O fracasso em determinar tempos mais curtos de reação é particularmente importante pois poderia ter impacto significativo sobre o volume ou capacidade de produção, sobre o planejamento da produção, sobre o custo de produção e sobre a produtividade total.

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

O método um-fator-de-cada-vez falhou aqui porque deixou de detectar a interação entre a temperatura e o tempo.

Experimentos fatoriais são o único caminho para detectar interações.

O método um-de-cada-vez é ineficaz: ele exigirá mais experimentações que um fatorial e não há certeza que produzirá os resultados corretos.

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

As somas de quadrados dos efeitos principais são das pelas expressões:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Observações de um experimento fatorial de dois fatores podem ser descritas pelo modelo:

𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 +ሺ𝜏𝛽ሻ𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘

𝑦𝑖𝑗𝑘 : observação na ij-ésima cela, na k-ésima repetição

𝜇 : efeito médio geral

𝜏𝑖:𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐴

𝛽𝑗: efeito do j-ésimo nível do fator B

ሺ𝜏𝛽ሻ𝑖𝑗:𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑒 𝐵

𝜀𝑖𝑗𝑘 :𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑁𝐼𝐷,𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑖𝑥𝑎𝑑𝑎

Fator B 1 2 ... b

1 y111, y112, ...,y11n y121, y122, ...,y12n ... y1b1, y1b2, ...,y1bn

2 y211, y212, ...,y21n y221, y222, ...,y22n ... y2b1, y2b2, ...,y2bn

... ... ... ... ....

a ya11, ya12, ...,ya1n ya21, ya22, ...,ya2n ... yab1, yab2, ...,yabn

Fator A

𝑦𝑖..:é 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐴

𝑦.𝑗.:é 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑗− é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐵

𝑦𝑖𝑗.:é 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑎 𝑖𝑗− é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑦...:é 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠

A soma dos quadrados do efeito da interação:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

A Soma de Quadrados Total é:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

As Somas de Quadrados dos Erros

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Neste caso temos experimentos fatoriais 22. Fazendo a = b = 2 temos:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Para experimentos fatoriais 22, temos:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Temos, então, a Tabela ANOVA:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios Estatística F

A SQA a - 1

B SQB b - 1

AB SQAB (a - 1) (b - 1)

Erro SQE ab (r - 1)

Total SQT abr - 1

Retomando o Exemplo da reação Química, temos a Tabela ANOVA para verificação dos efeitos dos fatores e se a interação entre eles são significativos (r=3):

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Fonte G. L. Soma Quad

Quadrado Médio Estat. F P-valor

A 1 787,32 787,32 129,28 0B 1 182,52 182,52 29,97 0,0006AB 1 12 12 1,97 0,198Resíduos 8 48,72 6,09 Total 1030,56 11

Temos: Fobs = 129,28 > F(0,95; 1; 8) = 5,32. Então o fator A é significativo.

Para o fator B: Fobs = 29,97 > F(0,95; 1; 8) = 5,32. Então o fator B também é significativo.

Como F_AB < F(0,95; 1; 8) a interação não é significativa (como já podíamos observar no Gráfico das Interações (slide 34)

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Estudo das mudanças quando passamos de um nível para outro:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Logo, a melhor configuração para se obter menor tempo de reação é

A_ e B+

Concentração de 10% e temperatura em 90oC

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Pode-se propor um modelo da forma:

onde:

é a média geral da resposta

assume valor -1 ou 1 (dependendo do nível do fator A

assume valor -1 ou 1 (dependendo do nível do fator B

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

O método dos mínimos quadrados é o mais utilizado para estimar os parâmetros do modelo de regressão linear múltiplo.

Suponha que temos n > k observações (k+1 o número de parâmetros). Os dados são dispostos na forma:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Y X1 X1 ... X1

Y1 X11 X12 ... X1k

Y2 X21 X22 ... X2k

... ... ... ... ...

Yn Xn1 Xn2 ... Xnk

Hipóteses: ε é uma variável aleatória tal que: E[ε] = 0 e Var[ε] = σ2

Considere o modelo,

para todo i = 1, 2, ..., n.Também supõe-se que os erros experimentais i não são correlacionados.

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Pode-se escrever o modelo de regressão na forma matricial.

Y = Xβ+ε onde Y = (Y1, Y2,...,Yn)´, β = (β0, β1,..., βn)´, ε = (ε1, ε2,..., εn)´Matriz X é definida:

X =

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

1 X11 X12 ... X1k

1 X21 X22 ... X2k

... ... ... ... ...

