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Técnica de estimativa de parâmetros nos domínios da freqüência e do tempo: Aplicação em materiais condutores e não-condutores

Gilmar GuimarãesValério L. Borges

Sandro M. M. Lima e Silva

OBJETIVO

�Estimação simultânea da difusividade térmica e condutividade térmica

MATERIAIS

� CONDUTORES

� NÃO CONDUTORES

UFU

( ) ( )( ) ( ) )(

)(

1

21

2)()(

f

f

ff

fTfTfhf

XY

=+

−==

φφΖ

Não condutor

Lx

(t)

(t)

sample

X

Y

system

φφφφ 1

φφφφ 2

1

2

(t)

(t)

θθθθ

θθθθ

UFU Fundamentos

� Uma minimização de uma função baseada no quadrado da diferença entre o fator de fase experimental

� e numérico � no domínio � da freqüência � para determinar a difusividade térmica

� Outra função objetiva, baseada nos mínimos quadrados do módulo da resposta em freqüência.

UFU

)()(

1)(

21

21

fXfY

AB

fZ =++=

−+

=∆Θ

Φ=�

θθφφ

�∞

=��

���

�

××= −−

1

4)(

222 /)12(

nLt LtneZ απ

λα

���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4

Resposta em freqüência

( ) ( ) ( ) ( )��∞

=

∞

= +×−

+×=

122

122 2

22

)(n nn n

n

fAfB

jfA

ABfZt π

ππ

( )L

BLnAn λααπ 4

/12 222 =−=

���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4

Resposta em freqüência

���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4���

����

�

××=

λα

LB

4

ϕ t t tZ Z=arctan Im( ) / Re( )

( ) ( ) �

��

++−= � �

∞

=

∞

=1 12222 22

12arctan /

n n

n

n jAnA

jAf

πππ

Função exclusiva de αααα

� � � � � �� �� �� � � � �� � � � �

�� ������ �������

�� � ���� ����� ��� !�" �� � �

# ��������� �� ���" ��� $ �%�& � ��

� ���� ' �� �� !�" �� ����� � � � �

SOLUÇÃO

� � ���� � !�" �� � � ����" ����� ��� ������ ��

UFU

� � ���� �� !�" �� � �� ����" ����� ���

� ������ ��UFU

Τ1(t) φ1(t)

Isolated surface

Isolated surface

c b S1

Τ2(t)

y

x z

a

( ) ( )( ) )(

)(

1

21)()(ff

f

fTfTfhf

XY=

−==Ζ

φ

sistema entrada/saída

UFU

( ) ( )( ) )(

)(

1

21)()(ff

f

fTfTfhf

XY=

−==Ζ

φ

X Y

system

entrada fluxo de calor imposto na superficiefrontal

saída diferença de temperatura entre dois pontos da superfície

EQUACAO DA DIFUSAO DE CALOR

UFU

tT

z

T

y

T

x

T∂∂=

∂

∂+∂

∂+∂

∂α1

2

2

2

2

2

2

condição inicial

( ) ( )

( )( )120

11

,,0

0,0

SzxSzxSatyT

zzxxSattyT

y

HHby

∉∈=∂∂−

≤≤≤≤=∂∂−

=

=

λ

φλ

00

=∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂

===== bycyoyaxx zT

xT

yT

xT

xT

( ) 00,,, TzyxT =condições de contorno

Modelo térmico equivalenteUFU

( ) � �= �

�

��

�

−= =

t

Sby dtdStrtGt

0)(),'/,(, 1

'

''

ττφτ

λαθ rr

�∞

+ −=0

1 )()()( τφτθ dttGt

)()()( 1 ffGf φθ +=

UFU Modelo térmico equivalente

)()()( 1 ffGf φθ +=

)()()( 111 ffGf φθ +=

)()()( 122 ffGf φθ +=

Para dois pontos diferentes

Modelo térmico equivalenteUFU

)()()()( 11221 ffGff φθθ +=−

)()()()()()( 121121 ffGffGff φφθθ ++ −=−

[ ] )()()()()( 12121 ffGfGff φθθ ++ −=−

Modelo térmico equivalenteUFU

[ ] '),,,(),,,(

)()(

'' 222111

12

dstzyxGtzyxG

thtG

byS =

+

� −−−

=−=−

ττλα

ττ

Modelo térmico equivalenteUFU

)()()()( 11221 ffGff φθθ +=−

)()(12 ττ −=−+ thtG

Uma vez que os dados experimentais são obtidos discretamente, a transformada de Fourier numérica –FFT é usada.

UFU Função resposta em frequência

),()()(1

)(2)(1 λαφ

θθfunçãofH

f

ff==

−

)()()()( fjefHfHf ϕ−==Ζ

Estimaçao da Difusividade Térmica: Domínio da Frequência

� A idéia básica aqui é a observação que o atraso entre a temperatura experimental e a calculada éuma função exclusiva da difusividade térmica.

