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Interpretao econmicaPropriedades da dualidade

ExemploNoes estudadas

Nesta aula. . .

1 Interpretao econmicaExemploPreos sombraCustos reduzidos

2 Propriedades da dualidade

3 Exemplo

Joo Pedro PEDROSO Mtodos de Apoio Deciso



ExemploPreos sombraCustos reduzidos

Interpretao econmica do problema dual

Uma companhia de mobilirio fabrica secretrias, mesas, e cadeiras. Ofabrico de cada tipo de mvel requer madeira e dois tipos de trabalhoespecializado: acabamentos e carpintaria. A quantidade de cada destesrecursos necessrias para o fabrico de cada mvel so as seguintes:

Recurso Secretrias Mesas Cadeirasmadeira 8 tbuas 6 tbuas 1 tbuasacabamentos 4 horas 2 horas 1.5 horascarpintaria 2 horas 1.5 horas 0.5 horas

Dispe-se de 48 tbuas, 20 horas de acabamentos, e 8 horas de carpintaria.O preo de venda de 60 euros para secretrias, 30 euros para mesas, e 20euros para cadeiras.Como todos os recursos foram j comprados, pretende-se estabelecer oplano de produo que maximiza a receita.





Formulao

Primal:

maximizar z = 60x1 + 30x2 + 20x3sujeito a 8x1 + 6x2 + x3 48 (tabuas)

4x1 + 2x2 + 1.5x3 20 (acabamentos)2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 8 (carpintaria)

x1, x2, x3 0

Dual:

minimizar w = 48y1 + 20y2 + 8y3sujeito a 8y1 + 4y2 + 2y3 60 (secretarias)

6y1 + 2y2 + 1.5y3 30 (mesas)y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20 (cadeiras)

y1, y2, y3 0





Um comprador interessado nos recursos da empresa, quanto devepagar por cada unidade dos seus recursos?Seja y1, y2, y3 o preo pago por cada unidade de tbuas, acabamentos ecarpintaria, respetivamente.

1 A empresa tem disponveis 48 tbuas, 20 horas de acabamentos e 8 horasde carpintaria preo total a pagar:

48y1 + 20y2 + 8y32 Restries:

pela quantidade 8y1 + 4y2 + 2y3, dever oferecer pelo menos 60 euros (casocontrrio a empresa produziria uma secretria, e vend-la-ia por esse preo)para mesas: 6y1 + 2y2 + 1.5y3 30para cadeiras: y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20

No seu conjunto, isto d-nos o problema dual.





Preos sombra

preo sombra associado restrio i o valor que o z timo aumentase se aumentar bi em uma unidade;

Em maximizao: o valor yi da varivel dual;

z = yi bi

Em minimizao: o valor yi , i.e., o simtrico da varivel dual;z = yi bi

(Nota: isto s verdade se no houver alteraes na base.)(Nota: alguns packages de software trocam os sinais.)





Custos reduzidos

Custo reduzido de uma varivel no bsica o valor que o coeficienteno objetivo dessa varivel dever melhorar para que a varivel entre nabase.

tambm o valor que z piora se se aumentar o valor da varivel de 0(na soluo tima) para 1.

igual varivel de desvio da restrio do problema dual quecorresponde a esta varivel primal (possivelmente com o sinal ).

(Nota: isto s verdade se no houver alteraes na base.)(Nota: alguns packages de software trocam os sinais.)