1 Xn1 Xn2 ... Xnk

Os estimadores que minimizam o erro quadrático são dados pelas expressões:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Aqui foram aplicadas as propriedades da transposição de uma matriz, a saber: (Xβ)´= β´X´ e como β´X´Y é um escalar (um número real), ele é igual a sua transposição Y´X β

Calculamos as derivadas de E em relação a β e igualamos a zero:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Ficamos com a equação:

Pré-multiplicando ambos os lados pela inversa de X´X:

Substituindo β por e escrevendo , resolvemos a equação encontramos:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

O modelo ajustado é definido por

Ou, em notação escalar:

A diferença entre a observação e o valor ajustado é denominado resíduo.

Vetor de resíduos:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Um experimento fatorial 22 pode ser representado como:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Y I X1 X2 X1*X2

0 1 -1 -1 +1

a 1 +1 -1 -1

b 1 -1 +1 -1

ab 1 +1 +1 +1

O modelo, na forma matricial, fica: Y = Xβ+ε

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Escrevemos o modelo na forma matricial:2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Temos, então:2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Os estimadores correspondem ao efeito do fator A, de B e da interação AB divididos por 2.

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Considere os dados abaixo. Calcular os coeficientes do modelo.

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

A B AB Y1 Y2 Y3 Tratamento-1 -1 +1 28 25 27 26,67 (0)+1 -1 -1 36 32 32 33,33 a-1 +1 -1 18 19 23 20,00 b+1 +1 +1 31 30 29 30,00 ab

Média geral:

Efeito de A:

Efeito de B:

Efeito de AB:

Modelo ajustado:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Temos:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Logo, é um estimador não-viciado para o parâmero β. A matriz de covariância do estimador β é dada por:

Substituímos na expressão acima.

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Então:

• Por definição:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Para desenvolvermos um estimador para este parâmetros, considere a soma de quadrados dos redíduos.

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Substituindo :

Como obtemos:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Pode-se mostrar que esta soma de quadrados apresente n – k – 1 graus de liberdade, pois

Então, um estimador não viciado para é definido por

As hipóteses são:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

A estatística de teste é dada por:

Onde é um elemento da diagonal da matriz

correspondente a .

O critério do teste é:

Rejeitamos H0 se

Caso contrário não rejeitamos a hipótese nula.

O p-valor é dado por

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Com os dados já apresentados, a) Obter as estimativas dosparâmetros do modelo; b) Fazer testes de hipóteses para analisar a significância dos parâmetros.

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Tratamento A B Y1 Y2 Y3

(0) -1 -1 26,6 (1) 22,0 (7) 22,8 (10) 23,8

(a) +1 -1 40,9 (4) 36,4 (9) 36,7 (12) 38

(b) -1 +1 11,8 (3) 15,9 (8) 14,3 (11) 14

(ab) +1 +1 34,0 (2) 29,0 (5) 33,6 (6) 32,2

Forma matricial do modelo: Y = Xβ+ε2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

(A) (B) (AB)

Podemos estimar β fazendo2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Temos:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Então:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Temos, então que:

Os efeitos dos fatores e da interação já foram vistos no Exemplo e são: A = 16,2 e B = -7, 8 e AB = 2

Disto podemos obter os efeitos dos fatores e interação: A = 16,2 e B = -7,8 e AB = 2

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

O modelo ajustado é:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Onde Xi assume valor -1 ou 1, dependendo do nível do fator AOnde Xj assume valor -1 ou 1, dependendo do nível do fator BXij = XiXj

Testes de significâncias para os parâmetros

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Estatística de teste

Onde é o elemento da matriz correspondente a

A matriz X´X neste caso é dada por 2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Onde

Assim,

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Calcula-se os valores das estatísticas para os parâmetros do modelo

Para Para

Para

Construindo uma Tabela com os valores acima e os p-valores:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA

Termo Efeito Coeficiente da Regressão

Desvio Padrão T p-valor

Média Geral 27 0,07124 37,9 0

A 16,2 8,1 0,07124 11,37 0

B -7,8 -3,9 0,07124 -5,47 0,0005

A*B 2 1 0,07124 1,4 0,198

Rejeita-se H0 se

O valor de

para

Portanto os fatores A, B são significativos e a interação AB não é.

Para obter o menor tempo de reação escolhe-se os níveis A_B+

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA