série dupla de fourier e convergência das web viewo foco do presente trabalho consiste...
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EQUAÇÃO DO CALOR
Engenharia Mecânica
Resumo
Trata do assunto Equação do calor, o qual descreve a distribuição da temperatura em corpos
materiais como função da posição e do tempo. Através da apresentação de um problema
proposto e solucionado utilizando a definição da mesma equação e o desenvolvimento do
Laplaciano em coordenadas cilíndricas. Descreve as funções de Bessel em primeira e segunda
espécies, as relações da mesma função, assim como o método de Frobenius, importante na
solução de equações diferenciais. Conclui com a importância e as aplicações da equação do
calor para utilização na vida prática para os alunos de engenharia mecânica.
Palavras-chave: Equação do calor, equação de Bessel, método de Frobenius .
1. Introdução
A equação do calor é um modelo matemático para a difusão de calor em sólidos. Este
modelo consiste em uma equação de derivadas parciais que muitas vezes é também
chamada de equação da difusão.
Existem diversas variações da referente equação. Na sua forma mais conhecida, ela
modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não possua
fontes de calor.
Ela é de uma importância fundamental em numerosos e diversos campos da ciência. Na
matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por antonomásia. Na
estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento browniano
através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão é uma versão mais geral da
equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão
química.
*Aluna de graduação do curso de Engenharia Mecânica, Universidade Federal Fluminense, 24024-000 Niterói,Brasil
2Equação do calor
O foco do presente trabalho consiste na aplicação da equação na Engenharia Mecânica,
para mostrar um estudo voltado para a área e alguns exemplos clássicos, em forma de
exercício, com as utilizações mais corriqueiras.
2. Contexto Histórico da Equação do Calor
Na metade do século XVII, motivados pelo problema de vibração de cordas,
matemáticos debateram sobre a expansão de funções arbitrária em séries
trigonométricas. D’Alambert, Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemática
da época e aproximaram do que é hoje conhecido como Série de Fourier.
Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho a
Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da condução de calor.
Seu trabalho não foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o
problema. Em 1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora
mais uma vez resolveu não publicá-lo, alegando falta de rigor. A publicação dos seus
trabalhos só ocorreu mais tarde, quando Fourier tornou-se secretário da Academia.
Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porém não finalizado, pois novos problemas
surgiram do seu trabalho. Equações diferenciais, Análise, Integral e teoria dos conjuntos
foram algumas das áreas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria de
Fourier.
3. Aplicação
Hoje são conhecidas diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais
conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que
não possua fontes de calor, e é escrita:
A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos
campos da ciência. Na matemática, é as equações parabólicas em derivadas parciais por
3Equação do calor
antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do
movimento browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é
uma versão mais geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo
de processos de difusão química. A equação do calor é usado em probabilidade e
descreve passeios aleatórios. É aplicada em matemática financeira por esta razão.
É também importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada
por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por
Grigori Perelman para resolver a conjectura de Poincaré topológica.
4. LAPLACIANO
4.1 LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES
Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimensões dado por
∆=∇2= ∂2
∂ x2 + ∂2
∂ y2
Que opera uma função u = u(x,y) de duas variáveis. Todavia muitas vezes trabalhar em
coordenadas cartesianas pode não ser a melhor forma de se abordar um problema. De
acordo com a geometria do problema a utilização das coordenadas polares pode facilitar
a obtenção da solução.
