sistemas de equações

Equações do 1º grau a 2 incógnitas

Sistemas de equações

Prof. Sandra Coelho 2007/08

Será que (1,2) é solução da equação 2x + y = 4 ?

Logo o par (1,2) é solução da equação

Um par ordenado é dito solução se verificar a equação.

Noção de solução…

2 1 2 42 2 44 4 Verdadeiro

× + =⇔ + =⇔ =

Solução de um sistema…

O processo é igual ao anterior porém o par tem de verificar as duas equações.

Será que (1,2) é solução do sistema 2 5

2 0x yx y+ =

− =

1 2 2 5 5 52 1 2 0 0 0

Verdadeiro+ × = =

⇔ × − = =

Logo o par (1,2) é solução do sistema

1º passo – Escrever o sistema na forma canónica.

Exemplo:

Resolução de sistemas - Método da substituição

( ) 23 12

13 2 3

y xy x

x y x

+ − − = − = −

O que é que podemos fazer?Desembaraçar de parêntesis e de seguida de denominadores. As equações são independentes pelo que se pode ir trabalhando as duas em simultâneo.

( ) 2 23 1 6 6 2 2 8 5 23 3 12 21 2 3 6 2 8 3 22 3 2 6

3 2 3

y x y xy x y x y x x yy xx y x y x x yx y xx

+ +− − = − − − = − + =− − = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − = − = −− = −

E agora? Qual o processo que devo adoptar?

Não há regras estanques para resolver sistemas, no entanto, há técnicas que ajudam a manter o raciocínio alerta e orientam a resolução do problema.

1º passo – Escolher uma equação e uma incógnita e resolver essa equação em ordem a essa incógnita.

2º passo – Substituir o valor dessa incógnita na outra equação.

3º passo – Resolver essa segunda equação até encontrar o valor dessa incógnita. (se possível)

4º passo – Substituir o valor obtido no passo anterior na outra equação.

5º passo – Encontrar o valor da outra incógnita e tirar as conclusões devidas.

Método da substituição em 6 passos (1+5)

Depois de escrever o sistema na forma canónica passemos à sua resolução. Para isso aproveitemos o exemplo anteriormente abordado.

Passo 0 – Escrever o sistema na forma canónica:( ) 2 23 1 6 6 2 2 8 5 23 3 12 2

1 2 3 6 2 8 3 22 3 2 63 2 3

y x y xy x y x y x x yy xx y x y x x yx y xx

+ +− − = − − − = − + =− − = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − = − = −− = −

( ){ }

2 38 5 2 16 248 5 2 _________ 5 288

8 3 2 8 2 3 2 3 _______________8

216 24 40 16 16 16 16 2. . 1,22 3 2_______________ ___________ 1

8

y y yx y yx y x y yx

yy y y yC S

xx

+ − + = − − ÷− + = + = ⇔ ⇔ ⇔ − = = + + = =− − + = = + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + × ==

Possível

Impossível

(Tem pelo menos uma solução)

Determinado

Classificação de sistemas

(Não tem solução)

Indeterminado

(Tem uma só solução)

(Tem uma infinidade de soluções)

Resolve graficamente o sistema:

Resolução de sistemas – Método Gráfico

42 7

y xx y

= − + =

44 472 7 2 72

y xy x y xxx y y x y

= −= − = − ⇔ ⇔ −+ = = − =

Resolve cada uma das equações em ordem a y:

Resolução de sistemas – Método Gráfico4

72

y xxy

= − −=

Construa-se uma tabela referente a cada uma das equações:

x y = x - 4

1 1 – 4 = -3

2 2 – 4 = -2

x

1 3

3 2

72xy −=

y

x

SOLUÇÃO( 5 ; 1 )

Resumindo…

O ponto de intersecção das rectas é a solução do sistema.

Exercício:

Propõe representações gráficas que ilustrem todas as hipóteses das classificações de sistemas.

Exemplos…

Possível

Impossível

(Tem pelo menos uma solução)

Determinado

(Não tem solução)

Indeterminado

(Tem uma só solução)

(Tem uma infinidade de soluções)

y

x

y

x

y

x

Resolução de sistemas – Método Gráfico

4 44 42 22 2 2 22 2

y x y xx y y xx xx y y x y y

= − = − − = = − ⇔ ⇔ ⇔ − −− = − = − = = − −

Exemplo:

x y = x - 4

1 1 – 4 = -3

2 2 – 4 = -2

x

2 0

4 1

22xy −= −

y

x

SOLUÇÃO

( 6 ; 2 )

Resolução de sistemas – Método Gráfico

1 1 12 2 2

x y y x y xy x y x y x

− = − = − + = − ⇔ ⇔ = − = − = −

x y = x – 1

1 1 – 1 = 0

2 2 – 1 = 1

x y = -2x

1 -2

2 -.4

y

x

SOLUÇÃO

( ? ; ? )

Para ter a certeza da solução – Método da

Substituição

Exemplo:

Resolução de sistemas–Método de Substituição

( )2 11 2 1 3 12 ________ ________________1 1

1 23 3 . . ;3 31 22

3 3

x xx y x x xy x

x xC S

y y

− − =− = + = = ⇔ ⇔ ⇔ = − = = ⇔ ⇔ = − ÷ = − × = −