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Interpretao econmicaPropriedades da dualidade
ExemploNoes estudadas
Nesta aula. . .
1 Interpretao econmicaExemploPreos sombraCustos reduzidos
2 Propriedades da dualidade
3 Exemplo
Joo Pedro PEDROSO Mtodos de Apoio Deciso
Interpretao econmicaPropriedades da dualidade
ExemploNoes estudadas
ExemploPreos sombraCustos reduzidos
Interpretao econmica do problema dual
Uma companhia de mobilirio fabrica secretrias, mesas, e cadeiras. Ofabrico de cada tipo de mvel requer madeira e dois tipos de trabalhoespecializado: acabamentos e carpintaria. A quantidade de cada destesrecursos necessrias para o fabrico de cada mvel so as seguintes:
Recurso Secretrias Mesas Cadeirasmadeira 8 tbuas 6 tbuas 1 tbuasacabamentos 4 horas 2 horas 1.5 horascarpintaria 2 horas 1.5 horas 0.5 horas
Dispe-se de 48 tbuas, 20 horas de acabamentos, e 8 horas de carpintaria.O preo de venda de 60 euros para secretrias, 30 euros para mesas, e 20euros para cadeiras.Como todos os recursos foram j comprados, pretende-se estabelecer oplano de produo que maximiza a receita.
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Interpretao econmicaPropriedades da dualidade
ExemploNoes estudadas
ExemploPreos sombraCustos reduzidos
Formulao
Primal:
maximizar z = 60x1 + 30x2 + 20x3sujeito a 8x1 + 6x2 + x3 48 (tabuas)
4x1 + 2x2 + 1.5x3 20 (acabamentos)2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 8 (carpintaria)
x1, x2, x3 0
Dual:
minimizar w = 48y1 + 20y2 + 8y3sujeito a 8y1 + 4y2 + 2y3 60 (secretarias)
6y1 + 2y2 + 1.5y3 30 (mesas)y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20 (cadeiras)
y1, y2, y3 0
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ExemploNoes estudadas
ExemploPreos sombraCustos reduzidos
Um comprador interessado nos recursos da empresa, quanto devepagar por cada unidade dos seus recursos?Seja y1, y2, y3 o preo pago por cada unidade de tbuas, acabamentos ecarpintaria, respetivamente.
1 A empresa tem disponveis 48 tbuas, 20 horas de acabamentos e 8 horasde carpintaria preo total a pagar:
48y1 + 20y2 + 8y32 Restries:
pela quantidade 8y1 + 4y2 + 2y3, dever oferecer pelo menos 60 euros (casocontrrio a empresa produziria uma secretria, e vend-la-ia por esse preo)para mesas: 6y1 + 2y2 + 1.5y3 30para cadeiras: y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20
No seu conjunto, isto d-nos o problema dual.
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ExemploNoes estudadas
ExemploPreos sombraCustos reduzidos
Preos sombra
preo sombra associado restrio i o valor que o z timo aumentase se aumentar bi em uma unidade;
Em maximizao: o valor yi da varivel dual;
z = yi bi
Em minimizao: o valor yi , i.e., o simtrico da varivel dual;z = yi bi
(Nota: isto s verdade se no houver alteraes na base.)(Nota: alguns packages de software trocam os sinais.)
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ExemploNoes estudadas
ExemploPreos sombraCustos reduzidos
Custos reduzidos
Custo reduzido de uma varivel no bsica o valor que o coeficienteno objetivo dessa varivel dever melhorar para que a varivel entre nabase.
tambm o valor que z piora se se aumentar o valor da varivel de 0(na soluo tima) para 1.
igual varivel de desvio da restrio do problema dual quecorresponde a esta varivel primal (possivelmente com o sinal ).
(Nota: isto s verdade se no houver alteraes na base.)(Nota: alguns packages de software trocam os sinais.)