As coordenadas polares são dadas por
{x=r cos (θ)y=r sen (θ)
Ou ainda
{ r=√ x2+ y2
θ=arctg( yx )
Com essa transformação, a antiga função u = u(x,y) passa a ser v = v(r,θ). Derivando-se
u utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter
ux=ur r x+uθθx
4Equação do calor
Derivando-se novamente
uxx=(u¿¿ r )x rx+ur r xx+(u¿¿θ)x θx+uθ θxx ¿¿
Utilizando novamente a regra da cadeia
uxx=(u¿¿ rr r x+u rθθx)rx+ur r xx+(u¿¿θr r x+uθθ θx)θx+uθθxx ¿¿
Admitindo-se que u(x,y) é de classe C 2, pelo teorema de Schwarz
urθ=uθr
Logo, podemos escrever uxx como
uxx=urr (r x )2+2urθr x θx+uθθ (θx )2+ur r xx+uθθxx
Analogamente se obtém uyy como
uyy=urr (r y )2+2urθ r y θ y+uθθ (θ y )2+ur r yy+uθ θyy
Segundo a definição do Laplaciano
∆ u=uxx+uyy=¿( (r x )2+ (r y )2 )urr+2 (r x θx+r y θy ) urθ+((θ y )2+(θy )2 )uθθ+(r xx+r yy )ur+(θxx+θyy ) uθ
Agora basta resolver as derivadas
1. (r x )2+ (r y )2=( x√x2+ y2 )
2
+( y√ x2+ y2 )
2
=1
2. r x θx+r y θ y=x
√ x2+ y2 ( − yx2+ y2 )+ y
√x2+ y2 ( xx2+ y2 )=0
3. (θ y )2+ (θy )2=( − yx2+ y2 )
2
+( xx2+ y2 )
2
= 1r2
4. r xx+r yy=x2+ y2
( x2+ y2 )32
=1r
5Equação do calor
5. θxx+θyy=2 xy−2 xy( x2+ y2 )2
=0
Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a
∆ u=∇2u=urr+1r
ur+1r2 uθθ
4.2. LAPLACIANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
Analogamente às coordenadas polares, a transformação das coordenadas cartesianas
para as cilíndricas é dada por
{x=r cos (θ)y=r sen (θ)
z=z
Portanto, como já se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como não houve qualquer
transformação na variável z, o Laplaciano de uma função u(x,y,z) em coordenadas
cilíndricas fica como
∆ u=∇2u=urr+1r
ur+1r2 uθθ+uzz
5. Funções de Bessel
Equação diferencial de Bessel
As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial
x2 y ' '+ x y '+ ( x2−n2 ) y=0 n≥0 (1)
chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por
y=c1 J n ( x )+c2 Y n (x ) (2)
6Equação do calor
A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de
Bessel de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é
não-limitada) quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de
ordem n, ou função de Neumann.
Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação
resultante é
x2 y ' '+ x y '+ ( λ2 x2−n2 ) y=0 (3)
com solução geral
y=c1 J n ( λx )+c2Y n ( λx ) (4)
A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace
expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).
O Método de Frobenius
Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais como
a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma
y= ∑k=−∞
∞
ck xk+β (5)
Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0,
que se supõe diferente de zero.
Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β
(constante) (chamada equação inicial), bem como equações que podem servir para
determinar as constantes ck.
Funções de Bessel de primeira espécie
Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como
Jn ( x )= xn
2n Г (n+1) {1− x2
2(2 n+2)+ x4
2 × 4(2 n+2)(2 n+4 )−…} (6)
7Equação do calor
Ou
Jn ( x )=∑r=0
∞ (−1)r( x2 )
n+2 r
r ! Г (n+r+1)(7)
onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6)
se torna
J0 ( x )=1− x2
22 + x4
22 42 −… (8)
A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar,
Jn(x) pode-se exprimir em termos de senos e cossenos.Pode-se definir uma função J-n(x)
n>0, substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que
J−n ( x )=(−1)n J n ( x ) (9)
Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução
geral de (1) é
y=A J n( x)+B J−n(x) n ≠ 0,1,2,3,4,5,6,... (10)
Funções de Bessel de segunda espécie
Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como
Y n ( x )=¿
J n ( x ) cosnπ−J−n(x )sennπ
n ≠0,1,2,3,...
(11)
limp → n
J p ( x )cos pπ−J− p(x )sen pπ
n =0,1,2,3,...
Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):
Y n ( x )=2π {ln( x
2 )+γ}J n (x )−1π ∑
k=0
n−1 (n−k−1 )!( x2 )
2k −n
k !−
1π ∑
k=0
∞
(−1 )k {ϕ (k )+ϕ (n+k ) }( x2 )
2k−n
k ! ( n+k ) !(12)
8Equação do calor
onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.
ϕ ( p )=1+ 12+ 1
3+…+ 1
p ϕ (0 )=0 (13)
Função Geratriz de Jn(x)
A função
eπ2 (τ −1
t )= ∑n=−∞
∞
J n ( x ) tn (14)
é a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. É de
grande utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n –
propriedades que, freqüentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.
