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TEOREMAS DE MENELAU E CEVA

O objetivo desse artigo é apresentar dois teoremas básicos para a geometria euclidiana - a saber, os teoremas de Menelau e Ceva, atualmente ``esquecidos" em nossos cursos de geometria elementar. Menelau de Alexandria foi um astrônomo que viveu no fim do primeiro século D.C.. Através de comentários de historiadores gregos e árabes sabemos que ele escreveu uma coleção de seis livros sobre “Cordas no Círculo”, um livro de “Elementos da Geometria” e uma série de trabalhos em geometria e astronomia, todos perdidos. O único livro de Menelau que sobreviveu aos tempos foi o “Sphaerica”, um tratado em três volumes sobre geometria e trigonometria esférica, do qual chegou até o nosso tempo uma tradução árabe. No volume III ele menciona o teorema que (abaixo) leva seu nome, como sendo bem conhecido e a seguir o generaliza para a geometria esférica. Mais tarde, em 1806, Carnot baseou toda sua “teoria de transversais” neste teorema de Menelau.

TEOREMA DE MENELAU Sua versão simples é:

Teorema de Menelau (Forma Simples): Qualquer transversal ao triângulo ABC corta as retas que contém os lados, em pontos

DÎ(B, C), EÎ(A, C) e FÎ(A, B) tais que

BD / DC . CE / EA . AF / FB = 1 Demonstração: De fato, baixemos pelos vértices A,B e C perpendiculares a e sejam P, Q e R, respectivamente, os pontos de interseção dessas perpendiculares com . Sejam CR' =r, AP =p e

B Q =q.

Da semelhança dos triângulos CDR e BDQ tiramos

BD / CD = B Q / CR' =q/r. Analogamente, das semelhanças de CRE com APE e de APF com BFQ, tiramos

EC / CA = CR' / AP =r/p e AP / B Q = AF / BF = p/q

Ou seja c.q.d.

A recíproca desse teorema, que é válida, não pode ser demonstrada nessa formulação, pois dado

um número k positivo existem dois pontos D e D', na reta (B,C) um interno e outro externo ao segmento BC, tais que BC / DC = BD' / D'C= k. Este fato será verificado no parágrafo que se segue. RAZÃO

A

BCD

E

F

P

Q

R

figura 1

D

E

F PQ

RA

BCfigura 2

Afim de estabelecer uma correspondência biunívoca entre os números reais r e a razão que um ponto divide

um segmento fez-se necessária a introdução da noção de segmento orientado AB

, que mais tarde deu

origem aos vetores. Apesar de Descartes já ter usado segmentos negativos, a idéia e uso dos segmentos orientados só foi sistematicamente explorada com L. Carnot (1803) e A. Moebius (1827). Em muitas situações este conceito unifica vários teoremas os quais pareciam isolados. Na Introdução assumimos que a reta pode ser coordenada, o que nela induz uma orientação e daí podemos definir segmento orientados. Vamos agora trabalhar com estes segmentos orientados. Dado CÎ(A,B), C¹B, definimos a razão orientada r= r(C;AB) que C divide o

segmento AB por AC =r(C;AB). CB

, e daí |r|=

AC / CB . Quando não houver perigo de confusão vamos escrever r(C) em vez de r(C;AB). Observe-se que r(A) = 0, porém r(B) não existe ; vamos convencionar que r(B) = ¥.

PROPRIEDADES DA RAZÃO ORIENTADA

1. Se CÎAB então r(c) > 0. De fato neste caso AB e CB

tem a mesma orientação.

2. Se CÏAB então r(c) < 0. De fato aqui AC e CB

tem orientação oposta.

3. Existe uma correspondência biunívoca sobre entre os pontos de (A,B), distintos de B, e os números reais diferentes de -1.

De fato de AC + CB

= AB tiramos para C¹B.

(1 + r). CB = AB

, CB =(1 + r)-1. AB

, AC = (r/(1 + r)). AB

.

Necessariamente r ¹ -1, caso contrário AB = 0, implica que A=B, o que contradiz o fato A¹ B.

Passemos ás coordenadas: seja A:(a), B:(b) e C:(c). Então a última expressão se escreve c-a=(r/(1+r)).(b-a) ,ou c=a+(r/(1+r)).(b-a).