No exemplo anterior:

Soluo tima:

primal:z = 280, x1 = 2, x2 = 0, x3 = 8s1 = 24, s2 = 0, s3 = 0

dual:y1 = 0, y2 = 10, y3 = 10e1 = 0, e2 = 5, e3 = 0

Primal:

maximizar z = 60x1 + 30x2 + 20x3sujeito a 8x1 + 6x2 + x3 48 (tabuas)

4x1 + 2x2 + 1.5x3 20 (acabamentos)2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 8 (carpintaria)

x1, x2, x3 0

Dual:

minimizar w = 48y1 + 30y2 + 20y3sujeito a 8y1 + 4y2 + 2y3 60 (secretarias)

6y1 + 2y2 + 1.5y3 30 (mesas)y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20 (cadeiras)

y1, y2, y3 0




Propriedades da dualidade

Considere-se o primal como um problema normal de maximizao:

max z =n

j=1 cjxj

sujeito an

j=1 aijxj bi i = 1, 2, . . . ,mxj 0 j = 1, 2, . . . , n

O problema dual o seguinte:

min w =m

i=1 biyisujeito a

mi=1 aijyi cj j = 1, 2, . . . , n

yi 0 i = 1, 2, . . . ,m




Propriedade 1: dualidade fraca

Propriedade 1: dualidade fracaSe x (vetor de dimenso n) uma soluo admissvel do primal e y (vetor dedimenso m) uma soluo admissvel do dual, ento

nj=1

cjxj m

i=1

yibi




Propriedade 2: dualidade forte

Propriedade 2: dualidade forteSe x uma soluo tima do primal e y uma soluo tima do dual,ento

nj=1

cjxj =m

i=1

yi bi




Propriedade 4: se o primal ilimitado, ento o dual impossvel

Propriedade 4: se o primal ilimitado, ento o dual impossvelSuponhamos que o dual no impossvel; ento:

y : w =m

i=1

yi bi

com y admissvel. Ento, pela dualidade fracan

j=1 cjxj w, ou seja, oprimal no ilimitado




Propriedade 3: se o dual ilimitado, ento o primal impossvel

Propriedade 3: se o dual ilimitado, ento o primal impossvel(Pode acontecer que tanto o primal como o dual sejam impossveis.)




Propriedade 5: dupla otimalidade

Propriedade 5: para qualquer par de problemas duais, a existncia desoluo tima (finita) para um deles garante a existncia de soluo tima(finita) o outro, e z = w.




Propriedade 6: simetria

Propriedade 6: para qualquer par de problemas lineares primal e dual,todas as relaes entre eles so simtricas, porque o dual deste problemadual este problema primal.Teorema da dualidade: possibilidades de relao entre primal e dual:

PrimalPossvel Impossvel

DUAL Possvel z = w w Impossvel z ambos problemas

impossveis




Propriedade 7: propriedade dos desvios complementares

Propriedade dos desvios complementaresSeja o par de problema duais possveis:

max z =n

j=1 cj xj

sujeito an

j=1 aij xj bi i = 1, 2, . . . , mxj 0 j = 1, 2, . . . , n

min w =m

i=1 bi yi

sujeito am

i=1 aij yi cj j = 1, 2, . . . , nyi 0 i = 1, 2, . . . , m

Sejam si (i = 1, . . . ,m) as variveis de desvio associada restrio i(primal; quantidade de recurso i no utilizada)Sejam ej (j = 1, . . . , n) as variveis de desvio associada restrio j(dual; perda de oportunidade de produo do bem j)Na soluo tima (x, y, s, e) verifica-se que:

si yi = 0, para i = 1, . . . , mej xj = 0, para j = 1, . . . , n

Ou seja, na soluo tima:

si > 0 yi = 0 e yi > 0 si = 0 para i = 1, . . . ,mej > 0 xj = 0 e xj > 0 ej = 0 para j = 1, . . . , n




Propriedade 8

Propriedade 8: se x e y sosolues admissveis para o primal e dual, respetivamente

verificam a propriedade dos desvios complementares

ento x e y so as solues timas do primal e dual, respetivamente.




Propriedade da simetria e teorema da dualidade

Propriedade da simetria: para qualquer par de problemas lineares primal edual, as relaes entre eles so simtricas: o dual deste problema dual este problema primal.Teorema da dualidade: relaes possveis entre o primal e o dual:

1 Se um dos problemas tem solues admissveis e um objetivo limitado(i.e., tem soluo tima), ento o outro problema tambm. Neste caso, adualidade forte e a dualidade fraca aplicam-se.