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ExemploNoes estudadas
ExemploPreos sombraCustos reduzidos
No exemplo anterior:
Soluo tima:
primal:z = 280, x1 = 2, x2 = 0, x3 = 8s1 = 24, s2 = 0, s3 = 0
dual:y1 = 0, y2 = 10, y3 = 10e1 = 0, e2 = 5, e3 = 0
Primal:
maximizar z = 60x1 + 30x2 + 20x3sujeito a 8x1 + 6x2 + x3 48 (tabuas)
4x1 + 2x2 + 1.5x3 20 (acabamentos)2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 8 (carpintaria)
x1, x2, x3 0
Dual:
minimizar w = 48y1 + 30y2 + 20y3sujeito a 8y1 + 4y2 + 2y3 60 (secretarias)
6y1 + 2y2 + 1.5y3 30 (mesas)y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20 (cadeiras)
y1, y2, y3 0
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Propriedades da dualidade
Considere-se o primal como um problema normal de maximizao:
max z =n
j=1 cjxj
sujeito an
j=1 aijxj bi i = 1, 2, . . . ,mxj 0 j = 1, 2, . . . , n
O problema dual o seguinte:
min w =m
i=1 biyisujeito a
mi=1 aijyi cj j = 1, 2, . . . , n
yi 0 i = 1, 2, . . . ,m
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Interpretao econmicaPropriedades da dualidade
ExemploNoes estudadas
Propriedade 1: dualidade fraca
Propriedade 1: dualidade fracaSe x (vetor de dimenso n) uma soluo admissvel do primal e y (vetor dedimenso m) uma soluo admissvel do dual, ento
nj=1
cjxj m
i=1
yibi
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ExemploNoes estudadas
Propriedade 2: dualidade forte
Propriedade 2: dualidade forteSe x uma soluo tima do primal e y uma soluo tima do dual,ento
nj=1
cjxj =m
i=1
yi bi
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ExemploNoes estudadas
Propriedade 4: se o primal ilimitado, ento o dual impossvel
Propriedade 4: se o primal ilimitado, ento o dual impossvelSuponhamos que o dual no impossvel; ento:
y : w =m
i=1
yi bi
com y admissvel. Ento, pela dualidade fracan
j=1 cjxj w, ou seja, oprimal no ilimitado
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ExemploNoes estudadas
Propriedade 3: se o dual ilimitado, ento o primal impossvel
Propriedade 3: se o dual ilimitado, ento o primal impossvel(Pode acontecer que tanto o primal como o dual sejam impossveis.)
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ExemploNoes estudadas
Propriedade 5: dupla otimalidade
Propriedade 5: para qualquer par de problemas duais, a existncia desoluo tima (finita) para um deles garante a existncia de soluo tima(finita) o outro, e z = w.
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ExemploNoes estudadas
Propriedade 6: simetria
Propriedade 6: para qualquer par de problemas lineares primal e dual,todas as relaes entre eles so simtricas, porque o dual deste problemadual este problema primal.Teorema da dualidade: possibilidades de relao entre primal e dual:
PrimalPossvel Impossvel
DUAL Possvel z = w w Impossvel z ambos problemas
impossveis
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ExemploNoes estudadas
Propriedade 7: propriedade dos desvios complementares
Propriedade dos desvios complementaresSeja o par de problema duais possveis:
max z =n
j=1 cj xj
sujeito an
j=1 aij xj bi i = 1, 2, . . . , mxj 0 j = 1, 2, . . . , n
min w =m
i=1 bi yi
sujeito am
i=1 aij yi cj j = 1, 2, . . . , nyi 0 i = 1, 2, . . . , m
Sejam si (i = 1, . . . ,m) as variveis de desvio associada restrio i(primal; quantidade de recurso i no utilizada)Sejam ej (j = 1, . . . , n) as variveis de desvio associada restrio j(dual; perda de oportunidade de produo do bem j)Na soluo tima (x, y, s, e) verifica-se que:
si yi = 0, para i = 1, . . . , mej xj = 0, para j = 1, . . . , n
Ou seja, na soluo tima:
si > 0 yi = 0 e yi > 0 si = 0 para i = 1, . . . ,mej > 0 xj = 0 e xj > 0 ej = 0 para j = 1, . . . , n
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ExemploNoes estudadas
Propriedade 8
Propriedade 8: se x e y sosolues admissveis para o primal e dual, respetivamente
verificam a propriedade dos desvios complementares
ento x e y so as solues timas do primal e dual, respetivamente.
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ExemploNoes estudadas
Propriedade da simetria e teorema da dualidade
Propriedade da simetria: para qualquer par de problemas lineares primal edual, as relaes entre eles so simtricas: o dual deste problema dual este problema primal.Teorema da dualidade: relaes possveis entre o primal e o dual:
1 Se um dos problemas tem solues admissveis e um objetivo limitado(i.e., tem soluo tima), ento o outro problema tambm. Neste caso, adualidade forte e a dualidade fraca aplicam-se.
