transformações conformes aplicadas ao cálculo de potenciais eletrostáticos
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–
2
1.INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 3
2. DEFINIÇÕES E DEMONSTRAÇÕES ...................................................................................... 4
2.1 FUNÇÃO HARMÔNICA ......................................................................................................... 4
2.2 EXISTÊNCIA DA CONJUGADA HARMÔNICA ........................................................................ 4
3.A FUNÇÃO ANALÍTICA DO POTENCIAL ............................................................................... 7
4.O MAPEAMENTO CONFORME ........................................................................................ 10
5.EXEMPLOS ...................................................................................................................... 11
6.CONCLUSÃO ................................................................................................................... 15
7.REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 16
3
O conceito de conformidade teve sua origem muito cedo na história,
relacionado ao desenvolvimento de mapas que representassem fielmente as
direções, contudo, passou a ser mais explorado em suas inúmeras
aplicações físicas como dinâmica dos fluídos, teoria de campos magnéticos
e eletrostáticos, que são a base das aplicações apresentadas nesse estudo.O
cálculo de potenciais eletrostáticos é uma área fundamental da Engenharia
Elétrica, contando com teorias físicas, este tipo de cálculo pode ser
realizado manualmente quando feito em superfícies simétricas, porém, se
torna inviável quando a região do cálculo não apresenta simetria, para
efetuá-lo então, pode-se transformar essa área “amorfa” numa simples,
onde o problema se torna trivial.Nesse trabalho apresentamos as bases
desse método e alguns exemplos de sua aplicação.
4
2.1 FUNÇÃO HARMÔNICA
Diz-se que uma função u(x,y) é harmônica numa região R se nesta
região ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz a equação de
Laplace:
2 2
( ( ))u u
u div grad ux y
Ou seja, uma função harmônica é uma solução para a equação de Laplace.
2.2 EXISTÊNCIA DA CONJUGADA HARMÔNICA
Seja f(z)=u(x,y)+iv(x,y) uma função analitica numa região R.Sabe-se
então que f(z) possui derivadas de todas as ordens, as quais, por sua vez
também são analiticas em R e podem ser obtidas da fórmula de Cauchy por
derivação sob o sinal de integração.
Demonstração:Seja z um ponto qualquer de R e C um contorno
fechado simples todo contido em R, cujo interior seja simplesmente
conexo,contenha o ponto z e esteja todo contido em R.Vale então a fórmula
de Cauchy:
1 ( )( )
2C
ff z d
i w z
Podemos obter então o termo da n-ésima derivada:
( )
( 1)
!( )
2 ( )C
n
n
n ff z d
i z
onde n é um inteiro positivo.
Vemos assim que como ( )
d
dz x iy as derivadas sucessivas de
f podem ser calculadas derivando repetidamente em relação a x ou a
iy.Logo vemos que u(x,y) e v(x,y) possuem derivadas contínuas de todas as
ordens em R.Podemos então derivar as equações de Cauchy-Riemann:
5
u v
x y e
u v
y x
tantas vezes quantas forem necessárias.Derivando pela primeira vez, a
primeira em relação a x e a segunda em relação a y, e somando ambos os
resultados, obtemos:
2 2
2 20
u v
x y
Fazendo o mesmo, agora derivando a primeira em relação a y e a
segunda em relação a x, obtemos:
2 2
2 20
v v
x y
Derivando sucessivamente as equações acima, observa-se que ambas
possuem derivadas parciais de qualquer ordem que são também harmônicas
em R.Como uma ferramenta extremamente versátil, nota-se que qualquer
função harmônica pode ser vista como a parte real ou imaginária de uma
função analítica complexa.Para efeitos de clareza um exemplo é ilustrado
abaixo:
Tendo 2 2
( , )u x y x y y , verifica-se de imediato sua
harmonicidade, logo, pode-se associar a esta função harmônica u(x,y) uma
função chamada conjugada harmônica, que seria uma v(x,y) no caso de
termos a função analítica f(z)=u(x,y)+iv(x,y).
Para encontrar v(x,y) basta que apliquemos as equações de Cauchy-
Riemann:
2y x
v u x 2 1x y
v u y
Integrando então a primeira equação em relação a y e derivando o
resultado em relação a x, obtemos
2 ( )v xy h x 2
x
dhv y
dx
Comparando ambos vx observa-se que dh
dx = 1, disso:
( )h x x c → 2v xy x c
Tendo u(x,y) e v(x,y) tem-se então f(z):
6
2 2 2( ) (2 )f z u iv x y y i xy x c z iz ic
Logo, a função analítica composta pelas duas harmônicas é: 2
( )f z z iz ic
Para o caso genérico da determinação da conjugada harmônica:
x y y xdv v dx v dy u dx u dy
Integrando,
0 0
( , )
0
( , )
( , ) ( )
x y
y x
x y
v x y v u dx u dy
Onde 0 0 0( , )v v x y e 0 0
( , )x y é um ponto arbitrario de R.Se a
integral acima for independente do caminho de integração,a função v que
ela define possui derivadas contínuas em R, satisfazendo, juntamente com
u, as equações de Cauchy-Riemann;logo, f = u + iv é analítica em
R.Mostrando então que essa integral ao longo de um caminho fechado é
nula,verificaremos a existência da conjugada harmônica.Chamando então
de R’ a região delimitada pela curva C e utilizando o teorema do divergente
de Green, temos:
'
( ) ( ) 0y x xx yy
C R
u dx u dy u u dxdy
Sabendo que a função u(x,y) é harmônica, a integral de fato existe,
comprovando então a existência da conjugada harmônica e assim a
existência da analítica composta por u(x,y) e v(x,y).