Fórmulas de Recorrência
Os resultados abaixo valem para todo n:
1. Jn+1 ( x )=2 nπ
Jn ( x )−J n−1 ( x )
2. J 'n ( x )=12 [J n−1 ( x )−J n+1 (x ) ]
3. x J ' n ( x )=n Jn ( x )−x J n+1 (x )
4. x J ' n ( x )=x J n−1 ( x )−n Jn ( x )
5.ddx [ xn J n ( x ) ]=xn J n−1 ( x )
6.ddx [ x−n J n(x)]=−x−n J n+1(x)
Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz.
Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.
As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo
Jn(x).
Funções relacionadas com as funções de Bessel
1. As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente,
por
9Equação do calor
H n1 ( x )=J n (x )+i Y n ( x )
(15)H n
2 ( x )=J n (x )−iY n ( x )
2. Funções de Bessel modificadas. Define-se a função de Bessel modificada de
primeira espécie de ordem n como
I n ( x )=i−n Jn (ix )+e−n π i
2 Jn (ix ) (16)
Se n é inteiro,
I−n (x )=I n ( x ) (17)
mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.
A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como
K n ( x )=¿
π2 [ I−n ( x )−I n ( x )
sennπ ] n ≠0,1,2,3,...
(18)limp→n
π
2 [ I− p ( x )−I p ( x )sen pπ ] n =0,1,2,3,...
Essas funções verificam a equação diferencial
x2 y ' '+ x y '+ ( x2−n2 ) y=0 (19)
e a solução geral desta equação é
y=c1 I n ( x )+c2 K n ( x ) (20)
ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,
y=A I n ( x )+B I−n ( x ) (21)
10Equação do calor
3. Funções Ber, Bei, Ker, Kei. As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as
partes real e imaginária de Jn(i32 x ), onde
i32=e
3 πi4 =√2
2(−1+i ) , i . e ,
(22)
Jn(i¿¿32
x)=Bern(x )+ i Bein(x )¿
As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de
e−nπi
2 Kn(i
12 x ), onde i
12=e
πi4 =√2
2(−1+i ) , i .e ,
e−nπi
2 Kn(i
12 x )=Kern(x )+ i Kein( x) (23)
Essas funções são úteis em relação à equação
x2 y ' '+ x y '+ (ix2−n2) y=0 (24)
que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta
equação é
y=c1 J n( i
32 x)+c2 Kn
(i12 x ) (25)
Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x),
Ker(x), Kei (x), respectivamente.
Equações transformáveis na equação de Bessel
A equação
x2 y ' '+(2k+1)x y '+( α2 x2r−β2 ) y=0 (26)
onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral
11Equação do calor
y=x−k [ c1 J k /r ( α xr /r )+c2Y k / r (α xr /r ) ] (27)
onde k=√k2−β2. Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como
solução
y=x−k [ c3 xk+c4 x−k ] (28)
Fórmulas assintóticas para funções de Bessel
Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:
Jn ( x ) √ 2πx
cos (x−π4−
nπ2 ) ,
(29)
Y n ( x ) √ 2πx
sen(x− π4−
nπ2 ) ,
Zeros das funções de Bessel
Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A
diferença entre raízes sucessivas tende a π na medida em que as raízes aumentam de
valor. Este fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as
raízes de Jn(x) = 0 (os zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0.
Observações análogas valem para Yn(x).
Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie
Se λ e μ são duas constantes diferentes, pode-se mostrar que
∫0
1
x J n ( λx ) J n (μx ) dx=μJ n ( λ ) J ' n ( μ )−λJn ( μ ) J ' n ( λ )
λ2−μ2 (30)
enquanto que
12Equação do calor
∫0
1
x J n2 ( λx ) dx=1
2 [J ' n2 ( λ )+(1−n2
λ2 )J n2 ( λ )] (31)
De (30) pode-se ver que, se λ e μ são duas raízes distintas quaisquer da equação
R J n (x )+Sx J 'n ( x )=0 (32)
onde R e S são constantes, então
∫0
1
x J n ( λx ) J n (μx ) dx=0 (33)
o que equivale afirmar que as funções √ x Jn ( λx )e √ x Jn ( μx ) são ortogonais em (0,1).
Notes-se como casos especiais de (32), λ e μ podem ser duas raízes distintas de Jn(x) = 0
ou de J’n(x)=0. Pode-se dizer também que as funções Jn ( λx )e Jn ( μx) são ortogonais em
relação à função densidade (função peso) x.