Esta última expressão determina c a partir de rÎÂ desde que r¹-1, i.e. , dado rÎÂ, r¹-1 existe um ponto C tal que r(C) = r, i.e. , nossa correspondência é sobre. Finalmente mostremos que ela é biunívoca.

Seja C¹C' . Se r(C)=r(C') então AC = AC

’ , ou C = C' o que é uma contradição. Logo r(C)¹r(C').

c.q.d.

Observemos que se r(C) = r então o ponto D tal que r(D) = - r satisfaz a igualdade AD / DB =

AC / CB = r. A questão do valor r = -1 é contornada pela introdução do ponto do infinito P ¥ pondo r(P¥) = -1 e isto ``fecha" a reta. Convencionamos que se |r(P)| for bem grande estaremos perto de P ¥. A reta projetiva é obtida da reta por adição do ponto do infinito. O plano projetivo é obtido do plano cartesiano real por adição do ponto do infinito de cada uma de suas retas, identificando-se os pontos do infinito de retas paralelas. A reta ¥ do infinito será o conjunto de todos os pontos do infinito. Vamos designar por

*(A,B) a reta projetiva que contém (A,B). Diremos que três pontos são projetivamente colineares se eles pertencem a mesma reta projetiva. Observemos que duas retas paralelas no plano se encontram no

DE A BC

-1<r(E)<0 r(C)>0 r(D)<-1

figura 3

l(C,F)=l(C,Poo)

C

F

figura 4

infinito. Assim se o ponto do infinito de é F e CÏ ¥, indicaremos por (C,F) a paralela a que

contém C. Dado um triângulo ABC vamos fixar a orientação AB , BC

e CA assim a razão r(P,AB) estará

bem definida e quando não houver perigo de confusão escreveremos somente r(P). O teorema de Menelau como veremos a seguir é um exemplo onde a linguagem projetiva reúne dois teoremas num só enunciado.

TEOREMA DE MENELAU ( GERAL) Agora podemos enunciar o teorema de Menelau em sua forma mais geral. Teorema de Menelau: Seja dado um triângulo ABC e sejam

EÎ*(A,C), E¹A,C , FÎ*(A,B) , F¹ A,B e DÎ*(B,C), D¹B,C.

Então D, E e F serão projetivamente colineares se e somente se

r(D,BC). r(E,CA). r(F,AB)=-1. Demonstração: Vamos dividi-la em três casos. Primeiro caso: Dois pontos, digamos E,FÎ¥. Então o teorema fica: DÎ¥ se e só se r(D)=-1.

(Pois r(E)=r(F)=-1), e isto é trivial. Segundo caso: Somente um dos pontos, digamos, F esta em ¥. Seja a reta (D,E). Aqui o teorema se reduz a F em ¥, FÎ(C,D) e r(D).r(E) = 1 se e só se DE||AB , (pois (D,E)(A,B)=F). Assim o teorema se reduz ao teorema de Tales e sua recíproca. (A menos de sinais CE / EA = CD / DB se e só se DE||AB)

Terceiro caso: D, E e F não estão em ¥. Mostremos que a condição é necessária. De fato, seja uma transversal ao triângulo ABC; pelo teorema de Menelau clássico teremos

|r(D).r(E).r(F)| = |r(D)|.|r(E)|.|r(F)| = BD / DC . EC / EA . FA / FB = 1. Logo r(D).r(E).r(F) =1.

Como uma transversal a ABC que não passa por um vértice ou intercepta dois dos três lados AB, BC, CA ou não intercepta nenhum deles então, no primeiro caso duas das razões serão positivas e a terceira negativa, no segundo caso todas as razões serão negativas. Logo, o produto r(D).r(E).r(F) é sempre negativo, e daí segue-se que este produto é -1. Mostremos que a condição é suficiente. Sejam EÎ(A,C) , FÎ(A,B) e DÎ(A,B), e seja F' o ponto de interseção de (E,D) com (A,B), então aplicando-se a condição necessária à transversal =(E,D)) temos que r(D).r(E).r(F') = -1. Por hipótese r(D).r(E).r(F) =-1; e daí r(D)r(E)r(F')=r(D)r(E)r(F) , logo r(F')=r(F), i.e. r(F';AB)=r(F;AB) , ou seja F' = F . c.q.d. TEOREMA DE CEVA