7
Para estudarmos o Potencial Eletrostático, precisamos primeiro
descrever sua origem, o Campo Elestrostático.Da Física básica, sabe-se
que uma carga elétrica exprime uma determinada força sobre outra carga
elétrica, a chamada Força Elétrica, logo, numa região que contenha cargas
elétricas, possuímos um campo de vetores Força Elétrica, o chamado
Campo Eletrostático.Uma definição didática deste campo é a seguinte, todo
ponto no espaço está sujeito a ação de uma Força Elétrica resultante se
neste for colocado uma carga, essa força “pré-definida” é o chamado
Campo Eletrostático, que possui determinados valores para determinados
pontos espaciais, isto é, conhecendo o vetor Campo Eletrostático num
ponto, pode-se conhecer o vetor Força Elétrica que atuará numa
determinada carga antes de inseri-lá naquele local.
Das Equações de Maxwell temos:
( )div E
onde é a densidade de carga presente na superfície considerada,
quando a carga no ponto considerado é zero, tem-se:
( ) 0yx
EEdiv E
x y
O que significa que pontualmente o Campo Eletrostático não possui
caráter rotacional, e que seu fluxo através de uma superfície fechada é zero.
Quando uma carga pontual q é inserida numa região com Campo
Elétrico, devido às forças geradas por este, essa carga irá ser atraída ou
repelida para alguma direção, o Trabalho necessário para isso, é igual à
Energia Potencial adquirida pela carga ao ser posta em meio à esse campo,
essa energia é a Energia Potencial Eletrostática, sendo chamada também
de Potencial Eletrostático.
Supondo que não há variações temporais das grandezas abordadas,
podemos definir um potencial escalar V do qual deriva o Campo
Eletrostático conservativo, tal que ( )E grad V .Temos então:
( ) ( ( ))rot E rot grad V
E é simples demonstrar que :
( ( )) 0rot grad V
Para qualquer função escalar, logo:
8
( ) 0y x
E Erot E
x y
Analisando ambas as equações observa-se que ambas são as
Equações de Cauchy-Riemann para as funções xE e y
E , e, nota-se
também que elas nos mostram que a equação formada pelas funções
citadas, a função x yE iE , é analítica, com isto podemos estabelecer
aplicações entre as teorias das funções analíticas e as teorias dos campos
eletrostáticos.
De outra das quatro Equações de Maxwell temos:
( )d B
rot Edt
Como não há variações no tempo, tem-se :
( ) 0rot E
o que corresponde com a equação 5.
Podemos agora analisar novamente a equação 2:
2 2
2 2
( ) 0
( ( )) 0
. . 0
0
div E
div grad V
V V
x x y y
V V
x y
Definindo então uma função Φ que descreve o comportamento do
potencial V, podemos verificar que Φ é uma função harmônica, pois como
já foi mostrado, V possui derivadas de segunda ordem e obedece à equação
de Laplace (para o caso de duas dimensões):
9
2 2
( ( ))div gradx y
Como uma função harmônica, Φ possui uma função conjugada
harmônica Ψ, logo, pode-se definir:
( ) ( , ) ( , )F z x y i x y
uma função analítica de z = x + iy, chamada de Potencial Complexo.Essa
função passa a ser uma ferramenta de grande uso, já que agora podemos
aplicar métodos da análise complexa, como havíamos citado
anteriormente.Fisicamente, Ψ representa curvas que interceptam
perpendicularmente as linhas equipotenciais (quando o valor de Ψ é
constante, exceto quando F’(z)=0), sendo estas curvas chamadas de linhas
de força, que seguem a direção da força elétrica.
10
O Mapeamento Conforme, ou Transformação Conforme de um
Domínio em outro, é uma transformação que preserva ângulos e direção, se
a transformação é dada por uma função analítica, então essa transformação
é conforme.
Essa aplicação do Cálculo é de grande utilidade para fins Físicos
como dinâmica dos fluídos, teoria de campos magnéticos e eletrostáticos,
pois, através de um método baseado nessas transformações, pode-se
simplificar problemas que envolvam esses campos da Física.Como o foco
deste trabalho são as aplicações no Cálculo de Potenciais, nos
restringiremos à esta área.
