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Matemática II 2011-‐2012 � 1º Semestre � 1ª Frequência
29 de Outubro de 2011
1/10
Pedro Raposo; Carla Cardoso; Miguel Carvalho
O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.
Grupo I
1. Calcule se possível, a soma da série 5n + 4n2 +12n + 5( )5n4 n + 1
2!"#
$%&n + 52
!"#
$%&
1
'
( . (Cotação: 2 valores)
2. Estude a natureza da série n
4n !1"#$
%&'
2n!1
1
(
) . (Cotação: 1.5 valores)
3. Estude a natureza da série ln(n)2n3 !11
"
# . (Cotação: 1.5 valores)
4. Determine o domínio de convergência da série (!2)n+1 3n !5( )n2 1! 3x( )n!11
"
#
(Cotação: 2 valores)
Grupo II
5. Considere a função f (x, y) = x2 + y2 ! 6x + 4y + 49 . Indique o valor aproximado da função no ponto (3.1,-‐2.1). (Cotação: 2 valores)
6. Seja a função dada por: f (u,v) =arctg(u ln v) se x < 0ln(u2v) se x ! 0
"#$
%$
Em que u = x2 + y e v = 1x + y3
. Calcule !f!x
e !f!y
no ponto (x,y)=(2,2). (Cotação: 1.5
valores)
7. Calcule as derivadas parciais em ordem a x e em ordem a y de f (euv+z ) , onde, u(x) = x ,v(y) = ln(y !1) e z(x, y) = x y . (Cotação: 1.5 valores)
2/10
Grupo II (continuação)
8. Sejam f (u,v) com u ! g(x, y), v = h(x, y) funções homogéneas de graus iguais a 2, 3 e 4
respectivamente. Calcule x!f!x
+ y !f!y
sabendo que, para (u,v)=(1,2), f(1,2)=5 e !f!v
"#$
%&' (1,2)
= 4 .
(Cotação: 2 valores)
9. Considere a função
f (x, y, z) =x + yx2 + yz
e! x2! y2!3z2
xy+ yz arctgxy
"#$
%&'
a)Determine o grau de homogeneidade da função. (Cotação: 1 valor)
b)Calcule a derivada segundo a direção do vector !v = 3 3 3!
"#$ no ponto A=(2,2,2).
Sugestão: Utilize o resultado da alínea anterior. (Cotação: 2 valores)
Grupo III
10. Considere a função f (x, y) = x3 + x2y + y2 + 2y .
a)Calcule os pontos de estacionaridade de f . (Cotação: 2 valores)
b)Classifique-‐os e calcule os máximos e mínimos da função f. (Cotação: 1 valor)
BOA SORTE.
3/10
Proposta de resolução
Grupo I
1. Calcule se possível, a soma da série ( )2
1
5 4 12 51 55 42 2
n
n
n n
n n
∞ + + +
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ . (Cotação: 2 valores)
1 1 1 1
1 1 1 1 1 11 51 5 5 8 542 22 2
n nn nn n
∞ ∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎜ ⎟
+ = − +⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ++ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑
21
11 1 1 15( ) 1 ( ) 15 5 5 41
5
n
n geométrica r convergente S∞ ⎛ ⎞= = < → = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −∑Logo,
1 22 1 2315 4 60
S S S= + = + =
2. Estude a natureza da série 2 1
1 4 1
nnn
−∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
∑ . (Cotação: 1.5 valores)
Aplicando o critério de Cauchy,
2
2 1 2 2
1/1 14 1lim lim lim 1
4 1 4 1 4 164 1
n
nn
nn nnn nn
n
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = = = <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
R.: A série é convergente.
3. Estude a natureza da série 31
ln( )2 1n
n
∞
−∑ . (Cotação: 1.5 valores)
Sabendo que ln(n)<n :
11
1 1 1 1 2 2 1 22 2lim1 5 18 8 3 5 152 2 2
sendo k Sn n n
∞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− = → = + − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
4/10
3 3
ln( )2 1 2 1n n
n n<
− − podemos comparar esta última série:
3 2
1 com a qual é convergente.2 1nn n−
(Nota: sabemos também que ln(n)>1, contudo neste caso, não se chegava a nenhuma conclusão)
3 3
ln( ) 12 1 2 1? .
nn n
conv
>− −
⇐
logo,
33
3
2
12 1lim lim lim 0,1 2 1 2n
n
nu nnv n
n
−= = = ≠ ∞−
Logo as séries têm a mesma natureza,
E a série com termo geral 32 1nn − é convergente, logo a série do enunciado como é
inferior só pode ser convergente. R.: A série 3
1
ln( )2 1n
n
∞
−∑é convergente.