Passemos agora ao teorema de Ceva. Este será obtido pela troca de reta por ponto e vice-versa e pontos colineares por retas concorrentes. Ele foi publicado em 1678 pelo italiano Giovanni Ceva (1647-

A

BC

D

F

E

figura 5

D

F

E

A

BC

figura 6

1736) num artigo onde ele apresentou seu teorema juntamente com o já na época esquecido teorema de Menelau. Estes dois teoremas são as bases da geometria euclidiana moderna. O teorema de Ceva se anuncia:

Teorema de Ceva: Num triângulo ABC sejam dados três pontos DÎ(B, C), EÎ (C,A) e FÎ(A,B) Então

(C,F), (B,E) e (A,D) são concorrentes num ponto P se e só se r(E).r(F).r(D) = 1.

Demonstração: De fato, como no teorema de Menelau vamos dividir a demonstração em três casos. Primeiro caso: Dois pontos, estão na reta do infinito, digamos E = ¥ (A, C) e F = ¥(A, B) Assim (C, F)||(A, B) e (B,E)||(A, C), i.e., a figura ABCG é um paralelogramo onde G = (C, F)(B, E), então nosso teorema enuncia-se: GÎ(A,D) se e somente se G é o ponto médio de BC (e de

AG ), e isto é equivalente ao fato das diagonais de um paralelogramo se cortarem ao meio. Segundo caso: somente um dos pontos E, F, ou D está em ¥. Suponhamos que FÎ¥, i.e., r(F) = -1 e seja * = *(C, F)|| AB. Seja P = **(E, B). Nosso teorema fica então: PÎ(A,D) se e somente se r(D).r(E) = -1. Mostremos que a condição é necessária. De fato os triângulos CDP e ADB são semelhantes pois ambos tem ângulo D em comum e ÐCPA = ÐPAB já que *(A, P) é transversal as paralelas *(C, P)|| *(A, B). Assim teremos

DC / DB = DP / AD = CP / AB também`os triângulos ECP e EAB são semelhantes ou seja EC / AE = CP / AB = EP / EB , DC / DB = EC / AE , i.e.

EC / AE . DB / DC = 1 ou |r(D).r(E)| = 1. Como DÎCB e EÏCA temos que r(D) > 0 e r(E) < 0. Logo r(D).r(E) = -1. Para a recíproca basta aplicar o mesmo raciocínio da recíproca do teorema de Menelau aos pontos D e D' = (A,P) (C,B).

D

E

P

A

BC

figura 7

D

E

P

A

BC

figura 8

D

E

F

P

A

BC figura 9

Terceiro caso: D, E e F não estão em ¥ De fato, teremos dois casos: ou o ponto P é interior ao triângulo ou P é exterior. Vamos tratar o caso onde P é interior, o outro caso deixaremos como exercício. (No primeiro caso as três razões serão positivas e no segundo precisamente duas são negativas. Mostremos primeiramente que a condição é necessária. Por A tracemos uma reta paralela a BC. Seja M = (C, F) e N = (E, B) (aqui (E, B) e (C, F) são transversais as retas paralelas e (B, C)). Analisando a figura temos os seguintes quatro pares de triângulos semelhantes:

FAM@FBC, EBC@EAN, PAM@PCD, PAN@FBC . Como todos os pontos D, E, F são interiores aos lados, teremos

r(E) = CE / EA , r(F) = AF / FB e r(D) = BD / CD . Vamos mostrar que CE / EA = BC / AN , AF / FB = AM / BC e BD / CD = AN / AM daí seguir- se- a que r(E).r(F).r(D) = BC / AN . AM / BC . AN / AM = 1. De (I) teremos

AM / BC = AF / FB = MF / C F AM / BC = AF / FB . De (II) teremos AN / BC = AE / EC = EN / BE ou AN / BC = AE / EC . Agora (III) e (IV) nos fornece

D

E

F

P

A

BC figura 9

AM

/

CD

=

AP

/

DP

=

MP

/

CP

e

AN

/

BD

=

AP

/

PD

=

NP

/ PB . Logo

AM / CD = AP / DP = AN / BD , i.e., AM / NA = CD / BD .

Isto completa neste caso, a nossa demonstração.