� O fator de fase is somente uma função da difusividade térmica

UFU

( )�=

−=Nf

itep iiS

1

2)()( ϕϕ

Funçao objetivo a ser minimizadaUFU

Estimativa da CondutividadeTérmica:

Domínio do tempo� Uma vez que o valor da difusividade térmica é obtido,

uma função objetivo baseada na função erro quadrático de temperatura pode ser usada para estimar a condutividade térmica.

� Portanto, a variável λλλλ será o parâmetro que minimizará a função, Smq baseada na diferença entre as temperaturas experimentais e calculadas.

UFU

Funçao objetivo a ser minimizadaUFU

( ) ( )[ ]� �= =

−=s

j

n

itemq jijiS

1 1

2,, θθ

Problemas adicionais

�Resistência de contato térmica

�Baixos gradientes térmicos

Embora eles não representem dificuldadeem materiais não metálicos,devem ser considerados em materiais condutores

termopar resistência elétrica e transdutor

φφφφ1111((((t))))

ΤΤΤΤ1111((((t))))

ΤΤΤΤ2222((((t))))

ΤΤΤΤ1111((((t))))

ΤΤΤΤ2222((((t)))) φφφφ1111((((t))))

T(x,y,z,t)

y

x z

a) b)

O uso de um modelo 3D-transiente permite otimizar o aparato experimental e escolher as melhores localizações dos sensores de temperatura e fluxo de calor.

Análise do Gradiente de Temperatura

Evolução da TemperaturaUFU

0 100 200 300time [s]

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

tem

pera

ture

[ºC

]

T2

T1

0 200 400 600time [s]

20

23

25

28

30

33

35

38

40

tem

pera

ture

[ºC

]

T1

T2

para amostra de AISI304. a) 1D e b) 3D

a) b)

Diferença de TemperatuaUFU

0 100 200 300time (s)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 200 400 600time [s]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

∆θ para AISI304: a) 1D b) 3D.

∆θ [0C]∆θ [0C]

H ea t flu x in p u t

Temperatura espacial em amostras condutoras finas

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Incertezas nas

estimações das propriedades

baixos valores nos sinais de temperatura e fluxo de calor

dependência linear nos coeficientes

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

0 10 20 30 40 50 60time (s)

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25se

nsiti

vity

coe

ficie

ntλ

λα

αλα ∂

∂=∂∂= T

TS

TT

S TT ,, ,

temperatura

DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA

ESTIMAÇÃO EXCLUSIVA PARA CADAPROPRIEDADE

ANALISE DE SENSIBILIDADE

modelos 1D e 3D - fator de fase

0.000 0.003 0.005 0.008 0.010frequency (Hz)

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20se

nsiti

vity

coe

ficie

nt,

3D

1D

αϕ

ϕα

αϕ ∂∂

=,S

Influência da condutividade térmica

no fator de fase

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20frequency (Hz)

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

sens

itivi

ty c

oefic

ient

, 1D

3D

,, λ

ϕϕλ

λϕ ∂∂=S

relacionada à AMPLITUDE dos sinais de X e Y.

α

Uma importante característica da técnica é a

baixa sensibilidade de αααα

O valor estimado da difusividade térmica éINSENSÍVEL a erros sistemáticos (calibração dos transdutores de fluxo de calor ou termopares)

UFU Fator de fase sujeito a sinais de

entrada/saída originais e calibrados

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008frequency (Hz)

-1.40

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00ph

ase

[rd]

calibrated data

original data

UFU Módulo de Z para sinais originais e

calibrados de entrada/saída

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008frequency (Hz)

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

calibrated data

original data

UFU

139

65

10

Sample

Sample

Sample

Thermocouple mple

53

Insulating material Electrical resistance

Heat flux transducer

10

Sample

dimensions in mm

symmetry line

Insulating material

65

APARATOEXPERIMENTAL

UFU RESULTADOS

Dados estatísticos

Valores estimados

Initial value Initial Sp Final Sp σ (m2/s)

α [m2/s] 1.0 e-06 20 1.16e-03 4.0e-08

λ [W/mK] 10.0 14700 18.3 3.1e-01

Thermal properties This work Ref.[13,14] Error (%)

αααα [m2/s] 3.762 3.82 1.54

λλλλ [W/mK] 14.64 14.90 1.77

UFU

0 50 100 150 200 250 300time [s]

0

2

4

6

8

10

12

tem

pera

ture

[ºC

]

θt1

θt2

θe1

θe2

TemperaturaTeórica e experimental

CONCLUSÕESExcelente concordância entre valores deste método e

resultados da literatura (menores que 2%).

� resíduos situados na faixa da incerteza de

medição de termopares ±±±± 0.3 K.

Método potencial para a estimação de propriedades de materiais em forma complexa como (ferramentas de

corte).