2 Se um dos problemas tem solues admissveis e um objetivo ilimitado(no soluo tima), ento o outro problema no tem soluesadmissveis ( impossvel).

3 Se um problema no tem solues admissveis ( impossvel), ento ooutro ou impossvel ou tem o objetivo ilimitado.




ExemploProblema de dietas

Considere o problema da escolha de alimentos, de forma a satisfazer certasexigncias nutricionais. Os pratos disponveis e os respetivos preos estoindicados na tabela abaixo. Cada prato fornece as seguintes percentagens(por prato) dos mnimos dirios necessrios em calorias, protenas,aucares, e lpidos:

Preo calorias protenas acares lpidosSopa 200 20 20 10 10Bife 500 40 30 10 15Gelado 300 40 10 25 25

O problema encontrar a combinao de pratos que satisfaa as exignciasalimentares de um dia (100% do mnimo dirio) com o custo mnimo.

1 Formule o problema.2 Utilizando o GLPK, resolva o problema.3 Determine os valores no timo de variveis, variveis duais, custos reduzidos, e

variveis desvio.4 Formule o problema dual.5 Resolva os problema dual e determine os valores no timo de variveis, variveis

duais, custos reduzidos, e variveis desvio.6 Verifique que o teorema dos desvios complementares se aplica, e d-lhe uma

interpretao econmica.Joo Pedro PEDROSO Mtodos de Apoio Deciso



ExemploProblema de dietas

set PRATOS; # conjunto de pratos disponiveisset NUTR; # nutrientes que interessa garantir

param preco{PRATOS}; # preco de cada pratoparam composicao{NUTR, PRATOS}; # conteudo em cada

# nutriente existente em cada prato# (em % do minimo diario)

param min_nutriente{NUTR}; # quantidade necessaria# de cada nutriente

var Quant{PRATOS}>=0; # numero de vezes que se come# cada prato

subject to Requisito{i in NUTR}:sum {j in PRATOS} composicao[i,j]*Quant[j]>= min_nutriente[i];

minimize custo: sum {j in PRATOS} preco[j]*Quant[j];




set NUTR := CALORIAS PROTEINAS LIPIDOS ACUCARES;set PRATOS := ARROZ, SANDWICH, BOLO;

param: preco :=ARROZ 500SANDWICH 250BOLO 150;

param: min_nutriente :=CALORIAS 750PROTEINAS 6LIPIDOS 10ACUCARES 8 ;

param composicao:ARROZ SANDWICH BOLO :=

CALORIAS 450 250 170PROTEINAS 3 2 0LIPIDOS 2 4 1ACUCARES 2 2 4;




Problem: teoricaRows: 5Columns: 3Non-zeros: 14Status: OPTIMALObjective: custo = 825 (MINimum)

No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------

1 Requisito[CALORIAS]B 835 750

2 Requisito[PROTEINAS]NL 6 6 87.5

3 Requisito[LIPIDOS]B 12.5 10

4 Requisito[ACUCARES]NL 8 8 37.5

5 custo B 825

No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------

1 Quant[ARROZ] NL 0 0 162.52 Quant[SANDWICH]

B 3 03 Quant[BOLO] B 0.5 0

Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:

KKT.PE: max.abs.err. = 1.78e-15 on row 3max.rel.err. = 1.32e-16 on row 3High quality

KKT.PB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0High quality

KKT.DE: max.abs.err. = 2.84e-14 on column 3max.rel.err. = 1.88e-16 on column 3High quality

KKT.DB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0High quality

End of output




Preos sombra: coluna Marginal associada restrio.

Custos reduzidos: coluna Marginal associada varivel.




Noes estudadas

Propriedades da dualidade (concluso).

Preo sombra.

Custo reduzido.




Prxima aula

Modelos de redes.


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