A recíproca é análoga à do teorema de Menelau. Suponhamos que r(E).r(F).r(D)=1 , e sejam P= (A, D) (B, E), F'= (A, B) (C, P). Pela condição necessária aplicada a (A, D), (B ,E) e (C, F') teremos 1 = r(E).r(F').r(D) = r(E).r(F).r(D). Logo r(F) = r(F') ou seja F = F'.

c.q.d. As retas (A, D), (B, E) e (C, F) chamam-se cevianas de ABC Observação: O teorema de Ceva admite uma forma trigonométrica: A condição r(E).r(F).r(D) = 1 é equivalente

(*) sen (BAD) / sen (DAC) . sen(CBE) / sen(EBA) . sen(ACF) / sen(FCB) = - 1.

D

EF

P

MN A

BC

figura 10

Observe-se também que para simplificar nossa notação, convencionamos que todos os senos são senos de ângulos orientados. A fórmula (*) segue-se do fato que se P for interno ao triângulo ABC, então

BD / DC = AB .sen(BAD) / ( AC . sen(DAC)) , CE / EA = BC .sen(CBE)/( BA . sen(EBA)),

AF / FB = CA .sen(ACF)/( BC . sen(FCB))Porque

BD / CD =2.Area(BDA) / Área(CDA) = AB .sen(BAD) / ( AC .sen(CAD)) .

As outras fórmulas se deduzem de modo análogo. Agora o produto das três razões é equivalente ao produto dos quocientes dos senos. Daí segue-se o resultado.

c.q.d No caso geral, P fora do triângulo, é só fazer o ajuste necessário.

APLICAÇÕES Antes de terminarmos este artigo vamos dar algumas aplicações imediatas do teorema de Ceva;

outras aplicações serão apresentadas num próximo artigo.Exemplo 1: Num triângulo ABC as medianas se encontram num ponto chamado

baricentro de ABC. Aqui os pontos escolhidos sobre os lados do triângulo sãopontos médios, i.e., r(D) = r(E) = r(F) = 1 e nossa afirmação é conseqüência do teorema de Ceva.

Exemplo 2: As bissetrizes de ABC passam por um mesmo ponto chamado incentro de ABC. Para tal usaremos o teorema das bissetrizes: A bissetriz relativa a um dos vértices do triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais nos outros lados, i.e.

BD / DC =c/b, AF / FB =b/a e CE / EA =a/c;

BD / DC . AF / FB . CE / EA =c/b . b/a . a/c = 1.

Exemplo 3: As alturas do triângulo ABC passam pelo ponto H chamado ortocentro de ABC. De fato, já vimos no capítulo 1 que no triângulo ABC abaixo (figura 14)

CD =m=(a2+b2-c2)/2a e DB =n =(a2+c2-b2)/2a. Logo

DB / CD = (a2+c2-b2)/(a2+b2-c2) Analogamente AE / EC =(b2+c2-a2)/(b2 + a2-c2), e AF / FB =(b2+c2-a2)/(a2 + c2-b2).

DB / CD . EC / AE . AF / FB =(a2+c2-b2)/(a2+b2-c2). (b2+c2-a2)/(b2 + a2-c2).(b2+c2-a2)/(a2 + c2-b2)=1.

Exemplo 4: Marquemos no lado BC um ponto D tal que AC + CD = DB + AB =p= semiperímetro de ABC.

A

BC D=B a

E

F

P=I

figura 13

A

BC D=H a

E

F

P=H

figura 14

A

BC D

EF

P

p-ap-a

p-b

p-b p-c

p-c

figura 15

Analogamente marquemos E em AC e F em AB de tal modo que

BC + CE = EA + AB = p = CA + AF = FB + BC . Assim

CD =p-b, BD =p-c, CE =p-a, EA =p-c, AF =p-b e FB =p-a. Daí teremos que

DB / CD . CE / EA . AF / FB =(p-c)/(p-b) .(p-a)/(p-c) .(p-b)/(p-a)=1.

Logo as retas (A ,D), (B, E) e (C, F) passam por um mesmo ponto chamado ponto de E. Nagel (1803 - 1882). Os pontos D, E e F são respectivamente os pontos onde os três excírculos tangenciam os lados BC, CA e AB.

Exemplo 5: Sejam D, E, F os respectivos pontos de contato das circunferências inscritas externamente ao triângulo ABC com os lados BC, CA, e AB. As retas, (D, A), (E, B), e (F, C), são concorrentes num ponto chamado ponto de Gergonne (J.D. Gergonne (1771-1859)- Fundador e editor do jornal de Matemática, Annales des Mathemátiques). De fato, mostramos no Capítulo II que

CD = CE =p-c, BD = BF =p-b e AE = AF =p-aAssim

BD / CD . CE / AE . AF / BF = 1.