4. Determine o domínio de convergência da série ( )( )
1
121
( 2) 3 51 3
n
n
nn x
+∞
−
− −
−∑
( )( )
( )( )
( )1 1 1 1. :
1 1 12 2 21 1 1
( 2) 3 5 ( 1) 2 3 5 2 3 51 3 1 3 1 3
n n n nS MOD
n n n
n n nn x n x n x
+ + + +∞ ∞ ∞
− − −
− − − − −= ⎯⎯⎯→
− − −∑ ∑ ∑
Aplicando o critério de Cauchy:
( ) ( ) ( )1
12 2 2
2 2 1 3 3 52 3 5 2 2 3 5 2lim lim lim 11 31 3 1 3 1 3
1 3
nn n
n nn n nn
x nn nxn x n x n x
x
+
−
− −− −= = = <
−− − −−
O intervalo de convergência é dado por:
5/10
2 1 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 3 21 3
1 13
x x x xx
x x
< ⇔ < − ⇔ − > ⇔ − > ∨ − < − ⇔−
⇔ < − ∨ >
1:Para x =
( )( )
( )( )
( )1 1 2
1 1 2 22 21 1 1 1
( 2) 3 5 ( 2) 3 5 ( 2) 3 5 12 201 3 2
n n
n n
n n n nn nn n
+ +∞ ∞ ∞ ∞
− −
− − − − − − −= = =− −
∑ ∑ ∑ ∑
podemos comparar esta última série:
2
12 20 1 com a qual é divergente.nn n−
logo,
22
2
12 2012lim lim lim 12 0,1
n
n
nu nnv n
n
−
= = = ≠ ∞
Portanto as séries têm a mesma natureza,
21 1
1 12 20. .ndiv divn n
∞ ∞ −⇒∑ ∑ (*)
1 :3
Para x = −
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1
1 2 1 2 21 1 1 12
1. .
2 21 1
( 2) 3 5 ( 1) 2 3 5 ( 1) 4 3 5 ( 1) (12 20)231
3( 1) (12 20) 12 20 .(*)
n n n n n
n n
nS MOD
n n n nn n n
n
n n divn n
+ + + + +∞ ∞ ∞ ∞
− −
+∞ ∞
− − − − − − − −= = =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
− − −⎯⎯⎯→
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
(*)- como visto anteriormente
Pelo critério de Leibniz:
2
2
12 20lim 0
12 20
nn
n decrescenten
− =
−
6/10
Então a série 1
21
( 1) (12 20)n nn
+∞ − −∑ é simplesmente convergente.
R.: O domínio de convergência é : ] [1, 1,3
⎤ ⎤−∞ − ∪ +∞⎥ ⎥⎦ ⎦.
Grupo II
5. Considere a função f (x, y) = x2 + y2 ! 6x + 4y + 49 . Indique o valor aproximado da função no ponto (3.1,-‐2.1). (Cotação: 2 valores)
7/10
6. Seja a função dada por: f (u,v) =arctg(u ln v) se x < 0ln(u2v) se x ! 0
"#$
%$
Em que u = x2 + y e v = 1x + y3
. Calcule !f!x
e !f!y
no ponto (x,y)=(2,2). (Cotação: 1.5
valores)
7. Calcule as derivadas parciais em ordem a x e em ordem a y de f (euv+z ) , onde, u(x) = x ,v(y) = ln(y !1) e z(x, y) = x y . (Cotação: 1.5 valores)
t euv+z
∂f(euv+z)
∂x= f �(euv+z)
�∂t
∂u
du
dx+
∂t
∂z
∂z
∂x
�
= f �(ex ln(y−1)+xy)�veuv+z × 1 + euv+z × yxy−1
�
= f �(ex ln(y−1)+xy)�ln(y − 1)ex ln(y−1)+xy
+ yxy−1ex ln(y−1)+xy�
∂f(euv+z)
∂y= f �(euv+z)
�∂t
∂v
dv
dy+
∂t
∂z
∂z
∂y
�
= f �(ex ln(y−1)+xy)
�ueuv+z 1
y − 1+ euv+z × ln(x)xy
�
= f �(ex ln(y−1)+xy)
�x
y − 1ex ln(y−1)+xy
+ ln(x)xyex ln(y−1)+xy
�
8/10
Grupo II (continuação)
8. Sejam ( , )f u v com ( , ), ( , )u g x y v h x y≡ = funções homogéneas de graus iguais a 2, 3 e 4
respectivamente. Calcule f fx yx y
∂ ∂+∂ ∂
sabendo que, para (u,v)=(1,2), f(1,2)=5 e
(1,2)
4fv
∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠. (Cotação: 2 valores)
3 4
f f f u f v f u f vx y x yx y u x v x u y v y