Para calcularmos o potencial em diferentes regiões do espaço,
existem teoremas físicos que podem ser aplicados com facilidade quando a
região apresenta simetria, porém, quando se deseja efetuar esse cálculo em
uma superfície (caso 2D) assimetrica, a aplicação desses teoremas para o
cálculo “braçal” se torna inviável.Para resolver esse tipo de problema, o
que se faz, é transformar a região assimetrica D numa outra região D*,
através de uma Transformação Conforme, onde se possa calcular o
potencial através de um Problema de Valor de Contorno de Dirichlet,
calculado este, deve-se voltar para a região inicial, e isso pode ser feito sem
problemas pois sabe-se que uma Função Harmônica permanece harmônica
quando sofre uma Transformação Conforme.
11
o Seja D o retângulo da figura abaixo, a<y<b, -∞ < x < ∞.Deve-
se encontrar uma função harmônica que satisfaça Φ(x,a)= Φ1 e
Φ(x,b)= Φ2 para -∞ < x < ∞.
Como D é uma faixa circulada pelas linhas y = a e y = b, sendo
que ambas se estendem ao infinito e que Φ(x,y) não depende
de x quando y = a ou y = b.Sabendo que a função deve ser
harmônica, esta deve satisfazer a Equação de Laplace, temos
que f’’(y) = 0 para y em D.Consequentemente, Φ(x,y) = f(y) =
Ay + B.As condições Φ(x,a) = Φ1 e Φ(x,a) = Φ2 nos mostram
que:
1
Aa B
2Ab B
1 2
2 1
Aa b
a bB
a b
Logo:
1 2 2 1
1( , ) [( ) ( )]x y y a b
a b
Que é então a função que nos da o potencial em um
determinado ponto do domínio D.
12
o Sabendo que a transformação z = eπw/a
realiza o seguinte
mapeamento, de D para D* :
Região D Região D*
Logo, do exemplo anterior, sabemos que:
1 2 2 1
1( , ) [( ) ( )]x y y a b
a b
Para esse caso:
1 2 1
1( , ) [( ) ( )]x y v a
a
Como a transformação é z = eπw/a
, podemos achar v:
1 0
0
cotxa
vy
Então:
1 0
1 2 1
0
1 0
2 1 1
0
1( , ) ( ) cot ( )
1( , ) ( ) cot ( )
xax y a
a y
xax y a
a y
Onde x0 e y0 são as coordenadas do ponto onde se deseja
calcular o potencial na região D.
13
o Sabendo que a transformação:
2
(1 )
(1 )
zw
z
Leva de D em D*, como calculamos no exemplo anterior o
potencial para regiões como D*
Região D Região D*
Como numa transformação conforme os ângulos se preservam,
podemos fazer:
( 1) ( 1)y vtg tg
x u
E utilizando a fórmula do exemplo anterior para calcular o
potencial numa região como D*, manipulando-a
algebricamente, temos:
2 1 1
( 1)1( , ) ( )
vu v V V tg V
u Da transformação, podemos escrever:
2 2
( 1)
2 2 2 2
( 1)
2 2
1 1 2arg( ) 2 arg 2 arg
1 (1 ) (1 )
22
1
v z x y ytg w i
u z x y x y
ytg
x y
( 1)
22 1 2 1
2 2( , ) ( )
1
yu v V V tg V
x y
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Que é a fórmula para o cálculo do potencial numa região da
forma de D.
o Nesse exemplo queremos calcular o potencial entre dois
cilindros não coaxiais, como na região D, para isso, podemos
transformar a região D na região D* com a seguinte
transformação:
Região D Região D*
2 1( )
2
zw f z
z Para isso, precisamos de uma função harmônica para o cálculo
do potencial em D*.Como vemos na região D* Φ depende
apenas de r0, e a Equação de Laplace se torna:
'' ' 0r Que podemos integrar e obter:
lna r b Sendo que “a” e “b” são determinadas pelos valores de Φ em
cada cilindro.
Assim:
* ( , )u v aln w k
Onde Φ* é o Potencial Complexo.Com os valores dados dos
potenciais nos cilindros, podemos encontrar: k = 0 e a = -
158.7.
Então, nosso potencial real é dado:
2 1( , ) 158, 7 ln
2
zx y
z
15
Observando alguns exemplos das Transformações Conformes
apresentadas no decorrer desse trabalho, pode-se notar a versatilidade que
estas atribuem ao Cálculo de Potenciais, pois, calculando alguns tipos de
Potenciais Harmônicos, pode-se por “desencadeamento” calcular
potenciais em inúmeros tipos de regiões, transformando umas nas outras
sucessivamente.Apesar de ser tão versátil, através das pesquisas realizadas
para esse trabalho, descobriu-se que este método, com os adventos e
evolução do Cálculo Numérico, acabou sendo deixado de lado, por não
apresentar vantagens sobre o Cálculo Computacional.
16
Arthur A. Hause, Jr. Complex Variables with Physical Applications.
Ávila, Geraldo. Variáveis Complexas e aplicações. 3ª edição.
Churchill, Ruel Vance. Variáveis Complexas e suas Aplicações.
Kreyszig, Erwin. Matemática Superior para Engenharia. Volume 2.
Bastos, João Pedro Assumpção. Eletromagnetismo para Engenharia:
Estática e Quase – Estática.
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