Exemplo 6: Tracemos sobre os lados do triângulo ABC, triângulos equiláteros BCA', CAB' e

ABC'. Então as retas (A, A'), (B, B') e (C, C') são concorrentes num ponto P. Se o triângulo for acutângulo este ponto é tal que AP + BP +

CP é mínimo. Este é o primeiro ponto notável depois do período grego da geometria. Foi descoberto por Torriceli o qual resolveu um problema proposto por Fermat, com solução publicada em 1659. De fato, vamos trabalhar com o triângulo acutângulo; deixamos os outros casos ao leitor. Sejam na figura 6 abaixo dados o triângulo ABC e o triângulo equilátero BCD .

D

E F

A

BC

P

Figura1616a 16

A

BC

A'

B '

C'

D

E

FP=T

figura 17

Vamos calcular r (D; BC). Da semelhança dos triângulos ADX e YDA', tiramos XD / YD = AX / A Y' ou

XD / XY = AX / ( AX + A Y' ) ,

YD / XY = A Y' / ( AX + A Y' ) ou ainda,

XD = AX . XY / ( AX + A Y' ) , YD = XY . A Y' / ( AX + A Y' ) .

Assim (substituindo e operando) teremos r = r (D; CB) = CD / BD =( CX + XD ).( BY + YD )=

( CX . ( AX + A Y' )+ XY . AX ) / ( BY . ( AX + A Y' )+ XY . YD )= ( CX . A Y' + AX . CY ) / ( BY . AX + BX . A Y' ) .

Como

AX =h =ha , CX = m = ma, BY =a/2 = CY , A Y' = a.(3)/2, XB =n = na,

teremos

AX . CY = AX . BY =ah/2= A, CX . A Y' =a ma .(3)/2, BX . A Y' = a na .(3)/2,

Também já vimos no Capítulo I, que a na = b mb. Conseqüentemente substituindo-se estes valores na

fórmula obtida para r e eliminando-se denominadores de (3) /2, obteremos r= r (D; CB) = 2A+a.ma (3) /2.A+ b. mb.3 =: U/V

Permutando-se ciclicamente as letras A,B,C e a, b, c obteremos

r (E:AC )= 2A+ b. mb.(3) /2. A + c. mc.3 =: V/T, e r (F; BA) = 2A+ c. mc.(3) /2 .A+ a. ma.(3) = T/U

e daí

r(D) . r(E) . r(F) = U/V . V/T. T/U = 1

Logo, pelo teorema de Ceva, as retas (A, A'), (B, B'), e (C, C') não concorrentes. c.q.d.

Finalmente o seguinte resultado é conseqüência imediata da forma trigonométrica do teorema de Ceva: Exemplo 7: Sejam O[X] e O[X'] dois raios de vértice O do angulo ÊMON que são simétricos relativamente à o raio bissetor deste ângulo.

O[X] e O[X'] chamam-se um par de raios isogonais para o ângulo ÊMON. (figura 21)

A

BC

D

X

Y

A'

figura 18

O

M

M'X

X'

figura 20

Sejam dadas seis cevianas (A, D), (B, E) e (C, F) e (A, D'), (B, E') e (C, F').

Tais que A[D], A[D'], B[E], B[E'], C[F], C[F']

são pares de raios isogonais respectivamente para os ângulos ÊA, ÊB e ÊC. Se (A, D), (B, E) e (C, F) são concorrentes em P então (A, D'), (B, E') e (C, F') são também concorrentes (digamos em P'),

De fato, da figura 22 abaixo segue-se que figura 21 ÊCAD = ÊD'AB, ÊCAD'=ÊDAB. E analogamente

ÊCBE = ÊABE', ÊCBE' =ÊABE , ÊACF =ÊBCF', ÊACF' =ÊBCF.

Agora é so substituir estes ângulo na fórmula (*) e aplicarmos o teorema de Ceva.Os pontos P e P' chama-se par de pontos conjugados isogonais, ou P' é imagem isogonal de P e

vice versa .

A

BC D

E

F

D'

E'

F'P P'

B a

B b B c

I

figura 21