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UFOP
Controle de Processos por Computador
Redução de Subsistemas Múltiplos
• Diagrama de blocos– Geralmente são utilizados para projeto e análise no
domínio da freqüência– Diagramas de blocos com múltiplos subsistemas
podem ser reduzidos a um único bloco (função de transferência total do sistema físico)
– Elementos de um diagrama de blocos• Sinais• Sistema• Junção somadora• Ponto de distribuição de sinais
Redução de Subsistemas Múltiplos
Redução de Subsistemas Múltiplos
• Topologias comuns na interconexão de subsistemas– Associação em cascata– Associação em paralelo– Associação com retroação
Redução de Subsistemas Múltiplos
Redução de Subsistemas Múltiplos
Redução de Subsistemas Múltiplos
Redução de Subsistemas Múltiplos
e E s R s C s H s
C sC s G s E s E s
G s
1C s C s G s H s
R s C s H s C s H s R s C s R sG s G s G s
1
C s G s
R s G s H s
Redução de Subsistemas Múltiplos
• Manipulação de blocos para a criação de formas conhecidas
Ci(s)
Redução de Subsistemas Múltiplos
C sE s R s X s e C s G s E s E s
G s
C sR s X s
G s
C s G s R s G s X s
a)
C s R s G s X s
1 1
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b)
1i iC s C s C s G s C s
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Redução de Subsistemas Múltiplos
Redução de Subsistemas Múltiplos
• Aplicação imediata a sistemas de segunda ordem
E(s)
k
G ss s a
Redução de Subsistemas Múltiplos
E s R s C s e C s G s E s
21
C s G s k
R s G s s as k
sendo k
G ss s a
desenvolvendo...
Continuação
Estabilidade
• Um sistema linear invariante no tempo é dito estável se para qualquer entrada limitada obtêm-se apenas respostas limitadas
• Sistemas a malha fechada contendo pólos apenas no semiplano “s” negativo são estáveis– Do ponto de vista de sinais, sistemas causais
possuem região de convergência da transformada de Laplace à direita do pólo mais próximo de +
• Se a região de convergência incluir o eixo complexo jω, o sistema é estável (transformada de Fourier converge)
• Se a região de convergência não incluir o eixo complexo jω, o sistema é instável (transformada de Fourier não converge)
Estabilidade
Estabilidade
• Critério de Routh-Hurwitz– Permite verificar a estabilidade de um sistema
sem a necessidade de calcular os pólos de malha fechada
– Permite determinar quantos pólos se encontram no semi-plano “s” esquerdo, no direito e sobre o eixo jω
– Não permite determinar as coordenadas dos pólos
Estabilidade• Procedimento para a geração da tabela de Routh básica (válida para sistemas com
pólos no semi-plano esquerdo ou direito)– Criar uma tabela onde o número de linhas é igual a ordem do sistema (número de raízes do
denominador) + 1, ou seja, de sn,sn-1,...,s0
• As linhas serão rotuladas em ordem decrescente das potências de “s”– O número de colunas é igual (ordem + 1) / 2, com arredondamento para cima– O preenchimento da primeira linha
• Atribui-se os coeficientes salteados a partir da primeira coluna, começando pelo valor correspondente a maior potência de “s”
– O preenchimento da segunda linha• Atribui-se os coeficientes salteados a partir da primeira coluna, começando pelo valor correspondente
à segunda maior potência de “s”– Para as demais linhas, cada elemento será igual ao negativo do determinante de uma
matriz quadrada de dimensão 2, cuja primeira coluna é formada pelos dois elementos da tabela das duas linhas imediatamente acima e da primeira coluna, e cuja segunda coluna será igual aos elementos da tabela localizados nas duas linhas imediatamente acima e da coluna à direita. Cada determinante é dividido pelo valor da tabela existente na primeira coluna e linha superior
• Interpretação– O número de pólos que se encontra no semi-plano direito de “s” é igual ao número de
mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh– Se não houver mudanças de sinal na primeira coluna, então todos os pólos se encontram
no semi-plano esquerdo (sistema estável)
Estabilidade
Estabilidade
Estabilidade