Séries de funções de Bessel de primeira espécie
Tal como no caso das séries de Fourier, pode-se mostrar que se F(x) e f’(x) são
seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de f(x) no intervalo
0<x<1 existirá um desenvolvimento em série de Bessel da forma
f ( x )=A1 Jn ( λ1 x )+A2 J n ( λ2 x )+…=∑p=1
∞
Ap Jn ( λp x ) (34)
onde λ1,λ2,λ3,λ4,λ5, ... são as raízes positivas de (32) com R/S ≥ 0, S ≠ 0 e
Ap=2 λp
2
(λp2 −n2+
R2
S2 )J n2(λp)
∫0
1
x Jn ( λ p x ) f ( x ) dx(35)
13Equação do calor
Em qualquer ponto de descontinuidade, a série à direita de (34) converge para
12 [ f ( x+0 )+ f (x−0)], expressão que pode ser utilizada em lugar do membro esquerdo de
(34).
Se S = 0, de modo que λ1,λ2,λ3,λ4,λ5, ... são as raízes de Jn(x) = 0,
Ap=2
Jn+12 (λp)
∫0
1
x J n ( λ p x ) f ( x ) dx (36)
Se R = 0 e n = 0, então a série (34) começa com o termo constante
A1=2∫0
1
x f ( x )dx (37)
Neste caso, as raízes positivas são as de J’n(x) = 0.
Ortogonalidade e séries de funções de Bessel de segunda espécie
Os resultados acima, relativos às funções de Bessel de primeira espécie, podem ser
estendidos às funções de Bessel de segunda espécie.
7. Problema PropostoSeja um cilindro oco muito longo, de raio interno a e raio externo b,é feito com material
condutor com difusividade α . Se as superfícies interior e exterior são mantidas à
14Equação do calor
temperatura de 0 ºC e 100 ºC, enquanto a temperatura inicial é f (r ) (sendo r o raio).
Determine a temperatura em um ponto qualquer,em um instante arbitrário t .
A figura ilustra esquematicamente o problema. Deseja-se saber como pode descrever a
temperatura no cilindro em coordenadas cilíndricas, ou seja, busca-se uma função
u(r , θ , z ; t )
Levando-se em conta a simetria do problema e que este é regido pela equação do calor,
o que se almeja de fato é descobrir como a temperatura se distribui ao longo do tempo
entre os raios interno (a) e externo do cilindro (b), portanto a≤ r ≤b.
Solução
Denotemos por f (r ) a função que determina a temperatura inicial de um ponto qualquer
no instante inicial t=0 dentro de a ≤ r ≤b. Pela simetria do problema, observa-se que a
temperatura jamais varia com as variáveis z ou θ.
Utilizando a equação do Calor
∇2u−α ∂ u∂t
=0
Em coordenadas cilíndricas e fazendo as considerações necessárias
u=u (r ,t )
15Equação do calor
∂u∂ t
=α (1r
∂∂ r (r ∂u
∂ r )) (1 )
Onde as condições de contorno são
u (a , t )=0 °C
u (b , t )=100℃
u (r ,0 )=f (r )
|u (r , t )|< M
Ou seja, a temperatura para um ponto qualquer no cilindro oco em um instante arbitrário
pode ser escrita como uma combinação de
u (r , t )=u0 (r ,t )+u100(r )
Onde u0 (r , t ) é a solução homogênea, em que as temperaturas externa e interna do
cilindro são 0 C, e u100 (r ) é a solução particular em que a temperatura do raio externo é
100 C e independe do tempo t.
Assim sendo, realizar-se-á primeiro a solução para u0 (r , t ) homogênea associada.