2 Se um dos problemas tem solues admissveis e um objetivo ilimitado(no soluo tima), ento o outro problema no tem soluesadmissveis ( impossvel).
3 Se um problema no tem solues admissveis ( impossvel), ento ooutro ou impossvel ou tem o objetivo ilimitado.
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ExemploNoes estudadas
ExemploProblema de dietas
Considere o problema da escolha de alimentos, de forma a satisfazer certasexigncias nutricionais. Os pratos disponveis e os respetivos preos estoindicados na tabela abaixo. Cada prato fornece as seguintes percentagens(por prato) dos mnimos dirios necessrios em calorias, protenas,aucares, e lpidos:
Preo calorias protenas acares lpidosSopa 200 20 20 10 10Bife 500 40 30 10 15Gelado 300 40 10 25 25
O problema encontrar a combinao de pratos que satisfaa as exignciasalimentares de um dia (100% do mnimo dirio) com o custo mnimo.
1 Formule o problema.2 Utilizando o GLPK, resolva o problema.3 Determine os valores no timo de variveis, variveis duais, custos reduzidos, e
variveis desvio.4 Formule o problema dual.5 Resolva os problema dual e determine os valores no timo de variveis, variveis
duais, custos reduzidos, e variveis desvio.6 Verifique que o teorema dos desvios complementares se aplica, e d-lhe uma
interpretao econmica.Joo Pedro PEDROSO Mtodos de Apoio Deciso
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ExemploNoes estudadas
ExemploProblema de dietas
set PRATOS; # conjunto de pratos disponiveisset NUTR; # nutrientes que interessa garantir
param preco{PRATOS}; # preco de cada pratoparam composicao{NUTR, PRATOS}; # conteudo em cada
# nutriente existente em cada prato# (em % do minimo diario)
param min_nutriente{NUTR}; # quantidade necessaria# de cada nutriente
var Quant{PRATOS}>=0; # numero de vezes que se come# cada prato
subject to Requisito{i in NUTR}:sum {j in PRATOS} composicao[i,j]*Quant[j]>= min_nutriente[i];
minimize custo: sum {j in PRATOS} preco[j]*Quant[j];
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Interpretao econmicaPropriedades da dualidade
ExemploNoes estudadas
set NUTR := CALORIAS PROTEINAS LIPIDOS ACUCARES;set PRATOS := ARROZ, SANDWICH, BOLO;
param: preco :=ARROZ 500SANDWICH 250BOLO 150;
param: min_nutriente :=CALORIAS 750PROTEINAS 6LIPIDOS 10ACUCARES 8 ;
param composicao:ARROZ SANDWICH BOLO :=
CALORIAS 450 250 170PROTEINAS 3 2 0LIPIDOS 2 4 1ACUCARES 2 2 4;
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Interpretao econmicaPropriedades da dualidade
ExemploNoes estudadas
Problem: teoricaRows: 5Columns: 3Non-zeros: 14Status: OPTIMALObjective: custo = 825 (MINimum)
No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
1 Requisito[CALORIAS]B 835 750
2 Requisito[PROTEINAS]NL 6 6 87.5
3 Requisito[LIPIDOS]B 12.5 10
4 Requisito[ACUCARES]NL 8 8 37.5
5 custo B 825
No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
1 Quant[ARROZ] NL 0 0 162.52 Quant[SANDWICH]
B 3 03 Quant[BOLO] B 0.5 0
Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:
KKT.PE: max.abs.err. = 1.78e-15 on row 3max.rel.err. = 1.32e-16 on row 3High quality
KKT.PB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0High quality
KKT.DE: max.abs.err. = 2.84e-14 on column 3max.rel.err. = 1.88e-16 on column 3High quality
KKT.DB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0High quality
End of output
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ExemploNoes estudadas
Preos sombra: coluna Marginal associada restrio.
Custos reduzidos: coluna Marginal associada varivel.
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ExemploNoes estudadas
Noes estudadas
Propriedades da dualidade (concluso).
Preo sombra.
Custo reduzido.
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ExemploNoes estudadas
Prxima aula
Modelos de redes.
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