f u u f v vx y x yu x y v x y
u v
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )3 4 3 3 3
2
f f f f f f f fu v u v v u v vu v u v v u v v
f
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
6 ( , ) ff u v vv∂= +∂
No ponto considerado, (u,v)=(1,2), fica: (1,2)
6 (1,2) 2 6 5 2 4 38ffv
∂⎛ ⎞+ = × + × =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
9. Considere a função
9/10
2 2 23
2( , , )xxy yzy zx y xf x y z e arctg
x yz y
− − −++ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
a)Determine o grau de homogeneidade da função. (Cotação: 1 valor)
2 2 22
2( 3 )( )
2 2
( )( , , )
( )
y zxxy yzx y xf x y z e arctg
x yz y
λλλ λλ λ λ
λ λ
− − −++ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
2 2 2 2 22
2
2 1 2( 3 ) 3 32( ) 2
2 2 2 ( , , )( )
x xxy yz xy yzy z y zx y x yx xe arctg e arctg f x y z
x yz y x yz y
λλλ λλ λ
λ λ
−− − − − − −−+ ++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
R.: O grau de homogeneidade é 32
− .
b)Calcule a derivada segundo a direção do vector !v = 3 3 3!
"#$ no ponto A=(2,2,2).
Sugestão: Utilize o resultado da alínea anterior. (Cotação: 2 valores)
É pretendido calcular: cos cos cosA A AA
f f f fx y z
α β γλ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Em que : 3 3 1cos cos cos
9 9 9 3 9 3α β γ= = = = =
+ + ×
Portanto,
cos cos cosA A AA
f f f fx y z
α β γλ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
1 1 1 13 3 3 3A A A AA A
f f f f f fx y z x y z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(2,2,2) (2,2,2)(2,2,2)
1 1 32 2 2 (2,2,2)22 3 2 3
f f f fx y z
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )20 5 58 2 2
52
1 3 4 1 3 2 1 31 12 8 2 8 8 42 3 2 3 2 3
364 3
e arctg e arctg e
e
π
π
− − −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= −
Grupo III
10/10
10. Considere a função 3 2 2( , ) 2f x y x x y y y= + + + .
a)Calcule os pontos de estacionaridade de f . (Cotação: 2 valores)
2
2 2 22
3 2 0 (3 2 ) 0 0 2 32 2 0 2 2 0 2 2 02 2 0
f x xy x x y x y xxf x y x y x yx yy
∂⎧ = + =⎪ + = = = −⎧ ⎧ ⎧∂⎪ ⇔ ⇔ ∨ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨∂ + + = + + = + + =⎩ ⎩ ⎩⎪ = + + =∂⎪⎩
2
2 30 0 2 3 2 32 2 0 1 1 23 2 0
y xx x y x y xy y x xx x
= −= = = − = −⎧⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = = − = =− + =⎩ ⎩ ⎩ ⎩⎩
30 32
1 21
x yyy xx
⎧= = −= −⎧ ⎧⎪⇔ ∨ ∨⎨ ⎨ ⎨= − =⎩ ⎩⎪ =⎩
b)Classifique-‐os e calcule os máximos e mínimos da função f. (Cotação: 1 valor)
Ponto sela mínimo ponto sela
2
3 2min
3 3 3 3 9 5 31 1 2 1 3 1,2 2 2 2 4 4 2
f em⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − + − = − + − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(0, 1)A − ( )31, 2B − ( )2, 3C −
2
2 6 2f x yx
∂ = +∂
-
2− +
3 +
6 2
2 2fy
∂ =∂
2
2
2
2
2f xx y∂ =∂ ∂
0
2
4
sinal 2Δ - + -
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