• Caso ocorra um zero na primeira coluna, substituir por ϵ e, no final da análise, fazer ϵ tendendo a 0- e 0+
Exemplo:
5 4 3 2
10
2 3 6 5 3T s
s s s s s
Erros de Estado Estacionário
• Erro de estado estacionário é a diferença entre a entrada de referência e a saída observada para t →
• Entradas utilizadas para teste
Erros de Estado Estacionário
• Análise de erros para sistemas estáveis
Erros de Estado Estacionário
• Sistemas com retroação unitária
– Exemplo: para uma entrada em degrau, o erro será
1 1LaplaceC s KE s E s C s e t c tk k
1Laplace dc tk sC s E s E s C s e t
s k k dt
(a)
(b)
Erros de Estado Estacionário
– Representação do erro do sistema com retroação unitária em termos de:
• Função de transferência de malha fechada T(s)• Função de transferência de malha aberta G(s)
E s R s C s
Erros de Estado Estacionário
– Erro de estado estacionário em termos de T(s)
• Sendo e , tem-se que
• Deseja-se avaliar e( )– Pode-se utilizar o teorema do valor final, deduzido a
partir da propriedade da transformada de Laplace da derivada de uma função f(t)
E s R s C s C s R s T s
1E s R s T s
0
0stdf t df tL e dt sF s f
dt dt
0 00
lim 0 lim 0st
s s
df te dt f f sF s f
dt
Condições iniciais nula
0lims
f sF s
Erros de Estado Estacionário
Logo o erro de estado estacionário pode ser obtido por
– Erro de estado estacionário em termos de G(s)
• Sendo e , tem-se que
• Utilizando-se o teorema do valor final, obtém-se
Continuação
0
lim limt s
e e t sE s
0
lim 1s
e sR s T s
E s R s C s C s E s G s
1
R sE s
G s
0
lim1s
R se s
G s
Erros de Estado Estacionário• O mesmo raciocínio pode ser utilizado para a
análise de entradas em rampa e em parábola– Entrada em degrau
– Entrada em rampa:
– Entrada em parábola:
Continuação
00
1 1lim
1 1 limss
se s
G s G s
2
00
1 1lim
1 limss
se s
G s s sG s
3
2 200
1 1lim
1 limss
se s
G s s s G s
Erros de Estado Estacionário
• Constantes de erro estático– Parâmetros para a especificação de
desempenho de erro em estado estacionário– Os limites definidos para o cálculo de erro em
estado estacionário são denominadas constantes de erro estático. Então:
• Constante de posição Kp:
• Constante de velocidade Kv:
• Constante de aceleração Ka:
0
limps
K G s
0
limvs
K sG s
2
0limas
K s G s
Erros de Estado Estacionário
• Tipo de Sistema– É dado pelo número de integrações puras no
percurso direto, sendo representado pelo termo 1 / sn da função de transferência G(s)
– São analisados os sistemas Tipo 0, Tipo 1 e Tipo 2
Erros de Estado Estacionário
Técnica do Lugar das Raízes
• Representação gráfica dos pólos de malha fechada em função da variação de um parâmetro do sistema
• Permite avaliar a estabilidade
• Permite projetar os parâmetros que caracterizam a resposta transitória de um sistema (tempo de subida, instante de pico etc.)
Técnica do Lugar das Raízes
• Conhecimentos necessários:– Determinação dos pólos da função de
transferência a malha fechada do sistema– Representação vetorial de números
complexos
Técnica do Lugar das Raízes
• Função de transferência a malha fechada– Em sistemas de controle em malha fechada,
é necessário fatorar o denominador para a obtenção dos pólos
Técnica do Lugar das Raízes
• Representação vetorial de números complexos
– Então uma função de transferência F(s) pode ser escrita como
ja jb Me M
1
1
m
iin
ll
s zF s
s p
Técnica do Lugar das Raízes
– Além disso, o módulo e o ângulo de F(s) podem ser calculados por:
– Exemplo: dada a função F(s), determine M e ɵ
1
1 1
1
m
i m ni
i lni l
ll
s zM e s z s p
s p
3 4
2 4 1
3 4 1 4 2s j
j sF s
j j s s
Técnica do Lugar das Raízes
• Definição do lugar das raízes– É a representação do percurso dos pólos a
malha fechada à medida que o ganho é modificado (K ≥ 0)
– Exemplo: dado o sistema abaixo em malha fechada, determine o lugar das raízes
Técnica do Lugar das Raízes
Técnica do Lugar das Raízes Note que, para a função de transferência em
malha fechada T(s),
tem-se um pólo quando
ou seja,
1
KG sT s
KG s H s
Continuação
1 1 2 1 180 , 0, 1, 2, 3,...KG s H s c c o
1 2 1 180KG s H s e KG s H s c o
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