Pela separação de variáveis
Façamos u=R (r )T (t )=RT , em (1)
∂ RT∂t
=α ( ∂2 RT∂r 2 +1
r∂ RT∂ r )
R T '=α(T R' '+ 1r
T R' )(÷ αRT )
T }} over {αT} = {{R} ^ {''}} over {R} + {1} over {r} {{R} ^ {'}} over {R} =- {λ} ^ {2 ¿¿
Então
T '
αT=−λ2⇒T '+α λ2 T=0 (2 )
16Equação do calor
R ' '
R+ 1
rR'
R=−λ2
R' '+ R'
r+R λ2=0 (3 )
Que resultam em
T=c1 e−αt λ2
, R=A1 J 0 ( λr )+B1Y 0 ( λr )
Como u=RT ,temos
u (r , t )=∑λ
e−αt λ2
[a1 J 0 ( λr )+b1 Y 0 ( λr ) ] ( 4 )
Aplicando-se as condições de contorno para u0 (r , t ) em que u (a , t )=0eu (b , t )=0, obtem-se
a1J 0 ( λa )+b1 Y 0 ( λa )=0 ,a1 J0 ( λb )+b1Y 0 ( λb )=0 (5 )
Estas equações nos levam à
Y 0 ( λa ) J 0 ( λb )−J0 ( λa ) Y 0 ( λb )=0 (6 )
De (5) b1=−a1 J 0 ( λa )
Y 0 ( λa )
Deste modo, a eq.(4) pode ser escrita como:
u (r , t )=∑λ
C e−αt λ 2
[Y 0 ( λa ) J 0 ( λr )−J0 ( λa ) Y 0 ( λr ) ]
λ=λm
u (r , t )=∑m=1
∞
Cm e−α tλm2
u0 ( λm r ) (7 )
e
u0 ( λmr )=Y 0 ( λm a ) J 0 ( λm r )−J 0 ( λm a ) Y 0 ( λm r )
Do fato, de que u (r ,0 )=f (r ) e utilizando a eq. (7):
f (r )=∑m=1
∞
Cmu0 ( λm r )
17Equação do calor
Cm=∫
a
b
rf (r ) u0 ( λm r ) dr
∫a
b
r [ u0 ( λm r ) ]2 dr
Logo, a solução é
u (r , t )=∑m=1
∞ (∫ab
rf (r ) u0 ( λm r ) dr
∫a
b
r [u0 ( λm r ) ]2dr )e−α tλm2
u0 ( λmr )
Quanto à solução particular u100 (r ), tem-se a equação
0=α (1r
∂∂ r (r ∂u
∂ r ))Temperatura estacionaria. Portanto esta equação pode ser considerada ordinária pois as
derivadas são apenas com respeito a r. Com isso
ddr (r du
dr )=0
r dudr
=c1
∫ du=∫c1drr
u=c1 ln (|r|)+K=¿
Como r ≥ 0, tem-se como solução
u100 (r )=c1 ln (c2r )
Aplicando-se as condições de contorno para u100 (r ) em que u (a )=0 °C e u (b )=100° C
u100 ( a )=0=c1 ln (c2a )
Ou que
c2 a=1∴ c2=1a
E a segunda condição
18Equação do calor
u100 (b )=100=c1 ln( ba )
Portanto
c1=100
ln( ba )
Com as constantes determinadas, pode-se escrever
u100 (r )= 100
ln( ba )
ln( ra )
Para escrever a solução final basta lembrar que
u (r , t )=u0 (r ,t )+u100 (r )
Ou seja, a solução final do problema proposto é
u (r , t )= 100
ln( ba )
ln( ra )+∑
m=1
∞ (∫ab
rf (r ) u0 ( λm r ) dr
∫a
b
r [u0 ( λm r ) ]2 dr )e−α tλm2
u0 ( λm r )
É a função que descreve a temperatura para qualquer ponto dentro de um cilindro oco
com raios a interno e b externo as temperaturas 0º C e 100 º C, respectivamente, para
qualquer instante de tempo t ≥ 0. O caráter exponencial do tempo na solução homogênea
garante que a distribuição tende a estacionaria conforme o tempo flui. Ou seja
limt → ∞
u (r , t )=¿u100 (r )¿
Esta característica da solução vem como conseqüência da equação do calor, mostrando
dessa forma a irreversibilidade desse processo.
19Equação do calor
Distribuição estacionaria de temperatura em cilindro oco como o descrito no
problema. A figura ajuda a mostrar como a temperatura varia de forma logarítmica.
OBS: o gráfico foi traçado com raios interno a=2 e externo b=5 e o eixo z significa
u100 (r ).
7. Conclusão
Os assuntos da equação do calor abordados no trabalho permitem concluir a sua
importância para o estudo da engenharia no cálculo de transferência de calor. Enfim,
permitem o advento de tecnologias aplicadas em diversas áreas do conhecimento ao
proporcionar uma melhor compreensão da equação já descrita.
8. Agradecimentos
A Deus, ao professor Altair por compartilhar seu grande conhecimento na área
tecnológica com seus alunos e aos colegas que ajudaram na elaboração do trabalho.
9. Referências
1 - Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil Ltda, 1976
20Equação do calor
2 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear, Volume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.
3 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.
4- E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978.
5 – A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010
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